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n
C Gd n
D Gd F c 334882===λ 上式中：
c ：弹簧的刚度，（即你所说的弹性系数，中学物理叫倔强系数k ）； F ：弹簧所受的载荷；
λ：弹簧在受载荷F 时所产生的变形量；
G ：弹簧材料的切变模量；（钢为8×104MPa ，青铜为4×104MPa ） d ：弹簧丝直径；
D 2：弹簧直径；
n ：弹簧有效圈数；
C ：弹簧的旋绕比（又称为弹簧指数d
D C 2=） 由上式可知。
当其它条件相同时，C 值愈小的弹簧，刚度愈大，亦即弹簧愈硬；反之则愈软。
还应注意到，C 值愈小，弹簧内、外侧的应力差愈悬殊，卷制愈难，材料利用率也就愈低，并且在工作时将引起较大的扭应力。
所以在设计弹簧时，一般规定C ≥4，且当弹簧丝直径d 越小时，C 值越宜取大值。
其实上面这个公式是根据微段弹簧丝ds 受转矩后扭转d θ，从而产生微量变形d λ，再将d λ积分而得到圆弹簧丝螺旋弹簧在受载荷F 后所产生的变形量：
4328Gd n FD =λ。
上式中：
c：弹簧的刚度，（即你所说的弹性系数，中学物理叫倔强系数k）；
F：弹簧所受的载荷；
λ：弹簧在受载荷F时所产生的变形量；
G：弹簧材料的切变模量；（钢为8×104MPa，青铜为4×104MPa）
d：弹簧丝直径；
D2：弹簧直径；
n：弹簧有效圈数；
C：弹簧的旋绕比（又称为弹簧指数）
由上式可知。
当其它条件相同时，C值愈小的弹簧，刚度愈大，亦即弹簧愈硬；反之则愈软。
还应注意到，C值愈小，弹簧内、外侧的应力差愈悬殊，卷制愈难，材料利用率也就愈低，并且在工作时将引起较大的扭应力。
所以在设计弹簧时，一般规定C≥4，且当弹簧丝直径d 越小时，C值越宜取大值。
其实上面这个公式是根据微段弹簧丝ds受转矩后扭转dθ，从而产生微量变形dλ，再将d λ积分而得到圆弹簧丝螺旋弹簧在受载荷F后所产生的变形量：。
单桥复合悬架橡胶空心弹簧刚度分析和参数优化单桥复合悬架是一种常见的车辆悬架结构，它是由多种材料和部件构成的复合系统，其中橡胶空心弹簧是其中重要的组成部分之一。
橡胶空心弹簧的刚度对于悬架的性能和行驶稳定性有着决定性的影响，因此对橡胶空心弹簧的刚度进行分析和参数优化十分必要。
首先，橡胶空心弹簧的刚度与其材料硬度、几何尺寸和壁厚等因素密切相关。
一般来说，橡胶弹簧的刚度与其材料硬度成正比，与截面积和弹簧高度的平方成反比，与弹簧的壁厚成正比。
因此，在进行橡胶空心弹簧刚度优化时，需要考虑这些因素的综合作用。
其次，橡胶空心弹簧的刚度对于悬架系统的动力特性和驾驶品质有着重要的影响。
如果弹簧刚度过大，容易出现车身反弹过度、颠簸感强等问题；如果弹簧刚度过小，则会影响悬架的稳定性和悬架系统的减震效果。
因此，进行橡胶空心弹簧刚度优化时，需要充分考虑悬架系统的整体性能和行驶稳定性。
最后，对于橡胶空心弹簧的刚度优化，需要结合实际使用情况和测试数据，采用试验方法和数值模拟分析进行验证和改进。
同时，对于不同类型和用途的车辆，需要根据其特定的工作条件和行驶环境进行个性化的橡胶空心弹簧刚度优化，以实现更高的悬架性能和行驶稳定性。
综上所述，橡胶空心弹簧刚度是单桥复合悬架中非常重要的组成部分，对于悬架的性能和行驶稳定性有着决定性的影响。
在优化橡胶空心弹簧刚度时，需要考虑材料硬度、几何尺寸、壁厚以及悬架系统的整体性能和行驶稳定性等因素，采用试验方法和数值模拟分析进行验证和改进，实现更高的悬架性能和行驶稳定性。
在进行橡胶空心弹簧刚度分析和参数优化时，还需要结合悬架系统的其他部分进行考虑。
例如，悬架系统中的减震器和悬挂连杆也会对弹簧刚度产生影响。
在悬架系统中，减震器主要起到缓冲和阻尼作用，能够有效减少车身的弹动和震动。
如果弹簧刚度过大，会使减震器的阻力不足导致无法有效地吸收冲击力，从而影响悬架的降震效果。
因此，在橡胶空心弹簧刚度优化时，需要支持适当考虑减震器的阻尼特性和悬挂连杆的长度和角度等因素，以达到更好的整体效果。
减振器螺旋弹簧组串并联刚度计算与分析可帅;冯治国;李长虹;余世捷【摘要】基于有限元仿真提出了一种新的减振器弹簧组刚度计算方法,首先利用UG建模平台对减振器中弹簧组的两种常见的串并联方式进行简化三维建模,然后将建立好的弹簧组三维模型导入ANSYS中进行弹簧组串、并联有限元分析,分别得到两种弹簧组在不同作用力下位移的变化量,利用Matlab数据处理平台分别拟合出弹簧组理论曲线和有限元分析的位移与法向力的关系曲线,并分别计算出相对误差,将二者进行对比分析;最后采用相同的分析方法进行了整个减振器扭转刚度的计算与分析.研究表明,串、并联弹簧组均具有线性特征,为更复杂的弹簧组的使用提供可靠地理论依据和方法.【期刊名称】《机械设计与制造》【年(卷),期】2018(000)009【总页数】4页(P25-28)【关键词】螺旋弹簧组;刚度特性;三维建模;ANSYS;Matlab【作者】可帅;冯治国;李长虹;余世捷【作者单位】贵州大学机械工程学院,贵州贵阳 550025;贵州大学机械工程学院,贵州贵阳 550025;贵州大学机械工程学院,贵州贵阳 550025;贵州大学机械工程学院,贵州贵阳 550025【正文语种】中文【中图分类】TH161 引言汽车行驶的过程中，减振器中的弹簧起着缓冲和减震的作用，由于路况不同，弹簧要不断承受高频往复的运动，因此弹簧减振能力和质量的好坏，直接影响着车辆的平稳性和安全性。
在弹簧减振器中，把不同性能的弹簧按照一定的方式组成新的弹簧组系统，往往比单只弹簧的使用更加普遍。
弹簧组的使用提高了传统的单只长弹簧的侧向稳定性。
为改善货车小载荷下的运行品质，提高对扭曲线路的适应能力，货车转向架弹簧悬挂装置中两级刚度弹簧组早在上世纪50年代就在前苏联X-2型货车转向架上得到应用。
在国外一些国家的货车转向架上，两级刚度弹簧组都程度不同地得到了应用。
在解决管道热力学膨胀的问题中，国外科研人员采用多级弹簧串联使用，由多个弹簧来共同分担热位移的影响。
弹簧单圈刚度和弹簧刚度弹簧单圈刚度和弹簧刚度是描述材料在受力作用下产生了多大的变形量的物理量。
弹簧单圈刚度是指单位长度(或单位横截面积)弹簧在一侧擅长一圈所产生的抗弯刚度，而弹簧刚度则是指单位长度(或单位横截面积)的杆状弹簧在受到拉伸或压缩时所产生的反作用力和变形之间的比值。
要理解弹簧单圈刚度和弹簧刚度的概念，我们需要了解一些基本的力学知识和弹性形变理论。
首先，我们来看一看弹簧单圈刚度。
弹簧单圈刚度是描述弹簧在承受扭转力时的抗弯刚度的一个指标。
在应用中，一般使用弹簧常数k来描述弹簧单圈刚度，其定义为单位长度(或单位横截面积)弹簧在一侧擅长一圈所产生的反作用力与弯曲角度(扭转角)之间的比值。
对于一个理想化的圆柱形均匀弹簧，弹簧单圈刚度可以用以下公式计算：k = G * A / L其中，k是弹簧单圈刚度，G是剪切模量，A是弹簧横截面积，L是弹簧长度。
从公式可以看出，弹簧单圈刚度是与弹簧材料的剪切模量、横截面积和长度有关的。
剪切模量反映了材料的刚度，横截面积反映了材料的几何形状和尺寸，长度反映了弹簧的整体大小。
因此，对于相同材料和相同横截面积的弹簧来说，长度越长，弹簧单圈刚度越小；而长度越短，弹簧单圈刚度越大。
接下来，我们来看一看弹簧刚度。
弹簧刚度是描述弹簧在受到拉伸或压缩时所产生的反作用力和变形之间的比值。
在应用中，一般使用弹簧常数k来描述弹簧刚度，其定义为单位长度(或单位横截面积)的杆状弹簧在受到拉伸或压缩时所产生的反作用力与变形量之间的比值。
对于一个理想化的杆状均匀弹簧，弹簧刚度可以用以下公式计算：k = E * A / L其中，k是弹簧刚度，E是杨氏模量，A是弹簧横截面积，L是弹簧长度。
从公式可以看出，弹簧刚度是与弹簧材料的杨氏模量、横截面积和长度有关的。
杨氏模量反映了材料的刚度，横截面积反映了材料的几何形状和尺寸，长度反映了弹簧的整体大小。
因此，对于相同材料和相同横截面积的弹簧来说，长度越长，弹簧刚度越小；而长度越短，弹簧刚度越大。
机车车辆串联橡胶垫的高圆弹簧刚度的计算分析孤夜狼 13车辆工程2班 20131310010204摘要：随着我国铁路进入高速重载的新时代，铁路列车运行的平稳性与安全性越来越重要。
轴箱弹簧是机车转向架的关键部件之一，其性能的稳定性直接影响机车运行的安全及平稳。
弹簧承载情况及工作环境十分复杂，所以，弹簧的强度、疲劳寿命具有非常大的随机性，是广大工程技术研究人员十分关注的问题。
因此，研究细化弹簧强度和精确计算串联橡胶垫的高圆钢弹簧刚度参数具有重要的理论及实际意义。
关键词：高圆弹簧；橡胶垫；刚度；稳定性Abstract : With China's railway enter a new era of speed and heavy duty，the smooth and security running of railway trains becomes more important．Spring is one of the key components in vehicle, the stability of which affect the safety and stabilization of vehicle operation. There is very large randomicity in strength and fatigue life of spring for the complicated status of load and work environment. For its importance of practical application, the problem catches many engineers to research.Keywords : flexicoil spring;rubber pad;stiffness;stability0、引言;近十年多来，中国的铁路发展迅猛，列车经过几次大提速，运行速度有了显著提高。
随着运行速度的提高，不可避免地加剧了机车车辆的振动和噪声，严重影响了列车的舒适性和安全性，因此对列车减振系统相应地提出了更高的要求。
由高圆钢制弹簧和橡胶垫串联组成的悬挂装置在铁道机车车辆中使用十分普遍，准确计算其各向刚度，特别是横向刚度值是保证机车车辆动力学性能的前提。
在机车车辆中大量使用螺旋弹簧，而螺旋弹簧的刚度显著影响机车车辆的运行稳定性、安全性和曲线通过性能。
到目前为止，有许多计算弹簧刚度的方法，但都无法在设计阶段取得试验数据，只能用其它相近弹簧的试验数据代替。
另外，弹簧本身就不是弹性直杆，弹性直杆不能解决弹簧两端的切口对刚度的影响，不能计算出精确的弹簧刚度。
在铁路机车车辆设计和方案论证阶段如果机车车辆悬挂系统的刚度参数不能准确确定，机车车辆系统动力学分析结果存在较大的分析误差，会给铁道车辆新产品开发带来困难及经济损失。
故其在很多方面扮演着相当重要的角色，对车辆的舒适性和安全性也起着相当重要的作用，因此其刚度的研究分析十分必要。
本文以高圆弹簧一端加橡胶和上下两端加橡胶垫两种不同结构型式进行计算强度，并分析两种结构的稳定性和影响因素。
1、高圆弹簧加橡胶垫的刚度高圆弹簧加橡胶垫的结构被广泛应用于新一代的内燃机车、电力机车及车辆上,作为二系悬挂装置。
橡胶垫的作用有两点:一是减小高圆弹簧的水平向刚度;二是显著降低高圆弹簧的应力水平。
橡胶垫的应用,既改善了高圆弹簧的水平刚度特性,还保证它的运用可靠性和耐久性。
在结构型式上,可以是高圆弹簧一端加橡胶垫,或上下两端加橡胶垫,所加橡胶垫可以是实心圆垫,也可以是中空圆垫。
一般圆垫为单层,也有用双层的。
1.1、高圆弹簧和橡胶元件1.1.1、高圆弹簧螺旋弹簧即扭转弹簧，是承受扭转变形的弹簧，它的工作部分也是密绕成螺旋形。
扭转弹簧的端部结构是加工成各种形状的扭臂，而不是勾环；扭转弹簧常用于机械中的平衡机构。
由高圆钢制造而成的弹簧叫做高圆弹簧，高圆弹簧和橡胶垫串联组成的悬挂装置在铁道机车车辆中使用十分普遍。
高圆弹簧如右图[1]所示：1.1.2、橡胶元件橡胶弹性元件由于具有典型的非线性刚度特性，同吋可以满足多向刚度的要求，在满足机车车辆动力学参数方面比金屈零件具有更强的优势，因此在机车车辆转向架中橡胶弹性元件得到了越来越多的应用。
机车牟辆在运行过程中会受到来自轮轨间强烈的瞬时冲击载荷，不仅会引起机车车辆的破坏，也会导致机车车辆的强烈的共振。
为衰减这些冲击和振动，满足机车本辆各利动力学指标（例如，稳性指标、脱轨系数、轮重减载率、轮轨冲等），在轮对和构架之间、转向架车体之间以及其他各种关节之间装有弹性元件（包括橡胶弹黄，各种橡胶关节，橡胶衬套，衬垫，止挡等）。
这些弹性元件存采用金属元件的，但更多的是采用橡胶弹性元件。
因为与金属元件相比，橡胶弹性元件在满足机市动力学性能方而有着非常显著的特点和不可替代的优势。
橡胶垫如右图[2]所示：1.2弹簧刚度分析根据弹簧刚度的定义可知，在上支承圈平面上施加单位轴向强迫位移，计算所得约束反力就是弹簧的轴向刚度[4]。
弹簧的刚度计算公式是由以下方法推到计算的到得：首先列出弹簧受载后的轴向变形，可根据材料力学的公式求（式1）式中：n---弹簧有效圈数；G---剪切弹性模数，弹簧钢 G=81.3GPa；d---簧条圆直径； D---弹簧平均直径。
利用上式可求出所需的弹簧工作圈数n，即：（式2）（1）若n＜15时，则取n为0.5的倍数；（2）若n＞15时，则取n为整数圈。
一般情况下n≥2,压缩弹簧的总圈数12nnn，2n为支撑圈数。
使弹簧产生单位变形量所需要的载荷，称为弹簧刚度k，即（式3）弹簧的刚度是表征弹簧的性能的主要参数之一。
刚度越大，弹簧变形所需要的力就越大。
影像弹簧刚度的因素很多，由上市可知，k与C的三次方成正比，即C值对k的影响很大，因此合理的选择C值能控制弹簧的弹力。
另外，k还与G、d、n有关，在调整弹簧刚度时，应综合考虑这些因素的影响。
将相应的参数代入式3 ，即可得本例圆柱压缩弹簧的刚度K 。
根据弹簧可知刚度是使弹簧产生单位变形所需要的载荷，因此可以在弹簧的一端施加一个单位受迫振动，即在弹簧的上盖板处施加一个单位位移。
在弹簧的下端可以查看其反作用力所得的反作用力即为弹簧刚度值。
图[3] 弹簧刚度计算过程框架图1.2.1高圆弹簧两端加橡胶垫的横向刚度计算如下图[4]：圆弹簧两端加橡胶垫的横向刚度计算示意图所示:设在工作过程中,其两端保持平行,则可以认为,圆弹簧横向变形对于中点C是对称的,即AC和EC对称。
同时假设圆弹簧的工作高度H不随横向位移fL的变化而变化,而是决定于载荷P′的大小,而且橡胶垫的工作高度h1只决定于垂向载荷P。
设下列代表符号:kL—圆弹簧的横向刚度(N/mm);kV—圆弹簧的垂向刚度(N/mm);H0—圆弹簧的自由高度(mm);kⅡ—橡胶垫的剪切刚度(N/mm);kθ—橡胶垫的弯曲刚度(N・mm/rad)。
由右图[4] 可列出下列方程B点处的力矩M′为：A点处的力矩M为：[图4]力的平衡方程式为：弹簧总成的横向挠度fL′为：各挠度近似地为：又圆弹簧工作高度：解各方程式,得:式中的：解方程式求得横向力Q及横向挠度fL′后, 便可计算得圆弹簧两端加橡胶垫后(或称圆弹簧总成)的横向刚度为：1.2.2高圆弹簧一端加橡胶垫的横向刚度计算圆弹簧一端加橡胶垫的横向刚度，用以下式计算：式中,kL,H—分别为圆弹簧的横向刚度及工作高度;kⅡ,h1—分别为橡胶垫的剪切刚度及工作高度;kθ—橡胶垫的弯曲刚度;P—垂向作用力。
2.高圆弹簧加橡胶垫的稳定性分析弹簧总成的横向稳定性主要与橡胶垫的高度和高圆弹簧所加橡胶垫的厚度,应合理选择，否则会引起弹簧总成的横向趋于不稳定。
但这是仅从橡胶垫的受压考虑,更全面的分析还应该计及高圆弹簧的特性。
如将高圆弹簧视作一受压柱体,则两端或一端的橡胶垫,是该柱体的约束条件。
对于高圆弹簧受压稳定,端部约束或是固定,或是铰接的。
高圆弹簧加橡胶垫在垂直力作用下的不稳定性,表现为弹簧总成的横向刚度为负值。
负刚度的物理意义是,弹簧总成在垂直力作用下,作横向位移时,需要有外力作用于弹簧总成的位移的相反方向,才能保持它的平衡。
在进行理论分析时,将高圆弹簧看作当量柱体,然后运用长柱体的稳定性理论推导它的计算公式。
即从欧拉公式出发,分析高圆弹簧加橡胶垫的临界载荷。
2.1高圆弹簧所加橡胶垫厚度的合理选择试验表明,圆形橡胶垫受压保持稳定的条件是其厚度（r是橡胶垫半径）说明橡胶垫厚度取得过大,接近失稳状态,因而使弹簧总成的实际横向刚度kL′远较计算值为低。
2.2高圆弹簧加橡胶垫的临界载荷的确定实际上，由于载荷的偏心和弹簧轴线偏离理想的直线，计算临界载荷时，应留有一定的裕度，即计入安全系数在内。
现以长度系数μ′=1.2μ来计算临界载荷。
应该说明的是，我们原参考国外资料，将安全系数取为1.25，即：μ′=1.25μ[52]。
后经试验表明，往往计算求得的数值，表明弹簧总成已经失稳，但实际试验时，还是稳定的。
表示计算过于安全，因此改取安全系数为1.2。
对于钢制圆截面弹簧，,建议以下式计算弹簧总成的临界挠度：式中：H0—高圆弹簧的自由高度(mm)；D—高圆弹簧的簧圈平均直径(mm)；μ—长度系数。
上式适用于高圆弹簧的两端具有各种约束条件,包括固定、铰接或弹性橡胶垫。
并适用于弹簧横向有约束或无约束的两种情况。
不论约束条件的不同和横向有无约束,都反映在长度系数μ的数值中。
μ的数值可由图[5]至图[8]查取，其中图[5]和图[7]分别为横向无约束及横向有约束的高圆弹簧一端加橡胶垫时与μ的曲线；而图[6]和图[8]分别为横向无约束及横向有约束的高圆弹簧两端加橡胶垫时的与μ的曲线。
[5]高圆弹簧一端加橡胶垫时与μ的关系曲线(横向无约束情况)[6]高圆弹簧两端加橡胶垫时与μ的关系曲线(横向无约束情况)[7]高圆弹簧一端加橡胶垫时与μ的关系曲线(横向有约束情况)[8]高圆弹簧两端加橡胶垫时与μ的关系曲线(横向有约束情况)在图[5]至图[8]中，kθ—橡胶垫的弯曲刚度(N・mm/rad);A—与高圆弹簧参数等有关的数,以下式表示：式中，E—弹簧的拉压弹性模数，E=21×104N/mm2;d—弹簧的簧条直径(mm);n e—弹簧的有效圈数;ν—泊松比,钢的ν=0.3;D—弹簧的簧圈平均直径(mm)。
为了保证弹簧总成的稳定工作，应使它的工作载荷P小于它的临界载荷（其中kV为高圆弹簧的垂向刚度，fcr′为临界挠度,由上式计算求得）,即：一些高圆弹簧加橡胶垫的临界载荷数值：*该弹簧总成在工作载荷作用下未失稳。
3.总结根据经验公式法计算了橡胶垫与钢弹簧刚度参数以及高圆簧组合系统的垂向和横向刚度，结果表明橡胶垫对于垂向刚度的影响较小，而对于横向刚度有明显的改变。
