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多目标及离散变量优化方法

多目标及离散变量优化方法

单目标极小化问题
（5-13）
由此可知，对式（5-13）求出最优解[X *, ],其中的 x*即为原多目标
极小化问题的弱有效解。
《车辆优化设计理论与实践》教学课件
5.2.3 理想点法与平方和加权法
理想点法是以各分目标函数作为各个目标各自的理想值，
若能使各个目标尽可能接近各自的理想值，那么，就可以
求出较好的非劣解。根据这个思想，将多目标优化问题转
介绍一种确定权系数的方法。按此法，多目标优化问题的评价函数的
极小化如式 （5-5）所示。其中 Wi 1/ fi*
《车辆优化设计理论与实践》教学课件
5.2.2极大极小法
对于多目标优化问题 min F(X ) ,可用这样的思想求解，即考虑对各个 目标最不利情况下求出xD最有利的解。就是对多目标极小化问题采用
若在理想点法的基础上引入权系数，构造的评价函数为
l
U ( X ) Wi ( fi ( X ) fi )2 i1
此即为平方和加权法。
（5-15）
求得评价函数的最优解，就是原多目标优化问题式（5-1）
的解
l
min [
X D
Wi (
i1
fi(X )
fi )2]
（5-16）
评价函数也可采用加权极大模型式 U (X ) m1iaxl {Wi | fi (X ) fi |}
各个目标f
它。即取
（i=
i
1,…,
l
）中的最大值作为评价函数的函数值来构造
U
(
f
)
max{
1il
fi
(
X
)}
（5-8）
为评价函数，其中f=[ f1, f2,, fl ]T 。对式（5-8）求优化解就是进行

8、离散变量的最优化方法

8、离散变量的最优化方法

凑整解或改进的凑整法 都是基于离散最优点就 在连续最优点的附近。 但实际问题有时并非如 此，如图，真正的离散 最优点C离连续最优点A 很远。
7.4 凑整解法与网格法（续） 二、网格法 网格法是解离散变量优化问题的一种最原始的遍数法 。 在离散变量的值域内，先按
各变量的可取离散值在设计空间
内构成全部离散网格点，全域最 优点X’”应是可行域中诸网格点目 标函数值最小者．这就需要逐个 检查网格点是否可行和择其最优。
x
( j) i
ai ri (bi ai )
( j)
i 1, 2,, n ;
j 2,3,, k
将第q+1点朝着点X (s)的方向移动，新点X (q+1)为： X(q+1)= X(s)+0.5 (X(q+1)—X(s))
X
(r )
X
(c)
(X
(c)
X
( h)
)
反射系数的初值一般取 1.3
●
●
F
G
H
0
7.3 离散最优解（续） 2、离散坐标邻域（UC(X)) 在设计空间中离散点X的离散坐标邻域UC(X)是指 以X点为原点的坐标轴线和离散单位邻域UN（X）的 交点的集合。 图示离散坐标邻域为：
UC( X ) B, D, E, G, X
一般在p维离散变量情况下 离散坐标邻域的离散点总数 为N=2p+1。
7.3 离散最优解
由于离散设计空间的不连续性，离散变量最优点与 连续变量最优点不是同一概念，必须重新定义。
1．离散单位邻域（UN(X)) 在设计空间中，离散点X的单位邻域UN(X)是 指如下定义的集合。
X xi i , xi , xi i , i 1, 2,... p) UN ( X ) X xi i , xi , xi i , i p 1, p 2,...n)

数学建模离散优化模型与算法设计PPT课件

数学建模离散优化模型与算法设计PPT课件
实例均可用贪婪算法求出最优解，则称M为一拟阵。（注：γ被称为独立系 统）。
现以矩阵拟阵为例，对定义9.1作一说明。 对矩阵拟阵的每一实例，E={e1,…en}为矩阵列向量的集合，γ为E的线性无 关子集构成的系统，称为独立系统，其元素被称为独立子集。由于E的任一 线性无关子集的子集也是E的线性无关子集，故独立系统γ是封闭的。又由 于这一离散优化问题的任一实例都可用贪婪法求解，故构成一拟阵，被称 为矩阵拟阵。例9.1被称为图拟阵，例9.3被称为划分拟阵。
现在可以看出，找最大匹配的关键在于找增广路。读者不难用顶点标号 的办法（由未盖点出发），作出一个求解两分图匹配的增广路算法。此 算法稍加改动，还可以用于非两分图的情况。
三、网络流问题
网络流问题是又一类具有广泛应用前景的P问题，本节将介绍一些有关 网络流问题的基本理论与算法。
1、最大流问题（MFP）
得如下的约束条件，i ，有
v 若 is
(i,j) (i,j) 0 若 is.t
(i,j)Ai
(i,j)Ai
v 若 it
其(９中.1是)式A表i 指示As发中出以流顶为点i为，起t点收的入孤的集流，为
A
i
是指A中以 i为终点的孤集, ，其余各点只起中转作用，
既不增加也不消耗流量。根据边容量限止，还应有
（注：| ·|表示元素个数）
（条件2） AE 若I、I‘均为A的两个极大独立集，则|I|=|I’|。
二、两分图匹配问题与增广路算法
在上一小节中我们已经看到，有些P问题可以用极为简单的贪婪法求解。 但对绝大多数的P问题来说，这一结果并不成立，只能根据其本身的结构， 去寻找求解它的独特算法。下面，我们将介绍几个这样的P问题。
拟阵问题（或称拟阵结构）有一个明显而又本质的特性，其任一极大独立 子集中包含着相同个数的元素，从而可以引入基的概念。例如，矩阵列向 量的所有线性无关极大组均具有相同的向量个数，这就导出了基——即矩 阵列秩的概念。对于图拟阵，每一极大独立集均为一生成树，其边数均为 |V|-1。对于划分拟阵，孤集被划分成个|V|个子集，每一子集由指向同一 顶点的孤组成。显然，任一极大独立集应在每一子集中取一条孤，故其基 数为顶点个数。

最优化_第7章多目标及离散变量优化方法

最优化_第7章多目标及离散变量优化方法

最优化_第7章多目标及离散变量优化方法在实际问题中，往往存在多个相互关联的优化目标，这就引出了多目标优化问题。

与单目标优化问题相比，多目标优化问题更加复杂，需要综合考虑多个目标之间的平衡和权衡。

多目标优化方法可以分为基于加权法的方法和基于多目标遗传算法的方法。

其中，基于加权法的方法将多个目标函数转化为单一的综合目标函数，通过对综合目标函数的优化来求解多目标优化问题。

而基于多目标遗传算法的方法则直接将多目标函数进行优化，通过一系列的遗传算子（如选择、交叉和变异）来逐步逼近多目标的最优解。

在多目标优化问题中，离散变量的存在进一步增加了问题的复杂性。

离散变量是指变量的取值只能是有限个数中的一个，与连续变量不同。

针对离散变量的多目标优化问题，可以采用遗传算法、粒子群算法等进化计算方法进行求解。

这些算法通常会使用染色体编码来表示离散变量，采用相应的遗传算子对染色体进行进化操作。

在实际应用中，多目标及离散变量优化方法可以应用于多个领域。

举个例子，对于资源分配问题，可以将资源的分配方案和目标函数（如成本、效益、风险等）作为多个目标进行优化，得到最优的资源分配方案。

又比如，在工程设计中，可以将设计方案的多个目标（如性能、重量、成本等）作为优化目标，找到最优的设计方案。

总之，多目标及离散变量优化方法是解决实际问题中复杂优化问题的有效手段。

通过综合考虑多个目标和处理离散变量，可以得到更加全面和合理的最优解，提高问题的解决效果。

在实际应用中，需要选择合适的优化方法和算法，并针对具体问题进行适当的调整和改进，以获得更好的优化结果。

第六章多目标及离散变量优化方法

第六章多目标及离散变量优化方法
机械优化设计
第六章 多目标优化方法
一、多目标优化问题 二、多目标优化方法
机械优化设计
一、多目标优化问题
1、概念 同时要求实现： 成本、重量、体积 利润、产量、承载能力 兼顾多方面的要求，则称为多目说，若有 l 个目标函数，则多目标优化 问题的表达式可写成：
V min F n X min f1 X n
各分目标函数
机械优化设计
返回目标函数的最优解
返回目标函数的最优值
二、优化函数使用格式
返回算法的终止标志 优化算法信息的一个数据结构
返回目标函数在最优解的梯度
目标函数在最优解的海色矩阵 [x,fval,exitflag,output, grad,hessian]= fgoalattain(@fun,x0,goal,w,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,’Nlc’,options,P1,P2…)
对于两个单目标函数显然很容易分别求的其最优解，但 是却无法求得两者共同的最优解。
机械优化设计
3．多目标优化问题解得可能情况
（1）最优解 （2）劣解 （3）非劣解 （4）弱非劣解或称弱有效解。
0
●
f2
● ●
4
●
6
5
1
●
3
●
2
f1
对于f1(x)，1最好，其次为3，2，4，5，6； 对于f2(x)，2最好，其次为3，1，5，4，6。
xR xR
f 2 X
f l 1 X
fl X
T
s.t.
g j X 0 j 1, 2 , p
F X min f1 X
hk X 0 k 1, 2 , q

多目标优化与离散变量优化

多目标优化与离散变量优化

(k )
2 ( k ) [min(49 x12 x2 , 0)]2 [min( x1 , 0)]2 [min( x2 , 0)]2 (k )
) 4 x1 x 12
2 2
4q1 (1 q1 )
k
离散变量优化问题程序
2 min f ( X ) 4 x1 x2 12
) 4 x1 x 12
2 2
4q1 (1 q1 )
k
( X , +
(k )
2 ( k ) [min(49 x12 x2 , 0)]2 [min( x1 , 0)]2 [min( x2 , 0)]2 (k )
) 4 x1 x 12
S.t.
2 g1 ( X ) 49 x12 x2 0
g 2 ( X ) x1 0 g3 ( X ) x2 0 x1 2, 4, 6
x1是离散变量，构造外点形式的罚函数
( X , +
(k )
2 ( k ) [min(49 x12 x2 , 0)]2 [min( x1 , 0)]2 [min( x2 , 0)]2 (k )
p为离散变量的个数，n-p为连续变量的个数。 构造罚函数
p k 1 (k) (k) (X ,r ,s k , k ) f (X ) r sk 4q j (1 q j ) g ( X ) u=1 u j=1 m
p k 1 (X , k ,s k , k ) f (X ) k sk 4q j (1 q j ) g ( X ) u=1 u j=1 m
§7－1 多目标优化概述
1、问题的提出

最优化_第7章 多目标及离散变量优化方法

1、先求非劣解； 2、从非劣解中选出选好解。
四. 常用的求选好解的方法： 1、主要目标法 2、统一目标函数法：线性加权因子法、极大极小… 3、功效系数法 4、分层序列法
§7.2 多目标优化方法
一．主要目标法
思想:抓住主要目标，兼顾其他要求。（选择一个目标作 为主要目标，将其他目标转化成约束条件）
原模型: 转变后模型:
f
2 max
当x=b,
f2(X)取得最差值
f
2 min
f
f
1 max
f
2 max
f1
f
1 min
f
2 min
0 a x1 x2
f2 bx
随着设计变量X的值不断增大，目标函数 f1(X)的值越来越好，目标函数 f2(X)的值越来越差
§7.1 多目标优化问题
一. 多目标问题的数学模型：
设 X =[x1, x2 , …,xn]T
6
f1(X)
4．分层序列法及宽容分层序列法
分层序列法：将多目标优化问题中的l个目标函数分清主次， 按重要程度排序，然后依次对各个目标函数 求最优解。后一目标应在前一目标最优解的 集合域内寻优。
假设f1(X)最重要， f2(X)其次， f3(X)再其次, … 首先对第一个目标函数f1(X)求解
miXn f1D(X ) 求出最优解域 f1 *
min f1(X), f2 (X), …fq (X), X∈Rn
s.t. gu(X) ≤ 0
u = 1,2,…,m
hv(X) = 0
v = 1,2,…, p
min fk(X)
X∈Rn
s.t. fi(X) ≤ fi0
i = 1,2,,…,k-1,k+1,…q

最优化-第7章-多目标及离散变量优化方法PPT课件


0.7 满
意 区
0.3 间
较 满 意 区
可 接 受
0.7
满 意
区
0.3
可间
接
受
间
区 间
0 fi
fi(0) fi(1) fi(2) fi(3) fi
区
0
间
fi(3) fi(2) fi(1) fi(0)fiʹ(0)fiʹ(1) fiʹ(2) fiʹ(3)
fi
目标函数越大越好
目标函数越小越好
目标函数值在某个范围内最好
评价函数: Ufm 1iax q fiX
对该式求优化解就是进行如下形式的极小化
m X iD n U fX m X iD n m 1 a i x l fiX
.
12
f
max {f1(X), f2(X)}
f1(X)
f2(X)
x
.
13
3）理想点法 使各个目标尽可能接近各自的理想值
评价函数:
.
28
宽容分层序列法：
1）
m
in X
f1( X D
)
2）XminXf2(fX1()X)f1*1
3）Xm Xinfi(fX 3()X)fi*ii1,2 4） X m X infif(l(X X )) fi* ii 1 ,2 ,l1
.
29
设计人员原本的意图是优化结束后，f1的取值尽量靠近10，f2的取
值可以稍微劣一些，例如可在2000左右。
第k次迭代时， f1的取值为15， f2的取值为1800，则
F (X k ) 0 .8 1 5 0 .2 1 8 0 0 3 7 2
第k+1次迭代时，为了让整体评价函数F(X)取值更优，无论采用 哪种优化方法，优化程序会拼命的降低 f2的取值，升高 f1的取值

多目标及离散变量优化方法


03 离散变量优化方法
离散变量定义与特点
离散变量定义
离散变量是指在决策或优化问题中取 值只能为整数的变量。它们通常用于 描述某些离散的、不连续的现象或事 物。
离散变量的特点
离散变量通常具有有限或可数的取值 范围，并且其取值是整数。此外，离 散变量在优化问题中通常对应于某些 约束条件或决策规则。
离散变量优化方法分类
因此，需要进一步研究和发展更有效的多目标及离散变量 优化方法，以解决实际应用中的复杂问题。
02 多目标优化问题概述
多目标优化定义
多目标优化问题是指在满足多个目标函数最优化的过程中，需要同时考虑多个相 互冲突的目标，并寻求一个最优解集合，使得这些目标在某种意义下达到最优或 相对最优。
多目标优化问题通常涉及到多个相互矛盾的目标，如成本、时间、质量等，需要 在这些目标之间进行权衡和折中，以获得一个满意的解。
精确解法
精确解法是指能够求出优化问题的精确解的方法。对于离 散变量优化问题，精确解法通常包括穷举法、回溯法等。
近似解法
近似解法是指通过一定的近似手段来求解离散变量优化问 题的方法。常见的近似解法包括遗传算法、模拟退火算法、 蚁群算法等。
启发式解法
启发式解法是指基于经验或直观的求解方法，通常用于求 解大规模或复杂的离散变量优化问题。常见的启发式解法 包括贪心算法、元启发式算法等。
离散变量优化方法应用场景
组合优化问题
离散变量优化方法广泛应用于组合优化问题 ，如旅行商问题、排班问题、装箱问题等。
调度与分配问题
在生产、物流和供应链等领域，离散变量优化方法 常用于解决调度与分配问题，如任务调度、车辆路 径规划等。
人工智能与机器学习
离散变量优化方法在人工智能和机器学习领 域也有广泛应用，如神经网络的训练、特征 选择等。

《多目标及离散变量》PPT课件


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属于这一大类求解的前一种方法有:主要目标 法，线性加权和法，理想点法，平方和加权 法，分目标乘除法，功效系数法—几何平均 法，极大极小法等等。属于后一种的有分层 序列法等。此外还有其它类型的方法，如协 调曲线法等等。下面简要介绍几种常用的方 法。先介绍几种用评价函数处理多目标优化 问题的方法。有些方法，对有单目标优化基 础的读者很容易理解，故不再举应用实例， 对不易理解的方法，给出应用实例。
整前优化解较远处的整数点恰恰是真正优化解的可能性。
另外，有些设计变量是不允许最后取整的。例如，设计变位
齿轮传动，.优化结果是非整数的齿数，非标准的模数及变位系
数，如果将齿数圆整，模数取标准以后，原优化结果的变位系
数就变得毫无意义了。为此，需对离散变量优化问题作为专门
的课题予以研究讨论。
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第三节 离散变量优化问题
在前面几章中研究的优化方法，主要是针对连续变量而言的。 在工程优化问题中，经常会遇到非连续变量的一些参数。它 们是整数变量或离散变量。整数变量如齿轮的齿数，加强肋 的数目，冷凝器管子的数目，行星轮的个数等。离散变量如 齿轮模数、型钢尺寸以及大量的标准表格、数据等。整数亦 可视为是离散数的一种特殊情形。
的两个方案(即设计点)，要判别这两个设计方案的优
劣，需先求出各目标函数的值
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第二节 多目标优化方法
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整型变量可看作为是离散间隔恒定为1的离散变 量。是离散变量的特例。
2、连续变量的离散化 有时为了提高优化设计计算效率，将连续变量转
化为拟离散变量。
§7.2 离散变量优化设计的基本概念（续）
3、连续变量离散化的方法
i
xiu li
xil 1
i p 1，p 2，，n
其中： xiu，xil 为连续变量xi的上、下界，
二维离散设计空间则 是上述平面上的某些 点的集合；
这些点的坐标值分别离 散变量可取的离散值．称 为二维离散设计空间的离 散点，
§7.2 离散变量优化设计的基本概念（续） 3、三维离散设计空间
对于三维离散变量，过每个变量离散值作该变 量坐标轴的垂直面．这些平面的交点的集合就是 三维离散设计空间。
这些交点就是三维离 散设计空间中的离散点。
离散变量的最优化方法课件
8.1 引 言
在许多工程问题中，设计变量实际上不是连续 变化的。
齿轮的齿数只能是正整数．是整型变量；
齿轮的模数应按标准系列取用；
钢丝直径、钢板厚度、型钢的型号也都应符合 金属材料的供应规范等等
属于这样的一些必须取离散数值的设计变量 均称为离散变量。
8.1 引 言（续）
一、 变量类型 工程实际问题中不是单一的连续变量，经常是
§7.2 离散变量优化设计的基本概念（续）
p个离散变量全部可取的离散值的集合称为p维 离散变量的值域，可用一个p*l阶的矩阵Q来表示
q11 q12 q1l
Q
q21
q22
q2l
q p1
qp2
q
pl
pl
l为各离散设计变量可取离散值个数中的最大值
注：①因为离散变量是有限个,所以离散空间是有界的。 ②某个离散变量的取值不足l个，其余值可用预先 规定的自然数补齐。
§7.2 离散变量优化设计的基本概念(续）
4、N-P维连续设计空间
N个设计变量中有P个离散变量，此外有N-P个 连续变量。
N-P维连续设计空间
XC xp1, xp2,, xn T Rnp
§7.2 离散变量优化设计的基本概念(续）
4、N维设计空间 Rn R p Rn p
其中：离散设计空间为 XD x1, x2,, xp T R p
x(3)是离散最优点。
● X(3)
● X(2)
● x*
● X(1)
0
x1
§7.2 离散变量优化设计的基本概念
一、离散设计空间 1、一维离散设计空间
qij-1
●
qij
qij+1
●
●
Xi
i
i
在一条表示变量的坐标轴上的一些间隔点的集 合，这些点的集合称为离散设计空间；
这些点的坐标值是该变量可取的离散值，这些点 称为一维离散设计空间的离散点。
§7.2 离散变量优化设计的基本概念（续）
4、P维离散设计空间 对于p维离散变量，过每个变量离散值作该变量
坐标轴的垂直面，这些超平面的交点的集合就是p维
离散设计空间，用R表p 示。
而这些交点就是p维离散设计空间中的离散点，用
x D表示。
X D x1, x2 ,
,
xp
T

Rp
P 个离散设计变量组成P维离散设计空间。
li 为欲取离散值的个数。
xi坐标轴上的第j个拟离散点为：xij，
其相邻两个拟离散点为：xij i，xij，xij i
7.3 离散最优解
由于离散设计空间的不连续性，离散变量最优点与 连续变量最优点不是同一概念，必须重新定义。
1．离散单位邻域（UN(X))
在设计空间中，离散点X的单位邻域UN(X)是 指如下定义的集合。
资最小。
8.1 引 言（续） 三、传统方法的局限性
求离散问题的最优解，传统的方法是先用连续变 量优化设计方法求连续变量的最优解，然后圆整到 离散值上。
弊病：可能得不到可行最优解，或所得的解不是 离散最优解。
8.1 引 言（续）
x*是连续变量的最优点；
x(1)是圆整后最近的离散点，但不可行；
x2
x(2)是最近的可行离散 点，但不是离散最优点；
H
H 0.2max (m)；H 0.2max(m)；
海浪 堤 的 海： 浪对堤P坝的压强：0P.10.1332max(Mm2Paa) x (MPa)
8.1 引 言（续）
b
现在需要设计堤坝的
截面尺寸 b 和 h，在保
证不受灾害的概率不低
h
H
于99.9%，堤坝不受冲
压损坏的概率不低于
99.0% 的要求下，使投
离散点： ，qij1 , qij , qij1, i 1,2,, n j 1,2,, l代表离散点个数；
离散间隔： i ，i 只有在均匀离散空间中 ：i i
XD x1, x2,, xp T R p
§7.2 离散变量优化设计的基本概念（续）
2、二维离散设计空间
二维连续设计变量的设计空间是代表该两个 变量的两条坐标轴形成的平面；
连续设计空间为 XC xp1, xp2,, xn T Rnp
若Rp为空集时，Rn为全连续变量设计问题； 若Rn-p为空集时，Rn 为全离散变量设计问题。
§7.2 离散变量优化设计的基本概念(续）
在机械优化设计中．常见的约束非线性离散变
量最优化问题的数学模型为：
min f (X ) D
D X gu ( X ) 0 (u 1, 2,...m)
X
X
D
X C
X
D
x1,
T
x2 ,...xp
RD
XC
T
xp1, xp2 ,...xn
RC
N—设计变量维数；m—不等式约束条件个数 P—离散变量的个数； XD—离散子空间；RD—离散变量子集； XC—连续子空间；RC—连续变量子集；
§7.2 离散变量优化设计的基本概念(续）
二、非均匀离散变量和连续变量的均匀离散化处理 1、整型变量的离散
各种类型变量的混合。有：
确定型
连续变量 整型变量
离散变量
随机变量 不确定型
混合变量
所以需要相应的优化方法。
8.1 引 言（续）
二、工程实际设计的需要
例：决定修建一条防洪堤坝。
b
根据历年的水文资料，台风的
年最大风速：
即 其 方 海 mma中 差 浪 axxm服服： a高x x2从均 度L正值 HN12与态正 (mx年x分/,即方其海ms最 分 中差浪8ax布m服)：高ax； ～x022x从均度大 L布 对(1HN值2与数m((mxx年正,m/， s最态8)2x；x/0(大分(m,m/速 s风布//ss))速s，)，， x2成)成正(比m，正/ s比) ，h