济南大学线性代数与空间解析几何大作业答案-第一章

线性代数与解析几何作业答案第1次作业答案2. 设O 为一定点，A,B,C 为不共线的三点．证明：点M 位于平面ABC 上的充要条件是存在实数123k ,k ,k ，使得123OM =k OA+k OB+k OC ，且1123k +k +k =．证明：由A,B,C 三点不共线，则M 位于平面ABC 上⇔MA,MB,MC 共面⇔存在123,,a a a 不全为零，使得1230a MA a MB a MC ++=．即123()()()0a OA OM a OB OM a OC OM -+-+-=．整理，得123123()a a a OM a OA a OB a OC ++=++．若1230a a a ++=，则易证,,A B C 共线．于是可设11123a k a a a =++，22123a k a a a =++，33123a k a a a =++结论得证．3．证明：向量a b c -+，232a b c -+-，22a b c -+线性相关． (P28)证明：设,,λμυ，使得()(232)(22)0a b c a b c a b c λμυ-++-+-+-+=化简(22)(3)(22)0a b c λμυλμυλμυ-++-+-+-+=设22030220λμυλμυλμυ-+=⎧⎪-+-=⎨⎪-+=⎩计算得：4λ=，1μ=，1υ=-为此方程组的一组非零解．因此，三向量线性相关．4. 证明三维空间中四个或四个以上的向量一定线性相关． (P28)证明：设三维空间内的任意四个向量1a 、2a 、3a 、4a ．1） 若1a 、2a 、3a 线性相关，则存在1k 、2k 、3k 不全为零，使112233a a a 0k k k ++=． 从而，可得1122334a a a 0a 0k k k +++=．由123,,,0k k k 不全为零，所以，1a 、2a 、3a 、4a 线性相关．2）若1a 、2a 、3a 线性无关⇒1a 、2a 、3a 不共面，其可作为空间的一组基，从而，4112233a a a a x x x =++，而1x 、2x 、3x 、1-不全为零，故1a 、2a 、3a 、4a 线性相关．对于三维空间中四个以上的向量，可以从中任取四个向量进行上述讨论，而后将其余向量前系数取为0，可以得到不全为零的系数使得这些向量的线性组合为零向量．5. 设123,,e e e 为一组基， (P28) (1) 证明：1232a e e e =+-，1232b e e e =++，1332c e e =+为一组基； (2) 设12332c e xe e =++，当x 取何值时，,,a b c 共面？ 解：(1) 证明：只需证明,,a b c 线性无关即可．设,,λμυ，使得 0a b c λμυ++=．整理，得123(23)(2)(2)0e e e λμυλμλμυ+++++-++=则令 2302020λμυλμλμυ++=⎧⎪+=⎨⎪-++=⎩⇒232u λυλυλ=⎧⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩ 即0λμυ===．则知,,a b c 线性无关．(2) 解：,,a b c 共面⇔,,a b c 线性相关设,,λμυ，使得0a b c λμυ++=整理，得123(23)(2)(2)0e e e λμυλμυλμυ++++++-++=x ．则令 2302020x λμυλμυλμυ++=⎧⎪++=⎨⎪-++=⎩⇒ 303(2)0x λυλυ-=⎧⎨+-=⎩ ．若1x =，可以取1,5,3λμυ===的非零解．若1x ≠，则必有0λμυ===．从而，知1x =时，,,a b c 共面．方法2 因为，a 、b 不共线，则要使得,,a b c 共面，只需c 可由a 、b 表示即可．设12c a b x x =+整理，得121122123(23)e (2)e (2)e 0x x x x x x x +-++-+-+-=． 则1212232x x x x +=⎧⎨-+=⎩，及1220x x x +-=．方程组的解为113x =-、253x =⇒1x =．6. 已知三点(2,1,1),(3,5,1),(1,3,3)A B C ---，问,,A B C 是否共线？ (P28)解：,,A B C 共线⇔AB 与BC 线性相关．(1,4,2)AB =，(2,8,4)BC =---，设0AB BC λμ+=⇒20480240λμλμλμ-=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩⇒2λμ=．2λ=，1μ=为其中一个非零解，则由20AB BC +=，所以知,,A B C 共线．8. 已知向量a 与Ox 轴和Oy 轴的夹角为060,120αβ==，且||2a =．求a 的坐标．(P28)解：设a (,,)x y z =，则x ||||cos 1a i a i α=⋅==，y ||||cos 1a j a j β=⋅==-，又由||2a =，即2= ⇒z =．10. 设三个向量,,a b c 两两的夹角为045，且||1,||2,||3a b c ===．求向量2a b c +-的模．(P28)解：2222|2|(2)(2)||4||||42426(3a b c a b c a b c a b c ab ac bc +-=+-⋅+-=+++--=-=所以，|2|a b c +-=11. 设,,a b c 满足0a b c ++=的单位向量，试求a b b c c a ⋅+⋅+⋅的值． (P28)解：由22220||()()||||||2()a b c a b c a b c a b b a b b c c a =++=++⋅++=+++⋅+⋅+⋅，得到32a b b c c a ⋅+⋅+⋅=-．第2次作业答案12. 设向量,a b 的夹角为060，且||1,||2a b ==，试求2()a b ⨯，|()()|a b a b +⨯-． (P28)解：222()||(||||sin )3a b a b a b α⨯=⨯==；|()()||()()||||020|a b a b a a b b a b a a a b b a b b a b +⨯-=⨯-+⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=-⨯-=14. 设一个四面体的顶点为(1,2,3)A ，(1,0,2)B -，(2,4,5)C ，(0,3,4)D -，求它的体积．(P29)解：(2,2,1)BA =，(3,4,3)BC =，(1,3,2)BD =-，于是，四面体的体积11115|()|1532662||BA BC V BA BC BD BA BC BD BA BC ⨯=⋅⨯⋅=⨯⋅=⋅=⨯．15. 判断下列结论是否成立，不成立时请举例说明： (P29) (1)若0a b ⋅=，则a 0=或b 0=； (4)222()⋅=a b a b ；(2)若a a c ⨯=⨯b ，则必有b c =； (5)()()2a b a b a a a b b b +⨯+=⨯+⨯+⨯；(3)()()a b c a b c ⋅=⋅；(6)()()a b c a b c +⋅=⨯⋅．解：(1) 否，0a b ⋅=⇔ a b ⊥．例如：(1,0,0),(0,1,0)a b ==，则0a b ⋅=，但a 0≠及0b ≠； (2) 否，原式化为：()0a b c ⨯-=，即b c a k -=．例如：(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0)a b c ===，则(0,0,1)a b ⨯==(0,0,1)a c ⨯=，但是b c ≠． (3) 否，原式意义为12k k =c a ，但是a 与c 可能不平行．例如：(1,0,0),(0,1,0),(1,1,1)a c b ===，但()()a b c a b c ⋅≠⋅． (4) 否，因为2222()||||cos a b a b θ⋅=，当0θ≠或π（,a b 不共线）．例如：略．(5) 否，()()2a b a b a a a b b a b b a a a b b b +⨯+=⨯+⨯+⨯+⨯−−→⨯+⨯+⨯若，即a b b a ⨯=⨯=a b -⨯，得0a b ⨯=，所以要求,a b 共线．(6) 否，等式右边的运算不成立．16. 证明下列等式： (P29) (1) 2222()()a b a b ⨯=-⋅a b解：因为2222222222()()||||sin ||||cos ||||a b a b a b a b a b θθ⨯+⋅=+= ，从而结论得证．19. 求下列和式： (P29) (1)1cos cos2cos n θθθ++++； (2)sin sin 2sin n θθθ+++．解：当2k θπ=时，1cos cos2cos 1n n θθθ++++=+及sin sin 2sin 0n θθθ+++=．当2k θπ≠时，(1cos cos 2cos )(sin sin 2sin )1(cos sin )(cos 2sin 2)(cos sin )n i n i i n i n θθθθθθθθθθθθ++++++++=+++++++(1)2111i n i i in i e e eee θθθθθ+-=++++=-2221212sin sin 2sin cos 2sin cos 1222222.24sin 4sin 22n n i θθθθθθθθ++⎛⎫- ⎪=++⎪ ⎪⎪⎝⎭所以12,21sin()1cos cos 2cos 122.22sin 2n k n n k θπθθθθθπθ+=⎧⎪+⎪++++=⎨+≠⎪⎪⎩ 02,21cos cos()sin sin 2sin 222.2sin 2k n n k θπθθθθθθπθ=⎧⎪+⎪-+++=⎨≠⎪⎪⎩注：(1)11i n i e e θθ+--221[cos(1)sin(1)]1cos sin {1[cos(1)sin(1)]}(1cos sin )(1cos sin )(1cos sin )1cos cos(1)cos cos(1)sin sin(1)sin(1)cos sin(1)sin si (1cos )sin n i n i n i n i i i n n n n n i θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ-+++=---+++-+=---+--+++++-++++-=+-+2222n cos(1)(1cos )sin [cos cos(1)cos 1][sin sin(1)sin ]2(1cos )21212sin sin 2sin cos 2sin cos 1222222.24sin 4sin 22n n n i n n n n i θθθθθθθθθθθθθθθθθθθ+-+-+-++-++=-++⎛⎫- ⎪=++⎪ ⎪⎪⎝⎭方法2 （因子法）(1)1cos cos2cos n θθθ++++2sin 2(1cos cos 2cos )(2)2sin 212sin [sin()sin()][sin(2)sin(2)][sin()sin()]22222222sin 221sin sin()22.2sin2n k n n n θθθθθπθθθθθθθθθθθθθθθθθθ=++++≠⎧⎫=++--++--+++--⎨⎬⎩⎭++=当2k θπ=时，原式1n =+．故原式12,21sin()122.22sin 2n k n k θπθθπθ+=⎧⎪+⎪=⎨+≠⎪⎪⎩(2)sin sin 2sin n θθθ+++2sin 2(sin sin 2sin )(2)2sin2n k θθθθθπθ=+++≠1[cos()cos()][cos(2)cos(2)][cos()cos()]2222222sin 221cos cos()222sin2n n n θθθθθθθθθθθθθθθθ⎧⎫=--++--+++--+⎨⎬⎭⎩+-=当2k θπ=时，原式0=．故原式02,21cos cos()222.2sin 2k n k θπθθθπθ=⎧⎪+⎪-=⎨≠⎪⎪⎩20. 证明：2222121221|1|||(1||)(1||)z z z z z z ++-=++． (P29)证明：原式12121212(1)(1)()()z z z z z z z z =+++--121212122222121212121221222221122221(1)(1)()()1||||||||1||||||||(1||)(1||).z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z =+++--=+++++--=+++=++1. 求过点(4,1,3)-且与直线3125x z y -+==-平行的直线方程． (P51) 解：所求直线的方向向量可设为：(2,1,5)n =-，且过点(4,1,3)-，则直线方程为：413215x y z -+-==-．2. 求直线235,322x y z x y z -+=⎧⎨+-=⎩的点向式方程． (P52)解：设交成直线的两平面的法向量分别为：12(2,3,1),(3,1,2)n n =-=-，则直线的方向向量12(5,7,11)n n n =⨯=，且容易算出点(1,1,0)-在直线上，故可得直线的点向式方程：115711x y z-+==．4. 求原点到直线521432x y z --+==-的垂线方程． (P52) 解：垂直直线且经过原点的平面方程为：4320x y z +-=．设直线方向向量(4,3,2)n =-，直线上点(5,2,1)P -，则(1,6,7)OP n ⨯=-，于是可得到经过直线且过原点的平面方程为：670x y z -++=．于是得到所求直线方程为4320670x y z x y z +-=⎧⎨-++=⎩． 方法2 （先求交点）设垂足为P ，则有(45,32,21)P t t t ++--，又由OP n ⊥，即4(45)3(32)2(21)0t t t +++---=，得2829t =-，则得交点为332627(,,)292929-，于是知道要求直线方向向量为(33,26,27)-，得直线 332627x y z ==-．8. 求过点(5,7,4)-且在三坐标轴上的截距相等的平面方程． (P52)解：记三坐标轴截距为a ．01当0a =时，则平面方程可设为：0Ax By Cz ++=（,,A B C 不全为零），且5740A B C -+=，此时平面有无数个． 02当截距非0时，设平面1x y za a a++=，代入点(5,7,4)-，得2a =．此时得到平面方程20x y z ++-=．13. 求点(1,2,3)到直线1,23x y z x z +-=⎧⎨+=⎩的距离． (P52)解：设两平面法向量及直线方向向量分别为：12,,n n n ，点(1,2,3)P ，则12(1,3,2)n n n =⨯=--． 方法１ （面积法）设直线上一点000(0,,)P y z 代入直线方程00013y z z -=⎧⎨=⎩，求得点0(0,4,3)P ，于是0(1,2,0)PP =-，则001||||2P P A S d n P P n ∆==⨯，即0||62||PP n d n ⨯== 方法2 （求交点）过点P 且垂直直线的平面方程为：32110x y z --+=，则1,23,3211x y z xz x y z +-=⎧⎪+=⎨⎪--=-⎩，解得15,,222x y z ===，即交点为15(,,2)22P ，从而6||2d PP ==． 方法3 （极值法）根据方法１求得的点0P ，可得直线参数方程：,34,23x t y t z t ==-+=-+，直线上的点可以表示为(,34,23)t P t t t -+-+，设2222()||(1)(234)(323)tf t PP tt t ==-++-++-，于是知道t Rd ∈=()0f t '=，求得1/2t =，代入()f t 得2d =．15. 当a 取何值时，点(2,1,1)-和(1,2,2)-分别在平面53x y z a ++=的两侧？ (P52)解：只需将两点代入式子53x y z a ++-，能使式子值异号即可．[523(1)1][513(2)2]0a a ⋅+⋅-+-⋅⋅+⋅-+-<⇒(8)(1)0a a --<，即得18a <<．17. 求两直线2132x y z +-==-和0,58x y z x y z +-=⎧⎨-+=⎩的距离． (P52)解：设两条直线分别为1l 、2l ．直线1l 的方向向量为1(3,2,1)μ=-，且过点1(2,1,0)P -；设直线2l 上点200(,,0)P x y ，代入直线方程得到2(4,4,0)P -，设交得直线2l 的两平面法向量分别为12(1,2,1),(1,1,5)n n =-=--，则得到直线2l 方向向量212(6,4,2)n n μ=⨯=-，由212μμ=，知两直线平行．从而可得两直线间距离1121||5||PP d μμ⨯==注：若两直线不平行，则121212|()|||PP d μμμμ⨯⋅=⨯．8. 当a 取何值时，直线14353x y z a -+-==和3914347x y z +-+==-相交？并求交点坐标和两直线确定的平面方程． 解：设两直线方向向量分别为：12(,5,3),(3,4,7)n a n ==-，且易知两直线分别过点12(1,4,3),(3,9,14)P P ---，由于两直线不平行，故只需要1212,,n n PP 共面即可．即1212()0n n PP ⨯=，即53347041317a -=--， 得8a =． 设两直线的参数方程为：1181x t =+，1154y t =-，1133z t =+和2233x t =-，2249y t =-+，22714z t =-，交点满足121212,,x x y y z z ===，得212447t =，代入得交点23173210(,,)474747-． 两直线确定的平面法向量12(47,47,47)n n n =⨯=--，于是可设平面方程为0x y z D --+=，又过点1(1,4,3)P -，可得2D =-，于是得到平面方程20x y z ---=．方法2 （投影法）设直线12,l l 在yOz 平面的投影直线为1l '：43530y z x +-⎧=⎪⎨⎪=⎩，2l '：914470y z x -+⎧=⎪-⎨⎪=⎩，1l '与2l '的交点为73210(0,,)4747-，若1l 与2l 相交，则交点坐标可设为073210(,,)4747x -，得023147x =、8a =．第3次作业答案20. 当a 取何值时，两平面25x y az --=和32x ay z +-=相互垂直？ (P52)解：两平面垂直，只需其法向量相互垂直即可．由法向量分别为12(1,2,),(1,,3)n a n a =--=-，则120n n ⋅=，即1230a a -+=，得1a =-．21. 求两平行平面229x y z -+=-和42421x y z -+=间的距离． (P52)解：设平面的法向量(2,1,2)n =-．容易得到两平面上的点分别为123(2,1,2),(3,,3)2P P --，于是平面间距离 12||39/21332||PP n d n ⋅===． 注：在直线上找点时只能先预设其中一个元素为零，而在平面上找点时，可以预先假设两个元素为零．如21题中可设平面上的点分别为12(0,0,9/2),(0,0,21/4)P P -．注：设两平行平面120,0x y z x y z n x n y n z D n x n y n z D +++=+++=，其上的点分别设为1111(,,)P x y z ，2222(,,)P x y z ，平面法向量(,,)x yz n n n n =，则平面间距离21212112|()()()||()()|||||||x y z n x x n y y n z z n x n y n z n x n y n z PP n d n n -+-+-++-++⋅====22.求直线4232z x y --=-=与平面26x y z -+=的交点和夹角． (P52) 解：设直线方向向量(1,1,2)μ=，平面法向量(2,1,1)n =-，由||31cos 62||||n n μθμ⋅===，即μ与n 夹角3πθ=，于是知道直线与平面夹角为6π．联合直线和平面方程即可求得交点2342226x y z x x y z -=-⎧⎪-⎪-=⎨⎪-+=⎪⎩ ⇒ 110226x yx z x y z -=-⎧⎪⎪-=⎨⎪-+=⎪⎩． 计算得73x =，103y =，143z =，即交点71014(,,)333．方法2 （参数法）设直线的参数方程为：2x t =+，3y t =+，24z t =+，代入平面方程得2(2)(3)(24)6t t t +-+++=，得13t =，得交点坐标71014(,,)333．23. 设动点到原点的距离等于它到平面1z =的距离．求动点的轨迹方程．(P52)解：设动点(,,)P x y z ，则满足|||1|OP z =-，即2222(1)x y z z ++=-，整理得22210x y z ++-=或221222x y z +=-+．（设1,,2x x y y z z ===-+，则原式化为2222x y z =+，表示旋转抛物面）25. 求经过四点(0,0,0),(1,1,0),(0,1,1),(1,0,1)O A B C 的球面的方程． (P52)解：设球面方程2222000()()()x x y y z z r -+-+-=，则满足方程组222200022220002222000222200(1)(1)(1)(1)(1)(1)x y z r x y z rx y z r x y z r ⎧++=⎪-+-+=⎪⎨+-+-=⎪⎪-++-=⎩ ⇒ 0000002222000111x y y z x z x y z r +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪++=⎩⇒0001,2x y z r ====． 所以，球面方程为：2221113()()()2224x y z -+-+-=．方法2 （一般式）设球面一般式：2220x y z Dx Ey Fz G ++++++=，将点代入，得202020G E F D F D E =⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩ ⇒ 1110E F D G =-⎧⎪=-⎪⎨=-⎪⎪=⎩ ，即球面一般式为2220x y z x y z ++---=． 方法3 （几何法）若是可以看出给定的四点,,,O A B C 恰为正三棱锥的四个顶点，则容易知道球心为三棱锥的重心，即01111()(,,)4222P O A B C =+++=，03||2r OP ==．于是得球面方程2221113()()()2224x y z -+-+-=．28. 求准线为221,1,y z x ⎧+=⎨=⎩母线方向为(2,1,1)的柱面的一般方程． (P53)解：设母线方向为μ，设柱面上点(,,)P x y z ，则对应准线上点(,,)p p p Q x y z ，则PQ k μ=，于是得(2,,)Q P k x k y k z k μ=+=+++，由于Q 在准线上，则22()()121y k z k x k ⎧+++=⎨+=⎩ ⇒ 2211()()122x xy z --+++=， 整理，得2211()()1022x xy z --+++-= 或 222222222220x y z xy xz x y z ++---++-=．29. 求准线为221,1,y z x ⎧+=⎨=⎩ 顶点坐标为(2,1,1)的锥面的一般方程． (P53)解：记顶点(2,1,1)A ，设锥面上点(,,)P x y z ，对应准线上点(,,)p p p Q x y z ，则PQ k AQ =，于是得12()(,,)1111x k y k z k Q P kA k k k k---=-=----（1k ≠），由于Q 在准线上，则 22()()111211y k z k k kx k k --⎧+=⎪⎪--⎨-⎪=⎪-⎩⇒ 2211(1)(1)122y z x x --+++=--（2x ≠），整理，得 222(1)(1)(2)0x y x z x --+----= 或 222222220x y z xy xz y z ++--++-=（2x ≠）．当2x =时，方程表示的是锥面的顶点，故锥面的一般方程为222222220x y z xy xz y z ++--++-=．30. 求直线1x y z -==绕1x y ==旋转所得旋转面的参数方程和一般方程．(P53)解：设旋转曲面上点(,,)P x y z ，相应子午线上的点(1,,)Q t t t +，设轴线上点(1,1,0)O ，则||||OP OQ PQ ⎧=⎪⎨⎪⎩垂直轴线⇒222222(1)(1)(1)x y z t t t t z ⎧-+-+=+-+⎨=⎩ ⇒2222(1)(1)(1)x y z z -+-=+-． 于是得旋转曲面一般方程22211(1)(1)2()022x y z -+----= 或 222222210x y z x y z +---++=．根据第一个旋转曲面方程可以得参数方程sec 1sec 111tan 22x y z θϕθϕϕ⎧=+⎪⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎪⎩02.22θπππϕ≤≤-≤≤ 方法2 （几何法）设子午线上点(1,,)Q t t t +，则同一纬线上点1,)P t θθ++，于是旋转曲面参数方程11x y z tθθ⎧=+⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩02.t R θπ≤≤∈．31. 求圆22(2)10x y z ⎧-+=⎨=⎩绕y 轴旋转所得旋转面的参数方程和一般方程．(P53)解：设圆上点Q ，则可设为(cos 2,sin ,0)Q θθ+，(,,)P x y z 为Q 点旋转所得，则||||OQ OP PQ y ⎧=⎪⎨⊥⎪⎩轴⇒ 22222(cos 2)sin sin x y z y θθθ⎧++=++⎨=⎩，于是，可得旋转曲面的参数方程 (2cos )cos sin (2cos )sin x y z θϕθθϕ=+⎧⎪=⎨⎪=+⎩02,02θπϕπ≤<≤< 旋转曲面的一般方程222(2)0x z -+=⇒2225x y z ++-=±⇒22222(5)16(1)0x y z y ++---=．方法2 （几何法） 设旋转曲面上一点(,,)P x y z ，则由旋转可以知道P由圆上点,0)Q y 旋转得到，又Q 点在圆上，则其一般方程222)10y +-= 或 222222(3)16()0x y z x z +++-+=．由第一个式子可容易得参数方程如上．32. 通过坐标系的平移，化简二次曲面方程2222210x y z x y z ---++-=，并指出曲面的类型． (P53)解：原式化简为22213(1)(1)()24x y z -----=． 设11,1,2x x y y z z =-=-=-，则原式可化为： 2222221x y za a a +-=-，其中a =， 于是知将坐标系沿着方向1(1,1,)2μ=平移可将原曲面化为标准形式，且易知次二次曲面为旋转双叶双曲面．注：此二次曲面是经过标准旋转双叶双曲面平移得到（同一个坐标系），其平移向量1(1,1,)2μ=．36. 选取适当的新坐标系，化二次曲面方程10xy x y z -+++=为标准方程，并指出曲面的类型．(P53)解：由2222(1)(1)()()22x y x y z x y -+++=-+-=-． 令11(2),(),222x x y y x y z z =-+=+=+，得新坐标系11(,2e =，21(,2e =，3(0,0,2)e =及(1,1,2)O =--，因此，曲面在新坐标系123[;,,]O e e e 中为：2222x y z =-，此为双曲抛物面． 注：22()()()()222222a b a b a b a b a b a b ab +-+-+-=+-=-． 方法2设x y ==，则原式化为22102u v z -+= 即2202u z +=， 再设,2,2x u y v z z ==-=+，可将原式化为：2222x y z =-+．由,222x y x y x y z z +-+==-=+，即新坐标系11(,2e =，21(2e =-，3(0,0,2)e =及(1,1,2)O =--，因此，曲面在新坐标系123[;,,]O e e e 中为：2222x y z =-+，此为双曲抛物面．第4次作业答案1. 解下列线性方程组： (P65)(1)123123123123312213231x x x x x x x x x x x x +-=-⎧⎪+-=⎪⎨++=⎪⎪+-=⎩ ； (4)1234123412342462410x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪-++=⎨⎪-+-+=⎩； (7)1245123412345123453020426340242470x x x x x x x x x x x x x x x x x x ---=⎧⎪---=⎪⎨-++-=⎪⎪+-+-=⎩．解：(1)121314342242,,7,11311131113111312121014301430143111300130013001312310132007500016r r r r r r r r r r r -→-→-→-→--→--------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−−−−−−→−−−−→−−−−→⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 从最后一个矩阵的最后一行看出，原方程组无解．(4)233231212312117,,42,,63311411246121141171114110614100103611110003212100133r r r r r r r r r r r r →-→-→→↔⎛⎫⎪---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-−−−−−−−→--−−−−→--−−−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭ 2151541101003318925725701001018918921210010013333r r →⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．令4x t =，解得12345425721(,,,)(,,,)18918933x x x x t t t t =+-+-+，其中t F ∈．注：相应齐次解：(5,25,12,18)TX t =--，其中t F ∈．(7)23121323142434411,,43212124,151103111031110311121002221022214263406615000129324247022105004124r r r r r r r r r r r r r r r --→-→-→-→→→------⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪------- ⎪ ⎪ ⎪−−−−−−→−−−−→−−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭43423241213,437110311100210006*********10201006631001000010010044111000100010001333r r r r r r r r r r -→→-→→-→--⎛⎫⎛⎫--⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪-- ⎪-⎪⎪- ⎪ ⎪⎪−−−−−→−−−→⎪⎪⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪- ⎪-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 令5x t =，解得12345(,,,,)(7,5,0,2,6)T T X x x x x x t t t t ==，其中t F ∈．2. 当a 为何值时，下列线性方程组有解？有解时求出它的通解． (P66)(1)12312312332223226x x x x x x ax x x ++=⎧⎪--=-⎨⎪-+=⎩ 解：212121323153,(2)11233212112371111230571101.55226022236324452005555r r r r r ar r a r r a a a a a a ↔-→-→-→⎛⎫⎪------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---−−−−−−→−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--++ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪++ ⎪⎝⎭当324055a +=且452055a +=，或324055a +≠时，方程组有解，容易验证前者不成立．故324055a +≠，即8a ≠-，此时 32132315()3247,253241101001123324871120200101001055324324324452452452000010015555324324r r r a r r r r a a a a a a a a a a a a a →+-→→-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎪---++ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪−−−−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 解得123420452(,,)(,,)8324324T Ta a X x x x a a a -+==+++．4. 求三次多项式32()f x ax bx cx d =+++，使()y f x =的图像经过以下4个点：(1,2)A ，(1,3)B -，(3,0)C ，(0,2)D ．解：将四个点代入()y f x =，得23279302a b c d a b c d a b c d d +++=⎧⎪-+-+=⎪⎨+++=⎪⎪=⎩3432312134241211,9243127,21111211112111125111130202501012279310018242654002489000120001200012r r r r r r r r r r r r r r --→→→-→-→-→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪ ⎪−−−−→−−−→−−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭3121511100100024110100010022770010001024240001200012r r r r -→-→⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 得32517()224224f x x x x =-+-+． 方法２由方程组23279302a b c d a b c d a b c d d +++=⎧⎪-+-+=⎪⎨+++=⎪⎪=⎩，得等价方程组0127932a b c a b c a b c ++=⎧⎪-+-=⎨⎪++=-⎩，及2d =．即23311213212391127,22451001110241110111011111102010100102227932018242770010012424r r r r r r r r r r r r →-→→-→-→-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--−−−−→−−−−→−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 于是得32517()224224f x x x x =-+-+．6. 兽医建议某宠物的食谱每天要包含100单位的蛋白质，200单位的糖，50单位的脂肪．某宠物商店出售四种食品,,,A B C D解：根据题意设配置食物,,,A B C D 的份量分别为1234,,,x x x x 千克，则1234123412345471010020251052002210650x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=⎨⎪+++=⎩231311213233231111,536220,518,5547101001153251153252025105200059055300011811602210650011852500361685r r r r r r r r r r r r r r r -↔-→-→→→-→⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪−−−−−−→---−−−→---−−−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭217475341105110100936936353501030103.22485485001001936936r r -→⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--−−−→-- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭令4x t =，得123434110535485(,,,)(,3,,)9362936x x x x t t t t =-+--+， 由于当230,0x x ≥≥时， 5.83t ≥、 5.3125t ≤，矛盾．故满足问题的解不存在．7. 给定线性方程组123412341234234225213820x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩ 将常数项改为零得到另一个方程组，求解这两个方程组，并研究这两个方程组的解之间的关系．对其他方程组作类似的讨论．解：231221132223123421234212342101118825211014730147301473.381200281460000000000r r r r r r r r -→-→-→-→----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-−−−−→--−−−−→--−−−−→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭21210111880147300000r r -→-⎛⎫⎪−−−−→-- ⎪ ⎪⎝⎭．令3142,x t x t ==，解得123412121212(,,,)(11188,473,,)(11,4,1,0)(18,7,0,1)(8,3,0,0).T T T T T X x x x x t t t t t t t t ==-+-+-=-+-+-当常数项取值为零时，从上述操作中得其解为123412121212(,,,)(1118,47,,)(11,4,1,0)(18,7,0,1)T T T T X x x x x t t t t t t t t ==--+=-+-．容易看出，解X 是由X 加上(8,3,0,0)T-得到的．2. 证明：每个方阵都可以表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和的形式．(P110)证明：设矩阵A ，则A B C =+，其中2T A A B +=，2TA A -=． 容易验证矩阵B 为对称阵，C 为反对称阵．3. 设312134A ---⎛⎫= ⎪⎝⎭，222414433B -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭，114112C ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭．计算2,,,,,AB BC ABC B AC CA ． 解：222312181116414134301126433AB -⎛⎫-----⎛⎫⎛⎫ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭； 222114841441121143312513BC --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=---= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭；11181116106141301126129312ABC ⎛⎫---⎛⎫⎛⎫⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪--⎝⎭； 222222244641441412384334338411B ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪=----=-- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭；11312304113415412AC ⎛⎫---⎛⎫⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ⎪--⎝⎭； 11222312411371213412156CA -⎛⎫⎛⎫---⎛⎫ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭．4. 计算000211122222111n n n n n n a b c x x x a b c y yy a b c z z z a b c ⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭． (P110) 解：原矩阵乘法得0000002111222200020111nnni i i iiii i i n n nnn i i i iii i i i n nnn ii i iii n nn i i i a b c x a x b x c xx x a b c y y y a b c y a y by c z z z z a z bz c a b c =========⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑∑∑∑． 5. 计算()1112112122221212n n m m m mn n a a a y a a a y x x x a a a y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． (P110) 解：原矩阵乘法得()1112111212222212121111112n mmmn mn m i i i i i in i ij j i i i j i m m mn n n a a a y y a a a y y x x x x a x ax a x a y a a a y y =====⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎛⎫ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑．第5次作业答案7. 计算下列方阵的k 次幂，1k ≥： (P110)(1)cos sin sin cos θθθθ⎛⎫⎪-⎝⎭； (2)a b b a ⎛⎫ ⎪-⎝⎭； (3)11001010010001a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭； (4)11111⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭； (5)111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭． 解：(1)由于2222cos sin cos sin cos 2sin 2cos sin 2cos sin sin cos sin cos sin 2cos 22cos sin cos sin θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪⎪⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 假设当1n k =-（2k ≥）时，1cos sin cos(1)sin(1)sin cos sin(1)cos(1)k k k k k θθθθθθθθ---⎛⎫⎛⎫=⎪⎪----⎝⎭⎝⎭成立．当n k =时，1cos sin cos sin cos sin cos sin cos(1)sin(1)sin cos sin cos sin cos sin cos sin(1)cos(1)cos cos(1)sin sin(1)cos sin(1)sin cos(1)sin k k k k k k k k k k θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎪ ⎪⎪-------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭----+-=-cos sin .cos(1)cos sin(1)sin sin(1)cos cos(1)sin cos k k k k k k k k θθθθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-----+--⎝⎭⎝⎭由数学归纳法，得cos sin cos sin .sin cos sin cos kk k k k θθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫=⎪⎪--⎝⎭⎝⎭(2)当220a b +=时，原式00000000k⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；当220a b +≠时，由cos sin sin cos a b b a θθθθ⎛⎫⎛⎫=⎪⎪--⎝⎭⎝⎭，其中cos θθ==，于是由(1)得 22/222/2cos sin cos sin ()()sin cos sin cos kkk k a b k k a b a b b a k k θθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅=+⋅ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 方法2由001011010k k i k i k i i ki a b aI b C a b b a -=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑，其中cos sincos sin01222210sin cos sin cos2222ii i i i i ππππππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以0000cos sin012210sin cos 22k ki k i iik i ik i k kk i i i k i i k kki i k i i i k i i kk i i i i C a b C ab a b C a b b a i i C a b C a b ππππ--==-=--==⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑． 方法3设nn n n n a b a b b a b a ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则11n n nn n n a a a b b b b a a b ++=⋅-⋅⎧⎨=⋅+⋅⎩ ⇒ 21121()()[()]()[()]n n n n n a a ib a a ib a a ib a a ib a a ib a +++-+=--+==--+ ⇒ 1111[()()]2n n n a a ib a ib +++=++-，同理，得1()()22n n n b ia b iab a ib a ib +-+=++-． (3)将矩阵分块得211001010010001a A I B a O A ⎛⎫⎪⎛⎫⎪== ⎪⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，其中11000,,010100a A I O ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 则12kkk k k A I A kA B O A OA -⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又其中110101kka ka A ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得11101(1)010101000100100010001kkk k a ka k k k a k A kA a ka OA --⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎛⎫ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎝⎭⎝⎭． (4)设()11111n I B ⎛⎫ ⎪ ⎪=+ ⎪⎪⎝⎭，其中10110,110nI B ⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则()011111kk k i i n ki I B C B =⎛⎫ ⎪ ⎪=+= ⎪ ⎪⎝⎭∑，当i n <时，(1)(1)1(1)(1)(1)(1)n i i n i ii i i n i O I B O O -+--+----+⎛⎫=⎪⎝⎭；当i n ≥时，in n B O ⨯=．当k n <时，1101100111011111kk k kkki i k k k i k C C C C B C C =⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎝⎭∑； 当k n ≥时，11101111111kn k k ki i ki k C C C B C -=⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑． (5)由1111212122221212()n n n n n n n n a a b a b a b a b a b a b a A b b b a b a b a b a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．1122211121211()()()()nnkk k k n n i i i i i i n n a a a aA b b b b b b Aa b Aa b A a a ---==⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⋅=⋅==⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑．9. 证明：两个n 阶上（下）三角形方阵的乘积仍是上（下）三角形方阵．(P110)证明：设两上三角方阵1112111121222222,n n n n nn nn a a a b b b a a b b A B a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设C AB =，于是当i j >时， 111ni nij ik kj ik kj ik kj k k k ic a b a b a b -=====+∑∑∑，其中等式右侧第一项中由i k >，0ik a =，第二项中k i j ≥>，则0kj b =，则0,ij c i j =>．即矩阵C 为上三角形矩阵．注：也可以从()1000,00j jj ij iiin b b c a a i j ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪==> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭可以证明结论．10. 证明：与任意n 阶方阵都乘法可交换的方阵一定是数量矩阵． (P110)证明：设满足题设的矩阵为A ，设矩阵ij E 为只有(,)i j 元为1，其他元素为0的n 阶方阵，则ij ij AE E A =，即()(1)(1)()()i n n j in n j j n i n O OA O A O -⨯⨯-⨯--⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，其中()11,i i j j jn ni a A A a a a ⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭．即()1(1)1(1)()()i i n j ji ii jjjn n j i n n j j n n n i n ij ni a O a a a a a O A O A O O a a -⨯⨯-⨯-⨯-⨯⎛⎫⎪⎪ ⎪⎛⎫---- ⎪⎪-==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． 最后的矩阵的等式中对应位置元素相等，则得0,,0,ki jka k i a k j =≠⎧⎪⎨=≠⎪⎩，且i j a a =．取遍1,2,,i n =，1,2,,j n =，得结论成立．13. 设方阵A 满足k A O =，k 为正整数．证明：I A +可逆，并求1()I A -+．(P111) 解：设B A =-，则k B O =，且212121()()k k k k k I B I B B B I B B B B B B B I B I ----++++=++++-----=-=．即I A I B +=-可逆，且111121()()()(1)k k k ii i i i I A I B I B B BB A -----==+=-=++++==-∑∑．方法21()()()()kkki ik iki A I I I C A I I O -=+-=-++-=∑ ⇒ 110()(1)()n i in i n i A I C A I I ---=+-+=∑．第6次作业答案18. 证明：不存在n 阶复方阵,A B 满足：AB BA I -=．(P111)证明：由于111111()()nn n n nn ik ki ik ki ik ki i k i k k i tr AB a b a b a b tr BA ======⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑∑∑，所以()0tr AB BA -=，而()tr I n =，故AB BA I -≠．20. 略．21. 略．22. 计算下列矩阵的逆矩阵：(P111)（1）101-4-1-3-4-22-14423-32⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭； （4）12kA A A ⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，i A 是in 阶方阵．解：（1）10141000101410001014100013420100033611000336110021440010012122010003147/31/3102332000103510200100841101---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪---------- ⎪ ⎪ ⎪→→⎪ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭→101410001014100001121/31/30001121/31/30000114/37/91/91/3000114/37/91/91/30000124/365/91/98/3100165/3721/37224/3729/372--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---- ⎪ ⎪→⎪ ⎪---- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭→101065/931/938/313/3101101/6221/624/313/6200107/18223/1821/317/62000165/3721/37224/3729/372-⎛⎫ ⎪---⎪ ⎪-- ⎪-⎝⎭→100049/18625/1867/3113/6201002/9320/935/312/3100107/18223/1821/317/6200165/3721/3722/313/124⎛⎫⎪--- ⎪⎪-- ⎪-⎝⎭．则矩阵逆为49/18625/1867/3113/622/9320/935/312/317/18223/1821/317/6265/3721/3722/313/124⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪-- ⎪-⎝⎭．（4）由于111122211K K K A I A A A I A I A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111112221K K K A I A A I A A I A ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 则其逆为11211K A A A ---⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭．23. 求解下列矩阵方程：（2）010010123001001246.100000369X X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(P111)解：设111213212223313233a a a X a a a aa a ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭则 2122231112************3233212231322133221112133132111231133201001001230010010246.1000000369a a a a a a a a a a X X a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭得381415112511X ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭．第7次作业答案24. 求以下排列的逆序数，并指出其奇偶性：(P112)（1）(6,8,1,4,7,5,3,2,9)； （2）(6,4,2,1,9,7,3,5,8)； （3）(7,5,2,3,9,8,1,6,4)．解：=5+6+0+2+3+2+1+0+0=19逆序数为奇排列；(6,8,1,4,7,5,3,2,9)=5+3+1+0+4+2+0+0+0=15逆序数为奇排列；=6+4+1+1+4+3+0+1+0=20m 逆序数为偶排列．(6,4,2,1,9,7,3,5,8) (7,5,2,3,9,8,1,25. 计算下列行列式：(P112)（1）101-4-1-3-4-22-14423-32； （2）14-1-11-2-11-33-4-201-1-1； （3）x ax bx c y ay b y c z az b z c+++++++++； （4）12kA A A ，i A 是i n 阶方阵； （5）121,212n nn n n nna a a a a a -； （6）12111111111na a a +++（7）1111n n nna b a b c d c d ； （8）111212122212nn n n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b ---------．解：（1）11-411-411-4-1-3-4-20-3-3-60-3-3-63141(3)3(12148)372.2-1440-1212003148423-3203-5100-84===⋅-⋅=-+⋅=--（2）14-1-114-1-11111111-2-110-602810(1)1575(1)0810(1)(1)(3260)28.-33-4-2015-7-56460206401-1-101-1-1----==---=-=-=--+=------（3）0.x a x b x c a b b c x cy ay b y c a b b c y c z az b z c a b b c z c+++--++++=--+=+++--+ 101111011110100.1000010000x a x b x c x x y a y b y c y a b c y a b c z az bz c z z +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪+++=== ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111110.010010a b cab ca xb yc z x a x b x cx a x b x c xx x x x xy a y b y c y a y b y c y y y y x y x y x z az bz cz az bz czz zz xz xz x+++++++++--+++====+++----++++++----。

1.11. 图1-1表示了B 省的3个城市123,,B B B 与C 省的3个城市123,,C C C 的交通连接图，称为一个交通网络.每条线上的数字表示此通路上不同的运路(公路，铁路，水路，空路)数目.若以(,1,2,3)ij a i j =表示从i B 到j C 的运路数，试写出矩阵()ij a =A.图1-1解：111213212223313233042213430a a a A a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.2. 当22812x y u u z x ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭时，,,,x y z u 各取何值？解 由2,2,1,82x u y u z x ===-=可得，4,1,1,2x y z u =-=-==-.. 3. 写出即是上三角形矩阵又是下三角行矩阵的n 阶矩阵的一般形式.解112200000nn a a A a ⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅⎪= ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭4. 下列矩阵哪些是行阶梯形矩阵，哪些不是？（1）321400010000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭;（2）321401560245⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;（3）321401060010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭;（4）321400000010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 解(1),(3)是，(2),(4)不是.5. 下列矩阵哪些是行简化的阶梯形矩阵，哪些不是？1021102011101101(1)0101;(2)0100;(3)0000;(4)0011.0010000100010000⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭解(1),(3)不是，(2),(4)是. 6. 写出线性方程组12n x x x b +++=的系数矩阵和增广矩阵，增广矩阵的行和列是多少？它是不是行阶梯形矩阵？是不是行简化阶梯形矩阵？解系数矩阵A =111000000n n⨯⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭，增广矩阵(1)11100000000n n b ⨯+⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅ ⎪= ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭A .增广矩阵n 行，1n +列，它是行阶梯形矩阵，也是行简化的阶梯形矩阵习题1.21. 已知A =131023⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭, B =202111-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭, C =122113-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭.求：2+C A ;-+A B C ; 32-++A B C .解 1723243-⎛⎫ ⎪+= ⎪ ⎪-⎝⎭C A ;251241⎛⎫ ⎪-+=- ⎪⎪-⎝⎭A B C ;913211136-⎛⎫ ⎪-++=- ⎪ ⎪--⎝⎭A B C .2. 已知两个线性变换112321233123x y y y x y y y x y y y =++⎧⎪=+-⎨⎪=-+⎩及1123212332323245y z z z y z z z y z z =++⎧⎪=--+⎨⎪=+⎩，把它们分别表示为矩阵形式，并求从123,,z z z 到123,,x x x 的线性变换.解 111122223333111123111;124;111051x y y z x y y z x y y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪=-=-- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭111222333111123058111124056111051290x z z x z z x z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪=---=- ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 即 12322331258,56,29.x z z x z z x z z =+⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩ 3. 已知矩阵1321⎛⎫=⎪-⎝⎭A ，3012⎛⎫= ⎪⎝⎭B ，381204⎛⎫= ⎪⎝⎭C .求：-AB BA ；BC ；CB ；22+A B ；T C A .解 3303-⎛⎫-=⎪-⎝⎭AB BA ；9243789⎛⎫= ⎪⎝⎭BC ；CB 无意义；22160511⎛⎫+= ⎪⎝⎭A B ；7782491T ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭C A .4. 设310121342⎛⎫ ⎪=-⎪ ⎪⎝⎭A ，102111211⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭B ，且矩阵X 满足方程32-=A X B ，求X . 解 341251127115222⎛⎫- ⎪ ⎪⎪=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭X . 5. 设101λ⎛⎫=⎪⎝⎭A ，求2A ,3A ,nA (n 为正整数). 解 21021λ⎛⎫=⎪⎝⎭A ,31031λ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ,101n n λ⎛⎫= ⎪⎝⎭A .6. 某机械公司生产甲、乙、丙三种型号的机械，2000年和2001年的年产量如表1-1表1-1 表2-2型号产量甲 乙 丙2000年70 50 60 2001年80 60 70这三种机械的本价与销售价如表2-2所示，求两年的总成本和总销售额.解 设67705060,7880607089⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭A B ,则6770506012501430788060701460167089⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭C AB . 即2000年的总成本是1250，销售总额是1430；2001年的总成本是1460，销售总额价格 型号 单位成本价 销售价甲6 7 乙7 8 丙8 9是1670.7. 已知()1,2,3T=α，11(1,,)23T =β，设T =A αβ，求nA .解 1()()()()()()()Tn T TTT T TT Tn n ==A αβA αβαβαβαβαβαβαβαβ－个个＝， 而111(1,,)23233T ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭βα)，所以111333n n T n T n ---===A αβαβA . 8. 1143011-⎛⎫=⎪-⎝⎭A ，求23456()()+-+-+-+A E E A A A A A A . 解 原式=1043012-⎛⎫⎪-⎝⎭，2114114103011301101--⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭A E ,34567,,,,=====A A A E A A A E A A ，原式=71043012-⎛⎫+=+= ⎪-⎝⎭A E A E9. 设A 为m 阶对称矩阵，B 为m n ⨯矩阵，证明：TB AB 为n 阶对称矩阵. 证 ()()TTTT TT===B A B A B B B A BB A B，即T B AB 为对称矩阵. 10. 设A 为n 阶对称矩阵，B 为n 阶反对称矩阵，证明ΑΒ为反对称矩阵的充分必要条件是=ΑΒΒΑ.证 充分性,T T ==-A A ΒB ,又=ΑΒΒΑ，所以()T T T==-=-ΑΒΒΑΒΑΑΒ，即ΑΒ为反对称矩阵.必要性 由()T=-AB AB ，又T T T ==-AB B A BA （），所以=ΑΒΒΑ. 习题1.31. 用分块矩阵计算下列矩阵乘积：(1) 321021201102240110104003-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭;(2) 11001000310010000100013100210214-⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪⎪⎪⎪-⎪⎪-⎝⎭⎝⎭.解 (1) 设111221223210201124011040-⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭⎪⎝⎭A A A A A ，112121021003⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭B B B ，则 1112111111122121222121112221+⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭A A B A B A B AB A A B A B A B ，而1111322167200242⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A B ， 1221101010110313--⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭A B .则111112217735⎛⎫+= ⎪⎝⎭A B A B .同理211122214921-⎛⎫+= ⎪-⎝⎭A B A B ，故原式77354921⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪- ⎪-⎝⎭AB . (2) 11112122212211001000310010000100013100210214-⎛⎫⎛⎫⎪⎪--⎛⎫⎛⎫⎪⎪=⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎪⎪-⎝⎭⎝⎭A B A A B B 00 11112111222122220⎛⎫=⎪+⎝⎭A B A B A B A B 2000400010000056⎛⎫⎪ ⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭. 2. 设34004300,0024002⎛⎫⎪-⎪= ⎪⎪⎝⎭A 求2k A . 解 设123424,4302⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A A ，则2134342504343025⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭A ，24221112250025⎛⎫==⋅⋅⋅⎪⎝⎭A A A ，，由数学归纳法可得21250025kkk ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ,同理可得1224404kk kk k +⎛⎫= ⎪⎝⎭A .于是，有221212250000025000044004kk k kk k k k k +⎛⎫ ⎪⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭A A A .3. 设A 为m n ⨯实矩阵，若,T=A A 0则=A 0.证 将A 按列分块：12=(,,,)n ⋅⋅⋅A βββ，则12T T TT n ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ββA β，于是1111212212221212(,,,)T T T T n T T T T Tn n T T T Tn n n n n ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ββββββββββββββA A ββββββββββ， 由,T =A A 0得0(1,2,,)T i i i n ==ββ,又因A 为实矩阵，故(1,2,,)0i i n ==β，故=A 0.4. 设120000=00n a a a ⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭A ，其中当i j ≠时i j a a ≠(,1,2,,)i j n =.证明：与A可交换的矩阵只能是对角矩阵.证 设1111n n nn b b b b ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭B 与A 可交换，即 11111111110000000000n n n n nn n nn n a b b b b a a b b b b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即11111211111212122122222121222212211222n n n n n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于1,,n a a 互异，比较非对角元素得i ij j ij a b a b = 即0i j ij a a b =(-)，于是0()ij b i j =≠,故与A 可交换的矩阵1122000000000000nn b b b ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭B 为对角阵. 5. 当太空卫星发射之后，为使卫星在精确计算过的轨道上运行，需要校正它的位置.雷达屏幕给出一组矩阵1,,k x x ，它们给出卫星在不同时间里的位置与计划轨道的比较.设()12,,,k k =X x x x ,矩阵Tk k k=G X X 需要在雷达分析数据时计算出来，当1k +x 到达时，新的1k +G 必须计算出来.因数据矩阵高速达到，所以计算负担很重，而分块矩阵的计算在其中起了很大的作用.试写出从k G 计算1k +G 的矩阵形式. 解 由于()12,,,k k =X x x x ,所以()11,k k k ++=X X x ,又Tk k k=G X X ,因此 ()1111111,T TT T k k k k k k k k k k T k +++++++⎛⎫===+ ⎪⎝⎭X G X X X x X X x x x . 习题1.41. 设A 是三阶方阵，将A 的第1列与第2列变换得到B ，再把B 的第2列加到第3 列得到C ，以满足=AQ C 的可逆矩阵Q 为( ).01001001001()100;()101;()100;()100101001011001A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 分析 C 是对A 实行两次初等列变换得到的，因此C 可由A 与初等矩阵的乘积表示.解 −−−−→A B 初等列变换，即为010100001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B A ，−−−−→B C 初等列变换，即为100011001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭C B ，所以010100011100011100001001001C A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.因此应选()D .2. 把下列矩阵化为行最简形矩阵：10210231(1)2031;(2)0343;30430471--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 11343231373354112024(3);(4)22320328303342123743----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭.解 10050105(1)0013;(2)0013;00000000⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 11023102020012201103(3);(4)00000000140000000000---⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 3. 设111213113112321333212223212223313233313233333,a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭A B ，问B 是A 经过哪种类型的初等变换得到的？并写出相应的初等矩阵.解 111213212223313233103(3(3),1)010001a a a a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B E A . 4. 设201413411234⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭A .(1) 求(1(2),2)E A ; (2) (2,3)E A ; (3) (3(2))E A .解 10020142014(1)(1(2),2)01013411341201123452512⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭E A ; 1002014201(2)(2,3)00113411234010********⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭E A ; 100201421(3)(3(2))0101341134100212342468⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭E A. 5. 把矩阵4321⎛⎫=⎪⎝⎭A 表示成初等矩阵的乘积.解 12212432121214301r r r r ↔-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=−−−→−−−→⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭A1121220100101r r r ⨯-⎛⎫⎛⎫−−−→−−−→= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭E即(1,2)(1(2),2)(2(1),1)(1(2))=A E E E E习题1.51. 设航线图如图1-3所示，(1) 写出邻接矩阵；(2) 求出顶点3V 到1V 长为3条航线的条数；(3) 是否存在从顶点4V 到2V 的长为3的航路？ 图1-3解 （1）0100001111011000⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ； （2）2条：3241V V V V →→→；3231V V V V →→→；.（3）不存在 32101121122120011⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A . 2. 设{}123456,,,,,X x x x x x x =表示6个人的集合.用R 表示他们彼此之间的相貌相像的程度,如表1-3，表中i x 行和j x 列交叉处的数字表示第i 个人i x 与第j 个人j x 的相貌的相像程度，则R 是X 上的Fuzzy 关系，其隶属函数(,)R i j x x μ就是i x 行与j x 列交叉处的数字，又(,)R i i x x μ=1表示任何个人自身与自身完全相象，(,)(,)R i j R j i x x x x μμ=表示第i 个人i x 与第j 个人j x 的相貌的相像程度与j x 和i x 的相像程度相同，写出这个Fuzzy 矩阵，并求出它的合成.解 10.8210.820.200.850.350.650.82100.900.120.120.20010.120.850.250.850.900.1210.250.200.350.120.850.251⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A ，210.820.820.200.820.350.8210.850.350.850.350.820.8510.200.900.350.200.350.2010.250.850.820.850.900.2510.350.350.350.350.850.351⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭A A A .复习题一1. 若1122125212111231c a c b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ ⎪-⎝⎭C ，则=C _________. 解 由415a +-=，得110,4a c ==;又由1261b -++=-，得223,7b c =-=-. 答案4517⎛⎫⎪--⎝⎭.2. 设α为3行的列矩阵，若111111111T -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭αα，则=ααT_________.解 设(,,)T x y z =α,则222Tx xy xz xyy yz xz yzz ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭αα，故2221x y z ===.因而 2223T x y z =++=αα.答案为3.3. 设111213122223212223111213313233311132123313,a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭A B ,1010100001⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ,2100010101⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭P ，则必有__________.(A )12=AP P B ; (B)12P P A =B ;(C)21AP P =B ;(D)21P P A =B .解 解法一 选(B).首先，用初等矩阵右乘A 表示A 作行变换，故可排除(A),(C).2P A 表示将A 的第1行加于第3行，12()P P A 表示再将1,2两行变换.解法二 此题考察矩阵的初等变换和初等矩阵，比较矩阵A 和B ，可发现把矩阵A 的 第一行加到第三行，再把第二行与第一行互换，则可得到矩阵B ,而对矩阵做初等行变换，就相当于对矩阵左乘相应的初等矩阵，故上述过程恰相当于先对A 左乘2P ，再左乘1P ，即12P P A =B ，应选(B).4. 设1212(,,,),(,,,)n n a a a b b b ==αβ，求(1) ,TTαβαβ；(2) 令求T=γαβ，求kγ.解 (1) 12121122(,,,)Tn n n n b ba a a ab a b a b b ⎛⎫⎪ ⎪==+++ ⎪ ⎪⎝⎭αβ，()1111212212221212n n Tn n n n n n a a b a b a b a a b a b a b b b b a a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭αβ. (2) ()()()kTTT =γαβαβαβ ()()()T T T T =αβαβαβαβ11()nTk i j i a b-==∑αβ11()nk Ti j i a b -==∑αβ11()nk i j i a b -==∑γ.5. 设()12=+A B E ，证明：2=A A 当且仅当2=B E . 证 先证必要性设2=A A ，因为()()()2221112242⎡⎤=+=++==+⎢⎥⎣⎦A B E B B E A B E ，即 ()22222++=+=+B B E B E B E ，所以2=B E .再证充分性设2=B E ，则有()()()2211122442=++=++=+=A B B E E B E B E A . 6. 任意一个n n ⨯矩阵都可以表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和.证 任一n n ⨯矩阵都可以表示为：22T T+-=+A A A A A ，因为 222T T T⎛⎫+++== ⎪⎝⎭A A A A A A ， 即2T +A A 为对称矩阵，又222TT T T ⎛⎫---==- ⎪⎝⎭A A A A A A ，即2T-A A 为反对称矩阵. 7. 证明：如果A 是实对称矩阵且=A 20，那么=A 0.证 设111nn n nn a a a a ⎛⎫⎪=⎪⎪⎝⎭A ,因为T=A A ,所以 2221112122222122222212******nnn n nn a a a a a a a a a T⎛⎫+++⎪+++⎪=== ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭A AA AA , 又因为=A 20，所以222120,12,i i in a a a i n+++==,,.由于()12,,;12,,ij a i n j n ==,,均为实数，故有120i i in a a a ===，12,,i n =,.即=A 0.8. 设,A B 均为n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充要条件是A 与B 可变换.证 由于,A B 是对称的，故,T T==A A B B ，如果=AB BA ，则可得()TT T ===AB B A BA AB ，即乘积AB 是对称的.反之，若AB 是对称的，即()T =AB AB ,则()TT T===AB AB B A BA ，即A 与B是可变换的.9. 设A 是任一方阵，证明,T T +A A AA 均为对称矩阵. 证 ()()()(),TTTTT TTT T T TT +=+=+==A AA A A A A AAA A A. 10. 设111222333⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，求24100,,A A A .解 ()121,1,13⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,所以()()()()2111121,1,121,1,1261,1,1621,1,163333⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪====⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦A A ,同理34100996,6==A A A A .11. 设111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，试计算mA ，其中m 为正整数. 解 为简化高阶幂mA 的计算，首先将其分解为一个列向量与一个行向量的乘积，为此令()()1212,,,,,,,Tn n a a a b b b ==αβ，则=A αβ，且1212(,,,)n n i i i n a a b b b a b a ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭∑βα 为一个数.为方便计算，令λ=βα,则()()()()()()1111.mmm m m m λλ----======βαA αβαβαβαββαβαβαβαβαββααβαβA 个12. 设11r r a a ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭E A E ，其中当i j ≠时i a ≠j a (),1,2,i j n =，i E 是i n 阶单位矩阵，1ri i n n ==∑.证明：与A 可交换的矩阵只能是准对角矩阵1r ⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭A A ，其中i A 是i n 阶矩阵.证 设1112112r r r rr ⎛⎫⎪=⎪ ⎪⎝⎭B B B B B B B 与A 可变换，其中B 与A 分块方式相同， 111211112111111212r r r r r r rr r r rr r r a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭B B B B B B E E E B B B B B B E ， 即111112111112121121112r r r r r r r r rr r r r rr a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B B B B B B BB B B B B ,由于12,r a a a 互异，比较非对角块元素得i ij j ij a a =B B ，即()0i j ij a a -=B ，于是()0ij i j =≠B ， 因此与A 可交换的矩阵1122rr ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭B B B B 是准对角矩阵.。

第一章 向量代数习题1.11. 试证向量加法的结合律，即对任意向量,,a b c 成立()().a b c a b c ++=++证明：作向量,,AB a BC b CD c ===（如下图），则 ()(),a b c AB BC CD AC CD AD ++=++=+=()(),a b c AB BC CD AB BD AD ++=++=+=故()().a b c a b c ++=++2. 设,,a b c 两两不共线，试证顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是0.a b c ++=证明：必要性，设,,a b c 的终点与始点相连而成一个三角形ABC ∆，则0.a b c AB BC CA AC CA AA ++=++=+== 充分性，作向量,,AB a BC b CD c ===，由于0,a b c AB BC CD AC CD AD =++=++=+=所以点A 与D 重合，即三向量,,a b c 的终点与始点相连构成一个三角形。

ABCabcABCDabca b +b c +3. 试证三角形的三中线可以构成一个三角形。

证明：设三角形ABC ∆三边,,AB BC CA 的中点分别是,,D E F （如下图），并且记,,a AB b BC c CA ===，则根据书中例 1.1.1，三条中线表示的向量分别是111(),(),(),222CD c b AE a c BF b a =-=-=- 所以，111()()()0,222CD AE BF c b a c b a ++=-+-+-=故由上题结论得三角形的三中线,,CD AE BF 可以构成一个三角形。

4. 用向量法证明梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。

证明：如下图，梯形ABCD 两腰,BC AD 中点分别为,E F ，记向量,AB a FA b ==，则,DF b =而向量DC 与AB 共线且同向，所以存在实数0,λ>使得.DC AB λ=现在,FB b a =+,FC b a λ=-+由于E 是BC 的中点，所以1111()()(1)(1).2222FE FB FC b a a b a AB λλλ=+=++-=+=+且 111(1)()().222FE AB AB AB AB DC λλ=+=+=+ 故梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。

解：4234231142342311)1342(4432231144322311)1324()1()1(a a a a a a a a a a a a a a a a =--=-ττ4.计算abcdef abcdef abcdef abcdef efcf bfde cd bdae ac ab r r r r c c c r f r d r a c ec c c b 420020111111111111111111111)1(12133213213211,1,11,1,1-=--=--=---=-----++5．求解下列方程10132301311113230121111112121)1(12322+-++-++=+-++-+=+-+-+++x x x x x x x x x x x x c c r r 1132104201)3(113210111)3(21+-+--++=+-+-++=-x x x x x x x x x r r 3,3,30)3)(3(11421)3(3212-==-==-+=+---++=x x x x x x x x x 得二列展开cx b x a x b c a c a b x c x b x a c b a x c b a x c b a x ====------=32133332222,,0))()()()()((1111)2(得四阶范得蒙行列式6.证明322)(11122)1(b a b b a a b ab a -=+右左证明三行展开先后=-=-=-----=----=+=+--323322222)(11)()()()1(100211122)1(:2132b a b a b a ba ba b a b b a a b b a b a b b ab ab a b b a ab ab ac c c c1432222222222222222222222222(1)(2)(3)(1)2369(1)(2)(3)(1)2369(3))(1)(2)(3)(1)2369(1)(2)(3)(1)2369c c c ca a a a a a a ab b b b b b b b cc c c cc c cd d d d d d d d --++++++++++++==++++++++++++二三列成比例))()()()()()((1111)4(44442222d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a dcbad c b a D +++------==44444333332222211111)(x d c b a xdcbax d c b a x d c b a x f 五阶范得蒙行列式解考虑函数=（5）))()()()()()(())()()()()()(()()())()()()()()()()()((454545453453d c d b c b d a c a b a d c b a A M D d c d b c b d a c a b a d c b a A ，A x x f ，Ｍx x f D a b b c a b c d b d a d d x c x b x a x ------+++-==------+++-=----------=于是的系数是中而对应的余子式中是（5）n n a a a a a xx x x 12101000000000100001----解：nn n n n n n n n n nn x a x a a x a x a a a a a a a xx x x D +++=-++--+--=---=+++-++++-10)1()1(1211110121)1()1()1()1()1(1000000000100001按最后一行展开7、设n 阶行列式)det(ij a D =把D 的上下翻转、或逆时针旋转090、或依副对角线翻转、依次得111131111211111,,a a a a D a a a a D a a a a D n n nn n nn n nnnn=== 证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(证明：将D 上下翻转，相当于将对D 的行进行)1(21-n n 相邻对换得1D ，故D D n nn 2)1(1)1(--=将D 逆时针旋转090相当于将T D 上下翻转，故D n n D n n D T 2)1(2)1(2-=-=D 依副对角线翻转相当于将D 逆时针旋转090变为2D ， 然后再2D 左右翻转变为3D ，故D D D D n n n n n n =--=-=---2)1(2)1(22)1(3)1()1()1(8、计算下列行列式（k D 为k 阶行列式）（1）aa D n 11=，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；解：)1()1(0100)1(1122211111-=-+=-+==--++-+a a a a a aa a a D n n n n n n n n n n 列展开按行展开按（2）x a a a x a a a x D n=解：xaa x a a a n x x a aa x a a a x D nc c c n111])1([21-+==+++12)]()1([0001])1([1--≥--+=---+=n r r k a x a n x ax a x a a a n x k(3)111111)()1()1()()1()1(11111n a n a a a n a n a a a n a n a a a D n n n n n nnm n -+---+---+--=----+解：11111(1)(1)22111111(1)(1)()(1)(1)()111111111111()()()((1)(1)()(1)(1)()n nnn n n n n n n n n n n j i n n n n mnnna a a n a n a a a n a n D a a a n a n a a a n a n j i a a a n a n a a a n a n ----++++≥>≥------+---+-=--+---+-=-=--=--+---+-∏上下翻11)n j i i j +≥>≥-∏（4）n n nnn d c d c b a b a D11112=（未写出的均为0）解：)1(2)1(211112)(02232--↔↔-===n n n n n n n nnn r r c c nnnnn D c b d a D d c b a d c d c b a b a D mn得递推公式)1(22)(--=n n n n n n D c b d a D ，而11112c b d a D -=递归得∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)det(),||n ij ij D a a i j ==-解111,2,,1120121111110121111210311111230123010001200(1)(1)211201231i i j r r n i n c c n n n n D n n n n n n n n n n n n +-=-+-------==-------------==---------解:11211*222,3,,1111111(6)1111111111101111000111100:01111i n nr r n i n nna a D a a a a a D D a a -=+++=++-+-===+-解111211121,2,,12111(1)1110001(1)0000i inc c na n i ni ina a a a a a a a a a ++==++++==+∑9．设3351110232152113-----=D ，D 的),(j i 元的代数余子式为ij A ，求44333231223A A A A +-+解：24335122313215211322344333231=-----=+-+A A A A。

第一章 行列式4.计算下列各行列式：（1）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢7110025*********4； （2）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢-265232112131412； （3）⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎣⎢---ef cf bf de cd bd ae ac ab ； （4）⎥⎥⎥⎥⎦⎥⎢⎢⎢⎢⎣⎢---d c b a100110011001解(1)7110025102021421434327c c c c --0100142310202110214---=34)1(143102211014+-⨯---=143102211014-- 321132c c c c ++1417172001099-=0(2)2605232112131412-24c c -2605032122130412-24r r -0412032122130412- 14r r -0000032122130412-=0(3)ef cf bf de cd bd ae ac ab ---=ec b e c b ec b adf ---=111111111---adfbce =abcdef 4(4)d c b a 100110011001---21ar r +dc b a ab 100110011010---+=12)1)(1(+--dc a ab 10111--+23dc c +010111-+-+cd c ada ab =23)1)(1(+--cdadab +-+111=1++++ad cd ab abcd5.证明: (1)1112222b b a a b ab a +=3)(b a -; (2)bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax +++++++++=y x z x z y z y x b a )(33+;(3)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a ;(4)444422221111d c b a d c b a d c b a ))()()()((d b c b d a c a b a -----=))((d c b a d c +++-⋅;(5)1221100000100001a x a a a a x x x n n n +-----n n n n a x a x a x ++++=--111 . 证明(1)00122222221312a b a b a a b a ab a c c c c ------=左边a b a b a b a ab 22)1(22213-----=+21))((a b a a b a b +--=右边=-=3)(b a(2)bz ay by ax z by ax bx az y bx az bz ay x a ++++++分开按第一列左边bzay by ax x by ax bx az z bxaz bz ay y b +++++++ ++++++002y by ax z x bx az y z bz ay x a 分别再分bzay y x by ax x z bxaz z y b +++z y x y x z x z y b y x z x z y z y x a 33+分别再分右边=-+=233)1(yx z x z y zy x b y x z x z y z y x a(3) 2222222222222222)3()2()12()3()2()12()3()2()12()3()2()12(++++++++++++++++=d d d d d c c c c c b b b b b a a a a a 左边9644129644129644129644122222141312++++++++++++---d d d d c c c c b b b b a a a a c c c c c c 964496449644964422222++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 分成二项按第二列964419644196441964412222+++++++++d d d c c c b b b a a a 949494949464222224232423d d c c b b a a c c c c c c c c ----第二项第一项06416416416412222=+ddd c c c bb b a a a (4) 444444422222220001ad a c a b a ad a c a b a ad a c a b a ---------=左边=)()()(222222222222222a d d a c c a b b a d a c a b ad a c a b --------- =)()()(111))()((222a d d a c c a b b a d a c ab a d ac a b ++++++--- =⨯---))()((ad a c a b )()()()()(00122222a b b a d d a b b a c c a b b bd b c a b +-++-++--+ =⨯-----))()()()((b d b c a d a c a b )()()()(112222b d a b bd d b c a b bc c ++++++++=))()()()((d b c b d a c a b a -----))((d c b a d c +++-(5) 用数学归纳法证明.,1,2212122命题成立时当a x a x a x a x D n ++=+-==假设对于)1(-n 阶行列式命题成立，即 ,122111-----++++=n n n n n a x a x a x D:1列展开按第则n D1110010001)1(11----+=+-x xa xD D n n n n 右边=+=-n n a xD 1 所以，对于n 阶行列式命题成立.6.设n 阶行列式)det(ij a D =,把D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转，依次得n nn n a a a a D 11111 =， 11112n nn n a a a a D = ，11113a a a a D n nnn =，证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(.证明 )det(ij a D =nnn n nn n nn n a a a a a a a a a a D 2211111111111)1(--==∴ =--=--nnn n nnn n a a a a a a a a 331122111121)1()1( nnn n n n a a a a 111121)1()1()1(---=--D D n n n n 2)1()1()2(21)1()1(--+-+++-=-=同理可证nnn n n n a a a a D 11112)1(2)1(--=D D n n T n n 2)1(2)1()1()1(---=-= D D D D D n n n n n n n n =-=--=-=----)1(2)1(2)1(22)1(3)1()1()1()1(7.计算下列各行列式（阶行列式为k D k ）：(1)a aD n 11=,其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；(2)xaaax aa a x D n=; (3) 1111)()1()()1(1111n a a a n a a a n a a a D n n n n n n n ------=---+; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) nnnnn d c d c b a b a D000011112=; (5)j i a a D ij ij n -==其中),det(;(6)nn a a a D +++=11111111121 ,021≠n a a a 其中.解(1) aa a a a D n 00010000000000001000 =按最后一行展开)1()1(100000000000010000)1(-⨯-+-n n n aa a)1)(1(2)1(--⋅-+n n na aa(再按第一行展开)n n n nn a a a+-⋅-=--+)2)(2(1)1()1(2--=n n a a )1(22-=-a a n(2)将第一行乘)1(-分别加到其余各行，得ax x a ax x a a x x a aa a x D n ------=0000000 再将各列都加到第一列上，得ax ax a x aaa a n x D n ----+=000000000)1( )(])1([1a x a n x n --+=- (3) 从第1+n 行开始，第1+n 行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经)1(-n 次对换换到第2行…，经2)1(1)1(+=++-+n n n n 次行交换，得 nn n n n n n n n n a a a n a a a n a a aD )()1()()1(1111)1(1112)1(1-------=---++此行列式为范德蒙德行列式∏≥>≥++++--+--=112)1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D∏∏≥>≥+++-++≥>≥++-•-•-=---=111)1(2)1(112)1()][()1()1()]([)1(j i n n n n n j i n n n j i j i∏≥>≥+-=11)(j i n j i(4) nn nnn d c d c b a b a D 011112=nn n n n nd d c d c b a b a a 0000000011111111----展开按第一行0000)1(1111111112c d c d c b a b a b nn n n n nn ----+-+2222 ---n n n n n n D c b D d a 都按最后一行展开由此得递推公式：222)(--=n n n n n n D c b d a D即 ∏=-=ni i i iin D c b da D 222)(而 111111112c b d a d c b a D -==得 ∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)j i a ij -=432140123310122210113210)det( --------==n n n n n n n n a D ij n ,3221r r r r --0432111111111111111111111 --------------n n n n,,141312c c c c c c +++152423210222102210002100001---------------n n n n n =212)1()1(----n n n(6)nn a a D a +++=11111111121,,433221c c c c c c ---n n n n a a a a a a a a a a +-------10000100010000100010001000011433221 展开（由下往上）按最后一列))(1(121-+n n a a a a nn n a a a a a a a a a --------00000000000000000000000000022433221 nn n a a a a a a a a ----+--000000000000000001133221 ++ nn n a a a a a a a a -------000000000000000001143322n n n n n n a a a a a a a a a a a a 322321121))(1(++++=---)11)((121∑=+=ni in a a a a8.用克莱姆法则解下列方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++;01123,2532,242,5)1(4321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=++=++=++=+.15,065,065,065,165)2(5454343232121x x x x x x x x x x x x x解 (1)11213513241211111----=D 8120735032101111------=145008130032101111---=1421420005410032101111-=---= 112105132412211151------=D 11210513290501115----=1121023313090509151------=2331309050112109151------=1202300461000112109151-----=14200038100112109151----=142-=112035122412111512-----=D 811507312032701151-------=3139011230023101151-=2842840001910023101151-=----=426110135232422115113-=----=D ; 14202132132212151114=-----=D1,3,2,144332211-========∴DDx D D x D D x D D x (2) 510006510006510006510065=D 展开按最后一行61000510065100655-'D D D ''-'=65 D D D ''-'''-''=6)65(5D D '''-''=3019D D ''''-'''=1146566551141965=⨯-⨯=(,11的余子式中为行列式a D D ',11的余子式中为a D D ''''类推D D ''''''',) 51001651000651000650000611=D 展开按第一列6510065100650006+'D 46+'=D 460319+''''-'''=D 1507=51010651000650000601000152=D 展开按第二列5100651006500061-6510065000610005-365510651065⨯-= 1145108065-=--=51100650000601000051001653=D 展开按第三列51006500061000516500061000510065+6100510656510650061+= 703114619=⨯+=51000601000051000651010654=D 展开按第四列61000510065100655000610005100651--51065106565--=395-= 110051000651000651100655=D 展开按最后一列D '+10005100651006512122111=+= 665212;665395;665703;6651145;665150744321=-==-==∴x x x x x ． 9.齐次线性方程组取何值时问,,μλ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0200321321321x x x x x x x x x μμλ有非零解？解 μλμμμλ-==12111113D ， 齐次线性方程组有非零解，则03=D即 0=-μλμ 得 10==λμ或不难验证，当,10时或==λμ该齐次线性方程组确有非零解.10.齐次线性方程组取何值时问,λ⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ 有非零解？解λλλ----=111132421D λλλλ--+--=101112431)3)(1(2)1(4)3()1(3λλλλλ-------+-=3)1(2)1(23-+-+-=λλλ 齐次线性方程组有非零解，则0=D得 32,0===λλλ或不难验证，当32,0===λλλ或时，该齐次线性方程组确有非零解.第二章 矩阵及其运算1. 已知线性变换:⎪⎩⎪⎨⎧++=++=++=3213321232113235322y y y x y y y x y y y x ,求从变量x 1, x 2, x 3到变量y 1, y 2, y 3的线性变换.解 由已知:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321323513122y y y x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3211221323513122x x x y y y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321423736947y y y , ⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=+--=321332123211423736947x x x y x x x y x x x y .2. 已知两个线性变换⎪⎩⎪⎨⎧++=++-=+=32133212311542322y y y x y y y x y y x , ⎪⎩⎪⎨⎧+-=+=+-=323312211323z z y z z y z z y , 求从z 1, z 2, z 3到x 1, x 2, x 3的线性变换.解 由已知⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛221321514232102y y y x x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321310102013514232102z z z⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=321161109412316z z z , 所以有⎪⎩⎪⎨⎧+--=+-=++-=3213321232111610941236z z z x z z z x z z z x .3. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B , 求3AB -2A 及A T B . 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1111111112150421321111111111323A AB ⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2294201722213211111111120926508503, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=092650850150421321111111111B A T . 4. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+⨯+⨯⨯+⨯-+⨯⨯+⨯+⨯=102775132)2(71112374⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=49635. (2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(; 解 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(=(1⨯3+2⨯2+3⨯1)=(10).(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛; 解 )21(312-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯=23)1(321)1(122)1(2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=632142. (4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412 ; 解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-20413121013143110412⎪⎭⎫ ⎝⎛---=6520876. (5)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x ; 解⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321332313232212131211321)(x x x a a a a a a a a a x x x =(a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3 a 12x 1+a 22x 2+a 23x 3 a 13x 1+a 23x 2+a 33x 3)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321x x x322331132112233322222111222x x a x x a x x a x a x a x a +++++=.5. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=3121A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101B , 问: (1)AB =BA 吗?解 AB ≠BA .因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=6443AB , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8321BA , 所以AB ≠BA .(2)(A +B)2=A 2+2AB +B 2吗?解 (A +B)2≠A 2+2AB +B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=+52225222)(2B A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2914148, 但 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++43011288611483222B AB A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=27151610, 所以(A +B)2≠A 2+2AB +B 2.(3)(A +B)(A -B)=A 2-B 2吗?解 (A +B)(A -B)≠A 2-B 2.因为⎪⎭⎫ ⎝⎛=+5222B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1020B A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=-+906010205222))((B A B A , 而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-718243011148322B A , 故(A +B)(A -B)≠A 2-B 2.6. 举反列说明下列命题是错误的:(1)若A 2=0, 则A =0;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0010A , 则A 2=0, 但A ≠0. (2)若A 2=A , 则A =0或A =E ;解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011A , 则A 2=A , 但A ≠0且A ≠E . (3)若AX =AY , 且A ≠0, 则X =Y .解 取⎪⎭⎫ ⎝⎛=0001A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111X , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011Y , 则AX =AY , 且A ≠0, 但X ≠Y .7. 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λA , 求A 2, A 3, ⋅ ⋅ ⋅, A k . 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=12011011012λλλA , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛==1301101120123λλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎪⎭⎫ ⎝⎛=101λk A k . 8. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλ001001A , 求A k . 解 首先观察⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=λλλλλλ0010010010012A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=222002012λλλλλ, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=3232323003033λλλλλλA A A , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=43423434004064λλλλλλA A A ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅=545345450050105λλλλλλA A A , ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅,⎝⎛=k A k k k k k k k k k k λλλλλλ0002)1(121----⎪⎪⎪⎭⎫ . 用数学归纳法证明:当k =2时, 显然成立.假设k 时成立，则k +1时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅=---+λλλλλλλλλ0010010002)1(1211k k k k k k k k k k k k A A A ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=+-+--+11111100)1(02)1()1(k k k k k k k k k k λλλλλλ, 由数学归纳法原理知:⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=---k k k k k k k k k k k A λλλλλλ0002)1(121. 9. 设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B T AB 也是对称矩阵. 证明 因为A T =A , 所以(B T AB)T =B T (B T A)T =B T A T B =B T AB ,从而B T AB 是对称矩阵.10. 设A , B 都是n 阶对称矩阵，证明AB 是对称矩阵的充分必要条件是AB =BA . 证明 充分性: 因为A T =A , B T =B , 且AB =BA , 所以(AB)T =(BA)T =A T B T =AB ,即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB)T =AB , 所以AB =(AB)T =B T A T =BA .11. 求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=5221A . |A|=1, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225*22122111A A A A A , 故*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1225. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθcos sin sin cos ; 解⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A . |A|=1≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=θθθθcos sin sin cos *22122111A A A A A , 所以*||11A A A =-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos . (3)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121; 解 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A . |A|=2≠0, 故A -1存在. 因为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=214321613024*332313322212312111A A A A A A A A A A , 所以 *||11A A A =-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=1716213213012.(4)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021(a 1a 2⋅ ⋅ ⋅a n≠0) .解 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a a A 0021, 由对角矩阵的性质知⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n a a a A 10011211 . 12. 解下列矩阵方程:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X ; 解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12642153⎪⎭⎫ ⎝⎛-=80232. (2)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--234311*********X ; 解 1111012112234311-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎭⎫ ⎝⎛-=03323210123431131 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=32538122. (3)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-101311022141X ;解 11110210132141--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=X⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=210110131142121 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=21010366121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=04111. (4)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X . 解 11010100001021102341100001010--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=X⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010100001021102341100001010⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=201431012. 13. 利用逆矩阵解下列线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++3532522132321321321x x x x x x x x x ;解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321153522321321x x x , 故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0013211535223211321x x x , 从而有 ⎪⎩⎪⎨⎧===001321x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+=--=--05231322321321321x x x x x x x x x .解 方程组可表示为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----012523312111321x x x ,故 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3050125233121111321x x x , 故有 ⎪⎩⎪⎨⎧===305321x x x .14. 设A k =O (k 为正整数), 证明(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1. 证明 因为A k =O , 所以E -A k =E . 又因为 E -A k =(E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1),所以 (E -A)(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)=E , 由定理2推论知(E -A)可逆, 且(E -A)-1=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.证明 一方面, 有E =(E -A)-1(E -A). 另一方面, 由A k =O , 有E =(E -A)+(A -A 2)+A 2-⋅ ⋅ ⋅-A k -1+(A k -1-A k ) =(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A),故 (E -A)-1(E -A)=(E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1)(E -A), 两端同时右乘(E -A)-1, 就有(E -A)-1(E -A)=E +A +A 2+⋅ ⋅ ⋅+A k -1.15. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E)-1.证明 由A 2-A -2E =O 得 A 2-A =2E , 即A(A -E)=2E ,或E E A A =-⋅)(21,由定理2推论知A 可逆, 且)(211E A A -=-.由A 2-A -2E =O 得A 2-A -6E =-4E , 即(A +2E)(A -3E)=-4E ,或E A E E A =-⋅+)3(41)2(由定理2推论知(A +2E)可逆, 且)3(41)2(1A E E A -=+-.证明 由A 2-A -2E =O 得A 2-A =2E , 两端同时取行列式得 |A 2-A|=2,即 |A||A -E|=2, 故 |A|≠0,所以A 可逆, 而A +2E =A 2, |A +2E|=|A 2|=|A|2≠0, 故A +2E 也可逆. 由 A 2-A -2E =O ⇒A(A -E)=2E⇒A -1A(A -E)=2A -1E ⇒)(211E A A -=-,又由 A 2-A -2E =O ⇒(A +2E)A -3(A +2E)=-4E⇒ (A +2E)(A -3E)=-4 E ,所以 (A +2E)-1(A +2E)(A -3E)=-4(A +2 E)-1,)3(41)2(1A E E A -=+-.16. 设A 为3阶矩阵,21||=A , 求|(2A)-1-5A*|.解 因为*||11A A A =-, 所以|||521||*5)2(|111----=-A A A A A |2521|11---=A A=|-2A -1|=(-2)3|A -1|=-8|A|-1=-8⨯2=-16. 17. 设矩阵A 可逆, 证明其伴随阵A*也可逆, 且(A*)-1=(A -1)*.证明 由*||11A A A =-, 得A*=|A|A -1, 所以当A 可逆时, 有|A*|=|A|n |A -1|=|A|n -1≠0,从而A*也可逆.因为A*=|A|A -1, 所以 (A*)-1=|A|-1A .又*)(||)*(||1111---==A A A A A , 所以(A*)-1=|A|-1A =|A|-1|A|(A -1)*=(A -1)*. 18. 设n 阶矩阵A 的伴随矩阵为A*, 证明: (1)若|A|=0, 则|A*|=0; (2)|A*|=|A|n -1. 证明(1)用反证法证明. 假设|A*|≠0, 则有A*(A*)-1=E , 由此得 A =A A*(A*)-1=|A|E(A*)-1=O ,所以A*=O , 这与|A*|≠0矛盾，故当|A|=0时, 有|A*|=0.(2)由于*||11A A A =-, 则AA*=|A|E , 取行列式得到|A||A*|=|A|n . 若|A|≠0, 则|A*|=|A|n -1;若|A|=0, 由(1)知|A*|=0, 此时命题也成立. 因此|A*|=|A|n -1.19. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=321011330A , AB =A +2B , 求B .解 由AB =A +2E 可得(A -2E)B =A , 故⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-=--321011330121011332)2(11A E A B ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=011321330.20. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A , 且AB +E =A 2+B , 求B .解 由AB +E =A 2+B 得 (A -E)B =A 2-E ,即 (A -E)B =(A -E)(A +E).因为01001010100||≠-==-E A , 所以(A -E)可逆, 从而⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+=201030102E A B .21. 设A =diag(1, -2, 1), A*BA =2BA -8E , 求B . 解 由A*BA =2BA -8E 得 (A*-2E)BA =-8E , B =-8(A*-2E)-1A -1 =-8[A(A*-2E)]-1 =-8(AA*-2A)-1 =-8(|A|E -2A)-1 =-8(-2E -2A)-1 =4(E +A)-1=4[diag(2, -1, 2)]-1)21 ,1 ,21(diag 4-==2diag(1, -2, 1).22. 已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A , 且ABA -1=BA -1+3E , 求B .解 由|A*|=|A|3=8, 得|A|=2. 由ABA -1=BA -1+3E 得 AB =B +3A ,B =3(A -E)-1A =3[A(E -A -1)]-1A11*)2(6*)21(3---=-=A E A E⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-1030060600600006603001010010000161. 23. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11.解 由P -1AP =Λ, 得A =P ΛP -1, 所以A 11= A=P Λ11P -1.|P|=3,⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1141*P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-1141311P ,而 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛-=Λ11111120 012001,故⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--=31313431200111411111A ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=68468327322731.24. 设AP =P Λ, 其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111201111P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ511, 求ϕ(A)=A 8(5E -6A +A 2).解 ϕ(Λ)=Λ8(5E -6Λ+Λ2)=diag(1,1,58)[diag(5,5,5)-diag(-6,6,30)+diag(1,1,25)] =diag(1,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0). ϕ(A)=P ϕ(Λ)P -1*)(||1P P P Λ=ϕ ⎪⎪⎭⎫⎝⎛------⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1213032220000000011112011112⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1111111114.25. 设矩阵A 、B 及A +B 都可逆, 证明A -1+B -1也可逆, 并求其逆阵. 证明 因为A -1(A +B)B -1=B -1+A -1=A -1+B -1,而A -1(A +B)B -1是三个可逆矩阵的乘积, 所以A -1(A +B)B -1可逆, 即A -1+B -1可逆.(A -1+B -1)-1=[A -1(A +B)B -1]-1=B(A +B)-1A .26. 计算⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=10211A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=30122A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=12131B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30322B ,则⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ,而⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=+4225303212131021211B B A ,⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=90343032301222B A ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2121B O B E A O E A ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=222111B A O B B A A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521, 即 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛30003200121013013000120010100121⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9000340042102521. 27. 取⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==1001D C B A , 验证|||||||| D C B A D C B A ≠.解4100120021100101002000021010010110100101==--=--=D C B A , 而01111|||||||| ==D C B A , 故|||||||| D C B A D C B A ≠. 28. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=22023443O O A , 求|A 8|及A 4. 解 令⎪⎭⎫ ⎝⎛-=34431A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=22022A ,则⎪⎭⎫⎝⎛=21A O O A A ,故8218⎪⎭⎫ ⎝⎛=A O O A A ⎪⎭⎫ ⎝⎛=8281A O O A ,1682818281810||||||||||===A A A A A .⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=464444241422025005O O A O O A A . 29. 设n 阶矩阵A 及s 阶矩阵B 都可逆, 求(1)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ;解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211C C C C O B A O , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛O B A O ⎪⎭⎫ ⎝⎛4321C C C C ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=s n E O O E BC BC AC AC 2143. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧====s n E BC O BC O AC E AC 2143⇒⎪⎩⎪⎨⎧====--121413B C O C O C A C ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---O A B O O B A O 111. (2)1-⎪⎭⎫ ⎝⎛B C O A .解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-43211D D D D B C O A , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛s n E O O E BD CD BD CD AD AD D D D D B C O A 4231214321. 由此得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==s n E BD CD O BD CD O AD E AD 423121⇒⎪⎩⎪⎨⎧=-===----14113211B D CA B D O D A D ,所以 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11111B CA B O A BC O A . 30. 求下列矩阵的逆阵:(1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛2500380000120025; 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=1225A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2538B , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--5221122511A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎭⎫ ⎝⎛=--8532253811B .于是 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----850032000052002125003800001200251111B A B A .(2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛4121031200210001. 解 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=2101A , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=4103B , ⎪⎭⎫ ⎝⎛=2112C , 则⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------1111114121031200210001B CA B O A BC O A⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=411212458103161210021210001.第三章 矩阵的初等变换与线性方程组1．把下列矩阵化为行最简形矩阵：(1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313021201; (2)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----174034301320; (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311; (4)⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132.解 (1) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--340313*********2)3()2(~r r r r -+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---020*********)2()1(32~-÷-÷r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--01003100120123~r r -⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--300031001201 33~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--100031001201323~r r +⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1000010012013121)2(~r r r r +-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100001000001(2) ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----1740343013201312)2()3(2~r r r r -+-+⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---31003100132021233~r r r r ++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031001002021~÷r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000031005010 (3) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---------12433023221453334311 141312323~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--------1010500663008840034311)5()3()4(432~-÷-÷-÷r r r ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----22100221002210034311 2423213~r r r r r r ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---00000000002210032011(4) ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------34732038234202173132 242321232~rr r r rr ---⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----1187701298804202111110141312782~rr r r r r --+⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--410004100020201111134221)1(~r r r r r --⨯↔⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----0000041000111102020132~rr +⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--000004100030110202012.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A 。

习题 1.11．计算下列二阶行列式．（1）5324；（2）ααααcos sin sin cos ．解（1）146205324=−=；（2）ααααcos sin sin cos αα22sin cos −=．2．计算下列三阶行列式．（1）501721332−−；（2）00000d c b a ；（3）222111c b a c b a ；（4）cb a b a ac b a b a a c b a ++++++232．解（1）原式62072)5(1)3(12317)3(301)5(22−=××−−××−−××−××−+××+−××=（2）原式00000000000=⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=d c b a c a d b ；（3）原式))()((222222b c a c a b c b ac b a c a ab bc −−−=−−−++=；（4）原式)()()2()23)((b a ac c b a ab b a ac c b a b a a +−++++++++=3)23())(2(a c b a ab c b a b a a =++−+++−．3．用行列式解下列方程组．（1）⎩⎨⎧=+=+35324y x y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++82683321321321x x x x x x x x x ；（3）⎩⎨⎧=−=+0231322121x x x x ；（4）⎪⎩⎪⎨⎧=−+=+=−−031231232132321x x x x x x x x ．解（1）75341−==D ，253421−==D ，333212−==D 所以721==D D x ，732==D D y ．（2）2121111113−==D ，21281161181−==D ，41811611832−==D ，68216118133−==D ；所以111==D D x ，222==D Dx ，333==DD x ．（3）132332−=−=D ，220311−=−=D ，303122−==D 所以1321==D D x ，1332==D D y ．（4）8113230121−=−−−=D ，81102311211−=−−−=D ，81032101112=−−=D ；20131301213=−=D 所以111==D D x ，122−==D Dx ，333==DD x ．4．已知xx x x x x f 21112)(−−−=，求)(x f 的展开式．解xxx x x x f 21112)(−−−=22)(11)(1)(111)(2)()(2⋅⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−−⋅⋅+−⋅⋅−+⋅−⋅=x x x x x x x x x x xx x 23223+−−=5．设b a ,为实数，问b a ,为何值时，行列式010100=−−−a b b a ．解01010022=−−=−−−b a a b b a 0,022==⇒−=⇒b a b a ．习题 1.21．求下列各排列的逆序数．（1）1527364；（2）624513；（3）435689712；（4）)2(42)12(31n n L L −．解（1）逆序数为14；62421527364it ↓↓↓↓↓↓↓ （2）逆序数为5；311624513it ↓↓↓↓↓↓ （3）逆序数为19；554310010435689712it ↓↓↓↓↓↓↓↓↓（4）逆序数为2)1(−n n ：2122210000421231↓↓−−−↓↓↓↓↓−n n n n t n i L L L L2．在由9,8,7,6,5,4,3,2,1组成的下述排列中，确定j i ,的值，使得（1）9467215j i 为奇排列；（2）4153972j i 为偶排列．解（1）j i ,为分别3和8；若8,3==j i ，则93411)946378215(=+++=τ，为奇排列；若3,8==j i ，则1234311)946873215(=++++=τ，为偶排列；（2）j i ,为分别6和8；若8,6==j i ，则205135231)397261584(=++++++=τ，为偶排列；若6,8==j i ，则215335131)397281564(=++++++=τ，为奇排列；3．在五阶行列式)det(ij a =D 展开式中，下列各项应取什么符号？为什么？（1）5145342213a a a a a ；（2）2544133251a a a a a ；（3）2344153251a a a a a ；（4）4512345321a a a a a ．解（1）因5)32451(=τ，所以前面带“-”号；（2）因7)53142(=τ，所以前面带“-”号；（3）因10)12543()53142(=+ττ，所以前面带“+”号；（4)因7)13425()25314(=+ττ，所以前面带“-”号．4．下列乘积中，那些可以构成相应阶数的行列式的项?为什么？（1）12432134a a a a ；（2）14342312a a a a ；（3）5514233241a a a a a ；（4）5512233241a a a a a ．解（1）可以，由于该项的四个元素乘积分别位于不同的行不同的列；（2）不可以，由于14342312a a a a 中的1434a a 都位于第四列，所以不是四阶行列式的项；（3）可以，由于该项的五个元素乘积分别位于不同的行不同的列；（4）不可以，由于5512233241a a a a a 中没有位于第四列的元素。

一、习题1参考答案1. 求下列排列的逆序数,并说明它们的奇偶性.（1）41253； （2）3712456； （3）57681234； （4）796815432 解（1）()4125330014τ=+++= 偶排列（2）()37124562500007τ=+++++= 奇排列（3）()576812344544000017τ=+++++++= 奇排列 （4）()7968154326755032129τ=+++++++= 奇排列 2. 确定i 和j 的值,使得9级排列.(1)1274569i j 成偶排列; (2)3972154i j 成奇排列. 解 (1) 8,3i j == (2) 8,6i j == 3.计算下列行列式.（1） 412－3－ （2） 2211a a a a ++-1 （3） cos sin sin cos x xx x -（5）2322a a bab （6） 1log log 3b aab （7） 000xy x z y z--- 解（1）131523125=⨯-⨯=- （2）4(3)2(1)4212=-⨯--⨯=-－3－ （3）()22322211(1)11a a a a a a a a a a =-++-=--++-1 （4）22cos sin cos sin 1sin cos x x x x x x -=+= （5）233232220a a a b a b bab =-=（6）1log 3log log 2log 3b b aa ab a b=-=(7) 0000000xyxz xyz xyz y z -=+----=--4. 当x 取何值时3140010xx x≠ ？ 解 因为314010xx x2242(2)x x x x =-=-所以当0x ≠且2x ≠时，恒有3140010xx x ≠5. 下列各项，哪些是五阶行列式ij a 中的一项；若是，确定该项的符号.1225324154(1);a a a a a 3112435224(2);a a a a a 4221351254(3)a a a a a解 (1)不是 (2)不是 (3)不是6. 已知行列式11121314212223243132333441424344a a a a a a a a a a a a a a a a ，写出同时含21a 和21a 的那些项，并确定它们的正负号.解 12213443a a a a (2143)2τ= 符号为正； 14213243a a a a (2134)1τ= 符号为负. 7. 用行列式定义计算下列行列式.(1) 11121314152122232425313241425152000000a a a a a a a a a a a a a a a a (2)020200002200(3) 01000200001000n n-解 （1）行列式的一般项为12345()1122334455(1)j j j j j j j j j j a a a a a τ-若345,,j j j 中有两个取1,2列，则必有一个取自3,4,5列中之一的零元素，故该行列式的值为零，即原式0=（2）行列式中只有一项(3241)13223441(1)16a a a a τ-=不为零，所以原式16= （3）行列式的展开项中只有(2,3,4)11223341,1(1)(1)!n n n n n a a a a a n τ---=- 一项不为零，所以原式1(1)!n n -=-8. 用行列式性质计算下列行列式.(1) 111314895（2）1234234134124123（3）41241202105200117⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（4）2141312112325062⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（5）ab ac aebd cd debf cf ef---（6）a b aa a bb a aa b a解 (1) 111314895321331r rr r--111021013--232r r-111005013--23r r↔111013005---5=(2)12342341341241232341c c c c+++10234103411041210123123413411014121123=121314r rr rr r-+-+-+123401131002220111------34222r rr r-+123401131000440004---160=(3)4124120210520011712r r↔12024124105200117-2131410r rr r--120207240152200117-----24r r↔120201170152200724----3242157r rr r++1202011700178500945342r r-12020117001500945=--(4) 2141312112325062-13r r↔1232312121415062--213141325r rr rr r---12320775032301098----------232r r -12320131032301098-3242310r r r r --123201310076002118----0=(5) abac ae bdcd de bfcfef---每列都提取公因式bc eadf bc e b c e ---每列都提取公因式111111111adfbce --- 1213r r r r ++11102020abcdef -23r r ↔11120002abcdef --4abcdef = (6）0000a b a a a b b a a a b a 4321r r r r +++2222000a b a b a b a ba a bb a a a b a ++++()11110200aa b a b b a a a ba =+121314ar r br r ar r -+-+-+()1111002000a b aa b a b b a b b a a --+----- 3232r r r r +-()11110020000a b aa b b b b b --+---=()2111100201100101a b a b a b --+--- 3424r r r ar ++()211110002200110101b a b a b -+---24c c ↔()211110101200110002b a b b a-+---()()2422224b a b b a b a b =+-=-9. 证明下列等式.(1) 111222222222111333333333a b c bc a c ab a bc a b c b c a c a b a b c =-+(2)11122122111211121112111221222122212221220000a a a a a a b b c c b b a a b b c c b b = (3) ax byay bzaz bxay bzaz bx ax by az bxax by ay bz +++++++++=33()xy z a b y z x zxy+(4) 222244441111a b c da b c d a b c d ()()()()()a b a c a d b c b d =-----()()c d a b c d ⋅-+++ 证明 （1）左式123123123321213132a b c b c a c a b a b c a b c a b c =++--- 133321233212332()()()a b c b c b a c a c c a b a b =---+-=222222111333333b c a c a b a b c b c a c a b -+=右式（2）1112212211121112212221220000a a a a c c b b c c b b 按第一行展开222111121112121111122221222121220000a a a c b b a c b b c b b c b b - 111211121122122121222122b b b b a a a a b b b b =-1112111221222122a ab b a a b b =(3) ax byay bzaz bxay bzaz bx ax by az bxax by ay bz +++++++++ 按第一列分开x ay bzaz bxa y az bx ax by z ax by ay bz ++++++ y ay bzaz bxb z az bx ax by x ax by ay bz +++++++2(0)xay bz z ay az bx x z ax by y +++++分别再分(0)yz az bxb z x ax by x y ay bz++++33x y z y z x a y z x b z x y zxy x yz +分别再分332(1)x y z x y za yz x b yz x z xy zxy=+-=右边 (4) 222244441111a b c d a b c d a b c d 213141c c c c c c --- 222222244444441000a b a c a d aa b a c a d a a b a c a d a --------- 按第一列展开222222222222222()()()b ac ad ab ac ad a b b a c c a d d a --------- 每列都提取公因式222111()()()()()()b ac ad a b a c a d a b b a c c a d d a ---++++++ 1213c c c c -+-+()()()b ac ad a ---222221()()()()()b ac bd bb b ac c a b b ad d a b b a +--++-++-+ 按第一列展开()()()()()b ac ad a c b d b -----222211()()()()c bc b a c bd bd b a d b ++++++++()()()()()a b a c a d b c b d =-----()()c d a b c d -+++10.设行列式30453221--,求含有元素2的代数余子式的和. 解 含有元素2的代数余子式是12222313A A A A +++()()()()345453343050111121212222--=-+-+-+---11161026=---=- 11. 设行列式3040222207005322=--D ,求第四行各元素余子式之和的值是多少? 解 解法一：第四行各元素余子式之和的值为41424344M M M M +++040340300304222222222222700000070070=+++---780314(7)(1)(2)28=-⨯++⨯+-⨯-⨯-=-解法二：第四行各元素余子式之和的值为4142434441424344M M M M A A A A +++=-+-+3040222207001111=---按第3行展开32340(7)(1)222111+----232r r +340704111--按第2行展开34282811-=---12.已知 1012110311101254-=-D ,试求: (1) 12223242A A A A -+- (2) 41424344A A A A +++ 解 (1)方法一：虽然可以先计算处每个代数余子式,然后再求和,但是这很烦琐.利用引理知道，第一列每个元素乘以第二列的代数余子式的和等于零。