下载文档原格式
Hilbert型不等式的改进与推广
Hilbert不等式(包括积分型和离散型)是分析学中的重要不等式.本文通过引入适当权函数的方法,对积分型和半离散型Hilbert不等式进行一些改进、推广,证明了常数因子是最佳的,并给出了它们的等价式和一些特殊结果.还考虑了强的H(?)lder不等式在Hardy-Hilbert型不等式改进中的应用.全文组织如下:第一章:介绍全文的研究目的、背景、方法和结果.第二章:应用转换公式,权函数的方法和实分析技巧,建立一个具有最佳常数因子的核含对数函数、多维的且含有几个参数的Hilbert型积分不等式.给出了其等价式与相应逆式.还考虑了其算子表示和齐次与非齐次核的一些特殊结果.第三章:应用权函数和
Hermite-Hadamard不等式,建立一个带有最佳常数因子的半离散逆向的Mulholland型不等式.并考虑了它的带有多参数齐次核的最佳推广式及等价式.第四章:通过引入权函数,应用实分析的方法,对具有准齐次核的Hardy-Hilbert 型不等式做了改进,从而建立了一些新的不等式.。
关于Hardy-Hilbert 不等式的一个加强及应用隆建军（攀枝花市大河中学，四川 攀枝花 617061）摘要：通过建立权系数不等式，得到了Hardy-Hilbert 不等式的一个推广及应用.所得结果改进和推广了最近文献的一些相应结果.关键词：Hardy-Hilbert 不等式；权系数；Holder 不等式 中图分类号：O1781 引言设0,≥n n b a )(N n ∈,1>p ，111=+q p .若∞<<∑∞=10n pn a ,∞<<∑∞=10n qn b ,则有 ∑∑∞=∞=+11m n m n n m b a )sin(p ππ<p n p n a 11)(∑∞=n q n b 11)(∑∞=. （1）这里，常数)p ππ是最佳值]1[，其等价形式是∑∑∞=∞=+11)(n pm m nm a pp ])sin([ππ<∑∞=1n pna.（2）这里，常数p p ])sin([ππ仍是最佳值.称（1）为Hardy-Hilbert 不等式，它是分析学及其应用领域的重要不等式.近年来有许多专家、学者对其进行研究，得到了许多优秀的结果]62[-.1991年，徐利治和郭永康得到如下权系数估计]7[： ()1,sin 1,1111-=+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛+=-∞=∑p nn p m n n m n q p qppm qηηππω .（3）从而给出了Hardy-Hilbert 不等式的一个加强形式：qn q n pq pn p n qp m n n m b n n q p a n n p p n m b a 11111111111sin 1sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<+∑∑∑∑∞=-∞=-∞=∞=ππππ.（4）1997年，杨必成和高明哲得到如下权系数估计]8[： ()pm qnC p m n n m n q 1111sin 1,--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛+=∑∞=ππω .（5）给出新的Hardy-Hilbert 不等式的一个加强形式：qn q n q pn p n p m n n m b n C p a n C p n m b a 111111111sin 1sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<+∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=ππππ.（6）其中C 是欧拉常数.1998年，杨必成和L.Debnath 得到如下权系数估计]9[： ()qpm qnn p m n n m n q 111121sin 1,-∞=+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛+=∑ππω .（7）从而得到如下的Hardy-Hilbert 不等式的一个新的加强形式：qn q n pq pn p n qp m n n m b n n p a n n p n m b a 111111111121sin 21sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<+∑∑∑∑∞=-∞=-∞=∞=ππππ. （8）2005年，吕中学得到如下权系数估计]10[： ()qpm qnabn p m n n m n q 11111sin 1,-∞=+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛+=∑ππω .（9）从而得到Hardy-Hilbert 不等式的一个新的推广与改进：qn q n p q pn p n q p m n n m b n abn ab p a n abn ab p n m b a 111111111112sin 12sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<+∑∑∑∑∞=-∞=-∞=∞=ππππ. （10）其中e ab b a ≤<>>0,0,0.其等价形式为：∑∑∑∞=--∞=∞=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛+11111112sin sin n pn q p p m pn m a n abn ab p p n m a ππππ . （11）本文通过改进和推广文献[7-10]的结果，从而给出（1）式和（2）式一个新的改进形式.2 一些引理为了证明引理，需要用到下述改进的Euler-Machaurin 公式]11[，即：若0)(,0)()12()2(<>+x fx fr r ，0)(lim )(lim )(==∞→∞→x i x x fx f ，)3,2,1(=i 且∑∞=1)(m m f 及⎰∞1)(dx x f 收敛，则)1('121)1(21)()(11f f dx x f m f m -+≤⎰∑∞∞= .（12）引理1 设N n r ∈>,1，下列权系数不等式成立：()()()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+--++--++-⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛+=-∞=∑2111112161512121211211213121sin 1,n r r r r n r r r r r r r r nr m n n m r n r m rππω. （13）证明：设()()rn xn x x f 11+=，[)),1,1(+∞∈>x r ，则()()n f n +=111，()()n r n f n +-+-=1111)1(2'.()()()()⎰⎰⎰⎰+-+=+=∞∞∞1101111111dx xn x dx xn x dx xn x dx x f rrrn()()⎰⎰-∞+--+=101101111111r rrdx n x r r dy yy n()⎰-+--⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011111sin 1r r dx n x r r r nππ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++--⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰-1011211111sin 1dx x n x n r r r n rr ππ()()()()()⎰-+---+--⎪⎭⎫ ⎝⎛=1012221112111sin 1r r dx n x r r r n r r r nππ()()()()()()()()⎰-+---+---+--⎪⎭⎫ ⎝⎛=10123222111212112111sin 1dx x n x r r r n r r r n r r r nr r ππ()()()()()221112111sin 1n r r r n r r r n r +---+--⎪⎭⎫ ⎝⎛<ππ. ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+<=⎰∑∞∞=)1(121)1(21)()(,'1111n n n rm n rf f dx x f n m f n r n ω()()()()()()()()⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++---+--⎪⎭⎫ ⎝⎛<n r n n n r r r n r r r n n r r 11211121121112111sin 122211ππ()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---+++-++-⎪⎭⎫⎝⎛<-2111121121512111213121sin n r r n r r n r r n r r n r r ππ.（14）对N n ∈，结合Bernoulli 不等式]12[，有()()()()()()()()()2112112151211121312n r r n r r n r r n r r +---+++-++ ()()()()()()()2111121121512111121312--⎪⎭⎫⎝⎛+---++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++=n n r r r r n r r r r()()()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛----++⎪⎭⎫ ⎝⎛--++>n n r r r r n r r r r 21121121512111121312()()()()()()()()()()21216151212121121121312n r r r r n r r r r r r r r ---+--++--++=.（15）把(15)式代入(14)式，即得(13)式，故引理1得证. 引理2 设N n r ∈>,1，下列权系数不等式成立： ()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--∞=∑r r m rn n r r r r r m n n m r n 111111121312sin 1,ππω.（16）证明：()()()()()()()()()()⎪⎭⎫⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+--++--++n n r r r r n r r r r r r r r 1112161512121211211213122()()()()()()()()()()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+---------++-++=221216151212112121112112151211121312n r r r r n r r r r r r r r r n r r r r ()()()1121312-++≥r r r r ()3≥n . 所以，有()()()()()()()()()()()()()()12111213121216151212121121121312-+-++>---+--++--++n r r r r n r r r r n r r r r r r r r ()3≥n . 结合引理1，有： ()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛+=--∞=∑r r m rn n r r r r r m n n m r n 111111121312sin 1,ππω()3≥n 当2,1=n 时，显然有()()()()1241312sin 11sin ,1-++-⎪⎭⎫ ⎝⎛<+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<r r r r r ab p r ππππω，()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<---rrrrr r r r p ab p r 11111221121312sin 221sin ,2ππππω故，当N n ∈时，(16)式成立.3 主要结论及其证明定理1 设111,1=+>q p p ，0,0≥≥n n b a ，+∞<<+∞<<∑∑∞=∞=110,0n qnn p n b a ，则 ()()()()qn q n q q pn pn p p n m n m b n n q q q p a n n p p p q n m b a 111111111111121413sin 121413sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<+∑∑∑∑∞=+-∞=+-∞=∞=ππππ 证明：由Holder 不等式，得()()∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+11111111m n pqqn pq p m m n n m m n n m b n m n m a n m b a qm n p q npm n q p n m n n m b n m n m a 11111111⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+≤∑∑∑∑∞=∞=∞=∞= qm q nn ppm p n n qb m n n m a n m n m 1111111111⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑∑∑∑∞=∞=∞=∞= ()()qn q n pm p n b p n a q m 1111,,⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧=∑∑∞=∞=ωω 因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛q p ππsin sin ，且111=+q p ，在(16)式中分别取q p r ,=，代入上式，可得()()()()qn q n q q pn pn p p n m n m b n n q q q p a n n p p p q n m b a 111111111111121413sin 121413sin ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<+∑∑∑∑∞=+-∞=+-∞=∞=ππππ 证毕.作为应用我们建立定理1的一个等价形式：定理2 设111,1=+>q p p ，0≥n a ，+∞<<∑∞=10n p n a ，则()()∑∑∑∞=+--∞=∞=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛+1111111121413sin sin n p np p p m p n n a n n p p p q p n m a ππππ证明：由()⎪⎪⎭⎫⎝⎛<p n q ππωsin ,和Holder 不等式，得()()∑∑∞=∞=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+1111111n pqqpqpnn n m n n m m n n m a n m a qn ppn p n qm n n m a m n n m 11111111⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤∑∑∞=∞= (){}q pn p n qn p a m n n m 1111,1ω⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑∞=qpn p n qp a m n n m 1111sin 1⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+<∑∞=ππ.由(16)式和以上所得，有∑∑∑∑∞=∞=-∞=∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛+11111111sin 1m n pn qqpp q m p n n a m n n m p n n m a ππ∑∑∞=∞=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11111sin n p nm q p a m n n m p ππ()∑∞=-⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11,sin n pnp an q p ωππ()()∑∞=+--⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<11111121313sin sin n p np p p a n n p p p q p ππππ.所以，定理2成立.证毕特别地，在定理1和定理2中取2==q p 有：推论1 若0,0≥≥n n b a ，+∞<<+∞<<∑∑∞=∞=12120,0n nn n b a ，则 21122121211223211124352435⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<+∑∑∑∑∞=-∞=∞=∞=n n n n n m n m b n n a n n n m b a ππ. 推论2 若0≥n a ，+∞<<∑∞=10n p n a ，则∑∑∑∞=-∞=∞=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+1223211212435n n m n n a n n n m a ππ. 显然，本文结论改进了文献[2-10]中的结论，是(1)和(2)的一个新推广与改进. 参考文献：[1]Hardy G H, Littlewood J E, Polya G. Inequalities[M].Cambridge Univ Press,1952.[2]董大校.Hardy-Hilbert 重级数不等式的推广[J].云南师范大学学报(自然科学版)，2000，20(2):9-13.[3]杨必成.关于一个推广的Hardy-Hilbert 不等式[J].数学年刊，2002,23A(2):247-254.[4]洪勇.Hardy-Hilbert 重级数不等式的推广与改进[J].数学的实践与认识，2002，32(5):849-855.[5]杨必成.一个推广的具有最佳常数的Hardy-Hilbert 不等式[J].数学年刊，2000,21A(4):401-408.[6]洪勇.关于Hardy-Hilbert不等式的新推广[J].南昌大学学报(理学版)，2005,29(6):566-570.[7]Xu L C,Gau Y K.Note on Hardy-Riesz's extension of Hilbert's inequality[J].Chin Quar J math,1991,6(1):75-77.[8]杨必成,高明哲.关于Hardy-Hilbert不等式的一个最佳常数[J].数学进展,1996,29(2):159-164.[9]Yang B C,Debnath L.On new strengthened Hardy-Hilbert inequality[J].Internat J Math Sci,1998,21(2):403-408.[10]吕中学.Hardy-Hilbert不等式一个新的推广与改进[J].数学的实践与认识,2005,35(5):142-145.[11]杨必成.关于一般Hilbert二重级数定理的改进[J].数学研究，1996,29(2):64-70.[12]隆建军.p=5的Hardy不等式的一个加强改进[J].沙洋师范高等专科学校学报,2005,6(5):11-13.On a strengthened Hardy-Hilbert's inequality and its applicationLONG Jian-jun(DaHe Middle School of Panzhihua,Sichuan panzhihua 617061,China) Abstract:By deducing the inequality of weight coefficient,we obtain a generalization of Hardy-Hilbert's inequality its application.The results presented in this paper improve and unify some recent results in this field.Key words: Hardy-Hilbert inequality ;weight coefficient;Holder inequality该文发表于《井冈山大学学报》（自然科学版），2012年3月第二期第22-26页.。
