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⼤学物理第6章真空中的静电场课后习题及答案第6章真空中的静电场习题及答案1. 电荷为q +和q 2-的两个点电荷分别置于1=x m 和1-=x m 处。
⼀试验电荷置于x 轴上何处，它受到的合⼒等于零？解：根据两个点电荷对试验电荷的库仑⼒的⼤⼩及⽅向可以断定，只有试验电荷0q 位于点电荷q +的右侧，它受到的合⼒才可能为0，所以200200)1(π4)1(π42-=+x qq x qq εε故 223+=x2. 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三⾓形的三个顶点。
试问：(1)在这三⾓形的中⼼放⼀个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑⼒之和都为零)?(2)这种平衡与三⾓形的边长有⽆关系?解：(1) 以A 处点电荷为研究对象，由⼒平衡知，q '为负电荷，所以2220)33(π4130cos π412a q q aq'=εε故 q q 3='(2)与三⾓形边长⽆关。
3. 如图所⽰，半径为R 、电荷线密度为1λ的⼀个均匀带电圆环，在其轴线上放⼀长为l 、电荷线密度为2λ的均匀带电直线段，该线段的⼀端处于圆环中⼼处。
求该直线段受到的电场⼒。
解：先求均匀带电圆环在其轴线上产⽣的场强。
在带电圆环上取dl dq 1λ=，dq 在带电圆环轴线上x 处产⽣的场强⼤⼩为)(4220R x dq dE +=πε根据电荷分布的对称性知，0==z y E E2322)(41 cos R x xdq dE dE x +==πεθ式中：θ为dq 到场点的连线与x 轴负向的夹⾓。
+=23220)(4dq R x xE x πε232210(24R x R x +?=πλπε232201)(2R x xR+=ελ下⾯求直线段受到的电场⼒。
在直线段上取dx dq 2λ=，dq 受到的电场⼒⼤⼩为dq E dF x =dx R x xR 232221)(2+=ελλ⽅向沿x 轴正⽅向。
第六章 真空中的静电场§6-1 电荷 库仑定律5.电荷的量子化效应：到目前为止的所以实验表明，一切带电体包括微观粒子所带的电量 q ，都是某一基本电荷量的整数倍，这个基本电荷就是 e = 1.60210-19 库仑一个带电体带的电量 q = ne n = 1,2,3,... 只能取不连续的值，这称为电荷的量子化。
宏观带电体的带电量 q e ，准连续 二、库仑定律与叠加原理库仑定律是两个点电荷相互作用的定律。
2.库仑定律 实验给出：k = 8.988010 9 N·m2/C212120022014q q q q F k r r r r πε==▲ 库仑定律适用的条件：• 真空中点电荷间的相互作用• 电荷对观测者静止41πε=k 0 —真空介电常量2212o m /N C 1085.841⋅⨯==-k πε3.静电力的叠加原理作用于某电荷上的总静电力等于其他点电荷单独存在时作用于该电荷的静电力的矢量和。
离散状态:∑==N i iF F 12004i ii i r r q q Fπε=连续分布02004r rdq q F d πε=⎰=Fd F结论：库仑力比万有引力大得多，所以在原子中，作用在电子上的力，主要是电场力，万有引力完全可以忽略不计。
§6-2 静电场 电场强度一、电场电荷间的相互作用是通过场来传递的 2. 静电场的对外表现：静电场：相对于观察者静止的电荷所产生的电场称为静电场。
静电场最重要的表现有两方面：（1）力的表现: 对电荷（带电体）施加作用力；（2）功的表现: 电场力对电荷（带电体）作功。
★研究方法：电场能量—引入电势 UE电场力—引入场强二、电场强度1.试验电荷 q 0 及条件{点电荷(尺寸小)q 0 足够小，对待测电场影响小4.场强叠加原理设有若干个静止的点电荷q1、q2、…… qN ，它们单独存在时的场强分别为NE E E ,2,1，则它们同时存在时的场强为三、电场强度的计算 1.点电荷的电场强度0002144πq q F qE r r q q rε==⋅=特点: (1)是球对称的; (2)是与 r 平方成反比的非均匀场。
222. 点电荷系的电场强度点电荷 q i 的场强：总场强：点电荷系2302344o o d d d πεπε==⋅=⎰⎰⎰q qq qE E r r r r 001d 4E r rπε=体电荷 d q = d v ：体电荷密度面电荷 d q = d s ：面电荷密度线电荷 d q = d l ：线电荷密度d d d x xy y z z E E E E E E ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩⎰⎰⎰kE j E i E E z y x++=矢量积分化为分量积分rPr电偶极子：一对靠得很近的等量异号的点电荷所组成的电荷系。
电偶极矩:lq p=q-q+l电偶极子的场强以及它在外电场中所受的力矩均与它的电偶极矩 p 有关。
后面在将电介质时将涉及到，一个分子的正、负电荷中心不重合时，就相对于一个电偶极子。
6-3 电场线 高斯定理 一、电场线①电场线上任一点的切线方向给出了该点电场强度的方向；②某点处电场线密度与该点电场强度的大小相等。
电场线密度: 经过电场中任一点，作一面积元d S ，并使它与该点的场强垂直，若通过 d S 面的电场线条数为d N ，则电场线密度SNE d d ＝ 可见, 电场线密集处电场强度大，电场线稀疏处电场强度小 。
大小：E方向:切线方向=电场线密度ed E dS ⊥Φ=3、电场线的性质: 电场线总是起始于正电荷（或来自于无穷远），终止于负电荷（或终止于无穷远）任何两条电场线都不能相交。
静电场的电场线不闭合 4、关于电场线的几点说明电场线是人为画出的，在实际电场中并不存在； 电场线可以形象地、直观地表现电场的总体情况;电场线图形可以用实验演示出来。
二、电场强度通量(电通量)定义：在电场中穿过任意曲面的电场线的总条数称为通过该曲面的电通量。
用e 表示。
(1)匀强电场中的电通量均匀电场，平面 S 与电场强度方向垂直均匀电场，平面 S 的 法线方向与电场强度方向成 角(2) 非均匀电场的电通量 通过面元 dS 的电通量Sd E d e⋅=Φ⎰⎰==s SE ΦΦd cos d ee θ⎰⋅=sSE Φd e 将曲面分割为无限多个面元 ,由于面元很小，所以每一个面元上场强可以认为是均匀电场 。
2、电通量的正负e d cos d ΦE Sθ=•非闭合曲面: 电通量的结果可正可负，完全取决于面元 与 间的夹角 :,d 0, ,d 022e e ππθθ<Φ>>Φ<时时电场线由内向外穿出:电场线由外向内穿入:0,e Φ>为正 0,e Φ<为负整个闭合曲面的电通量为=d e SΦ⋅⎰⎰E S14求均匀电场中一半球面的电通量。
n112S S S E dS E dSΦ=⋅=⋅⎰⎰22S E dS E S ==⎰12πS E R Φ=三、高斯定理1、内容 静电场中通过一个任意闭合曲面的电通量值，等于该曲面所包围的所有电荷电量的代数和 Σq i 除以 ε0 ，与闭曲面外的电荷无关．数学表达式为:2、静电场高斯定理的验证①包围点电荷的同心球面S 的电通量都等于q ε②包围点电荷的任意闭合曲面S 的电通量都等于q ε① 包围点电荷的同心球面 S 的电通量与球面半径无关，即以点电荷 q 为中心的任一球面，不论半径大小如何，通过球面的电通量都相等。
② 包围点电荷的任意闭合曲面 S 的电通量对于包围点电荷q 的任意封闭曲面,可在外或内作一以点电荷为中心的同心球面 ,使 内只有点电荷，如图所示。
由电场线的连续性可知，穿过 S 的电场线都穿过同心球面 ，故两者的电通量相等，均为 。
结论说明，单个点电荷包围在任意闭合曲面内时，穿过该闭曲面的电通量与该点电荷在闭曲面内的位置无关。
③不包围点电荷q 的任意闭合曲面S 的电通量恒为零．由于电场线的连续性可知，穿入与穿出任一闭合曲面的电通量应该相等。
所以当闭合曲面无电荷时，电通量为零。
④点电荷系的电通量等于在高斯面内的点电荷单独存在时电通量的代数和。
设 闭合曲面S 包围多个电荷q 1-q k ，同时面外也有多个电荷q k+1-q n 利用场强叠加原理 ⎰⋅=Se S d EΦ⎰⋅=S S d r rq 0204πε204S q dS R πε=⎰204S q dS R πε=⎰220044q q R R ππεε=⋅=00e q >⇒Φ>00<⇒<e q Φ1nii =∑E =E通过闭合曲面S 的电通量为根据③，不包围在闭合曲面内的点电荷对闭合曲面的电通量恒为0，所以当把上述点电荷换成连续带电体时① 高斯定理是反映静电场性质（有源性）的一条基本定理； ② 高斯定理是在库仑定律的基础上得出的，但它的应用范围比库仑定律更为广泛；③ 通过任意闭合曲面的总通量只取决于面内电荷的代数和，而与面外电荷无关，也与电荷如何分布无关.但电荷的空间分布会影响闭合面上各点处的场强大小和方向；④ 高斯定理中的电场强度是封闭曲面内和曲面外的电荷共同产生的，并非只有曲面内的电荷确定；⑤ 当闭合曲面上各点 时，通过闭合曲面的电通量 反之,不一定成立.⑥ 高斯定理中所说的闭合曲面，通常称为高斯面。
6-4 静电场的环路定理 电势 一、静电场力作功的特点1=d d ne iSSi Φ=⋅=⋅∑⎰⎰⎰⎰E S E S 011d ii ki Sk i e q Φε===⋅=∑∑⎰⎰E S 0dq ε=⎰1、点电荷电场力做功点电荷 q 固定于原点O ，试验电荷 q 0在 q 的电场中由A 点沿任意路径ACB 到达 B 点，取微元 d l ，电场力对 q 0的元功为在点电荷的非匀强电场中，电场力对试验电荷所作的功与其移动时起始位置与终了位置有关，与其所经历的路径无关。
2、任意带电体电场力做功任意带电体都可以看成由许多点电荷组成的点电荷系，根据叠加原理可知，点电荷系的场强为各点电荷场强的叠加任意点电荷系的电场力所作的功为每一项均与路径无关，故它们的代数和也必然与路径无关。
3、结论在真空中，一试验电荷在静电场中移动时，静电场力对它所0d A F dl q E dl=⋅=⋅re rq E 2041πε=0022001144rqqqqdA e dl drr rπεπε=⋅=++=21E E E 00102lllA q E dl q E dl q E dl =⋅=⋅+⋅+⎰⎰⎰作的功，仅与试验电荷的电量、起始与终了位置有关，而与试验电荷所经过的路径无关。
静电场力也是保守力，静电场是保守场。
二、静电场的环路定理在静电场中，将试验电荷沿闭合路径移到一周时，电场力所作的功为定义：电场强度沿任意闭合路径的线积分，叫电场强度的环流。
静电场环路定理：在静电场中，电场强度的环流为零。
静电场的环路定理 三、电势能电荷在电场的一定位置上，具有一定的能量，叫做电势能。
静电场力对电荷所作的功，等于电势能增量的负值。
电势能的参考点选择也是任意的，若W B=0，则电场中A 点的电势能为：若无限远处的电势能为零结论：试验电荷 q 0 在电场中点 A 的电势能，在取值上等00ABC CDA 0ABC ADC d d d d d 0A q E l q E l E l q E l E l ⎛⎫=⋅=⋅⋅ ⎪⎝⎭⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰+-=d 0E l ⋅⎰＝()ABB A A B A W W W W =--=-0BA BAq E dl W W ⋅=-⎰0A AW q E dl=⋅⎰零势能点0AAW q E dl∞=⋅⎰于把它从点A 移到到零电势能处，电场力所作的功。
四、电势 电势差 1、电势比值 W A / q 0与q 0无关，只决定于电场的性质及场点的位置，所以这个比值是反映电场本身性质的物理量，可以称之为电势。
静电场中带电体所具有的电势能与该带电体的电量的比值定义为电势。
电场中某点的电势，在数值上等于放在该点的单位正电荷的电势能。
也等于把单位正电荷从该点移到无穷远处（势能为零的点)时，电场力所作的功。
当电荷分布在有限空间时，无限远处的电势能和电势为零3、电势差在静电场中，任意两点 A 和点 B 之间的电势之差，称为电势差，也叫电压。
静电场中任意两点 A 、B 之间的电势差，在数值上等于把单位正电荷从点 A 移到点 B 时，静电场力所作的功。
00A A A A W A U E dlq q ∞∞===⋅⎰0A AW q E dl=⋅⎰零势能点p pU E dl ∞=⋅⎰所以，在移动电荷 q 0 的过程中，电场力所作的功为：五、电势的计算 1、点电荷电场的电势正电荷的电势为正，离电荷越远，电势越低； 负电荷的电势为负，离电荷越远，电势越高。
