福建省福州第一中学2016届高三数学下学期模拟考试(5月质检)试题文

文科数学试题答案及评分参考第1页（共2页）2017-2018文科数学高三下第8周周练（2016年福州质量检测）一、 C B C A A BD B C B C D二、（13）14（14）32-（15）9π（16）(+ 三、 （17）（Ⅰ）证明：因为当2n …时，1n n n a S S -=-，所以211()0n n n n n n S S S S S S ----+-=． ····························································· 1分 所以110n n n n S S S S --+-=, ············································································· 2分因为11,2a =所以216a =-，所以10n n S S -≠，所以1111n n S S --=． ···························· 4分所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以112S =为首项，以1为公差的等差数列． ···································· 6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得()1211n n n S =+-=+，所以11n S n =+. ································· 8分 所以1111(1)1n S n n n n n ==-++． ·································································· 10分所以12311111111++1++232231n S S S S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+-- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭························· 11分 1111nn n =-=++． ·············································· 12分 （18）解：································ 3分 假设0:H 喜欢娱乐节目A 与观众性别无关，则2K 的观测值()2602415156540=5.934 3.8413921303091k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， ···························· 5分所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目A 与观众性别有关． ·············································································································· 6分（Ⅱ）利用分层抽样在男性观众30名中抽取5名，其中喜欢娱乐节目A 的人数为524430⨯=，不喜欢节目A 的人数为56=130⨯．···································································· 7分 被抽取的喜欢娱乐节目A 的4名分别记为,,,a b c d ；不喜欢节目A 的1名记为B ． 则从5名中任选2人的所有可能的结果为：{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a B b c b d b B {}{}{},,,,,c d c B d B ，共有10种．·············································································································· 9分 其中恰有1名喜欢节目A 和1名不喜欢节目A 的有{}{}{}{},,,,,,,a B b B c B d B ，共4种．············································································································ 10分所以所求概率是：42=105． ········································································ 12分（19）（Ⅰ）【解析】（1）设AC BD O ⋂=,则O 为底面正方形ABCD 中心，连接SO , 因为S ABCD -为正四梭锥.所以SO ⊥平面ABCD ,所以SO AC ⊥. ·················· 2分 又BD AC ⊥,且SO BD O ⋂=,所以AC ⊥平面SBD ； ··································· 4分 因为SB ⊂平面SBD ,故AC SB ⊥. ······························································ 5分 （2）设SO EF G ⋂=,连,AG CG .取CG 中点H ，连OH 并延长交SC 的点为M ， ···· 6分 ∵O 是AC 中点，∴//OH AG ,即//OM AG ， ············································· 7分又//EF BD ，,OM BD ⊄平面AEF ，,AG EF ⊂平面AEF ，∴//OM 平面AEF ,//BD 平面AEF ， ······················································· 9分 又OM BD O ⋂=，,OM BD ⊂平面MBD ，∴平面//MBD 平面AEF ， ········· 10分在SOC ∆中，作//GN HM 交SC 于N ， 则N 是SM 中点，M 是CN 中点，∴2SMMC=. ··········································· 12分（20）本小题考查点与圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等.满分12分．解法一：（Ⅰ）依题意得，24c a ==， ···················································· 2分所以2221b a c =-=，所以E 的方程为2214x y +=． ·········································· 4分 （Ⅱ）点A 在M 外．理由如下：设()()1122,,,P x y Q x y ， ·································· 5分 由22(1),44,y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=， ············································ 6分 所以，22222(8)4(41)(44)48160k k k k ∆=--+-=+>，所以2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+. ····························································· 8分因为()()11222,,2,AP x y AQ x y =-=-，所以AP AQ ⋅()()121222x x y y =--+，2221212(1)(2)()4k x x k x x k =+-++++22222224(1)(1)8(2)41414k k k k k k k +-+=-++++2214k k =+． ·························· 10分 因为0k ≠，所以0AP AQ ⋅>．所以点A 在M 外． ········································ 12分 解法二：（Ⅰ）同解法一．（Ⅱ）点A 在M 外．理由如下：设()()1122,,,P x y Q x y ， ·································· 5分由22(1),44,y k x x y =-⎧⎨+=⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=， ············································ 6分 所以，22222(8)4(41)(44)48160k k k k ∆=--+-=+>，文科数学试题答案及评分参考第2页（共2页）所以2122814k x x k+=+，21224414k x x k -=+. ····························································· 8分 所以()121222214ky y k x x k -+=+-=+，所以圆心M 坐标为2224,1414k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，12PQ x =-==····························· 9分 所以M 的方程为()()()22222222241134141414k k k k x y k k k ++⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+． ················ 10分 因为()()()()()2222222222222411341420014141414k k k k k k k k k k +++⎛⎫⎛⎫-++-=> ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭++， ·············· 11分 所以点A 在M 外． ················································································ 12分 （21）解：（Ⅰ）()e x f x a '=-，依题意，设切点为0(,0)x ， ····························· 1分则00()0,()0,f x f x =⎧⎨'=⎩即000e (1)0,e 0,xx a x a ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩解得00,1,x a =⎧⎨=⎩ ················································ 3分所以()e 1x f x '=-，所以，当0x <时，()0f x '<；当0x >时，()0f x '>．所以，()f x 的单调递减区间为(,0)-∞，单调递增区间为()0,+∞． ······················· 5分 （Ⅱ）令2()()g x f x mx =-，则()e 21x g x mx '=--，令()()h x g x '=，则()e 2x h x m '=-，································································ 7分（ⅰ）若12m …，因为当0x >时，e 1x >，所以()0h x '>，所以()h x 即()g x '在[0,)+∞上单调递增．(0)0g '=，所以当0x >时，()()00g x g ''>=，从而()g x 在[0,)+∞递增，而(0)0g =，所以()()00g x g >=，即2()f x mx >成立． ···················· 9分（ⅱ）若12m >，令()0h x '=，解得ln(2)0x m =>， 当(0,ln(2))x m ∈，()0h x '<，所以()h x 即()g x '在[0,ln(2))m 上单调递减，又因为(0)0g '=，所以当(0,ln(2))x m ∈时，()0g x '<，从而()g x 在[0,ln(2))m 上单调递减， 而(0)0g =，所以当(0,ln(2))x m ∈时，()()00g x g <=，即2()f x mx >不成立．综上所述，k 的取值范围是1(,]2-∞． ···························································· 12分请考生在第（22）,（23）,（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．（22）选修41-：几何证明选讲本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等．满分10分．解：（Ⅰ）设ABE ∆外接圆的圆心为O '，连结BO '并延长交圆O '于G 点，连结GE ， 则90BEG ∠=︒,BAE BGE ∠=∠．因为AF 平分∠BAC ，所以 =BF FC ，所以FBE BAE ∠=∠，························· 2分所以18090FBG FBE EBG BGE EBG BEG ∠=∠+∠=∠+∠=︒-∠=︒， 所以O B BF '⊥，所以BF 是ABE ∆外接圆的切线． ······································ 5分（Ⅱ）连接DF ，则DF BC ⊥，所以DF 是圆O 的直径，因为222BD BF DF +=，222DA AF DF +=， 所以2222BD DA AF BF -=-． ······································· 7分 因为AF 平分∠BAC ，所以ABF ∆∽AEC ∆,所以AB AF AE AC=，所以()AB AC AE AF AF EF AF ⋅=⋅=-⋅, 因为FBE BAE ∠=∠，所以FBE ∆∽FAB ∆，从而2BF FE FA =⋅，所以22AB AC AF BF ⋅=-，所以226BD DA AB AC -=⋅=． ····························································· 10分 （）选修44-；坐标系与参数方程23解：（Ⅰ）将22cos ,2sin x y αα=+⎧⎨=⎩消去参数α，化为普通方程为22(2)4x y -+=，即221:40C x y x +-=， ··············································································· 2分 将cos ,sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入221:40C x y x +-=，得24cos ρρθ=， ································· 4分所以1C 的极坐标方程为4cos ρθ=． ······························································ 5分（Ⅱ）将2,x x y y '=⎧⎨'=⎩代入2C 得221x y ''+=，所以3C 的方程为221x y +=． ················· 7分3C 的极坐标方程为1ρ=，所以||1OB =．又π||4cos23OA ==， 所以||||||1AB OA OB =-=． ········································································ 10分 （24）选修45-：不等式选讲 解：（Ⅰ）由|3|21x x +<+得， 3,(3)21,x x x -⎧⎨-+<+⎩ (3)321,x x x >-⎧⎨+<+⎩ ·································································· 2分 解得2x >．依题意2m =． ·········································································· 5分（Ⅱ）因为()1111x t x x t x t t t t t t ⎛⎫-++--+=+=+ ⎪⎝⎭…，当且仅当()10x t x t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭…时取等号， ····························································· 7分关于x 的方程1||||2x t x t-++=（0t ≠）有实数根，所以12t t +…． ··················· 8分另一方面，12t t +…，所以12t t+=， ························································· 9分 所以1t =或1t =-． ·················································································· 10分。

2016届福州一中高中毕业班理科数学模拟试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第 Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的．（1） 若集合{}1216xA x =≤≤，{}23log (2)1B x x x =->，则A B I 等于(A)(]3,4 (B) []3,4 (C) (](,0)0,4-∞U (D) (](,1)0,4-∞-U （2） 计算sin 46cos16cos314sin16⋅-⋅=o o o o2 (C)(D) 12 （3） 已知随机变量ξ服从正态分布2(3,)N σ，若(6)0.16P ξ>=，则(03)P ξ≤≤= (A) 0.84 (B) 0.68 (C) 0.34 (D) 0.16（4）设命题0300:(0,),3x p x x ∃∈+∞<，则p ⌝为(A) 3(0,),3xx x ∀∈+∞≥ (B) 3(0,),3x x x ∃∈+∞≥ (C) 3(0,),3xx x ∀∈+∞< (D) 3(0,),3x x x∃∈+∞<（5）二项式5(2x 的展开式中x 的系数等于 (A) 40- (B) 40 (C) 20- (D) 20（6）设向量12,,OA e OB e ==u u u r u r u u u r u r 若1e u r 与2e u r不共线，且6AP PB =u u u r u u u r ，则OP =u u u r(A) 121677e e -u r u r (B) 126177e e -u r u r (C) 121677e e +u r u r (D) 126177e e +ur u r（7）已知函数1()sin()()46f x x x R π=+∈，把函数()f x 的图象向右平移83π个单位得函数()g x 的图象，则下面结论正确的是(A) 函数()g x 是奇函数 (B) 函数()g x 在区间[],2ππ上是增函数(C) 函数()g x 的最小正周期是4π (D) 函数()g x 的图象关于直线x π=对称（8）在一球面上有,,A B C 三点，如果43,60AB ACB =∠=o ，球心O 到平面ABC 的距离为3，则球O 的表面积为(A) 36π (B) 64π (C) 100π (D) 144π （9）右边程序框图的算法思路，源于我国南 宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书 九章》中提出的秦九韶算法，执行该程序 框图，若输入的,,n n a x 分别为5,1,2-， 且432105,10,10,5,1a a a a a =====，则输出的v =(A) 1 (B) 2 (C) 1- (D) 2-（10）某三棱锥的三视图如上图所示，其侧（左）视图为直角三角形，则该三棱锥最长的棱长等于 (A) 42 (B) 34 (C) 41 (D) 52(11) 已知,O F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的中心和右焦点，点,G M 分别在E 的渐近线和右支，FG OG ⊥，//GM x 轴，且OM OF =，则E 的离心率为(A)52 (B) 62 (C) 72(D) 2 (12) 设定义在(0,)+∞的函数()f x 的导函数是()f x '，且43()3()xx f x x f x e'+=，3(3)81e f =，则0x >时，()f x(A) 有极大值，无极小值 (B) 有极小值，无极大值(C) 既无极大值，又无极小值 (D) 既有极大值，又有极小值53 4输入i ai v vx a =+1i i =-开 始 输入,,n n a x 的值n v a =是0?i ≥ 输出v 结 束 否第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． （13）已知复数z 的共轭复数112iz i+=-，则复数z 的虚部是_______. （14）若,x y 满足约束条件2,y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩且3z x y =-的最小值是最大值的3-倍，则a 的值是_____.（15）若椭圆的中心在原点，一个焦点为(1,0)，直线2230x y --=与椭圆相交，所得弦 的中点的横坐标为1，则这个椭圆的方程为_________. （16）若ABC ∆的内角满足sin 2sin A C B +=，则角C 的最大值是_______.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且623518,3n n S S a a =+=，数列{}n b 满足124n Sn b b b =gg L g . （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）令2log n n c b =，且数列11n n c c +⎧⎫⎨⎬⎩⎭g 的前n 项和为n T ，求2016T .（18）（本小题满分12分）如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧面11ADD A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，其中11//,,12,BC AD AB AD AD AD ⊥==4AB BC ==. （Ⅰ）在线段AD 上求一点N ，使得//CN 平面11ABB A ，并加以证明； （Ⅱ）对于（Ⅰ）中的点N ，求锐二面角11D ND C --的余弦值.（19）（本小题满分12分）某商场每天以每件100元的价格购入A 商品若干件，并以每件200元的价格出售，若所购进的A 商品前8小时没有售完，则商场对没卖出的A 商品以每件60元的低价当天处理完毕（假定A 商品当天能够处理完）.该商场统计了100天A 商品在每天的前8小时的销售量，（Ⅰ）某天该商场共购入8件A 商品，在前8个小时售出6件. 若这些产品被8名不同的顾客购买，现从这8名顾客中随机选4人进行回访，求恰有三人是以每件200元的价格购买的概率；（Ⅱ）将频率视为概率，要使商场每天购进A 商品时所获得的平均利润最大，则每天应购进几件A 商品，并说明理由.（20）（本小题满分12分） 已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ，过F 且垂直于x 轴的直线与抛物线E 交于,A B 两点，E 的准线与x 轴交于点C ，CAB ∆的面积为4，以点(3,0)D 为圆心的圆D 过点,A B .（Ⅰ）求抛物线E 和圆D 的方程；（Ⅱ）若斜率为(1)k k ≥的直线m 与圆D 相切，且与抛物线E 交于,M N 两点，求FM FN⋅u u u u r u u u r 的取值范围.（21）（本小题满分12分）已知函数2()2ln (0,)f x ax bx x a b R =+->∈，若对任意0,()(2)x f x f >≥. （Ⅰ）写出()b g a =的表达式；（Ⅱ）已知,c d 为不相等的两个整数，且c k d ≤≤时ln 0a kb +≤恒成立，求c 的最小值与d的最大值.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时请写清题号．（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 内接于圆O ，AD 与BC 的延长线交于圆O 外一点E ，自E 引一直线平行于AC ，交BD 的延长线于M ，自M 引MT 切圆O 于T . （Ⅰ）求证：MT ME =；（Ⅱ）若,3,1AE BM MT MD ⊥==，求BE 的长.（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为221x y +=，在以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为8cos 2sin ρθθ=+.（Ⅰ）将1C 上的所有点的横坐标和纵坐标分别伸长为原来的22C ，求曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若,P Q 分别为曲线2C 与直线l 上的两个动点，求PQ 的最小值以及此时点P 的坐标.（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 如果关于x 的不等式16x x a -+-≤的解集为空集. （Ⅰ）求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若实数b 与实数a 取值范围相同，求证：255ab a b ->-.2016届福州一中高中毕业班模拟考试理科数学试题答案及评分参考评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题：每小题5分，满分60分．（1）A （2）D （3）C （4）A （5）A （6）C （7）B （8）C （9）C （10）C （11）D （12）C（12）简解： 343()()x e x f x f x x -'=，设3()3()x h x e f x x =-，则32()3()3()x h x e f x x f x x ''⎡⎤=-+⎣⎦433()3()x e f x x f x x x'⎡⎤=-+⎣⎦ 33x x x x e e e x x-=-⋅=⋅，所以3()(3)81(3)0h x h e f ≥=-=， 即()0f x '≥，因此()f x 在(0,)+∞既无极大值，又无极小值.二、填空题：每小题5分，满分20分．（13）35- （14）1- （15）2212x y += （16）12π（16）简解：2,a c c +==，222)2cos 2a a b C ab-+-=223284a b ab ++=≥，即cos cos 12C π≥，所以角max 12C π=，当,,0b c a ==>时取得. 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． （17）本小题满分12分解：（Ⅰ）设数列{}n a 的公差为d ， 则[]11116155(2)18(1)(31)3(1)(2)a d a d a n d a n d +=++⎧⎪⎨+-=+-⎪⎩由（1）得12590a d -+=， ···················· 2分 由（2）得1a d =，联立得13a d ==， ················ 3分 所以3n a n =. ··························· 4分 易知164b =， ·························· 5分当2n ≥时11214n S n b b b --=gg L g ，又124n Sn b b b =gg L g ， 两式相除得64(2)nn b n =≥， ···················· 7分164b =满足上式，所以64n n b =. ················· 8分（Ⅱ）2log 646n n c n ==，111111()36(1)361n n c c n n n n +==-++g ， ···10分 11(1)361n T n =-+，························ 11分 因此2016562017T =. ························ 12分（18）本小题满分12分解：（Ⅰ）在线段AD 上截取4AN =，连接NC ， ··········· 1分 因为//,AN BC AN BC =，所以四边形ABCN 为平行四边形， ················ 2分 所以//CN AB ，又CN ⊄平面11ABB A ，因此//CN 平面11ABB A . ···················· 3分A1 D 1 B 1-C 1A N D（Ⅱ）因为2222116144AA AD +=+=，211144A D =， 所以2221111AA AD A D +=，且1112A D AA =，所以11AD AA ⊥，且1130A D A ∠=o，因为11//,//BC AD BB AA ，所以平面11//BCC B 平面11ADD A . ····· 4分 作11NK A D ⊥于点K ，则,,NC ND NK 两两垂直，以点N 为原点O ，分别以,,NC ND NK u u u r u u u r u u u r的方向为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，如图所示． ························· 5分可得1D ，1(4,C -， ················· 6分 易知平面1DND 的法向量(1,0,0)=m ，设平面11C ND 的法向量(,,)x y z =n ，则110,0,ND NC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u u r u u u u r n n 即50,430,y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩取y =5)=-n ， ·· 10分 则|cos ,|m m m ⋅<>==n n n ··············· 11分 所以锐二面角11D ND C --············· 12分 （19）本小题满分12分解：（1）记“恰有三人是以每件200元的价格购买”为事件B ，则3162484()7C C P B C ⋅==. ······················ 5分 （2）设商场销售A 商品获得的平均利润为ξ（单位：元）依题意，将频率视为概率，为使每天购进A 商品时所获得的平均利润最大，则每天应购进的件数可能为6件或7件或8件. ················· 6分 当购进A 商品6件时，()1006600E ξ=⨯=（元） ··········· 7分 当购进A 商品7件时，46()(100640)10076441010E ξ=⨯-⨯+⨯⨯=（元） 9分当购进A 商品8件时，403525()(1006240)(100740)1008100100100E ξ=⨯-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯即()639E ξ=（元） ························ 11分 所以商场每天购进7件A 商品时所获得的平均利润最大. ········· 12分（20）本小题满分12分解法一：（Ⅰ）如图，2(,0),(,),(,),(,0),2222ABC p p p pF A p B p C S p --=V ,··· 1分 由24p =得2p =，圆D半径R = ················· 3分所以抛物线2:4E y x =，圆22:(3)8D x y -+=. ·············· 4分 （Ⅱ）m解法一：设直线:(1)m y kx b k =+≥=2268k kb b ++=，①联立24y b x k y x -⎧=⎪⎨⎪=⎩得2440ky y b -+=，()*1616kb ∆=-， ······· 5分由①知1kb ≤，即0∆≥ ························· 6分所以方程()*有两个实数根12,y y ，且121244,by y y y k k+== ········· 7分点221212(,),(,)44y y M y N y ，221212(4)(4)16y y FM FN y y --⋅=+u u u u r u u u r221212121()4()241616y y y y y y ⎡⎤=-+++⎣⎦ 22264b kb k k ++-=24k = ································ 11分 因为1k ≥，所以FM FN ⋅u u u u r u u u r的取值范围是(]0,4. ············· 12分 解法二：设直线:(1)m y kx b k =+≥=2268k kb b ++=，①联立24y kx b y x=+⎧⎨=⎩得2222(2)0k x kb x b +-+=，()*1616kb ∆=-， ··· 5分由①知1kb ≤，即0∆≥ ························· 6分所以方程()*有两个实数根12,x x ，且21212222(2),kb b x x x x k k--+== ······ 7分点1122(,),(,)M x kx b N x kx b ++， 1212(1)(1)()()FM FN x x kx b kx b ⋅=--+++u u u u r u u u r221212(1)(1)()1k x x kb x x b =++-+++22264b kb k k ++-= 24k = ································ 11分 因为1k ≥，所以FM FN ⋅u u u u r u u u r的取值范围是(]0,4. ············· 12分（21）本小题满分12分解：（Ⅰ）()22222=(0,0)ax bx f x ax b x a x x+-'=+->>， ·········· 1分依题意，2是关于x 的方程2220ax bx +-=的正数根， ············ 2分可得14b a =-，此时()(21)(2)=(0,0)ax x f x x a x+-'>>，所以()f x 在(0,2)单调递减，在(2,)+∞单调递增，满足()(2)f x f ≥， ···· 3分 所以()14(0)g a a a =->. ························ 4分 （Ⅱ）ln ln 4a kb a ka k +=-+，记()ln 4(0)h a a ka k a =-+>，（ⅰ）当0k =时，()ln (0)h a a a =>，(2)ln20h =>，所以0k =不合题意； ····················· 5分（ⅱ）当0k ≠时，14()4()k a k h a a-'=- ················· 6分 若0k <，则()0h a '>，故()h a 在(0,)+∞单调递增，(1)30h k =->，所以0k <不合题意； ·············· 8分若0k >，则()h a 在1(0,)4k单调递增，在1(,)4k +∞单调递减，故max 1()()ln(4)14h a h k k k==-+-. ·················· 9分记()ln(4)1(0)P k k k k =-+->，1()(0)k P k k k-'=>故()P k 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增， ············· 10分11()044P e e=>，(1)ln 40P =-<，(2)1ln80P =-<， (3)2ln120P =-<，(4)3ln160P =->，所以()P k 在(0,1)和(3,4)分别存在一个零点12,k k ， ··········· 11分 即12(0,1),(3,4)k k ∈∈，因此13x ≤≤时()0P k ≤，即ln 0a kb +≤，综上，min 1c =，max 3d =． ······················ 12分请考生在第（22）,（23）,（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．（22）选修41-：几何证明选讲 本小题满分10分解：（Ⅰ）因为MT 切圆O 于T ，所以2MT MD MB =⋅， ········ 1分 又因为//ME AC ，所以MED DAC ∠=∠， ··············· 2分 因为DAC MBE ∠=∠，所以MED MBE ∠=∠ ·············· 3分 又因为DME EMB ∠=∠，所以DME ∆∽EMB ∆, ············· 4分所以MD ME ME MB=，即2ME MD MB =⋅， 所以MT ME =. ·························· 5分 （Ⅱ）因为MT ME =，所以3ME =， ················ 6分因为1,MD MD DE =⊥，所以2222DE ME MD =-= ······ 7分因为2ME MD MB =⋅，3ME =，1MD =，所以8DB =， ······· 8分 又因为DB DE ⊥，所以22BE DB DE =+，即62BE = ··························· 10分 （23）选修44-：坐标系与参数方程本小题满分10分 解：（Ⅰ）在曲线2C 上任取一点M ，设点M 的坐标为(,)M x y ， ······· 1分则点1()23M x y '在曲线1C 上，满足221()()123x y += ········· 3分所以曲线2C 的直角坐标方程为22143x y +=. ················ 5分 （Ⅱ）解法一：直线l 的直角坐标方程为:280l x y +-=， ·········· 6分设点P 的坐标为(2cos 3)P θθ， ··················· 7分点P 到直线l 的距离为4sin()82cos 23sin 8655h πθθθ+-+-==， ···· 8分当3πθ=，即点P 坐标为3(1,)2时，h 455 ·········· 9分所以||PQP 坐标为3(1,)2. ············ 10分 解法二：直线l 的直角坐标方程为:280l x y +-=，············· 6分设与直线l 平行的直线11:2l y x m =-+， ·················· 7分 1l 与2C 联立得：2230x mx m -+-=（*） ················ 8分 由判别式224(3)0m m ∆=--=得2m =±，依题意取2m =，此时方程（*）的根为1x =， ·············· 9分 即点P 坐标为3(1,)2时，点P 到直线l所以||PQP 坐标为3(1,)2. ············ 10分 （24）选修45-：不等式选讲本小题满分10分解：（Ⅰ）解法一：由|1|6(1)(6)5x x x x -+-≥---=，当且仅当16x ≤≤时取等号， ······················ 2分 依题意，5a <， ···························· 4分 所以实数a 的取值范围是(5,5)-. ····················· 5分 解法二：记()|1|6f x x x =-+-，则27(6)()5(16)27(1)x x f x x x x ->⎧⎪=≤≤⎨⎪-+<⎩， ························ 2分 当且仅当16x ≤≤时min ()5f x =， ···················· 3分 依题意，5a <， ···························· 4分 所以实数a 的取值范围是(5,5)-. ····················· 5分 （Ⅱ）解法一：依题意，实数b 的取值范围是(5,5)-， ··········· 6分 因为222222(25)25()6252525ab a b a b a b ---=+-- 22(25)(25)0a b =-->， ························ 9分 所以255ab a b ->-. ························· 10分 解法二：依题意，实数b 的取值范围是(5,5)-， ·············· 6分 要证255ab a b ->-，只需证22(25)25()ab a b ->-， ·········· 7分 即证222262525250a b a b +-->，即证22(25)(25)0a b --> ······· 9分 因为2225,25a b <<，所以22(25)(25)0a b -->成立， 所以255ab a b ->-成立. ······················· 10分。

福建省福州一中、福州三中、福安二中2016年联考高考数学模拟试卷（文科）（解析版）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}2．命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=log a（x ﹣1）的图象过点（2，0），则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q3．已知平面向量，的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）A．2 B．C．1 D．34．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y= C．y=±x D．y=5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A．7 B．8 C．9 D．106．已知函数f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A．在[，]上是增函数B．其图象关于直线x=﹣对称C．函数g（x）是奇函数D．当x∈[0，]时，函数g（x）的值域是[﹣1，2]7．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则（n∈N+）的最小值为（）A．4 B．3 C．2﹣2 D．8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）=，则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（）（注：e为自然对数的底数）A．（0，）B．[，] C．（0，）D．[，e]10．已知双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别是F1，F2，正三角形△AF1F2的顶点A在y 轴上，边AF1与双曲线左支交于点B，且=4，则双曲线C的离心率的值是（）A． +1 B．C． +1 D．11．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O（重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（）A．π B．π C．π D．π12．若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f（x）满足：对于任意的x1，x2∈[﹣2016，2016]，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）﹣2016，且x＞0时，有f（x）＜2016，f（x）的最大值、最小值分别为M，N，则M+N的值为（）A．2015 B．2016 C．4030 D．4032二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设i为虚数单位，则复数= ．14．已知函数f（x）=2x2﹣xf′（2），则函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是．15．若x，y满足若z=x+my的最大值为，则实数m= ．16．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2=b2+c2+bc，a=，S为△ABC 的面积，则S+cosBcosC的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n，a n，成等差数列．（1）证明数列{a n}是等比数列；（2）若b n=log2a n+3，求数列{}的前n项和T n．18．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示：（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并从甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a，b，c的值；（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率．19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB=4，CD=2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求三棱锥A﹣PBC的体积．20．已知椭圆E：（a＞b＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，M为椭圆上任意一点，且|MF1|，|F1F2|，|MF2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．（1）求椭圆E的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥，求出该圆的方程．21．设函数f（x）=x2﹣（a+b）x+ablnx（其中e为自然对数的底数，a≠e，b∈R），曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=﹣e2．（1）求b；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目记分．作答时，请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BEBD﹣AEAC．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016福安市校级模拟）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），曲线C2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ=φ，θ=φ﹣，θ=φ+，与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA||OC|+|OB||OD|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+m|．（Ⅰ）解关于m的不等式f（1）+f（﹣2）≥5；（Ⅱ）当x≠0时，证明：．2016年福建省福州一中、福州三中、福安二中联考高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x|x2+3x+2＜0}，集合，则M∪N=（）A．{x|x≥﹣2} B．{x|x＞﹣1} C．{x|x＜﹣1} D．{x|x≤﹣2}【分析】根据题意先求出集合M和集合N，再求M∪N．【解答】解：∵集合M={x|x2+3x+2＜0}={x|﹣2＜x＜﹣1}，集合={x|2﹣x≤22}={x|﹣x≤2}={x|x≥﹣2}，∴M∪N={x|x≥﹣2}，故选A．【点评】本题考查集合的运算，解题时要认真审题，仔细解答．2．命题p：∃x∈N，x3＜x2；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），函数f（x）=log a（x ﹣1）的图象过点（2，0），则下列命题是真命题的是（）A．p∧q B．p∧￢q C．￢p∧q D．￢p∧￢q【分析】分别判断出p，q的真假，从而判断出复合命题的真假．【解答】解：命题p：∃x∈N，x3＜x2，是假命题；命题q：∀a∈（0，1）∪（1，+∞），令x﹣1=1，解得：x=2，此时f（2）=0，故函数f（x）=log a（x﹣1）的图象过点（2，0），是真命题；故¬p∧q真是真命题；故选：C．【点评】本题考查了不等式以及对数函数的性质，考查复合命题的判断，是一道基础题．3．已知平面向量，的夹角为，且||=1，|+2|=2，则||=（）A．2 B．C．1 D．3【分析】根据向量的数量积的运算和向量的模计算即可．【解答】解：∵|+2|=2，∴+4+4=||2+4||||cos+4||2=||2+2||+4=12，解得||=2，故选：A．【点评】本题考查了向量的数量积的运算和向量的模的计算，属于基础题．4．已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y= B．y= C．y=±x D．y=【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】由已知中的程序语句可知该框图的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序框图，由程序框图可知该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S=﹣12+22﹣32+42的值，∵S=﹣12+22﹣32+42=10故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，属于基础题．6．已知函数f（x）=2sin（2x+），把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象．关于函数g（x），下列说法正确的是（）A．在[，]上是增函数B．其图象关于直线x=﹣对称C．函数g（x）是奇函数D．当x∈[0，]时，函数g（x）的值域是[﹣1，2]【分析】由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的图象性质，得出结论．【解答】解：把函数f（x）=2sin（2x+）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）=2sin[2（x+）+]=2cos2x的图象，显然，函数g（x）是偶函数，故排除C．当x∈[，]，2x∈[，π]，函数g（x）为减函数，故排除A．当x=﹣时，g（x）=0，故g（x）的图象不关于直线x=﹣对称，故排除B．当x∈[0，]时，2x∈[0，]，cos2x∈[﹣，1]，函数g（x）的值域是[﹣1，2]，故选：D．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象性质，属于基础题．7．已知等差数列{a n}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，S n是数列{a n}前n项的和，则（n∈N+）的最小值为（）A．4 B．3 C．2﹣2 D．【分析】由题意得（1+2d）2=1+12d，求出公差d的值，得到数列{a n}的通项公式，前n项和，从而可得，换元，利用基本不等式，即可求出函数的最小值．【解答】解：∵a1=1，a1、a3、a13成等比数列，∴（1+2d）2=1+12d．得d=2或d=0（舍去），∴a n=2n﹣1，∴S n==n2，∴=．令t=n+1，则=t+﹣2≥6﹣2=4当且仅当t=3，即n=2时，∴的最小值为4．故选：A．【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，考查基本不等式，属于中档题．8．一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）．（）A．B．C．D．【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底连长也为2的等腰直角三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的连长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面连长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法可以算出，此二高线的长度长度相等，为，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2++=，故选A．【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的全面积，做本题时要注意本题中的规律应用，即四个侧面两两相等，注意到这一点，可以大大降低运算量．三视图的投影规则是主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等．9．已知函数f（x）=，则方程f（x）=ax恰有两个不同实数根时，实数a 的取值范围是（）（注：e为自然对数的底数）A．（0，）B．[，] C．（0，）D．[，e]【分析】由题意，方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，等价于y=f（x）与y=ax有2个交点，又a表示直线y=ax的斜率，求出a的取值范围．【解答】解：∵方程f（x）=ax恰有两个不同实数根，∴y=f（x）与y=ax有2个交点，又∵a表示直线y=ax的斜率，∴y′=，设切点为（x0，y0），k=，∴切线方程为y﹣y0=（x﹣x0），而切线过原点，∴y0=1，x0=e，k=，∴直线l1的斜率为，又∵直线l2与y=x+1平行，∴直线l2的斜率为，∴实数a的取值范围是[，）．故选：B．【点评】本题考查了函数的图象与性质的应用问题，解题时应结合图象，以及函数与方程的关系，进行解答，是易错题．10．已知双曲线C：﹣=1的左、右焦点分别是F1，F2，正三角形△AF1F2的顶点A在y 轴上，边AF1与双曲线左支交于点B，且=4，则双曲线C的离心率的值是（）A． +1 B．C． +1 D．【分析】不妨设△AF1F2的边长为4，求得c=2，由向量共线可得|BF1|=1，在△BF1F2中，由余弦定理求得|BF2|=，再由双曲线的定义和离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：不妨设△AF1F2的边长为4，则|F1F2|=2c=4，c=2．由，可得|BF1|=1，在△BF1F2中，由余弦定理可得|BF2|2=|BF1|2+|F1F2|2﹣2|BF1||F1F2|cos∠BF1F2=1+16﹣2×1×4×=13，|BF2|=，由双曲线的定义可得2a=|BF2|﹣|BF1|=﹣1，解得a=，则e==．故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的定义和余弦定理，考查运算能力，属于中档题．11．已知一个平放的棱长为4的三棱锥内有一小球O（重量忽略不计），现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，若注入的水的体积是该三棱锥体积的时，小球与该三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（）A．π B．π C．π D．π【分析】先求出没有水的部分的体积是，再求出棱长为2，可得小球的半径，即可求出球的表面积．【解答】解：由题意，没有水的部分的体积是正四面体体积的，∵正四面体的各棱长均为4，∴正四面体体积为=，∴没有水的部分的体积是，设其棱长为a，则=，∴a=2，设小球的半径为r，则4×r=，∴r=，∴球的表面积S=4=．故选：C．【点评】本题考查球的表面积，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确求出半径是关键．12．若定义在区间[﹣2016，2016]上的函数f（x）满足：对于任意的x1，x2∈[﹣2016，2016]，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）﹣2016，且x＞0时，有f（x）＜2016，f（x）的最大值、最小值分别为M，N，则M+N的值为（）A．2015 B．2016 C．4030 D．4032【分析】特殊值法：令x1=x2=0，得f（0）=2016，再令x1+x2=0，将f（0）=2014代入可得f （x）+f（﹣x）=4032．根据条件x＞0时，有f（x）＜2016，得出函数的单调性，根据单调性求出函数的最值．【解答】解：∵对于任意的x1，x2∈[﹣2016，2016]，都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）﹣2016，∴令x1=x2=0，得f（0）=2016，再令x1+x2=0，将f（0）=2014代入可得f（x）+f（﹣x）=4032．设x1＜x2，x1，x2∈[﹣2016，2016]，则x2﹣x1＞0，f（x2﹣x1）=f（x2）+f（﹣x1）﹣2016，∴f（x2）+f（﹣x1）﹣2016＜2016．又∵f（﹣x1）=4032﹣f（x1），∴f（x2）＜f（x1），即函数f（x）是递减的，∴f（x）max=f（﹣2016），f（x）min=f（2016）．又∵f（2016）+f（﹣2016）=4032，∴M+N的值为4032．故选D．【点评】考查了抽象函数中特殊值的求解方法，得出函数的性质．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设i为虚数单位，则复数= i ．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数，则答案可求．【解答】解： =，故答案为：i．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．14．已知函数f（x）=2x2﹣xf′（2），则函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是4x﹣y﹣8=0 ．【分析】求导函数，确定切点处的斜率与切点的坐标，即可求得函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程．【解答】解：∵函数f（x）=2x2﹣xf′（2），∴f′（x）=4x﹣f′（2），∴f′（2）=8﹣f′（2），∴f′（2）=4∴f（2）=8﹣2×4=0∴函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线方程是y﹣0=4（x﹣2）即4x﹣y﹣8=0故答案为：4x﹣y﹣8=0【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，确定切点处的斜率与切点的坐标是关键．15．若x，y满足若z=x+my的最大值为，则实数m= 2 ．【分析】画出满足约束条件的可行域，求出目标函数的最大值，从而建立关于m的等式，即可得出答案．【解答】解：由z=x+my得y=x，作出不等式组对应的平面区域如图：∵z=x+my的最大值为，∴此时z=x+my=，此时目标函数过定点C（，0），作出x+my=的图象，由图象知当直线x+my=，经过但A时，直线AC的斜率k=＞﹣1，即m＞1，由平移可知当直线y=x，经过点A时，目标函数取得最大值，此时满足条件，由，解得，即A（，），同时，A也在直线x+my=上，代入得+m=，解得m=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义确定取得最大值的最优解是解决本题的关键．16．在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2=b2+c2+bc，a=，S为△ABC 的面积，则S+cosBcosC的最大值为．【分析】先利用余弦定理求得A，进而通过正弦定理表示出c，代入面积公式求得S+cosBcosC的表达式，利用两角和与差的余弦函数公式化简求得其最大值．【解答】解：∵a2=b2+c2+bc，∴cosA==﹣，∴A=，由正弦定理 c=a==2sinC，∴S===sinBsinC∴S+cosBcosC=sinBsinC+cosBcosC=cos（B﹣C）≤，故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．求得面积的表达式是解决问题的关键，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且S n，a n，成等差数列．（1）证明数列{a n}是等比数列；（2）若b n=log2a n+3，求数列{}的前n项和T n．【分析】（1）由题意得2a n=S n+，易求，当n≥2时，S n=2a n﹣，S n﹣1=2a n﹣1﹣，两式相减得a n=2a n﹣2a n﹣1（n≥2），由递推式可得结论；（2）由（1）可求=2n﹣2，从而可得b n，进而有=，利用裂项相消法可得T n；【解答】解：（1）证明：由S n，a n，成等差数列，知2a n=S n+，当n=1时，有，∴，当n≥2时，S n=2a n﹣，S n﹣1=2a n﹣1﹣，两式相减得a n=2a n﹣2a n﹣1（n≥2），即a n=2a n﹣1，由于{a n}为正项数列，∴a n﹣1≠0，于是有=2（n≥2），∴数列{a n}从第二项起，每一项与它前一项之比都是同一个常数2，∴数列{a n}是以为首项，以2为公比的等比数列．（2）解：由（1）知==2n﹣2，∴b n=log2a n+3==n+1，∴==，∴T n=（）+（）+…+（）==．【点评】本题考查等差数列、等比数列的概念、数列的求和，裂项相消法是高考考查的重点内容，应熟练掌握．18．从甲、乙两部门中各任选10名员工进行职业技能测试，测试成绩（单位：分）数据的茎叶图如图1所示：（Ⅰ）分别求出甲、乙两组数据的中位数，并从甲组数据频率分布直方图如图2所示，求a，b，c的值；（Ⅱ）从甲、乙两组数据中各任取一个，求所取两数之差的绝对值大于20的概率．【分析】（Ⅰ）根据茎叶图能求出甲部门数据的中位数和乙部门数据的中位数，再求出甲部门的成绩在70～80的频率为0.5，由此能求出a，b，c．（Ⅱ）利用列举法求出从“甲、乙两组数据中各任取一个”的所有可能情况和其中所取“两数之差的绝对值大于20”的情况，由此能求出所取两数之差的绝对值大于20的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据茎叶图得甲部门数据的中位数是78.5，乙部门数据的中位数是78.5；∵甲部门的成绩在70～80的频率为0.5，∴a=0.05，在80～90的频率为0.2，∴b=0.02在60～70的频率为0.1，∴c=0.01．（Ⅱ）从“甲、乙两组数据中各任取一个”的所有可能情况是：（63，67），（63，68），（63，69），（63，73），（63，75），…，（96，86），（96，94），（96，97）共有100种；其中所取“两数之差的绝对值大于20”的情况是：（63，85），（63，86），（63，94），（63，97），（72，94），（72，97），（74，97），（76，97），（91，67），（91，68），（91，69），（96，67），（96，68），（96，69），（96，73），（96，75）共有16种，故所求的概率为．【点评】本题考查概率的求法，考查频率分布直方图的应用，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB=4，CD=2，侧面PAD是边长为2的等边三角形，且与底面ABCD垂直，E为PA的中点．（1）求证：DE∥平面PBC；（2）求三棱锥A﹣PBC的体积．【分析】（1）（法一）取PB的中点F，连接EF，CF，由已知得EF∥AB，且，从而四边形CDEF是平行四边形，由此能证明DE∥平面PBC．（1）（法二）：取AB的中点F，连接DF，EF，由已知得四边形BCDF为平行四边形，从而DF∥BC，由此能证明DE∥平面PBC．（2）取AD的中点O，连接PO，由已知得PO⊥平面ABCD，由此能求出三棱锥A﹣PBC的体积．【解答】（1）证明：（方法一）：取PB的中点F，连接EF，CF．∵点E，F分别是PA，PB的中点∴EF∥AB，且又CD∥AB，且∴EF∥CD，且EF=CD∴四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF．又DE⊄平面PBC，CF⊂平面PBC∴DE∥平面PBC．（1）证明：（方法二）：取AB的中点F，连接DF，EF．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，所以BF∥CD，且BF=CD．所以四边形BCDF为平行四边形，所以DF∥BC．在△PAB中，PE=EA，AF=FB，所以EF∥PB．又DF∩EF=F，PB∩BC=B，所以平面DEF∥平面PBC．因为DE⊂平面DEF，所以DE∥平面PBC．（2）解：取AD的中点O，连接PO．在△PAD中，PA=PD=AD=2，所以PO⊥AD，PO=又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PO⊥平面ABCD，所以PO就是三棱锥P﹣ABC的高．在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，AD=2，AB⊥AD，所以．故．【点评】本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．20．已知椭圆E：（a＞b＞0），F1（﹣c，0），F2（c，0）为椭圆的两个焦点，M为椭圆上任意一点，且|MF1|，|F1F2|，|MF2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．（1）求椭圆E的方程；（2）若存在以原点为圆心的圆，使该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且⊥，求出该圆的方程．【分析】（1）通过|MF1|，|F1F2|，|MF2|构成等差数列，过椭圆焦点垂直于长轴的弦长为3．列出方程，求出a、b，即可求椭圆E的方程；（2）假设以原点为圆心，r为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m，则r=，然后联立直线方程与椭圆方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），结合x1x2+y1y2=0，即可求圆的方程．（ⅱ）若AB的斜率不存在，设A（x1，y1），则B（x1，﹣y1），利用⊥，求出半径，得到结果．【解答】解：（1）由题知2|F1F2|=|MF1|+|MF2|，即2×2c=2a，得a=2c．①又由，得②且a2=b2+c2，综合解得c=1，a=2，b=．∴椭圆E的方程为+=1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）假设以原点为圆心，r为半径的圆满足条件．（ⅰ）若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y=kx+m，则r=，r2=，①消去y，整理得（3+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣3）=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），又∵⊥，∴x1x2+y1y2=0，即4（1+k2）（m2﹣3）﹣8k2m2+3m2+4k2m2=0，化简得m2=（k2+1），②由①②求得r2=．所求圆的方程为x2+y2=．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（ⅱ）若AB的斜率不存在，设A（x1，y1），则B（x1，﹣y1），∵⊥，∴=0，得x=．此时仍有r2=|x|=．综上，总存在以原点为圆心的圆x2+y2=满足题设条件．【点评】考查椭圆的方程和基本性质，与向量相结合的综合问题．考查分析问题解决问题的能力．21．设函数f（x）=x2﹣（a+b）x+ablnx（其中e为自然对数的底数，a≠e，b∈R），曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y=﹣e2．（1）求b；（2）若对任意x∈[，+∞），f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．【分析】（1）求导，从而求b；（2）由（1）得，，从而①当时，要使得f（x）在上有且只有两个零点，只需=，②当时，求导确定零点个数，③当a＞e时，求导确定零点个数．【解答】解：（1），∵f′（e）=0，a≠e，∴b=e；（2）由（1）得，，①当时，由f′（x）＞0得x＞e；由f′（x）＜0得．此时f（x）在上单调递减，在（e，+∞）上单调递增．∵，；∴要使得f（x）在上有且只有两个零点，则只需=，即；②当时，由f′（x）＞0得或x＞e；由f′（x）＜0得a＜x＜e．此时f（x）在（a，e）上单调递减，在和（e，+∞）上单调递增．此时，∴此时f（x）在[e，+∞）至多只有一个零点，不合题意；③当a＞e时，由f′（x）＞0得或x＞a，由f′（x）＜0得e＜x＜a，此时f（x）在和（a，+∞）上单调递增，在（e，a）上单调递减，且，∴f（x）在至多只有一个零点，不合题意．综上所述，a的取值范围为．【点评】本题考查了导数的综合应用及导数的几何意义的应用，同时考查了分类讨论的思想应用，属于中档题．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一个题目记分．作答时，请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB是⊙O的直径，弦CA、BD的延长线相交于点E，EF垂直BA的延长线于点F．求证：（1）∠DEA=∠DFA；（2）AB2=BEBD﹣AEAC．【分析】（1）连接AD，利用AB为圆的直径结合EF与AB的垂直关系，通过证明A，D，E，F四点共圆即可证得结论；（2）由（1）知，BDBE=BABF，再利用△ABC∽△AEF得到比例式，最后利用线段间的关系即求得AB2=BEBD﹣AEAC．【解答】证明：（1）连接AD，因为AB为圆的直径，所以∠ADB=90°，（1分）又EF⊥AB，∠AFE=90°，（1分）则A，D，E，F四点共圆（2分）∴∠DEA=∠DFA（1分）（2）由（1）知，BDBE=BABF，（1分）又△ABC∽△AEF∴，即ABAF=AEAC（2分）∴BEBD﹣AEAC=BABF﹣ABAF=AB（BF﹣AF）=AB2（2分）【点评】本小题主要考查与圆有关的比例线段、四点共圆的证明方法、三角形相似等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．（2016福安市校级模拟）极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），曲线C2的极坐标方程为ρsinθ=a（a＞0），射线θ=φ，θ=φ﹣，θ=φ+，与曲线C1分别交异于极点O的四点A、B、C、D．（Ⅰ）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和曲线C2化成直角坐标方程；（Ⅱ）求|OA||OC|+|OB||OD|的值．【分析】（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），展开可得：，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得直角坐标方程．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，根据曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心解得a，即可得出．（Ⅱ）由题意可得，|OA|，|OB|，|OC|，|OD|，代入利用和差公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为ρ=2sin（θ+），展开可得：，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2．把C2的方程化为直角坐标方程为y=a，∵曲线C1关于曲线C2对称，故直线y=a经过圆心（1，1），解得a=1，故C2的直角坐标方程为y=1．（Ⅱ）由题意可得，，，，，．【点评】本题考查了直角坐标与极坐标的互化、圆的对称性、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]24．=|x+m|．（Ⅰ）解关于m的不等式f（1）+f（﹣2）≥5；（Ⅱ）当x≠0时，证明：．【分析】（Ⅰ）问题等价于|m+1|+|m﹣2|≥5，通过讨论m的范围，求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质证明即可．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（1）+f（﹣2）≥5等价于|m+1|+|m﹣2|≥5，可化为，解得m≤﹣2；或，无解；或，解得m≥3；综上不等式解集为（﹣∞，﹣2]∪[3，+∞）…（5分）（Ⅱ）证明：当x≠0时，，|x|＞0，，…（10分）【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值的性质，是一道中档题．。

福州一中2015-—2016学年第二学期校质量检查试卷高三文科数学试卷（完卷时间120分钟 满分150分） （请将选择题和填空题的答案写在答案卷上）参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式V =31Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式 V =Sh24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个答案中,只有一项是符合题目要求的.(1)设复数121,2z i z bi =+=+, 若12z z ⋅为纯虚数,则实数b =(A) 2 (B) 2- (C) 1 (D) 1- (2)若集合{}}{R x x y y N R t x x Mt ∈==∈==-,sin ,,2，则MN =(A) ∅ (B) (]0,1 (C) []1,1- (D) [)1,0- (3)已知命题:,cos()cos p R απαα∃∈-=；命题2:,10q x R x ∀∈+>，则下面结论 正确的是(A) p q ∨是真命题 (B) p q ∧是假命题 (C) q ⌝是真命题 (D) p 是假命题 (4)函数()sin()f x A x ωϕ=+(0>A ，0>ω，2πϕ<)的图象如图1所示，则下列关于函数()f x 的说法中正确的是 (A) 最小正周期是π (B) 对称轴方程是2()3x k k ππ=+∈Z(C)6πϕ=-(D) 对称中心是(,0)()6k k ππ-+∈Z(5)已知函数2(10)(),(01)x x f x x x --≤≤⎧⎪=<≤则下列图象错误的是(A) (B) (C) (D)(6)若实数,x y 满足约束条件1122x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为(A)13 (B) 12(C) 1 (D) 2 (7) 关于直线m 、n 与平面α、β，有下列四个命题：①若m ∥α，n ∥β且α∥β，则m ∥n ； ②若m α⊥，n β⊥且αβ⊥，则m n ⊥； ③若m α⊥，n ∥β且α∥β，则m n ⊥； ④若m ∥α，n β⊥且αβ⊥，则m ∥n ． 则其中真命题的是 (A) ①② (B) ③④ (C) ①④ (D) ②③ (8)已知三棱锥的三视图如图2所示，则它的外接球的体积为 (A) π (B) 4π (C) 43π (D) 23π(9)过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作垂直于x 轴的直线交双曲线于,A B 两点，左顶点M 在以AB 为直径的圆外，则该双曲线的离心率e 的取值范围是 (A) 31,2⎛⎫⎪⎝⎭ (B) (1,2) (C) 3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(D) (2,)+∞ (10)函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且0x ≤时，1()22xf x x a =-+. 则函数()f x 的零 点个数是(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (11) 如图3，O 为ABC ∆的外心，6,4,AB AC BAC ==∠为钝角，M 是边BC 的中点，则AM AO ⋅=(A) -10 (B) 36 (C) 13 (D) 16(12)已知函数21()()36f x x mx m R =++∈，且关于x 的不等式()1f x a <-的解集为(3,2)m m -+，则实数a 的值是图1图2图3(A)294 (B) 254 (C) 6 (D)214二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.(13)已知3cos α=，且 000180α<<，则角α的值________________. (14)已知数列{}n a 满足1,1n na q q a +=>，且47562,8a a a a +=⋅=-，则110a a +=____. (15)若斜率为1的直线l 与椭圆2214x y +=相交于,A B 两点，则弦长AB 的最大值为_____. (16) 已知ABC ∆为锐角三角形，角A , B , C 的对边分别是,,,a b c ，其中2c =，3cos cos 2sin ca Bb A C+=，则ABC ∆周长的取值范围为_____________________.三、解答题：解答应写出说明，证明过程或演算步骤，本大题共5小题，60分.(17)（本小题满分12分） 已知数列}{n a ，记123,*nn a a a a V n N n++++=∈.（I ）若21+=n V n ，求数列{n a }的通项公式； （II ）若数列}{n a 是首项为1-，公比为2q =的等比数列，试比较n V 与6-的大小. (18) (本小题满分12分）某汽车厂生产A ,B ,C 三类轿车.每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表（单位：辆）：按轿车种类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A 类轿车10辆. （I ）求z 的值;（II ）用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中 任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率. (19) (本小题满分12分）如图4，AB 是圆O 的直径，E 是圆O 上不同于,A B 的动点，四边形ABCD 为矩形， 且2,1AB AD ==，平面ABCD ⊥平面ABE . （I ）求证：平面DAE ⊥平面EBC ；（II ）当点E 在AB 上的什么位置时，四棱锥E ABCD -的体积为33； (III)在（II ）的条件下，求EBC ∆以EC 为轴旋转所围成的几何体体积.(20)（本小题满分12分）图4如图5，已知圆O '过定点(0,)(0)A p p >，圆心O '在抛物线22x py =上运动，MN 为圆O '在x 轴上所截得的弦.（I ）当O '点运动时，MN 是否有变化？并证明你的结论；（II ）当OA 是OM 与ON 的等差中项时，试判断抛物线的准线与圆O '的位置关系，并 说明理由.(21)（本小题满分12分）设函数1()1,()1xf xg x x ax =-=+(其中a R ∈, e 是自然对数的底数). （I ）若函数(),()f x g x 的图象在012x =处的切线斜率相同，求实数a 的值；（II ）若()()xf eg x ≤在[0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.【选做题】请考生在第22、23、24三题中任选一题作答。

福州一中2016-2017学年第二学期模拟试卷高三文科数学试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 当时,复数在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】,在复平面内对应的点在第四象限,故选D.点睛:形如的数叫复数,其中a叫做复数的实部,b叫做复数的虚部;当时复数为实数, 当时复数为虚数,当时复数为纯虚数.复数的几何意义为:表示复数z对应的点与原点的距离,表示两点的距离,即表示复数与对应的点的距离.2. 已知,则的值( )A. 2B. -2C. 3D. -3【答案】C【解析】,故选C. 3. 为了调查某班级的作业完成情况,将该班级的52名学生随机编号,用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本,已知5号,18号,44号同学在样本中,那么样本中还有一位同学的编号应该是( )A. 23B. 27C. 31D. 33【答案】C【解析】因为5号,18号,44号同学在样本中，18-5=13,44-18=26,所以抽样间隔为13,样本中还有一位同学的编号应该是18+13=31,故选C.4. “杨辉三角形”是古代重要的数学成就,它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如图是三角形数阵，记为图中第行各个数之和，则的值为( )A. 528B. 1020C. 1038D. 1040【答案】D【解析】,,,故选D.5. 某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积等于( )A. B. C. D.【答案】C【解析】由三视图可知,该几何体是由一个三棱柱和半个圆锥拼接而成,,故选C.6. 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则取出的3个数可以作为三角形的三边边长的概率为( )A. B. C. D. ...【答案】A【解析】试题分析：任取3个数的种数为种，当取2．3．4，3．4．5，2．4．5时可构成三角形，因此概率为考点：古典概型概率7. 若实数，满足不等式组，则的最大值为( )A. 13B. 11C. 3D. 1【答案】B【解析】根据题中约束条件做可行域如图所示:的取值范围即中z的取值范围,由图可以看出最大值为经过(6,-1)时取得,此时z=11,故选B.点睛:本题考查简单的线性规划. 应用利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：(1)在平面直角坐标系内作出可行域．(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.8. 点在抛物线上，为抛物线焦点，，以为圆心为半径的圆交轴于，两点，则( )A. 9B. 12C. 18D. 32【答案】C【解析】设,由抛物线的定义可得:,即,以为圆心为半径的圆交x轴于A,B两点，,又由投影的几何意义,,故选C.9. 如图是“二分法”求方程近似解的流程图，在①，②处应填写的内容分别是( )A. ；B. ；C. ；D. ；【答案】B【解析】因为框图是“二分法”求方程近似解的流程图,所以判断框的内容是根的存在性定理的应用,所以填,“是”则直接进行验证精度,否则在赋值框中实现的交换,故选B.点睛:对于函数,我们把使的实数x叫做函数的零点, 函数的零点就是方程的实数根,也是函数的图象与x轴的交点的横坐标.判断函数在给定区间零点的步骤:一,确定函数的图象在上连续;二,计算的值并判断的符号;三,若,则有实数解.10. 已知函数的（，）图象关于点对称，且的图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为4，将的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列是的单调递增区间( )A. B. C. D.【答案】C【解析】设图象上最高点的坐标为,最低点的坐标为,则,解得,又,;图象关于点对称,,解得,又,,令,解得,令k=1,可知C正确,故选C.11. 已知，是焦点在轴的双曲线（，）的上、下焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则双曲线的离心率为( ) A. 3 B. C. 2 D.【答案】C【解析】根据题意,,一条渐近线方程为,则到渐近线的距离为,设关于渐近线的对称点为M,与渐近线交于A, ,A为的中点,又O是的中点,,为直角, 为直角三角形,由勾股定理得:,,解得,,故选C.12. 已知函数，，函数（），若存在，，使得成立，则实数的取值范围是( )...A. B. C. D.【答案】A点睛:求参数的范围经常使用的方法:一,分离变量;二,运用最值.例如:恒成立;有解;有解的值域;本题为存在,使得成立,等价转化为两个函数的值域的交集不为空,再利用正难则反的思想,先求两个函数的值域没有公共部分时的参数范围,再求其补集即可.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 设向量，均为单位向量，且，则与的夹角__________．【答案】【解析】,解得,,所以与的夹角为,故填.14. 已知函数，若实数满足，则实数的值是__________．【答案】4或【解析】为偶函数,且在上单调递增,所以,即,或,故填或.15. 已知直三棱柱中，为等腰直角三角形，，，棱的中点为，棱的中点为，平面与平面的交线与所成角的正切值为，则三棱柱外接球的半径为__________．【答案】【解析】连接AG,在平面内过G作GH交的延长线于H,则,得,把原直三棱柱补体成正方体,则正方体的棱长为4,所以三棱柱外接球半径,故填.16. 已知函数，若，，则数列的前（）项和等于__________．【答案】【解析】时,;,时,,时,,时,,故填.点睛:根据n为奇数时,,求出,,当时,,可得的通项公式为,再根据分组求和,分别利用等比数列和等差数列的求和公式求出,最后写成分段函数的形式.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在锐角中，角，，所对的边分别是，，，且，（为外接圆的半径）.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，且，求的面积.【答案】（1）（2）试题解析:解：（Ⅰ）∵，∴.∴，即，又，∴，，∴求得：....（Ⅱ）.∴，∴或（不合）∴.18. 目前我国城市的空气污染越来越严重，空气质量指数一直居高不下，对人体的呼吸系统造成了严重的影响，现调查了某城市500名居民的工作场所和呼吸系统健康，得到列联表如下：（Ⅰ）请把列联表补充完整；（Ⅱ）你是否有95%的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关；（Ⅲ）现采用分层抽样从室内工作的居民中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中随机抽取2人，求2人都有呼吸系统疾病的概率.参考公式与临界表：【答案】（1）见解析（2）有把握（3）【解析】试题分析: （1）根据题中条件,结合调查了500名居民,即可不全列联表; （2）根据所给的列联表得到求观测值所用的数据,把数据代入观测值公式中做出观测值,同所给的临界值表进行比较,得出结论; （3）根据分层抽样的比例计算出两类数据各取的人数,并一一列举,根据古典概型的公式计算出概率.试题解析:解：（Ⅰ）列联表如下：（Ⅱ）观察值....∴有95%的把握认为感染呼吸系统疾病与工作场所有关.（Ⅲ）采用分层抽样抽取6名，有呼吸系统疾病的抽取4人，记为，，，，无呼吸系统疾病的抽取2人，记为，.从6人中抽取2人基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，共有15中.“2人都有呼吸系统疾病”有，，，，，，共6种.∴.答：2人都有呼吸系统疾病的概率为.点睛: 变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}.利用随机变量、独立性假设来确定是否一定有把握认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验.19. 如图，已知多面体的底面是边长为2的正方形，底面，，且.（Ⅰ）记线段的中点为，在平面内过点作一条直线，使得平面，并给予证明.（Ⅱ）求点到平面的距离.【答案】（1）见解析（2）到平面的距离为.【解析】试题分析: （1）根据平行四边形的定义判断出四边形的形状,再根据线面平行的判定定理,由线线平行得到线面平行; （2）根据三棱锥等体积法求出点面距离.试题解析: 解：（Ⅰ）取线段的中点，连接，直线即为所求.证明如下：取中点，连接，连接交于.则为的中位线.∴，∵，∴，∴四边形为平行四边形，∴.∵，分别为，中点，∴，∴.∵平面，平面，∴平面.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∵平面，平面，∴平面，∴到平面的距离等于到平面的距离，设为.∵平面，∴，∵，∴，∵，，∴平面.在中，，，∴.∵，∴，∴.∴到平面的距离为....20. 在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹方程为曲线.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）设是曲线上的动点，点的横坐标为，点，在轴上，的内切圆的方程为，将表示成的函数，并求面积的最小值.【答案】（1）（2）面积的最小值为8.【解析】试题分析: （1）由抛物线定义即可得到圆心的轨迹方程; （2）由三角形的内切圆方程可得,圆心与三角形的三条边所在直线相切,根据点线距等于半径,可得关于x的二次方程,写出韦达定理,可将线段BC表示成的函数,进而写出三角形的面积表达式,再由基本不等式即可求得面积的最小值.试题解析: 解：（Ⅰ）由题意可知圆心到的距离等于直线的距离，由抛物线的定义可知，曲线的方程为.（Ⅱ）设，，直线的方程为：，又圆心（1,0）到的距离为1，所以.整理得：，同理可得：，所以，是方程的两根，所以，，依题意，即，则.因为所以.所以.当时上式取得等号，所以面积的最小值为8.21. 已知函数.（Ⅰ）若是函数是极值点，1是函数零点，求实数，的值和函数的单调区间；（Ⅱ）若对任意，都存在（为自然对数的底数），使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析: （1）对求导,,利用已知条件x=2是函数极值点,1是函数零点,可得a,b的值,进而得到的单调区间; （2）构造函数,由b的范围及其范围内的任意性将问题转化为存在,使得,对求导并构造函数,利用分类讨论的方法研究两种情况下的函数正负,最终证明当a>1时,对任意,都存在,使得成立.试题解析:解：（Ⅰ）.∵是函数的极值点，∴.又∵1是函数的零点，∴.联立，解得：，∴，，.∵在，，∴在（0,2）上单调递减；又在，，... ∴在上单调递增.（Ⅱ）令，，则为关于的一次函数且为增函数，∴要使成立，只需在有解.令：，只需存在，使得.由于，，令：，∴，∴在递增，∴.（ⅰ）当时，，即，∴在是单调递增，∴，不合题意.（ⅱ）当时，，若，则上单调递减，∴存在，使得，符合题意.若，则，即，∴存在使得.∴在上成立，∴在上单调递减，∴存在使得成立.综上所述：当时，对任意，都存在使得.22. 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，曲线：.以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，曲线的参数方程为：，，曲线：（为参数）.（Ⅰ）求的直角坐标方程；（Ⅱ）与相交于，，与相切于点，求的值.【答案】（1）（2）【解析】试题分析: （1）将代入方程,可得曲线的直角坐标方程; （2）先求出直线所经过的定点坐标,联立直线的参数方程与,消元写出韦达定理,判断和的符号,即可求值.试题解析: 解：（Ⅰ）因为，，由得，所以曲线的直角坐标方程为：.（Ⅱ）设，易知直线的斜率，所以，即，所以，故.取，，不妨设，对应的参数分别为，.把代入，化简得，即，易知，.所以.23. 选修4-5：不等式选讲（Ⅰ）求函数的最大值.（Ⅱ）是否存在满足的实数，，使得.【答案】（1）（2）见解析【解析】试题分析: （1）根据绝对值三角不等式放缩,可求得函数的最大值; （2）将要求的不等式进行换元配凑,将平方和放缩成和的形式,再验证取等条件,求出满足条件的的值.试题解析: 解：（Ⅰ），等号成立，当且仅当或，所以.（Ⅱ），当且仅当，，时取等，所以存在实数，满足条件.。

2016年福建省福州市高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．已知复数z满足zi=2i+x（x∈R），若z的虚部为2，则|z|=（）A．2 B．2C．D．2．已知命题p：“∃x∈R，e x﹣x﹣1≤0”，则命题￢p（）A．∀x∈R，e x﹣x﹣1＞0 B．∀x∉R，e x﹣x﹣1＞0C．∀x∈R，e x﹣x﹣1≥0 D．∃x∈R，e x﹣x﹣1＞03．阅读算法框图，如果输出的函数值在区间[1，8]上，则输入的实数x的取值范围是（）A．[0，2）B．[2，7]C．[2，4]D．[0，7]4．若2cos2α=sin（α﹣），且α∈（，π），则cos2α的值为（）A．﹣B．﹣C．1 D．5．若实数x，y满足不等式组目标函数t=x﹣2y的最大值为2，则实数a的值是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．26．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．3++B．6+2+2C．3+2D．2++7．（1﹣x）6（1+x）4的展开式中x2的系数是（）A．﹣4 B．﹣3 C．3 D．48．已知抛物线C：y2=8x与直线y=k（x+2）（k＞0）相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|=2|FB|，则k=（）A．B．C．D．9．已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣k有两个零点，则两零点所在的区间为（）A．（﹣∞，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（1，+∞）10．已知三棱锥O﹣ABC底面ABC的顶点在半径为4的球O表面上，且AB=6，BC=2，AC=4，则三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．4B．12C．18D．3611．设F1，F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左，右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（）•=0（O为坐标原点），且||=||，则双曲线的离心率为（）A．B． +1 C．D．12．已知偶函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数为f′（x），当x＜0时有2f（x）+xf′（x）＞x2，C，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2016，﹣2012）C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）13．在等比数列{a n}中，a3a7=8，a4+a6=6，则a2+a8=______．14．已知在△ABC中，AB=4，AC=6，BC=，其外接圆的圆心为O，则______．15．以下命题正确的是：______．①把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得到y=3sin2x的图象；②四边形ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB中点，在长方形ABCD内随机取一点P，取得的P点到O的距离大于1的概率为1﹣；③某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种；④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0）．若ξ在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在（2，3）内取值的概率为0.4．16．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（3+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，且a=3，则△ABC面积的最大值为______．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和S n满足2S n=3a n﹣1，其中n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设a n b n=，求数列{b n}的前n项和为T n．18．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）试估计该校高三学生视力在5.0以上的人数；（Ⅱ）为了进一步调查学生的护眼习惯，学习小组成员进行分层抽样，在视力4.2～4.4和5.0～5.2的学生中抽取9人，并且在这9人中任取3人，记视力在4.2～4.4的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．19．已知：矩形A1ABB1，且AB=2AA1，C1，C分别是A1B1、AB的中点，D为C1C中点，将矩形A1ABB1沿着直线C1C折成一个60°的二面角，如图所示．（Ⅰ）求证：AB1⊥A1D；（Ⅱ）求AB1与平面A1B1D所成角的正弦值．．20．已知以A为圆心的圆（x﹣2）2+y2=64上有一个动点M，B（﹣2，0），线段BM的垂直平分线交AM于点P，点P的轨迹为E．（Ⅰ）求轨迹E的方程；（Ⅱ）过A点作两条相互垂直的直线l1，l2分别交曲线E于D，E，F，G四个点，求|DE|+|FG|的取值范围．21．已知函数f（x）=lnx+，a∈R，且函数f（x）在x=1处的切线平行于直线2x﹣y=0．（Ⅰ）实数a的值；（Ⅱ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得x0+＜mf（x0）成立，求实数m的取值范围．四.本题有（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．[选修4-1：几何证明讲]22．如图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C、D两点，交圆O于E、F两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于H点．（Ⅰ）求证：B、D、H、F四点共圆；（Ⅱ）若AC=2，AF=2，求△BDF外接圆的半径．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆C的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知a、b都是实数，a≠0，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）若f（x）＞2，求实数x的取值范围；（2）若|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x）对满足条件的所有a、b都成立，求实数x的取值范围．2016年福建省福州市高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．）1．已知复数z满足zi=2i+x（x∈R），若z的虚部为2，则|z|=（）A．2 B．2C．D．【考点】复数求模．【分析】利用复数的代数形式混合运算化简复数，然后求解复数的模．【解答】解：复数z满足zi=2i+x（x∈R），可得z==2﹣xi．若z的虚部为2，可得x=﹣2．z=2﹣2i．∴|z|=2故选：B．2．已知命题p：“∃x∈R，e x﹣x﹣1≤0”，则命题￢p（）A．∀x∈R，e x﹣x﹣1＞0 B．∀x∉R，e x﹣x﹣1＞0C．∀x∈R，e x﹣x﹣1≥0 D．∃x∈R，e x﹣x﹣1＞0【考点】特称命题；命题的否定．【分析】利用含逻辑连接词的否定是将存在变为任意，同时将结论否定，可写出命题的否定．【解答】解：∵命题p：“∃x∈R，e x﹣x﹣1≤0”，∴命题￢p：∀x∈R，e x﹣x﹣1＞0，故选：A3．阅读算法框图，如果输出的函数值在区间[1，8]上，则输入的实数x的取值范围是（）A．[0，2）B．[2，7]C．[2，4]D．[0，7]【考点】程序框图．【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序运行输出的是什么，由此得出解答来．【解答】解：根据题意，得当x∈（﹣2，2）时，f（x）=2x，∴1≤2x≤8，∴0≤x≤3；当x∉（﹣2，2）时，f（x）=x+1，∴1≤x+1≤8，∴0≤x≤7，∴x的取值范围是[0，7]．故选：D．4．若2cos2α=sin（α﹣），且α∈（，π），则cos2α的值为（）A．﹣B．﹣C．1 D．【考点】二倍角的余弦；三角函数的化简求值．【分析】法一、由已知推导出cosα+sinα=，cosα﹣sinα=﹣，解得cosα=，由此利用二倍角的余弦求得cos2α的值．法二、利用诱导公式及倍角公式把已知变形，求出cos（α）=﹣，由α得范围求出的范围，进一步求得sin（α），再由倍角公式得答案．【解答】解：法一、∵α∈（，π），∴sinα＞0，cosα＜0，∵2cos2α=sin（α﹣），∴2（cos2α﹣sin2α）=（sinα﹣cosα），∴cosα+sinα=，①∴1+2sinαcosα=，则2sinαcosα=﹣，（cosα﹣sinα）2=1﹣2sinαcosα=1+，∴cosα﹣sinα=，②联立①②，解得cosα=，∴cos2α=2cos2α﹣1=2（）2﹣1=．法二、由2cos2α=sin（α﹣），得2sin（）=sin（α﹣），则4sin（）cos（α）=sin（α﹣），∴cos（α）=﹣，∵α∈（，π），∴∈（），则sin（）=﹣，则cos2α=sin（）=2sin（）cos（α）=2×．故选：D．5．若实数x，y满足不等式组目标函数t=x﹣2y的最大值为2，则实数a的值是（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件表示的可行域，然后根据目标函数z=x﹣2y的最大值为2，确定约束条件中a的值即可．【解答】解：画出约束条件表示的可行域由⇒A（2，0）是最优解，直线x+2y﹣a=0，过点A（2，0），所以a=2，故选D6．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A ．3++B ．6+2+2C ．3+2D ．2++ 【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图，画出该几何体的直观图，结合图形求出答案来． 【解答】解：根据几何体的三视图得，该几何体是底面为直角三角形的三棱锥，如图所示； ∴它的表面积为 S=S 底+S 侧=××+（××2+×2×2+××）=1+（+2+）=3++． 故选：A ．7．（1﹣x ）6（1+x ）4的展开式中x 2的系数是（ ） A ．﹣4 B ．﹣3 C ．3 D ．4 【考点】二项式系数的性质．【分析】把已知二项式变形，然后展开二项式定理，则展开式中x 2的系数可求． 【解答】解：（1﹣x ）6（1+x ）4 =（1﹣2x +x 2）（1﹣x 2）4=（1﹣2x +x 2）．∴（1﹣x ）6（1+x ）4的展开式中x 2的系数是．故选：B ．8．已知抛物线C ：y 2=8x 与直线y=k （x +2）（k ＞0）相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|FA |=2|FB |，则k=（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据直线方程可知直线恒过定点，如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，根据|FA|=2|FB|，推断出|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，可知|OB|=|AF|，推断出|OB|=|BF|，进而求得点B的横坐标，则点B的坐标可得，最后利用直线上的两点求得直线的斜率．【解答】解：设抛物线C：y2=8x的准线为l：x=﹣2，直线y=k（x+2）恒过定点P（﹣2，0）如图过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|=2|FB|，则|AM|=2|BN|，点B为AP的中点、连接OB，则|OB|=|AF|，∴|OB|=|BF|，点B的横坐标为1，∵k＞0，∴点B的坐标为（1，2），∴k==．故选：A．9．已知f（x）=，若函数g（x）=f（x）﹣k有两个零点，则两零点所在的区间为（）A．（﹣∞，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（1，+∞）【考点】函数零点的判定定理．【分析】求得x≥2时，x＜2时，可得函数f（x）的单调性和值域，即有y=f（x）的图象和直线y=k有两个交点．通过图象观察，即可得到所求区间．【解答】解：f（x）=，可得x≥2时，f（x）=递减，且f（x）∈（0，1]；当x＜2时，f（x）=（x﹣1）3递增，且f（x）∈（﹣∞，1）．画出函数f（x）的图象，如图：令g（x）=f（x）﹣k=0，即有y=f（x）的图象和直线y=k有两个交点．由图象可得，当0＜k＜1时，直线y=k和y=f（x）有两个交点，可得函数g（x）=f（x）﹣k的两个零点在（1，+∞）．故选：D．10．已知三棱锥O﹣ABC底面ABC的顶点在半径为4的球O表面上，且AB=6，BC=2，AC=4，则三棱锥O﹣ABC的体积为（）A．4B．12C．18D．36【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由勾股定理的逆定理得出AB⊥BC，故O在底面ABC上的投影为斜边AC的中点，利用勾股定理计算出棱锥的高，代入体积公式计算．【解答】解：∵AB=6，BC=2，AC=4，∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC．过O作OD⊥平面ABC，则D为AC的中点．∴OD===2．===4．∴V O﹣ABC故选A．11．设F1，F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左，右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（）•=0（O为坐标原点），且||=||，则双曲线的离心率为（）A．B． +1 C．D．【考点】双曲线的简单性质；平面向量数量积的运算．【分析】取PF2的中点A，利用=2，可得⊥，从而可得PF1⊥PF2，利用双曲线的定义及勾股定理，可得结论．【解答】解：取PF2的中点A，则=2∵（）•=0，∴2•=0∴⊥∵O是F1F2的中点∴OA∥PF1，∴PF1⊥PF2，∵|PF1|=|PF2|，∴2a=|PF1|﹣|PF2|=（﹣1）|PF2|，∵|PF1|2+|PF2|2=4c2，∴c=|PF2|，∴e===故选B12．已知偶函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数为f′（x），当x＜0时有2f（x）+xf′（x）＞x2，C，则不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣2012）B．（﹣2016，﹣2012）C．（﹣∞，﹣2016）D．（﹣2016，0）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】通过观察2f（x）+xf′（x）＞x2，不等式的左边像一个函数的导数，又直接写不出来，对该不等式两边同乘以x，∵x＜0，∴会得到2xf（x）+x2f′（x）＜x3，而这时不等式的左边是（x2f（x））′，所以构造函数F（x）=x2f（x），则能判断该函数在（﹣∞，0）上是减函数，根据函数f（x）的奇偶性，得到F（x）是偶函数，发现不等式（x+2014）2f（x+2014）﹣4f（﹣2）＜0可以变成F（x+2014）＜F（﹣2）=F（2），从而|x+2014|＜2，解这个不等式便可．【解答】解：由2f（x）+xf′（x）＞x2，（x＜0）；得：2xf（x）+x2f′（x）＜x3即[x2f（x）]′＜x3＜0；令F（x）=x2f（x）；则当x＜0时，F'（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，0）上是减函数；∴F（x+2014）=（x+2014）2f（x+2014），F（﹣2）=4f（﹣2）；即不等式等价为F（x+2014）﹣F（﹣2）＜0；∵F（x）在（﹣∞，0）是减函数；偶函数f（x）是定义在R上的可导函数，f（﹣x）=f（x），∴F（﹣x）=F（x），F（x）在（0，+∞）递增，∴由F（x+2014）＜F（﹣2）=F（2）得，|x+2014|＜2，∴﹣2016＜x＜﹣2012．∴原不等式的解集是（﹣2016，﹣2012）．故选：B．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）13．在等比数列{a n}中，a3a7=8，a4+a6=6，则a2+a8=9．【考点】等比数列的通项公式．【分析】设等比数列{a n}的公比为q，由a3a7=8=a4a6，a4+a6=6，解得，．可得q2．于是a2+a8=．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a3a7=8=a4a6，a4+a6=6，解得，．∴q2=2或．则a2+a8==9．故答案为：9．14．已知在△ABC中，AB=4，AC=6，BC=，其外接圆的圆心为O，则10．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量数量积的几何意义即可得到答案．【解答】解：=（）=﹣•，如图，根据向量数量积的几何意义得）﹣•=6||﹣4||=6×3﹣4×2=10，故答案为：10．15．以下命题正确的是：①③④．①把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得到y=3sin2x的图象；②四边形ABCD为长方形，AB=2，BC=1，O为AB中点，在长方形ABCD内随机取一点P，取得的P点到O的距离大于1的概率为1﹣；③某校开设A类选修课3门，B类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种；④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0）．若ξ在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在（2，3）内取值的概率为0.4．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据三角函数的图象平移关系进行判断．②根据几何概型的概率公式进行判断．③根据排列组合的计数原理进行判断．④根据正态分布的概率关系进行判断．【解答】解：①把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位，得到y=3sin[2（x﹣）+]=3sin（2x﹣+）=3sin2x，即可得到y=3sin2x的图象；故①正确，②解：已知如图所示：长方形面积为2，以O为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分（半圆）面积为，因此取到的点到O的距离大于1的概率P==1﹣；故②错误；③可分以下2种情况：（1）A类选修课选1门，B类选修课选2门，有C31C42种不同的选法；（2）A类选修课选2门，B类选修课选1门，有C32C41种不同的选法．∴根据分类计数原理知不同的选法共有C31C42+C32C41=18+12=30种．故要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有30种正确，故③正确，④在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布N（2，σ2）（σ＞0）．则正态曲线关于x=2对称，若ξ在（﹣∞，1）内取值的概率为0.1，则ξ在[1，2]的概率P（1＜x＜2）=0.5﹣0．=4，则在（2，3）内取值的概率P（2＜x＜3）=P（1＜x＜2）=0.4．故④正确，故答案为：①③④16．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（3+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，且a=3，则△ABC面积的最大值为．【考点】正弦定理．【分析】由（3+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，a=3，利用正弦定理可得（a+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，化简利用余弦定理可得A，再利用余弦定理、基本不等式的性质、三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：∵（3+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，a=3，∴（a+b）（a﹣b）=（c﹣b）c，∴b2+c2﹣a2=bc，∴cosA==，∵A ∈（0，π），∴A=．∴b 2+c 2=9+bc ≥2bc ，化为bc ≤9，当且仅当b=c=3时取等号．∴S △ABC ==．故最大值为：．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足2S n =3a n ﹣1，其中n ∈N *． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设a n b n =，求数列{b n }的前n 项和为T n ．【考点】数列的求和；数列递推式． 【分析】（ I ）分n=1与n ≥2讨论，从而判断出{a n }是等比数列，从而求通项公式；（ II ）化简可得=3（﹣），利用裂项求和法求解．【解答】解：（ I ）∵，①当n=1时，a 1=a 1﹣，∴a 1=1，当n ≥2时，∵S n ﹣1=a n ﹣1﹣，② ①﹣②得：a n =a n ﹣a n ﹣1， 即：a n =3a n ﹣1（n ≥2）， 又∵a 1=1，a 2=3，∴对n ∈N *都成立，故{a n }是等比数列，∴．（ II ）∵，∴=3（﹣），∴，∴，即T n=．18．某学校研究性学习小组对该校高三学生视力情况进行调查，在高三的全体1000名学生中随机抽取了100名学生的体检表，并得到如图的频率分布直方图．（Ⅰ）试估计该校高三学生视力在5.0以上的人数；（Ⅱ）为了进一步调查学生的护眼习惯，学习小组成员进行分层抽样，在视力4.2～4.4和5.0～5.2的学生中抽取9人，并且在这9人中任取3人，记视力在4.2～4.4的学生人数为X，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（I）设各组的频率为f1=0.03，f2=0.07，f3=0.27，f4=0.26，f5=0.23，由此求出视力在5.0以上的频率，从而能估计该校高三学生视力在5.0以上的人数．（II）依题意9人中视力在4.2～4.4和5.0～5.2的学生分别有3人和6人，X可取0、1、2、3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】（本小题满分12分）解：（I）设各组的频率为f i（i=1，2，3，4，5，6），f1=0.03，f2=0.07，f3=0.27，f4=0.26，f5=0.23，∴视力在5.0以上的频率为1﹣（0.03+0.07+0.27+0.26+0.23）=0.14，估计该校高三学生视力在5.0以上的人数约为1000×0.14=140人．…（II）依题意9人中视力在4.2～4.4和5.0～5.2的学生分别有3人和6人，X可取0、1、2、3，，，，．…X的分布列为2 3X 01PX的数学期望．…19．已知：矩形A1ABB1，且AB=2AA1，C1，C分别是A1B1、AB的中点，D为C1C中点，将矩形A1ABB1沿着直线C1C折成一个60°的二面角，如图所示．（Ⅰ）求证：AB1⊥A1D；（Ⅱ）求AB1与平面A1B1D所成角的正弦值．．【考点】直线与平面所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（I）连结AB、A1B1，则可证明几何体ABC﹣A1B1C1是正三棱柱．取BC中点O，B1C1的中点O1，连结OA，OO1，以O为原点建立坐标系，设AA1=2，求出和的坐标，通过计算得出AB1⊥A1D；（II）求出平面A1B1D的法向量，则AB1与平面A1B1D所成角的正弦值为|cos＜＞|．【解答】证明：（Ⅰ）连结AB、A1B1，∵C1，C分别是矩形A1ABB1边A1B1、AB的中点，∴AC⊥CC1，BC⊥CC1，AC∩BC=C∴CC1⊥面ABC∴∠ACB为二面角A﹣CC'﹣A'的平面角，则∠ACB=60°．∴△ABC为正三角形，即几何体ABC﹣A1B1C1是正三棱柱．取BC中点O，B1C1的中点O1，连结OA，OO1，则OA⊥平面BB1C1C，OO1⊥BC．以O为原点，以OB，OO1，OA的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设AA1=2，则A（0，0，），B1（1，2，0），D（﹣1，1，0），A1（0，2，）．∴=（1，2，﹣），，∴=1×（﹣1）+2×（﹣1）+（﹣）×（﹣）=0，∴∴AB1⊥A1D．（Ⅱ）=（1，0，﹣），设平面A1B1D的法向量为=（x，y，z）．则，．∴，令z=1，得．∴cos＜＞===﹣．∴AB1与平面A1B1D所成角的正弦值为．20．已知以A为圆心的圆（x﹣2）2+y2=64上有一个动点M，B（﹣2，0），线段BM的垂直平分线交AM于点P，点P的轨迹为E．（Ⅰ）求轨迹E的方程；（Ⅱ）过A点作两条相互垂直的直线l1，l2分别交曲线E于D，E，F，G四个点，求|DE|+|FG|的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）连接PB，依题意得PB=PM，从而推导出点P的轨迹E是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，由此能求出E的轨迹方程．（Ⅱ）当直线l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，|DE|+|FG|=6+8=14，当直线l1的斜率存在且不为0时，设直线l1的方程y=k（x﹣2），联立，整理得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣48=0，由此利用韦达定理、弦长公式，结合题意能求出|DE|+|FG|的取值范围．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）连接PB，依题意得PB=PM，所以PB+PA=PM=8所以点P的轨迹E是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，所以a=4，c=2，，所以E的轨迹方程是．…（Ⅱ）当直线l1，l2中有一条直线的斜率不存在时，|DE|+|FG|=6+8=14，当直线l1的斜率存在且不为0时，设直线l1的方程y=k（x﹣2），设D（x1，y1），E（x2，y2），联立，整理得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣48=0…，，所以DE===，…设直线l2的方程为，所以，所以，…设t=k2+1，所以t＞1，所以，因为t＞1，所以，所以|DE|+|FG|的取值范围是．…21．已知函数f（x）=lnx+，a∈R，且函数f（x）在x=1处的切线平行于直线2x﹣y=0．（Ⅰ）实数a的值；（Ⅱ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得x0+＜mf（x0）成立，求实数m的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出导函数，根据导函数的概念求解即可；（Ⅱ）构造函数，只需求出函数的最小值小于零即可，求出函数的导函数，对参数m进行分类讨论，判断函数的单调性，求出函数的最小值，最后得出m 的范围．．【解答】解：（Ⅰ）∵，函数f（x）在x=1处的切线平行于直线2x﹣y=0．∴f'（1）=1﹣a=2∴a=﹣1（Ⅱ）若在[1，e]（e=2.718…）上存在一点x0，使得成立，构造函数的最小值小于零．…①当m+1≥e时，即m≥e﹣1时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，…由可得，因为，所以；…②当m+1≤1，即m≤0时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，由h（1）=1+1+m＜0可得m＜﹣2；…③当1＜m+1＜e，即0＜m＜e﹣1时，最小值为h（1+m），因为0＜ln（1+m）＜1，所以，0＜mln（1+m）＜m，h（1+m）=2+m﹣mln（1+m）＞2此时，h（1+m）＜0不成立．综上所述：可得所求m的范围是：或m＜﹣2．…四.本题有（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．[选修4-1：几何证明讲]22．如图，已知AB为圆O的一条直径，以端点B为圆心的圆交直线AB于C、D两点，交圆O于E、F两点，过点D作垂直于AD的直线，交直线AF于H点．（Ⅰ）求证：B、D、H、F四点共圆；（Ⅱ）若AC=2，AF=2，求△BDF外接圆的半径．【考点】圆內接多边形的性质与判定；与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）由已知条件推导出BF⊥FH，DH⊥BD，由此能证明B、D、F、H四点共圆．（2）因为AH与圆B相切于点F，由切割线定理得AF2=AC•AD，解得AD=4，BF=BD=1，由△AFB∽△ADH，得DH=，由此能求出△BDF的外接圆半径．【解答】（Ⅰ）证明：因为AB为圆O一条直径，所以BF⊥FH，…又DH⊥BD，故B、D、F、H四点在以BH为直径的圆上，所以B、D、F、H四点共圆．…（2）解：因为AH与圆B相切于点F，由切割线定理得AF2=AC•AD，即（2）2=2•AD，解得AD=4，…所以BD=，BF=BD=1，又△AFB∽△ADH，则，得DH=，…连接BH，由（1）知BH为DBDF的外接圆直径，BH=，故△BDF的外接圆半径为．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6．若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求圆C的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+y的最大值，并求出此时点P 的直角坐标．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）求出圆的普通方程，然后求解圆C的参数方程；（Ⅱ）利用圆的参数方程，表示出x+y，通过两角和与差的三角函数，求解最大值，并求出此时点P的直角坐标．【解答】（本小题满分10分）选修4﹣4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）因为ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣6，所以x2+y2=4x+4y﹣6，所以x2+y2﹣4x﹣4y+6=0，即（x﹣2）2+（y﹣2）2=2为圆C的普通方程．…所以所求的圆C的参数方程为（θ为参数）．…（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，…当时，即点P的直角坐标为（3，3）时，…x+y取到最大值为6．…[选修4-5：不等式选讲]24．已知a、b都是实数，a≠0，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）若f（x）＞2，求实数x的取值范围；（2）若|a+b|+|a﹣b|≥|a|f（x）对满足条件的所有a、b都成立，求实数x的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）利用绝对值的意义，|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上满足|x﹣1|+|x﹣2|=2的点的坐标，从而得出结论．（2）转化不等式为|x﹣1|+|x﹣2|≤，利用函数恒成立以及绝对值的几何意义，求出x的范围即可．【解答】解：（1）由f（x）＞2，即|x﹣1|+|x﹣2|＞2．而|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上满足|x﹣1|+|x﹣2|=2的点的坐标为和，故不等式|x﹣1|+|x﹣2|≥2的解集为﹛x|x≤或x≥﹜，（2）由题知，|x﹣1|+|x﹣2|≤恒成立，故|x﹣1|+|x﹣2|小于或等于的最小值．∵|a+b|+|a﹣b|≥|a+b+a﹣b|=2|a|，当且仅当（a+b）（a﹣b）≥0 时取等号，∴的最小值等于2，∴x的范围即为不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤2的解．由于|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，又由于数轴上的、对应点到1和2对应点的距离之和等于2，故不等式的解集为[，]，故答案为[，]．2016年10月6日。

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作2016年福建省福州市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A={x ∈N |x ≤4}，B={x |x 2﹣4＜0}，则A ∩B=（ ） A ．{x |0≤x ＜2} B ．{x |﹣2＜x ＜2} C ．{0，1} D ．{﹣2，0，1，2} 2．设复数z 满足（1﹣i ）z=1+i ，则|z |=（ ）A ．0B ．1C ．D ．23．已知条件p ：x ≤0，条件q ：＞0，则￢p 是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件4．函数f （x ）=Asin （x +φ）（A ＞0）在x=处取得最小值，则（ ）A ．f （x +）是奇函数B ．f （x +）是偶函数C ．f （x ﹣）是奇函数 D ．f （x ﹣）是偶函数5．从甲、乙两品种的棉花中各抽测了10根棉花的纤维长度（单位：mm ），所得数据如图茎叶图．记甲、乙两品种棉花的纤维长度的平均值分别为，，标准差分别为s 甲，s乙，则（ ）A ．＜，s 甲＞s 乙B ．＜，s 甲＜s 乙C ．＞，s 甲＞s 乙D ．＞，s 甲＜s 乙6．函数f （x ）= 的零点个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．07．在△ABC 中，∠C=90°，AC=2，点M 满足=，则•=（ ）A ．1B ．C ．D ．28．在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 5a 6=4，则数列{log 2a n }的前10项和等于（ ） A ．20 B ．10 C ．5 D ．2+log 259．执行如图的程序框图，若输入n 值为4，则输出的结果为（ ）A ．8B ．21C ．34D ．5510．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．10B ．20C ．40D ．6011．过双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作一条渐近线的垂线，与C右支交于点A，若|OF|=|OA|．则C的离心率为（）A．B．2 C．D．512．已知a∈R，函数f（x）=x3﹣ax2+ax+2的导函数f′（x）在（﹣∞，1）内有最小值，若函数g（x）=，则（）A．g（x）在（1，+∞）上有最大值B．g（x）在（1，+∞）上有最小值C．g（x）在（1，+∞）上为减函数D．g（x）在（1，+∞）上为增函数二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．13．在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣m2，3）在抛物线y2=mx的准线上，则实数m=_______．14．若x，y满足约束条件，则2x﹣y的最大值等于_______．15．已知两个同底的正四棱锥的所有顶点都在同一球面上，它们的底面边长为2，体积的比值为，则该球的表面积为_______．16．如图，在△ABC中，B=，AC=，D为BC边上一点．若AB=AD，则△ADC的周长的取值范围为_______三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=，S n2﹣a n S n+a n=0（n≥2）．（Ⅰ）求证：数列{}是等差数列；（Ⅱ）求S1+S2+S3+…+S n．18．某媒体为调查喜欢娱乐节目A是否与观众性别有关，随机抽取了30名男性和30名女性观众，抽查结果用等高条形图表示如图：（Ⅰ）根据该等高条形图，完成下列2×2列联表，并用独立性检验的方法分析，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目A与观众性别有关？喜欢节目A 不喜欢节目A 总计男性观众_______ _______ _______女性观众_______ _______ _______总计_______ _______ 60（Ⅱ）从男性观众中按喜欢节目A与否，用分层抽样的方法抽取5名做进一步调查．从这5名中任选2名，求恰有1名喜欢节目A和1名不喜欢节目A的概率．附：P（K2≥k）0.100 0.050 0.010 0.001k 2.706 3.841 6.635 10.828K2=．19．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形，且AB∥CD，AB⊥平面PAD，E是PB中点，CD=PD=AD=AB．（Ⅰ）求证：CE⊥AB；（Ⅱ）若CE=，AB=4，求三棱锥A﹣PCD的高．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的焦距为2，直线y=k（x﹣1）（k≠0）经过E的长轴的一个四等分点，且与E交于P，Q两点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）记线段PQ为直径的圆为⊙M，判断点A（2，0）与⊙M的位置关系，说明理由．21．已知a∈R，函数f（x）=e x﹣a（x+1）的图象与x轴相切．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若x＞0时，f（x）＞mx2，求实数m的取值范围．四.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，△ABC内接于圆O，D是的中点，∠BAC的平分线分别交BC和圆O 于点E，F．（Ⅰ）求证：BF是△ABE外接圆的切线；（Ⅱ）若AB=3，AC=2，求DB2﹣DA2的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以O为极点，x轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．（Ⅰ）写出C1的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C2： +y2=1经伸缩变换后得到曲线C3，射线θ=（ρ＞0）分别与C1和C3交于A，B两点，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]24．已知不等式|x+3|＜2x+1的解集为{x|x＞m}．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设关于x的方程|x﹣t|+|x+|=m（t≠0）有实数根，求实数t的值．2016年福建省福州市高考数学模拟试卷（文科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A={x∈N|x≤4}，B={x|x2﹣4＜0}，则A∩B=（）A．{x|0≤x＜2}B．{x|﹣2＜x＜2}C．{0，1}D．{﹣2，0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】先化简集合A，B，再根据交集的运算即可．【解答】解：集合A={x∈N|x≤4}={0，1，2，3，4}，由集合B中的不等式x2﹣4＜0，因式分解得：（x+2）（x﹣2）＜0，解得：﹣2＜x＜2，所以集合B=（﹣2，2）；则集合A∩B={0，1}．故选：C．2．设复数z满足（1﹣i）z=1+i，则|z|=（）A．0 B．1 C．D．2【考点】复数代数形式的乘除运算；复数求模．【分析】由题意可得z=，再由|z|=求出结果．【解答】解：∵复数z满足（1﹣i）z=1+i，∴z=，∴|z|===1，故选B．3．已知条件p：x≤0，条件q：＞0，则￢p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】分别化简命题p，q，￢p，即可判断出关系．【解答】解：条件p：x≤0，可得：￢p：x＞0．条件q：＞0，可得x＞0．则￢p是q成立的充要条件．故选：C．4．函数f （x ）=Asin （x +φ）（A ＞0）在x=处取得最小值，则（ ）A ．f （x +）是奇函数B ．f （x +）是偶函数C ．f （x ﹣）是奇函数 D ．f （x ﹣）是偶函数【考点】正弦函数的图象．【分析】由f （）=f min （x ）可知直线x=是f （x ）的一条对称轴．故将f （x ）图象向左平移个单位后关于y 轴对称．【解答】解：∵f （x ）在x=处取得最小值，∴直线x=是f （x ）的一条对称轴．∴将f （x ）的函数图象向左平移个单位后关于y 轴对称，∴f （x +）是偶函数．故选B ．5．从甲、乙两品种的棉花中各抽测了10根棉花的纤维长度（单位：mm ），所得数据如图茎叶图．记甲、乙两品种棉花的纤维长度的平均值分别为，，标准差分别为s 甲，s乙，则（ ）A ．＜，s 甲＞s 乙B ．＜，s 甲＜s 乙C ．＞，s 甲＞s 乙D ．＞，s 甲＜s 乙【考点】极差、方差与标准差．【分析】根据茎叶图，从茎叶图上可以看出甲的成绩比较集中，甲的成绩比较整齐，结合方差的意义即可得出S 甲，S 乙的大小关系．【解答】解：由茎叶图可知，分别为＜，且甲的极差大于乙的极差，甲的数据波动比乙大， 所以s 甲＞s 乙， 故选：A ．6．函数f（x）=的零点个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】按分段函数分类讨论，从而利用函数的零点的判定定理及函数与方程的关系求解．【解答】解：当x≤0时，f（x）=2x﹣1+x，易知f（x）在（﹣∞，0]上是增函数且连续，而f（﹣1）=﹣1＜0，f（0）=＞0；故f（x）在（﹣∞，0]上有且只有一个零点；当x＞0时，f（x）=﹣1+lnx=0，则x=e；综上所述，函数f（x）=有两个零点，故选B．7．在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点M满足=，则•=（）A．1 B．C．D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件即可得出点M为边AB的中点，且BC⊥AC，从而有，再由AC=2，进行向量数量积的运算即可求出的值．【解答】解：∵，∴M为边AB的中点，如图所示：∴；∵∠ACB=90°；∴BC⊥AC；∴；∴===2+0=2．故选：D．8．在各项均为正数的等比数列{a n}中，a5a6=4，则数列{log2a n}的前10项和等于（）A．20 B．10 C．5 D．2+log25【考点】等比数列的前n项和；等差数列的前n项和．【分析】由等比数列{a n}的性质可得：a1a10=…=a5a6=4，再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：由等比数列{a n}的性质可得：a1a10=…=a5a6=4，则数列{log2a n}的前10项和=log2（a1a2…a10）===10，故选：B．9．执行如图的程序框图，若输入n值为4，则输出的结果为（）A．8 B．21 C．34 D．55【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，t，i的值，当n=4时不满足条件i＜4，退出循环，输出s+t的值为21，从而得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得n=4，s=1，t=1，i=1满足条件i＜4，执行循环体，可得：s=2，t=3，i=2满足条件i＜4，执行循环体，可得：s=4，t=7，i=3满足条件i＜4，执行循环体，可得：s=7，t=14，i=4不满足条件i＜4，退出循环，输出s+t的值为21．故选：B．10．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．10 B．20 C．40 D．60【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱截去一个同底等高的三棱锥后，所得的组合体，分别代入棱锥和棱柱体积公式，可得答案．【解答】解：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的三棱柱截去一个同底等高的三棱锥的组合体，故几何体的体积V=（1﹣）Sh=××3×4×5=20，故选：B11．过双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作一条渐近线的垂线，与C右支交于点A，若|OF|=|OA|．则C的离心率为（）A．B．2 C．D．5【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F（﹣c，0），渐近线方程为y=x，由题意可得△AOF为等腰三角形，即有F关于渐近线的对称点对称点为A（m，n），运用中点坐标公式和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求出对称点的坐标，代入双曲线的方程，由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：设F（﹣c，0），渐近线方程为y=x，过左焦点F作一条渐近线的垂线，与C右支交于点A，若|OF|=|OA|，可得△AOF为等腰三角形，即有F关于渐近线的对称点为A（m，n），即有=﹣，且•n=•，解得m=，n=﹣，将A（，﹣），即（，﹣），代入双曲线的方程可得﹣=1，化简可得﹣4=1，即有e2=5，解得e=．故选：C．12．已知a∈R，函数f（x）=x3﹣ax2+ax+2的导函数f′（x）在（﹣∞，1）内有最小值，若函数g（x）=，则（）A．g（x）在（1，+∞）上有最大值B．g（x）在（1，+∞）上有最小值C．g（x）在（1，+∞）上为减函数D．g（x）在（1，+∞）上为增函数【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】利用导函数的最小值求出a的范围，然后求解新函数的导数，判断函数的单调性与最值．【解答】解：函数f（x）=x3﹣ax2+ax+2的导函数f′（x）=x2﹣2ax+a．对称轴为：x=a，导函数f′（x）在（﹣∞，1）内有最小值，令x2﹣2ax+a=0，可得方程在（﹣∞，1）有两个根，可得，解得：a＜0函数g（x）==x+﹣2a．g′（x）=1﹣，x∈（1，+∞），，1﹣，∴g′（x）＞0，g（x）在在（1，+∞）上为增函数．故选：D．二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置．13．在平面直角坐标系xOy中，点P（﹣m2，3）在抛物线y2=mx的准线上，则实数m=．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线方程，列出方程求解即可．【解答】解：抛物线y2=mx的准线方程为：x=﹣，∵点P（﹣m2，3）在抛物线y2=mx的准线上，∴﹣m2=，解得m=．故答案为：．14．若x，y满足约束条件，则2x﹣y的最大值等于﹣1．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z由图象可知当直线y=2x﹣z经过点A（﹣1，﹣1）时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．代入目标函数z=2x﹣y，得z=﹣2+1=﹣1．即z=2x﹣y的最大值为﹣1．故答案为：﹣1．15．已知两个同底的正四棱锥的所有顶点都在同一球面上，它们的底面边长为2，体积的比值为，则该球的表面积为9π．【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．【分析】根据两个正四棱锥有公共底面，可得棱锥高之和即为球的直径，结合底面边长为2，则底面截球所得圆的半径为2，结合勾股定理求出球半径可得球的面积．【解答】解：∵两个正四棱锥有公共底面且两个正四棱锥的体积之比为，∴两个正四棱锥的高的比也为．设两个棱锥的高分别为X，2X，球的半径为R则X+2X=3X=2R即R=球心到那个公共底面距离是，又∵底面边长为2∴R2=（）2=（）2+（）2，解得X=1∴R=该球的表面积S=4πR2=9π故答案为：9π．16．如图，在△ABC中，B=，AC=，D为BC边上一点．若AB=AD，则△ADC的周长的取值范围为2＜l≤2+【考点】正弦定理的应用．【分析】由正弦定理可得AB=2sinC，BC=2sinA，由AD=AB，B=60°可知A＞60°，结合图形可知周长l=AD+AC+DC=2sinA+，结合正弦函数的性质可求．【解答】解：∵AD=AB，B=60°，∴A＞60°．∵B=，AC=，∴A+C=120°即A=120°﹣C由正弦定理可得AB=2sinC，BC=2sinA∴CD=2sinA﹣2sinC周长l=AD+AC+DC=2sinA+，∵60°＜A＜120°∴＜sinA≤1∴2＜l≤2+．故答案为：2＜l≤2+．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=，S n2﹣a n S n+a n=0（n≥2）．（Ⅰ）求证：数列{}是等差数列；（Ⅱ）求S1+S2+S3+…+S n．【考点】数列的求和．【分析】（I）利用递推关系、等差数列的定义即可证明；（II）利用等差数列的通项公式、“裂项求和”方法即可得出．【解答】证明：（Ⅰ）∵S n2﹣a n S n+a n=0（n≥2）．∴当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，可得：﹣（S n﹣S n﹣1）S n+S n﹣S n﹣1=0，化为：S n﹣1S n+S n﹣S n﹣1=0，∴﹣=1，=2．∴数列是以2为首项，以1为公差的等差数列．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：=2+（n﹣1）=n+1，∴S n=．∴=．∴S1+S2+S3+…+S n=++…+=1﹣=．18．某媒体为调查喜欢娱乐节目A是否与观众性别有关，随机抽取了30名男性和30名女性观众，抽查结果用等高条形图表示如图：（Ⅰ）根据该等高条形图，完成下列2×2列联表，并用独立性检验的方法分析，能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目A与观众性别有关？喜欢节目A 不喜欢节目A 总计男性观众24 6 30女性观众15 15 30总计39 21 60（Ⅱ）从男性观众中按喜欢节目A与否，用分层抽样的方法抽取5名做进一步调查．从这5名中任选2名，求恰有1名喜欢节目A和1名不喜欢节目A的概率．附：P（K2≥k）0.100 0.050 0.010 0.001k 2.706 3.841 6.635 10.828K2=．【考点】独立性检验；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）由题意和条形图易得列联表，计算可得则K2的观测值k≈5.934＞3.841，可得有关；（Ⅱ）利用分层抽样在男性观众30名中抽取5名，其中喜欢娱乐节目A的人数为4，记为a，b，c，d，不喜欢节目A的人数为1，记为1，列举可得总的方法种数，找出符合题意的方法种数，由概率公式可得．【解答】解：（Ⅰ）由题意得列联表如下：喜欢节目A 不喜欢节目A 总计男性观众24 6 30女性观众15 15 30总计39 21 60计算可得则K2的观测值k==≈5.934＞3.841∴能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为喜欢娱乐节目A与观众性别有关；（Ⅱ）利用分层抽样在男性观众30名中抽取5名，其中喜欢娱乐节目A的人数为24×=4，记为a，b，c，d，不喜欢节目A的人数为6×=1，记为1．则从5名中任选2人的所有可能的结果为：（a，b）（a，c）（a，d）（a，1）（b，c）（b，d）（b，1）（c，d）（c，1）（d，1）共有10种．其中恰有1名喜欢节目A和1名不喜欢节目A的有：（a，1）（b，1）（c，1）（d，1）共4种．∴所抽取的观众中恰有1名喜欢节目A和1名不喜欢节目A的观众的概率是：=19．如图所示，四棱锥P﹣ABCD的底面是梯形，且AB∥CD，AB⊥平面PAD，E是PB中点，CD=PD=AD=AB．（Ⅰ）求证：CE⊥AB；（Ⅱ）若CE=，AB=4，求三棱锥A﹣PCD的高．【考点】点、线、面间的距离计算；空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）取AP的中点F，连结DF，EF，证明四边形EFDC为平行四边形，推出CE ∥DF，利用AB⊥平面PAD，证明CE⊥AB．（Ⅱ）设点O为PD的中点，连结AO，如图所示，证明△ADP为正三角形，推出AD⊥PD，求出AD=，证明AO⊥平面PCD．然后求出三棱锥A﹣PCD的高．【解答】（Ⅰ）证明：取AP的中点F，连结DF，EF，如图所示．因为点E是PB中点，所以EF∥AB且EF=．又因为AB∥CD且CD=，所以EF∥CD且EF=CD，所以四边形EFDC为平行四边形，所以CE∥DF，因为AB⊥平面PAD，DF⊂平面PAD，所以AB⊥DF．所以CE⊥AB．（Ⅱ）解：设点O为PD的中点，连结AO，如图所示，因为BC=，AB=4，由（Ⅰ）知，DF=，又因为AB=4，所以PD=AD=2，所以AP=2AF=2=2=2，所以△ADP为正三角形，所以AD⊥PD，且AD=．因为AB⊥平面PAD，AB∥CD，因为AD⊂平面PAD，所以CD⊥AO，又因为PD∩CD=D，所以AO⊥平面PCD．所以三棱锥A﹣PCD的高为．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的焦距为2，直线y=k（x﹣1）（k≠0）经过E的长轴的一个四等分点，且与E交于P，Q两点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）记线段PQ为直径的圆为⊙M，判断点A（2，0）与⊙M的位置关系，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；点与圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）由题意可知，2c=2，2a=4，b2=a2﹣c2，即可求得a和b的值，写出椭圆的方程；（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得x1+x2和x1•x2，并代入直线方程求得y1•y2，表示出和，利用向量数量积的坐标表示求得•＞0，因此点A在⊙M外．【解答】解：（Ⅰ）依题意得，2c=2，2a=4，即c=，a=，∴b2=a2﹣c2=1，所以E的方程为．（Ⅱ）点A在⊙M外．理由如下：设P（x1，y1），Q（x2，y2），由得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，所以，△=（﹣8k2）2﹣4（1+4k2）（4k2﹣4）=48k2+16＞0，所以x1+x2=，x1•x2=．因为=（x1﹣2，y1），=（x2﹣2，y2），所以•=（x1﹣2）（x2﹣2）+y1•y2，=（1+k2）x1•x2﹣（2+k2）（x1+x2）+4+k2，=﹣+4+k2，=．因为k≠0，所以•＞0．∴cos∠PAQ＞0，∴∠PAQ为锐角，21．已知a∈R，函数f（x）=e x﹣a（x+1）的图象与x轴相切．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）若x＞0时，f（x）＞mx2，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，设出切点的坐标，得到方程组，求出a的值，从而求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）构造g（x）=f（x）﹣mx2，求出g（x）的导数，通过讨论m的范围，结合函数的单调性求出m的具体范围即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=e x﹣a，依题意，设切点为（b，0），则即，解得所以f′（x）=e x﹣1，所以，当x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0．所以，f（x）的单调递减区间为（﹣∞，0），单调递增区间为（0，+∞）．（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣mx2，则g′（x）=e x﹣2mx﹣1，令h（x）=g′（x），则h′（x）=e x﹣2m，（ⅰ）若m≤，因为当x＞0时，e x＞1，所以h′（x）＞0，所以h（x）即g′（x）在（0，+∞）上单调递增．又因为g′（0）=0，所以当x＞0时，g′（x）＞g′（0）=0，从而g（x）在（0，+∞）上单调递增，而g（0）=0，所以g（x）＞g（0）=0，即f（x）＞mx2成立．（ⅱ）若m＞，令h′（x）=0，解得x=ln（2m）＞0，当x∈（0，ln（2m）），h′（x）＜0，所以h（x）即g′（x）在（0，ln（2m））上单调递减，又因为g′（0）=0，所以当x∈（0，ln（2m））时，g′（x）＜0，从而g（x）在（0，ln（2m））上单调递减，而g（0）=0，所以当x∈（0，ln（2m）），时，g（x）＜g（0）=0，即f（x）＞mx2不成立．综上所述，m的取值范围是（﹣∞，]．四.请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，△ABC内接于圆O，D是的中点，∠BAC的平分线分别交BC和圆O 于点E，F．（Ⅰ）求证：BF是△ABE外接圆的切线；（Ⅱ）若AB=3，AC=2，求DB2﹣DA2的值．【考点】圆周角定理；平行截割定理．【分析】（Ⅰ）设△ABE外接圆的圆心为O′，连结BO′并延长交圆O′于G点，连结GE，则∠BEG=90°，∠BAE=∠BGE，可证∠FBE=∠BAE，进而证明∠FBG=90°，即可得证BF是△ABE外接圆的切线．（Ⅱ）连接DF，则DF⊥BC，由勾股定理可得BD2﹣DA2=AF2﹣BF2，利用相似三角形的性质可得AB•AC=AE•AF=（AF﹣EF）•AF，由△FBE∽△FAB，从而BF2=FE•FA，得AB ﹣AC=AF2﹣BF2，进而可求BD2﹣DA2=AB•AC=6．【解答】（本题满分为10分）．解：（Ⅰ）设△ABE外接圆的圆心为O′，连结BO′并延长交圆O′于G点，连结GE，则∠BEG=90°，∠BAE=∠BGE．因为AF平分∠BAC，所以，所以∠FBE=∠BAE，所以∠FBG=∠FBE+∠EBG=∠BGE+∠EBG=180°﹣∠BEG=90°，所以O′B⊥BF，所以BF是△ABE外接圆的切线…（Ⅱ）连接DF，则DF⊥BC，所以DF是圆O的直径，因为BD2+BF2=DF2，DA2+AF2=DF2，所以BD2﹣DA2=AF2﹣BF2．因为AF平分∠BAC，所以△ABF∽△AEC，所以=，所以AB•AC=AE•AF=（AF﹣EF）•AF，因为∠FBE=∠BAE，所以△FBE∽△FAB，从而BF2=FE•FA，所以AB﹣AC=AF2﹣BF2，所以BD2﹣DA2=AB•AC=6…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数）．以O为极点，x轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．（Ⅰ）写出C1的极坐标方程；（Ⅱ）设曲线C2： +y2=1经伸缩变换后得到曲线C3，射线θ=（ρ＞0）分别与C1和C3交于A，B两点，求|AB|．【考点】简单曲线的极坐标方程；平面直角坐标轴中的伸缩变换；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）根据题意，消去参数，即可解得方程C1的极坐标方程；（Ⅱ）求得C3的方程，即可由OA，OB的长解得AB的长．【解答】解：（Ⅰ）将（α为参数）．消去参数α，化为普通方程为（x﹣2）2+y2=4，即C1：x2+y2﹣4x=0，将代入C1：x2+y2﹣4x=0，得ρ2=4ρcosθ，所以C1的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅱ）将代入C2得x′2+y′2=1，所以C3的方程为x2+y2=1．C3的极坐标方程为ρ=1，所以|OB=1|．又|OA|=4cos=2，所以|AB|=|OA|﹣|OB|=1．[选修4-5：不等式选讲]24．已知不等式|x+3|＜2x+1的解集为{x|x＞m}．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设关于x的方程|x﹣t|+|x+|=m（t≠0）有实数根，求实数t的值．【考点】绝对值不等式的解法；不等式的证明．【分析】（Ⅰ）通过讨论x的范围，去掉绝对值号，得到关于x的不等式组，求出m的值即可；（Ⅱ）根据基本不等式的性质得到关于t的方程，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）由|x+3|＜2x+1得，或，解得x＞2，依题意m=2．（Ⅱ）∵|x﹣t|+|x+|≥|x﹣t﹣x﹣|=|t|+，当且仅当（x﹣t）（x+）≥0时取等号，因为关于x的方程|x﹣t|+|x+|=2有实数根，所以|t|+≤2，另一方面|t|+≥2，所以|=|t|+=2，所以t=1或t=﹣1．2016年9月8日。

福州三中2016年高三校模拟考理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分．考生注意：1. 答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致． 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答案无效． 3. 考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1） 若复数i2i2-+=a z 为纯虚数，则实数a 的值为 （2） （A ）2 （B ）1- （C ）0 （D ）1（3） 已知集合}054{2<--∈=x x x A |N ,},4|{A x x y y B ∈-==，则B A 等于 （4） （A ）}4,3,2,1,0{ （B ）}5,4,3,2,1{ （C ）}3,2,1,0,1{-（D ）}4,3,2,1,1{- （5） 执行右面的程序框图，如果输入的x 的值为1，则输出的x 的值为（6） （A ）4 （B ）13 （7） （C ）40 （D ）121 （8） 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问中间3尺的重量为（9） （A ）6斤 （B ）9斤 （10） （C ）10斤 （D ）12斤（11） 已知534sin )3πsin(-=++αα， （12） )0,2π(-∈α，则)3π2cos(+α等于（13） （A ）54- （B ）53-（C ）53（D ）54 （14）（15） 若命题21:(0,),log ()1p x x x∀∈+∞+≥ ，命题2000:,10q x x x ∃∈-+≤R ，则下列命题为真命题的是（16） （A ）p q ∨ （B ）p q ∧ （C ）()p q ⌝∨ （D ）()()p q ⌝∧⌝（17） 为保证青运会期间比赛的顺利进行，4名志愿者被分配到3个场馆为运动员提供服务，每个场馆至少一名志愿者，在甲被分配到场馆A 的条件下，场馆A 有两名志愿者的概率为（18） （A ）61（B ）31 （C ）21（D ）65（19） 已知实数x ，y 满足60,0,3,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩若目标函数z ax y =+的最大值为93+a ，最小值为33-a ，则实数a 的取值范围是（ ）．（20） （A ）1≥a （B ）1-≤a （C ）1≥a 或1-≤a （D ）11≤≤-a（21） 一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是（22） （A ）38（B ）2 （C ）34 （D ）32（23） 在平行四边形ABCD 中，60BAD ∠=，1=AB ，P 为平行四边形内一点，23=AP ，若μλ+=（R ∈μλ,）， （24） 则μλ3+的最大值为（25） （A ）1 （B ） 34（C ）2 （D ）34 （26） 已知从点P 出发的三条射线PA ，PB ，PC 两两成60︒角，且分别与球O 相切于A ，B ，C 三点．若球O 的体积为36π，则O ，P 两点间的距离为（27） （A）（B）（C ）3 （D ）6（28） 已知点12F F 、是双曲线C ：12222=-by a x （0>a ，0>b ）的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足12122,3F F OP PF PF =≥，则双曲线C 的离心率的取值范围为（29） （A ）),25[+∞（B ）),210[+∞ （C ）]210,1( （D ）]25,1(第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．（30） 已知函数)(x f 满足)1()1(--=+x f x f ，且当)2,0(∈x 时，xx f 2)(=，则=)80(log 2f __________．（31） 过抛物线x y 42=上任意一点P 向圆2)4(22=+-y x 作切线，切点为A ，则PA 的最小值等于__________．（32） 在数列{}n a 中，已知23=a ，前n 项和n S 满足)212-=n n n S a S （(2≥n )，则当3≥n 时，n S =___________．（33） 已知函数()e (e )x x f x x a =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是____________． （34）三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2016年福州市普通高中毕业班质量检查数学(文科)试卷（完卷时间120分钟；满分150分）第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．） 1．设集合{}2320M x x x =++>，集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=4)21(x x N ，则 MN =（ ）A ．{}2x x ≥-B ．{}1x x >-C ． {}2x x ≤-D ．R2. 已知复数z 满足2zi i x =+()x R ∈，若z 的虚部为2，则z =（ ）．A ． 2B ．22C ．5D ．33．已知命题:p “,10xx e x ∃∈--≤R ”，则p ⌝为 （ ） A ． ,10xx e x ∃∈--≥R B ．,10xx e x ∃∈-->RC ．,10x x e x ∀∈-->RD ． ,10xx e x ∀∈--≥R4．若)4sin(2cos 2απα-=，且()2παπ∈，，则sin 2α的值为（ ）A ．78-B ．158-C ．1D ．1585．已知①1-=x x ,②2-=x x ,③3-=x x , ④4-=x x 在如右图所示的程序框图中，如果输入10=x ，而输出4=y ，则在空白处可填入（ ）．A ．①②③B ．②③C ．③④D ．②③④6.已知数列{}n a 是等差数列，且74326,2a a a -==，则公差=d ( )A ．22B ．4C ．8D ．167．在2015年全国青运会火炬传递活动中，有编号为1,2,3,4,5的5名火炬手．若从中任选2人，则选出的火炬手的编号相连的概率为 ( ) A ．310B ．58C ．710D ．258．某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积是（ ）A ．12+B ．2C ．222+D ．329．已知抛物线2:8C y x =与直线()()20y k x k =+>相交于,A B 两点，F 为C 的焦点，若2FA FB =，则k =( )A ．13B ．223C ．23D ．2310．已知函数32,2()(1),2x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-<⎩，若关于x 的方程()f x k =有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是( )． A ．(1,1)-B ．(0,1)C ．(0,1]D ．(1,0)-111正视图俯视图侧视图11．已知双曲线()2222:1,0x y C a b a b -=>的左．右焦点分别为1F ，2F ，过2F 的直线与双曲线C 的右支相交于,P Q 两点，若1PQ PF ⊥，且1PF PQ =，则双曲线的离心率e =（ ）A ． 21+B ．221+ C ．522+D ．522-12．已知()f x 为定义在(0,)+∞上的可导函数,且()'()f x xf x >恒成立,则不等式0)()1(2>-x f xf x 的解集为（ ）． A ． (0,1) B ．(1,2)C ．(1,)+∞D ．(2,)+∞第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）13. 已知向量, ), ,2( ),3 ,5(b a x b x a⊥=-=且则=x14.已知实数,x y 满足212x y x y x+≤⎧⎪⎪≥⎨⎪≥⎪⎩，且数列4,,2x z y 为等差数列，则实数z 的最大值是15.以下命题正确的是： ．①把函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移6π个单位，可得到3sin 2y x =的图象；②四边形ABCD 为长方形，2,1,AB BC O ==为AB 中点，在长方形ABCD 内随机取一点P ，取得的P 点到O 的距离大于1的概率为12π-；③为了了解800名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔为40；④已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为（4，5），则回归直线方程为08.023.1ˆ+=x y． 16. 已知直线n l ：2y x n =- 与圆n C ：222n x y a n +=+ 交于不同的两点n A 、n B ，n N +∈，数列{}n a 满足：11a =，2114n n n a A B +=，则数列{}n a 的通项公式为三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，满足(2)cos cos b c A a C -=． （I ）求角A 的大小(II)若3a =，求ABC ∆的周长最大值．18.（本小题满分12分）长时间用手机上网严重影响着学生的身体健康，某校为了解A 、B 两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周手机上网的时长作为样本，绘制成茎叶图如图所示（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）．（Ⅰ）分别求出图中所给两组样本数据的平均值，并据此估计，哪个班的学生平均上网时间较长； （Ⅱ）从A 班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为a ，从B 班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b ，求b a >的概率．19.（本小题满分12分）如图，平行四边形ABCD 中，1CD =，60OBCD ∠=，BD CD ⊥，正方形ADEF ，且面ADEF ⊥面ABCD ．（I ）求证：BD ⊥平面ECD ． （II ）求D 点到面CEB 的距离．FABDCE20． (本小题满分12分) 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 经过点)3,0(，离心率为21，且1F 、2F 分别为椭圆的左右焦点．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点)0,4(-M 作斜率为)0(≠k k 的直线l ，交椭圆C 于B 、D 两点，N 为BD 中点，请说明存在实数k ，使得以1F 2F 为直径的圆经过N 点，（不要求求出实数k ）．21．(本小题满分12分) 已知函数)(ln 2)(2R a x a x x x f ∈+-=． （Ⅰ）当2=a 时，求函数)(x f 在))1(,1(f 处的切线方程；（Ⅱ）当0>a 时，若函数)(x f 有两个极值点)(,2121x x x x <，不等式21)(mx x f ≥恒成立，求实数m 的取值范围．本题有(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答,如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中． （22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明讲如图，已知AB 为圆O 的一条直径，以端点B 为圆心的圆交直线AB 于CD 两点，交圆O 于,E F 两点，过点D 作垂直于AD 的直线，交直线AF 于H 点．（Ⅰ）求证：,,,B D H F 四点共圆；（Ⅱ）若2,22AC AF ==，求BDF ∆外接圆的半径．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C 的极坐标方程为：24(cos sin )6ρρθθ=+-.若以极点O 为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.（Ⅰ）求圆C 的参数方程；（Ⅱ）在直角坐标系中，点(,)P x y 是圆C 上动点，试求x y +的最大值，并求出此时点P 的直角坐标. （24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知,m n 都是实数，0m ≠，()12f x x x =-+-.(I)若()2f x >，求实数x 的取值范围；(II)若()m n m n m f x ++-≥对满足条件的所有,m n 都成立，求实数x 的取值范围．2016年福州市普通高中毕业班质量检查数学(文科)答案第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．） 1. D 2. B 3. C 4. A 5. D 6. B 7.D 8.A 9.B 10. B 11. D 12.C第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上．）13. 2 14.3 15.①④ 16.12-=n n a .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） （I ）解: 法一：由(2)cos cos b c A a C -=及正弦定理，得(2sin sin )cos sin cos B C A A C -=…………………………………………3分2sin cos sin cos sin cos B A C A A C ∴=+ 2sin cos sin()sin B A C A B ∴=+= (0,)B π∈ sin 0B ∴≠(0,)A π∈1cos 2A =3A π∴=…………………………………………6分法二：由(2)cos cos b c A a C -=及余弦定理，得222222(2)22b c a b a c b c a bc ba+-+--=……………………………………3分整理，得222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-==(0,)A π∈3A π∴=．………………………………………6分(II)解：由（I ）得3A π∴=，由正弦定理得323sin sin sin 32b c a B C A ==== 所以23sin ;23sin b B c C ==ABC ∆的周长323sinB 23sin(B )3l π=+++ …………………………………9分323sinB 23(sinBcos cosBsin )33ππ=+++333sinB 3cosB =++36sin(B )6π=++2(0,)3B π∈当3B π=时，ABC ∆的周长取得最大值为9．…………………………………12分18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）A 班样本数据的平均值为1(911142031)175++++=………………3分 由此估计A 班学生每周平均上网时间17小时； B 班样本数据的平均值为1(1112212526)195++++=由此估计B 班学生每周平均上网时间较长． …………………6分 （Ⅱ）A 班的样本数据中不超过19的数据a 有3个，分别为：9，11，14， B 班的样本数据中不超过21的数据b 也有3个，分别为：11，12，21， 从A 班和B 班的样本数据中各随机抽取一个共有：9种不同情况，分别为：（9，11），（9，12），（9，21），（11，11），（11，12），（11，21），（14，11），（14，12），（14，21），…………………9分其中b a >的情况有（14，11），（14，12）两种， 故b a >的概率92=p ．…………………2分 19.（本小题满分12分）FABDCE（I ）证明：∵四边形ADEF 为正方形∴ED AD ⊥又∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF ⋂平面ABCD =AD ，∴ED ⊥平面ABCD …………………………………………3分 ∴ED BD ⊥又∵BD CD ⊥, ED CD D ⋂=∴BD ⊥平面ECD …………………………………………6分 （II ）解：1CD =，60OBCD ∠=，BD CD ⊥， 又∵ 正方形ADEF∴2CB =，5CE =，7BE =∴4575cos 10225BCE +-∠==⨯⨯ ∴19519252102CEB S ∆=⨯⨯⨯=…………………………8分 Rt BCD 的面积等于 131322BCD S ∆=⨯⨯=…………………9分 由得（I ）ED ⊥平面ABCD∴点E 到平面BCD 的距离为2ED =…………………………10分∴113..1. 3.2323D CEBE CDB V V --===11932h =⨯⨯ ∴25719h =即点D 到平面CEB 的距离为25719． ……………………………12分20．(本小题满分12分)解：（I ）∵椭圆经过点)3,0(，离心率为21， ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===222321c b a b a c ，解得3,1,2===b c a ． ∴椭圆C 的方程为13422=+y x ．………………………………………4分（II ）证明：设),(11y x B ，),(22y x D ，线段BD 的中点),(00y x N ．由题意可得直线l 的方程为：)4(+=x k y ，且0≠k ．联立⎪⎩⎪⎨⎧+==+)4(13422x k y y x ，化为12)4(43222=++x k x …………………………………6分 0126432)43(2222=-+++k x k x k ，由0)1264)(43(4)32(2222>-+-=∆k k k ，可得412<k ，且0≠k ． ∴22214332k k x x +-=+2221431264.k k x x +-=．………………………………………8分 ∴222143162k k x x x o +-=+=，204312)4(k k x k y o+=+= 假设存在实数k ，使得1F 2F 为直径的圆过N 点，即12F N F N ⊥，则12.1F N F N k k =-，∵22220041414316431211k k k k k k x y k N F -=++-+=+=，2202202121234161203134F N ky k k k k x k k +===-----+ ∴22412114203k k k k ⨯=----，化为42804030k k +-=， 设2t k =，则2804030t t +-=∴关于t 的方程存在正解，这样实数k 存在．即存在实数k ，使得以1F 2F 为直径的圆过N 点．……………………………………12分 21.(本小题满分12分)解：（Ⅰ）当2=a 时，x x x x f ln 22)(2+-=；xx x f 222)(+-=' 则1)1(-=f ，2)1(='f 所以切线方程为)1(21-=+x y ，即为32-=x y ．………………………………………4分 （Ⅱ）)0(22)(>+-='x xax x f 令022)(=+-='xax x f ，则0222=+-a x x 当084≤-=∆a ，21≥a 时，0)(≥'x f ，函数)(x f 在),0(+∞上单调递增，无极值点；…………………6分（1）当084>-=∆a 且0>a ，210<<a 时，由0222=+-a x x 得221148422,1a a x -±=-±=当x 变化时，)(x f '与)(x f 的变化情况如下表：x1(0,)x1x12(,)x x2x2(,)x +∞)(x f ' +-+)(x f单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增当210<<a 时，函数)(x f 有两个极值点)(,2121x x x x <，则121=+x x ， 22111a x --=，22112ax -+=………………………………………8分由210<<a 可得2101<<x ，1212<<x21)(x x f 21121ln 2x x a x x +-=21211121ln )22(2x x x x x x -+-=112111211ln )22(2x x x x x x --+-=1111ln 2111x x x x +---= 令)210(ln 2111)(<<+---=x x x x x x h ………………………………………10分 x x x h ln 2)1(11)(2+--='因为210<<x ，所以2111-<-<-x ，1)1(412<-<x 0ln 2)1(11)(2<+--='x x x h ，即)(x h 在)21,0(递减， 即有2ln 23)21()(--=>h x h ， 所以实数m 的取值范围为]2ln 23,(---∞．………………………………………12分本题有(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答,如果多做，则按所做的第一题计分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明讲证明:(I) AB 为圆O 的一条直径,BF FH DH BD ∴⊥⊥,,,B D H F ∴四点共圆 ……………………………………4分解：(II) AH 与圆B 相切于点F ，由切割线定理得2AF AC AD =⋅，即()2222AD =⋅， 解得4AD =，所以()11,12BD AD AC BF BD =-===， 又AFBADH ∆∆， 则DH AD BF AF=，得2DH =，……………………………………7分 连接BH ，由（1）知BH 为BDF ∆的外接圆直径，223BH BD DH =+=，故BDF ∆的外接圆半径为32．……………………………………10分 （23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）因为24(cos sin )6ρρθθ=+-，所以22446x y x y +=+-，所以224460x y x y +--+=，即22(2)(2)2x y -+-=为圆C 的普通方程．…………………………………4分所以所求的圆C 的参数方程为22cos 22sin x y θθ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩(θ为参数) ．………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，42(sin cos )42sin()4x y πθθθ+=++=++ …………………………7分当 4πθ=时，即点P 的直角坐标为(3,3)时， ……………………………9分x y +取到最大值为6. …………………………………10分（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：(I)⎪⎩⎪⎨⎧>-≤<≤-=2,3221,11,23)(x x x x x x f由2)(>x f 得⎩⎨⎧≤>-1223x x 或⎩⎨⎧>->2322x x ， 解得21<x 或25>x . 故所求实数x 的取值范围为),25()21,(+∞⋃-∞.……5分 （II ）由)(x f m n m n m ≥-++且0m ≠得 )(x f m nm n m ≥-++， 又∵2=-++≥-++m nm n m m nm n m ， …………………………7分∴2)(≤x f ，∵2)(>x f 的解集为),25()21,(+∞⋃-∞，∴2)(≤x f 的解集为]25,21[，∴所求实数x 的取值范围为]25,21[.……10分。

高三数学(理）综合测试(2）满分150分,考试时间110分钟一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分。

1。

已知复数2(3)1i z i +=+（i 为虚数单位),则其共轭复数z 在复平面内所对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2。

已知集合1()12x A x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，{}2680B x x x =-+≤，则R A C B =( ）A ．{}0x x ≤B ．{}24x x ≤≤C ．{}024x x x ≤<>或D ．{}024x x x <≤≥或附：若2~(,)X N μσ，则： ()0.6826P X μσμσ-<≤+=， (22)0.9544P X μσμσ-<≤+=(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=4。

执行如图所示的程序框图，则输出S 的值是（ ）A ．10B ．12C ．100D ．1025.已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，其中0A >，0ω>，则“(0)0f =”是“()y f x =是奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6.如图是一个几何体的三视图,则这个几何体的体积是（ ）A ．73πB ．103π C ．4π D ．5π 7。

已知变量x ，y 满足约束条件413021040x y x y kx y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，且有无穷多个点(,)x y 使目标函数z y x =+取得最小值，则k =（ ）A ．4B ．3C ．2D ．18.已知正三棱锥P ABC -中，E ,F 分别是AC ，PC 的中点，若EF BF ⊥，2AB =，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（ ）A ．4πB ．8πC ．6πD ．12π9。

已知两定点(2,0)A -和(2,0)B ，动点(,)P x y 在直线:3l y x =+上移动,椭圆C 以A ，B 为焦点且经过点P ,则椭圆C 的离心率的最大值为( ）A 26B 26C 13D 1310。