有理数及其运算常考题型(数轴与绝对值)(北师版)(含答案)

北师版七年级上册第二章有理数及其运算2.3 绝对值同步练习一．选择题（共10小题，3*10=30）1. A ，B 是数轴上两点，线段AB 上的点表示的数中，有互为相反数的是()2．下列说法：①a 与－a 互为相反数；②0的相反数是0；③一个数的相反数必是负数；④负数的相反数是正数；⑤相反数等于本身的数是0.其中正确的说法有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个3．下列说法正确的是( )A ．一个数的相反数一定是负数B ．一个数的绝对值一定不是负数C ．一个数的绝对值的相反数一定是负数D ．一个数的绝对值一定是正数4．一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数是( )A ．正数B ．负数C ．正数或0D ．负数或05．在有理数中，绝对值等于它本身的数在数轴上的对应点一定在( )A ．原点左侧B ．原点或原点左侧C ．原点右侧D ．原点或原点右侧6．下列比较大小错误的是( )A ．－2＞－5B ．－23＞－34C ．－3＞－227D ．－π＞－3.14 7．下列四个数中，在－4到0之间的数是( )A ．－1B ．1C ．－6D ．38．下列说法正确的是( )A ．－|a|一定是负数B ．只有两个数相等时它们的绝对值才相等C ．若|a|＝|b|，则a 与b 相等D ．若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数9．下列结论正确的是( )A ．若m ＞n ，则|m|＞|n|B ．若|m|＝|n|，则m ＝nC ．若|m|＞|n|，则m ＞nD ．若m ＜n ＜0，则|m|＞|n|10．有理数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是( )A ．|b|＞－aB ．|a|＞－bC ．b ＞aD ．|a|＞|b|二．填空题（共8小题，3*8=24）11. 12的相反数是( ) 12．数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做a 的 __________ ，记作____，读作a 的绝对值．13. |24|＝____；|－3.1|＝____；|0|＝____．14. －2，0，1，－3四个数中，最小的数是____．15. 如图，数轴上点A 所表示的数的相反数是____．16．填“＞”或“＜”．(1)0____－0.01; (2)－12____13；(3)512____23. 17．若|－a|＝|－2|，a ＝__________.18. 已知点M ，N ，P ，Q 在数轴上的位置如图，则其中对应的数的绝对值最大的点是_________.三．解答题（共7小题，46分）19. (6分) 18．计算：(1)|－5|＋|－17|;(2)|－14|－|8|；(3)|－10|÷|15|;(4)|213|×|－0.3|.20. (6分) 比较下列几组数的大小：(1)－78和－89；(2)－3.14和－π；(3)－(－4)和|－4|;(4)－|－45|和－(－56)．21. (6分) 计算：(1)|－12|＋|－5|－|＋12|；(2)|－313|÷|－114|×|－112|.22. (6分) 师傅让一名学徒工加工一些标准长度为0.5米的钢管，为了检查加工的质量，师傅随便从加工成品中抽出六根，经测量发现：(表中正数表示超过标准的长度/米，负数表示不足标准的长度/米)．问哪一根钢管加工的质量要好些？你能否用所学的绝对值的知识加以解释？23. (6分) 如图，数轴的单位长度为1，且数轴上各点之间的距离均为1.(1)如果点B与点F表示的数互为相反数，那么点D表示的数是什么？(2)如果点D与点H表示的数互为相反数，那么点C表示的数是什么？24. (8分)若|a|＝－a，|b|＝b，|c|＝－c，|d|＝－d，且a，b，c，d都不为0，|a|>|b|>|c|>|d|，请把a，b，c，d四个数的大致位置在数轴上表示出来，并按从小到大用“<”连接起来．25. (8分)在抗洪抢险中，人民解放军的冲锋舟沿东西方向的河流抢救物资，中午从A地出发，晚上到达B地．规定向东为正，当天的航行记录如下(单位：km)：－16，－7，12，－9，6，10，－11，9.(1)B在A地的哪侧？相距多远？(2)若冲锋舟每千米耗油0.46 L，则这一天共耗油多少升？参考答案1-5BCBDD 6-10 DADDA11.－1212. 绝对值，|a|13. 24，3.1，014. －315. 216. ＞ ，＜ ，＜17. ±218. Q19. 解：(1)原式＝5+17=22(2)原式＝14-8=6(3)原式＝10÷15=23(4)原式＝213×0.3=71020. 解：(1)－78＞－89(2)－3.14＞－π(3)－(－4)＝|－4|(4)－|－45|＜－(－56) 21. 解：(1)原式＝12-5-12=5 (2)原式＝313÷114×112=103 × 45 ×32=4 22. 解：第四根钢管的质量要好一些．因为标准长度为0.5米，－0.01的绝对值最小说明最接近标准长度，质量最好23. 解：(1)点D 表示的数是0(2)点C 表示的数是－324. 解：因为|a|＝－a ，|b|＝b ，|c|＝－c ，|d|＝－d ，且都不为0，所以a ，c ，d 为负数，b 为正数，又因为|a|>|c|>|d|，所以a ＜c ＜d ＜0，所以a<c<d<b ，数轴略25. 解：(1)－16＋(－7)＋12＋(－9)＋6＋10＋(－11)＋9＝－16－7＋12－9＋6＋10－11＋9＝－6(km)，所以|－6|＝6(km)，答：B地在A地的西边，相距6 km(2)0.46×(|－16|＋|－7|＋12＋|－9|＋6＋10＋|－11|＋9)＝0.46×(16＋7＋12＋9＋6＋10＋11＋9)＝0.46×80＝36.8(升)．答：这天共消耗了36.8升油。

一、选择题1.有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，则式子∣a∣+∣b∣+∣a+b∣−∣b−c∣化简结果为( )A．2a+b−c B．2a+b+c C．b+c D．3b−c2.如图，点A，B在数轴上，点O为原点，OA=OB．按如图所示方法用圆规在数轴上截取BC=AB，若点A表示的数是a，则点C表示的数是( )A．2a B．−3a C．3a D．−2a3.一个点在数轴上距原点3个单位长度开始，先向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度，这时它表示的数是( )A．6B．0C．−6D．0或64.已知a，b，c为有理数，且a+b+c=0，b≥−c>∣a∣，且a，b，c与0的大小关系是( )A．a<0，b>0，c<0B．a>0，b>0，c<0C．a≥0，b<0，c>0D．a≤0，b>0，c<05.当式子∣x+2∣+∣x−5∣取得最小值时，x的取值范围为( )A．−2≤x<5B．−2<x≤5C．x=2D．−2≤x≤56.在数轴上有两个点，分别表示数x和y，已知∣x∣=1，且x>0，∣y+1∣=4，那么这两个点之间距离为( )A．2或6B．5或3C．2D．37.如果∣a∣a +∣b∣b+∣c∣c=−1，那么ab∣ab∣+bc∣bc∣+ac∣ac∣+abc∣abc∣的值为( )A．−2B．−1C．0D．不确定8.我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：指数运算21=222=423=8⋯新运算log 22=1log 24=2log 28=3⋯指数运算31=332=933=27⋯新运算log 33=1log 39=2log 327=3⋯根据上表规律，某同学写出了三个式子：①log 216=4，② log 525=5，③ log 212=−1，其中正确的是 ( ) A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③9. 【例 9−2 】已知 ∠AOB =60∘，∠AOC =13∠AOB ，射线 OD 平分 ∠BOC ，则 ∠COD 的度数为( ) A ． 20∘ B ． 40∘ C ． 20∘ 或 30∘ D ． 20∘ 或 40∘10. 下面四个数中，最大的数为 ( ) A ． (−1)2021B ． −∣−2∣C ． (−2)3D ． −12二、填空题11. 若 a +b +c >0，且 abc <0 则 a ，b ，c ，中有 个正数．12. 电子跳蚤落在数轴上的某点 k 0，第一步从 k 0 向左跳 1 个单位到 k 1，第二步由 k 1 向右跳 2个单位到 k 2，第三步由 k 2 向左跳 3 个单位到 k 3，第四步由 k 3 向右跳 4 个单位到 k 4，⋯，按以上规律跳了 140 步时，电子跳蚤落在数轴上的点 k 140 所表示的数恰是 2019．则电子跳蚤的初始位置 k 0 点所表示的数是 ．13. 现定义某种运算“∗”，对给定的两个有理数 a ，b (a ≠0)，有 a ∗b =a −a b ，则 (−3)∗2= ．14. 如图所示是计算机程序计算，若开始输入 x =−1，则最后输出的结果是 ．15. 已知实数 a ，b ，定义运算：a ⋇b ={a b ,a >b 且 a ≠0b a,a ≤b 且 a ≠0，若 a ⋇(a −3)=1，则 a = ．16. 观察下列等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187，⋯根据你发现的规律写出272019的末位数字是．17.如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为16，我们发现第一次输出的结果为8，第二次输出的结果为4，⋯，则第2017输出的结果为．三、解答题18.阅读下面材料：如图，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，则A，B两点之间的距离可以表示为∣a−b∣．根据阅读材料与你的理解回答下列问题：(1) 数轴上表示3与−2的两点之间的距离是．(2) 数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为．(3) 代数式∣x+8∣可以表示数轴上有理数x与有理数所对应的两点之间的距离；若∣x+8∣=5，则x=．(4) 求代数式∣x+1008∣+∣x+504∣+∣x−1007∣的最小值．19.计算下列各式的值．(1) −3−(−8)−(+7)+5．(2) 49÷74×(−47)÷(−16)．(3) 7−(156−23−34)÷124．(4) −32÷(−3)2+3×(−2)+∣−1∣．20.如图，已知数轴上有A，B，C三点，分别表示有理数−26，−10，10，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向终点C移动，当点P运动到B点时，点Q从A点出发，以每秒3个单位的速度向C点运动，(1) Q点出发3秒后所到的点表示的数为；此时P，Q两点的距离为．(2) 问当点Q从A点出发几秒钟时，能追上点P？(3) 问当点Q从A点出发几秒钟时，点P和点Q相距2个单位长度？直接写出此时点Q在数轴上表示的有理数．21.已知两点A，B在数轴上，AB=9，点A表示的数是a，且a与(−1)3互为相反数．(1) 写出点B表示的数；(2) 如图1，当点A，B位于原点O的同侧时，动点P，Q分别从点A，B处在数轴上同时相向而行，动点P的速度是动点Q的速度的2倍，3秒后两动点相遇，当动点Q到达点4时，运动停止．在整个运动过程中，当PQ=2时，求点P，Q所表示的数；(3) 如图2，当点A，B位于原点O的异侧时，动点P，Q分别从点A，B处在数轴上向右运动，动点Q比动点P晚出发1秒；当动点Q运动2秒后，动点P到达点C处，此时动点P立即掉头以原速向左运动3秒恰与动点Q相遇；相遇后动点P又立即掉头以原速向右运动5秒，此时动点P到达点M处，动点Q到达点N处，当∣OM−ON∣=2时，求动点P，Q运动的速度．22.【背景知识】数轴上A点，B点表示的数为a，b，则A，B两点之间的距离AB=∣a−b∣，．若a>b，则可简化为AB=a−b，线段AB的中点M表示的数为a+b2【问题情境】已知数轴上有A，B两点，分别表示的数为−10，8，点P，Q分别从A，B同时出发，点P以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为t秒（t>0）．【综合运用】(1) A，B两点的距离为，线段AB的中点C所表示的数；(2) 点P所在的位置的点表示的数为，点Q所在位置的点表示的数为（用含t的代数式表示）；(3) P，Q两点经过多少秒会相遇？23.探究规律，完成相关题目．定义“∗”运算：(+2)∗(+4)=+(22+42)，(−4)∗(−7)=+[(−4)2+(−7)2]，(−2)∗(+4)=−[(−2)2+(+4)2]，(+5)∗(−7)=−[(+5)2+(−7)2]，0∗(−5)=+(−5)∗0=(−5)2，(+3)∗0=0∗(+3)=(+3)2，0∗0=02+02=0．归纳∗运算的法则（用文字语言叙述）：(1) 两数进行∗运算时，．特别地，0和任何数进行∗运算，或任何数和0进行∗运算，．(2) 计算：(−3)∗[0∗(+2)]=．(3) 是否存在有理数m，n，使得(m+1)∗(n−2)=0，若存在，求出m，n的值，若不存在，请说明理由．24.若有理数x，y满足∣x∣=5，∣y∣=2，且∣x+y∣=x+y，求x−y的值．25.数学是一门充满思维乐趣的学科，现有3×3的数阵A，数阵每个位置所对应的数都是1，2或3．定义a∗b为数阵中第a行第b列的数．例如，数阵A第3行第2列所对应的数是3，所以3∗2=3．(1) 对于数阵A，2∗3的值为．若2∗3=2∗x，则x的值为．(2) 若一个3×3的数阵对任意的a，b，c均满足以下条件：条件一：a∗a=a；条件二：(a∗b)∗c=a∗c．则称此数阵是“有趣的”．①请判断数阵A是否是“有趣的”你的结论：（填“是”或“否”）．②已知一个“有趣的”数阵满足1∗2=2，试计算2∗1的值．③是否存在“有趣的”数阵，对任意的a，b满足交换律a∗b=b∗a？若存在，请写出一个满足条件的数阵；若不存在，请说明理由．答案一、选择题1. 【答案】D【解析】观察数轴可得：−1<a<0<b<c，∣a∣<∣b∣<∣c∣，∴∣a∣+∣b∣+∣a+b∣−∣b−c∣=−a+b+a+b−(c−b)=3b−c．【知识点】绝对值的化简、利用数轴比较大小2. 【答案】B【解析】∵OA=OB，点A表示的数是a，∴点B表示的数为−a，AB=−2a，∵BC=AB，∴点C表示的数是−3a．【知识点】数轴的概念3. 【答案】D【解析】∵该点距离原点3个单位，∴该点表示的数是3或−3，①若该点表示的数是3，先向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度，这时它表示的数是：3+4−1=6；②若该点表示的数是−3，先向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度，这时它表示的数是：3+4−1=0；故选D．【知识点】绝对值的几何意义4. 【答案】D【解析】∵∣a∣≥0，则b≥−c>∣a∣≥0，b>0，−c>0，即c<0，a+b+c=0，即a+b=−c≤b，即a≤0，∴a≤0，b>0，c<0．【知识点】绝对值的几何意义、利用数轴比较大小、有理数的加法法则及计算5. 【答案】D【解析】利用数轴，设A点表示的数为−2，B点表示的数为5，P点表示的数为x，则∣x+2∣+∣x−5∣=PA+PB，∴当P在A，B之间时，PA+PB最小，∴当−2≤x≤5时，∣x+2∣+∣x−5∣取得最小值．【知识点】绝对值的几何意义6. 【答案】A【解析】∵∣x∣=1，且x>0，∴x=1，∵∣y+1∣=4，∴y=−5或3，∴这两个点之间距离为1−(−5)=6或3−1=2．【知识点】绝对值的几何意义7. 【答案】C【解析】∣a∣a +∣b∣b+∣c∣c=−1，所以a，b，c中有一个正数，二个负数，假设a>0，b<0，c<0，则ab∣ab∣+bc∣bc∣+ac∣ac∣+abc∣abc∣=−1+1−1+1=0．【知识点】绝对值的性质与化简8. 【答案】B【知识点】有理数的乘方9. 【答案】D【解析】当OC在∠AOB内时，如图1，则∠BOC=∠AOB−∠AOC=60∘−13×60∘=40∘，∴∠COD=12∠BOC=20∘；当OC在∠AOB外时，如图2，则∠BOC=∠AOB+∠AOC=60∘+13×60∘=80∘，∴∠COD=12∠BOC=40∘．综上，∠COD=20∘或40∘．故选：D．【知识点】角的计算10. 【答案】D【解析】 (−1)2021=−1；−∣−2∣=−2；(−2)3=−8；且 −8<−∣−2∣<(−1)2021<−12， ∴ 最大的数是 −12，故选D ．【知识点】有理数的乘方、绝对值的化简二、填空题 11. 【答案】 2【解析】 ∵ 有理数 a ，b ，c 满足 a +b +c >0，且 abc <0， ∴a ，b ，c 中负数有 1 个，正数有 2 个． 【知识点】有理数的加法法则及计算、有理数的乘法12. 【答案】 1949【解析】由题意可知：k 140=k 0−1+2−3+4−⋯−139+140=2019， 即 k 0+(−1+2)+(−3+4)+⋯+(−139+140)=2019， k 0+1+1+⋯+1⏟70 个 1=2019，∴k 0+70=2019，解得：k 0=1949．则电子跳蚤的初始位置 k 0 点所表示的数是 1949． 【知识点】有理数的加法法则及计算13. 【答案】 −12【解析】 ∵a ∗b =a −a b ， ∴(−3)∗2=(−3)−(−3)2=(−3)−9=−12.【知识点】有理数的乘方14. 【答案】−22【解析】把x=−1代入计算程序中得：(−1)×6−(−2)=−6+2=−4>−5，把x=−4代入计算程序中得：(−4)×6−(−2)=−24+2=−22<−5，则最后输出的结果是−22．【知识点】有理数的乘法15. 【答案】3或±1【解析】∵a>a−3，a⋇(a−3)=1，根据题中的新定义得：a a−3=1，∴a−3=0或a=1或a=−1，∴a=3或±1．【知识点】有理数的乘方16. 【答案】3【解析】272019=(33)2019=36057，末位的循环为3，9，7，1，6057÷4=1514⋯1，所以末位为3．【知识点】有理数的乘方17. 【答案】1【解析】根据题意，x=16，第一次输出结果为：8，第二次输出结果为：4，第三次输出结果为：2，第四次输出结果为：1，第五次输出结果为：4，第六次输出结果为：2，第7次输出结果为：1，第8次输出结果为：4，由上规律可知：从第二次输出结果开始，每3次输出后重复一次，故(2017−1)÷3=672，故输出结果为：1．【知识点】有理数的加法法则及计算、有理数的乘法三、解答题18. 【答案】(1) 5(2) ∣x−7∣(3) −8；−3或−13(4) 如图，∣x+1008∣+∣x+504∣+∣x−1007∣的最小值即∣1007−(−1008)∣=2015．【解析】(1) ∣3−(−2)∣=5．【知识点】绝对值的几何意义、有理数的减法法则及计算19. 【答案】(1) 原式=−3+8−7+5=5−7+5=−2+5=3.(2) 原式=49×47×47×116=1.(3) 原式=7−(116−23−34)×24=7−(116×24−23×24−34×24) =7−(44−16−18)=7−10=−3.(4) 原式=−9÷9+(−6)+1 =−1−6+1=−6.【知识点】有理数的除法、有理数的加减乘除乘方混合运算、有理数的乘法20. 【答案】(1) −17；10(2) Q点出发时，PQ两点距离为(−10)−(−26)=16，Q点速度比P点速度快(3−1)=2个单位/秒，162=8秒，∴当Q从A出发8秒钟时，能追上点P．(3) 设A点出发t秒，点P和Q相距2个单位长度，当Q点还没追上P点时，Q，P速度差为2，∴2t=−10−(−26)−2=14，解得t=7，Q点在数轴上表示的数为−26+3×7=−5，当Q点超过P点时，Q，P速度差为2，∴2t=−10−(−26)+2=18，解得：t=9，−26+3×9=1．故Q点在数轴上表示的有理数为1．综上所得，当Q从A出发7或9秒时，点P和点Q相距2个单位长度，此时Q表示数轴的有理数为−5或1．【解析】(1) P到B点时，Q从A出发，Q点速度为每秒3个单位长度，3秒运动距离为3×3=9，−26+9=−17，∴Q点出发3秒后所到的点表示为−17，3秒钟P点运动距离为3×1=3，又−10+3=−7，PQ两点距离为−7−(−17)=10，∴Q点出发3秒后所到点表示数为−17，此时P，Q两点的距离为10．【知识点】数轴的概念21. 【答案】(1) ∵a与(−1)3互为相反数，∴a=1，∵AB=9，∴①当点A、点B在原点的同侧时，点B所表示的数为1+9=10，如图1所示；②当点A、点B在原点的异侧时，点B所表示的数为1−9=−8，如图2所示．故点B所表示的数为10或−8．(2) 当点A，B位于原点O的同侧时，点B表示的数是10．设点Q的运动速度为x，则点P的速度为2x．∵3秒后两动点相遇，∴3(x+2x)=9，解得：x=1．∴点Q的运动速度为1，则点P的速度为2．运动t秒后PQ=2有两种情形：①相遇前，由题意有：2t+2+t=9，解得：t=73；∴点P表示的数为：1+2×73=173，点Q表示的数为：10−73=233；②相遇后，再运动y秒，P，Q两点相距2，由题意有：y+2y=2，解得：y=23．∴点P表示的数为：1+3×2+23×2=253，点Q表示的数为：10−3×1−23×1=193．(3) 根据题意得，点P和点Q在点A处相遇，此时点Q运动5秒，运动9个单位长度．∴点Q的运动速度为：9÷5=1.8．设点P的速度为v，∵∣OM−ON∣=2，∴∣9+1−(5v+1)∣=2，解得：v=75或115．∴点P的速度为75或115．【知识点】数轴的概念、相遇问题22. 【答案】(1) 18；−1(2) −10+5t；8−3t(3) 依题意有5t+3t=18，解得t=94．故P，Q两点经过94秒会相遇．【解析】(1) A，B两点的距离为8−(−10)=18，线段AB的中点C所表示的数[8+(−10)]÷2=−1．(2) 点P所在的位置的点表示的数为−10+5t，点Q所在位置的点表示的数为8−3t（用含t的代数式表示）．【知识点】绝对值的几何意义23. 【答案】(1) 同号得正、异号得负，并把两数的平方相加；等于这个数得平方(2) −25(3) ∵(m+1)∗(n−2)=0，∴±[(m+1)2+(n−2)2]=0，∴m+1=0，n−2=0，解得m=−1，n=2，即m=−1，n=2即为所求．【解析】(1) 由题意可得：两数进行∗运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加0和任何数进行运算，或任何数和0迸行∗运算，等于这个数的平方．(2) (−3)∗[0∗(+2)]=(−3)∗(+2)2=(−3)∗(+4)=−[(−3)2+(+4)2]=−25.【知识点】有理数的乘方24. 【答案】∵∣x∣=5，∴x=±5，又∣y∣=2，∴y=±2，又∵∣x+y∣=x+y，∴x+y≥0，∴x=5，y=±2，当x=5，y=2时，x−y=5−2=3，当x=5，y=−2时，x−y=5−(−2)=7．【知识点】有理数的减法法则及计算25. 【答案】(1) 2；1或2或3(2) ①是．② ∵1∗2=2∴2∗1=(1∗2)∗1，∵(a∗b)∗c=a∗c，∴(1∗2)∗1=1∗1，∵a∗a=a，∴1∗1=1，∴2∗1=1．③方法一：不存在理由如下：若存在满足交换律的"有趣的”数阵，依题意，对任意的a，b，c有：a∗c=(a∗b)∗c=(b∗a)∗c=b∗c，这说明数阵每一列的数均相同．∵1∗1=1，2∗2=2，3∗3=3，∴此数阵第一列数均为1，第二列数均为2，第三列数均为3，∴1∗2=2；2∗1=1，与交换律相矛盾，因此，不存在满足交换律的“有趣的”数阵．【解析】(1) 由题意可知：2∗3表示数阵，第2行第3列所对应的数是2，∴2∗3=2．∵2∗3=2∗x，∴2∗x=2，由题意可知：数阵第1行中3列数均为1，∴x=1，2，3．(2) 方法二：不存在理由如下：由条件二可知，a∗b只能取1，2或3，由此可以考虑a∗b取值的不同情形．例如考虑1∗2：情形一：1∗2=1．若满足交换律，则2∗1=1，再次计算1∗2可知：1∗2=(2∗1)∗2=2∗2=2，矛盾．情形二：1∗2=2，由（2）可知，2∗1=1，1∗2≠2∗1，不满足交换律，矛盾．情形三：1∗2=3，若满足交换律，即2∗1=3，再次计算2∗2可知：2∗2=(2∗1)∗2=3∗2=(1∗2)∗2=1∗2=3，与2∗2=2矛盾．综上，不存在满足交换律的“有趣的”数阵．【知识点】有理数的乘法。

北师大版（2024版）七年级（上）数学单元测试卷第2章《有理数及其运算》满分120分时间100分钟题号得分一、选择题(共10题；共30分)1．−110的绝对值是（ ）A．110B．10C．−110D．−102．如果“亏损5%”记作−5%，那么+3%表示（ ）A．多赚3%B．盈利−3%C．盈利3%D．亏损3%3．如图，数轴上点P表示的数是（ ）A．-1B．0C．1D．24．2023年3月13日，十四届全国人大一次会议闭幕后，国务院总理李强在答记者问时表示，我们国家现在适合劳动年龄人口已经有近9亿人，每年新增劳动力是1500万人，人力资源丰富仍然是中国一个巨大优势或者说显著优势．其中1500万用科学记数法表示为（ ）A．1.5×103B．1500×104C．1.5×106D．1.5×1075．如图，数轴上的点A，B，C，D表示的数与−13互为相反数的是（ ）A．A B．B C．C D．D6．下列各式中，计算结果最大的是（ ）A．3+(−2)B．3−(−2)C．3×(−2)D．3÷(−2)7．式子−2−1+6−9有下面两种读法；读法一：负2，负1，正6与负9的和；读法二：负2减1加6减9．则关于这两种读法，下列说法正确的是（ ）A．只有读法一正确B．只有读法二正确C ．两种读法都不正确D ．两种读法都正确8．用“▲”定义一种新运算：对于任何有理数a 和b ，规定a▲b =ab +b 2，如2▲3=2×3+32=15，则(−4)▲2的值为（ ）A ．−4B ．4C ．−8D ．89．已知两个有理数a ，b ，如果ab <0且a +b >0，那么（ ）A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a ，b 同号D ．a ，b 异号，且正数的绝对值较大10．已知有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，则a 2|a 2|−|b |b−c |c |=（ ）A ．−1B ．1C ．2D ．3二、填空题(共6题；共18分)11．既不是正数也不是负数的数是　． 12．−25 的倒数是 .13．某天最高气温为6℃，最低气温为−3℃．这天的温差是 ℃．14．一个整数8150…0用科学记数法表示为8.15×1010，则原数中“0”的个数为 个．15．比较大小：−|−8| −42．（填“>”“ <”或“=”）16．数轴上的A 点与表示−3的点距离4个单位长度，则A 点表示的数为 ．三、解答题(共9题；共72分)17．（6分） 把下列数填在相应的集合内．−56，0，-3.5，1.2，6．（1）负分数集合：{}．（2）非负数集合：{ }．18．（8分）计算：（1）(−7)+13−5；（2）(−14)−(−34)−|12−1|．19．（6分）阅读下面的解题过程，并解决问题．计算：53.27−(−18)+(−21)+46.73−(+15)+21．解：原式=53.27+18−21+46.73−15+21…①=(53.27+46.73)+(21−21)+(18−15)…②=100+0+3…③=103（1）第①步经历了哪些转变：_____，体现了数学中的转化思想，为了计算简便，第②步应用了哪些运算律：_______．（2）根据以上解题技巧进行计算：−2123+314−(−23)−(+14)．20．（8分）已知算式“(−2)×4−8”．（1）请你计算上式结果；（2）嘉嘉将数字“8”抄错了，所得结果为−11，求嘉嘉把“8”错写成了哪个数；（3）淇淇把运算符号“×”错看成了“+”，求淇淇的计算结果比原题的正确结果大多少？21．（8分）如图的数轴上，每小格的宽度相等．（1）填空：数轴上点A表示的数是 ，点B表示的数是 ．（2）点C表示的数是−13，点D表示的数是−1，请在数轴上分别画出点C和点D的位置．（3）将A，B，C，D四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“>”连接．22．（8分）一辆出租车从A 站出发，先向东行驶12km ，接着向西行驶8km ，然后又向东行驶4km ．（1）画一条数轴，以原点表示A 站，向东为正方向，在数轴上表示出租车每次行驶的终点位置．（2）求各次路程的绝对值的和．这个数据的实际意义是什么？23．（8分）如图，一只甲虫在5×5的方格（每一格边长为1）上沿着网格线运动.它从A 处出发去看望B 、C 、D 处的其它甲虫，规定：向上向右为正，向下向左为负.例如：从A 到B 记为：A→B(+1,+3)；从C 到D 记为：C→D(+1,−2)（其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向）.（1）填空：A→C （ ， ）；C→B （ ， ）.（2）若甲虫的行走路线为：A→B→C→D→A ，请计算甲虫走过的路程.24．（8分）（1）如果a ，b 互为相反数（a ，b 均不为0），c ，d 互为倒数，|m |=4，则b a =______，求a +b 2024−cd +b a ×m 的值；（2）若实数a ，b 满足|a |=3，|b |=5，且a <b ，求a +13b 的值．25．（12分） 学习了绝对值的概念后，我们知道一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，即当a ≥0时，|a|=a ；当a <0时，|a|=−a .请完成下面的问题：（1）因为3<π，所以3−π<0，|3−π|=−(3−π)= ；（2）若有理数a <b ，则|a−b|= ；（3）（6分）计算：|13−12|+|14−13|+|15−14|+⋯+|12022−12021|+|12023−12022|参考答案一、选择题1．A 2．C 3．A 4．D 5．D 6．B 7．D 8．A 9．D 10．B二、填空题11．0 12．- 52 13．9 14．8 15．> 16．−7或1三、解答题17．（1）解：负分数集合：{−56,−3.5⋅⋅⋅}．（2）解：非负数集合：{0，1.2，6⋅⋅⋅}18．（1）解：(−7)+13−5=6−5=1（2）解：(−14)−(−34)−|12−1|=(−14)+34−|−12|=12−12=0．19．（1）去括号，省略加号；加法交换律、结合律（2）−1820．（1）−16（2）嘉嘉把“8”错写成了3（3）淇淇的计算结果比原题的正确结果大1021．（1）23；213（2）解：如图．（3）解：由数轴可知，213>22>−13−122．（1）解：如图所示，（2）解：|12|+|−8|+|4|=24km ，这个数据的实际意义是出租车行驶的总路程为24km.23．（1）+3；+4；-2；-1（2）如图所示，∵A→B =3+1=4，B→C =1+2=3，C→D =1+2=3，D→A =2+4=6.∴AB +BC +CD +DA =4+3+3+6=16.∴甲虫走过的路程为16.24．（1）−1，−5或3；（2）a +13b 的值是143或−4325．（1）π−3（2）b−a（3）解：原式=12−13+13−14+14−15+⋯+12021−12022+12022−12023=12−12023=20214046。

北师大版七年级数学上册第二章有理数及其运算复习练习题一．选择题（共22小题）1．下列四个算式：①﹣2﹣3＝﹣1；②2﹣|﹣3|＝﹣1；③（﹣2）3＝﹣6；④﹣2÷＝﹣6．其中，正确的算式有（）A．0个B．1个C．2个D．3个2．如图，半径为1的圆从表示3的点开始沿着数轴向左滚动一周，圆上的点A与表示3的点重合，滚动一周后到达点B，点B表示的数是（）A．﹣2πB．3﹣2πC．﹣3﹣2πD．﹣3+2π3．在数轴上表示有理数a，b，c的点如图所示，若ac＜0，b+c＜0，则下列式子一定成立的是（）A．a+c＞0B．a+c＜0C．abc＜0D．|b|＜|c|4．数轴上原点左边有一点A，点A对应着数a，有如下说法：①﹣a表示的数一定是一个正数．②若|a|＝9时，则a＝﹣9．③在﹣a，，a2，a3中，最大的数值是a2．④式子|a+|的最小值为2．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．45．如果a，b互为相反数，x，y互为倒数，m的倒数等于它本身，则6（a+b）+m2﹣3xy的值是（）A．﹣2B．﹣1C．0D．16．x是数轴上任意一点表示的数，若|x﹣3|+|x+2|的值最小，则x的取值范围是（）A．x≥3B．x≤﹣2C．﹣2≤x≤3D．﹣2＜x＜3 7．当|a|＝5，|b|＝7，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（）A．﹣12B．﹣2或﹣12C．2D．﹣28．如果a+b+c＝0，且|a|＞|b|＞|c|．则下列说法中可能成立的是（）A．b为正数，c为负数B．c为正数，b为负数C．c为正数，a为负数D．c为负数，a为负数9．下列说法中，正确的是（）A．一个有理数的绝对值不小于它自身B．若两个有理数的绝对值相等，则这两个数相等C．若两个有理数的绝对值相等，则这两个数互为相反数D．﹣a的绝对值等于a10．计算+++++……+的值为（）A．B．C．D．11．下列各式中无论m为何值，一定是正数的是（）A．|m|B．|m+1|C．|m|+1D．﹣（﹣m）12．如图，现有3×3的方格，每个小方格内均有不同的数字（1﹣10），要求方格内每一行、每一列以及每一条对角线上的三个数字之和均相等，图中给出了部分数字，则P处对应的数字是（）A．7B．5C．4D．113．计算：1+（﹣2）+（+3）+（﹣4）+（+5）+（﹣6）+…+（+99）+（﹣100）+（+101）的结果是（）A．0B．﹣1C．﹣50D．5114．如果|a+b+1|+（b﹣1）2＝0，则（a+b）2017的值是（）A．0B．1C．﹣1D．±115．如图，数轴上的六个点满足AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则在点B、C、D、E对应的数中，最接近﹣10的点是（）A．点B B．点C C．点D D．点E16．m是有理数，则m+|m|（）A．可以是负数B．不可能是负数C．一定是正数D．可是正数也可是负数17．将全体自然数按下面的方式进行排列，按照这样的排列规律，2020应位于（）A．位B．位C．位D．位18．若5y﹣2x＝3，则代数式4﹣10y+4x的值是（）A．﹣3B．﹣2C．0D．719．观察下列按一定规律排列的n个数：2，4，6，8，10，12，…，若最后三个数之和是3000，则n等于（）A．499B．500C．501D．100220．观察如图“品”字形中各数之间的规律，根据观察到的规律得出n的值为（）A．491B．1045C．1003D．53321．如图所示，在这个运算程序当中，若开始输入的x是2，则经过2021次输出的结果是（）A．1B．3C．4D．822．四个长宽分别为a，b的小长方形（白色的）按如图所示的方式放置，形成了一个长、宽分别为m、n的大长方形，则下列各式不能表示图中阴影部分的面积是（）A．mn﹣4ab B．mn﹣2ab﹣amC．an+2bn﹣4ab D．a2﹣2ab﹣am+mn二．填空题（共7小题）23．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，那么2a+2b﹣5cd＝．24．已知有理数a，b，c在数轴上的对应位置如图所示，则|a﹣b|﹣2|b﹣c|﹣|a﹣1|化简后的结果是．25．如图，在数轴上点A、B表示的数分别为﹣2、4，若点M从A点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点N从B点出发以每秒4个单位长度的速度沿数轴匀速运动，设点M、N同时出发，运动时间为t秒，经过秒后，M、N两点间的距离为12个单位长度．26．已知，|a|＝﹣a，＝﹣1，|c|＝c，化简|a+b|﹣|a﹣c|﹣|b﹣c|＝．27．一滴墨水洒在一个数轴上，根据图中标出的数值，判断墨迹盖住的整数个数是．28．在长为20米、宽为15米的长方形地面上修筑一条宽度为2米的道路（图中阴影部分），余下部分作为耕地，则耕地面积为平方米．29．若将正整数按如图所示的规律排列．若用有序数对（a，b）表示第a排，从左至右第b 个数．例如（4，3）表示的数是9．则（31，5）表示的数是．三．解答题（共10小题）30．计算下列各题：（1）（﹣12）﹣5+（﹣17）﹣（﹣13）；（2）（﹣+﹣）×（﹣24）；（3）﹣42﹣（﹣1）2019÷5×+|﹣17+21|．31．如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中AB＝2BC，设点A，B，C 所对应数的和是m．（1）若点C为原点，BC＝1，则点A，B所对应的数分别为，，m的值为；（2）若点B为原点，AC＝6，求m的值．（3）若原点O到点C的距离为8，且OC＝AB，求m的值．32．结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；数轴上表示﹣3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如数轴上数x与5两点之间的距离等于|x﹣5|，（2）如果表示数a和﹣2的两点之间的距离是3，那么a＝；若数轴上表示数a 的点位于﹣4与2之间，求|a+4|+|a﹣2|的值；（3）当a取何值时，|a+5|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是多少？请说明理由．33．计算：已知|x|＝，|y|＝，且x＜y＜0，求6÷（x﹣y）的值．34．（1）计算：16÷（﹣2）3﹣（﹣）3×（﹣4）+2.5；（2）计算：（﹣1）2017+|﹣22+4|﹣（﹣+）×（﹣24）35．如图，将连续的自然数1至1001按如图的方式排列成一个长方形阵列，用一个正方形框出9个数，要使这个正方形框出的9个数之和分别为：（1）2011；（2）2016．这是否可能？若可能，请写出这9个数中的最小数和最大数；若不可能，试说明理由．36．观察下列每一列数，按规律填空（1）﹣7，7，﹣7，7，﹣7，7，，，……（2）2，﹣4，6，﹣8，10，，，……（3）5，0，﹣5，0，5，0，﹣5，0，5，0，，，……（4）在（1）列数中第100个数是，在（2）列数中第200个数是，在（3）列数中第199个数是．37．国庆期间，王老师计划组织朋友去晋西北游览两日．经了解，现有甲、乙两家旅行社针对组团两日游的游客报价均为每人500元，且提供的服务完全相同．甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，则超出部分每人按八折收费．假设组团参加甲、乙两家旅行社两日游的人数均为x 人．（1）请列式表示甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用；（2）若王老师组团参加两日游的人数共有30人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家．38．每周日，宜春九中（外国语学校）巡逻队乘车沿马路东西方向巡视维护校园安全，星期天早晨从A地出发，最后到达B地，约定向东为正方向，当天的行驶记录如下（单位：千米）：+12，﹣14，+13，﹣10，﹣8，+7，﹣16，+8．（1）问B地在A地的哪个方向？它们相距多少千米？（2）若汽车行驶每千米耗油0.2升，求该天共耗油多少升？39．已知a为整数（1）|a|能取最（填“大”或“小”）值是．此时a＝．（2）|a|+2能取最（填“大”或“小”）值是．此时a＝．（3）2﹣|a﹣1|能取最（填“大”或“小”）值是．此时a＝．（4）|a﹣1|+|a+2|能取最（填“大”或“小”）值是．此时a＝．参考答案一．选择题（共22小题）1．C；2．B；3．B；4．C；5．A；6．C；7．B；8．C；9．A；10．B；11．C；12．C；13．D；14．C；15．B；16．B；17．A；18．B；19．C；20．B；21．C；22．B；二．填空题（共7小题）23．﹣5；24．2c﹣b﹣1；25．2或18；26．﹣2c；27．120；28．234；29．470；三．解答题（共10小题）30．；31．﹣3；﹣1；﹣4；32．3；5；1或﹣5；33．；34．；35．；36．﹣7；7；﹣12；14；﹣5；0；7；﹣400；﹣5；37．；38．；39．小；0；0；小；2；0；大；2；1；小；3；﹣2或﹣1或0或1；。

《有理数、数轴与绝对值 》习题2一、选择题1．在0，1-，3，12，﹣0.1，0.08中，负数的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．在下列数﹣56，+1，6.7，﹣15，0，722，﹣1，25%中，属于整数的有( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个3．下列各数：78,1.010010001,,0,, 2.626626662,0.12,433π---其中有理数的个数是 ( )A ．3B ．4C ．5D ．64.实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是( )A ．a ＞﹣2B ．a ＜﹣3C ．a ＞﹣bD ．a ＜﹣b5.如图所示，a 、b 、c 表示有理数，则a 、b 、c 的大小顺序是( )A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c b a <<6.a 、b 两数在数轴上位置如图所示，将a 、b 、﹣a 、﹣b 用“＜”连接，其中正确的是( )A ．a ＜﹣a ＜b ＜﹣bB ．﹣b ＜a ＜﹣a ＜bC ．﹣a ＜b ＜﹣b ＜aD ．﹣b ＜a ＜b ＜﹣a7.实效m ，n 在数轴上的对应点如图所示，则下列各式子正确的是( )A ．m n >B ．n m ->C ．m n ->D ．m n <8.一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向，以每前进3步后退2步的程序运动。

设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离是1个单位长，n x 表示第n 秒时机器人在数轴上的位置所对应的数。

给出下列结论：①33x =；②51x =；③108104x x <；④20182019x x >。

其中，正确的结论的序号是( )A ．①③B ．②③C ．①②③D ．①②④9.一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位，再向左移动7个单位长度，这时点所对应的数是( )A ．3B ．1C ．﹣2D ．﹣410.下列各组数中，互为相反数的是( )A ．﹣2与|﹣2|B ．﹣2与﹣|﹣2|C ．﹣2与﹣12 D ．2与|﹣2|11.如图，数轴上有 A ，B ，C ，D 四个点，其中到原点距离相等的两个点是( )A ．点B 与点 D B ．点 A 与点C C ．点 A 与点D D ．点 B 与点 C12.下列各组数中，互为相反数的是( )A ．(2)--和2B ．(5)--和(5)+-C ．12和2- D ．(6)+-和(6)-+13.如图表示互为相反数的两个点是( )A ．点A 与点B B ．点A 与点DC ．点C 与点BD ．点C 与点D14.下列各组数中，互为相反数的一组是( )A ．3-和-3B ．3和13C ．-3和13 D ．3-和315.数轴上点A ，B 表示的数分别是5，－2，它们之间的距离可以表示为() A ．|25|－－ B ．25－－ C ．25+－ D ．||25+－16.若x 与3的绝对值相等，则x ﹣1等于( )A ．2B ．﹣2C ．﹣4D ．2或﹣417.数轴上有A 、B 、C 、D 四个点，其中绝对值等于2的点是( )A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D18.已知下列说法：①符号相反的两个数互为相反数；②符号相反且绝对值相等的两个数互为相反数；③一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上越靠右；④一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远；⑤一个数的绝对值等于它的相反数，则这个数一定是负数．其中正确的说法有( )个．A ．1B ．2C ．3D ．419.如图，实数3-，x ，3，y 在数轴上的对应点分别为M ，N ，P ，Q ，那么这四个数中绝对值最小的数对应的点是( )A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q20.如图，数轴上A ，B ，C ，D 四个点所表示的实数分别为a ，b ，c ，d 在这四个数中绝对值最小的数是( )A ．aB ．bC ．cD ．d21.设x 为有理数，若|x|＝x ，则( )A ．x 为正数B ．x 为负数C ．x 为非正数D ．x 为非负数22.若|x+2|+|y ﹣3|=0，则|x+y|的值为( )A ．1B ．﹣1C ．1或﹣1D ．以上都不对23.若|m|＝5，|n|＝7，m+n ＜0，则m ﹣n 的值是( )A ．﹣12或﹣2B ．﹣2或12C ．12或2D ．2或﹣1224.已知15a -=，则a 的值为( )A ．6B ．-4C ．6或-4D ．-6或425.若3,a =5b =，则a b -=( )A ．2B ．78C ．8-D ．2或8二、填空题1.如图，在数轴上有三个点A 、B 、C ，请回答下列问题．(1)A 、B 、C 三点分别表示 、 、 ；(2)将点B 向左移动3个单位长度后，点B 所表示的数是 ；(3)将点A 向右移动4个单位长度后，点A 所表示的数是 .2.|﹣34|的相反数是_____． 3.已知2x+4与3x ﹣2互为相反数，则x=_____．4.已知a 与b 的和为2，b 与c 互为相反数，若c =1，则a=__________．5.33x x -=-，则x 的取值范围是______．6.若210x y -++=，则2x y -的值为_______________．7.已知()2231a b +++取最小值，则a ab b+=____________。

一、选择题1.已知a，b是有理数，若a在数轴上的对应点的位置如图所示，且a+b<0，有以下结论：①b<0；②a−b<0；③b<−a<a<−b；④∣a∣<∣b∣，其中结论正确的个数是( )A．4个B．2个C．3个D．1个2.如图，将一刻度尺放在数轴上．①若刻度尺上0 cm和4 cm对应数轴上的点表示的数分别为1和5，则1 cm对应数轴上的点表示的数是2；②若刻度尺上0 cm和4 cm对应数轴上的点表示的数分别为1和9，则1 cm对应数轴上的点表示的数是3；③若刻度尺上0 cm和4 cm对应数轴上的点表示的数分别为−2和2，则1 cm对应数轴上的点表示的数是−1；④若刻度尺上0 cm和4 cm对应数轴上的点表示的数分别为−1和1，则1 cm对应数轴上的点表示的数是−0.5．上述结论中，所有正确结论的序号是( )A．①②B．②④C．①②③D．①②③④3.已知a n=1(n+1)2(n=1,2,3,⋯)，我们又定义b1=2(1−a1)=32，b2=2(1−a1)(1−a2)=43，b3=2(1−a1)(1−a2)(1−a3)=54，⋯，根据你观察的规律可推测出b n等于( )A．n+1n B．n+2n+1C．n+3n+2D．n+1n+24.若∣a∣≤1，则a2−1是( )A．正数B．负数C．非正数D．非负数5.将一列有理数−1，2，−3，4，−5，6，⋯⋯，如图所示有序排列，根据图中的排列规律可知：“峰1”中峰顶的位置（C的位置）是有理数4，那么，“峰6”中C的位置是有理数 ，−2013应排在A，B，C，D，E中 的位置，其中两个填空依次为( )A．−28，C B．−29，B C．−30，D D．−31，E6.M，N，P，R分别是数轴上四个整数所对应的点，其中有一点是原点，并且MN=NP=PR=1．数a对应的点在M与N之间，数b对应的点在P与R之间，若∣a∣+∣b∣=3，则原点是( )A．M或R B．N或P C．M或N D．P或R7.如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A，B，C，D对应的数分别是整数a，b，c，d，且b−2a=9，那么这条数轴上的原点是( )A．A点B．B点C．C点D．D点8.m，n两数在数轴上的位置如图所示，设A=m+n，B=−m+n，C=m−n，D=−m−n，则下列各式正确的是( )A．B>D>A>C B．A>B>C>DC．C>B>A>D D．D>C>B>A9.如图，数轴上的点A，B，C，D对应的数分别是整数a，b，c，d，且b−2a=3c+d+21，那么数轴上原点对应的点是( )A．A点B．B点C．C点D．D点10.点M，N，P和原点O在数轴上的位置如图所示，点M，N，P表示的有理数为a，b，c（对应顺序暂不确定）．如果bc<0，b+c>0，ab>ac，那么表示数c的点为( )A．点M B．点N C．点P D．点O二、填空题11. 已知 a ，b ，c 为三个不相等的整数，且 (a −2017)(b −2017)(c −2017)=−15，则这三个数的和的最大值等于 ．12. 按如图程序输入一个数 x ，若输入的数 x =−1，则输出结果为 ．13. 已知：11+12−1=12，13+14−12=112，15+16−13=130，17+18−14=156，⋯，根据上面各式的规律，等式 12019+12020−▫=12019×12020中 ▫ 里应填的数是 ．14. 如图，把一个直径为 1 个单位长度的圆形纸片放在数轴上，纸片上的点 A 表示的数是 1，将纸片沿数轴无滑动地滚动 1 周，点 A 到达点 B 的位置，则点 B 表示的数是 （结果保留 π）．15. 我们知道 ∣x ∣=∣x −0∣ 表示的是 x 到 0 的距离，若 ∣x −2∣=1，则 x = ，当式子 ∣x +1∣+∣x −6∣ 取得最小值时，x 的取值范围为 ．16. 如图，一个数表有 7 行 7 列，设 a ij 表示第 i 行第 j 列上的数（其中 i =1,2,3,⋯7，j =1,2,3,⋯,7）．12343212345432345654345676545678765678987678910987例如：第 5 行第 3 列上的数 a 53=7．则： （1）(a 23−a 22)+(a 52–a 53)= ；（2）此数表中的四个数 a np ，a nk ，a mp ，a mk ，满足 (a np −a nk )+(a mk −a mp )= ．17. 定义 a ∗b =3a −b ，则 2∗(2∗3)= ．三、解答题18. 张伯伯积极参加体育锻炼，天天坚持跑步，他每天以 3000 m 为标准，超过的记作正数，不足的记作负数，如表是一周内张伯伯跑步情况的记录（单位： m）：星期一二三四五六日跑步情况(m)+520+560−100−310−370+3000(1) 星期三张伯伯跑了多少米？(2) 张伯伯在跑得最少的一天跑了多少米？跑得最多的一天比最少的一天多跑了多少米？(3) 若张伯伯跑步的平均速度为240m/min，求本周内张伯伯用于跑步的时间．19.下列有理数：−1，2，5，−112．(1) 将上列各数在如图的数轴上表示出来；(2) 将上列各数从小到大排列，并用“<”符号连接．20.如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动，他从A处出发去看望B，C，D处的其他甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负，如果从A到B记为A→B{1,4}，从B到A记为：B→A{−1,−4}，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．(1) 图中A→C{，}，C→B{，}；(2) 若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的最短路程；(3) 若图中另有两个格点M，N，且M→A{3−a,b−4}，M→N{5−a,b−2}，则N→A应记为什么？直接写出你的答案．21.在抗洪抢险中，解放军战士的冲锋舟加满油沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，约定向东为正方向，当天的航行路程记录如下（单位：千米）：+14，−9，+8，−7，+13，−6，+12，−5．(1) 请你帮忙确定B地位于A地的什么方向，距离A地多少千米．(2) 若冲锋舟每千米耗油0.5升，油箱容量为28升，求冲锋舟当天救灾过程中至少还需补充多少油．22.已知∣2−xy∣+(1−y)2=0．(1) 求y2021+(−y)2021的值；(2) 求1xy +1(x+1)(y+1)+1(x+2)(y+2)+⋯+1(x+2021)(y+2021)的值．23.计算：(1) 2×(−3)3−4×(−3)+15；(2) −12+[(−4)2−(1−32)×2]．24.结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：(1) 数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示−3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于∣m−n∣．如果表示数a和−2的两点之间的距离是3，那么a=．(2) 若数轴上表示数a的点位于−4与2之间，求∣a+4∣+∣a−2∣的值；(3) 当a取何值时，∣a+5∣+∣a−1∣+∣a−4∣的值最小，最小值是多少？请说明理由25.计算：(1) 4+(−23)+21．(2) (−112+14)×23．(3) −22×5−(−12)÷4−4．答案一、选择题1. 【答案】C【知识点】利用数轴比较大小、绝对值的几何意义2. 【答案】D【解析】方法一：① 0 cm和 4 cm表示1和5，则每1 cm表示1个单位长度，1 cm位于有理数1右边1个单位长度处，即为2．② 0 cm和 4 cm表示1和9，则每1 cm表示2个单位长度，1 cm位于有理数1右边2个单位长度处，即为3．③ 0 cm和4 cm表示−2和2，则每1 cm表示1个单位长度，1 cm位于−2右边1个单位处，即为−1．④ 0 cm和4 cm表示−1和1，则每1 cm表示0.5个单位长度，1 cm位于−1右边0.5个单位处，即为−0.5．方法二：① ∵0 cm和4 cm对应的数轴上的点表示的数分别是1和5，=1 cm，∴单位长度为4−05−1=2．故①正确．∴1 cm对应数轴上的点表示的数是1+1−01② ∵0 cm和4 cm对应数轴上的点表示的数分别是1和9，=0.5 cm，∴单位长度是4−09−1=3．故②正确．∴1 cm对应数轴上的点表示的数是1+1−00.5③ ∵0 cm和4 cm对应数轴上的点表示的数是−2和2，=1 cm，∴单位长度是4−02−(−2)=−1．故③正确．∴1 cm对应数轴上的点表示的数是−2+1−01④ ∵0 cm和4 cm对应数轴上的点表示的数分别是−1和1，=2 cm，∴单位长度为4−01−(−1)=−0.5．故④正确．∴1 cm对应数轴上的点表示的数是−1+1−02【知识点】数轴的概念3. 【答案】B【知识点】有理数的乘除混合运算4. 【答案】C【解析】因为∣a∣≤1，所以−1≤a≤1，所以a2−1≤0，即a2−1是非正数．【知识点】有理数的乘方5. 【答案】B【解析】∵每个峰需要5个数，∴5×5=25，25+1+3=29，∴“峰6”中C位置的数的是−29，∵(2013−1)÷5=402余2，∴−2013为“峰403”的第二个数，排在B的位置．【知识点】有理数的加减乘除乘方混合运算6. 【答案】A【解析】∵MN=NP=PR=1，∴∣MN∣+∣NP∣=∣PR∣=1，∴∣MR∣=3；①当原点在N或P点时，∣a∣+∣b∣<3，又∵∣a∣+∣b∣=3，∴原点不可能在N或P点；②当原点在M，R时且∣Ma∣=∣bR∣时，∣a∣+∣b∣=3；综上所述，此原点应是在M或R点．【知识点】绝对值的几何意义7. 【答案】C【解析】根据题意，知b−a=4，即b=a+4，将b=a+4代入b−2a=9，得：a+4−2a=9，解得：a=−5，∴A点表示的数是−5，则C点表示原点．【知识点】数轴的概念8. 【答案】A【解析】由数轴可知−2<m<−1<0<a<1，∴−m+n>−m−n>m+n>m−n，即B>D>A>C．【知识点】利用数轴比较大小9. 【答案】D【解析】由数轴上各点的位置可知d−c=3，d−b=4，d−a=8，故c=d−3，b=d−4，a=d−8，代入b−2a=3c+d+21得，d−4−2d+16=3(d−3)+d+21，解得d=0．故数轴上原点对应的点是D点．故选：D．【知识点】数轴的概念10. 【答案】A【解析】∵bc<0，∴b，c异号，∵b+c>0，∴M表示b，c中的负数，P表示其中的正数，∴M表示数c．故选：A．【知识点】有理数的乘法二、填空题11. 【答案】6066【解析】∵a，b，c为三个不相等的整数，且(a−2017)(b−2017)(c−2017)=−15，∴满足题意可能为：a−2017=−1，b−2017=1，c−2017=15，解得：a=2016，b=2018，c=2032，则这三个数和的最大值为6066．【知识点】有理数的乘法12. 【答案】1【解析】输入x=−1，计算如下：−1×(−2)−5=−3，结果是负数，继续计算如下：−3×(−2)−5=1，结果为正数，输出，即输出的结果为1．【知识点】有理数的乘法13. 【答案】11010【解析】12019+12020−11010=12019×12020．【知识点】有理数加减混合运算14. 【答案】π+1【解析】∵⊙A的直径为1，∴⊙A的半径为12，∴⊙A的周长C=2πr=2π×12=π，∵⊙A滚动1周到点B，∴点1到点B的距离为π，∴B点表示的数为π+1．【知识点】数轴的概念15. 【答案】1和3；−1≤x≤6【解析】∣x−2∣=1表示在数轴上与x距离为1，点的对应数为1和3，即x的值为1和3．∵∣x+1∣+∣x−6∣取最小值，∴表示x的点在−1和6之间的线段上，∴−1≤x≤6．故答案为：−1≤x≤6．【知识点】绝对值的几何意义16. 【答案】0；0【解析】（1）(a23−a22)+(a52–a53)=(4−3)+(6−7)=1−1=0；（2）∵数表的每行中的第p列和第k列的差是相等的，∴(a np−a nk)与(a mk−a mp)互为相反数，∴(a np−a nk)+(a mk−a mp)=0．【知识点】相反数的性质、有理数加减混合运算17. 【答案】3【解析】2∗(2∗3)=2∗(3×2−3) =2∗(6−3)=2∗3=3×2−3=6−3= 3.故答案为：3．【知识点】有理数的乘法三、解答题18. 【答案】(1) 3000−100=2900(m)，故星期三张伯伯跑了2900米．(2) 张伯伯在跑得最少的一天跑了3000−370=2630（米）；跑得最多的一天比最少的一天多跑了560−(−370)=930（米）．=90(min)，(3) (520+560−100−310−370+300+0)+3000×7240故本周内张伯伯用于跑步的时间是90min．【知识点】有理数加法的应用、有理数的乘除混合运算19. 【答案】(1) 将各数表示在数轴上，如图所示：<−1<2<5．(2) 根据题意得：−112【知识点】利用数轴比较大小、数轴的概念20. 【答案】(1) 3；4；−2；0(2) 根据已知条件可知：A→B表示为：{1,4}，B→C记为{2,0}，C→D记为{1,−2}．则该甲虫走过的路线长为：1+4+2+1+2=10．(3) {−2,−2}．【解析】(1) ∵规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负，∴图中A→C{3,4}，C→B{−2,0}．(3) 由M→A{3−a,b−4}，M→N{5−a,b−2}，∴5−a−(3−a)=2，b−2−(b−4)=2，∴点A向右走2个格点，向上走2个格点到点N，∴N→A应记为{−2,−2}．【知识点】有理数加法的应用21. 【答案】(1) ∵14−9+8−7+13−6+12−5=20，∴B地在A地的东边20千米．(2) 这一天走的总路程为：14+∣−9∣+8+∣−7∣+13+∣−6∣+12+∣−5∣=74千米，应耗油74×0.5=37（升），故还需补充的油量为：37−28=9（升）．【知识点】有理数加法的应用22. 【答案】(1) 因为∣2−xy∣+(1−y)2=0，而∣2−xy∣≥0，(1−y)2≥0，所以{2−xy=0, ⋯⋯①1−y=0. ⋯⋯②由②得y=1．把y=1代入①得2−x=0，故x=2．y2021+(−y)2021=12021+(−1)2021=1+(−1)=0.(2)1xy+1(x+1)(y+1)+1(x+2)(y+2)+⋯+1(x+2021)(y+2021)=11×2+12×3+13×4+⋯+12022×2023=(1−12)+(12−13)+(13−14)+⋯+(12022−12023)=1−12+12−13+13−14+⋯+12022−12023=1+(−12+12)+(−13+13)+(−14+14)+⋯+(−12022+12022)−12023 =1−12023=20222023.【知识点】有理数的乘方、有理数加减乘除混合运算23. 【答案】(1) 原式=2×(−27)+12+15=−54+27=−27．(2) 原式=−1+16+16=31．【知识点】有理数的加减乘除乘方混合运算24. 【答案】(1) 3；5；1或−5(2) 因为∣a+4∣+∣a−2∣表示数轴上数a和−4，2之间距离的和，又因为数a位于−4与2之间，所以∣a+4+∣a−2∣=6．(3) 根据∣a+5∣+∣a−1∣+∣a−4∣表示一点到−5，1，4三点的距离的和，所以当a=1时，式子的值最小，此时∣a+5∣+∣a−1∣+∣a−4∣的最小值是9．【知识点】绝对值的化简、绝对值的几何意义25. 【答案】(1) 原式=−23+25=2.(2) 原式=−32×23+14×23=−1+16=−56.(3) 原式=−20+3−4=−17−4=−21.【知识点】有理数的加减乘除乘方混合运算、有理数的加法法则及计算、有理数的乘法。

第2章《有理数及其运算》数轴与绝对值压轴专练一．数轴综合1．同学们都知道：|6﹣（﹣3）|表示6与﹣3之差的绝对值，实际上，也可以理解为：6与﹣3两数在数轴上所对应的点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索：（1）7与﹣4在数轴上所表示的点之间的距离为；x与2在数轴上所表示的点之间的距离为；（2）若|x﹣2|＝5，则x＝（3）同理，|x+3|+|x﹣1|表示有理数x在数轴上的对应点与﹣3和1所对应的点的距离之和．请求出所有符合条件：|x+3|+|x﹣1|＝4的整数x．2．我们知道|x|的几何意义是数轴上表示x的点与原点之间的距离：|2﹣1|的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离．（1）|x﹣3|的几何意义是数轴上表示x的点到表示的点之间的距离，|x+2|的几何意义是数轴上表示x的点到表示的点之间的距离；（2）利用绝对值的几何意义求满足等式|x﹣1|＝3的x的值．3．写出符合下列条件的数：（1）大于﹣3且小于2的所有整数；（2）绝对值大于2且小于5的所有负整数；（3）在数轴上，与表示﹣1的点的距离为2的数；4．数轴上点A表示数字6，点B表示数字﹣4（1）画数轴，并在数轴上标出点A与点B；（2）数轴上一动点C从点A出发，沿数轴的负方向以每秒2个单位长度的速度移动，经过4秒到达点E，数轴上另一动点D从点B出发，沿数轴的正方向以每秒1个单位长度的速度移动，经过8秒到达点F，求出点E与点F所表示的数，并在第（1）题的数轴上标出点E，点F；（3）在第（2）题的条件下，在数轴上找出点H，使点H到点E距离与点H到点F距离之和为8，请在数轴上直接标出点H．（不需写出求解过程）5．数轴上，当点A在原点的左边，点B在原点的右边，点A，B之间的距离为28个单位长度，点A与原点的距离为8个单位长度，若点A，B对应的有理数分别是a，b．（1）求a，b；（2）若质点M从点A沿数轴以每秒1个单位长度向左运动，质点N从点B沿数轴以每秒3个单位长度向左运动，若质点N在点C处追上质点M，求点C对应的有理数c；（3）若质点P从点A沿数轴以每秒2单位长度向右运动，质点Q从点B沿数轴以每秒1个单位长度向右运动，t秒钟后质点P与质点Q之间的距离为18时，求t的值．6．如图，数轴上每相邻两点的相距一个单位长度，点A、B、C、D是这些点中的四个，且对应的位置如图所示，它们对应的数分别是a，b，c，d．（1）当ab＝﹣1，则d＝．（2）若|d﹣2a|＝7，求点C对应的数．（3）若abcd＜0，a+b＞0，化简|a﹣b|﹣|b+c﹣5|﹣|c﹣5|﹣|d﹣a|+|8﹣d|．7．我们在《有理数》这一章中学习过绝对值的概念：一般的，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|．实际上，数轴上表示数﹣3的点与原点的距离可记作|﹣3﹣0|，数轴上表示数﹣3的点与表示数2的点的距离可记作|﹣3﹣2|，那么，（1）①数轴上表示数3的点与表示数1的点的距离可记作．②数轴上表示数a的点与表示数2的点的距离可记作．③数轴上表示数a的点与表示数﹣3的点的距离可记作．（2）数轴上与表示数﹣2的点的距离为5的点有个，它表示的数为．（3）拓展：①当数a取值为时，数轴上表示数a的点与表示数﹣1的点的距离最小．②当整数a取值为时，式子|a+1|+|a﹣2|有最小值为．③当a取值范围为时，式子|a+1|+|a﹣2|有最小值．8．阅读下面材料，回答问题距离能够产生美．唐代著名文学家韩愈曾赋诗：“天街小雨润如酥，草色遥看近却无．当代印度著名诗人泰戈尔在《世界上最遥远的距离》中写道：“世界上最遥远的距离不是瞬间便无处寻觅而是尚未相遇便注定无法相聚”距离是数学、天文学、物理学中的热门话题，唯有对宇宙距离进行测量，人类才能掌握世界尺度．已知点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为AB．（1）当A，B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1，AB＝OB＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|．（2）当A，B两点都不在原点时，①如图2，点A，B都在原点的右边，AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝b﹣a＝|a﹣b|；②如图3，点A，B都在原点的左边，AB＝OB﹣OA＝|b|﹣|a|＝﹣b﹣（﹣a）＝a﹣b＝|a﹣b|；③如图4，点A，B在原点的两边，AB＝OA+OB＝|a|+|b|＝a+（﹣b）＝a﹣b＝|a﹣b|．综上，数轴上A，B两点的距离AB＝|a﹣b|．利用上述结论，回答以下三个问题：（1）若数轴上表示x和﹣2的两点之间的距离是4，则x＝；（2）若代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，则x的取值范围是；（3）若未知数x，y满足（|x﹣1|+|x﹣3|）（|y﹣2|+|y+1|）＝6，则代数式x+2y 的最大值是，最小值是．9．阅读材料：在数轴上5与﹣2所对的两点之间的距离：|5﹣（﹣2）|＝7．在数轴上点A、B分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离AB＝ǀa﹣bǀ＝ǀb﹣aǀ．请回答下列问题：（1）数轴上表示﹣2和﹣5的两点之间的距离是；数轴上表示数x和3的两点之间的距离表示为．数轴上表示数和的两点之间的距离表示为ǀx+2ǀ．（2）当表示数x的点在﹣2与3之间移动时，ǀx﹣3ǀ+ǀx+2ǀ＝．（3）要使|x﹣3|+|x+2|＝9，则x为．（4）当ǀx﹣3ǀ+ǀx+2ǀ＝5时，x的取值范围为．10．如图，数轴上点A、B分别对应数a、b，其中a＜0，b＞0．（1）当a＝﹣3，b＝7时，线段AB的中点对应的数是．（直接填结果）（2）若该数轴上另有一点M对应着数m．①当m＝3，b＞3，且AM＝2BM时，求代数式a+2b+2010的值；②a＝﹣3．且AM＝3BM时学生小朋通过演算发现代数式3b﹣4m是一个定值，老师点评；小朋同学的演算发现还不完整！请你通过演算解释为什么“小朋的演算发现”是不完整的？11．如图，已知在纸面上有一条数轴．操作一：折叠数轴，使表示1的点与表示﹣1的点重合，则表示﹣3的点与表示的点重合．操作二：折叠数轴，使表示1的点与表示3的点重合，在这个操作下回答下列问题：①表示﹣3的点与表示的点重合；②若数轴上A，B两点的距离为6（A在B的左侧），且折叠后A，B两点重合，则点A表示的数为，点B表示的数为．12．如图，已知数轴上点A表示的数为﹣12，点B在点A右边，且OA＝2OB．（1）写出数轴上点B表示的数；（2）点M为数轴上一点，若AM﹣BM＝4，求出点M表示的数．二．绝对值13．若|a|＝1，a+b＝0，求﹣ab﹣2的值．14．已知|5x﹣3|＝3﹣5x，求x的取值范围．15．已知|x|+4＝12，|y|+3＝5：（1）求x，y的取值；（2）当x﹣y＜0，求2x+y的值．16．已知实数a，b，c满足：a+b+c＝﹣2，abc＝﹣4．（1）求a，b，c中的最小者的最大值；（2）求|a|+|b|+|c|的最小值．17．已知y＝|2x+6|+|x﹣1|+4|x+1|，求y的最小值．18．如图，已知数轴上点A，B，C所对应的数a，b，c都不为0，且C是AB的中点，如果|a+b|﹣|a﹣2c|+|b﹣2c|﹣|a+b﹣2c|＝0，试确定原点O的大致位置．19．有理数a、b、c在数轴上的位置如图：（1）判断正负，用“＞”或“＜”填空：b﹣c0，a+b0，c﹣a0．（2）化简：|b﹣c|+|a+b|﹣|c﹣a|．20．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题．【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求++的值．【解决问题】解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则++＝++＝1+1+1＝3；②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则++＝++＝1+（﹣1）+（﹣1）＝﹣1．综上所述，++值为3或﹣1．【探究拓展】请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）已知a，b是不为0的有理数，当|ab|＝﹣ab时，则+的值是；（2）已知a，b，c是有理数，当abc＜0时，求++的值；（3）已知a，b，c是有理数，a+b+c＝0，abc＜0，求++的值．。