矩阵理论与应用(张跃辉编著)思维导图
- 格式：xmin
- 大小：4.83 KB
- 文档页数：1
下载文档原格式
合集下载
矩阵的实际应用ppt课件
应用1 生产成本
某工厂生产三种产品. 每种产品的原料费、工资支付
、管理费等见表1.
每季度生产每种产品的数量见表2.
该公司希望在股东会议上用一个表格 直观地展示出以下数据：
(1) 每一季度中每一类成本的数量； (2) 每一季度三类成本的总数量； (3) 四个季度每类成本的总数量.
解 我们用矩阵的方法考虑这个问题. 这两张表格中
2
2
1
44
52
3
15
1 1 1 43 43 20 14
反过来查表：
123
24 25 26
ABC
即可得到信息action．
XY Z
我们选择不同的可逆矩阵 A（密钥），则可得到不同的密文。
如： 选择可逆矩阵
1 2 3
A
应用3 应用矩阵编制Hill密码
密码学在经济和军事方面起着极其重要的作用。现在密码学涉及很多 高深的数学知识，这里只做简单介绍。
密码学中将信息代码称为密码，尚未转换成 密码的文字信息称为明文，由密码表示的信息称为密文。从明文到密文的过程 称为加密，反之为解密。
信源 加密 信道 解密 信宿
1929年，希尔（Hill）通过矩阵理论对传输信息进行加密处理，提出了在密 码史上有重要地位的希尔加密算法。下面我们介绍一下这种算法的基本思想。
0.02 0.3 0.98 0.7
Ax0
0.2960 0.7040
人口迁徙模型
从初始到k年，此关系保持不变，因此上 述算式的递推式为
xk Axk1 A2 xk2 Ak x0 输入：A[0.94,0.02;0.06,0.98],
张跃辉-矩阵理论与应用 前第四章答案
0 1
0 −1
)
0 −1
;.
11
18. 证明第三种初等矩阵 (即 I + aEij, i = j, a = 0) 彼此相似. 又, 第一种初等矩阵是否 彼此相似?
4
证明：为证明第三种初等矩阵 (即 I + aEij, i = j, a = 0) 彼此相似，先证明 Eij(i = j) 均 与 E12 相似即可. 为此，若 i = 1，则交换 Eij 的第 2 列与第 j 列，然后交换新矩阵 (此时新的 矩阵即为 E12) 的第 2 行与第 j 行，但这两行都是 0 行，故所得矩阵仍是 E12. 因此 Eij(i = j) 与 E12 相似.
A C
B D
= |A||D − CA−1B|.
证明：利用分块矩阵的初等变换可得
(
)(
)(
)
I 0 AB
A
B
−CA−1 I
C D = 0 D − CA−1B ,
故两端的行列式相等.
()
14. (1) 设矩阵 A, C 均可逆, 求分块矩阵
AB 0C
的逆矩阵.
(
)
(2) 设矩阵 A 可逆, D − CA−1B 也可逆, 证明分块矩阵
6. 证明: 对任意 n 阶矩阵 A, 有 r(An) = r(An+1).
证明：由于 r(Ai+1) ≤ r(Ai), 故 A, A2, · · · , An+1 中必有 2 个矩阵 As 与 At 的秩相同. 不妨设 s < t. 于是 r(As) = r(As+1) = · · · = r(At). 下证必有 r(At+1) = r(At). 考虑方程 组 At+1x = 0 的任意解 α. 由于 Aα 是 Atx = 0 的解而 r(At) = r(At−1)，故 At−1x = 0 与 Atx = 0 同解，从而 Aα 满足方程 At−1x = 0 即 Atα = 0. 这表明 At+1x = 0 与 Atx = 0 同解，故 r(At+1) = r(At). 重复上述证明可知 r(Ai) = r(Aj), ∀i, j ≥ s.
(精品课件)研究生教材《矩阵理论》PPT演示文档
列和第
行， x ( x1 , x2 ,, xn ) ,则有
( 2) ( n)
Ax x1 A x2 A xn A
这就是说，矩阵乘一个列向量，其结果是将该矩 阵的列向量进行线性组合，组合系数即是该列向量 的对应系数。 若令 y ( y1 , y2 ,, ym ), 则有：
yA y1 A(1) x2 A( 2) xm A( m)
其余元素均为0的矩阵。借助这些矩阵，任意 矩阵 A aij , 均能唯一地表示成： A
m n
n ij ij
a E .
i 1 j 1
m
对矩阵乘法的表达，可以利用下述性质：
Eij Ekl jk Eil ,1 i, j, k , l n,
其中 jk 是Kronecker符号，即当
.函数与极限
5
【定义1.1.4 】 一个 一个
m p
pn
p
矩阵 B bij
m n
矩阵 C cij , 其中
矩阵 A aij
与
的乘积是一个
cij aik bkj ,1 i m,1 j n.
j 1
★矩阵的乘法有下述性质： （M1)结合律：( AB)C A( BC);
并将其分块成
P Q1P2 ,
P 11 P P 21
.函数与极限
P 12 P22
26
其中
P 11 , P 12 , P 21 , P 22
分别为
r1 r2 ,
r1 ( p r2 ), ( p r1 ) r2 , ( p r1 ) ( p r2 )
A( E pq Eqp ) (aii Eii E pq aii Eii Eqp ) a pp E pq aqq Eqp ;
张跃辉矩阵理论与应用 第五章参考答案
证明：因为
x = 0,
故
||Ax|| ||x||
=
||A
x ||x||
||，由于
x ||x||
的范数为
1，即得所需。
16. (1) 证明 |||A|||2 = (ρ(A∗A))1/2 定义了一个矩阵范数, 称为 A 的谱范数; (2) 试求一个与矩阵的谱范数相容的向量范数; (3) 证明若 A 是正规矩阵, 则 A 的谱范数就是其谱半径 ρ(A); (4) 设 V 是由全体 Hermite 矩阵构成的复线性空间, 证明谱半径给出 V 上的一个向量范 数. 该范数是矩阵范数吗?
|((a − b)x, y)| + |(b − a)(x, y)| ≤ 2|a − b|||x||2||y||2. 由于对任意给定的 ε > 0, 总存在 b ∈ Q 使
得 |a − b| < ε, 因此上式意味着 |(ax, y) − a(x, y)| 可以任意小, 故它们必相等.
(4) 仅有 l2 范数.
(4) | ||x|| − ||y|| | ≤ ||x − y||.
证明：(1) ||0|| = ||0x|| = 0||x|| = 0;
x
1
(2) ||x|| = ||x|| ||x|| = 1;
(3) || − x|| = | − 1|||x|| = ||x||;
(4) ||x|| ≤ ||x − y|| + ||y||, ||y|| ≤ ||x − y|| + ||x||.
证明：为方便起见，设内积空间为欧氏空间. (1) 设 || • || 是由内积 (•, •) 诱导的范数，则
||x ± y||2 = (x ± y, x ± y) = (x, x) ± 2(x, y) + (y, y).
矩阵图知识点总结归纳
矩阵图知识点总结归纳一、矩阵图的概念矩阵图是一种以矩阵的形式展示数据的可视化方式。
矩阵的行和列分别代表数据的不同维度，而矩阵中的数值则表示不同维度之间的关系或相似度。
矩阵图通常使用颜色来标示不同数值的大小，一般采用颜色的深浅来表示数据的大小或者相关程度，从而使得人们可以直观地观察和理解数据的规律和特征。
二、矩阵图的原理矩阵图的原理主要是依靠颜色表达数据的大小或相关程度。
一般来说，我们将数据标准化到[0, 1]之间，然后通过一种颜色映射函数将数值映射到颜色上。
比如，我们可以使用从浅到深的色阶来表示数据的大小，越浅的颜色表示数值越小，越深的颜色代表数值越大。
这样就可以直观地观察和理解数据之间的关系。
三、矩阵图的应用矩阵图在生物信息学、金融分析、社交网络分析、医学图像分析等领域有着广泛的应用。
在生物信息学中，矩阵图常用于展示基因之间的相似性或者功能关联。
在金融分析中，矩阵图可以帮助人们发现不同金融产品之间的相关性或者关联度。
在社交网络分析中，矩阵图则可以用来展示不同用户之间的交互关系。
在医学图像分析中，矩阵图可以帮助人们理解不同医学影像之间的相似程度或者相关性。
四、矩阵图的制作方法矩阵图的制作方法较为简单，大致可以分为数据准备和矩阵图绘制两个步骤。
首先，我们需要准备好需要展示的数据，将数据标准化到[0, 1]之间。
然后，我们可以使用一些专业的可视化工具，比如Python中的Matplotlib、Seaborn库，或者R语言中的ggplot2包来绘制矩阵图。
在绘制矩阵图时，我们一般会根据数据的特点选择合适的颜色映射函数，并且添加一些标签或者注释以帮助观察者更好地理解数据。
总之，矩阵图是一种重要的数据可视化方式，它以矩阵的形式展示数据，通过颜色的深浅来表示不同数值的大小或相关程度，有助于人们更直观地理解数据之间的关系。
矩阵图在生物信息学、金融分析、社交网络分析、医学图像分析等领域有着广泛的应用，可以帮助人们发现数据的规律和特征。
上海交通大学矩阵理论试卷张跃辉
7
八、证明题(6 分)
设A为n阶矩阵，证明：A非奇异的充分必要条件是存在常数项不等于0的多项式g(λ)使 得g(A) = 0。
8
附
录
上海交通大学 2009-2010 学年第一学期《矩阵理论》试卷
姓名
学号
矩阵理论分班号
成绩
本试卷共四道大题, 总分 100 分. 其中 A∗ 表示矩阵 A 的共轭转置.
A
与
B
的最小多项式分别为
(x
−
1)2(x
−
2)
与
(x
−
1)(x
−
2)2,
则矩
阵
A A−B 0B
的最小多项式为 (
)
(A)(x−1)2(x−2)
(B)(x−1)(x−2)2
(C)(x−1)2(x−2)2
(D)(x−1)3(x−2)3
4. 设 A 为 n 阶可逆矩阵, ρ(A) 是其谱半径, || • || 是一种矩阵范数, 则必有 ( )
(3) 设 σ 是 V 的一个等距变换, σ(e1) = e1 + e2. 求 σ((x, y)T )? 这样的等距变换唯一吗?
100
13. 设 A = 1 0 1 .
010
(1) 求 A 的 Jordan 标准形 J(不必计算变换矩阵 P ); (2) 设 n ≥ 3, 计算 An − An−2 与 A2 − E; (3) 求 ∫0t(E − A−2)eAsds.
1
二. 填空题(每空 3 分, 共 15 分)
设二维线性空间V 的线性变换T1 : V → V 与T2 : V → V 在基α1, α2下的矩阵分别为
()
A=
1 2
八、证明题(6 分)
设A为n阶矩阵，证明：A非奇异的充分必要条件是存在常数项不等于0的多项式g(λ)使 得g(A) = 0。
8
附
录
上海交通大学 2009-2010 学年第一学期《矩阵理论》试卷
姓名
学号
矩阵理论分班号
成绩
本试卷共四道大题, 总分 100 分. 其中 A∗ 表示矩阵 A 的共轭转置.
A
与
B
的最小多项式分别为
(x
−
1)2(x
−
2)
与
(x
−
1)(x
−
2)2,
则矩
阵
A A−B 0B
的最小多项式为 (
)
(A)(x−1)2(x−2)
(B)(x−1)(x−2)2
(C)(x−1)2(x−2)2
(D)(x−1)3(x−2)3
4. 设 A 为 n 阶可逆矩阵, ρ(A) 是其谱半径, || • || 是一种矩阵范数, 则必有 ( )
(3) 设 σ 是 V 的一个等距变换, σ(e1) = e1 + e2. 求 σ((x, y)T )? 这样的等距变换唯一吗?
100
13. 设 A = 1 0 1 .
010
(1) 求 A 的 Jordan 标准形 J(不必计算变换矩阵 P ); (2) 设 n ≥ 3, 计算 An − An−2 与 A2 − E; (3) 求 ∫0t(E − A−2)eAsds.
1
二. 填空题(每空 3 分, 共 15 分)
设二维线性空间V 的线性变换T1 : V → V 与T2 : V → V 在基α1, α2下的矩阵分别为
()
A=
1 2
高二数学选修4-22.6矩阵的简单应用ppt
（3）求出M与N的特征值《；课课练》P28页例3题！
热身练习
3.设矩阵M
2 6
15及向量
2
9
（1）求M的特征值及对应的特征向量e1，e2；
（（23））确利定用实（数2）a，中b表，达使式向量 计算可M以3表，示M为n； ae1
be2;
（4）根据（3）的运算结果，当n较大时，给出计算M n
的一个近似表达式。
例题分析
例1、已知盒子A中装有3只大小和重量相同的小球，其中2只黑
色，1只白色；盒子B中装有5只大小和重量相同的小球，其中3
只黑色，2只白色。假定两个盒子很难分辨，而且可以任取一个，
现在要求先取一个盒子，试求从中摸到一只黑色小球的概率有
多大？
提示：（1）取盒子的概率可为列向量M
1
2 1 2
A B
2
0
1
M
5
3
4
3
L
2
4
5
5
XL
1
0
1
1
假设不同品牌的运动服的平均利润是A为20元/件，B为15元 /件，C为30元/件，D为25元/件， 求（1）M号的运动服在这天获得的总利润；
（2）所有品牌运动服在这天获得的总利润；
例题分析
例3：如图所示的是A、B、C三个城市间的交通情况，现你想从 其中某一个城市出发直达另一个城市，问可以有几种选择？ 如果你想从某一个城市出发，先经过一个城市，再到达另一个 城市，问又可以有几种选择？
（2）从两个盒子中摸一只黑、白小球的概率可用矩阵表示：
A
B
N
X Y
2 3
1
3 5
2
3 5
例题分析
热身练习
3.设矩阵M
2 6
15及向量
2
9
（1）求M的特征值及对应的特征向量e1，e2；
（（23））确利定用实（数2）a，中b表，达使式向量 计算可M以3表，示M为n； ae1
be2;
（4）根据（3）的运算结果，当n较大时，给出计算M n
的一个近似表达式。
例题分析
例1、已知盒子A中装有3只大小和重量相同的小球，其中2只黑
色，1只白色；盒子B中装有5只大小和重量相同的小球，其中3
只黑色，2只白色。假定两个盒子很难分辨，而且可以任取一个，
现在要求先取一个盒子，试求从中摸到一只黑色小球的概率有
多大？
提示：（1）取盒子的概率可为列向量M
1
2 1 2
A B
2
0
1
M
5
3
4
3
L
2
4
5
5
XL
1
0
1
1
假设不同品牌的运动服的平均利润是A为20元/件，B为15元 /件，C为30元/件，D为25元/件， 求（1）M号的运动服在这天获得的总利润；
（2）所有品牌运动服在这天获得的总利润；
例题分析
例3：如图所示的是A、B、C三个城市间的交通情况，现你想从 其中某一个城市出发直达另一个城市，问可以有几种选择？ 如果你想从某一个城市出发，先经过一个城市，再到达另一个 城市，问又可以有几种选择？
（2）从两个盒子中摸一只黑、白小球的概率可用矩阵表示：
A
B
N
X Y
2 3
1
3 5
2
3 5
例题分析
矩阵图
矩阵图
八、矩阵图
矩阵图的概念 矩阵图是一种利用多维思考去逐步明确问题的方法； 矩阵图是一种利用多维思考去逐步明确问题的方法； 从问题的各种关系中找出成对要素L 从问题的各种关系中找出成对要素 1，L2 ，…，Li ，…，Ln和R1， ， ， R2 ，…，Ri ，…，Rn用数学上矩阵的形式排成行和列，在其交点上 ， ， 用数学上矩阵的形式排成行和列， 标出L和 各因素之间的相互关系 从中确定关键点的方法。 各因素之间的相互关系， 标出 和R各因素之间的相互关系，从中确定关键点的方法。 在分析质量问题的原因、整理顾客要求、分解质量目标时，将问题、 在分析质量问题的原因、整理顾客要求、分解质量目标时，将问题、 顾客需求、质量目标 设为 放在矩阵图的左边，将问题的原因、 设为L)放在矩阵图的左边 顾客需求、质量目标(设为 放在矩阵图的左边，将问题的原因、顾 客需求转化来的质量目标或针对质量目标提出的质量措施(设为 列 客需求转化来的质量目标或针对质量目标提出的质量措施 设为R)列 设为 在矩阵图的上方，用不同的符号表示它们之间关系的强弱。 在矩阵图的上方，用不同的符号表示它们之间关系的强弱。 通常用◎表示关系密切， 表示有关系， 表示可能有关系。 通常用◎表示关系密切，○表示有关系，△表示可能有关系。 通过在交点处给出行与列对应要素的关系及关系程度， 通过在交点处给出行与列对应要素的关系及关系程度，可以从二元 关系中探讨问题所在和问题的形态，并得到解决问题的设想。 关系中探讨问题所在和问题的形态，并得到解决问题的设想。
主要问题是“功率大”、“转速低”，主要原因是“定子性能差”。 主要问题是“功率大” 转速低” 主要原因是“定子性能差” 进一步分析定子性能差的影响因素，通过试验，找到解决办法。 进一步分析定子性能差的影响因素，通过试验，找到解决办法。
八、矩阵图
矩阵图的概念 矩阵图是一种利用多维思考去逐步明确问题的方法； 矩阵图是一种利用多维思考去逐步明确问题的方法； 从问题的各种关系中找出成对要素L 从问题的各种关系中找出成对要素 1，L2 ，…，Li ，…，Ln和R1， ， ， R2 ，…，Ri ，…，Rn用数学上矩阵的形式排成行和列，在其交点上 ， ， 用数学上矩阵的形式排成行和列， 标出L和 各因素之间的相互关系 从中确定关键点的方法。 各因素之间的相互关系， 标出 和R各因素之间的相互关系，从中确定关键点的方法。 在分析质量问题的原因、整理顾客要求、分解质量目标时，将问题、 在分析质量问题的原因、整理顾客要求、分解质量目标时，将问题、 顾客需求、质量目标 设为 放在矩阵图的左边，将问题的原因、 设为L)放在矩阵图的左边 顾客需求、质量目标(设为 放在矩阵图的左边，将问题的原因、顾 客需求转化来的质量目标或针对质量目标提出的质量措施(设为 列 客需求转化来的质量目标或针对质量目标提出的质量措施 设为R)列 设为 在矩阵图的上方，用不同的符号表示它们之间关系的强弱。 在矩阵图的上方，用不同的符号表示它们之间关系的强弱。 通常用◎表示关系密切， 表示有关系， 表示可能有关系。 通常用◎表示关系密切，○表示有关系，△表示可能有关系。 通过在交点处给出行与列对应要素的关系及关系程度， 通过在交点处给出行与列对应要素的关系及关系程度，可以从二元 关系中探讨问题所在和问题的形态，并得到解决问题的设想。 关系中探讨问题所在和问题的形态，并得到解决问题的设想。
主要问题是“功率大”、“转速低”，主要原因是“定子性能差”。 主要问题是“功率大” 转速低” 主要原因是“定子性能差” 进一步分析定子性能差的影响因素，通过试验，找到解决办法。 进一步分析定子性能差的影响因素，通过试验，找到解决办法。
大一线性代数知识点脉络图
大一线性代数知识点脉络图线性代数作为一门基础课程，是大多数理工科学生在大一学期中所学习的重要的数学课程之一。
线性代数涉及了向量、矩阵、线性方程组等概念和运算，是很多高级数学和应用学科的基础。
本文将以脉络图的形式梳理大一线性代数的知识点，帮助读者建立起较为清晰的知识框架。
1. 向量与矩阵基础- 向量的概念与运算- 矩阵的定义与运算- 向量和矩阵的秩与空间2. 线性方程组- 线性方程组的概念与解的存在唯一性- 初等行变换- 高斯消元法与矩阵的行阶梯形3. 线性方程组的向量表示- 齐次线性方程组的解空间- 非齐次线性方程组的解与特解- 向量空间与子空间的概念4. 行列式- 行列式的定义与性质- 行列式的计算方法与性质- 行列式的应用：求解线性方程组的可解性与唯一性5. 特征值与特征向量- 特征值与特征向量的定义- 特征值与特征向量的计算- 对角化与相似矩阵6. 线性变换- 线性变换的定义与性质- 线性变换的矩阵表示与变换矩阵的相似性- 可逆线性变换与逆变换7. 内积与正交性- 内积的定义与性质- 正交向量与正交矩阵- 施密特正交化过程8. 向量空间与线性相关性- 向量空间的定义与性质- 线性相关性与线性无关性- 极大线性无关组与基9. 正交投影与最小二乘法- 正交投影的概念与性质- 正交投影的计算方法- 最小二乘法与最佳拟合10. 特征分解与奇异值分解- 特征分解的概念与性质- 特征分解的计算方法- 奇异值分解的定义与性质通过以上的脉络图，我们可以看到线性代数的知识点在逐步展开中构建起来一个完整的知识体系。
这些知识点将为今后学习更高级的数学课程以及应用科学领域打下基础。
同时，我们也要注意结合实际问题进行思考和应用，加深对线性代数概念和方法的理解和运用。
线性代数是一个需要多次实践和不断强化的学科，因此在学习的过程中需要进行大量的练习和习题训练。
通过与实际问题的结合，我们可以更好地理解和掌握线性代数的知识点，并且能够灵活运用到相关的领域中。
矩阵理论与应用(张跃辉)(上海交大)第二章参考答案
11. 设 A, B 分别是 n × m, m × p 矩阵, V 是齐次线性方程组 xAB = 0 的解空间. 证 明 U = {y = xA | x ∈ V } 是 F n 的子空间, 并求 U 的维数.
证明：直接验证可知 U 关于加法与数乘均封闭，故是子空间。dim U = r(A) − r(AB).
(1) 求 U ∩ W 的基; (2) 扩充 U ∩ W 的基, 使其成为 U 的基; (3) 扩充 U ∩ W 的基, 使其成为 W 的基; (4) 求 U + W 的基.
解：（1）(−1, 2, 1, 2)T ; (2) (−1, 2, 1, 2)T , (1, 2, 3, 6)T ; (3) W = [(−1, 2, 1, 2)T , (1, −1, 1, 1)T ]; (4) U + W = [(−1, 2, 1, 2)T , (1, 2, 3, 6)T , (1, −1, 1, 1)T ].
证明：（1）设 dim U = s, dim W = t, dim (U ∩W ) = r. 任取 U ∩W 的一组基 α1, α2, · · · , αr. 由于 U ∩ W 是 U 与 W 的公共子空间, 故 U ∩ W 的基是 U 与 W 的线性无关的向量组, 因此 可以扩充成 U 或 W 的基. 设
再设 α ∈ U + W . 则存在 β ∈ U, γ ∈ W , 使得 α = β + γ. 因为 (1) 和 (2) 分别 是 U 和 W 的基, 因此有系数 k1, k2, ..., kr, br+1, br+2, ..., bs 及 l1, l2, ..., lr, cr+1, cr+2, ..., ct 使
6. 设 V 是线性空间, W1, W2, · · · , Ws 是 V 的真子空间. 证明 W1 ∪ W2 ∪ · · · ∪ Ws = V .(提 示: 利用 Vandermonde 行列式或归纳法.)
证明：直接验证可知 U 关于加法与数乘均封闭，故是子空间。dim U = r(A) − r(AB).
(1) 求 U ∩ W 的基; (2) 扩充 U ∩ W 的基, 使其成为 U 的基; (3) 扩充 U ∩ W 的基, 使其成为 W 的基; (4) 求 U + W 的基.
解：（1）(−1, 2, 1, 2)T ; (2) (−1, 2, 1, 2)T , (1, 2, 3, 6)T ; (3) W = [(−1, 2, 1, 2)T , (1, −1, 1, 1)T ]; (4) U + W = [(−1, 2, 1, 2)T , (1, 2, 3, 6)T , (1, −1, 1, 1)T ].
证明：（1）设 dim U = s, dim W = t, dim (U ∩W ) = r. 任取 U ∩W 的一组基 α1, α2, · · · , αr. 由于 U ∩ W 是 U 与 W 的公共子空间, 故 U ∩ W 的基是 U 与 W 的线性无关的向量组, 因此 可以扩充成 U 或 W 的基. 设
再设 α ∈ U + W . 则存在 β ∈ U, γ ∈ W , 使得 α = β + γ. 因为 (1) 和 (2) 分别 是 U 和 W 的基, 因此有系数 k1, k2, ..., kr, br+1, br+2, ..., bs 及 l1, l2, ..., lr, cr+1, cr+2, ..., ct 使
6. 设 V 是线性空间, W1, W2, · · · , Ws 是 V 的真子空间. 证明 W1 ∪ W2 ∪ · · · ∪ Ws = V .(提 示: 利用 Vandermonde 行列式或归纳法.)