数与式探索规律题例析

探究数与式的规律1.观察算式，探究规律：当n=1时，S1=13=1=12；当n=2时，S2＝13+23＝9＝32；当n=3时，S3＝13+23+33＝36＝62；当n=4时，S4＝13+23+33+43＝100＝102；…那么S n与n的关系为（）A. 14n4+12n3 B. 14n4+12n2 C. 14n2（n+1）2 D. 12n（n+1）22.观察下列各式：1+11+12=1+11﹣12=1121+122+132=1+12﹣13=1161+132+142=1+13﹣14=1112请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：（1）1+142+152=________（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：________（3）利用上述规律计算：5049+164（仿照上式写出过程）3.请阅读下列材料：∵；；；…∴===解答下列问题：（1）在和式中，第5项为________，第n项为，上述求和的想法是：将和式中的各分数转化为两个数之差，使得首末两项外的中间各项可以________，从而达到求和目的．（2）利用上述结论计算：4.观察下列算式：①1×5+4=32，②2×6+4=42，③3×7+4=52，④4×8+4=62，…请你观察规律解决下列问题。

（1）填空：________ ×________+4=20152．（2）写出第n个式子（用含n的式子表示），并证明．5.观察下列各个等式的规律：第一个等式：22−12−12=1，第二个等式：32−22−12=2，第三个等式：42−32−12=3…请用上述等式反映出的规律解决下列问题：（1）直接写出第四个等式；（2）猜想第n个等式（用n的代数式表示），并证明你猜想的等式是正确的．6.观察下列等式：第一个等式：a1=21+3×2+2×2=12+1−12+1第二个等式：a2=221+3×2+2×(2)=12+1−12+1第三个等式：a3=231+3×23+2×(23)2=123+1−124+1第四个等式：a4=241+3×24+2×(24)2=124+1−125+1按上述规律，回答下列问题：（1）请写出第六个等式：a6=________=________；（2）用含n的代数式表示第n个等式：a n=________=________；（3）a1+a2+a3+a4+a5+a6=________（得出最简结果）；（4）计算：a1+a2+…+a n．7.认真阅读材料，然后回答问题：我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b）1=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3，…下面我们依次对（a+b）n展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题：（1）多项式（a+b）n的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数；（2）请你预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和．（3）结合上述材料，推断出多项式（a+b）n（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S，（结果用含字母n的代数式表示）．8. 观察下列等式：第1个等式：a1=11×4=13×(1−14) ；第2个等式：a2=14×7=13×(14−17) ；第3个等式：a3=17×10=13×(17−110) ；第4个等式：a4=110×13=13×(110−113) ；…请解答下列问题：（1）按以上规律列出第6个等式：a6=________=________.（2）用含有n 的代数式表示第n 个等式：an=________=________.( n为正整数)；（3）求a1+a2+a3+...+a100的值.9.有一列按一定顺序和规律排列的数：第一个数是11×2；第二个数是12×3；第三个数是13×4；…对任何正整数n，第n个数与第（n+1）个数的和等于2n×(n+2)．（1）经过探究，我们发现：11×2=11−1212×3=12−1313×4=13−14设这列数的第5个数为a，那么a>15−16，a=15−16，a<15−16，哪个正确？请你直接写出正确的结论；（2）请你观察第1个数、第2个数、第3个数，猜想这列数的第n个数（即用正整数n表示第n数），并且证明你的猜想满足“第n个数与第（n+1）个数的和等于2n×(n+2)”；（3）设M表示11，12，13，…，12016，这2016个数的和，即M=11+12+13+⋯…+12016，求证：20162017<M<40312016．10.观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：（1）认真观察，并在④后面的横线上写出相应的等式．（2）结合（1）观察下列点阵图，并在横线后面写出相应的等式．（3）通过猜想，写出（2）中与第n个点阵相对应的等式________．11.寻找公式，求代数式的值：从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下表：（1）当n个最小的连续偶数相加时，它们的和S与n之间有什么样的关系，用公式表示出来；（2）并按此规律计算：（a）2+4+6+…+300的值；（b）162+164+166+…+400的值．12. 阅读下列材料，并解决相关的问题．按照一定顺序排列着的一列数称为数列，排在第一位的数称为第1项，记为a1，依此类推，排在第n 位的数称为第n项，记为a n．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．如：数列1，2，4，8，…为等比数列，其中a1=1，公比为q=2．则：（1）等比数列3，6，12，…的公比q为________，第6项是________．（2）如果一个数列a1，a2，a3，a4，…是等比数列，且公比为q，那么根据定义可得到：a2 a1=q，a3a2=q，a4a3=q，… a na n−1=q．所以：a2=a1•q，a3=a2•q=（a1•q）•q=a1•q2，a4=a3•q=（a1•q2）•q=a1•q3，…由此可得：a n=________（用a1和q的代数式表示）．（3）对等比数列1，2，4，…，2n﹣1求和，可采用如下方法进行：设S=1+2+4+…+2n﹣1①，则2S=2+4+…+2n②，②﹣①得：S=2n﹣1利用上述方法计算：1+3+9+…+3n．13. 观察下列等式：= 2﹣1，第1个等式：a1=1+2= 3﹣2，第2个等式：a2=2+3=2﹣3，第3个等式：a3=3+2= 5﹣2，第4个等式：a4=2+5按上述规律，回答以下问题：（1）请写出第n个等式：a n=________；（2）a1+a2+a3+…+a n=________．14.观察下列算式，解答问题：1+3=4=221+3+5=9=321+3+5+7=16=421+3+5+7+9=25=52（1）请猜想1+3+5+7+…+49=________；（2）请猜想1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）=________；（3）请利用上题猜想结果，计算39+41+445+…+2015+2017的值（要有计算过程）15. 观察猜想：我国著名的数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非．”说明数形结合是一种重要的数学方法，许多重要的计算转化成图形后，非常巧妙而简单，观察图形：（1）图中A表示的数值是________；（2）根据你的观察，猜想：1 2+ 14+ 18+ 116+ 132=1﹣________=________；（3）你能猜想下列式子的值吗？① 12+ 14+ 18+ 116+ 132+ 164+ 1128+ 1256+ 1521；② 12+ 122+ 123+…+ 122014．16.一组连续奇数按如图方式排列，请你解决下列问题：（1）第7行最后一个数字是________，在第15行第4列的数字是________；（2）请用n的代数式表示第n行的第1个数字和最后一个数字；（3）现用一个正方形框去围出相邻两行中的4个数字（例如：第4行和第5行的15，17，23，25），请问能否在第50行和第51行中围出4个数字的和是10016？若能，请求出这4个数字；若不能，请说明理由.17. 如下数表是由从l开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．（1）表中第8行的最后一个数是________ ，它是自然数________ 的平方，第8行共有________ 个数；（2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是________ ，最后一个数是________ ，第n行共有________ 个数．18.如图，将正偶数按照图中所示的规律排列下去，若用有序实数对（a，b）表示第a行的第b个数．如（3，2）表示偶数10．（1）图中（8，4）的位置表示的数是，偶数42对应的有序实数对是________ ；（2）第n行的最后一个数用含n的代数式表示为________ ，并简要说明理由．答案解析部分一、单选题 1.【答案】C 【解析】【解答】∵3=2×32， 6=3×42， 10=4×52，∴S 1=（1×22)2，S 2=（2×32)2 ， S 3=（3×42)2 ， S 4=（4×52)2 ，… S n =（n (n +1)2)2=14n 2（n+1)2 ．故选C ．【分析】观察不难发现，底数是两个连续整数的乘积的一半，根据此规律写出即可．本题是对数字变化规律的考查，难度较大，对同学们的数字敏感程度要求较高，观察出底数的变化特点是解题的关键． 二、综合题 2.【答案】（1）1120（2） 1+1n 2+1n +1 2=1+1n n +1 （3）解：5049+165= 1+172+182=1156 【解析】【分析】（1）根据提供的信息，即可解答； （2）根据规律，写出等式； （3）根据（2）的规律，即可解答． 3.【答案】（1）解:；抵消为零；（2）原式= ……. .=【解析】【分析】本题为规律性试题，我们可以看到，每一项分母为相邻的两个奇数项相乘，每一项分母的后一个奇数与它后一项分母的前一个奇数相等，寻找规律计算即可．4.【答案】（1）2013；2017（2）解：第n个等式为：n（n+4）+4=（n+2）2；∵左边=n2+4n+4=（n+2）2=右边∴n（n+4）+4=（n+2）2成立．【解析】【解答】解：（1）由以上四个等式可以看出：每一个等式第一个因数等于序号数，第二个因数比第一个大4，等式右边的底数比第一个数大2；所以有：2013×2017+4=20152．答案为：2013，2017；【分析】（1）每一个等式第二个因数比第一个大4，然后都加4，等式右边的底数比第一个数大2；反之可由最后一数反推得到．（2）设第一个数是n，那么第二个因数即为（n+4），等式右边的底数则为（n+2），表示出等式即可．5.【答案】（1）解：由题目中式子的变化规律可得，第四个等式是：52−42−12=4（2）解：第n个等式是：(n+1)2−n2−12=n，理由如下：∵(n+1)2−n2−12= [(n+1)+n][(n+1)−n]−12= 2n+1−12= 2n2=n，∴第n个等式是：(n+1)2−n2−12=n【解析】【分析】（1）由题中给出的规律得出第四个式子；（2）由题中给出的规律得出第n个式子，根据平方差公式证明左边等式等于右边等式即可.6.【答案】（1）261+3×26+2×(26)2；126+1﹣127+1（2）2n1+3×2n+2×(2n)2；12n+1﹣12n+1+1（3）1443（4）解：原式= ﹣+ ﹣+…+ ﹣= ﹣=【解析】【解答】解：（1.）由题意知，a6= 261+3×2+2×(2)= 12+1﹣12+1，故答案为：261+3×2+2×(2)，1 26+1﹣127+1；（2.）a n= 2n1+3×2+2×(2)= 12n+1﹣12n+1+1，故答案为：2n1+3×2+2×(2)，12n+1﹣12n+1+1；（3.）原式= 12+1﹣12+1+ 12+1﹣12+1+ 12+1﹣12+1+ 12+1﹣12+1+ 12+1﹣12+1+ 12+1﹣12+1= 12+1﹣12+1= 1443，故答案为：1443；【分析】（1）根据已知4个等式可得；（2）根据已知等式得出答案；（3）利用所得等式的规律列出算式，然后两两相消，计算化简后的算式即可得；（4）根据已知等式规律，列项相消求解可得．7.【答案】（1）解：∵当n=1时，多项式（a+b）1的展开式是一次二项式，此时第三项的系数为：0= 1×02，当n=2时，多项式（a+b）2的展开式是二次三项式，此时第三项的系数为：1= 1×22，当n=3时，多项式（a+b）3的展开式是三次四项式，此时第三项的系数为：3= 3×22，当n=4时，多项式（a+b）4的展开式是四次五项式，此时第三项的系数为：6= 3×42，…∴多项式（a+b）n的展开式是一个n次n+1项式，第三项的系数为：n×(n−1)2（2）解：预测一下多项式（a+b）n展开式的各项系数之和为：2n（3）解：∵当n=1时，多项式（a+b）1展开式的各项系数之和为：1+1=2=21，当n=2时，多项式（a+b）2展开式的各项系数之和为：1+2+1=4=22，当n=3时，多项式（a+b）3展开式的各项系数之和为：1+3+3+1=8=23，当n=4时，多项式（a+b）4展开式的各项系数之和为：1+4+6+4+1=16=24，…∴多项式（a+b）n展开式的各项系数之和：S=2n【解析】【分析】由杨辉三角形的规律，得到多项式（a+b）n的展开式是一个n次n+1项式；由规律得到多项式（a+b）n展开式的各项系数之和；根据题意当n=1时，n=2时···，得到多项式（a+b）n展开式的各项系数之和.8.【答案】（1）116×19；13×（116-119）（2）13n-23n+1；13×（13n-2-13n+1）（3）解：原式=13×(1−14) +13×(14−17) +13×(17−110) +13×(110−113) +...+ 13×(1298−1301)= 13×(1−14+14−17+17−110+110−113+...+1298−1301)=13×(1−1301)=100301.【解析】【解答】解：（1）依题可得：a6=116×19=13×（116-119）.故答案为：116×19，13×（116-119）.（2）依题可得：a n=13n−23n+1=13×（13n−2-13n+1）故答案为：13n−23n+1，13×（13n−2-13n+1）.【分析】（1）根据题中式子的规律即可得出a6的等式. （2）根据题中式子的规律即可得出a n的等式.（3）根据（2）中规律裂开各项，相互抵消即可得出答案.9.【答案】（1）解：由题意知第5个数a= 15×6= 15﹣16（2）解：∵第n个数为1n(n+1)，第（n+1）个数为1(n+1)(n+2)，∴1n(n+1)+ 1(n+1)(n+2)= 1n+1（1n+ 1n+2）= 1n+1× n+2+nn(n+2)= 1n+1× 2(n+1)n(n+2)= 2n×(n+2)，即第n个数与第（n+1）个数的和等于2n×(n+2)（3）解：∵1﹣12= 11×2＜112=1，1 2−13= 12×3＜12＜11×2=1﹣12，1 3﹣14= 13×4＜13＜12×3= 12﹣13，…1 2015﹣12016= 12015×2016＜12015＜12014×2015= 12014﹣12016，1 2016﹣12017= 12016×2017＜120162＜12015×2016= 12015﹣12016，∴1﹣12017＜112+ 122+ 132+…+ 120152+ 120162＜2﹣12016，即20162017＜11+ 12+ 13+…+ 12015+ 12016＜40312016，∴20162017<M<40312016【解析】【分析】（1）由已知规律可得；（2）先根据已知规律写出第n、n+1个数，再根据分式的运算化简可得；（3）将每个分式根据1n ﹣1n+1= 1n n+1＜1n＜1n n−1= 1n n−1﹣1n，展开后再全部相加可得结论．本题主要考查分式的混合运算及数字的变化规律，根据已知规律1n n+1= 1n﹣1n+1得到1n﹣1n+1= 1n n+1＜1n2＜1n n−1= 1n−1﹣1n是解题的关键．10.【答案】（1）解：根据题中所给出的规律可知：1+2+3+4=(1+4)×42=10（2）解：由图示可知点的总数是5×5=25，所以10+15=52（3）n(n−1)2+n(n+1)2=n2【解析】【解答】解：（3）由（1）（2）可知n(n−1)2+n(n+1)2=n2．【分析】通过对一些特殊式子进行整理、变形、观察、比较，归纳出一般规律．11.【答案】（1）解：∵1个最小的连续偶数相加时，S=1×（1+1），2个最小的连续偶数相加时，S=2×（2+1），3个最小的连续偶数相加时，S=3×（3+1），…∴n个最小的连续偶数相加时，S=n（n+1）（2）解：（a）2+4+6+…+300=150×（150+1）=22650；（b）162+164+166+ (400)=（2+4+6+…+400）﹣（2+4+6+…+160），=200×201﹣80×81，=40200﹣6480，=33720【解析】【分析】（1）由表中的式子可得S与n之间的关系为：S=n（n+1）；（2）首先确定有几个加数，由上述可得规律：加数的个数为最后一个加数÷2，据此解答．12.【答案】（1）2；96（2）a n=a1•q n﹣1（3）解：设S=1+3+9+…+3n①，则3S=3+9+…+3n+1②，②﹣①得：2S=3n+1﹣1S= 3n+1−12【解析】【解答】解：（1）q= 63=2，第6项是3×25=96；（2）归纳总结得：a n=a1•q n﹣1；【分析】（1）根据题意得到 q=2，第6项是25=96；（2）归纳总结得到a n=a1•q n﹣1；（3）根据等式的性质，得到所求的值.13.【答案】（1）n+n+1= n+1−n（2）n+1−1【解析】【解答】解：（1）∵第1个等式：a1=1+2= 2﹣1，第2个等式：a2=2+3= 3﹣2，第3个等式：a3=3+2=2﹣3，第4个等式：a4=2+5= 5﹣2，∴第n个等式：a n=n+n+1= n+1−n；（2）a1+a2+a3+…+a n=（2﹣1）+（3﹣2）+（2﹣3）+（5﹣2）+…+（n+1−n）= n+1﹣1．故答案为n+n+1= n+1−n；n+1﹣1．【分析】（1）根据题意可知，a1=1+2= 2﹣1，a2=2+3= 3﹣2，a3=3+2=2﹣3，a4=2+5= 5﹣2，…由此得出第n个等式：a n=n+n+1= n+1−n；（2）将每一个等式化简即可求得答案．此题考查数字的变化规律以及分母有理化，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．14.【答案】（1）625（2）（n+1）2（3）解：39+41+445+…+2015+2017=（1+3+...2017）﹣（1+3+ (37)=10092﹣192=1017720【解析】【解答】1、解：由1+3=4=221+3+5=9=321+3+5+7=16=421+3+5+7+9=25=52…依此类推：第n个图案所代表的算式为：1+3+5+…+（2n﹣1）=n2；⑴当n=25时分别为：1+3+5+7+…+49=625；故答案为：625；⑵由⑴可知：1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+（2n+1）=1+3+5+7+9+…+（2n﹣1）+[2（n+1）﹣1]=（n+1）2．故答案为：（n+1）2．【分析】观察数据规律，可知等式左边为n个连续奇数的和，等号右边为奇数个数的平方（即n2）。

专题02律探索题（数式规律、图形规律、与函数有关规律）类型一数式规律1.（2021·湖北鄂州市·中考真题）已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a =-，3211a a =-，4311a a =-，5411a a =-，……，111n n a a -=-．按上述方法计算：当13a =时，2021a 的值等于（ ）A ．23-B ．13C ．12-D ．23【答案】D【分析】当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=××××××，会发现呈周期性出现，即可得到2021a 的值．【详解】解：当13a =时，计算出23421,,3,32a a a ==-=××××××，会发现是以：213,,32-，循环出现的规律，202136732=´+Q ，2021223a a \==，故选：D ．【点睛】本题考查了实数运算规律的问题，解题的关键是：通过条件，先计算出部分数的值，从中找到相应的规律，利用其规律来解答．2.（2021·湖北随州市·中考真题）根据图中数字的规律，若第n 个图中的143q =，则p 的值为（ ）A ．100B ．121C ．144D ．169【答案】B【分析】分别分析n 的规律、p 的规律、q 的规律，再找n 、p 、q 之间的联系即可．【详解】解：根据图中数据可知：1,2,3,4n =，……22221,2,3,4,p =……222221,31,41,51,q =----……则2p n =，2(1)1q n =+-，∵第n 个图中的143q =，∴2(1)1=143q n =+-，解得：11n =或13n =-(不符合题意，舍去)∴2=121p n =，故选：B ．【点睛】本题主要考查数字之间规律问题，将题中数据分组讨论是解决本题的关键．3.（2021·山东济宁市·中考真题）按规律排列的一组数据：12，35，□，717，926，1137，…，其中□内应填的数是（ ）A ．23B ．511C ．59D ．12【答案】D【分析】分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，根据规律即可得到答案．观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，\第n 个数据为：2211n n -+当3n =时W 的分子为5，分母为23110+=\这个数为51102=故选：D ．【点睛】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键．4.（2021·湖北十堰市·）将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（ ）A ．2025B ．2023C ．2021D ．2019【答案】B【分析】根据数字的变化关系发现规律第n 行，第n 列的数据为：2n(n-1)+1，即可得第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的数据，即可．【详解】解：观察数字的变化，发现规律：第n 行，第n 列的数据为：2n(n-1)+1，∴第32行，第32列的数据为：2×32×(32-1)+1=1985，根据数据的排列规律，第偶数行从右往左的数据一次增加2，∴第32行，第13列的数据为：1985+2×(32-13)=2023，故选：B ．【点睛】本题考查了数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找探究规律，利用规律解决5.（2020•天水）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是（ ）A．2S2﹣S B．2S2+S C．2S2﹣2S D．2S2﹣2S﹣2【分析】根据已知条件和2100＝S，将按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102， (2199)2200，求和，即可用含S的式子表示这组数据的和．【解析】∵2100＝S，∴2100+2101+2102+…+2199+2200＝S+2S+22S+…+299S+2100S＝S（1+2+22+…+299+2100）＝S（1+2100﹣2+2100）＝S（2S﹣1）＝2S2﹣S．故选：A．6.（2020•娄底）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x的值为（ ）A．135B．153C．170D．189【分析】分析前三个正方形可知，规律为左上方的数等于序号数，左下方的数比左上方数大1，右上方数是左下方数的2倍，右下方数为左下方数的平方数的2倍加上序号数，由此解决问题．【解析】根据规律可得，2b＝18，∴b＝9，∴a＝b﹣1＝8，∴x＝2b2+a＝162+8＝170，故选：C．7.（2021·湖北黄冈市·这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的0.618法就应用了黄金分割数．设a =，b =1ab =，记11111S a b =+++，2221111S a b =+++，…，1010101111S a b =+++．则1210S S S +++=L ____．【答案】10【分析】先根据1ab =求出1111n n nS a b =+++（n 为正整数）的值，从而可得1210,,,S S S L 的值，再求和即可得．【详解】解：1ab =Q ，111111()1nn n n n n n a S a b a a b \=+=+++++（n 为正整数），11()nn n na a a ab =+++，111nn n a a a =+++，1=，12101S S S ===\=L ，则121010S S S +++=L ，故答案为：10．【点睛】本题考查了二次根式的运算、分式的运算，正确发现一般规律是解题关键．8.（2021·湖南怀化市·中考真题）观察等式：232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-，……，已知按一定规律排列的一组数：1002，1012，1022，……，1992，若1002=m ，用含m 的代数式表示这组数的和是___________．【答案】100(21)m-【分析】根据规律将1002，1012，1022，……，1992用含m 的代数式表示，再计算0199222+++L 的和，即可计算1001011011992222++++L 的和．【详解】由题意规律可得：2399100222222++++=-L ．∵1002=m∴23991000222222=2m m +++++==L ，∵22991001012222222+++++=-L ，∴10123991002222222=++++++L 12=2m m m m =+=．102239910010122222222+=++++++L 224=2m m m m m =++=．1032399100101102222222222=++++++++L 3248=2m m m m m m =+++=．……∴1999922m =．故10010110110199992222222m m m ++++=+++L L ．令012992222S ++++=L ①12310022222S ++++=L ②②-①，得10021S-=∴10010110110199992222222m m m ++++=+++L L =100(21)m-故答案为：100(21)m -．【点睛】本题考查规律问题，用含有字母的式子表示数、灵活计算数列的和是解题的关键．9.（2022·湖南怀化）正偶数2，4，6，8，10，……，按如下规律排列，24 68 10 1214 16 18 20……则第27行的第21个数是______．【答案】744【分析】由图可以看出，每行数字的个数与行数是一致的，即第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数•第n 行有n 个数，则前n 行共有(1)2n n +个数，再根据偶数的特征确定第几行第几个数是几．【详解】解：由图可知，第一行有1个数，第二行有2个数，第三行有3个数，•第n 行有n 个数．∴前n 行共有1+2+3+⋯+n=(1)2n n +个数．∴前26行共有351个数，∴第27行第21个数是所有数中的第372个数．∵这些数都是正偶数，∴第372个数为372×2=744．故答案为：744．【点睛】本题考查了数字类的规律问题，解决这类问题的关键是先根据题目的已知条件找出其中的规律，再结合其他已知条件求解．10.（2021·四川眉山市·中考真题）观察下列等式：1311212x ===+´；2711623x ===+´；313111234x ===+´；……根据以上规律，计算12320202021x x x x ++++-=L ______．【答案】12016-【分析】根据题意，找到第n 1与1n(n 1)+的和；利用这个结论得到原式＝112+116+1112+…+1120202021´﹣2021，然后把12化为1﹣12，16化为12﹣13，120152016´化为12015﹣12016，再进行分数的加减运算即可．【详解】11(1)n n =++，20201120202021x =+´12320202021x x x x ++++-L ＝112+116+1112+…+1120202021´﹣2021＝2020+1﹣12+12﹣13+…+12015﹣12016﹣2021＝2020+1﹣12016﹣2021＝12016-．故答案为：12016-．【点睛】本题考查了二次根式的化简和找规律，解题关键是根据算式找的规律，根据数字的特征进行简便运算．11.（2022·安徽）观察以下等式：第1个等式：()()()22221122122´+=´+-´，第2个等式：()()()22222134134´+=´+-´，第3个等式：()()()22223146146´+=´+-´，第4个等式：()()()22224158158´+=´+-´，……按照以上规律．解决下列问题：(1)写出第5个等式：________；(2)写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示），并证明．【答案】(1)()()()2222516101610´+=´+-´(2)()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+×+-+×，证明见解析【分析】（1）观察第1至第4个等式中相同位置的数的变化规律即可解答；（2）观察相同位置的数变化规律可以得出第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+×+-+×，利用完全平方公式和平方差公式对等式左右两边变形即可证明．(1)解：观察第1至第4个等式中相同位置数的变化规律，可知第5个等式为：()()()2222516101610´+=´+-´，故答案为：()()()2222516101610´+=´+-´；(2)解：第n 个等式为()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+×+-+×，证明如下：等式左边：()2221441n n n +=++，等式右边：[][]22(1)21(1)2n n n n +×+-+×[][](1)21(1)2(1)21(1)2n n n n n n n n =+×+++××+×+-+×[](1)411n n =+×+´2441n n =++，故等式()[][]22221(1)21(1)2n n n n n +=+×+-+×成立．【点睛】本题考查整式规律探索，发现所给数据的规律并熟练运用完全平方公式和平方差公式是解题的关键．12.（2022·浙江嘉兴）设5a 是一个两位数，其中a 是十位上的数字（1≤a ≤9）．例如，当a ＝4时，5a 表示的两位数是45．(1)尝试：①当a ＝1时，152＝225＝1×2×100＋25；②当a ＝2时，252＝625＝2×3×100＋25；③当a ＝3时，352＝1225＝ ；……(2)归纳：5a 与100a(a ＋1)＋25有怎样的大小关系？试说明理由．(3)运用：若5a 与100a 的差为2525，求a 的值．【答案】(1)③34100+25´´；(2)相等，证明见解析；(3)5a =【分析】（1）③仔细观察①②的提示，再用含有相同规律的代数式表示即可；（2）由()222510510010025,a a a a =+=++再计算100a(a ＋1)＋25，从而可得答案；（3）由25a 与100a 的差为2525，列方程，整理可得225,a =再利用平方根的含义解方程即可．(1)解：①当a ＝1时，152＝225＝1×2×100＋25；②当a ＝2时，252＝625＝2×3×100＋25；③当a ＝3时，352＝1225＝34100+25´´；(2)解：相等，理由如下：Q ()222510510010025,a a a a =+=++100a(a ＋1)＋25=210010025,a a ++()5100125.a a a \=++(3)Q 25a 与100a 的差为2525，2100100251002525,a a a \++-=整理得：21002500,a = 即225,a = 解得：5,a =± Q 1≤a ≤9， 5.a \=【点睛】本题考查的是数字的规律探究，完全平方公式的应用，单项式乘以多项式，利用平方根的含义解方程，理解题意，列出运算式或方程是解本题的关键．13.（2021·贵州铜仁市·中考真题）观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________．【答案】12n n +【分析】根据已知可得出规律：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+…即可得出结果．【详解】解：根据题意可知：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+，第四项：41144162=+，…则第n 项是12n n +；故答案为：12n n +．【点睛】此题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键．14.（2022·0.618≈这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设a =b =11111S a b =+++，2222211S a b=+++，…，10010010010010011S a b =+++，则12100S S S +++=L _______．【答案】5050【分析】利用分式的加减法则分别可求S 1=1，S =2，S =100，•，利用规律求解即可．【详解】解：Q a =b =1ab ==\，1112211112a b a b a b b b a b S a a ++++=+===+++++++Q ，222222222222222222221112a b a b S a b a b a b a b ++++=+=´=´=+++++++，…，10101001001001010101010010011100100111a b S a b a b a b+++=+=´=+++++\12100S S S +++=L 121005050++¼¼+=故答案为：5050【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得1ab =，找出的规律是本题的关键．15.（2021·江西中考真题）下表在我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》中提到过，因而人们把这个表叫做杨辉三角，请你根据杨辉三角的规律补全下表第四行空缺的数字是______．【答案】3【分析】通过观察每一个数字等于它上方相邻两数之和．【详解】解：通过观察杨辉三角发现每一个数字等于它上方相邻两数之和的规律，例如：第3行中的2，等于它上方两个相邻的数1，1相加，即：211=+；第4行中的3，等于它上方两个相邻的数2，1相加，即：321=+；××××××由此规律：故空缺数等于它上方两个相邻的数1，2相加，即空缺数为：3，故答案是：3．【点睛】本题考查了杨辉三角数的规律，解题的关键是：通过观察找到数与数之间的关系，从来解决问题．16.（2022·山东泰安）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：若有序数对(),n m 表示第n 行，从左到右第m 个数，如()3,2表示6，则表示99的有序数对是_______．【答案】()10,18【分析】分析每一行的第一个数字的规律，得出第n 行的第一个数字为211n +-（），从而求得最终的答案．【详解】第1行的第一个数字：()2111=+-1 第2行的第一个数字：()22121=+- 第3行的第一个数字：()25131=+- 第4行的第一个数字：()210141=+-第5行的第一个数字：()217151=+- …..，设第n 行的第一个数字为x ，得()211x n =+- 设第1n +行的第一个数字为z ，得21z n =+设第n 行，从左到右第m 个数为y当99y =时221(1)991n n +-£<+∴22(1)98n n -£<∵n 为整数∴10n =∴21182x n =+-=（）∴9982118m =-+=故答案为：()10,18．【点睛】本题考查数字规律的性质，解题的关键是熟练掌握数字规律的相关性质．17.（2022·浙江舟山）观察下面的等式：111236=+，1113412=+，1114520=+，……(1)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n 的等式表示，n 为正整数）(2)请运用分式的有关知识，推理说明这个结论是正确的．【答案】(1)1111(1)n n n n =+++(2)见解析【分析】（1）根据所给式子发现规律，第一个式子的左边分母为2，第二个式子的左边分母为3，第三个式子的左边分母为4，…；右边第一个分数的分母为3，4，5，…，另一个分数的分母为前面两个分母的乘积；所有的分子均为1；所以第（n+1）个式子为1111(1)n n n n =+++．（2）由（1）的规律发现第（n+1）个式子为1111(1)n n n n =+++，用分式的加法计算式子右边即可证明．(1)解：∵第一个式子()1111123621221=+=+++，第二个式子()11111341231331=+=+++，第三个式子()11111452041441=+=+++，……∴第（n+1）个式子1111(1)n n n n =+++；(2)解：∵右边=111111(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n n n ++=+==+++++=左边，∴1111(1)n n n n =+++．【点睛】此题考查数字的变化规律，分式加法运算，解题关键是通过观察，分析、归纳发现其中各分母的变化规律．类型二图形规律18.（2022·江西）将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】B 【分析】列举每个图形中H 的个数，找到规律即可得出答案．【详解】解：第1个图中H 的个数为4，第2个图中H 的个数为4+2，第3个图中H 的个数为4+2×2，第4个图中H 的个数为4+2×3=10，故选：B ．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H 的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H 是解题的关键．19.（2022·重庆）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（ ）A ．15B ．13C ．11D ．9【答案】C 【分析】根据第①个图案中菱形的个数：1；第②个图案中菱形的个数：123+=；第③个图案中菱形的个数：1225+´=；…第n 个图案中菱形的个数：()121n +-，算出第⑥个图案中菱形个数即可．【详解】解：∵第①个图案中菱形的个数：1；第②个图案中菱形的个数：123+=；第③个图案中菱形的个数：1225+´=；…第n 个图案中菱形的个数：()121n +-，∴则第⑥个图案中菱形的个数为：()126111+´-=，故C 正确．故选：C ．【点睛】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．20.（2022·重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ）A ．32B ．34C ．37D ．41【答案】C 【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n 个图形的算式，然后再解答即可．【详解】解：第1个图中有5个正方形；第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；．．．第n 个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．故选：C ．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．21.（2020•德州）如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（ ）A ．148B ．152C ．174D ．202【分析】观察各图可知，后一个图案比前一个图案多2（n+3）枚棋子，然后写成第n 个图案的通式，再取n ＝10进行计算即可求解．【解析】根据图形，第1个图案有12枚棋子，第2个图案有22枚棋子，第3个图案有34枚棋子，…第n 个图案有2（1+2+…+n+2）+2（n ﹣1）＝n 2+7n+4枚棋子，故第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为102+7×10+4＝100+70+4＝174（枚）．故选：C ．22.（2021·广西玉林市·中考真题）观察下列树枝分杈的规律图，若第n 个图树枝数用n Y 表示，则94Y Y -=（ ）A ．4152´B ．4312´C ．4332´D ．4632´【答案】B【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律21nn Y =-，代入规律求解即可．【详解】解：由图可得到：11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==-M则：9921Y =-，∴944942121312Y Y -=--+=´，故答案选：B ．【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答23.（2020•重庆）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（ ）A ．10B ．15C ．18D ．21【分析】根据前三个图案中黑色三角形的个数得出第n个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+……+n，据此可得第⑤个图案中黑色三角形的个数．【解析】∵第①个图案中黑色三角形的个数为1，第②个图案中黑色三角形的个数3＝1+2，第③个图案中黑色三角形的个数6＝1+2+3，……∴第⑤个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5＝15，故选：B．24.（2021·黑龙江大庆市·中考真题）如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点【答案】190【分析】根据题目中的交点个数，找出n条直线相交最多有的交点个数公式：1(1) 2n n-．【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1123322+==´´个交点；4条直线相交最多有11236432++==´´个交点；5条直线相交最多有1123410542+++==´´个交点；¼20条直线相交最多有120191902´´=．故答案为：190．【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n条直线相交最多有1(1)2n n -．25.（2022·山东泰安）观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n 的值为____________．【答案】不存在【分析】首先根据n=1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n 个图形中“•”的个数是3n ；然后根据n=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n 个“○”的个数是()12n n +；最后根据图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n 的值是多少即可．【详解】解：∵n=1时，“•”的个数是3=3×1；n=2时，“•”的个数是6=3×2；n=3时，“•”的个数是9=3×3；n=4时，“•”的个数是12=3×4；……∴第n 个图形中“•”的个数是3n ；又∵n=1时，“○”的个数是1=1(11)2´+；n=2时，“○”的个数是2(21)32´+=，n=3时，“○”的个数是3(31)62´+=，n=4时，“○”的个数是4(41)102´+=，……∴第n 个“○”的个数是()12n n +，由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022()1320222n n n +\-=①，()1320222n n n +-=②解①得：无解解②得：12n n==故答案为：不存在【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．26.（2022·四川遂宁）“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名．假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为______．【答案】127【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数．【详解】解：∵第一代勾股树中正方形有1+2=3（个），第二代勾股树中正方形有1+2+22=7（个），第三代勾股树中正方形有1+2+22+23=15（个），.....．∴第六代勾股树中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（个），故答案为：127．【点睛】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律．27.（2022·四川德阳）古希腊的毕达哥拉斯学派对整数进行了深入的研究，尤其注意形与数的关系，“多边形数”也称为“形数”，就是形与数的结合物．用点排成的图形如下：其中：图①的点数叫做三角形数，从上至下第一个三角形数是1，第二个三角形数是123+=，第三个三角形数是1236++=，……图②的点数叫做正方形数，从上至下第一个正方形数是1，第二个正方形数是134+=，第三个正方形数是1359++=，……由此类推，图④中第五个正六边形数是______．【答案】45【分析】根据题意找到图形规律，即可求解．【详解】根据图形，规律如下表：三角形3正方形4五边形5六边形6LM 边形m11111L121+21+211+2111+2111L1+21(3)1m üï-ýïþM 31+2+31+2+31+21+2+31+21+21+2+31+21+21+2L1+2+312(3)12m +üï-ýï+þM 41+2+3+41+2+3+41+2+31+2+3+41+2+31+2+31+2+3+41+2+31+2+31+2+3L1+2+3+4123(3)123m ++üï-ýï++þM MM M M M M Mn12n+++L 12n+++L 12(1)n +++-L 12n+++L 12(1)n +++-L 12(1)n +++-L 12n+++L 12(1)n +++-L 12(1)n +++-L 12(1)n +++-L L12n+++L 12(1)(3)12(1)n m n +++-üï-ýï+++-þL M L 由上表可知第n 个M 边形数为：12)[12(1)]()(3S n n m +++++++-=-L L ，整理得：1)(1)(3)2(2n n n n m S --+=+，则有第5个正六边形中，n=5，m=6，代入可得：((1)(1)(3)15)55(51)(63)452222nn n S n m +--+--+=+==，故答案为：45．【点睛】本题考查了整式--图形类规律探索，理解题意是解答本题的关键28.（2021·湖南常德市·中考真题）如图中的三个图形都是边长为1的小正方形组成的网格，其中第一个图形有11´个正方形，所有线段的和为4，第二个图形有22´个小正方形，所有线段的和为12，第三个图形有33´个小正方形，所有线段的和为24，按此规律，则第n 个网格所有线段的和为____________．(用含n 的代数式表示)【答案】2n 2+2n 【分析】本题要通过第1、2、3和4个图案找出普遍规律，进而得出第n 个图案的规律为S n =4n+2n×(n-1)，得出结论即可．【详解】解：观察图形可知：第1个图案由1个小正方形组成，共用的木条根数141221,S =´=´´ 第2个图案由4个小正方形组成，共用的木条根数262232,S =´=´´ 第3个图案由9个小正方形组成，共用的木条根数383243,S =´=´´第4个图案由16个小正方形组成，共用的木条根数4104254,S =´=´´…由此发现规律是：第n 个图案由n 2个小正方形组成，共用的木条根数()22122,n S n n n n =+=+g故答案为：2n 2+2n ．【点睛】本题考查了规律型-图形的变化类，熟练找出前四个图形的规律是解题的关键．29.（2021·黑龙江绥化市·中考真题）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…，依此规律，则第n 个图形中三角形个数是_______．【答案】21n n +-【分析】此题只需分成上下两部分即可找到其中规律，上方的规律为(n-1)，下方规律为n 2，结合两部分即可得出答案．【详解】解：将题意中图形分为上下两部分，则上半部规律为：0、1、2、3、4……n-1，下半部规律为：12、22、32、42……n 2，∴上下两部分统一规律为：21n n +-．故答案为：21n n +-．【点睛】本题主要考查的图形的变化规律，解题的关键是将图形分为上下两部分分别研究．30.（2021·辽宁锦州·中考真题）如图，∠MON ＝30°，点A 1在射线OM 上，过点A 1作A 1B 1⊥OM 交射线ON 于点B 1，将△A 1OB 1沿A 1B 1折叠得到△A 1A 2B 1，点A 2落在射线OM 上；过点A 2作A 2B 2⊥OM 交射线ON 于点B 2，将△A 2OB 2沿A 2B 2折叠得到△A 2A 3B 2，点A 2落在射线OM 上；…按此作法进行下去，在∠MON 内部作射线OH ，分别与A 1B 1，A 2B 2，A 3B 3，…，A n B n 交于点P 1，P 2，P 3，…P n ，又分别与A 2B 1，A 3B 2，A 4B 3，…，A n ＋1B n ，交于点Q 1，Q 2，Q 3，…，Q n ．若点P 1为线段A 1B 1的中点，OA 1A n P n Q n A n ＋1的面积为___________________（用含有n 的式子表示）．【分析】先证明△OA 1P 1∽△OA 2P 2，△OP 1B 1∽△OP 2B 2，又点P 1为线段A 1B 1的中点，从而可得P 2为线段A 2B 2的中点，同理可证P 3、P 4、P n 依次为线段A 3B 3、A 4B 4、⋯A n B n 的中点．结合相似三角形的性质可得△P 1B 1Q 1的P 1B 1上的高与△P 2A 2O 1的A 2P 2上的高之比为1∶2，所以△P 1B 1Q 1的P 1B 1上的高为1213A A ，同理可得△P 2B 2Q 2的P 2B 2上的高为2313A A ⋯，从而1121PQ A A S 四边形＝112A B A S D ﹣111P B Q S D ，以此类推来求2232P Q A A S 四边形，从而找到四边形P An nQnAn S 的面积规律．【解析】解：由折叠可知，OA 1＝A 1A 2由题意得：A 1B 1//A 2B 2，∴△OA 1P 1∽△OA 2P 2，△OP 1B 1∽△OP 2B 2，∴111222A P OA A P OA =＝12OP OP ＝1122PB P B= 12，又∵点P 1为线段A 1B 1的中点，∴A 1P 1＝P 1B 1，∴A 2P 2＝P 2B 2，则点P 2为线段A 2B 2的中点，同理可证，P 3、P 4、⋯P n 依次为线段A 3B 3、A 4B 4、⋯A n B n 的中点．∵A 1B 1//A 2B 2，∴△P 1B 1Q 1∽△P 2A 2O 1，∴1122PB P A ＝1122A P P A ＝12，则△P 1B 1Q 1的P 1B 1上的高与△P 2A 2O 1的A 2P 2上的高之比为1∶2，∴△P 1B 1Q 1的P 1B 1上的高为1213A A ，同理可得△P 2B 2Q 2的P 2B 2上的高为2313A A ，LL ，由折叠可知A 2A 3＝A 3A 4＝∵∠MON ＝30°，∴A 1B 1＝tan30°×OA 1＝1，∴A 2B 2＝2，A 3B 3＝4，LL ，∴1121PQ A A S 四边形＝112A B A S D ﹣111P B Q S D ＝121112A A A B ×﹣11121123A P A A ×＝1111222-´同理，2232P Q A A S 四边形＝223A B A S D ﹣222P B Q S D ＝232212A A A B ×﹣22231123A P A A ×＝11121223´-´´´LL1n n n n A P Q A S +四边形＝1nnn A B A S +D ﹣n n nP B Q S D＝1111212222223n n n n ----´-´´´．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，锐角三角函数等知识，解决本题的关键在根据图形的变化找到规律．类型三与函数有关规律31.（2021·四川德阳·中考真题）如图，边长为1的正六边形ABCDEF 放置于平面直角坐标系中，边AB 在x 轴正半轴上，顶点F 在y 轴正半轴上，将正六边形ABCDEF 绕坐标原点O 顺时针旋转，每次旋转60°，那么经过第2025次旋转后，顶点D 的坐标为（ ）A ．（32-，B ．（32，）C ．（D ．（32-，32-）【答案】A 【分析】如图，连接AD ，BD ．首先确定点D 的坐标，再根据6次一个循环，由202563373¸=×××，推出经过第2025次旋转后，顶点D 的坐标与第三次旋转得到的3D 的坐标相同，由此即可解决问题．【详解】解：如图，连接AD ，BD ．在正六边形ABCDEF 中，1AB =，2AD =，90ABD Ð=°，BD \在Rt AOF D 中，1AF =，60OAF Ð=°，30OFA \Ð=°，1122OA AF \==，32OB OA AB \=+=，3(2D \，Q 将正六边形ABCDEF 绕坐标原点O 顺时针旋转，每次旋转60°，6\次一个循环，202563373¸=×××Q ，\经过第2025次旋转后，顶点D 的坐标与第三次旋转得到的3D 的坐标相同，D Q 与3D 关于原点对称，33(2D \-，，\经过第2025次旋转后，顶点D 的坐标3(2-，，故选：A ．【点睛】本题考查正多边形与圆，规律型问题，坐标与图形变化-旋转等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．32.（2020•荆门）在平面直角坐标系xOy 中，Rt △AOB 的直角顶点B 在y 轴上，点A 的坐标为（1，将Rt △AOB 沿直线y ＝﹣x 翻折，得到Rt △A'OB'，过A'作A'C 垂直于OA'交y 轴于点C ，则点C 的坐标为（ ）A．（0，﹣B．（0，﹣3）C．（0，﹣4）D．（0，﹣【分析】依据轴对称的性质可得OB'＝OB=A′B′＝AB＝1，OA′＝OA＝2，进而通过证得△A′OB′∽△COA′，求得OC＝4，即可证得C的坐标为（0，﹣4）．【解析】∵点A的坐标为（1，∴AB＝1，OB=∴OA==2，∵将Rt△AOB沿直线y＝﹣x翻折，得到Rt△A'OB'，∴OB'＝OB A′B′＝AB＝1，OA′＝OA＝2，∴A'（1），∵过A'作A'C垂直于OA'交y轴于点C，∴∠A′OC+∠A′CO＝90°，∵∠A′OB′+∠A′OC＝90°，∴∠A′CO＝∠A′OB′，∵∠A′B′O＝∠OA′C＝90°，∴△A′OB′∽△COA′，∴OCOA′=OA′A′B′，即OC2=21，∴OC＝4，∴C（0，﹣4），故选：C．33.（2020•鄂州）如图，点A1，A2，A3…在反比例函数y=1x（x＞0）的图象上，点B1，B2，B 3，…Bn在y轴上，且∠B1OA1＝∠B2B1A2＝∠B3B2A3＝…，直线y＝x与双曲线y=1x交于点A1，B 1A1⊥OA1，B2A2⊥B1A2，B3A3⊥B2A3…，则Bn（n为正整数）的坐标是（ ）A．（0）B．（0C ．（0D ．（0，【分析】由题意，△OA 1B 1，△B 1A 2B 2，△B 2A 3B 3，…，都是等腰直角三角形，想办法求出OB 1，OB 2，OB 3，OB 4，…，探究规律，利用规律解决问题即可得出结论．【解析】由题意，△OA 1B 1，△B 1A 2B 2，△B 2A 3B 3，…，都是等腰直角三角形，∵A 1（1，1），∴OB 1＝2，设A 2（m ，2+m ），则有m （2+m ）＝1，解得m =1，∴OB 2＝设A 3（a ，+n ），则有n ＝a （+a ）＝1，解得a =∴OB 3＝同法可得，OB 4＝∴OB n ＝∴B n （0，．故选：D ．34.（2021·贵州毕节市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点()11,1N 在直线:l y x =上，过点1N 作11N M l ^，交x 轴于点1M ；过点1M 作12M N x ^轴，交直线l 于点2N ；过点2N 作22N M l ^，交x 轴于点2M ；过点2M 作23M N x ^轴，交直线l 于点3N ；…；按此作法进行下去，则点2021M 的坐标为_____________．【答案】（20212，0）.【分析】根据题目所给的解析式，求出对应的1M 坐标，然后根据规律求出n M 的坐标，最后根据题目要求求出最后答案即可.【详解】解：如图，过点N 作NM ⊥x 轴于M 将1x =代入直线解析式y x =中得1y =∴1OM MN ==，MON Ð=45°∵1ONM =∠90°∴1ON NM =∵1ON NM ⊥∴11OM MM ==∴1M 的坐标为（2，0）同理可以求出2M 的坐标为（4，0）同理可以求出3M 的坐标为（8，0）同理可以求出n M 的坐标为（2n ，0）∴2021M 的坐标为（20212，0）故答案为：（20212，0）.【点睛】本题主要考查了直线与坐标轴之间的关系，解题的关键在于能够发现规律.35.（2020•齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形①沿x 轴正半轴滚动并且按一定规律变换，每次变换后得到的图形仍是等腰直角三角形．第一次滚动后点A 1（0，2）变换到点A 2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滚动后点A 2变换到点A 3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滚动后点A 3变换到点A 4（10，，得到等腰直角三角形④；第四次滚动后点A 4变换到点A 5（0），得到等腰直角三角形⑤；依此规律…，则第2020个等腰直角三角形的面积是 ．【分析】根据A 1（0，2）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形①）的面积，根据A 2（6，0）确定第1个等腰直角三角形（即等腰直角三角形②）的面积，…，同理，确定规律可得结论．【解析】∵点A 1（0，2），∴第1个等腰直角三角形的面积=12×2×2=2，∵A 2（6，0），∴第2个等腰直角三角形的边长为6−2=∴第2个等腰直角三角形的面积=12××=4＝22，∵A 4（10，，∴第3个等腰直角三角形的边长为10﹣6＝4，∴第3个等腰直角三角形的面积=12×4×4=8＝23，…则第2020个等腰直角三角形的面积是22020；故答案为：22020（形式可以不同，正确即得分）．36.（2020•达州）已知k 为正整数，无论k 取何值，直线11：y ＝kx+k+1与直线12：y ＝（k+1）x+k+2都交于一个固定的点，这个点的坐标是 ；记直线11和12与x 轴围成的三角形面积为S k ，则S 1＝ ，S 1+S 2+S 3+…+S 100的值为 ．【分析】变形解析式得到两条直线都经过点（﹣1，1），即可证出无论k 取何值，直线l 1与l 2的交点均为定点（﹣1，1）；先求出y ＝kx+k+1与x 轴的交点和y ＝（k+1）x+k+2与x 轴的交点坐标，再根据三角形面积公式求出S k ，求出S 1=12×（1−12）=14，S 2=12×（ 12−13），以此类推S 100=12×（ 1100−1101），相加后得到 12×（1−1101）．【解析】∵直线11：y ＝kx+k+1＝k （x+1）+1，∴直线12：y ＝（k+1）x+k+2经过点（﹣1，1）；∵直线12：y ＝（k+1）x+k+2＝k （x+1）+（x+1）+1＝（k+1）（x+1）+1，∴直线12：y ＝（k+1）x+k+2经过点（﹣1，1）．∴无论k 取何值，直线l 1与l 2的交点均为定点（﹣1，1）．∵直线11：y ＝kx+k+1与x 轴的交点为（−k 1k，0），直线12：y ＝（k+1）x+k+2与x 轴的交点为（−k 2k 1，0），∴S K =12×|−k 1k+k 2k 1|×1=12k(k1)，∴S 1=12×11×2=14；∴S 1+S 2+S 3+…+S 100=12[11×2+12×3+⋯1100×101]=12[（1−12）+（12−13）+…+（1100−1101）]=12×（1−1101）=12×100101 =50101．故答案为（﹣1，1）；14；50101．37.（内蒙古呼伦贝尔2021年中考数学试卷）如图，点1B 在直线1:2l y x =上，点1B 的横坐标为2，过点1B 作11B A x ^轴，垂足为1A ，以11A B 为边向右作正方形1112A B C A ，延长21A C 交直线l 于点2B ；以22A B 为边向右作正方形2223A B C A ，延长32A C 交直线l 于点3B ；……；按照这个规律进行下去，点2021B 的坐标为___________．【答案】202020202019202033(,)22【分析】由题意分别求出A 1、A 2、A 3、A 4……A n 、B 1、B 2、B 3、B 4……B n 、的坐标，根据规律进而可求解．【详解】解：∵点1B 在直线1:2l y x =上，点1B 的横坐标为2，过点1B 作11B A x ^轴，垂足为1A ，∴1(2,0)A ，1(2,1)B ，∴A 1B 1=1，根据题意，OA 2=2+1=3，∴2(3,0)A ，23(3,2B ，同理，39(,0)2A ，399(,)24B ，427(,0)4A ，42727(,48B ……由此规律，可得：123(,0)2n n n A --，112133(,)22n n n n n B ----，∴20211202112021202122021133(,22B ----即2020202020212019202033(,)22B ，故答案为：202020202019202033(,)22．【点睛】本题考查一次函数的应用、正方形的性质、点的坐标规律，理解题意，结合图象和正方形的性质，探索点的坐标规律是解答的关键．。

专题05 整式中的两种规律探索问题类型一、数字类规律探索例.观察：（x ﹣1）（x +1）＝x 2﹣1，（x ﹣1）（x 2+x +1）＝x 3﹣1，（x ﹣1）（x 3+x 2+x +1）＝x 4﹣1，据此规律，当（x ﹣1）（x 5+x 4+x 3+x 2+x +1）＝0时，代数式x 2019﹣1的值为 _____．【答案】0或﹣2【详解】解：根据题意得∶ （x ﹣1）（x +1）＝x 2﹣1，（x ﹣1）（x 2+x +1）＝x 3﹣1，（x ﹣1）（x 3+x 2+x +1）＝x 4﹣1，……∴（x ﹣1）（x 5+x 4+x 3+x 2+x +1）＝x 6﹣1∵（x ﹣1）（x 5+x 4+x 3+x 2+x +1）＝0，∴x 6﹣1＝0，解得：x ＝1或x ＝﹣1，则x 2019﹣1＝0或﹣2，故答案为：0或﹣2．【变式训练1】a 是不为1的有理数，我们把11-a 称为a 的差倒数，如2的差倒数为1-11-2=，－1的差倒数为111(1)2=--，已知15a =，2a 是1a 差倒数，3a 是2a 差倒数，4a 是3a 差倒数，以此类推……，2021a 的值是（）A ．5B ．14-C ．43D ．45【答案】B【解析】∵15a = ， 2a 是1a 的差倒数，∴211154a ==--，∵3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，∴314151-4a ==æö-ç÷èø，∴415415a ==-，根据规律可得n a 以5，1-4，45为周期进行循环，因为2021＝673×3…2，所以202114a =-．故选B ．【变式训练2】有2021个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间数等于前后两数的和，如果第一个数是0，第二个数是1， 那么前6个数的和是______， 这2021个数的和是______．【答案】0 1【解析】由题意得：第3个数是101-=，第4个数是110-=，第5个数是011-=-，第6个数是101--=-，则前6个数的和是()()0110110++++-+-=，第7个数是1(1)0---=，第8个数是0(1)1--=，归纳类推得：这2021个数是按0,1,1,0,1,1--循环往复的，202163365=´+Q ，且前6个数的和是0，\这2021个数的和与前5个数的和相等，即为()011011++++-=，故答案为：0，1．【变式训练3】有一列数11315,,,,228432---，…，那么第n 个数为______．【答案】()12n nn-【详解】解：()11122-=-´，()221221242==-´，()3333182-=-´，()4414414162==-´，()55551322-=-´，……由此发现：第n 个数为()12n n n -．故答案为：()12n nn-【变式训练4】杨辉三角又称贾宪三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，如图，观察下面的杨辉三角：按照前面的规律，则()7a b +的展开式中从左起第三项为______．()1a b a b +=+()2222a b a ab b +=++()3322333a b a a b ab b +=+++()4432234464a b a a b a b ab b +=++++LL【答案】5221a b 【详解】解：根据题意，()7a b +=7652433425677213535217a a b a b a b a b a b ab b +++++++，∴()7a b +的展开式中从左起第三项为5221a b ，故答案为：5221a b ．类型二、图形类规律探索例.如图，两条直线相交，有1个交点，三条直线相交最多有3个交点，四条直线相交最多有______个交点，n 条直线相交最多有______个交点．【答案】 6 (1)2n n -【详解】解： 如图，两条直线相交最多有1个交点，即()22112´-=；三条直线相交最多有3个交点，即()33132´-=；四条直线相交最多有6个交点，即()44162´-=，五条直线相交最多有10个交点，即()551102´-=，……∴n 条直线两两相交，最多有(1)2n n -个交点（n 为正整数，且n ≥2）．故答案为6；(1)2n n -．【变式训练1】如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第_____个图形共有45个小球．【答案】9【详解】解：第1个图中有1个小球，第2个图中有3个小球，3=1+2，第3个图中有6个小球，6=1+2+3，第4个图中有10个小球，10=1+2+3+4，……n（1+n）个小球，照此规律，第n个图形有1+2+3+4+…+n=12n（1+n）=45，∴12解得n=9或-10（舍去），故答案为：9．【变式训练2】为庆祝“六·一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆第n个“金鱼”和第(n＋1)个“金鱼”需用火柴棒的根数为130根，则n的值为______．【答案】10【详解】解：由题可知：第n个图形有(6n+2)根火柴棒，第(n+1)个图形有(6n+8)根火柴棒，∵摆第n个“金鱼”和第(n＋1)个“金鱼”需用火柴棒的根数为130根，∴6n+2+6n+8=130，解得n=10．故答案为：10．【变式训练3】如图是某广场用地板铺设的部分图案，中央是一块正六边形的地板砖，周围是正三角形和正方形的地板砖．从里向外的第1层包括6个正方形和6个正三角形，第2层包括6个正方形和18个正三角形，依此递推，第10层中含有正三角形个数为___个，第n层含有正三角形个数为___个．n-【答案】114 126【解析】根据题意分析可得：从里向外的第1层包括6个正三角形，第2层包括18个正三角形，此后，每层都比前一层多12个，依此递推，第10层中含有正三角形个数是6+12×9=114个，则第n层中含有正三角形个数是6+12×（n-1）=126n-个，故答案为：114，126n-．【变式训练4】观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，用6064个五角星摆出的图案应该是第_______个图形．【答案】2021【解析】观察发现，第1个图形五角星的个数是：1+3＝4，第2个图形五角星的个数是：1+3×2＝7，第3个图形五角星的个数是：1+3×3＝10，第4个图形五角星的个数是：1+3×4＝13，⋯第n个图形五角星的个数是：1+3•n＝1+3n，∵6064120213-=，∴用6064个五角星摆出的图案应该是第2021个图形，故答案为：2021．课后训练1．下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第1个图有3张黑色正方形纸片，第2个图有5张黑色正方形纸片，第3个图有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去，若第n个图中有201张黑色正方形纸片，则n的值为（ ）A．99B．100C．101D．102【答案】B【详解】解：观察图形知：第一个图中有3=1+2×1个正方形，第二个图中有5＝1＋2×2个正方形，第三个图中有7＝1＋2×2个正方形，…故第n 个图中有1＋2×n ＝2n +1=201（个）正方形，解得n =100故选B ．2．如图，将若干颗棋子按箭头方向依次摆放，记第一颗棋子摆放的位置为第1列第1排，第二颗棋子摆放的位置为第2列第1排，第三颗棋子摆放的位置为第2列第2排……，按此规律摆放在第16列第8排的是第（ ）颗棋子．A ．85B ．86C ．87D ．88【答案】B 【详解】偶数列数与排数表：偶数列数排数22436485……n 12n +∴当n =16时，排数为：192n +=，∴前16列共有棋子：()9102123+-3=2-3=872´+++´…9（颗），∴第16列第8排的棋子位次是：87-1=86．故选B ．3．将一正方形按如图方式分成n 个完全相同的长方形，上、下各横排三个，中间两行各竖排若干个，则n 的值为（ ）A ．12B ．16C ．18D ．20【答案】C 【详解】解：设长方形的长为a ，宽为b ，根据题意得，2a +2b =3a ， 整理得，a =2b ，∴竖排的一行的长方形的个数为3a ÷b =（3×2b ）÷b =6，∴n =3×2+6×2=6+12=18．故选：C ．4．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，例如图（1）就是一个幻方．图（2）是一个未完成的幻方，则x 与y 的和是（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【详解】解：设如图表所示：根据题意可得：x +6+20=22+z +y ，整理得：x -y =-4+z ，x +22+n =20+z +n ，20+y +m =x +z +m ，整理得：x =-2+z ，y =2z -22，∴x -y =-2+z -(2z -22)=-4+z ，解得：z =12，∴x +y =3z -24=12故选：D ．5．如图，按此规律，第6行最后一个数字是_____，第_____行最后一个数是2020．【答案】16 674【详解】Q 每一行的最后一个数字分别是1,4,7,10 ,……，\第n 行的最后一个数字为：1+3(1)32n n -=-，\第6行最后一个数字为：36216´-=；322020n -=，解得：674n =，故答案为：16,674．6．如图，每个图形中的三个数之间均具有相同的规律．根据此规律，若图形中11m =，12n =，则M 的值为________．【详解】解：∵1×（2+1）=3，3×（4+1）=15，5×（6+1）=35，∴右下圆圈内的数=上方圆圈内的数×（左下圆圈内的数+1），∴M =m （n +1），∴M =11×(12+1)=143．故答案为：143．7．为了求220211222+++¼+的值，可令220211222S =+++¼+，则220222222S =++¼+，因此2022221S S -=-，所以220212022122221+++¼+=-．按照以上推理计算出1220211333---+++¼+的值是______．【答案】2021332--【详解】解：令1220211333S ---=+++¼+，则1220212022133333S ----=++¼++，因此20221313S S --=-，则20222313S --=-，得：2021332S --=，所以20211220213313332-----+++¼+=．故答案为：2021332--．8．今年“10.1”黄金周，适逢祖国70大庆，广西柳州赛长桌宴，民族风情浓郁，吸引了大量游客如果长桌宴按下图方式就坐（其中□代表桌子，〇代表座位），则拼接n （n 为正整数）张桌子时，最多可就坐_____人．【答案】（6n +2）【详解】解：根据图示知，拼1张桌子，可以坐（2+6）人．拼2张桌子，可以坐[2+（6×2）]人．拼3张桌子，可以坐[2+（6×3）]人．…拼接n （n 为正整数）张桌子，可以坐（6n +2）人．故答案是：（6n +2）．9．在日历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2012年8月份的日历．我们任意选择其中所示的方框部分，将每个方框部分中4个位置上的数交又相乘，再相减，例如：7136147´-´=，172316247´-´=，不难发现，结果都是7．2012年8月日一二三四五六12345678910111213141516171819202122232425262728293031（1）请你再选择两个类似的部分试一试，看看是否符合这个规律；（2）换一个月的月历试一下，是否有同样的规律？（3）请你利用整式的运算对以上的规律加以证明．【答案】（1）111710187´-´=，符合；（2）392107´-´=；（3）见解析【详解】解：（1）由题意得：111710187´-´=，符合；（2）392107´-´=；答：换一个月的月历试一下还是同样的规律；（3）设上边第一个数为x ，则其后的数为（x +1），第二行的两个数分别为（x +7），（x +8），根据题意，得22(1)(7)(8)8787x x x x x x x x ++-+=++--=．10．（1）你知道下面每一个图形中各有多少个小圆圈吗？第5个图形中应该有多少个小圆圈？为什么？（2）完成下表：边上的小圆圈数12345每个图中小圆圈的总数（3）如果用n 表示六边形边上的小圆圈数，m 表示这个六边形中小圆圈的总数，那么m 和n 的关系是什么？【答案】（1）第1个图形：1个；第2个图形：7个；第3个图形：19个；第4个图形：37个；第5个图形：61个，理由见解析；（2）1，7，19，37，61；（3）2331m n n =-+【详解】（1）观察每个图形的特点，就可以算出第1个图形的小圆圈有1个，第2个图形的小圆圈有2+3+2=7个，第3个图形的小圆圈有3+4+5+4+3=19个，第4个图形的小圆圈有4+5+6+7+6+5+4=37个，由此可推知第5个图形的小圆圈有5+6+7+8+9+8+7+6+5=61个；（2）将（1）算出的结果填入下列表格，如下表所示，边上的小圆圈数12345每个图中小圆圈的总数17193761（3）结合（1）（2）可知，m 与n 之间的函数关系为：()()()()()1...212...1m n n n n n n n n n n=+++++-++-++-++++首尾相加得()()21...(2)1m n n n n n n =+++++-++-éùëû()()21322213312n n n n n --=+-=-+2331m n n =-+．11．对任意一个四位正整数m ，如果m 的百位数字等于个位数字与十位数字之和，m 的千位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数m 为“筋斗数”．例如：m ＝5321，满足1＋2＝3，2×2＋1＝5，所以5321是“筋斗数”．例如：m ＝8523，满足2＋3＝5，但2×2＋3＝7≠8，所以8523不是“筋斗数”．(1)判断9633和2642是不是“筋斗数”，并说明理由；(2)若m 是“筋斗数”，且m 与13的和能被11整除，求满足条件的所有“筋斗数”m ．【答案】(1)9633是“筋斗数”；2642不是“筋斗数”； 理由见解析(2)m 的值为9909或2110或6422【解析】(1)解：9633是“筋斗数”，2642不是“筋斗数”，理由如下：∵6=3+3，9=2×3+3，∴9633是“筋斗数”；∵6=4+2，28+2¹，∴2642不是“筋斗数”；(2)设m 的个位数为a ，0≤a ≤9，十位数为0＜b ≤9，且a 、b 为整数∵m 是“筋斗数”，∴m 的百位数为a +b ，千位数为2b +a ；∴m =1000（2b +a ）+100（a +b ）+10b +a =1100a +110b +2000b +a∵m 与13的和能被11整除，∴1100a +110b +2000b +a +13能被11整除，∵2b +a ≤9且a 、b 为整数，∴b ≤4.5∵1100a +110b 能被11整除，∴2000b +a +13能被11整除，∴b =0，a =9或b =1，a =0或b =2，a =2或b =3，a =4，或b =4，a =6，∴a +b =9，2b +a =9或a +b =1，2b +a =2或a +b =4，2b +a =6或a +b =7，2b +a =10（舍去）或a +b =10，2b +a =14（舍去），∴m 的值为9909或2110或642212．看图填空：如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为12的长方形，接着把面积为12的长方形等分成两个面积为14的长方形，再把面积为14的长方形等分成面积为18的长方形，如此进行下去……(1)试利用图形揭示的规律计算：1111111112481632641282562n ++++++++L ＝_______．并使用代数方法证明你的结论．(2)请给利用图（2），再设计一个能求：2341111122222n +++++L 的值的几何图形．【答案】(1)112n - ，证明见解析；(2)见解析【解析】(1)解：①由题意可知当最后一个小长方形的面积为12n时 ，1111111112481632641282562n ++++++++L 的值为正方形面积减去最后一个小长方形面积，即：112n - ，1111111111124816326412825622n n \++++++++=-L ；②设1111111112481632641282562n s =++++++++L ，111111111212481632641282n s -=++++++++L ，1212n s s \-=-，即112ns =-，1111111111124816326412825622n n \++++++++=-L ；(2)如图所示，将面积为1的正方形等分成两个面积为12的三角形，接着把面积为12的三角形等分成两个面积为14的三角形，再把面积为14的三角形等分成面积为18的三角形，如此进行下去，则2341111122222n +++++L 的值即为正方形面积减去最后一个小三角形面积：112n -。

题型一：数列数字问题【例1】（2021·山东济宁市）按规律排列的一组数据：12，35，□，717，926，1137，…，其中□内应填的数是（ ） A ．23B ．511C ．59D ．12【分析】分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，根据规律即可得到答案． 【详解】观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方1+，∴第n 个数据为：2211n n -+ 当3n =时的分子为5，分母为23110+=∴这个数为51102= 故选：D ．【例2】（2020·牡丹江）一列数1，5，11，19…按此规律排列，第7个数是（ ） A ．37B ．41C ．55D ．71【分析】根据题意得出已知数组的规律，得到第n 个数的表示方法，从而得出结果． 【详解】1＝1×2﹣1， 5＝2×3﹣1， 11＝3×4﹣1， 19＝4×5﹣1，专题03 规律探究之数式知识导航题型精讲第n 个数为n （n +1）﹣1， 则第7个数是：55． 故选：C ．1．（2021·贵州铜仁市）观察下列各项：112，124，138，1416，…，则第n 项是______________．【分析】根据已知可得出规律：第一项：1111122=+，第二项：2112242=+，第三项：3113382=+…即可得出结果． 【详解】解：根据题意可知： 第一项：1111122=+， 第二项：2112242=+， 第三项：3113382=+， 第四项：41144162=+， …则第n 项是12n n +； 故答案为：12n n +． 2．（2020玉林）观察下列按一定规律排列的n 个数：2，4，6，8，10，12，…，若最后三个数之和是3000， 则n 等于（ ） A ．499B ．500C ．501D ．1002【分析】观察得出第n 个数为2n ，根据最后三个数的和为3000，列出方程，求解即可． 【详解】由题意，得第n 个数为2n ， 那么2n +2（n ﹣1）+2（n ﹣2）＝3000， 解得：n ＝501， 故选：C ．题型训练3．（2021·湖北）根据图中数字的规律，若第n 个图中的143q =，则p 的值为（ ）A ．100B ．121C ．144D ．169【分析】分别分析n 的规律、p 的规律、q 的规律，再找n 、p 、q 之间的联系即可． 【详解】解：根据图中数据可知：1,2,3,4n =，……22221,2,3,4,p =……222221,31,41,51,q =----……则2p n =，2(1)1q n =+-，∵第n 个图中的143q =， ∵2(1)1=143q n =+-，解得：11n =或13n =-(不符合题意，舍去) ∵2=121p n =， 故选：B ．题型二：图型数字问题【例3】（2021·江苏扬州市）将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为___________．【分析】首先得到前n 个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第n 个图形中的黑色圆点的个数为()12n n +，再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第33个能被3整除的数所在组，为原数列中第50个数，代入计算即可． 【详解】解：第∵个图形中的黑色圆点的个数为：1，第∵个图形中的黑色圆点的个数为：()1222+⨯=3，第∵个图形中的黑色圆点的个数为：()1332+⨯=6，第∵个图形中的黑色圆点的个数为：()1442+⨯=10，...第n个图形中的黑色圆点的个数为()12n n+，则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，...，其中每3个数中，都有2个能被3整除，33÷2=16...1，16×3+2=50，则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即50512⨯=1275，故答案为：1275．【例4】（2021·四川）如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍，拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；……照这样拼图，则第n个图形需要___________根火柴棍．【分析】分别得到第一个、第二个、第三个图形需要的火柴棍，找到规律，再总结即可．【详解】解：由图可知：拼成第一个图形共需要3根火柴棍，拼成第二个图形共需要3+2=5根火柴棍，拼成第三个图形共需要3+2×2=7根火柴棍，...拼成第n个图形共需要3+2×（n-1）=2n+1根火柴棍，故答案为：2n+1．1．（2021·四川）如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第题型训练___ 个图形共有210个小球．【答案】20 【分析】根据已知图形得出第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3++n =()12n n +，列一元二次方程求解可得． 【详解】解：∵第1个图形中黑色三角形的个数1， 第2个图形中黑色三角形的个数3=1+2， 第3个图形中黑色三角形的个数6=1+2+3， 第4个图形中黑色三角形的个数10=1+2+3+4， ……∵第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5++n =()12n n +，当共有210个小球时，()12102n n +=，解得：20n =或21-(不合题意，舍去)， ∵第20个图形共有210个小球． 故答案为：20．2．（2020重庆）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第∵个图案中有1个黑色三角形，第∵个图案中有3个黑色三角形，第∵个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第∵个图案中黑色三角形的个数为（ ）A ．10B ．15C ．18D ．21【分析】根据前三个图案中黑色三角形的个数得出第n 个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+……+n ，据此可得第∵个图案中黑色三角形的个数． 【解析】∵第∵个图案中黑色三角形的个数为1，第∵个图案中黑色三角形的个数3＝1+2，第∵个图案中黑色三角形的个数6＝1+2+3，……∵第∵个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5＝15，故选：B．3．（2020山西）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…按此规律摆下去，第n个图案有个三角形（用含n的代数式表示）．【分析】根据图形的变化发现规律，即可用含n的代数式表示．【解析】第1个图案有4个三角形，即4＝3×1+1第2个图案有7个三角形，即7＝3×2+1第3个图案有10个三角形，即10＝3×3+1…按此规律摆下去，第n个图案有（3n+1）个三角形．故答案为：（3n+1）．题型三：指数型数字问题【例5】（2020铜仁市）观察下列等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；2+22+23+24+25＝26﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220＝m，则220+221+222+223+224+…+238+239+240＝（结果用含m的代数式表示）．【分析】由题意可得220+221+222+223+224+…+238+239+240＝220（1+2+22+…+219+220）＝220（1+221﹣2）＝220（220×2﹣1），再将220＝m代入即可求解．【详解】∵220＝m，∵220+221+222+223+224+…+238+239+240＝220（1+2+22+…+219+220）＝220（1+221﹣2）＝m（2m﹣1）．故答案为：m （2m ﹣1）．【例6】（2021·湖南怀化市）观察等式：232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-，……，已知按一定规律排列的一组数：1002，1012，1022，……，1992，若1002=m ，用含m 的代数式表示这组数的和是___________．【分析】根据规律将1002，1012，1022，……，1992用含m 的代数式表示，再计算0199222+++的和，即可计算1001011011992222++++的和．【详解】由题意规律可得：2399100222222++++=-．∵1002=m∵23991000222222=2m m +++++==，∵22991001012222222+++++=-，∵10123991002222222=++++++12=2m m m m =+=．102239910010122222222+=++++++224=2m m m m m =++=．1032399100101102222222222=++++++++3248=2m m m m m m =+++=．……∵1999922m =． 故10010110110199992222222m m m ++++=+++．令012992222S ++++=①12310022222S ++++=②∵-∵，得10021S -= ∵10010110110199992222222m m m ++++=+++=()100221m m m -=-故答案为：2m m -．1．（2021·浙江嘉兴市）观察下列等式：22110=-，22321=-，22532=-，…按此规律，则第n 个等式为21n -=__________________．【分析】第一个底数是从1开始连续的自然数的平方，减去从0开始连续的自然数的平方，与从1开始连续的奇数相同，由此规律得出答案即可． 【详解】解：∵22110=-，22321=-， 22532=-，题型训练…∵第n 个等式为：()22211n n n -=--故答案是：()221n n --．2．（2020•天水）观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S ，用含S 的式子表示这组数据的和是（ ） A ．2S 2﹣SB ．2S 2+SC ．2S 2﹣2SD ．2S 2﹣2S ﹣2【分析】根据已知条件和2100＝S ，将按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，求和，即可用含S 的式子表示这组数据的和． 【解析】∵2100＝S ，∵2100+2101+2102+…+2199+2200 ＝S +2S +22S +…+299S +2100S ＝S （1+2+22+…+299+2100） ＝S （1+2100﹣2+2100） ＝S （2S ﹣1） ＝2S 2﹣S ． 故选：A ．3．（2020•咸宁）按一定规律排列的一列数：3，32，3﹣1，33，34，37，3﹣11，318，…，若a ，b ，c 表示这列数中的连续三个数，猜想a ，b ，c 满足的关系式是 ．【分析】首项判断出这列数中，3的指数各项依次为 1，2，﹣1，3，﹣4，7，﹣11，18…，从第三个数起，每个数的指数都是前两数指数之差；可得这列数中的连续三个数，满足a ﹣b ＝c ，据此解答即可．【解析】∵3，32，3﹣1，33，3﹣4，37，3﹣11，318，…，1﹣2＝﹣1，2﹣（﹣1）＝3，﹣1﹣3＝﹣4，3﹣（﹣4）＝7，﹣4﹣7＝﹣11，7﹣（﹣11）＝18，…，∵a ，b ，c 满足的关系式是a ﹣b ＝c ． 故答案为：a ﹣b ＝c ．题型四：排列型数字问题【例7】把正整数1，2，3，4，5，……，按如下规律排列：1 2，3， 4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，… … … …按此规律，可知第n 行有 个正整数 【答案】：12-n【解析】：仔细观察各行数字的个数，不难发现，第一行有1个数字，第二行有2个数字，第三行有4个数字，第四行有8个数字，再用我们前面所用的方法，我们就不容易找到变化的规律了。

专题08整式中规律探索的三种考法类型一、数字类规律探索问题-，A B．30，D C．29，BA．29【答案】A【分析】观察不难发现，每个峰排列5个数，求出5个峰排列的数的个数，中C位置的数的序数，然后根据排列的奇数为负数，偶数为正数解答；用【答案】4【分析】由题意知，第一次输出的结果是4，第二次输出的结果是1，第四次输出的结果是4，第五次输出的结果是=⨯+，进而可得第2023次输出的结果．202336741【详解】解：由题意知，第一次输出的结果是4，第二次输出的结果是2，第三次输出的结果是1，第四次输出的结果是4，第五次输出的结果是2，……，∴可知三次为一个循环，=⨯+，∵202336741∴第2023次输出的结果是4，故答案为：4．【点睛】本题考查了程序流程图与有理数计算，规律探究．解题的关键在于根据推导一般性规律．【变式训练1】按下面的程序计算：若输入n=100，输出结果是501；若输入n=25，输出结果是631，若开始输入的n值为正整数，最后输出的结果为656，则开始输入的n值可能有（）A．1种B．2种C．3种D．4种【答案】C【分析】分三种情况讨论，当输入n经过一次运算即可得到输出的结果为656，当输入n经过两次运算即可得到输出的结果为656，当输入n经过三次运算即可得到输出的结果为656，再列方程，解方程即可得到答案．【详解】解：当输入n经过一次运算即可得到输出的结果为656，51556∴+=，n∴=5655,nn∴=131.当输入n经过两次运算即可得到输出的结果为656，()∴++=5511656,n∴+=26.51131,n∴=n当输入n经过三次运算即可得到输出的结果为656，()∴+++=n555111656,⎡⎤⎣⎦()∴++=5126,n5511131,∴+=5n∴=．n综上：开始输入的n值可能是5或26或131．故选：C．【点睛】本题考查的是程序框图的含义，一元一次方程的解法，分类思想的应用，掌握以上知识是解题的关键．课后训练A．31B．49C．62D 【答案】BA．13-B．2【答案】CA．73B．81C．91D．109【答案】C【分析】根据图形，将每个图形分为上下两部分，分别数出每个图形两部分中菱形的个数，总结出数量变化的一般规律即可．【详解】解：由图可知：第一个图形：上面由3个菱形，下面有0个菱形，第二个图形：上面有6个菱形，下面有1个菱形，A ．62B ．70【答案】B 【分析】观察图形得到第1个五边形数为1，第为14712++=，第4个五边形数为14710+++A ．31B ．32C ．63D ．64【答案】C 【分析】根据图形，可以得到正方形个数的变化特点，从而可以得到图⑤中正方形的个数．【详解】解：由图可得，第①个图形中正方形的个数为：212321+==-，第②个图形中正方形的个数为：23122721++==-，第③个图形中正方形的个数为：23412221521+++==-，…则第⑤个图形中正方形的个数为：62164163-=-=，故选：C ．【点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现正方形个数的变化特点，求出图⑤中正方形的个数．7．下列图形都是由大小相同的小正方形按一定规律组成的，其中第①个图形中有1个小正方形，第②个图形中有5个小正方形，第③个图形中有11个小正方形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中的小正方形个数为（）个A ．40B ．49C ．55D ．71【答案】C 【分析】由已知图形中点的分布情况知：横放是图形序号的平方减去1，竖着摆放的数与序号相同，再进行相加即可．【详解】解：根据图形可得第①个图案正方形个数为：21111=-+；第②个图案正方形个数为：2532212=+=-+；第③个图案正方形个数为：21183313=+=-+；第④个图案正方形个数为：219154414=+=-+；所以，第⑦个图形中的小正方形个数为271755-+=（个）故选：C【点睛】本题考查了规律型中的图形变化问题，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．8．如图1，AE 是O 的直径，点B 、C 、D 将半圆分成四等分，把五位同学分别编为序号1、2、3、4、5按顺序站在半圆的五个点上，现把最右边的5号同学调出，站到2号和3号两位同学之间，再把最右边的4号同学调出，站到1号和2号两位同学之间，得到图2，称为“1次换序”．接着按同样的方法，把最右边的3号同学调出，站到4号和2号两位同学之间，再把最右边的5号同学调出，站到1号和4号两位同学之间，得到图3，称为“2次换序”．以此类推……；若从图1开始，经过“n 次换序”后，得到的顺序与图1相同，则n 的值可以是（）A ．11B ．12C ．13D ．14【答案】B 【分析】先得到前4次换序后的结果，再归纳类推出一般规律，由此即可得．【详解】解：由题意得：1次换序后，得到的顺序为1,4,2,5,3，2次换序后，得到的顺序为1,5,4,3,2，3次换序后，得到的顺序为1,3,5,2,4，4次换序后，得到的顺序为1,2,3,4,5，由此可知，每经过4次换序，得到的顺序与图1相同，即此时4n k =（k 为正整数），观察四个选项可知，只有选项B 符合题意，故选：B ．【点睛】本题考查了图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．。

聚焦泰安类型一 数式规律(2016·绥化)古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角数，它有一定的规律性．若把第一个三角数记为a 1，第二个三角数记为a 2，…第n 个三角数记为a n ，计算a 1＋a 2，a 2＋a 3，a 3＋a 4，…，由此推算a 399＋a 400＝ ．1．(2017·遵义)按一定规律排列的一列数依次为23，1，87，119，1411，1713，…，按此规律，这列数中的第100个数是__________． 类型二 图形规律这类题目通常是给出一组图形的排列(或通过操作得到一系列的图形)，探求图形的变化规律，以图形为载体考查图形所蕴含的数量关系．解决此类问题：先观察图案的变化趋势是增加还是减少，然后从第一个图形进行分析，运用从特殊到一般的探索方式，分析归纳找出增加或减少的变化规律，并用含有字母的代数式进行表示，最后用代入法求出特殊情况下的数值．(2016·重庆)下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的个数为( )A ．64B ．77C ．80D ．85【分析】 观察图形特点，可将图形分为两部分：上面的三角形和下面的正方形，因此小圆圈的个数分别是3＋12，6＋22，10＋32，15＋42，…，据此总结出规律求解即可．3．(2017·随州)在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数(n)和芍药的数量规律，那么当n ＝11时，芍药的数量为( )A ．84株B ．88株C ．92株D ．121株4．(2017·绵阳)如图，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a 1，第2幅图形中“●”的个数为a 2，第3幅图形中“●”的个数为a 3，…，以此类推，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 19的值为( )A.2021B.6184C.589840D.431760 类型三 点的坐标规律这类问题要求探索图形在运动过程中的规律，通常以平面直角坐标系为载体探索点的坐标的变化规律．解答时，应先写出前几次的变化过程，并将相邻两次的变化过程进行比对，明确哪些地方发生了变化，哪些地方没有发生变化，逐步发现规律，从而使问题得以解决．(2017·东营)如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y ＝33x －33与x 轴交于点B1，以OB1为边长作等边三角形A1OB1，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l 于点B2，以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2，过点A2作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3，以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3，…，则点A2 017的横坐标是．【分析】利用直线的表达式及等边三角形的性质计算出A1，A2，A3，A4的横坐标，得出规律，写出A2 017的横坐标即可．5．如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3…都在x轴上，点B1，B2，B3…都在直线y＝x上，△OA1B1，△B1A1A2，△B2B1A2，△B2A2A3，△B3B2A3…都是等腰直角三角形，且OA1＝1，则点B2 018的坐标是( )A．(22 017，22 017) B．(22 018，22 018)C．(22 017，22 018) D．(22 018，22 017)6．(2017·安顺)如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x＋2交x轴于点A，交y轴于点A1，点A2，A3，…在直线l上，点B1，B2，B3，…在x轴的正半轴上，若△A 1OB 1，△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3，…，依次均为等腰直角三角形，直角顶点都在x 轴上，则第n 个等腰直角三角形A n B n －1B n 的顶点B n 的横坐标为_________.参考答案【聚焦泰安】【例1】 ∵a 1＋a 2＝1＋3＝4＝22，a 2＋a 3＝3＋6＝9＝32，a 3＋a 4＝6＋10＝16＝42，…，∴a n ＋a n ＋1＝(n ＋1)2.∴a 399＋a 400＝4002＝160 000.故答案为160 000. 变式训练 1. 299201 2.nn ＋1【例2】 通过观察，得到小圆圈的个数分别是： 第①个图形：3＋12＝（1＋2）×22＋12＝4；第③个图形：10＋32＝（1＋4）×42＋32＝19；第④个图形：15＋42＝（1＋5）×52＋42＝31；…所以第n 个图形：（n ＋1）（n ＋2）2＋n 2.当n ＝7时，图中小圆圈的个数为（7＋2）（7＋1）2＋72＝85.故选D .变式训练 3.B 4.C【例3】 由直线l ：y ＝33x －33与x 轴交于点B 1，可得B 1(1，0)，D(0，－33)，∴OB 1＝1，∠OB 1D ＝30°.如图，过A 1作A 1A⊥OB 1于A ，则OA ＝12OB 1＝12，由题可得∠A 1B 2B 1＝∠OB 1D ＝30°， ∠B 2A 1B 1＝∠A 1B 1O ＝60°，∴∠A 1B 1B 2＝90°，∴A 1B 2＝2A 1B 1＝2. 过A 2作A 2B⊥A 1B 2于B ，则A 1B ＝12A 1B 2＝1，即A 2的横坐标为12＋1＝32＝22－12.过A 3作A 3C⊥A 2B 3于C ，同理可得，A 2B 3＝2A 2B 2＝4，A 2C ＝12A 2B 3＝2，即A 3的横坐标为12＋1＋2＝72＝23－12.同理可得，A 4的横坐标为12＋1＋2＋4＝152＝24－12，由此可得，A n 的横坐标为2n －12，∴点A 2 017的横坐标为22 017－12.故答案为22 017－12.变式训练 5.A 6.2n ＋1－2。

中考规律探索题——（类型一：数式规律）一、典题讲解题型1 :数的变化规律例1（2020云南昆明）观察下列一组数： -23，69，-1227，2081，-30243，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n 个数是 .例2：（2021湖南怀化）观察等式：232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-，……，已知按一定规律排列的一组数：1002，1012，1022，……，1992，若1002m =，用含m 的代数式表示这组数的和是 .例3．（2021浙江嘉兴）观察下列等式：1＝12﹣02，3＝22﹣12，5＝32﹣22，…按此规律，则第n 个等式为2n ﹣1＝ ．题型2 :式的变化规律例1（2021甘肃）一组按规律排列的代数式：a +2b ，a 2﹣2b 3，a 3+2b 5，a 4﹣2b 7，…，则第n 个式子是 ．例2（2019•贵州省铜仁市）按一定规律排列的一列数依次为：﹣，，﹣，，…（a ≠0），按此规律排列下去，这列数中的第n 个数是 ．（n 为正整数）题型3:数阵的变化规律例1. (2021荆门)如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第______行第______列．例2．(2021湖北十堰市)将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A．2025B．2023C．2021D．2019题型4:表格数的变化规律例1.(2020湖北十堰)根据图中数字的规律，若第n个图中出现数字396，则n （）A. 17B. 18C. 19D. 20例2.在计数制中，通常我们们使用的是“十进位制”，即“逢十进一”。

而计数制方法很多，如60进位制：60秒化为1分，60分化为1小时；24进位制：24小时化为1天；7进位制：7天化为1周等…而二进位制是计算机处理数据的依据。

已知二进位制与十进位制的比较如下表：请将二进位制10101010写成十进位制数为．二、跟踪练习1.（2015•永州）设a n 为正整数n 4的末位数，如a 1=1，a 2=6，a 3=1，a 4=6．则a 1+a 2+a 3+…+a 2013+a 2014+a 2015= ．2. (2016郴州16题)观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，…，试猜想，32016的个位数字是 ．3. (2021云南)按一定规律排列的单项式：a 2，4a 3，9a 4，16a 5，25a 6，…，第n 个单项式是( ) A. n 2a n ＋1 B. n 2a n－1C. n n a n ＋1D. (n ＋1)2a4. (2020张家界14题3分)观察下面的变化规律： 21×3＝1－13，23×5＝13－15，25×7＝15－17，27×9＝17－19，… 根据上面的规律计算：21×3＋23×5＋25×7＋…＋22019×2021＝________．5. (2021湘潭16题3分)天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历．有十天干与十二地支，如下表：算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如2008年，尾数8为戊，2008除以12余数为4，4为子，那么2008年就是戊子年.2021年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年，则2021年是________年．(用天干地支纪年法表示)6. (万唯原创)观察下列等式：第一个等式：a 1＝11×4＝13×(1－14)； 第二个等式：a 2＝14×7＝13×(14－17)；第三个等式：a 3＝17×10＝13×(17－110)；第四个等式：a 4＝110×13＝13×(110－113)；…按照上述规律，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 2022＝( ) A. 20212022 B.20226067 C.20202021 D.606660677.（2020湖南娄底）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x 的值为（ ）A ．135B ．153C ．170D ．1898.已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a =-，3211a a =-，4311a a =-，5411a a =-，……，111n n a a -=-．按上述方法计算：当13a =时，2021a 的值等于（ ） A ．23-B ．13C ．12-D ．239.观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…则2＋22＋23＋24＋25＋…＋22021的末位数字是( ) A ．8B ．6C ．4D ．010．(2019永州)我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方（a +b ）n 的展开式（按b 的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将（s +x ）15的展开式按x 的升幂排列得：（s +x ）15＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 15x 15．依上述规律，解决下列问题： （1）若s ＝1，则a 2＝ ；（2）若s ＝2，则a 0+a 1+a 2+…+a 15＝ ．。

专题：探索数与式的变化规律【知识要点】：（１）规律探索它着重于考察同学们的分析、综合、抽象、概括等演绎推理能力， （２）合情推理步骤：观察、类比、联想、猜想、不完全归纳。

【典例探究】：题型一、探索数字特征规律： 例１：欣赏下面的各等式：32+42=52102+112+122=132+142222222221222324252627+++=++请写出下一个由9个连续正整数组成、前5个数的平方和等于后4个数的平方和的 等式为 . 分析：观察：给出的三个式子，第一个式子的左边缺１和２两个数字； 第二个式子的左边缺６、７、８两个数字，由第二个式子到第三个式子，中间缺失15、16、17、18、19、20数字。

所以猜想：在27之后要隔八个数字(28、29、30、31、32、33、34、35)，从第三个式子的左边36应从开始，有５个数字，而右边应有４个数字，所以归纳：222222222363738394041424344++++=+++点拨：（１）探索得到的结论可能成立，也可能不成立；可用计算机器来验证。

（２）处理数据时，不仅要关注显形数据所提供的信息，也要关注隐形数据所蕴含的信息。

题型二、探索算式的规律： 例２：观察下列各式：2233445522,33,44,55,11223344⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+想一想，什么样的两数之积等于这两个数的和？ 设n 表示正整数，用n 关于的等式表示上述规律：。

分析：等式的左边是一个正分数乘一个正整数，分数的分母依次是1、2、3、4……，而分子依次是2、3、4、5……，显然各等式的左边表示为1(1)n n n+⨯+。

再看等式的右边，是它们的和1(1)n n n+++，即：11(1)(1)n n n n n n++⨯+=++ 点拨：这类题仅要求写出结果，并不要求加以严格推理，解这类题以观察，分析，归纳其内在的规律为基础，对思维的严密性和敏捷性都有较高的要求。

【习题训练】：1、 将1，2，3，4，5，…按以下方式摆放：则根据摆放规律，从2002到2004的箭头依次是（ ）A 、 ↓→B 、 →↑C 、↑→D 、→↓2、 已知：9×1+0=9，9×2+1=19，9×3+2=29，9×4+3=39，… 根据前面式子构成的规律写出第6个式子是_________________3、观察下列各式，你会发现什么规律？ 3×5＝42－1 5×7＝62－1 …… 11×13=122－1 请将你发现的规律用只含一个字母的表达式表示出来： 。

探索规律型问题归类解析探索规律型问题是历年中考数学试题中的重要题型之一，其特点是给出一组变化了的数字、式子、表格、图形等，要求学生通过观察、归纳、猜想、验证、类比，探求其内在规律．1.通用的解题策略解答规律型问题一般要从特殊情况入手→探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论．这种“特殊——一般——特殊”的解题模式，体现了总结归纳的数学思想，也正是人们认识新事物的一般过程．具体来说，就是先写出开头几个数式的基本结构，然后通过横比或纵比找出各部分的特征，写出符合要求的结果．例1 如图1，房间地面的图案是用大小相同的黑、白正方形镶嵌而成．图中，第1个黑色“L”形由3个正方形组成，第2个黑色“L”形由7个正方形组成，…那么组成第6个黑色“L”形的正方形个数是( )(A)22 (B)23 (C)24 (D)25解析从特例入手：如图1．纵比正方形的个数3，7，11，15中，后一个数比前一个大4（即相邻两数的差为4），猜想与4有关．横比3与1，7与2，11与3，15与4之间有何关系？联想到与4有关，故改写为：3＝4×1－1，7＝4×2－1．11＝4×3－1，15＝4×4－1．猜想组成第6个黑色L形的正方形个数是4 ×6－1＝23个．故选B．点评考察相邻两数的差（或商）是探究数字规律的常用手段．常见的类型有：相邻两数的差（或商）相等或成倍数关系，相邻两数的差相等与商相等交替出现等．2.关注特殊数列(1)斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21…（其规律为：从第三项开始，每一项都等于前两项之和）；(2)平方数数列：1，4，9，16，25，36…（其规律为：n2，即每一项都等于项数的平方）．例2 有一组数：1，2，5，10，17，26…请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为_______．解析规律为：n2＋1（n＝0，1，2…）．答案：50．点评此类题要注意n2，n2＋1，n2－1等(3)三角形数列：1，3，6，10，15，21，…（其规律为1＋2＋3＋…＋n）例3 世界上著名的莱布尼茨三角形如图2所示，则排在第10行从左边数第3个位置上的数是：( )（A）（B）（C）（D）解析从第3行起，从左边数第3位置上的数分别为，，，，…它们的分母可分别改写为：1×3，3×4，6×5，10×6，15×7，21×8，…，而1，3，6，10，15，21，…，正是三角形数，故答案为：．选B．(4)杨辉三角形，杨辉三角形斜边上1以外的各数，都等于它“肩上”的两数之和，如图3．(5)与等差等比数列有关的数列．如例1中3，7，11，15…就是一个等差数列．例4 数字解密：第一个数是3＝2＋1，第二个数是5＝3＋2，第三个数是9＝5＋4，第四个数是17＝9＋8，……观察并猜想第六个数应是_______．解析第二个加数1，2，4，8…规律为2n（为一等比数列，也要关注这一数列），第一个加数2，3，5，9…比第二个加数大1．所以第六个数为(25＋1)＋25＝65．例5 一组按规律排列的数：…请你推断第9个数是________．解析这列数的分母为2，3，4，5，6…的平方数，分子形成二阶等差数列，依次相差2，4，6，8…故第9个数分子为1＋2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＋16＝73，分母为100，故答案为．(6)与循环有关的问题例6 让我们轻松一下，做一个数字游戏：第一步：取一个自然数n1＝5，计算n12＋1得a1；第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算n22＋1得a3；第三步：算出a2的各位数字之和得n3，再计算n32＋1得a3；……依此类推，则a2008＝_______．解析根据题意可算出a1＝26，a2＝65，a3＝122，a4＝26，a5＝65，a6＝122，…发现每3个数就出现一次循环．所以由2008＝669×3＋1，可得a2008＝a1＝26．点评一列数由某m个数循环出现组成，可依据同余等值(由n＝p·m＋r得a n＝a r)实施转换．(7)分奇数项偶数项的问题例7 一组按规律排列的式子：，…(a b≠0)，其中第7个式子是________，第n个式子是_(n为正整数)．解析6的指数2，5，8，11…，相邻两数差为3，是等差数列，其规律为3n－1；再注意到奇数项为负，偶数项为正，则第n个式子为第七个式子为3.特殊数列的迁移例8 把数字按如图4所示排列起来，从上开始，依次为第一行、第二行、第三行、…，中间用虚线围的一列，从上至下依次为1.5.13.25.…，则第10个数为_______．解析1 中间框出的一列数的规律为：第n个数为1＋4＋8＋12＋…＋4（n－1）．所以第10个数为1＋4＋8＋12＋…＋36＝．解析2 用虚线圈出的一列数1，5，13，25可改写为：02＋12，12＋22，22＋32，32＋42，猜想第10个数为92＋102＝181．点评此列数可看成是平方数数列的迁移．例9 图5中是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒．a，b，c，d是相邻两行的前四个数，那么当a＝8时，c＝_______，d＝_______．解析除两边外，中间的每个数等于肩上两数的和．答案：9；32．点评此列数可看成是杨辉三角形的迁移．4.关注中考新题型例10 观察图6所示表格，依据表格数据排列的规律，数2008在表格中出现的次数共有_______次．解析从特例入手，通过扩充表格可得：数1，2，3，4，5，6，7，8，9，10出现次数分别为1，2，2，3，2，4，2，4，3，4．出现的次数恰为给定数的所有因数的个数，而2008的因数为1，2，4，8，251，502，1004，2008等8个．故答案为8．点评本例中新产生的数为自然数的倍数，因此，其出现的次数与其因数的多少有关，仔细观察便会发现，其出现次数就是给定数所有因数的个数，本题规律的隐蔽性较强，因而有一定的难度．。

探索规律题的解题技巧1．“数”之规律探究纯数字类规律探索题就是题目中所提供的数字是在一定条件下的排列或者是运算顺序或者是部分结论，而要求以此探索规律，归纳出一般性的结论．此类题目的解题关键是将所给的每个“数”化成有规律的式子，找出规律，并用字母表示． 例1．下列一组按规律排列的数1,2,4,8,6， …，则第2008个数是_______________．解析：易观察出0123412,22,42,82,162,=====因此所排列的这组数都是2的整数次幂，再观察序数与指数的关系：指数等于序数减一，故第2008个数为20072．解答：20072．说明：⑴解题步骤：①寻找不变的量；②寻找变化的量；③研究变化的量如何变化；⑵熟悉数字规律后就为后续的图形类问题的解决创造了基础，因为求出各图中物体的个数后，问题的研究就由形转化为了数，只要研究数字规律即可得到图形规律．同步检测1：观察下列各数，用含n 的代数式表示：⑴ 1,2,3,4,5…； ⑵ 1,3,5,7,9…； ⑶ 2,4,6,8,10 …；⑷ 1,4,9,16,25 …； ⑸ 3,8,15,24,35 …； ⑹ 3,7,11,15,19 …；⑺ 4,8,12,16,20 …；2．“式”之规律探究此类题目的解题关键是将题目中的“式”化为有规律的代数式或等式，找出规律，并用字母表示．例2．观察下列等式：918,-=16412,-=25916,-=361620,-=…，这些等式反映出自然数间的某种规律，设n 表示自然数，用关于n 的等式表示为_______________．解析：29183142,-=→-=⨯221641224,-=→4-=⨯3 222591634,-=→5-=⨯42236162044,-=→6-=⨯5…，故n 的等式表示为22(2)4(1)n n n +-=+．解答：22(2)4(1)n n n +-=+．说明：解题的常用方法：⑴将所给的每个数据化为有规律的代数式或等式；⑵按规律排序这些式子，寻找不变的量和变化的量，并研究变化的量如何变化；⑶将发现的规律用代数式或等式表示出来；⑷用题中所给数据验证规律的正确性；⑸若要证明则注意证明格式．同步检测2：1．观察以下10个乘积，将乘积的两个因数分别用字母a b ，表示（a b ，为正数）． 1129⨯ 1228⨯ 1327⨯ 1426⨯ 1525⨯1624⨯ 1723⨯ 1822⨯ 1921⨯ 2020⨯（1）请仿照式子“22210128-=⨯”，将以上各乘积分别写成一个两数平方差的形式；（2）请观察给出ab 、a b +、b a -之间的关系式．（只要求写出结果）2．老师在黑板上写出三个算式：283522⨯=-，229784-=⨯，5891122⨯=-……李明同学接着又写了两个具有同样规律的算式：68111322⨯=-，385722⨯=-.(1)请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；(2)用文字写出上述算式的规律；(3)说明这个规律的正确性．3．观察下列各式：21－12＝9； 75－57＝18； 96－69＝27； 84－48＝36；45－54＝-9；27－72＝-45；19－91＝-72；……（1）请用文字补全上述规律：把一个两位数的十位数字和个位数字交换位置，原来两位数与新的两位数的差是_________________________；（2）你能用所学知识解释这个规律吗？3． “图形”之规律探究 图形类规律探究题包含形状一样但颜色不同的多个几何图形的图案问题，图形的折叠、旋转问题，同一种图形大小不一排列问题，同一种图形的数量变化问题及数字与几何图形的有机结合排列等问题，通常以确定探索物体的个数和确定图形数量为主要内容出现．此类题目的解题关键是观察图形（数字图形或几何图形）的排列方式，明确题目提供素材的层属关系及内涵．例3．如图是一组有规律的图案，第1个 图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，……，那么第n (n 是正整数)个图案中由 个基础图形组成．解析：第1个图形中基础图形的个数为4311=⨯+；第2个图形中基础图形的个数为731=⨯2+；第3个图形中基础图形的个数为1031=⨯3+；…，故第n 个图形中基础图形的个数为31n +．解答：31n +．说明：探索物体的个数时，可首先求出各图中物体的个数，然后将其与相应的图序数作对比，看两者有何关系，即得规律．或者求出各图中物体的个数后，问题的研究就由形转化为了数，只要研究数字规律即可得到图形规律．例4．如下图所示，小丽用棋子摆成三角形的图案，观察下面图案并填空：第1个 第2个 第3个 第4个按照这样的方式摆下去，摆第5个三角形图案需要__________枚棋子；摆第n 个三角形图案需要__________枚棋子（用含有n 的代数式表示）；摆第100个三角形图案需要__________第3题图……∙∙∙∙∙∙枚棋子．解析：第1个图形中棋子个数为21342+==；第2个图形中棋子个数为213593++==；第3个图形中棋子个数为21357164+++==；第4个图形中棋子个数为213579255++++==；第5个图形中棋子个数为21357911366+++++==；…，故第n个图形中棋子个数为2(1)n+，第100个图形中棋子个数为10201．解答：236,(1),10201n+．同步检测3：1．如图，用同样并规格的黑白两种正方形瓷砖铺设正方形地面，观察图形并猜想填空：当白色瓷砖为为正整数）nn(2块时，黑色瓷砖有块（结果写成一个多项式形式）．2．下面是用棋子摆成的“上”字：第一个“上”字需用6枚棋子，第二个“上”字需用10枚棋子，第三个“上”字需用14枚棋子，如果按照这样的规律继续摆下去，那么第n个“上”字需用枚棋子．3．如图，由若干盆花摆成图案，每个点表示一盆花，几何图形的每条边上（包括两个顶点）都摆有()3≥nn盆花，每个图案中花盆总数为S，按照图中的规律可以推断S关系是．4．某校的一间礼堂，第1排的座位数为12，从第2排开始，每一排都比前一排增加x个座位（2）由题可知，第5排座位数是_______________，第15排座位数是________________；（3）已知第15排座位数是第5排座位数的2倍，求第25排有多少个座位？以上资料只是个人针对知识点的一点梳理，尽量以中考要求为准，不当之处希望各位老师能多提宝贵意见！谢谢！6,3==Sn12,4==Sn20,5==Sn。