随机过程 第三讲

第二章 Markov 过程（03）本章我们先讨论一类特殊的参数离散状态空间离散的随机过程，参数为0},2,1,0{N T == ，状态空间为可列},2,1{ =S 或有限},,2,1{n S =的情况，即讨论的过程为Markov 链。

Markov 链最初由Markov 于1906年引入，至今它在自然科学、工程技术、生命科学及管理科学等诸多领域中都有广泛的应用。

之后我们将讨论另一类参数连续状态空间离散的随机过程，即纯不连续Markov 过程。

1． Markov 链的定义定义：设随机序列}0);({≥n n X 的状态空间为S ，如果对0N n ∈∀，及0})(,,)1(,)0({,,,,,10110>===∈+n n n i n X i X i X P S i i i i ，有：})()1({})(,,)1(,)0()1({1101n n n n i n X i n X P i n X i X i X i n X P ==+======+++ (A)则称}0);({≥n n X 为Markov 链。

注1：随机序列}0);({≥n n X 也可记为}0;{≥n X n 。

注2： 等式（A ）刻画了Markov 链的特性，称此特性为Markov性或无后效性，简称为马氏性。

Markov 链也称为马氏链。

定义：设}0);({≥n n X 为马氏链，状态空间为S ，对于S j i ∈∀,，称)(ˆ})()1({n p i n X j n X P j i ===+为马氏链}0);({≥n n X 在n 时刻的一步转移概率。

若对于S j i ∈∀,，有j i j i p n p i n X j n X P ≡===+)(ˆ})()1({即上面式子的右边与时刻n 无关，则称此马氏链为齐次（或时齐的）马氏链。

对于齐次马氏链，我们记)(j i p P =，称矩阵P 为齐次马氏链的一步转移概率矩阵，简称为转移矩阵。

随机过程_课件---第三章第三章随机过程3.1 随机过程的基本概念1、随机过程定义3-1 设(),,F P Ω是给定的概率空间，T 为一指标集，对于任意t T ∈，都存在定义在(),,F P Ω上，取值于E 的随机变量()(),X t ωω∈Ω与它相对应，则称依赖于t 的一族随机变量(){},:X t t T ω∈为随机过程，简记(){}tX ω，{}tX 或(){}X t 。

注：随机过程(){,:,}X t t T ωω∈Ω∈是时间参数t 和样本点ω的二元函数，对于给定的时间是()00,,t T X t ω∈是概率空间(),,F P Ω上的随机变量；对于给定样本点()00,,X t ωω∈Ω是定义在T 上的实函数，此时称它为随机过程对应于0ω的一个样本函数，也成为样本轨道或实现。

E 称为随机过程的相空间，也成为状态空间，通常用""t X x =表示t X 处于状态x 。

2、随机过程分类：随机过程t X 按照时间和状态是连续还是离散可以分为四类：连续型随机过程、离散型随机过程、连续随机序列、离散随机序列。

3、有穷维分布函数定义3-2 设随机过程{}t X ，在任意n 个时刻1,,n t t 的取值1,,nt tX X 构成n 维随机向量()1,,n t t XX ，其n 维联合分布函数为：()()11,,11,,,,nnt t nt t nF x x P X x Xx ≤≤其n 维联合密度函数记为()1,,1,,n t tn f x x 。

我们称(){}1,,11,,:1,,,nt t n n Fx x n t t T ≥∈ 为随机过程{}t X 的有穷维分布函数。

3.2 随机过程的数字特征1、数学期望对于任何一个时间t T ∈，随机过程{}t X 的数学期望定义为()()tX t t E X xdF x μ+∞-∞==?()t E X 是时间t 的函数。

2、方差与矩随机过程{}t X 的二阶中心矩22()[(())],tX t t t Var X E X E X t T σ==-∈称为随机过程{}t X 的方差。

第三讲随机过程的数字特征和特征函数讲解在概率论和统计学中，随机过程是指一组随机变量的集合，这些随机变量依赖于一个参数（通常是时间）。

随机过程的数字特征和特征函数是描述随机过程的重要概念。

1.数字特征：随机过程的数字特征是对其统计特性的度量，通常用于描述随机过程的平均值、方差、协方差等。

随机过程的数字特征可以通过计算随机变量的数学期望、方差等得到。

2.特征函数：特征函数是随机过程的一种表示方式，它是对随机过程的全面描述。

特征函数是随机变量的复数值函数，它对于每个时间点都定义了一个复数值，用来表示该时间点的随机变量的概率分布。

特征函数可以通过随机变量的概率密度函数计算得到。

特征函数的性质：-对称性：如果随机过程的数字特征对称，那么它的特征函数也对称。

-唯一性：特征函数能够唯一地表示一个随机过程的概率分布。

-独立性：随机过程的特征函数在不同时间点上是相互独立的。

-连续性：特征函数是连续函数，可以通过连续函数逼近定理来证明。

特征函数的应用：-用于推导随机过程的数字特征：通过特征函数可以推导出随机过程的数字特征，例如平均值、方差。

-用于计算随机过程的概率分布：通过特征函数可以计算随机过程的概率分布，例如计算随机过程在其中一时间点的概率。

-用于分析和处理随机过程的相关问题：通过特征函数可以进行随机过程的变换、滤波等操作，从而实现对随机过程的分析和处理。

总之，随机过程的数字特征和特征函数是描述随机过程的重要工具，它们可以用来分析和处理随机过程相关的问题，推导随机过程的数字特征，并计算随机过程的概率分布。

平稳随机过程的定义平稳随机过程的定义平稳随机过程的定义平稳随机过程的定义平稳随机过程的定义平稳随机过程自相关函数性质平稳随机过程自相关函数的特性()()=−X X R R ττ相关函数是偶函数证明：()[()()][()()]()=+=+=−X X R E X t X t E X t X t R ττττ根据这个性质，在实际问题中只需计算或测量()R τ平稳随机过程自相关函数的特性平稳随机过程自相关函数性质R τ0=τ(0)()≥X X R R τ相关函数在时有最大值()X 证明：有2{[()()]}0±+≥E X t X t τ即22[()2()()()]0±+++≥E X t X t X t X t ττ22[()]2[()()][()]0±+++≥E X t E X t X t E X t ττ平稳随机过程自相关函数的特性平稳随机过程自相关函数性质若随机过程含有周期分量，则自相关函数也含有周期分量0()cos()()=+Φ+X t A t N t ω2A 例如：其中和为常数，在上均匀分布，是与统计独立的平稳随机过程A 0ωΦ(,)−ππΦ()N t ()cos ()=+R R τωττ平稳随机过程自相关函数的特性平稳随机过程自相关函数性质2)(lim XX m R =∞→ττ若随机过程不含周期分量，则证明：2lim ()lim [()()]lim [()][()]X XR E X t X t E X t E X t m ττττττ→∞→∞→∞=+=+=平稳随机过程自相关函数的特性平稳随机过程自相关函数性质22R +=2R E X =)0(X X X m σ)(τX R 2X σ)0(X R 统计平均功率直流功率()R ∞(0)[()]X t平稳随机过程自相关函数的特性平稳随机过程自相关函数性质相关函数具有非负定性即对任意的个实数和任意实函数，有复数,,...,N t t t 12()()()N N i j X i j i j g t g t R t t ==−≥∑∑11N ()g t 证明：()()()N Ni j X i j g t g t R t t −∑∑i j ==11相关系数和相关时间相关系数和相关时间其它平稳的概念其它平稳的概念其它平稳的概念其它平稳的概念其它平稳的概念其它平稳的概念随机过程的各态历经性随机过程的各态历经性随机过程的各态历经性随机过程的各态历经性随机过程的各态历经性随机过程的各态历经性小结小结作业。