正弦电流的有效值

正弦交流电的有效值
正弦交流电的有效值是一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解电压和电
流的变化，并在实践中有效运用这种知识。

正弦交流电的有效值可以根据伏安定律的经验值来计算，这一公式定义了正弦
交流电的有效值。

根据伏安定律，正弦交流电的有效值计算公式为：
Veff=Vp×1.11/1.4142，其中Vp表示正弦交流电高峰值，Veff表示正弦交流电的
有效值。

另外，根据充分证明的电力计算公式，正弦交流电的有效值是RMS（Root
Mean Square）值的一种特殊形式，可以表示为：Veff=Va×1.44/2π，其中Va表
示正弦交流电的根均方（RMS）值。

正弦交流电的RMS值是按照电力的单位以期望
的方式进行衡量的，但是正弦交流电的有效值更能准确地表征正弦交流电的实际性能。

正弦交流电的有效值必须严格遵守以上规则，以便实现准确的测量操作。

正弦
交流电的有效值与方波和矩形波相比都要低得多，且增加波形的宽度与同频率方波相比降低有效值，而且正弦交流电的有效值的变化会不断影响测量结果的准确性。

因此，正弦交流电的有效值严格地遵循着以上公式，以便实现准确的测量操作，解决好各种有关正弦交流电的问题，实现高效率、低成本的控制运行与电压控制。

几种常见的交变电流的有效值和平均值的计算湖北省襄樊市第一中学（441000）赵兴华高中物理第二册（实验修订本）《交变电流》一章中列举了几种常见交变电流，即：正弦交变电流、锯齿波电流、矩形脉冲电流和尖脉冲电流。

交变电流的有效值和平均值是两个不同的概念，不少学生在解题中不能很好地区分，造成解题失误。

交变电流的有效值是根据电流的热效应来规定的，让交流电和直流电通过相同阻值的电阻，如果它们在相同的时间里产生的热量相等，就把这一直流电的数值叫这一交流电的有效值；交变电流的平均值是指交变电流在一个周期内交流电的绝对值的平均值。

教材中只给出了正弦交变电流的有效值，没有给出其他几种交变电流的有效值，也没有给出平均值的大小。

笔者在这里给出它们供大家参考。

一、交变电流的有效值1、正弦交变电流的有效值方法一：设有一直流电和一正弦交流电，分别通过同样的电阻R ，经过时间T （T 为该交流电的周期）内产生的热量分别为：Q 直＝I 2RT ，Q 交＝P T ，则有： I ＝RP正弦交流电的瞬时功率： P ＝i 2R ＝t R I m ω22sin ＝)2cos 1(212t R I m ω-•＝t R I R I m m ω2cos 212122- 上式中第一项是不随时间变化的常量，第二项是按余弦变化的量，在一个周期内，第二项的平均值是零，故有：R I P m 221=可得： I ＝m m I IR P 707.02==方法二：用积分的方法对于I ＝I m sin t ω，通过阻值为R 的电阻在dt 时间里产生的热量dQ ，则有：dQ ＝i 2Rdt ＝（I m sin t ω）2Rdt在1个周期内，t=T ，R 产生的热量： Q ＝⎰Tm Rdt t I 02)sin (ω＝⎰-T m dt t R I 02)2sin 2121(ω＝RT I m 221而等效电流I 在相等的时间产生的热量也为Q ，则有：Q ＝I 2RT 所以正弦交变电流的有效值与最大值之间的关系为：I ＝m mI I 707.02=2、锯齿波电流的有效值：设有一锯齿波电流的最大值为I m ，周期是T ，且I m ＝2T k， 在半个周期内瞬时电流：i ＝kt在dt 时间里通过电阻R 上产生热量为： dQ ＝（kt ）2Rdt在t ＝T 时间通过电阻R 上产生热量为：Q ＝32022121RT k Rdt t k T=⎰故有：I 2＝3)2(12112122222mm I T T I T k == 即锯齿波电流的有效值与最大值之间的关系为：I ＝3mI3、矩形脉冲电流的有效值：（1）若有一矩形脉冲电流，正反向的电流值相等为I m ，且正反向通电时间相等，周期为T ，（如图所示）。

第4章 正弦交流电的基本概念
4.1 周期交流电的概念与产生 4.2 正弦交流电的三要素
4.3 正弦交流电的有效值和平均值√
4.4 复数的基本知识 4.5 正弦交流量的相量表示法
4.3 正弦交流电的有效值和平均值
4.3.1 有效值
i(t) A
Im
幅值必须大写,
下标加 m。 i Ri R u u
T
2 idt
半周期： I 0
t
T 2
t
∴
I
2
Im
0.637Im
注意：平均值的表示符号 I U
I RI R U U
正弦交流电路
t
直流电路
t
若在相同的时间内，
交流电流i通过电阻R所 消耗的能量与直流I通过 R所消耗的能量相等，则 I称为i的有效值。
T
0
i2R dt
I 2RT
交流 直流
4.3.1 有效值
T
0
i2R dt
I 2RT
交流 直流
则有 I 1 T i 2dt
T0
有效值必 须大写
1 T
T 0
Im2 sin2
ω
t
dt
Im 2
同理： U
Um 2
0.707Um
注意：交流电压、电流表测量数据为有效值。 交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值。 4.3.1 平均值T
平均值 ：
I
和
idt 0
周期 T
u(t)V
瞬时值： u 最大值： Um 有效值： U 平均值： U
全周期： I 0

几种常见的交变电流的有效值和平均值的计算湖北省襄樊市第一中学（441000）赵兴华高中物理第二册（实验修订本）《交变电流》一章中列举了几种常见交变电流，即：正弦交变电流、锯齿波电流、矩形脉冲电流和尖脉冲电流。

交变电流的有效值和平均值是两个不同的概念，不少学生在解题中不能很好地区分，造成解题失误。

交变电流的有效值是根据电流的热效应来规定的，让交流电和直流电通过相同阻值的电阻，如果它们在相同的时间里产生的热量相等，就把这一直流电的数值叫这一交流电的有效值；交变电流的平均值是指交变电流在一个周期内交流电的绝对值的平均值。

教材中只给出了正弦交变电流的有效值，没有给出其他几种交变电流的有效值，也没有给出平均值的大小。

笔者在这里给出它们供大家参考。

一、交变电流的有效值1、正弦交变电流的有效值方法一：设有一直流电和一正弦交流电，分别通过同样的电阻R ，经过时间T （T 为该交流电的周期）内产生的热量分别为：Q 直＝I 2RT ，Q 交＝T ，P 则有：I ＝RP正弦交流电的瞬时功率： P ＝i 2R ＝＝t R I m ω22sin)2cos 1(212t R I mω-∙ ＝t R I R I m m ω2cos 212122-上式中第一项是不随时间变化的常量，第二项是按余弦变化的量，在一个周期内，第二项的平均值是零，故有：R I P m 221=可得： I ＝m mI IR P 707.02==方法二：用积分的方法对于I ＝I m sin ，通过阻值为R 的电阻在dt 时间里产生的热量t ωdQ ，则有：dQ ＝i 2Rdt ＝（I m sin ）2Rdtt ω在1个周期内，t=T ，R 产生的热量：Q ＝＝＝⎰Tm Rdt t I 02)sin (ω⎰-Tmdt t R I 02)2sin 2121(ωRT I m221而等效电流I 在相等的时间产生的热量也为Q ，则有：Q ＝I 2RT所以正弦交变电流的有效值与最大值之间的关系为：I ＝mmI I 707.02=2、锯齿波电流的有效值：设有一锯齿波电流的最大值为I m ，周期是T ，且I m ＝，2T k在半个周期内瞬时电流：i ＝kt在dt 时间里通过电阻R 上产生热量为：dQ ＝（kt ）2Rdt在t ＝T 时间通过电阻R 上产生热量为：Q ＝32022121RT k Rdt t k T=⎰故有：I 2＝3)2(12112122222mm I T T I T k ==即锯齿波电流的有效值与最大值之间的关系为：I ＝3mI 3、矩形脉冲电流的有效值：（1）若有一矩形脉冲电流，正反向的电流值相等为I m ，且正反向通电时间相等，周期为T ，（如图所示）。

正弦电流有效值计算公式一、正弦电流有效值的定义。

1. 对于周期电流i(t)，其有效值I定义为：让周期电流i(t)和直流电流I分别通过相同的电阻R，如果在一个周期T内，它们产生的热量相等，那么这个直流电流I的数值就叫做周期电流i(t)的有效值。

- 根据焦耳定律，对于直流电流I通过电阻R在时间T内产生的热量Q = I^2RT。

- 对于周期电流i(t)通过电阻R在一个周期T内产生的热量Q=∫_0^Ti^2(t)Rdt。

- 由于两者产生热量相等，即I^2RT=∫_0^Ti^2(t)Rdt，所以周期电流的有效值I = √(frac{1){T}∫_0^Ti^2(t)dt}。

1. 设正弦电流i(t)=I_msin(ω t+φ)，其中I_m是正弦电流的最大值（幅值），ω是角频率，φ是初相位。

2. 计算i^2(t)：- i^2(t)=I_m^2sin^2(ω t + φ)。

- 根据三角函数的二倍角公式sin^2α=(1 - cos2α)/(2)，这里α=ω t+φ，则i^2(t)=frac{I_m^2}{2}-frac{I_m^2}{2}cos(2ω t + 2φ)。

3. 计算有效值I：- 根据有效值定义I=√(frac{1){T}∫_0^Ti^2(t)dt}。

- 将i^2(t)=frac{I_m^2}{2}-frac{I_m^2}{2}cos(2ω t + 2φ)代入可得：- I=√(frac{1){T}∫_0^T(frac{I_m^2}{2}-frac{I_m^2}{2}cos(2ω t+2φ))dt}。

- 分别计算积分：- ∫_0^Tfrac{I_m^2}{2}dt=frac{I_m^2}{2}T。

- ∫_0^Tfrac{I_m^2}{2}cos(2ω t + 2φ)dt，因为ω=(2π)/(T)，对于∫_0^Tcos(2ω t+2φ)dt=<=ft[(sin(2ω t + 2φ))/(2ω)]_0^T=0。

英文：Relationship between the Effective Value and Amplitude of a Sine Wave CurrentIn the context of electrical engineering, the relationship between the effective value and amplitude of a sine wave current is fundamental. The amplitude of a sine wave represents its peak value, which is the maximum positive or negative excursion from the mean or zero level. On the other hand, the effective value of a sine wave current is the value of a direct current that would produce the same heating effect in a given resistor as the alternating sine wave current.The relationship between the effective value and amplitude of a sine wave current can be expressed mathematically. For a sine wave current with an amplitude of I_m (peak value), the effective value (I_rms) is given by:I_rms = I_m / sqrt(2)This relationship is derived from the fact that the power dissipated in a resistor by an alternating current is proportional to the square of the effective value. Therefore, the effective value of a sine wave current is equal to the amplitude divided by the square root of 2.In practical applications, this relationship is crucial for calculating the heating effects and power consumption of electrical circuits. Understanding the difference between amplitude and effective value allows engineers to accurately design and analyze electrical systems.中文：正弦电流有效值与幅值的关系在电气工程中，正弦电流的有效值与幅值之间的关系是基础性的。

正弦电流的有效值
正弦电流的有效值是电流波形在一个周期内的均方根值，通常也称为RMS电流。

正弦电流的有效值是衡量电流大小的一种重要参数，它是电气系统和电子设备设计中常用的参考指标。

正弦电流的有效值的计算方法，是将电流值在时间轴上对一个周期（例如一个电源的变化周期）积分，再除以周期的长度，然后对所得的值取平方根。

因为正弦电流是周期性变化的，因此计算的过程中需要对一个完整的周期进行积分，才能准确地反映出电流的均方根值。

从物理学的角度来看，正弦电流的有效值是指通过一个电阻器时，所产生的功率与直流电流时产生的功率相等的电流。

在实际应用中，正弦电流的有效值通常是以安培（A）为单位来表示的。

例如，220V的交流电源的频率为50Hz，通过一个电阻器时的正弦电流的有效值为1.57A。

正弦电流的有效值在电气系统和电子设备的设计中具有重要的作用。

除了可以作为电流大小的标准参考值外，它还可以用于计算电阻器、电容器和电感器的功率损耗、用电量和能耗。

在交流电路的设计中，正弦电流的有效值也是计算电路功率的重要参数。

例如，电磁铁、电动机、变压器等设备的额定功率都是以正弦电流的有效值为基准的。

此外，正弦电流的有效值还与电气安全密切相关。

电流的大小会对人体产生危害，因此在电气设备的设计中通常会规定电流的最大值，以保证人体的安全。

正弦电流的有效值也是确定电
流最大值的重要因素之一。

总之，正弦电流的有效值是衡量电流大小的重要参考指标，在电气系统和电子设备的设计中具有广泛的应用。

真正理解正弦电流的有效值的定义和计算方法，对于电气工程师和电子工程师来说是非常重要的。

正弦交流电的最大值与有效值的关系1. 引言正弦交流电是一种在电力系统中广泛应用的电信号，它具有周期性和连续性的特点。

在研究交流电时，我们常常需要了解最大值和有效值之间的关系。

本文将详细介绍正弦交流电的最大值与有效值的概念、计算方法以及它们之间的数学关系。

2. 正弦交流电的基本特点正弦交流电是一种以正弦函数为描述模型的周期性变化信号。

它在一个周期内从最小值逐渐增加到最大值，再逐渐减小回到最小值，如图所示：图1：正弦交流电波形图正弦交流电可以用以下数学公式表示：V(t)=V max sin(ωt+ϕ)其中，V(t)表示时间t时刻的电压或电流值，V m ax为最大值，ω为角频率，ϕ为相位差。

3. 最大值与峰-峰值在研究正弦交流电时，我们通常关注的是它的最大值和峰-峰值。

3.1 最大值最大值表示正弦交流电波形中的最高点，即振幅。

在数学上，最大值可以通过将时间t取任意值，求解V(t)的最大值来计算。

对于正弦函数，我们知道其最大值为1。

因此，正弦交流电的最大值等于振幅V m ax。

3.2 峰-峰值峰-峰值表示正弦交流电波形中从最低点到最高点之间的差异，即波动范围。

在数学上，峰-峰值可以通过将时间t取任意两个相邻极限点处的差异来计算。

对于正弦函数，我们知道其极限点之间相差π。

因此，正弦交流电的峰-峰值等于2V max。

4. 有效值与均方根除了关注正弦交流电的最大值和峰-峰值外，我们还需要了解它的有效值和均方根。

4.1 有效值有效值是指一个周期内正弦交流电平均功率与直流电相同时所具有的电压或电流值。

有效值可以通过将时间t 取任意值，求解V (t )的平方后求平均值再开方来计算。

对于正弦函数，我们知道其平方后的平均值为12。

因此，正弦交流电的有效值等于max √2。

4.2 均方根均方根是指正弦交流电波形在一个周期内各点电压或电流的平方和开方得出的值。

均方根可以通过将时间t 取任意两个相邻点处的差异求平方和再开方来计算。

正弦量的有效值
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
正弦量的有效值
有效值是根据电流的热效应定义的：如果某一个周期交流电流通过电阻R在一个周期T内产生的热量和另一个直流电流i通过同样大小的电阻在相等的时间内产生的热量相等，则把这一直流电流I的值定义为该交流电流的有效值。

据此可得
故交流电的有效值为
对于正弦交流电流有代入上式则有
同理，对于正弦电压和电动势，有
温馨提示
（1）最大值等于有效值的2倍的关系仅仅适用于正弦量，其它非正弦的周期信号不能照搬这个关系式；
（2）工程上所说的正弦电压和电流的大小都是指有效值；
（3）一般交流测量仪表所指示的电压、电流的数值都是指有效值；（4）各种交流电气设备铭牌上所标定的电压、电流值都是有效值。

（5）初学者应注意几种量的字母表示形式，如瞬时值用小写字母i、u、e表示；有效值用大写不带下标字母I、U、E表示；最大值用大
写字母带下标表示，如、、。

中学教学参考
2018··6 中旬
2018
物理·教学研究
要的结论，但课本没有给出推导过程，而是直接给出：I=
Im
Um
，U=
。
2
2
本文用微积分法、平均值法、三角函数法对推导法
物理学科与数学学科有着密切的联系，在运用物理
知识解题时，一般要进行数学推理和运算。同时新课改
物理·教学研究
正弦交变电流有效值计算公式的推导
广西贺州高级中学（542800） 毛 亮
［摘
要］对交流电有效值定义的理解和应用以及各种交流电的有效值的计算是高考对学生知识和能力考查的内容之一。人民
教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书物理选修 3-2 中，
正弦交变电流的电压和电流的有效值是一个重要的结论，
以来，数学教材已经发生了变化，在高中阶段已经引入
了导数和微积分的内容，而微积分的引入对高中物理的
教学是有促进作用的，虽说学习起来有点难，但是有利
于进入高校后的学习。
现有一正弦交变电流，
如 图 1 ，它 的 瞬 时 表 达 式 为
i1=Imsinωt。
交流电的电流、电压及功
图1
率都是随时间变化的，其中电
一门科学，更是一门艺术，是科学与艺术的综合。物理
课堂精准教学需要做到优化、独到；教师的教学热情与
教态可以激发教学活力；学生的学习要做到自主、深刻；
评价要做到科学、激励；借助信息技术要做到恰当、有
效。只有这样才能把精准教学落到实处。
［ 参 考 文 献 ］
［1］ 彭红超，祝智庭 . 面向智慧学习的精准教学活动生成性设
学后教，当堂练习，个性教学，合作学习”这些都是符合
新课程理念与新时代要求的。

m TT几种常见的交变电流的有效值和平均值的计算湖北省襄樊市第一中学（441000）赵兴华高中物理第二册（实验修订本）《交变电流》一章中列举了几种常见交变电流，即：正弦交变电流、锯齿波电流、矩形脉冲电流和尖脉冲电流。

交变电流的有效值和平均值是两个不同的概念，不少学生在解题中不能很好地区分，造成解题失误。

交变电流的有效值是根据电流的热效应来规定的，让交流电和直流电通过相同阻值的电阻，如果它们在相同的时间里产生的热量相等，就把这一直流电的数值叫这一交流电的有效值；交变电流的平均值是指交变电流在一个周期内交流电的绝对值的平均值。

教材中只给出了正弦交变电流的有效值，没有给出其他几种交变电流的有效值，也没有给出平均值的大小。

笔者在这里给出它们供大家参考。

一、交变电流的有效值 1、正弦交变电流的有效值方法一：设有一直流电和一正弦交流电，分别通过同样的电阻 R ，经过时间 T （T 为该交流电的周期）内产生的热量分别为：Q 直＝I 2RT ，Q 交＝ P T ，则有：I ＝ 正弦交流电的瞬时功率： P ＝i 2R ＝ I 2 R sin 2 t ＝ I 2 R • 1(1 - cos 2t )mm2＝ 1 I 2 R - 1I 2 R cos 2t2m2 m上式中第一项是不随时间变化的常量，第二项是按余弦变化的量，在一个周期内，第二项的平均值是零，故有： P = 1I 2 R可得：I ＝ 2 m= I m2 = 0.707I m方法二：用积分的方法对于I ＝I m sin t ，通过阻值为R 的电阻在dt 时间里产生的热量dQ ， 则有：dQ ＝i 2Rdt ＝（I m sin t ）2Rdt在 1 个周期内，t=T ，R 产生的热量：2 21 1 1 2Q ＝ ⎰ (I m sin )t Rdt ＝ I R ⎰ ( - sin 2)t dt ＝ I RT 00 2 2 2 而等效电流 I 在相等的时间产生的热量也为 Q ，则有：Q ＝I 2RT 所以正弦交变电流的有效值与最大值之间的关系为：I ＝ Im 2、锯齿波电流的有效值：设有一锯齿波电流的最大值为 I m ，周期是2= 0.707I mT ，且 I m ＝k ， I m 2在半个周期内瞬时电流：i ＝kt-I m PRP R i TtT/2Tmm m 在 dt 时间里通过电阻 R 上产生热量为： dQ ＝（kt ）2Rdt在 t ＝T 时间通过电阻 R 上产生热量为：Q ＝ ⎰Tk 2t 2 Rdt =1 k2 RT 31211 2I I 2故有：I 2＝ k 2T 2 = ( m )2 T 2 = m12 12 T 3即锯齿波电流的有效值与最大值之间的关系为：I ＝ Im33、矩形脉冲电流的有效值：（1） 若有一矩形脉冲电流，正反向的电流值相等为 I m ，且正反向通电时间相等，周期为 T ，（如图所示）。

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由此解得
用此式计算出正弦电流i(t)=Imcos( t+ψ)的方均根值，
称为正弦电流的有效值。具体计算如下
第26页/共31页
计算结果表明，振幅为Im的正弦电流与数值为 I=0.707Im 的直流电流，在一个周期内，对电阻R提供相同 的能量。也就是说正弦电压电流的有效值为振幅值的0.707 倍，或者说正弦电压电流的振幅是其有效值的 倍。
图10-1
(a) 初相>0的情况 (b) 初相=0的情况
第4页/共31页
(c) 初相<0的情况
由于已知振幅Im ，角频率ω和初相i，就能够完全确
定一个正弦电流，称它们为正弦电流的三要素。与正弦电
流类似，正弦电压的三要素为振幅Um，角频率ω和初相u，
其函数表达式为
由于正弦电压电流的数值随时间t变化，它在任一时刻 的数值称为瞬时值，因此式(10－1)和(10－2)又称为正弦电 流和正弦电压的瞬时值表达式。
和
画在一
个复数平面上，就得到相量图，从相量图上容易看出各正
弦电压电流的相位关系。
图 10-7
第22页/共31页
图 10-7
相量图的另外一个好处是可以用向量和复数的运算法 则求得几个同频率正弦电压或电流之和。
例如用向量运算的平行四边形作图法则可以得到电流I 的相量，从而知道电流i(t)=Imcos(314t+ψ)的振幅约为12A， 初相约为124°。作图法的优点是简单直观，但不精确。
第20页/共31页
正弦电流与其电流相量的关系可以简单表示为
与此相似，对于正弦电流i2(t)= -10sin(314t+60)A可以
得到以下结果
三角公式 sinx=cos(x-90)

正弦交流电的瞬时值、最大值、有效值
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正弦交流电的瞬时值、最大值、有效值
在了解正弦交流电的瞬时值、最大值和有效值之前我们先来看看前一节课中的正弦交流电电动势波形图，如下右图所示。

这个波形图还可以用数学表达式表示为：
公式中：Em表示为最大值、ω为电角度、e为瞬时值、t表示时间。

由上述公式可见，交流电的大小是随着时间变化而变化的，瞬时值（某一瞬间）的大小在零和正负峰值之间变化，最大值也仅是一瞬间数值，不能反映交流电的做工能力。

于是便引入有效值的概念，其定义为：
如果交流电和直流电分别通过同一电阻，两者在相同的时间内所消耗的电能相等（或所产生的焦耳热相同），则此直流电的数值就叫做交流电有效值的数值。

正弦交流电的电动势、电压、电流的有效值分别以E、U、I表示。

通常所说的交流电的电动势、电压、电流的大小均值它的有效值。

交流电电气设备上标的额定值以及交流电仪表所指示的数值也均为有效值。

理论和实验均已表面、正弦交流电的有效值与最大值之间的关系为：
其他正弦量（电压、电流等）也可以写出文中开头第一个表达式的形式：
电压、电流也都有瞬时值、最大值、有效值。

一般瞬时值用小写字母（如u、i等）表示，最大值用大写字母附有下标m字母表示（如Um、Im）。

有效值用大写字母（U、I）表示。

最大值与有效值的关系为：。

正弦式交流电的有效值是指在相同的电阻上，如果通过一个直流电压能够产生与该交流电在一个周期内产生的平均功率相等的热量，则这个直流电压就称为该交流电的有效值。

对于正弦交流电而言，其数学表达式通常写作：\[ u(t) = A \cdot \sin(\omega t + \phi) \]其中：- \( A \) 是最大（峰值）电压或电流幅度，- \( \omega \) 是角频率，\( \omega = 2\pi f \)，其中\( f \) 是频率，- \( t \) 是时间，- \( \phi \) 是初相位。

有效值定义为：使交流电在电阻负载上产生的热量在相同时间内与恒定直流电在相同电阻上产生的热量相等的等效直流值。

推导过程可以基于功率计算来实现。

交流电的瞬时功率是电压和电流的乘积，对于阻性负载，电压和电流呈正比关系且同相位：\[ P(t) = u(t) \cdot i(t) \]而对于正弦交流电，电流\( i(t) \) 也具有类似的形式，即\( i(t) = I_m \cdot \sin(\omega t + \phi) \)，其中\( I_m \) 是电流的峰值。

平均功率在一个完整周期内的积分应当等于直流功率，即：\[ P_{avg} = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} u(t) \cdot i(t) dt \]将正弦波形代入并利用三角函数的性质进行积分后，可以得到平均功率只与振幅的平方成比例：\[ P_{avg} = \frac{U_{rms}^2}{R} \]其中\( R \) 是负载电阻，\( U_{rms} \) 是电压的有效值。

解这个方程求得\( U_{rms} \)：\[ U_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} u^2(t) dt} \]对正弦波形\( u(t) = A \cdot \sin(\omega t) \) 进行平方并积分后，得到：\[ U_{rms} = \frac{A}{\sqrt{2}} \]因此，正弦交流电的有效值与其峰值之间的关系就是：\[ U_{rms} = \frac{A}{\sqrt{2}} \]这就是正弦交流电有效值的具体推导方法。

正弦式交变电流的有效值公式推导是基于电流的热效应进行的。在推导过程中，我们假设有一个正弦式交变电流通过一个电阻，同时有一个直流电通过另一个相同电阻，生的热量与电流的平方、电阻和时间成正比。因此，我们可以通过比较交变电流和直流电在同一电阻上产生的热量来推导出正弦式交变电流的有效值公式。这个公式可以帮助我们更好地理解和计算正弦式交变电流在实际电路中的效应，特别是在涉及热效应和功率计算的应用中。

I m I m Ψ I m e


jwt
)]
２.
正弦波与旋转相量:

jy
旋转相量

Im e
+1
jw t
i Re[I m e
jt
]
ω
Im
O
t1 t2 t1 t2
+j
O
T
t
正弦电流 i 的瞬时值等于其对应的旋转相量在实轴上的投影。
三. 相量的运算
1. 同频率正弦量的加减
u1 ( t ) u2 ( t ) 2 U 1 cos(w t Ψ 1 ) Re( 2 U 1 e
O
+1
(a1 a2 ) j(b1 b2 )
2、减法 用代数形式进行，设 F a jb 1 1 1
F2 a2 jb2
F1 F2 (a1 jb1 ) (a2 jb2 ) (a1 a2 ) j(b1 b2 )
几何意义
+j
F1 F2
F2
§8-2 正弦量
一. 正弦量 1、振幅Im
i(t)=Imcos(w t+y i)
正弦量在整个振荡过程中达到的最大值。 2、角频率ω i T 相位变化的速度，反映正弦量 Im 变化的快慢，单位 rad/s。
w 2 f 2
O
T
2
wt
频率f ：赫兹（Hz） yi 周期T：秒（s） 如：f =50Hz, T = 0.02s，ω =314 rad/s
2
3
因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量，所以，只 要确定初相位和有效值(或最大值)就行了。因此， 正弦量 复数
实际是变 换的思想

正弦电流的有效值1. 什么是正弦电流？在电学中，正弦电流是指随时间变化的电流，其大小按照正弦函数的规律进行周期性变化。

正弦电流通常由交流电源产生，它是一种连续变化的电流形式。

正弦电流具有以下特点： - 周期性：正弦电流在相同时间间隔内重复出现。

- 对称性：正弦电流在周期的一半时间内上升到峰值，然后在另一半时间内下降到零。

- 平滑性：正弦电流的变化是连续而平滑的。

2. 正弦波形和有效值为了描述和计算交流电路中的正弦波形，我们使用振幅、频率和相位等参数。

振幅表示波形的最大值；频率表示波形每秒钟重复出现的次数；相位表示波形相对于某个参考点的偏移量。

有效值是指一个交流信号能够产生与等效直流信号相同功率的数值。

对于正弦波形而言，有效值等于其振幅除以√2（约为0.707倍）。

以交流电路中的正弦波形为例，我们可以通过以下公式计算其有效值：I_eff = I_m / √2其中，I_eff表示正弦电流的有效值，I_m表示正弦电流的峰值。

3. 正弦电流的应用正弦电流广泛应用于各个领域，包括但不限于以下几个方面：3.1 家庭用电在家庭用电中，交流电源提供了我们日常生活所需的能量。

正弦电流通过家庭中的插座供应给各种家电设备，如灯具、冰箱、空调等。

通过使用变压器和稳压器等设备，我们可以将交流电源转换为适合不同设备使用的合适电压和频率。

3.2 工业生产在工业生产中，正弦电流被广泛用于驱动各种机械设备。

例如，交流电机是工业生产中常见的驱动装置之一，它们通常由交流电源供应正弦电流以实现旋转运动。

此外，在自动化控制系统中，正弦信号也经常用于传感器测量和控制回路。

3.3 通信技术在通信技术中，正弦信号是信息传输和调制的基础。

例如，无线电通信中的调频调制（FM）和调幅调制（AM）都是基于正弦信号的变化。

通过改变正弦信号的频率、振幅和相位等参数，我们可以传输和解码各种类型的信息。

3.4 医疗设备在医疗设备中，正弦电流被用于各种治疗和诊断目的。