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2019届浙江省11月学考数学试题一、单选题1．已知集合A＝｛1，2，3，4｝，B＝｛1，3，5｝，则A∩B＝A．｛1，2，3，4，5｝B．｛1，3，5｝C．｛1，4｝D．｛1，3｝【答案】D【解析】由集合A和B，再根据集合交集的基本关系，即可求出A∩B的结果.【详解】因为集合，所以，故选D.【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．函数的最小正周期是A．B．C．π D．2π【答案】C【解析】根据三角函数的周期公式即可求出结果.【详解】因为函数，所以函数的最小正周期是，故选C.【点睛】本题主要考查三角函数的周期性和周期公式，熟练掌握公式是解决本题的关键. 3．计算A．B．C．D．【答案】B【解析】现将化成，然后再根据指数幂的运算公式即可求出结果.【详解】.【点睛】本题主要考查指数幂的运算公式，熟练掌握运算公式是解决问题的关键.4．直线经过点A．（1，0）B．（0，1）C．D．【答案】A【解析】将选项A、B、C、D代入直线方程即可求出结果.【详解】将选项A代入直线方程，检验满足题意；将选项B代入直线方程，检验不满足题意；将选项C代入直线方程，检验不满足题意；将选项D代入直线方程，检验不满足题意,故选A.【点睛】本题主要考查点与直线方程之间的关系，属于简单题.5．函数的定义域是A．B．C．[0，2] D．（2，2）【答案】A【解析】根据函数的解析式，可得，解不等式，即可求出结果.【详解】由函数的解析式，可得，解不等式可得，函数的定义域是，故选A.【点睛】本题主要考查函数的定义域的求法，属于基础题.6．对于空间向量a＝（1，2，3），b＝（λ，4，6）.若，则实数λ＝A．-2 B．-1 C．1 D．2【答案】D【解析】根据向量，知它们的坐标对应成比例，求出的值．【详解】因为空间向量，若，则，所以,故选D.【点睛】本题考查了空间向量的平行或共线的坐标运算，是基础题．7．渐近线方程为的双曲线方程是A．B．C．D．【答案】B【解析】根据双曲线的渐近线方程公式，即可求出正确的结果.【详解】选项A的渐近线方程为：，选项B的渐近线方程为：，正确；选项C的渐近线：；选项D的渐近线方程为：；故选：B．【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质,求出双曲线的渐近线方程是解题的关键,属于基础题。
2019届浙江省温州市高三一模文科数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知集合，，则（）A ．___________B ．___________C ．_________D ．2. 已知，是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是（） A．若，，则B．若，，则C．若，，则D ．若，，则3. 已知实数，满足，则的最大值为（）A ． -1___________B ． 0___________C ． 1___________D ． 34. 已知直线：，曲线：，则“ ”是“直线与曲线有公共点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D ．既不充分也不必要条件5. 已知正方形的面积为2，点在边上，则的最大值为(________ )A ．___________B ．_________C ．___________D ．6. 如图，在矩形中，，，点为的中点，现分别沿，将，翻折，使得点，重合于，此时二面角的余弦值为（）A ．______________________________B ．___________C ．___________________________________ D ．7. 如图，已知，为双曲线：的左、右焦点，为第一象限内一点，且满足，，线段与双曲线交于点，若，则双曲线的渐近线方程为（）A． B．___________C ．________________________D ．8. 已知集合，若实数，满足：对任意的，都有，则称是集合的“和谐实数对”，则以下集合中，存在“和谐实数对”的是（）A．________B．___________C．______________D ．二、填空题9. 已知直线，，，则的值为________________________ ，直线与间的距离为______________________________ ．10. 已知钝角的面积为，，，则角______________ ，______________ ．11. 已知，则___________ ，函数的零点个数为_________ ．12. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为______________ ，表面积为________________________ ．13. 若数列满足，则数列的前8项和为___________ ．14. 已知，若对任意的，方程均有正实数解，则实数的取值范围是___________ ．15. 已知椭圆：的左右焦点分别为，，离心率为，直线：，为点关于直线对称的点，若为等腰三角形，则的值为___________ ．三、解答题16. 已知，且．（1）求的值；（2）求函数在上的值域．17. 设等比数列的前项和为，已知，且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．18. 如图，在三棱锥中，，在底面上的射影为，，于．（1）求证：平面平面；（2）若，，，求直线与平面所成的角的正弦值．19. 如图，已知点，点，分别在轴、轴上运动，且满足，，设点的轨迹为．（1）求轨迹的方程；（2）若斜率为的直线与轨迹交于不同两点， (位于轴上方)，记直线，的斜率分别为，，求的取值范围．20. 已知函数．（ 1 ）视讨论函数的单调区间；（ 2 ）若，对于，不等式都成立，求实数的取值范围．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】。
2019届浙江省温州市高三第一次模拟考试数学试题选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1. 设全集错误！未找到引用源。
，则集合错误！未找到引用源。
（ ）A ．错误！未找到引用源。
B ．错误！未找到引用源。
C ．错误！未找到引用源。
D ．错误！未找到引用源。
【答案】B【解析】试题分析：如图，错误！未找到引用源。
．故选B ．13U ：1，2，3，4，5BA考点：集合的运算．2. 已知错误！未找到引用源。
是虚数单位，则满足错误！未找到引用源。
的复数错误！未找到引用源。
在复平面上对应点所在的象限为（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A考点：复数的模，复数的几何意义．3. 设实数错误！未找到引用源。
满足错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
的最大值为（ ）A ．错误！未找到引用源。
B ．错误！未找到引用源。
C ．2D ．3【答案】C【解析】试题分析：作出可行域，如图错误！未找到引用源。
内部（含边界），作出直线错误！未找到引用源。
，平移直线错误！未找到引用源。
，当它过点错误！未找到引用源。
时，错误！未找到引用源。
取得最大值2．故选C．考点：简单的线性规划．4. 若错误！未找到引用源。
，则错误！未找到引用源。
（）A．错误！未找到引用源。
B．错误！未找到引用源。
C．错误！未找到引用源。
或1 D．错误！未找到引用源。
或-1【答案】A考点：三角函数的同角关系．5. 在错误！未找到引用源。
的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则错误！未找到引用源。
的系数为（）A．15 B．45 C．135 D．405【答案】C【解析】试题分析：由题意错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，令错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
，错误！未找到引用源。
．故选C．考点：二项式定理的应用．6. 已知正整数错误！未找到引用源。
2019届浙江温州中学高三11月模拟考数学试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 已知，为异面直线，下列结论不正确的是（）A．必存在平面使得，B．必存在平面使得，与所成角相等C．必存在平面使得，D．必存在平面使得，与的距离相等2. 已知且，则是的（）A．充分不必要条件 ____________________ B．必要不充分条件C．充要条件 ___________________________________ D．既不充分也不必要条件3. 对任意，，恒有，则等于（）A． B． C． D．4. 等差数列的公差为，关于的不等式的解集为，则使数列的前项和最大的正整数的值是（）A． 4 B． 5 C． 6 D． 75. 已知集合，若实数，满足：对任意的，都有，则称是集合的“ 和谐实数对”，则以下集合中，存在“和谐实数对” 的是（）A．________B．C．D．6. 如图，将四边形中沿着翻折到，则翻折过程中线段中点的轨迹是（）A. 椭圆的一段 B．抛物线的一段C．双曲线的一段 D.一段圆弧7. 如图四边形，， .现将沿折起，当二面角处于过程中，直线与所成角的余弦值取值范围是（）A． B． _________ C． D．8. 如图，在等腰梯形中，，，，点，分别为，的中点，如果对于常数，在等腰梯形的四条边上，有且只有8个不同的点使得成立，那么的取值范围是（）A． B．______________C． D．二、填空题9. 若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于_________cm 3 ，表面积等于______cm 2 ．10. 设函数，则 _____ ，若，则实数的取值范围是 ______ .11. 在中，已知，，若，的长为__________；若点为中点，且，的值为__________12. 若实数，满足，则的最小值是______，此时 _____ .13. 设直线：与圆交于，两点，为圆心，当实数变化时，面积的最大值为4，则 __________．14. 已知，是非零不共线的向量，设，定义点集，当，时，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的最小值为_______________.15. 设数列满足，，，若，则整数 ______ ．三、解答题16. 在中，角，，所对的边分别是，，，且， .（ 1 ）若满足条件的有且只有一个，求的取值范围；（ 2 ）当的周长取最大值时，求的值.17. 如图（1），在等腰梯形中，，是梯形的高，，，现将梯形沿，折起，使且，得一简单组合体如图（2）示，已知，分别为，的中点．（1）求证：平面；（ 2 ）若直线与平面所成角的正切值为，求平面与平面所成的锐二面角大小.18. 设二次函数，其图像过点，且与直线有交点.（ 1 ）求证：；（ 2 ）若直线与函数的图像从左到右依次交于A，B，C，D四点，若线段AB， BC，CD能构成钝角三角形，求的取值范围.19. 已知椭圆：的左右焦点为，，离心率为，直线：与轴、轴分别交于点，两点，是直线与椭圆的一个公共点，是点关于直线的对称点，设.（1）若，求椭圆的离心率；（2）若为等腰三角形，求的值.20. 如图，已知曲线：及曲线：，上的点的横坐标为．从上的点作直线平行于轴，交曲线于点，再从点作直线平行于轴，交曲线于点，点（，2，3……）的横坐标构成数列．（1）试求与之间的关系，并证明：；（ 2 ）若，求证：．参考答案及解析第1题【答案】第2题【答案】第3题【答案】第4题【答案】第5题【答案】第6题【答案】第7题【答案】第8题【答案】第9题【答案】第10题【答案】第11题【答案】第12题【答案】第13题【答案】第14题【答案】第15题【答案】第16题【答案】第17题【答案】第18题【答案】第19题【答案】第20题【答案】。
2019届浙江省11月学考数学试题一、单选题1．已知集合A＝｛1，2，3，4｝,B＝{1，3，5｝，则A∩B＝A．｛1，2，3，4，5｝ B． {1，3,5｝ C． {1，4｝ D． {1，3｝【答案】D【解析】由集合A和B，再根据集合交集的基本关系，即可求出A∩B的结果。
【详解】因为集合，所以,故选D。
【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．函数的最小正周期是A． B． C．π D．2π【答案】C【解析】根据三角函数的周期公式即可求出结果。
【详解】因为函数，所以函数的最小正周期是，故选C。
【点睛】本题主要考查三角函数的周期性和周期公式，熟练掌握公式是解决本题的关键. 3．计算A． B． C． D．【答案】B【解析】现将化成，然后再根据指数幂的运算公式即可求出结果。
【点睛】本题主要考查指数幂的运算公式，熟练掌握运算公式是解决问题的关键.4．直线经过点A．（1，0） B．（0,1) C． D．【答案】A【解析】将选项A、B、C、D代入直线方程即可求出结果.【详解】将选项A代入直线方程，检验满足题意;将选项B代入直线方程，检验不满足题意;将选项C代入直线方程，检验不满足题意；将选项D代入直线方程,检验不满足题意，故选A.【点睛】本题主要考查点与直线方程之间的关系，属于简单题.5．函数的定义域是A． B． C．［0，2] D．（2，2)【答案】A【解析】根据函数的解析式,可得，解不等式，即可求出结果.【详解】由函数的解析式,可得，解不等式可得，函数的定义域是，故选A。
【点睛】本题主要考查函数的定义域的求法，属于基础题。
6．对于空间向量a＝(1，2，3），b＝（λ，4,6)。
若，则实数λ＝A．—2 B． -1 C． 1 D． 2【解析】根据向量，知它们的坐标对应成比例，求出的值．【详解】因为空间向量，若,则，所以,故选D.【点睛】本题考查了空间向量的平行或共线的坐标运算,是基础题．7．渐近线方程为的双曲线方程是A． B． C． D．【答案】B【解析】根据双曲线的渐近线方程公式,即可求出正确的结果。
浙江省温州市2019-2020学年高三数学一模试卷含解析一、单选题（共10题；共20分）1.已知全集U={1,2,3,4}，A={1,3}，C U B={2,3}，则A∩B=（）A. {1}B. {3}C. {4}D. {1,3,4}2.设实数x，y满足不等式组{x≥0 y≥03x+4y−12≤0，则z=x+2y的最大值为（）A. 0B. 2C. 4D. 63.某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积等于（）A. 16cm3 B. 13cm3 C. 12cm3 D. 23cm34.已知双曲线x2a2- y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√3,则双曲线的渐近线方程为( )A. y=± √22x B. y=± √2x C. y=±2x D. y=± 12x5.已知a，b是实数，则“ a>1且b>1”是“ ab+1>a+b”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.函数f(x)=1x+1−2x−1的图象可能是（）A. B.C. D.7.在四面体ABCD 中， ΔBCD 为等边三角形， ∠ADB =π2 ，二面角 B −AD −C 的大小为 α ，则 α 的取值范围是（ ）A. (0,π6]B. (0,π4]C. (0,π3]D. (0,π2]8.已知随机变量 ξ 满足 P(ξ=0)=1−p ， P(ξ=1)=p ，其中 0<p <1 .令随机变量 η=|ξ−E(ξ)| ，则（ ）A. E(η)>E(ξ)B. E(η)<E(ξ)C. D(η)>D(ξ)D. D(η)<D(ξ) 9.如图，P 为椭圆 E 1:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 上的一动点，过点P 作椭圆 E 2:x 2a2+y 2b 2=λ(0<λ<1) 的两条切线PA ，PB ，斜率分别为 k 1 ， k 2 .若 k 1⋅k 2 为定值，则 λ= （ ）A. 14B. √24C. 12 D. √2210.已知数列 {x n } 满足 x 1=2 ， x n+1=√2x n −1(n ∈N ∗) .给出以下两个命题：命题 p: 对任意 n ∈N ∗ ，都有 1<x n+1<x n ；命题 q: 存在 r ∈(0,1) ，使得对任意 n ∈N ∗ ，都有 x n ≤r n−1+1 .则（ ） A. p 真，q 真 B. p 真，q 假 C. p 假，q 真 D. p 假，q 假二、填空题（共7题；共7分）11.若复数z满足(2−i)z=(1+2i)2，其中i为虚数单位，则z=________，|z|=________．12.直线x4+y2=1与x轴、y轴分别交于点A，B，则|AB|=________；以线段AB为直径的圆的方程为________．13.若对x∈R，恒有x7+a=(1+x)(a0+a1x+⋯+a5x5+a6x6)，其中a，a0，a1，…，a5，a6∈R，则a=________，a5=________.14.如图所示，四边形ABCD中，AC=AD=CD=7，∠ABC=120°，sin∠BAC=5√314，则ΔABC的面积为________，BD=________.15.学校水果店里有苹果、香蕉、石榴、橘子、葡萄、西梅6种水果，西梅数量不多，只够一人购买.甲、乙、丙、丁4位同学前去购买，每人只选择其中一种，这4位同学购买后，恰好买了其中3种水果，则他们购买水果的可能情况有________种.16.已知平面向量a⃗，b⃗⃗，c⃗满足|a⃗|=1，|b⃗⃗|=√3，a⃗⋅b⃗⃗=0，c⃗−a⃗与c⃗−b⃗⃗的夹角为π6，则c⃗⋅(b⃗⃗−a⃗)的最大值为________．17.设函数f(x)=|x3−|x+a|+3|.若f(x)在[−1,1]上的最大值为2，则实数a所有可能的取值组成的集合是________.三、解答题（共5题；共50分）18.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b=3，sinA+asinB=2√3．（1）求角A的值；（2）求函数f(x)=cos2(x−A)−cos2x（x∈[0,π2]）的值域．19.如图，已知四棱锥P−ABCD，BC//AD，平面PAD⊥平面PBA，且DP=DB，AB=BP=PA= AD=2BC．（1）证明：AD⊥平面PBA；（2）求直线AB与平面CDP所成角的正弦值．20.已知等差数列{a n}的首项a1=1，数列{2a n}的前n项和为S n，且S1+2，S2+2，S3+2成等比数列．（1）求通项公式a n；（2）求证：1n (√a na1+√a na2+⋯+√a na n)<1+√nn+1（n∈N∗）；21.如图，F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点，过F的直线交抛物线于A(x1,y1)，B(x2,y2)两点，其中y1>0，y1y2=−4．过点A作y轴的垂线交抛物线的准线于点H，直线HF交抛物线于点P，Q．（1）求p的值；（2）求四边形APBQ的面积S的最小值．22.已知实数a≠0，设函数f(x)=e ax−ax．（1）求函数f(x)的单调区间；（2）当a>12时，若对任意的x∈[−1,+∞)，均有f(x)≥a2(x2+1)，求a的取值范围．注：e=2.71828⋯为自然对数的底数．答案解析部分一、单选题1.【答案】A【解析】【解答】因为U={1,2,3,4}, C U B={2,3}所以由补集定义与运算可得B={1,4}又因为A={1,3}根据交集运算可得A∩B={1,3}∩{1,4}={1}故答案为：A【分析】根据补集的定义与运算,可求得集合B.结合交集运算即可求得A∩B.2.【答案】D【解析】【解答】实数x,y满足不等式组{x≥0 y≥03x+4y−12≤0,其表示出平面区域如下图所示:将函数y=−12x平移,可知当经过点A(0,3)时, y=−12x+z2的截距最大此时z=0+2×3=6所以z=x+2y的最大值为6故答案为：D【分析】根据不等式组画出可行域,将目标函数平移后,即可求得最大值.3.【答案】B【解析】【解答】由三视图,还原空间几何体如下图所示:根据题中线段长度可知, AE=EC=AE=PE=1, AB=BC=√2且AB⊥BC,PE⊥AC则V P−ABC=13SΔABC⋅PE=13×12×√2×√2×1=13cm2故答案为:B【分析】根据三视图,还原空间几何体,即可由题中给出的线段长求得体积.4.【答案】A【解析】【解答】由e= ca ，得e2= c2a2= a2+b2a2=1+ b2a2=3,∴b2a2=2,∴ba= √2,双曲线渐近线方程为y=± abx,即y=± √22x，故答案为：A.【分析】利用双曲线的离心率公式结合双曲线中a,b,c三者的关系式，从而求出ba= √2,进而求出双曲线的渐近线方程。
浙江省温州市2019年高考数学一模试卷（文科）（解析版）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合A={x|y=lgx}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B=（）A．（﹣1，0）B．（0，3）C．（﹣∞，0）∪（3，+∞）D．（﹣1，3）2．已知l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l∥α，m∥α，则l∥m B．若l⊥m，m∥α，则l⊥αC．若l⊥α，m⊥α，则l∥m D．若l⊥m，l⊥α，则m∥α3．已知实数x，y满足，则x﹣y的最大值为（）A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣34．已知直线l：y=kx+b，曲线C：x2+y2=1，则“b=1”是“直线l与曲线C有公共点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知正方形ABCD的面积为2，点P在边AB上，则的最大值为（）A．B．C．2 D．6．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E为AD的中点，现分别沿BE，CE将△ABE，△DCA翻折，使得点A，D重合于F，此时二面角E﹣BC﹣F的余弦值为（）A．B．C．D．7．如图，已知F1、F2为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在第一象限，且满足（+）=0，||=a，线段PF2与双曲线C交于点Q，若=5，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x8．已知集合M={（x，y）|x2+y2≤1}，若实数λ，μ满足：对任意的（x，y）∈M，都有（λx，μy）∈M，则称（λ，μ）是集合M的“和谐实数对”．则以下集合中，存在“和谐实数对”的是（）A．{（λ，μ）|λ+μ=4} B．{（λ，μ）|λ2+μ2=4}C．{（λ，μ）|λ2﹣4μ=4}D．{（λ，μ）|λ2﹣μ2=4}二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．已知直线l1：ax﹣y+1=0，l2：x+y+1=0，l1∥l2，则a的值为，直线l1与l2间的距离为．10．已知钝角△ABC的面积为，AB=1，BC=，则角B=，AC=．11．已知f（x）=，则f（f（﹣2））=，函数f（x）的零点的个数为．12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积为．13．若数列{a n}满足a n+1+a n=2n﹣1，则数列{a n}的前8项和为．14．已知f（x）=ln（x+），若对任意的m∈R，方程f（x）=m均为正实数解，则实数a的取值范围是．15．已知椭圆C：=1（a＞）的左右焦点分别为F1，F2，离心率为e，直线l：y=ex+a，P为点F1关于直线l对称的点，若△PF1F2为等腰三角形，则a的值为．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知2sinαtanα=3，且0＜α＜π．（I）求α的值；（Ⅱ）求函数f（x）=4cosxcos（x﹣α）在[0，]上的值域．17．设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=2，且4S1，3S2，2S3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=|2n﹣5|a n，求数列{b n}的前n项和T n．18．如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA=DB=DC，D在底面ABC上的射影为E，AB⊥BC，DF⊥AB于F（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=60°，求直线BE与平面DAB所成的角的正弦值．19．如图，已知点F（1，0），点A，B分别在x轴、y轴上运动，且满足AB⊥BF，=2，设点D的轨迹为C．（I）求轨迹C的方程；（Ⅱ）若斜率为的直线l与轨迹C交于不同两点P，Q（位于x轴上方），记直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，求k1+k2的取值范围．20．已知函数f（x）=（x﹣t）|x|（t∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若∃t∈（0，2），对于∀x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＞x+a都成立，求实数a的取值范围．2019年浙江省温州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知集合A={x|y=lgx}，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}，则A∩B=（）A．（﹣1，0）B．（0，3）C．（﹣∞，0）∪（3，+∞）D．（﹣1，3）【分析】分别求出集合A，B，从而求出其交集即可．【解答】解：∵集合A={x|y=lgx}={x|x＞0|，B={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，则A∩B=（0，3），故选：B．【点评】本题考查了集合的运算，是一道基础题．2．已知l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（）A．若l∥α，m∥α，则l∥m B．若l⊥m，m∥α，则l⊥αC．若l⊥α，m⊥α，则l∥m D．若l⊥m，l⊥α，则m∥α【分析】利用线面平行的性质定理和判定定理对四个选项分别分析解答．【解答】解：对于A，若l∥α，m∥α，则l与m的位置关系可能为平行、相交或者异面；故A错误；对于B，若l⊥m，m∥α，则l与α平行或者相交；故B 错误；对于C，若l⊥α，m⊥α，利用线面创造的性质可得l∥m；故C正确；对于D，若l⊥m，l⊥α，则m∥α或者m⊂α；故D错误；故选C．【点评】本题考查了线面平行的性质定理和判定定理的运用；关键是熟练掌握定理，正确运用．3．已知实数x，y满足，则x﹣y的最大值为（）A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3【分析】令z=x﹣y，从而化简为y=x﹣z，作平面区域，结合图象求解即可．【解答】解：令z=x﹣y，则y=x﹣z，由题意作平面区域如下，，结合图象可知，当过点A（3，0）时，x﹣y取得最大值3，故选B．【点评】本题考查了学生的作图能力及线性规划的应用，同时考查了数形结合的思想应用．4．已知直线l：y=kx+b，曲线C：x2+y2=1，则“b=1”是“直线l与曲线C有公共点”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】先根据直线l与曲线C有公共点，根据直线和圆的位置关系得到b2≤1+k2，再根据充分，必要条件的定义判断即可．【解答】解：由题意可得直线直线l：y=kx+b，曲线C：x2+y2=1有公共点，∴≤1，∴b2≤1+k2，当b=1时，满足，b2≤1+k2，即“b=1”是“直线l与曲线C有公共点”充分条件，当直线l与曲线C有公共点，不一定可以得到b=1，b=0时也满足，故“b=1”是“直线l与曲线C有公共点”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，以及充分必要条件的判定，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．5．已知正方形ABCD的面积为2，点P在边AB上，则的最大值为（）A．B．C．2 D．【分析】建立平面直角坐标系，设P（x，0），使用坐标法将表示成x的函数，根据x的范围求出函数的最大值．【解答】解：以AB为x轴，以AD为y轴建立平面直角坐标系，∵正方形ABCD的面积为2，∴B（，0），C（），D（0，）．设P（x，0）（0），则=（，），=（﹣x，）．∴=﹣x（）+2=x2﹣+2=（x﹣）2+．∴当x=时，取得最大值．故选B．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，使用坐标法求值是常用方法之一．6．如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E为AD的中点，现分别沿BE，CE将△ABE，△DCA翻折，使得点A，D重合于F，此时二面角E﹣BC﹣F的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】根据折叠前和折叠后的边长关系，结合二面角的平面角定义得到∠FOE是二面角E ﹣BC﹣F的平面角进行求解即可．【解答】解：取BC的中点O，连接OE，OF，∵BA=CD，∴BF=FC，即三角形BFC是等腰三角形，则FO⊥BC，∵BE=CF，∴△BEC是等腰三角形，∴EO⊥BC，则∠FOE是二面角E﹣BC﹣F的平面角，∵EF⊥CF，BF⊥EF，∴EF⊥平面BCF，EF⊥FO，则直角三角形EFO中，OE=AB=2，EF=DE=，则sin∠FOE===，则cos∠FOE===，故选：B【点评】本题主要考查二面角的求解，根据二面角的定义作出二面角的平面角是解决本题的关键．注意叠前和折叠后的线段边长的变化关系．7．如图，已知F 1、F 2为双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，点P 在第一象限，且满足（+）=0，||=a ，线段PF 2与双曲线C 交于点Q ，若=5，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．y=±xB ．y=±xC ．y=±xD ．y=±x【分析】连接F 1Q ，由向量共线定理可得|F 2Q |=，|PQ |=，由双曲线的定义可得|F 1Q |=，运用向量的数量积的性质可得|F 1F 2|=|F 1P |=2c ，在△F 1PQ 和△QF 1F 2中，由∠PQF 1+∠F 2QF 1=π，可得cos ∠PQF 1+cos ∠F 2QF 1=0，运用余弦定理，化简整理可得b=a ，运用双曲线的渐近线方程即可得到．【解答】解：连接F 1Q ，由||=a ，=5，可得|F 2Q |=，|PQ |=，由双曲线的定义可得|F 1Q |﹣|F 2Q |=2a ，即有|F 1Q |=，由（+）=0，即为（+）（﹣）=0，即有2﹣2=0，|F 1F 2|=|F 1P |=2c ，在△F 1PQ 和△QF 1F 2中，由∠PQF 1+∠F 2QF 1=π，可得cos ∠PQF 1+cos ∠F 2QF 1=0，由余弦定理可得， +=0，化简可得c 2=a 2，由c 2=a 2+b 2，可得b=a ，可得双曲线的渐近线方程为y=±x ，即为y=±x ． 故选：A ．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用三角形中的余弦定理，同时考查向量数量积的性质和向量共线定理的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．8．已知集合M={（x ，y ）|x 2+y 2≤1}，若实数λ，μ满足：对任意的（x ，y ）∈M ，都有（λx ，μy ）∈M ，则称（λ，μ）是集合M 的“和谐实数对”．则以下集合中，存在“和谐实数对”的是（ ）A ．{（λ，μ）|λ+μ=4}B ．{（λ，μ）|λ2+μ2=4}C ．{（λ，μ）|λ2﹣4μ=4}D ．{（λ，μ）|λ2﹣μ2=4}【分析】由题意，λ2x 2+μ2y 2≤λ2+μ2≤1，问题转化为λ2+μ2≤1与选项有交点，代入验证，可得结论．【解答】解：由题意，λ2x 2+μ2y 2≤λ2+μ2≤1，问题转化为λ2+μ2≤1与选项有交点，代入验证，可得C 符合． 故选：C ．【点评】本题考查曲线与方程，考查学生的计算能力，问题转化为λ2+μ2≤1与选项有交点是关键．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．已知直线l 1：ax ﹣y +1=0，l 2：x +y +1=0，l 1∥l 2，则a 的值为 ﹣1 ，直线l 1与l 2间的距离为．【分析】利用两条直线相互平行的充要条件即可得出．【解答】解：直线l 1：ax ﹣y +1=0，l 2：x +y +1=0，分别化为：y=ax +1，y=﹣x ﹣1， ∵l 1∥l 2，∴a=﹣1，1≠﹣1．两条直线方程可得：x +y ﹣1=0，x +y +1=0．直线l 1与l 2间的距离d==．故答案分别为：﹣1；．【点评】本题考查了两条直线相互平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．已知钝角△ABC 的面积为，AB=1，BC=，则角B=，AC=．【分析】利用已知及三角形面积公式可求sinB ，可求B=或，分类讨论：当B=时，由余弦定理可得AC=1，可得AB 2+AC 2=BC 2，为直角三角形，舍去，从而利用余弦定理可得AC 的值．【解答】解：∵钝角△ABC 的面积为，AB=1，BC=，∴=1××sinB ，解得：sinB=，∴B=或，∵当B=时，由余弦定理可得AC===1，此时，AB 2+AC 2=BC 2，可得A=，为直角三角形，矛盾，舍去．∴B=，由余弦定理可得AC===，故答案为：；．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，勾股定理在解三角形中的应用，考查了分类讨论思想和转化思想的应用，属于中档题．11．已知f （x ）=，则f （f （﹣2））= 14 ，函数f （x ）的零点的个数为 1 ．【分析】根据x ＜0与x ≥0时f （x ）的解析式，确定出f （f （﹣2））的值即可；令f （x ）=0，确定出x 的值，即可对函数f （x ）的零点的个数作出判断．【解答】解：根据题意得：f（﹣2）=（﹣2）2=4，则f（f（﹣2））=f（4）=24﹣2=16﹣2=14；令f（x）=0，得到2x﹣2=0，解得：x=1，则函数f（x）的零点个数为1，故答案为：14；1．【点评】此题考查了函数零点的判定定理，以及函数的值，弄清函数零点的判定定理是解本题的关键．12．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为12，表面积为36．【分析】根据三视图作出棱锥的直观图，根据三视图数据计算体积和表面积．【解答】解：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示：其中底面ABCD是边长为3正方形，EA⊥底面ABCD，EA=4．∴棱锥的体积V=．棱锥的四个侧面均为直角三角形，EB=ED=5，∴棱锥的表面积S=32++=36．故答案为12；36．【点评】本题考查了棱锥的三视图和结构特征，体积与表面积计算，属于基础题．13．若数列{a n}满足a n+1+a n=2n﹣1，则数列{a n}的前8项和为28．【分析】数列{a n}满足a n+1+a n=2n﹣1，对n分别取1，3，5，7，求和即可得出．【解答】解：∵数列{a n}满足a n+1+a n=2n﹣1，∴数列{a n}的前8项和=（2×1﹣1）+（2×3﹣1）+（2×5﹣1）+（2×7﹣1）=28．故答案为：28．【点评】本题考查了递推关系、分组求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．已知f（x）=ln（x+），若对任意的m∈R，方程f（x）=m均为正实数解，则实数a的取值范围是（4，+∞）．【分析】根据对数函数的性质结合不等式的性质得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：f（x）=ln（x+）=m，则a=x+﹣e m＞4故答案为：（4，+∞）．【点评】本题考察了对数函数的性质，不等式的性质，是一道基础题．15．已知椭圆C：=1（a＞）的左右焦点分别为F1，F2，离心率为e，直线l：y=ex+a，P为点F1关于直线l对称的点，若△PF1F2为等腰三角形，则a的值为．【分析】运用椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，结合点到直线的距离公式，由题意可得|PF1|=|F1F2|，解方程即可求得a的值．【解答】解：由题意可得c=，e=，F1（﹣c，0）到直线l的距离为d=，由题意可得|PF1|=|F1F2|，即为2d=2c，即有=a2﹣2，化简可得a4﹣3a2=0，解得a=．故答案为：．【点评】本题考查椭圆的方程和性质，考查离心率公式的运用和点到直线的距离公式，以及运算化简能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．已知2sinαtanα=3，且0＜α＜π．（I）求α的值；（Ⅱ）求函数f（x）=4cosxcos（x﹣α）在[0，]上的值域．【分析】（Ⅰ）由已知推导出2cos2α+3cosα﹣2=0，由此能求出α．（Ⅱ）f（x）=4cosxcos（x﹣α）=2sin（2x+）+1，由，得2x+∈[]，由此能求出函数f（x）=4cosxcos（x﹣α）在[0，]上的值域．【解答】解：（Ⅰ）∵2sinαtanα=3，且0＜α＜π．∴2sin2α=3cosα，∴2﹣2cos2α=3cosα，∴2cos2α+3cosα﹣2=0，解得或cosα=﹣2（舍），∵0＜α＜π，∴α=．（Ⅱ）∵α=，∴f（x）=4cosxcos（x﹣α）=4cosx（cosxcos+sinxsin）=2cos2x+2sinxcosx=+cos2x+1=2sin（2x+）+1，∵，∴2x+∈[]，∴2≤2sin（2x+）+1≤3，∴函数f（x）=4cosxcos（x﹣α）在[0，]上的值域为[2，3]．【点评】本题考查角的求法，考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意同角三角函数关系式及余弦加法定理和正弦加法定理的合理运用．17．设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=2，且4S1，3S2，2S3成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=|2n﹣5|a n，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（Ⅰ）根据4S1，3S2，2S3成等差数列．根据等差中项6S2=4S1+2S3，化简整理求得q=2，写出通项公式；（Ⅱ）讨论当n=1、2时，求得T1=6，T2=10，写出前n项和，采用错位相减法求得T n．【解答】解：（Ⅰ）∵4S1，3S2，2S3成等差数列，∴6S2=4S1+2S3，即6（a1+a2）=4a1+2（a1+a2+a3），则：a3=2a2，q=2，∴；（Ⅱ）当n=1，2时，T1=6，T2=10，当n≥3，T n=10+1×23+3×24+…+（2n﹣5）2n，2T n=20+1×24+3×25+…+（2n﹣7）×2n+（2n﹣5）×2n+1，两式相减得：﹣T n=﹣10+8+2（24+25+…+2n）﹣（2n﹣5）×2n+1，=﹣2+2×﹣（2n﹣5）×2n+1，=﹣34+（7﹣2n）2n+1，∴T n=34﹣（7﹣2n）2n+1．∴．【点评】本题求等比数列的通项公式和采用错位相减法求前n项和，属于中档题．18．如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA=DB=DC，D在底面ABC上的射影为E，AB⊥BC，DF⊥AB于F（Ⅰ）求证：平面ABD⊥平面DEF（Ⅱ）若AD⊥DC，AC=4，∠BAC=60°，求直线BE与平面DAB所成的角的正弦值．【分析】（I）由DE⊥平面得出DE⊥AB，又DF⊥AB，故而AB⊥平面DEF，从而得出平面ABD⊥平面DEF；（II）以E为坐标原点建立空间直角坐标系，求出和平面DAB的法向量，则|cos＜＞|即为所求．【解答】证明：（Ⅰ）∵DE⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴AB⊥DE，又AB⊥DF，DE，DF⊂平面DEF，DE∩DF=D，∴AB⊥平面DEF，又∵AB⊂平面ABD，∴平面ABD⊥平面DEF．（Ⅱ）∵DA=DC，DE⊥AC，AC=4，AD⊥CD，∴E为AC的中点，DE==2．∵AB⊥BC，AC=4，∠BAC=60°，∴AB=．以E为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则E（0，0，0），A（0，﹣2，0），D（0，0，2），B（，﹣1，0）．∴=（0，﹣2，﹣2），=（，﹣1，﹣2），=（，﹣1，0）．设平面DAB的法向量为=（x，y，z）．则，∴，令z=1，得=（，﹣1，1）．∴=2，||=，||=2，∴cos＜＞==．∴BE与平面DAB所成的角的正弦值为．【点评】本题考查了了面面垂直的判定，空间角的计算，空间向量的应用，属于中档题．19．如图，已知点F（1，0），点A，B分别在x轴、y轴上运动，且满足AB⊥BF，=2，设点D的轨迹为C．（I）求轨迹C的方程；（Ⅱ）若斜率为的直线l与轨迹C交于不同两点P，Q（位于x轴上方），记直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，求k1+k2的取值范围．【分析】（I）根据=2得B为AD的中点，利用AB⊥BF，可得=0，从而可得轨迹C的方程；（Ⅱ）斜率为的直线l的方程为y=x+b，代入y2=4x，整理，利用韦达定理，结合斜率公式，即可求k1+k2的取值范围．【解答】解：（I）设D（x，y），则由=2得B为AD的中点，所以A（﹣x，0），B（0，）∵AB⊥BF，∴=0，∴（x，）（1，﹣）=0∴y2=4x（x≠0）；（Ⅱ）斜率为的直线l的方程为y=x+b，代入y2=4x，整理可得x2+（4b﹣16）x+4b2=0，△=（4b﹣16）2﹣16b2＞0，∴b＜2设P（x1，y1），Q（x2，y2），∴x1+x2=16﹣4b，x1x2=4b2．k1+k2=+==，∵b＜2，∴＜0或＞2，∵k1+k2的取值范围是（﹣∞，0）∪（2，+∞）．【点评】本题考查求轨迹方程，考查向量知识的运用，解题的关键是用好向量，挖掘隐含，属于中档题．20．已知函数f（x）=（x﹣t）|x|（t∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若∃t∈（0，2），对于∀x∈[﹣1，2]，不等式f（x）＞x+a都成立，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）讨论x的取值范围，将函数表示为分段函数形式，然后判断函数的单调性即可．（Ⅱ）将不等式恒成立进行转化，利用参数分离法进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ），…（1分）当t＞0时，f（x）的单调增区间为，单调减区间为…（4分）当t=0时，f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞）…（5分）当t＜0时，f（x）的单调增区间为[0，+∞），，单调减区间为…（8分）（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣x=，当x∈[0，2]时，∵∈（0，2），∴…（9分）当x∈[﹣1，0]时，∵g（﹣1）=﹣t，g（0）=0，∴g min（x）=﹣t…（10分）故只须∃t∈（0，2），使得：成立，即…（13分）∴a≤…（14分）另解：设h（t）=f（x）﹣x=﹣|x|t+x|x|﹣x，t∈（0，2）…（9分）只须h（t）max≥a，对x∈[﹣1，2]都成立．…（10分）则只须h（0）=x|x|﹣x≥a，对x∈[﹣1，2]都成立．…（12分）再设m（x）=x|x|﹣x，x∈[﹣1，2]，只须m（x）min≥a，易求得a≤…（14分）【点评】本题主要考查函数单调性的判断以及不等式恒成立问题，利用参数转化法是解决本题的关键．。
2019年11月份温州市普通高中高考适应性测试数学试题参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．11．2i -+ 12．22420x y x y +--= 13．1，1-； 14，8； 15．600； 16．5； 17．{3,5-+． 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．(Ⅰ)由正弦定理，得sin sin 3sin a B b A A ==，则sin sin 4sin A a B A +==sin A =， 又A 为锐角，故3A π=； (Ⅰ因02x π≤≤，故22333x πππ--≤≤，即()f x 的值域为19．（I ）证明：分别取PA ，PB 的中点M ，N ，连结AN ，DN ，BM .因DP DB =，N 为PB 的中点， 故PB DN ⊥.同理，PB AN ⊥，BM PA ⊥. 故PB ⊥平面DNA . 故PB AD ⊥.因平面PAD ⊥平面PBA ，平面PAD平面PBA PA =，BM ⊂平面PBA ，BM PA ⊥，故BM ⊥平面PAD . 则BM AD ⊥.又PB ，BM 是平面PBA 中的相交直线， 故AD ⊥平面PBA .（II ）法一：设直线AB 和DC 交于点Q ，连结PQ ，则PQ PA ⊥.因ADP ABP ⊥面面，故PQ PAD ⊥面， 则PQD PAD ⊥面面.取PD 的中点G ，连结AG ，QG ，则AG PQD ⊥面，所以AQG ∠就是直线AB 与平面PCD 所成角. 不妨设2AB =，则在Rt AGQ ∆中，4AG AQ =，故sin AG AQG AQ ∠=所以直线AB 与平面PCD法二：由（I ）知，AD ABP ⊥面，又BC ∥AD ， 故BC PAB ⊥面.如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系， 不妨设2AB =，则(0,0,0)A，B，C ，(0,0,2)D ，(2,0,0)P ，则(1,AB =，(1,CD =-，(2,0,2)PD =-. 设(,,)x y z =n 是面PCD 的一个法向量， 则00CD PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n，即0220x z x z ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，，取=1x ，则(1,0,1)=n .设直线AB 与平面PCD 所成的角为θ，则||sin |cos ,|||||AB AB AB θ⋅=<>==⋅n n n所以直线AB 与平面PCD 所成角的正弦值为4. 20．解答：（I ）记d 为{}n a 的公差，则对任意n *∈N ，112222n n n na a a da ++-==，即{2}n a为等比数列，公比20d q =>.由12S +，22S +，32S +成等比数列，得2213(2)(2)(2)S S S +=++， 即22[2(1)2](22)[2(1)2]q q q ++=++++，解得2q =，即1d =. 所以1(1)n aa n d n =+-=，即()n a n n *=∈N ； （II ）由（I ）1)n n*+<∈N .下面用数学归纳法证明上述不等式. ①当1n =时，不等式显然成立；②假设当()n k k*=∈N1k++<，则当1n k =+1k+++<.因0=<，<+.1k +++<，即当1n k =+时，不等式仍成立.1)nn*+<∈N .所以1)1)n n a n n a *+<∈N . 21．解答：（I ）易得直线AB 的方程为1212()2y y y px y y +=+，代入(,0)2p，得2124y y p =-=-，所以2p =； （II ）点221212(,)(,)44y y A y B y ，，则1(1,)H y -，直线1:(1)2y PQ y x =--，代入24y x =，得2222111(216)0y x y x y -++=.设3344(,)(,)P x y Q x y ，，则2134214(4)||2y PQ x x y +=++=. 设A B ，到PQ的距离分别为12d d ，，由11:20PQ y x y y +-=，得32311211*********|2(2)||(2)|y y y y y y y y y yy y d d +--+-+--+-+===3112|2|y y y +-311224|2|y y ++==， 因此1211||()2APBQS PQ d d =⋅+=. 设函数256(4)()x f x x +=(0)x>，则24274(4)(6)'()x xf x x +-=，可得，当x ∈时，()f x 单调递减；当)x ∈+∞时，()f x 单调递增，从而当1y =时，S =．22．解答：（I ）由()(1)=0ax ax f x a e a a e '=⋅-=-，解得0x =．①若0a >，则当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在(0,)+∞内单调递增； 当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，故()f x 在(,0)-∞内单调递减．②若0a <，则当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>，故()f x 在(0,)+∞内单调递增； 当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<，故()f x 在(,0)-∞内单调递减． 综上所述，()f x 在(,0)-∞内单调递减，在(0,)+∞内单调递增． （II ）2()(1)2a f x x +≥，即2(1)2ax ae x +≥（﹡）． 令0x =，得12a ≥，则122a <≤．当1x =-时，不等式（﹡）显然成立，当(1,)x ∈-+∞时，两边取对数，即2ln(1)ln 2aax x ++≥恒成立． 令函数()2ln(1)ln2aF x x ax =+-+，即()0F x ≤在(1,)-+∞内恒成立． 由22(1)()=011a x F x a x x -+'=-=++，得211x a =->-． 故当2(1,1)x a ∈--时，()0F x '>，()F x 单调递增；当2(1+)x a∈-∞，时，()0F x '<， ()F x 单调递减.因此22()(1)2ln 2ln 2ln 22a aF x F a a aa -=-++=--≤． 令函数()2ln 2a g a a =--，其中122a <≤，则11()10a g a a a -'=-==，得1a =， 故当1(,1)2a ∈时，()0g a '<，()g a 单调递减；当(1,2]a ∈时，()0g a '>，()g a 单调递增．又13()ln 4022g =-<，(2)0g =，故当122a <≤时，()0g a ≤恒成立，因此()0F x ≤恒成立，即当122a<≤时，对任意的[1,)x∈-+∞，均有2()(1)2af x x≥+成立．小课堂：如何培养自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。
浙江省高中学业水平考试数学试题一、选择题1.已知集合{1,2,3,4}A =，{1,3,5}B =，则A B =（ ）A.{1,2,3,4,5}B.{1,3,5}C.{1,4}D.{1,3}【答案】D【解析】因为{1,2,3,4}A =，{1,3,5}B =，所以{1,3}AB =.2.函数()cos 2f x x =的最小正周期是（ ） A.4π B.2π C.π D.2π 【答案】C【解析】()cos 2f x x =，因为2ω=，所以22T ππ==. 3.计算129()4=（ ） A.8116 B.32 C.98 D.23【答案】B【解析】1293()42==. 4.直线210x y +-=经过点（ ）A.(1,0)B.(0,1)C.11(,)22D.1(1,)2【答案】A【解析】把四个选项的横纵坐标代入直线方程210x y +-=中，可知选项A 可使等式成立.5.函数2()log f x x 的定义域是（ ）A.(0,2]B.[0,2)C.[0,2]D.(0,2)【答案】A【解析】20020x x x -≥⎧⇒<≤⎨>⎩，故函数()f x 的定义域为(0,2].6.对于空间向量(1,2,3)a =，(,4,6)b λ=，若//a b ，则实数λ=（ ）A.2-B.1-C.1D.2【答案】D【解析】因为//a b ，所以12346λ==，即112λ=，所以2λ=. 7.渐近线方程为43y x =±的双曲线方程是（ ） A.221169x y -= B.221916x y -= C.22134x y -= D.22143x y -= 【答案】B 【解析】依题可设双曲线方程为22221x y a b -=，因为渐进线方程为43y x =±，所以43b a =，即22169b a =，只有B 选项221916x y -=符合. 8.若实数x ，y 满足101010x x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则y 的最大值是（ ）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】由约束条件101010x x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，作出可行域如图，由图易知y 的最大值为2.9.某简单几何体的三视图（俯视图为等边三角形）如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）为（ ）A.18B.【答案】C【解析】该几何体为正三棱柱，其底面积为2444S ===3h =，所以体积V Sh ==10.关于x 的不等式13x x +-≥的解集是（ ）A.(,1]-∞-B.[2,)+∞C.(,1][2,)-∞-+∞D.[1,2]-【答案】C【解析】当1x ≥时，1132x x x x x +-=+-≥⇒≥；当11x -<<时，1113x x x x x +-=+-=≥⇒无解；当1x ≤时，1131x x x x x +-=--+≥⇒≤-；综上可得，2x ≥或1x ≤-.11.下列命题为假命题的是（ ）A.垂直于同一直线的两个平面平行B.垂直于同一平面的两条直线平行C.平行于同一直线的两条直线平行D.平行于同一平面的两条直线平行【答案】D【解析】平行于同一平面的两条直线除了平行外，还可以异面，可以相交.12.等差数列{}()n a n N *∈的公差为d ，前n 项和为n S ，若10a >，0d <，39S S =，则当n S 取得最大值时，n =（ ）A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】∵10a >，0d <，∴n a 是递减数列.又∵3993987654763()0S S S S a a a a a a a a =⇒-=+++++=+=，∴760a a +=，67a a >，∴60a >，70a <，∴max 6()n S S =.13.对于实数a 、b ，则“0a b <<”是“1ba <”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】充分性：由0a b <<，得01ba <<，故充分性成立； 必要性：由1ba <，得0ab a >⎧⎨<⎩或0a b a <⎧⎨>⎩，故必要性不成立.所以“0a b <<”是“1ba <”的充分不必要条件.14.已知函数()y f x =的定义域是R ，值域为[1,2]-，则值域也为[1,2]-的函数是（）A.2()1y f x =+B.(21)y f x =+C.()y f x =-D.()y f x =【答案】B【解析】分析四个选项可知只有(21)y f x =+是由()y f x =的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12之后再将图像向左平移12个单位得到，故(21)y f x =+和()y f x =的值域是相同的. 15.函数2()()a f x x a R x=+∈的图象不可能是（ ） A. B.C.D.【答案】A 【解析】当0a =时，函数22()(0)a f x x x x x=+=≠，函数图象可以是B. 当1a =时，函数221()a f x x x x x=+=+，函数可以类似于D. 当1a =-时，221()a f x x x x x =+=-，0x >时，210x x-=只有一个实数根1x =，图象可以是C.所以函数图象不可能是A. 16.若实数a ，b 满足0ab >，则2214a b ab ++的最小值为（ ） A.8 B.6 C.4 D.2【答案】C【解析】因为0ab >，所以2244a b +≥=，当且仅当214a b ab ab =⎧⎪⎨=⎪⎩，即1a =，12b =时取等号，所以最小值为4. 17.如图，在同一平面内，A ，B 是两个不同的定点，圆A 和圆B 的半径为r ，射线AB 交圆于点P ，过P 作圆A 的切线l ，当1()2r r AB ≥变化时，l 与圆B 的公共的轨迹是（ ）A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线【答案】D【解析】设直线l 与圆B 的交点为M ，过点M 作与过点A 平行于l 的直线的垂线，垂足为N ，易知MN PA MB r ===，即点M 到定直线AN 的距离等于其到定点B 的距离，所以点M 的轨迹是抛物线.18.如图，四边形ABCD 是矩形，沿AC 将ADC ∆翻折成AD C '∆，设二面角D AB C '--的平面角为θ，直线AD '与直线BC 所成角为1θ，直线AD '与平面ABC 所成的角为2θ，当θ为锐角时，有（ ）A.21θθθ≤≤B.21θθθ≤≤C.12θθθ≤≤D.21θθθ≤≤【答案】B【解析】由二面角的最大性与最小角定理可知，答案在A ，B 选项中产生.下面比较1θ和θ的大小关系即可.过D '作平面ABC 垂线，垂足为O ，过O 作OE AB ⊥，垂足为E ，连结D E '，则 D EO θ'=∠可以认为是OE 与平面AD E '所成的线面角，1θ可以认为是OE 与平面AD E '内的AD '所成的线线角，所以1θθ≤，综上，21θθθ≤≤.二、填空题19.已知函数2,0()1,0x f x x x ≥⎧=⎨+<⎩，则(1)f -= ，(1)f = . 【答案】0,2【解析】因为10-<，故(1)110f -=-+=；又10>，故(1)2f =. 20.已知O 为坐标原点，B 与F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上顶点与右焦点，若OB OF =，则该椭圆的离心率是 .【答案】2【解析】因为B ，F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上顶点和右焦点，故设OB b =，OF c =，又OB OF =，所以b c =，因为a a ==，所以椭圆的离心率2c b e a a ====. 21.已知数列{}()n a n N *∈满足：11a =，12n n n a a +⋅=，则2018a = .【答案】10092【解析】1122n n n a a +++=，12n n n a a +=，22n na a +=，数列21{}n a -和2{}n a 均为等比数列，且公比均为2，首项分别是121,2a a ==，所以数列{}n a 的通项为，故100920182a =.22.如图，O 是坐标原点，圆O 的半径为1，点(1,0)A -，(1,0)B ，点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，在圆O 上按逆时针方向运动，若点P 的速度大小是点Q 的两倍，则在点P 运动一周的过程中，AP AQ ⋅的最大值为 .【答案】2【解析】设(cos ,sin )([0,])Q θθθπ∈，由P 点的速度是点Q 的两倍，即(cos 2,sin 2)P θθ--，(cos 21,sin 2)(cos 1,sin )AP AQ θθθθ⋅=-+-⋅+(cos 21)(cos 1)(sin 2)sin θθθθ=-+++-cos2cos cos cos21sin 2sin θθθθθθ=-+-+-cos(2)cos cos21θθθθ=--+-+cos 21θ=-+22sin 2θ=≤.三、解答题23.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且222b a c ac =+-. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若2a c ==，求ABC ∆的面积；（Ⅲ）求sin sin A C +的取值范围.【答案】（Ⅰ）60︒; ; （Ⅲ）2. 【解析】（Ⅰ）由222cos 2a c b B ac +-=，可知1cos 2B =，所以60B =︒. （Ⅱ）由（Ⅰ）得60B ∠=︒，又2a c ==，所以11sin 22sin 6022ABC S ac B ∆==⨯⨯⨯︒=（Ⅲ）由题意得3sin sin sin sin(120)sin 30)2A C A A A A A +=+︒-=+=+︒，因为0120A ︒<<︒，所以3030150A ︒<+︒<︒，即30)2A <+︒≤值范围是2. 24.已知抛物线2:4C y x =的焦点是F ，准线是l .（Ⅰ）写出F 的坐标和l 的方程；（Ⅱ）已知点(9,6)P ，若过F 的直线交抛物线C 于不同的两点A ，B （均与P 不重合），直线PA ，PB 分别交l 于点M ，N .求证：MF NF ⊥.【答案】（Ⅰ）(1,0)F ，1x =-; （Ⅱ）略.【解析】（Ⅰ）因为抛物线24y x =是焦点在x 轴正半轴的标准方程，所以2p =，所以焦点为(1,0)F .准线方程为1x =-.（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y （16y ≠±且26y ≠±），AB 直线方程为1x my =+（m 是实数），代入24y x =，得2440y my --=，于是124y y m +=，124y y ⋅=-.由(9,6)P ，得146PA k y =+，直线PA 的方程为146(9)6y x y -=-+，令1x =-，得1164(1,)6y M y --+，同理可得2264(1,)6y N y --+，所以12121296()41(6)(6)F N F M MF NF F M F N y y y y y y y y k k x x x x y y ---++⋅=⋅==---++，故MF NF ⊥. 25.已知函数()()a f x x a R x =+∈. （Ⅰ）当1a =时，写出()f x 的单调递增区间（不需写出推证过程）；（Ⅱ）当0x >时，若直线4y =与函数()f x 的图象相交于A ，B 两点，记()AB g a =，求()g a 的最大值；（Ⅲ）若关于x 的方程()4f x ax =+在区间(1,2)上有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）[1,0)-，[1,)+∞; （Ⅱ）4;（Ⅲ）15()22--. 【解析】（Ⅰ）()f x 的单调递增区间为[1,0)-，[1,)+∞（Ⅱ）因为0x >，所以（ⅰ）当4a >时，()y f x =的图象与直线4y =没有交点；（ⅱ）当4a =或0a =时，()y f x =的图象与直线4y =只有一个交点；（ⅲ）当04a <<时，0()4g a <<；（ⅳ）当0a <时，由4a x x +=，得240x x a -+=，解得2A x =2019年11月浙江省高中学业水平考试数学试题(含解析)由4a x x+=-，得240x x a ++=，解得2B x =-所以()4A B g a x x =-=，故()g a 的最大值是4.（Ⅲ）要使关于方程4(12)()a x ax x x +=+<<*有两个不同的实数根1x ，2x ，则0a ≠，且1a ≠±.（ⅰ）当1a >时，由()*得2(1)40a x x a -+-=，所以1201a x x a =-<-，不符合题意； （ⅱ）当01a <<时，由()*得2(1)40a x x a -+-=，其对称轴221x a =>-，不符合题意； （ⅲ）当0a <，且1a ≠-时，由()*得2(1)40a x x a +++=，又因为1201a x x a =>+，所以1a <-.所以函数a y x x=+在(0,)+∞是增函数. 要使直线4y ax =+与函数a y x x =+图象在(1,2)内有两个交点，则(1)11f a a =+=--，只需14164(1)0a a a a -->+⎧⎨-+>⎩，解得1522a --<<-.综上所述，实数a 的取值的范围为5)2-.。
2019 年 11 月份温州市普通高中高考适应性测试高三数学试题一、选择题：每小题 4 分，共 40 分 1.已知全集 U 1,2,3,4 ， A1,3 ， e U B2,3 ，则 A B （）A ． 1B ． 3C ． 4D ． 1,3,4x2.设实数 x, y 满足不等式组 y，则 z x 2 y 的最大值为（）3 x4 y 12 0A ．0B ． 2C ． 4D ． 6 3.某几何体的三视图如图所示（单位： cm ），则该几何体的体积等于（）A ． 1cm3B ． 1cm3C ． 1cm3D ． 2cm 36323111 1正视图侧视图俯视图4. 若双曲线 x 2 y 21 a 0,b 0 的离心率为 3 ，则该双曲线的渐近线方程为（）C 2 b 2aA ． y2 xB ． y 2 xC ． y2 x D ． y1 x225. 已知 a ， b 是实数，则“ a 1且 b1”是“ ab 1 a b ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6. 函数 f x12的图象可能是（）x1 x1yy y y1111-1 O 1x-1 O 1x-1 O 1x-1 O 1xA B C D7. 在四面体 ABCD 中， △ BCD 是等边三角形，ADB ，二面角 BAD C 的大小为 ，则的取2值范围是（ ）A ． 0,B ． 0,C ． 0,D ． 0,6432ABDC8. 已知随机变量满足P 01 pP 1 p ，其中 0 p 1 ，令随机变量 E，则（ ），A ． EEB ． EEC ．D D D ． DDx2 y 2x 2 29.1 a b0 上的一动点， 过点 P 作椭圆 E 2 : y01 的两条如图， P 为椭圆 E 1 :2b 2a 2 2ab 切线 PA ， PB ，斜率分别为 k 1 ， k 2 ．若 k 1 k 2 为定值，则 （）A ．1B ．2 C ．1D ． 24422yAPBOx10. 已知数列 x n 满足 x 12 ， x n 12x n 1 n N *，给出以下两个命题：命题p ：对任意 n N * ，都有 1 x n1x n ；命题 q ：存在 r0,1 ，使得对任意 nN * ，都有 x nr n 11．则（）A ． p 真， q 真B ． p 真， q 假C ． p 假， q 真D ． p 假， q 假二、填空题：单空题每题 4 分，多空题每题 6 分11. 若复数 z 满足 2 i z 1 2，其中 i 为虚数单位，则z ， z．2i12. 直线xy 1 与 x 轴、 y 轴分别交于点 A ， B ，则 AB；以线段 AB 为直径的圆的方程4 2为 ．756a13. 若对 x R ，恒有 xa 1 xaa xa xa x，其中156R ，则 ，156a, a , a , , a ,aa 5．14.如图所示，四边形ABCD中，AC AD CD7 ，ABC120 ， sin BAC 5 3 ，则△ABC的面14积为， BD．ABD C15.学校水果店里有苹果、香蕉、石榴、橘子、葡萄、西梅 6 种水果，西梅数量不多，只够一人购买．甲、乙、丙、丁 4 位同学前去购买，每人只选择其中一种，这4位同学购买后，恰好买了其中3种水果，则他们购买水果的可能情况有种．16.已知平面向量 a ， b ， c 满足 a 1 ，b 3 ，a b0 ，c a 与 c b 的夹角为，则 c b a 的最6大值为．17.设函数 f x3x a 3，若 f x 在1,1 上的最大值为2，则实数 a 所有可能的取值组成的集合x是．三、解答题： 5 小题，共74 分18.（本题满分14 分）在锐角△ ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c．已知b 3，sin A a sin B 2 3 ．．．（ 1）求角 A 的值；（ 2）求函数 f x cos2 x A cos2 x（ x0,）的值域．219.（本题满分15）如图，已知四棱锥P ABCD ， BC∥AD ，平面 PAD平面PBA，且DP DB ，AB BP PA AD2BC ．（1）证明：AD平面PBA；（2）求直线AB与平面CDP所成角的正弦值．DCPAB20. （本题满分15）已知等差数列a n的首项 a11，数列2a n的前 n 项和为 S n，且 S1 2 ，S2 2 ，S3 2成等比数列．（ 1）求通项公式 a n；（ 2）求证：1a n a n a n1n（ n*）；n a1a2a n n 1N21. （本题满分 15）如图， F 是抛物线 y 22 px p 0的焦点，过 F 的直线交抛物线于A x , yB x , y1 1 ，2 2两点，其中 y 10 ， y 1y 24 ．过点 A 作 y 轴的垂线交抛物线的准线于点H ，直线 HF 交抛物线于点P ， Q ．（ 1）求 p 的值；（ 2）求四边形 APBQ 的面积 S 的最小值．yHAPFO BxQ22. （本题满分 15）已知实数 a 0 ，设函数axax ．f x e（ 1）求函数 f x 的单调区间；（ 2）当 a1时，若对任意的 x1,，均有 f xa x 2 1 ，求 a 的取值范围．22注： e 2.71828 为自然对数的底数．2019 年 11 月份温州市普通高中 高考适应性测试数学试题 参考答案一、选择题： 本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12 3 4 5 6 7 8 9 10答案ADBAABCDCB二、填空题： 本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题4 分，共 36 分.11． 2 i ， 5 ； 12． 2 5 ， x 2y24x 2 y 013． 1， 1；14．15 3， 8 ；15． 600；16． 5 ；17． {3,5 2 3 ,12 3} ．4三、解答题 ：本大题共5 小题，共 7499分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18． ( Ⅰ ) 由正弦定理，得asin B b sin A 3sin A ， 3 ， 则 sin A a sin B 4sin A2 3 ，得 sin A 又 A 为锐角，故 A；2 21cos 2x31cos 2x( Ⅱ ) f ( x) cos2 x323cos x2213 332xsin 2 xcos 2 x sin 3，2222 2因 0 ≤ x ≤2 ，故 3≤ 2x3 ≤3 ，于是3≤ sin 2 x3 ≤1，因此 3≤ fx ≤ 3 ，即 f ( x) 23 3 .42 的值域为4 , 219．（ I ）证明：分别取PA ， PB 的中点 M ， N ，连结 AN ， DN ， BM .因 DPDB ， N 为 PB 的中点，故 PB DN .同理， PBAN ， BMPA .D故 PB 平面 DNA .故 PB AD .因平面 PAD 平面 PBA ，平面 PAD平面 PBAPA ，CBM平面 PBA ， BMPA ，M故 BM 平面 PAD .PA则 BMAD .NB又 PB ， BM 是平面 PBA 中的相交直线，故 AD 平面 PBA .（ II ）法一：设直线AB 和DC交于点Q，连结PQ，则PQ PA .D 面 ABP ，故PQ面 PAD ，因面 ADP则面 PQD面 PAD .G 取 PD 的中点 G ，连结 AG ，QG，则AG面PQD ，所以 AQG 就是直线AB与平面PCD所成角.C不妨设AB2，则在 Rt AGQ 中， AG= 2，AQ 4 ，P A 故 sin AQG AG 2 ，AQ42.B所以直线 AB 与平面 PCD 所成角的正弦值为4Q法二：由（ I）知， AD面ABP ，又BC∥AD，故 BC面 PAB .z 如图，以 A 为坐标原点，建立空间直角坐标系，D 不妨设AB 2 ，则A(0,0,0)， B(1,3,0)， C(1,3,1)，D(0,0,2) ， P(2,0,0)，则 AB(1,3,0) ， CD( 1,3,1)， PD( 2,0,2) .设 n(x, y, z) 是面PCD的一个法向量，C n CD0，，A 则，即x 3 y z 0，x Pn PD02x2z0取 x=1，则n(1,0,1).设直线 AB 与平面 PCD 所成的角为，B y 则 sin|cos AB,n || AB n|1 2 ，2| AB| | n| 1 3 1 14所以直线 AB 与平面 PCD 所成角的正弦值为.420．解答：（I）记d为即{2 a n由 S1即 [2(1an 1{ a n } 的公差，则对任意n N ，2a2a n 1 a n} 为等比数列，公比 q2d2 n0 .2 ， S2 2 ， S3 2 成等比数列，得(S2 2)2q) 2] 2(22)[2(1q q2 ) 2] ，解得 q2d，( S12)(S32) ，2 ，即d 1 .所以 a n a1(n 1)d n ，即 a n n( n N )；（ II ）由（ I），即证：111n (1n)( n N ) .12n n1下面用数学归纳法证明上述不等式.①当 n 1 时，不等式显然成立；②假设当 n k (kN ) 时，不等式成立，即1 11k (1k) ，则当 n k 1 时， 因 [ k (1 k ) k (1 k 1 故 k ) 1k 1 于是 1 1 21 1 1 12 ] k 11k1 1k1 12 k k k 1 ) 1(1 k k 1(1 k 2 k 1 ) . 1 k k 2 k 1 1(1( kk (12 k k ) 1 k 1k 2.1k 1k 20 ，k 1 ) ，1)1即当 n k 1 时，不等式仍成立 .综合①②，得 1 1 1 n (1n )(n N ) . 所以1( a n 12a n nn n 1a n) 1 (n N ) .n a 1a 2a nn121．解答：22．（ I ）易得直线AB 的方程为 ( y 1 y 2 ) y 2 pxy 1 y 2 ，代入 ( p,0) ，得 y 1 y 2p 24 ，所以 p2 ；2（ II ）点 A(y 12y 22, y 2 ) ，则 H ( 1, y 1 ) ，直线 PQ : yy 1( x 1) ，, y 1 )， B(42代入 y 24 2 x 2 2 16) x 20 .4 x ，得 y 1 (2 y 1 y 1 4( y 12 4) . 设 P(x 3, y 3 )， Q (x 4 , y 4 ) ，则 | PQ | x 3 x 4 2y 2设 A ，B 到 PQ 的距离分别为1d 1， d 2 ，由 PQ : y 1x 2y y 1 0 ，得| y 132 y 1y 1 ( y 1 y 222 y 2y 1) ||y 13y 1 ( y 22y 2y 1 ) || y 132 y 1 y 2 |d 1 d 24y 12 4 4y 1244y 12 44| y 132 y 1 4 |( y 12 4) 24 y 1，y 12 4 y 1 y 1244因此 S APBQ1|PQ | ( d 1 d 2 )( y 12 4) 5 .22 y 13设函数 f ( x)( x 2 4)5 ( x 0) ，则 f '( x) 4( x 2 4) 4 (x 2 6) ，x 6 x 7可得，当 x (0, 6) 时， f ( x) 单调递减；当 x ( 6, ) 时， f (x) 单调递增，从而当 y 16 时， S 取得最小值1f (6) 25 15 ．2922．解答：（ I ）由 f (x)a e ax a a(e ax 1)=0 ，解得 x 0 ．①若 a 0，则当 x (0,) 时， f ( x)0 ，故 f ( x) 在 (0,) 内单调递增；当 x ( ,0) 时， f ( x)0 ，故 f ( x) 在 ( ,0) 内单调递减．②若 a 0 ，则当 x (0,) 时， f ( x)0 ，故 f ( x) 在 (0,) 内单调递增；当 x( ,0) 时， f ( x)0 ，故 f ( x) 在 ( ,0) 内单调递减． 综上所述， f (x) 在 (,0) 内单调递减，在 (0,) 内单调递增．（ II ） f (x) ≥ a( x21) ，即 e ax≥ a(x 1)2 （﹡）．令 x 2 20 ，得 1≥ a ，则 1a ≤ 2 ．当 x 2 21 时，不等式（﹡）显然成立，1) ln a恒成立．当 x( 1,) 时，两边取对数，即 ax ≥ 2ln( x令函数 F ( x) 2ln( x 1) ax ln a，即 F ( x) ≤ 0 在 ( 2 ) 内恒成立．1, 由 F (x) 2 2 a(x 1) 2 2 1 1．x a x 1 =0 ，得 x a故当 x( 1 0 x ( 2 1，+ ) 时， F (x)0 ，1, 2 1) 时， F (x) ， F (x) 单调递增；当a aF ( x) 单调递减 .因此 F ( x) ≤ F (21) 2ln 2 2 a ln aa 2 a 2 a 1 2令函数 g(a) a ln a ，其中 a ≤ 2 ， 则 g (a) 1 1 a 1 2 2 1 ， a a 0 ，得 a故当 a (10 ， g( a) 单调递减；当 a ,1) 时， g (a) 2递增．aln ．(1,2] 时， g ( a)0 ， g (a) 单调又 g ( 1) ln 43 0 ， g(2) 0 ， 2 a ≤ 2 2 故当 1时， g(a) ≤ 0 恒成立，因此 F (x) ≤ 0 恒成立，2 a ≤ 2 时，对任意的 x [ 1, ) ，均有 f ( x) a ( x 2 1) 成立． 即当 1 2 2。
