苏版七年级平行线和全等三角形模型(拓展提优)

第十二章《证明》拓展提优卷5.字母a, b, c,d 各代表正方形、线段、正三角形、圆四个图形中的一种，将它们两两组合， 并用字母连接表示，如表是三种组合与对应的连接方式，由此可推断图形△的连接方式 为 .组合O连接b®dd@c6. 生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察 想不到的收获，如图所示的图(1) 图1中的• ABC 的度数为 (2) 图2中，已知AE // BC ,图2过模拟 3年模拟精编精炼 1•下列语句中，不是命题的是 ( )A.两直线平行，同位角相等 2 2C.若 a = b ，则 a =b 2.下列命题是假命题的是()B.画直线AB 垂直于直线CD D.等角的余角相等B. n 边形的内角和为180 (n -3)2 C.若 X —1 +(y —3) =0，贝U x=1,y =3 D.互补的两个角不可能都是锐角3.命题"若a 是偶数，则3a 是偶数”的逆命题是 A.若3a 是偶数，则a 是偶数 C.若3a 是奇数，则a 是偶数 4.如图， ABC 中，.ACB =90，沿CD 折叠 CBD ，使点B 恰好落在AC 边上的点E 处，若.A =25，则.BDC 等于( )C( )B.若3a 是偶数，则a D.若3a 是奇数，则a 是奇数是奇数A.44OB. 60oD. 70o生活，就会有许多意 1,图2是由同一副三角板拼凑得到的 .则一 AFD 的度数为 C. 67o7•如图，已知AB//CD ，试探究.B,. D,. BED 之间的关系，并说明理由8•下面的判断是否正确，为什么 ？(1) 对于所有的自然数 n , n 2的末位数字都不是 2.2(2) 当n =0,1,2,3,4,5时，n ，n 的值是偶数吗？你能否得到结论2n •n 的值都是偶数.9•如图，已知 1 二/ACB ，- 2 ，FH _ AB 于 H .(1) 求证：CD _ AB ;(2) 在上面的证明过程中应用了哪个互逆的真命题？:对于所有的自然数 n ，R10•探究发现探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 •那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢 ？如图甲，.FDC ，. ECD 为 ADC 的两个外角，则 A 与.FDC • . ECD 的数量关玄阜 系是探究二：四边形ABCD 中，.F 为四边形ABCD 中.ABC 的平分线及外角• DCE 的平分线所在的直线构成的锐角，若设• A =. D = 一：.⑵如图2，二心 180，请在图中画出• F ，且.F 二 __________________ ;（用:表示）（3） —定存在• F 吗?如一定，直接写出• F 的值，如不一定，直接指出:满足什么条过中考 5年真题强化闯关高频考点1定义、命题、基本事实和定理1•命题“如果a =b ，那么3a =3b ”的逆命题为 ___________ 2•已知下列命题: ①若旦1，则a b ;b②若 a +b = 0，贝U a = b ③等边三角形的三个内角都相等•⑴如图;（用芒，-表示）其中原命题与逆命题均为真命题的个数是A.1B.2C.3D.43.如图，从①Z 1 2，②.匕CD ，③乙A F 三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论所组成的命题中，正确命题的个数为（ ）4.对于命题“若a 2 b 2，则a b ，下面四组关于a,b 的值中，能说明这个命题是假命题的6. 如图，在直角三角形 ABC 中，• B 的度数是 _______________________________________________ 度.7.小明把一副含45 , 30的直角三角板如图摆放，其中• C = • F = 90 , - A = 45 ,D =30 ，则 — 等于（）A.180oB.210oC.360oD.270o是（) A. a =3,^=2 B. a - -3, b = 2 C. a = 3,b = -1D. a1,b =3 高频考点2证明与计算问题5.在“三角尺拼角”A. 0D. 3第7题图第*题图8.如图，CE是ABC的外角• ACD的平分线，若• B = 35 , ACE = 60 ,A =（）A. 35 oB. 95oC. 85oD. 75o9.如图，已知AB//CD , BC〃DE .若.A =20 , . C =120 ,则.AED 的度数是________ .10.如图，已知• AOB =7，—条光线从点A发出后射向OB边.若光线与OB边垂直，则光线沿原路返回到点A，此时.A = 90 -7 83 .当.A :：: 83时，光线射到OB边上的点A后，经OB反射到线段AO上的点A2，易知N1=N2 .若AA2丄AO，光线又会沿A?T A T A原路返回到点A，此时A二若光线从点A发出后，经若干次反射能沿原路返回到点A，则.A（. A为锐角）的最小值为11•如图1，E是直线AB,CD内部一点，AB // CD，连接EA,ED .（1）探究猜想：①若.A =30，. D =40，则.AED等于多少度？②若.A =20 ，■ D =60，则.AED等于多少度？③猜想图1中• AED，■ A，■ D的关系，并证明你的结论.（2）拓展应用：如图2，射线FE与长方形ABCD的边AB交于点E ,与边CD交于点F，①②③④ 分别是被射线FE隔开的4个区域（不含边界，其中区域③④位于直线AB上方），P是位于以上四个区域内的点，猜想：.PEB，. PFC，■ EPF的关系（不要求证明）.挑战区模拟中考一遍过过模拟3年模拟精编精炼1. B2. B3. A4. D5. a 二C6. 75 757. BED =/D「/B理由如下：如图，延长ED交AB于点G•/ AB//CD （已知）••• . AGE = . CDE （两直线平行，同位角相等）.又••• . AGE二/B • . DEB （三角形内角和定理的推论）•CDE =/B DEB•. DEB =/CDE - . B （等量代换）即三BED Z D Z B8. （1）正确•••任何自然数的个位数字只能是0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,它们的平方数的末位数字只能是0, 1 , 4, 5, 6, 9•- n2的末位数字都不是 2.⑵是，能.••• n2n = n（n 1）n,（ n 1）是两个连续的自然数，它们必是一奇一偶•它们的积必定是偶数9.（1）•••乙1 ZACB （已知）•DE // BC （同位角相等，两直线平行）, •乙2 ~ DCB （两直线平行，内错角相等）又•—2—3 （已知）• 3 = • DCB （等量代换）故CD // FH （同位角相等，两直线平行）•- FHB = CDB （两直线平行，同位角相等）,•/ FH _ AB（已知）•• FHB =90 （垂直的定义）•CDB =90•CD _ AB （垂直的定义）.（2）应用了“同位角相等，两直线平行”与“两直线平行，同位角相等”这两个互逆的真命题10.探究一 ：.FDC . ECD =180. A••: FDC =/A ACD , ECD =/A . ADC ••• FDC ECD "A ACD ADC =180 . A1探究二：(1) . FI J -9021(2) . F =90 (二• ■：■)2(3)乙F 不一定存在当＞ -.--180时，不存在F过中考 5年真题强化闯关 1. 如果3a =3b ，那么a =b 2. A 3. D 4. B 5. 120 6. 25 7. B 8. C 9. 80 10. 76611. (1)①当.A =30，■ D =40 时，.AED =3040 =70② 当 N A = 20°，厶D=60。

七年级下册平面图形的认识（二）：专题：平行线中的常见四大模型专题：平行线中的常见模型模型一：“猪蹄”模型（也称“M”模型）模型一“猪蹄”模型（M模型）点P在EF左侧，在AB、 CD内部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.典型例题例1：如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（ ）A．70° B．65° C．35° D．5°例2：如图，AD∥CE，∠ABC＝95°，则∠2﹣∠1的度数是（ ）A．105°B．95°C．85°D．75°例3：如图，直线a∥b，射线DF与直线a相交于点C，过点D作DE⊥b于点E，已知∠1＝25°，求∠2的度数．例4：如图，AB∥CD，∠E＝35°，∠F＝∠G＝30°，则∠A+∠C的度数为　．例5：如图，AB∥CD，∠E＝120°，∠F＝90°，∠A+∠C的度数是（ ）A．30°B．35°C．40°D．45°例6：如图，AB∥CD，∠E+∠G＝∠H，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠F的度数为 ．例7：如图，直线l1∥l2，点∠α、∠β夹在两平行线之间．（1）若∠α＝∠β，∠1＝40°，求∠2的度数；（2）直接写出∠1、∠2、∠α、∠β之间的数量关系，不用说明理由．例8：（1）如图1，已知AB∥CD，若∠EAF=∠EAB，∠ECF=∠ECD，求证：∠AFC=∠AEC；（2）如图2，若AB∥CD，∠EAF=∠EAB，∠ECF=∠ECD，求证：∠AFC=∠AEC；（3）若AB∥CD，∠EAF=∠EAB，∠ECF∠ECD，则∠AFC与∠AEC的数量关系是 （用含有n的代数式表示，不证明）．例9：如图①，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：第1次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，第2次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，第3次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，第n次操作，分别作∠ABE n﹣1和∠DCE n﹣1的平分线，交点为E n．（1）如图①，求证：∠BEC＝∠ABE+∠DCE；（2）如图②，求证：∠BE1C＝∠BEC；（3）从图①开始进行上述的n次操作，若∠BE n C＝α°，求∠BEC的大小（直接写出结论）．模型二：“铅笔”模型（也称“U”型模型）模型二：“铅笔”模型（“U”型）点P在EF右侧，在AB、 CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=360°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.典型例题例1：一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝135°，则∠ABC＝ 度．例2：如图，直线l1∥l2，若∠1＝35°，则∠2+∠3＝ ．例3：如图，已知AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE．（1）猜想∠BED时，∠B，∠D的数量关系，并证明；（2）作∠ABE，∠CDE的角平分线BF，DF交于点F．①依题意补全图形；②直接用等式表示∠BFD与∠BED的数量关系．例4：如图，已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE的平分线相交于点F．（1）如图1，若∠E＝70°，求∠BFD的度数；（2）如图2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，写出∠M和∠E之间的数量关系，并证明你的结论．例5：实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射的光线为n．（1）当m∥n时，若∠1＝50°，则∠2＝ ，∠3＝ ；（2）当m∥n时，若∠1＝x°（0＜x＜90），则∠3＝ ；（3）根据（1）（2）结果，反过来猜想：当两平面镜a，b的夹角∠3为多少度时，m∥n．请说明理由（可以在图中添加适当的角度标记进行说明）例6：如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点．（1）如图1，若∠BAE＝35°，∠DCE＝20°，则∠AEC＝ ；（2）如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；（3）①如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC 的数量关系，并说明理由；②如图4，若设∠E＝m，∠BAF＝∠FAE，∠DCF＝∠FCE，请直接用含m、n的代数式表示∠F的度数．模型三：“抬头”模型（也称“靴子”或称“臭脚”模型）模型三“抬头”模型（“靴子”模型）点P在EF右侧，在AB、 CD外部“靴子”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.典型例题例1：如图，AB//CD，∠P=40°，∠D=100°，则∠ABP的度数是 .例2：已知，AB∥CD.(1)如图1，求证:∠A-∠C=∠E;(2)如图2，EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，∠F=105°，求∠A的度数.例3：已知直线∥，点A，B在直线上(B在A左侧)，点C在直线b上，E点在直线b下方，连接 AE 交直线b于点D.(1)如图1，若∠BAD=110°，∠DCE=45°，求∠DEC的度数;(2)如图2，∠BAD 的邻补角的角平分线与∠DEC 的角平分线所在的直线交于点M，试探究∠AME与∠ECD之间的数量关系，并说明理由.例4：已知AB∥CD．（1）如图1，求证：∠EAB＝∠C+∠E；（2）如图2，点F在∠AEC内且在AB、CD之间，EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，请猜想∠F与∠EAB的数量关系并证明；（3）如图3，点M在AB上，点N在CD上，点E是AB上方一点，点G在AB、CD之间，连接EM、EN，GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，若2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数．:模型四：“骨折”模型（也称“X射线”模型）模型四“骨折”模型点P在EF左侧，在AB、 CD外部“骨折”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.例1：如图，AB∥CD，∠E＝40°，∠A＝110°，则∠C的度数为 ．例2：如图，AB∥CD，∠ABE＝125°，∠C＝30°，则∠α＝（ ）A．70°B．75°C．80°D．85°例3：已知：如图，AB∥CD．（1）若∠1＝∠2，试判断∠E与∠F的大小关系，并说明你的理由．（2）猜想∠1、∠2、∠E、∠F之间存在怎样的数量关系？并说明理由．例4：（1）（问题）如图1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°．求∠EPF的度数；（2）（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．例5：已知AB∥MN．（1）如图1，求证：∠N+∠E＝∠B；（2）若F为直线MN、AB之间的一点，∠E＝∠EFB，BG平分∠ABF交MN于点G，EF 交MN于点C．①如图2，若∠N＝57°，且BG∥EN，求∠E的度数；②如图3，若点K在射线BG上，且满足∠KNM＝∠ENM，若∠NKB＝∠EFB，∠E＝∠FBD，直接写出∠E的度数．参考答案专题四：平行线中的常见模型模型一：“猪蹄”模型（也称“M”模型）模型一“猪蹄”模型（M模型）点P在EF左侧，在AB、 CD内部“猪蹄”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP+∠CFP；结论2：若∠P=∠AEP+∠CFP，则AB∥CD.典型例题例1：如图，已知AB∥DE，∠1＝30°，∠2＝35°，则∠BCE的度数为（B）A．70° B．65° C．35° D．5°解析：作CF∥AB，∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴AB∥DE∥CF，∴∠1＝∠BCF，∠FCE＝∠2，∵∠1＝30°，∠2＝35°，∴∠BCF＝30°，∠FCE＝35°，∴∠BCE＝65°，故选：B．例2：如图，AD∥CE，∠ABC＝95°，则∠2﹣∠1的度数是（C）A．105°B．95°C．85°D．75°解析：如图，作BF∥AD，∵AD∥CE，∴AD∥BF∥EC，∴∠1＝∠3，∠4+∠2＝180°，∠3+∠4＝95°，∴∠1+∠4＝95°，∠2+∠4＝180°，∴∠2﹣∠1＝85°．故选：C．例3：如图，直线a∥b，射线DF与直线a相交于点C，过点D作DE⊥b于点E，已知∠1＝25°，求∠2的度数．解析：过点D作DG∥b，∵a∥b，且DE⊥b，∴DG∥a，∴∠1＝∠CDG＝25°，∠GDE＝∠3＝90°∴∠2＝∠CDG+∠GDE＝25°+90°＝115°．☆模型拓展：M叠M型例4：如图，AB∥CD，∠E＝35°，∠F＝∠G＝30°，则∠A+∠C的度数为35°．解析：如图所示，延长AE，CG，交于点H，过H作HP∥AB，∵AB∥CD，∴PH∥CD，∴∠A＝∠AHP，∠C＝∠CHP，∴∠A+∠C＝∠AHC，∵∠F＝∠CGF＝30°，∴EF∥CH，∴∠AHC＝∠AEF＝35°，∴∠A+∠C＝35°，故答案为：35°．例5：如图，AB∥CD，∠E＝120°，∠F＝90°，∠A+∠C的度数是（ ）A．30°B．35°C．40°D．45°解析：分别过E，F作GE∥AB，FH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥GE∥FH∥CD，∴∠1＝∠A，∠2＝∠C，∠GEF+∠HFE＝180°，∵∠E＝120°，∠F＝90°，∴∠1+∠GEF+∠HFE+∠2＝210°，∴∠1+∠2＝210°﹣180°＝30°，即∠A+∠C＝30°，故选：A．例6：如图，AB∥CD，∠E+∠G＝∠H，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠F的度数为360°．解析：如图所示，延长AE，DG交于点Q，由题可得，∠A+∠D＝∠Q，∠B+∠H+∠C＝360°，又∵∠Q＝∠AEF+∠DGF﹣∠F，∴∠A+∠D＝∠AEF+∠DGF﹣∠F，即∠F＝∠AEF+∠DGF﹣（∠A+∠D），又∵∠AEF+∠DGF＝∠H，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠F＝∠A+∠B+∠C+∠D+∠AEF+∠DGF﹣（∠A+∠D）＝∠B+∠C+∠H＝360°，故答案为：360°．例7：如图，直线l1∥l2，点∠α、∠β夹在两平行线之间．（1）若∠α＝∠β，∠1＝40°，求∠2的度数；（2）直接写出∠1、∠2、∠α、∠β之间的数量关系，不用说明理由．解析：（1）如图，延长AE交直线l2于点E，∵l1∥l2，∴∠3＝∠1＝40°，∵∠α＝∠β，∴AB∥CD，∴∠2+∠3＝180°，∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣40°＝140°．（2）∠1+∠2+∠β﹣○α＝180°．理由：∵l1∥l2，∴∠3＝∠1．∵∠BED＝180°﹣∠α，∴∠3+∠2+∠β+180°﹣α＝360°，即∠1+∠2+∠β﹣∠α＝180°．☆模型拓展：M套M型例8：（1）如图1，已知AB∥CD，若∠EAF=∠EAB，∠ECF=∠ECD，求证：∠AFC=∠AEC；（2）如图2，若AB∥CD，∠EAF=∠EAB，∠ECF=∠ECD，求证：∠AFC=∠AEC；（3）若AB∥CD，∠EAF=∠EAB，∠ECF=∠ECD，则∠AFC与∠AEC的数量关系是（用含有n的代数式表示，不证明）．解：（1）如图1，连接AC，设∠EAF＝x°，∠ECF＝y°，∠EAB＝2x°，∠ECD＝2y°，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴∠CAE+2x°+∠ACE+2y°＝180°，∴∠CAE+∠ACE＝180°﹣（2x°+2y°），∠FAC+∠FCA＝180°﹣（x°+y°），∴∠AEC＝180°﹣（∠CAE+∠ACE）＝180°﹣[180°﹣（2x°+2y°）]＝2x°+2y°，＝2（x°+y°），∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝180°﹣[180°﹣（x°+y°）]＝x°+y°，∴∠AFC=∠AEC；（2）如图2，连接AC，设∠EAF＝x°，∠ECF＝y°，∠EAB＝3x°，∠ECD＝3y°，∵AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴∠CAE+3x°+∠ACE+3y°＝180°，∴∠CAE+∠ACE＝180°﹣（3x°+3y°），∠FAC+∠FCA＝180°﹣（2x°+2y°），∴∠AEC＝180°﹣（∠CAE+∠ACE）＝180°﹣[180°﹣（3x°+3y°）]＝3x°+3y°＝3（x°+y°），∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝180°﹣[180°﹣（2x°+2y°）]＝2x°+2y°＝2（x°+y°），∴∠AFC=∠AEC；（3）若∠AFC=∠EAB，∠ECF=∠ECD，则∠AFC与∠AEC的数量关系是：∠AFC=∠AEC．故答案为：∠AFC=∠AEC．例9：如图①，已知AB∥CD，CE、BE的交点为E，现作如下操作：第1次操作，分别作∠ABE和∠DCE的平分线，交点为E1，第2次操作，分别作∠ABE1和∠DCE1的平分线，交点为E2，第3次操作，分别作∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，…，第n次操作，分别作∠ABE n﹣1和∠DCE n﹣1的平分线，交点为E n．（1）如图①，求证：∠BEC＝∠ABE+∠DCE；（2）如图②，求证：∠BE1C＝∠BEC；（3）从图①开始进行上述的n次操作，若∠BE n C＝α°，求∠BEC的大小（直接写出结论）．【解答】解：（1）如图①，过E作EF∥AB．∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠B＝∠1，∠C＝∠2．∵∠BEC＝∠1+∠2，∴∠BEC＝∠ABE+∠DCE；（2）如图2．∵∠ABE和∠DCE的平分线交点为E1，∴由（1）可得，∠CE1B＝∠ABE1+∠DCE1＝∠ABE+∠DCE＝∠BEC；（3）如图2．∵∠ABE2和∠DCE2的平分线，交点为E3，∴∠BE3C＝∠ABE3+∠DCE3＝∠ABE2+∠DCE2＝∠CE2B＝∠BEC；…以此类推，∠E n＝∠BEC，∴当∠E n＝α度时，∠BEC＝2nα°模型二：“铅笔”模型（也称“U”型模型）模型二：“铅笔”模型（“U”型）点P在EF右侧，在AB、 CD内部“铅笔”模型结论1：若AB∥CD，则∠P+∠AEP+∠PFC=360°；结论2：若∠P+∠AEP+∠PFC= 360°，则AB∥CD.典型例题例1：一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD＝135°，则∠ABC＝135度．【解析】解：如图，过点B作BF∥CD，∵CD∥AE，∴CD∥BF∥AE，∴∠1+∠BCD＝180°，∠2+∠BAE＝180°，∵∠BCD＝135°，∠BAE＝90°，∴∠1＝45°，∠2＝90°，∴∠ABC＝∠1+∠2＝135°．故答案为：135．例2：如图，直线l1∥l2，若∠1＝35°，则∠2+∠3＝215°．【解析】解：过点E作EF∥11，∵11∥12，EF∥11，∴EF∥11∥12，∴∠1＝∠AEF＝35°，∠FEC+∠3＝180°，∴∠2+∠3＝∠AEF+∠FEC+∠3＝35°+180°＝215°．故答案为：215°．例3：如图，已知AB∥CD，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE．（1）猜想∠BED时，∠B，∠D的数量关系，并证明；（2）作∠ABE，∠CDE的角平分线BF，DF交于点F．①依题意补全图形；②直接用等式表示∠BFD与∠BED的数量关系．【解析】（1）∠B+∠BED+∠D＝360°．证明：过点E作EG∥AB．∴∠B+∠BEG＝180°．∵AB∥CD，EG∥AB，∴EG∥CD，∴∠DEG+∠D＝180°，∴∠B+∠BEG+∠DEG+∠D＝180°+180°．即∠B+∠BED+∠D＝360°；（2）解：①如图所示：②由（1）得∠ABC+∠BED+∠CDE＝360°，∵∠ABE，∠CDE的角平分线BF，DF交于点F，∴∠ABC＝2∠FBE，∠CDE＝2∠FDE，∴2∠FBE+∠BED+2∠CDE＝360°，即∠FBE+∠BED+∠CDE＝180°，∵∠BFD+∠FBE+∠BED+∠CDE＝360°，∴∠BFD=180°－∠BED例4：如图，已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE的平分线相交于点F．（1）如图1，若∠E＝70°，求∠BFD的度数；（2）如图2，若∠ABM＝∠ABF，∠CDM＝∠CDF，写出∠M和∠E之间的数量关系，并证明你的结论．【解析】解：（1）如图1，过点E作EN∥AB，∵EN∥AB，∴∠ABE+∠BEN＝180°，∵AB∥CD，AB∥NE，∴NE∥CD，∴∠CDE+∠NED＝180°，∴∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∵∠E＝70°，∴∠ABE+∠CDE＝290°，∵∠ABE与∠CDE的平分线相交于点F，∴∠ABF+∠CDF＝（∠ABE+∠CDE）＝145°，过点F作FG∥AB，∵FG∥AB，∴∠ABF＝∠BFG，∵AB∥CD，FG∥AB，∴FG∥CD，∴∠CDF＝∠GFD，∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝145°；（2）结论：∠E+6∠M＝360°，证明：∵设∠ABM＝x，∠CDM＝y，则∠FBM＝2x，∠EBF＝3x，∠FDM＝2y，∠EDF＝3y，由（1）得：∠ABE+∠E+∠CDE＝360°，∴6x+6y+∠E＝360°，∵∠M+∠EBM+∠E+∠EDM＝360°，∴6x+6y+∠E＝∠M+5x+5y+∠E，∴∠M＝x+y，∴∠E+6∠M＝360°．例5：实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射的光线为n．（1）当m∥n时，若∠1＝50°，则∠2＝100°，∠3＝　90°；（2）当m∥n时，若∠1＝x°（0＜x＜90），则∠3＝　90°；（3）根据（1）（2）结果，反过来猜想：当两平面镜a，b的夹角∠3为多少度时，m∥n．请说明理由（可以在图中添加适当的角度标记进行说明）【解析】解：（1）∵m∥n，∴∠4+∠2＝180°，∵∠5＝∠1＝50°，∴∠4＝80°，∴∠2＝100°，∴∠6＝∠7＝40°，∴∠3＝180°﹣∠5﹣∠6＝90°，故答案为：100°；90°；（2）∵m∥n，∴∠4+∠2＝180°，∵∠5＝∠1＝x°，∴∠4＝180°﹣2x°，∴∠2＝2x°，∴∠6＝∠7＝90°﹣x°，∴∠3＝180°﹣∠5﹣∠6＝180°﹣x°﹣90°+x°＝90°，故答案为：90°；（3）根据（1）、（2）猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3是90°时，总有m∥n，证明：∵∠3＝90°，∴∠5+∠6＝90°，∴∠1+∠7＝90°，∴∠1+∠5+∠6+∠7＝180°，又∵∠1+∠4+∠5+∠2+∠6+∠7＝360°，∴∠4+∠2＝180°，∴m∥n．例6：如图，AB∥CD，点E为两直线之间的一点．（1）如图1，若∠BAE＝35°，∠DCE＝20°，则∠AEC＝55°；（2）如图2，试说明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；（3）①如图3，若∠BAE的平分线与∠DCE的平分线相交于点F，判断∠AEC与∠AFC 的数量关系，并说明理由；②如图4，若设∠E＝m，∠BAF＝∠FAE，∠DCF＝∠FCE，请直接用含m、n的代数式表示∠F的度数．【解析】解：如图所示，过点E作EF∥AB，∵AB∥CD∴AB∥CD∥EF，∴∠BAE＝∠1，∠ECD＝∠2，∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠ECD＝35°+20°＝55°，故答案为55°．（2）如图所示，过点E作EG∥AB，∵AB∥CD∴AB∥CD∥EG，∴∠A+∠1＝180°，∠C+∠2＝180°，∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°，即∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°．（3）①2∠AFC+∠AEC＝360°，理由如下：由（1）可得，∠AFC＝∠BAF+∠DCF，∵AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，∴∠BAE＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCF，∴∠BAE+∠DCE＝2∠AFC，由（2）可知，∠BAE+∠AEC+∠DCE＝360°，∴2∠AFC+∠AEC＝360°．②由①知∠F+∠FAE+∠E+∠FCE＝360°，∵∠BAF＝∠FAE，∠DCF＝∠FCE，∠BAF+∠DCF＝∠F，∴∠F＝（∠FAE+∠FCE），∴∠FAE+∠FCE＝n∠F，∴∠F+∠E+n∠F＝360°，∴（n+1）∠F＝360°﹣∠E＝360°﹣m，∴∠F＝．模型三：“抬头”模型（也称“靴子”或称“臭脚”模型）模型三“抬头”模型（“靴子”模型）点P在EF右侧，在AB、 CD外部“靴子”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP；结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD.典型例题例1：如图，AB//CD，∠P=40°，∠D=100°，则∠ABP的度数是140°.【解析】过点P作PM∥AB，∵AB∥CD，∴PM∥AB∥CD，∴∠MPB=∠ABP，∠D=∠DPM=100°，∴∠MPB=∠BPD+∠DPM=40°+100°=140°，∴∠ABP=∠MPB=140°.例2：已知，AB∥CD.(1)如图1，求证:∠A-∠C=∠E;(2)如图2，EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，∠F=105°，求∠A的度数.【解析】（1）证明: 过点E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD，∴∠FEA=∠EAB，∠FEC=∠C，∴∠AEC=∠FEA-∠FEC=∠EAB-∠C，即∠A-∠C=∠E.（2）解:过点E作EG∥FC，∵EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，设∠AEF=∠CEF=，∠ECF=∠FCD=，∵EG∥FC，∴∠CEG=∠ECF=，∠FEG+∠F=180°.∵∠F=105°，∴∠FEG=180°-∠F=75°，∴∠CEG+∠CEF=75°，即+=75°,∴2x+2y=150°.由(1)知，∠A=∠AEC+∠ECD=2x+2y=150°.例3：已知直线∥，点A，B在直线上(B在A左侧)，点C在直线b上，E点在直线b下方，连接 AE 交直线b于点D.(1)如图1，若∠BAD=110°，∠DCE=45°，求∠DEC的度数;(2)如图2，∠BAD 的邻补角的角平分线与∠DEC 的角平分线所在的直线交于点M，试探究∠AME与∠ECD之间的数量关系，并说明理由.例4：已知AB∥CD．（1）如图1，求证：∠EAB＝∠C+∠E；（2）如图2，点F在∠AEC内且在AB、CD之间，EF平分∠AEC，CF平分∠ECD，请猜想∠F与∠EAB的数量关系并证明；（3）如图3，点M在AB上，点N在CD上，点E是AB上方一点，点G在AB、CD之间，连接EM、EN，GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，若2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数．:【解析】（1）过点E作EF∥DC，∵BA∥DC，∴EF∥DC∥AB，∴∠AEF=∠BAE=110°，∠CEF=∠DCE=45°.∴∠DEC=∠AEF-∠CEF=110°-45°=65°.（2）过点M作MF∥BA，过点E作EG∥CD，设∠BAE=，∠ECD=，∵BA∥CD，∴MF∥AB∥CD∥EG.∴∠BAE=∠AEG=，∠DCE=∠CEG=，∴∠DEC=-.∵EM平分∠DEC，AM平分∠BAD的邻补角，∴∠MEC=，∠1==，∵MF∥AB，∴∠AMF=∠1=，∠MEG=∠CEG+∠MEC=，∵MF∥EG，∴∠FME=∠MEG=，∴∠AME=∠AMF+∠FME=，∴∠AME=.模型四：“骨折”模型（也称“X射线”模型）模型四“骨折”模型点P在EF左侧，在AB、 CD外部“骨折”模型结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP；结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD.例1：如图，AB∥CD，∠E＝40°，∠A＝110°，则∠C的度数为70°．解析：∵AB∥CD，∴∠A+∠AFD＝180°，∵∠A＝110°，∴∠AFD＝70°，∴∠CFE＝∠AFD＝70°，∵∠E＝40°，∠C+∠E+∠CFE＝180°，∴∠C＝180°﹣∠E﹣∠CFE＝180°﹣40°﹣70°＝70°，故答案为：70°．例2：如图，AB∥CD，∠ABE＝125°，∠C＝30°，则∠α＝（D）A．70°B．75°C．80°D．85°【解析】解：如图，作EF∥AB，∵AB∥EF，AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠B+∠BEF＝180°，∠C＝∠CEF，∵∠ABE＝125°，∠C＝30°，∴∠BEF＝55°，∠CEF＝30°，∴∠BEC＝55°+30°＝85°．故选：D．例3：已知：如图，AB∥CD．（1）若∠1＝∠2，试判断∠E与∠F的大小关系，并说明你的理由．（2）猜想∠1、∠2、∠E、∠F之间存在怎样的数量关系？并说明理由．【解答】解：（1）∠E＝∠F，理由如下：∵AB∥CD，∴∠ABC＝∠BCD，∵∠1＝∠2，∴∠EBC＝∠FCB，∴BE∥CF，∴∠E＝∠F；（2）∠1+∠F＝∠BEF+∠2，理由如下：如图，延长BE交DC的延长线于点M，在四边形EMCF中，∠FEM+∠EMC+∠MCF+∠F＝360°，∵∠FEM＝180°﹣∠BEF，∠MCF＝180°﹣∠2，∴∠180°﹣∠BEF+∠EMC+180°﹣∠2+∠F＝360°，∵AB∥CD，∴∠1＝∠EMC，∴∠180°﹣∠BEF+∠1+180°﹣∠2+∠F＝360°，∴∠1+∠F＝∠BEF+∠2例4：（1）（问题）如图1，若AB∥CD，∠AEP＝40°，∠PFD＝130°．求∠EPF的度数；（2）（问题迁移）如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由；（3）（联想拓展）如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数．【解答】解：（1）如图1，过点P作PM∥AB，∴∠1＝∠AEP＝40°．（两直线平行，内错角相等）∵AB∥CD，（已知）∴PM∥CD，（平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2+∠PFD＝180°．（两直线平行，同旁内角互补）∵∠PFD＝130°，∴∠2＝180°﹣130°＝50°．∴∠1+∠2＝40°+50°＝90°．即∠EPF＝90°．（2）∠PFC＝∠PEA+∠P．理由：如图2，过P点作PN∥AB，则PN∥CD，∴∠PEA＝∠NPE，∵∠FPN＝∠NPE+∠FPE，∴∠FPN＝∠PEA+∠FPE，∵PN∥CD，∴∠FPN＝∠PFC，∴∠PFC＝∠PEA+∠FPE，即∠PFC＝∠PEA+∠P；（3）如图，过点G作AB的平行线GH．∵GH∥AB，AB∥CD，∴GH∥AB∥CD，∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，∴∠HGE＝∠AEG＝，∠HGF＝∠CFG＝，由（1）可知，∠CFP＝∠P+∠AEP，∴∠HGF＝（∠P+∠AEP）＝（α+∠AEP），∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE＝（α+∠AEP）＝+∠AEP﹣∠HGE＝例5：已知AB∥MN．（1）如图1，求证：∠N+∠E＝∠B；（2）若F为直线MN、AB之间的一点，∠E＝∠EFB，BG平分∠ABF交MN于点G，EF 交MN于点C．①如图2，若∠N＝57°，且BG∥EN，求∠E的度数；②如图3，若点K在射线BG上，且满足∠KNM＝∠ENM，若∠NKB＝∠EFB，∠E＝∠FBD，直接写出∠E的度数．【解答】解：（1）如图，过E作EH∥MN，∴∠N＝∠HEN，又∵MN∥AB，∴EH∥AB∥MN，∴∠B＝∠HEB，即∠B＝∠HEN+∠NEB＝∠N+∠BEN；（2）①如图，过F作FP∥EN，交MN于H点，则BG∥EN∥FP，∵∠N＝57°，∴∠CHF＝∠CGB＝∠ABG＝57°，∵BG平分∠ABF，∴∠ABF＝2∠ABG＝114°，∵EN∥PF，∴∠E＝∠EFP，∵∠E＝∠EFB，∴114°+∠E＝4∠E，∴∠E＝38°；②如图，过点F作FP∥AD，设∠E＝a＝∠FBD，则∠PFB＝α，∠EFP＝3α，∴∠ENM＝2a，∠KNM＝，当K在BG上，∠NKB＝∠EFB＝4a，∴∠NGB＝＝∠ABG＝∠GBF，∴，∴a＝22.5°；当K在BG延长线上时，∠NGB＝，∠ABG＝，∴，∴a＝18°，综上所述，∠E＝22.5°或18°．。

三角形全等、相似及综合应用模型题型解读｜模型构建｜通关试练三角形基础知识部分多以选择或者填空题形式，考察其三边关系、内角和/外角和定理、“三线”基本性质等。

特殊三角形的性质与判定也是考查重点，年年都会考查，最为经典的“手拉手”模型就是以等腰三角形为特征总结的，且等腰三角形单独出题的可能性还是比较大。

直角三角形的出题类型可以是选择填空题这类小题，也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中，作为问题的几何背景进行拓展延伸。

模型01 与三角形有关的线段应用高（AD）中线（AD）角平分线（AD）中位线（DE）模型02 与三角形有关的角的应用（1）三角形的内角：（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．（2）三角形的外角：（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．模型03 三角形全等的判定及应用（1）全等三角形的定义：全等的图形必须满足：（1）形状相同；（2）大小相等能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

专题强化：平行线常考模型归纳【题型归纳】题型一：M 型（含锯齿型）A．30︒B．【答案】B 【分析】作c b ∥，根据平行线的判定和性质可得【详解】解：如图，作c ∵a b ∥，∴a c b ∥∥，∴41∠=∠，52∠=∠，∴451270∠+∠=∠+∠=∵1210︒∠-∠=，∴2180∠=︒，∴140∠=︒，故选：B．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，求出2．（2021下·重庆北碚·七年级西南大学附中校考期末）如图，侧），点G 在直线CD 上，的角平分线交与点Q ，且点②∠AEF +2∠PQG ＝270°；③若∠A．4B．3C．2D．1【答案】A【分析】①过点F作FH∥AB，利用平行线的性质以及已知即可证明；②利用角平分线的性质以及平行线的性质得到∠3=2∠2，∠CGF+2∠1+∠3=180°，结合①的结论即可证明；③由已知得到∠MGC＝3∠CGF，结合①的结论即可证明；④由已知得到∠MGC＝(n+1)∠CGF，结合①的结论即可证明．【详解】解：①过点F作FH∥AB，如图：∵AB∥CD，∴AB∥FH∥CD，∴∠AEF=∠EFH，∠CGF=∠GFH，∵EF⊥FG，即∠EFG=∠EFH+∠GFH=90°，∴∠AEF+∠CGF=90°，故①正确；②∵AB∥CD，PQ平分∠APG，GQ平分∠FGP，∴∠APQ=∠2，∠FGQ=∠1，④∵∠MGF＝n∠CGF，故选：A．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义等知识点，作辅助线求得∠AEF +∠CGF =90°，是解此题的关键．3．（2023下·山东聊城·七年级校考阶段练习）如图，已知直线12l l ∥，3l 、4l 和1l 、2l 分别交于点A 、B 、C 、D ，点P 在直线3l 或4l 上且不与点A 、B 、C 、D 重合．记1AEP ∠=∠，2PFB ∠=∠，3E P F ∠=∠．(1)若点P 在图（1）位置时，求证：312Ð=Ð+Ð；(2)若点P 在图（2）位置时，写出1∠、2∠、3∠之间的关系并给予证明．【答案】(1)证明见解析(2)312360∠∠∠++=︒，证明见解析【分析】此题两个小题的解题思路是一致的，过P 作直线1l 、2l 的平行线，利用平行线的性质得到和1∠、2∠相等的角，然后结合这些等角和3∠的位置关系，来得出1∠、2∠、3∠的数量关系．【详解】（1）过P 作1PQ l ∥，∵12l l ∥，∴12PQ l l ∥∥，由两直线平行，内错角相等，可得：1QPE ∠=∠、2QPF ∠=∠；∵3QPE QPF ∠=∠+∠，∴312Ð=Ð+Ð．（2）关系：312360∠∠∠++=︒．过P 作1PQ l ∥，∵12l l ∥，∴12PQ l l ∥∥，同（1）可证得：3CEP DFP ∠=∠+∠；∵11802180CEP DFP ∠+∠=︒∠+∠=︒，，∴12360CEP DFP ∠+∠+∠+∠=︒，即312360∠∠∠++=︒．【点睛】本题主要考查平行线的性质，能够正确多出辅助线是解题关键．A．110︒B．115︒【答案】A 【分析】过N 点作NH AB ∥，则BEN ENG GNM MNF ∠+∠+∠+∠【详解】解：过N 点作NH AB ∥，则AB NH CD ∥∥，如图所示：180BEN ENH HNF NFG ∴∠+∠=∠+∠=︒，360BEN ENG GNM MNF NFG ∴∠+∠+∠+∠+=︒，160BEN ∠=︒ ，200ENG GNM MNF NFG ∴∠+∠+∠+∠=︒，NG 平分ENM ∠，ENG GNM ∴∠=∠，200GNM GNM MNF NFG ∴∠+∠+∠+∠=︒，NF NG ⊥ ，90GNM MNF GNF ∴∠+∠∠︒＝＝，90200GNM NFG ∴∠+︒+∠︒＝，110MNG NFG ∴∠+∠︒＝．故选：A．【点睛】此题考查了平行线的性质、平行公理的应用、角平分线的性质，解题的关键是正确作出辅助线．5．（2021下·湖南株洲·七年级统考期末）①如图1，AB ∥CD ，则360A E C ∠+∠+∠=︒；②如图2，AB ∥CD ，则P A C ∠=∠-∠；③如图3，AB ∥CD ，则1E A ∠=∠+∠；④如图4，直线AB ∥CD ∥EF ，点O 在直线EF 上，则180αβγ∠-∠+∠=︒．以上结论正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C 【分析】①过点E 作直线EF ∥AB ，由平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，即可得出结论；②如图2，先根据三角形外角的性质得出∠1＝∠C +∠P ，再根据两直线平行，内错角相等即可作出判断；③如图3，过点E作直线EF∥AB，由平行线的性质可得出∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即得∠AEC＝180°+∠1﹣∠A；④如图4，根据平行线的性质得出∠α＝∠BOF，∠γ+∠COF＝180°，再利用角的关系解答即可．【详解】解：①如图1，过点E作直线EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠1＝180°，∠2+∠C＝180°，∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°，∴∠A+∠AEC+∠C=360°，故①正确；②如图2，∵∠1是△CEP的外角，∴∠1＝∠C+∠P，∵AB∥CD，∴∠A＝∠1，即∠P＝∠A﹣∠C，故②正确；③如图3，过点E作直线EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠A+∠3＝180°，∠1＝∠2，∴∠A+∠AEC﹣∠1＝180°，即∠AEC＝180°+∠1﹣∠A，故③错误；④如图4，∵AB∥EF，∴∠α＝∠BOF ，∵CD ∥EF ，∴∠γ+∠COF ＝180°，∵∠BOF ＝∠COF +∠β，∴∠COF ＝∠α﹣∠β，∴∠γ+∠α﹣∠β＝180°，故④正确；综上结论正确的个数为3，故选：C．【点睛】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．6．（2021下·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中）（1）如图（1）AB CD ，猜想BPD ∠与B D ∠∠、的关系，说出理由．（2）观察图（2），已知AB CD ，猜想图中的BPD ∠与B D ∠∠、的关系，并说明理由．（3）观察图（3）和（4），已知AB CD ，猜想图中的BPD ∠与B D ∠∠、的关系，不需要说明理由．【答案】（1）360B BPD D ∠+∠+∠=︒，理由见解析；（2）BPD B D ∠=∠+∠，理由见解析；（3）图（3）BPD D B ∠=∠-∠，图（4）BPD B D∠=∠-∠【分析】（1）过点P 作EF AB ∥，得到180B BPE ∠+∠=︒，由AB CD ，EF AB ∥，得到EF CD ，得到180EPD D ∠+∠=︒，由此得到360B BPD D ∠+∠+∠=︒；（2）过点P 作PE AB ，由PE AB CD ∥∥，得到12B D ∠=∠∠=∠，，从而得到结论12BPD B D ∠=∠+∠=∠+∠；（3）由AB CD ，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得BPD ∠与B D ∠∠、的关系．【详解】（1）解：猜想360B BPD D ∠+∠+∠=︒．理由：过点P 作EF AB ∥，∴180B BPE ∠+∠=︒，∵AB CD ，EF AB ∥，∴EF CD ，∴180EPD D ∠+∠=︒，∴360B BPE EPD D ∠+∠+∠+∠=︒，∴360B BPD D ∠+∠+∠=︒；（2）BPD B D ∠=∠+∠．理由：如图，过点P 作PE AB ，∵AB CD ，∴PE AB CD ∥∥，∴12B D ∠=∠∠=∠，，∴12BPD B D ∠=∠+∠=∠+∠；（3）如图（3）：BPD D B ∠=∠-∠．理由：∵AB CD ，∴1D ∠=∠，∵1B P ∠=∠+∠，∴D B P ∠=∠+∠，即BPD D B ∠=∠-∠；如图（4）：BPD B D ∠=∠-∠．理由：∵AB CD ，∠=∠，∵1D P∠=∠+∠，∴B D P∠=∠+∠，即BPD B D∠=∠-∠．【点睛】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形的外角的性质定理，熟记平行线的性质是解题的关键．题型三：鸡翅型【答案】【感知探究】证明见解析；【类比迁移】F BMF DNF∠=∠-∠；【结论应用】20【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，作辅助线是解题的关键．（1）过点E作EF AB∥，根据平行线的性质可求解；（2）如图②，过F作FH AB∥，根据平行线的性质即可得到结论；（3）如图③，过C作CG AB∥，根据平行线的性质即可得到结论．【详解】（1）证明：如图①，过点E作EF AB∥，∠=∠，又∵AB CD∥，∴EF CD∥，NEF DNE∴∠=∠，∴∠=∠+∠，MEN MEF NEF即MEN BME DNE∠=∠+∠；（2）解：BMF MFN FND∠=∠+∠．∥，证明：如图②，过F作FK ABBMF MFK，∵AB CD∴FK CD∥，FND KFN∴∠=∠，∴∠=∠-∠=∠-∠，MFN MFK KFN BMF FND 即：BMF MFN FND∠=∠+∠．故答案为：BMF MFN FND∠=∠+∠；（3）如图③，过C作CG AB∥，∴∠=︒-∠=︒，GCA BAC18060∵AB DE∥，∴CG DE∥，∴∠=∠=︒，80GCD CDE∴∠=︒，ACD20故答案为：20．8．（2021下·广东河源·七年级河源市第二中学校考期中）已知直线12l l ∥，A 是l1上的一点，B 是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C 和D ，直线CD 上有一点P ．(1)如果P 点在C ，D 之间运动时，问PAC ∠，APB ∠，PBD ∠有怎样的数量关系？请说明理由．(2)若点P 在C ，D 两点的外侧运动时（P 点与C ，D 不重合），试探索PAC ∠，APB ∠，PBD ∠之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）【答案】(1)PAC PBD APB∠+∠=∠(2)当点P 在直线1l 上方时，∠-∠=∠PBD PAC APB ；当点P 在直线2l 下方时，∠-∠=∠PAC PBD APB ．【分析】（1）过点P 作1PE l ∥，由“平行于同一条直线的两直线平行”可得出12PE l l ∥∥，再由“两直线平行，内错角相等”得出PAC APE ∠=∠、PBD BPE ∠=∠，再根据角与角的关系即可得出结论；（2）按点P 的两种情况分类讨论：①当点P 在直线1l 上方时；②当点P 在直线2l 下方时，同理（1）可得PAC APE ∠=∠、PBD BPE ∠=∠，再根据角与角的关系即可得出结论．【详解】（1）解：PAC PBD APB ∠+∠=∠．过点P 作1PE l ∥，如图1所示．1PE l ∥，12l l ∥，∴12PE l l ∥∥，PAC APE ∴∠=∠，PBD BPE ∠=∠，APB APE BPE ∠=∠+∠ ，PAC PBD APB ∴∠+∠=∠．（2）解：结论：当点P 在直线1l 上方时，∠-∠=∠PBD PAC APB ；当点P 在直线2l 下方时，∠-∠=∠PAC PBD APB ．①当点P 在直线1l 上方时，如图2所示．过点P 作1PE l ∥．1PE l ∥，12l l ∥，∴12PE l l ∥∥，PAC APE ∴∠=∠，PBD BPE ∠=∠，APB BPE APE ∠=∠-∠ ，PBD PAC APB ∴∠-∠=∠．②当点P 在直线2l 下方时，如图3所示．过点P 作1PE l ∥．1PE l ∥，12l l ∥，∴12PE l l ∥∥，PAC APE ∴∠=∠，PBD BPE ∠=∠，APB APE BPE ∠=∠-∠ ，PAC PBD APB ∴∠-∠=∠．两直线平行，内错角相等(1)求证：180B C A ∠+∠-∠=︒：(2)如图②，AQ BQ 、分别为DAC EBC ∠∠、的平分线所在直线，试探究(3)如图③，在（2）的前提下，且有AC QB ∥，直线AQ BC 、=DAC ACB CBE ∠∠∠：：．【答案】(1)见解析(2)2=180AQB C ∠+∠︒，理由见解析(3)122：：【分析】（1）过点C 作CF AD ∥，则CF BE ∥，根据平行线的性质可得出据此可得；（2）过点Q 作QM AD ∥，则QM BE ∥，根据平行线的性质、角平分线的定义可得出1()2AQB CBE CAD ∠=∠-∠，结合（1）的结论可得出2AQB ∠（3）由（2）的结论可得出12CAD CBE ∠=∠①，由QP PB ⊥求出CAD CBE ∠∠、的度数，再结合（1）的结论可得出ACB ∠可求出结论．【详解】（1）在图①中，过点C 作CF AD ∥，则CF BE ∥．∵CF AD BE ∥∥，∴ACF A BCF ∠=∠∠，∴ACB B A ∠+∠-∠=∠（2）在图2中，过点Q ∵QM AD QM BE ∥，∥∴AQM NAD BQM ∠=∠∠，∵AQ 平分CAD ∠，BQ ∴1,2NAD CAD EBQ ∠=∠∠∴AQB BQM AQM ∠=∠-∠∵180(C CBE ︒∠=-∠∴2180AQB C ∠+∠=（3）∵AC QB ∥，∴12AQB CAP ∠=∠=∴180ACB ACP ∠=︒-∠∵2180AQB ACB ∠+∠=∴1.2CAD CBE ∠=∠．又∵QP PB ⊥，∴90CAP ACP ∠+∠=︒，即180CAD CBE ∠+∠=︒，∴60120CAD CBE ∠=︒∠=︒，，∴180120()ACB CBE CAD ∠=︒-∠-∠=︒，∴60120120122DAC ACB CBE ∠∠∠=︒︒︒=：：：：：：，故答案为：122：：．【点睛】本题主要考查平行线的的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、添加辅助线构建平行线．题型四：骨折型【答案】40︒/40度【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．过点即可得到结论．【详解】解：如图，过点C 80ABC ∠=︒ ，80BCF ABC ∴∠=∠=︒，又AB DE ∥ ，DE CF ∴∥，180DCF CDE ∴∠+∠=︒，40DCF ∴∠=︒，80BCD BCF DCF ∴∠=∠-∠=︒-(1)如图1，已知50A ∠=︒，150D ∠=︒，求APD ∠的度数；(2)如图2，判断∠PAB 、CDP ∠、APD ∠之间的数量关系，请写出证明过程．(3)如图3，在（2）的条件下，AP PD ⊥，DN 平分PDC ∠，若12PAN PAB APD ∠+∠=∠，求【答案】(1)80︒(2)180CDP PAB APD ∠+∠-∠=︒，证明见解析(3)45︒【分析】（1）过点P 作EF AB ∥，根据平行线的性质可得50APE A ∠=∠=︒，180EPD ∠=︒-可求出APD ∠的度数；（2）过点P 作EF AB ∥，则AB EF CD ∥∥，根据平行线的性质可得CDP DPF ∠=∠，FPA ∠又FPA DPF APD ∠=∠-∠，即可得出180CDP PAB APD ∠+∠-∠=︒；（3）PD 交AN 于点O ，由AP PD ⊥，得出90APO ∠=︒，由12PAN PAB APD ∠+∠=∠得出1902PAN PAB ∠+∠=︒，由90POA PAN ∠+∠=︒，得出12POA PAB ∠=∠，由对顶角相等得出∠由角平分线的性质得出12ODN PDC ∠=∠，即1180()2AND PAB PDC ∠=︒-∠+∠，由（2）得：CDP DPF ∴∠=∠，FPA ∠+∠FPA DPF APD ∠=∠-∠ ，180DPF APD PAB ∴∠-∠+∠=180CDP PAB APD ∴∠+∠-∠=︒，故答案为：CDP PAB ∠+∠-∠（3）如图3，PD 交AN 于点AP PD ⊥ ，90APO ∴∠=︒，12PAN PAB APD ∠+∠=∠ ，【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）120°．【分析】（1）过点A作AD∥MN，根据两直线平行，内错角相等得到∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，根据角的和差等量代换即可得解；（2）由两直线平行，同旁内角互补得到∴、∠CAB+∠ACD＝180°，由邻补角定义得到∠ECM+∠ECN＝180°，再等量代换即可得解；（3）由平行线的性质得到，∠FAB＝120°﹣∠GCA，再由角平分线的定义及平行线的性质得到∠GCA﹣∠ABF＝60°，最后根据三角形的内角和是180°即可求解．【详解】解：（1）证明：如图1，过点A作AD∥MN，∵MN∥PQ，AD∥MN，∴AD∥MN∥PQ，∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA，即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；（2）如图2，∵CD∥AB，∴∠CAB+∠ACD＝180°，∵∠ECM+∠ECN＝180°，∵∠ECN＝∠CAB∴∠ECM＝∠ACD，即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，∴∠MCA＝∠DCE；（3）∵AF∥CG，∴∠GCA+∠FAC＝180°，∵∠CAB＝60°即∠GCA+∠CAB+∠FAB＝180°，∴∠FAB＝180°﹣60°﹣∠GCA＝120°﹣∠GCA，由（1）可知，∠CAB＝∠MCA+∠ABP，∵BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，∴∠ACN＝2∠GCA，∠ABP＝2∠ABF，又∵∠MCA＝180°﹣∠ACN，∴∠CAB＝180°﹣2∠GCA+2∠ABF＝60°，∴∠GCA﹣∠ABF＝60°，∵∠AFB+∠ABF+∠FAB＝180°，∴∠AFB＝180°﹣∠FAB﹣∠FBA＝180°﹣（120°﹣∠GCA）﹣∠ABF＝180°﹣120°+∠GCA﹣∠ABF＝120°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，线段、角、相交线与平行线，准确的推导是解决本题的关键．【专题强化】（5）（6）当点E 在CD 的下方时，同理可得∠AEC =α-β或β-α．综上所述，∠AEC 的度数可能为β-α，α+β，α-β，360°-α-β，即①②③④．故选：D ．【点睛】本题主要考查平行线的性质的运用，解题时注意两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等以及分类讨论．14．（2016上·甘肃张掖·八年级统考期末）如图，直线12l l ∥，125A ∠=︒，85B ∠=︒，则12∠+∠=（）A．30︒B．35︒C．36︒D．40︒【答案】A 【分析】作直线32l l ∥，42l l ∥，根据平行线的性质可得13∠=∠，26∠=∠，45180∠+∠=︒，进而即可求得12∠+∠．【详解】解：如图，作直线32l l ∥，42l l ∥，∵12l l ∥，∴1234l l l l ∥∥∥，∴13∠=∠，26∠=∠，45180∠+∠=︒，∵125A ∠=︒，85B ∠=︒，∴345612585210∠+∠+∠+∠=︒+︒=︒，∴3621018030∠+∠=︒-︒=︒，∴123630∠+∠=∠+∠=︒，故选：A．【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，掌握平行线的性质是解题的关键．15．（2021·江苏南通·南通田家炳中学校考二模）如图，已知//AB CD ，140A ∠=︒，120E ∠=︒，则C ∠的度数是（）A．80°B．120°C．100°D．140°【答案】C 【分析】过E 作直线MN //AB ，根据两直线平行，同旁内角互补即可求出∠1，进而可求出∠2，然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得MN //CD ，根据平行线性质从而求出∠C ．【详解】解：过E 作直线MN //AB ，如下图所示，∵MN //AB ，∴∠A +∠1＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠1＝180°﹣∠A ＝180°﹣140°＝40°，∵12120AEC ∠=∠+∠=︒，∴211204080AEC ∠=∠-∠=︒-︒=︒∵MN //AB ，AB //CD ，∴MN //CD ，∴∠C +∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补），∴∠C ＝180°﹣∠2＝180°﹣80°＝100°，故选：C．【点睛】此题考查的是平行线的判定及性质，掌握构造平行线的方法是解决此题的关键．16．（2021上·山东青岛·八年级统考期末）如图，//AB CD ，点E 在AC 上，110A ∠=︒，15D ∠=︒，则下列结论正确的个数是（）（1）AE EC =；（2）85AED ∠=︒；（3）A CED D ∠=∠+∠；（4）45BED ∠=︒A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B 【分析】利用平行线的性质和三角形的性质依次判断即可求解．【详解】解：∵AB ∥CD ，∴∠A +∠C ＝180°，又∵∠A ＝110°，∴∠C ＝70°，∴∠AED ＝∠C +∠D ＝85°，故（2）正确，∵∠C +∠D +∠CED ＝180°，∴∠D +∠CED ＝110°，∴∠A ＝∠CED +∠D ，故（3）正确，∵点E 在AC 上的任意一点，∴AE 无法判断等于CE ，∠BED 无法判断等于45°，故（1）、（4）错误，故选：B ．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的性质，掌握平行线的性质是本题的关键．17．（2020下·重庆·七年级重庆南开中学校考期末）如图，直线//m n ，在Rt ABC 中，90B Ð=°，点A 落在直线m 上，BC 与直线n 交于点D ，若2130∠=︒，则1∠的度数为（）.A．30°B．40°C．50°D．65°【答案】B【分析】由题意过点B 作直线//l m ，利用平行线的判定定理和性质定理进行分析即可得出答案．【详解】解：如图，过点B 作直线//l m ，∵直线m//n，//l m ，∴//l n ，∴∠2+∠3=180°，∵∠2=130°，∴∠3=50°，∵∠B=90°，∴∠4=90°-50°=40°，∵//l m ，∴∠1=∠4=40°．故选：B．【点睛】本题主要考查平行线的性质定理和判定定理，熟练掌握两直线平行，平面内其外一条直线平行于其中一条直线则平行于另一条直线是解答此题的关键．18．（2020下·重庆南岸·七年级统考期末）如图,AB //EF,∠D=90°,则α,β,γ的大小关系是（）A．βαγ=+B．90βαγ=+-︒C．90βγα=+︒-D．90βαγ=+︒-【答案】D 【分析】通过作辅助线,过点C 和点D 作CG //AB,DH //AB,可得CG //DH //AB,根据AB //EF,可得AB //EF //CG //DH,再根据平行线的性质即可得γ+β-α=90°,进而可得结论．【详解】解：如图,过点C 和点D 作CG //AB,DH //AB,∵CG //AB,DH //AB,∴CG //DH //AB,∵AB //EF,∴AB //EF //CG //DH,∵CG //AB,∴∠BCG=α,∴∠GCD=∠BCD-∠BCG=β-α,∵CG //DH,∴∠CDH=∠GCD=β-α,∵HD //EF,∴∠HDE=γ,∵∠EDC=∠HDE+∠CDH=90°,∴γ+β-α=90°,∴β=α+90°-γ．故选：D．【点睛】本题考查了平行线的性质,解决本题的关键是掌握平行线的性质．19．（2020下·浙江绍兴·七年级统考期末）如图，已知AB//CD，则α∠，∠β，γ∠之间的等量关系为（）A．180αβγ∠+∠-∠=︒B．180βγα︒∠+∠-∠=C．360αβγ︒∠+∠+∠=D．180αβγ∠+∠+∠=︒【答案】C 【分析】过点E 作EF∥AB，则EF∥CD，然后通过平行线的性质求解即可．【详解】解：过点E 作EF∥AB，则EF∥CD，如图，∵AB∥EF∥CD，∴∠γ+∠FED=180°，∵∠ABE+∠FEB=180°，∠ABE=∠α，∠FED+∠FEB=∠β，∴∠γ+∠FED+∠ABE+∠FEB=360°，∴∠α+∠β+∠γ=360°，故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．20．（2019·山东泰安·统考中考真题）如图，直线12l l ，130∠=︒，则23∠+∠=（）A．150°B．180°C．210°D．240°【答案】C 【分析】根据题意作直线l 平行于直线l 1和l 2，再根据平行线的性质求解即可.【详解】解：作直线l 平行于直线l 1和l 2．12////l l l ，143035180︒︒∴∠=∠=∠+∠=，．245∠=∠+∠ ，2+3=4+5+3=30180210︒︒︒∴∠∠∠∠∠+=．故选C．【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等是解题关键．21．（2016·浙江杭州·七年级期中）如图所示，若AB∥EF，用含α、β、γ的式子表示x ，应为（）A．αβγ++B．βγα+-C．180αγβ︒--+D．180αβγ︒++-【答案】C 【分析】过C 作CD∥AB，过M 作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根据平行线的性质得出α+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=γ，求出∠BCD=180°-α，∠DCM=∠CMN=β-γ，即可得出答案．【详解】过C 作CD∥AB，过M 作MN∥EF，∵AB∥EF，∴AB∥CD∥MN∥EF，∴α+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=γ，∴∠BCD=180°-α，∠DCM=∠CMN=β-γ，∴x =∠BCD+∠DCM=180αγβ︒--+，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质的应用，主要考查了学生的推理能力．二、填空题【答案】80︒/80度【分析】过点F作FM CD∥，所以∥，因为AB CDÐ，再根据平行线的性质即可求得∠，进而可求出EFAEFM【详解】解：如图，过点F作FM CD∥，∵AB CD∥，∴AB CD FM∥∥，∴180∠DEF EFM∠+∠=︒，MFA【答案】60︒【分析】过点B 作BD EF ∥进而可得12∠+∠ABD =∠【详解】解：如图，过点 Rt ABC △中，30A ∠=︒，∴9060ABC A ∠=︒-∠=︒．BD EF ∥，∴1ABD ∠=∠．BD EF ∥，MN EF ∥，∴MN BD ∥，∴2CBD ∠=∠，∴12∠+∠ABD CBD =∠+∠=故按为：60︒．【点睛】本题主要考查平行线性质，平行公理的推论，三角板中的角度计算等知识点，解题的关键是正确【答案】1402n ︒+︒，再根据两直线平行，内错角相等，∥ AB CD ，∴BCD ABC n ∠=∠=︒，BAD ADC ∠=∠又∵BE 平分ABC ∠，DE 平分ADC ∠，∴1122ABE ABC n ∠=∠=︒，11804022EDC ADC ∠=∠=⨯︒=︒，∵AB EF CD ∥∥，∴12BEF ABE n ∠=∠=︒，40FED EDC ∠=∠=︒，∴1402BED FED BEF n ∠=∠+∠=︒+︒，故答案为：1402n ︒+︒．l l∥， 直线12∵AB ∥CD ，AB ∥PM∵AB ∥PM ∥CD ，∴∠1+∠APM =180°，∠MPC +∠3=180°，∴∠1+∠APC +∠3=360°；（2）如图，过点P 、Q 作PM 、QN 平行于AB ，∵AB ∥CD ，∵AB ∥PM ∥QN ∥CD ，∴∠1+∠APM =180°，∠MPQ +∠PQN =180°，∠NQC +∠4=180°；∴∠1+∠APQ +∠PQC +∠4=540°；根据上述规律，显然作（n -2）条辅助线，运用（n -1）次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到∠1+∠2+∠3+…+∠n =180°（n -1）．故答案为：()1801n -︒【点睛】此题考查了平行线的性质．注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．三、解答题27．（2022上·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）已知，DE 平分ADB ∠交射线BC 于点E ，BDE BED ∠=∠．(1)如图1，求证：AD BC ∥；(2)如图2，点F 是射线DA 上一点，过点F 作FG BD ∥交射线BC 于点G ，点N 是FG 上一点，连接NE ，求证：DEN ADE ENG ∠=∠+∠；(3)如图3，在（2）的条件下，连接DN ，点P 为BD 延长线上一点，DM 平分BDE ∠交BE 于点M ，若DN 平分PDM ∠，DE EN ⊥，DBC DNE FDN ∠-∠=∠，求EDN ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)45︒【分析】（1）利用角平分线的定义可得ADE BDE =∠∠，然后再利用等量代换可得ADE BED ∠=∠，从而利用平行线的判定，即可解答；（2）过点E 作EH BD ∥，可知EH FG ∥，利用平行线的性质可得=DEH BDE ∠∠，HEN ENG ∠=∠，由BDE ADE =∠∠，可知=ADE DEH ∠∠，由=DEN DEH HEN ∠∠+∠，可证得结论；（3）设=2BDM x ∠，利用角平分线的定义可得==2BDM MDE x ∠∠，从而可得==2=4ADE BDE BDM x ∠∠∠，进而可得=2=8ADB BDE x ∠∠，然后利用平行线的性质可得=1808B x ∠︒-，再根据垂直定义可得90DEN ∠=︒，最后利用（2）的结论可得=904ENG x ∠︒-，再利用角平分线的定义可得=90MDN x ∠︒-，从而可得=903EDN x ∠︒-，进而可得=3DNE x ∠，790FDN x ∠=-︒，再根据已知790FDN x ∠=-︒，列出关于x 的方程，进行计算即可解答．【详解】（1）证明：∵DE 平分ADB ∠，∴ADE BDE =∠∠，∵BDE BED ∠=∠，∴ADE BED ∠=∠，∴AD BE ；（2）证明：过点E 作EH BD ∥，∴=DEH BDE ∠∠，∵BDE ADE =∠∠，∴=ADE DEH ∠∠，∵BD FG ，∴EH FG ∥，∴HEN ENG ∠=∠，∵=DEN DEH HEN ∠∠+∠，∴DEN ADE ENG ∠=∠+∠；（3）解：设=2BDM x ∠，∵DM 平分BDE ∠，∴==2BDM MDE x ∠∠，∴==2=4ADE BDE BDM x ∠∠∠∴=2=8ADB BDE x ∠∠，∵AD BC ∥，∴=180=1808B ADB x ∠︒-∠︒-，∵DE EN ⊥，∴90DEN ∠=︒，由（2）得：DEN ADE ENG ∠=∠+∠∴==90ENG DEN ADE ∠∠-∠︒-∵DN 平分PDM ∠，∴(11==180MDN PDM ∠∠︒-∠∴18083=790x x x ︒---︒，解得：15x =︒，∴=903=45EDN x ∠︒-︒，∴EDN ∠的度数为45︒．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质及角平分线的定义，垂直定义，熟练掌握平行线的判定及性质是解题的关键．28．（2023下·江苏·七年级泰州市姜堰区第四中学校考周测）如图，AB CD ∥，12110∠+∠=︒，求G ∠的度数．【答案】110︒【分析】过点G 作GM AB ∥，根据AB CD ，GM AB CD ∥∥，进而根据平行线的性质即可求EGF ∠的度数．【详解】解：过点G 作GM AB ∥，∵AB CD ，∴GM AB CD ∥∥，∴1EGM ∠∠=，2FGM ∠∠=，∴12110EGF EGM FGM ∠∠∠∠∠=+=+=︒，【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线及灵活应用平行线的判定与性质解决问题．29．（2023下·江苏·七年级专题练习）已知AB CD ∥，连接A ，C 两点．(1)如图1，CAB ∠与ACD ∠的平分线交于点E ，则AEC ∠等于(2)如图2，点M 在射线AB 反向延长线上，点N 在射线CD 4570AMN ACN ∠=︒∠=︒，，求MEC ∠的度数；(3)如图3，图4，M ，N 分别为射线AB ，射线CD 上的点，()AMN ACN αβαβ∠=∠=≠，，请直接写出图中MEC ∠的度数（用含α，β的式子表示）【答案】(1)90(2)57.5︒(3)1118022αβ︒-+或1118022βα︒-+【分析】（1）根据平行线的性质得到180BAC ACD ∠+∠=︒，即可求出答案；（2）过点E 作EF AB ∥，得到EF CD ∥，根据平行线的性质得到平分线的定义求出1122.522BME BMN ECD ACD ∠=∠=︒∠=∠，（3）由平行线的性质：两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等，即可求解．【详解】（1）解：如图1，∵AB CD ∥，∴180BAC ACD ∠+∠=︒，∵,AE CE 分别平分BAC ACD ∠∠，，∴1122CAE BAC ACE ACD ∠=∠∠=∠，，∵AB CD ∥，∴EF CD ∥，∴BME MEF FEC ∠=∠∠，∵,ME CE 分别平分BMN ∠，∴122.52BME BMN ∠=∠=︒∴MEC MEF CEF ∠=∠+∠（3）①如图3，过点E 作EF ∵AB CD ∥，∴EF CD ∥，∴180AME MEF ∠+∠=︒，∵1122AME AMN α∠=∠=，∴11802MEF α∠=︒-，∵1122ECD ACD β∠=∠=，∴12FEC ECD β∠=∠=，∵AB CD ∥，∴EF CD ∥，∴1122AME MEF α∠=∠=，∠∵1122ECD ACD β∠=∠=，∴11802FEC β∠=︒-，∴180MEC MEF CEF ∠=∠+∠=【点睛】此题考查了平行线的性质及角平分线的定义，解题的关键是正确掌握平行线的性质：两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等．30．（2022上·河南平顶山·八年级统考期末）出BED ∠的度数．（2）如图2，AB CD ，点E F ∠之间的关系并说明理由．（3）如图3，AB 与CD 相交于点95BFD ∠=︒，直接写出BED ∠【答案】（1）66︒；（2）2BED F ∠=∠，理由见解析；（3）130︒【分析】（1）过点E 作EM AB ∥，可得ABE MEB ∠=∠，CDE MED ∠=∠，可求解；（2）过点E 作EG AB ∥，可求出2(23)2(14)BED ∠=∠+∠=∠+∠，过点F 作FH AB ∥，可求出14BFD ∠=∠+∠，由此即可求解；（3）延长DE 交BF 于点P ，可得BED EBP BPD EBP BFD PDF ∠=∠+∠=∠+∠+∠，BED EBG BPD EDG BGD EBG ∠=∠+∠=∠+∠+∠，BF 平分ABE ∠，DF 平分CDE ∠，可得22BED EBP PDF BGD ∠=∠+∠+∠，由此即可求解．【详解】解：（1）如图，过点E 作EM AB ∥，∵AB CD ，∴EM AB CD ∥∥，∴ABE MEB ∠=∠，CDE MED ∠=∠，∵=45ABE ∠︒，21CDE ∠=︒，∴45MEB ∠=︒，21MED ∠=︒，∴452166BED MEB MED ∠=∠+∠=︒+︒=︒．（2）2BED F ∠=∠，理由如下：过点E 作EG AB ∥，∵AB CD ，∴EG AB CD ∥∥，∴512∠=∠+∠，634∠=∠+∠，∵BF 平分ABE ∠，DF 平分CDE ∠，∴12∠=∠，3=4∠∠，∴2(23)2(14)BED ∠=∠+∠=∠+∠，同理，过点F 作FH AB ∥，∴FH AB CD ∥∥，∴1BFH ∠=∠，4DFH ∠=∠，∵BFD BFH DFH ∠=∠+∠，∴14BFD ∠=∠+∠，∴22(14)BFD ∠=∠+∠，∴2BED BFD ∠=∠，即2BED F ∠=∠．（3）如图，延长DE 交BF 于点P ，∴BED EBP BPD EBP BFD PDF ∠=∠+∠=∠+∠+∠，BED EBG BPD EDG BGD EBG ∠=∠+∠=∠+∠+∠，∵BF 平分ABE ∠，DF 平分CDE ∠，∴2EBG EBP ∠=∠，2EDG PDF ∠=∠，∴22BED EBP PDF BGD ∠=∠+∠+∠，∴22EBP BFD PDF EBP PDF BGD ∠+∠+∠=∠+∠+∠，∴952()60EBP PDF EBP PDF ∠+∠+︒=∠+∠+︒，∴35EBP PDF ∠+∠=︒，∴953595130BED EBP PDF ∠=∠+∠+︒=︒+︒=︒．【点睛】本题主要考查平行线的性质，理解平行线的性质，三角形外角的性质是解题的关键．31．（2022下·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中）阅读下面内容，并解答问题．已知：如图1，AB CD ∥，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ．BEF ∠的平分线与DFE ∠的平分线交于点G ．(1)求证：EG FG⊥；(2)填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择题．①在图1的基础上，分别作BEG∠的平分线与DFG∠的平分线交于点M 为．②如图3，AB CD∥，直线EF分别交AB，CD于点E，F．点O在直线 ,AB CD//∴∠+∠=︒BEF DFE180平分BEFEG∠，FG(1)如图1，连接GM ，HM ．求证：∠M ＝∠AGM (2)如图2，在∠GHC 的角平分线上取两点M 、Q ，使得∠关系，并说明理由．【答案】(1)证明见详解(2)180GQH M ∠=︒-∠；理由见详解【分析】（1）过点M 作MN AB ∥，由AB CD ∥，可知MN AB CD ∥∥．由此可知：AGM GMN ∠=∠，CHM HMN ∠=∠，故=AGM CHM GMN HMN M ∠+∠=∠+∠∠；（2）由（1）可知=AGM CHM M ∠+∠∠．再由CHM GHM ∠=∠，∠AGM ＝∠HGQ ，可知：M HGQ GHM ∠=∠+∠，利用三角形内角和是180°，可得180GQH M ∠=︒-∠．【详解】（1）解：如图：过点M 作MN AB ∥，∴MN AB CD ∥∥，∴AGM GMN ∠=∠，CHM HMN ∠=∠，∵M GMN HMN ∠=∠+∠，∴=M AGM CHM ∠∠+∠．（2）解：180GQH M ∠=︒-∠，理由如下：如图：过点M 作MN AB ∥，由（1）知=M AGM CHM ∠∠+∠，∵HM 平分GHC ∠，∴CHM GHM ∠=∠，∵∠AGM ＝∠HGQ ，∴M HGQ GHM ∠=∠+∠，∵180HGQ GHM GQH ∠+∠+∠=︒，∴180GQH M ∠=︒-∠．【点睛】本题考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系，正确的作出辅助线是解决本题的关键，同时这也是比较常见的几何模型“猪蹄模型”的应用．33．（2022下·江苏常州·七年级统考期中）问题情境：如图①，直线AB CD∥，点E，F分别在直线AB，CD上．(1)猜想：若1130∠=︒，2150∠=︒，试猜想P∠=______°；(2)探究：在图①中探究1∠，2∠之间的数量关系，并证明你的结论；∠，P(3)拓展：将图①变为图②，若12325∠=︒，求PGF∠+∠=︒，75EPG∠的度数．【答案】(1)80︒(2)36012∠=︒-∠-∠；证明见详解P(3)140︒【分析】（1）过点P作MN AB∥，利用平行的性质就可以求角度，解决此问；（2）利用平行线的性质求位置角的数量关系，就可以解决此问；（3）分别过点P、点G作MN AB∥，然后利用平行线的性质求位置角的数量关系即可．∥、KR AB【详解】（1）解：如图过点P作MN AB∥，∵AB CD∥，∴AB MN CD∥∥．∴1180∠+∠=︒，EPN∠+∠=︒．FPN2180∵1130∠=︒，2150∠=︒，∴12360∠+∠+∠+∠=︒EPN FPN∴36013015080∠+=︒-︒-︒=︒．EPN FPN∵P EPN FPN∠=∠+∠，∴∠P=80°．故答案为：80︒；（2）解：36012∠=︒-∠-∠，理由如下：P如图过点P作MN AB∥，∵AB CD∥，∴AB MN CD∥∥．∴1180EPN∠+∠=︒，∠+∠=︒．FPN2180∴12360∠+∠+∠+∠=︒EPN FPN∵EPN FPN P∠+∠=∠，∠=︒-∠-∠．36012P（3）如图分别过点P、点G作MN AB∥∥、KR AB∵AB CD∥，∴AB MN KR CD∥∥∥．∴1180∠+∠=︒，EPNNPG PGR∠+∠=︒，180∠+∠=︒．RGF2180∴12540∠+∠+∠+∠++∠=︒EPN NPG PGR RGF∵75∠=∠+∠=︒，EPG EPN NPG∠+∠=∠，PGR RGF PGF∠+∠=︒，12325思路点拨：小明的思路是：如图2，过P 作PE AB ，通过平行线性质，可分别求出APE ∠、CPE ∠的度数，从而可求出APC ∠的度数；小丽的思路是：如图3，连接AC ，通过平行线性质以及三角形内角和的知识可求出APC ∠小芳的思路是：如图4，延长AP 交DC 的延长线于E ，通过平行线性质以及三角形外角的相关知识可求出APC ∠的度数．问题解决：请从小明、小丽、小芳的思路中任选一种思路进行推理计算，你求得的APC ∠的度数为问题迁移：（1）如图5，AD BC ∥，点P 在射线OM 上运动，当点P 在A 、B 两点之间运动时，ADP ∠BCP β∠=∠．CPD ∠、α∠、∠β之间有何数量关系？请说明理由；（2）在（1）的条件下，如果点P 在A 、B 两点外侧运动时（点P 与点A 、B 、O 三点不重合）写出CPD ∠、α∠、∠β间的数量关系．【答案】110；（1）CPD αβ∠=∠+∠，理由见解析；（2）CPD βα∠=∠-∠或CPD a ∠=∠解析【分析】小明的思路是：过P 作PE AB ，构造同旁内角，利用平行线性质，可得APC ∠=（1）过P 作PE AD ∥交CD 于E ，推出AD PE BC ∥∥，根据平行线的性质得出a DPE ∠=∠即可得出答案；（2）画出图形（分两种情况：①点P 在BA 的延长线上，②点P 在AB 的延长线上），根据平行线的性质得出DPE α∠=∠，CPE β∠=∠，即可得出答案．【详解】解：小明的思路：如图2，过P 作PE AB ，∵AB CD ∥，∴PE AB CD ∥∥，∴18050APE A ︒∠=-∠=︒，18060CPE C ︒∠=-∠=︒，∴5060110APC ∠=︒+︒=︒，故答案为：110；（1）CPD αβ∠=∠+∠，理由如下：如图5，过P 作PE AD ∥交CD 于E ，∵AD BC ∥，∴AD PE BC ∥∥，∴a DPE ∠=∠，CPE β∠=∠，∴CPD DPE CPE a β∠=∠+∠=∠+∠；（2）当P 在BA 延长线时，CPD βα∠=∠-∠；理由：如图6，过P 作PE AD ∥交CD 于E ，∵AD BC ∥，∴AD PE BC ∥∥，∴DPE α∠=∠，CPE β∠=∠，∴CPD CPE DPE βα∠=∠-∠=∠-∠；当P 在BO 之间时，CPD a ∠=∠-∠理由：如图7，过P 作PE AD ∥交∵AD BC ∥，∴AD PE BC ∥∥，∴DPE α∠=∠，CPE β∠=∠，∴CPD DPE CPE α∠=∠-∠=∠-∠【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的判定和性质，主要考查学生的推理能力，解决问题的关键是作辅助线构造内错角以及同旁内角．。

如图①，AD 是△ABC 的中线，△ABD 与△ACD 的面积有怎样的数量关系？为什么？ （2）若三角形的面积记为S ，例如：△ABC 的面积记为S △ABC ，如图②，已知S △ABC =1，△ABC 的中线AD 、CE 相交于点O ，求四边形BDOE 的面积． 小华利用（1）的结论，解决了上述问题，解法如下： 连接BO ，设S △BEO =x ，S △BDO =y ， 由（1）结论可得：S ， S △BCO =2S △BDO =2y ， S △BAO =2S △BEO =2x ．则有，即．所以．请仿照上面的方法，解决下列问题：①如图③，已知S △ABC =1，D 、E 是BC 边上的三等分点，F 、G 是AB 边上的三等分点，AD 、CF 交于点O ，求四边形BDOF 的面积．②如图④，已知S △ABC =1，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，G 、H 、I 是AB 边上的四等分点，AD 、CG 交于点O ，则四边形BDOG 的面积为 ．平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系江苏省七（下）平面图形的认识（二）提优练习（1）求 在△ABC 中，∠C =90°，点D 、E 分别是边Ac 、BC 上的点，点P 是一动点，连接PD 、PE ，∠PDA =∠1，∠PEB =∠2，∠DPE =∠α． （1）如图1所示，若点P 在线段AB 上，且∠α=40°，则∠1+∠2= °； （2）如图2所示，若点P 在边AB 上运动，则∠α、∠1、∠2之间的关系为有何数量关系；猜想结论并说明理由； （3）如图3所示，若点P 运动到边AB 的延长线上，则∠α、∠1、∠2之间有何数量关系？猜想结论并说明理由． （1）如图①，△ABC 中，点D 、E 在边BC 上，AD 平分∠BAC ，AE ⊥BC ，∠B =35°，∠C =65°，求∠DAE 的度数； （2）如图②，若把（1）中的条件“AE ⊥BC ”变成“F 为DA 延长线上一点，FE ⊥BC ”，其它条件不变，求∠DFE 的度数； （3）若把（1）中的条件“AE ⊥BC ”变成“F 为AD 延长线上一点，FE ⊥BC ”，其它条件不变，请画出相应的图形，并求出∠DFE 的度数； （4）结合上述三个问题的解决过程，你能得到什么结论？ 备用图图3M N E E N M O O A B A B 图2图1M N E E N M D O O A B A B C 已知：∠MON =80°，OE 平分∠MON ，点A 、B 、C 分别是射线OM 、OE 、ON 上的动点（A 、B 、C 不与点O ?重合），连接AC 交射线OE 于点D ．设∠OAC =x °． （1）如图1，若AB ∥ON ，则①∠ABO 的度数是 ；②如图2，当∠BAD =∠ABD 时，试求x 的值（要说明理由）； （2）如图3，若AB ⊥OM ，则是否存在这样的x 的值，使得△ADB 中有两个相等的角？若存在，直接写出x 的值；若不存在，说明理由．（自己画图） 聪明的小宸同学在学习“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”后，采用类比的方法，研究四边形不相邻的两个外角与不相邻的两个内角的关系． (1)如图①，猜想并说明∠1+∠2与∠A 、∠C 的数量关系； （2）图①不妨称为“枪头图”．试直接利用上述结论．．．．．．．．，解决下面的三个问题： 问题一：如图②，将△ABC 纸片沿DE 折叠，使点彳落在四边形BCDE 内点A ’的位置， 试直接写出∠1+∠2与∠A 之间的数量关系： ； 问题二：如图③，在△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的外角平分线交于点D ，若∠A=40°，求∠O 的度数；问题三：将图③中边BC 改为折线BDC?得图④，BO 、CO 是∠ABD 与∠ACD 的外角平分线． 试探究：∠A 、∠D 与∠O 这三个角的数量关系．（1）如图a，若AB∥CD，点P在AB、CD外部，则有∠B=∠BOD，又因∠BOD是△POD的外角，故∠BOD=∠BPD+∠D，得∠BPD=∠B-∠D．将点P移到AB、CD内部，如图b，以上结论是否成立？若成立，说明理由；若不成立，则∠BPD、∠B、∠D之间有何数量关系？请证明你的结论；（2）在图b中，将直线AB绕点B逆时针方向旋转一定角度交直线CD于点Q，如图c，则∠BPD﹑∠B﹑∠D﹑∠BQD之间有何数量关系？（不需证明）（3）根据（2）的结论求图d中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．如图1，两个不全等的等腰直角三角形OAB和OCD叠放在一起，并且有公共的直角顶点O。

专题10几何变换中的三角形全等模型【模型1】全等三角形中的平移变换【说明】平移前后的三角形全等。

平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应角相等．【模型2】全等三角形中的折叠变换模型【说明】折叠问题实质上是利用了轴对称的性质。

轴对称变换的性质：①关于直线对称的两个图形是全等图形.②如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线.③两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.【模型3】全等三角形中的旋转变换模型旋转变换的性质：图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变化.【例1】如图，DEF 是由ABC 经过平移得到的，AC 分别交DE 、EF 于点G 、H ，若120B ∠=︒，30C ∠=︒，则DGH ∠的度数为（）A ．150°B ．140°C ．120°D ．30°【答案】A 【分析】根据平移可知：ABC DEF ≅ ，AC DF ∥，根据全等三角形对应角相等，得出120E B ∠=∠=︒，30F C ∠=∠=︒，即可得出∠D 的度数，再根据平行线的性质得出∠DGH 的度数即可．【解析】根据平移可知，ABC DEF ≅ ，AC DF ∥，∴120E B ∠=∠=︒，30F C ∠=∠=︒，∴180D E F∠=︒-∠-∠18012030=︒-︒-︒30=︒，∵AC DF ∥，∴180DGH D ∠+∠=︒，∴180********DGH D ∠=︒-∠=︒-︒=︒，故A 正确．故选：A ．【例2】如图，纸片ABCD 的对边AD BC ∥，将纸片沿EF 折叠，CF 的对应边C F '交AD 于点G ．若AG GF =，且144∠=︒，则2∠的大小是（）A ．44︒B ．45︒C ．46︒D ．56︒【答案】C 【分析】利用等腰三角形和平行线的性质求得44AFG AFB ∠=∠=︒，再求得18092CFE C FE AFB AFG ∠+∠=︒-∠-∠=︒′，利用折叠的性质和平行线的性质即可求解．【解析】解：∵AG GF =，144∠=︒，∴144AFG ∠=∠=︒，∵AD BC ∥，144∠=︒，∴144AFB ∠=∠=︒，∴18092CFE C FE AFB AFG ∠+∠=︒-∠-∠=︒′，由折叠的性质可得CFE C FE '∠=∠，∴192=462CFE ∠=⨯︒︒，∵AD BC ∥，∴2==46CFE ∠∠︒，故选C【例3】如图，在等腰Rt ABC 和等腰Rt CDE 中，90ACB DCE ∠=∠=︒．(1)观察猜想：如图1，点E 在BC 上，线段AE 与BD 的关系是_________；(2)探究证明：把CDE △绕直角顶点C 旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；(3)拓展延伸：把CDE △绕点C 在平面内转动一周，若10AC BC ==，5CE CD ==，AE 、BD 交于点P 时，连接CP ，直接写出BCP 最大面积_________．【答案】(1)AE BD =，AE BD ⊥；(2)结论仍成立，理由见解析；(3)252+．【分析】（1）先根据等腰三角形的定义可得AC BC =，CE CD =，再根据三角形全等的判定定理与性质可得AE BD =，EAC DBC ∠=∠，然后根据直角三角形两锐角互余、等量代换即可得90AHD ∠=︒即可；（2）先根据三角形全等的判定定理与性质可得AE BD =，EAC DBC ∠=∠，再根据直角三角形两锐角互余可得90EAC AOC ∠+∠=︒，然后根据对顶角相等、等量代换可得90BOH DBC ∠∠+=︒，从而可得90OHB ∠=︒即可；（3）如图：由题意可知点P 在以AB 为直径的O 上运动，点D 在C 上运动，观察图形，可知当BP 与C 相切时，BCP 面积最大；此时，四边形CDPE 为正方形，5PD CD ==；然后在Rt BDC 运用勾股定理求出BD ，进而求出BP 的最大值，最后运用三角形的面积公式求解即可．【解析】（1）解：AE BD =，AE BD ⊥，理由如下：如图1，延长AE 交BD 于H ，由题意得：AC BC =，90ACE BCD ∠=∠=︒，CE CD =，∴()ACE BCD SAS ≅ ，∴AE BD =，EAC DBC ∠=∠，∵90DBC BDC ∠+∠=︒，∴90EAC BDC ∠+∠=︒，∴0)9018(EAC BD A D C H ∠+∠∠︒==-︒，即AE BD ⊥，故答案为：AE BD =，AE BD ⊥．（2）解：结论仍成立，仍有：AE BD =，AE BD ⊥；理由如下：如图2，延长AE 交BD 于H ，交BC 于O ，∵90ACB ECD ∠=∠=︒，∴ACB BCE ECD BCE ∠-∠=∠-∠，即ACE BCD ∠=∠，在ACE 和BCD △中，AC BC ACE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ACE BCD SAS ≅ ，∴AE BD =，EAC DBC ∠=∠，∵90ACB ∠=︒，∴90EAC AOC ∠+∠=︒，∵AOC BOH ∠=∠，∴90BOH DBC ∠∠+=︒，即90OBH BOH ∠+∠=︒，∴180()90OHB OBH BOH ∠=︒-∠+∠=︒，即AE BD ⊥．（3）解：如图：∵90APB ∠=︒，∴点P 在以AB 为直径的O 上运动.∵5CD CE ==，∴点D 在C 上运动，观察图形，可知当BP 与C 相切时，BCP 面积最大.此时，四边形CDPE 为正方形，5PD CD ==.在Rt BDC中，BD ==当BCP的面积最大时，5BP BD DP =+=+，12S BP CD =⋅=一、单选题1．如图，三角形ABC ，三角形EFG 均为边长为4的等边三角形，点D 是BC 、EF 的中点，直线AG 、FC 相交于点M ，三角形EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值为（）A ．43B ．23C ．232-D ．434【答案】C 【分析】首先证明90AMF ∠=︒，判定出点M 在以AC 为直径的圆上运动，当M 运动到BM AC ⊥时，BM 最短来解决问题．【解析】解：如图，连接AE 、EC 、CG ，AD ，DE CD DF，==∠=∠，DEC DCE∴∠=∠，DFC DCF，∠+∠+∠+∠=︒180DEC DCE DFC DCFECF∴∠=︒，90∆是等边三角形，D是BC、EF的中点， 、EFG∆ABC∴∠=∠=︒，90ADC GDE∴∠=∠，ADE GDC∴∆≅∆，()ADE GDC SAS∴=，DAE DGCAE CG∠=∠，DA DG，=∴∠=∠，DAG DGAGAE AGC∴∠=∠，∴∆≅∆，AGE GAC SAS()∴∠=∠，GAK AGK∴=，KA KG，=AC EG∴=，EK KCKEC KCE∴∠=∠，，∠=∠AKG EKC∴∠=∠，KAG KCE\∥，EC AG∴∠=∠=︒，90AMF ECF∴点M在以AC为直径的圆上运动，∴当BM AC⊥时，且B、M在AC的同侧时，BM最短，Q，AB=4∴=2OB==，AO OM∴的最小值为2-．BM故选：C ．2．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝4，点M 在CD 的边上，且DM ＝1，△AEM 与△ADM 关于AM 所在的直线对称，将△ADM 按顺时针方向绕点A 旋转90°得到△ABF ，连接EF ，则线段EF 的长为（）A ．3B ．C ．5D 【答案】C 【分析】连接BM ．先判定FAE MAB ∆∆≌，即可得到EF BM =．再根据4BC CD AB ===，3CM =，利用勾股定理即可得到，Rt BCM ∆中，5BM =，进而得出EF 的长．【解析】解：如图，连接BM ．AEM ∆ 与ADM ∆关于AM 所在的直线对称，AE AD ∴=，MAD MAE ∠=∠．ADM ∆ 按照顺时针方向绕点A 旋转90︒得到ABF ∆，AF AM ∴=，FAB MAD ∠=∠．FAB MAE ∴∠=∠，FAB BAE BAE MAE ∴∠+∠=∠+∠．FAE MAB ∴∠=∠．FAE MAB ∴∆∆≌（SAS ）．EF BM ∴=．四边形ABCD 是正方形，4BC CD AB ∴===．1DM = ，3CM ∴=．∴在Rt BCM ∆中，5BM ，5EF ∴=，故选：C ．3．如图，ABCD 是一张矩形纸片，AB ＝20，BC ＝4，将纸片沿MN 折叠，点B '，C '分别是B ，C 的对应点，MB′与DC 交于K ，若△MNK 的面积为10，则DN 的最大值是（）A ．7.5B ．12.5C ．15D ．17【答案】D 【分析】作NE ⊥B M '于E ，NF ⊥BM 于F ，由折叠得∠1＝∠2，根据角平分线的性质得NE ＝NF ，可得四边形BCNF 是矩形，则NF ＝BC ＝4，根据△MNK 的面积为10得NK ＝MK ＝5，根据勾股定理得KE ＝3，则MF ＝ME ＝MK ﹣KE ＝5﹣3＝2，设DN ＝x ，则CN ＝20﹣x ，BM ＝BF +MF ＝20﹣x +2＝22﹣x ，由折叠可得BM ≥KM ，即22﹣x ≥5．可得x ≤17，即可得DN ≤17，则DN 的最大值是17．【解析】解：如图所示，过点N 作NE ⊥B M '于E ，NF ⊥BM 于F ，由折叠得∠1＝∠2，∴NE ＝NF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝∠C ＝∠BFN ＝90°，AB CD ∥，∴四边形BCNF 是矩形，∠DNM =∠2，∴NE ＝NF ＝BC ＝4，∠1=∠DNM ，∴NK =MK ，∵△MNK 的面积为10，∴12KM •NE ＝12KN •NF ＝10，∴NK ＝MK ＝5，∴KE 22KN NE -3，在△MEN 和△MFN 中，12MEN MFN ME NF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△MEN ≌△MFN （AAS ），∴MF ＝ME ＝MK ﹣KE ＝5﹣3＝2，设DN ＝x ，则CN ＝BF ＝20﹣x ，∴BM ＝BF +MF ＝20﹣x +2＝22﹣x ，由折叠得BM ≥KM ，即22﹣x ≥5．∴x ≤17，即DN ≤17，∴DN 的最大值是17．故选：D ．4．如图，现有一张矩形纸片ABCD ，AB ＝4，BC ＝8，点M ，N 分别在矩形的边AD ，BC 上，将矩形纸片沿直线MN 折叠，使点C 落在矩形的边AD 上，记为点P ，点D 落在G 处，连接PC ，交MN 于点Q ，连接CM ．下列结论：①CQ ＝CD ；②四边形CMPN 是菱形；③P ，A 重合时，MN ＝PQM 的面积S 的取值范围是3≤S ≤5．其中正确的是（）A ．①②③④B ．②③C ．①②④D ．①③④【答案】B 【分析】先判断出四边形CNPM 是平行四边形，再根据翻折的性质可得CN ＝NP ，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出②正确；假设CQ ＝CD ，得Rt △CMQ ≌△CMD ，进而得∠DCM ＝∠QCM ＝∠BCP ＝30°，这个不一定成立，判断①错误；点P 与点A 重合时，设BN ＝x ，表示出AN ＝NC ＝8−x ，利用勾股定理列出方程求解得x 的值，进而用勾股定理求得MN ，判断出③正确；当MN 过D 点时，求得四边形CMPN 的最小面积，进而得S 的最小值，当P 与A 重合时，S 的值最大，求得最大值即可．【解析】解：如图1，∵四边形ABCD是矩形，∴PM∥CN，∴∠PMN＝∠MNC，∵∠MNC＝∠PNM（折叠的性质），∴∠PMN＝∠PNM，∴PM＝PN，∵NC＝NP（折叠的性质），∴PM＝CN，∴四边形CNPM是平行四边形，∵CN＝NP，∴四边形CNPM是菱形，故②正确；∴CP⊥MN，∠BCP＝∠MCP，∴∠MQC＝∠D＝90°，∵CM＝CM，若CQ＝CD，则Rt△CMQ≌Rt△CMD（HL），∴∠DCM＝∠QCM＝∠BCP＝30°，这个不一定成立，故①错误；点P与点A重合时，如图2所示：设BN＝x，则AN＝NC＝8−x，在Rt△ABN中，AB2＋BN2＝AN2，即42＋x2＝（8−x）2，解得x ＝3，∴CN ＝8−3＝5，AC∴CQ ＝12AC ＝∴QN∴MN ＝2QN ＝当MN 过点D 时，如图3所示：此时，CN 最短，四边形CMPN 的面积最小（四边形CNPM 的边CN 上的高固定为AB 的长），此时四边形CNPM 是正方形，则S 最小＝14S 菱形CMPN ＝14×4×4＝4，当P 点与A 点重合时，CN 最长，四边形CMPN 的面积最大，则S 最大＝14×5×4＝5，∴4≤S ≤5，故④错误．故选：B ．5．如图，在Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 为BC 的中点，直角MDN ∠绕点D 旋转，DM ，DN 分别与边AB ，AC 交于E ，F 两点，下列结论：①DEF 是等腰直角三角形；②AE CF =；③12ABC AEDF S S =△四边形；④BE CF EF +=，其中正确结论的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠CAD =∠B =45°，根据同角的余角相等求出∠ADF =∠BDE ，然后利用“角边角”证明△BDE 和△ADF 全等，判断出③正确；根据全等三角形对应边相等可得DE =DF 、BE =AF ，从而得到△DEF 是等腰直角三角形，判断出①正确；再求出AE =CF ，判断出②正确；根据BE +CF =AF +AE ，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得BE +CF ＞EF ，判断出④错误．【解析】∵∠BAC =90°，AB =AC ，∴△ABC 是等腰直角三角形，∠B =45°，∵点D 为BC 中点，∴AD =CD =BD ，AD ⊥BC ，∠CAD =45°，∴∠CAD =∠B ，∠BDE +∠ADE =∠ADB =90°∵∠MDN 是直角，∴∠ADF +∠ADE =90°，∴∠ADF =∠BDE ，在△BDE 和△ADF 中，CAD B AD BD ADF BDE ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△BDE ≌△ADF （ASA ），∴DE =DF ，BE =AF ，∴△DEF 是等腰直角三角形，故①正确；∵AE =AB -BE ，CF =AC -AF ，∴AE =CF ，故②正确；∵△BDE ≌△ADF∴BDE ADFS S = ∴12ADE ADF ADE BDE BDA ABC AEDF S S S S S S S =+=+==△△△△△△四边形故③正确；∵BE +CF =AF +AE ＞EF ，∴BE +CF ＞EF ，故④错误；综上所述，正确的是①②③，故选：C.6．如图，在ABC 中，AB BC =，将ABC 绕点B 顺时针旋转，得到11A BC V ，1A B 交AC 于点E ，11A C 分别交AC ，BC 于点D ，F ，则下列结论一定正确的是（）A ．CDF A∠=∠B ．1AE CF =C ．11A DE C ∠=∠D ．DF FC=【答案】B 【分析】根据将△ABC 绕点B 顺时针旋转，得到△A 1BC 1，可证明△A 1BF ≌△CBE ，从而可得A 1E =CF ，即可得到答案．【解析】解：∵AB =BC ，∴∠A =∠C ，∵将△ABC 绕点B 顺时针旋转，得到△A 1BC 1，∴A 1B =AB =BC ，∠A 1=∠A =∠C ，在△A 1BF 和△CBE 中111A C AB CB A BF CBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△A 1BF ≌△CBE （ASA ），∴BF =BE ，∴A 1B -BE =BC -BF ，即A 1E =CF ，故B 正确，其它选项的结论都不能证明，故选：B ．7．如图，在矩形ABCD 中，点M 在AB 边上，把BCM 沿直线CM 折叠，使点B 落在AD 边上的点E 处，连接EC ，过点B 作BF EC ⊥，垂足为F ，若1,2CD CF ==，则线段AE 的长为（）A2B1C ．13D ．12【答案】A 【分析】先证明△BFC ≌△CDE ，可得DE =CF =2，再用勾股定理求得CEAD =BCAE 的长．【解析】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴BC =AD ，∠ABC =∠D =90°，AD ∥BC ，∴∠DEC =∠FCB ，∵BF EC ⊥，∴∠BFC =∠CDE ，∵把BCM 沿直线CM 折叠，使点B 落在AD 边上的点E 处，∴BC =EC ，在△BFC 与△CDE 中，DEC FCB BFC CDE BC EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BFC ≌△CDE （AAS ），∴DE =CF =2，∴CE ===∴AD =BC =CE∴AE =AD -DE2，故选：A ．8．如图，正方形ABCD 中，AB ＝12，点E 在边BC 上，BE ＝EC ，将△DCE 沿DE 对折至△DFE ，延长EF 交边AB 于点G ，连接DG 、BF ，给出以下结论：①△DAG ≌△DFG ；②BG ＝2AG ；③S △DGF ＝48；④S △BEF ＝725．其中所有正确结论的个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B 【分析】①根据正方形的性质和折叠的性质可得AD ＝DF ，∠A ＝∠GFD ＝90°，于是根据“HL ”判定Rt △ADG ≌Rt △FDG ；②再由GF +GB ＝GA +GB ＝12，EB ＝EF ，△BGE 为直角三角形，可通过勾股定理列方程求出AG ＝4，BG ＝8，即可判断；③根据①即可求出三角形DGF 的面积；④结合①可得AG ＝GF ，根据等高的两个三角形的面积的比等于底与底的比即可求出三角形BEF 的面积．【解析】解：①∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝DC ，∠C ＝∠A ＝90°，由折叠可知，DF ＝DC ＝DA ，∠DFE ＝∠C ＝90°，∴∠DFG ＝180°－∠DFE ＝90°，∴∠DFG ＝∠A ＝90°，在Rt △ADG 和Rt △FDG 中，AD DF DG DG=⎧⎨=⎩，∴Rt △ADG ≌Rt △FDG （HL ），故①正确；②∵正方形边长是12，∴BE ＝EC ＝EF ＝6，设AG ＝FG ＝x ，则EG ＝x +6，BG ＝12﹣x ，由勾股定理得：EG 2＝BE 2+BG 2，即：（x +6）2＝62+（12﹣x ）2，解得：x ＝4，∴AG ＝GF ＝4，BG ＝8，BG ＝2AG ，故②正确；③∵Rt △ADG ≌Rt △FDG ，∴S △DGF ＝S △ADG ＝12×AG •AD ＝12×4×12＝24，故③错误；④∵S △GBE ＝12BE •BG ＝12×6×8＝24，∵GF ＝AG ＝4，EF ＝BE ＝6，∴23BFG BEF S GF S EF ==△△，∴337224555BEF GBE S S ==⨯=△△，故④正确．综上可知正确的结论的是3个，故选：B ．二、填空题9．如图，矩形纸片ABCD 中，AB =8cm ，把矩形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F ，若AD =6cm ，则∠EAD 的正弦值为_____．【答案】724【分析】首先根据勾股定理计算出AC 的长，再根据折叠的方法可得△ABC ≌△AEC ，△ADF ≌△CEF ，进而可得到可知AE =AB =8cm,CE =BC =AD =6cm,再设AF =x ,则EF =DF =（8-x ）cm,在Rt △ADF 中利用勾股定理可得22268x x +-=（），求得AF 的长，再通过勾股定理求得DF 的长，最后可得结果．【解析】解：∵四边形ABCD 是矩形，AD =6cm,∴BC =AD =6cm,∵AB =8cm,∴10cm AC =,矩形纸片沿直线AC 折叠，则△ABC ≌△AEC ，∠E =∠B =90°，∵四边形ABCD 为矩形，∴AD =BC=CE ，∠D =∠B =90°，∴∠E =∠D =90°，又∵∠AFD =∠EFC ，∴△ADF ≌△CEF （AAS ），可知AE =AB =8cm,CE =BC =AD =6cm,设AF =x ,则EF =DF =（8-x ）cm,在Rt △ADF 中，222AD DF AF +=，即：22268x x +-=（），解得x =254．∴AF =254，∴74DF ===，∴774tan 624DF EAD AD ∠===故答案为：724．10．如图，已知正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点，且∠EDF =45°，将 DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到 DCM ．若AE =1，则FM 的长为__．【答案】2.5【分析】由旋转可得DE =DM ，∠EDM 为直角，可得出∠EDF +∠MDF =90°，由∠EDF =45°，得到∠MDF 为45°，可得出∠EDF =∠MDF ，再由DF =DF ，利用SAS 可得出三角形DEF 与三角形MDF 全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF =MF ；则可得到AE =CM =1，正方形的边长为3，用AB -AE 求出EB 的长，再由BC +CM 求出BM 的长，设EF =MF =x ，可得出BF =BM -FM =BM -EF =4-x ，在直角三角形BEF 中，利用勾股定理列出关于x 的方程，求出方程的解得到x 的值，即为FM 的长．【解析】解：∵△DAE 逆时针旋转90°得到△DCM ，∴∠FCM =∠FCD +∠DCM =180°，∴F 、C 、M 三点共线，∴DE =DM ，∠EDM =90°，∴∠EDF +∠FDM =90°，∵∠EDF =45°，∴∠FDM =∠EDF =45°，在△DEF 和△DMF 中，DE DM EDF FDM DF DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DEF ≌△DMF （SAS ），∴EF =MF ，设EF =MF =x ，∵AE =CM =1，且BC =3，∴BM =BC +CM =3+1=4，∴BF =BM -MF =BM -EF =4-x ，∵EB =AB -AE =3-1=2，在Rt △EBF 中，由勾股定理得222EB BF EF +=，2222(4)x x +-=，解得： 2.5x =．故答案为：2.5．11．如图，点E 在正方形ABCD 的CD 边上，连结BE ，将正方形折叠，使点B 与E 重合，折痕MN 交BC 边于点M ，交AD 边于点N ，若tan ∠EMC ＝34，ME ＋CE ＝8，则折痕MN 的长为___________．【答案】【分析】过N 作NH ⊥BC 于H ，得到四边形ABHN 是矩形，根据矩形的性质得到NH ＝AB ，∠NHM ＝90°，证明△BCE ≌△NHM ，根据全等三角形的性质得到HM ＝CE ，设CE ＝3x ，则CM ＝4x ，根据勾股定理得到EM ＝5x ，求出x ，可得NH ＝9，再利用勾股定理计算即可．【解析】解：过N 作NH ⊥BC 于H ，则四边形ABHN是矩形，∴NH ＝AB ，∠NHM ＝90°，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠C ＝90°，AB ＝BC ，∴NH ＝BC ，∵将正方形折叠，使点B 与E 重合，∴MN ⊥BE ，BM ＝ME ，∴∠HNM ＋∠NMH ＝∠EBC ＋∠BMN ＝90°，∴∠EBC ＝∠HNM ，在△BCE 与△NHM 中，NHM C NH BC HNM CBE ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BCE ≌△NHM （ASA ），∴HM＝CE，在Rt△EMC中，∵tan∠EMC＝34 CECM=，∴设CE＝3x，则CM＝4x，由勾股定理得：EM＝5x，∵ME＋CE＝8，∴5x＋3x＝8，∴x＝1，∴EM＝5，HM＝CE＝3，CM＝4，∴BC＝BM＋CM＝EM＋CM＝9，∴NH＝9，∴MN=故答案为：12．如图，△ABC，△DEP是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠PDE＝90°．使△DEP 的顶点P与△ABC的顶点A重合，PD，PE分别与BC相交于点F、G，若BF＝6，CG＝4，则FG＝_____．【答案】【分析】将△ABF绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，即可构建出直角三角形CGH，由勾股定理可求出GH的长度，再证明△FAG≌△GAH即可．【解析】解：将△ABF绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，∵△ACH由△ABF旋转得到，∴∠BAF=∠CAH，CH=BF=6，AF=AH，∠B=∠ACH∵△ABC，△DEP是两个全等的等腰直角三角形∴∠B=45°，∠ACB=45°∴∠HCG=90°在Rt△HCG中，由勾股定理得：GH=∵∠FAG=45°∴∠BAF+∠GAC=45°∴∠CAH+∠GAC=45°，即∠GAH=45°在△FAG和△GAH中，AF=AH，∠FAG=∠GAH，AG=AG∴△FAG≌△GAH∴FG=GH=故答案为：13．如图，四边形ABCD为正方形，点E是BC的中点，将正方形ABCD沿AE折叠，得到AB=，则DP的长度为___________．点B的对应点为点F，延长EF交线段DC于点P，若6【答案】2【分析】连接AP，根据正方形的性质和翻折的性质证明Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），可得PF＝PD，设PF＝PD＝x，则CP＝CD−PD＝6−x，EP＝EF＋FP＝3＋x，然后根据勾股定理即可解决问题．【解析】解：连接AP，如图所示，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ＝12AB ＝3，由翻折可知：AF ＝AB ，EF ＝BE ＝3，∠AFE ＝∠B ＝90°，∴AD ＝AF ，∠AFP ＝∠D ＝90°，在Rt △AFP 和Rt △ADP 中，AP AP AF AD =⎧⎨=⎩，∴Rt △AFP ≌Rt △ADP （HL ），∴PF ＝PD ，设PF ＝PD ＝x ，则CP ＝CD −PD ＝6−x ，EP ＝EF ＋FP ＝3＋x ，在Rt △PEC 中，根据勾股定理得：EP 2＝EC 2＋CP 2，∴（3＋x ）2＝32＋（6−x ）2，解得x ＝2，则DP 的长度为2，故答案为：2．14．如图，在边长为6的正方形ABCD 内作45EAF ∠=︒，AE 交BC 于点E ，AF 交CD 于点F ，连接EF ，将ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到ABG ，若3DF =，则BE 的长为__________．【答案】2【分析】根据旋转的性质可知，△ADF ≌△ABG ，然后即可得到DF =BG ，∠DAF =∠BAG ，然后根据已知条件证明△EAG ≌△EAF ，设BE x =，在Rt CEF 中，由勾股定理可以求出BE 的长．【解析】解：由旋转可知，△ADF ≌△ABG ，∴3DF BG ==，∠DAF =∠BAG ，∵∠DAB =90°，∠EAF =45°，∴∠DAF +∠EAB =45°，∴∠BAG +∠EAB =45°，∴∠EAF =∠EAG ，在△EAG 和△EAF 中，AG AF EAG EAF AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴GE =FE ，设BE x =，则3GE GB BE x =+=+，6CE x =-，∴3EF GE x ==+，∵CD =6，DF =3，∴633CF CD DF =-=-=，∵∠C =90°，∴在Rt CEF 中，222CE CF EF +=，即222(6)3(3)x x -+=+，解得，2x =，即BE =2．故答案为：2．三、解答题15．如图，在ΔABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，D 是AB 边上一点（点D 与A ，B 不重合），连接CD ，将线CD 绕点C 按逆时针方向旋转90°得到线段CE ，连接DE 交BC 于点F ，连接BE.(1)求证：ΔACD ≌ΔBCE ；(2)当AD ＝BF 时，求∠BEF 的度数.【答案】(1)证明见解析；(2)67.5BEF ∠= 【分析】（1）利用边角边证明三角形全等即可；（2）先推理得到△BEF 是等腰三角形，再由全等得到∠CBE =45 ，即可得到∠BEF 的度数．【解析】（1）证明：∵90ACB ∠=90ACD DCB ∴∠+∠=又∵CD 绕点C 按逆时针方向旋转90°得到线段CE∴90DCE ∠= ,CD =CE∴90BCE DCB ∠+∠=∴ACD BCE∠=∠在ACD △和BCE 中：AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩（2）解：由第一问知，ACD BCE≅△△∴AD =BE ,∠CAD =∠CBE又∵AD =BF∴BE =BF在ACB △中，AC =BC ,90ACB ∠=∴45CAD CBA ∠=∠=在BEF 中，BE =BF ,∠CBE =45 ∴1(18045)67.52BEF BFE ∠=∠=-= 16．如图，ABC 中，AB AC =，42BAC ∠=︒，D 为ABC 内一点，连接AD ，将AD 绕点A 逆时针旋转42︒，得到AE ，连接DE ，BD ，CE ．(1)求证：BD CE =；(2)若DE AC ⊥，求BAD ∠的度数．【答案】(1)证明见解析；(2)21︒【分析】（1）根据旋转的性质得到AD AE =，42DAE ∠=︒，可得CAE BAD ∠=∠，然后证明ABD ACE △≌△，最后利用全等三角形的性质即可证明结论；（2）根据等腰三角形的性质得到1212CAE DAE ∠=∠=︒，根据全等三角形的性质可得到结论．【解析】（1）证明：∵将AD 绕点A 逆时针旋转42︒，得到AE ，∴AD AE =，42DAE ∠=︒，∵42BAC ∠=︒，∴BAC DAE ∠=∠，∴BAD CAE ∠=∠，在ABD △与ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()ABD ACE SAS ≌，∴BD CE =．（2）解：由（1）知：AD AE =，42DAE ∠=︒，∵DE AC ⊥，∴1212CAE DAE ∠=∠=︒，∵BAD CAE ∠=∠，∴21BAD ∠=︒．17．如图（1），已知△ABC 的面积为3，且AB =AC ，现将△ABC 沿CA 方向平移CA 长度得到△EF A．（1）求△ABC 所扫过的图形面积；（2）试判断，AF 与BE 的位置关系，并说明理由；（3）若∠BEC =15°，求AC 的长．【答案】（1）9；（2）BE ⊥AF ，理由见解析；（3）【分析】（1）根据平移的性质及平行四边形的性质可得到S △EFA =S △BAF =S △ABC ，从而便可得到四边形CEFB 的面积；（2）由已知可证得平行四边形EFBA 为菱形，根据菱形的对角线互相垂直平分可得到AF 与BE 的位置关系为垂直；（3）作BD ⊥AC 于D ，结合三角形的面积求解．【解析】解：（1）由平移的性质得AF ∥BC ，且AF =BC ，△EFA ≌△ABC∴四边形AFBC 为平行四边形S △EFA =S △BAF =S △ABC =3∴四边形EFBC 的面积为9；（2）BE⊥AF证明：由（1）知四边形AFBC为平行四边形∴BF∥AC，且BF=AC又∵AE=CA∴BF∥AE且BF=AE∴四边形EFBA为平行四边形又已知AB=AC ∴AB=AE∴平行四边形EFBA为菱形∴BE⊥AF；（3）如上图，作BD⊥AC于D∵∠BEC=15°，AE=AB∴∠EBA=∠BEC=15°∴∠BAC=2∠BEC=30°∴在Rt△BAD中，AB=2BD设BD=x，则AC=AB=2x∵S△ABC =3，且S△ABC=12AC•BD=12•2x•x=x2∴x2=3∵x为正数∴x3∴AC318．已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD．(1)如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．直接写出BD和CE数量关系和位置关系．(2)如图2，当点D在线段BC延长线上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE，画出图形．（1）的结论还成立吗?若成立，请证明；若不成立，说明理由．【答案】(1)BD和CE的数量关系是相等，位置关系是互相垂直，理由见详解；(2)成立，理由见详解．【分析】（1）由题意易得AB=AC，∠BAC=∠DAE=90°，AD=AE，则有∠BAD=∠CAE，然后可证△ABD≌△ACE，进而问题可求解；（2）如图，然后根据（1）中的证明过程可进行求解．【解析】(1)解：BD⊥CE且BD=CE，理由如下：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC，∠BAC=90°，∠ABC=∠ACB=45°，由旋转的性质可得：∠DAE=90°，AD=AE，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC=90°，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE=45°，BD=CE，∴∠ACE+∠ACB=90°，即∠BCE=90°，∴BD⊥CE；(2)解：（1）中结论仍成立，理由如下：由题意可得如图所示：∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AB =AC ，∠BAC =90°，∠ABC =∠ACB =45°，由旋转的性质可得：∠DAE =90°，AD =AE ，∴∠BAC +∠DAC =∠EAD +∠DAC ，∴∠BAD =∠CAE ，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴∠ABD =∠ACE =45°，BD =CE ，∴∠ACE +∠ACB =90°，即∠BCE =90°，∴BD ⊥CE ．19．如图，在ABC 中，45B ︒∠=，60C ︒∠=，点E 为线段AB 的中点，点F 在边AC 上，连结EF ，沿EF 将AEF 折叠得到PEF ．（1）如图1，当点P 落在BC 上时，求AEP ∠的度数．（2）如图2，当PF AC ⊥时，求BEP ∠的度数．【答案】（1）90°；（2）60°【分析】（1）证明BE=EP ，可得∠EPB=∠B=45°解决问题．（2）根据折叠的性质求出∠AFE=45°，根据三角形内角和求出∠BAC ，从而得到∠AEF 和∠PEF ，再根据平角的定义求出∠BEP ．【解析】解：（1）如图1中，∵折叠，∴△AEF ≌△PEF ，∴AE=EP ，∵点E 是AB 中点，即AE=EB ，∴BE=EP ，∴∠EPB=∠B=45°，∴∠PEB=90°，∴∠AEP=180°-90°=90°．（2）∵PF ⊥AC ，∴∠PFA=90°，∵沿EF 将△AEF 折叠得到△PEF ．∴△AEF ≌△PEF ，∴∠AFE=∠PFE=45°，∵∠B=45°，∠C=60°，∴∠BAC=180°-45°-60°=75°，∴∠AEF=∠PEF=180°-75°-45°=60°，∴∠BEP=180°-60°-60°=60°．20．如图1，AB AC =，EF EG =，ABC ≌EFG ，AD BC ⊥于点D ，EH FG ⊥于点H ．(1)直接写出AD 、EH 的数量关系：______；(2)将EFG 沿EH 剪开，让点E 和点C 重合．①按图2放置EHG ，将线段CD 沿EH 平移至HN ，连接AN 、GN ，求证：AN GN ⊥；②按图3放置EHG ，B 、()C E 、H 三点共线，连接AG 交EH 于点M ，若1BD =，3AD =，求CM 的长度．【答案】(1)AD EH =；(2)①见解析；②2【分析】（1）利用全等三角形的性质即可解决问题；（2）①设∠CDN =a ，证明∠AND =∠HNG =45°-2a ，即可解决问题；②易证明AD =DM ，可得CM =DM -DC =3-1=2．【解析】(1)∵△ABC ≌△EFG ，AD ⊥BC 于点D ，EH ⊥FG 于点H ，∴AD =EH ；(2)①如图2中，由题意可知：△ABD ≌△ACD ≌△EFH ≌△EGH ，CD =HG ，AD =CH ，∠ADC =∠CHG =90°，∵DC 沿CH 平移至HN ，∴DN =CH ，DN //CH ，DC=NH ，∴AD=DN ，NH=GH ，∴∠DAN =∠DNA ，∠HNG =∠HGN ，设∠CDN =α，∵DC //NH ，DN //CH ，∴∠CDN +∠DNH =∠DNH +∠CHN =180°，∴∠DNH =180°−α，∠CDN =∠CHN =α，∴∠NHG =90°+α，∴∠AND =∠HNG =45°−2a ，∴∠ANG =∠DNH −∠AND −∠HNG =90°，∴AN ⊥GN ．②解：如图3中，∵AC =GC ，∴∠CAG =∠CGA ，又∵∠CAD =∠GCH ，∴∠CAG +∠CAD =∠CGA +∠GCH ，即∠DAM =∠DMA ，又∵∠ADM =90°，∴∠DAM =∠DMA =45°，∴AD=DM =3，∵DC=BD =1，∴CM =DM −DC =3−1=2．21．如图1，已知在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A =30°，将Rt △ABC 绕C 点顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到Rt △DCE（1）当α＝15°，则∠ACE ＝°；（2）如图2，过点C 作CM ⊥BF 于M ，作CN ⊥EF 于N ，求证：CF 平分∠BFE ．（3）求Rt △ABC 绕C 点顺时针旋转，当旋转角α（0°＜α＜90°）为多少度时，△CFG 为等腰三角形．【答案】（1）15；（2）见解析；（3）40゜或20゜【分析】（1）由旋转性质知：∠ACE DCB α=∠=，求出∠ACE 即可；（2）由等面积法证明出CM =CN ，再结合角平分线的判定，即可证CF 平分∠BFE ；（3）根据旋转性质得BFD BCD α∠=∠=，由CF 平分∠BFE 得1190,22CFG CFB BFE α︒∠=∠=∠=-由∠A 为30°得1602ACF α∠=︒-，由AFG BFD α∠=∠=得∠CGF =30°+α，再分CF =CG 或CF =FG 或CG =FG 三种情况讨论，求出α即可．【解析】解：（1）由旋转性质，得：15ACE DCB α∠=∠==︒，故答案为：15；（2）证明：由旋转性质，得：≌ACB ECD △△；∴ABC EDC AB DE S S == ，，∵CM BF CN EF ⊥⊥，，∴1122AB CM DE CN ⋅⋅＝，∴CM CN =，∴CF 平分∠BFE ；（3）∵9030ACB A ∠=︒∠=︒，，∴9060B A ∠=︒-∠=︒，由旋转性质，得：60B D BCD α∠=∠=︒∠=，，∵B BCD D BFD ∠+∠=∠+∠，∴BFD BCD α∠=∠=，∴AFG BFD α∠=∠=，∴30180180CGF BFE BFD αα∠=︒+∠=︒-∠=︒-，，由（2）知CF 平分∠BFE ，∴119022CFG CFB BFE α∠=∠=∠=︒-，∴1602ACF CFB A α∠=∠-∠=︒-，①当CF =CG 时，∠CFG =∠CGF ，∴190302αα︒-=︒+，解得：α=40°，②当CF =FG 时，∠FCG =∠CGF ，∴160302αα︒-=︒+，解得：α=20°，③当CG =FG 时，∠FCG =∠CFG ，∴11906022αα︒-=︒-，此方程无解，综上所述，α=20°或40°时，△CFG 为等腰三角形．22．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB =AC 1，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且1AD AE ==，连接DE ．现将△ADE 绕点A 顺时针方向旋转，旋转角为α，如图2，连接CE ，BD ，CD ．(1)当0180α︒<<︒时，求证：CE BD =；(2)如图3，当90α=︒时，延长CE 交BD 于点F ，求证：CF 垂直平分BD ．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【分析】（1）利用“SAS ”证得ACE ABD ≌即可得到结论；（2）利用“SAS ”证得ACE ABD ≌，由性质推出ACE ABD ∠=∠，计算得出22CD BC =，再利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论；【解析】（1）证明：根据题意：AB =AC ，AD =AE ，∠CAB =∠EAD =90︒，∵∠CAE +∠BAE =∠BAD +∠BAE =90︒，∴∠CAE =∠BAD ，在△ACE 和△ABD 中，AC AB CAE BAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≅△ABD (SAS)，∴CE =BD ；（2）根据题意：AB =AC ，AD =AE ，∠CAB =∠EAD =90︒，在△ACE 和△ABD 中，AC AB CAE BAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△ABD (SAS)，∴∠ACE =∠ABD ，∵∠ACE +∠AEC =90︒，且∠AEC =∠FEB ，∴∠ABD +∠FEB =90︒，∴∠EFB =90︒，∴CF ⊥BD ，∵AB =AC 21，AD =AE =1，∠CAB =∠EAD =90︒，∴BC2+，CD =AC +AD2+，∴BC =CD ，∵CF ⊥BD ，∴CF 是线段BD 的垂直平分线．23．【问题提出】如图①，在ABC 中，若8,4AB AC ==，求BC 边上的中线AD 的取值范围．【问题解决】解决此问题可以用如下方法：延长AD 到点E ，使DE AD =，再连结BE （或将ACD △绕着点D 逆时针旋转180︒得到EBD △），把AB 、AC 、2AD 集中在ABE △中，利用三角形三边的关系即可判断．由此得出中线AD 的取值范围是____________．【应用】如图②，在ABC 中，D 为边BC 的中点、已知5,3,2AB AC AD ===．求BC 的长．【拓展】如图③，在ABC 中，90A ∠=︒，点D 是边BC 的中点，点E 在边AB 上，过点D 作DE DE ⊥交边AC 于点F ，连结EF ．已知10,12BE CF ==，则EF 的长为____________．【答案】[问题解决]26AD <<；[应用][拓展]【分析】[问题解决]证明DAC DEB ∆≅∆得AC EB =，再根据三角形三边关系求得AE 的取值范围，进而得结论；[应用]延长AD 到E ，使得AD DE =，连接BE ，证明DAC DEB ∆≅∆得AC EB =，再证明90AEB =︒∠，由勾股定理求得BD ，进而得BC ；[拓展]延长FD 到G ，使得DG FD =，连接BG ，EG ，证明CDF BDG ∆≅∆，得BG CF =，DCF DBG ∠=∠，再证明90EBG ∠=︒，由勾股定理求得EG ，由线段垂直平分线性质得EF ．【解析】解：[问题解决]在DAC ∆和DEB ∆中，AD ED ADC EDB CD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAC DEB SAS ∴∆≅∆，4AC EB ∴==，AB BE AE AB BE -<<+ ，8AB =，412AE ∴<<，26AD ∴<<，故答案为：26AD <<；[应用]延长AD 到E ，使得AD DE =，连接BE，如图②，在DAC ∆和DEB ∆中，AD ED ADC EDB CD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAC DEB SAS ∴∆≅∆，6AC EB ∴==，28AE AD == ，10AB =，2226810+= ，222BE AE AB ∴+=，90AEB ∴∠=︒，BD ∴===2BC BD ∴==[拓展]延长FD 到G ，使得DG FD =，连接BG ，EG，如图③，在BDG ∆和CDF ∆中，BD CD BDG CDF DG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BDG CDF SAS ∴∆≅∆，6BG CF ∴==，DG DF =，DBG DCF ∠=∠，DE DF ⊥ ，EG EF ∴=，90A ∠=︒ ，90ABC ACB ∴∠+∠=︒，90ABC DBG ∴∠+∠=︒，EG ∴==EF ∴=故答案为：24．已知，四边形ABCD 是正方形，DEF 绕点D 旋转（DE AB <），90EDF ∠=︒，DE DF =，连接AE ，CF ．(1)如图1，求证：ADE ≌CDF ；(2)直线AE 与CF 相交于点G ．①如图2，BM AG ⊥于点M ，⊥BN CF 于点N ，求证：四边形BMGN 是正方形；②如图3，连接BG ，若4AB =，2DE =，直接写出在DEF 旋转的过程中，线段BG 长度的最小值．【答案】(1)见解析；(2)①见解析②【分析】()1根据SAS 证明三角形全等即可；()2①根据邻边相等的矩形是正方形证明即可；②作DH AG ⊥交AG 于点H ，作BM AG ⊥于点M ，证明BMG △是等腰直角三角形，求出BM 的最小值，可得结论．【解析】（1）证明： 四边形ABCD 是正方形，AD DC ∴=，90ADC ∠=︒．DE DF = ，90EDF ∠=︒．ADC EDF ∴∠=∠，ADE CDF \Ð=Ð，在ADE 和CDF 中，DA DC ADE CDF DE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ADE ∴V ≌()SAS CDF △；（2）①证明：如图2中，设AG 与CD 相交于点P．90ADP ∠=︒ ，90DAP DPA ∴∠+∠=︒．ADE ≌CDF ，DAE DCF ∴∠=∠．DPA GPC ∠∠= ，90DAE DPA GPC GCP ∠∠∠∠∴+=+=︒．90PGN ∠∴=︒，BM AG ⊥ ，BN GN ⊥，∴四边形BMGN 是矩形，90MBN ∴∠=︒．四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，90ABC MBN ∠∠==︒．ABM CBN ∴∠=∠．又90AMB BNC ∠∠==︒ ，AMB ∴ ≌CNB △．MB NB ∴=．∴矩形BMGN 是正方形；②解：作DH AG ⊥交AG 于点H ，作BM AG ⊥于点M ，∵90,90,DHA AMB ADH DAH BAM AD AB∠=∠=︒∠=︒-∠=∠=∴AMB ≌DHA ．BM AH ∴=．222AH AD DH =- ，4=AD ，DH ∴最大时，AH 最小，2DH DE ==最大值．23BM AH ∴==最小值最小值由()2①可知，BGM 是等腰直角三角形，226BG BM ∴==最小值25．折纸是一项有趣的活动，同学们小时候都玩过折纸，如折小花、飞机、小船等，在折纸过程中，我们通过研究图形的性质发展空间观念，在思考问题的过程中建立几何直观．【操作发现】（1）如图1将一个正方形先沿EF 折叠得到图2，再将图2进行第二次折叠，使点E 和点F 重合，折痕与正方形的边交于点M 、N ，如图3，打开这张正方形的纸得到两条折痕EF 和MN ，如图4这两条折痕的位置关系为，EF MN ＝．【探究证明】（2）如图5，将AB ＝1，AD ＝3的长方形按（1）的方式进行折叠，同样得到两条折痕EF 和MN ，（1）中的结论是否还成立，如果成立请证明，如果不成立请说明理由．【拓展延伸】（3）Rt △ABC 中，BC ＝1，AC ＝3，将△ABC 沿着斜边AB 翻折后得的三角形与原来三角形组合成一个四边形ACBD ，将四边形ACBD 分别沿着顶点A 和顶点D 折叠得到两条互相垂直的折痕，交四边形的另两条边于点M 和点N ，AN DM ＝．【答案】（1）垂直，1；（2）位置关系成立，EF MN＝1不成立，理由见解析（3）53【分析】(1）过点没M 作MG ⊥BC 于G ，过点E 作EH ⊥CD 于H ，利用ASA 证明△EHF ≌△MGN ，得MN =EF ，即可得出答案；(2）过点M 作MG ⊥BC 于G ，过点E 作EH ⊥CD 于H ，根据两个角相等证明△EHF ∽△MGN ，得3EF EH AD M N M G AB===；(3）连接CD ，交AB 于G ，则AB 垂直平分CD ，证明△DCM ∽△ABN ，得AN AB DM CD =，利用勾股定理求出AB ，利用等积法求出CG ，从而得出CD ，即可解决问题．【解析】解：（1）如图，过点M 作MG ⊥BC 于G ，过点E 作EH ⊥CD 于H ，则MG ＝EH=AB=BC ，∠EHF ＝∠MGN ，MG ⊥EH ，由折叠知，∠MOE ＝90°，∴∠GMN ＝∠HEF ，∴△EHF ≌△MGN （ASA ），∴MN ＝EF ，∴EF MN＝1，故答案为：垂直，1；（2）位置关系成立，EF MN ＝1不成立，过点M 作MG ⊥BC 于G ，过点E 作EH ⊥CD 于H ，则∠EHF ＝∠MGN ＝90°，MG ⊥EH ，由折叠知，∠MOE ＝90°，∴∠GMN ＝∠HEF ，∴△EHF ∽△MGN ，∴3EF EH AD M N M G AB===；（3）连接CD ，交AB 于G ，∵AC ＝AD ，BC ＝BD ，∴AB 垂直平分CD ，∵AN ⊥DM ，∴∠BAN ＝∠CDM ，∵∠ACB ＝∠CGB ＝90°，∴∠MCD ＝∠ABN ，∴△DCM ∽△ABN ，∴AN AB DM CD=，∵Rt △ABC 中，BC ＝1，AC ＝3，∴AB ，∴CG＝⋅=AC BC AB10，∴CD ＝2CG＝10，∴=AB CD 53，∴53AN DM =，故答案为：53．26．如图1所示，将一个长为6宽为4的长方形ABEF ，裁成一个边长为4的正方形ABCD 和一个长为4、宽为2的长方形CEFD 如图2．现将小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至CE F D '''，旋转角为a．(1)当点D ¢恰好落在EF 边上时，求旋转角a 的值；(2)如图3，G 为BC 中点，且0°＜a ＜90°，求证：GD E D ''=；(3)小军是一个爱动手研究数学问题的孩子，他发现在小长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转一周的过程中，DCD ' 与CBD '△存在两次全等，请你帮助小军直接写出当DCD ' 与CBD '△全等时，旋转角a 的值．【答案】(1)30°；(2)见解析；(3)135°，315°【分析】（1）由含30°角的直角三角形的性质可知∠CD ′E =30°，再根据平行线的性质即得出∠α=30°；（2）由题意可得出CE =CE ′=CG =2，由矩形的性质和旋转的性质可得出∠GCD ′=∠DCE ′=90°+α，进而可利用“SAS”证明△GCD ′≌△E ′CD ，即得出GD ′=E ′D ；（3）根据正方形的性质可得CB =CD ，而CD CD '=，则BCD ' 和DCD ' 为腰相等的两个等腰三角形，所以当两个三角形顶角相等时它们全等．再分类讨论①当BCD ' 和DCD ' 为钝角三角形时，则旋转角135α=︒；②当BCD ' 和DCD ' 为锐角三角形时，则315α=︒．【解析】（1）∵长为4，宽为2的长方形CEFD 绕点C 顺时针旋转至CE ′F ′D ′，∴CD ′=CD =4，在Rt △CED ′中，CD ′=4，CE =2，。

平行线热考模型-翘脚模型【进阶】一、单选题1．如图，直线AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E等于()A．30°B．40°C．60°D．70°【答案】A【详解】∵AB∥CD，∠A=70°，∴∠1=∠A=70°，∵∠1=∠C+∠E，∠C=40°，∴∠E=∠1﹣∠C=70°﹣40°=30°．故选A．2．如图，直线a∥b，若∠1＝24°，∠A＝46°，则∠2等于（）A．46°B．70°C．40°D．30°【答案】B【详解】如图，∵∠1＝24°，∴∠ADB＝∠1＝24°．∵∠3是△ABD的外角，∴∠3＝∠A+∠ADB＝46°+24°＝70°．∵直线a∥b，∠3＝70°，∴∠2＝∠3＝70°．故选B．【名师点拨】本题考查对顶角的性质、三角形外角的性质、平行线的性质，证法不唯一，属于基础题，难度较小，需要熟练掌握基本知识．3．如图，AB∥CD，∠B=75°，∠E=27°，则∠D的度数为（）A．45°B．48°C．50°D．58°【答案】B【详解】解：∵AB∥CD，∴∠B=∠1，∵∠1=∠D+∠E，∴∠D=∠B−∠E=75°−27°=48°，故选B．【名师点拨】本题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．4．如图，直线a∥b，直角三角形如图放置，∠DCB=90°，若∠1+∠B=70°，则∠2的度数为()A．20°B．40°C．30°D．25°【答案】A【详解】解∶如图，由三角形的外角性质，∠3=∠1+∠B=70°，∵a∥b，∠DCB=90°，∴∠2=180°﹣∠3﹣90°=180°﹣70°﹣90°=20°．故选∶A．【名师点拨】本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．5．如图是郝老师的某次行车路线，总共拐了三次弯，最后行车路线与开始的路线是平行的，已知第一次转过的角度120°，第三次转过的角度135°，则第二次转过的角度是（）A．75°B．120°C．135°D．无法确定【答案】A【详解】如图，延长ED交BC于F．∵DE∥AB，∴∠DFB=∠ABF=120°，∴∠CFD=60°．∵∠CDE=∠C+∠CFD，∴∠C=∠CDE-∠CFD=135°－60°=75°．故选A．【名师点拨】本题考查了平行线的性质及三角形外角的性质．解题的关键是理解题意，灵活应用平行线的性质解决问题，属于中考常考题型．6．已知，如图，AB∥CD，则图中α、β、γ三个角之间的数量关系为（）A．α-β＋γ=180°B．α＋β－γ=180°C．α＋β＋γ=360°D．α－β－γ=90°【答案】B【详解】如图，延长CD交AE于点F∵AB∥CD∴β=∠AFD∵∠FDE+α=180°∴∠FDE=180°-α∵γ+∠FDE=∠ADF∴γ+180°-α=β∴α＋β－γ=180°故选B【名师点拨】本题考查平行线的性质以及三角形外角定理的应用，熟练掌握相关性质定理是解题关键.7．如图，已知AB∥DE，∠ABC=70°，∠CDE=140°，则∠BCD的值为（）A．20°B．30°C．40°D．70°【答案】B【详解】延长ED交BC于F，∵AB∥DE，∠ABC=70°，∴∠MFC=∠B=70°，∵∠CDE=140°，∴∠FDC=180°﹣140°=40°，∴∠C=∠MFC﹣∠MDC=70°﹣40°=30°，故选：B．【名师点拨】此题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和三角形外角的性质．8．如图，一块直角三角板的60度的顶点A与直角顶点C分别在平行线FD,GH上，斜边AB平分∠CAD，交直线GH 于点E，则∠ECB的大小为()A．60°B．45°C．30°D．25°【答案】C【详解】∵AB平分∠CAD，∠CAB=60°，∴∠DAE=60°，∵FD∥GH，∴∠ACE+∠CAD=180°，∴∠ACE=180°-∠CAB-∠DAE=60°，∵∠ACB=90°，∴∠ECB=90°-∠ACE=30°，故选：C．【名师点拨】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．9．如图，直线AB∥EF，点C是直线AB上一点，点D是直线AB外一点，若∠BCD=95°，∠CDE=25°，则∠DEF的度数是（）A．110°B．115°C．120°D．125°【答案】C【详解】详解：延长FE交DC于点N，∵直线AB ∥EF ，∴∠DNF=∠BCD =95°，∵∠CDE=25°，∴∠DEF=95°+25°=120°．故选C ．名师点拨：此题主要考查了平行线的性质以及三角形的外角，正确掌握平行线的性质是解题关键．10．如图，AB ∥CD ，∠ABK 的角平分线BE 的反向延长线和∠DCK 的角平分线CF 的反向延长线交于点H ，∠K ﹣∠H=27°，则∠K=（ ）A ．76°B ．78°C ．80°D ．82°【答案】B【详解】 如图，分别过K 、H 作AB 的平行线MN 和RS ，∵AB ∥CD ，∴AB ∥CD ∥RS ∥MN ，∴∠RHB=∠ABE=12∠ABK ，∠SHC=∠DCF=12∠DCK ，∠NKB+∠ABK=∠MKC+∠DCK=180°，∴∠BHC=180°﹣∠RHB ﹣∠SHC=180°﹣12（∠ABK+∠DCK ），∠BKC=180°﹣∠NKB ﹣∠MKC=180°﹣（180°﹣∠ABK ）﹣（180°﹣∠DCK ）=∠ABK+∠DCK ﹣180°，∴∠BKC=360°﹣2∠BHC ﹣180°=180°﹣2∠BHC ，又∠BKC ﹣∠BHC=27°，∴∠BHC=∠BKC﹣27°，∴∠BKC=180°﹣2（∠BKC﹣27°），∴∠BKC=78°，故选B．二、填空题11．如图，AB∥CD，∠ABE=160°，∠D=120°，则∠E=_________【答案】40°【详解】解：延长AB交DE于F，∵AB∥CD，∠D=120°，∴∠EFB=∠D=120°，∵∠ABE=160°，∴∠E=∠ABE-∠EFB=40°．故答案为40°．【名师点拨】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质；熟练掌握平行线的性质，并能进行推理计算是解题关键．12．如图，直线MA∥NB，∠A=70°，∠B=40°，则∠P=___________度．【答案】30【详解】解：根据平行线的性质，得∠A的同位角是70°，再根据三角形的外角的性质，得∠P＝70°−40°＝30°．故答案为30．【名师点拨】本题考查了平行线的性质以及三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和，可以牢记此题中的结论：∠P＝∠A−∠B．13．如图，AB∥CD，∠C=35°，∠E=25°，则∠A=_______°．【答案】60【详解】解：∠EOD=∠E+∠C=60°，∵AB∥CD，∴∠A=∠EOD=60°．故答案为60．【名师点拨】本题考查的是三角形外角性质以及平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．在解答时，要结合图形，正确运用平行线的性质．14．如图，已知AB∥DE，∠ABC＝75°，∠CDE＝150°，则∠BCD的度数为_____．【答案】45°##45度【详解】解：反向延长DE交BC于M，如图，∵AB∥DE，∴∠BMD＝∠ABC＝75°，∴∠CMD＝180°﹣∠BMD＝105°；又∵∠CDE＝∠CMD+∠BCD，∴∠BCD＝∠CDE﹣∠CMD＝150°﹣105°＝45°．故答案为：45°．【名师点拨】本题考查了平行线的性质和三角形的外角定理，属于基本题型，熟练掌握上述基础知识是解题的关键．三、解答题15．（1）已知：如图（a），直线DE∥AB．求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD；（2）如图（b），如果点C在AB与ED之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？【答案】（1）见解析；（2）当点C在AB与ED之外时，∠ABC−∠CDE=∠BCD，见解析【详解】解：（1）证明：过点C作CF∥AB，∵AB∥ED，∴AB∥ED∥CF，∴∠BCF=∠ABC，∠DCF=∠EDC，∴∠ABC+∠CDE=∠BCD；（2）结论：∠ABC-∠CDE=∠BCD，证明：如图：∵AB∥ED，∴∠ABC=∠BFD，在△DFC中，∠BFD=∠BCD+∠CDE，∴∠ABC=∠BCD+∠CDE，∴∠ABC-∠CDE=∠BCD．若点C在直线AB与DE之间，猜想∠ABC+∠BCD+∠CDE=360°,∵AB∥ED∥CF，∴∠ABC+∠BCF=180°,∠CDE+∠DCF=180°,∴∠ABC+∠BCD+∠CDE=∠ABC+∠BCF+∠DCF+∠CDE=360°.【名师点拨】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键，注意掌握辅助线的作法．16．（1）如图（1）AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由．（2）观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由．（3）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说明理由．【答案】（1）∠B+∠BPD+∠D=360°，理由见解析；（2）∠BPD=∠B+∠D，理由见解析；（3）∠BPD=∠D-∠B或∠BPD=∠B-∠D，理由见解析【详解】解：（1）如图（1）过点P作EF∥AB，∴∠B+∠BPE=180°，∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，∴∠EPD+∠D=180°，∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°，∴∠B+∠BPD+∠D=360°．（2）∠BPD=∠B+∠D．理由：如图2，过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠1=∠B，∠2=∠D，∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D．（3）如图（3），∠BPD=∠D-∠B．理由：∵AB∥CD，∴∠1=∠D，∵∠1=∠B+∠BPD，∴∠D=∠B+∠BPD，即∠BPD=∠D-∠B；如图（4），∠BPD=∠B-∠D．理由：∵AB∥CD，∴∠1=∠B，∵∠1=∠D+∠BPD，∴∠B=∠D+∠BPD，即∠BPD=∠B-∠D．【名师点拨】此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质．此题难度不大，解题的关键是注意掌握平行线的性质，注意辅助线的作法．17．已知AB//CD，求证：∠B＝∠E＋∠D【答案】见解析【详解】证明：过点E作EF∥CD，如图∵AB∥CD，∴∠B=∠BOD，∵EF∥CD（辅助线），∴∠BOD=∠BEF（两直线平行，同位角相等）；∠D=∠DEF（两直线平行，内错角相等）；∴∠BEF=∠BED+∠DEF=∠BED+∠D（等量代换），∴∠BOD=∠E+∠D（等量代换），即∠B=∠E+∠D．【名师点拨】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据平行线的性质找出相等或互补的角．18．（1）如图a所示，AB//CD，且点E在射线AB与CD之间，请说明∠AEC=∠A+∠C的理由．（2）现在如图b所示，仍有AB//CD，但点E在AB与CD的上方，①请尝试探索∠1，∠2，∠E三者的数量关系．②请说明理由．【答案】（1）；（2）①∠1+∠2-∠E=180°；②见解析【详解】解：（1）过点E作EF∥AB，∴∠A=∠AEF，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FEC=∠C，∵∠AEC=∠AEF+∠FEC，∴∠AEC=∠A+∠C；（2）①∠1+∠2-∠E=180°，②过点E作EF∥AB，∴∠AEF+∠1=180°，∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠FEC=∠2，即∠CEA+∠AEF=∠2，∴∠AEF=∠2-∠CEA，∴∠2-∠CEA+∠1=180°，即∠1+∠2-∠AEC=180°．【名师点拨】本题考查了平行线的性质，作辅助线并熟记性质是解题的关键．19．已知AB∥CD，点E为AB，CD之外任意一点．(1)如图1，探究∠BED与∠B，∠D的数量关系，并说明理由；(2)如图2，探究∠CDE与∠B，∠E的数量关系，并说明理由．【答案】(1) ∠B＝∠BED＋∠D. (2)∠CDE＝∠B＋∠BED.【详解】解：(1)∠B＝∠BED＋∠D.理由如下：过点E作EF∥AB.又∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD.∴∠BEF＝∠B，∠D＝∠DEF.∵∠BEF＝∠BED＋∠DEF，∴∠B＝∠BED＋∠D.(2)∠CDE＝∠B＋∠BED.理由如下：过点E作EF∥AB.又∵AB∥CD，∴EF∥AB∥CD.∴∠B＋∠BEF＝180°，∠CDE＋∠DEF＝180°.又∵∠DEF＝∠BEF－∠BED，∴∠CDE＋∠BEF－∠BED＝∠B＋∠BEF，即∠CDE＝∠B＋∠BED.【名师点拨】本题主要考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键，。

专题7.16 平行线几何模型（M 模型）（巩固培优篇）（专项练习）1．已知直线AB //CD ，EF 是截线，点M 在直线AB 、CD 之间． (1) 如图1，连接GM ，HM ．求证：∠M ＝∠AGM ＋∠CHM ；(2) 如图2，在∠GHC 的角平分线上取两点M 、Q ，使得∠AGM ＝∠HGQ ．试判断∠M 与∠GQH 之间的数量关系，并说明理由．2．阅读下面内容，并解答问题． 已知：如图1，AB CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ．BEF ∠的平分线与DFE ∠的平分线交于点G ．(1) 求证：EG FG ⊥；(2) 填空，并从下列①、②两题中任选一题说明理由．我选择 题．①在图1的基础上，分别作BEG ∠的平分线与DFG ∠的平分线交于点M ，得到图2，则EMF ∠的度数为 ．②如图3，ABCD ，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ．点O 在直线AB ，CD 之间，且在直线EF 右侧，BEO ∠的平分线与DFO ∠的平分线交于点P ，则EOF ∠与EPF ∠满足的数量关系为 ．3．已知直线a b ∥，直线EF 分别与直线a ，b 相交于点E ，F ，点A ，B 分别在直线a ，b 上，且在直线EF 的左侧，点P 是直线EF 上一动点（不与点E ，F 重合），设∠P AE ＝∠1，∠APB ＝∠2，∠PBF ＝∠3．(1) 如图1，当点P 在线段EF 上运动时，试说明∠1＋∠3＝∠2； (2) 当点P 在线段EF 外运动时有两种情况．①如图2写出∠1，∠2，∠3之间的关系并给出证明；②如图3所示，猜想∠1，∠2，∠3之间的关系（不要求证明）．4．问题情境：如图①，直线AB CD ∥，点E ，F 分别在直线AB ，CD 上． (1) 猜想：若1130∠=︒，2150∠=︒，试猜想P ∠=______°；(2) 探究：在图①中探究1∠，2∠，P ∠之间的数量关系，并证明你的结论； (3) 拓展：将图①变为图②，若12325∠+∠=︒，75EPG ∠=︒，求PGF ∠的度数．5．如图：(1) 如图1，AB CD ∥，=45ABE ∠︒，21CDE ∠=︒，直接写出BED ∠的度数．(2) 如图2，AB CD ∥，点E 为直线AB ，CD 间的一点，BF 平分ABE ∠，DF 平分CDE ∠，写出BED ∠与F ∠之间的关系并说明理由．(3) 如图3，AB 与CD 相交于点G ，点E 为BGD ∠内一点，BF 平分ABE ∠，DF 平分CDE ∠，若60BGD ∠=︒，95BFD ∠=︒，直接写出BED ∠的度数．6．（1）已知：如图（a ），直线DE AB ∥．求证：ABC CDE BCD ∠+∠=∠； （2）如图（b ），如果点C 在AB 与ED 之外，其他条件不变，那么会有什么结果？你还能就本题作出什么新的猜想？7．如图，//AB CD ，点E 在直线AB ，CD 内部，且AE CE ⊥． （1）如图1，连接AC ，若AE 平分BAC ∠，求证：CE 平分ACD ∠； （2）如图2，点M 在线段AE 上，①若MCE ECD ∠=∠，当直角顶点E 移动时，BAE ∠与MCD ∠是否存在确定的数量关系?并说明理由；②若1MCE ECD n∠=∠（n 为正整数），当直角顶点E 移动时，BAE ∠与MCD ∠是否存在确定的数量关系?并说明理由．8．已知直线l1//l2，A是l1上的一点，B是l2上的一点，直线l3和直线l1，l2交于C和D，直线CD上有一点P．（1）如果P点在C，D之间运动时，问∠P AC，∠APB，∠PBD有怎样的数量关系？请说明理由．（2）若点P在C，D两点的外侧运动时（P点与C，D不重合），试探索∠P AC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？（请直接写出答案，不需要证明）9．（1）如图，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度数；（2）如图，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数．（3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数．10．如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；(1)若∠E＝60°，则∠F＝；(2)请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由；(3)如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P 的度数．11．如图1，AB//CD，E是AB，CD之间的一点．(1)判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；(2)如图2，若∠BAE，∠CDE的角平分线交于点F，直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系；(3)将图2中的射线DC沿DE翻折交AF于点G得图3，若∠AGD的余角等于2∠E的补角，求∠BAE的大小．12．已知AB//CD．（1）如图1，E 为AB ，CD 之间一点，连接BE ，DE ，得到∠BED ．求证：∠BED ＝∠B +∠D ；（2）如图，连接AD ，BC ，BF 平分∠ABC ，DF 平分∠ADC ，且BF ，DF 所在的直线交于点F ．①如图2，当点B 在点A 的左侧时，若∠ABC ＝50°，∠ADC ＝60°，求∠BFD 的度数． ②如图3，当点B 在点A 的右侧时，设∠ABC ＝α，∠ADC ＝β，请你求出∠BFD 的度数．（用含有α，β的式子表示）13．已知，AB ∥CD ．点M 在AB 上，点N 在CD 上．（1）如图1中，∠BME 、∠E 、∠END 的数量关系为： ；（不需要证明） 如图2中，∠BMF 、∠F 、∠FND 的数量关系为： ；（不需要证明） （2）如图3中，NE 平分∠FND ，MB 平分∠FME ，且2∠E ＋∠F ＝180°，求∠FME 的度数；（3）如图4中，∠BME ＝60°，EF 平分∠MEN ，NP 平分∠END ，且EQ ∥NP ，则∠FEQ 的大小是否发生变化，若变化，请说明理由，若不变化，求出∠FEQ 的度数．14．如图1，点A 、B 分别在直线GH 、MN 上，GAC NBD ∠=∠，C D ∠=∠. （1）求证：//GH MN ；（提示：可延长AC 交MN 于点P 进行证明）（2）如图2，AE 平分GAC ∠，DE 平分BDC ∠，若AED GAC ∠=∠，求GAC ∠与ACD ∠之间的数量关系；（3）在（2）的条件下，如图3，BF 平分DBM ∠，点K 在射线BF 上，13KAG GAC ∠=∠，若AKB ACD ∠=∠，直接写出GAC ∠的度数．15．已知AB ∥CD ，∠ABE 的角分线与∠CDE 的角分线相交于点F ．（1）如图1，若BM 、DM 分别是∠ABF 和∠CDF 的角平分线，且∠BED ＝100°，求∠M 的度数；（2）如图2，若∠ABM ＝13∠ABF ，∠CDM ＝13∠CDF ，∠BED ＝α°，求∠M 的度数；（3）若∠ABM ＝1n ∠ABF ，∠CDM ＝1n∠CDF ，请直接写出∠M 与∠BED 之间的数量关系．16．已知直线AM 、CN 和点B 在同一平面内，且AM ∥CN ，AB ⊥BC ． （1）如图1，求∠A 和∠C 之间的数量关系；（2）如图2，若BD ⊥AM ，垂足为D ，求证：∠ABD ＝∠C ；（3）如图3，已知点D 、E 、F 都在直线AM 上，且∠ABD ＝∠NCB ，BF 平分∠DBC ，BE 平分∠ABD ．若∠FCB +∠NCF ＝180°，∠BFC ＝3∠DBE ，请直接写出∠EBC 的度数．17．如图1，点A 在直线MN 上，点B 在直线ST 上，点C 在MN ，ST 之间，且满足MAC ACB SBC ∠+∠+∠360=︒．（1）证明：//MN ST ；（2）如图2，若60ACB ∠=︒，//AD CB ，点E 在线段BC 上，连接AE ，且2DAE CBT ∠=∠，试判断CAE ∠与CAN ∠的数量关系，并说明理由；（3）如图3，若180ACB n︒∠=（n 为大于等于2的整数），点E 在线段BC 上，连接AE ，若MAE n CBT ∠=∠，则:CAE CAN ∠∠=______．18．如图1，直线AB //CD ，点P 在两平行线之间，点E 在AB 上，点F 在CD 上，连接PE ，PF ．（1）若∠PEB =60°，∠PFD =50°，请求出∠EPF ．（请写出必要的步骤，并说明理由） （2）如图2，若点P ，Q 在直线AB 与CD 之间时，∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，请求出∠4= ．（不需说明理由，请直接写出答案）（3）如图3，在图1的基础上，作P 1E 平分∠PEB ，P 1F 平分∠PFD ，若设∠PEB ＝x °，∠PFD ＝y °，则∠P 1= （用含x ，y 的式子表示）．若P 2E 平分∠P 1EB ，P 2F 平分∠P 1FD ，可得∠P 2；P 3E 平分∠P 2EB ，P 3F 平分∠P 2FD ，可得∠P 3…，依次平分下去，则∠Pn ＝ ．（用含x ，y 的式子表示）19．已知//AM CN ，点B 为平面内一点，AB BC ⊥于B ．（1）如图1，点B 在两条平行线外，则A ∠与C ∠之间的数量关系为______； （2）点B 在两条平行线之间，过点B 作BD AM ⊥于点D ． ①如图2，说明ABD C ∠=∠成立的理由；②如图3，BF 平分DBC ∠交DM 于点,F BE 平分ABD ∠交DM 于点E ．若180,3FCB NCF BFC DBE ∠∠∠∠+=︒=，求EBC ∠的度数．20．如图1，MN ∥PQ ，点C 、B 分别在直线MN 、PQ 上，点A 在直线MN 、PQ 之间． （1）求证：∠CAB ＝∠MCA +∠PBA ；（2）如图2，CD ∥AB ，点E 在PQ 上，∠ECN ＝∠CAB ，求证：∠MCA ＝∠DCE ； （3）如图3，BF 平分∠ABP ，CG 平分∠ACN ，AF ∥CG ．若∠CAB ＝60°，求∠AFB 的度数．21．如图，//MN GH ，点A 、B 分别在直线MN 、GH 上，点O 在直线MN 、GH 之间，若116NAO ∠=︒，144OBH ∠=︒．（1）AOB ∠= ︒；（2）如图2，点C 、D 是NAO ∠、GBO ∠角平分线上的两点，且35CDB ∠=︒，求ACD ∠ 的度数；（3）如图3，点F 是平面上的一点，连结F A 、FB ，E 是射线F A 上的一点，若MAE ∠=n OAE ∠，HBF n OBF ∠=∠，且60AFB ∠=︒，求n 的值．22．如图1，AB //CD ，点E 、F 分别在AB 、CD 上，点O 在直线AB 、CD 之间，且100EOF ∠=︒．（1）求BEO OFD ∠+∠的值；（2）如图2，直线MN 分别交BEO ∠、OFC ∠的角平分线于点M 、N ，直接写出EMN FNM ∠-∠的值；（3）如图3，EG 在AEO ∠内，AEG m OEG ∠=∠；FH 在DFO ∠内，DFH m OFH ∠=∠，直线MN 分别交EG 、FH 分别于点M 、N ，且50FMN ENM ∠-∠=︒，直接写出m 的值．23．已知//AB CD ，定点E ，F 分别在直线AB ，CD 上，在平行线AB ，CD 之间有一动点P ．（1）如图1所示时，试问AEP ∠，EPF ∠，PFC ∠满足怎样的数量关系?并说明理由． （2）除了（1）的结论外，试问AEP ∠，EPF ∠，PFC ∠还可能满足怎样的数量关系?请画图并证明（3）当EPF ∠满足0180EPF ︒<∠<︒，且QE ，QF 分别平分PEB ∠和PFD ∠， ①若60EPF ∠=︒，则EQF ∠=__________°．②猜想EPF ∠与EQF ∠的数量关系．（直接写出结论）24．如图1，由线段,,,AB AM CM CD 组成的图形像英文字母M ，称为“M 形BAMCD ”．（1）如图1，M 形BAMCD 中，若//,50AB CD A C ∠+∠=︒，则M ∠=______； （2）如图2，连接M 形BAMCD 中,B D 两点，若150,B D AMC α∠+∠=︒∠=，试探求A∠与C ∠的数量关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，且AC 的延长线与BD 的延长线有交点，当点M 在线段BD 的延长线上从左向右移动的过程中，直接写出A ∠与C ∠所有可能的数量关系．参考答案1．(1)证明见详解(2)180GQH M ∠=︒-∠；理由见详解【分析】（1）过点M 作MN AB ∥，由AB CD ∥，可知MN AB CD ∥∥．由此可知：AGM GMN ∠=∠，CHM HMN ∠=∠，故=AGM CHM GMN HMN M ∠+∠=∠+∠∠；（2）由（1）可知=AGM CHM M ∠+∠∠．再由CHM GHM ∠=∠，∠AGM ＝∠HGQ ，可知 ：M HGQ GHM ∠=∠+∠，利用三角形内角和是180°，可得180GQH M ∠=︒-∠．（1）解：如图：过点M 作MN AB ∥， ∴MN AB CD ∥∥，∴AGM GMN ∠=∠，CHM HMN ∠=∠， ∵M GMN HMN ∠=∠+∠， ∴=M AGM CHM ∠∠+∠．（2）解：180GQH M ∠=︒-∠，理由如下： 如图：过点M 作MN AB ∥， 由（1）知=M AGM CHM ∠∠+∠， ∵HM 平分GHC ∠， ∴CHM GHM ∠=∠， ∵∠AGM ＝∠HGQ ， ∴M HGQ GHM ∠=∠+∠， ∵180HGQ GHM GQH ∠+∠+∠=︒， ∴180GQH M ∠=︒-∠．【点拨】本题考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系，正确的作出辅助线是解决本题的关键，同时这也是比较常见的几何模型“猪蹄模型”的应用．2．(1)见分析(2)①45︒；②结论：2EOF EPF ∠=∠【分析】（1）利用平行线的性质解决问题即可；（2）①利用基本结论EMF BEM MFD ∠=∠+∠求解即可；②利用基本结论EOF BEO DFO ∠=∠+∠，EPF BEP DFP ∠=∠+∠，求解即可．解：（1）证明：如图，过G 作GH AB ，AB CD ，AB GH CD ∴，BEG EGH DFG FGH ∠∠∠∠∴==，，180BEF DFE ∴∠+∠=︒，EG 平分BEF ∠，FG 平分DFE ∠，12GEB BEF ∴∠=∠，12GFD DFE ∠=∠， 111()90222GEB GFD BEF DFE BEF DFE ∴∠+∠=∠+∠=∠+∠=︒， 在EFG ∆中，180GEF GFE G ∠+∠+∠=︒，90EGF GEB GFD ∴∠=∠+∠=︒，EG FG ∴⊥；（2）解：①如图2中，由题意，90BEG DFG ∠+∠=︒，EM 平分BEG ∠，MF 平分DFG ∠， 1()452BEM MFD BEG DFG ∴∠+∠=∠+∠=︒，45EMF BEM MFD ∴∠=∠+∠=︒，故答案为：45︒；②结论：2EOF EPF ∠=∠．理由：如图3中，由题意，EOF BEO DFO ∠=∠+∠，EPF BEP DFP ∠=∠+∠，PE 平分BEO ∠，PF 平分DFO ∠，2BEO BEP ∴∠=∠，2DFO DFP ∠=∠，2EOF EPF ∴∠=∠，故答案为：2EOF EPF ∠=∠．【点拨】本题考查平行线的性质和判定，角平分线的性质，垂直的定义，解题的关键是熟练掌握相关的性质．3．(1)证明见详解 (2)①312；证明见详解；②123∠=∠+∠；证明见详解【分析】（1）如图4过点P 作PC a ∥，利用平行线的传递性可知PC a b ∥∥，根据平行线的性质可知1APC ∠=∠，3BPC ∠=∠，根据等量代换就可以得出213∠=∠+∠；（2）①如图5过点P 作PC a ∥，利用平行线的传递性可知PC a b ∥∥，根据平行线的性质可知3BPC ∠=∠，1APC ∠=∠，根据等量代换就可以得出312；②如图6过点P 作PC a ∥，利用平行线的传递性可知PC a b ∥∥，根据平行线的性质可知1APC ∠=∠，3BPC ∠=∠，根据等量代换就可以得出123∠=∠+∠．（1）解：如图4所示：过点P 作PC a ∥， ∵a b ∥ ∴PC a b ∥∥∴1APC ∠=∠，3BPC ∠=∠， ∵2APC BPC ∠=∠+∠， ∴213∠=∠+∠；（2）解：①如图5过点P 作PC a ∥， ∵a b ∥ ∴PC a b ∥∥∴3BPC ∠=∠，1APC ∠=∠， ∵2BPC APC ∠=∠+∠， ∴312；②如图6过点P 作PC a ∥，∵a b ∥ ∴PC a b ∥∥∴1APC ∠=∠，3BPC ∠=∠， ∵2APC BPC ∠=∠+∠， ∴123∠=∠+∠．【点拨】本题利用“猪蹄模型”及其变式考查了利用平行线的性质求角之间的数量关系，准确的作出辅助线和找到对应的内错角是解决本题的关键．4．(1)80︒(2)36012P ∠=︒-∠-∠；证明见详解(3)140︒【分析】（1）过点P 作MN AB ∥，利用平行的性质就可以求角度，解决此问； （2）利用平行线的性质求位置角的数量关系，就可以解决此问；（3）分别过点P 、点G 作MN AB ∥、KR AB ∥，然后利用平行线的性质求位置角的数量关系即可．（1）解：如图过点P 作MN AB ∥，∵AB CD ∥， ∴AB MN CD ∥∥． ∴1180EPN ∠+∠=︒，2180FPN ∠+∠=︒．∵1130∠=︒，2150∠=︒， ∴12360EPN FPN ∠+∠+∠+∠=︒ ∴36013015080EPN FPN ∠+=︒-︒-︒=︒． ∵P EPN FPN ∠=∠+∠， ∴∠P =80°． 故答案为：80︒；（2）解：36012P ∠=︒-∠-∠，理由如下：如图过点P 作MN AB ∥，∵AB CD ∥， ∴AB MN CD ∥∥． ∴1180EPN ∠+∠=︒，2180FPN ∠+∠=︒．∴12360EPN FPN ∠+∠+∠+∠=︒ ∵EPN FPN P ∠+∠=∠，36012P ∠=︒-∠-∠．（3）如图分别过点P 、点G 作MN AB ∥、KR AB ∥∵AB CD ∥，∴AB MN KR CD ∥∥∥． ∴1180EPN ∠+∠=︒，180NPG PGR ∠+∠=︒， 2180RGF ∠+∠=︒．∴12540EPN NPG PGR RGF ∠+∠+∠+∠++∠=︒ ∵75EPG EPN NPG ∠=∠+∠=︒，PGR RGF PGF ∠+∠=∠，12325∠+∠=︒，∴12540PGF EPG ∠+∠+∠+∠=︒ ∴54032575140PGF ∠=︒-︒-︒=︒ 故答案为：140︒．【点拨】本题考查了平行线的性质定理，准确的作出辅助线和正确的计算是解决本题的关键．5．(1)∠BED =66°；(2)∠BED =2∠F ，见分析；(3)∠BED 的度数为130°．【分析】（1）首先作EF ∥AB ，根据直线AB ∥CD ，可得EF ∥CD ，所以∠ABE =∠1=45°，∠CDE=∠2=21°，据此推得∠BED=∠1+∠2=66°；（2）首先作EG∥AB，延长DE交BF于点H，利用三角形的外角性质以及角平分线的定义即可得到∠BED=2∠F；（3）延长DF交AB于点H，延长GE到I，利用三角形的外角性质以及角平分线的定义即可得到∠BED的度数为130°．解：（1）如图，作EF∥AB，，∵直线AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠ABE=∠1=45°，∠CDE=∠2=21°，∴∠BED=∠1+∠2=66°；（2）解：∠BED=2∠F，理由是：过点E作EG∥AB，延长DE交BF于点H，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EG，∴∠5=∠1+∠2，∠6=∠3+∠4，又∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠2=∠1，∠3=∠4，则∠5=2∠2，∠6=2∠3，∴∠BED=2(∠2+∠3) ，又∠F+∠3=∠BHD，∠BHD+∠2=∠BED，∴∠3+∠2+∠F=∠BED，综上∠BED=∠F+12∠BED，即∠BED=2∠F；（3）解：延长DF交AB于点H，延长GE到I，∵∠BGD=60°，∴∠3=∠1+∠BGD=∠1+60°，∠BFD=∠2+∠3=∠2+∠1+60°=95°，∴∠2+∠1=35°，即2(∠2+∠1) =70°，∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE，∴∠ABE=2∠2，∠CDE=2∠1，∴∠BEI=∠ABE +∠BGE=2∠2+∠BGE，∠DEI=∠CDE+∠DGE=2∠1+∠DGE，∴∠BED=∠BEI+∠DEI=2(∠2+∠1)+( ∠BGE+∠DGE)=70°+60°=130°，∴∠BED的度数为130°．【点拨】本题考查了平行线的判定和性质，三角形的外角性质等知识，掌握平行线的判定和性质，正确添加辅助线是解题关键．∠-∠=∠，见分析6．（1）见分析；（2）当点C在AB与ED之外时，ABC CDE BCD【分析】（1）由题意首先过点C作CF∥AB，由直线AB∥ED，可得AB∥CF∥DE，然后由两直线平行，内错角相等，即可证得∠ABC+∠CDE=∠BCD；（2）根据题意首先由两直线平行，内错角相等，可得∠ABC=∠BFD，然后根据三角形外角的性质即可证得∠ABC-∠CDE=∠BCD．解：（1）证明：过点C作CF∥AB，∵AB∥ED，∴AB∥ED∥CF，∴∠BCF=∠ABC，∠DCF=∠EDC，∴∠ABC+∠CDE=∠BCD；（2）结论：∠ABC-∠CDE=∠BCD，证明：如图：∵AB ∥ED ， ∴∠ABC =∠BFD ，在△DFC 中，∠BFD =∠BCD +∠CDE ， ∴∠ABC =∠BCD +∠CDE ， ∴∠ABC -∠CDE =∠BCD ．若点C 在直线AB 与DE 之间，猜想360ABC BCD CDE ︒∠+∠+∠=,∵AB ∥ED ∥CF ，∴180,180,ABC BCF CDE DCF ︒︒∠+∠=∠+∠=∴360ABC BCD CDE ABC BCF DCF CDE ︒∠+∠+∠=∠+∠+∠+∠=.【点拨】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键，注意掌握辅助线的作法．7．（1）见分析；（2）①∠BAE +12∠MCD =90°，理由见分析；②∠BAE +1nn +∠MCD =90°，理由见分析.【分析】（1）根据平行的性质可得∠BAC +∠DCA =180°，再根据AE CE ⊥可得∠EAC +∠ECA =90°，根据AE 平分∠BAC 可得∠BAE =∠EAC ,等量代换可得∠ECD +∠EAC =90°，继而求得∠DCE =∠ECA ；（2）①过E 作EF ∥AB ，先利用平行线的传递性得出EF ∥AB ∥CD ，再利用平行线的性质及已知条件可推得答案；②过E 作EF ∥AB ，先利用平行线的传递性得出EF ∥AB ∥CD ，再利用平行线的性质及已知条件可推得答案.（1）解：因为//AB CD ， 所以∠BAC +∠DCA =180°，因为AE CE ⊥，所以∠EAC +∠ECA =90°，因为AE 平分∠BAC ，所以∠BAE =∠EAC ，所以∠BAE +∠DCE =90°，所以∠EAC +∠DCE =90°，所以∠DCE =∠ECA ，所以CE 平分∠ACD ；（2）①∠BAE 与∠MCD 存在确定的数量关系：∠BAE +12∠MCD =90°，理由如下： 过E 作EF ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴EF ∥AB ∥CD ，∴∠BAE =∠AEF ，∠FEC =∠DCE ，∵∠E =90°，∴∠BAE +∠ECD =90°，∵∠MCE =∠ECD ，∴∠BAE +12∠MCD =90°；②∠BAE 与∠MCD 存在确定的数量关系：∠BAE +1n n +∠MCD =90°， 理由如下： 过E 作EF ∥AB ，∵AB ∥CD ，∴EF ∥AB ∥CD ，∴∠BAE =∠AEF ，∠FEC =∠DCE ，∵∠E =90°，∴∠BAE +∠ECD =90°，∵∠MCE =1n∠ECD ， ∴∠BAE +1n n +∠MCD =90°. 【点拨】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，解决本题的关键是要添加辅助线利用平行性质.8．（1）PAC PBD APB ∠+∠=∠；（2）当点P 在直线1l 上方时，∠-∠=∠PBD PAC APB ；当点P 在直线2l 下方时，∠-∠=∠PAC PBD APB ．【分析】（1）过点P 作1//PE l ，由“平行于同一条直线的两直线平行”可得出12////PE l l ，再由“两直线平行，内错角相等”得出PAC APE ∠=∠、PBD BPE ∠=∠，再根据角与角的关系即可得出结论；（2）按点P 的两种情况分类讨论：①当点P 在直线1l 上方时；②当点P 在直线2l 下方时，同理（1）可得PAC APE ∠=∠、PBD BPE ∠=∠，再根据角与角的关系即可得出结论．解：（1）PAC PBD APB ∠+∠=∠．过点P 作1//PE l ，如图1所示．1//PE l ，12l l //，12////PE l l ∴，PAC APE ∴∠=∠，PBD BPE ∠=∠，APB APE BPE ∠=∠+∠，PAC PBD APB ∴∠+∠=∠．（2）结论：当点P 在直线1l 上方时，∠-∠=∠PBD PAC APB ；当点P 在直线2l 下方时，∠-∠=∠PAC PBD APB ．①当点P 在直线1l 上方时，如图2所示．过点P 作1//PE l ．1//PE l ，12l l //，12////PE l l ∴，PAC APE ∴∠=∠，PBD BPE ∠=∠，APB BPE APE ∠=∠-∠，PBD PAC APB ∴∠-∠=∠．②当点P 在直线2l 下方时，如图3所示．过点P 作1//PE l ．1//PE l ，12l l //，12////PE l l ∴，PAC APE ∴∠=∠，PBD BPE ∠=∠，APB APE BPE ∠=∠-∠，PAC PBD APB ∴∠-∠=∠．【点拨】本题考查了平行线的性质以及角的计算，解题的关键是根据“两直线平行，内错角相等”找到相等的角．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质得出相等（或互补）的角是关键．9．（1）∠ABE =40°；（2）∠ABE =30°；（3）∠MGN =15°．【分析】（1）过E 作EM ∥AB ，根据平行线的判定与性质和角平分线的定义解答即可；（2）过E 作EM ∥AB ，过F 作FN ∥AB ，根据平行线的判定与性质，角平分线的定义以及解一元一次方程解答即可；（3）过P 作PL ∥AB ，根据平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义解答即可．解：（1）过E 作EM ∥AB ，∵AB∥CD，∴CD∥EM∥AB，∴∠ABE＝∠BEM，∠DCE＝∠CEM，∵CF平分∠DCE，∴∠DCE＝2∠DCF，∵∠DCF＝30°，∴∠DCE＝60°，∴∠CEM＝60°，又∵∠CEB＝20°，∴∠BEM＝∠CEM﹣∠CEB＝40°，∴∠ABE＝40°；（2）过E作EM∥AB，过F作FN∥AB，∵∠EBF＝2∠ABF，∴设∠ABF＝x，∠EBF＝2x，则∠ABE＝3x，∵CF平分∠DCE，∴设∠DCF＝∠ECF＝y，则∠DCE＝2y，∵AB∥CD，∴EM∥AB∥CD，∴∠DCE＝∠CEM＝2y，∠BEM＝∠ABE＝3x，∴∠CEB＝∠CEM﹣∠BEM＝2y﹣3x，同理∠CFB＝y﹣x，∵2∠CFB+（180°﹣∠CEB）＝190°，∴2（y﹣x）+180°﹣（2y﹣3x）＝190°，∴x ＝10°，∴∠ABE ＝3x ＝30°；（3）过P 作PL ∥AB ，∵GM 平分∠DGP ，∴设∠DGM ＝∠PGM ＝y ，则∠DGP ＝2y ，∵PQ 平分∠BPG ，∴设∠BPQ ＝∠GPQ ＝x ，则∠BPG ＝2x ，∵PQ ∥GN ，∴∠PGN ＝∠GPQ ＝x ，∵AB ∥CD ，∴PL ∥AB ∥CD ，∴∠GPL ＝∠DGP ＝2y ，∠BPL ＝∠ABP ＝30°，∵∠BPL ＝∠GPL ﹣∠BPG ，∴30°＝2y ﹣2x ，∴y ﹣x ＝15°，∵∠MGN ＝∠PGM ﹣∠PGN ＝y ﹣x ，∴∠MGN ＝15°．【点拨】此题考查平行线的判定与性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，解题关键在于作辅助线和掌握判定定理．10．(1)90︒ (2)30F E ∠=∠+︒，理由见分析 (3)15︒【分析】（1）如图1，分别过点E ，F 作//EM AB ，//FN AB ，根据平行线的性质得到30B BEM ∠=∠=︒，MEF EFN ∠=∠，180D DFN ∠+∠=︒，代入数据即可得到结论；（2）如图1，根据平行线的性质得到30B BEM ∠=∠=︒，MEF EFN ∠=∠，由//AB CD ，//AB FN ，得到//CD FN ，根据平行线的性质得到180D DFN ∠+∠=︒，于是得到结论；（3）如图2，过点F 作//FH EP ，设2BEF x ∠=︒，则(230)EFD x ∠=+︒，根据角平分线的定义得到12PEF BEF x ∠=∠=︒，1(15)2EFG EFD x ∠=∠=+︒，根据平行线的性质得到PEF EFH x ∠=∠=︒，P HFG ∠=∠，于是得到结论．（1）解：如图1，分别过点E ，F 作//EM AB ，//FN AB ，////EM AB FN ∴，30B BEM ∴∠=∠=︒，MEF EFN ∠=∠，又//AB CD ，//AB FN ，//CD FN ∴，180D DFN ∴∠+∠=︒，又120D ∠=︒，60DFN ∴∠=︒，30BEF MEF ∴∠=∠+︒，60EFD EFN ∠=∠+︒，60EFD MEF ∴∠=∠+︒3090EFD BEF ∴∠=∠+︒=︒；故答案为：90︒；（2）解：如图1，分别过点E ，F 作//EM AB ，//FN AB ，////EM AB FN ∴，30B BEM ∴∠=∠=︒，MEF EFN ∠=∠，又//AB CD ，//AB FN ，//CD FN ∴，180D DFN ∴∠+∠=︒，又120D ∠=︒，60DFN ∴∠=︒，30BEF MEF ∴∠=∠+︒，60EFD EFN ∠=∠+︒，60EFD MEF ∴∠=∠+︒，30EFD BEF ∴∠=∠+︒；（3）解：如图2，过点F 作//FH EP ，由（2）知，30EFD BEF ∠=∠+︒，设2BEF x ∠=︒，则(230)EFD x ∠=+︒， EP 平分BEF ∠，GF 平分EFD ∠，12PEF BEF x ∴∠=∠=︒，1(15)2EFG EFD x ∠=∠=+︒， //FH EP ，PEF EFH x ∴∠=∠=︒，P HFG ∠=∠，15HFG EFG EFH ∠=∠-∠=︒，15P ∴∠=︒．【点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．11．(1)BAE CDE AED ∠+∠=∠；(2)12AFD AED ∠=∠；(3)60=︒∠BAE 【分析】（1）作EF ∥AB ，如图1，则EF ∥CD ，利用平行线的性质得∠1=∠EAE ，∠2=∠CDE ，从而得到∠BAE +∠CDE =∠AED（2）如图2，由（1）的结论得∠AFD =12∠BAE ，∠CDF =12∠CDE ，则∠AFD =12（∠BAE +∠CDE ），加上（1）的结论得到∠AFD =12∠AED ；（3）由（1）的结论得∠AGD =∠BAF +∠CDG ，利用折叠性质得∠CDG =4∠CDF ，再利用等量代换得到∠AGD =2∠AED -32∠BAE ，加上90°-∠AGD =180°-2∠AED ，从而计算出∠BAE 的度数．解：(1)∠BAE +∠CDE =∠AED理由如下：作EF ∥AB ，如图1∵AB ∥CD∴EF ∥CD∴∠1=∠BAE ，∠2=∠CDE∴∠BAE +∠CDE =∠AED(2)如图2，由（1）的结论得∠AFD =∠BAF +∠CDF∵∠BAE 、∠CDE 的两条平分线交于点F∴∠BAF =12∠BAE ，∠CDF =12∠CDE∴∠AFE =12（∠BAE +∠CDE ）∵∠BAE +∠CDE =∠AED∴∠AFD =12∠AED(3)由（1）的结论得∠AGD =∠BAF +∠CDG而射线DC 沿DE 翻折交AF 于点G∴∠CDG =4∠CDF∴∠AGD =∠BAF +4∠CDF =12∠BAE +2∠CDE =12∠BAE +2（∠AED -∠BAE ）=2∠AED -32∠BAE ∵90°-∠AGD =180°-2∠AED∴90°-2∠AED +32∠BAE =180°-2∠AED ∴∠BAE =60°【点拨】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．12．（1）见分析；（2）55°；（3）1118022αβ︒-+ 【分析】（1）根据平行线的判定定理与性质定理解答即可；（2）①如图2，过点F 作//FE AB ，当点B 在点A 的左侧时，根据50ABC ∠=︒，60ADC ∠=︒，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求BFD ∠的度数；②如图3，过点F 作//EF AB ，当点B 在点A 的右侧时，ABC α∠=，ADC β∠=，根据平行线的性质及角平分线的定义即可求出BFD ∠的度数．解：（1）如图1，过点E 作//EF AB ，则有BEF B ∠=∠，//AB CD ，//EF CD ∴，FED D ∴∠=∠，BED BEF FED B D ∴∠=∠+∠=∠+∠；（2）①如图2，过点F 作//FE AB ，有BFE FBA ∠=∠．//AB CD ，//EF CD ∴．EFD FDC ∴∠=∠．BFE EFD FBA FDC ∴∠+∠=∠+∠．即BFD FBA FDC ∠=∠+∠， BF 平分ABC ∠，DF 平分ADC ∠，1252FBA ABC ∴∠=∠=︒，1302FDC ADC ∠=∠=︒， 55BFD FBA FDC ∴∠=∠+∠=︒．答：BFD ∠的度数为55︒；②如图3，过点F 作//FE AB ，有180BFE FBA ∠+∠=︒．180BFE FBA ∴∠=︒-∠，//AB CD ，//EF CD ∴．EFD FDC ∴∠=∠．180BFE EFD FBA FDC ∴∠+∠=︒-∠+∠．即180BFD FBA FDC ∠=︒-∠+∠， BF 平分ABC ∠，DF 平分ADC ∠，1122FBA ABC α∴∠=∠=，1122FDC ADC β∠=∠=， 1118018022BFD FBA FDC αβ∴∠=︒-∠+∠=︒-+． 答：BFD ∠的度数为1118022αβ︒-+． 【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．13．（1）∠BME ＝∠MEN ﹣∠END ；∠BMF ＝∠MFN ＋∠FND ；（2）120°；（3）不变，30°【分析】（1）过E 作EH ∥AB ，易得EH ∥AB ∥CD ，根据平行线的性质可求解；过F 作FH ∥AB ，易得FH ∥AB ∥CD ，根据平行线的性质可求解；（2）根据（1）的结论及角平分线的定义可得2（∠BME+∠END）+∠BMF-∠FND=180°，可求解∠BMF=60°，进而可求解；∠BME，进而可求解．（3）根据平行线的性质及角平分线的定义可推知∠FEQ=12解：（1）过E作EH∥AB，如图1，∴∠BME＝∠MEH，∵AB∥CD，∴HE∥CD，∴∠END＝∠HEN，∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，即∠BME＝∠MEN﹣∠END．如图2，过F作FH∥AB，∴∠BMF＝∠MFK，∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠FND＝∠KFN，∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．故答案为∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，∴2（∠BME ＋∠END ）＋∠BMF ﹣∠FND ＝180°，∴2∠BME ＋2∠END ＋∠BMF ﹣∠FND ＝180°，即2∠BMF ＋∠FND ＋∠BMF ﹣∠FND ＝180°，解得∠BMF ＝60°，∴∠FME ＝2∠BMF ＝120°；（3）∠FEQ 的大小没发生变化，∠FEQ ＝30°．由（1）知：∠MEN ＝∠BME ＋∠END ，∵EF 平分∠MEN ，NP 平分∠END ，∴∠FEN ＝12∠MEN ＝12（∠BME ＋∠END ），∠ENP ＝12∠END ，∵EQ ∥NP ，∴∠NEQ ＝∠ENP ，∴∠FEQ ＝∠FEN ﹣∠NEQ ＝12（∠BME ＋∠END ）﹣12∠END ＝12∠BME ，∵∠BME ＝60°，∴∠FEQ ＝12×60°＝30°．【点拨】本题主要考查平行线的性质及角平分线的定义，作平行线的辅助线是解题的关键．14．（1）见分析；（2）3ACD GAC ∠=∠，见分析；（3）54019⎛⎫ ⎪⎝⎭°或54023︒⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【分析】（1）根据平行线的判定与性质求证即可；（2）根据三角形的内角和为180°和平角定义得到AQD E EAQ ∠=∠+∠，结合平行线的性质得到BDQ E EAQ ∠=∠+∠，再根据角平分线的定义证得2CDB E GAC ∠=∠+∠，结合已知即可得出结论；（3）分当K 在直线GH 下方和当K 在直线GH 上方两种情况，根据平行线性质、三角形外角性质、角平分线定义求解即可．解：（1）如图1，延长AC 交MN 于点P ，∵ACD C ∠=∠，∴//AP BD ，∴NBD NPA ∠=∠，∵GAC NBD ∠=∠，∴GAC NPA ∠=∠，∴//GH MN ；（2）延长AC 交MN 于点P ，交DE 于点Q ，∵180E EAQ AQE ∠+∠+∠=°，180AQE AQD ∠+∠=°，∴AQD E EAQ ∠=∠+∠，∵//AP BD ，∴AQD BDQ ∠=∠，∴BDQ E EAQ ∠=∠+∠，∵AE 平分GAC ∠，DE 平分BDC ∠，∴2GAC EAQ ∠=∠，2CDB BDQ ∠=∠，∴2CDB E GAC ∠=∠+∠，∵AED GAC ∠=∠，ACD CDB ∠=∠，∴23ACD GAC GAC GAC ∠=∠+∠=∠；（3）当K 在直线GH 下方时，如图，设射线BF 交GH 于I ，∵//GH MN ，∴AIB FBM ∠=∠，∵BF 平分MBD ∠， ∴1(180)2DBF FBM DBN ∠=∠=-∠°， ∴AIB DBF ∠=∠，∵AIB KAG AKB ∠+∠=∠，AKB ACD ∠=∠，∴ACD DBF KAG ∠=∠+∠，∵13KAG GAC ∠=∠，GAC NBD ∠=∠， ∴11(180)332GAC DBN ACD GAC ∠+-∠=∠=∠°， 即1190332GAC GAC GAC ∠+-∠=∠°，解得：54019GAC ⎛⎫∠= ⎪⎝⎭． 当K 在直线GH 上方时，如图，同理可证得1(180)2AIB DBN AKB KAG ∠=-∠=∠+∠°， 则有113(180)32GAC GAC GAC ∠+∠=-∠，解得：54023GAC ⎛⎫∠= ⎪⎝⎭．综上，故答案为54019⎛⎫ ⎪⎝⎭°或54023︒⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点拨】本题考查平行线的判定与性质、角平分线的定义、三角形的外角性质、三角形的内角和定理、平角定义、角度的运算，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．15．（1）65°（2）3606α︒-︒（3）2n ∠M +∠BED =360° 【分析】（1）首先作EG ∥AB ，FH ∥AB ，利用平行线的性质可得∠ABE +∠CDE =260°，再利用角平分线的定义得到∠ABF +∠CDF =130°，从而得到∠BFD 的度数，再根据角平分线的定义可求∠M 的度数；（2）先由已知得到∠ABE =6∠ABM ，∠CDE =6∠CDM ，由（1）得∠ABE +∠CDE =360°-∠BED ，∠M =∠ABM +∠CDM ，等量代换即可求解；（3）先由已知得到ABF n ABM ∠=∠，CDF n CDM ∠=∠，由（2）的方法可得到2n ∠M +∠BED =360°．解：（1）如图1，作//EG AB ，//FH AB ，∵AB CD ∥，∴EG AB FH CD ∥∥∥，∴ABF BFH ∠=∠，CDF DFH ∠=∠，180ABE BEG ∠+∠=︒，180GED CDE ∠+∠=︒， ∴360ABE BEG GED CDE ∠+∠+∠+∠=︒，∵100BED BEG DEG ∠=∠+∠=︒，∴260ABE CDE ∠+∠=︒，∵ABE ∠的角平分线和CDE ∠的角平分线相交于F ，∴130ABF CDF ∠+∠=︒，∴130BFD BFH DFH ∠=∠+∠=︒，∵BM 、DM 分别是ABF ∠和CDF ∠的角平分线， ∴12MBF ABF ∠=∠，12MDF CDF ∠=∠，∴65MBF MDF ∠+∠=︒，∴1306565BMD ∠=︒-︒=︒；（2）如图2，∵13ABM ABF ∠=∠，13CDM CDF ∠=∠， ∴3ABF ABM ∠=∠，3CDF CDM ∠=∠，∵ABE ∠与CDE ∠两个角的角平分线相交于点F ，∴6ABE ABM ∠=∠，6CDE CDM ∠=∠，∴66360ABM CDM BED ∠+∠+∠=︒，∵BMD ABM CDM ∠=∠+∠，∴6360BMD BED ∠+∠=︒， ∴3606BMD α︒-︒∠=； （3）∵∠ABM ＝1n ∠ABF ，∠CDM ＝1n∠CDF ， ∴ABF n ABM ∠=∠，CDF n CDM ∠=∠，∵ABE ∠与CDE ∠两个角的角平分线相交于点F ，∴2ABE n ABM ∠=∠，2CDE n CDM ∠=∠，∴22360n ABM n CDM BED ∠+∠+∠=︒，∠=∠+∠，∵M ABM CDM∴2360n M BED∠+∠=︒．【点拨】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的计算，关键在于掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的性质．16．（1）∠A+∠C=90°；（2）见分析；（3）∠EBC=105°．【分析】（1）通过平行线性质和直角三角形内角关系求解．（2）画辅助平行线找角的联系．（3）利用（2）的结论，结合角平分线性质求解．解：（1）如图1，∵AM∥CN，∴∠C=∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠A+∠AOB=90°，∠A+∠C=90°，故答案为：∠A+∠C=90°；（2）如图2，过点B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，∴∠DBG=90°，∴∠ABD+∠ABG=90°，∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG=90°，∴∠ABD=∠CBG，∵AM∥CN，∴∠C=∠CBG，∴∠ABD=∠C；（3）如图3，过点B作BG∥DM，∵AM∥CN，∴CN∥BG，∴∠CBG=∠BCN，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，∵∠ABD=∠NCB，∴∠ABD=∠CBG，∴∠ABF=∠GBF，设∠DBE=α，∠ABF=β，则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=∠AFB=β，∠BFC=3∠DBE=3α，∵BG∥DM，∴∠DFB=∠GBF=β，∴∠AFC=∠BFC+∠DFB=3α+β，∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，∴∠FCB=∠AFC=3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得：2α+β+3α+3α+β=180°，∵AB⊥BC，∴β+β+2α=90°，∴α=15°，∴∠ABE=15°，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【点拨】本题考查平行线性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，画辅助线，找到角的关系是求解本题的关键．17．（1）见分析；（2）见分析；（3）n -1【分析】（1）连接AB ，根据已知证明∠MAB +∠SBA =180°，即可得证；（2）作CF ∥ST ，设∠CBT =α，表示出∠CAN ，∠ACF ，∠BCF ，根据AD ∥BC ，得到∠DAC =120°，求出∠CAE 即可得到结论；（3）作CF ∥ST ，设∠CBT =β，得到∠CBT =∠BCF =β，分别表示出∠CAN 和∠CAE ，即可得到比值．解：（1）如图，连接AB ，，360MAC ACB SBC ∠+∠+∠=︒，180ACB ABC BAC ∠+∠+∠=︒，180MAB SBA ∴∠+∠=︒，//MN ST ∴（2）2CAE CAN ∠=∠，理由：作//CF ST ，则////,MN CF ST 如图，设CBT α∠=，则2DAE α∠=．BCF CBT α∠=∠=，60CAN ACF α∠=∠=︒-，AD //BC ，180120DAC ACB ∠=︒-∠=︒，12012022(60)2CAE DAE CAN αα∴∠=︒-∠=︒-=︒-=∠．即2CAE CAN ∠=∠．（3）作//CF ST ，则////,MN CF ST 如图，设CBT β∠=，则MAE n β∠=．//CF ST ，CBT BCF β∴∠=∠=，180180n ACF CAN n nββ︒︒-∠=∠=-=， 1801180180(180)n CAE MAE CAN n n n n βββ︒-∠=︒-∠-∠=︒--+=︒-， 11::1n CAE CAN n n n-∠∠==-， 故答案为n 1-．【点拨】本题主要考查平行线的性质和判定，解题关键是角度的灵活转换，构建数量关系式．18．（1）110°；（2）80°；（3）()()11,22nx y x y ⎛⎫+︒+︒ ⎪⎝⎭ 【分析】（1）过点P 作PH ∥AB ∥CD ，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等即可证得；（2）同理依据两直线平行，内错角相等即可证得∠1+∠4=∠2+∠3，求得∠4=80°；（3）利用（1）的结论和角平分线的性质即可写出结论．解：（1）如图1，过点P 作PH ∥AB ∥CD ，∴∠1=∠EPH ，∠2=∠FPH ，而∠EPF =∠EPH +∠FPH ，∴∠EPF =∠1+∠2=110°；（2）过点P 作//PM AB ,//QN AB ，//PM AB ，1EPM ∴∠=∠，//,//,//QN AB PM AB AB CD ，//P //QN//AB M DC ∴，MPQ NQP ∴∠=∠，2NQF ∠=∠，3EPM MPQ ∠=∠+∠，4PQN NQF ∠=∠+∠，∴∠1+∠4=∠2+∠3，∵∠1=30°，∠2=40°，∠3=70°，∴∠4=80°，故答案为：80°；（3）过点P 作////PH AB CD ，1PE 平分PEB ∠，11PEB PEP ∴∠=∠，同理11DFP PFP ∠=∠， ∴111EPF PEB PFP ∠=∠+∠1122PFD BEP =+ ()12PFD BEP =+ ()12x y =+︒，同理1()()2nnyP x∠=+︒，故答案为：11() 2P x y∠=+︒，1()()2nnyP x∠=+︒．【点拨】本题考查了平行线性质的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，学会探究规律，利用规律解决问题．19．（1）∠A+∠C=90°；（2）①见分析；②105°【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可；（2）①过点B作BG∥DM，根据平行线找角的联系即可求解；②先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF=∠GBF，再设∠DBE=α，∠ABF=β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得2α+β+3α+3α+β=180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程组即可得到∠ABE=15°，进而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O，∵AM∥CN，∴∠C=∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠A+∠AOB=90°，∴∠A+∠C=90°；（2）①如图2，过点B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，∴∠DBG=90°，∴∠ABD+∠ABG=90°，∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG=90°，∴∠ABD=∠CBG，∵AM∥CN，BG∥DM，BG CN//,∴∠C=∠CBG，∠ABD=∠C；②如图3，过点B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，由（2）知∠ABD=∠CBG，∴∠ABF=∠GBF，设∠DBE=α，∠ABF=β，则∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=∠AFB=β，∠BFC=3∠DBE=3α，∴∠AFC=3α+β，∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，∴∠FCB=∠AFC=3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得：2α+β+3α+3α+β=180°，∵AB⊥BC，∴β+β+2α=90°，∴α=15°，∴∠ABE=15°，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【点拨】本题主要考查了平行线的性质的运用，解决问题的关键是作平行线构造内错角，运用等角的余角（补角）相等进行推导．余角和补角计算的应用，常常与等式的性质、等量代换相关联．解题时注意方程思想的运用．20．（1）证明见分析；（2）证明见分析；（3）120°．【分析】（1）过点A作AD∥MN，根据两直线平行，内错角相等得到∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，根据角的和差等量代换即可得解；（2）由两直线平行，同旁内角互补得到∴、∠CAB+∠ACD＝180°，由邻补角定义得到∠ECM+∠ECN＝180°，再等量代换即可得解；（3）由平行线的性质得到，∠F AB＝120°﹣∠GCA，再由角平分线的定义及平行线的性质得到∠GCA﹣∠ABF＝60°，最后根据三角形的内角和是180°即可求解．解：（1）证明：如图1，过点A作AD∥MN，∵MN∥PQ，AD∥MN，∴AD∥MN∥PQ，∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA，即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；（2）如图2，∵CD∥AB，∴∠CAB+∠ACD＝180°，∵∠ECM+∠ECN＝180°，∵∠ECN＝∠CAB∴∠ECM＝∠ACD，即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，∴∠MCA＝∠DCE；（3）∵AF∥CG，∴∠GCA+∠F AC＝180°，∵∠CAB＝60°即∠GCA+∠CAB+∠F AB＝180°，∴∠F AB＝180°﹣60°﹣∠GCA＝120°﹣∠GCA，由（1）可知，∠CAB ＝∠MCA +∠ABP ， ∵BF 平分∠ABP ，CG 平分∠ACN ， ∴∠ACN ＝2∠GCA ，∠ABP ＝2∠ABF ， 又∵∠MCA ＝180°﹣∠ACN ，∴∠CAB ＝180°﹣2∠GCA +2∠ABF ＝60°， ∴∠GCA ﹣∠ABF ＝60°， ∵∠AFB +∠ABF +∠F AB ＝180°， ∴∠AFB ＝180°﹣∠F AB ﹣∠FBA ＝180°﹣（120°﹣∠GCA ）﹣∠ABF ＝180°﹣120°+∠GCA ﹣∠ABF ＝120°．【点拨】本题主要考查了平行线的性质，线段、角、相交线与平行线，准确的推导是解决本题的关键．21．（1）100；（2）75°；（3）n =3．【分析】（1）如图：过O 作OP //MN ，由MN //OP //GH 得∠NAO +∠POA =180°，∠POB +∠OBH =180°，即∠NAO +∠AOB +∠OBH =360°，即可求出∠AOB ；（2）如图：分别延长AC 、CD 交GH 于点E 、F ，先根据角平分线求得58NAC ∠=︒，再根据平行线的性质得到58CEF ∠=︒；进一步求得18DBF ∠=︒，17DFB ∠=︒，然后根据三角形外角的性质解答即可；（3）设BF 交MN 于K ，由∠NAO =116°，得∠MAO =64°，故∠MAE =641nn ︒⨯+，同理∠OBH =144°，∠HBF =n ∠OBF ，得∠FBH =1441n n ︒⨯+，从而=n BKA FBH n ∠∠=⨯︒+1441，又∠FKN =∠F +∠F AK ，得144606411n nn n ︒︒︒⨯=+⨯++，即可求n ． 解：（1）如图：过O 作OP //MN ， ∵MN //GHl ∴MN //OP //GH∴∠NAO +∠POA =180°，∠POB +∠OBH =180° ∴∠NAO +∠AOB +∠OBH =360° ∵∠NAO =116°，∠OBH =144° ∴∠AOB =360°-116°-144°=100°；（2）分别延长AC 、CD 交GH 于点E 、F ，∵AC 平分NAO ∠且116NAO ∠=︒， ∴58NAC ∠=︒， 又∵MN //GH ， ∴58CEF ∠=︒；∵144OBH ∠=︒，36OBG ∠=︒ ∵BD 平分OBG ∠， ∴18DBF ∠=︒， 又∵,CDB ∠=︒35∴351817DFB CDB DBF ∠=∠-∠=-=︒； ∴175875ACD DFB AEF ∠=∠+∠=︒+︒=︒； （3）设FB 交MN 于K ，∵116NAO ∠=︒，则MAO ∠=︒64； ∴641nMAE n ∠=⨯︒+ ∵144OBH ∠=︒， ∴+1n FBH n ∠=⨯︒144，=n BKA FBH n ∠∠=⨯︒+1441， 在△F AK 中，64601nBKA FKA F n ∠=∠+∠=⨯︒+︒+, ∴144646011n n n n ⨯︒=⨯︒+︒++， ∴3n =．经检验：3n =是原方程的根，且符合题意.【点拨】本题主要考查平行线的性质及应用，正确作出辅助线、构造平行线、再利用平行线性质进行求解是解答本题的关键．22．（1）260BEO DFO ∠+∠=︒ ；（2）EMN FNM ∠-∠的值为40°；（3）53．【分析】（1）过点O 作OG ∥AB ，可得AB ∥OG ∥CD ，利用平行线的性质可求解； （2）过点M 作MK ∥A B ，过点N 作NH ∥CD ，由角平分线的定义可设∠BEM =∠OEM =x ，∠CFN =∠OFN =y ，由∠BEO +∠DFO =260°可求x -y =40°，进而求解；（3）设直线FK 与EG 交于点H ，FK 与AB 交于点K ，根据平行线的性质即三角形外角的性质及50FMN ENM ∠-∠=︒，可得50KFD AEG ∠-∠=︒，结合260AEG n OEG DFK n OFK BEO DFO ∠=∠=∠∠+∠=︒，，，可得11180100AEG AEG KFD KFD n n∠+∠+︒-∠-∠=︒，即可得关于n 的方程，计算可求解n 值． 解：证明：过点O 作OG ∥AB ，∵AB ∥CD ， ∴AB ∥OG ∥CD ，∴180180BEO EOG DFO FOG ∠+∠=︒∠+∠=︒，， ∴360BEO EOG DFO FOG ∠+∠+∠+∠=︒， 即360BEO EOF DFO ∠+∠+∠=︒， ∵∠EOF =100°，∴∠260BEO DFO +∠=︒；（2）解：过点M 作MK ∥AB ，过点N 作NH ∥CD ，。

、三角形的内角和定理三角形的内角和等于180度。

要会利用平行线性质、邻补角、平角等相关知识推出三角形内角和定理。

注：①、已知三角形的两个内角度数，可求出第三个角的度数；②、等边三角形的每一个内角都等于60度；③、如果已知等腰三角形的一个内角等于60度，那么这个等腰三角形就是等边三角形。

④、三角形中，有“大角对大边，大边对大角”性质，即度数较大的角，所对的边就较长，或较长的边，所对的角的度数较大。

例：已知等腰三角形的一个内角等于70度，则另外两个内角的度数分别是多少度?二、三角形的外角及其性质三角形的每一个内角都有相邻的两个外角，且这两个外角相等（对顶角相等）。

一共有六个外角。

其中，从与三角形的每一个内角相邻的两个外角中各取一个外角相加（一共三个外角相加），叫三角形的外角和。

根据邻补角、三角形的内角和等相关知识，可知：三角形的外角和= 360 度。

性质1、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。

性质2、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

（常用于解决角的不等关系问题）①锐角三角形两条边上的高相交所成的夹角与第三边所对的角互补；②直角三角形两条边上的高相交所成的夹角与第三边所对的角相等；③钝角三角形一条钝角边上的高与钝角所对最大边上的高相交所成的夹角与另一钝角边所对的角相等，但若是两条钝角边上的高相交所成的夹角，则与第三边所对的角互补。

例：1、一个多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，则此多边形为________边形。

2、一个多边形除了一个内角外，其余内角之和为1680°，则这个多边形是________边形。

3、已知：如图，MN⊥PQ，垂足为O，点A、B分别在射线上OM、OP上，直线BE平分∠PBA与∠BAO 的平分线相交于点C．（1）若∠BAO=45°，求∠ACB；（2）若点A、B分别在射线上OM、OP上移动，试问∠ACB的大小是否会发生变化？如果保持不变，请说明理由；如果随点A、B的移动发生变化，请求出变化的范围．①锐角三角形两条边上的高相交所成的夹角与第三边所对的角互补；②直角三角形两条边上的高相交所 成的夹角与第三边所对的角相等；③钝角三角形一条钝角边上的高与钝角所对最大边上的高相交所成的夹角与另一钝角边所对的角相等，但若是两条钝角边上的高相交所成的夹角，则与第三边所对的角互补。