初中数学优质专题：8字模型与飞镖模型

OD C BA 图12图E AB C D E F DC B A O O 图12图E AB C D EDC B A H GEF DC BA第一章 8字模型与飞镖模型模型1 角的“8”字模型 如图所示，AB 、CD 相交于点O ， 连接AD 、BC 。

结论：∠A+∠D=∠B+∠C 。

模型分析8字模型往往在几何综合 题目中推导角度时用到。

模型实例观察下列图形，计算角度：（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ； （2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= 。

热搜精练1．（1）如图①，求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E= ； （2）如图②，求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E= 。

2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H= 。

D C BA M D CB A O135E FD C BA 105OO120D C B A 模型2 角的飞镖模型 如图所示，有结论： ∠D=∠A+∠B+∠C 。

模型分析飞镖模型往往在几何综合 题目中推导角度时用到。

模型实例如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，AM 与CM 交于M 。

探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系。

热搜精练 1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ；2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D = 。

O DC BA ODCB AO C B A模型3 边的“8”字模型如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC 。

结论：AC+BD>AD+BC 。

模型实例如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O 。

求证：（1）AB+BC+CD+AD>AC+BD ；（2）AB+BC+CD+AD<2AC+2BD.模型4 边的飞镖模型 如图所示有结论： AB+AC>BD+CD 。

OC B A ED C B A21P A BCP 图3A BC P 图21图PB模型实例如图，点O 为三角形内部一点。

专题05A字型、8字模型、飞镖模型一、基础知识回顾三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°三角形外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。

二、模型的概述：A字型模型：∠1+∠2=∠A+180°（结论）证明：∵∠1=∠A+∠ACB∴∠1=∠A+180°-∠2∴∠1+∠2=∠A+180°8字模型（基础）：∠A+∠B=∠C+∠D（结论）证明：在∆ABO中，∠A+∠B+∠AOB=180°在∆COD中，∠C+∠D+∠COD=180°而∠AOB=∠COD∴∠A+∠B=∠C+∠D8字模型（变形）：已知线段AP平分∠BAD，线段CP平分∠BCD，则∠P=(∠B+∠D)证明：∵线段AP平分∠BAD，线段平分∠BCD∴∠BAP=∠PAD,∠BCP=∠PCD∵∠BCP+∠P=∠BAP+∠B①∠PAD+∠P=∠PCD+∠D②①+②得2∠P=∠B+∠D，则∠P=(∠B+∠D)飞镖模型（基础）：∠C=∠A+∠B+∠D（结论）证明：1）延长AC到点P2）延长BC交AD于点P3）连接BD飞镖模型（变形）：已知线段BO平分∠ABC，线段OD平分∠ADC，则∠O=(∠A+∠C)【基础过关练】1．如图，ABC中，65A∠=︒，直线DE交AB于点D，交AC于点E，则BDE CED∠+∠=（）．A．180︒B．215︒C．235︒D．245︒2．如图，在ABC中，90BÐ=°，若按图中虚线剪去B∠，则12∠+∠等于（）A．90︒B．135︒C．270︒D．315︒【答案】C【分析】如图，根据题意可知190BNM∠=︒+∠，290BMN∠=︒+∠，然后结合三角形内角和定理即可推出12∠+∠的度数．【详解】解：如图．∵ABC 为直角三角形，90B Ð=°，∴90BNM BMN ∠+∠=︒，∵190BNM ∠=︒+∠，290BMN ∠=︒+∠，∴12270∠+∠=︒．故选：C ．【点睛】本题主要考查三角形的外角性质、三角形内角和定理，关键在于得出190BNM ∠=︒+∠，290BMN ∠=︒+∠．3．如图，AB 和CD 相交于点O ，∠A ＝∠C ，则下列结论中不能完全确定正确的是（）A ．∠B ＝∠DB ．∠1＝∠A ＋∠DC ．∠2＞∠D D ．∠C ＝∠D【答案】D 【分析】利用三角形的外角性质，对顶角相等逐一判断即可．【详解】∵∠A ＋∠AOD ＋∠D ＝180°，∠C ＋∠COB ＋∠B ＝180°，∠A ＝∠C ，∠AOD ＝∠BOC ，∴∠B ＝∠D ，∵∠1＝∠2＝∠A ＋∠D ，∴∠2＞∠D ，故选项A ，B ，C 正确，故选D ．【点睛】本题考查了对顶角的性质，三角形外角的性质，熟练掌握并运用两条性质是解题的关键．4．如图，若115EOC ∠=︒，则A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=____________．5．如图所示，已知四边形ABDC，求证BDC A B C∠=∠+∠+∠．【答案】见解析【分析】方法1连接BC ，根据三角形内角和定理可得结果；方法2作射线AD ，根据三角形的外角性质得到31B ∠=∠+∠，42C ∠=∠+∠，两式相加即可得到结论；方法3延长BD ，交AC 于点E ，两次运用三角形外角的性质即可得出结论．【详解】方法1如图所示，连接BC .在ABC 中，180A ABC ACB ∠+∠+∠= ，即12180A ABD ACD ∠+∠+∠+∠+∠= .在BCD △中，12180BDC ∠+∠+∠= ，++BDC A ABD ACD ∴∠=∠∠∠；方法2如图所示，连接AD 并延长.3∠ 是ABD △的外角，31+ABD ∴∠=∠∠.同理，42ACD ∠=∠+∠.3412ABD ACD ∴∠+∠=∠+∠+∠+∠.∠=∠+∠+∠.即BDC A ABD ACD方法3如图所示，延长BD，交AC于点E.的外角，是ABEDEC∠∴∠=∠+∠.DEC A ABD的外角，是DEC∠BDC∴∠=∠+∠.BDC DEC ACD∴∠=∠+∠+∠.BDC A ABD ACD【点睛】本题考查了三角形的外角性质：解题的关键是知道三角形的任一外角等于与之不相邻的两内角的和．也考查了三角形内角和定理．【提高测试】1．如图，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=（）A．240°B．280°C．360°D．540°【答案】A【分析】根据三角形内角和定理得到∠B与∠C的和，然后在五星中求得∠1与另外四个角的和，加在一起即可．【详解】解：由三角形外角的性质得：∠3=∠A+∠E，∠2=∠F+∠D，∵∠1+∠2+∠3=180°，∠1=60°，∴∠2+∠3=120°，即：∠A+∠E+∠F+∠D=120°，∵∠B+∠C=120°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=240°．故选A ．【点睛】本题考查了三角形的外角和三角形的内角和的相关知识，解决本题的关键是将题目中的六个角分成两部分来分别求出来，然后再加在一起．2．如图，在由线段,,,,AB CD DF BF CA 组成的平面图形中，28D ∠=︒，则A B C F ∠+∠+∠+∠的度数为（）．A ．62︒B ．152︒C ．208︒D ．236︒【点睛】此题考查了三角形的外角性质与邻补角的意义，熟练掌握并灵活运用三角形的外角性质与邻补角的意义是解答此题的关键．3．如图，在△ABC中，∠A=20°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于D1，∠ABD1与∠ACD1的角平分线交于点D2，依此类推，∠ABD4与∠ACD4的角平分线交于点D5，则∠BD5C的度数是（）A．24°B．25°C．30°D．36°故选：B4．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝__．，∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=____________．5．如图，A B C D E F G H【答案】720°##720度【分析】连接DH ，利用三角形外角性质得∠1=∠A +∠F ，∠2=∠3+∠5，再利用四边形内角和等于360°即可求解．【详解】解：如图，连接DH ，∵∠1=∠A +∠F ，∠2=∠3+∠5，∠1+∠2+∠B +∠C =360°∴∠A +∠F +∠3+∠5+∠B +∠C =360°，∵∠4+∠6+∠E +∠G =360°，∴∠A +∠F +∠3+∠5+∠B +∠C +∠4+∠6+∠E +∠G =720°，∵∠3+∠4=∠BHG ，∠5+∠6=∠ADE ，∴∠A +∠F +∠B +∠C +∠E +∠G +∠BHG +∠ADE =720°，故答案为：720°．【点睛】本题考查四边形内角和，三角形外角性质，将所求角转化成三角形与四边形的内角，利用四边形内角和定理和三角形外角性质求解是解题的关键．6．如图，BP 平分ABC ∠，交CD 于点F ，DP 平分ADC ∠交AB 于点E ，AB 与CD 相交于点G ，42A ∠=︒．（1）若60ADC ∠=︒，求AEP ∠的度数；（2）若38C ∠=︒，求P ∠的度数．7．（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：A B C D ∠+∠=∠+∠．（2）如图②，AP ，CP 分别平分BAD ∠，BCD ∠，若36ABC ∠=︒，16ADC ∠=︒，求P ∠的度数．（3）如图（3），直线AP 平分BAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，猜想P ∠与B ∠、D ∠的数量关系是________；（4）如图（4），直线AP 平分BAD ∠的外角FAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，猜想P ∠与B ∠、D ∠的数量关系是________．+ PCB8．阅读材料：如图1，AB、CD交于点O，我们把△AOD和△BOC叫做对顶三角形．结论：若△AOD和△BOC是对顶三角形，则∠A+∠D＝∠B+∠C．结论应用举例：如图2：求五角星的五个内角之和，即∠A+∠B+∠ACE+∠ADB+∠E的度数．解：连接CD，由对顶三角形的性质得：∠B+∠E＝∠1+∠2，在△ACD中，∵∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，即∠A+∠3+∠1+∠2+∠4＝180°，∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°即五角星的五个内角之和为180°．解决问题：（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝；（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D E+∠F+∠G＝；（3）如图③，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H＝；（4）如图④，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠M+∠N＝；请你从图③或图④中任选一个，写出你的计算过程．【答案】（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）1080°；过程见解析【分析】（1）连接CD，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BDC＋∠ACD，再由四边形的内角和定理得出结论；（2）连接ED，由对顶角三角形可得∠A＋∠B＝∠BED＋∠ADE，再由五边形的内角和定理得出结论；（3）连接BH 、DE ，由对顶角三角形可知∠EBH ＋∠BHD ＝∠HDE ＋∠BED ，再根据五边形的内角和定理得出结论；（4）连接ND 、NE ，由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH ＋∠EHG ，再由六边形的内角和定理得出结论．【详解】解：（1）连接CD ，由对顶角三角形可得∠A ＋∠B ＝∠BDC ＋∠ACD ，则∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝360°；（2）连接ED ，由对顶角三角形可得∠A ＋∠B ＝∠BED ＋∠ADE ，则∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＝540°；（3）连接BH 、DE ，∵由对顶角三角形可知∠EBH ＋∠BHD ＝∠HDE ＋∠BED ，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＝五边形CDEFG 的内角和＋△ABH 的内角和＝540°＋180°＝720°；（4）连接ND 、NE ，∵由对顶角三角形可知∠1＋∠2＝∠NGH ＋∠EHG ，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＋∠M ＋∠N ＝六边形BCFGHM 的内角和＋△AND 的内角和＋△NDE 的内角和＝（6－2）×180°＋360°＝1080°．故答案为：360°；540°；720°；1080°．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线，利用△AOD 和△BOC 叫做对顶三角形的性质及多边形的内角和定理解答是解答此题的关键．9．模型规律：如图1，延长CO 交AB 于点D ，则1BOC B A C B ∠=∠+∠=∠+∠+∠．因为凹四边形ABOC 形似箭头，其四角具有“BOC A B C ∠=∠+∠+∠”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用（1）直接应用：①如图2，60,20,30A B C ∠=︒∠=︒∠=︒，则BOC ∠=__________︒；②如图3，A B C D E F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=__________︒；（2）拓展应用：①如图4，ABO ∠、ACO ∠的2等分线（即角平分线）1BO 、1CO 交于点1O ，已知120BOC ∠=︒，50BAC ∠=︒，则1BO C ∠=__________︒；②如图5，BO 、CO 分别为ABO ∠、ACO ∠的10等分线1,2,3,,(,)89i =⋯．它们的交点从上到下依次为1O 、2O 、3O 、…、9O ．已知120BOC ∠=︒，50BAC ∠=︒，则7BOC ∠=__________︒；③如图6，ABO ∠、BAC ∠的角平分线BD 、AD 交于点D ，已知120,44BOC C ∠=︒∠=︒，则ADB =∠__________︒；④如图7，BAC ∠、BOC ∠的角平分线AD 、OD 交于点D ，则B ∠、C ∠、D ∠之同的数量关系为__________．【答案】（1）①110；②260；（2）①85；②99；③142；④∠B -∠C +2∠D =0【分析】（1）①根据题干中的等式直接计算即可；（2）①∠BO1C=∠BOC =∠BOC-1（∠ABO+∠2=∠BOC-1（∠BOC-∠2=∠BOC-1（120°-50°）210．如图，ABC ∆中，(1)若ABC ∠、ACB ∠的三等分线交于点1O 、2O ，请用A ∠表示1BO C ∠、2BO C ∠；(2)若ABC ∠、ACB ∠的n 等分线交于点1O 、21n O O -⋅⋅⋅⋅⋅⋅（1O 、21n O O -⋅⋅⋅⋅⋅⋅依次从下到上），请用A ∠表示1BO C ∠，1n BO C -∠．11．探究与发现：如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，那么在这一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：(1)观察“规形图”，试探究BDC ∠与A ∠、B ∠、C ∠之间的关系，并说明理由；(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ 放置在ABC 上，使三角尺的两条直角边XY 、XZ 恰好经过点B 、C ，若50A ∠=︒，则ABX ACX ∠+∠=_____°；②如图3，DC 平分ADB ∠，EC 平分AEB ∠，若50DAE ∠=︒，130DBE ∠=︒，则DCE ∠=______°；③如图4，ABD ∠，ACD ∠的10等分线相交于点1G ，2G ，…，9G ，若140BDC ∠=︒，177BG C ∠=︒，求A ∠的度数．【答案】(1)=++BDC BAC B C∠∠∠∠(2)①40，②90，③70°12．如图1的图形我们把它称为“8字形”，显然有A B C D ∠+∠=∠+∠；阅读下面的内容，并解决后面的问题：(1)如图2，AP 、CP 分别平分BAD ∠、BCD ∠，若36ABC ∠=︒，16ADC ∠=︒，求P ∠的度数；(2)①在图3中，直线AP 平分BAD ∠的外角FAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，猜想P ∠与B ∠、D ∠的关系，并说明理由．②在图4中，直线AP 平分BAD ∠的外角FAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，猜想P ∠与B ∠、D ∠的关系，直接写出结论，无需说明理由．③在图5中，AP 平分BAD ∠，CP 平分BCD ∠的外角BCE ∠，猜想P ∠与B ∠、D ∠的关系，直接写出结论，无需说明理由．（2）12P B D ∠=∠+∠（），理由如下：①∵AP 平分∠BAD 的外角∠∴∠1=∠2，∠3=∠4．由（1）的结论得：∠PAD +∠②11802P B D ∠=︒-∠+∠（），理由如下：如图4，∵AP 平分∠BAD 的外角∠∴∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAD =180°由题干可知：∠BAD +∠B =∠BCD③1902P B D∠=︒+∠+∠（），理由如下：如图5，∵AP平分∠BAD，CP平分∠∴∠1=∠2，∠3=∠4，由题干结论得：∠BAD+∠B=∠BCD∠2+∠P=∠PCD+∠D，即∠2+∠【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图并运用好两个等式是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观．。

结论：ZA+Z£>=ZB+ZC.第一章8字模型与飞镖模型模型1：角的8字模型如图所示，AC. BO相交于点。

，连接A。

、BC.模型分析证法一：V ZAOB是△AOD 的外角，ZA+ZD=ZAOB. V ZAOB是左BOC的外角，:.ZB+ZC= ZAOB. :. ZA+ZD=ZB+ZC.证法二：V ZA+ZD+ ZAOD= 180°, A ZA+ ZD= 180°- ZAOD.・「匕3+NC+匕30C= 180。

,A ZB+ ZC= 180°- ZBOC.又V ZAOD=ZBOC, :. ZA+ZD=ZB+ZC.（1）因为这个图形像数字8,所以我们往往把这个模型称为8字模型.（2） 8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到.模型实例观察下列图形，计算角度：（1）如图①，ZA+ZB+ ZC+ ZD+ ZE=；解法一：利用角的8字模型.如图③，连接CD•.: -BOC是△BOE的外角，:.ZB+ZE=ZBOC. V ABOC是△COD 的外角，:.Zi +Z2= ZBOC.AZB+ZE=Z1 + Z2.(角的8 字模型)，...NA+匕B+NACE+匕AO8+NE =ZA+ZACE+ ZADB+ Z1 + Z2=ZA+ ZACD+ ZADC= 180°.解法二：如图④，利用三角形外角和定理.・.N1是的外角，.../l = /C+/E.•・・匕2是的外角，AZ2=ZB+ZD.・.・ ZA+ZB+ ZC+ ZD+ ZE= ZA+Z1 + Z2=180°.(2)如图②，ZA+ZB+ZC+ ZD+ Z£+ ZF=・如图①，求：ZCAD+ ZB+ZC+ ZD+ ZE=(2)解法一：如图⑤，利用角的8字模型.・・•匕AOP 是的外角，..・ZA+匕B=ZAOP ・V ZAOP 是左OPQ 的外角，:.Z1 + Z3=ZAOP. :. ZA+ZB=Z1 + Z3.①(角的 8 字 模型)，同理可证：ZC+ZZ)=Z1 + Z2.②，ZE+ZF=Z2+Z3.③ 由①+②+③得：ZA+ZB+ZC+ ZD+ ZE+ ZF=2 (Z1 + Z2+Z3) =360° .解法二：利用角的8字模型.如图⑥，连接DE. yZAOE 是ZVIOB 的外角，A ZA+ZB=ZAOE. V ZAOE 是△(?时的外角，A Z1 +Z2= ZAOE.・.・ZA + ZB= Z1 + Z2.(角的8字模型)・・・ ZA+ ZB+ZC+ ZADC+ ZFEB+ ZF= Z1 + Z2+ ZC+ ZADC+ ZFEB+ ZF= 360° .(四边形内角和为360° )练习：1. (1) C解：如图，VZ1=ZB+ZD, Z2=ZC+ZCAD, .•.ZCAD+ZB+ZC+ZD+ZE=Z1+Z2+ZE=18O° . 故答案为：180°解法二：(1) i8(r.(2)如图②，求：ZCAD+ ZB+ ZACE+ ZD+ ZE=提示：如图.连接D 瓦Z.C*Z_G4Z>=Z.1+Z12. (8 字模型)L CXD+ Z.B+Z.C+ £ADB+ LBEC=IBXBECXBDAYI* 乙2 =180*.解：由三角形的外角性质，知ZBAC=ZE+ZACE, ZEAD=ZB+ZD,又V ZBAC+ZCAD+ZEAD=180°，ZCAD+ ZB+ ZACE+ ZD+ ZE= 180°解法二:=♦匕 BEC* 乙 BDA+AA* 乙 2 解：VZG+ZD=Z3, ZF+ZC=Z4, ZE+ZH-Z2, A ZG+ZD+ZF+ZC+ZE+ZH=Z3+Z4+Z2, VZB+Z2+Z1=18O° , Z3+Z5+ZA=180° , A ZA+ZB+Z2+Z4+Z3=360° ,・・・ ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF+ZG+ZH=360°解法二：答案：360-.提示：如图，连接GH, CD.匕屈乙2. （8字模型）Z./4+Z.F= 2.3*44. （8 字模型）L4XB+匕 FCH+ LADG+ 匕 E+ ,FXDGB+ L EHC =Z. 1 + £ 2+£ 3+ 匕 4♦匕 GW+ 乙 FCH+LDGB+ 匕 EHC =36（T ・（四边形内角和360"）模型2：角的飞镖模型如图所示，有结论：VZ4 是的外角，AZ4=ZC+Z2（2）i8（r.提示：如图.连接DE.Z4CE+ZC4D=/L1 + Z2. （8 字模型） L CAD+ L BWCE* Z ADB^ L BEC模型分析解法一：如图①，作射线AD.=182.如图，求：ZA+ZB+ ZC+ ZD+ ZE+ ZF+ ZG+ ZH= 图②VZ3 是△A8O 的外角，AZ3=ZB+Z1AZBDC=Z3+Z4, A ZBDC= ZB+ Z1 + Z2 + ZC, A ZBDC= ZBAC+ ZB+ ZC解法二：如图②，连接BC.VZ2+Z4+ZD=180° , :.ZD=18Q°一(Z2 + Z4)VZ1 + Z2+Z3+Z4+ZA=I8O° , A ZA+Z1 +Z3 = 180°— (Z2+Z4)AZZ)=ZA+Z1 + Z3.(1)因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为飞镖模型.(2)飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使用.模型实例如图，在四边形ABCD中，AM. CM分别平分ZDAB和匕OCB, AM与CM交于探究匕AMC与/B、匕。

模型介绍模型一：飞镖模型（1）角的飞镖模型结论：CB A BDC ∠+∠+∠=∠解答：①方法一：延长BD 交AC 于点E 得证②方法二：延长CD 交AB 于点F 得证③方法三：延长AD 到在其延长方向上任取一点为点G 得证总结：利用三角形外角的性质证明（2）边的飞镖模型结论：CDBD AC AB +>+解答：延长BD 交AC 于点E +三角形三边关系+同号不等式大的放左边，小的放在右边得证模型二：8在模型（1）角的8字模型结论：DC B A ∠+∠=∠+∠解答：①方法一：三角形内角和得证②方法二：三角形外角BOD ∠的性质得证总结：①利用三角形内角和等于180证明推出②利用三角形外角的性质证明大招飞镖模型和8字模型（2）边的8字模型结论：BCAD CD AB +<+解答：三角形三边关系+同号不等式得证总结：①三角形两边之和大于第三边例题精讲考点一：飞镖模型【例1】．如图，∠A ＝70°，∠B ＝40°，∠C ＝20°，则∠BOC=_______解：延长BO ，交AC 于点D ，∵∠BOC ＝∠C +∠ODC ，∠ODC ＝∠A +∠B ，∠A ＝70°，∠B ＝40°，∠C ＝20°，∴∠BOC ＝∠C +∠A +∠B＝20°+70°+40°＝130°．变式训练【变式1-1】．如图，∠ABD 、∠ACD 的角平分线交于点P ，若∠A ＝55°，∠D ＝15°，则∠P 的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°解：如图，延长PC交BD于E，∵∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，由三角形的内角和定理得，∠A+∠1＝∠P+∠3①，在△PBE中，∠5＝∠2+∠P，在△DCE中，∠5＝∠4﹣∠D，∴∠2+∠P＝∠4﹣∠D②，①﹣②得，∠A﹣∠P＝∠P+∠D，∴∠P＝（∠A﹣∠D），∵∠A＝55°，∠D＝15°，∴∠P＝（55°﹣15°）＝20°．故选：B．【变式1-2】．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，∠ABC+∠ACB＝100°，则∠BIC的度数为（）A．80°B．50°C．100°D．130°解（1）∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，∴∠BCI＝∠ACB，∠CBI＝∠ABC，∴∠BIC＝180°﹣∠BCI﹣∠CBI＝180°﹣100°＝130°；故选：D．【变式1-3】．如图，已知∠BOF＝120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．解：如图，根据三角形的外角性质，∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，∵∠BOF＝120°，∴∠3＝180°﹣120°＝60°，根据三角形内角和定理，∠E+∠1＝180°﹣60°＝120°，∠F+∠2＝180°﹣60°＝120°，所以，∠1+∠2+∠E+∠F＝120°+120°＝240°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝240°．【变式1-4】．如图所示，已知P是△ABC内一点，试说明PA+PB+PC＞（AB+BC+AC）．证明：在△ABP中：AP+BP＞AB．同理：BP+PC＞BC，AP+PC＞AC．以上三式分别相加得到：2（PA+PB+PC）＞AB+BC+AC，即PA+PB+PC＞（AB+BC+AC）．考点二：8字模型【例2】．如图，∠1＝60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝解：由三角形外角的性质得：∠3＝∠A+∠E，∠2＝∠F+∠D，∵∠1+∠2+∠3＝180°，∠1＝60°，∴∠2+∠3＝120°，即：∠A+∠E+∠F+∠D＝120°，∵∠B+∠C＝120°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝240°．变式训练【变式2-1】．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．解：在△ACE中：∠A+∠C+∠E＝180°，在△BDF中：∠B+∠D+∠F＝180°，则：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°，故答案为：360．【变式2-2】．如图，A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数是360度．解：延长FE交AB于M，设FE交CD于N，∵∠CNE＝∠D+∠DEF，∠FMB＝∠F+∠A，又∵∠C+∠B+∠CNE+∠FMB＝360°，∴∠C+∠B+∠D+∠DEF+∠F+∠A＝360°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠DEF+∠F＝360°，故答案为：360．【变式2-3】．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．解：∵∠1＝∠A+∠B，∠2＝∠C+∠D，又∵∠1+∠2+∠E+∠F＝360°∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．故答案为：360．实战演练【变式2-4】．一副三角板如图摆放，其中一块三角板的直角边EF 落在另一块三角板的斜边AC 上，边BC 与DF 交于点O ，则∠BOD 的度数是105°．解：△COF 中，∵∠CFO ＝45°，∠FCO ＝30°，∴∠COF ＝180°﹣∠CFO ﹣∠FCO ＝180°﹣45°﹣30°＝105°，∵∠COF ＝∠BOD ，∴∠BOD＝105°，故答案为：105°．1．如图，已知AB ⊥BD ，AC ⊥，∠A ＝35°，则∠D 的度数为（）A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°解：因为∠AEB 与∠DEC 是一组对顶角，所以∠AEB ＝∠DEC ．在△ABO 中AB ⊥BD ，∠A ＝35°，所以∠AEB ＝65°．在△DCO 中AC ⊥CD ，∠DEC ＝65°，所以∠D ＝35°．故选：A ．2．如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的度数为（）A．120°B．150°C．180°D．200°解：如图可知：∵∠4是三角形的外角，∴∠4＝∠A+∠2，同理∠2也是三角形的外角，∴∠2＝∠E+∠C，在△BDG中，∵∠B+∠D+∠4＝180°，∴∠B+∠E+∠A+∠D+∠C＝180°．故选：C．3．如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠；使点B落在点B'处，若∠B＝35°，∠BNM＝28°，则∠AMB'的度数为（）A．30°B．37°C．54°D．63°解：∵△BMN沿MN折叠，使点B落在点B'处，∴△BMN≌△B'MN，∴∠BMN＝∠B'MN，∵∠B＝35°，∠BNM＝28°，∴∠BMN＝180°﹣35°﹣28°＝117°，∠AMN＝35°+28°＝63°，∴∠AMB'＝∠B'MN﹣∠AMN＝117°﹣63°＝54°，故选：C．4．如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中角α的度数为140°．解：如图，∵∠B＝30°，∠DCB＝65°，∴∠DFB＝∠B+∠DCB＝30°+65°＝95°，∴∠α＝∠D+∠DFB＝45°+95°＝140°，故答案为：140°．5.已知如图，BQ平分∠ABP，CQ平分∠ACP，∠BAC＝α，∠BPC＝β，则∠BQC＝（α+β）．（用α，β表示）解：连接BC，∵BQ平分∠ABP，CQ平分∠ACP，∴∠3＝ABP，∠4＝ACP，∵∠1+∠2＝180°﹣β，2（∠3+∠4）+（∠1+∠2）＝180°﹣α，∴∠3+∠4＝（β﹣α），∵∠BQC＝180°﹣（∠1+∠2）﹣（∠3+∠4）＝180°﹣（180°﹣β）﹣（β﹣α），即：∠BQC＝（α+β）．故答案为：（α+β）．6．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠H＝540度．解：如图，连接CH，由三角形的内角和定理得，∠A+∠B＝∠1+∠2，由多边形的内角和公式得，∠1+∠2+∠C+∠D+∠E+∠F+∠H＝（5﹣2）•180°＝540°，所以，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠H＝540°．故答案为：540．7．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝230°．解：∵∠1＝∠A+∠B，∠2＝∠D+∠E，又∵∠1+∠F＝115°，∠2+∠C＝115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠＝115°+115°＝230°．故答案为：230°．8．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为解：连KF，GI，如图，∵7边形ABCDEFK的内角和＝（7﹣2）×180°＝900°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K＝900°﹣（∠1+∠2），即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+（∠1+∠2）＝900°，∵∠1+∠2＝∠3+∠4，∠5+∠6+∠H＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+（∠3+∠4）＝900°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+（∠3+∠4）+∠5+∠6+∠H＝900°+180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K＝1080°．故选：C．9．如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应减少（填“增加”或“减少”）10度．解：连接CF，并延长至点M，如图所示．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝60°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣50°﹣60°＝70°，∴∠DCE＝∠ACB＝70°．∵∠DFM＝∠DCF+∠D，∠EFM＝∠ECF+∠E，∴∠EFD＝∠DCF+∠ECF+∠D+∠E＝∠DCE+∠D+∠E，即110°＝70°+∠D+30°，∴∠D＝10°，∴20°﹣10°＝10°，∴图中∠D应减少（填“增加”或“减少”）10度．故答案为：减少；10．10．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I的值．解：如图所示，分别延长BC、IH交EF于点M、N，由三角形的外角的性质可知：∠C+∠D＝∠1，∠G+∠H＝∠2，∠4＝∠1+∠B＝∠C+∠D+∠B，∠3＝∠2+∠F＝∠G+∠H+∠F，∴∠3+∠4＝∠5+∠HNM+∠5+∠CMN＝180°+∠5，∵∠5＝∠6＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠I，∴∠C+∠D+∠B+∠G+∠H+∠F＝180°+360°﹣∠A﹣∠B﹣∠I，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝180°+360°＝540°11．如图，已知AB∥DE，∠ABC、∠CED的平分线交于点F．探究∠BFE与∠BCE之间的数量关系，并证明你的结论．解：过点C作直线MN∥AB，∵AB∥DE，MN∥AB，∴MN∥DE，∴∠DEC＝∠ECN，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠BCN，∴∠BCE＝∠ABC+∠DEC，同理∠BFE＝∠ABF+∠DEF，∵∠ABC、∠CED的平分线交于点F，∴∠ABC＝2∠ABF，∠DEC＝2∠DEF，∴∠BCE＝2∠ABF+2∠DEF＝2∠BFE．12．如图，DP平分∠ADC，PB平分∠ABC，求证：∠P＝（∠A+∠C）证明：如右图所示，∵∠CMP＝∠C+∠CDP＝∠P+∠CBP，∠ANP＝∠P+∠ADP＝∠A+∠ABP，∴∠P+∠CBP+∠P+∠ADP＝∠C+∠CDP+∠A+∠ABP，又∵DP、BP是∠ADC、∠ABC的角平分线，∴∠CDP＝∠ADP，∠CBP＝∠ABP，∴2∠P＝∠C+∠A，∴∠P＝（∠A+∠C）．13．如图，在四边形ABCD中，AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB，AM与CM交于M．探究∠AMC与∠B、∠D间的数量关系．解：∠AMC＝180°﹣∠B+∠D，理由如下：∵AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB，∴∠BAD＝2∠BAM，∠BCD＝2∠BCM，∵∠BAD+∠B+∠BCD+∠d＝360°，∴∠BAM+∠BCM+∠B+∠D＝180°，∴∠BAM+∠BCM＝180°﹣∠B﹣∠D，∵∠B+∠AMC+∠BAM+∠BCM＝∠B+∠AMC+180°﹣∠B﹣∠D＝360°，∴∠AMC＝360°﹣（180°﹣∠B﹣∠D）﹣∠B＝180°﹣∠B+∠D．14．（1）探究：如图1，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．（2）应用：如图2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．解：（1）作射线AO，∵∠3是△ABO的外角，∴∠1+∠B＝∠3，①∵∠4是△AOC的外角，∴∠2+∠C＝∠4，②①+②得，∠1+∠B+∠2+∠C＝∠3+∠4，即∠BOC＝∠A+∠B+∠C；（2）连接AD，同（1）可得，∠F+∠2+∠3＝∠DEF③，∠1+∠4+∠C＝∠ABC④，③+④得，∠F+∠2+∠3+∠1+∠4+∠C＝∠DEF+∠ABC＝130°+100°＝230°，即∠BAF+∠C+∠CDE+∠F＝230°．15．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，我们把形如图1的图形称之为“8字形“．如图2，∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于点M、N．试解答下列问题：①仔细观察，在图2中有3个以线段AC为边的“8字形”；②若∠B＝76°，∠C＝80°，试求∠P的度数；③∠C和∠B为任意角时AP、DP分别是∠CAB、∠BDC的三等分线，写出∠P与∠C、∠B之间数量关系，并说明理由．解：①3；故答案为3．②证明：∵∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，∴∠CAP＝∠BAP，∠BDP＝∠CDP，∵∠CAP+∠C＝∠CDP+∠P，∠BAP+∠P＝∠BDP+∠B，∴∠C﹣∠P＝∠P﹣∠B，即∠P＝（∠C+∠B），∵∠C＝80°，∠B＝76°，∴∠P＝（80°+76°）＝78°；③∠P＝（2∠C+∠B）或∠P＝（∠C+2∠B）．证明：设∠CAB＝3α，∠BDC＝3β，i）如图3，∠CAP：∠BAP＝∠CDP：∠BDP＝2：1，∴∠CAP＝2α，∠BAP＝α，∠BDP＝β，∠CDP＝2β，∵∠CAP+∠C＝∠CDP+∠P，∠BAP+∠P＝∠BDP+∠B，∴∠C﹣∠P＝2β﹣2α，∠P﹣∠B＝β﹣α，∴∠C﹣∠P＝2∠P﹣2∠B，∴∠P＝（∠C+2∠B），ii）如图4，∠CAP：∠BAP＝∠CDP：∠BDP＝1：2，∴∠CAP＝α，∠BAP＝2α，∠BDP＝2β，∠CDP＝β，∵∠CAP+∠C＝∠CDP+∠P，∠BAP+∠P＝∠BDP+∠B，∴∠C﹣∠P＝β﹣α，∠P﹣∠B＝2β﹣2α，∴2（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B，∴∠P＝（2∠C+∠B），16．阅读材料，回答下列问题：【材料提出】“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．【探索研究】探索一：如图1，在八字型中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为∠A+∠B＝∠C+∠D；探索二：如图2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数为25°；探索三：如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，则∠P、∠B、∠D之间的数量关系为∠P＝．【模型应用】应用一：如图4，延长BM、CN，交于点A，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P，则∠A＝α+β﹣180°（用含有α和β的代数式表示），∠P＝．（用含有α和β的代数式表示）应用二：如图5，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线所在的直线相交于点P，∠P＝．（用含有α和β的代数式表示）【拓展延伸】拓展一：如图6，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为∠P＝．（用x、y表示∠P）拓展二：如图7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．解：探索一：如图1，∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D，故答案为∠A+∠B＝∠C+∠D；探索二：如图2，∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，由（1）可得：∠1+∠B＝∠3+∠P，∠2+∠P＝∠4+∠D，∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，即2∠P＝∠B+∠D，∵∠B＝36°，∠D＝14°，∴∠P＝25°，故答案为25°；探索三：由①∠D+2∠1＝∠B+2∠3，由②2∠B+2∠3＝2∠P+2∠1，①+②得：∠D+2∠B+2∠1+2∠3＝∠B+2∠3+2∠P+2∠1∠D+2∠B＝2∠P+∠B．∴∠P＝．故答案为：∠P＝．应用一：如图4，由题意知延长BM、CN，交于点A，∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，∴∠AMN＝180°﹣α，∠ANM＝180°﹣β，∴∠A＝180°﹣（∠AMN+∠ANM）＝180°﹣（180°﹣α+180°﹣β）＝α+β﹣180°；∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，∵∠PCD＝∠P+∠PBC，∴∠P＝∠PCD﹣∠PBC＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A＝，故答案为：α+β﹣180°，；应用二：如图5，延长MB、NC，交于点A，设T是CB的延长线上一点，R是BC延长线上一点，∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，∴∠A＝180°﹣α﹣β，∵BP平分∠MBC，CP平分∠NCR，∴BP平分∠ABT，CP平分∠ACB，由应用一得：∠P＝∠A＝，故答案为：；拓展一：如图6，由探索一可得：∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠B+∠CDB＝∠C+∠CAB，∵∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，∴∠CDB﹣∠CAB＝∠C﹣∠B＝x﹣y，∠PAB＝∠CAB，∠PDB＝∠CDB，∴∠P+∠CAB＝∠B+∠CDB，∠P+∠CDB＝∠C+∠CAB，∴2∠P＝∠C+∠B+（∠CDB﹣∠CAB）＝x+y+（x﹣y）＝，∴∠P＝，故答案为：∠P＝；拓展二：如图7，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，∴∠PAD＝∠BAD，∠PCD＝90°+∠BCD，由探索一得：①∠B+∠BAD＝∠D+∠BCD，②∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，②×2，得：③2∠P+∠BAD＝2∠D+180°+∠BCD，③﹣①，得：2∠P﹣∠B＝∠D+180°，∴2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°，故答案为：2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．。