高考数学圆锥曲线与方程知识点梳理

圆锥曲线与方程知识点总结圆锥曲线是平面上的一类曲线，由以下方程定义：Ax^2 +By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0。

其中A、B、C、D、E、F、G、H、I、J是常数，且A、B、C不全为0。

圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线等。

1. 椭圆：椭圆是圆锥曲线中的一种类型，由以下方程定义：Ax^2 +By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0。

若B^2 - 4AC < 0，则为椭圆。

椭圆是一个封闭的曲线，其特点是到两个焦点的距离和固定。

椭圆在几何中有重要的应用，如椭圆的焦点在天文学中用于描述行星和卫星的轨道。

2. 双曲线：双曲线是圆锥曲线中的一种类型，由以下方程定义：Ax^2 +By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0。

若B^2 - 4AC > 0，则为双曲线。

双曲线有两个分支，其特点是到两个焦点的距离差固定。

双曲线在几何中也有广泛的应用，如描述光线在反射和折射中的路径。

3. 抛物线：抛物线是圆锥曲线中的一种类型，由以下方程定义：Ax^2 +By^2 + Cz^2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0。

若B^2 - 4AC = 0，则为抛物线。

抛物线是一个开口向上或向下的曲线，与焦点的距离等于到准线的距离。

抛物线在物理学、工程学和建筑学等领域中有重要的应用，如描述抛物面的形状。

4. 圆锥曲线的性质：(i) 对称性：圆锥曲线可以关于x轴、y轴、z轴和原点对称。

(ii) 焦点：圆锥曲线有1个或2个焦点，焦点是与曲线特定性质相关的重要点。

(iii) 准线：圆锥曲线有1条或2条准线，准线是与曲线特定性质相关的重要线。

(iv) 渐近线：双曲线有两条渐近线，抛物线有一条渐近线。

圆锥曲线全总结及全题型解析1.圆锥曲线的两定义：第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F ，F 的距离的和等于常，且此常数一定要大于，当常数等时，轨迹是线段 F F ，当常数小时，无轨迹；双曲线中，与两定点F ，F 的距离的差的绝对值等于常数，且此常数一定要小于F |，定义中的“绝对值”与＜|F F|不可忽视。

若＝|F F|，则轨迹是以F，F为端点的两条射线，若﹥|F F |，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在轴上时（），焦点在轴上时＝1（）。

方程表示椭圆的充要条件是什么？（A B C≠0，且A，B，C同号，A≠B）。

（2）双曲线：焦点在轴上=1，焦点在轴上＝1（）。

方表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且A，B 异号）。

（3）抛物线：开口向右时，开口向左，开口向上时，开口向下时。

3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由, 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。

（2）双曲线：由, 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。

提醒：在椭圆中，最大，在双曲线中，最大。

4.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以（）为例）：①范围：；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为，短轴长为；④准线：两条准线；⑤离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越大，椭圆越扁。

（2）双曲线（以（）为例）：①范围：或；②焦点：两个焦点；③对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），两个顶点，其中实轴长为2 ，虚轴长为，特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；④准线：两条准线；⑤离心率：，双曲线，等轴双曲线在椭圆外， 越小，开口越小， 越大，开口越大；⑥两条渐近线。

圆锥曲线知识点整理圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。

下面我们来详细整理一下圆锥曲线的相关知识点。

一、椭圆1、定义平面内与两个定点 F₁、F₂的距离之和等于常数（大于|F₁F₂|）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

2、标准方程焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为长半轴长，＼（b\）为短半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。

焦点在y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））3、椭圆的性质（1）范围：对于焦点在 x 轴上的椭圆，＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b ＼leq y ＼leq b\）；对于焦点在 y 轴上的椭圆，＼（b ＼leq x ＼leq b\），＼（a ＼leq y ＼leq a\）。

（2）对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。

（3）顶点：椭圆有四个顶点，焦点在 x 轴上时，顶点坐标为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在 y 轴上时，顶点坐标为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。

（4）离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼），＼（0 ＜ e ＜ 1\），＼（e\）越接近 0，椭圆越接近于圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。

二、双曲线1、定义平面内与两个定点 F₁、F₂的距离之差的绝对值等于常数（小于|F₁F₂|）的点的轨迹叫做双曲线。

这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

2、标准方程焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\），其中\（a ＞ 0\），＼（b ＞ 0\），＼（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。

圆锥曲线与方程知识要点一、椭圆方程. 1、椭圆的定义：平面内与两个定点尸卜F 2,点P 满足IP 用+1尸/2∣=2α>2∣,则点P 的轨迹是 平面内与两个定点尸八F 2,点尸满足IP 居|+|Pq=2z=∣FE ∣,则点尸的轨迹是 平面内与两个定点尸I 、F 2,点P 满足IPFJ+1PKI=2〃<忻八|，则点P 的轨迹是 2X 2V 2若户是椭圆：-τ+J=I 上的点为焦点，若NF1P 户产氏则AT//2的面积为ab3、点与椭圆、直线与椭圆的位置关系9 2⑴点Pa0,比)与椭圆E+g=1(α>b>0)的位置关系：①点尸在椭圆上O;②点P 在椭圆内部=;③点P 在椭圆外部Q.(2)直线尸履+〃?与椭圆，+方=1(α>Z>O)的位置关系判断方法:消y 得一个一元二次方程是： _____________________________________________________v（3）弦长公式：设直线方程为），=履+加（%0）,椭圆方程为/+方=1（α>b>0）或方+∕=1（α>b>0）,直线与椭圆的两个交点为A（X1，yι）,3（X2，）力则∣A8∣=N（为一7）2+（小一”）2,Λ∖AB∖=7（X1X2）2+（如一g）2=<1+F∙d（X1-X2）2=y∣I+*7（X1+切）4_¥1囚，或HB1=d（i>1⅛2）+（上_1）2=[]+、•'（%_"）2=^1+.XJ（>1+>2）2_领/其中，即+“2,汨M 或“+”，V”的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立消去y或X后得到关于X或y的一元二次方程得到.2 2（4）直线/：y=Ax+m与椭圆：二+与=1（α>/?>0）的两个交点为Aa1，y）,8（如力），a'b~弦A8的中点M（X0，州），则2=（用X0,州表示）二、双曲线方程.1、双曲线的定义：平面内与两个定点尸I、F2,点尸满足归/JTPgh2々<囚尸21则点尸的轨迹是平面内与两个定点尸卜尸2，点尸满足仍PJTPW=2α>巴川，则点P的轨迹是平面内与两个定点尸1、尸2，点P满足归尸]|-|尸/』=2〃=|尸尸小则点P的轨迹是21等轴双曲线：双曲线“2_,2=±『称为等轴双曲线，其渐近线方程为,离心率《=2 2（2）共渐近线的双曲线系方程：二-1?=”之0°）的渐近线方程为_________________a~Zr如果双曲线的渐近线为±±2=0时，它的双曲线方程可设为 ____________________ .ab(3)从双曲线一个焦点到一条渐近线的距离等于.3、直线与双曲线的位置关系r2V2(1)一般地，设直线/：y=kxΛ-m……①双曲线C：^-p=1(α>O,bX))……②把①代入②得关于X的一元二次方程为.①当〃一"仆=O时，直线/与双曲线的渐近线,直线与双曲线C.②当/一/炉和时，/>0=直线与双曲线有公共点，此时称直线与双曲线:/=0=直线与双曲线有公共点，此时称直线与双曲线：/<0=直线与双曲线公共点,此时称直线与双曲线.注意：直线和双曲线只有一个公共点时，直线不一定与双曲线相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交，只有一个交点.AB的中点M(xo>h)，则A=(用必，yo表示)三、抛物线方程.1、抛物线的定义平面内与一个定点尸和一条定直线/(不经过点F)的点的轨迹叫做抛物线.点尸叫做抛物线的,直线/叫做抛物线的.思考1：平面内与一个定点F和一条定直线/(/经过点F),点的轨迹是2、抛物线的性质:3、抛物线的焦点弦的性质1.如图，A8是抛物线y2=2pMp>0)过焦点尸的一条弦，设Aa∣,》)、8(及，工)，AB的中点MX°，并)，相应的准线为/.(1)以AB为直径的圆必与准线/的位置关系是:(2)HB1=(焦点弦长用中点M的坐标表示)；(3)若直线AB的倾斜角为α,则∣A8∣=(焦点弦长用倾斜角为α表示)；如当α=90。

圆锥曲线方程知识点总结一、圆锥曲线的基本方程椭圆的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > b > 0)$$其中椭圆的长轴为$2a$，短轴为$2b$，焦距为$\sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$c/a$。

双曲线的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > 0, b > 0)$$其中双曲线的两个分支的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$。

抛物线的标准方程如下：$$x^2 = 4ay. (a > 0)$$其中抛物线的焦点为$(0, a)$，顶点为$(0, 0)$。

二、圆锥曲线的参数方程圆锥曲线还可以用参数方程表示。

以椭圆为例，其参数方程为：$$\begin{cases}x = a \cos \theta, \\y = b \sin \theta. \\\end{cases}$$其中$\theta$的取值范围为$[0, 2\pi]$。

双曲线和抛物线的参数方程也可以类似地表示。

三、圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线还可以用极坐标方程表示。

以椭圆为例，其极坐标方程为：$$r = \frac{ab}{\sqrt{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}}.$$其中$r$为极径，$\theta$为极角。

双曲线和抛物线的极坐标方程也可以类似地表示。

四、圆锥曲线的性质1. 圆锥曲线关于坐标轴的对称性：- 椭圆关于$x$轴和$y$轴都对称；- 双曲线关于$x$轴和$y$轴都对称；- 抛物线关于$y$轴对称。

2. 圆锥曲线的焦点、直径、离心率等：- 椭圆的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 双曲线的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 抛物线的焦点到中心的距离为$c = a$，离心率为$e = 1$。

圆锥曲线与方程知识点总结圆锥曲线是解析几何学中的重要内容，它是解析几何学中的一大类曲线，经常与数学和物理学等学科结合起来进行研究。

圆锥曲线包含了椭圆、双曲线和抛物线三种曲线，它们都有着独特的性质和方程。

本文将对圆锥曲线的性质、方程和一些相关公式进行总结，以便读者更好地理解和应用这一知识点。

1. 椭圆椭圆是平面上的一个闭合曲线，它可以由一个动点到两个定点的距离之和等于常数的所有点构成。

椭圆的标准方程为：\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\]其中a和b分别表示椭圆在x轴和y轴上的半轴长度。

椭圆还有一些重要的性质，比如焦点、离心率和直径等。

2. 双曲线双曲线也是平面上的一个曲线，它可以由一个动点到两个定点的距离之差等于常数的所有点构成。

双曲线的标准方程为：\[\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\]类似椭圆，a和b分别表示双曲线在x轴和y轴上的半轴长度。

双曲线也有一些重要的性质，比如焦点、渐近线和离心率等。

3. 抛物线抛物线是平面上的一个曲线，它可以由一个动点到定点的距离等于动点到定直线的距离的所有点构成。

抛物线的标准方程为：\[y^2 = 2px\]其中p表示抛物线的焦点到定直线的距离。

抛物线也有一些重要的性质，比如焦点、准线和焦距等。

4. 圆锥曲线的性质圆锥曲线有一些重要的性质，比如中心对称性、轴对称性和离心率等。

这些性质对于研究圆锥曲线的形状和位置关系非常重要。

另外，圆锥曲线还有着许多重要的定理，比如焦点定理和渐近线定理等，这些定理为研究圆锥曲线提供了重要的依据和方法。

5. 圆锥曲线的方程圆锥曲线的方程是研究它们的重要工具，在应用数学和物理学中经常会用到。

椭圆、双曲线和抛物线分别有着自己的标准方程和一般方程，通过这些方程可以更好地理解和描述这些曲线的性质和形状。

同时，圆锥曲线还有一些重要的参数方程和极坐标方程，它们在解决一些特殊问题时非常有用。

高考数学圆锥曲线部分知识点梳理一、方程的曲线：在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。

点与曲线的关系：若曲线C 的方程是f(x,y)=0，则点P 0(x 0,y 0)在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)=0；点P 0(x 0,y 0)不在曲线C 上⇔f(x 0,y 0)≠0。

两条曲线的交点：若曲线C 1，C 2的方程分别为f 1(x,y)=0,f 2(x,y)=0,则点P 0(x 0,y 0)是C 1，C 2的交点⇔{0),(0),(002001==y x f y x f 方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n 个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没有交点。

二、圆：1、定义：点集｛M ｜｜OM ｜=r ｝，其中定点O 为圆心，定长r 为半径.2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r 的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2圆心在坐标原点，半径为r 的圆方程是x 2+y 2=r 2(2)一般方程：①当D 2+E 2-4F ＞0时，一元二次方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为)2,2(ED --半径是2422F E D -+。

配方，将方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0化为(x+2D )2+(y+2E )2=44F -E D 22+②当D 2+E 2-4F=0时，方程表示一个点(-2D ,-2E );③当D 2+E 2-4F ＜0时，方程不表示任何图形.（3）点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0)，则｜MC ｜＜r ⇔点M 在圆C 内，｜MC ｜=r ⇔点M 在圆C 上，｜MC ｜＞r ⇔点M 在圆C 内，其中｜MC ｜=2020b)-(y a)-(x +。

高考圆锥曲线公式学问点总结高考圆锥曲线公式学问点总结导语：人生，没有过不去的坎，你不行以坐在坎边等它消逝，你只能想方法穿过它。

下面是为大家整理，数学学问。

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且当01时为双曲线。

圆锥曲线公式学问点总结圆锥曲线椭圆双曲线抛物线标准方程x/a+y/b=1(ab0) x/a-y/b=1(a0,b0) y=2px(p0) 范围x[-a,a] x(-，-a][a,+) x[0,+)y[-b,b] yR yR对称性关于x轴，y轴，原点对称关于x轴，y轴，原点对称关于x轴对称顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (a,0),(-a,0) (0,0)焦点(c,0),(-c,0) (c,0),(-c,0) (p/2,0)准线x=a/c x=a/c x=-p/2渐近线y=(b/a)x离心率e=c/a,e(0,1) e=c/a,e(1,+) e=1焦半径∣PF∣=a+ex ∣PF∣=∣ex+a∣∣PF∣=x+p/2∣PF∣=a-ex ∣PF∣=∣ex-a∣焦准距p=b/c p=b/c p通径2b/a 2b/a 2p参数方程x=acos x=asec x=2pty=bsin，为参数y=btan，为参数y=2pt,t为参数过圆锥曲线上一点x0x/a+y0y/b=1 x0x/a-y0y/b=1 y0y=p(x+x0)(x0,y0)的切线方程斜率为k的切线方程y=kx(ak+b) y=kx(ak-b)y=kx+p/2k。

圆锥曲线方程笔记高二圆锥曲线方程笔记高二圆锥曲线是高中数学学科中的重点内容，也是一种经典的二次曲线形式。

本文将对圆锥曲线的方程进行笔记，通过解析式、性质以及图像等多个方面进行详细的讲解，希望能够帮助同学们全面理解圆锥曲线的特性。

一、解析式圆锥曲线的解析式包括：抛物线、椭圆、双曲线和直线。

它们的解析式分别为：1.抛物线：y²=4ax 或者x²=4ay（a>0）；2.椭圆：(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1（a>b>0）；3.双曲线：(x-h)²/a²-(y-k)²/b²=1（a>0,b>0）；4.直线：Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）。

这些解析式反映了圆锥曲线与坐标轴之间的关系，通过解析式可以了解到圆锥曲线的几何特性，并能够方便地进行计算和推导。

二、性质每一种圆锥曲线都有其独特的性质，下面对每一种圆锥曲线的性质进行一一介绍。

1.抛物线的性质：（1）焦点和直线：抛物线具有焦点和准线。

焦点到准线的距离等于焦距2a。

准线是y=0坐标轴。

（2）对称性：抛物线关于y轴对称，开口向上或向下。

（3）顶点：抛物线的顶点为（0，0）。

（4）切线：抛物线上任一点处的切线平行于准线。

（5）拋物截距式：若抛物线的方程为y²=4ax，则抛物线与x轴交于两点（-a, 0）和（a, 0）。

2.椭圆的性质：（1）长轴和短轴：椭圆由焦点F1、F2和主轴上的两个端点A、A'所确定，主轴（AA'）为长轴，长度为2a；焦点F1、F2与椭圆中心C的距离为c，满足a>c>0。

（2）顶点和准线：椭圆的顶点为两个焦点所在的直线与椭圆的交点；准线是通过椭圆中心的一条直线。

3.双曲线的性质：（1）渐近线：双曲线由两条渐近线所定义，渐近线的方程为y=kx+b和y=-kx+c，其中 k=a/b（a和b分别为横轴与纵轴的半长度）。