第三章《直线与方程》复习课

第三章直线与方程复习整体设计教学分析本节课是对第三章的基本知识和方法的总结与归纳，从整体上来把握本章，使学生基本知识系统化和网络化，基本方法条理化．本章内容大致分为三个部分：(1)直线的倾斜角和斜率；(2)直线方程；(3)两条直线的位置关系．可采用分单元小结的方式，让学生自己回顾和小结各单元知识．在此基础上，教师可对一些关键处予以强调．比如可重申解析几何的基本思想——坐标法，并用解析几何的基本思想串联全章知识，使全章知识网络更加清晰．指出本章学习要求和要注意的问题，可让学生先阅读教科书中“学习要求和要注意的问题”有关内容．教师重申坐标法、函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想及分类与讨论思想等数学思想方法在本章中的特殊地位．三维目标通过总结和归纳直线与方程的知识，对全章知识内容进行一次梳理，突出知识间的内在联系，进一步提高学生综合运用知识解决问题的能力．能够使学生综合运用知识解决有关问题，培养学生分析、探究和思考问题的能力，激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力．重点难点教学重点：①直线的倾斜角和斜率．②直线的方程和两直线的位置关系的应用．③激发学生学习数学的兴趣，培养分类讨论的思想和抽象思维能力．教学难点：①数形结合和分类讨论思想的渗透和理解．②处理直线综合问题的策略．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.我们知道学习是一个循序渐进的过程，更是一个不断积累的过程．送给大家这样一句话：疏浚源头流活水，承上基础梳理已整合；千寻飞瀑悬彩练，启下重点突破须提升．每学完一个单元都要总结复习，这节课我们就来复习刚结束的本章．引出课题．思路2.为了系统掌握第三章的知识，教师直接点出课题．推进新课新知探究提出问题①第一节是直线的倾斜角和斜率棳需 要注意什么?②第二节是直线的方程,有几种形式? 各自的适用范围怎样?③第三节是两直线的位置关系,分为哪些内容? 如何判断?④画出本章的知识结构图.活动：让学生自己回顾所学知识或结合教材，重新对知识整合，对没有思路的学生，教师可以提示按教材的章节标题来分类．对于画知识结构图，可让学生合作交流，待学生有了不同画法后，先对比分析，再画本章的知识结构图．讨论结果：①直线的倾斜角(α)和斜率(k )：倾斜角范围：0°≤α<180°，斜率：k ∈R .k 与α的关系：k ＝⎩⎪⎨⎪⎧不存在，α＝90°，tan α＝y 2－y 1x 2－x 1，α∈[0°，90°)∪(90°，180°). 注意倾斜角为90°的直线的斜率不存在(分类讨论)．②直线方程的五种形式及适用范围：(a)斜截式：y ＝kx ＋b ，不含与x 轴垂直的直线．(b)点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，不含与x 轴垂直的直线．(c)两点式：y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1，不含与x轴、y轴垂直的直线．(d)截距式：xa＋yb＝1，不含过原点和与x轴、y轴垂直的直线．(e)一般式：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，无限制(可表示任何直线)．注：两点式的“改良”(x－x1)(y2－y1)－(y－y1)(x2－x1)＝0，可表示任何直线．③分为：两条直线的位置关系及点到直线的距离和两条平行线间的距离．判定两条直线的位置关系(三种：相交、平行、重合)．设l1：y＝k1x＋b1，A1x＋B1y＋C1＝0；l2：y＝k2x＋b2，A2x＋B2y＋C2＝0.(a)l1∩l2＝P⇔k1≠k2或仅有一个不存在⇔A1B2－A2B1≠0；l1⊥l2⇔k1k2＝－1或一个为零一个不存在⇔A1A2＋B1B2＝0.(b)l1∥l2⇔k1＝k2且b1≠b2或k1，k2均不存在⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0.(c)l1与l2重合⇔k1＝k2且b1＝b2或k1，k2均不存在⇔A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1＝0.④第三章的知识结构图如图1所示．从几何直观到代数表示(建立直线的方程)从代数表示到几何直观(通过方程研究几何性质和度量)图1应用示例思路11求满足下列条件的直线方程：(1)经过点P(2，－1)且与直线2x＋3y＋12＝0平行；(2)经过点Q(－1,3)且与直线x＋2y－1＝0垂直；(3)经过点R(－2,3)且在两坐标轴上截距相等；(4)经过点M(1,2)且与点A(2,3)、B(4，－5)距离相等；(5)经过点N(－1,3)且在x轴的截距与它在y轴上的截距的和为零．解：(1)2x＋3y－1＝0.(2)2x－y＋5＝0.(3)x＋y－1＝0或3x＋2y＝0.(4)4x＋y－6＝0或3x＋2y－7＝0.(5)3x＋y＝0或x－y＋4＝0.224，求直线l 的方程．解：设l ：3x ＋4y ＋m ＝0，则当y ＝0时，x ＝－m 3；当x ＝0时，y ＝－m 4. ∵直线l 与两坐标轴围成的三角形面积为24，∴12·|－m 3|·|－m 4|＝24.∴m ＝±24.1．如果直线x ＋2ay －1＝0与直线(3a －1)x －ay －1＝0平行，则a 等于( )A ．0 B.16 C ．0或1 D ．0或162．直线l 1：mx ＋(m －1)y ＋5＝0与l 2：(m ＋2)x ＋my －1＝0互相垂直，则m 的值是________．答案：1.D 2.m ＝0或m ＝－12拓展提升问题：过点M (1,2)作l 1交x 正半轴于A ，作l 2交y 正半轴于B ，若l 1⊥l 2，且AB 恰平分四边形OAMB 的面积，求直线AB 的方程．解：设l 1：y －2＝k (x －1)，即kx －y ＋2－k ＝0，l 2：y －2＝－1k(x －1)，即x ＋ky －2k －1＝0.则A (1－2k ，0)，B (0,2＋1k)． 则|OA |·|OB |＝|MA |·|MB |，∴|1－2k |·|2＋1k |＝(2k )2＋4·1＋(1k)2.解得k ＝34或k ＝－43. 则A (－53，0)，B (0，103)或A (52，0)，B (0，54)． ∴AB 方程为x －53＋y 103＝1或x 52＋y 54＝1， 即6x －3y ＋10＝0或2x ＋4y －10＝0.课堂小结本节课总结了第三章的基本知识并形成知识网络，归纳了常见的解题方法，渗透了几种重要的数学思想方法．作业课本本章复习参考题A 组8、9、10.设计感想本节在设计过程中，注重了两点：一是体现学生的主体地位，注重引导学生思考，让学生学会学习；二是既有基础知识的复习、基本题型的联系，又为了满足高考的要求，对教材内容适当拓展．本节课对此进行了归纳和总结．备课资料备用习题1．已知两直线a 1x ＋b 1y ＋1＝0和a 2x ＋b 2y ＋1＝0都通过点P (2,3)，求经过两点Q 1(a 1，b 1)，Q 2(a 2，b 2)的直线方程．解：依题意得2a 1＋3b 1＋1＝0，这说明Q 1(a 1，b 1)在直线2x ＋3y ＋1＝0上，同理，Q 2(a 2，b 2)也在直线2x ＋3y ＋1＝0上．因为两点确定一直线，所以经过两点Q 1(a 1，b 1)、Q 2(a 2，b 2)的直线方程为2x ＋3y ＋1＝0.2．从点A (－4,1)出发的一束光线l ，经过直线l 1：x －y ＋3＝0反射，反射光线恰好通过点B (1,6)，求入射光线l 所在的直线方程．解：设B (1,6)关于直线l 1的对称点为B ′(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＋12－y 0＋62＋3＝0，y 0－6x 0－1·1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝4. ∴直线AB ′的方程为y －14－1＝x ＋43＋4，即3x －7y ＋19＝0. 故直线l 的方程为3x －7y ＋19＝0.3．已知直线l ：2x －y ＋1＝0和点A (－1,2)、B (0,3)，试在l 上找一点P ，使得|P A |＋|PB |的值最小，并求出这个最小值．解：过点B (0,3)且与直线l 垂直的直线方程为l ′：y －3＝－12x ， 由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1＝0，y ＝－12x ＋3，得⎩⎨⎧ x ＝45，y ＝135，即直线l 与直线l ′相交于点Q (45，135)． 点B (0,3)关于点Q (45，135)的对称点为B ′(85，115)， 连接AB ′，则依平面几何知识，知AB ′与直线l 的交点P 即为所求．直线AB ′的方程为y －2＝113(x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋1＝0，y ＝113x ＋2713，得⎩⎨⎧x ＝1425，y ＝5325，即P (1425，5325)，相应的最小值为|AB ′|＝(－1－85)2＋(2－115)2＝1705.。

必修2第三章直线与方程复习课班级：姓名：学号：小组：学习目标1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.培养综合运用知识解决问题的能力，能灵活选择直线方程的形式并熟练运用待定系数法求解，渗透数形结合、分类讨论的数学思想．1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角α的范围是0°≤α<180°.(2)k ＝⎩⎨⎧存在，α≠90°，不存在，α＝90°. (3)斜率的求法：①依据倾斜角；②依据直线方程；③依据两点的坐标．2．直线方程的几种形式的转化3．两条直线的位置关系设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则(1)平行⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0；(2)相交⇔A 1B 2－A 2B 1≠0；(3)重合⇔A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)或A1A2＝B1B2＝C1C2(A2B2C2≠0)．4．距离公式(1)两点间的距离公式．已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.(2)点到直线的距离公式．①点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2；②两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0的距离d＝|C1－C2| A2＋B2.类型一待定系数法的应用例1直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得的线段的中点为P(－1,2)，求直线l的方程．跟踪训练1求在两坐标轴上截距相等，且到点A(3,1)的距离为2的直线的方程．类型二分类讨论思想的应用例2过点P(－1,0)、Q(0,2)分别作两条互相平行的直线，使它们在x轴上截距之差的绝对值为1，求这两条直线的方程．跟踪训练2已知经过点A(－2,0)和点B(1,3a)的直线l1与经过点P(0，－1)和点Q(a，－2a)的直线l2互相垂直，求实数a的值．类型三最值问题命题角度1可转化为距离求最值的问题例3求函数y＝|x2－2x＋5－x2－4x＋5|的最大值与最小值，并求取最大值或最小值时x的值．跟踪训练3已知实数x、y满足4x＋3y－10＝0，求x2＋y2的最小值．命题角度2利用对称性求最值例4已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)．(1)在直线l上求一点P，使|P A|＋|PB|最小；(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|P A||最大．跟踪训练4在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得：(1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大；(2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小．1．一般地，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0；与之垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.2．过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.3．点到直线与两平行线间的距离的使用条件：(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式．(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等．。