第三章《直线与方程》复习课

第三章直线与方程复习整体设计教学分析本节课是对第三章的基本知识和方法的总结与归纳，从整体上来把握本章，使学生基本知识系统化和网络化，基本方法条理化．本章内容大致分为三个部分：(1)直线的倾斜角和斜率；(2)直线方程；(3)两条直线的位置关系．可采用分单元小结的方式，让学生自己回顾和小结各单元知识．在此基础上，教师可对一些关键处予以强调．比如可重申解析几何的基本思想——坐标法，并用解析几何的基本思想串联全章知识，使全章知识网络更加清晰．指出本章学习要求和要注意的问题，可让学生先阅读教科书中“学习要求和要注意的问题”有关内容．教师重申坐标法、函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与讨论思想等数学思想方法在本章中的特殊地位．三维目标通过总结和归纳直线与方程的知识，对全章知识内容进行一次梳理，突出知识间的内在联系，进一步提高学生综合运用知识解决问题的能力．能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力．重点难点教学重点：①直线的倾斜角和斜率．②直线的方程和两直线的位置关系的应用．③激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力．教学难点：①数形结合和分类讨论思想的渗透和理解．②处理直线综合问题的策略．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.我们知道学习是一个循序渐进的过程，更是一个不断积累的过程．送给大家这样一句话：疏浚源头流活水，承上基础梳理已整合；千寻飞瀑悬彩练，启下重点突破须提升．每学完一个单元都要总结复习，这节课我们就来复习刚结束的本章．引出课题．思路2.为了系统掌握第三章的知识，教师直接点出课题．推进新课新知探究提出问题①第一节是直线的倾斜角和斜率棳需 要注意什么?②第二节是直线的方程,有几种形式? 各自的适用范围怎样?③第三节是两直线的位置关系,分为哪些内容? 如何判断?④画出本章的知识结构图.活动：让学生自己回顾所学知识或结合教材，重新对知识整合，对没有思路的学生，教师可以提示按教材的章节标题来分类．对于画知识结构图，可让学生合作交流，待学生有了不同画法后，先对比分析，再画本章的知识结构图．讨论结果：①直线的倾斜角(α)和斜率(k )：倾斜角范围：0°≤α<180°，斜率：k ∈R .k 与α的关系：k ＝⎩⎪⎨⎪⎧不存在，α＝90°，tan α＝y 2－y 1x 2－x 1，α∈[0°，90°)∪(90°，180°). 注意倾斜角为90°的直线的斜率不存在(分类讨论)．②直线方程的五种形式及适用范围：(a)斜截式：y ＝kx ＋b ，不含与x 轴垂直的直线．(b)点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，不含与x 轴垂直的直线．(c)两点式：y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1，不含与x轴、y轴垂直的直线．(d)截距式：xa＋yb＝1，不含过原点和与x轴、y轴垂直的直线．(e)一般式：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，无限制(可表示任何直线)．注：两点式的“改良”(x－x1)(y2－y1)－(y－y1)(x2－x1)＝0，可表示任何直线．③分为：两条直线的位置关系及点到直线的距离和两条平行线间的距离．判定两条直线的位置关系(三种：相交、平行、重合)．设l1：y＝k1x＋b1，A1x＋B1y＋C1＝0；l2：y＝k2x＋b2，A2x＋B2y＋C2＝0.(a)l1∩l2＝P⇔k1≠k2或仅有一个不存在⇔A1B2－A2B1≠0；l1⊥l2⇔k1k2＝－1或一个为零一个不存在⇔A1A2＋B1B2＝0.(b)l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2或k1，k2均不存在⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0.(c)l1与l2重合⇔k1＝k2且b1＝b2或k1，k2均不存在⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1＝0.④第三章的知识结构图如图1所示．从几何直观到代数表示(建立直线的方程)从代数表示到几何直观(通过方程研究几何性质和度量)图1应用示例思路11求满足下列条件的直线方程：(1)经过点P(2，－1)且与直线2x＋3y＋12＝0平行；(2)经过点Q(－1,3)且与直线x＋2y－1＝0垂直；(3)经过点R(－2,3)且在两坐标轴上截距相等；(4)经过点M(1,2)且与点A(2,3)、B(4，－5)距离相等；(5)经过点N(－1,3)且在x轴的截距与它在y轴上的截距的和为零．解：(1)2x＋3y－1＝0.(2)2x－y＋5＝0.(3)x＋y－1＝0或3x＋2y＝0.(4)4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.(5)3x＋y＝0或x－y＋4＝0.224，求直线l 的方程．解：设l ：3x ＋4y ＋m ＝0，则当y ＝0时，x ＝－m 3；当x ＝0时，y ＝－m 4. ∵直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为24，∴12·|－m 3|·|－m 4|＝24.∴m ＝±24.1．如果直线x ＋2ay －1＝0与直线(3a －1)x －ay －1＝0平行，则a 等于( )A ．0 B.16 C ．0或1 D ．0或162．直线l 1：mx ＋(m －1)y ＋5＝0与l 2：(m ＋2)x ＋my －1＝0互相垂直，则m 的值是________．答案：1.D 2.m ＝0或m ＝－12拓展提升问题：过点M (1,2)作l 1交x 正半轴于A ，作l 2交y 正半轴于B ，若l 1⊥l 2，且AB 恰平分四边形OAMB 的面积，求直线AB 的方程．解：设l 1：y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，l 2：y －2＝－1k(x －1)，即x ＋ky －2k －1＝0.则A (1－2k ，0)，B (0,2＋1k)． 则|OA |·|OB |＝|MA |·|MB |，∴|1－2k |·|2＋1k |＝(2k )2＋4·1＋(1k)2.解得k ＝34或k ＝－43. 则A (－53，0)，B (0，103)或A (52，0)，B (0，54)． ∴AB 方程为x －53＋y 103＝1或x 52＋y 54＝1， 即6x －3y ＋10＝0或2x ＋4y －10＝0.课堂小结本节课总结了第三章的基本知识并形成知识网络，归纳了常见的解题方法，渗透了几种重要的数学思想方法．作业课本本章复习参考题A 组8、9、10.设计感想本节在设计过程中，注重了两点：一是体现学生的主体地位，注重引导学生思考，让学生学会学习；二是既有基础知识的复习、基本题型的联系，又为了满足高考的要求，对教材内容适当拓展．本节课对此进行了归纳和总结．备课资料备用习题1．已知两直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0都通过点P (2,3)，求经过两点Q 1(a 1，b 1)，Q 2(a 2，b 2)的直线方程．解：依题意得2a 1＋3b 1＋1＝0，这说明Q 1(a 1，b 1)在直线2x ＋3y ＋1＝0上，同理，Q 2(a 2，b 2)也在直线2x ＋3y ＋1＝0上．因为两点确定一直线，所以经过两点Q 1(a 1，b 1)、Q 2(a 2，b 2)的直线方程为2x ＋3y ＋1＝0.2．从点A (－4,1)出发的一束光线l ，经过直线l 1：x －y ＋3＝0反射，反射光线恰好通过点B (1,6)，求入射光线l 所在的直线方程．解：设B (1,6)关于直线l 1的对称点为B ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＋12－y 0＋62＋3＝0，y 0－6x 0－1·1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝4. ∴直线AB ′的方程为y －14－1＝x ＋43＋4，即3x －7y ＋19＝0. 故直线l 的方程为3x －7y ＋19＝0.3．已知直线l ：2x －y ＋1＝0和点A (－1,2)、B (0,3)，试在l 上找一点P ，使得|P A |＋|PB |的值最小，并求出这个最小值．解：过点B (0,3)且与直线l 垂直的直线方程为l ′：y －3＝－12x ， 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1＝0，y ＝－12x ＋3，得⎩⎨⎧ x ＝45，y ＝135，即直线l 与直线l ′相交于点Q (45，135)． 点B (0,3)关于点Q (45，135)的对称点为B ′(85，115)， 连接AB ′，则依平面几何知识，知AB ′与直线l 的交点P 即为所求．直线AB ′的方程为y －2＝113(x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1＝0，y ＝113x ＋2713，得⎩⎨⎧x ＝1425，y ＝5325，即P (1425，5325)，相应的最小值为|AB ′|＝(－1－85)2＋(2－115)2＝1705.。

必修2第三章直线与方程复习课班级：姓名：学号：小组：学习目标1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活选择直线方程的形式并熟练运用待定系数法求解，渗透数形结合、分类讨论的数学思想．1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角α的范围是0°≤α<180°.(2)k ＝⎩⎨⎧存在，α≠90°，不存在，α＝90°. (3)斜率的求法：①依据倾斜角；②依据直线方程；③依据两点的坐标．2．直线方程的几种形式的转化3．两条直线的位置关系设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则(1)平行⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0；(2)相交⇔A 1B 2－A 2B 1≠0；(3)重合⇔A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)或A1A2＝B1B2＝C1C2(A2B2C2≠0)．4．距离公式(1)两点间的距离公式．已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.(2)点到直线的距离公式．①点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2；②两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0的距离d＝|C1－C2| A2＋B2.类型一待定系数法的应用例1直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P(－1,2)，求直线l的方程．跟踪训练1求在两坐标轴上截距相等，且到点A(3,1)的距离为2的直线的方程．类型二分类讨论思想的应用例2过点P(－1,0)、Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程．跟踪训练2已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，求实数a的值．类型三最值问题命题角度1可转化为距离求最值的问题例3求函数y＝|x2－2x＋5－x2－4x＋5|的最大值与最小值，并求取最大值或最小值时x的值．跟踪训练3已知实数x、y满足4x＋3y－10＝0，求x2＋y2的最小值．命题角度2利用对称性求最值例4已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)．(1)在直线l上求一点P，使|P A|＋|PB|最小；(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|P A||最大．跟踪训练4在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得：(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．1．一般地，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0；与之垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.2．过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.3．点到直线与两平行线间的距离的使用条件：(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．。

§3.1直线的倾斜角与斜率1．理解直线的倾斜角的定义、范围和斜率；2．掌握过两点的直线斜率的计算公式；3．能用公式和概念解决问题.一、课前准备（预习教材P 90~ P 91，找出疑惑之处）复习1：在直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定一条直线呢?复习2：在日常生活中,我们常说这个山坡很陡峭,有时也说坡度,这里的陡峭和坡度说的是山坡与水平面之间的一个什么关系呢?二、新课导学※ 学习探究新知1：当直线与轴相交时，取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角l x x x l 叫做直线的倾斜角.αl 关键：①直线向上方向；②轴的正方向；③小于平角的正角.x 注意:当直线与轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度..x 试试：请描出下列各直线的倾斜角.反思：直线倾斜角的范围？探究任务二：在日常生活中，我们经常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”，则坡度的公式是怎样的？新知2：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.记为.()2παα≠tan k α=试试：已知各直线倾斜角，则其斜率的值为⑴当时，则 ；0o α=k ⑵当时，则 ；090o o α<<k ⑶当时，则 ；90oα=k ⑷当时，则 .090180o α<<k 新知3：已知直线上两点的直线的斜率公式：.111222(,),(,)P x y P x y 12()x x ≠2121y y k x x -=-探究任务三：1.已知直线上两点运用上述公式计算直线的斜率时，与两点坐标的顺序1212(,),(,),A a a B b b ,A B 有关吗？2．当直线平行于轴时，或与轴重合时，上述公式还需要适用吗？为什么？y y ※ 典型例题例1 已知直线的倾斜角，求直线的斜率：⑴；30οα=⑵；135οα=⑶；60οα=⑷90οα=变式：已知直线的斜率，求其倾斜角.⑴；0k =⑵；1k =⑶；k =⑷不存在.k 例2 求经过两点的直线的斜率和倾斜角,并判断这条直线的倾斜角是锐角还是钝(2,3),(4,7)A B 角.2...[0,180)︒的坐标来111222(,),(,)P x y P x y 时，直线的斜率是不存在的※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 下列叙述中不正确的是（ ）.A ．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应B ．每一条直线都惟一对应一个倾斜角C ．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为或0o 90οD ．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为αtan α2. 经过两点的直线的倾斜角（ ）.(2,0),(5,3)A B --A ． B ． C ． D ．45ο135ο90ο60ο3. 过点P (－2,m )和Q (m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( ).A.1 B.4 C.1或3 D.1或44. 直线经过二、三、四象限，的倾斜角为，斜率为，则为 角；的取值范围 .l αk αk 5． 已知直线l 1的倾斜角为1，则l 1关于x 轴对称的直线l 2的倾斜角为________.α2α1.已知点，若直线l 过点(2,3),(3,2)A B --(1,1)P 且与线段相交，求直线l 的斜率的取值范围.AB k 2. 已知直线过两点，求此直线的斜率和倾斜角.l 2211(2,()),(2,())A t B t t t-+-=12//l l ⇔1k 2k .如果，那么它们的倾斜角与斜率是怎么的关系，反过来成立吗？12l l ⊥.121k k =-⇔121k k =-，试判断直线与的位置关系, 并证明你的结论.(4,0),(3,1),(1,2)B P Q ---BA PQ 三点，求点D 的坐标，使直线，且.1),(2,2),(3,0)B C CD AB ⊥//CB AD4变式：已知，试判断三角形的形状.(5,1),(1,1),(2,3)A B C -ABC ※ 动手试试练1. 试确定的值，使过点的直线与过点的直线m (,1),(1,)A m B m -(1,2),(5,0)P Q -⑴平行； ⑵垂直练2. 已知点，在坐标轴上有一点，若，求点的坐标.(3,4)A B 2AB k =B 三、总结提升：※ 学习小结：1．或的斜率都不存在且不重合.1212//l l k k ⇔=12,l l 2．或且的斜率不存在，或且的斜率不存在.12121l l k k ⊥⇔=-A 10k =2l 20k =1l※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 下列说法正确的是（ ）.A ．若，则12l l ⊥121k k =-A B ．若直线，则两直线的斜率相等12//l l C ．若直线、的斜率均不存在，则1l 2l 12l l ⊥D ．若两直线的斜率不相等，则两直线不平行2. 过点和点的直线与直线的位置关系是（ ）.(1,2)A (3,2)B -1y =A ．相交 B.平行 C.重合 D.以上都不对3. 经过与的直线与斜率为的直线互助垂直，则值为（）.(,3)m (2,)m l 4-m A ． B ． C ． D ．75-75145-1454. 已知三点在同一直线上，则的值为.(,2),(5,1),(4,2)A a B C a -a 5． 顺次连结，所组成的图形是.(4,3),(2,5),(6,3),(3,0)A B C D --1.若已知直线上的点满足，直线上的点满足，1l 260ax y ++=2l 2(1)10(1)x a y a a +-+-=≠试求为何值时，⑴；⑵.a 12//l l 12l l ⊥2． 已知定点，以为直径的端点，作圆与轴有交点，求交点的坐标.(1,3),(4,2)A B -,A B x C C§ 3.2.1直线的点斜式方程1.理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；2.能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；3.体会直线的斜截式方程与一次函数的关系.一、课前准备：（预习教材P 101~ P 104，找出疑惑之处）复习1．已知直线都有斜率，如果，则12,l l 12//l l；如果，则.12l l ⊥2．若三点在同一直线上，则的值为.(3,1),(2,),(8,11)A B k C -k 3．已知长方形的三个顶点的坐标分别为，则第四个顶点的坐标 ABCD (0,1),(1,0),(3,2)A B C D .4．直线的倾斜角与斜率有何关系?什么样的直线没有斜率?二、新课导学：※ 学习探究问题1：在直线坐标系内确定一条直线，应知道哪些条件？新知1：已知直线经过点，且斜率为，则方程为直线的点斜式方l 00(,)P x y k 00()y y k x x -=-程.问题2：直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？问题3：⑴轴所在直线的方程是，轴所在直线的方程是.x y ⑵经过点且平行于轴（即垂直于轴）的直线方程是.000(,)P x y x y ⑶经过点且平行于轴（即垂直于轴）的直线方程是.000(,)P x y y x 问题4：已知直线的斜率为，且与轴的交点为，求直线的方程.l k y (0,)b l新知2：直线与轴交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距（intercept ）.直线l y (0,)b b l y 叫做直线的斜截式方程.y kx b =+注意：截距就是函数图象与轴交点的纵坐标.b y 问题5：能否用斜截式表示平面内的所有直线? 斜截式与我们学过的一次函数表达式比较你会得出什么结论.※ 典型例题例1 直线过点，且倾斜角为，求直线的点斜式和斜截式方程，并画出直线.(1,2)-135οl l 变式：⑴直线过点，且平行于轴的直线方程 (1,2)-x ；⑵直线过点，且平行于轴的直线方程；(1,2)-x ⑶直线过点，且过原点的直线方程.(1,2)-例2 写出下列直线的斜截式方程，并画出图形：⑴，在轴上的距截是－2；y ⑵ 斜角是，在轴上的距截是0135y变式：已知直线的方程，求直线的斜率及纵截距.3260x y+-=※动手试试练1. 求经过点，且与直线平行的直线方程.(1,2)23y x=-练2. 求直线与坐标轴所围成的三角形的面积.48y x=+三、总结提升：※学习小结1.直线的方程：⑴点斜式；⑵斜截式；这两个公式都只能在斜率存00()y y k x x-=-y kx b=+.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 过点，倾斜角为的直线方程是（）.(4,2)-135οA B20y++-=360y+++=C．D．40x--=40x+-=2. 已知直线的方程是，则（）.21y x+=--A．直线经过点，斜率为(2,1)-1-B．直线经过点，斜率为(2,1)--1C．直线经过点，斜率为(1,2)--1-D．直线经过点，斜率为(1,2)-1-3. 直线，当变化时，所有直线恒过定点（）.130kx y k-+-=kA．B．（3，1）C．D．(0,0)(1,3)(1,3)--4. 直线的倾斜角比直线的倾斜角大，且直线的纵截距为3，则直线的方程.l12y=+45οl5. 已知点，则线段的垂直平分线的方程.(1,2),(3,1)AB AB1. 已知三角形的三个顶点，求这个三角形的三边所在的直线方程.(2,2),(3,2),(3,0)A B C-2. 直线过点且与轴、轴分别交于两点，若恰为线段的中点，求直线l(2,3)P-x y,A B P AB的方程.l6§ 3.2.2直线的两点式方程1．掌握直线方程的两点的形式特点及适用范围；2．了解直线方程截距式的形式特点及适用范围.一、课前准备：（预习教材P105~ P106，找出疑惑之处）复习1：直线过点，斜率是1，则直线方程为；直线的倾斜角(2,3)-为，纵截距为，则直线方程为.60ο3-2．与直线垂直且过点的直线方程为21y x=+(1,2).3．方程表示过点，斜率是，倾斜角是，在y轴上的截()331--=+xy__________________距是的直线.______4．已知直线经过两点,求直线的方程.l12(1,2),(3,5)P P l二、新课导学：※学习探究新知1：已知直线上两点且，则通过这两点的直线方程为112222(,),(,)P x x P x y1212(,)x x y y≠≠，由于这个直线方程由两点确定，所以我们把它叫直线的两点1112122121(,)y y x xx x y yy y x x--=≠≠--式方程，简称两点式（two-point form）.问题1：哪些直线不能用两点式表示？例已知直线过，求直线的方程并画出图象.(1,0),(0,2)A B-新知2：已知直线与轴的交点为，与轴的交点为，其中，则直l x(,0)A a y(0,)B b0,0a b≠≠线的方程叫做直线的截距式方程.l1=+byax注意：直线与轴交点（,0）的横坐标叫做直线在轴上的截距；直线与y轴交点（0,）x a a x b的纵坐标叫做直线在轴上的截距.b y问题3：,表示截距，是不是表示直线与坐标轴的两个交点到原点的距离？a b问题4：到目前为止，我们所学过的直线方程的表达形式有多少种？它们之间有什么关系？※典型例题例1求过下列两点的直线的两点式方程，再化为截距式方程.⑴；(2,1),(0,3)A B-⑵.(4,5),(0,0)A B--例2 已知三角形的三个顶点，(5,0),(3,3)A B--，求边所在直线的方程，以及该边上中线所在直线的方程.(0,2)C BC,则.(,)M x y 2121,22x x y y x y ++==的值为（ ）.b 需满足条件( ),,A B C 的直线方程 .取到最小值时，求直线的方||||PA PB ⋅l .§ 3.2.3直线的一般式方程1.明确直线方程一般式的形式特征；2.会把直线方程的一般式化为斜截式，进而求斜率和截距；3.会把直线方程的点斜式、两点式化为一般式.一、课前准备：（预习教材P 107~ P 109，找出疑惑之处）复习1：⑴已知直线经过原点和点，则直线的方程 .(0,4)⑵在轴上截距为，在轴上的截距为3的直线方程 .x 1-y ⑶已知点，则线段的垂直平分线方程是.(1,2),(3,1)A B AB 复习2：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示吗？,x y 二、新课导学：※ 学习探究新知：关于的二元一次方程（A ，B 不同时为0）叫做直线的一般式方程，,x y 0Ax By C ++=简称一般式（general form ）．注意：直线一般式能表示平面内的任何一条直线问题1：直线方程的一般式与其他几种形式的直线方程相比，它有什么优点？问题4：在方程中，为何值时，方程表示的直线⑴平行于轴；⑵平行0Ax By C ++=,,A B C x 于轴；⑶与轴重合；⑷与重合.y x y ※ 典型例题例1 已知直线经过点，斜率为，求直线的点斜式和一般式方程.(6,4)A -12例2 把直线的一般式方程化成斜截式，求出直线的斜率以及它在轴与轴上l 260x y -+=l x y 的截距，并画出图形.变式：求下列直线的斜率和在轴上的截距，并画出图形⑴；⑵；⑶y 350x y +-=145x y-=；⑷；⑸.20x y +=7640x y -+=270y -=10※ 动手试试练1.根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：⑴ 斜率是，经过点；12-(8,2)A -⑵ 经过点，平行于轴；(4,2)B x ⑶ 在轴和轴上的截距分别是；x y 3,32-⑷ 经过两点.12(3,2),(5,4)P P --练2.设A 、B 是轴上的两点，点P 的横坐标为2，x 且｜PA ｜＝｜PB ｜，若直线PA 的方程为，求直线PB 的方10x y -+=程三、总结提升：※ 学习小结1．通过对直线方程的四种特殊形式的复习和变形，概括出直线方程的一般形式：（A 、B 不全为0）；0Ax By C ++=2．点在直线上00(,)x y 0Ax By C ++=⇔00Ax By +※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1 斜率为，在轴上截距为2的直线的一般式方程是（ ）.3-x A ． B ．360x y ++=320x y -+=C ．D ．360x y +-=320x y --=2. 若方程表示一条直线，则（ ）.0Ax By C ++= A ． B ．1A ≠0B ≠C ． D ．0AB ≠220A B +≠3. 已知直线和的夹角的平分线为，如果的方程是，那么的1l 2l y x =1l 0(0)ax by c ab ++=>2l 方程为（ ）.A ．B ．0bx ay c ++=0ax by c -+=C ．D ．0bx ay c +-=0bx ay c -+=4. 直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则.270x y ++=x a y b a b +=5. 直线与直线1:2(1)40l x m y +++=2:3l mx y+平行，则. 20-=m =1. 菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于轴和轴上，求菱形各边所在的直线x y 的方程.2．光线由点射出，在直线上进行反射，已知反射光线过点，(1,4)A -:2360l x y +-=62(3,13B 求反射光线所在直线的方程.§ 3.1两条直线的交点坐标1．掌握判断两直线相交的方法；会求两直线交点坐标； 2.体会判断两直线相交中的数形结合思想.一、课前准备：（预习教材P 112~ P 114，找出疑惑之处）1．经过点，且与直线垂直的直线.(1,2)A -210x y +-+2．点斜式、斜截式、两点式和截距式能否表示垂直于坐标轴的直线?3．平面直角系中两条直线的位置关系有几种？二、新课导学：※ 学习探究问题1：已知两直线方程，，如何判断这两条直线的1111:0l A x B y C ++=222:l A x B y +20C +=位置关系？问题2：如果两条直线相交，怎样求交点坐标？交点坐标与二元一次方程组有什关系？※ 典型例题例1 求下列两直线，1:3420l x y +-=2:22l x y ++的交点坐标.0=变式：判断下列各对直线的位置关系.如果相交，求出交点坐标.⑴，；1:0l x y -=2:33100l x y +-=⑵，；1:30l x y -=2:630l x y -=⑶，.1:3450l x y +-=2:68100l x y +-=例2 求经过两直线和的交点且与直线平行的直线方程.2330x y --=20x y ++=310x y +-=变式：求经过两直线和的交点且与直线垂直的直线方程.2330x y --=20x y ++=310x y +-=例3 已知两点，求经过两直线和的交点和线段(2,1),(4,3)A B -2310x y -+=3210x y +-=中点的直线的方程.AB l ※ 动手试试练1. 求直线关于直线对称的直线方程.20x y --=330x y -+=练2. 已知直线的方程为，直线1l 30Ax y C ++=2l 的方程为，若的交点在轴上，求的值.2340x y -+=12,l l y C 三、总结提升：※ 学习小结1．两直线的交点问题.一般地，将两条直线的方程联立，得方程组，若方程1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩组有唯一解，则两直线相交；若方程组有无数组解，则两直线重合；若方程组无解，则两直线平行..※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 两直线的交点坐标为（ ）.12:210,:220l x y l x y ++=-++=A ． B ． C ． D ．13(,)2413(,)24-13(,24--13(,)24-2. 两条直线和的位置关系是（ ）.320x y n ++=2310x y -+=A ．平行 B ．相交且垂直 C ．相交但不垂直 D ．与的值有关n 3. 与直线关于点对称的直线方程是（ ）.2360x y +-=(1,1)-A ．B ．3220x y -+=2370x y ++=C ．D ．32120x y --=2380x y ++=4. 光线从射到轴上的一点后被轴反射，则反射光线所在的直线方程.(2,3)M -x (1,0)P x 5. 已知点，则点关于点的对称点的坐标.(5,8),(4,1)AB A BC 1. 直线与直线的交点在第四象限，求的取值范围.54210x y m +--=230x y m +-=m 2. 已知为实数，两直线：，：相交于一点，求证交点不可能在a 1l 10ax y ++=2l 0x y a +-=第一象限及轴上.x§ 3.3.2两点间的距离1．掌握直角坐标系两点间距离，用坐标法证明简单的几何问题.2．通过两点间距离公式的推导，能更充分体会数形结合的优越性. 3．体会事物之间的内在联系，，能用代数方法解决几何问题.一、课前准备：（预习教材P 115~ P 116，找出疑惑之处）1．直线，无论取任意实数，它都过点.0mx y m +-=m 2．若直线与直线的交点为，则.111:1l a x b y +=222:1l a x b y +=(2,1)-112a b -=3．当为何值时，直线过直线k 3y kx =+2x y-与的交点?10+=5y x =+二、新课导学：※ 学习探究问题1：已知数轴上两点，怎么求的距离？,A B ,A B 问题2：怎么求坐标平面上两点的距离？及的中点坐标？,A B ,A B 新知：已知平面上两点，则.111222(,),(,)P x y P xy 12PP 特殊地：与原点的距离为.(,)P xy OP =※ 典型例题例1 已知点求线段的长及中点坐标.(8,10),(4,4)A B -AB 变式：已知点，在轴上求一点，使,并求的值.(1,2),A B -x PA PB =PA 2 证明平行四边行四条边的平方和等于两条对角线的平方和.变式：证明直角三角形斜边上的中点到三个顶点的距离相等.）.D. 较差10分）计分：）.D ．3 ）三角形.＝10和2－＝10相交于一点，则的值（ ）.y x y a ．1-，使，则.P PA PB =PA =P (1，0)后被轴反射，则反射光线所在的直线的方程 x 3的交点，且垂直于第一条直线.0，：相交于一点，求证交点不可01=++y 2l 0=-+a y x.的坐标为，直线方程P 00(,)x y 中，如果，或，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P 到直0A =0B =.到直线的距离.(1,0)B -34-1x y -0=：，：1l 2380x y +-=2l 23x y +，1l 10Ax By C ++=2:l平行且到的距离为2的直线方程.1260y -+=l ）. C. 一般 D. 较差5分钟 满分：10分）计分：的距离（ ）12530x y +-=C ． D ．14132813）.B.240x y +-=D.350x y +-= ）.B ．0x y +=D ．0x y -=2－1＝0和3x －2＋1＝0的距离y y 距离为1，且与点距离为2的直线共有条.(1,2)A (3,1)B ，一边所在直线的方程为，求其他三边所在的直(1,0)G -350x y +-=的，求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率.ABCD 60O BAD ∠=中，，ABC ∆(1,1),(5,1)A B .求45O .和的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方3260x y ++=2570x y +-=，1:40l ax by -+=2:(1)l a x y-+的值.,a b ，并且直线与直线垂直；⑵直线与直线平行，并且坐标原点到3,1)-1l 2l 1l 2l .例5 过点作直线分别交轴、轴正半轴于两点，当面积最小时，求直线(4,2)P l x y ,A B AOB ∆的方程.l ※ 动手试试练1. 设直线的方程为,根据下列条件分别求的值.l (2)3m x y m ++=m ⑴在轴上的截距为；l x 2-⑵斜率为.1-练2．已知直线经过点且与两坐标轴围成单位面积的三角形，求该直线的方程．l (2,2)-三、总结提升：※ 学习小结1．理解直线的倾斜角和斜率的要领，掌握过两点的斜率公式；掌握由一点和斜率写出直线方程的方法，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般 式，并能根据条件熟练地求出直线方程.2．掌握两条直线平行和垂直的条件，点到直线的距离公式；能够根据直线方程判断两直线的※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）. A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差5分钟 满分：10分）计分：1. 点关于直线对称的点的坐标是（）.(3,9)3100x y +-=A ．B.(1,3)--(17,9)-C ．D ．(1,3)-(17,9)-2．方程所表示的直线（ ）.(1)210()a x y a a R --++=∈A ．恒过定点 B ．恒过定点(2,3)-(2,3)C ．恒过点和D ．都是平行直线 (2,3)-(2,3)3．已知点到直线的距离等于1，则（ ）.(3,)m 40x +-=m= A B ．C ．D4．已知在过和的直线上，则.(3,)P a (2,1)M -(3,4)N -a =5． 将直线绕点按顺时针方向旋转，所得的直线方程是.2)y x =-(2,0)30o 1．已知直线12:220,:1l x ay a l ax y +--=+-a -.0=⑴若，试求的值；12//l l a ⑵若，试求的值12l l ⊥a 2．两平行直线分别过点和，12,l l 1(1,0)P (0,5)P ⑴若与的距离为5，求两直线的方程；1l 2l ⑵设与之间的距离是，求的取值范围.1l 2l d d。