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第二章作业题解:2.1 掷一颗匀称的骰子两次, 以X 表示前后两次出现的点数之和, 求X 的概率分布, 并验证其满足(2.2.2) 式.解：由表格知X 的可能取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。
并且，361)12()2(====X P X P ；362)11()3(====X P X P ； 363)10()4(====X P X P ；364)9()5(====X P X P ；365)8()6(====X P X P ；366)7(==X P 。
即36|7|6)(k k X P --== (k =2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)2.2 设离散型随机变量的概率分布为,2,1,}{ ===-k ae k X P k 试确定常数a .解：根据1)(0==∑∞=k k X P ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---eae 。
故1-=e a2.3 甲、乙两人投篮时, 命中率分别为0.7和0.4 , 今甲、乙各投篮两次, 求下列事件的概率：(1) 两人投中的次数相同; (2) 甲比乙投中的次数多.解：分别用)2,1(,=i B A i i 表示甲乙第一、二次投中，则12121212()()0.7,()()0.3,()()0.4,()()0.6,P A P A P A P A P B P B P B P B ========两人两次都未投中的概率为：0324.06.06.03.03.0)(2121=⨯⨯⨯=B B A A P ， 两人各投中一次的概率为：2016.06.04.03.07.04)()()()(1221211212212121=⨯⨯⨯⨯=+++B B A A P B B A A P B B A A P B B A A P 两人各投中两次的概率为：0784.0)(2121=B B A A P 。
所以： （1）两人投中次数相同的概率为3124.00784.02016.00324.0=++ (2) 甲比乙投中的次数多的概率为：12121221121212121212()()()()()20.490.40.60.490.3620.210.360.5628P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B P A A B B ++++=⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯= 2.4 设离散型随机变量X 的概率分布为5,4,3,2,1,15}{===k kk X P ，求 )31()1(≤≤X P )5.25.0()2(<<X P解：(1)52153152151)31(=++=≤≤X P (2) )2()1()5.25.0(=+==<<X P X P X P 51152151=+=2.5 设离散型随机变量X 的概率分布为,,3,2,1,21}{ ===k k X P k，求 };6,4,2{)1( =X P }3{)2(≥X P解：31)21211(21212121}6,4,2{)1(422642=++⨯=++== X P41}2{}1{1}3{)2(==-=-=≥X P X P X P2.6 设事件A 在每次试验中发生的概率均为0.4 , 当A 发生3 次或3 次以上时, 指示灯发出信号, 求下列事件的概率：(1) 进行4 次独立试验, 指示灯发出信号; (2) 进行5 次独立试验, 指示灯发出信号.解：(1))4()3()3(=+==≥X P X P X P1792.04.06.04.04334=+⨯=C(2) )5()4()3()3(=+=+==≥X P X P X P X P31744.04.06.04.06.04.054452335=+⨯+⨯=C C .2.7 某城市在长度为t (单位：小时) 的时间间隔内发生火灾的次数X 服从参数为0.5t 的泊松分布, 且与时间间隔的起点无关, 求下列事件的概率： (1) 某天中午12 时至下午15 时未发生火灾; (2) 某天中午12 时至下午16 时至少发生两次火灾. 解：(1)()!kP X k e k λλ-==，由题意，0.53 1.5,0k λ=⨯==，所求事件的概率为 1.5e -. (2)0(2)110!1!P X e e e e λλλλλλλ----≥=--=--, 由题意，0.54 1.5λ=⨯=，所求事件的概率为213e --.2.8 为保证设备的正常运行, 必须配备一定数量的设备维修人员. 现有同类设备180 台, 且各台设备工作相互独立, 任一时刻发生故障的概率都是0.01，假设一台设备的故障由一人进行修理,问至少应配备多少名修理人员, 才能保证设备发生故障后能得到及时修理的概率不小于0.99？解：设应配备m 名设备维修人员。
第二章 随机变量2.1 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/361/181/121/95/361/65/361/91/121/181/362.2解：根据1)(0==∑∞=k k XP ，得10=∑∞=-k kae，即1111=---eae 。
故 1-=e a2.3解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2,0.7) 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2,0.4) (1) 两人投中的次数相同P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=1122020*********2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ⨯+⨯+⨯=(2)甲比乙投中的次数多P{X >Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=12211102200220112222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ⨯+⨯+⨯=2.4解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155++= (2) P {0.5<X<2.5}=P{X=1}+ P{X=2}=12115155+= 2.5解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++=11[1()]1441314k k lim→∞-=-（2）P{X ≥3}=1―P{X <3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244--=2.6解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，212341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719⨯⨯⨯= 1123412342341234{1}{}{}{}{}2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=12323{2}1{0}{1}1199595P X P X P X ==-=-==--=2.7解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,0.4)34314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+=(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,0.4)345324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=2.8 （1）X ～P(λ)=P(0.5×3)= P(1.5)0 1.51.5{0}0!P X e -=== 1.5e -（2）X ～P(λ)=P(0.5×4)= P(2)0122222{2}1{0}{1}1130!1!P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-2.9解：设应配备m 名设备维修人员。
《概率论》第二章练习答案一、填空题：1．设随机变量X 的密度函数为f(x)=⎩⎨⎧02x其它1〈⨯〈o 则用Y 表示对X 的3次独立重复的观察中事件(X≤21)出现的次数，则P （Y ＝2）＝ 。
2. 设连续型随机变量的概率密度函数为：ax+b 0<x<1f (x) =0 其他且EX ＝31，则a = _____-2___________， b = _____2___________。
3. 已知随机变量X 在[ 10，22 ] 上服从均匀分布，则EX= 16 ， DX= 124. 设=+==）（，则，为随机变量，1041132ξξξξE E E 22104=+ξE 5. 已知X 的密度为=)(x ϕ 0b ax + 且其他,10<<x P （31<x ）=P(X>31) ， 则a = ,b =⎰⎰⎰+=+⇒==+∞∞-10133131311dx b ax dx b ax x P x P dx x ）（）（）〉（）〈（）（ϕ联立解得：6．若f(x)为连续型随机变量X 的分布密度，则⎰+∞∞-=dx x f )(＿＿1＿＿＿＿。
7. 设连续型随机变量ξ的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=2,110,4/0,0)(2x x x x x F ，则P （ξ=）= 0 ；)62.0(<<ξP = 。
8. 某型号电子管，其寿命（以小时记）为一随机变量，概率密度)(x ϕ＝()⎪⎩⎪⎨⎧≥)(01001002其他x x ，某一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不需要更换的概率为＿＿＿8/27＿＿＿＿＿。
2100xx≥100 ∴ϕ(x)=0 其它P （ξ≥150）=1－F(150)=1－⎰⎰=-+=+=150100150100232132********x dx x [P(ξ≥150)]3=(32)3=2789. 设随机变量X 服从B （n, p ）分布，已知EX ＝，DX ＝，则参数n ＝___________，P ＝_________________。
概率论与数理统计第二章习题[]）（）（）（）（）式，有利用（显然）（）（则若））（（）（）（从而）（）（）（）（的可加性，有：互不相容，因此由概率与而）（则解：AB P A P AB A P B A P A AB AB A P B A P A B B P A P B A P B A P B P B A B P A P B A B C A B A A B -=-=-⊂-=-⊄-=--+=-=--=⊂**.132)(1)()()(1)()()()|()4(2.05.01.0)()()|()3(25.04.01.0|)2(8.0)1(.2=--=--=========-+=B P AB P A P B P B A P B P B A P B A P A P AB P A B P B P AB P B A P AB P B P A P B A P ）（）（）（）（）（）（）（解：7.0)(1)|(1)|()4(4.0)(1)|(1)|()3(72.0)()()()()()()()()2(3.0)()()()()()()|(1.3=-=-==-=-==⋅-+=-+===⋅==A PB A P B A P B P A B P A B P B P A P B P A P AB P B P A P B A P B P B P B P A P B P AB P B A P ）解：（）（）（）（）（）（”成立时“或当）（）（”成立时“）（当）（）（）（）（）（）（）（解：B P A P B A P A P AB P A AB B A B AB P A P B A A AB P B A P B P A P AB P B P A P B A P +≤≤≤∴⊆=∅==≤∴⊆==≥+∴-+= 0.4）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（）解：（C P B A P C P B A P C P B P A P C B A P C B A P C P AB P C P B P A P ABC P C AB P B A P C P AB P B P A P C P B P A P B P A P C P C P B P A P C P B P C P A P ABC P BC P AC P BC AC P C B A P ⋅-=⋅=⋅⋅==-⋅=⋅⋅===-+=-+=-+=-+==][][3][2][][][1.7832.04.03.06.03.04.03.06.04.06.03.04.06.0)()()()()()()()()(3.04.0200150)(4.06.0150100)(6.020*******.8=⨯⨯+⨯-⨯-⨯-++=+---++===⨯==⨯======ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P D P C P B P A P D C B A ）（“击中目标”米处射击”“相距米处射击”“相距米处射击”“相距解：设2112632112|31812|6)2(3.0185|8)1(.9222222222222111111111=++++============ ）（）（）（）（）（）（）（”“点数和大于“点数和为奇数”）（）（）（）（）（”“点数和为“点数和为偶数”解：B P B A P B A P A P B A P A B P B A A P B P A P B A P A B P B A5360160126047514131413141513151413151413151.10=+-=⨯⨯+⨯-⨯-⨯-++=+---++=======）（）（）（）（）（）（）（）（）（，）（，）（“丙破译密码”“乙破译密码”“甲破译密码”解：ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P C P B P A P C B A61|1011|.11110=====）（）（）（）（）（）（解：B P AB P B A P C A P AB P A B P1025515510530520|12C C C C C A B P A P AB P B A ⋅⋅=⋅===）（）（）（球各半”“第二次取出的黄、白球”“第一次取出的全是黄。
百度文库-让每个人平等地提升自我第二章作业题解：掷一颗匀称的骰子两次，以X表示前后两次出现的点数之和，求X的概率分布，并验证其满足式•解：设离散型随机变量的概率分布为P{X k} ae k,k 1,2 ,试确定常数a .1解：根据P(X k) 1，得ae k 1，即1。
k 0 k 0 1 e\ 故a e 1甲、乙两人投篮时，命中率分别为和，今甲、乙各投篮两次，求下列事件的概率：(1) 两人投中的次数相同；(2) 甲比乙投中的次数多•解：分别用A j,B j(i 1,2)表示甲乙第一、二次投中，则P(AJ P(A2)0.7, P(A1) P(A2)0.3,P(BJ P®?) 0.4,P(Bj P($2)0.6，两人两次都未投中的概率为：P(A^A2瓦瓦)0.3 0.3 0.6 0.6 0.0324，两人各投中一次的概率为：0.2016 P(A1A2B1 B2) P(A1 A2 B2B1) P(A2AB1B2)P(A1A2 B2B1) 4 0.7 0.3 0.4 0.6两人各投中两次的概率为：P(A1A2B1B2) 0.0784。
所以：(1) 两人投中次数相同的概率为0.0324 0.2016 0.07840.3124(2) 甲比乙投中的次数多的概率为：百度文库-让每个人平等地提升自我P (A1A2 B1B2) P( A1A2 B2 Bi) P( A1A2 B1B2)2 0.49 0.4 0.6 0.49 0.36 2 0.21 设离散型随机变量X的概率分布为P{X P (A1A2 Bi B2) P (A1A2 B1B2) 0.36 0.5628kk} —,k 1,2,3,4,5，求15(1) P(1 X 3) (2) P(0.5 X 2.5)解：⑴P(1 X 3)15 15 15P(0.5 2.5) P(X 1) P(X 2)丄15215设离散型随机变量X的概率分布为P{ X k}(1) P{X 2,4,6 }；⑵P{X 3}2k,k1,2,3,,，求解：(1)P{X 2,4,61 1 24 26(2) P{X 3}1 P{X 1} P{X122设事件A在每次试验中发生的概率均为,求下列事件的概率：进行4次独立试验，指示灯发出信号当A发生3次或3次以上时，指示灯发出信号(1) ；(2) 进行5次独立试验，指示灯发出信号解: (1) P(X 3) P(X 3) P(X 4)C：0.430.6 0.440.1792⑵ P(X 3) P(X 3) P(X 4) P(X 5)C〕0.430.62 Cs0.440.6 0.450.31744某城市在长度为t (单位：小时)松分布，且与时间间隔的起点无关(1) ⑵某天中午12某天中午12的时间间隔内发生火灾的次数,求下列事件的概率：时至下午15时未发生火灾；时至下午16时至少发生两次火灾.X服从参数为的泊解: (1) P(X k)ke ，由题意,k!0.5 3 1.5,kP(X 2)e 0! 1!件的概率为1 3e 2. ,由题意,1 50 ,所求事件的概率为 e .0.5 4 1.5，所求事为保证设备的正常运行，必须配备一定数量的设备维修人员 •现有同类设备180台，且各台设备工作相互独立，任一时刻发生故障的概率都是，假设一台设备的故障由一人进行 修理，问至少应配备多少名修理人员 ，才能保证设备发生故障后能得到及时修理的概率不小于？解：设应配备 m 名设备维修人员。
习题2-21. 设A 为任一随机事件, 且P (A )=p (0<p <1). 定义随机变量1,,0,A X A =⎧⎨⎩发生不发生.写出随机变量X 的分布律.解 P {X =1}=p , P {X =0}=1-p .或者X 0 1 P 1-pp2. 已知随机变量X 只能取-1,0,1,2四个值,且取这四个值的相应概率依次为. 试确定常数c , 并计算条件概率.cc c c 167,85,43,21}0|1{≠<X X P 解 由离散型随机变量的分布律的性质知，13571,24816c c c c+++=所以.3716c=所求概率为P {X <1| X }=.0≠258167852121}0{}1{=++=≠-=cc c c X P X P 3. 设随机变量X 服从参数为2, p 的二项分布, 随机变量Y 服从参数为3, p 的二项分布, 若≥, 求≥.{P X 51}9={P Y 1}解 注意p{x=k}=,由题设≥kk n k n C p q -5{9P X =21}1{0}1,P X q =-==-故. 从而213qp =-=≥{P Y 32191}1{0}1(.327P Y =-==-=4. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功一次的概率为, 求每次试验成功的概率.1927解设每次试验成功的概率为p , 由题意知至少成功一次的概率是，那么一次都2719没有成功的概率是. 即, 故 =.278278)1(3=-p p 315. 若X 服从参数为的泊松分布, 且, 求参数.λ{1}{3}P X P X ===λ解 由泊松分布的分布律可知.6=λ6. 一袋中装有5只球, 编号为1,2,3,4,5. 在袋中同时取3只球, 以X 表示取出的3只球中的最大号码, 写出随机变量X 的分布律.解 从1，2，3，4，5中随机取3个，以X 表示3个数中的最大值，X 的可能取值是3，4，5，在5个数中取3个共有种取法.1035=C {X =3}表示取出的3个数以3为最大值，P{X =3}==;2235C C 101{X =4}表示取出的3个数以4为最大值，P{X =4}=;1033523=C C {X =5}表示取出的3个数以5为最大值，P{X =5}=.533524=C C X 的分布律是X 345P11031035习题2-31. 设X 的分布律为X -11P0.150.200.65求分布函数F (x ), 并计算概率P {X <0}, P {X <2}, P {-2≤X <1}.解 (1)F (x )=0,1,0.15,10,0.35,01,1,1.x x x x <-⎧⎪-<⎪⎨<⎪⎪⎩≤≤≥ (2) P {X <0}=P {X =-1}=0.15;(3) P {X <2}= P {X =-1}+P {X =0}+P {X =1}=1; (4) P {-2≤x <1}=P {X =-1}+P {X =0}=0.35.2. 设随机变量X 的分布函数为F (x ) = A +B arctan x -∞<x <+∞.试求: (1) 常数A 与B ; (2) X 落在(-1, 1]内的概率.解 (1) 由于F (-∞) = 0, F (+∞) = 1, 可知(0112,.2()12A B A B A B πππ⎧+-=⎪⎪⇒==⎨⎪+=⎪⎩于是11()arctan ,.2F x x x π=+-∞<<+∞(2) {11}(1)(1)P X F F -<=--≤ 1111(arctan1)(arctan(1))22ππ=+-+- 11111().24242ππππ=+⋅---=3. 设随机变量X 的分布函数为F (x )=0, 0, 01,21,1,,x xx x <<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ ≤ ≥求P {X ≤-1}, P {0.3 <X <0.7}, P {0<X ≤2}.解 P {X ,1}(1)0F -=-=≤P {0.3<X <0.7}=F (0.7)-F {0.3}-P {X =0.7}=0.2,P {0<X ≤2}=F (2)-F (0)=1.5. 假设随机变量X 的绝对值不大于1;; 在事件11{1},{1}84P X P X =-===出现的条件下, X 在(-1,1)内任一子区间上取值的条件概率与该区间的长度成{11}X -<<正比. (1) 求的分布函数≤x }; (2) 求X 取负值的概率p .X (){F x P X =解 (1) 由条件可知,当时, ;1x <-()0F x =当时, ;1x=-1(1)8F -=当时, F (1)=P {X ≤1}=P (S )=1.1x =所以115{11}(1)(1){1}1.848P X F F P X -<<=---==--=易见, 在X 的值属于的条件下, 事件的条件概率为(1,1)-{1}X x -<<≤,{1P X -<|11}[(1)]x X k x -<<=--取x =1得到 1=k (1+1), 所以k =. 12因此≤.{1P X -<|11}12x X x -<<=+于是, 对于, 有11x -<<≤≤{1P X -<}{1x P X =-<,11}x X -<<{11}{1|11}≤P X P X x X =-<<-<-<< 5155.8216x x ++=⨯=对于≥1, 有 从而x () 1.F x =0,1,57(),11,161,1.x x F x x x <-+=-<<⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩≥(2) X 取负值的概率7{0}(0){0}(0)[(0)(0)](0).16p P X F P X F F F F =<=-==---=-=习题2-41. 选择题(1) 设 如果c =( ), 则是某一随机变量的概率密2, [0,],()0, [0,].x x c f x x c ∈=∉⎧⎨⎩()f x 度函数.(A). (B). (C) 1.(D).131232解 由概率密度函数的性质可得, 于是, 故本题()d 1f x x +∞-∞=⎰2d 1cx x =⎰1=c 应选(C ).(2) 设又常数c 满足, 则c 等于( ).~(0,1),XN {}{}P X c P X c =<≥(A) 1.(B) 0.(C). (D) -1.12解 因为, 所以,即{}{}P X c P X c =<≥1{}{}P X c P X c -<=<, 从而,即, 得c =0. 因此本题应选(B).2{}1P X c <={}0.5P X c <=()0.5c Φ=(3) 下列函数中可以作为某一随机变量的概率密度的是( ).(A)(B)cos ,[0,],()0,x x f x π∈=⎧⎨⎩其它.12,()20,x f x <=⎧⎪⎨⎪⎩其它.(C) (D)22()2,0,()0,0.≥x x f x x μσ--=<⎩e ,0,()0,0.≥x x f x x -=<⎧⎨⎩解 由概率密度函数的性质可知本题应选(D).()1f x dx +∞-∞=⎰(4) 设随机变量, , ≤},2~(,4)XN μ2~(,5)Y N μ1{X P P =4μ-≥}, 则( ).{2P P Y =5μ+(A) 对任意的实数. (B) 对任意的实数.12,P P μ=12,P P μ<(C) 只对实数的个别值, 有. (D) 对任意的实数.μ12P P =12,P P μ>解 由正态分布函数的性质可知对任意的实数, 有μ.12(1)1(1)P P ΦΦ=-=-=因此本题应选(A).(5) 设随机变量X 的概率密度为, 且, 又F (x )为分布函数, 则对()f x ()()f x f x =-任意实数, 有().a (A) . (B) .()1d ()∫aF a x f x -=-1()d 2()∫aF a x f x -=-(C) .(D) .()()F a F a -=()2()1F a F a -=-解 由分布函数的几何意义及概率密度的性质知答案为(B).(6)设随机变量服从正态分布,服从正态分布,且X211(,)N μσY 222(,)N μσ 则下式中成立的是().12{1}{1},P X P Y μμ-<>-<(A) σ1 < σ2. (B) σ1 > σ2. (C) μ1 <μ2.(D) μ1 >μ2.解 答案是(A).(7) 设随机变量X 服从正态分布N (0,1), 对给定的正数,数满足)10(<<αααu , 若, 则等于().{}P X u αα>={}P X x α<=x (A) .(B) .(C) .(D) .2u α21α-u 1-2u αα-1u 解 答案是(C).2. 设连续型随机变量X 服从参数为的指数分布, 要使成立, λ1{2}4P kX k <<=应当怎样选择数k ?解 因为随机变量X 服从参数为的指数分布, 其分布函数为λ1e ,0,()0,0.≤x x F x x λ-->=⎧⎨⎩由题意可知.221{2}(2)()(1e )(1e )e e 4k k k k P k X k F k F k λλλλ----=<<=-=---=-于是.ln 2k λ=3. 设随机变量X 有概率密度34,01,()0,x x f x <<=⎧⎨⎩其它,要使(其中a >0)成立, 应当怎样选择数?{}{}≥P X a P X a =<a 解由条件变形,得到,可知, 于是1{}{}P X a P X a -<=<{}0.5P X a <=, 因此.304d 0.5a x x =⎰a =4. 设连续型随机变量X 的分布函数为20,0,()01,1,1,,≤≤x F x x x x <=>⎧⎪⎨⎪⎩求: (1) X 的概率密度; (2).{0.30.7}P X <<解 (1) 根据分布函数与概率密度的关系,()()F x f x '=可得2,01,()0,其它.x x f x <<⎧=⎨⎩(2).22{0.30.7}(0.7)(0.3)0.70.30.4P X F F <<=-=-=5. 设随机变量X 的概率密度为f (x )＝2,01,0,x x ⎧⎨⎩ ≤≤ 其它,求P {X ≤}与P {≤2}.1214X ＜解≤;{P X 12201112d 224}x x x ===⎰≤.1{4P X <12141152}2d 1164x x x ===⎰6. 设连续型随机变量X 具有概率密度函数,01,(),12,0,x x f x A x x <=-<⎧⎪⎨⎪⎩≤≤其它.求: (1) 常数A ；(2) X 的分布函数F (x ).解 (1) 由概率密度的性质可得,12221121111d ()d []122x x A x x xAx x A =+-=+-=-⎰⎰于是；2A =(2) 由公式可得()()d x F x f x x -∞=⎰当x ≤0时, ;()0F x =当≤1时, ;0x <201()d 2x F x x x x ==⎰当≤2时, ;1x <2101()d (2)d 212xx F x x x x x x =+-=--⎰⎰当x >2时, .()1F x =所以220,0,1()221, 2.1,021,12x F x x x x x x x =->⎧⎪⎪<⎪⎨⎪-<⎪⎪⎩≤≤,≤,7. 设随机变量X 的概率密度为1(1),02,()40,x x f x ⎧⎪⎨⎪⎩+<<=其它,对X 独立观察3次, 求至少有2次的结果大于1的概率.解 根据概率密度与分布函数的关系式≤,{P a X <}()()()d bab F b F a f x x =-=⎰可得.2115{1}(1)d48P X x x>=+=⎰所以, 3次观察中至少有2次的结果大于1的概率为.223333535175()()(888256C C+=8. 设, 求关于x的方程有实根的概率.~(0,5)X U24420x Xx++=解随机变量X的概率密度为105,()50,,xf x<=⎧⎪⎨⎪⎩≤其它,若方程有实根, 则≥0, 于是≥2. 故方程有实根的概率为21632X-2XP{≥2}=2X21{2}P X-<1{P X=-<<1x=-.1=9. 设随机变量.)2,3(~2NX(1) 计算, , , ；{25}P X<≤{410}P X-<≤{||2}P X>}3{>XP(2) 确定c使得{}{};P X c P X c>=≤(3) 设d满足, 问d至多为多少？{}0.9P X d>≥解(1) 由P{a<x≤b}=P{公式,33333}()()22222a Xb b aΦΦ-----<=-≤得到P{2<X≤5}=,(1)(0.5)0.5328ΦΦ--=P{-4<X≤10}=,(3.5)( 3.5)0.9996ΦΦ--==+{||2}P X>{2}P X>{2}P X<-=1+=0.6977,23(2Φ--23()2Φ--=1=0.5 .}3{>XP33{3}1()1(0)2P XΦΦ-=-=-≤(2) 若,得1,所以{}{}≤P X c P X c>={}{}P X c P x c-=≤≤{}0.5P X c=≤由=0推得于是c =3.(0)Φ30,2c -=(3) 即1, 也就是{}0.9≥P Xd >3()0.92d Φ--≥,3()0.9(1.282)2d ΦΦ--=≥因分布函数是一个不减函数, 故(3)1.282,2d --≥解得.32( 1.282)0.436d +⨯-=≤10. 设随机变量, 若, 求.2~(2,)XN σ{04}0.3P X <<={0}P X <解 因为所以. 由条件可知()~2,X N σ2,~(0,1)XZ N μσ-={04}0.3P X <<=,02242220.3{04}{}((X P X P ΦΦσσσσσ---=<<=<<=--于是, 从而.22(10.3Φσ-=2(0.65Φσ=所以.{{}2020}P P X X σσ==--<<22()1(0.35ΦΦσσ-=-=习题2-51. 选择题(1) 设X 的分布函数为F (x ), 则的分布函数为( ).31Y X =+()G y (A) . (B) . 11(33F y -(31)F y +(C) .(D).3()1F y +1133()F y -解 由随机变量函数的分布可得, 本题应选(A).(2) 设令, 则( ).()~01,XN ,2Y X =--~Y (A). (B). (C). (D).(2,1)N --(0,1)N (2,1)N -(2,1)N 解 由正态分布函数的性质可知本题应选(C).2. 设, 求Z 所服从的分布及概率密度.~(1,2),23X N Z X =+解 若随机变量, 则X 的线性函数也服从正态分布, 即2~(,)XN μσY aX b =+ 这里所以Z .2~(,()).Y aX b N a b a μσ=++1,μσ==~(5,8)N 概率密度为.()f z =2(5)16,x x ---∞<<+∞3. 已知随机变量X 的分布律为X -10137P0.370.050.20.130.25(1) 求Y ＝2－X 的分布律； (2) 求Y ＝3＋X 2分布律.解 (1)2－X -5-1123P0.250.130.20.050.37(2)3＋X 2341252P0.050.570.130.254. 已知随机变量X 的概率密度为＝()X f x 1142ln 20x x <<⎧⎪⎨⎪⎩ ， 其它，且Y ＝2－X , 试求Y 的概率密度.解 先求Y 的分布函数:)(y F Y =≤≤≥)(y F Y {P Y }{2y P X =-}{y P X=2}y -=1-.1{2}P Xy =-<-2()d yX f x x --∞⎰于是可得Y 的概率密度为=()(2)(2)Y X f y f y y '=---12(2)ln 20,.,124,其它y y -⎧<-<⎪⎨⎪⎩即121,2(2)ln 20, ,()其它.Y y y f y -<<-⎧⎪=⎨⎪⎩5. 设随机变量X 服从区间(-2,2)上的均匀分布, 求随机变量的概率密度.2Y X =解 由题意可知随机变量X 的概率密度为()0,.1,22,4其它X f x x =⎧-<<⎪⎨⎪⎩因为对于0<y <4,≤≤≤X .(){Y F y P Y =2}{y PX=}{yP =(X X F F =-于是随机变量的概率密度函数为2YX =()Y fy (X X f f =+0 4.y =<<即()04,0,.其它f y y =<<⎩总习题二1. 一批产品中有20%的次品, 现进行有放回抽样, 共抽取5件样品. 分别计算这5件样品中恰好有3件次品及至多有3件次品的概率.解 以X 表示抽取的5件样品中含有的次品数. 依题意知.~(5,0.2)X B (1) 恰好有3件次品的概率是P {X =3}=.23358.02.0C (2) 至多有3件次品的概率是.k k k kC-=∑5358.02.02. 一办公楼装有5个同类型的供水设备. 调查表明, 在任一时刻t 每个设备被使用的概率为0.1. 问在同一时刻(1) 恰有两个设备被使用的概率是多少？(2) 至少有1个设备被使用的概率是多少？(3) 至多有3个设备被使用的概率是多少？(4) 至少有3个设备被使用的概率是多少？解 以X 表示同一时刻被使用的设备的个数，则X ~B (5,0.1),P {X =k }=,k =0,1, (5)k kk C -559.01.0(1)所求的概率是P {X =2}=;0729.09.01.03225=C (2)所求的概率是P {X ≥1}=1;40951.0)1.01(5=--(3)所求的概率是 P {X ≤3}=1-P{X =4}-P {X =5}=0.99954;(4)所求的概率是P {X ≥3}=P {X =3}+P {X =4}+P {X =5}=0.00856.3. 设随机变量X 的概率密度为e ,0,()00,≥，x k x f x x θθ-=<⎧⎪⎨⎪⎩且已知, 求常数k , θ.1{1}2P X >=解 由概率密度的性质可知得到k =1.e d 1xkx θθ-+∞=⎰由已知条件, 得.111e d 2xx θθ-+∞=⎰1ln 2θ=4. 某产品的某一质量指标, 若要求≤X ≤≥0.8, 问允2~(160,)X N σ{120P 200}许最大是多少?σ解 由≤X ≤{120P }200120160160200160{}X P σσσ---=≤≤=≥0.8,404040((1(2(1ΦΦΦσσσ--=-得到≥0.9, 查表得≥1.29, 由此可得允许最大值为31.20.40()Φσ40σσ5. 设随机变量X 的概率密度为φ(x ) = A e -|x |, -∞<x <+∞.试求: (1) 常数A ; (2) P {0<X <1}; (3) X 的分布函数.解 (1) 由于即故2A = 1,得||()d e d 1,x x x A x ϕ+∞+∞--∞-∞==⎰⎰2e d 1x A x +∞-=⎰到A =.12所以φ(x ) =e -|x |.12(2) P {0<X <1} =111111e e d (e )0.316.222xxx ----=-=≈⎰(3) 因为 得到||1()e d ,2xx F x x --∞=⎰当x <0时, 11()e d e ,22x x xF x x -∞==⎰当x ≥0时, 00111()e d e d 1e ,222x x x xF x x x ---∞=+=-⎰⎰所以X 的分布函数为1,0,2()11,0.2xx x F x x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩e e ≥。
习题一：1.1 写出下列随机试验的样本空间：(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{ ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22 =Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{ ,2,1,03=Ω；(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{;51,4≤≤=Ωj i j i (5) 检查两件产品是否合格;解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{216,T y x T y x ≤≤=Ω ；(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{207 x x =Ω；(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{l y x y x y x =+=Ω,0,0,8 ； 1.2(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ⋃； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ⋃⋃；(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ⋃⋃； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ⋃⋃； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ⋃⋃；(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ⋃⋃ ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。
2随机变量及其分布2．1基本要求随机变量的引入在概率论发展史中意义十分重大，这一概念的引入使得试验结果数量化了。
因此，随机变量与它的分布是概率统计讨论的核心内容。
1．理解随机变量及其概率分布的概念。
2．理解分布函数的概念及性质，会计算与随机变量相联系的事件的概率。
3．理解离散型随机变量及其概率分布的概念，侧重把握它的分布律（列）及其性质，其中，从实际问题出发建立分布律是学习中的难点。
在众多的离散型分布中，重点是掌握两点分布、二项分布、超几何分布和泊松分布及其应用。
4．了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布。
5．理解连续型随机变量的概念，重点是把握它的概率密度及其性质，并能深入掌握均匀分布、指数分布、正态分布与它们的特征，会用这些分布解决一些简单的问题。
6．熟练掌握分布函数与分布律、概率密度的互求，这既是难点也是应用中的重点。
7．会根据自变量的概率分布求其简单函数的概率分布。
2．2内容提要2．2．1．随机变量与它的分布函数1．随机变量的概念随机变量ξ是定义在样本空间Ω上的实值集函数，它具有取值的不确定性(随机性)和取值范围及相应概率的确定性(统计规律性)两大特征。
特别是后一特征表明，对于任意实数x，事件{ξ≤x }都有确定的概率。
常用的随机变量按取值方式可分为离散型和连续型两类。
2．分布函数与它的基本性质对于随机变量ξ 以及任意实数x ，称一元函数F (x )=P {ξ≤x }为ξ的分布函数。
由此可见，分布函数是定义域为),(∞-∞、值域为[0，1]的实函数。
其基本性质是：(1) 1)(0≤≤x F ，对一切∞<<∞-x 成立；(2)F (x )是一个单调不减函数，即当21x x <时，有)()(21x F x F ≤；(3)F (x )是右连续的，即F (x +0)=F (x )；(4)1)(lim )(,0)(lim )(==∞==-∞∞→-∞→x F F x F F x x 。
第二章 练习题（解答）一、填空题：1．设随机变量X 的密度函数为：f(x)=⎩⎨⎧02x 其它1〈⨯〈o 则用Y 表示对X 的3次独立重复的观察中事件(X≤21)出现的次数，则P （Y ＝2）＝ 。
解：⎰==≤412021)21(xdx X p649)43()41()2(1223===C Y p2. 设连续型随机变量的概率密度函数为：f (x) =且EX ＝31，则a = _____-2___________， b = _____2___________。
1()1011()03ax b dx x ax b dx ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩⎰⎰解：解之3. 已知随机变量X 在[ 10，22 ] 上服从均匀分布，则EX= 16 ，DX= 12 4.设=+==）（，则，为随机变量，1041132ξξξξE E E 22104=+ξE=+)104(ξD []32161622=-=）（ξξξE E D 5. 已知X 的密度为=)(x ϕb ax +,10其他<<x 且P （1X 3<）=P(1X>3) ， 则a = ,b =13131011133x dx P X P X ax b dx ax b dx ϕ+∞-∞==⇒+=+⎰⎰⎰（）（<）（>）（）（） 联立解得：4723=-=b a ， ax+b 0<x<1 0 其他6．若f(x)为连续型随机变量X 的分布密度，则⎰+∞∞-=dx x f )(＿＿1＿＿＿＿。
7. 设连续型随机变量ξ的分布函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=2,110,4/0,0)(2x x x x x F ，则P （ξ=0.8）= 0 ；)62.0(<<ξP = 0.99 。
8. 某型号电子管，其寿命（以小时记）为一随机变量，概率密度)(x ϕ＝()⎪⎩⎪⎨⎧≥)(01001002其他x x ，某一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不需要更换的概率为＿＿＿8/27＿＿＿＿＿。
∴ ϕ(x)=2100x x≥100 0 其它 P （ξ≥150）=1－F(150)=1－⎰⎰=-+=+=150100150100232132********x dx x [P(ξ≥150)]3=(32)3=2789. 设随机变量X 服从B （n, p ）分布，已知EX ＝1.6，DX ＝1.28，则参数n ＝___________，P ＝_________________。
EX = np = 1.6DX = npq = 1.28 ，解之得：n = 8 ，p = 0.210. 设随机变量ξ服从参数为（2，P ）的二项分布，η服从参数为（4，P ）的二项分布，若P （ξ≥1）95，则P （η≥1）＝＝＿65/81＿＿。
解：%2.808165811614014==-=-=q p C o )(1)1(o p p =-=≤ηη31,3294)0(94)1(95)1(2==⇒=∴===〈⇒=≥p q q p p p ξξξ11. 随机变量X ～N （2，σ2），且P （2＜X ＜4）=0.3，则P （X ＜0）=＿＿0.2＿＿＿），查表可得（）〈（再代入，由此解出）（）（）〈（）〈（）〈〈（σσσσ2003.022242442000-Φ==-Φ--Φ=-=X P X P X P X P12. 设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则数学期望E （x ＋e －2x）= ___4/3________3431110222=+=⋅+=+=+⎰+∞----dx e e EeEX e X E x x XX ）（13. 已知离散型随机变量x 服从参数为2的泊松分布，则随机变量z = 3x －2的期望E (z)＝3EX-2=3x2-2=4 。
14．设随机变量x 服从参数为λ的泊松分布，且P ( x = 1) = P ( x=2 ) 则E (x) = __2__. D (x) = __2__22201!2!ee λλλλλλ--=⇒-=∴)0(2舍==λλ15. 若随机变量ξ服从参数λ=0.05的指数分布，则其概率密度函数为：=)(x φ⎩⎨⎧≤>-0,00,05.005.0x x e x；E ξ= 20 ；D ξ= 400 。
16. 设某动物从出生活到10岁以上的概率为0.7，活到15岁以上的概率为0.2，则现龄为10岁的这种动物活到15岁以上的概率为286.0727.02.0)10()15()10/15(===>>=>>ξξξξP P P17. 某一电话站为300个用户服务，在一小时内每一用户使用电话的概率为0.01，则在一小时内有4个用户使用电话的概率为 P 3(4)=0.168031 解:一小时内使用电话的用户数服从301.0300=⨯==np λ的泊松分布18 通常在n 比较大，p 很小时，用 泊松分布 近似代替二项分布的公式，其期望为np =λ ，方差为 np =λ19．x ～N （μ，2σ），P(x ＜－5) ＝0.045，p(x ≤3) ＝0.618，则μ＝＿1.8＿＿＿＿，σ＝＿＿4＿＿＿＿。
二、单项选择：1、设随机变量X 的密度函数为：34x ,0<x<10,(){f x =其他则使P(x>a)=P(x<a)成立的常数a = ( A ) A ．421B ．42C ．21 D ．1－421 ⎰⎰=∞+=〉dx x a dx x f a a x p 341)()(⎰⎰⎰⎰=⨯=⨯⨯=∞-=〈4313321:4,4,,4)()(a dx dx o a d x o a dx x f a a x p a 解之得联立2．设F 1（X ）与F 2（X ）分别为随机变量X 1与X 2的分布函数，为使F （X ）＝aF 1(x)－bF 2(x)是某一随机变量的分布函数，在下列给它的各组值中应取（ A ） A ．a=53, b =－52B ．a=32, b=32C ．a=－21, b=23D ．a=21, b=－23F(+∞)=a F 1 (+∞)-BF 2 (+∞)=11=-⇒b a适合52,53-==∴b a3. 已知随机变量的分布函数为F （x ）= A + B arctgx ，则：（ B ）A 、A=21B=πB 、A=21B=π1C 、 A=πB=21D 、A=π1B=21 本题为课堂例题4. 设离散型随机变量X 仅取两个可能值X 1和X 2，而且X 1< X 2，X 取值X 1的概率为0.6，又已知E （X ）＝1.4，D （X ）＝0.24，则X 的分布律为 （ ）A.B.C.D.① 1.4=EX=0.6X 1+0.4X 2② DX=EX 2-(EX)20.24=0.6X12 +0.4X22 -1.42 联系①、②解得X 1=1，X 2=25．现有10张奖券，其中8张为2元，2张为5元，今某人从中随机地无放回取3张，则此人得奖金额的数学期望为 （ ） A ．6元 B ．12元 C ．7.8元 D ．9元 设ξ表示得奖金额，则其分布律为：ξ 6 9 12P31038c c3101228cc c 3102218c c c故期望值为： 7.86. 随机变量X 的概率分布是：X 1 2 3 4P61 a 41b 则：（ D ） A 、a=61, b=41 B 、a=121, b=122C 、a=121, b=125D 、a=41, b=31D b a 故选）（⇒=+-=+127416117. 下列可作为密度函数的是：（ B ） A 、=)(x ϕ 0112x +0≤>x xB 、=)(x ϕ)(a x e -- 其它a x >C 、=)(x ϕs i n x其它],0[π∈xD 、=)(x ϕ3x 其它11<<-x依据密度函数的性质：⎪⎩⎪⎨⎧=≥⎰∞+∞-10dx x x ）（）（ϕϕ进行判断得出：B 为正确答案8. 设X 的概率密度为)(x ϕ，其分布函数F （x ），则（ D ）成立。
A 、P （)()x F X =∞= B 、1)(0≤≤x ϕC 、P )()(x X ϕ=∞=D 、P )()(x F x =≤ξ9. 如果)(~x x ϕ，而=)(x ϕ 02x x - 其它2110≤<≤≤x x ，则P （X 5.1≤）=（ C ） A 、⎰-5.10)2(dx x B 、⎰-5.10)2(dx x xC 、0.875D 、⎰∞--5.1)2(dx x解:875.08725.111==-+⎰⎰dx x xdx ）（10. 若随机变量X 的可能取值充满区间＿＿＿＿＿＿，那么Sinx 可以作为一个随机变量的概率密度函数。
（ B ） A ．[0，π] B ．[0.5π, π] C ．[0, 1.5π] D ．[π, 1.5π]解: 依据密度函数的性质：⎪⎩⎪⎨⎧=≥⎰∞+∞-10dx x x ）（）（ϕϕ进行判断得出：B 为正确答案11. 某厂生产的产品次品率为5%，每天从生产的产品中抽5个检验，记X 为出现次品的个数，则EX （ D ） A ．0.75 B ．0.2375 C ．0.487 D ．0.25 此题X 服从二项分布12. 设X 服从二项分布，若（n ＋1）P 不是整数，则K 取何值时，P （X ＝K ）最大？ （ D ）A ．K ＝（n ＋1）PB ．K ＝（n ＋1）P －iC ．K ＝nPD ．K ＝[（n ＋1）P ]13．设X 服从泊松分布，若λ不是整数，则K 取何值时，P （X ＝K ）最大？（B ）A ．λB ．[λ]C ．λ－1D ．λ＋1 14. )1,0(~N X ，Y=2X －1，则Y~（ C ）A 、N （0，1）B 、N （1，4）C 、N （-1，4）D 、N （-1，3）112124412-=-=-===-=EX X E EY DX X D DY ）（，）（15. 已知随机变量X 服从参数为2的指数分布，则其标准差为： （ C ） A ．2B ．1/4C ．1/2D ．22随机变量的参数为2，即方差为1/4，标准差则为1/216．当满足下列（ D ）条件时，二项分布以正态分布为极限分布更准确。
A ．n λ→∞→np , B ．0,→∞→p nC ．λ→→np p ,0D ．∞→n17. 设X ～(10,25)N ,已知8413.0)1(0≈Φ，97725.0)2(0≈Φ，则}{5p X <和}{20p X >的概率分别为 [ C ]A. 0.0228 , 0.1587B. 0.3413 , 0.4772C. 0.1587 , 0.0228D. 0.8413 , 0.977250228.021510201201201587.08413.011115105500000=Φ-=-Φ-=≤-==-=Φ-=-Φ=-Φ=）（）（）（）〉（）（）（）（）〈（X P X P X P三、计算题：1. 设随机变量X 的密度函数为：A+B=3 AX 0＜X ≤1 B －X 1＜X ≤20 其它试求：（1）常数A 、B 。
