【2014邯郸市二模】河北省邯郸市2014届高三第二次模拟考试 数学理试题 Word版含答案

河北省 2014 届高三理科数学一轮复习考试一试题优选（1）分类汇编 10：数列一、选择题1．（河北省唐山一中2014届高三第二次调研考试数学（理）试题）数列 { a n } 的前n 项和为S n n2n1, b n(1) n a n (n N * ) ,则数列 {b n } 的前50项的和为（）A． 49B．50C． 99D． 100【答案】 A2．（河北省衡水中学2014届高三上学期二调考试数学（理）试题）设 S n是等差数列{ a n}的前n项和, S53(a2a8 ) ,则a5的值为（）a31B．13D5A．3C66． 5．【答案】 D3．（河北省唐山市 2014届高三摸底考试数学（理）试题）设等差数列 {a n} 的前 n 项和为 S n, 且 S5=13,S 15=63,20（）则 S =A． 100B．90C． 120D． 110【答案】 B4 ．（河北省衡水中学 2014 届高三上学期三调考试数学（理）试题）设S n是公差不为0 的等差数列{ a n}的前 n 项和 , 且S1, S2, S4成等比数列 , 则a2的值为（）a1A． 1 B ． 2C． 3D． 4【答案】 C5．（河北省邯郸市 2014届高三上学期摸底考试数学（理）试题）在等比数列 a n中, a5a113, a3a134,则a12（）2A． 3 B ．31D．3或1 C．3 或3 3【答案】 C6．（河北省邯郸市武安三中2014届高三第一次摸底考试数学理试题）数列 a n是首项为1,且公比q 0的等比数列 ,S n是a n的前 n1的前 5 项和为项和, 若9S3S6, 则数列（）a nA．15B ． 5C．31D．15 181616【答案】 C7．（河北省保定市八校结合体2014届高三上学期第一次月考数学（理科）试题）在等差数列中,a 1+a = 16,则 a等于（）53A． 8 B ．4 C ．-4D． -8【答案】 A8．（河北省张家口市蔚县一中2014届高三一轮测试数学试题）已知 { a } 为等差数列,其前 n 项和为 S ,n n 若 a36, S312 ,则公差d等于（）A．15C．2D．3 B ．3【答案】 C9 ．（河北省衡水中学 2014届高三上学期二调考试数学（理）试题）已知等比数列a n的公比 q 2 ,且2a4 , a6 ,48 成等差数列,则 a n的前 8项和为（）A． 127B．255C． 511D． 1023【答案】 B10．（河北省张家口市蔚县一中2014届高三一轮测试数学试题）等比数列 { a n } 中,已知对随意自然数n , a1a2a3a n2n1,则a12a22a32a n2等于（）A．(2n1) 2 B ．1(2n1)C．4n1D．1(4n1) 33【答案】 D11．（河北省邯郸市武安三中2014 届高三第一次摸底考试数学理试题）设等差数列a n的前 n 项和为 S n,若 a2a815 a5,则 S9等于（）A． 45B．60C．36D．18【答案】 B12．（河北省张家口市蔚县一中2014届高三一轮测试数学试题）若数列{an}知足:存在正整数T,关于任意正整数 n 都有an Tan 成立,则称数列{an}为周期数列,周期为T.已知数列 {a n} 满足a n1,a n，1a n 1 =10a n 1.0) ,,a1m (m a n则以下结论中错误的是（）．．A．若m4, 则a535B a3 2 ,3C．若m2 ,则数列{ an}是周期为3的数列D．m Q且m2 ,数列{ an}是周期数列【答案】 D13 ．（河北省衡水中学2014届高三上学期二调考试数学（理）试题）已知数列为等比数列, 且 .a5 4,a964,则=（）A．8 B ．16C． 16D．8【答案】 C14．（河北省张家口市蔚县一中2014 届高三一轮测试数学试题）在首项为 57, 公差为5的等差数列a n 中, 最靠近零的是第 ( )项 .（）A． 14B．13C． 12D． 11【答案】 C15．（河北省保定市 2014届高三 10月摸底考试数学（理）试题）设a n为等差数列, 且a3 a7 a10 2, a11 a47,则数列a n的前13项的和为S13（）A． 63B．109C． 117D． 210【答案】 C提示 : ∵a3 +a7-a 10+ a 11— a4=9, ∴a7=9, ∴S13=13 a 7=117二、填空题16．（河北省唐山市2014 届高三摸底考试数学（理）试题）已知数列 {a n} 知足 a1=0,a 2=1, a n23an 12a n,则{a n} 的前 n 项和 S n=_______________.【答案】 2n n117．（河北省衡水中学 2014届高三上学期二调考试数学（理）试题）在等比数列 a n中,若a7 a8a9a1015 ,a8a99, 则1111___________.88a7a8a9a10【答案】5 318．（河北省唐山一中 2014届高三第二次调研考试数学（理）试题）数列 a n 中 , a15,a n2a n 1 2n1(n N, n2),若存在实数,使得数列a n为等差数列 , 则2n =_________.【答案】119．（河北省保定市2014届高三 10 月摸底考试数学（理）试题）已知数列 a n是各项均为正数的等比数优选文档列, 若a 22, 2a 3 a 4 16 , 则 a n ______________.【答案】 2n 1 ; 三、解答题20．（ 河北省邯郸市 2014 届高三上学期摸底考试数学（理）试题） 在等差数列a n 中 , a 2 6,S 4 20 .(1) 求数列a n的通项公式 ;(2) 设 b n2 (nN * ),T n b 1 b 2Lb n (n N * ) , 求 T n .n(12 a n )【答案】设a 1 d6a n 的公差为 d , 由题意得6d204a 1a 8解得{ d 12得: a n 8 2( n 1) 10 2n.(2) ∵ b n2 1n(12 a n )n(n 1)∵ b n1 1nn1T nb 1 b 2 b 3b n (1 1) (1 1)(11 ) n n2 2 3nn 1121．（河北省衡水中学2014届高三上学期三调考试数学（理）试题）已知函数 f (x)x 3 mx 在 (0,1)上是增函数 ,( Ⅰ) 实数 m 的取值会合为 A, 当 m 取会合 A 中的最小值时 , 定义数列 { a n } 知足a 1 3, 且 a n 0, a n 13 f a nn} 的通项公式 ;9 , 求数列 {a ( Ⅱ) 若 b nna n , 数列 { b n } 的前 n 项和为 S n , 求证 : S n 3.由题意得 f ′(x)= ﹣ 3x 2+m,4【答案】解 :(1)∵ f (x)= ﹣ x 3 +mx 在 (0,1) 上是增函数 , ∴f ′(x)= ﹣ 3x 2+m ≥0在(0,1) 上恒建立 , 即m ≥ 3x 2, 得 m ≥3,故所求的会合 A 为[3,+ ∞); 因此 m=3,∴f ′(x)= ﹣ 3x 2+3,∵ ,an>0, ∴ ∴数列 {an} 是以 3 为首项和公比的等比数列(2) 由 (1) 得,bn=na n =n?3n,=3an, 即, 故 an=3n;=3,234n②3Sn=1?3 +2?3 +3?3 ++n?3 +1①﹣②得 , ﹣2Sn=3+32+33 ++3n ﹣n?3 n +1= ﹣n?3n+1化简得 ,Sn=>22．（河北省保定市 2014届高三 10月 摸 底 考 试 数 学 （ 理 ） 试 题 ） 已 知 数 列 a n , 满 足1 a n n 为偶数 , 5an 12 a 4, 若 b na2n 11(b n0) .a n为奇数21n(1) 求 a 1 ;(2) 求证 :b n 是等比数列 ;(3) 若数列 a n 的前 n 项和为 S n , 求 S 2n .51 为偶数【答案】 (1) 解: ∵, a n2 a n , na 412a n， 为奇数1 n∴ a 35 13, ∴ a 23, ∴ a 122 2b na2 n 1(2) 证明 :a2n 3bn 111 a2n2 1121a2 n1,21 2故数列 { b n } 是首项为 1, 公比为 1 的等比数列2( 1 )n 1(3) 解: ∵ b na2 n 11 , ∴ a 2n 11 (a 1 1)(1 )n 12 即 a 2n1121 (11)1∴a 1a 3 La2 n 1 2n n=2－1－１n12n2又∵ a 2 a 1 1,a 4a 3 1,La2 na2 n 11 10分∴S2n2(a 1 a 3a 2n 1 )n 413n( 张军红命制 )2n 223．（河北省保定市 2014 届高三 10月 摸 底 考 试 数 学 （ 理 ） 试 题 ） 已 知 数 列 a n中, a 24, a n 1an2( n N * ) , 其前 n 项和为 S n ,(1) 求数列 a n的通项公式 ;(2)1, 求数列b n的前 n 项和为 T n.令 b nS n【答案】解 : (1)由于 a n 1a n 2(n N * ) ,因此数列a n的公差d=2又a2 4因此 a n2n(2)易得 S n= n2n111因此 b n1) n n1n(n因此T n11=nn 1n124 ．（河北省容城中学2014届高三上学期第一次月考数学（理）试题）已知数列 {a n} 的前 n 项和S n1n2kn (此中 k N*),且S的最大值为8.2n(1)确立常数 k, 求 a n.9 2a n的前 n 项和 T n.(2) 求数列2n【答案】 (1) 当n k N * 时,S n1n2kn取最大值,即 8 S k1k2k21k2,22225．（河北省张家口市蔚县一中2014 届高三一轮测试数学试题）已知二次函数 f ( x)px2qx( p 0) ,其导函数为 f (x) 6x 2 ,数列{ a n}的前n项和为S n,点 (n, S n )( n N * ) 均在函数y f (x) 的图像上.(1)求数列 { a n } 的通项公式;(2) 若c n 1(a n 2), 2b1 22 b2 23 b3 L2n b n c n,求数列{ b n}的通项公式. 3【答案】26．（河北省保定市八校结合体2014 届高三上学期第一次月考数学（理科）试题）设 a n是公差不为零的等差数列 , S n为其前n项和 , 知足a22a32a42a52,S7 7.(1)求数列 a n的通项公式及前n项和 S n;(2)试求全部的正整数 m ,使得amam 1为数列 a n中的项. am 2【答案】 [ 分析 ]本小题主要考察等差数列的通项、乞降的相关知识, 考察运算和求解的能力. 满分 14分.( 1) 设公差为 d ,则 a22a52a42a32, 由性质得3d (a4a3 ) d (a4a3 ) ,由于 d0 ,所以a4a30,即2a15d 0,又由S77 得7a17 6d 7 ,解得2a1 5 ,d2,(2)amam 1=(2 m7)(2 m5),设2m3t ,am 22m3(方法一)则 a m a m 1= (t4)(t2)t86,因此为 8的约数a m2t t( 方法二 ) 由于amam 1(am 24)( a m 2 2)a m 268为数列a n中的项, a m 2a m 2a m 2故8为整数 , 又由 (1)知: a m 2为奇数 , 因此a m 22m31,即m 1,2 a m+2经查验 ,切合题意的正整数只有m 227 ．（河北省衡水中学2014届高三上学期二调考试数学（理）试题）数列 {a n}的前n项和为n,且Sn*S=n( n+1)( n∈N).(1)求数列 { a n} 的通项公式 ;(2)若数列 {b1b2+b3++ nb nn}的通项公式; n}知足: n=+23,求数列{b a3＋1 3＋ 1 3＋ 1 3＋ 1ba b*n n(3)令 c n=4( n∈N), 求数列 { c n} 的前n项和T n.【答案】28 ．（河北省张家口市蔚县一中2014届高三一轮测试数学试题）已知为两个正数, 且, 设当,时,.( Ⅰ) 求证 : 数列是递减数列,数列是递加数列;(Ⅱ)求证 :;( Ⅲ) 能否存在常数使得对随意, 有, 若存在 , 求出的取值范围;若不存在,试说明原因 .【答案】( Ⅱ)证明:.(Ⅲ)解: 由, 可得.若存在常数使得对随意,有,则对随意,.即对随意建立 .即对随意建立.设表示不超出的最大整数,则有.即当时 ,.与对随意建立矛盾.因此 , 不存在常数使得对随意, 有29．（河北省唐山一中2014届高三第二次调研考试数学（理）试题）设等比数列a n的前n项和为S n,已知 a n 12S n2( n N ) .( Ⅰ) 求数列a n的通项公式;优选文档( Ⅱ) 在a n与a n 1之间插入n个数 , 使这n 2 个数构成公差为d n的等差数列,设数列1的前 n 项和d nT n,证明:T n 15. 16【答案】解 ( Ⅰ) 由an 12S n*得 a n 2S n2( n*2(n N )1N, n 2 ),两式相减得 : a n 1a n2a n,即 a n 1*, n2), 3a n (n N∵ { a n } 是等比数列,因此 a23a1,又 a2 2a1 2,则 2a1 2 3a1,∴ a1 2 ,∴ a n2g3n 1( Ⅱ) 由 (1) 知a n 12g3n , a n2g3n 1∵ a n 1 a n (n 1)d n,∴d n43n 1n ,11111令 T nd2d3,d1d n则 T n234+n1①430 4 31 4 324g3n11T n 23n n1②3 4 31 4 324g3n 14g3n①-②得2T n 2111n 134g304g314g324g3n 14g3n11 1 13(13n 1 )n 1 5 2n 51n n 24 4 388 313g gT n 152n515 1616g3n 116优选文档。

河北省邯郸市2014届高三第二次模拟考试文科数学试卷（带解析）1．已知集合{}1,0,1A =-，{}11B x x =-≤<，则AB =（ ）A.{}0B.{}1,0-C.{}0,1D.{}1,0,1- 【答案】B 【解析】试题分析：由题意知{}1,0A B =-，故选B.考点：集合的交集运算2．复数z 满足()()25z i i --=，则z =（ ）A.22i --B.22i -+C.22i -D.22i + 【答案】D 【解析】试题分析：由题意知()()()()525252222225i i z i i z i i i i ++-====+⇒=+--+，故选D. 考点：复数的除法3．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程0.6854.6y x =+，利用下表中数据推断的值为（ ）A.68.2B.68C.69D.67 【答案】B 【解析】 试题分析：1020304050305x ++++==，由于回归直线0.6854.6y x =+过样本中心点(),x y ，所以0.683054.675y =⨯+=，而()162758189755y a =++++=，解得68a =，故选B. 考点：回归直线4．已知双曲线的离心率为2，焦点是()4,0-，()4,0，则双曲线方程为（ ）A.221412x y -= B.221124x y -= C.221106x y -= D.221610x y -= 【答案】A 【解析】试题分析：不妨设双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，焦距为()20c c >，则4c =，离心率为422c e a a a===⇒=，b ∴==为221412x y -=，故选A. 考点：双曲线的方程5．如图，正三棱柱111ABC A B C -的各棱长均为2，其正（主）视图如图1所示，则此三棱柱侧（左）视图的面积为（ ）A.4【答案】D 【解析】试题分析：由题意知，正三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，其边上的高为2sin 60=2=2的矩形，因此，三棱柱的侧2= D. 考点：三视图6．函数x x y cos 2=部分图象可以为（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】试题分析：易知函数2cos y x x =为偶函数，排除C 、D 选项；当02x π<<，cos 0x >，则2cos 0x x >，排除B 选项，故选A.考点：1.函数的奇偶性；2.函数的图象7．如图是一个算法的程序框图，当输入的x 值为5时，输出y 的结果恰好是31，则①处的关系式是（ ）A.31x y = B.3-=x y C.x y 3= D.3x y = 【答案】C 【解析】试题分析：输入x 的值为5时，经过循环后x 的值变为1-，若①处的函数为13y x =，输出的值为y =()1311-=-，A 选项不正确；若①处的函数为3y x -=，则输出的值为()311y -=-=-，B选项错误；若①处的函数为3x y =，则输出的值为1133y -==，C 选项正确；若①处的函数为3y x =，输出的值为()31y =-1=-，D 选项错误.综上所述，选C.考点：算法与程序框图8．四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，这样交替进行下去，那么第202次互换座位后，小兔坐 在第 号座位上A.1B.2C.3D.4 【答案】B 【解析】试题分析：考虑小兔所坐的座位号，第一次坐在1号位上，第二次坐在2号位上，第三次坐在4号位上，第四次坐在3号位上，第五次坐在1号位上，因此小兔的座位数更换次数以4为周期，因为2025042=⨯+，因此第202次互换后，小兔所在的座位号与小兔第二次互换座位号所在的座位号，因此小兔坐在2号位上，故选B. 考点：1.推理；2.周期性9．已知等比数列前n 项和为n S ，若42=S ,164=S ，则=8S （ ） A.160 B.64 C.64- D.160- 【答案】A 【解析】试题分析：由等比数列的性质可知2S 、42S S -、64S S -、86S S -成等比数列，因此()242S S -=()()()2242264642164364S S S S S S S S ---⇒-===，同理可得()226486423610812S S S S S S --===-， 因此()()()8866442210836124160S S S S S S S S =-+-+-+=+++=，故选A. 考点：等比数列的性质10．若在区间[]0,2中随机地取两个数，则这两个数中较小的数大于32的概率是（ ） A.31 B.32 C.94 D.91 【答案】C 【解析】试题分析：设所选取的两个数分别为x 、y ，且x y <，事件“这两个数中较小的数大于32”所表示的集合为()2,02,02,,3x y x y x y x ⎧⎫≤≤≤≤<>⎨⎬⎩⎭，所表示的平面区域如下图中的阴影部分所表示，其面积等于一个腰长为2的等腰直角三角形减去一个腰长为23的等腰直角三角形的面积而得到，其中阴影部分的面积为221121622239S ⎛⎫=⨯-⨯= ⎪⎝⎭，因此事件“这两个数中较小的数大于32”的概率为 216142949S P ==⨯=，故选C.考点：几何概型11．已知四面体P ABC -的外接球的球心O 在AB 上，且PO ⊥平面ABC ，2AB AC =，若四面体P ABC -的体积为1639，则该球的表面积为（ ） A.π29 B.323π C.16π D.π9【答案】D【解析】试题分析：如下图所示，由于四面体P ABC -的外接球的球心O 在AB 上，则AB 为其外接球的一条直径，OCBAP因此90ACB ∠=，设球O 的半径为r ，在Rt ABC ∆中，22AB AC r AC r ∴==⇒=， 由勾股定理得BC ===，21122ABC S AC BC r ∆∴=⋅==，由于P 为球O 上一点，则PO r =，且PO ⊥平面ABC ，所以231133P ABC ABC V PO S r -∆=⋅===，3r ∴=27382r =⇒=，所以球O 的表面积为2234492r πππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，故选D. 考点：1.勾股定理；2.三角形的面积；3.三棱锥的体积；4.球的表面积12．已知函数()()f x x a a R =+∈在[]1,1-上的最大值为()M a ，则函数()()21g x M x x =--的零点的个数为（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个 【答案】C 【解析】试题分析：(),,x a x af x x a x a--≤-⎧=⎨+>-⎩，当1a -≤-时，即当1a ≥时，[]1,1x ∀∈-，()f x x a =+，此时函数()f x 在区间[]1,1-上单调递增，则()()11M a f a ==+；当1a -≥时，即当1a ≤-时，[]1,1x ∀∈-，()f x x a =--，此时函数()f x 在区间[]1,1-上单调递减，则()()11M a f a =-=-+； 当11a -<-<时，即当11a -<<时，(),1,1x a x af x x a a x ---≤≤-⎧=⎨+-<≤⎩，则函数()f x 在区间[]1,a --上单调递减，在[],1a -上单调递增，因此函数()f x 在1x =-处或1x =处取得最大值，且()11f a -=-+，()11f a =+， 显然，当10a -<≤时，()()11f f -≥，此时()()11M a f a =-=-+， 当01a <<时，()()11f f -<，此时()()11M a f a ==+， 综上所述，()1,01,0a a M a a a -+≤⎧=⎨+>⎩，在同一直角坐标系中作出函数()y M x =与函数21y x =-的图象如下图所示，由图象可知，函数()y M x =与函数21y x =-的图象有且仅有三个公共点，故选C.考点：1.函数的最值；2.分类讨论；3.函数的零点；4.函数图象13．若x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+-≥+30030x y x y x ，则y x z -=2的最小值为_______________.【答案】3-. 【解析】试题分析：作出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+-≥+30030x y x y x 所表示的平面区域如下图中的阴影部分所表示，x-y直线30x y -+=交y 轴于点()0,3A ，作直线:2l z x y =-，则z 可视为直线l 轴上截距的2倍，当直线l 经过可行域上的点()0,3A 时，此时直线l 上的截距最大值，此时z 取最大值，即max 2033z =⨯-=-.考点：线性规划14．已知1a =，()1,3b =，()b a a -⊥，则向量a 与向量b的夹角为_______________.【答案】3π. 【解析】试题分析：由题意知(212b =+，()()20b a a b a a a b a -⊥⇔-⋅=⋅-=，即2cos ,0a b a b a ⋅⋅-=，即2112cos ,10cos ,2a b a b ⨯⨯-=⇒=，0,a b π≤≤，,3a b π∴=，因此向量a 与向量b 的夹角为3π. 考点：1.平面向量垂直条件的转化；2.平面向量的数量积；3.平面向量的夹角 15．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，1=a ，3π=B ，当ABC∆的tan C =_______________.【答案】-. 【解析】 试题分析：11sin 1sin 2234ABC S ac B c π∆==⨯⨯⨯==4c ∴=，由余弦定理得2b = 22222cos 14214cos133a c ac B π+-=+-⨯⨯⨯=，由正弦定理得sin sin cbC B=⇒sin sin 4sin 43c B C b π==⨯==，由余弦定理得222cos 2ab c C ab+-=22214+-==，所以sin tan cos C C C ⎛===- ⎝ 考点：1.三角形的面积；2.余弦定理；3.正弦定理；4.同角三角函数的基本关系16．如图所示点F 是抛物线x y 82=的焦点，点A 、B 分别在抛物线x y 82=及圆()22216x y -+=的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，，则FAB ∆的周长的取值范围是_______________.【答案】()8,12. 【解析】试题分析：易知圆()22216x y -+=的圆心坐标为()2,0，则圆心为抛物线28y x =的焦点，圆()22216x y -+=与抛物线28y x =在第一象限交于点()2,4C ，作抛物线28y x =的准线2x =-，过点A 作AD 垂直于直线2x =-，垂足为点D ，由抛物线的定义可知AF AD =，则AF AB AD AB BD +=+=，当点B 位于圆()22216x y -+=与x 轴的交点()6,0时，BD 取最大值8，由于点B 在实线上运动，因此当点B 与点C 重合时，BD 取最小值为4，此时A 与B 重合，由于F 、A 、B 构成三角形，因此48BD <<，所以812BF BD <+<，因此FAB ∆的周长的取值范围是()8,12.17．已知{}n a 为正项等比数列，23a =，6243a =，n S 为等差数列{}n b 的前n 项和，13b =，535S =. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设1122n n n T a b a b a b =+++，求n T .【答案】（1）13n n a -=，21n b n =+；（2）3n n T n =⋅. 【解析】试题分析：（1）利用方程组求出等比数列{}n a 的首项与公比以及等差数列{}n b 的首项与公差，从而确定数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）先确定数列{}n n a b 的通项公式，然后利用错位相减法求出n T .（1）1513243a q a q =⎧⎨=⎩，113a q =⎧∴⎨=⎩，13n n a -∴=，又11351035b b d =⎧⎨+=⎩，132b d =⎧∴⎨=⎩，21n b n ∴=+；（2）()21133537321n n T n -=⨯+⨯+⨯++⋅+，()()2313333537321321n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++⋅-+⋅+，相减得 ()2123323232321n n n T n --=+⨯+⨯+⨯-⋅+()()2132333321n n n -=+⨯++-⋅+()3321n n n =-+23n n =-⋅，3n n T n ∴=⋅.考点：1.等差数列与等比数列的通项公式；2.错位相减法求和API（1）根据以上数据估计该城市这30天空气质量指数API 的平均值；（2）若该城市某企业因空气污染每天造成的经济损失S （单位：元）与空气质量指数API （记为w ）的 关系式为0,01004400,1003002000,300350w S w w w ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪<≤⎩若在本月30天中随机抽取一天，试估计该天经济损失S 大于200元且不超过600元的概率.【答案】（1）175；（2）1330. 【解析】 试题分析：（1）将每组的中点值乘以相应的天数，求和后再除以总的天数即可求出API 的平均值；（2）利用200600S <≤结合分段函数的解析式求出w 的取值范围，从而确定相应的w 的天数，从而确定相应事件的概率.（1）该城市这30天空气质量指数API 的平均值为()2527541255175922542753325330175⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯÷=；（2）设“在本月30天中随机抽取一天，该天经济损失S 大于200元且不超过600元”为事件A ，由200600S <≤得150250w <≤， 根据表格数据得共有9413+=天， 所以()1330P A =. 考点：1.平均数；2.古典概型19．如图，在三棱锥ABC S -中，⊥SA 底面ABC ，90=∠ABC ，且AB SA =，点M 是SB 的中点，SC AN ⊥且交SC 于点N . （1）求证：⊥SC 平面AMN ；（2）当1AB BC ==时，求三棱锥SAN M -的体积.【答案】（1）详见解析；（2）136.【解析】试题分析：（1）由已知条件SA ⊥平面ABC 得到SA BC ⊥，再由已知条件得到BC AB ⊥，从而得到BC ⊥平面SAB ，进而得到B C A M ⊥，利用等腰三角形三线合一得到A M S B ⊥，结合直线与平面垂直的判定定理得到AN ⊥平面SBC ，于是得到AM SC ⊥，结合题中已知条件AN SC ⊥以及直线与平面垂直的判定定理得到SC ⊥平面AMN ；（2）利用（1）中的结论SC ⊥平面AMN ，然后以点S 为顶点，以SN 为高， 结合等体积法求出三棱锥M SAN -的体积.（1）证明：SA ⊥底面ABC ，BC SA ∴⊥，又易知BC AB ⊥， BC ∴⊥平面SAB ，BC AM ∴⊥，又SA AB =，M 是SB 的中点，AM SB ∴⊥， AM ∴⊥平面SBC ，AM SC ∴⊥， 又已知SC AN ⊥， ⊥∴SC 平面AMN ；（2）SC ⊥平面AMN ，SN ∴⊥平面AMN ， 而1SA AB BC ===，AC ∴=SC =又AN SC ⊥，AN ∴=， 又AM ⊥平面SBC ，AM AN ∴⊥，而2AM =，6MN ∴=，122AMB S ∆∴=⨯=， 11336S AMN AMN V S SN -∆∴=⋅=，361==∴--AMN S SAN M V V .考点：1.直线与平面垂直；2.等体积法求三棱锥的体积 20．已知函数()()22xf x eax b x x =+++，曲线()y f x =经过点()0,1P ，且在点P 处的切线为:41l y x =+. （1）求a 、b 的值；（2）若存在实数k ，使得[]1-2，-∈x 时，()()221f x x k x k ≥+++恒成立，求k 的取值范围.【答案】（1）1a =，1b =；（2）⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,4123e .【解析】试题分析：（1）利用条件“曲线()y f x =经过点()0,1P ，且在点P 处的切线为:41l y x =+”得到()01f =以及()04f '=，从而列出方程组求解a 、b 的值；（2）利用参数分离法将问题等价转化为()121x e x k x +≥+在区间[]2,1--上恒成立，并构造新函数()()121x e x g x x +=+，转化为()max k g x ≥，利用导数求出函数()g x 在区间[]2,1--的最大值，从而可以求出实数k 的取值范围. （1）()()22xf x eax a b x '=++++，依题意，()()0401f f '=⎧⎪⎨=⎪⎩，即⎩⎨⎧==++142b b a ，解得⎩⎨⎧==11b a ；（2）由()()221f x x k x k ≥+++，得：()()121xex k x +≥+，[]2,1x ∈--时，012<+x()()221f x x k x k ∴≥+++即()()121xe x k x +≥+恒成立，当且仅当()121x e x k x +≥+， 设()()121x e x g x x +=+，[]2,1x ∈--，()()2223()21x e x x g x x +'=+， 由()0g x '=得0x =（舍去），32x =-， 当32,2x ⎛⎫∈--⎪⎝⎭，()0g x '>；当3,12x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，()0g x '<， ∴()()121x e x g x x +=+在区间[]2,1-- 上的最大值为323124g e -⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 所以常数k 的取值范围为⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,4123e .考点：1.导数的几何意义；2.不等式恒成立21．已知1F 、2F 为椭圆E 的左右焦点，点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭为其上一点，且有1PF24PF +=.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过1F 的直线1l 与椭圆E 交于A 、B 两点，过2F 与1l 平行的直线2l 与椭圆E 交于C 、D 两点，求四边形ABCD 的面积ABCD S 的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）6. 【解析】试题分析：（1）设椭圆E 的标准方程为()222210x y a b a b+=>>，先利用椭圆定义得到2a 的值并求出a 的值，然后将点P 的坐标代入椭圆方程求出b 的值，最终求出椭圆E 的方程；（2）根据平行四边形的几何性质得到4ABCD OAB S S ∆=，即先求出OAB ∆的面积的最大值，先设直线AB 的方程为1x my =-，且()11,A x y 、()22,B x y ，将此直线的方程与椭圆E 的方程联立，结合韦达定理将OAB ∆的面积表示成只含m 的表达式，并利用换元法将代数式进行化简，最后利用基本不等式并结合双勾函数的单调性来求出OAB ∆面积的最大值，从而确定平行四边形ABCD 面积的最大值.（1）设椭圆E 的标准方程为()222210x y a b a b +=>>，由已知124PF PF +=得24a =，∴2a =， 又点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，∴219144b+=∴b = 椭圆E 的标准方程为22143x y +=； （2）由题意可知，四边形ABCD 为平行四边形 ∴4ABCD OAB S S ∆=， 设直线AB 的方程为1x my =-，且()11,A x y 、()22,B x y ，由221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my +--=，122634m y y m ∴+=+，122934y y m =-+， 11112121122OABOF A OF B S S S OF y y y y ∆∆∆=+=⋅-=-，==令21m t+=，则1t≥，OABS∆==又()19g t tt∴=+在[)1,+∞上单调递增，∴()()110g t g∴≥=，∴OABS∆的最大值为32，所以ABCDS的最大值为6.考点：1.椭圆的定义与方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.韦达定理；4.基本不等式22．已知，AB为圆O的直径，CD为垂直AB的一条弦，垂足为E，弦AG交CD于F.（1）求证：E、F、G、B四点共圆；（2）若24GF FA==，求线段AC的长.BA【答案】（1）详见解析；（2）【解析】试题分析：（1）证明90BEF BGF∠=∠=，利用四边形BEFG对角互补证明E、F、G、B四点共圆；（2）利用（1）中的结论结合割线定理得到AF AG AE AB⋅=⋅，然后在Rt ABC∆中利用射影定理得到2AC AE AB=⋅从而计算出AC的值.（1）如图，连结GB，由AB为圆O的直径可知90AGB∠=，BA又CD AB ⊥，所以90AGB BEF ∠=∠=，因此E 、F 、G 、B 四点共圆；（2）连结BC ，由E 、F 、G 、B 四点共圆得AF AG AE AB ⋅=⋅， 又2AF =，6AG =，所以12AE AB ⋅=，因为在Rt ABC ∆中，2AC AE AB =⋅所以AC =考点：1.四点共圆；2.割线定理；3.射影定理23．已知圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 的参数方程为121122x x t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），点A 的极坐标为24π⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，设直线l 与圆C 交于点P、Q . （1）写出圆C 的直角坐标方程； （2）求AP AQ ⋅的值.【答案】（1）()2211x y -+=；（2）12. 【解析】试题分析：（1）在极坐标方程2cos ρθ=的两边同时乘以ρ，然后由222x y ρ=+，cos x ρθ=即可得到圆C 的直角坐标方程；（2）将直线l 的标准参数方程代入圆的直角坐标方程，消去x 、y 得到有关t 的参数方程，然后利用韦达定理求出AP AQ ⋅的值. （1）由2cos ρθ=，得22cos ρρθ=222x y ρ=+，cos x ρθ=，222x y x ∴+=即()2211x y -+=，即圆C 的直角坐标方程为()2211x y -+=；（2）由点A的极坐标4π⎫⎪⎪⎝⎭得点A 直角坐标为11,22⎛⎫⎪⎝⎭，将1211y 22x t⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入()2211x y -+=消去x 、y，整理得211022t t --=，设1t 、2t为方程2102t -=的两个根，则1212t t =-，所以1212AP AQ t t ⋅==. 考点：1.圆的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化；2.韦达定理 24．已知函数()1f x x x a =-+-. （1）当2a =时，解不等式()4f x ≥；（2）若不等式()2f x a ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1722x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭,或；（2）⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-31,. 【解析】试题分析：（1）将2a =代入函数()f x 的解析式，利用零点分段法将区间分成三段，去绝对值符号，并求出相应的不等式；（2）将问题转化为()min 2f x a ≥，利用双绝对值函数12y x x x x =-+-的最小值为min y12x x -，于是得到()m i n 1f x a =-，问题转化为12a a -≥来求解，解出不等式12a a -≥即可.（1）由()4f x ≥得，⎩⎨⎧≥-≤4231x x ，或⎩⎨⎧≥<<4121x ，或⎩⎨⎧≥-≥4322x x ，解得：12x ≤-或72x ≥，原不等式的解集为1722x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭,或； （2）由不等式的性质得：()1f x a ≥-， 要使不等式()2f x a ≥恒成立，则a a 21≥-，解得：1-≤a 或31≤a 所以实数a 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-31,.考点：1.零点分段法求解不等式；2.不等式恒成立。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.集合}22|{<<-=x x A ,}02|{2≤-=x x x B ,则=B A ( ) A ．)2,0( B ．]2,0( C. ]2,0[ D. )2,0[2.复数1ii -的共轭复数为( ) A ．i 2121+- B ．i 2121+ C. i 2121-- D. i 2121-3.抛物线的准线方程为4-=y ，则抛物线的标准方程为( ) A ．y x 162= B ．y x 82= C. x y 162= D. x y 82=4.某程序框图如图所示，若输出的120S =，则判断框内为( ) A ．4?k > B ．5?k > C ．6?k > D ．7?k >5.等差数列中，24)(2)(31310753=++++a a a a a ，则该数列前13项的和是( ) A ．13 B ．26 C ．52 D ．1566.下列说法正确的是( )A ．若q p ∧为假，则q p 、均为假.B ．若01,:2>++∈∀x x R x p ，则2:,10p x R x x ⌝∀∈++≤. C ．若1=+b a ，则ba 11+的最小值为4. D ．线性相关系数||r 越接近1，表示两变量相关性越强.7.函数212sin 4y x π⎛⎫=--⎪⎝⎭是( ) A.最小正周期为π的偶函数 B.最小正周期为π的奇函数 C.最小正周期为2π的偶函数 D.最小正周期为2π的奇函数8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．3πD ．23π9.如图所示，一游泳者自游泳池边AB 上的D 点，沿DC 方向游了10米,60CDB ∠=,然后任意选择一个方向并沿此方向继续游，则他再游不超过10米就能够回到游泳池AB 边的概率是( ) A ．16 B ．14 C ．13 D ．1210.若函数x x f y cos )(+=在]43,4[ππ-上单调递减，则)(x f 可以是( )A ．1B ．x cosC ．x sin -D ．x sin11.过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点(,0)(0)F c c ->作圆2224a x y +=的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若||||OF OP =，则双曲线的离心率为( )12.若直角坐标平面内B A 、两点满足条件：①点B A 、都在)(x f 的图象上；②点B A 、关于原点对称，则对称点对)(B A 、是函数的一个“兄弟点对”(点对()A B ,与()B A ,可看作一个“兄弟点对”).已知函数⎩⎨⎧>≤=)0(lg )0(cos )(x x x x x f , 则)(x f 的“兄弟点对”的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13.平面向量与的夹角为60°，1||),0,2(==b a ,则|2|a b +等于 .14.若y x ,满足20449x y y x x y -≥⎧⎪≥⎨⎪+≥⎩，则y x z +=2的最小值为 .15.已知三角形PAD 所在平面与矩形ABCD 所在平面互相垂直，2PA PD AB ===，90APD ︒∠=，若点P A B C D 、、、、都在同一球面上，则此球的表面积等于 .16.已知2()sin 31xf x x =++，则(5)(4)(3)(2)(1)(0)(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f f f f f f f -+-+-+-+-++++++=.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）已知等比数列{}n a 前n 项和为n S ,且满足36763,22S S ==, (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求212325225log log log log a a a a ++++的值.18.（本小题满分12分）如图，在ABC ∆中，已知10,14,3AB AC B π===,D 是BC 边上的一点， 6.DC = (Ⅰ) 求ADB ∠的值； （Ⅱ）求sin DAC ∠的值。

邯郸市2014届高三第二次模拟考试理科数学答案一、选择题1—5 CDDAC 6--10 BCBAD 11--12 BA二、填空题 13、12, 14、 7, 15、 122n -+, 16、 3 三、解答题17.解：(Ⅰ)23()2cos 2f x x x =+-1cos 232222x x +=+- =sin(2)16x π+- ……………………2分 所以()f x 最小正周期22T ππ== ……………………4分 70,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∴+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 1sin(2),162x π⎡⎤∴+∈-⎢⎥⎣⎦()f x ∴最大值为0. ……………………6分 (Ⅱ) 由1()2f A =-得1sin(2)62A π+= 又132666A πππ<+< 5266A ππ∴+= 3A π∴= ……………………8分解法一：由余弦定理得,222222cos a b c bc A b c bc =+-=+-22223()()()3()44b c b c b c bc b c ++=+-≥+-= ………………10分即4b c +≤=,6a b c ∴++≤ （当且仅当2b c ==时取等号）所以6L =………………12分 解法二：由正弦定理得2sin sin sin 3b c B Cπ==，即,b B c C ==，所以sin )b c B C +=+ ……………………8分2sin()]4sin()36B B B ππ=+-=+ ……………………10分 2503666B B ππππ<<∴<+< 1sin()126B π∴<+≤（当且仅当3B C π==时取最大值） 4b c ∴+≤，∴6a b c ++≤所以6L =……………12分18. 解:（Ⅰ）设A 表示事件“雨雪天”， B 表示事件“非雨雪天”， C 表示事件“打出租上班”， ()()()()()()B C P A C P A P BC P AC P C P +=+= …………………………2分18.01.08.05.020.0%10112836194121112836194=⨯+⨯≈⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⨯+= ……4分 （Ⅱ）X 的可能取值为0，2，20，40 ………………6分()0=X P 72.09.08.0%901128361941=⨯≈⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+-= ()2=X P 10.05.020.021112836194=⨯≈⨯+= ()20=X P 08.01..08.0%101128361941=⨯≈⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+-= ()40=X P 10.05.020.021112836194=⨯≈⨯+= …………10分 ∴X 的分布列为x y ()80.510.04008.02010.0272.00=⨯+⨯+⨯+⨯=X E （元）…………12分19. 解:(Ⅰ)证明: SA ABC ⊥底面,BC SA ∴⊥,又易知BC AB ⊥BC SAB ∴⊥平面BC AM ∴⊥ ……………………2分又AD SA = ,M 是SD 的中点, AM SB ∴⊥,AM SBC ∴⊥平面AM SC ∴⊥， ……………………4分又已知SC AN ⊥,⊥∴SC 平面AMN . ………………6分(Ⅱ) 解法一:如图,以A 为坐标原点,AB 为x 轴，AS 为z 轴,建立空间直角坐标系xyz A -,由于AB SA =,可设1AB SA ==,则()()()()0,0,0,1,0,01,1,0,0,0,1A B C S 11(,0,M11(,0,(1,1,0)22AM AC ∴==………………8分设平面ACM 的一个法向量(,,)n x y z = 则⎪⎩⎪⎨⎧=∙=∙00n n 即011022x y x z +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 可得(1,1,1)n =- ………………10分由（1）可知CS AMN 为面的法向量，易求(1,1,1)CS =-- 1cos ,3||||CS n CS n CS n ⋅∴== ∴ 二面角N MA C --的余弦值是13 . …………12分 20. 解：（I ）设椭圆E 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>> 由已知12||||4PF PF +=得24a =，∴2a = ……………………2分又点3(1,2P 在椭圆上，∴219144b+= ∴b =椭圆E 的标准方程为22143x y += ……………………4分 （II ）由题意可知，四边形ABCD 为平行四边形 ∴A B C D S =4OAB S ∆设直线AB 的方程为1x my =-，且1122((A x y B x y ,)、,)由221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)690m y my +--= ∴12122269,3434m y y y y m m +==-++ ……………………6分 OAB S ∆=1OF A S ∆+1OF B S ∆=12112||||OF y y ⋅-=1212||y y - =12…………………………8分 令21m t +=，则1t ≥ O A B S ∆== 10分 又1()9g t t t=+在[1,)+∞上单调递增 ∴()(1)10g t g ≥= ∴O A B S ∆的最大值为32所以ABCD S 的最大值为6. ………………………………12分21.解：（Ⅰ）当1a =-时，22()(2)ln 2f x x x x x =-⋅-+，定义域(0,)+∞()(22)ln (2)2f x x x x x '=-⋅+--.……………………1分(1)3f '∴=-，又(1)1f =，()f x 在(1,(1))f 处的切线方程340x y +-= …………………………2分（Ⅱ）（ⅰ）令()()2g x f x x =--=0 则22(2)ln 22x x x ax x -⋅++=+即1(2)ln x x a x--⋅= …………………………4分 令1(2)ln ()x x h x x--⋅=， 则2221122ln 12ln ()x x x h x x x x x ---'=--+= 令()12ln t x x x =--22()1x t x x x--'=--=， ()0t x '<，()t x 在(0,)+∞上是减函数…………………6分又(1)(1)0t h '==，所以当01x <<时，()0h x '>，当1x <时，()0h x '<，所以()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，max ()(1)1h x h ∴==，所以当函数()g x 有且仅有一个零点时1a= …………………8分 （ⅱ）当1a =，22()(2)ln g x x x x x x =-⋅+-，若2e x e -<<，()g x m ≤，只需证明max ()g x m ≤，()(1)(32ln )g x x x '=-⋅+，令()0g x '= 得321xx e -==或 ………………10分 又2e x e -<<，∴函数()g x 在322(,)e e --上单调递增，在32(,1)e -上单调递减，在(1,)e 上单调递增 又333221()22g e e e ---=-+ ， 2()23g e e e =-333322213()2222()()22g e e e e e e e g e----=-+<<<-=即32()()g e g e-<2max()()23g x g e e e==-223m e e∴≥-………………12分22.解：（I）如图，连结GB，由AB为圆O的直径可知90AGB∠=又CD AB⊥，所以90AGB BEF∠=∠=因此E F G B、、、四点共圆………………4分（II）连结BC，由E F G B、、、四点共圆得AF AG AE AB⋅=⋅又2,6AF AG==，所以12AE AB⋅=因为在Rt ABC∆中，2A C A E A B=⋅所以AC=……………………10分23.解：（I）由2cosρθ=，得22cosρρθ=222x yρ=+，cos xρθ=……………………2分222x y x∴+=即22(1)1x y-+=即圆C的直角坐标方程为22(1)1x y-+=……………………4分（II）由点A的极坐标)4π得点A直角坐标为11(,)22……………6分将12211y22xt⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入22(1)1x y-+=消去,x y整理得212t-=，……………………8分BA设12t t 、为方程211022t t --=的两个根，则1212t t =- 所以||||AP AQ ⋅=121||2t t =. ……………………10分 24解：（Ⅰ）由4)(≥x f 得，⎩⎨⎧≥-≤4231x x ，或⎩⎨⎧≥<<4121x ，或⎩⎨⎧≥-≥4322x x …………2分 解得：27,21≥-≤x x 或原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤2721x x x ，或 …………4分 （Ⅱ）由不等式的性质得：1)(-≥a x f ， …………6分 要使不等式a x f 2)(≥恒成立，则a a 21≥- ……………………8分解得：1-≤a 或31≤a 所以实数a 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-31, ……………………10分。

邯郸市2014届高三第二次模拟考试理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中只有一个是符合要求的.1．已知集合{1,0,1}A =-，{|11}B x x =-≤<，则AB =A. {0}B. {0,1}C. {1,0}-D. {1,0,1}- 2．复数z 满足()(2)5z i i --=，则z =A.22i --B. 22i -+C. 22i -D. 22i + 3.下列说法不正确．．．的是 A.命题“对x R ∀∈,都有20x ≥”的否定为“0x R ∃∈,使得200x <”B.“a b >”是“22ac bc >”的必要不充分条件；C. “若tan α≠3πα≠” 是真命题D. 甲、乙两位学生参与数学模拟考试,设命题p 是“甲考试及格”,q 是“乙考试及格”,则命题“至少有一位学生不及格”可表示为()()p q ⌝∧⌝4.函数(4) 0()(4) <0 x x x f x x x x +≥⎧=⎨-⎩，若()()f a f a <-，则a 的取值范围是A ．(,0)-∞B ．(0,)+∞C ．(4,0)-D ．(0,4) 5．如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出y 的值为4，则输入x 的值可能为A ．6B ．-7C ．-8D ．7 6．过抛物线24y x =焦点的直线交抛物线于,A B 两点，若8AB =，则直线AB 的倾斜角为A ．566ππ或B ．344ππ或C ．233ππ或D ．2π7.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是 A ．54B ．27C ．18D ．98．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若112(2)m m m a a a m +-⋅=≥，数列{}n a 的前n 项积为n T ，若21512m T -=，则m 的值为 A ．4B ．5C ．6D ．79.已知函数()2sin()f x x ϕ=+，且(0)1f =，(0)0f '<，则函数()3y f x π=-图象的一条对称轴的方程为A ． 0x =B ． 6x π=C ． 23x π=D ． 2x π= 10. 某学校4位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲、乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得30分，答错得－30分；选乙题答对得10分，答错得－10分.若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是A ．24B ．36C ．40D ．44 11. 已知三棱锥A BCD -中,2,2AB AC BD CD BC AD =====, 直线AD 与底面BCD 所成角为3π，则此时三棱锥外接球的表面积为A ．4πB ．8πC ．16πD 12.若函数2()ln 2,(01)x f x a x x a m a a =+-⋅-->≠且有两个零点，则m 的取值范围A ．(1,3)-B ．(3,1)-C ．(3,)+∞D ．(,1)-∞-第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知1=a ,)3,1(=b ,()a a b⊥-,则=b a ,cos _________________.14.若实数x ，y 满足条件04(3)(3)0x y x y x y ≤+≤⎧⎨--≤⎩，则2z x y =+的最大值为_______.15.已知数列{}n a 的前5项为18,10,6,4,3，据此可写出数列{}n a 的一个通项公式为____.16.已知F 是双曲线的右焦点12222=-by a x 的右焦点,点B A ,分别在其两条渐进线上，且满足2=，0=⋅（O 为坐标原点），则该双曲线的离心率为____________. 三、解答题：本大题共6小题，共70分17. (本小题满分12分)已知函数23()2cos 2f x x x =+- （I ）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最大值 （II ）在ABC ∆中,A B C ∠∠∠、、所对的边分别是,,a b c ，2,a =1()2f A =-，求ABC ∆周长L 的最大值.18. (本小题满分12分)从天气网查询到邯郸历史天气统计 (2011-01-01到2014-03-01)资料如下：自2011-01-01到2014-03-01，邯郸共出现：多云507天，晴356天，雨194天，雪36天，阴33天，其它2天，合计天数为：1128天。

河北省邯郸市2014年中考第二次模拟考试数学试卷本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分；卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟．卷Ⅰ（选择题，共42分）注意事项：1．答卷Ⅰ前，考生务必将自己的姓名、准考证号、科目填涂在答题卡上，考试结束，监考人员将试卷和答题卡一并收回．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．答在试卷上无效．一、选择题（本大题共16个小题，1～6小题，每小题2分；7～16小题，每小题3分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．2014-的值是A ．20141B．20141-C．2014 D．－20142．下列运算正确的是A．523xxx=⋅B．336()x x=C．5510x x x+=D．336xxx=-3．如图1所示的工件的主视图是A．B．C．D．4．规定：用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如：⎥⎦⎤⎢⎣⎡32=0，[3.14]=3．按此规定[]110+的值为A．3 B．4 C．5 D．6图15．三角形的两边长分别为3和6，第三边的长是方程0862=+-x x 的一个根，则这个三角 形的周长是 A ．2或4B ．11或13C ．11D ．136．不等式组⎩⎨⎧≤->+132,02x x 的解集在数轴上表示正确的是A B C D7．某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x 件，则x 应满足的方程为 A ．572048720=-+xxB ．x+=+48720548720 C ．572048720=-x D ．-48720x+48720=5 8．如图2，AD 为⊙O 直径，作⊙O 的内接正三角形ABC ，甲、乙两人的作法分别如下：对于甲、乙两人的作法，可判断A ．甲、乙均正确B ．甲、乙均错误C ．甲正确，乙错误D ．甲错误，乙正确9．一个不透明的口袋中放着若干只红球和白球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别，袋中的球已经搅匀，从口袋中随机取出一只球，取出红球的概率是14．如果袋中的白球有24只，那么袋中的红球有A ．4只B ．6只C ．8只D ．10只10．已知084=--+-m y x x ，当y =2时，m 的值为A ．0B ．1C ．2D ．4图211．如图3，某市进行城区规划，工程师需测某楼AB 的高度，工程师在D 得用高2m 的测角仪CD ，测得楼顶端A 的仰角为30°，然后向楼前进30m 到达E ，又测得楼顶端A 的仰角为60°，楼AB 的高为A ．()103+2m B ．()203+2m C ．()53+2mD ．()153+2m12．如图4，在数轴上有A ，B ，C ，D 四个整数点（即各点均表示整数），且2AB =BC =3CD ，若A 、D 两点表示的数的分别为－5和6，那么，该数轴上上述五个点所表示的整数中，离线段BD 的中点最近的整数是A ． 0B ．1C ．2D ．3 13．图5为八个全等的正六边形（六条边相等，六个角相等）紧密排列在同一平面上的情形．根据图中标示的各点位置，下列三 角形中与△ACD 全等的是A ．△ACFB ．△ADEC ．△ABCD ．△BCF14．某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车．已知在甲、乙两地的销售利润y （单位：万元）与销售量x （单位：辆）之间分别满足：x x y 1021+-=，x y 22=，若该公司在甲，乙两地共销售15辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为 A ．30万元 B ．40万元 C ．45万元 D ．46万元15．如图6，圆柱底面半径为π2cm ，高为9cm ，点A 、B 分别是圆柱两底面圆周上的点，且A 、B 在同一母线上，用一根棉线从A 点顺着圆柱侧面绕3圈到B 点，则这根棉线的长度最短为ABC D图4图3ABCDEF 图5A．12cm B．97cmC．15 cm D．21cm16．如图7，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，动点P，Q分别从点C，D出发，沿线段CB，DC方向匀速运动，已知P，Q两点同时出发，并同时到达终点B，C．连接OP，OQ．设运动时间为t，四边形OPCQ的面积为S，那么下列图象能大致刻画S与t之间的关系的是A B C D卷Ⅱ（非选择题，共78分）注意事项：1．答卷Ⅱ前，将密封线左侧的项目填写清楚．2．答卷Ⅱ时，将答案用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔直接写在试卷上．图7Q二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 17. 已知2a －3b 2＝5，则代数式7－4a ＋6b 2的值为 ． 18．比较大小：37 2．19．如图8，Rt △ABO 在直角坐标系中，AB ⊥x 轴于点B ，AO =10，3sin 5AOB =∠，反比例函数(0)ky x x=>的图象经过AO 的中点C ，且与AB 交于点D ，则BD = ．20．如图9，在直角坐标系中，已知点)0,3(-A ，)4,0(B ，对△OAB 连续作旋转变换，依次得到三角形①、②、③、 ④…，则有一顶点坐标为（36，3）的三角形是 （填 三角形的序号）．三、解答题（本大题共6个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 21．（本小题满分9分）先化简：12122122--÷+----x x x x x x x ，再从0，1，2，3中选取一个合适的数作为x 的值代入求值（简要说明选这个数的理由）．x图822．（本小题满分9分）小伟调查了某校八年级学生和家长对“中学生不穿校服”现象的看法，制作了如下的统计图（图10-1和图10-2）：（1）求参加这次调查的家长人数；（2）求图2中表示家长“反对”的圆心角的度数；（3）小伟随机调查了表示“赞成”的10位学生的成绩，其各科平均分如下：57，88，72，60，58，80，78，78，91，65，请写出这组数据的中位数和众数；图10-1 图10-2（4）小伟从表示“赞成”的4位同学中随机选择2位进行深入调查，其中包含小明和小亮，请你利用树状图或列表的方法，求出小明和小亮被同时选中的概率．23．（本小题满分10分）如图11，抛物线c bx x y ++=221经过A （1-，0），C （2，-3）两点，与y 轴交于点D ，与x 轴交于另一点B ．（1）求此抛物线的解析式及顶点坐标；（2）若将此抛物线平移，使其顶点为点D ，需如何平移？写出平移后抛物线的解析式； （3）过点P （m ，0）作x 轴的垂线（1≤m ≤2），分别交平移前后的抛物线于点E ，F ，交直线OC 于点G ，求证：PF =EG ．图11-1图11-224．（本小题满分12分）如图12，两个同心圆的圆心为O，两圆的半径分别为5，3，其中A，B两点在大圆上，C，D在小圆上，且∠AOB=∠COD．（1）求证：AC=BD；（2）若∠AOB=120°，求线段AC，弧CD，线段BD，弧AB组成的封闭图形的面积；（3）若AB与小圆相切，分别求AB，CD的长．图1225．（本小题满分12分）小明家今年种植樱桃喜获丰收，采摘上市20天全部销售完，小明对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图表．日销售量y （单位：kg ）与上市时间x （单位：天）的函数关系如图13所示，樱桃单价w （单位：元/ kg ）与上市时间x （单位：天）的函数关系列表所示，第1天到第a 天的单价相同，第a 天之后，单价下降，w 与x 之间是一次函数关系．请解答下列问题：（1）观察图象，直接写出日销售量的最大值；（2）求小明家樱桃的日销售量y 与上市时间x 的函数解析式； （3）求a 的值；（4）第12天的销售金额是最多的吗？请说明你的观点和依据．图13樱桃单价w 与上市时间x 的关系26．（本小题满分14分）如图14-1，在锐角△ABC 中，AB = 5，AC =24，∠ACB = 45°．计算：求BC 的长；操作：将图14-1中的△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转,得到△A 1BC 1．如图14-2,当点C 1在线段CA 的延长线上时．（1）证明：A 1C 1⊥CC 1；（2）求四边形A 1BCC 1的面积；B AC 图14-1B AC A 1 C 1图14-2探究：将图14-1中的△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转,得到△A 1BC 1．连结AA 1,CC 1，如图14-3．若△ABA 1的面积为5,求点C 到BC 1的距离；拓展：将图14-1中的△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转,得到△A 1BC 1．点E 为线段AB 中点,点P 是线段AC 上的动点,在△ABC 绕点B 按逆时针方向旋转过程中,点P 的对应点是点P 1, 如图14-4．（1）若点P 是线段AC 的中点，求线段EP 1长度的最大值与最小值；（2）若点P 是线段AC 上的任一点,直接写出线段EP 1长度的最大值与最小值．河北省邯郸市2014年中考第二次模拟考试数学参考答案及评分标准A BC C 1A 1图14-3A 图14-4一．选择题二．填空题17. -3 ； 18. < ； 19. 23； 20. ⑩（写成10也对）. 三．解答题 21．解原式=21)1(2122--⋅----x x x x x x ………………………………………… 2分 =11)1(1---x x x=)1(1--x x x=x1-………………………………………… 6分 当x =0，1，2时，原式无意义，所以取3=x ，当3=x 时，原式=31-=33-． ……………………………………9 分 22．解：（1）家长人数是80÷20%=400人； ……………………………………2分（2）表示家长“反对”的圆心角的度数为4008040400--×360=252° ； ………4分（3）中位数是75，众数是78. ……………………………………6分（4）设小明和小亮分别用A 、B 表示，另外两个同学用C 、D 表示，列树状图如下：第一次选择第二次选择∴一共有12种等可能的结果，同时选中小明和小亮有2种情况，∴P （小明和小亮同时被选中）=61． ……………………………………9 分 23．（1）解：把A （1-，0），C （2，-3）代入c bx x y ++=221得：⎪⎩⎪⎨⎧-=++=+-322021c b c b ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=223c b ∴抛物线的解析式为：223212--=x x y ， ……………………………………2 分 ∵825)23(212232122--=--=x x x y ∴其顶点坐标为：（23，825-）． ……………………………………4 分 （2）、解：向左23个单位长度，再向上平移89个单位长度． 平移后的抛物线解析式为：2212-=x y ． ……………………………………7分 (3)证明：用待定系数法求直线OC 的解析式为y = －23x , 当x=m 时，F y =2212-m ，则PF =－(2212-m )=2－221m ， ABCDB C D A C D A B D A B C(√) (×) (×) (√) (×) (×) (×) (×) (×) (×) (×) (×)当x=m 时，E y =223212--m m ，G y =m 23-， 则EG =G y －E y =2－221m ， ∴PF =EG ． ……………………………………10 分 24．(1)证明：在△AOC 和△BOD 中， ∵∠AOB =∠COD ∴∠AOC =∠BOD ∵OA=OB ，OC=OD ∴△AOC ≌△BOD ，∴ AC =BD ． ……………………………………4分 （2）封闭图形的面积=360120×16π=316π． ……………………………………6 分 （3）解：设切点为E ，连接OE ， ∵AB 与小圆相切， ∴OE ⊥AB ，AB =2BE 由勾股定理得，BE =4，∴AB =8．9 分 ∵∠AOB =∠COD ，ODOBOC OA =， ∴△AOC ∽△BOD ， ∴35==OC OA CD AB ∴CD =524． ……………………………………12分 25．解：（1）120 kg ； ……………………………………2 分 （2）①当0≤x ≤12时，函数图象过原点和（12，120）两点，设日销售量y 与上市时间x 的函数解析式为y=kx, 由待定系数法得，120=12k ，∴k =10,即日销售量y 与上市时间x 的函数解析式为y =10x ； ………………………4 分 ②当12≤x ≤20时，函数图象过（20，0）和（12，120）两点， 设日销售量y 与上市时间x 的函数解析式为y=kx+b, 由待定系数法得，⎩⎨⎧=+=+02012012k b k b ,解得⎩⎨⎧==30015-b k ，即日销售量y 与上市时间x 的函数解析式为y = -15x +300；…………………6分 （3）设第a 天之后，樱桃单价w 与上市时间x 的函数解析式为w=kx+b ,由待定系数法得，⎩⎨⎧=+=+2011,249b k b k ，解得⎩⎨⎧==42-2b k ，即樱桃单价w 与上市时间x 的函数解析式为w = -2x +42，当w =32时，x =5，所以a 的值为5. ……………………………………9分 （4）第12天的销售金额不是最多的．当x=12时，日销售量y=120千克，樱桃单价w=18元，销售金额为18×120=2160元； 当x=10时，日销售量y=100千克，樱桃单价w=22元，销售金额为22×100=2200元； ∵2200＞2160，∴第12天的销售金额不是最多的． ……………………………………12 分 （注：只要能说明第12天的销售金额不是最多的，均相应给分．例x =11时销售金额也大于第12天的销售金额，或者用函数最值说明也可以．） 26．计算：解：过点A 做A G ⊥BC 于G ， ∵∠ACB = 45°∴∠GAC = 45°∴AG =CG ∴在Rt △AGC 中， AG =CG =C∠sin 24=4∴在Rt △ABG 中，由勾股定理得，BG =3∴BC =BG +CG =4+3=7. ……………………………………2分操作：（1）证明：由旋转的性质可得∠A 1C 1B =∠ACB =45°，BC =B C 1∴∠C C 1B =∠C 1CB =45°G∴∠C C 1A 1 =∠C C 1B +∠A 1 C 1B =45°＋45°=90°∴A 1C 1⊥CC 1 ……………………………………4分 （2）四边形A 1BCC 1的面积=△C C 1B 的面积+ △A 1C 1B 的面积=21×7×7+21×7×4=277． ……………………………………5分 探究：解：设△BA A 1中A 1B 边为的高为m ；△C 1CB 中BC 1边为的高为n ． ∵21×5m=5∴m =2 ∵∠ABC=∠A 1B C 1 ∴∠ C 1BC=∠A 1BA ∵7511==BC AB BC B A ∴△BA A 1∽△ C 1BC∴n m =BC AB =75 ∴n =514∴点C 到BC 1的距离514. ……………………………………8分 拓展：（1）过点P 做P H ⊥B C ，得到：PH =CH =2， ∴BH =BC －CH =7－2=5．在Rt △BHP 中，根据勾股定理得：BP =2252+=29．①△ABC 绕点B 旋转，点P 的对应点P 1在线段BA 的延长线上时，EP 1最小，最小值为B P 1－BE=BP －BE =29－25； ②△ABC 绕点B 旋转，点P 的对应点P 1在线段AB 的延长线上时, EP 1最大，最大值为BP 1+ BE =BP + BE =29+25．………………………………11分（2）过点B 作BD ⊥AC ，D 为垂足,∵△ABC 为锐角三角形 ∴点D 在线段AC 上A在Rt △BCD 中，BD =BC ×sin45°=227．①当P 在AC 上运动至垂足点D ，△ABC 绕点B 旋转，点P 的对应点P 1在线段AB 上时，EP 1最小，最小值为 227－25② 当P 在AC 上运动至点C ，△ABC 绕点B 旋转， 点P 的对应点P 1在线段AB 的延长线上时， EP 1最大，最大值为25+7=219 ． ……………………………………14分。

高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）邯郸市2014年高三第二次模拟考试文科数学能力测试 2014.4一．选择题（共12小题）1．已知集合{1,0,1}A =-，{|11}B x x =-≤<，则AB =A. {0}B. {1,0}-C. {0,1}D. {1,0,1}- 2．复数z 满足()(2)5z i i --=，则z =A. 22i --B. 22i -+C. 22i -D. 22i +3．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程6.54ˆ68.0ˆ+=x y，利用下表中数据推断a 的值为零件数x (个) 10 2030 40 50 加工时间y (min )62a758189A. 68.2B. 68C. 69D. 674．已知双曲线的离心率为2，焦点是），04(-，)04，（，则双曲线方程为 A.221412x y -= B. 221124x y -= C. 221106x y -= D. 221610x y -=5．如图，正三棱柱111ABC A B C -的各棱长均为2，其正（主）视图如图所示，则此三棱柱侧（左）视图的面积为A. 22B. 4C. 3D. 236．函数x x y cos 2=部分图象可以为A BC D7．如图是一个算法的程序框图，当输入的x 值为5时，输出y 的结果恰好是31，则①处的关系式是A. 31x y = B. 3-=x y C. xy 3= D.3x y =8．四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位上（如图），第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…这样交替进行下去，那么第202次互换座位后，小兔坐在第 号座位上A. 1B. 2C. 3D. 4 9．已知等比数列前n 项和为n S ，若42=S ,164=S ,则=8SA. 160B. 64C. 64-D. 160-10．若在区间[]20，中随机地取两个数，则这两个数中较小的数大于32的概率是 A.31 B. 32 C. 94 D. 91 11．已知四面体P ABC -的外接球的球心O 在AB 上，且PO ⊥平面ABC ，2AB AC =，若四面体P ABC -的体积为1639，则该球的表面积为 A.π29 B.323πC. 16πD. π9 12．已知函数()||f x x a =+（a R ∈）在[1,1]-上的最大值为()M a ，则函数2()()|1|g x M x x =--的零点的个数为A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个 二．填空题（共4小题）13．若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+-≥+30030x y x y x ，则y x z -=2的最小值为_______________．14．已知1=a ，)3,1(=b ，()a ab ⊥-，则向量a与向量b 的夹角为_______________．15．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，1=a ，3π=B ，当ABC ∆的面积等于3时， C tan =_______________．16．如图所示点F 是抛物线x y 82=的焦点，点B A 、分别在抛物线x y 82=及圆16)2(22=+-y x 的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，，则FAB ∆的周长的取值范围是_______________． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．已知{}n a 为正项等比数列，263,243a a ==,n S 为等差数列{}n b 的前n 项和，153,35b S ==.（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （II ）设1122n n n T a b a b a b =+++，求n T .18．某城市随机抽取一个月(30天)的空气质量指数API 监测数据，统计结果如下：API[0,50](50,100](100,150](150,200](200,250](250,300](300,空气质量 优 良 轻微污染轻度污染 中度污染中重度污染重度天数245943（I ）根据以上数据估计该城市这30天空气质量指数API 的平均值；（II ）若该城市某企业因空气污染每天造成的经济损失S （单位：元）与空气质量指数API（记为w ）的关系式为0,01004400,1003002000,300350w S w w w ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪<≤⎩若在本月30天中随机抽取一天，试估计该天经济损失S 大于200元且不超过600元的概率.19．如图,在三棱锥ABC S -中,⊥SA 底面ABC ，90=∠ABC , 且AB SA =,点M 是SB 的中点,SC AN ⊥且交SC 于点N .（I ）求证:⊥SC 平面AMN ； （II ）当=AB BC1=时，求三棱锥SAN M -的体积.20．已知函数x x b ax e x f x 2)()(2+++=，曲线)(x f y =经过点)10(，P ，且在点P 处的切线为14+=x y l ：． （I ）求a ，b 的值；（II ）若存在实数k ，使得[]1-2，-∈x 时k x k x x f +++≥)1(2)(2恒成立，求k 的取值范围．21．已知12F F 、为椭圆E 的左、右焦点，点），231(P 为其上一点，且有421=+PF PF ． （I ）求椭圆E 的标准方程；（II ）过1F 的直线1l 与椭圆E 交于A B 、两点，过2F 与1l 平行的直线2l 与椭圆E 交于C D 、两点，求四边形ABCD 的面积ABCD S 的最大值．22．如图,已知AB 为圆O 的直径，CD 为垂直AB 的一条弦，垂足为E ，弦AG 交CD 于F .（I ）求证：E F G B 、、、四点共圆； （II ）若24GF FA ==，求线段AC 的长．23．已知圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 的参数方程为13221122x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），点A 的极坐标为2(,)24π，设直线l 与圆C 交于点,P Q . （I ）写出圆C 的直角坐标方程； （II ）求||||AP AQ ⋅的值． 24．已知函数a x x x f -+-=1)(. （I ）当2a =时，解不等式4)(≥x f ；（II ）若不等式a x f 2)(≥恒成立，求实数a 的取值范围．邯郸市2014届高三二模文科数学答案一．选择题：1—5 BDBAD 6—10 ACBAC 11--12 DC 二．填空题：E FGDC BAO13、3- 14、3π15、32- 16、），128( 17. 解：（I ）1513243a q a q =⎧⎨=⎩ 113a q =⎧∴⎨=⎩ 13n n a -∴=………………………………2分又11351035b b d =⎧⎨+=⎩ 132b d =⎧∴⎨=⎩ 21n b n ∴=+………………………………4分（II ）211335373(21)n n T n -=⨯+⨯+⨯++⋅+23133335373(21)3(21)n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++⋅-+⋅+………………………………8分相减得 21233232323(21)n n n T n --=+⨯+⨯+⨯-⋅+2132(333)3(21)n n n -=+⨯++-⋅+33(21)23n n nn n =-+=-⋅3n n T n ∴=⋅………………………………12分18. 解：（I ）该城市这30天空气质量指数API 的平均值为 2527541255175922542753325330175⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯÷=（）……………………4分（II ）设“在本月30天中随机抽取一天，该天经济损失S 大于200元且不超过600元”为事件A 由200600S <≤得150250w <≤，……………………8分根据表格数据得共有9+4=13天所以 13()30P A =……………………12分19. 解:（I ）SA ⊥底面ABC ,,BC SA BC AB ⊥⊥, BC SAB BC AM ∴⊥∴⊥面又SA AB =,M 是SB 的中点, AM SB ∴⊥,AM SBC ∴⊥面AM SC ⊥∴ 由已知AN SC ⊥,SC ∴⊥平面AMN . ……………………4分（II ）SC ⊥平面AMN SN ∴⊥平面AMN12,3SA AB BC AC SC ===∴==而又63AN SC AN ⊥∴=又AM SBC AM MN ⊥∴⊥平面……………………8分而2626AM MN =∴= 126322612AMN S ∆∴=⨯⨯=11336S AMN AMN V S SN -∆∴=⋅=361==∴--AMN S SAN M V V ……………………12分 20. 解：（I ）22)()(++++='x b a ax e x f x ………………………………2分依题意，⎩⎨⎧=='1)0(40(f f ），即⎩⎨⎧==++142b b a ，解得⎩⎨⎧==11b a ． (4)分（II ）由k x k x x f +++≥)1(2)(2得：)12()1(+≥+x k x e x[]1-2，-∈x 时，012<+x∴k x k x x f +++≥)1(2)(2即)12()1(+≥+x k x e x 恒成立当且仅当12)1(++≥x x e k x ……6分设[]1,2,12)1()(--∈++=x x x e x g x ，22)12()32()(++='x x x e x g x由0)(='x g 得23(0-==x x 舍去），…………8分当0)()23,2(>'--∈x g x 时，；当0()1,23(<'--∈）时，x g x∴[]1-2-12)1()(，在区间++=x x e x g x 上的最大值为2341)23(-=-e g ………………………10分所以常数k 的取值范围为⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,4123e …………………………………12分21. 解：（I ）设椭圆E 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>由已知421=+PF PF 得24a =，∴2a =又点），231(P 在椭圆上，∴219144b+= ∴3b =椭圆E 的标准方程为22143x y +=…………4分 （II ）由题可知，四边形ABCD 为平行四边形 ∴ABCD S =4OAB S ∆ 设直线AB 的方程为1x my =-，且1122((A x y B x y ,)、,)由221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(34)690m y my +--=∴12122269,3434m y y y y m m +==-++…………6分OAB S ∆=1OF A S ∆+1OF B S ∆=12112||||OF y y ⋅-=1212||y y - =1221212()4y y y y +-=22216(34)m m ++…………8分令21m t +=，则1t ≥OAB S ∆=26(31)tt +=16196t t++，…………10分 又1()9g t t t=+在[1,)+∞上单调递增∴()(1)10g t g ≥= ∴OAB S ∆的最大值为32∴ABCD S 的最大值为6. …………12分22.解：（I ）如图，连结GB ，由AB 为圆O 的直径可知90AGB ∠= 又CD AB ⊥，所以90AGB BEF ∠=∠=因此E F G B 、、、四点共圆………………………………4分（II ）连结BC ，由E F G B 、、、四点共圆得AF AG AE AB ⋅=⋅又2,6AF AG ==，所以12AE AB ⋅=因为在Rt ABC ∆中，2AC AE AB =⋅所以23AC =.………………………………10分23.解：（I ）圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，所以22cos ρρθ=转化成直角坐标方程为222x y x += 即22(1)1x y -+=………4分 （II ）由点A 的极坐标2(,)24π得直角坐标A 11(,)22将直线l 的参数方程132211y 22x t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）代入圆C 的直角坐标方程22(1)1x y -+=得2311022t t ---= 设12t t 、为方程2311022t t ---=的两个根，则1212t t =- 所以||||AP AQ ⋅=121||2t t =.………………………………10分 24解：（1）由4)(≥x f 得，⎩⎨⎧≥-≤4231x x ，或⎩⎨⎧≥<<4121x ，或⎩⎨⎧≥-≥4322x x 解得：27,21≥-≤x x 或原不等式的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-≤2721x x x ，或……………4分 （2）由不等式的性质得：1)(-≥a x f ，要使不等式a x f 2)(≥恒成立，则a a 21≥-…………6分 解得：1-≤a 或31≤a …………8分 所以实数a 的取值范围为⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-31,.………………………………10分。

2014年河北省某校高考数学二模试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1. 已知R是实数集，M={x|2x<1}，N={y|y=√x−1+1}，N∩∁R M=()A (1, 2)B [0, 2]C ⌀D [1, 2]2. 在复平面内，复数−2+3i3−4i所对应的点位于（）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限3. √3cos10∘−1sin170∘=()A 4B 2C −2D −44. 关于统计数据的分析，有以下几个结论，其中正确的个数为（）①利用残差进行回归分析时，若残差点比较均匀地落在宽度较窄的水平带状区域内，则说明线性回归模型的拟合精度较高；②将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，期望与方差均没有变化；③调查剧院中观众观后感时，从50排（每排人数相同）中任意抽取一排的人进行调查是分层抽样法；④已知随机变量X服从正态分布N(3, 1)，且P(2≤X≤4)=0.6826，则P(X>4)等于0.1587⑤某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人．为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为15人．A 2B 3C 4D 55. 等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2n=4(a1+a3+...+a2n−1)，a1a2a3=27，则a6=()A 27B 81C 243D 7296. 已知某几何体的三视图如图所示，其中，正（主）视图，侧（左）视图均是由三角形与半圆构成，俯视图由圆与内接三角形构成，根据图中的数据可得此几何体的体积为()A √2π3+12B 4π3+16C √2π6+16D 2π3+127. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的S的值是（）A −3B −12 C 13 D 28. 设锐角△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的边长分别为a 、b 、c ，且a =1，B =2A ，则b 的取值范围为（ ）A (√2, √3)B (1, √3)C (√2, 2)D (0, 2)9. 在△ABC 所在的平面内，点P 0、P 满足P 0B →=14AB →，PB →=λAB →，且对于任意实数λ，恒有PB →⋅PC →≥P 0B →⋅P 0C →，则（ ）A ∠ABC =90∘B ∠BAC =90∘ C AC =BCD AB =AC10. 在平面直角坐标系中，记抛物线y ＝x −x 2与x 轴所围成的平面区域为M ，该抛物线与直线y ＝kx(k >0)所围成的平面区域为N ，向区域M 内随机抛掷一点P ，若点P 落在区域N 内的概率为827，则k 的值为（ ） A 13 B 12 C 23 D 3411. 如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC ，BD ，设内层椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，若直线AC 与BD 的斜率之积为−14，则椭圆的离心率为（ ） A 12B √22C √32D 3412. 已知函数f(x)满足f(x)=2f(1x)，当x ∈[1, 3]时，f(x)=lnx ，若在区间[13，3]内，函数g(x)=f(x)−ax ，有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A [ln33，1e ) B [ln33，2e ) C (0,12e ) D (0,1e )二、填空题（每题5分，共20分．把答案填在答题纸的横线上）13. 设球的半径为时间t 的函数r(t)，若球的体积以均匀速度12增长，则球的表面积的增长速度与球半径的乘积为________．14. 若(x2+1x)n的二项展开式中，所有二项式系数和为64，则该展开式中的常数项为________．15. 在△ABC中，边AC=1，AB=2，角A=2π3，过A作AP⊥BC于P，且AP→=λAB→+μAC→，则λμ=________．16. 在椭圆中，我们有如下结论：椭圆x2a2+y2b2=1上斜率为1的弦的中点在直线xa2+yb2=0上，类比上述结论，得到正确的结论为：双曲线x 2a2−y2b2=1上斜率为1的弦的中点在直线________上．三、解答题（本题满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题卡相应位置）17. 如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且cosB=√108，cos∠ADC=−14．(1)求sin∠BAD的值；(2)求AC边的长．18. 如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，CD⊥平面PAD，BC // AD，PA=PD，O，E分别为AD，PC的中点，PO=AD=2BC=2CD．（1）求证：AB⊥DE；（2）求二面角A−PC−O的余弦值．19. 今年年初，我国多个地区发生了持续性大规模的雾霾天气，给我们的身体健康产生了巨大的威胁．私家车的尾气排放也是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：（1）完成被调查人员的频率分布直方图；（2）若从年龄在[15, 25)，[25, 35)的被调查者中各随机选取两人进行进行追踪调查，记选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．20. 某校同学设计一个如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”，其中AC 、BD 是过抛物线Γ焦点F 的两条弦，且其焦点F(0, 1)，AC →⋅BD →=0，点E 为y 轴上一点，记∠EFA =α，其中α为锐角． ①求抛物线Γ方程；②如果使“蝴蝶形图案”的面积最小，求α的大小？ 21. 已知函数f(x)=a x +x 2−xlna(a >0, a ≠1)． (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)满足：①对任意的m 1，m 2，m 1≠m 2，当f(m 1)=f(m 2)时，有m 1+m 2<0成立； ②对∀x 1，x 2∈[−1, 1]，|f(x 1)−f(x 2)≤e −1恒成立．求实数a 的取值范围．三、请考生在22，23，24题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题目进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分．22. 如图，在正△ABC 中，点D 、E 分别在边BC ，AC 上，且BD =13BC ，CE =13CA ，AD ，BE 相交于点P ．求证：(Ⅰ)四点P 、D 、C 、E 共圆； (Ⅱ)AP ⊥CP ．23. 已知直线l:{x =1+12t y =√32t （t 为参数），曲线C 1:{x =cosθy =sinθ （θ为参数）． (Ⅰ)设l 与C 1相交于A ，B 两点，求|AB|；(Ⅱ)若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的12倍，纵坐标压缩为原来的√32倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．【选修4-5：不等式选讲】24. 已知函数f(x)=|2x−a|+a．(1)若不等式f(x)≤6的解集为{x|−2≤x≤3}，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若存在实数n使f(n)≤m−f(−n)成立，求实数m的取值范围．2014年河北省某校高考数学二模试卷（理科）答案1. D2. B3. D4. B5. C6. C7. B8. A9. C10. A11. C12. A13. 114. 1515. 104916. xa2−yb2=017. 解：(1)因为cosB=√108，所以sinB=3√68,又cos∠ADC=−14，所以sin∠ADC=√154,所以sin∠BAD=sin(∠ADC−∠B)=√154×√108−(−14)×3√68=√64.(2)在△ABD中，由正弦定理，得3√68=√64，解得BD=2，故DC=2，从而在△ADC中，由余弦定理，得AC2=9+4−2×3×2×(−14)=16，所以AC=4.18. （1）证明：设BD∩OC=F，连接EF，∵ E、F分别是PC、OC的中点，则EF // PO，…∵ CD⊥平面PAD，CD⊂平面ABCD，∴ 平面ABCD⊥平面PAD，又PA=PD，O为AD的中点，则PO⊥AD，∵ 平面ABCD∩平面PAFD=AD，∴ PO⊥平面ABCD，∴ EF⊥平面ABCD，又AB⊂平面ABCD，∴ AB⊥EF，…在△ABD中，AB2+BD2=AD2，AB⊥BD，又EF∩BD=F，∴ AB⊥平面BED，又DE⊂平面BED，∴ AB⊥DE．…（2）解：在平面ABCD内过点A作AH⊥CO交CO的延长线于H，连接HE，AE，∵ PO⊥平面ABCD，∴ POC⊥平面ABCD，平面POC∩平面ABCD=AH，∴ AH⊥平面POC，PC⊂平面POC，∴ AH⊥PC．在△APC中，AP=AC，E是PC中点，∴ AE⊥PC，∴ PC⊥平面AHE，则PC⊥HE．∴ ∠AEH是二面角A−PC−O的平面角．…设PO=AD=2BC=2CD=2，而AE2=AC2−EC2，AE=√142，AH=√22，则sin∠AEH=√77，∴ 二面角A−PC−O的余弦值为√427．…19. 解：（1）各组的频率分别是0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1．…所以图中各组的纵坐标分别是0.01，0.02，0.03，0.02，0.01，0.01．…∴ 被调查人员的频率分布直方图如右图：…（2）ξ的所有可能取值为：0，1，2，3…p(ξ=0)=C42C52⋅C62C102=1575，P(ξ=1)=C41C62C52C102+C42C52⋅C41C61C102=3475，P(ξ=2)=C41C52⋅C41C61C102+C42C52⋅C42C102=2275，P(ξ=3)=C41C52⋅C42C102=475，…∴ ξ的分布列是：ξ0123∴ ξ的数学期望Eξ=0×1575+1×3475+2×2275+3×475=65．…20. 解：①由抛物线Γ焦点F(0, 1)得，抛物线Γ方程为x2=4y；②设AF=m，则点A(−msinα, mcosα+1)，∴ (−msinα)2=4(1+mcosα)，即m2sin2α−4mcosα−4=0．解得：m=4cosα±42sin2α=2(cosα±1)sin2α，∵ m>0，∴ |AF|=2(cosα+1)sin2α．同理：|BF|=2(1−sinα)cos2α，|DF|=2(1+sinα)cos2α，|CF|=2(1−cosα)sin2α．“蝴蝶形图案”的面积S =S △AFB +S △CFD =12AF ⋅BF +12CF ⋅DF =4−4sinαcosα(sinαcosα)2．令t =sinαcosα,t ∈(0,12]，∴ 1t∈[2,+∞)．则S =4⋅1−t t 2=4(1t −12)2−1，∴ 1t =2时，即α=π4时“蝴蝶形图案”的面积最小为8．21. 解：(I)函数f(x)的定义域为R ，f ′(x)=a x lna +2x −lna =2x +(a x −1)lna ． 令ℎ(x)=f ′(x)=2x +(a x −1)lna ，ℎ′(x)=2+a x ln 2a ， 当a >0，a ≠1时，ℎ′(x)>0，所以ℎ(x)在R 上是增函数，又ℎ(0)=f′(0)=0，所以，f ′(x)>0的解集为(0, +∞)，f′(x)<0的解集为(−∞, 0)， 故函数f(x)的单调增区间为(0, +∞)，单调减区间为(−∞, 0)；(2)①由(1)可知m 1≠m 2，当f(m 1)=f(m 2)时，m 1，m 2比异号，不妨设有m 1>0，m 2<0成，先证明一个结论当a >1时，对任意的x >0，有f(x)>f(−x)成立， 当0<a <1时，对任意的x >0，有f(x)>f(−x)成立， ∵ f(x)>f(−x)∴ a x +x 2−xlna >a−x +x x +xlna ⇔a x +a−x −2xlna ， 令t(x)=a x +a−x −2xlna ，∵ t′(x)=a x lna +a −x lna −2lna =lna(a x +a −x −2)≥2√a x ⋅a −x −2=0，（当且仅当x =0时等号成立）， 又t(0)=0当a ∈(0．,1)时，t′(x)≤0，所以t(x)在(0, −∞)上单调递减， t(x)<t(0)=0，此时对任意的x >0，有f(x)<f(−x)成立，当a ∈(1, +∞)，t′(x)>0，所以t(x)在(1, +∞)上单调递增， 此时对任意的x >0，有f(x)>f(−x)成立．当a >1时，f(m 2)=f(m 1)>f(−m 1)，由于f(x)在(−∞, 0)上单调递减，所以m 2<−m 1，m 1+m 2<0．同理0<a <1，m 1+m 2>0．当f(m 1)=f(m 2)时，当且仅当a >1时，有m 1+m 2<0成立． ②：问题等价于f(x)在[−1, 1]的最大值与最小值之差≤e −1． 由(1)可知f(x)在[−1, 0]上递减，在[0, 1]上递增，∴ f(x)的最小值为f(0)=1，最大值等于f(−1)，f(1)中较大的一个， f(−1)=1a +1lna ，f(1)=a +1−lna ，f(1)−f(−1)=a −1a−2lna 令g(x)=x −1x −2lnx ，(x ≥1)，则g′(x)=1+1x 2−2x =(1x −1)2≥0，仅在x =1时取等号， ∴ g(x)为增函数，∴ 当a >1时，g(a)=a −1a −2lna >g(1)=0，即f(1)−f(−1)>0，∴ f(1)>f(−1)， 于是f(x)的最大值为f(1)=a +1−lna ，故对∀x 1，x 2∈[−1, 1]，|f(x 1)−f(x 2)|≤|f(1)−f(0)|=a −lna ，∴ a −lna ≤e −1， 当x ≥1时，(x −lnx)′=x−1x≥0，∴ y =x −lnx 在[1, +∞)单调递增，∴ 由a −lna ≤e −1可得a 的取值范围是1<a ≤e ． 22. 证明：(I)在△ABC 中，由BD =13BC ，CE =13CA ，知：△ABD ≅△BCE ，∴ ∠ADB ＝∠BEC ，即∠ADC +∠BEC ＝π． 所以四点P ，D ，C ，E 共圆． (II)如图，连结DE ．在△CDE 中，CD ＝2CE ，∠ACD ＝60∘， 由正弦定理知∠CED ＝90∘．由四点P ，D ，C ，E 共圆知，∠DPC ＝∠DEC ， 所以AP ⊥CP ．23. (I)l 的普通方程为y =√3(x −1)，C 1的普通方程为x 2+y 2＝1， 联立方程组{y =√3(x −1)x 2+y 2=1 ，解得交点坐标为A(1, 0)，B(12, −√32) 所以|AB|=√(1−12)2+(0+√32)2=1；(II)曲线C 2:{x =12cosθy =√32sinθ （θ为参数）． 设所求的点为P(12cosθ, √32sinθ)， 则P 到直线l 的距离d =|√32cosθ−√32sinθ−√3|√3+1=√34[√2sin(θ−π4)+2]当sin(θ−π4)＝−1时，d 取得最小值√64(√2−1)．24. 解：(1)由|2x −a|+a ≤6得|2x −a|≤6−a ， ∴ a −6≤2x −a ≤6−a ，即a −3≤x ≤3， ∴ a −3=−2， ∴ a =1．(2)由(1)知f(x)=|2x −1|+1， 令φ(n)=f(n)+f(−n)，则φ(n)=|2n −1|+|2n +1|+2={2−4n ，n ≤−12，4，−12<n ≤12，2+4n ，n >12，∴ φ(n)的最小值为4，故实数m 的取值范围是[4, +∞)．。

2014年河北省邯郸市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若z =2−i 1+2i ，则复数z 的虚部为( )A iB −iC 1D −12. 已知集合A ={0, 1, 2}，B ={x −y|x ∈A, y ∈A}，则集合B 中元素的个数为（ ）A 3B 5C 7D 93. 若几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 2π3B 2√2C 4π3D 2π4. 某程序框图如图所示，若输出的S =120，则判断框内为( ) A k >4？ B k >5？ C k >6？ D k >7？5. 已知实数x ，y 满足{x −2y +1≥0|x|−y −1≤0，则z =2x +y 的最大值为（ ） A 4 B 6 C 8 D 106. 若双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的渐近线与抛物线x 2=4y 的准线所围成的三角形面积为2，则该双曲线的离心率为( )A √52B √2C √3D √57. 在△ABC 中，若(CA →+CB →)⋅AB →=|AB →|2，则（ ）A △ABC 是锐角三角形B △ABC 是直角三角形 C △ABC 是钝角三角形D △ABC 的形状不能确定8. 若函数y =cosωx(ω>0)的图象向右平移π6个单位后与函数y =sinωx 的图象重合，则ω的值可能是（ ）A 12B 1C 3D 4 9. 甲、乙、丙3位教师安排在周一至周五中的3天值班，要求每人值班1天且每天至多安排1人，则恰好甲安排在另外两位教师前面值班的概率是( )A 13B 23C 34D 35 10. 已知三角形PAD 所在平面与矩形ABCD 所在平面互相垂直，PA ＝PD ＝AB ＝2，∠APD ＝90∘，若点P 、A 、B 、C 、D 都在同一球面上，则此球的表面积等于（ ）A 4√3πB √3πC 12πD 20π11. 设F 为抛物线y 2=2x 的焦点，A 、B 、C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|FA →|+|FB →|+|FC →|的值为( )A 1B 2C 3D 412. 已知函数f(x)={kx +1,x ≤0，log 2x ，x >0.下列是关于函数y =f[f(x)]+1的零点个数的4个判断：①当k >0时，有3个零点；②当k <0时，有2个零点；③当k >0时，有4个零点；④当k <0时，有1个零点．则正确的判断是( )A ①④B ②③C ①②D ③④二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）13. ∫√2π20sin(x +π4)dx =________． 14. 某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示．已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为________万元．15. 曲线y =log 2x 在点(1, 0)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等于________．16. 在数列{a n }中，a 1=1，a n+2+(−1)n a n =2，记S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 60=________．三、解答题（本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列{a n}，公差d>0，前n项和为S n，S3=6，且满足a3−a1，2a2，a8成等比数列．(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n=1，求数列{b n}的前n项和T n的值．a n⋅a n+218. 如图，在凸四边形ABCD中，C，D为定点，CD=√3，A，B为动点，满足AB=BC=DA=1．（1）写出cosC与cosA的关系式；（2）设△BCD和△ABD的面积分别为S和T，求S2+T2的最大值．19. 某果园要将一批水果用汽车从所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且运费由果园承担．若果园恰能在约定日期（×月×日）将水果送到，则销售商一次性支付给果园20万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给果园1万元；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给果园1万元．为保证水果新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送水果，已知下表内的信息：（注：毛利润=销售商支付给果园的费用-运费）(1)记汽车走公路1时果园获得的毛利润为ξ（单位：万元），求ξ的分布列和数学期望Eξ；(2)假设你是果园的决策者，你选择哪条公路运送水果有可能让果园获得的毛利润更多？20. 如图，在几何体ABCDE中，AB=AD=BC=DC=2，AE=2√2，AB⊥AD，且AE⊥平面ABD，平面CBD⊥平面ABD．(1)求证：AB // 平面CDE；(2)求二面角A−EC−D的余弦值．21. 如图，设点F 1(−c, 0)、F 2(c, 0)分别是椭圆C ：x 2a 2+y 2=1(a >1)的左、右焦点，P 为椭圆C 上任意一点，且PF 1→⋅PF 2→最小值为0．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 1:y =kx +m ，l 2:y =kx +n ，若l 1、l 2均与椭圆C 相切，证明：m +n =0；（3）在（2）的条件下，试探究在x 轴上是否存在定点B ，点B 到l 1，l 2的距离之积恒为1？若存在，请求出点B 坐标；若不存在，请说明理由．22. 设函数f(x)=1−x 2+ln(x +1)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若不等式f(x)>kxx+1−x 2 (k ∈N ∗)在(0, +∞)上恒成立，求k 的最大值．2014年河北省邯郸市高考数学二模试卷（理科）答案1. D2. B3. A4. B5. C6. A7. B8. C9. A10. C11. C12. D13. 214. 1015. 12ln216. 93017. 解：(1)由S 3=6，得a 2=2.∵ a 3−a 1，2a 2，a 8成等比数列，∴ 2d ⋅(2+6d)=42,解得d =1或d =−43．∵ d >0，∴ d =1,∴ a n =a 1+(n −1)d =1+1×(n −1)=n .(2)∵ b n =1a n ⋅a n+2=1n(n+2)=12(1n −1n+2), ∴ T n =b 1+b 2+...+b n =12(1−13+12−14+13−15+⋯+1n −1n+2)=12(1+12−1n +1−1n +2)=34−12(n +1)−12(n +2)=3n 2+5n 4(n+1)(n+2).18. 解：（1）连接BD ，∵ CD =√3，AB =BC =DA =1，∴ 在△BCD 中，利用余弦定理得：BD 2=BC 2+CD 2−2BC ⋅CDcosC =4−2√3cosC ； 在△ABD 中，BD 2=2−2cosA ，∴ 4−2√3cosC =2−2cosA ，则cosA =√3cosC −1；（2）S =12BC ⋅CD ⋅sinC =√32sinC ，T =12AB ⋅ADsinA =12sinA ， ∵ cosA =√3cosC −1，∴ S 2+T 2=34sin 2C +14sin 2A =34(1−cos 2C)+14(1−cos 2A)=−32cos 2C +√32cosC +34=−32(cosC −√36)2+78， 则当cosC =√36时，S 2+T 2有最大值78． 19. 解：(1)汽车走公路1时，不堵车时果园获得的毛利润ξ=20−1.6=18.4万元； 堵车时果园获得的毛利润ξ=20−1.6−1=17.4万元；∴ 汽车走公路1时果园获得的毛利润ξ的分布列为∴ Eξ=18.4×910+17.4×110=18.3万元.(2)设汽车走公路2时果园获得的毛利润为η，不堵车时果园获得的毛利润η=20−0.8+1=20.2万元；堵车时果园获得的毛利润η=20−0.8−2=17.2万元；∴ 汽车走公路1时果园获得的毛利润η的分布列为∴ Eη=20.2×12+17.2×12=18.7万元∵ Eξ<Eη∴ 选择公路2运送水果有可能让果园获得的毛利润更多.20. (1)证明：如图建立空间直角坐标系，则A(0, 0, 0)，B(2, 0, 0)，D(0, 2, 0)，E(0, 0, 2√2)， 取BD 中点T ，连CT ，AT ，则CT ⊥BD ，又平面CBD ⊥平面ABD ，∴ CT ⊥平面ABD ，∴ CT // AE ，∵ CD =BC =2，BD =2√2，∴ CD ⊥CB ，∴ CT =√2，∴ C(1, 1, √2)，∴ AB →=(2, 0, 0)，DE →=(0, −2, 2√2)，DC →=(1, −1, √2)，设平面CDE 的一个法向量为n →=(x, y, z)，则有{−2y +2√2z =0x −y +√2z =0， 取z =2，则y =2√2，x =0， ∴ n →=(0, 2√2, 2)，∴ AB →⋅n →=0∴ AB // 平面CDE ；(2)解：∵ BD ⊥AT ，BD ⊥AE ，∴ BD ⊥平面ACE ，∴ 平面AEC 的一个法向量为BD →=(−2, 2, 0)，∵ 平面CDE 的一个法向量n →=(0, 2√2, 2)，∴ cos <n →，BD →>=4√22√2⋅2√3=√33， ∴ 二面角A −EC −D 的余弦值为√33．21. 解：（1）设P(x, y)，则有PF 1→=(−c −x,−y)，PF 2→=(c −x,−y).PF 1→⋅PF 2→=x 2+y 2−c 2=a 2−1a 2x 2+1−c 2，x ∈[−a,a]． 由PF 1→⋅PF 2→最小值为0，得1−c 2=0，所以c =1，则a 2=b 2+c 2=1+1=2， ∴ 椭圆C 的方程为x 22+y 2=1；（2）把y =kx +m 代入椭圆x 22+y 2=1，得(1+2k 2)x 2+4mkx +2m 2−2=0， ∵ 直线l 1与椭圆C 相切，∴ △=16k 2m 2−4(1+2k 2)(2m 2−2)=0，化简得m 2=1+2k 2， 把y =kx +n 代入椭圆x 22+y 2=1，得(1+2k 2)x 2+4nkx +2n 2−2=0，∵ 直线l 2与椭圆C 相切，∴ △=16k 2n 2−4(1+2k 2)(2n 2−2)=0，化简得n 2=1+2k 2， ∴ m 2=n 2，若m =n ，则l 1，l 2重合，不合题意，∴ m =−n ，即m +n =0；（3）设在x 轴上存在点B(t, 0)，点B 到直线l 1，l 2的距离之积为1， 则√k 2+1√k 2+1=1，即|k 2t 2−m 2|=k 2+1，把1+2k 2=m 2代入并去绝对值整理，得k 2(t 2−3)=2或k 2(t 2−1)=0，k 2(t 2−3)=2不满足对任意的k ∈R 恒成立；而要使得k 2(t 2−1)=0对任意的k ∈R 恒成立则t 2−1=0，解得t =±1；综上所述，满足题意的定点B 存在，其坐标为(−1, 0)或(1, 0)．22. 解：(1)函数f(x)的定义域为(−1, +∞)，函数f(x)的导数f ′(x)=−2x +1x+1，令f ′(x)>0则1x+1>2x ， 解得−1−√32<x <−1+√32， 令f ′(x)<0则1x+1<2x ， 解得x >−1+√32或x <−1−√32，∵ x >−1，∴ f(x)的单调增区间为(−1, √3−12)，单调减区间为(√3−12, +∞)； (2)不等式f(x)>kx x+1−x 2,即1−x 2+ln(x +1)>kx x+1−x 2，即1+ln(x +1)>kx x+1，即(x +1)[1+ln(x +1)]>kx(k ∈N ∗)在(0, +∞)上恒成立，令g(x)=(x +1)）[1+ln(x +1)]−kx ，则g ′(x)=2+ln(x +1)−k ，∵ x >0，∴ 2+ln(x +1)>2，若k ≤2，则g ′(x)>0，即g(x)在(0, +∞)上递增，∴ g(x)>g(0)即g(x)>1>0，∴ (x +1)[1+ln(x +1)]>kx(k ∈N ∗)在(0, +∞)上恒成立；若k >2，可以进一步分析，只需满足最小值比0大，即可.结合k 为正整数，故k 的最大值为3．。

邯郸市数学 注意： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟。

2、全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。

3.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

第I卷 一 、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则复数的虚部为 ． B． C． D．．已知集合，则集合个数． B． C．D．3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的积为A． B． C． D． ．某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内为 A． B． C． D． 已知实数满足的最大值A． B． C． D．．的渐近线与抛物线的准线所围成的三角形面积为,则该双曲线的离心率为 A． B． C． D．．在中，若． B． C． D．．若函数）的图象向平移个单位后与函数的图象重合，则的值可能是 A B.1 C.3 D.4 9．甲、乙、丙位安排在周一至周五天值班，要求每人天且每天至多安排人，甲安排在另外两位前面 A. B． C． D．．已知三角形所在平面与矩形所在平面互相垂直，，，若点都在同一球面上，则此球的积等于 A B.. C. D. 11．为抛物线的焦点，为抛物线上三点，若为的重心，则的值为A.1B.2C.3D.4 12．已知函数下列关于函数的零点个数的判断 ①当时，有3个零点；②当时，有2个零点③当时，有4个零点；④当时，有1个零点正确的判断是A. ①④B. ②③C. ①②D. ③④ 第Ⅱ卷 二、填空题：13.=_______. 14.某商场在庆元宵促销活动中，对元宵节9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为________万元. 15. 曲线在点（1,0）处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于 . 16．在数列中，，，记是数列的前项和，则=. 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知等差数列{}，公差，前n项和为，,且满足成等比数列. （I）求{}的通项公式； （II）设，求数列的前项和的值. 18. （本小题满分12分） 如图，在凸四边形中，为定点， 为动点，满足. （I）写出与的关系式； （II）设的面积分别为和，求的最大值. 19.（本小题满分12分）某要将一批用汽车从所在城市甲运至乙，已知从城市甲到乙只有两条公路，且运费由承担．若恰能在约定日期(×月×日)将送到，则销售商一次性支付给20万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给1万元；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给1万元．为保证新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送，已知下表内的信息：统计信息在不堵车的情况下到达乙所需时间(天)堵车的情况下到达乙所需时间(天)堵车的概率运费(万元)公路1231.6公路2140.8I）记汽车公路1时获得的毛收入为(单位：万元)，求的分布列和数学期望； II）如果你是的决策者，你选择哪条公路运送有可能让获得的毛收入更多？ (注：毛收入＝销售商支付给的费用－运费)20.（本小题满分12分） 如图，在几何体中，，，且，（I）求证； II）求二面角的设点、分别是椭圆的左、右焦点,为椭圆上任意一点,且最小值为.I）求椭圆的方程;II）设直线、重合若、均与椭圆相切探究在轴上是否存在定点,点到、的距离之积恒若存在,请求出点坐标;若不存在,请说明理由. （I）求函数的单调区间； （II）若不等式 （）在上恒成立，求的最大值. 邯郸市2014届高三教学质检 理科数学答案 一．选择题： DBDBC ABCAC CD 12题思路:解析:当时,图象如下, 则由图象可知方程有两个根,设为 ,易知,方程的解即为 的解.再由图象可知以上两方程各有两个根, 故此时原方程有四个根. 同理可知的情况.故选D 填空题：13、2 ； 14、10 ；15、 ；16、480 三 .解答题： 17. 解：（I）由，得 成等比数列 解得：或 …………………3分 数列的通项公式为. …………………5分 …………………10分 18.解：（I）由余弦定理，在中，=， 在中，。