2020年上学期《微分几何》期末考试试卷

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济宁学院继续教育学院《微分几何》考试试卷一、填空题（每小题4分，共20分）1、 曲面上的曲纹坐标网是渐进网的充分必要条件是 .2、平面族1sin sin cos =-+αααz y x 的包络面是 .3、N M L ,,是曲面的第二类基本量，则02=-M LN 的点是曲面上的 .4、球面{}θϕθϕθsin ,sin cos ,cos cos R R R r =→的第二基本形式为 . 5、圆柱螺线{}bt t a t a r ,sin ,cos =→的自然参数表示式为 .二、选择题（每小题2分，共20分）6、下列属于曲面内蕴量的是 （ ）A 、主方向B 、共轭方向C 、高斯曲率D 、渐近方向7、空间曲线在一点的密切平面上的投影近似于 （ ）A 、直线B 、半立方抛物线C 、立方抛物线D 、抛物线8、空间曲面在抛物点邻近的形状近似于 （ ）A 、双曲抛物面B 、立方抛物线C 、椭圆抛物面D 、圆锥面9、曲线()r r t =r r在点()P t 处的挠率 （ ）A 、可正可负B 、一定为负C 、不可为负D 、 一定为正10、下列概念中,能刻画曲面上一点在某一方向上的弯曲性的是 （ ）A 、高斯曲率B 、曲率C 、挠率D 、法曲率11、曲面在一点处的高斯曲率a K =,平均曲率)(2a b b H ≥=,则曲面在该点处的主曲率为 ( )A 、a b b -+2B 、a b b --2C 、a b b -+2, a b b --2D 、无法知道 12、下列不是曲面的第一类基本量的是 （ ）A 、u u r r E →→⋅=B 、v u r r F →→⋅=C 、v v r r F →→⋅=D 、uv r n M →→⋅=13、曲面(,)r r u v =r r的曲纹坐标网的微分方程是 （ ）A 、0du dv -=B 、0du dv +=C 、0dudv =D 、220du dv -= 14、单位向量函数)(t r →关于t 的旋转速度等于 （ ）A 、)(t r →'B 、)(t r →'C 、)(t r →D 、)(t r →15、过2C 类空间曲线上一点最贴近曲线的平面是 （ ）A 、切平面B 、从切平面C 、密切平面D 、法面三、计算题（每小题10分，共20分）16、(10分)求曲面 22()z a x y =+在点(0,0)的主曲率.17、(10分)求双曲面axy z =在点0==y x 的平均曲率和高斯曲率。

微分几何期末试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 以下哪一项不是微分几何的研究对象？A. 流形B. 曲线C. 曲面D. 代数方程2. 在微分几何中，下列哪个概念是用来描述曲线的弯曲程度？A. 切线B. 曲率C. 法向量D. 微分3. 给定一个曲面上的点，其邻域内的所有点都可以通过该点的哪种向量场来到达？A. 切向量B. 法向量C. 零向量D. 任意向量4. 以下哪个是微分几何中研究曲面局部性质的重要概念？A. 拓扑B. 度量C. 群论D. 线性代数5. 在曲面上，高斯曲率的计算公式是什么？A. K = R/(2π)B. K = R^2/(2π)C. K = det(II - e^(-2u) * I)D. K = det(I - e^(-2u) * II)6. 以下哪个是微分几何中研究曲面全局性质的重要概念？A. 曲率B. 度量C. 测地线D. 向量场7. 给定一个流形，其上的每一个点都有一组局部坐标，这组坐标被称为该点的什么？A. 切向量B. 法向量C. 坐标图D. 邻域8. 在微分几何中，哪种类型的曲面可以通过一个平面曲线的旋转来生成？A. 圆柱面B. 抛物面C. 双曲面D. 椭球面9. 以下哪个是微分几何中研究曲面上最短路径的概念？A. 测地线B. 切线C. 法线D. 曲率10. 微分几何中的“黎曼几何”主要研究的是什么类型的几何结构？A. 欧几里得空间B. 黎曼流形C. 仿射空间D. 射影空间二、简答题（每题10分，共40分）11. 请简述什么是流形，并给出一个具体的例子。

12. 解释什么是度量张量，并说明它在微分几何中的作用。

13. 描述一下什么是测地线，并说明它在曲面上的性质。

14. 阐述高斯绝妙定理（Gauss's Theorema Egregium）的意义及其在微分几何中的重要性。

三、解答题（每题15分，共30分）15. 给定一个曲面上的两点A和B，证明通过A点的任意一条测地线都可以延伸到B点。

2020-2021《微分几何》期末课程考试试卷B适用专业： 考试日期：试卷所需时间：120分钟 闭卷 试卷总分：100一：填空题 （每空2分，共16分）1．向量函数)(t 具有固定长度的充要条件是 ．2．与切线垂直的平面称为 ，与副法线垂直的平面称为 ． 3．曲面的曲纹坐标网是共轭网的充分必要条件是 ．4．空间曲面上的脐点处的第一基本量和第二基本量满足关系式： ． ５．空间曲线如果是一般螺线，则它的曲率和挠率满足关系式： ．二：判断题：（每题2分，共１2分）1. 空间曲线的曲率与挠率完全确定了空间曲线的位置．（ ） 2．曲面上非脐点的主曲率是此点法曲率的最大值和最小值．（ ） 3. 极小曲面的高斯曲率恒等于零．( )4．向量)(t)(t ．( ) 5．曲面上椭圆点对应的迪潘邦指标线是椭圆．( ) 6．平面上的单位圆的旋转数为０．( )三. 计算题：1、计算球面{}θϕθϕθsin ,sin cos ,cos cos =的第二基本形式．（１０分）2、求曲线{})3(,3),3()(323t t a at t t a t +−=的曲率和挠率． (１５分)３、求曲面S ：},sin ,cos {av v u v u r =上，由微分方程dv a u du 22+=定义的曲线的正交轨线．（１０分）院系________________ 姓名_____________ 班级________________ 序号_______________４、求螺旋线{}t t t t ,sin ,cos )(=在点()0,0,1的基本向量γβα,,，以及法平面、密切平面及从切平面的方程． (25分)四、证明题：设曲面Ｓ上的一条曲率线不是渐近曲线，并且它的密切平面与曲面Ｓ的切平面相交成定角，证明：该曲线必定是一条平面曲线．（１２分）2020-2021《微分几何》期末课程考试试卷B 答案适用专业： 考试日期：试卷所需时间：120分钟 闭卷 试卷总分：100一：填空题 （每空2分，共16分）1．向量函数)(t r 具有固定长度的充要条件是0=•'r r ．2．与切线垂直的平面称为 法平面 ，与副法线垂直的平面称为 密切平面 ． 3．曲面的曲纹坐标网是共轭网的充分必要条件是0=M ．4．空间曲面上的脐点处的第一基本量和第二基本量满足关系式：NGM F L E ==． ５．空间曲线如果是一般螺线，则它的曲率和挠率满足关系式：c k=τ．二：判断题：（每题2分，共１2分）1. 空间曲线的曲率与挠率完全确定了空间曲线的位置．（ F ） 2．曲面上非脐点的主曲率是此点法曲率的最大值和最小值．（ T ） 3. 极小曲面的高斯曲率恒等于零．( F )4．向量)(t)(t ．( F ) 5．曲面上椭圆点对应的迪潘邦指标线是椭圆．( T ) 6．平面上的单位圆的旋转数为０．( F )三. 计算题：1、计算球面{}θϕθϕθsin ,sin cos ,cos cos =的第二基本形式．（１０分） 解：L=θ2cos −，M=0，N=-1 ，222cos θϕθd d −−=2、求曲线{})3(,3),3()(323t t a at t t a t +−=的曲率和挠率． (１５分)解：}1,2,1{322't t t a r +−=，}2,2,2{3''t t a r −=，}2,0,2{3'''−=a r }22,4,22{9222'''+−−=⨯t t t a r r)1(218||22'''+=⨯t a r r ，2242''')1(648)(+=⨯t a r r3''''''216),,(a r r r = )1(23||2'+=t a r223'''')1(31||||+=⨯=t a r r r k 222''''''''')1(31)(),,(+=⨯=t a r r r r r τ３、求曲面S ：},sin ,cos {av v u v u r =上，由微分方程dv a u du 22+=定义的曲线的正交轨线．（１０分）解：v ce a u u −=++22院系________________ 姓名_____________ 班级________________ 序号_______________４、求螺旋线{}t t t t ,sin ,cos )(=在点()0,0,1的基本向量γβα,,，以及法平面、密切平面及从切平面的方程． (25分)解{}11021,,=α {}001,,−=β{}11021,,−=γ法平面：0=+Z Y 密切平面：0=+−Z Y 从切平面：01=−X四、证明题：设曲面Ｓ上的一条曲率线不是渐近曲线，并且它的密切平面与曲面Ｓ的切平面相交成定角，证明：该曲线必定是一条平面曲线．（１２分）证明：αλ||•⇒=n dr dn 00≠•⇒≠βn k nc =•⇒n n γγ成定角与00=⇒=⇒ττβn 平面曲线。

1、等距变换一定是保角变换（×）2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定.（√）3、二阶微分方程A(u,v)du2B(u,v)dudv B(u,v)dv0总表示曲面上两族曲线。

（×）224、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的（×）5、坐标曲线网是正交网的充要条件是F0,这里F是第一基本量（√）6、在空间曲线的非逗留点处，密切平面存在且唯一。

（√ )7、空间曲线的曲率与挠率完全确定了空间曲线的形状与位置。

(×）8、在曲面的非脐点处，最多有二个渐近方向.（√ )9、LN-M2不是内蕴量。

(×）10、高斯曲率恒为零的曲面一定是可展的。

(√）11、曲线r=....r（s）为一般螺线的充要条件为（r，r,r）=0（√）12、主法向量正向总是指向曲线凹入的方向.(√）13、不存在两条不同曲线,使得一条曲线的主法线都是另一曲线的主法线.（×)14、曲面上平点对应的杜邦指标线是一条直线。

（× )15、每一个可展曲面或是柱面，或是锥面，或是一条曲线的切线曲面。

（√）16、椭圆的曲率和挠率特征为k=1,τ=0。

(×)17、若曲线的所有切线都经过定点,则该曲线一定是直线。

(√ )18、球面曲线的主法线必过球心（×）19、曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件为L=N=0。

（×)20、曲面上的渐进网一定存在。

（×）21、在光滑曲线的正常点处，切线存在而且唯一.（√)22、圆的曲率、挠率特征是：k=常数，τ=0. (×）23、在曲面的非脐点处，有且仅有二个主方向。

（√）24、高斯曲率与第二基本形式有关，不是内蕴量. (×)25、曲面上连接两点的最短线一定是测地线。

(×)26、在空间曲线的非逗留点处,密切平面存在且唯一。

（√ )27、在曲面的非脐点处，有且仅有二个主方向。

微分几何期末复习题答案1. 曲面上的切向量和法向量的定义是什么？答：曲面上的切向量是与曲面在某点相切的向量，而法向量是垂直于该点切平面的向量。

2. 描述高斯曲率和平均曲率的计算方法。

答：高斯曲率是曲面上某点的主曲率的乘积，平均曲率是主曲率的平均值。

3. 什么是黎曼曲率张量？答：黎曼曲率张量是描述流形曲率的数学对象，它通过测量无穷小测地线之间的偏差来定义。

4. 请解释什么是测地线？答：测地线是在曲面或流形上两点间的最短路径，它是连接这两点的局部最小化曲线。

5. 什么是平行移动？答：平行移动是指在曲面或流形上沿着曲线移动一个向量，使得该向量在移动过程中保持不变。

6. 描述Christoffel符号的作用。

答：Christoffel符号用于描述在曲面或流形上如何沿着曲线平行移动向量，它们是黎曼几何中的基本组成部分。

7. 什么是度量张量？答：度量张量是一个对称张量，它定义了曲面或流形上两点间的距离和角度。

8. 请解释什么是联络形式？答：联络形式是描述在曲面或流形上如何平行移动向量的一种数学工具，它们与Christoffel符号紧密相关。

9. 什么是外微分？答：外微分是一种将微分几何中的函数或形式映射到更高阶形式的操作。

10. 描述Hodge星算子的作用。

答：Hodge星算子是一种将微分形式映射到其对偶形式的线性映射，它在微分几何和拓扑学中有着重要应用。

11. 什么是流形上的拉普拉斯-贝特拉米算子？答：拉普拉斯-贝特拉米算子是定义在流形上的一个微分算子，它推广了欧几里得空间中的拉普拉斯算子。

12. 请解释什么是特征类？答：特征类是拓扑不变量，它们通过将流形上的向量丛与某些代数结构联系起来，提供了关于流形拓扑性质的信息。

13. 描述什么是测地线曲率？答：测地线曲率是描述测地线如何偏离直线的量度，它是衡量流形曲率的一种方式。

14. 什么是全纯曲线？答：全纯曲线是复流形上的一类特殊曲线，它们在复坐标系下保持全纯性。

微分几何期末试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 曲线在点处的切线方程为，若，则该点处的曲率是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B2. 若函数在点处可微，则在该点处的切平面方程为（）。

A.B.C.D.答案：D3. 曲面在点处的法向量为，若，则该点处的高斯曲率是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C4. 给定曲线的参数方程为，则曲线在点处的曲率是（）。

A.B.C.D.答案：A5. 若函数在点处的梯度为，则在该点处的方向导数是（）。

A.B.C.D.答案：B6. 曲面在点处的主曲率分别为，则该点处的平均曲率是（）。

A.B.C.D.答案：A7. 给定曲线的参数方程为，则曲线在点处的挠率是（）。

A.B.C.D.答案：B8. 若函数在点处的Hessian矩阵为，则在该点处的二阶偏导数是（）。

A.B.C.D.答案：D9. 曲面在点处的切平面方程为，则该点处的法向量是（）。

A.B.C.D.答案：C10. 若函数在点处的Jacobi矩阵为，则在该点处的偏导数是（）。

A.B.C.D.答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 曲线在点处的挠率定义为______。

答案：曲线在点处的挠率定义为。

2. 若函数在点处的偏导数为0，则称该点为函数的______。

答案：临界点。

3. 曲面在点处的高斯曲率定义为______。

答案：曲面在点处的高斯曲率定义为。

4. 给定曲线的参数方程为，则曲线在点处的切向量为______。

答案：曲线在点处的切向量为。

5. 若函数在点处的梯度为，则在该点处的方向导数为______。

答案：函数在点处的方向导数为。

三、解答题（每题10分，共50分）1. 已知曲线的参数方程为，求曲线在点处的切线方程。

答案：首先求出曲线的导数，然后利用点斜式方程求得切线方程。

2. 已知函数在点处的梯度为，求在该点处沿向量方向的方向导数。

答案：首先求出向量的单位向量，然后利用方向导数的定义求得结果。

2020年上学期《微分几何》期末考试试卷课程名称:装泡二1.（单选题） 1.0 分） A.C.伏一1）4_1lx •答案：C. 解析：无.2E A. B. 102.（单选题）积分也4~7龙二（/T（本题L0分）（本题C.答案：A. 解析：无.W阳与g（M上二。

为必奇螭机ffl*，贴“为麟佗）姆）的（）。

窜=。

为画数丁的阴级极点，那么加=（）。

4.（单选题）Z Sm Z（本题1.0 分）A.5B.4C.3D.21Re^[z*07~\z] = （）&5.（单选题）（本题1. 0分）3.（单选题）1. 0 分）A.可去奇点B.本性奇点 C.m级极点D.小于m级的极点（本题B.6 c.D.答案：B.解析：无.C.3D.4答案：D.解析：无.21Re 更h cos —JX]=7.（单选题）N2一———3A.——z 3 D.答案：A. 解析：无.• ・~6.（单选题）函数簧在"1=2内的奇点个数为1.0分）A. 1B.2（本题（本题1. 0分）「工sin —a r 4fc幕级数（令”的收敛半径K =（8.（单选题）'1 株 2 '（本题1.0分)1. 18. 2+00 D.函数在z 处的泰勒展开式为（9.（单选题）21.0 分）£ LG 0—与东A.（本B.5=L2…),则血i4=(・I乂+4«+Dk(--选分Oli在典O于于于存111.等等等不10题A.B.CD.）。

（本题段阳在肌械H:R《-水对懈解开卷I ；q（z-z『,c加Yf醵确心一条正解单触缘舷£号心（卜11.（单选题）2%（本题L0分）2位j A.2mc.B.2 mc,C. .2 M4）12.（单选题）下列级数中，绝对收敛的级数为（）o （本题L0分）B.® 产y—Itl，2C.1答案：D.解析：无.满足不打目4 2的所有点速成的集合是（）. 13.（单选题）匕+ “（本题L0分） A .有界区域 B.无界区域 C .有界闭区域 D.无界闭区域设园=依虫1）=乎，则2等于（）。

《微分几何》结业考试试卷一、判断题：（正确打√，错误打×。

每题2分，共10分））1、等距变换一定是保角变换. （ ）2、空间曲线的形状由曲率与挠率唯一确定. （ ）3、二阶微分方程22A(,)2B(,)B(,)0u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲线. （ ） 4、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的. （ ）5、坐标曲线网是正交网的充要条件是0F =，这里F 是第一基本量. （ ）二、填空题：（每空3分，共33分）1、 已知33{cos ,sin ,cos 2}r x x x =，02x π<<，则α= ，β= ，γ= ，κ= ，τ= .2、已知曲面{c o s ,s i n ,6}r u v u v v =，0u >，02v π≤<，则它的第一基本形式为 ，第二基本形式为 ，高斯曲率K = ，平均曲率 H = ，点(1,0,0)处沿方向:2du dv =的法曲率 ，点(1,0,0)处的两个主曲率分别为 。

三、计算题（每小题12分，共24分） 1、求曲面33z x y =-的渐近曲线.2、已知曲面的第一基本形式为22()I v du dv =+，0v >，求坐标曲线的测地曲率.密线封层次报读学校专业姓名四、综合题：（每小题11分，共33分）1、设空间两条曲线Γ和C的曲率处处不为零，若曲线Γ和C可以建立一一对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线Γ和C在对应点的切线夹固定角.2、给出曲面上一条曲率线Γ，设Γ上每一点处的副法向量和曲面在该点的法向量成定角. 求证Γ是一条平面曲线.3、问曲面上曲线Γ的切向量沿曲线Γ本身平行移动的充要条件是曲面上的曲线Γ是测地线吗？为什么？《微分几何》参考答案一、判断题：1. √ 2. √ 3. ⨯ 4. ⨯ 5. √ 二、填空题：① 1{3cos ,3sin ,4}5x x -- ②{sin ,cos ,0}x x③1{4cos ,4sin ,3}5x x -- ④625sin 2x⑤825sin 2x⑥ 222(36)du u dv ++⑦du dv⑧2236(36)u -+ ⑨ 0⑩○11 66,3737- 三、计算题：1、求曲面33z x y =-的渐近曲线.解 设33{,,}r u v u v =-则 2{1,0,3}u r u =，2{0,1,3}v r v =-，2243,3,1}||9u v u v r r n u v r r u ⨯==-⨯{0,0,6}uu r u =，0uv r =，{0,0,6}vv r v =-uu L n r =⋅=0uv M n r =⋅=，vv N n r =⋅=（6分）因渐近曲线的微分方程为2220Ldu Mdu dv Ndv ++=即22udu vdv =0=∴ 渐近曲线为33221u v C =+或33222()u v C -=+ （12分）2、已知曲面的第一基本形式为22()I v du dv =+，0v >，求坐标曲线的测地 曲率.解 E G v ==，0F =，0u G =，1v E =（4分）u-线的测地曲率ug κ==（8分）v-线的测地曲率0vg κ== （12分）四、综合题：1. 设空间两条曲线Γ和C 的曲率处处不为零，若曲线Γ和C 可以建立一一 对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线Γ和C 在对应点的切线夹固定角.证 设 :()r r s Γ=，:()r r s **Γ=，则由//ββ*知ββ*=±，从而0αβ*⋅=，0αβ*⋅=，()0d ds ds dsαακβακαβ*****⋅=⋅+⋅= ∴ constant αα*⋅=，即 cos ,C α*=这表明曲线Γ和C 在对应点的切线夹固定角. （11分）2. 给出曲面上一条曲率线Γ，设Γ上每一点处的副法向量和曲面在该点的 法向量成定角. 求证Γ是一条平面曲线.证 设 :(,)r r u v ∑=，:(),()u u s v v s Γ==，其中s 是Γ的自然参数，记,r n θ=，则cos r n θ⋅=，两边求导，得d 0d nn rsτβ-⋅+=， （4分） 由Γ为曲率线知d //d n r ，即d d //d d n r s s α=， 因此d d 0d d n n rn r r s sτβκ⋅=⋅=-⋅= 。

《微分几何》复习资料1一判断题1. 曲面的结构方程指的是Gauss-Bonnet公式（）。

2. 任何曲面上的直线都是测地线（）。

3. 曲面的第一基本形式与参数的选取无关( )。

4. 圆柱面上的直线都是测地线（）。

5. 两曲面的第二基本形式不同则其Gauss 曲率不同( )。

6. 如果一个一一对应保持两张曲面间的任意曲线的长度不变，则称该对应为这两个曲面的等距变换（）。

7. 曲面的第一、二基本形式都与参数的选取无关( )。

8. 两曲面的第二基本形式与其主曲率没有关系( )。

9. 可以作为曲面的第一基本形式（）。

0. 曲面的协变微分是平面上普通微分的推广( )。

二计算题1. 求曲面上曲线的曲率、沿此曲线切方向曲面的法曲率、以及此曲线的测地曲率.2. 求二次曲面的法曲率。

3. 求曲线在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。

三问答题证明如果曲线的切线过定点，则该曲线一定是直线。

答案一判断题1-5 FTTTF 6-10 TFFFT二计算题1. 求曲面上曲线的曲率、沿此曲线切方向曲面的法曲率、以及此曲线的测地曲率.2. 求二次曲面的法曲率。

3. 求曲线在原点的密切平面、法平面、从切面、切线、主法线、副法线。

三问答题证明如果曲线的切线过定点，则该曲线一定是直线。

《微分几何》 复习资料2一、计算题1、在曲线x = cos αcost ，y = cos αsint ， z = tsin α的副法线的正向取单位长，求其端点组成的新曲线的密切平面。

2、已知曲线}2cos ,sin ,{cos 33t t t r =ρ，⑴求基本向量γβαρρρ,,；⑵曲率和挠率。

3、求出抛物面)(2122by ax z +=在(0，0)点沿方向(dx:dy)的法曲率。

4、求曲面(cos ,sin ,)r u u v =r上曲线u v =的曲率、沿此曲线切方向曲面的法曲率、以及此曲线的测地曲率. 二、证明题1、证明曲面234212(,2,)33r u v u uv u u v =+++r是可展曲面。