高一年级下学期期中考试数学试卷及答案

2024年一年级数学(下册)期中试卷及答案（完美版）(时间：60分钟分数：100分)班级：姓名：分数：一、计算小能手（20分）1、直接写出得数．30＋50＝ 38＋20＝ 15－7＝ 40－30＝ 9＋6＝14－7＝ 100－60＝ 62－2＝ 17＋8＝ 13－7＝25－5＝ 4＋9＝ 51＋8＝ 33－3＝ 50＋21＝8＋12＝ 57－8＝ 4＋30＝ 9＋71＝ 6＋54＝二、填空题。

（共20分）1、100是由（）个十组成的．2、最大的两位数是（），最小的两位数是（）。

3、人民币的单位有（）、（）、（）．4、1张可以换（）张。

5、小红做了14朵花，送给小明5朵，自己还剩下（）朵花。

6、个位上是2，十位上是1的数是（）．7、用20元钱，正好可以买（）辆玩具汽车，也正好可以买（）条裙子，最多可以买（）顶帽子。

8、50添上（）个十是80．9、与70相邻的两个数是（）和（）。

10、笔算加、减法应注意：（）对齐，从（）位算起。

三、我会选。

（10分）1、用4个摆两位数，能摆出（）个。

A．3 B．4 C．52、看图列式计算，正确的是（）。

A．8－5＝3 B．13－8＝5 C．8＋5＝133、小玲画了一排小花，其中一朵黄花从左数在第2个，从右数在第3个，这一行花有（）朵．A．3 B．4 C．54、下面（）的钱数最多．A．1 张10元B．5 张1 元C．1 张5 元5、下面说法正确的是（）。

A．苹果宝宝既在西瓜的上面，又在梨宝宝的左面。

B．梨宝宝既在西瓜的上面，又在苹果宝宝的右面。

C．柚子宝宝既在梨宝宝的下面，又在西瓜的左面。

四、数一数，填一填。

（10分）1、.(1)有_____个，有_____个．(2)_____比_____多，_____比_____少．(填“”或“”)(3)如果添上_____个，和同样多．(4)如果去掉_____个，和同样多．五、看图列式计算。

（16分）1、.2、.（个）六、解决问题。

福建省厦门市2022—2023学年度第二学期期中考试高一年数学试卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知i 为虚数单位，复数22iz i +=-，则复数z 的模为（）．A.2B.5C.1D.2【答案】C 【解析】【分析】根据复数除法运算，先化简z ；再由复数模的计算公式，即可得出结果.【详解】因为复数()222342555i i z ii ++===+-，所以91612525z =+=．故选：C ．2.已知平面向量()1,a m = ，(),2b n = ，()3,6c = ，若a c ∥ ，b c ⊥，则实数m 与n 的和为()A.6B.6- C.2D.2-【答案】D 【解析】【分析】根据a c ∥ 、b c ⊥分别求出m 和n 即可．【详解】a ∥c，1236mm ∴=⇒=；b c ⊥ ，0b c ∴⋅=，31204n n ∴+=⇒=-；242m n ∴+=-=-．故选：D ．3.已知圆锥PO ，其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是底边长为6m ，顶角为2π3的等腰三角形，该圆锥的侧面积为（）A.26πmB.263πm C.233πm D.2123πm 【答案】B 【解析】【分析】运用圆锥侧面积公式计算即可.【详解】如图所示，设圆锥的半径为r ，母线为l ，由题意知，132r OB AB ===，在Rt POB △中，112ππ2233BPO BPA ∠=∠=⨯=，所以323π3sin 32OB l BP ====，所以圆锥侧面积为2ππ32363πm rl =⨯⨯=.故选：B.4.中国古代数学专著《九章算术》的第一章“方田”中载有“半周半径相乘得积步”，其大意为：圆的半周长乘以其半径等于圆面积.南北朝时期杰出的数学家祖冲之曾用圆内接正多边形的面积“替代”圆的面积，并通过增加圆内接正多边形的边数n 使得正多边形的面积更接近圆的面积，从而更为“精确”地估计圆周率π.据此，当n 足够大时，可以得到π与n 的关系为（）A.360πsin 2n n︒≈B.180πsinn n ︒≈ C.360π21cos n n ︒⎛⎫≈- ⎪⎝⎭ D.180π1cos 2n n︒≈-【答案】A 【解析】【分析】设圆的半径为r ，由题意可得221360πsin2r n r n ︒≈⋅⋅⋅，化简即可得出答案.【详解】设圆的半径为r ，将内接正n 边形分成n 个小三角形，由内接正n 边形的面积无限接近圆的面即可得：221360πsin2r n r n︒≈⋅⋅⋅，解得：360πsin 2n n ︒≈.故选：A .5.在ABC 中，60A ∠=︒，1b =，ABC 的面积为3，则sin aA为（）．A.8381B.2393C.2633D.27【答案】B 【解析】【分析】由已知条件，先根据三角形面积公式求出c 的值，然后利用余弦定理求出a 的值，即可得sin aA的值.【详解】解：在ABC 中，因为60A ∠=︒，1b =，ABC 的面积为3，所以113sin 12223ABC bc A S c ==⨯⨯⨯= ，所以4c =，因为2222212cos 14214132a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，所以13a =，所以13239sin 332a A ==.故选：B.6.已知m ，n 为两条不同的直线，,αβ为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若//,//,//m n αβαβ，则//m nB.若//,//,m m n αβαβ⋂=，则//m nC.若//,//αβn n ，则//αβD.若//,m n n α⊂，则//m α【答案】B 【解析】【分析】A ：结合两直线的位置关系可判断//m n 或,m n 异面；B ：结合线面平行的性质可判断//m n ；C ：结合线面的位置关系可判断//αβ或,αβ相交；D ：结合线面的位置关系可判断//m α或m α⊂.【详解】A ：若//,//,//m n αβαβ，则//m n 或,m n 异面，故A 错误；B ：因为//m α，所以在平面α内存在不同于n 的直线l ，使得//l m ，则l //β，从而//l n ，故//m n ，故B 正确；C ：若//,//αβn n ，则//αβ或,αβ相交，故C 错误；D ：若//,m n n α⊂，则//m α或m α⊂，故D 错误.故选：B7.如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，棱柱的侧面均为矩形，11AA =，3AB BC ==，1cos 3ABC ∠=，P 是1A B 上的一动点，则1AP PC +的最小值为（）A.3B.2C.5D.7【答案】D 【解析】【分析】连接1BC ，得11A BC V ，以1A B 所在直线为轴，将11A BC V 所在平面旋转到平面11ABB A ，设点1C 的新位置为C '，连接AC '，再根据两点之间线段最短，结合勾股定理余弦定理等求解AC '即可.【详解】连接1BC ，得11A BC V ，以1A B 所在直线为轴，将11A BC V 所在平面旋转到平面11ABB A ，设点1C 的新位置为C '，连接AC '，则有1C AP PC AP PC A '++'=≥，如图，当,,A P C '三点共线时，则AC '即为1AP PC +的最小值.在三角形ABC 中，3AB BC ==，1cos 3ABC ∠=，由余弦定理得：2212cos 332323AC AB BC AB BC B =+-⋅=+-⨯⨯=,所以112A C =，即12A C '=,在三角形1A AB 中，11AA =，3AB =，由勾股定理可得：2211132A B AA AB =+=+=,且160AA B ∠=︒.同理可求：12C B =，因为11112A B BC A C ===，所以11A BC V 为等边三角形，所以1160BA C ∠=︒，所以在三角形1AAC '中，111120AA C AA B BA C ''∠=∠+∠=︒,111,2AA A C '==,由余弦定理得：11421272AC ⎛⎫'=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭.故选：D.8.已知ABC 中，π3A ∠=，D ，E 是线段BC 上的两点，满足BD DC =，BAE CAE ∠=∠，192AD =，635AE =，则BC 长度为（）A.19 B.23 C.7 D.6319-【答案】C 【解析】【分析】由BAE CAE ABCS S S +=△△△可得出56b c bc +=，由1()2AD AB AC =+ 两边平方可求得,,bc b c +然后在ABC 中利用余弦定理可求得答案.【详解】如图，记,,BC a AC b AB c ===,BAE CAE ABC S S S += △△△，π6BAE CAE ∠=∠=，635AE =，1631631sin sin sin 25625623πππc b bc ∴⨯⨯+⨯⨯=，333()104b c bc ∴+=，即56b c bc +=，1()2AD AB AC =+ ，192AD =，()()2222211244AD AB AB AC AC b c bc ∴=+⋅+=++ 2211125119()()4443644b c bc bc bc =+-=⨯-=，即225()366840bc bc --=，(6)(25114)0bc bc -+=，6,5,bc b c ∴=∴+=在ABC 中，2222222cos()32513π87a b c bc b c bc b c bc =+-=+-=+-=-=,7BC a ∴==.故选：C.二、选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9.已知圆台的上底半径为1，下底半径为3，球O 与圆台的两个底面和侧面都相切，则（）A.圆台的母线长为4B.圆台的高为4C.圆台的表面积为26πD.球O 的表面积为12π【答案】ACD 【解析】【分析】作出圆台的轴截面，设圆台上、下底面圆心分别为12,O O ，半径分别为12,r r ，连接,,OD OE OA ，利用平面几何知识得到2123R r r ==，即可逐项计算求解．【详解】设梯形ABCD 为圆台的轴截面，则内切圆O 为圆台内切球的大圆，如图，设圆台上、下底面圆心分别为12,O O ，半径分别为12,r r ，则12,,O O O 共线，且1212,O O AB O O CD ⊥⊥，连接,,OD OE OA ，则,OD OA 分别平分,DAB ADC ∠∠，故12,r r E AE D ==，,,22ππODA DOA OE D OA A D +∠=∠=⊥∠，故2E O A E DE =⋅，即2123R r r ==，解得3R =，母线长为124r r +=，故A 正确；圆台的高为223R =，故B 错误；圆台的表面积为22π1π3π(13)426π⨯+⨯+⨯+⨯=，故C 正确；球O 的表面积为24π12πS R ==，故D 正确.故选：ACD.10.已知1z 与2z 是共轭虚数，则（）A.2212z z < B.2122z z z =C.12R z z +∈ D.12R z z ∈【答案】BC 【解析】【分析】设出复数12,z z ，根据复数的运算，对每个选项进行逐一分析，即可判断.【详解】由题意，复数1z 与2z 是共轭虚数，设1i z a b =+、2i z a b =-，R a b ∈、且0b ≠，对于A 项，22212i z a b ab =-+，22222i z a b ab =--，当0a ≠时，由于复数不能比较大小，故A 项不成立；对于B 项，因为2212z z a b ⋅=+，2222||z a b =+，所以2122||z z z ⋅=，故B 项正确；对于C 项，因为122R z z a +=∈，所以C 选项正确；对于D 项，由222122222()2()(i i i i)i i z a b a b a b abz a b a b a b a b a b ++-===+--+++不一定是实数，故D 项不成立.故选：BC.11.对于ABC ，有如下命题，其中正确的有（）A.若22sin sin A B =，则ABC 为等腰三角形B.若sin cos A B =，则ABC 为直角三角形C.若222sin sin cos 1A B C ++<，则ABC 为钝角三角形D.若3,1,30AB AC B === ，则ABC 的面积为34或32【答案】ACD 【解析】【分析】A.根据条件得到,A B 的关系，由此进行判断；B.利用诱导公式直接分析得到,A B 的关系并判断；C.利用正弦定理得到222,,a b c 的关系，结合余弦定理进行判断；D.先利用正弦定理计算出sin C 的值，由此可求,C A 的值，结合三角形面积公式进行计算并判断.【详解】对于A ：22sin sin ,A B A B ABC =∴=⇒ 是等腰三角形，A 正确；对于B ：sin cos ,2A B A B π=∴-=或,2A B ABC π+=∴ 不一定是直角三角形，B 错误；对于C ：2222222222sin sin 1cos ,sin ,cos 02A B C C a a abb bc C c ++<--==∴+∴<< ，ABC ∴ 为钝角三角形，C 正确；对于D ：由正弦定理，得sin 3sin .2AB B C AC ⋅==而,60AB AC C >∴= 或120,C = 90A ∴= 或30,A =当90,60A C =︒=︒时，131322ABCS =⨯⨯=，当30,120A C =︒=︒时，1311sin12024ABC S =⨯⨯⨯︒=，32ABC S ∴=或3,4D 正确.故选：ACD.12.“阿基米德多面体”也称为半正多面体(semi -regularsolid )，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体．已知2AB =，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（）A.该半正多面体的体积为203B.该半正多面体过,,A B C 三点的截面面积为332C.该半正多面体外接球的表面积为8πD.该半正多面体的顶点数V 、面数F 、棱数E 满足关系式2V F E +-=【答案】ACD 【解析】【分析】根据几何体的构成可判断A ，由截面为正六边形可求面积判断B ，根据外接球为正四棱柱可判断C ，根据顶点，面数，棱数判断D.【详解】如图，该半正多面体，是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的.对于A ，因为由正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，所以该几何体的体积为：11202228111323V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=，故正确；对于B ，过,,A B C 三点的截面为正六边形ABCFED ，所以()2362334S =⨯⨯=，故错误；对于C ，根据该几何体的对称性可知，该几何体的外接球即为底面棱长为2,侧棱长为2的正四棱柱的外接球，所以该半正多面体外接球的表面积2244(2)8S R πππ==⨯=，故正确；对于D ，几何体顶点数为12，有14个面，24条棱，满足1214242+-=，故正确.故选：ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.i 是虚数单位，已知22i ωω-=-，写出一个满足条件的复数ω．______．【答案】1i ω=+（答案不唯一，满足i a a ω=+（R a ∈）均可）【解析】【分析】运用复数的模的运算公式计算即可.【详解】设i a b ω=+，（,R a b ∈），则22|2||(2)i |(2)a b a b ω-=-+=-+，22|2i ||(2)i |(2)a b a b ω-=+-=+-，因为|2||2i |ωω-=-，所以2222(2)(2)a b a b -+=+-，解得：a b =，所以i a a ω=+，（R a ∈）所以可以取1i ω=+.故答案为：1i ω=+（答案不唯一，满足i a a ω=+（R a ∈）均可）.14.在矩形ABCD 中，已知2AB =，1BC =，点P 是对角线AC 上一动点，则AP BP ⋅的最小值为___________.【答案】45-##0.8-.【解析】【分析】以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立直角坐标系，利用平面向量的坐标运算求出AP BP ⋅，进而结合二次函数的性质即可求出结果.【详解】以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立直角坐标系，又因为2AB =，1BC =，所以()()()()0,0,2,0,2,1,0,1,A B C D 则直线AC 的方程为12y x =，所以设()2,P m m ，且01m ≤≤，而()()2,,22,AP m m BP m m ==-,所以()2222AP BP m m m ⋅=-+ 254m m=-结合二次函数的性质可知，当25m =时，AP BP ⋅ 有最小值，且最小值为222454555⎛⎫⨯-⨯=- ⎪⎝⎭，故答案为：45-.15.太湖中有一小岛C ，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路A 处测得小岛在公路的南偏西15°的方向上，汽车行驶1km 到达B 处后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则小岛到公路的距离是________km.【答案】36【解析】【详解】如图所示，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，∠A=15°，∠CBD=75°，AB=1km ，△ABC 中，BC=00sin15sin 60，△CBD 中，CD=BCcos15°=001sin 302sin 60=36km ．故填36．16.如图，平面四边形ABCD 中，其中3os 4c DAB ∠=，BAC DAC ∠=∠，AD AB <，且5AB =，14AC BD ==，若(),R AC AB AD λμλμ=+∈，则λμ+=______．【答案】75##1.4【解析】【分析】运用余弦定理求得AD 的值，在AB 上取点E ，使得2AE AD ==，结合角平分线性质可得AF D E ⊥，再运用向量加法可求得结果.【详解】在ABD △中，由余弦定理得：2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠，即：231425254AD AD =+-⨯⨯，解得：2AD =或112AD =，又因为5AD AB <=，所以2AD =.在AB 上取点E ，使得2AE =，连接DE ，交AC 于点F ，如图所示，又因为AC 为DAB ∠的角平分线，所以AF D E ⊥，F 为DE 的中点，在ADE V 中，由余弦定理得：22232222224DE =+-⨯⨯⨯=，所以2211141()42222AF AE DE AC =-=-==，所以225AC AF AE AD AB AD ==+=+，所以2=5λ，1μ=，所以75λμ+=.故答案为：75.四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知复数z 满足2z z ⋅=，且z 的虚部为-1，z 在复平面内所对应的点在第四象限．（1）求z ；（2）若z ，2z 在复平面上对应的点分别为A ，B ，O 为坐标原点，求∠OAB ．【答案】（1）1i z =-（2）π2OAB ∠=【解析】【分析】（1）运用复数几何意义设出z ，再结合共轭复数定义写出z ，再运用复数乘法运算求得结果.（2）运用复数几何意义、两点间距离公式及勾股定理可求得结果.【小问1详解】由题意知，设i z a =-（0a >），则i z a =+，所以222i 12z z a a ⋅=-=+=，解得：1a =，所以1i z =-.【小问2详解】由（1）知，1i z =-，所以22(1i)2i z =-=-，所以(1,1)A -，(0,2)B -，如图所示，所以(1,1)AO =- ，(1,1)AB =--，22||(1)12AO =-+= ，22||(1)(1)2AB =-+-= ，所以11cos 02||||AO AB OAB AO AB ⋅-∠===.所以π2OAB ∠=.18.如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB PC 、的三等分点（M 靠近B ，N 靠近C ）；（1）求证：//MN 平面PAD ．（2）在PB 上确定一点Q ，使平面//MNQ 平面PAD ．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）过点N 作//NE CD ，交PD 于点E ，连接AE ，证得证得四边形AMNE 为平行四边形，得到//MN AE ，结合线面平行的判定定理，即可求解；（2）取PB 取一点Q ，使得13BQ BP =，证得//MQ PA ，得到//MQ 平面PAD ，结合（1）中//MN 平面PAD ，利用面面平行的判定定理，证得平面//MNQ 平面PAD ．【小问1详解】证明：过点N 作//NE CD ，交PD 于点E ，连接AE ，因为N 为PC 的三等分点，可得23NE CD =，又因为M 为AB 的三等分点，可得23AM AB =，因为//AB CD 且AB CD =，所以//AM NE 且AM NE =，所以四边形AMNE 为平行四边形，所以//MN AE ，又由MN ⊄平面PAD ，AE ⊂平面PAD ，所以//MN 平面PAD .【小问2详解】证明：取PB 取一点Q ，使得13BQ BP =，即点Q 为PB 上靠近点B 的三等点，在PAB 中，因为,M Q 分别为,AB PB 的三等分点，可得MB BQAB BP=，所以//MQ PA ，因为MQ ⊄平面PAD ，PA ⊂平面PAD ，所以//MQ 平面PAD ；又由（1）知//MN 平面PAD ，且MN MQ M ⋂=，,MN MQ ⊂平面MNQ ，所以平面//MNQ 平面PAD ，即当点Q 为PB 上靠近点B 的三等点时，能使得平面//MNQ 平面PAD ．19.如图，在ABC 中，π3BAC ∠=，D 为AB 中点，P 为CD 上一点，且满足13AP t AC AB =+ ，ABC 的面积为332，（1）求t 的值；（2）求AP的最小值.【答案】（1）13t =（2）2【解析】【分析】（1）利用,,C P D 三点共线，可设DP mDC =，推出1(1)2AP mAC m AB =+- ，结合13AP t AC AB =+ ，即可求得t 的值；（2）利用（1）的结论可得2221(2)9A AC AB A PC AB ++=⋅ ，利用三角形面积得出||||6AC AB ⋅=，结合基本不等式即可求得答案.【小问1详解】在ABC 中，D 为AB 中点，则,,C P D 三点共线，设,()DP mDC AP AD m AC AD =∴-=- ,故1(1)(1)2AP mAC m AD mAC m AB =+-=+- ，又13AP t AC AB =+ ，故11(1)23m t m =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得13m t ==，即13t =.【小问2详解】由（1）知1133AP AC AB =+，所以2222211()(2)1339AC AB AC AP AP AB AC AB +=+=+⋅=221(||||2||||cos )9AC AB AC AB BAC =++⋅∠1(2||||2||||cos )9AC AB AC AB BAC ≥⋅+⋅∠ ，当且仅当||||AC AB = 时取等号，又332ABC S =△，则133||||sin 22AC AB BAC ⋅∠= ,即1π33||||sin ,||||6232AC AB AC AB ⋅=∴⋅= ，故21π(2626c 2os )2,93AP AP ≥⨯+⨯=≥∴ ，即AP 的最小值为2，当且仅当||||6AC AB ==时取等号.20.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且π2sin 6b c A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（1）求C ；（2）若1c =，D 为ABC 的外接圆上的点，2BA BD BA ⋅= ，求四边形ABCD 面积的最大值.【答案】（1）π6；（2）312+.【解析】【分析】（1）根据正弦定理以及两角和的正弦公式化简，即可得出3tan 3C =，进而根据角的范围得出答案；（2）解法一：由已知可推出BC CD ⊥，然后根据正弦定理可求出22R =，进而求出2BD =，3AD =.设BC x =，CD y =，表示出四边形的面积，根据基本不等式即可得出答案；解法二：根据投影向量，推出BC CD ⊥，然后同解法一求得3AD =.设CBD θ∠=，表示出四边形的面积，根据θ的范围，即可得出答案；解法三：同解法一求得3AD =，设点C 到BD 的距离为h ，表示出四边形的面积，即可推出答案；解法四：建系，由已知写出点的坐标，结合已知推得BD 是O 的直径，然后表示出四边形的面积，即可推出答案.【小问1详解】因为π2sin 6b c A ⎛⎫=+⎪⎝⎭，在ABC 中，由正弦定理得，i s n in 2sin πs 6B A C ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.又因为()()sin sin πsin B A C A C =--=+，所以()πsin 2s n sin i 6A C A C ⎛⎫+=+⎪⎝⎭，展开得sin cos cos sin sin sin cos 31222A C A C C A A ⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭，即sin cos si 30n sin A C C A -=，因为sin 0A ≠，故cos 3sin C C =，即3tan 3C =.又因为()0,πC ∈，所以π6C =.【小问2详解】解法一：如图1设ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为R ，因为2BA BD BA ⋅= ，所以()0BA BD BA ⋅-= ，即0BA AD ⋅=，所以DA BA ⊥，故BD 是O 的直径，所以BC CD ⊥.在ABC 中，1c =，122πsin sin 6c A R BC =∠==，所以2BD =.在ABD △中，223AD BD AB =-=.设四边形ABCD 的面积为S ，BC x =，CD y =，则224x y +=，ABD CBD S S S =+△△11312222AB BC xyAD CD =+⋅=⋅+2231312222x y +≤+⋅=+，当且仅当2x y ==时，等号成立.所以四边形ABCD 面积最大值为31 2+.解法二：如图1设ABC的外接圆的圆心为O，半径为R，BD在BA上的投影向量为BAλ，所以()2BA BD BA BA BAλλ⋅=⋅=.又22BA BD BA BA⋅==，所以1λ=，所以BD在BA上的投影向量为BA，所以DA BA⊥.故BD是O的直径，所以BC CD⊥.在ABC中，1c=，122πsin sin6cARBC=∠==，所以2BD=，在ABD△中，223AD BD AB=-=.设四边形ABCD的面积为S，CBDθ∠=，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2cosCBθ=，2sinCDθ=，所以ABD CBDS S S=+△△1122BAD CDAB C=⋅⋅+3sin22θ=+，当π22θ=时，S最大，所以四边形ABCD 面积最大值为312+.解法三：如图1设ABC的外接圆的圆心为O，半径为R，因为2BA BD BA ⋅= ，所以()0BA BD BA ⋅-= ，即0BA AD ⋅= ，所以DA BA ⊥.故BD 是O 的直径，所以BC CD ⊥.在ABC 中，1c =，122πsin sin 6c A R BC =∠==，所以2BD =.在ABD △中，223AD BD AB =-=.设四边形ABCD 的面积为S ，点C 到BD 的距离为h ，则ABD CBD S S S =+△△1122AD h AB BD ⋅+⋅=32h =+，当1h R ==时，S 最大，所以四边形ABCD 面积最大值为312+.解法四：设ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为R ，在ABC 中，1c =，122πsin sin 6c A R BC =∠==，故ABC 外接圆O 的半径1R =.即1OA OB AB ===，所以π3AOB ∠=.如图2，以ABC 外接圆的圆心为原点，OB 所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系xOy ，则13,22A ⎛⎫⎪⎪⎝⎭，()10B ,.因为C ，D 为单位圆上的点，设()cos ,sin C αα，()cos ,sin D ββ，其中()0,2πα∈，()0,2πβ∈.所以13,22BA ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()cos 1,sin BD ββ=- ，代入2BA BD BA ⋅= ，即1BA BD ⋅=，可得113cos sin 1222ββ-++=，即π1sin 62β⎛⎫-= ⎪⎝⎭.由()0,2πβ∈可知ππ11π,666β⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以解得ππ66β-=或π5π66β-=，即π3β=或πβ=.当π3β=时，A ，D 重合，舍去；当πβ=时，BD 是O 的直径.设四边形ABCD 的面积为S ，则1313sin sin 2222ABD CBD S S S BD BD αα=+=⋅+⋅=+△△，由()0,2πα∈知sin 1α≤，所以当3π2α=时，即C 的坐标为()0,1-时，S 最大，所以四边形ABCD 面积最大值为312+.21.如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为菱形，且60ABC ∠=︒，2AB =，2PA PB ==．M 是棱PD 上的点，O 是棱AB 的中点，PO 为四棱锥P ABCD -的高，且四面体MPBC 的体积为36．（1）证明：PM MD =；（2）若过点C ，M 的平面α与BD 平行，且交PA 于点Q ，求多面体DMC AQB -体积．【答案】（1）证明见解析（2）32【解析】【分析】（1）由题意AD 平面PBC ，求得体积关系：12M PBC D PBC V V --=，即可得出答案；（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面α的法向量为n，设()0,,AQ AP λλλ== ，由0n CQ ⋅= 得23λ=，求出ACQ 面积，平面ACQ 的法向量1n ，利用向量法求出M 到平面ACQ 的距离d ，进而求得M ACQ V -，Q ABC V -，M ADC V -，相加即可得出答案.【小问1详解】因为2PA PB ==，2AB =，AB 中点O ，所以PO AB ⊥，1PO =，1BO =.又因为ABCD 是菱形，60ABC ∠=︒，所以CO AB ⊥，3CO =.因为AD BC ∥，BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，所以AD 平面PBC ，所以11131233323A D PBC A PBC P ABC BC V V V P S O ---====⨯⨯⨯⨯=⋅△.因为3162M PBC D PBC V V --==，所以点M 到平面PBC 的距离是点D 到平面PBC 的距离的12，所以PM MD =.【小问2详解】因为PO ⊥平面ABCD ，,BO CO ⊂平面ABCD ，所以PO BO ⊥，PO CO ⊥，又BO CO ⊥，如图，以O 为坐标原点，OC ，OB ，OP的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则()0,1,0A -，()0,1,0B ，()3,0,0C，()3,2,0D-，()0,0,1P ，所以31,1,22M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()3,1,0AC =，()3,1,0BC =-，()3,3,0BD =-，()0,1,1AP = ，31,1,22CM ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面α的法向量为(),,n x y z = ，则00n BD n CM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即33031022x y x y z ⎧-=⎪⎨--+=⎪⎩，取1y =，得()3,1,5=n .因为Q AP ∈，设()0,,AQ AP λλλ==，则()3,1,CQ AQ AC λλ=-=-- ，因为3150n CQ λλ⋅=-+-+= ，所以23λ=，23AQ AP =，所以123,,33CQ ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，220,,33AQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，()22212423333CQ ⎛⎫⎛⎫=-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222223332AQ ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ACQ 中，2221cos 822422332242233AQC ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯⨯∠==,0πAQC <∠<,2137sin 188AQC ⎛⎫∠=-= ⎪⎝⎭，1224237733831sin 22ACQ S AQ CQ AQC =⨯⨯⨯⨯⨯∠⨯==△,设平面ACQ 的法向量为()1111,,n x y z = ，则1100n AQ n CQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即111112203323033y z y z x ⎧+=⎪⎪⎨⎪--+=⎪⎩.取11x =，得()11,3,3n =-.设M 到平面ACQ 的距离为d ，又31,1,22CM ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，则()()()()1222131113322133217d CM n n ⎛⎫-⨯+-⨯-+⨯ ⎪===+⋅⎝⎭-+，11219733337M ACQ ACQ V S d -=⨯⨯⨯=⨯=△，∵23AQ AP = ，∴Q 到平面ABC 的距离为2233PO =，又12332ABC S =⨯⨯= ，∴1223339Q ABC ABC V S -=⨯⨯=△,∵PM MD =，∴M 到平面ADC 的距离为1122PO =，又3ADC ABC S S ==△△，∴113326M ADC ADC V S -=⨯⨯=△,多面体DMC AQB -体积为323339962M ACQ Q ABC M ADC V V V V ---=++=++=.22.如图1，某景区是一个以C为圆心，半径为3km 的圆形区域，道路1l ，2l 成60°角，且均和景区边界相切，现要修一条与景区相切的观光木栈道AB ，点A ，B 分别在1l 和2l 上，修建的木栈道AB 与道路1l ，2l 围成三角地块OAB ．（注：圆的切线长性质：圆外一点引圆的两条切线长相等）．（1）当OAB 为正三角形时求修建的木栈道AB 与道路1l ，2l 围成的三角地块OAB 面积；（2）若OAB 的面积103S =，求木栈道AB 长；（3）如图2，设CAB α∠=，①将木栈道AB 的长度表示为α的函数，并指定定义域；②求木栈道AB 的最小值．【答案】（1）2273km（2）3km 3（3）①33π0πtan 3tan 3AB ααα⎛⎫=+<< ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，②63km 【解析】【分析】（1）运用等面积法可求得等边三角形的边长，进而求得等边三角形的面积.（2）方法1：运用内切圆性质及三角形面积公式可求得结果.方法2：运用两个三角形面积公式可得a b c ++，ab 的值，再结合余弦定理可得22()3c a b ab =+-，联立可求得AB 的长.（3）①运用内切圆性质可得π3CBM α∠=-，进而运用直角三角形中的正切公式可表示出AB .②方法1：运用分离常数法、“1”的代换及基本不等式可求得结果.方法2：运用切化弦、和角公式、积化和差公式化简AB 表达式，再结合三角函数在区间上求最值即可.方法3：运用切化弦、和差角公式、二倍角公式、辅助角公式化简，再结合三角函数在区间上求最值即可.【小问1详解】如图所示，设三角地块OAB 面积为S ，等边△OAB 边长为a ，所以由等面积法得：211π33sin 223S a a =⨯⨯=，解得63a =，所以221π3sin (63)273234OAB S a ==⨯=△.故修建的木栈道AB 与道路1l ，2l 围成的三角地块OAB 面积为273平方千米.【小问2详解】方法1：设圆C 分别与OB 、OA 、AB 相切于点N 、E 、M ，如图所示，则3NC =，NC OB ⊥，1π26NOC BOA ∠=∠=，所以在Rt ONC △中，33πtan6NCON ==，所以33OE ON ==，设BM BN m ==，AE AM n ==，所以12(33)31032AOB S m n =⨯⨯++⨯=△，解得：33m n +=，即：33AB =.故木栈道AB 长为3km 3.方法2：设三角地块OAB 面积为S ，OB a =，OA b =，AB c =，3r =，由等面积法可得：()11sin 22S ab BOA r a b c =∠=++，即：()()13103103242433r a b c ab a b c ab =++=⇒=++=，所以3203a b c ++=①，40ab =②，在△OAB 中，由余弦定理得2222222cos 2cos60c a b ab BOA c a b ab ︒=+-∠⇒=+-222()3a b ab a b ab =+-=+-，即：22()3c a b ab =+-③，由①②③解得：33c =.故木栈道AB 长为3km 3.【小问3详解】如图所示，①由题意知，2π3OBA OAB ∠+∠=，由内切圆的性质可知，π3CBA CAB ∠+∠=，设直线AB 和圆C 相切点M ，CAB α∠=，则π3CBM α∠=-，因为00π003CAB CBA αα>⎧∠>⎧⎪⇒⎨⎨∠>->⎩⎪⎩，解得：π03α<<，又因为tan CM AM α=，πtan 3CMBM α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以tan 3AM α=，πn 33ta BM α=⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以33π0πtan 3tan 3AB AM BM ααα⎛⎫=+=+<< ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭.即：33π0πtan 3tan 3AB ααα⎛⎫=+<< ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭.②方法1：3tan 1312333πtan tan tan 3tan 3tan ta 3331n AB ααααααα⎛⎫+=+=+=+- ⎪ ⎪⎛⎫--⎝⎭- ⎪⎝⎭()143tan 4tan 3tan 3tan 333533tan tan 3tan 3tan αααααααα⎛⎫-⎛⎫⎡⎤=++--=++- ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦--⎝⎭⎝⎭3(54)3363≥⨯+-=，当且仅当π6α=时等号成立，故木栈道AB 的长度最小值为63km .方法2：πππcos()cos sin()sin cos()33333πππtan sin sin()sin sin()33cos tan 333AB αααααααααααα⎛⎫--+- ⎪=+=+=⨯ ⎪⎛⎫ ⎪--- ⎪⎝⎭⎝⎭ππsin[()]sin333333π11ππ1ππcos(2)cos[()]cos[()]cos(2)cos 32233233αααααααα-+=⨯=⨯=⎡⎤⎡⎤-----+---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦因为π03α<<，所以πππ2333α-<-<，所以1πcos(2)123α<-≤，所以3363π1cos(2)32AB α=≥--，故木栈道AB 的长度最小值为63km .方法3：πππcos()cos sin()sin cos()33333πππtan sin sin()sin sin()33cos tan 333AB αααααααααααα⎛⎫--+- ⎪=+=+=⨯ ⎪⎛⎫ ⎪--- ⎪⎝⎭⎝⎭ππsin[()]sin333333π13131sin(2)sin (cos sin )sin 2(1cos 2)622244αααααααα-+=⨯=⨯=+----，因为π03α<<，所以ππ5π2666α<+<，所以1πsin(2)126α<+≤，所以3363π1sin(2)62AB α=≥+-，故木栈道AB 的长度最小值为63km .【点睛】方法点睛：解三角形的应用问题的要点（1）从实际问题抽象出已知的角度、距离、高度等条件，作为某个三角形的元素；（2）利用正弦、余弦定理解三角形，得实际问题的解．解三角形中最值（范围）问题的解题策略利用正弦、余弦定理以及面积公式化简整理，构造关于某一个角或某一边的函数或不等式，利用函数的单调性或基本不等式等求最值（范围）．。

2021-2022学年上海市嘉定区第一中学高一下学期期中数学试题一、填空题1．已知角的终边与角终边关于轴对称，则的关系是_____．αβy ,αββ=【答案】##π2π,Z k k α-+∈180360,Zk k α︒︒-+⋅∈【分析】利用角与终边关于y 轴对称的关系及周期性求解αβ【详解】因为角的终边与角的终边关于y 轴对称，在一个周期中，αβ[)0,2π，即，所以由周期性知，．παβ+=πβα=-π2πk βα=-+Z k ∈故答案为：，．π2πk βα=-+Z k ∈2．若______.cos α=cos 2=α【答案】12【分析】直接使用二倍角余弦公式代入求值即可..【详解】因为cos α=所以.221cos 22cos 12(12αα=-=⨯-=故答案为：12【点睛】本题考查了二倍角余弦公式的应用，考查了代入思想，考查了数学运算能力.3．已知，，若在方向上的数量投影是2，则与的夹角的余弦值是3OA = 4OB = OA OB OA OB ______.【答案】23【分析】写出数量投影的定义，以及向量夹角公式，即可计算结果.【详解】由条件可知，2OA OB OB⋅= 设与的夹角为，则.OA OB θ222cos 3OB OA OB OA OB OA OB OA θ⋅====故答案为：234．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在秒时相对于平衡位置（即静止时的位置）的高度厘t h 米满足下列关系：，，则每秒钟小球能振动______次.2sin 6h t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[)0,t ∈+∞【答案】12π【分析】求正弦型函数的频率.【详解】函数，的周期，故频率为.2sin 6h t π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[)0,t ∈+∞2T π=12π所以每秒钟小球能振动次.12π故答案为：.12π5．在中，若，则的最大值是____．ABC 222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-⋅A 【答案】π3【分析】利用正弦定理进行角变边可得，利用余弦定理和角的范围即可求解222bc b c a ≤+-【详解】结合正弦定理得，即，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-⋅222a b c bc +-≤222bc b c a ≤+-所以，2221cos 222b c a bc A bc bc +-=≥=因为，所以，则的最大值是．0πA <<π03A <≤A 3π故答案为：π36．已知函数（），将的图像向左平移个单位得到函数的图像，令()sin f x x ω=0ω>()f x 2πω()g x ，如果存在实数，使得对任意的实数，都有成立，则()()()h x f x g x =+m x ()()(1)h m h x h m ≤≤+的最小值为________ω【答案】π【详解】由题意可知：()sin sin cos 22g x x x xππωωωω⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()()() sin cos 4h x f x g x x x x πωωω⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭又对任意的实数，都有成立，x ()()()1h m h x h m ≤≤+∴为的最小值，为的最大值()h m ()h x ()1h m +()h x ∴，，，121n 2πω=⨯⨯n πω=n N ∈0ω>∴的最小值为ωπ二、单选题7．设，若是角的终边上一点，则下列各式恒为负值的是（ ）1a <()21,1P a a -+αA ．B ．C ．D ．sin cos αα+tan sin αα+cos tan αα-sin tan αα-【答案】B【分析】利用三角函数的定义，求出角的三角函数值，再根据确定正负性.α1a <选项A 可根据进行判定；选项C 可由正切的范围进行判定；选项B ，D 可由三角函数值的正1a <负性进行判定.【详解】由题知，，，，.21sin 0a OP α+=>1cos 0a OP α-=<21tan 01a a α+=<-1a <其中为点到原点的距离.OP P O ，2sin cos a aOP αα++=因为，所以的取值可正可负可为0，故的取值可正可负可为0.1a <2a a +sin cos αα+故选项A 错误；，()tan sin tan 1cos αααα+=+因为，，所以恒成立.t an 0α<1cos 0α+>tan sin 0αα+<故选项B 正确；因为，当时，有.t an 0α<tan 1α≤-cos tan cos 10ααα-≥+>又时，，.0a =tan 1α=-cos tan cos 10ααα-=+>故选项C 错误；因为，，所以.sin 0α>t an 0α<sin tan 0α-α>故选项D 错误.故选：B.8．函数的图像可以由的图像（ ）个单位得到.4y x π=-4y x π=+A ．向左平移B ．向右平移2π2πC ．向左平移D ．向右平移4π4π【答案】D 【分析】由，可以确定函数图象之间的变换，即可求解.22(444x x πππ-=-+【详解】因为，)]444y x x πππ=-=-+所以只需由的图像向右平移个单位得到.)4y x π=+4π故选：D【点睛】本题主要考查了三角函数图象的平移，关键要找到两个函数解析式的差异，确定图象的变换方式，属于容易题.9．若O 为所在平面内一点，且满足，则的形状为（ ）ABC ()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=ABC A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．正三角形D ．等腰直角三角形【答案】A【分析】利用向量运算化简已知条件，由此确定正确选项.【详解】依题意，()(2)0OB OC OB OC OA -⋅+-=,()CB OB OA OC OA ⋅-+-=，()()22AB AC AB AC AB AC -⋅+=-= 所以，所以三角形是等腰三角形.AB AC c b=⇒=ABC 故选：A 10．设函数，则（ ）()cos sin y x =A ．它的定义域是[-1，1]B ．它是偶函数C ．它的值域是D ．它不是周期函数[]cos1,cos1-【答案】B【分析】根据三角函数的性质和复合函数的定义得到定义域，根据偶函数的定义结合三角函数的性质判定为偶函数，根据正弦函数的值域和余弦函数的单调性对称性求得值域；根据正弦函数的周期性得到函数的周期性.【详解】记，定义域为R,故A 错误；()()cos sin f x x =,()()()()()cos sin()cos sin cos sin f x x x x f x -=-=-==∴是偶函数，故B 正确；()f x ∵,∴,故C 错误；[]sin 1,1x ∈-()[]cos sin cos1,1x ∈,()()()()2πcos sin(2π)cos sin f x x x f x +=+==∴是函数的周期，故D 错误.2π()f x 故选：B.11．给出下列命题：①函数是奇函数；②存在实数，使得；③若2cos 32y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭α3sin cos 2αα+=是第一象限角且，则；④是函数的一条对称轴方程；,αβαβ<tan tan αβ<8x π=5sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭函数的图象关于点成中心对称图形其中正确的个数是（ ）sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,012π⎛⎫⎪⎝⎭A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】对于①，先化简，再判断厅偶性；对于②，利用辅助解公式化简后判断；对于③，举例判断；对于④，代入验证即可【详解】解：对于①，因为（），22cos sin 323y x xπ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭x R ∈，所以此函数是奇函数，所以①正确；22()sin()sin ()33f x x x f x -=--==-对于②，因为，所以②错误；sin cos 4πααα+=+≤对于③，若，此时③错误；13,36ππαβ==13tan tan tan tan 36ππαβ=>==对于④，当时，，所以是函数的一条8x π=53sin 2sin 1842y πππ⎛⎫=⨯+==- ⎪⎝⎭8x π=5sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭对称轴方程；当时，，所以函数的图象不关于12x π=sin 2sin 11232y πππ⎛⎫=⨯+== ⎪⎝⎭sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭点成中心对称图形，所以④错误，,012π⎛⎫⎪⎝⎭故选：A12．已知、是任意一个锐角三角形的两个内角，下面式子一定成立的是（ ）A B A ．B ．1co sin s BA >cos cos 1AB>C ．D ．cos log cos 1A B >sin log cos 1A B <【答案】A【分析】利用三角函数的单调性，对数的性质或特殊值进行判定.【详解】由题意得，所以，2A B π+>22B A ππ>>->所以，即，A 正确；1sin sin cos 02B A A π⎛⎫>>-=> ⎪⎝⎭1co sin s B A >因为，所以，B 不正确；0cos 1B <<cos 0cos cos 1AB B <=当时，，C 不正确；60A B ︒==cos log cos 1A B =由，所以，所以，2A B π+>22A B ππ>>->0cos sin 1B A <<<所以，D 不正确.sin sin log cos log sin 1A A B A >=故选：．A 三、解答题13．已知单位向量与的夹角为，且，向量与的夹角为.1e 2e α1cos 3α=1232a e e =- 123b e e =- β（1）求，；a b（2）求的值.cos β【答案】（1），2=3a=2b【分析】（1）利用平面向量的数量积的运算求解；（2）利用数量积的运算求得，结合（1）中求得的模，利用向量的夹角余弦值公式计算即得.a b ⋅【详解】（1，3===b ====；（2），()()22121212123239291138a b e e e e e e e e ⋅=-⋅-=+-⋅=-=所以.cos β=14．如图某公园有一块直角三角形的空地，其中，，长千米，现ABC 2ACB π∠=6ABC π∠=AC a 要在空地上围出一块正三角形区域建文化景观区，其中、、分别在、、DEF D E F BC AC 上．设．AB DEC θ∠=（1）若，求的边长；3πθ=DEF （2）当多大时，的边长最小？并求出最小值．θDEF 【答案】（1）千米；（2）当千米.23a2πθ=-DEF 【分析】（1）由题意易得为等边三角形，从而可求；AEF △（2）由已知结合正弦定理及辅助角公式进行化简即可求解．【详解】解：（1）设的边长为千米，由得，，DEF x 3πθ=12CE x =12AE a x =-中，，，AEF △33FEA πππθ∠=--=3A π∠=为等边三角形，，AEF ∴ 12AE x a x ==-故，23a x =即的边长为；DEF 23a（2）设的边长为千米，DEF x 所以，，cos CE x θ=cos AE a x θ=-中，，，，AEF ∆23FEA πθ∠=-3A π∠=EFA θ∠=由正弦定理得，，cos sin sin3xa x θπθ-=故x =当，即．2πθ=-x =DEF 【点睛】方法点睛：解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.15．已知函数的最小正周期为.()()22sin cos cos 0f x x x x x ωωωωω=+->π（1）求的值；ω（2）将图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，求的解析()f x π4()y g x =()g x 式；（3）在（2）的条件下，若对于任意的，，当时，1x 2ππ,88x ϕϕ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭12x x >恒成立，求的取值范围.()()()()1221f x f x g x g x ->-ϕ【答案】（1）1；（2）；（3）.()2π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π0,6⎛⎤ ⎝⎦【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性，求得．1ω=（2）由题意利用函数的图象变换规律，得出结论．sin()y A x ωϕ=+（3）令，化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，()()()h x f x g x =+【详解】解：（1）()22sin cos cos f x x x x xωωωω=+-π2cos 22sin 26x x x ωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭所以()π2sin 26f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为函数的最小正周期为且，所以，解得，所以的值()π2sin 26f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭π0ω>2ππ2ω=1ω=ω为1.（2）因为图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像()f x π4()y g x =又，所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭()πππ2π2sin 22sin 24463g x f x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以的解析式为()g x ()2π2sin 23g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（3）令()()()π2π5ππ2sin 22sin 24sin 2cos63124h x f x g x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭5π212x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭因为对于任意的，，当时，恒成立，1x 2ππ,88x ϕϕ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭12x x >()()()()1221f x f x g x g x ->-所以在严格单调递增，()h x ππ,88ϕϕ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭由，整理可得，π5ππ2π22π2122k x k -≤-≤+Z k ∈π11πππ2424k x k -≤≤+Zk ∈所以严格单调递增区间是，()5π212h x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π11ππ,π2424k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦Z k ∈所以，解得πππ11πππ248824k k ϕϕ-≤-<+<+π06ϕ<≤所以的取值范围是.ϕπ0,6⎛⎤⎥⎝⎦16．对于函数，若在其定义域内存在实数、，使得成立，称是()f x 0x t 00()()()f x t f x f t +=+()f x “跃点”函数，并称是函数的“跃点”．t 0x ()f x t (1)求证：函数在上是“1跃点”函数；2()3x f x x =+[0,1](2)若函数在上是“1跃点”函数，求实数的取值范围；32()3g x x ax =--(0,)+∞a (3)是否同时存在实数和正整数使得函数在上有2022个“跃点”？若存m n ()cos 2h x x m =-[0,]n ππ4在，请求出所有符合条件的和；若不存在，请说明理由．m n 【答案】(1)证明见解析(2)9[,)2+∞(3)存在，或或(1011m n ⎧∈⋃⎪⎨=⎪⎩2022m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩2022m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩【分析】（1）根据题意令，利用零点存在定理即可证明；00000()(1)()(1)2323x F x f x f x f x =+--=⋅+-（2）由题意可得，可整理得，然后用基2(1)()(1)3(32)30g x g x g x a x +--=+-+=13(33)2a x x =⨯++本不等式求解即可；（3）根据题意可得到，然后分，，π4m x =+(m ∈ 1m =m m =种情况进行讨论即可【详解】（1），001220000(1)3(1)3321x x f x x x x ++=++=⋅+++所以，，0200()3x f x x =+(1)4f =令，00000()(1)()(1)2323x F x f x f x f x =+--=⋅+-因为，，所以由零点存在定理可得在有解，(0)10F =-<(1)50F =>0()0F x =[0,1]所以存在，使得，0[0,1]x ∈00(1)()(1)f x f x f +=+即函数在是“1跃点”函数．2()3x f x x =+[0,1]（2）由题意得(1)()(1)g x g x g +--3232(1)(1)332x a x x ax a=+-+--++++，23(32)30x a x =+-+=因为，,()0x ∈+∞所以，当且仅当取等号，1319(33)3)222a x x =⨯++≥⨯=1x =所以的取值范围为．a 9[,)2+∞（3），即，ππππ(()(cos(2)cos2cos 04422h x h x h x m x m m +--=+--+-+=sin 2cos20x x m --+=化简得的最小正周期为，π)4m x =+π)4x +π当；当（为正整数）；0x =π0)14⨯+=πx n =n ππ14n ⨯+=在上的值可得)4x π+[0,π]n ①当时，在有个“跃点”，(m ∈ [0,π]n 2n π4故，所以；22022n =1011n =②当时，在有个“跃点”，故，无解；1m =[0,π]n21n +π4212022n +=③当上有个“跃点”，故，mm =[0,π]n n π42022n =综上，或或．(1011m n⎧∈⋃⎪⎨=⎪⎩2022m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩2022m n ⎧=⎪⎨=⎪⎩【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。

2022-2023学年山西省长治市沁县一年级（下）期中数学试卷一、动脑筋，想一想。

1．2．一个两位数，个位上是8，十位上的数比个位上的数小4，这个两位数是，与它相邻的数是和。

3．个一是十，一百里面有个十。

4．至少要个同样大小的小正方体才能拼成一个大正方体，至少要个同样大小的小正方形才能拼成一个大正方形．5．从3、7、9三个数中，任选两个数组成两位数，最大的是，最小的是。

6．比39大且比42小的数有个，分别是、。

7．有61个珠子，10个穿一串，能穿串，还剩个，如果再穿一串，还差个。

二、仔细比较，选一选。

8．如图军军可能跳了（）下。

A．43B．12C．919．下面的图形能拼成正方形的是（）A．B．C．10．这个墙面有一个破洞，需要用一些长方形的砖块补上，下面（）可以补好墙。

A．B．C．三、我会算。

11．看谁算得又对又快。

20+9＝19﹣8＝16﹣4＝19﹣9＝6+7﹣5＝2+40＝12﹣3＝13﹣7＝6+60＝14﹣8+6＝14﹣8＝47﹣7＝16﹣7＝17﹣9＝9+4﹣10＝11﹣4＝56﹣50＝49﹣40＝6+30＝8﹣3+30＝12．看图列式计算。

四、数一数，填一填。

13．数一数，填一填。

形状个数五、我会解决问题。

14．体育课上小红比小梦多踢了多少下毽子？答：小红比小梦多踢了下。

15．有16只小动物在一起玩捉迷藏的游戏。

小白兔还要捉多少只小动物？答：小白兔还要捉只小动物。

16．一年级（2）班有学生和老师共43人．这两辆车能坐得下吗？2022-2023学年山西省长治市沁县一年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、动脑筋，想一想。

1．【分析】根据整数的读法，从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其余数位一个0或连续几个0都只读一个零，即可读出此数；根据整数的写法，从高位到低位，一级一级地写，哪一个数位上一个单位也没有，就在那个数位上写0，即可写出此数。

【解答】解：如图：【点评】本题考查整数的写法和读法，解决本题的关键是明确各数位上的数字。

2022-2023学年河南省信阳市高一下学期期中数学试题一、单选题1．复平面内表示复数（）的点位于（ ）()z i a i =-a<0A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】先化简复数，即可判断表示的点所在的象限.z 【详解】表示的点为，()1z i a i ai=-=+()1,a 因为，所以点位于第四象限，a<0()1,a 故选：D.2．已知向量，且，则实数等于（ ）()()241a m b ==- ，，，()()a b a b-⊥+ mA ．2B ．C ．8D ．12【答案】D 【分析】根据，由求解.()()a b a b -⊥+()()a b a b +⋅-= 【详解】解：因为向量，()()241a m b ==- ，，，所以，()()2,1,6,1a b m a b m -=-++=-因为，()()a b a b -⊥+ 所以，()()()()()26110a b a b m m +⋅-=-⨯++-=解得，即213=m m =故选：D3．“为第一象限角”是“”的（ ）αtan 0α>A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据正切函数在各个象限的符号，结合充分条件、必要条件的概念，即可得出答案.【详解】若为第一象限角则必有；αtan 0α>反之，若，则为第一或第三象限角.tan 0α>α4．在中，若，，则形状为（ ）ABC3sin b B =cos cos A C =ABC A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【答案】C【分析】首先利用正弦定理化边为角求出的值，再结合，以及三角形的内角和可求出sin A A C =，进而可得正确选项.B ∠【详解】因为,3sin b B =所以,3sin sin B A B =因为0180B <<所以，sin 0B ≠所以或，sin A =60A =120 又因为，,cos cos A C =0180A <<0180C << 所以A C∠=∠所以，，，60A ∠= 60C ∠= 180606060B ∠=--=所以为等边三角形.ABC 故选：C.5．已知，，则（ ）3π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭πcos 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos α=A ．B ．C ．D ．35-354535±【答案】B 【分析】由的范围判断的符号，再由展开计算即可.π4α+πsin(4α+()ππcos cos 44αα⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦【详解】因为，所以，则，3π0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ,π44α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭πsin 04α⎛⎫+>⎪⎝⎭所以πsin 4α⎛⎫+==⎪⎝⎭所以，ππππππ3cos cos cos cos sin sin 4444445αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦6．把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变．再把所得曲线向左平移()y f x =13个单位长度，得到函数的图象，则（ ）π4πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x =A ．B ．πsin 312x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭7πsin 312x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．D ．πsin 312x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭7πsin 312x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据三角函数图象变换规律求解析式.【详解】函数的图象向右平移个单位长度，得到，πsin 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭π4πππsin sin 4312y x x ⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭再把所得的曲线所有点的横坐标伸长到原来的倍，得到.3()πsin 312x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故选：A.7．八角星纹是大汶口文化中期彩陶纹样中具有鲜明特色的花纹.八角星纹常绘于彩陶盆和豆的上腹，先于器外的上腹施一圈红色底衬，然后在上面绘并列的八角星形的单独纹样.八角星纹以白彩的成，黑线勾边，中为方形或圆形，且有向四面八方扩张的感觉.八角星纹延续的时间较长，传播范围亦广，在长江以南的时间稍晚的崧泽文化的陶豆座上也屡见刻有八角大汶口文化八角星纹.图2是图1抽象出来的图形，在图2中，圆中各个三角形（如）为等腰直角三角形，点为四心，中ACD O 间部分是正方形且边长为2，定点，所在位置如图所示，则的值为（ ）A B AB AO ⋅A ．10B ．12C ．14D ．16【答案】C【分析】利用转化法得，展开利用向量数量积的定义并代入相关数()()·AB AO AD DB AD DO⋅=++ 据即可.【详解】如图所示：连接，OD因为中间阴影部分是正方形且边长为2，且图中各个三角形为等腰直角三角形，所以可得，，4ADO ODB π∠=∠=||OD = ||4AD = 2ADB π∠=则，()()··AB AO AD DB AD DO =++ 23cos cos44AD AD DO DB AD DB DO ππ=++⋅+.244214⎛=++= ⎝故选：C.8．函数在内恰有两个最小值点，则ω的范围是（ ）()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π7π,44⎛⎫⎪⎝⎭A ．B ．13,47⎛⎤⎥⎝⎦13,37⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．D ．4,43⎛⎤ ⎥⎝⎦4,33⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B【分析】根据正弦型函数的最小值的性质，结合题意进行求解即可.【详解】当时，即时，函数有最小值，π3π2π(Z)42x k k ω+=+∈5π2π4(Z)k x k ω+=∈令时，有，，，，1,0,1,2k =-34πx ω=-5π4x ω=13π4x ω=21π4x ω=因为函数在内恰有两个最小值点，，()()πsin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π7π,44⎛⎫⎪⎝⎭0ω>所以有：，π5π4413π7π1334477π21π44ωωωω⎧<⎪⎪⎪<⇒<≤⎨⎪⎪≤⎪⎩故选：B二、多选题9．已知中，，若三角形有两解，则x 不可能的取值是（ ）ABC ,2,45a x b B ===︒A ．2B ．2.5C ．3D ．3.5【答案】ACD【分析】若三角形有两解，则，结合正弦定理即可求解,sin 1a b A ><【详解】解：因为中，，且三角形有两解，ABC ,2,45a x b B ===︒所以，,sin 1a b A ><由正弦定理得，sin sin a bA B =所以，解得sin sin 1a B A b ===<x <因为，所以，a b >2x >所以，2x <<故选：ACD10．若复数，则（ ）z i =A ．|z |=2B ．|z |=4C ．z 的共轭复数iD ．z 24z =-【答案】AC【分析】根据复数的知识对选项进行分析，由此确定正确选项.，故A 选项正确，B 选项错误.2=，C 选项正确.z i =，D 选项错误.)22232z ii ==-+=-故选：AC11．下列关于平面向量的命题正确的是( )A ．若∥，∥，则∥a b b c a cB ．两个非零向量垂直的充要条件是：,a b 0a b ⋅= C ．若向量，则四点必在一条直线上AB CD =,,,A B C D D ．向量与向量共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使()0a a ≠b λb aλ= 【答案】BD【分析】根据向量共线的概念判断A ，根据向量垂直的性质判断B ，根据向量相等和向量概念判断C ，根据向量共线定理判断D ．【详解】对于，当时，不一定成立，A 错误；A 0b =∴对于，两个非零向量，当向量垂直可得，反之也一定有向量垂直，B ,a b ,a b 0a b ⋅= 0a b ⋅= ,a b B 正确；∴对于C ，若向量与方向和大小都相同，但四点不一定在一条直线上，,AB CD AB = CD,,,A B C D 错误；C ∴对于D ，由向量共线定理可得向量与向量共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使()0a a ≠ bλD 正确．,b a λ=∴故选：BD ．12．关于函数 有以下四个选项，正确的是（ ）()()cos sin 0f x x a x a =+≠A ．对任意的都不是偶函数()0a f x ≠，B ．存在使是奇函数0a ≠，()f x C ．存在使0a ≠，()()πf x f x +=D ．若的图像关于对称，则()f x π4x =1a =【答案】AD【分析】根据辅助角公式将函数化简，然后结合正弦型函数的性质，对选项逐一判断即可.()f x【详解】因为，其中，，()()cos sin f x x a x x ϕ=+=+1tan a ϕ=ππ22ϕ-<<对于A ，要使为偶函数，则，且，则无解，()f x ππ,2k k ϕ=+∈Z ππ22ϕ-<<即对任意的a ，都不是偶函数，故正确；()f x 对于B ，要使为奇函数，则，且，又，所以不存在a ，使()f x π,k k ϕ=∈Z ππ22ϕ-<<1tan a ϕ=是奇函数，故错误；()f x对于C ，因为，故错误；()()()()ππf x x x f x ϕϕ+=++=+≠对于D ，若的图像关于对称，则，，()f x π4x =πππ42k ϕ+=+k ∈Z 解得，且，所以，即，故正确.ππ,4k k ϕ=+∈Z ππ22ϕ-<<π4ϕ=π1tan 114a a ==⇒=故选：AD三、填空题13．______．cos112.5︒=【答案】【分析】首先由诱导公式求出，再利用二倍角公式计算可得；cos 225︒【详解】解：因为()cos 225cos 18045cos 45︒=︒+︒=-︒=又()2cos 225cos 2112.52cos 112.51︒=⨯︒=︒-=所以2cos 112.5︒=cos112.5︒=因为，所以90112.5180︒<︒<︒cos112.5︒=故答案为：14．已知函数，若，则=__________________() ³sin 2022f x ax b x =++22021f =（）()2f -【答案】2023【分析】由条件可得，即可算出答案.()()4044f x f x -+=【详解】因为，所以，()3sin 2022f x ax b x -=--+()()4044f x f x -+=因为，所以，22021f =（）()22023f -=故答案为：.202315．如图，中华中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高气度，先在山脚A 处测得山顶C 处的仰角为60°，又利用无人机在离地面高400m 的M 处（即），观测到山顶C 处的仰400MD =角为15°，山脚A 处的俯角为45°，则山高___________m.BC=【答案】600【分析】确定，，在中，利用正弦定理计算得到AM =45ACM ∠=︒75MAC ∠=︒MAC △答案.【详解】，则，,，45AMD ∠=︒AM ==451560CMA ∠=︒+︒=︒60CAB ∠=︒故，，18060MAC ∠=︒-︒4575-︒=︒180756045ACM ∠=︒-︒-︒=︒在中，由正弦定理得，即MAC △sin sin AC MA AMC ACM =∠∠sin60AC =︒解得.AC =sin60600BC AC =︒=故答案为：60016．在中，若，，则的最大值为__________．ABC ∆3B π=AC =2AB BC +【答案】【详解】设22sin sin 3AB BC A θθπθ====⎛⎫- ⎪⎝⎭22sin ,3AB πθ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，最大值为2sin BC θ=()222sin 4sin 3AB BC πθθθϕ⎛⎫∴+=-+=+ ⎪⎝⎭【解析】解三角形与三角函数化简点评：借助于正弦定理，三角形内角和将边长用一内角表示，转化为三角函数求最值，只需将三角函数化简为的形式()sin cos a b θθθϕ+=+四、解答题17．已知复数满足：.z i 13iz z +=+(1)求复数；z (2)化简：.61i zz +--【答案】(1)34iz =+(2)97i 22+【分析】（1）设复数，根据复数的模的计算公式结合复数相等的定义，列出方()i ,z m n m n =+∈R 程组，求出，从而可得出答案；,m n （2）根据共轭复数的定义结合复数的模的计算公式及复数的除法运算计算即可得解.【详解】（1）解：设复数，()i ,z m n m n =+∈R，()i i 13im n +=+，i 13i n m +=+则，41,33n n m m =⎧=⇒⎨==⎩⎪⎩；34i z ∴=+（2）解：由（1）得，34i z =+则34i 634i 61i 1i z z ++-=+----()()()()34i 1i 34i1i 1i ++=+---+17i 52-+=+.97i 22=+18．已知向量满足.,a b123a b a b ==-= ，，(1)求向量与向量的夹角；a b(2)求向量在向量方向上的投影的模.ba b - 【答案】(1)2π3【分析】（1）根据向量模的计算公式以及夹角公式即可求出；（2）根据投影向量的求解公式即可解出.【详解】（1）由可得，，3a b -=3a b -==229619a a b b -⋅+= 而，所以，，，而，12a b == ，1a b ⋅=-1cos ,2a b a b a b⋅〈〉==-0,πa b ≤〈〉≤所以，向量与向量的夹角为．a b2π3（2）向量在向量方向上的投影的模为：ba b - cos b b a-,=19．已知.22sin 2sin 12αα=-(1)求的值；sin cos cos 2ααα+(2)若，求的值.1(0,),(0,tan()23παπβαβ∈∈+=-2αβ+【答案】(1)15(2)74π【分析】（1）先根据降幂公式得，再对原式构造齐次式结合即可求解.1tan 2α=-1tan 2α=-（2）先求出，再根据角的范围即可确定的值.tan(2=tan(++)1αβααβ+=-）2αβ+【详解】（1）由已知得，所以2sin cos αα=-1tan 2α=-所以2222sin cos cos sin sin cos cos 2sin cos ααααααααα+-+=+.22tan 1tan 1tan 15ααα+-==+（2）因为tan +tan(+)tan(2=tan(++)11tan tan()ααβαβααβααβ+==--+）又，13tan ,0,24πααπαπ=-<<∴<< 同理33,2242ππαβπαβπ<+<∴<+<所以.724παβ+=20．在①，②这两个条件中任选一个，222cos cos sin sin sin B C A A B --=-sin cos 2sin sin cos C C B A A =-补充在下面的横线上，并解答．在中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足ABC ______．(1)求角C 的大小；(2)若点D 为边BC 上的一点，且AD =3，，，求的面积．BD =AB ACD 【答案】(1)3C π=【分析】(1)分别选择条件①和②，运用正弦定理和余弦定理即可求解；(2)作图，先求 ，再求 ，运用面积公式即可.ADB ∠DAC ∠【详解】（1）选①，因为，222cos cos sin sin sin B C A A B --=-所以，2221sin (1sin )sin sin sin B C A A B ----=-即，222sin sin sin sin sin A B C A B +-=由正弦定理得，222a b c ab +-=由余弦定理，2221cos 22a b c C ab +-==因为，所以；(0,)C π∈3C π=选②，因为，sin cos 2sin sin cos C C B A A =-所以，(2sin sin )cos sin cos B A C C A -=⋅所以，，sin cos sin cos 2sin cos C A A C B C ⋅+⋅=⋅sin 2sin cos B B C =⋅因为，所以，所以，(0,)B π∈sin 0B ≠1cos 2C =因为，所以；(0,)C π∈3C π=（2）由第一问可知，作图如下：3C π=在 中，由余弦定理，ABD△222cos 2AD BD AB ADB AD BD +-===⨯∠所以，，34ADB π∠=4ADC π∠=在中，由正弦定理，ADC △sinsin AC AD ADC C =∠∠=解得，，AC =54312DAC ππππ=--=∠，5sin sin sin sin cos cos sin 1243434343ππππππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；11sin 322ADC S AD AC DAC =⨯⨯∠=⨯=△综上，，三角形ADC .3C π=21．已知()1sin cos ,2cos ,2sin ,sin 2.2a x x b x θθ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ (1)若且 时，与的夹角为钝角，求的取值范围；),4(3c =- ()π,0,π4x θ=∈a c cos θ(2)若函数，求的最小值.π3θ=，()f x a b=⋅ ()fx 【答案】(1)；(1,(-⋃(2)12【分析】（1）根据给定条件，利用向量数量积及共线向量的坐标表示列式，求出范围作答.cos θ（2）利用数量积的坐标表示求出函数，再利用换元法结合二次函数性质求解作答.()f x【详解】（1）当时， ，与的夹角为钝角，π4x =)2cos a θ= a c 于是，且与不共线，0a c ⋅< a c则 ，解得，即，8cos 0a c θ⋅=-< cos θ<()0,πθ∈()cos 1,1θ∈-则有，又当与共线时，，解得1cos θ-<<a c 6cos 0θ=cos θ=因此与不共线时，，a c cos θ≠所以的取值范围是.cos θ(1,(-⋃（2）依题意，当时，π3θ=()()1sin cos ,1sin 2)2f x a b x x x =⋅=+⋅，1sin 2cos )sin cos 2x x x x x x x =+=++令，则，πsin cos [4t x x x =+=+∈21sin cos 2t x x -=于是，而函数在上为增函数，()(2211222t f x t -=+=-(2122y t =+-t ⎡∈⎣则当y 有最小值，t =12所以的最小值为()f x 1222．已知函数的部分图像如图所示，若，()4cos cos 1(0)3f x x x πωωω⎛⎫=⋅-- ⎪>⎝⎭288AB BC π⋅=- B ，C 分别为最高点与最低点．(1)求函数的解析式；()f x (2)若函数在，上有且仅有三个不同的零点，，，（），求实()y f x m =-130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦1x 2x 3x 123x x x <<数m 的取值范围，并求出的值．123 cos (2)x x x ++【答案】(1)()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)，m ⎡∈⎣12【分析】（1）化简函数为，设函数的周期为T ，得到，()2sin 26f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()f x ,24T AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，再根据求解；,42T BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 288AB BC π⋅=- （2）将问题转化为曲线与在上有且仅有三个不同的交点，设，由()y f x =y m =130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦26t x π=+与求解；再由，，得到求解.2sin y t =y m =12t t π+=233t t π+=12324t t t π++=【详解】（1）解：，)()2cos cos 1f x x x x ωωω=+-，2cos 2cos 1x x x ωωω=⋅+-，2cos 2x x ωω=+，2sin 26x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭设函数的周期为T ，则，，()f x ,24T AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ,42T BC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 则，228888T AB BC π⋅=-=- 所以．故，故，T π=22T ππω==1ω=所以．()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）由题意，函数在上有且仅有三个不同的零点，，，，()y f x m =-130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦1x 2x 3x 即曲线与在上有且仅有三个不同的交点．()y f x =y m =130,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦设，当时，．则，，26t x π=+130,12x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦7,63t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦2sin y t =7,63t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦则，，，m ⎡∈⎣12t t π+=233t t π+=所以，即，12324t t t π++=12322224666x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即，123523x x x π++=所以．12351cos(2)cos 32π++==x x x。

人教版一年级下学期期中考试数学试题一、口算（20分）1．口算12﹣9＝14﹣5＝4+9＝9+8＝15﹣5＝18﹣10＝59﹣9＝50+8＝10+40＝45﹣5＝30+5＝75﹣30＝57﹣40＝10+9＝20+5＝73﹣40＝19﹣9+3＝39﹣9+8＝15﹣9+2＝11﹣8+4＝二、填空（33分）2．个十和个一合起来是．3．里面有个十和一．4．根据计数器先写出得数，再比较大小．〇5．在计数器上先画出珠子，45〇1006．一个数从右边起第一位是位，第二位是位，第三位是位．7．最大的两位是，最大的一位数是，它们的差是．8．50里面有个十，10个一是，10个十是．9．46里面有个十和个一．10．个位上是2，十位上是8的数是．11．与70相邻的两个数是和．12．比91小，比88大的数是和．13．一个两位数的个位上是9，十位上是5，这个数写作是，读作是．14．选择合适的数填在圈里．48，76，45，64，49，83三、在正确答案下面画“√”（4分）15．在正确答案下面画“√”的价钱比30元少一些．多少元？10元27元32元16．在正确答案下面画“√”用同样长的小棒摆出1个长方形，最少要用多少根小棒？8根6根4根四、数图形．（8分）17．数图形．这辆小火车里有□，有△，有个〇，有个．五、看图列式．（16分）18．看图列式．（1）（2）（3）（4）六、解决问题（19分）．19．我养了8条小金鱼，我养的和你同样多．他们一共养了多少条小金鱼？20．一共要种86棵树，还剩6棵没有种，已经种了多少棵树？21．小伟有30本，小红有35本，小红比小伟多多少本？22．学校乒乓球队有16人，足球队有13人，篮球队有10人．（1）乒乓球队和篮球队一共有多少人？（2）请你再提出一个问题，并解答．答案与解析一、口算1．【分析】根据整数加减法的计算方法计算即可．整数加法计算法则:相同数位对齐，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一；整数减法计算法则:相同数位对齐，从低位减起，哪一位上的数不够减，就从它的前一位退一作十，和本位上的数合并在一起，再减．整数四则混合运算的顺序:同级运算时，从左到右依次计算；含有两级运算时，先算乘除，后算加减；有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的．【解答】解:12﹣9＝314﹣5＝94+9＝139+8＝1715﹣5＝1018﹣10＝859﹣9＝5050+8＝5810+40＝5045﹣5＝4030+5＝3575﹣30＝4557﹣40＝1710+9＝1920+5＝2573﹣40＝3319﹣9+3＝1339﹣9+8＝3815﹣9+2＝811﹣8+4＝7【点评】此题考查了整数加减法的计算方法，属于基本的计算，要注意运算符号和数据，然后再进一步计算．在平时注意积累经验，逐步提高运算的速度和准确性．二、填空（33分）2．【分析】1捆小棒是10，3捆即3个十，然后与4个一合起来，就是34．【解答】解:3个十和4个一合起来是34．故答案为:3，4，34．【点评】本题是考查整数的组成，关键是掌握数位顺序表．3．【分析】计数器标的是63，是由6个十和3个一组成．【解答】解:63里面有6个十和3个一；故答案为:6，3．【点评】此题考查的是数的组成，能够根据计数器说出各数，并能明确该数的组成．4．【分析】左图:十位上是6个珠子，个位上是3个珠子，按从高位到低位顺序即可写出这个数；右图:十位上是3个珠子，个位上是6个珠子，按从高位到低位顺序即可写出这个数．比较两个整数的大小，首先看这两个整数的位数是否相同，如果位数不同，位数多的大于位数少的，如果位数相同，从高位比较，高位上的数大则这个数大，高位上的数相同，就比较下一位．【解答】解:十位上是6个珠子，个位上是3个珠子，这个数是63；十位上是3个珠子，个位上是6个珠子，这个数是36．63＞36．故答案为:63，＞，36．【点评】此题考查了学生对计数器的认识，以及用计数器表示数的能力．5．【分析】45的十位上的数是4，所以十位上拨4个珠子，个位上的数是5，所以个位上拨5个珠子；100的百位上的数是1，所以百位上拨1个珠子，十位数和个位数都是0，不用拨珠子．再根据三位数大于两位数即可比较大小．【解答】解:故答案为:45＜100．【点评】此题考查了学生对计数器的认识，以及用计数器表示数的能力．6．【分析】根据整数数位顺序表进行解答即可．【解答】解:一个数从右边起第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位；故答案为:个，十，百．【点评】解答此题的关键是熟练掌握整数数位顺序表．7．【分析】最大的两位是99，最大的一位数是9，进而根据题意，用“99﹣9”解答即可．【解答】解:最大的两位是99，最大的一位数是9，它们的差:99﹣9＝90；故答案为:99，9，90．【点评】解答此题的关键:应明确最大的两位数和最大的一位数分别是多少，进而根据题意进行解答即可．8．【分析】根据十进制计数法，两个相邻单位间的进率都是十，据此即可解答．【解答】解:50里面有5个十，10个一是10，10个十是100．故答案为:5，10，100．【点评】本题考查了十进制计数法，每相邻的两个计数单位之间的进率都为十，注意相邻二字．9．【分析】根据数位顺序表中数位和它们对应的计数单位以及十进制的定义可以解决问题．【解答】解:4在十位上，表示4个十；6在个位上，表示6个一．故答案为:4；6．【点评】此题考查了数的组成．10．【分析】个位上是2，十位上是8，按从高位到低位顺序即可写出这个数．【解答】解:个位上是2，十位上是8的数是82．故答案为:82．【点评】本题是考查整数的读法和写法．整数的读、写都是从高位到低位．11．【分析】根据自然数的排列规律:相邻的自然数相差1，与70相邻的两个数分别是70﹣1、70+1．据此解答．【解答】解:70﹣1＝6970+1＝71答:与70相邻的两个数是69和71．故答案为:69，71．【点评】此题考查的目的是理解自然数的意义，掌握自然数的排列规律．12．【分析】根据相邻的两个自然数相差1进行数数即可得出结果．【解答】解:从88开始一个一个的数，数到91，即88、89、90、91．所以比91小，比88大的数是90、89．故答案为:90、89．【点评】本题主要考查了整数的读写，熟知相邻的两个自然数相差1是解答本题的关键．13．【分析】一个两位数的个位上是9、十位上是5，按从高位到低位顺序即可写出这个数；读这个数时按照从高位到低位的顺序读出即可．【解答】解:一个两位数的个位上是9，十位上是5，这个数写作是59，读作是五十九．故答案为:59、五十九．【点评】本题是考查整数的读法和写法．整数的读、写都是从高位到低位．14．【分析】找到十位是4的数填写即可；找到比50大的数填写即可．【解答】解:【点评】考查了整数的认识和整数大小的比较，解题的关键是看清题目的要求．三、在正确答案下面画“√”15．【分析】根据整数大小比较的分，当几个数的位数相同时，从最高位开始比较，最高位上大的数就大，如果最高相同，再比较次高位，依此类推．【解答】解:因为32大于30，所以排除32 元；又因为30比10大很多，所以排除10元，因为30比27大一些，所以书包的价格是27元．故答案为:10元27元32元√【点评】此题考查的目的是理解掌握整数大小比较的方法及应用．16．【分析】用同样长的小棒摆出1个长方形，最少是长2宽1，即需要（2+1）×2＝6根小棒．【解答】解:（2+1）×2＝6（根）8根6根4根√【点评】解答此题的关键是明确长方形的特征．四、数图形．17．【分析】正方形、长方形都是由四条线段围成的图形，所以都是四边形，圆是由曲线围成的封闭图形；由3条首尾相连的线段围成的图形叫做三角形，据此即可解答．【解答】解:根据分析可得，这辆小火车里有6□，有5△，有6个〇，有5个．故答案为:6、5、6、5．【点评】本题主要考查平面图形的分类及识别，熟练掌握正方形、长方形、三角形与圆的特征是解答本题的关键．五、看图列式．18．【分析】（1）根据图文中的信息，用8+5计算，即可得到一共有多少只大雁；（2）根据图文中的信息，用12﹣3计算，即可得到盒子中的苹果数量；（3）根据图文中的信息，用15﹣3﹣4计算，即可得到盒子中的苹果数量；（4）根据图文中的信息，用40+5计算，即可得到一共有多少根铅笔．【解答】解:（1）8+5＝13（只）答:一共有13只大雁；（2）12﹣3＝9（个）答:盒子中有9个苹果；（3）15﹣3﹣4＝12﹣4＝8（个）答:袋子中有8个苹果；（4）40+5＝45（根）答:一共有45根铅笔．【点评】本题是一道图文应用题，明确题意，从图文中获取解答问题的信息是解答本题的关键．六、解决问题（19分）．19．【分析】我养了8条小金鱼，我养的和你同样多，所以你养了8条小金鱼．求一共养了多少条小金鱼，用加法计算即可．【解答】解:8+8＝16（条）答:他们一共养了16条小金鱼．【点评】此题考查了整数加法的应用，要根据题意准确找出两个加数．20．【分析】一共要种86棵树，还剩6棵没有种，求已经种了多少棵树，用减法计算，是86﹣6＝80（棵）．【解答】解:86﹣6＝80（棵）答:已经种了80棵树．【点评】此题考查了整数减法的应用，要根据题意准确找出被减数和减数．21．【分析】用小红的本数减去小伟的本数，列式计算可求小红比小伟多多少本．【解答】解:35﹣30＝5（本）答:小红比小伟多5本．【点评】考查了整数的减法，关键是根据题意正确列出算式进行计算求解．22．【分析】（1）把乒乓球队和篮球队的人数相加即可求解；（2）问题:足球队比篮球队多多少人？把足球队和篮球队的人数相减即可求解．【解答】解:（1）16+10＝26（人）答:乒乓球队和篮球队一共有26人．（2）足球队比篮球队多多少人？13﹣10＝3（人）答:足球队比篮球队多3人．【点评】考查了整数的加法和减法，关键是根据题意正确列出算式进行计算求解．。

一年级下册数学期中测试卷 多套试卷一、 直接写出得数（20分）17 – 8 = 11– 3 = 24 + 5 = 60 + 22 –2 = 41 + 20 = 7 + 62 = 68 – 5 = 78 – 50 + 30 = 89 – 7 = 6 + 8 = 16－9 = 65 –60+ 80 = 90 – 10= 50 + 38 = 54 – 40 = 78 – 5 – 30 = 29 + 40 = 15 – 8 = 30 + 60 = 32+ 50 –40 = 二、填空（36分） 1、（6分）（ ）个十和（ ）个一 （ ）里面有（ ）个十 合起来是（ ）。

和（ ）个一。

290 703、50里面有（ ）个十，10个十（ ）。

46里面有（ ）个十和（ ）个一。

个位上是2，十位上是8的数是（ ）。

4、比70小1的数是（ ），70比（ ）小1。

最大的两位数是（ ）。

最小的两位数是（ ）。

5（4分）45+2 63－20 63－6、（1）根据计数器先写出得数， （2）在计数器上先画出算珠， 再比较大小。

（3分） 再比较大小。

（3分）（ ） （ ） 45 10048 52 54百 十 个百 十 个 百 十 个 百 十 个 百 十 个7、选择合适的数填在圈里。

（6分）48 76 45 64 49 83十位上是4的数单数比50大的数三、数一数，填一填。

（10分）四、在正确答案下面画“√”（8分）（1）用两个可以拼成下面哪个图形？（2）的价钱比30元少一些。

一个书包多少元？10元29元32元（3）草莓80个苹果可能有多少个？( )个( )个( )个( )个( )个20个 65个 90个（4）小明有连环画37本，故事书比连环画多一些，故事书有多少本？33本 41本 78本五、解决实际问题（6分＋20分）1、 ？个15个 ？个 2、白兔有20只，黑兔有多少只？3、原来有多少本书？（ ） 借走24本书还剩30本书 白兔和黑兔一共有26只4、已经栽了多少棵树？5、小兔和小猪一共跳了多少下？（ ）（ ）一共要栽86棵树还要栽4棵 正好栽完。

绝密★考试结束前2023学年第二学期浙里特色联盟期中联考高一年级数学学科试题（答案在最后）考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。

3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。

4．考试结束后，只需上交答题纸。

选择题部分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．集合{}24A x x =≤<，集合{}2560B x x x =-+>，则集合A B = （）A ．()2,4B ．()2,3C ．()3,4D ．[)2,32．已知i 是虚数单位，则复数202433i 2i z =+在复平面内所对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．设,,αβγ是三个不同平面，且l αγ= ，m βγ= ，则“l m ∥”是“αβ∥”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若命题00:,0p x y ∃>，有220000x y x y +=且00x y ≠，则命题p ⌝为（）A ．22,0,x y x y xy ∀>+≠且x y =B ．22,0,x y x y xy ∀>+≠或x y =C ．22,0,x y x y xy ∀≤+≠且x y=D ．22,0,x y x y xy ∀≤+≠或x y=5．已知向量,a b，满足5a = ，6b = ，6a b ⋅=- ，则cos ,a a b += （）A ．3135-B ．1935-C ．1735D ．19356．已知函数()1sin cos 4f x x x =+，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的周期为πB ．()f x 的图象关于直线π2x =对称C ．1π,4⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心D ．()f x 在区间ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增7．如图，透明塑料制成的长方体容器1111ABCD A B C D -内灌进一些水，固定容器底面一边BC 于地面上，再将容器绕边BC 倾斜．随着倾斜度的不同，在下面四个命题中错误．．的是（）（1）（2）（3）A ．没有水的部分始终呈棱柱形B ．棱11A D 始终与水面所在平面平行C ．水面EFGH 所在四边形的面积为定值D ．当容器倾斜如图（3）所示时，BE BF ⋅是定值8．已知ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3a =，()cos 2cos a B c b A =-，则ABC △面积的最大值为（）A ．4B ．2C ．94D ．92二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。

高一数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：北师大版必修第二册第一章至第四章第二节．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在平行四边形ABCD 中，AC BC -=（）A.DAB.BDC.BAD.DC【答案】D 【解析】【分析】根据平面向量加减法规则求解.【详解】如图，根据平面向量的加法规则有：,AB BC AC AC BC AB DC+=∴-==；故选：D.2.下列函数为偶函数且在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数的是（）A.()sin f x x= B.()tan =f x x C.()cos f x x = D.()f x x=【答案】C 【解析】【分析】根据函数的性质逐项分析.【详解】对于A ，()sin f x x =是奇函数；对于B ，()tan f x x =是奇函数；对于C ，()cos f x x =是偶函数，并且在π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时是减函数；对于D ，()f x x =是偶函数，但在0x >时是增函数；故选：C.3.已知()0,1A 、(),3B m 、()4,7C 三点共线，则m =（）A.13-B.13C.43D.2【答案】C 【解析】【分析】求出AB 、AC，可知//AB AC uuu r uuu r ，利用平面向量共线的坐标表示可求得实数m 的值.【详解】因为()0,1A 、(),3B m 、()4,7C ，则(),2AB m =，()4,6AC = ，因为A 、B 、C 三点共线，则//AB AC uuu r uuu r ，所以86m =，即43m =．故选：C.4.已知一扇形的面积为8，所在圆的半径为2，则扇形的周长为（）A.6B.8C.10D.12【答案】D 【解析】【分析】根据扇形面积公式求弧长，进而求扇形的周长.【详解】由题知：由扇形的面积182S rl ==，且2r =，l 为弧长，所以弧长2882l ⨯==，则扇形的周长为2l r +=12．故选：D5.已知,,a b c 分别为ABC 三个内角,,A B C 的对边，且2cos 3a Cbc =+，则ABC 是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.钝角三角形【答案】D 【解析】【分析】正弦定理和两角和的正弦公式，化简得到2cos sin sin 03A C C +=，进而得到2cos 3A =-，得到ππ2A <<，即可求解.【详解】因为2cos 3a Cbc =+，由正弦定理得2sin cos sin sin 3A C B C =+，又因为πA C B +=-，可得sin sin()sin cos cos sin B A C A C +A C =+=，所以2cos sin sin 03A C C +=，因为(0,π)C ∈，可得sin 0C >，所以2cos 3A =-，又因为(0,π)A ∈，所以ππ2A <<，所以ABC 为钝角三角形.故选：D.6.已知cos1,sin1,tan1a b c ===，则（）A.a b c <<B.c b a <<C.b c a <<D.c a b<<【答案】A 【解析】【分析】利用三角函数单调性结合中间值2,12即可比较大小.【详解】因为函数sin y x =在π(0,)2上单调递增，所以π21sin1sin42b >=>=，因为函数cos y x =在π(0,)2上单调递减，所以π20cos1cos42a <=<=，因为函数tan y x =在π(0,)2上单调递增，所以πtan1tan14c =>=，所以212a b c <<<<，即a b c<<.故选：A7.如图，一艘船向正北方向航行，航行速度为每小时1039海里，在A 处看灯塔S 在船的北偏东3sin 4θθ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭的方向上．1小时后，船航行到B 处，在B 处看灯塔S 在船的北偏东3θ的方向上，则船航行到B 处时与灯塔S 之间的距离为（注：sin 2sin()sin cos cos sin 2sin cos θθθθθθθθθ=+=+=）（）A.103海里B.203海里C.1013海里D.2013海里【答案】B 【解析】【分析】借助正弦定理求解三角形.【详解】由题意得，在ABS 中，BAS θ∠=，1039AB =，32BSA θθθ∠=-=．由正弦定理有sin sin AB BS BSA BAS =∠∠，代入数据得1039sin 2sin BS θθ=，解得539cos BS θ=．因为3sin 4θ=，所以13cos 4θ=，203BS =（海里）．故选：B8.彝族图案作为人类社会发展的一种物质文化，有着灿烂的历史．按照图案的载体大致分为彝族服饰图案、彝族漆器图案、彝族银器图案等，其中蕴含着丰富的数学文化．如图1所示的漆器图案中出现的“阿基米德螺线”，该曲线是由一动点沿一条射线以等角速度转动所形成的轨迹，这些螺线均匀分布，将其简化抽象为图2所示，若以OA 为始边，射线OA 绕着点O 逆时针旋转，终边与OB 重合时的角为α，终边与OE 重合时的角为β，终边与OH 重合时的角为γ，则cos cos cos αβγ++的值为（）A.1B.33-C.1-D.0【答案】D 【解析】【分析】根据题意可得,,αβγ，然后结合余弦的和差角公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由已知得2π9α=，2π8π2π2π49939β=⨯==+，2π14π4π2π79939γ=⨯==+，所以2π2π2π4π2πcos cos cos coscos cos 93939αβγ⎛⎫⎛⎫++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π2π2π2π2π4π2π4π2πcos cos cos sin sin cos cos sin sin 939393939=+-+-2π12π32π12π32πcoscos sin cos sin 0929292929=---+=．故选:D二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数π()cos 25x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则（）A.()f x 的图象关于2π,05⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B.()f x 的图象关于直线8π5x =对称C.3π5f x ⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 D.()f x 为偶函数【答案】BC 【解析】【分析】利用余弦型函数的图象及其性质，逐一分析选项即可．【详解】因为π()cos 25x f x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，2πππcos 10555f ⎛⎫⎛⎫-=-+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 错误；8π4ππcos 1555f ⎛⎫⎛⎫=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 正确；3π13πππcos cos sin 5255222x x f x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以()f x 是奇函数，C 正确；易知()()f x f x -≠，所以()f x 不是偶函数，D 错误．故选：BC10.在△ABC 中，1AB =，2AC =，2π3A =，5BC CD =，E 为AC 的中点，则（）A.4BD DC=B.6155AD AC AB=- C.1AB AC ⋅= D.3910AD BE ⋅=【答案】BD 【解析】【分析】利用向量的线性运算可得AB 选项正误；利用向量的数量积公式可得CD 选项正误.【详解】因为5BC CD = ，所以6BD CD =，故A 错误；由向量加法的三角形法则，可得()66615555AD AB BD AB BC AB AC AB AC AB =+=+=+-=-，故B 正确；由数量积公式得：2πcos 13AB AC AB AC ⋅=⋅=- ，故C 错误；6113955210AD BE AC AB AC AB ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，故D 正确．故选：BD11.已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，若2a =，π4A =，b x =，满足此条件的三角形只有一个，则x 的值可能为（）A.2B.2C.22D.3【答案】ABC 【解析】【分析】由正弦定理及三角函数的图象与性质可判定结果.【详解】由正弦定理得2πsin sin4xB =，则22sin x B =，又3π0,4B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且满足条件的三角形只有一个，即x 有唯一的角与其对应，所以ππ0,24B ⎧⎫⎛⎤∈⎨⎬ ⎥⎩⎭⎝⎦，故{}(]22sin 220,2x B =∈ ．故选：ABC ．12.已知函数sin cos ()22sin cos x xf x x x+=+，则（）A.()y f x =的图象关于直线π4x =对称 B.()y f x =的图象关于点π,04⎛⎫-⎪⎝⎭对称C.()f x 既是周期函数又是奇函数 D.()f x 的最大值为12【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，验证π()2f x f x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭即可；对于B ，验证π()2f x f x ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭即可；对于C ，找反例ππ()()44f f -≠-即可判断；对于D ，令sin cos t x x =+，则原函数可化为21ty t =+，分0,0t t =≠结合基本不等式即可判断.【详解】对于A ，因为ππsin cos πsin cos 22()ππ222sin cos 22sin cos 22x x x x f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪+⎛⎫⎝⎭⎝⎭-=== ⎪+⎛⎫⎛⎫⎝⎭+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()y f x =的图象关于直线π4x =对称．A 正确．对于B ，因ππsin cos πsin cos 22()ππ222sin cos 22sin cos 22x x x x f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫--+-- ⎪ ⎪--⎛⎫⎝⎭⎝⎭--===- ⎪+⎛⎫⎛⎫⎝⎭+---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()y f x =的图象关于点π,04⎛⎫-⎪⎝⎭对称，B 正确．对于C ，ππ22sin()cos()π4422()0ππ42222sin()cos()224422f -+--+-===+---⨯⨯，ππ22sincos π24422()ππ432222sin cos 224422f ++===++⨯⨯，则ππ()()44f f -≠-，所以()f x 不是奇函数，C 错误．对于D ，令πsin cos 2sin [2,2]4t x x x ⎛⎫=+=+∈- ⎪⎝⎭，则212sin cos t x x =+，当0=t 时，0y =；当[2,0)t ∈-或(0,2]时，211111212t y t t t t t==≤=++⨯，当且仅当1t =时，等号成立，此时函数取得最大值12，D 正确．故选：ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13.函数()π2sin 135x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的最小正周期为__________，最小值为__________.【答案】①.6π②.3-【解析】【分析】利用正弦函数的性质求解．【详解】()f x 的最小正周期2π6π13T ==，最小值为2(1)1⨯--=－3.故答案为：6π；3-．14.已知函数()()πtan 34f x x ϕϕ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭的图象关于点π,09⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则ϕ=__________.【答案】π6-##1π6-【解析】【分析】由正切函数tan y x =的图象关于点(π,0),Z 2kk ∈对称求解．【详解】因为()()πtan 34f x x ϕϕ⎛⎫=+≤ ⎪⎝⎭的图象关于点π,09⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，所以Z π,32πk k ϕ-+=∈，所以ππ,Z 32k k ϕ=+∈，因为π4ϕ≤，所以π6ϕ=-.故答案为：π6-．15.已知M 为线段AB 上的任意一点，O 为直线AB 外一点，A 关于点O 的对称点为C ，B 关于点C 的对称点为D ，若OM xOC yOD =+，则3x y +=________．【答案】1-【解析】【分析】以,OA OB为基底，利用A ，B ，M 三点共线求解.【详解】因为A 关于点O 的对称点为C ，所以OC OA =- ，2BD BC = ，BC OC OB =-，又B 关于点C 的对称点为D ，所以222OD OB BC OC OB OA OB =+=-=--，又OM xOC yOD =+，所以()()2OM x y OA y OB =--+- ，因为A ，B ，M 三点共线，所以21x y y ---=，即31x y +=-；故答案为：1-16.如图，某公园内有一个边长为12m 的正方形ABCD 区域，点M 处有一个路灯，5m BM =，3sin 5MBQ ∠=，现过点M 建一条直路分别交正方形区域两边AB ，BC 于点P 和点Q ，若对五边形APQCD 区域进行绿化，则此绿化区域面积的最大值为________2m ．【答案】120【解析】【分析】设BP 和BQ 的长，使PBQ 的面积最小，即可使五边形APQCD 面积最大.【详解】设m BP x =，m BQ y =，（012x <<，012y <<），∵3sin 5MBQ ∠=，π0,2MBQ ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，∴π4sin sin cos 25PBM MBQ MBQ ⎛⎫∠=-∠=∠= ⎪⎝⎭，∴PBM 的面积为2114sin 52m 225PBM S BP BM PBM x x =⋅⋅⋅∠=⋅⋅⋅= ，MBQ V 的面积为21133sin 522m 52MBQ y BM BQ M S BQ y =⋅⋅⋅∠=⋅⋅⋅= ，∵PBQ 的面积PBQ PBM MBQ S S S =+ ，∴13222xy x y =+，即43xy x y=+∵012x <<，012y <<，∴由基本不等式得4324343xy x y x y xy =+≥⋅=，解得43xy ≥，即48xy ≥，当且仅当43x y =，即6x =，8y =时，等号成立，∴PBQ 的面积的最小值为()2min14824m 2PBQS =⨯= ，∴五边形APQCD 面积的最大值()2max min14424120m PB D Q ABC S S S =-=-= ．故答案为：120.四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知222c a b ab =++．（1）求角C ；（2）若47c =，ABC 的周长为1247+，求sin sin A B +．【答案】（1）2π3C =（2）32128【解析】【分析】（1）由余弦定理计算即可；（2）由正弦定理计算即可.【小问1详解】由余弦定理可得222222cos c a b ab C a b ab =+-=++，解得1cos 2C =-，因为C 是ABC 的一个内角，故2π3C =【小问2详解】因为47c =，ABC 的周长为647+，所以6a b +=，由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==，可得87sin sin sin 3a b c A B C +==+解得321sin sin 28A B +=18.已知平面向量()1,2a = ，()0,1b =- ，a c ⊥ ，且3b c ⋅= ．（1）求c 的坐标；（2）求向量- a c 在向量b上的投影向量的模．【答案】（1）()6,3-（2）5【解析】【分析】根据向量数量积的定义，投影向量的定义和坐标运算规则求解.【小问1详解】设(),c x y = ，因为a c ⊥ ，所以20x y +=，又3b c y ⋅=-= ，解得6x =，=3y -，所以()6,3c =-；【小问2详解】()5,5a c -=- ，所以()5a c b -⋅=- ，则向量- a c 在向量b 上的投影向量的模为()5a c b b-⋅= ；综上，()6,3c =- ，向量- a c 在向量b上的投影向量的模为5.19.已知角θ的始边为x 轴非负半轴,终边过点(1,2)A -.（1）求3ππcos 2sin 22sin(2π)22cos()θθθθ⎛⎫⎛⎫-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭---的值.（2）已知角α的始边为x 轴非负半轴,角θ和α的终边关于y 轴对称,求πsin 6α⎛⎫-⎪⎝⎭的值.【答案】（1）2-（2）3236-【解析】【分析】（1）由三角函数定义得sin ,cos θθ值,然后由诱导公式化简后代入计算;（2）写出,θα关系,求出sin ,cos αα的值,再代入两角差的正弦公式求解即可.【小问1详解】由题可知3OA =,则63sin ,cos ,tan 233θθθ==-=-,所以3ππcos 2sin sin 2cos tan 2222sin(2π)22cos()sin 22cos tan 22θθθθθθθθθθ⎛⎫⎛⎫-+++ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭===--------.【小问2详解】因为角θ和α的终边关于y 轴对称,所以6sin 3α=,3cos 3α=,所以π31323sin sin cos 6226ααα-⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭.20.赵爽是我国古代数学家，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成）．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形．已知sin 2sin CAF ACF ∠=∠．（1）证明：F 为AD 的中点；（2）求向量AC 与BE 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）714【解析】【分析】（1）由sin 2sin CAF ACF ∠=∠得CF 2AF =，再根据全等三角形性质可得AF CE =，从而可得2CF CE =，继而得出E 为CF 的中点，F 为AD 的中点，从而得证.（2）设1AC = ，由向量的线性运算可得4677BE AC AB =- ，分别求出,,BE AC BE AC ⋅ 的值，由向量AC 与BE 夹角的余弦值为BE AC BE AC⋅ 得出结论.【小问1详解】证明：因为sin 2sin CAF ACF ∠=∠，所以由正弦定理得CF 2AF =．又因为AFC BDA CEB ≌≌△△△，所以AF CE =，所以2CF CE =，即E 为CF 的中点，所以F 为AD 的中点.【小问2详解】设1AC = ，()()111242BE BF BC BA BD BC =+=++ ，所以111422BE BA BE BC ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ，则24467777BE BA BC AC AB =+=- ，所以224616483627774949497BE AC AB AC AC AB AB ⎛⎫=-=-⋅+= ⎪⎝⎭．又24646177777BE AC AC AB AC AC AB AC ⎛⎫⋅=-⋅=-⋅= ⎪⎝⎭，所以向量AC 与BE 夹角的余弦值为714BE AC BE AC ⋅= ．21.如图，在平面四边形ABCD 中，4AC =，BC CD ⊥．（1）若2AB =，3BC =，15CD =，求△ACD 的面积；（2）若2π3B ∠=，π6D ∠=，求3162AD BC ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭的最大值．【答案】（1）7154（2）463【解析】【分析】（1）先用余弦定理求出cos ACB ∠，再利用面积公式求解；（2）设BCA θ∠=，运用正弦定理分别表示出,BC AD ，再利用恒等变换以及三角函数的性质求解.【小问1详解】在ABC 中，22216947cos 22438AC BC AB ACB AC BC +-+-∠===⋅⨯⨯，因为BC CD ⊥，所以7sin cos 8ACD ACB ∠=∠=，所以ACD 的面积117715sin 4152284S AC CD ACD =⋅⋅∠=⨯⨯⨯=；【小问2详解】设BCA θ∠=，π03θ<<，则π2ACD θ∠=-，π3BAC θ∠=-．在ABC 中，2ππsin sin 33BC AC θ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，则8πsin 33BC θ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，在ACD 中，ππsin sin 62AD AC θ=⎛⎫- ⎪⎝⎭，则8cos AD θ=，所以31438π4cos sin 62333AD BC θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭434346πcos sin sin 3334θθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，当π4θ=时，3162AD BC ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭取得最大值463；综上，ACD 的面积为7154，3162AD BC ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭的最大值463.22.已知函数()()[]2sin (0,0,2π)f x x ωϕωϕ=+>∈的部分图象如图所示.（1）求()f x 的解析式；（2）将函数()f x 图象的横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，再向左平移π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()πg x λ+在区间π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，求正数λ的取值范围.【答案】（1）()π2sin 6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（2）170,1,22⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【解析】【分析】（1）根据图中的点的坐标求出参数值即可求出函数解析式；（2）先通过图象变换求出函数解析式，然后利用函数无零点建立不等式关系即可求解.【小问1详解】因为()02sin 1f ϕ==，可得1sin 2ϕ=，因为()f x 在0x =处附近单调递增，所以6πϕ=，所以()π2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为()ππ2sin π16f ω⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以π1sin π,62ω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭因为()f x 在πx =处附近单调递减，且当0x >时，()f x 在πx =处的第一次取值为12-，所以π7ππ66ω+=，可得1ω=.即()π2sin 6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭.【小问2详解】将()f x 图象的横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变，可得到π2sin 36x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再把π2sin 36x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π个单位长度，可得()()1ππ2sin π2sin 2cos 36323x x g x x ⎡⎤⎛⎫=++=+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的图象，则()ππ2cos 33x g x λλ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，由()πg x λ+在区间π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点可得3ππ22T λ=≥，解得06λ<≤，因为π,π2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以πππππ,336333x λλλ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭，则ππππ632ππππ332k k λλ⎧+≥-+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，k ∈Z ，解得15632k k λ-+≤≤+，k ∈Z ，由06λ<≤，可得170,1,22λ⎛⎤⎡⎤∈⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦，即正数λ的取值范围为170,1,22⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦.。

XXX2014-2015学年下学期高一年级期中数学试卷。

后有答案XXX2014-2015学年下学期高一年级期中数学试卷试卷分为两卷，卷(I)100分，卷(II)50分，共计150分。

考试时间：120分钟。

卷(I)一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.若实数a，b满足a>b，则下列不等式一定成立的是（）A。

a^2<b^2B。

1/a<1/bC。

a^2>b^2D。

a^3>b^32.等差数列{an}中，若a2=1，a4=5，则{an}的前5项和S5=（）A。

7B。

15C。

20D。

253.不等式（1/x-1）>1的解集为（）A。

{x>1}B。

{x<1}C。

{x>2}D。

{x<2}4.△ABC中，三边a，b，c的对角为A，B，C，若B=45°，b=23，c=32，则C=（）A。

60°或120°B。

30°或150°C。

60°D。

30°5.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-1（n∈N*），则a5=（）A。

32B。

31C。

16D。

156.等差数列{an}中，an=6-2n，等比数列{bn}中，b5=a5，b7=a7，则b6=（）A。

42B。

-42C。

±42D。

无法确定7.△ABC中，若∠ABC=π/2，AB=2，BC=3，则sin∠BAC=（）A。

4/5B。

3/10C。

5/10D。

1/108.计算机是将信息转换成二进制进行处理的，所谓二进制即“逢二进一”，如（1101）2表示二进制的数，将它转换成十进制数的形式是1×23+1×22+0×21+1×2=13，那么将二进制数（11.1）2转换成十进制数是（）{共9位}A。

512B。

511C。

256D。

2559.不等式①x2+3>3x；②a2+b2≥2(a-b-1)；③ba+≥2，其中恒成立的是（）A。

保密★启用前数学(提高卷01)-2023-2024学年一年级数学下学期期中素养测评考试分数：100分；考试时间：60分钟注意事项：1．答题前，填写好自己的姓名、班级、考号等信息，请写在答题卡规定的位置上。

2．选择题、判断题必须使用2B铅笔填涂答案，非选择、判断题必须使用黑色墨迹签字笔或钢笔答题，请将答案填写在答题卡规定的位置上。

3.所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效。

4.考试结束后将试卷和答题卡一并交回。

一、用心思考，正确填空。

(共21分)1.(8分)爱心接力赛。

2.(3分)填一填。

()()()3.(2分)用2，4，9这三个数字组成不同的两位数，其中最大的数是()，最小的数是()。

4.(3分)在括号里填上“多得多”“少一些”或“少得多”。

筐里装了一些水果，苹果有24个，梨有21个，圣女果有97个。

梨比苹果()，圣女果比梨()，苹果比圣女果()。

5.(2分)分成两类：()；分成三类：()。

6.(3分)数一数，填一填。

有()个圆 有()个三角形 有()个正方形二、仔细思考，准确判断。

(共10分)7.(2分)一个长方形剪去一个正方形后，剩下的一定是长方形。

()8.(2分)一个数，个位和十位上都是5，这个数是55。

()9.(2分)把15、18、60、94、87按从大到小的顺序排列是：87>94>60>18>15。

()10.(2分)()11.(2分)淘气比妙想多做11道口算题，妙想说：“我再做11道口算题就和淘气一样多。

”()三、反复比较，谨慎选择。

(共10分)12.(2分)这道题求的是( )。

A.张兰和刘佳一共包了多少个？B.张兰比刘佳少包多少个？C.刘佳比张兰少包多少个？13.(2分)我们班有15人参加春游，我的前面有9人，我的后面有( )人。

A.6B.5C.414.(2分)小奇看到的是( )。

A.①B.②C.③15.(2分)小王有50本书，小张的书比小王多得多，小张可能有( )本。

2023/2024学年度第二学期 联盟校期中考试高一年级数学试题（总分150分 考试时间120分钟）注意事项：1. 本试卷中所有试题必须作答在答题纸上规定的位置，否则不给分.2. 答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题纸上.3. 作答非选择题时必须用黑色字迹0.5毫米签字笔书写在答题纸的指定位置上，作答选择题必须用2B 铅笔在答题纸上将对应题目的选项涂黑.如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，请保持答题纸清洁，不折叠、不破损.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数()()1i 2i z =−+的实部为（ ） A. 3iB. 3C. i −D. －12. sin 27cos18cos 27sin18°°+°°=（ ）A.B. C.D. 3. 在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足::3:4:6a b c =，则cos A 的值为（ ）A.14B. 14−C.4348D. 4348−4. 已知向量a ，b 的夹角为34π，a = ，1b = ，则a b += （ ）A. 1B.C.D. 55. 在ABC △中，cos cos a A b B =，则ABC △的形状为（ ） A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形6. tan 23tan 3723tan 37°+°°°=（ ）A.B.C.D. 7. 已知两个非零向量a 与b 的夹角为θ，我们把数量sin a b θ叫作向量a 与b 的叉乘a b × 的模，记作a b × ，即sin a b a b θ×=.若向量()2,4a = ，()3,1b =− ，则a b ×=（ ） A. －14B. 14C. －2D. 28. 在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，已知6A π=，则2sin cos B C −的取值范围为（ ）A. B. C. 32D. (二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若a =c =，4A π=，则C 的值可以是（ ） A.56πB.23π C.34π D.3π10. 已知cos α=3cos 5β=，其中,2παπ∈，0,2πβ ∈ ，以下判断正确的是（ ）A. 4sin 25α=B. 7cos 225β=−C. ()cos αβ−D. ()sin αβ+11. 已知a ，b 是两个不共线的向量，且a = ，1b =，则下列结论中正确的是（ ）A. a b −的取值范围是)1−B. a b ≤⋅≤C. a 在b 0D. a b + 与a b − 的夹角最大值为3π三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知复数z 满足()()1i 1i z −=+，其中i 为虚数单位，则z =______.13. 如图，在ABC △中，13AN AC = ，P 是线段BN 上的一点，若17AP mAB AC =+，则实数m =______.14. 在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若()tan tan 2tan tan tan AB A BC =+，则222c a b =+______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）实数m 取什么值时，复数()()222356i z mm m m =−−+−−是：（1）实数？ （2）纯虚数？16.（15分）已知向量()1,2a = ，()3,b k =.（1）若a b ∥，求实数k 的值；（2）若()2a a b ⊥+，求实数k 的值.17.（15分）已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，且222b c a bc +−=. （1）求A ；（2）已知3a =，ABC △，且AD 为角A 的角平分线，求线段AD 的长.18.（17分）已知平面向量()sin ,cos a x x = ，),cos b x x − ，设函数()2f x a b =⋅.（1）求()f x 的最大值；（2）若在ABC △中()2f A =−，D 在BC 边上，且2BAD π∠=，22BD DC ==，求ABC △的周长.19.（17分）已知O 为坐标原点，对于函数()sin cos f x a x b x =+，称向量(),OM a b =为函数()f x 的伴随向量，同时称函数()f x 为向量OM的伴随函数.（1）设函数()4cos cos 1232x x g x π=−⋅−，试求()g x 的伴随向量OM ；（2）将（1）中函数()g x 的图像横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再把整个图像向左平移23π个单位长度，得到()h x 的图像，已知()2,3A −，()2,6B ，问在()y h x =的图像上是否存在一点P ，使得AP BP ⊥，若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由.。

高中学段一年级数学注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清晰。

3.请按照题序在各题的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效．．．．．．．．．．．；在草稿纸．．．．、试题卷上的答题无效．．．．．．．．．。

4.保持答题卡卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单选题（每题5分，共40分）1．集合{1,0,1}A =-，{|sin ,}B y y x x R ==∈则（）A ．AB B= B ．A B=C ．A B B⋃=D ．R A B=ð2．设向量(1,1)=- a x ，(3,1)b x =+ ，则a 与b一定不是（）A ．平行向量B ．垂直向量C ．相等向量D ．相反向量3．如图，在平行四边形ABCD 中，,AB a AD b == ，E 是CD 边上一点，且2DE EC =，则AE =（）A ．13a b+B ．23a b +C ．13a b +D ．23a b+ 4．已知,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且sin sin()sin ααββ=+，则tan α的最大值为（）A ．23B ．1C ．43D ．535．已知角α的顶点在坐标原点，始边在x 轴非负半轴上，且角α的终边上一点()12P -,，则sin α=（）A ．15B ．25-C ．255D ．255-6．已知函数()sin 12f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则A ．()f x 是偶函数，最大值为1B ．()f x 是偶函数，最大值为2C ．()f x 是奇函数，最大值为1D ．()f x 是奇函数，最大值为27．已知函数()2sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<，若将函数()f x 的图象向右平移π6个单位后关于原点中心对称，则下列结论中不正确的是（）A ．π3ϕ=B ．π12x =是函数()f x 图象的一条对称轴C ．π,03⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心D ．函数()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为3,2⎡⎤⎣⎦8．在ABC 中，内角A ，B ，C ，π06A <≤.若对于任意实数x ，不等式()22π2sin 22sin 14x A t A ⎡⎤⎛⎫+++⋅+≥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦恒成立，则实数t 的取值范围为（）A ．()2,11,2⎤⎡--⎦⎣U B ．2,11,2⎡⎤⎡⎤--⎣⎦⎣⎦C ．()(),11,-∞-⋃+∞D ．(][),11,-∞-⋃+∞二、多选题（每题5分，共20分）9．已知复数5i1i z -=-，则（）A ．13z =B ．z 在复平面内对应的点位于第一象限C ．32i z =-+D ．2512i z =+10．若函数()2cos (cos sin )f x x x x =-，则（）A ．()f x 的最大值是4B ．()f x 的最小正周期是πC ．()f x 的图象关于直线8x π=-对称D ．()f x 在区间37,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减11．已知函数()()ππ2sin 322f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线π4x =对称，则（）A ．若将()y f x =的图象向右平移π12个单位得到()y g x =，则函数()y g x =为偶函数B ．函数()f x 在ππ,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．函数()f x 的图象关于5π,012⎛⎫⎪⎝⎭中心对称D ．若()()124f x f x =-，则12x x -的最小值为π312．如图，在ABC 中，3BC AC =，60BAC ∠=︒，点D 与点B 分别在直线AC 两侧，且2AD =，23DC =，当BD 长度为何值时，ACD 恰有一解（）A ．6B ．46C ．215D ．63三、填空题（共20分）13．“2a >且2b >”是“4a b +>且4ab >”的______条件（填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要”）．14．已知f(α)＝()()()sin cos 2cos tan παπαπαα----，则f 313π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为________．15．在平面斜坐标系xOy 中，60xOy ∠=︒，平面上任一点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若12OP xe ye =+ （其中1e ，2e分别为x ，y 轴方向相同的单位向量），则P 的坐标为(),x y ，若P 关于斜坐标系xOy 的坐标为()2,1-，则OP =______16．已知当x θ=时，函数22()(1)sin cos (1)cos 2222x x x f x a a a =+--+-（a R ∈且1a >）取得最小值，则4tan 23θ=时，a 的值为__________．四、解答题（共70分）17．（1）已知()cos 2cos 2ππαα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭求2212cos sin sin cos αααα--的值（2）已知2sin cos 3ββ+=，且β为第四象限角，求sin cos ββ-的值.18．已知()2,3a =r，()1,2b =-r ，(),c m n = ，m n mn +=，()0,0m n >>.（1）求a b +；（2）求a c ⋅的最小值.19．设函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，已知函数()y f x =的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，且图象关于点π,08M ⎛⎫- ⎪⎝⎭对称.(1)求()f x 的单调区间；(2)求不等式()13f x -≤≤的解集.20．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()1,0A ，点B 在单位圆上，()0AOB θθπ∠=<<.(1)若点34,55B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，求tan 4πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值;(2)若()95OA OB OB +⋅= ，求2cos 23πθ⎛⎫-⎪⎝⎭.21．如图，某公园摩天轮的半径为40m ，点O 距地面的高度为50m ，摩天轮做逆时针匀速转动，每3分钟转一圈，摩天轮上的点P 的起始位置在最低点处．(1)已知在时刻t （分钟）时点P 距离地面的高度()()sin f t A t h ωϕ=++，0,2πωϕ⎛⎫>≤ ⎪⎝⎭，求2018分钟时刻点P 距离地面的高度；(2)当离地面50203m +以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园全貌？22．已知向量()2cos ,cos a x x = ，sin ,33b x π⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设函数()34f x a b =⋅+ ，x ∈R ．(1)求函数()f x 的单调增区间．(2)当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，方程12142fx m π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭有两个不等的实根，求m 的取值范围；(3)若方程()13f x =在()0,π上的解为1x ，2x ，求()12cos x x -．1．C由三角函数性质可知{}11B y y =-≤≤，又因为{}1,0,1A =-，所以A B B ⋃=.故选：C 2．C假设//a b，即(1)(1)30x x -+-=，2x =±，假设a b ⊥，即3(1)(1)0x x -++=，12x =，假设a b =，即1311x x -=⎧⎨=+⎩，无解，假设a b =-，即131(1)x x -=-⎧⎨=-+⎩，2x =-，故选：C ．3．D由题意2233DE DC AB ==，所以232323AE AD DE AD DC AD AB a b +=+=+=+= .故选：D.4．C因为sin sin sin()αβαβ=+，由积化和差公式可知2sin cos cos(2)ααβα=-+，则cos(2)cos 2sin βααα+=-，所以2(cos 2sin )1αα-≤，即2222cos 4sin 4sin cos 1sin cos αααααα+-≤+，即2214tan 4tan 1tan 1ααα+-≤+，即23tan 4tan 0αα-≤，解得40tan 3α≤≤，所以tan α的最大值为43，故选：C.5．D因为角α的终边过一点()12P -,，所以225s 2i 5n 12225y r α+-===-=-，故选：D ．6．B由题意，函数()sin 1cos 12f x x x π⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，则()cos()1cos 1()f x x x f x -=-+=+=，所以()f x 是偶函数；又由cos y x =的最大值为1，()f x \的最大值为2；故选：B.7．D解：将函数()f x 向右平移π6个单位后得π2sin 22sin 263y x x πϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦为奇函数.则ππ,3k ϕ-=Z k ∈，所以ππ+,3k ϕ=Z k ∈.又因为0πϕ<<，所以π3ϕ=，故A 正确.因为π3ϕ=，所以π()2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当π12x =时，maxπ()2sin 22sin 2()121232f f x πππ⎛⎫=⨯+=== ⎪⎝⎭，所以π12x =是函数()f x 图象的一条对称轴，故B 正确.当π3x =时，π()2sin 22sin 0333f πππ⎛⎫=⨯+== ⎪⎝⎭，所以π,03⎛⎫⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心，故C 正确.当π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,33x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以[]sin 20,13x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以[]2sin 20,23x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以，函数()f x 在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[0,2]，故D 错误.故选：D.8．D在ABC 中，π06A <≤，记2sin 4πm A ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则2sin 21A m =-，因为π06A <≤，所以54412πππA <+≤，(2sin 1,2A ⎤∈⎦，从而12m <≤，所以()22π2sin 22sin 14x A t A ⎡⎤⎛⎫+++⋅+≥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦可化为()()22211x m tm +++≥，即()2222242120x m x m t m m +++++≥恒成立，所以依题有()()22222441420m m t m m +-++≤，化简得221t m ≥，即得221t m ≥恒成立，又由22111212m m <⇒≤<≤，得211t t ≥⇒≥或1t ≤-.故选：D ．9．ABD5i (5i)(1i)64i32i 1i (1i)(1i)2z --++====+--+，故13z =，对应点(3,2)位于第一象限，32i z =-，222(32i)912i 4i 512i z =+=++=+.故选：ABD 10．BC2()2cos 2sin cos cos 2sin 212cos(2)14f x x x x x x x π=-=-+=++，∴()f x 最大值为21+，最小正周期为π，A 错误，B 正确；由cos y x =关于x k π=对称，令24x k ππ+=，则28k x ππ=-，当0k =时8x π=-，C 正确；由cos y x =在[2,2]k k ππ+π递减，令2224k x k ππππ≤+≤+，有388k x k ππππ-≤≤+，易知37,[38888,]k k ππππππ-+⎡⎤⊄⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ，D 错误.故选：BC 11．ACD对于A 选项，因为()()ππ2sin 322f x x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线π4x =对称，则()ππ3π42k k ϕ⨯+=+∈Z ，所以，()ππ4k k ϕ=-∈Z ，则π4ϕ=-，所以，()π2sin 34f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将()y f x =的图象向右平移π12个单位得到()y g x =，则()πππ2sin 32sin 32cos31242g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以，函数()y g x =为偶函数，A 对；对于B 选项，当ππ123x ≤≤时，则π3π0344x ≤-≤，所以，函数()f x 在ππ,123⎡⎤⎢⎥⎣⎦上不单调，B 错；对于C 选项，因为5π2sin π012f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于5π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，C 对；对于D 选项，因为()[]π2sin 32,24f x x ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，且()()124f x f x =-，则()()1222f x f x ⎧=-⎪⎨=⎪⎩或()()1222f x f x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，故12x x -的最小值为函数()f x 最小正周期的一半，即12minπ3x x -=，D 对.故选：ACD.12．ABD在ABC 中，设330BC AC m ==>，由余弦定理可得：2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠，则2221322m AB m mAB =+-´，即2220AB mAB m --=，解得2AB m =或AB m =-（舍去），则222AC BC AB +=，可得AC BC ⊥.在ACD 中，设ADC θ∠=，由余弦定理可得：2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅⋅∠，即24122223cos 1683cos m θθ=+-⨯⨯=-⋅，由正弦定理可得sin sin AD AC ACD ADC=∠∠，则sin 2sin sin AD ADC ACD AC m θ∠∠==，在BCD △中，由余弦定理可得：2222cos BD BC CD BC CD BCD =+-⋅⋅∠，则222π3122323cos 31212sin 2BD m m ACD m m ACD⎛⎫=+-⨯⋅+∠=++⨯∠ ⎪⎝⎭()π31683cos 1224sin 48sin 603θθθ⎛⎫=-⋅++=-+ ⎪⎝⎭，因为()0,πθ∈，则ππ2π,333θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，若ACD 恰有一解，则πππ,333θ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭或ππ32θ-=，可得()260243,60243BD ∈-+或2108BD =，()()()2263660243,60243,469660243,60243=∈-+=∈-+，()()222144160243,60243,63108525⎛⎫=∉--= ⎪⎝⎭，故A 、B 、D 正确，C 错误.故选：ABD.13．充分不必要若2a >且2b >，则由不等式的同向可加性可得：4a b +>，由不等式的同向正可乘性可得：224>⨯=ab ，即“2a >且2b >”是“4a b +>且4ab >”的充分条件，反之，“4a b +>且4ab >”，则“2a >且2b >”不一定成立，如110,2a b ==.所以，“2a >且2b >”是“4a b +>且4ab >”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要.14．－12∵f(α)＝sin cos cos tan αααα-＝－cos α，∴f 313π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－cos 313π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－cos 103ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos3π＝－12.15．3由题意122OP e e =-，2212112224441411cos 6013OP e e e e e e =-=-⋅+=⨯-⨯⨯⨯︒+= ，故答案为：3．16．3242tan 41tan 2tan 2tan 31tan 32θθθθθ=⇒==⇒=-或2-222111()(1)sincos (1)cos 2sin cos 2222222x x x a a a f x a a a x x a +--=+--+-=--+-22111sin()2(tan 0)221a a a x a a ϕϕ+--=--+-=>+当x θ=时，函数()f x 取得最小值：31112tan tan 2tan tan 2k πθϕπθϕϕθ-=+⇒=-⇒=-=或2-（舍去）11tan 312a a a ϕ-==⇒=+故答案为317．（1）；1-（2）143-.（1）由()cos 2cos 2ππαα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得cos 2sin αα-=，所以1tan 2α=-，22222222212cos sin cos 2cos sin cos sin sin cos sin sin cos sin sin cos ααααααααααααααα-+--==---2211tan 14111tan tan 42ααα--===--+.（2）22(sin cos )(sin cos )2ββββ++-=，所以2214(sin cos )2(sin cos )9ββββ-=-+=，又β为第四象限角，所以sin 0,cos 0ββ<>，所以14sin cos 3ββ-=-.18．（1）26a b += ；（2）526+.（1）()2,3a =r Q ，()1,2b =-r，()1,5a b ∴+=，26a b += ；（2）∵0m >，0n >，m n mn +=，∴111m n mn n m+=+=，()2,3a =rQ ，(),c m n = ，∴()112323235m n a c m n m n n m n m ⎛⎫⋅=+=++=++ ⎪⎝⎭526≥+，当且仅当23m n n m =，即612613m n ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩时等号成立，∴a c ⋅的最小值为526+.19．(1)单调递增区间：3πππ,π8282k k ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，无递减区间(2)ππππ,42242k kx x k ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z （1）由题意知，函数f (x )的最小正周期为T ＝2π，即2ππω=，因为ω>0，所以ω＝2，从而f (x )＝tan(2x ＋φ)，因为函数y ＝f (x )的图象关于点M ,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，所以2×8π⎛⎫- ⎪⎝⎭＋φ＝2k π，k ∈Z ，即φ＝2k π＋4π，k ∈Z .因为0<φ<2π，所以φ＝4π，故f (x )＝tan 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.令－2π＋k π<2x ＋4π<2π＋k π，k ∈Z ，得3244k x k k Z ππππ-+<<+∈，，即38282k k x k Zππππ-+<<+∈，所以函数的单调递增区间为3,8282k k ππππ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，k ∈Z ，无单调递减区间．（2）由（1）知，f (x )＝tan 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭.由－1≤tan 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤3，得2443k x k k πππππ-+≤+≤+∈，Z ，即42242k k x k ππππ-+≤≤+∈，Z 所以不等式－1≤f (x )≤3的解集为42242k k xx k ππππ⎧⎫-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣，.20．(1)17-;(2)243750-(1)由三角函数定义，得445tan 335θ==--，∴41tan tan134tan 4471tan tan 143πθπθπθ-++⎛⎫+===- ⎪⎛⎫⎝⎭--- ⎪⎝⎭.(2)∵()95OA OB OB +⋅= ，∴295OA OB OB ⋅+= ，即4cos 5θ=，∴23sin 1cos 5θθ=-=，∴24sin 22sin cos 25θθθ==，27cos 22cos 125θθ=-=，∴2132437cos 2cos 2sin 232250πθθθ-⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭.21．(1)70m(2)0.5分钟（1）由题意知：40A =，50h =，3T =，223T ππω∴==；又()040sin 5010f ϕ=+=，即sin 1ϕ=-，又2πϕ≤，2πϕ∴=-；()()240sin 50032f t t t ππ⎛⎫∴=-+≥ ⎪⎝⎭；()25201840sin 20185040sin 5070326f πππ⎛⎫∴=⨯-+=+= ⎪⎝⎭，即2018分钟时点P 所在位置的高度为70m .（2）由（Ⅰ）知：()()2240sin 505040cos 0323f t t t t πππ⎛⎫=-+=-≥ ⎪⎝⎭；令()50203f t >+，240cos2033t π∴->，即23cos 32t π<-，解得：()52722636k t k k N πππππ+<<+∈，即()573344k t k k N +<<+∈；75133442k k ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，∴转一圈中有0.5分钟时间可以看到公园全貌．22．(1)()5,,Z 1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；(2)[)3,4m ∈；(3)23.(1)由题意可知，()2133cos sin cos 3cos 224f x x x x x ⎛⎫=⋅+-+ ⎪ ⎪⎝⎭()2133133sin cos cos sin 21cos 2224444x x x x x =⋅-+=-++131sin 2cos 2sin 24423x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，由222,Z 232k x k k πππππ-+≤-≤+∈，可得5,Z 1212k x k k ππππ-+≤≤+∈，∴函数()f x 的单调增区间为()5,,Z 1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；(2)令()2sin 246g x f x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，令26r x π=+，则5,66r ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦且sin y r =在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，若使得方程12142f x m π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭有两个不等的实根则需函数()g x 与112y m =-有两个交点即sin y r =，5,66r ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦与112y m =-有两个交点，所以1,12112m ∈-⎡⎫⎪⎢⎣⎭，即[)3,4m ∈；(3)由()0,x π∈，令23t x π=-，则5,33t ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭所以115sin 2sin ,,23233y x t t πππ⎛⎫⎛⎫=-=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又因为14sin ,,233y t t ππ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭时，图象关于2t π=对称，且31,42y ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭，45,33t ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，图象关于32t π=对称，且13,24y ⎛⎫∈-- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()13f x =等价于114sin ,,2333t t ππ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭，设12,t t 为1sin 2y t =与13y =的两交点的横坐标，则12t t π+=， 1x ，2x 为方程()13f x =的两个解，∴122sin 2sin 2333x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即122233x x πππ-+-=，即1256x x π+=，2156x x π=-，所以()1211152cos cos 2cos 2sin 263233x x x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.。

2021-2022学年浙江省金华市高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知复平面内，()2i z -对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B【分析】设()i ,z a b a b R =+∈，然后对()2i z -化简，结合()2i z -对应的点位于虚轴的正半轴上可求出,a b 的范围，从而可求出复数z 对应的点所在的象限【详解】设()i ,z a b a b R =+∈，所以()()()2i i 22i a b a b b a -+=++-，则2020a b b a +=⎧⎨->⎩，即22b a a b =-⎧⎨<⎩，所以a<0，0b >，故该点在第二象限， 故选：B ．2．平行四边形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点（靠近B ），则EF =（ ） A ．1123AB AD - B ．1142AB AD + C ．1132AB AD +D ．1223AB AD -．【答案】D【分析】用向量的加法和数乘法则运算.【详解】由题意：点E 是DC 的中点，点F 是BC 的一个三等分点，∴11122323EF ED DA AB BF AB AD AB AD AB AD =+++=--++=-.故选：D.【点睛】方法点睛：解题时可根据加法法则，从向量的起点到终点，然后结合向量的数乘运算即可得.3．已知向量()63,9a t =+，()42,8b t =+，若//1132b a a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎭+⎝⎭⎝，则t =（ ）A ．1-B ．12-C ．12D ．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t 的值． 【详解】向量()63,9a t =+，()42,8b t =+， 所以()63,1113a b t =++， ()1242,5a b t =+-，又//1132b a a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-⎭+⎝⎭⎝，所以()()56311420t t +-+=，解得12t =-．故选：B ．4．已知矩形ABCD 的一边AB 的长为4，点M ，N 分别在边BC ，DC 上，当M ，N 分别是边BC ，DC 的中点时，有()0AM AN BD +⋅=.若AM AN x AB y AD +=+，x +y ＝3，则线段MN 的最短长度为（ ） A ．3 B ．2C ．23D ．22【答案】D【分析】先根据M ，N 满足的条件，将()0AM AN BD +⋅=化成,AD AB 的表达式，从而判断出矩形ABCD 为正方形；再将AM AN x AB y AD +=+，左边用,AD AB 表示出来，结合x +y ＝3，即可得NC +MC ＝4，最后借助于基本不等式求出MN 的最小值.【详解】当M ，N 分别是边BC ，DC 的中点时，有()1122AM AN BD AD AB BD AB AD ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+⋅=+++⋅ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()()2233022AD AB AB AD AD AB =+⋅-=-= 所以AD ＝AB ，则矩形ABCD 为正方形，设,NC AB MC AD λμ==，则()()11AM AN AB AD AB AD xAB yAD μλ+=+-+-+=+则2,2x y λμ=-=-，又x +y ＝3，所以λ+μ＝1.故NC +MC ＝4，则MN =（当且仅当MC ＝NC ＝2时取等号）.故线段MN 的最短长度为故选：D.5．若z C ∈且342z i ++≤，则1z i --的最大和最小值分别为,M m ，则M m -的值等于（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．9【答案】B【分析】根据复数差的模的几何意义可得复数z 在复平面上对应的点的轨迹，再次利用复数差的模的几何意义得到,M m ，从而可得M m -的值. 【详解】因为342z i ++≤，故复数z 在复平面上对应的点P 到134z i =--对应的点A 的距离小于或等于2， 所以P 在以()3,4C --为圆心，半径为2的圆面内或圆上， 又1z i --表示P 到复数21z i =+对应的点B 的距离，故该距离的最大值为222AB +==，最小值为22AB -，故4M m -=. 故选：B.【点睛】本题考查复数中12z z -的几何意义，该几何意义为复平面上12,z z 对应的两点之间的距离，注意12z z +也有明确的几何意义（可把12z z +化成()12z z --），本题属于中档题.6．已知球的半径为R ，一等边圆锥.(圆锥母线长与圆锥底面直径相等)位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（ ）A ．234R π B ．294R π C 2 D 2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r ，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r ，由圆锥的表面积公式可得所求．【详解】如图，设圆锥的底面半径为r ， 则圆锥的高为3r ， 则222(3)R r r R =+-， 解得32r R =， 则圆锥的表面积为2223S r r r r πππ=+⋅=22393()24R R ππ==， 故选：B ．【点睛】关键点睛：解决本题的关键是通过建立等式得到32r R =. 7．农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（ ）．A 162B 326C 1282D 5126【答案】D【分析】考虑当丸子与六面体各个面都相切时的情况，利用等体积的方法求解出此时丸子的半径，则最大体积可求解出.【详解】六面体每个面都是等边三角形且每个面的面积142S =⨯⨯=，所以四面体的体积为13⨯=2， 根据图形的对称性可知，若内部丸子的体积最大，则丸子与六个面都相切，连接丸子的球心与六面体的五个顶点，将六面体分为六个三棱锥，设此时丸子的半径为R ，所以163R ⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭，所以R =，所以丸子的体积为343π⨯=⎝⎭， 故选：D.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在于分析丸子与六面体的位置关系以及采用等体积法求解丸子的半径，本例中六面体是规则对称图形，其体积的计算方式有两种：（1）13⨯底面积⨯高，求解体积；（2）利用丸子的半径作为高，六面体的每个面作为底面，求六个三棱锥的体积之和即为六面体体积.8．已知半球O 与圆台OO '有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（ ）A B C D 【答案】D【分析】根据题意画出图形，设BC x =，CO r '=，作CF AB ⊥于点F ，延长OO '交球面于点E ，则由圆的相交弦定理可得((211r =⋅，从而可求得212x r =-，进而可表示出圆台的侧面积，求出其最大值，从而可得,x r 的值，然后在Rt CFB △求出圆台母线与底面所成角的余弦值即可【详解】如图1所示，设BC x =，CO r '=，作CF AB ⊥于点F ，延长OO '交球面于点E ，则1BF r =-，OO CF '===2得CO O D ''⋅=()()11O E O H OO OO ''''⋅=+⋅-，即((211r =⋅，解得212x r =-，则圆台侧面积()2π11022x S x x ⎛⎫=⋅+-⋅<< ⎪⎝⎭，则'2322S x ππ=-，令'0S =，则233x =或233x =-（舍去），当2303x <<时，'0S >，当2323x <<时，'0S <，所以函数2π112x S x ⎛⎫=⋅+-⋅ ⎪⎝⎭在230,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上递增，在23,23⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上递减， 所以当233x =时，S 取得最大值． 当233x BC ==时，21123x r =-=，则213BF r =-=．在轴截面中，OBC ∠为圆台母线与底面所成的角，在Rt CFB △中可得3cos 3BF OBC BC ∠==， 故选：D ．【点睛】方法点睛：本题是立体几何中最值的综合性问题．旋转体的问题常需正确做出轴截面图进行分析，最值问题要注意“选元”“列式”“讨论最值”三个环节，考查线面角的余弦值，属于较难题二、多选题9．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若22a b bc =+，则角A 可为（ ） A ．34πB ．4π C ．712π D ．23π 【答案】BC【分析】利用余弦定理化简可得cos 2c bA b；分别验证各个选项中的A 的取值，根据0c >可确定正确选项.【详解】由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，又22a b bc =+，2222cos b bc b c bc A ∴+=+-，整理可得：cos 2c bA b； 对于A ，2cos 2c b A b -==(120c b =<，A 错误；对于B ，2cos 22c b A b -==，则()12c b =+，B 正确； 对于C ，26cos 24c b A b --==，则22602c b +-=>，C 正确；对于D ，1cos 22c b A b -==-，则0c ，D 错误. 故选：BC.10．如图，四边形ABCD 为直角梯形，∠D ＝90°，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则下列结论正确的是（ ）A ．12AC AD AB =+ B ．1122MC AC BC =+ C ．12BC AD AB =- D ．14MN AD AB =+【答案】ABC【分析】直接由向量的加减法法则、平面向量基本定理即可解决问题. 【详解】由12AC AD DC AD AB =+=+，知A 正确； 由1()2CM CA CB =+，得()12MC AC BC =+知B 正确；由12BC MD AD AM AD AB ==-=-知C 正确； 由N 为线段DC 的中点知1124MN MA AD AD AB =+=-，知D 错误； 故选：ABC .11．下列说法正确的有（ ）A ．任意两个复数都不能比大小B ．若()i ,z a b a R b R =+∈∈，则当且仅当0a b 时，0z =C ．若12,z z C ∈，且22120z z +=，则120z z ==D ．若复数z 满足1z =，则2i z +的最大值为3 【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可. 【详解】解：对于A 选项，当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A 不正确；对于B 选项，复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B 正确；对于C 选项，当121,i z z ==，满足22120z z +=，但120z z ==，所以C 不正确；对于D 选项，复数z 满足1z =，则复数z 在复平面内的轨迹为单位圆，则2i z +的几何意义，是单位圆上的点到()0,2-的距离，它的最大值为3，所以D 正确； 故选：BD.12．如图，已知1111ABCD A B C D -为正方体，E ，F 分别是BC ，1A C 的中点，则（ ）A ．()11110AC A B A A ⋅-=B ．()2211116B A B B B CCD ++=C ．向量1A B 与向量1AD 的夹角是60︒ D ．异面直线EF 与1DD 所成的角为45︒【答案】ABD【分析】在正方体1111ABCD A B C D -中，以点A 为坐标原点，分别以AB 、AD 、1AA 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断，即可得出结果.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，以点A 为坐标原点，分别以AB 、AD 、1AA 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则()0,0,0A ，()10,0,2A ，()2,0,0B ，()12,0,2B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()10,2,2D所以()12,2,2AC =-，()11112,0,2B A A B A A -==， 因此()111111440AC A A B B A A A C ⋅-=⋅=-=；故A 正确；又()()()1111112,0,20,2,22,2,4B A B B B C B A B C ++=+=--+-=--，()2,0,0CD =-， 所以()21111441624B A B B B C++=++=，2246CD =，因此()2211116B A B B B CCD ++=，即B 正确；因为()12,0,2A B =-，()10,2,2AD =， 所以1111111cos ,24A AD A AD A AD B B B ⋅<>===-，因此向量1A B 与向量1AD 的夹角是120︒；故C 错；因为E ，F 分别是BC ，1A C 的中点，所以()2,1,0E ，()1,1,1F ，则()1,0,1EF =-，又()10,0,2DD =， 所以111cos ,1EF DD EF DD EF DD ⋅<>===+ 又异面直角的夹角大于0︒且小于等于90︒，所以异面直线EF 与1DD 所成的角为45︒；即D 正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛： 立体几何体中空间角的求法：（1）定义法：根据空间角（异面直线所成角、线面角、二面角）的定义，通过作辅助线，在几何体中作出空间角，再解对应三角形，即可得出结果；（2）空间向量的方法：建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量，平面的法向量，通过计算向量夹角（两直线的方法向量夹角、直线的方向向量与平面的法向量夹角、两平面的法向量夹角）的余弦值，来求空间角即可.三、填空题13．已知向量()1,2a =-，()21,1b m =-，且a b ⊥，则2a b -=__________. 【答案】5【分析】由已知可得32m =，()2,1b =，代入即可求出答案.【详解】由a b ⊥可得，0a b ⋅=，即()2120m --+=，解得32m =，()2,1b =， 所以()()()21,24,25,0a b -=--=-， 所以()2255a b -=-.故答案为：5.14．已知复数集合{i |1,1,,}A x y x y x y R =+≤≤∈221133{|(i),}44B z z z z A ==+∈，其中i 为虚数单位，若复数z A B ∈，则z 对应的点Z 在复平面内所形成图形的面积为________【答案】72【分析】先由复数的几何意义确定集合A 所对应的平面区域，再确定集合B 所对应的平面区域，由复数z A B ∈⋂，可得复数z 对应的点Z 在复平面内所形成图形即为集合A 与集合B 所对应区域的重叠部分，结合图像求出面积即可.【详解】因为复数集合{i |1,1,,}A x y x y x y R =+≤≤∈，所以集合A 所对应的平面区域为1x =±与1y =±所围成的正方形区域；又221133{|,}44B z z i z z A ⎛⎫==+∈ ⎪⎝⎭，设1z a bi =+，且1a ≤,1b ≤, ,a b R ∈， 所以()()()21333333444444z i z i a bi a b a b i ⎛⎫⎛⎫=+=++=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设2z 对应的点为(),x y ，则()()3434x a b y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，所以3232a x y b y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，又1a ≤,1b ≤，所以33223322x y y x ⎧-≤+≤⎪⎪⎨⎪-≤-≤⎪⎩， 因为复数z A B ∈⋂，z 对应的点Z 在复平面内所形成图形即为集合A 与集合B 所对应区域的重叠部分，如图中阴影部分所示，由题意及图像易知：阴影部分为正八边形，只需用集合A 所对应的正方形区域的面积减去四个小三角形的面积即可.由321x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得112B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，由321x y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩得112C ⎛⎫⎪⎝⎭，， 所以11172242222S =⨯-⨯⨯⨯=阴影.故答案为72【点睛】本题主要考复数的几何意义，以及不等式组所表示平面区域问题，熟记复数的几何意义，灵活掌握不等式组所表示的区域即可，属于常考题型.15．正五角星是一个与黄金分割有着密切联系的优美集合图形，在如图所示的正五角星中，A ，B ，C ，D ，E 是正五边形的五个顶点，且512MN AM -=，若QN a =，则N C M P +=__________（用a 表示）.51+ 【分析】使用平面向量线性运算知识进行求解即可.【详解】由已知，结合正五角星的图形，有 M NM CP A NM NM MA NA +=+=+=，∵NA 与QN 方向相同，5151NANA AM QN MN QN +====- ∴515122CP NA QN N a M +++===. 51+. 16．如图，平面ABC ⊥平面BCDE ，四边形BCDE 为矩形，BE ＝2，BC ＝4，ABC 的面积为3点P 为线段DE 上一点，当三棱锥P ﹣ACE 的体积为33时，DP DE ＝__． 【答案】34 【分析】过A 作AF ⊥BC 的延长线，垂足为F ，证明AF ⊥平面BCDE ，再由已知求得AF ，进一步求出三棱锥D ﹣ACE 的体积，利用P ACE D ACE V PE DE V --=求得PE DE，进一步得到答案. 【详解】解：如图，过A 作AF ⊥BC 的延长线，垂足为F ，∵平面ABC ⊥平面BCDE ，平面ABC ∩平面BCDE ＝BC ，∴AF ⊥平面BCDE ，由BE ＝2，BC ＝4，ABC 的面积为23，得1232BC AF ⋅=， ∴AF ＝3，则1132D ACE A CDE V V DE BE AF --==⨯⨯⨯⨯ ＝1132⨯⨯4×2×4333=； ∵1132P ACE A PCE V V PE BE AF --==⨯⨯⨯⨯＝33． ∴3134433P ACE D ACE V PE DE V --===，则34DP DE =．故答案为：34．四、解答题17．已知向量()2sin ,1m A =，()sin ,3n A A =-，m n ⊥，其中A 是ABC 的内角.（1）求角A 的大小；（2）若角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且a =0AB BC ⋅>，求b c +的取值范围. 【答案】（1）3A π=；（2）32b c ⎫+∈⎪⎪⎝⎭. 【解析】（1）由m n ⊥和三角恒等变换可得答案；（2）由0AB BC ⋅>和3A π=可得223B ππ<<，然后由正弦定理可得2sin sin 36b c B B B ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后利用三角函数的知识可得答案. 【详解】（1）因为()22sin sin 32sin cos 31cos 223m n A A A A A A A A ⋅=-=+-=--2sin 2206A π⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， 即有2262A k πππ-=+，（Z k ∈），3A k ππ=+，（Z k ∈）， 又A 为ABC 的内角，所以3A π=；（2）由0AB BC ⋅>，得B ∠为钝角，从而223B ππ<<由正弦定理，得21sin sin sin 3b c B C π=== 所以sin b B =，2sin sin 3c C B π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则2sin sin 36b c B B B ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 又223B ππ<<，所以25366B πππ<+<，则32b c ⎫+∈⎪⎪⎝⎭18．如图，在OAB 中，点P 为直线AB 上的一个动点，且满足13AP AB =，Q 是OB 中点.（Ⅰ）若()0,0O ，()1,3A ，8,03B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且13ON OA =，求NQ 的坐标和模 （Ⅱ）若AQ 与OP 的交点为M ，又OM tOP =，求实数t 的值.【答案】（Ⅰ）()1,1ON =-，2NQ =；（Ⅱ）3t 4=. 【分析】（Ⅰ）由12OQ OB =，根据13ON OA =，求得4,03OQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1,13ON ⎛⎫= ⎪⎝⎭，进而求得向量NQ 坐标，进而求得向量NQ 的模；（Ⅱ）因为13AP AB =，得到2133OP OA OB =+，进而得到233t t OM OA OB =+和()12OM OA OB μμ=-+，即可求解.【详解】（Ⅰ）由Q 是OB 中点，可得12OQ OB =， 又由13ON OA =，且()1,3A ，8,03B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可知4,03OQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭，1,13ON ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()1,1NQ OQ ON =-=-且()22112NQ =+-=. （Ⅱ）如图所示，因为13AP AB =，所以()13OP OA OB OA -=-， 可以化简为：2133OP OA OB =+， 又OM tOP =，所以2123333t t OM tOP t OA OB OA OB ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭ ① 不妨再设AM AQ μ=，即()()1OM OA OQ OA OM OA OQ μμμ-=-⇒=-+， 由Q 是OB 的中点，所以12OQ OB =，即()12OM OA OB μμ=-+ ② 由①②，可得213t μ-=且23t μ=，解得3t 4=.19．已知复数()()21211i,221i(R,i 2z a z a a a =+-=++∈+是虚数单位). (1)若复数12z z -在复平面上对应点落在第一象限，求实数a 的取值范围；(2)若虚数1z 是实系数一元二次方程2440x x m -+=的根，求实数m 值.【答案】(1)322a -<<- (2)5m =【分析】（1）求出12z z -，由其对应点的坐标列不等式求解；（2）1z 也是方程的根，根据韦达定理先求得a ，再求得m ．【详解】（1）由已知得到()2121223i 2z z a a a -=-+--+，因为在复平面上对应点落在第一象限，所以21202230a a a ⎧->⎪+⎨⎪-->⎩，解得32231a a a ⎧-<<-⎪⎨⎪><-⎩或，所以32;2a -<<- （2）因为虚数1z 是实系数一元二次方程2440x x m -+=的根，所以1z 是方程的另一个根，所以11212z z a +==+，所以0a =， 所以1111i,i 22z z =-=+， 所以11544m z z ⋅==，所以5m =. 20．如图所示，四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为平行四边形，AD =DC =AC ，且CP ⊥平面P AD ，E 为AD 的中点.(1)证明：AD ⊥平面PCE ；(2)若3PA AD =，求二面角A ﹣PC ﹣E 的余弦值. 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）由题意证得AD ⊥CE ，AD ⊥CP ，再由线面垂直的判定定理即可证明；（2）以点E 为坐标原点，EA 为x 轴，EC 为y 轴，过点E 作垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面PCE 和平面PAC 的法向量，再由二面角的向量公式代入即可得出答案.【详解】（1）证明：如图，连接AC ，∵AD =DC =AC ，∴△ADC 为等边三角形，∵点E 为AD 的中点，∴AD ⊥CE ，∵CP ⊥平面P AD ，AD ⊂平面P AD ，∴AD ⊥CP ，∵CP ∩CE =C ，CP ，CE ⊂平面PCE ，∴AD ⊥平面PCE .（2）如图，以点F 为坐标原点，EA 为x 轴，EC 为y 轴，过点E 作垂直于平面ABCD 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，则E （0，0，0），设点A （1，0，0），则C （00），由（1）知AD ⊥平面PCE ，设P （0，y ，z ），（y >0，z >0），3,12PA ADPA PC =∴==， )2222131y z y z ⎧++=⎪∴⎨+=⎪⎩，解得y z P ⎛=∴ ⎝⎭，()360,,,1,33PC AC ⎛⎫∴=-=- ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面PAC的法向量(),,m x y z =，则3030m PC y m AC x ⎧⋅==⎪⎨⎪⋅=-=⎩，取1y =，得3,1,m ⎛= ⎝⎭， 由（1）知，平面PCE 的一个法向量()1,0,0EA =，设二面角A PC E --的平面角为θ，则二面角A PC E --的余弦值为：cos 1m EAm EA θ⋅===⋅⨯21．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1ACC1⊥平面ABC，△ABC和△A1AC都是正三角形，D是AB的中点（1）求证：BC1∥平面A1DC；（2）求直线AB与平面DCC1所成角的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）23.【分析】（1）连接AC1，交A1C于E，连接DE，由中位线的性质知DE∥BC1，再由线面平行的判定定理得证；（2）建立空间直角坐标系，计算平面DCC1的法向量，利用线面角的向量公式，即得解【详解】（1）证明：连接AC1，交A1C于E，连接DE，∵四边形A1ACC1是平行四边形，∴E是AC1的中点，∵D是AB的中点，∴DE∥BC1，∵DE⊂平面A1DC，BC1 平面A1DC，∴BC1∥平面A1DC.（2）取AC的中点O，连接A1O，BO，∵△ABC 和△A 1AC 都是正三角形，∴A 1O ⊥AC ，BO ⊥AC ，∵平面A 1ACC 1⊥平面ABC ，平面A 1ACC 1∩平面ABC ＝AC ，∴A 1O ⊥平面ABC ，∴A 1O ⊥BO ，以O 为原点，OB 、OC 、OA 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AC ＝2，则A （0，﹣1，0），B （3，0，0），C （0，1，0），D （32，12-，0），C 1（0，2，3）， ∴AB ＝（3，1，0），CD ＝（32，32-，0），1DC ＝（32-，52，3）， 设平面DCC 1的法向量为n ＝（x ，y ，z ），则100n CD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即33022353022x y x y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩， 令x ＝3，则y ＝3，z ＝﹣1，∴n ＝（3，3，﹣1），设直线AB 与平面DCC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos ＜AB ，n ＞|＝|||||AB n AB n ⋅⋅|＝|3332931+⨯++|＝2313， 21cos 1sin 13θθ=-=∴tan θ＝23，故直线AB 与平面DCC 1所成角的正切值为23.22．如图，在四棱柱C ABEF -中，平面ABEF ⊥平面ABC ，ABC 是边长为2的等边三角形，//AB EF ，90ABE ∠=︒，1BE EF ==，点M 为BC 的中点．（Ⅰ）求证：//EM 平面ACF ；（Ⅱ）求二面角E BC F --的余弦值．（Ⅲ）在线段EF 上是否存在一点N ，使直线CN 与平面BCF 若存在求出EN 的长，若不存在说明理由．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ；（Ⅲ）线段EF 上是存在一点N ，||1EN =，使直线CN与平面BCF 【分析】（Ⅰ）取AC 中点P ，连结MP 、FP ，推导出四边形EFPM 是平行四边形，从而//FP EM ，由此能证明//EM 平面ACF ;（Ⅱ）取AB 中点O ，连结CO ，FO ，推导出FO ⊥平面ABC ，OC AB ⊥，以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OF 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E BC F --的余弦值；（Ⅲ）假设在线段EF 上是存在一点N ，使直线CN 与平面BCF 所成的角正弦EN t =．利用向量法能求出结果． 【详解】（Ⅰ）证明：取AC 中点P ，连结MP 、FP ，ABC ∆是边长为2的等边三角形，//AB EF ，90ABE ∠=︒，1BE EF ==，点M 为BC 的中点， //EF MP =∴，∴四边形EFPM 是平行四边形，//FP EM ∴， EM ⊂/平面ACF ，FP ⊂平面ACF ，//EM ∴平面ACF ．（Ⅱ）解：取AB 中点O ，连结CO ，FO ，在四棱柱C ABEF -中，平面ABEF ⊥平面ABC ，ABC ∆是边长为2的等边三角形，//AB EF ，90ABE ∠=︒，1BE EF ==，点M 为BC 的中点，FO ∴⊥平面ABC ，OC AB ⊥，以O 为原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OF 为z 轴，建立空间直角坐标系，(0B ，1，0)，C 0，0)，(0E ，1，1)，(0F ，0，1)， (3BC =1-，0)，(0BE =，0，1)，(0BF =，1-，1)，设平面BCE 的法向量(n x =，y ，)z ， 则·30·0n BC x y n BE z ⎧=-=⎪⎨==⎪⎩，取1x =，得(1n =0)， 设平面BCF 的法向量(m a =，b ，)c ，则·30·0m BC a b m BF b c ⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩，取1a =，得(1,3,m =，设二面角E BC F --的平面角为θ， 则||427cos ||||747m n m n θ===． ∴二面角E BC F --的余弦值为277． （Ⅲ）解：假设在线段EF 上是存在一点N ，使直线CN 与平面BCF 所成的角正弦值为2121，设||EN t =． 则(0N ，1t -，1)，(3CN =-，1t -，1)，平面BCF 的法向量(1,3,3)m =，2|||33|21|cos ,|21||||4(1)7CN m t CN m CN m t -∴<>===+-，解得212t =-， ∴线段EF 上是存在一点N ，2||12EN =-，使直线CN 与平面BCF 所成的角正弦值为2121．【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足正弦值的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。

2021-2022学年度第二学期期中考试一年级数学试题考试日期：2022年5月26日出题人：石京林审题人：严振宇本试卷考试时间为120分钟，满分为150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数113i-的虚部是（）A ．310-B ．110-C ．110D ．3102．已知向量()1,1a =r，()2,4b =r ，则()a b a -⋅= （）A ．-14B ．-4C ．4D ．143．如图所示，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA B C '''的面积为4，则该平面图形的面积为（）AB ．C ．D ．4．现有同底等高的圆锥和圆柱，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆锥的侧面积为（）A ．3πB ．3π2C D5．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为A ．15B C D ．26．在正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别是1111,,BB DD A B 的中点，则下列说法中错误的是（）A ．1B D //平面11A FC B ．CE //平面11A FC C ．GE //平面11A FC D ．AE //平面11A FC7．在ABC 中，已知2,45a b A ===，则满足条件的三角形（）A ．有2个B ．有1个C ．不存在D ．无法确定8．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为1BB 的中点，则平面1A ED 与平面ABCD 夹角的余弦值为A ．12B ．23C D ．2二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（）A ．a 与b 是非零向量，则a 与b 同向是a b =的必要不充分条件B ．,,A BC 是互不重合的三点，若AB 与BC共线，则,,A B C 三点在同一条直线上C ．a 与b 是非零向量，若a 与b 同向，则a与b - 反向D ．设,λμ为实数，若a b λμ= ，则a 与b共线10．下列说法正确的是（）A ．梯形的四个顶点共面B ．三条平行直线共面C ．有三个公共点的两个平面重合D ．三条直线两两相交，可以确定1个或3个平面.11．下列命题错误的是（）A ．三角形中三边之比等于相应的三个内角之比B ．在ABC 中，若sin sin A B >，则A B>C ．在ABC 的三边三角共6个量中，知道任意三个，均可求出剩余三个D ．当2220b c a +->时，ABC 为锐角三角形；当2220b c a +-=时，ABC 为直角三角形；当2220b c a +-<时，ABC 为钝角三角形12．如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个结论，其中正确的结论的是（）A ．三棱锥1A D PC -的体积不变B ．1//A P 平面1ACDC ．1DP BC ^D ．平面1PDB ^平面1ACD 二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．i 是虚数单位，则复数()()3i 2i z =+-在复平面所处的象限是__________.14．在锐角三角形ABC 中，若2,3,6a b A π===，则cos B =__________.15．已知,a b为单位向量，且a b ⋅=0，若2c a = ，则cos ,a c <>= ___________.16．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17．设复数z 满足()5i 1z z -=+，其中i 是虚数单位.(1)求z ；(2)求i z -.18．如图所示，在ABC 中，1,,3AQ QC AR AB BQ ==与CR 相交于点I .(1)用AB 和AC分别表示BQ 和CR ；(2)若AI m AB n AC =+，求实数m 和n 的值.19．如图，直四棱柱ABCD–A 1B 1C 1D1的底面是菱形，AA1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB1，A1D 的中点.（1）证明：MN ∥平面C1DE ；（2）求点C 到平面C1DE 的距离．20．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a，b ABC 的面积；（2）若sin AC ，求C .21．如图，AB 是O 的直径，PA 垂直于O 所在的平面，C 是圆周上不同于,A B 的一动点.(1)证明：PBC 是直角三角形；(2)若2PA AB ==，且直线PC 与平面ABC①求AC 的长；②求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值.22．已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，其面积2224b c a S +-=．（1）若a =，b =cos B ．（2）求()()sin sin cos cos A B B B B A +++-的最大值．1．D 【分析】利用复数的除法运算求出z 即可.【详解】因为1131313(13)(13)1010i z i i i i +===+--+，所以复数113z i=-的虚部为310.故选：D.【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.2．B 【分析】由条件算出a b -，进而由公式算出()a b a -⋅ .【详解】()1,1a =r Q ，()2,4b =r，()1,3a b ∴-=-- ，()()()11314a b a ∴-⋅=-⨯+-⨯=-.故选：B 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的坐标运算，考查了学生的基本运算能力.3．C 【解析】由原图的面积是直观图面积的.【详解】已知直观图OA B C '''的面积为4,所以原图的面积为4=，故选：C 【点睛】本题主要考查了斜二测画法，切要掌握原图的面积是直观图面积的.4．D由已知条件知，圆锥的高h 和底面直径2r 都为2，即可求圆锥的母线长l ，利用圆锥侧面积公式S rl π=求面积即可.【详解】同底等高的圆锥和圆柱，圆柱的轴截面是边长为2的正方形，知：圆锥的高h 和底面直径2r 都为2，∴圆锥的母线长为：l ==，有侧面积S rl π==.故选：D 【点睛】本题考查了圆锥侧面积的求法，结合圆柱、正方形的性质，并应用了圆锥侧面积公式S rl π=，属于简单题.5．C 【详解】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.详解：以D 为坐标原点，DA,DC,DD 1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则11(0,0,0),(1,0,0),D A B D ,所以11(AD DB =-=,因为111111cos ,5AD DB AD DB AD DB ⋅==，所以异面直线1AD 与1DB所成角的余弦值为C.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.6．C 【分析】连接11B D 和11A C 相交于点O ，根据线面平行的判定定理可判断ABD ，根据GE //1A B 可判断C.解：如图所示，连接11B D 和11A C 相交于点O ，则O 为11A C ，11B D 的中点.对于A ，连接OF ，则OF //1B D ,因为OF ⊂平面11A FC ，1B D ⊄平面11A FC ，所以1B D //平面11A FC ，故A 正确；对于B ，易知CE //1A F ,因为1A F ⊂平面11A FC ，CE ⊄平面11A FC ，所以CE //平面11A FC ，故B 正确；对于C ，因为GE //1A B ,所以GE 与平面11A FC 相交，故C 错误；对于D ，易知AE //1C F ,因为1C F ⊂平面11A FC ,AE ⊄平面11A FC ，所以AE //平面11A FC ，故D 正确.故选:C.7．A 【分析】根据正弦定理得，再结合正弦函数的性质和三角形的边角关系判断解的个数.【详解】由正弦定理可得sin sin a bA B=，又2,45a b A ===2=sin 2B =，因为a b <，所以B A >,又(0,)B π∈所以π3B =或2π3B =∴满足条件的三角形有2个．故选：A.8．B 【分析】先以A 点为原点，AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面1A ED 与平面ABCD 的一个法向量，根据向量夹角余弦值，即可得出结果.【详解】以A 点为原点，AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，则()10,0,1A ，11,0,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,1,0D ，∴1(0,1,1)A D =- ，11(1,0,)2=- A E，设平面1A ED 的一个法向量为1(1,,)n y z =，则有111100A D n A E n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即01102y z z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩∴22y z =⎧⎨=⎩∴1(1,2,2)n = .∵平面ABCD 的一个法向量为2(0,0,1)n =，∴|12121222cos ,313⋅<>===⨯n n n n n n ，即平面1A ED 与平面ABCD 夹角的余弦值为23.故选：B 【点睛】本题主要考查求二面角的余弦值，熟记空间向量的方法求解即可，属于常考题型.9．ABC 【分析】A 选项：根据相等向量的定义即可判断；B 选项：根据向量共线的性质，可知A 、B 、C 三点共线；C 选项：a 与b 同向，则a与b - 反向，显然正确;D 选项：如果0λμ==，则无法得知a 与b共线.a 与b 同向，但a 不一定与b 相等，∴a b ≠ ，若a b =，则a 与b 同向，且有a =b ，∴a 与b 同向是a b =的必要不充分条件，A 正确.AB 与BC 共线，则有AB=BC λ ，故一定有,,A B C 三点在同一条直线上，B 正确.a 与b 同向，则a与b - 反向，C 正确.0λμ==时，a 与b不一定共线，D 错误.故选：ABC 10．AD 【分析】根据四个共面的条件：即：①三个不在一条直线上点必会共面；②一条直线和这直线外一点必共面；③两条直线相交，则它们必共面；④两条平行直线必共面。

2021-2022学年山东省聊城市聊城第一中学高一下学期期中数学试题一、单选题1．己知是虚数单位，复数，下列说法正确的是（ ）i 1i 1iz -=+A ．的虚部为B ．的共轭复数对应的点在第三象限z zC ．的实部为1D ．的共轭复数的模为1z z 【答案】D【分析】首先求出复数，从而根据实部虚部的概念即可直接判断AC 选项，然后求出z =，结合模长公式以及复数在复平面所对应点的特征即可判断BD 选项.z，所以，=z ==所以的虚部为A 错误；z，其对应的点是，在第一象限，故B 错误；zC 错误；z，故D 正确，z 1=故选：D.2．已知为三条不重合的直线，是两个不重合的平面，给出下列四个说法：,,a b c ,αβ①，则；,a b αα∥∥a b ②，则；,a b b c ∥∥a c ③，则；,a αβα∥∥a β∥④，则.,,a b a b αα⊄∥∥a α其中正确的是（ ）A ．①④B ．①②C ．②④D ．③④【答案】C【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系对各选项逐一判断即可．【详解】对①，，则，可以平行、相交或异面，故①不正确；,a b αα∥∥a b 对②，根据平行线的传递性，可知②正确；对③，，则或，故③不正确；,a αβα∥∥a β∥a β⊂对④，根据线面平行的判定定理，可知④正确．故选：C3．下列命题中正确的个数是（ ）①起点相同的单位向量，终点必相同；②已知向量，则四点必在一直线上；AB CD∥,,,A B C D ③若，则；,a b b c∥∥a c ∥④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【分析】由平面向量的概念对选项逐一判断，【详解】对于A ，单位向量的方向不确定，故起点相同的单位向量，终点不一定相同，故A 错误，对于B ，向量，则四点共线或，故B 错误，AB CD∥,,,A B C D //AB CD 对于C ，若，当时，不一定平行，故C 错误，,a b b c∥∥0b = ,a c 对于D ，若三点共线，则，此时起点不同，终点相同，故D 错误，,,A B C //AC BC故选：A 4．已知复数是纯虚数，则实数（ ）()()1i 1i z λ=-++λ=A ．B ．C ．0D ．12-1-【答案】B【分析】由纯虚数的定义得出实数.λ【详解】，因为复数是纯虚数，所以，且，()()i11z λλ+-=+()()1i 1i z λ=-++10λ+=10λ-≠解得.1λ=-故选：B5．在中，，则中最小的边长为（ ）ABC 60,75,2A B a ===ABC ABC D【答案】B【分析】易得，再根据正弦定理计算最小角的对边即可.45C =C 【详解】由题意，，故中最小的边长为.180607545C =--=ABC c 由正弦定理，故.sin sin a c A C=sin sin a Cc A===故选：B6．已知底面为正方形的四棱锥内接于半径为2的球，若底面正方形的边长为2，P ABCD -ABCD 则四棱锥的体积最大值为（ ）P ABCD -A BC D【答案】D【分析】当球心在高线上时，四棱锥的体积最大，求出高，进而得出体积.O P ABCD -【详解】底面为正方形的四棱锥内接于半径为2的球，若四棱锥的体积最大，P ABCD -P ABCD -则四棱锥的高最大，即球心在高线上，P ABCD -O 设四棱锥的高为，可得，则P ABCD -h GB=22h ==故四棱锥的体积最大值为.P ABCD -1(22)2)3⨯⨯⨯=故选：D7．已知在线段上，且，设，OA ⊥ E AB 30BOE ∠=OE mOA nOB =+ ，则的值分别为（ ）(),m n R ∈,m n A ．B ．13,4412,33C ．D ．11,2213,24【答案】C【分析】根据题意可知为直角三角形，且，结合余弦定理证得为Rt ABC 90,30O B ∠=∠=E 的中点，从而得出结论.AB 【详解】根据题意可知为直角三角形，且，又因为，所以，Rt ABC 90,30O B ∠=∠= 30BOE ∠=BE OE =设，则，所以，则，故为的中点，BE OE t ==OB ==OA t =2AB t =E AB 因此，即，1122OE OA OB =+ 11,22m n ==故选：C.8．已知正方体的棱长为分别是棱的中点，动点在正方形1111ABCD A B C D -1,,M N 1,BC CC P （包括边界）内运动，若平面，则线段的长度范围是（ ）11BCC B 1//PA AMN 1PAA ．B．C ．D．【答案】B 【分析】先过点画出与平面平行的平面，然后得出点的轨迹，最后计算的长度取值1A AMN P 1PA 范围即可.【详解】如图，分别作的中点,连接111,B C BB ,E F 11,,EF A E AF显然,//EF MN 1//A E AM 且平面，；平面,1,A E EF ⊂1A EF 1A E EF E ⋂=,AM MN ⊂AMN AM MN M⋂=所以平面平面1A EF //AMN平面平面1A EF 11BCC B EF=所以动点在正方形的轨迹为线段P 11BCC B EF在三角形中，，1AEF 112EF BC ==11A E A F ===所以点到点的最大距离为，最小距离为等腰三角形在边上的高为P 1A 11A E A F ==1A EF EF=故选：B二、多选题9．下列命题正确的是（ ）A ．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台B ．棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形C ．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形D ．棱柱的面中，至少有两个面互相平行【答案】BD【分析】根据常见几何体的性质与定义逐个选项辨析即可.【详解】对A ，棱台指一个棱锥被平行于它的底面的一个平面所截后，截面与底面之间的几何形体，其侧棱延长线需要交于一点，故A 错误；对B ，棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，故B 正确；对C ，用平面截圆柱得到的截面也可能是椭圆，故C 错误；对D ，棱柱的面中，至少上下两个面互相平行，故D 正确；故选：BD10．下列说法中正确的有（ ）A ．已知在上的投影向量为且，则；a b 12b5b = 252a b ⋅= B ．已知，且与夹角为锐角，则的取值范围是；()()1,2,1,1a b ==a ab λ+ λ5,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．若非零向量满足，则与的夹角是.,a b ||||||a b a b ==- a a b + 30 D ．在中，若，则为锐角；ABC 0AB BC ⋅>B ∠【答案】AC【分析】结合投影向量的概念以及平面向量数量积的定义可判断A 选项，结合平面向量数量积和向量共线的坐标运算即可判断B 选项，根据平面向量夹角的公式以及数量积的运算律即可判断C 选项，结合平面向量数量积的定义即可判断D 选项.【详解】设与的夹角为，又因为在上的投影向量为，所以，即a b αa b 12b1cos 2b a bb ⋅⋅=α，所以，故A 正确；1cos 2a b ⋅=α 125cos 5522a b a b ⋅=⋅⋅=⨯⨯=α因为，则，又因为与夹角为锐角，()()1,2,1,1a b == ()1,2a b λλλ+=++ a a b λ+ 所以，且与不共线，即，解得，所以则的取()0a a b λ⋅+> a ()a b λ+ ()()1220212λλλλ⎧+++>⎪⎨+≠+⎪⎩530λλ⎧>-⎪⎨⎪≠⎩λ值范围是，故B 错误；()5,00,3⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭因为，两边同时平方得，即，所以，即a a b=- 22a a b=- ()22a a b=- 2222a a b a b=+-⋅ ，22b a b=⋅因此cos ,a a b +，又因为向量夹角的范围是，所以，故C 正确；=0,180⎡⎤⎣⎦ ,30a a b +=因为，所以，0AB BC ⋅> ()cos cos 0AB BC AB BC B AB BC B ⋅=⋅⋅-=-⋅⋅> π因为，故，又因为，故，因此为钝角，故D 错误，0,0AB BC >>cos 0B <()0,B π∈,2B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ∠故选：AC.11．下列说法中正确的有（ ）A ．已知复数满足（为虚数单位），则复数z ()1i 4z +=iz B ．已知复数（为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点在第三象限；20222022i (1i)z =++i z C ．在中，若，则为等腰或直角三角形；ABC sin sin A B =ABC D ．在中，若，则为等腰三角形.ABC 0AB AC BC AB AC⎛⎫ ⎪+⋅=⎪⎝⎭ABC 【答案】ABD【分析】结合复数的四则运算以及复数在复平面内所对应点的特征即可判断AB 选项，结合正弦定理即可判断C 选项，根据平面向量数量积的定义以及诱导公式即可判断D 选项.【详解】因为，所以，所以()1i 4z +=()()()()41i 41i 422i 1i 1i 1i 2z --====-++-，其所对应的点的坐标是，在第四象限，故A正确；(22i 22iz =-=-(()2,2-，所对应的点的坐标是，在第三象限，101120222102202211i (1i)i (1i)i1i 1z ==-+⎡⎤==+++⎦-+-⎣()1,1--故B 正确；因为，结合正弦定理可得，因此为等腰三角形，故C 错误；sin sin A B =a b =ABC 因为，所以，即0AB AC BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭ 0AB BC AC BC AB AC ⋅+⋅= ，即，()cos cos 0AB BC B AC BC CAB AC ⋅-⋅+⋅⋅=π()cos cos 0B C -+=π所以，又因为，所以，所以为等腰三角形，故D 正确，cos cos B C =()()0,,0,B C ππ∈∈B C =ABC 故选：ABD.12．如图在正方体中，分别是棱的中点，点是线段上1111ABCD A B C D -,,M N Q 1111,,D C A D BC P 1BD 的动点（不包含端点）则下列说法中一定正确的是（ ）A ．MN 平面APC ；B ．存在唯一点，使得平面；P 1C Q APC C ．点到平面的距离为定值；P MNQD ．若为棱的中点，则四面体的体积为定值.H 1BB 11PA C H 【答案】BD【分析】对A ，举反例在平面上即可；对B ，根据平面，结合线面平行的判定P MNAC 1//C Q NAC与性质判断即可；对C ，推导可得在平面两侧即可判断；对D ，连接交于，1,B D MNQ 1111,A C D B O 连接，根据平面判断即可.OH 1//D B 11A C H 【详解】对A ，因为分别是棱的中点，故，所以共面，故当,M N 1111,D C A D 11//MN A C ,,,M N A C 是线段与平面的交点时，平面不成立，故A 错误；P 1BD MNAC //MN APC对B ，因为分别是棱的中点，易得均全等，故,N Q 11,A D BC 1111,,,ND C NA A QBA QCC ，所以四边形为菱形，故.11NC NA C Q AQ ===1NC QA 1//NA C Q 又平面，平面，故平面.NA ⊂NAC 1C Q ⊄NAC 1//C Q NAC 又因为，连接交于，此时平面；当不为交点时，与11//A D BC 1,NC D B P 1//C Q APC P 1,NC D B 1C Q 平面不平行，故B 正确；APC对C ，取中点，由A 可得，同理，又，故.AB R 11//MN A C //RQ AC 11//AC A C //MN RQ 故平面即平面，易得在平面两侧，故点到平面的距离不为定值，MNQ MNRQ 1,D B MNRQ P MNQ 故C 正确；对D ，连接交于，连接.因为为中点，故，平面1111,A C D B O OH ,O H 111,D B BB 1//OH D B OH ⊂，平面，故平面，故到平面的距离为定值，故四面体11A C H 1D B ⊄11A C H 1//D B 11A C H P 11A C H 的体积为定值，故D 正确；11P A C H-故选：BD三、填空题13．已知平面向量，则与的夹角为______.()3,0,a b ==ab 【答案】3π【分析】由平面向量夹角的坐标表示求解，【详解】由题意得，，，1cos 2||||a b a b θ⋅===[0,]θπ∈3πθ=故答案为：3π14．一个四棱锥的体积为4，其底面是边长为2的正方形，侧棱长都相等，则该四棱锥的侧面积为______.【答案】【分析】先求出该四棱锥的高以及侧棱长，进而得出该四棱锥的侧面积.【详解】设侧棱长为，该四棱锥的高为a h=则，解得12243hV h ⎧=⎪⎨=⨯⨯⨯=⎪⎩a =即该四棱锥的侧面积为1422S =⨯⨯=故答案为：15．2021年6月，位于聊城开发区的中华路徒骇河大桥建成通车，成为聊城市的又一大地标性建筑.某人想了解大桥的最高点到地面的距离，在地面上的两点测得最高点的仰角分别为A B ､P （点与在地面上的投影O 在同一条直线上），又量得米，根据测量数据可得3060 ､A B ､P 140AB =高度______米.PO =【答案】【分析】由得出，再由正弦定理求解即可.30APB PAB ∠=∠=︒140PB =【详解】由题可得，所以米，由正弦定理可得30APB PAB ∠=∠=︒140PB =sin 60sin 90PO BP︒︒=米.sin 60sin 49100BP PO =︒==︒⋅故答案为：四、双空题16．如图，三角形中，，点在线段上，，则ABC ||||AB AC = D BC 0,4,2AB AD BDCD ⋅===面积为______，点是外接圆上任意一点，则最大值为______.ABD △P ABC AB AP ⋅【答案】【分析】利用勾股定理及余弦定理求得，从而可求得，即可得出面积，利用余弦定理求AD ,AB AC 出，设外接圆的圆心为，半径为，利用正弦定理求出外接圆半径，再以为原点BAC ∠ABC O R O 建立平面直角坐标系，设，利用坐标法结合三角函数的性质即可()[],,0,2πP θθθ∈得出答案.【详解】解：因为，所以，0AB AD ⋅=AB AD ⊥则，222216AB BD AD AD =-=-又222222cos 44cos AB AC AD CD AD CD ADC AD AD ADB==+-⋅⋅∠=++∠，222442416ADAD AD AD AD BD =++⋅=+=-解得，2AD =所以AC AB ===所以，12ABD S AB AD =⋅= 在中，，ABC6AB AC BC ===则，2221cos 22AB AC BC BAC AB AC +-∠==-⋅又，所以，()0,πBAC ∠∈2π3BAC ∠=设外接圆的圆心为，半径为，ABC O R则，所以，2sin BCRBAC ==∠R =则为等边三角形，，AOB π3OAB OAC ∠=∠=如图，以为原点建立平面直角坐标系，O 则，()(),A B-设，()[],,0,2πP θθθ∈则，)(),AB AP θθ==+则，π6cos 612sin 66AB AP θθθ⎛⎫⋅=++=++ ⎪⎝⎭ 所以当时，.π3θ=()max18AB AP⋅=故答案为：18.五、解答题17．已知为虚数单位.i (1)若复数在复平面内对应的点在第三象限，求的范围；()()()22236i R z m m m m m =--++-∈m (2)若复数满足，求复数.z 13iz z -=-z 【答案】(1)12m -<<(2)43iz =+【分析】（1）根据复数在复平面内对应的点的特点，解不等式组得出的范围；z m （2）根据复数相等以及模长公式得出复数.z 【详解】（1）因为复数在复平面内对应的点在第三象限，z 所以，2223060m m m m ⎧--<⎨+-<⎩得的取值范围是：m 12m -<<（2）设复数，由条件得，()i ,z a b a b R =+∈i 13iz a b --=-所以解得：，所以1b a ==4a =43iz =+18．已知的内角所对的边分别为，______且，请从ABC ,,A B C ,,,3a b c A π=2b =①，②③这三个条件中任选一个补充在横线上，cos sin a B b A=sin cos B B +=222ba c =+求出此时的面积. ABC 【分析】选择①：由正弦定理的边化角得出，再由正弦定理得出，最后由面积公式计算即可.B a选择②：由辅助角公式结合三角函数的性质得出，再由正弦定理得出，最后由面积公式计算即B a 可.选择③：由余弦定理得出，再由正弦定理得出，最后由面积公式计算即可.B a 【详解】解：若选择①，则，cos sin a B b A =sin cos sin sin A B B A =因为，所以，sin 0A ≠sin cos B B =因为，所以()0,B π∈4B π=所以，在中由正弦定理，,,234A B b ππ===ABCsin sin a b AB =得，因为，所以，sin sin b Aa B===,34A B ππ==53412C ππππ=--=所以5sin sinsin sin cos cos sin 12464646C πππππππ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭所以11sin 222ABC S ab C=== 若选择②，sin cos B B +=4B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以，因为，所以，sin 14B π⎛⎫+= ⎪⎝⎭()0,B π∈5,444B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭所以，所以；42B ππ+=4B π=所以，在中由正弦定理，,,234A Bb ππ===ABC sin sin a b A B =得，因为，所以，sin sin b Aa B===,34A B ππ==53412C ππππ=--=所以5sin sinsin sin cos cos sin 12464646C πππππππ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭所以11sin 222ABC S ab C ===若选择③，222b ac =+由余弦定理，因为，所以；222cos 2a c b B ac +-===()0,B π∈4B π=所以，在中由正弦定理，,,234A B b ππ===ABCsin sin a bA B =得，因为，所以，sin sin b Aa B===,34A B ππ==53412C ππππ=--=所以5sin sinsin sin cos cos sin 12464646C πππππππ⎛⎫==+=+= ⎪⎝⎭所以11sin 222ABC S ab C === 19．如图：在正方体中，为的中点.1111ABCD A B C D -M 1DD (1)求证：平面；1BD AMC (2)若为的中点，求证：平面平面.N 1CC AMC 1BND 【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）设，接，证明，再根据线面平行的判定定理即可得证；AC BD O = OM 1OM BD （2）证明四边形为平行四边形，从而可得，即可证得平面，再根1CND M 1D N CM ∥1D N AMC 据面面平行的判定定理即可得证.【详解】（1）证明：设，接，AC BD O = OM 在正方体中，四边形是正方形，是中点，1111ABCD A B C D -ABCD O ∴BD 是的中点，，M 1DD 1OM BD ∴∥平面平面1BD ⊄ ,AMC OM ⊂,AMC 平面；1BD ∴ AMC（2）证明：为的中点，为的中点，N 1CC M 1DD ，11,CN D M CN D M ∴∴=∥四边形为平行四边形，，∴1CND M 1D N CM ∴∥又平面平面平面，MC ⊂ 1,AMC D N ⊄ 1,AMC D N ∴ AMC 由（1）知平面平面平面，1BD 1111,,AMC BD D N D BD ⋂=⊂ 11,BND D N ⊂1BND 平面平面.∴AMC 1BND20．如图所示，正三棱柱所有棱长均为分别为棱的中点.111ABC A B C - 2.,D E 1111,A B B C(1)求三棱锥的体积；1B BDE -(2)求直线与所成角的余弦值.AD BE【答案】(2)710【分析】（1）根据锥体的体积公式结合转换顶点法运算求解；（2）先证，故即为AD EF FEB ∠直线与所成角或其补角，利用余弦定理运算求解.AD BE【详解】（1）由题意可知：点到上底面的距离为2，，B 111A BC 111114B DE A B C S S ==所以.11123B BDE B B DE V V --===（2）取中点，连接，AC F ,DE EF ∵分别为棱的中点，,D E 1111,A B B C ∴，11111,2DE A C DE A C =∥又∵分别为棱的中点，则，F AC 11111,2A C AF AF A C =∥∴且，则四边形为平行四边形，则，DE AF DE AF =ADEF AD EF 故即为直线与所成角或其补角，连接，FEB ∠AD BE BF因为三棱柱各棱长为2，则EF BE BF ==在中，由余弦定理可得，BEF △2227cos 210EF BE BF FEB EF BE ∠+-===⋅即异面直线与所成角的余弦值为.AD BE 71021．某农户有一个三角形地块，如图所示.该农户想要围出一块三角形区域（点在ABC ABD D 上）用来养一些家禽，经专业测量得到.BC 13,cos 3AB B ==(1)若的长；cos ADC ∠=AD(2)若的周长.sin 2,sin BADBD DC CAD ∠∠==ADC△【答案】(1)4(2)3+【分析】（1）在中应用正弦定理得出的长；ABD △AD （2）由结合面积公式得出，再由余弦定理得出，，进而得出的周长.2ABDACD S S =△△AC BC AD ADC △【详解】（1）解：在中，，且，所以ABC 1cos 3B =()0,B π∈sin B =因为，所以cos ADC ∠=()0,ADC π∠∈sin ADB ∠=在，由正弦定理可得，ABD △sin sinAD ABB ADB ∠=所以.sin 4sin AB BAD ADB∠===（2）因为，所以，2BD DC =2ABDACD S S =△△所以，即：，可得1sin 221sin 2AB AD ABD AD AC CAD∠∠⋅⋅=⋅⋅sin 3sin 2sin sin AB ABD ABD AC CAD AC CAD ∠∠∠∠⋅=⋅=⋅AC =在中，由余弦定理可得，ABC 2222cos AC AB BC AB BC B =+⋅⋅-所以，解得或（舍去）.22630BC BC --=9BC =7BC =-因为，所以.2BD DC =6,3BD DC ==在中，由余弦定理可得ABD △2222cos 33AD AB BD AB BD B =+-⋅⋅=所以的周长为ADC △3+22．如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为的中点.P ABCD -ABCD ,F G ,PB AD(1)证明：AF 平面；PCG (2)在线段上是否存在一点，使得平面，并给出必要的证明.BD N FN PCG 【答案】(1)证明见解析(2)存在，证明见解析【分析】（1）取中点，证明四边形为平行四边形即可；PC H AGHF （2）设，取中点，先证明平面，即可证明点在线段靠近端BD CG O ⋂=OB K //FK PCG N BD B 的三等分点时符合题意.【详解】（1）证明：取中点，连接，在中，为的中点，PC H ,GH FH PBC F PB .12FH BC∴∥为的中点，，G AD 1,,2AG BC AG FH AG FH∴∴= 即四边形为平行四边形，.AGHF AF GH ∴∥平面平面平面.GH ⊂ ,PCG AF ⊄,PCG AF ∴ PCG（2）设，取中点，连接，则在中，BD CG O ⋂=OB K FK POB 分别是的中点，,F K ,OB PB FK OP∴∥平面平面，OP ⊂ ,PCG FK ⊄PCG 平面.FK ∴ PCG 与相似，且相似比为，DOG BOC 1:222BO DO KB∴==为的三等分点.K ∴BD 在点位置时满足平面.N ∴K FN PCG 即点在线段靠近端的三等分点时符合题意.N BD B23．在中，内角的对边分别为.ABC ,,A B C ,,a b c sin cos 2A a B b c -=-(1)求内角；A(2)若为锐角三角形且周长的取值范围.ABC a =ABC L 【答案】(1)π3A =(2)3L <≤【分析】（1）根据正弦定理结合三角恒等变化公式，结合三角形内角范围化简求解即可；（2）根据正弦定理与三角恒等变换公式可得，再根据三角形内角范围求解π6L B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭即可.【详解】（1）在，由正弦定理得：ABC sin cos 2A a B b c -=-()sin sin cos 2sin sin 2sin sin B A A B B C B A B -=-=-+()2sin sin cos cos sin B A B A B =-+.sin 2sin cos sin B A B A B =-因为，所以，所以，()0,πB ∈sin 0B >2cos A A =-cos 2A A +=π2sin 26A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭即.πsin 16A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭因为，所以.所以.()0,πA ∈ππ7πππ,,66662A A ⎛⎫+∈+=⎪⎝⎭π3A =（2）在中，由正弦定理得，所以.ABC sin sin a b A B=sin 2sin sin a B b B A ===同理，所以周长：2sin c C=π2sin 2sin 2sin 2sin 3L a b c B C B B ⎛⎫=++=+=+++ ⎪⎝⎭ππ2sin 2sin cos cossin 33B B B⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，1πcos 26B B B ⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭因为为锐角三角形，所以，由，所以ABC ππ0,022B C <<<<2π3C B =-，ππππ2πππ2π,,62363363B B B <<<+<<+<sin 16B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭所以周长的取值范围是：L 3L <≤。

一年级数学期中考试试卷【含答案】专业课原理概述部分一年级数学期中考试试卷一、选择题（每题1分，共5分）1. 下列哪个数字是偶数？A. 3B. 4C. 5D. 62. 5 + 7 = ？A. 10B. 12C. 14D. 163. 下列哪个图形是三角形？A. 正方形B. 长方形C. 圆形D. 三角形4. 下列哪个数字是奇数？A. 10B. 11C. 12D. 135. 9 4 = ？A. 3B. 5C. 6D. 7二、判断题（每题1分，共5分）1. 2 + 2 = 5 （）2. 8是偶数。

（）3. 1 + 1 = 2 （）4. 10是奇数。

（）5. 5 + 5 = 10 （）三、填空题（每题1分，共5分）1. 2 + 3 = ____2. 9 5 = ____3. 4 + 6 = ____4. 7 2 = ____5. 10 4 = ____四、简答题（每题2分，共10分）1. 请写出1到10的所有偶数。

2. 请写出1到10的所有奇数。

3. 请计算2 + 3 + 4 + 5的结果。

4. 请计算8 3 2的结果。

5. 请写出三个你最喜欢的数字，并解释为什么喜欢它们。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 小明有5个苹果，他吃掉了2个，还剩下几个苹果？2. 小红有8个糖果，她给了小华3个糖果，还剩下几个糖果？3. 小刚有10个球，他丢了2个球，还剩下几个球？4. 小李有7个橘子，他吃掉了4个橘子，还剩下几个橘子？5. 小王有6个书本，他借给小明2个书本，还剩下几个书本？六、分析题（每题5分，共10分）1. 请分析并解释偶数和奇数的区别。

2. 请分析并解释加法和减法的区别。

七、实践操作题（每题5分，共10分）1. 请用纸和笔画出一个正方形。

2. 请用纸和笔画出一个圆形。

八、专业设计题（每题2分，共10分）1. 设计一个简单的加法游戏，要求使用不超过10以内的数字。

2. 设计一个减法练习，要求使用不超过10以内的数字。