2021年南京市鼓楼区中考数学第二次调研考试试卷(有答案)

2023年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．√36的值为（）A．6B．﹣6C．±6D．362．在过去10年里，我国国土绿化工程取得重大进展，新增森林面积超过22000000公顷．用科学记数法表示22000000是（）A．22×106B．2.2×106C．22×107D．2.2×1073．下列计算正确的是（）A．a•a•a＝3a B．5+x＝5xC．y+y+y+y＝4y D．2x﹣x＝24．用一个平面去截正方体（如图），剩余几何体的主视图不可能是（）A．B．C．D．̂的中点，则OC长为（）5．将半径为5的⊙O如图折叠，折痕AB长为8，C为折叠后ABA．2B．√3C．1D．√26．如图，O为△ABC的外心，四边形OCDE为正方形．以下结论：①O是△ABE的外心；②O是△ACD 的外心；③直线DE与△ABC的外接圆相切．其中所有正确结论的序号是（）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置） 7．计算：|﹣2|＝ ；（﹣2）0＝ ． 8．若式子1x−2有意义，则x 的取值范围是 ．9．计算√2×√6的结果是 ．10．已知扇形的半径为4，弧长为π，则该扇形的面积为 ． 11．设x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣5x +4＝0的两个实数根，则1x 1+1x 2的值为 ．12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标为A （1，2），B （﹣1，﹣2），C （5，﹣2），AC 交x 轴于点D ，则OD 的长为 ．13．如图，在▱ABCD 中，点E 在AD 上，AE ＝2ED ，射线BE 交CD 的延长线于点F ，若S △DEF ＝1，则S△BCF的值为 ．14．如图，点I 是△ABC 的内心．若∠IAB ＝34°，∠IBC ＝36°，则∠ICA 的度数是 °．15．某同学的眼睛到黑板的距离是6m ，课本上的文字大小为0.4cm ×0.35cm ．要使这名同学看黑板上的字时，与他看相距30cm 的课本上的字的感觉相同，老师在黑板上写的文字大小应约为 （答案请按同一形式书写）．16．要使反比例函数y =6x的图象经过点（3，4），以下对该图象进行变化的方案中可行的是 （只填序号）．①向上平移3个单位长度；②先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度； ③沿直线y ＝3轴对称；④先沿直线x ＝2轴对称，再向右平移1个单位长度．三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解不等式组{4(x −1)＞3x −22x −3≤5，并写出该不等式组的整数解．18．计算：(x +2−5x−2)÷x+3x−2．19．某车间加工1500个零件后，由于技术革新，工作效率提高到原来的2.5倍，当再加工同样多的零件时，用时比以前少18h ．该车间技术革新前每小时加工多少个零件？20．如图，O 为矩形ABCD 的对角线AC 的中点，过O 作EF ⊥AC 分别交AD ，BC 于点E ，F ． （1）求证：四边形AFCE 是菱形；（2）若AB ＝6，BC ＝12，求菱形AFCE 的面积．21．4张卡片上分别写有数字1，2，﹣3，4，除标记数字外它们完全相同．从这4张卡片中随机抽取2张． （1）求“抽取两张卡片的数字都是正数”的概率；（2）下列事件中，概率小于12的是 （填写正确说法的序号）．①抽取的两个数乘积为负数；②抽取的两个数乘积为正数；③抽取的两个数之和为负数；④抽取的两个数之和为正数．22．某水果店过去20天苹果的日销售量（单位：kg）从小到大记录如下：40，42，44，45，46，48，52，52，53，54，55，56，57，58，59，61，63，64，65，66．（1）估计该水果店本月（按30天计算）的销售总量；（2）一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求，店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能在进货量上75%地满足顾客需求（即将100天的销售量从小到大排序后，进货量不小于第75个数据），则苹果的日进货量应为多少千克？23．已知二次函数y＝x2+（a﹣2）x+3的图象经过点（2，3）．（1）求该二次函数的表达式；（2）当0＜x＜3时，y的取值范围为；（3）已知点P（m﹣1，y1），点Q（m，y2）在该二次函数的图象上若y1＞y2，直接写出m的取值范围．24．为测量建筑物DE的高度，小明从建筑物AB的A处测得E处的仰角为37°，C处的俯角为22°，从C处测得E处的仰角为58°．已知B，C，D在同一直线上，AB高为6.8m．求建筑物DE的高度．（参考数据：tan37°≈34，tan22°≈25，tan58°≈85）25．如图，一次函数y＝kx+b的图象分别与x轴、y轴交于点A，B．（1）用“＞、＝、＜”号填空：k0，b0；（2）用直尺和圆规作出下列函数的图象（保留作图痕迹）①y＝kx﹣b；②y＝2kx+2b；③y＝﹣kx+2b．26．过⊙O上一点A，可以用尺规按以下方法作出⊙O的切线：①另取⊙O上一点B，以B为圆心，AB为半径作圆，将⊙B与⊙O的另一个交点记为点C；②以A为圆心，AC为半径作弧，将⊙A与⊙B的另一个交点记为点D，作直线AD．直线AD即为⊙O的切线．如图，小明已经完成了作图步骤①．（1）用尺规完成作图步骤②；（2）连接AC，AB，BC，BD，求证：AB平分∠CAD；（3）求证：直线AD为⊙O的切线．27．已知函数y＝ax3+bx2+cx（a，b，c为常数，且a≠0）的图象是中心对称图形．用数学软件在相同的坐标系中得到以下函数的图象（图①～④），观察并思考…（1）函数y＝ax3+bx2+cx的图象如图⑤所示，指出常数a，b，c的正负．（2）你同意“函数y＝﹣x3+2x2的图象的对称中心的横坐标为1”吗？判断并说明理由．（3）已知ac＜0，直接写出关于x的不等式ax3+x2+cx＞0的解集（用含a，c的式子表示）．2023年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．√36的值为（）A．6B．﹣6C．±6D．36解：√36=6．故选：A．2．在过去10年里，我国国土绿化工程取得重大进展，新增森林面积超过22000000公顷．用科学记数法表示22000000是（）A．22×106B．2.2×106C．22×107D．2.2×107解：22000000＝2.2×107．故选：D．3．下列计算正确的是（）A．a•a•a＝3a B．5+x＝5xC．y+y+y+y＝4y D．2x﹣x＝2解：A、aaa＝a3，故本选项错误；B、5和x不是同类项，不能合并，故本选项错误；C、y+y+y+y＝4y，故本选项正确；D、2x﹣x＝x，故本选项错误．故选：C．4．用一个平面去截正方体（如图），剩余几何体的主视图不可能是（）A．B．C．D．解：观察图形可知，用一个平面去截正方体（如图），剩余几何体的主视图不可能是．故选：D ．5．将半径为5的⊙O 如图折叠，折痕AB 长为8，C 为折叠后AB̂的中点，则OC 长为（ ）A ．2B ．√3C ．1D ．√2解：延长OC 交⊙O 于D 点，交AB 于E 点，连接OA 、OB 、AC 、BC ，如图， ∵C 为折叠后AB ̂的中点， ∴AC ̂=BC ̂， ∴CA ＝CB ， ∵OA ＝OB ， ∴OC 垂直平分AB ， ∴AE ＝BE =12AB ＝4，在Rt △AOE 中，OE =√OA 2−AE 2=√52−42=3， ∴DE ＝OD ﹣OE ＝5﹣3＝2，∵ADB̂沿AB 折叠得到ACB ̂，CD 垂直AB ， ∴C 点和D 点关于AB 对称， ∴CE ＝DE ＝2，∴OC ＝OE ﹣CE ＝3﹣2＝1． 故选：C ．6．如图，O为△ABC的外心，四边形OCDE为正方形．以下结论：①O是△ABE的外心；②O是△ACD 的外心；③直线DE与△ABC的外接圆相切．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③解：连接OB、OD、OA，∵O为锐角三角形ABC的外心，∴OA＝OC＝OB，∵四边形OCDE为正方形，∴OA＝OC＜OD，∴OA＝OB＝OC＝OE≠OD，①OA＝OE＝OB，O是△ABE的外心，故本选项符合题意；②OA＝OC≠OD，即O不是△ACD的外心，故本选项不符合题意；③∵OE＝OA，OE⊥DE，∴直线DE与△ABC的外接圆相切．故本选项符合题意；故选：B．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写在答题卡相应位置）7．计算：|﹣2|＝2；（﹣2）0＝1．解：|﹣2|＝2，（﹣2）0＝1．故答案为：2，1．8．若式子1x−2有意义，则x的取值范围是x≠2．解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2；故答案为：x≠2．9．计算√2×√6的结果是 2√3 ．解：√2×√6=√2×√2×√3 =(√2)2×√3 ＝2√3． 故答案为：2√3．10．已知扇形的半径为4，弧长为π，则该扇形的面积为 2π ． 解：扇形面积=12lR =12×π×4＝2π． 故答案为：2π．11．设x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣5x +4＝0的两个实数根，则1x 1+1x 2的值为54．解：∵x 1，x 2是一元二次方程x 2﹣5x +4＝0的两个实数根， ∴x 1+x 2＝5，x 1•x 2＝4， ∴1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=54．故答案为：54．12．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标为A （1，2），B （﹣1，﹣2），C （5，﹣2），AC 交x 轴于点D ，则OD 的长为 3 ．解：∵A （1，2），B （﹣1，﹣2）， ∴OA ＝OB ，∵B （﹣1，﹣2），C （5，﹣2）， ∴BC ∥x 轴， ∴OD BC =OA AB ，∴OD 6=12，∴OD ＝3． 故答案为：3．13．如图，在▱ABCD 中，点E 在AD 上，AE ＝2ED ，射线BE 交CD 的延长线于点F ，若S △DEF ＝1，则S△BCF的值为 9 ．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，∴∠FDE ＝∠BAE ，∠DFE ＝∠ABE ，∠FDE ＝∠C ，∠FED ＝∠FBC ，∴△DEF ∽△AEB ，△DEF ∽△CBF ，∴DE AE =FE BE ，S △DEFS △CBF =(FE FB )2，∵AE ＝2ED ，∴FE BE =12， ∴FE FB =13， ∵S △DEF ＝1，∴1S △CBF =(13)2， 解得：S △CBF ＝9．故答案为：9．14．如图，点I 是△ABC 的内心．若∠IAB ＝34°，∠IBC ＝36°，则∠ICA 的度数是 20 °．解：∵点I 是△ABC 的内心．∠IAB ＝34°，∠IBC ＝36°，∴∠ABC ＝2∠IBC ＝2×36°＝72°，∠BAC ＝2∠IAB ＝2×34°＝68°，∴∠ACB ＝180°﹣72°﹣68°＝40°，∴∠ICA =12∠ACB =12×40°=20°．故答案为：20．15．某同学的眼睛到黑板的距离是6m ，课本上的文字大小为0.4cm ×0.35cm ．要使这名同学看黑板上的字时，与他看相距30cm 的课本上的字的感觉相同，老师在黑板上写的文字大小应约为 8cm ×7cm （答案请按同一形式书写）．解：设老师在黑板上写的文字大小应约为a cm ×b cm ，由题意可得：60030=a 0.4=b 0.35，解得a ＝8，b ＝7，即老师在黑板上写的文字大小应约为8cm ×7cm ，故答案为：8cm ×7cm ．16．要使反比例函数y =6x的图象经过点（3，4），以下对该图象进行变化的方案中可行的是 ②③ （只填序号）．①向上平移3个单位长度；②先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度；③沿直线y ＝3轴对称；④先沿直线x ＝2轴对称，再向右平移1个单位长度．解：①反比例函数y =6x 的图象向上平移3个单位长度得到y =6x +3，∵x ＝3时，则y =63+3=5，∴方案①不可行；②反比例函数y =6x 的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度得到y =6x−2−2， ∵x ＝3时，y =63−2−2＝4， ∴方案②可行；③把x ＝3代入y =6x 得，y ＝2，∴点（3，2）在反比例函数的图象上，∵点（3，2）关于直线y ＝3的对应点为（3，4），∴反比例函数y =6x 的图象沿直线y ＝3轴对称得到的图象经过点（3，4），∴方案③可行；④把x ＝3代入y =6x得，y ＝2，∴点（3，2）在反比例函数的图象上，∵点（3，2）关于直线x ＝2的对应点为（1，2），再向右平移1个单位长度得到（2，2），把x ＝2代入y =6x 得y ＝3，∴反比例函数y =6x 的图象先沿直线x ＝2轴对称，再向右平移1个单位长度得到的图象不经过点（3，4），∴方案④不可行；故答案为：②③．三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解不等式组{4(x −1)＞3x −22x −3≤5，并写出该不等式组的整数解． 解：{4(x −1)＞3x −2①2x −3≤5②， 解①得x ＞2，解②得x ≤4．则不等式组的解集是：2＜x ≤4．则整数解是：3，4．18．计算：(x +2−5x−2)÷x+3x−2．解：(x +2−5x−2)÷x+3x−2=(x+2)(x−2)−5x−2•x−2x+3 =x 2−4−5x+3 =(x+3)(x−3)x+3 ＝x ﹣3． 19．某车间加工1500个零件后，由于技术革新，工作效率提高到原来的2.5倍，当再加工同样多的零件时，用时比以前少18h ．该车间技术革新前每小时加工多少个零件？解：设车间技术革新前每小时加工x 个零件，则技术革新后每小时加工2.5x 个零件，由题意得：1500x −15002.5x =18，解得：x ＝50，经检验：x ＝50是原分式方程的解，且符合题意，答：该车间技术革新前每小时加工50个零件．20．如图，O 为矩形ABCD 的对角线AC 的中点，过O 作EF ⊥AC 分别交AD ，BC 于点E ，F ．（1）求证：四边形AFCE 是菱形；（2）若AB ＝6，BC ＝12，求菱形AFCE 的面积．（1）证明：∵点O 是AC 的中点，EF ⊥AC ，∴EF 是AC 的垂直平分线，∴F A ＝FC ，EA ＝EC ，OA ＝OC ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠EAO ＝∠ECO ．在△AOE 和△COF 中，{∠EAO =∠FCOAO =CO ∠AOE =∠COF，∴△AOE ≌△COF （ASA ）；∴AE ＝CF ，∴AE ＝CE ＝CF ＝AF ，∴四边形AECF 为菱形．（2）解：设AE ＝CE ＝x ，则BF ＝12﹣x ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝90°．在Rt △ABE 中，由勾股定理得，AB 2+BE 2＝AE 2，即62+（12﹣x ）2＝x 2，解得，x ＝7.5，即AE ＝7.5，∴DE ＝BF ＝4.5，∴菱形AFCE 的面积＝矩形ABCD 的面积﹣△ABF 的面积﹣△CDE 的面积＝6×12﹣2×12×6×4.5=45．21．4张卡片上分别写有数字1，2，﹣3，4，除标记数字外它们完全相同．从这4张卡片中随机抽取2张．（1）求“抽取两张卡片的数字都是正数”的概率；（2）下列事件中，概率小于12的是 ③ （填写正确说法的序号）． ①抽取的两个数乘积为负数；②抽取的两个数乘积为正数；③抽取的两个数之和为负数；④抽取的两个数之和为正数．解：（1）画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中抽取两张卡片的数字都是正数的结果有：（1，2），（1，4），（2，1），（2，4），（4，1），（4，2），共6种，∴抽取两张卡片的数字都是正数的概率为612=12． （2）∵由树状图可知，抽取的两个数乘积为负数的结果有：（1，﹣3），（2，﹣3），（﹣3，1），（﹣3，2），（﹣3，4），（4，﹣3），共6种，∴抽取的两个数乘积为负数的概率为612=12， 故①不符合题意；∵由树状图可知，抽取的两个数乘积为正数的结果有：（1，2），（1，4），（2，1），（2，4），（4，1），（4，2），共6种，∴抽取的两个数乘积为正数的概率为612=12， 故②不符合题意；∵由树状图可知，抽取的两个数之和为负数的结果有：（1，﹣3），（2，﹣3），（﹣3，1），（﹣3，2），共4种，∴抽取的两个数之和为负数的概率为412=13， 故③符合题意；∵由树状图可知，抽取的两个数之和为正数的结果有：（1，2），（1，4），（2，1），（2，4），（﹣3，4），（4，1），（4，2），（4，﹣3），共8种，∴抽取的两个数之和为正数的概率为812=23，故④不符合题意．故答案为：③．22．某水果店过去20天苹果的日销售量（单位：kg）从小到大记录如下：40，42，44，45，46，48，52，52，53，54，55，56，57，58，59，61，63，64，65，66．（1）估计该水果店本月（按30天计算）的销售总量；（2）一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求，店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能在进货量上75%地满足顾客需求（即将100天的销售量从小到大排序后，进货量不小于第75个数据），则苹果的日进货量应为多少千克？解：（1）120×（40+42+44+45+46+48+52+52+53+54+55+56+57+58+59+61+63+64+65+66）×30=120×1080×30＝1620（kg），答：估计该水果店本月（按30天计算）的销售总量约1620kg；（2）∵20×75%＝15，样本中的数从小到大排列，排在第15个数是59，∴苹果的日进货量应为59千克．23．已知二次函数y＝x2+（a﹣2）x+3的图象经过点（2，3）．（1）求该二次函数的表达式；（2）当0＜x＜3时，y的取值范围为2≤y＜6；（3）已知点P（m﹣1，y1），点Q（m，y2）在该二次函数的图象上若y1＞y2，直接写出m的取值范围．解：（1）∵二次函数y＝x2+（a﹣2）x+3的图象经过点（2，3），∴4+2（a﹣2）+3＝3，解得a＝0，∴该二次函数的表达式为y＝x2﹣2x+3；（2）∵y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴当x＝1时，y的最小值为2，当x＝0时，y＝3，当x＝3时，y＝（3﹣1）2+2＝6，∴0＜x ＜3时，y 的取值范围为2≤y ＜6，故答案为：2≤y ＜6；（3）∵点P （m ﹣1，y 1），点Q （m ，y 2）且y 1＞y 2，对称轴为直线x ＝1，∴m−1+m 2＜1， 解得m ＜32，∴m 的取值范围为m ＜32．24．为测量建筑物DE 的高度，小明从建筑物AB 的A 处测得E 处的仰角为37°，C 处的俯角为22°，从C 处测得E 处的仰角为58°．已知B ，C ，D 在同一直线上，AB 高为6.8m ．求建筑物DE 的高度． （参考数据：tan37°≈34，tan22°≈25，tan58°≈85）解：过点A 作AF ⊥ED ，垂足为F ，由题意得：ED ⊥BD ，AB ＝FD ＝6.8m ，AF ＝BD ，AF ∥BD ，∴∠F AC ＝∠ACB ＝22°，在Rt △ABC 中，BC =AB tan22°≈6.825=17（m ）， 设CD ＝x m ， ∴AF ＝BD ＝BC +CD ＝（x +17）m ，在Rt △ECD 中，∠ECD ＝58°，∴ED ＝CD •tan58°≈85x （m ），在Rt △EAF 中，∠EAF ＝37°，∴EF ＝AF •tan37°≈34（x +17）m ，∵EF +DF ＝ED ，∴34（x +17）+6.8=85x ， 解得：x ＝23，∴DE =85x ＝36.8（m ），∴建筑物DE 的高度约为36.8m ．25．如图，一次函数y ＝kx +b 的图象分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ．（1）用“＞、＝、＜”号填空：k ＞ 0，b ＜ 0；（2）用直尺和圆规作出下列函数的图象（保留作图痕迹）①y ＝kx ﹣b ；②y ＝2kx +2b ；③y ＝﹣kx +2b ．解：（1）由函数图象可知，k ＞0，b ＜0，故答案为：＞，＜；（2）①在y 轴正半轴上截取OC ＝OB ，过点C 作直线l ∥AB ，则直线l 即为所求，如图所示：②在点B下方的y轴上，截取BD＝OB，连接AD，则直线AD即为所求，如图所示：③在x轴负半轴上，截取OE＝2OA，在点B下方的y轴上截取BF＝OB，连接EF，则直线EF即为所求，如图所示：26．过⊙O上一点A，可以用尺规按以下方法作出⊙O的切线：①另取⊙O上一点B，以B为圆心，AB为半径作圆，将⊙B与⊙O的另一个交点记为点C；②以A为圆心，AC为半径作弧，将⊙A与⊙B的另一个交点记为点D，作直线AD．直线AD即为⊙O的切线．如图，小明已经完成了作图步骤①．（1）用尺规完成作图步骤②；（2）连接AC，AB，BC，BD，求证：AB平分∠CAD；（3）求证：直线AD为⊙O的切线．（1）解：如图，直线AD 为所作；（2）证明：在△ABC 和△ABD 中， {AC =ADAB =AB BC =BD，∴△ABC ≌△ABD （SSS ），∴∠BAC ＝∠BAD ，∴AB 平分∠CAD ；（2）证明：连接OB 交AC 于E 点，如图， ∵AC 为⊙O 和⊙B 的公共弦，∴OB 垂直平分AC ，∴∠AEB ＝90°，∴∠ABE +∠BAE ＝90°，∵OB ＝OA ，∴∠ABE ＝∠BAO ，而∠BAE ＝∠BAD ，∴∠BAO +∠BAD ＝90°，即∠OAD ＝90°，∴OA ⊥AD ，∵OA 为⊙O 的半径，第21页（共21页） ∴AD 为⊙O 的切线．27．已知函数y ＝ax 3+bx 2+cx （a ，b ，c 为常数，且a ≠0）的图象是中心对称图形．用数学软件在相同的坐标系中得到以下函数的图象（图①～④），观察并思考…（1）函数y ＝ax 3+bx 2+cx 的图象如图⑤所示，指出常数a ，b ，c 的正负．（2）你同意“函数y ＝﹣x 3+2x 2的图象的对称中心的横坐标为1”吗？判断并说明理由．（3）已知ac ＜0，直接写出关于x 的不等式ax 3+x 2+cx ＞0的解集（用含a ，c 的式子表示）．解：（1）通过观察图象可得，y ＝ax 3+bx 2+cx 的图象如图⑤，则a ＜0，b ＞0，c ＞0；（2）不同意“函数y ＝﹣x 3+2x 2的图象的对称中心的横坐标为1”，理由如下：对任意实数m （m ＞0），当x ＝1+m 时，y 1＝﹣（1+m ）3+2（1+m ）2＝﹣m 3﹣m 2+m +1，当x ＝1﹣m 时，y 2＝﹣（1﹣m ）3+2（1﹣m ）2＝m 3﹣m 2﹣m +1，∴y 1+y 2＝﹣2m 2+2，若函数y ＝﹣x 3+2x 2图象的对称中心的横坐标为1，则y 1+y 2的值与m 无关，而﹣2m 2+2的值与m 有关，∴函数y ＝﹣x 3+2x 2的图象的对称中心的横坐标不是1；（3）令ax 3+x 2+cx ＝0，则x （ax 2+x +c ）＝0，∴x ＝0或ax 2+x +c ＝0，∵ac ＜0，∴ax 2+x +c ＝0的解为x 1=−1−√1−4ac 2a ，x 2=−1+√1−4ac 2a， ∴y ＝ax 3+x 2+cx 与x 轴交点横坐标分别是−1−√1−4ac 2a ，0和−1+√1−4ac 2a ，当a ＞0时，ax 3+x 2+cx ＞0（即y ＞0）的解集为−1−√1−4ac 2a ＜x ＜0或x ＞−1+√1−4ac 2a ； 当a ＜0时，ax 3+x 2+cx ＞0（即y ＞0）的解集为0＜x ＜−1−√1−4ac 2a 或x ＜−1+√1−4ac 2a．。

数学第二次调研考试试卷一、单选题1.下列图标，是轴对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【考点】轴对称图形【解析】【解答】解：根据定义可得D为轴对称图形，故答案为：D．【分析】根据轴对称图形是一定要沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，对各选项逐一判断。

2.如图，若A，B分别是实数a、b在数轴上对应的点，则下列式子的值一定是正数的是（）A.b＋aB.b－aC.a bD.【答案】B【考点】数轴及有理数在数轴上的表示，有理数的加法，有理数的减法，有理数的乘方，有理数的除法【解析】【解答】解：根据数轴可得：a+b＜0；b－a＞0；；计算时，如果b为偶数，则结果为正数，b为奇数时，结果为负数．故本题选B．【分析】观察数轴可得出b＞0，a＜0，再根据有理数的运算法则判断各选项的符号，即可求解。

3.关于代数式x＋2的结果，下列说法一定正确的是（）A.比2大B.比2小C.比x大D.比x小【答案】C【考点】有理数大小比较【解析】【解答】解：当x＜0时，则x+2比2小，则A不符合题意；当x＞0时，则x+2比2大，则B不符合题意；x取任何值时，x+2比x大，故答案为：C．【分析】分情况讨论：当x＜0时；当x＞0时；x取任何值时，就可得出答案。

4.如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(1，1)和点(3，0)．关于这个二次函数的描述：①a＜0，b＞0，c＜0；②当x＝2时，y的值等于1；③当x＞3时，y的值小于0．正确的是（）A.①②B.①③C.②③D.①②③【答案】B【考点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图像，二次函数y=a（x-h）^2+k的性质【解析】【解答】解：根据图像可得：a＜0，b＞0，c＜0，故正确；∵对称轴大于1.5，∴x=2时的值大于x=1的函数值，故错误；根据图像可得：当x＞3时，y的值小于0，故正确；故答案为：B．【分析】观察函数图像的开口方向、与y轴的交点情况、对称轴的位置，可对①作出判断；由对称轴的情况，可对②作出判断；观察图形，可得出当x＞3时，y的值小于0，综上所述，可得出答案。

江苏省南京市鼓楼区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）1．（2分）如果a与﹣3互为倒数，那么a是（）A．﹣3 B．C．3 D．2．（2分）下列运算正确的是（）A．a+a=a2B．a2•a=2a3C．a3÷a2=a D．（a2）3=a53．（2分）人体最小的细胞是血小板，5 000 000个血小板紧密排成一直线长约1m，则1个血小板的直径用科学记数法表示为（）A．5×106m B．5×107m C．2×10﹣7m D．2×10﹣6m4．（2分）已知反比例函y=的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1＜x2，那么y1、y2的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1=y2D．不能确定5．（2分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=32°．分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于点D和E，连接DE，交AB于点F，连接CF，则∠AFC的度数为（）A．60°B．62°C．64°D．65°6．（2分）已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段AP的长为y．表示y与x的函数关系的图象大致如图，则该封闭图形可能是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）函数y=1+中，自变量x的取值范围是．8．（2分）若关于x的方程x2﹣mx+6=0的一个根为x1=2，则另一个根x2=．9．（2分）请你写出一个满足不等式3x﹣1＜6的正整数x的值．10．（2分）等腰三角形的两边长分别为7和3，则这个等腰三角形的周长为．11．（2分）已知圆锥的高是3cm，母线长5cm，则圆锥的侧面积是cm2．（结果保留π）．12．（2分）王老师是一名快走锻炼爱好者，他用手机软件连续记录了某月16天每天快走锻炼的步数（单位：万步），并将记录的结果绘制成如图所示的条形统计图，则他每天所走步数的中位数是万步，众数是万步．13．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠E+∠F=80°，则∠A=°．14．（2分）已知二次函数y=x2+bx+c的图象的顶点坐标为（1，﹣4）．若坐标分别为（m，n）、（n，m）的两个不重合的点均在该二次函数的图象上，则m+n=．15．（2分）如图，等腰直角△ABC的中线AE、CF相交于点G，若斜边AB的长为4，则线段AG的长为．16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=2．点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAC=∠PCB，则线段BP长的最小值是．三、解答题（本大题共有11小题，共计88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解方程：．18．（6分）已知2a2+3a﹣6=0．求代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值．19．（7分）用一条长40cm的绳子能否围成一个面积为110cm2的矩形？如能，说明围法；如果不能，说明理由．20．（8分）初三（1）班要从、乙、丙、丁这4名同学中随机选取2名同学参加学校毕业生代表座谈会，求下列事件的概率．（1）已确定甲参加，另外1人恰好选中乙；（2）随机选取2名同学，恰好选中甲和乙．21．（9分）甲、乙两名同学进行射击训练，在相同条件下各射靶10次，成绩统计如下（单位：环）：甲：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7；乙：7，9，6，8，2，7，8，4，9，10．请你运用所学的统计知识做出分析，从三个不同的角度评价甲、乙两人的射击成绩．22．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，将△ABC沿直线AC翻折，点B 落在点B′处，且AB′∥BD，连接B′D．求证：（1）△ABO是等边三角形．（2）B′D∥AC．23．（7分）如图，在锐角△ABC中，BC=a，AC=b．探究与之间的关系．24．（9分）小亮和小刚进行赛跑训练，他们选择了一个土坡，按同一路线同时出发，从坡脚跑到坡顶再原路返回坡脚．他们俩上坡的平均速度不同，下坡的平均速度则是各自上坡平均速度的1.5倍．设两人出发x min后距出发点的距离为y m．图中折线段OBA表示小亮在整个训练中y与x的函数关系，其中点A在x轴上，点B坐标为（2，480）．（1）点B所表示的实际意义是；（2）求出AB所在直线的函数关系式；（3）如果小刚上坡平均速度是小亮上坡平均速度的一半，那么两人出发后多长时间第一次相遇？25．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O外一点，且∠CAB=90°，BD是⊙O的弦，BD∥CO．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若AB=4，AC=3，求BD的长．26．（10分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，n），若点A′（m，n′）的纵坐标满足n′=，则称点A′是点A的“绝对点”．（1）点（1，2）的“绝对点”的坐标为．（2）点P是函数y=的图象上的一点，点P′是点P的“绝对点”．若点P与点P′重合，求点P 的坐标．（3）点Q（a，b）的“绝对点”Q′是函数y=2x2的图象上的一点．当0≤a≤2 时，求线段QQ′的最大值．27．（10分）问题提出旋转是图形的一种变换方式，利用旋转来解决几何问题往往可以使解题过程更简单，起到事半功倍的效果．初步思考（1）如图①，点P是等边△ABC内部一点，且∠APC=150°，PA=3，PC=4．求PB的长．小敏在解答此题时，利用了“旋转法”进行证明，她的方法如下：如图②，将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△ADB，连接DP．（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．）推广运用（2）如图③，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC，点P是△ABC内部一点，且∠APC=120°，PA=，PB=5．求PC的长．江苏省南京市鼓楼区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置）1．（2分）如果a与﹣3互为倒数，那么a是（）A．﹣3 B．C．3 D．【解答】解：∵﹣3×（﹣）=1，∴a是﹣．故选B．2．（2分）下列运算正确的是（）A．a+a=a2B．a2•a=2a3C．a3÷a2=a D．（a2）3=a5【解答】解：A、a+a=2a，此选项错误；B、a2•a=a3，此选项错误；C、a3÷a2=a，此选项正确；D、（a2）3=a6，此选项错误．故选C．3．（2分）人体最小的细胞是血小板，5 000 000个血小板紧密排成一直线长约1m，则1个血小板的直径用科学记数法表示为（）A．5×106m B．5×107m C．2×10﹣7m D．2×10﹣6m【解答】解：1÷5000000=2×10﹣7．故选：C．4．（2分）已知反比例函y=的图象上有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），且x1＜x2，那么y1、y2的大小关系是（）A．y1＜y2B．y1＞y2C．y1=y2D．不能确定【解答】解：∵y=，∴在每个象限内，y随x的增大而减小，当x1＜x2＜0时，y1＞y2，当x1＜0＜x2时，y1＜y2，当0＜x1＜x2时，y1＞y2，故选D．5．（2分）如图，在△ABC中，∠AC B=90°，∠B=32°．分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于点D和E，连接DE，交AB于点F，连接CF，则∠AFC的度数为（）A．60°B．62° C．64°D．65°【解答】解：由作图可得：DE是AB的垂直平分线，∵∠ACB=90°，∴CF=FB，∵∠B=32°，∴∠BCF=32°，∴∠AFC=32°+32°=64°，故选：C．6．（2分）已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段AP的长为y．表示y与x的函数关系的图象大致如图，则该封闭图形可能是（）A．B．C．D．【解答】解：A、等边三角形，点P在开始与结束的两边上直线变化，在点A的对边上时，设等边三角形的边长为a，则y=（a＜x＜2a），符合题干图象；B、菱形，点P在开始与结束的两边上直线变化，在另两边上时，都是先变速减小，再变速增加，题干图象不符合；C、正方形，点P在开始与结束的两边上直线变化，在另两边上，先变速增加至∠A的对角顶点，再变速减小至另一顶点，题干图象不符合；D、圆，AP的长度，先变速增加至AP为直径，然后再变速减小至点P回到点A，题干图象不符合．故选：A．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．（2分）函数y=1+中，自变量x的取值范围是x≠1．【解答】解：根据题意得：1﹣x≠0，解得x≠1．故答案为x≠1．8．（2分）若关于x的方程x2﹣mx+6=0的一个根为x1=2，则另一个根x2=3．【解答】解：由根与系数的关系可知：x1•x2=6，∵x1=2，∴x2=3故答案为：39．（2分）请你写出一个满足不等式3x﹣1＜6的正整数x的值1．【解答】解：3x﹣1＜6，解得，x＜2，∴满足不等式3x﹣1＜6的正整数x的值是1或2，故答案为：1．10．（2分）等腰三角形的两边长分别为7和3，则这个等腰三角形的周长为17．【解答】解：当7为腰时，周长=7+7+3=17；当3为腰时，因为3+3＜7，所以不能构成三角形；故答案为：17．11．（2分）已知圆锥的高是3cm，母线长5cm，则圆锥的侧面积是20πcm2．（结果保留π）．【解答】解：∵圆锥的高是3cm，母线长5cm，∴勾股定理得圆锥的底面半径为4cm，∴圆锥的侧面积=π×4×5=20πcm2．故答案为：20π．12．（2分）王老师是一名快走锻炼爱好者，他用手机软件连续记录了某月16天每天快走锻炼的步数（单位：万步），并将记录的结果绘制成如图所示的条形统计图，则他每天所走步数的中位数是 1.1万步，众数是 1.2万步．【解答】解：每天所走步数的中位数是：（1+1.2）÷2=1.1，众数是1.2万步，故答案为：1.1；1.2．13．（2分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠E+∠F=80°，则∠A=50°．【解答】解：连结EF，如图，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A+∠BCD=180°，而∠BCD=∠ECF，∴∠A+∠ECF=180°，∵∠ECF+∠1+∠2=180°，∴∠1+∠2=∠A，∵∠A+∠AEF+∠AFE=180°，即∠A+∠AEB+∠1+∠2+∠AFD=180°，∴∠A+80°+∠A=180°，∴∠A=50°．故答案为：50．14．（2分）已知二次函数y=x2+bx+c的图象的顶点坐标为（1，﹣4）．若坐标分别为（m，n）、（n，m）的两个不重合的点均在该二次函数的图象上，则m+n=1．【解答】解：∵二次函数y=x2+bx+c图象的顶点坐标为（1，﹣4），∴该二次函数的顶点式为y=（x﹣1）2﹣4，即y=x2﹣2x﹣3，∵坐标分别为（m，n）、（n，m）的两个不重合的点均在二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象上，∴n=m2﹣2m﹣3①，m=n2﹣2n﹣3②，①﹣②，得n﹣m=（m2﹣2m﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3），整理，得m2﹣n2﹣m+n=0，∴（m﹣n）（m+n﹣1）=0，∵m≠n，∴m﹣n≠0，∴m+n=1；故答案为：1．15．（2分）如图，等腰直角△ABC的中线AE、CF相交于点G，若斜边AB的长为4，则线段AG的长为．【解答】解：∵∠ACB=90°，F是AB的中点，CA=CB，∴AF=AB=2，CF⊥AB，∵△ABC的中线AE，CF相交于点G，∴点G是△ABC的重心，∴GF=CF=×AB=，由勾股定理得，AG==，故答案是：．16．（2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=2．点P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAC=∠PCB，则线段BP长的最小值是1．【解答】解：∵∠ACB=90°，∴∠ACP+∠PBC=90°，∵∠PAC=∠PCB∴∠CAP+∠ACP=90°，∴∠APC=90°，∴点P在以AC为直径的⊙O上，连接OB交⊙O于点P，此时PB最小，在Rt△CBO中，∵∠OCB=90°，BC=2，OC=1.5，∴OB==2.5，∴PB=OB﹣OP=2.5﹣1.5=1．∴PB最小值为1．故答案为1．三、解答题（本大题共有11小题，共计88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（6分）解方程：．【解答】解：两边同时乘以x（x﹣1），得x2﹣2（x﹣1）=x（x﹣1），去括号，得x2﹣2x+2=x2﹣x，移项，得x2﹣x2﹣2x+x=﹣2，合并，得﹣x=﹣2，系数化为1，得x=2．检验：把x=2代入x（x﹣1）中，得x（x﹣1）=2（2﹣1）=2≠0．∴x=2是原方程的解．18．（6分）已知2a2+3a﹣6=0．求代数式3a（2a+1）﹣（2a+1）（2a﹣1）的值．【解答】解：∵2a2+3a﹣6=0，即2a2+3a=6，∴原式=6a2+3a﹣4a2+1=2a2+3a+1=6+1=7．19．（7分）用一条长40cm的绳子能否围成一个面积为110cm2的矩形？如能，说明围法；如果不能，说明理由．【解答】解：不能．理由：设矩形的长为xcm，则宽为（20﹣x）cm，当x（20﹣x）=110时x2﹣20x+110=0，△=b2﹣4ac=202﹣4×110=﹣40＜0，故此一元二次方程无实数根．则不能围成一个面积为110cm2的矩形．20．（8分）初三（1）班要从、乙、丙、丁这4名同学中随机选取2名同学参加学校毕业生代表座谈会，求下列事件的概率．（1）已确定甲参加，另外1人恰好选中乙；（2）随机选取2名同学，恰好选中甲和乙．【解答】解：（1）另外1人恰好选中副班长的概率是；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中恰好选中甲和乙的结果数为2，所以恰好选中甲和乙的概率==．21．（9分）甲、乙两名同学进行射击训练，在相同条件下各射靶10次，成绩统计如下（单位：环）：甲：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7；乙：7，9，6，8，2，7，8，4，9，10．请你运用所学的统计知识做出分析，从三个不同的角度评价甲、乙两人的射击成绩．【解答】解：=（9+5+7+8+7+6+8+6+7+7）=7（环），=（7+9+6+8+2+7+8+4+9+10）=7（环）．=（4+4+0+1+0+1+1+1+0+0）=1.2（环2）；=（0+4+1+1+25+0+1+9+4+9）=5.4（环2）．甲和乙的平均成绩相同，而甲比较稳定，乙具有更强的潜力．22．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，将△ABC沿直线AC翻折，点B 落在点B′处，且AB′∥BD，连接B′D．求证：（1）△ABO是等边三角形．（2）B′D∥AC．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，AO=OD，∴∠OAD=∠ADO，∵AB′∥BD，∴∠B′AD=∠ADB，∴∠B′AD=∠DA C，∵将△ABC沿直线AC翻折，点B落在点B′处，∴∠BAC=∠CAB′，∴∠DAC=BAC，∴∠BAC=60°，∵OA=OB，∴△ABO是等边三角形；（2）连接B′O，∵∠COD=∠AOB=60°，∠ACB′=∠ACB=30°，∴CB′⊥OD，∵CD=OC，∴B′C垂直平分OD，∴B′O=B′D，∵AO=CO，∠AB′C=90°，∴B′O=OC，∴∠OB′C=∠OCB′=30°，∴∠DB′C=∠OB′C=30°，∴∠OCB′=∠CB′D，∴B′D∥AC．23．（7分）如图，在锐角△ABC中，BC=a，AC=b．探究与之间的关系．【解答】解：如图，过点C作CH⊥AB，垂足为H．∴∠CHB=∠CHA=90°．在Rt△BCH中，sinA==，∴CH=b⋅sinA．同理可得CH=a⋅sinB．∴b⋅sinA=a⋅sinB．即=．24．（9分）小亮和小刚进行赛跑训练，他们选择了一个土坡，按同一路线同时出发，从坡脚跑到坡顶再原路返回坡脚．他们俩上坡的平均速度不同，下坡的平均速度则是各自上坡平均速度的1.5倍．设两人出发x min后距出发点的距离为y m．图中折线段OBA表示小亮在整个训练中y与x的函数关系，其中点A在x轴上，点B坐标为（2，480）．（1）点B所表示的实际意义是2min时，小亮到达距离出发点480m的坡顶开始下坡返回；（2）求出AB所在直线的函数关系式；（3）如果小刚上坡平均速度是小亮上坡平均速度的一半，那么两人出发后多长时间第一次相遇？【解答】解：（1）点B所表示的实际意义是：2min时，小亮到达距离出发点480m的坡顶开始下坡返回；（2）小亮上坡速度：480÷2=240m/min，下坡速度：240×1.5=360m/min，所以，下坡时间为480÷360=min，2+=min，所以，点A的坐标为（，0），设直线AB的解析式为y=kx+b，则，解得．所以，y=﹣360x+1200；（3）设两人出发后xmin相遇，∵小刚上坡平均速度是小亮上坡平均速度的一半，∴小刚的速度是240÷2=120m/min，第一次相遇时，小刚下坡，小亮上坡，由题意得，120x+360（x﹣2）=480，解得x=2.5．答：两人出发2.5min后第一次相遇．25．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O外一点，且∠CAB=90°，BD是⊙O的弦，BD∥CO．（1）求证：CD是⊙O的切线．（2）若AB=4，AC=3，求BD的长．【解答】解：（1）证明：如图，连接OD．∵BD∥CO，∴∠DBO=∠COA，∠ODB=∠COD．在☉O中，OB=OD，∴∠DBO=∠ODB．∴∠COA=∠COD．在△CAO和△CDO中，∴△CAO≌△CDO（SAS）．∴∠CDO=∠CAO=90°．即CD⊥OD．又∵OD是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．（2）解：如图，过点O作OE⊥BD，垂足为E．在⊙O中，OE⊥BD，∴BE=DE．在Rt△CAO中，OC==．∵∠COA=∠OBE，∠CAO=∠OEB，∴△OEB∽△CAO．∴=．∴=．∴BE=．∴BD=2BE=．26．（10分）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，n），若点A′（m，n′）的纵坐标满足n′=，则称点A′是点A的“绝对点”．（1）点（1，2）的“绝对点”的坐标为（1，1）．（2）点P是函数y=的图象上的一点，点P′是点P的“绝对点”．若点P与点P′重合，求点P 的坐标．（3）点Q（a，b）的“绝对点”Q′是函数y=2x2的图象上的一点．当0≤a≤2 时，求线段QQ′的最大值．【解答】解：（1）∵2＞1，∴点（1，2）的“绝对点”的纵坐标为2﹣1=1，则点（1，2）的“绝对点”的坐标为（1，1），故答案为：（1，1）．（2）设点P的坐标为（m，n）．当m≥n时，P′的坐标为（m，m﹣n）．若P与P′重合，则n=m﹣n，又mn=2．所以n=±1．即P的坐标为（2，1）或（﹣2，﹣1）．又（﹣2，﹣1）不符合题意，舍去，所以P的坐标为（2，1）．当m＜n时，P′的坐标为（m，n﹣m）．可得m=0，舍去．综上所述，点P的坐标为（2，1）．（3）当a≥b时，Q′的坐标为（a，a﹣b）．因为Q′是函数y=2x2的图象上一点，所以a﹣b=2a2．即b=a﹣2a 2．QQ′=|a﹣b﹣b|=|a﹣2（a﹣2a2）|=|4a2﹣a|，其函数图象如图所示：．由图象可知，当a=2时，QQ′的最大值为14．当a＜b时，Q′的坐标为（a，b﹣a）．QQ′=|b﹣b+a|=|a|．当a=2时，QQ′的最大值为2．综上所述，Q Q′的最大值为14或2．27．（10分）问题提出旋转是图形的一种变换方式，利用旋转来解决几何问题往往可以使解题过程更简单，起到事半功倍的效果．初步思考（1）如图①，点P是等边△ABC内部一点，且∠APC=150°，PA=3，PC=4．求PB的长．小敏在解答此题时，利用了“旋转法”进行证明，她的方法如下：如图②，将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△ADB，连接DP．（请你在下面的空白处完成小敏的证明过程．）推广运用（2）如图③，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=2AC，点P是△ABC内部一点，且∠APC=120°，PA=，PB=5．求PC的长．【解答】解：（1）如图2中，∵将△APC绕点A按顺时针方向旋转60°后得到△ADB．∴AD=AP=3，DB=PC=4，∠PAD=60°，∠ADB=∠APC=150°．∵AD=AP，∠PAD=60°，∴△ADP为等边三角形．∴PD=PA=3，∠ADP=60°．又∠ADB=150°，∴∠PDB=90°．在Rt△PDB中，PD=3，DB=4，∴BP===5，（2）如图，作∠CAD=∠BAP，使AD=AP．连接CD、PD．∵AB=2AC，AD=AP，∴==．又∠CAD=∠BAP，∴△ABP∽△ACD．∴CD=BP=2.5．_._在△PAD中，PA=，∠PAD=60°，AD=，易证∠APD=30°，∠PDA=90°（取PA中点K，连接DK，利用等边三角形的性质即可证明）∴PD=，∴∠DPC=120°﹣30°=90°在Rt △DPC中，PC===2．_._。

江苏省 中考数学试卷（ 考试时间120分钟 试卷总分150分 考试形式：闭卷 ）一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共计24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应的位置上） 1．如果收入50元记作＋50元，那么支出30元记作（▲）A ．＋30元B ．－30元C ．＋80元D ．－80元 2．下列运算正确的是 A ．x 2+ x 3= x 5 B ．x 4·x 2 = x 6 C ．x 6÷x 2= x 3 D ．( x 2)3 = x 8 3．下面四个几何体中，俯视图为四边形的是（▲）4．若式子x 3-在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（▲） A ．x≥3 B ．x≤3 C ．x ＞3 D ．x ＜35．对于反比例函数y = 1x，下列说法正确的是（▲）A ．图象经过点（1，-1）B ．图象位于第二、四象限C ．图象是中心对称图形D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大6．某公司10名职工的5月份工资统计如下，该公司10名职工5月份工资的众数和中位数分别是（▲）工资（元）2000 2200 2400 2600 人数（人）1 3 42 A ．2400元、2400元 B ．2400元、2300元 C ．2200元、2200元 D ．2200元、2300元 7．如图，直线a ∥b ，∠1=120°，∠2=40°，则∠3等于（▲）A ．600B ．700C ．800D ．9008．如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，0），则c b a +-的值为（ ▲ ）A 、0B 、－1C 、 1D 、 2 二、填空题 （本大题共有10小题，每空3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题．．卡相应位置．．．．．上） 9．在实数227，π， 0.333…中，无理数是 ▲ 。

2023年江苏省南京市鼓楼区中考数学二模试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上）1．下列四个数中，最大的是（）A．﹣1B．0C．1.4D．√22．计算a2•a4的结果是（）A．a8B．a4C．a6D．a23．计算√12−√3的结果是（）A．√9B．2C．2√3D．√34．已知A（2，0），B（0，2），下列四个点中与A、B在同一条直线上的是（）A．（1，2）B．（﹣1，3）C．（﹣2，﹣3）D．（3，﹣2）5．如图，在⊙O中，C是AB̂上一点，OA⊥OB，过点C作弦CD交OB于E，若OA＝DE，则∠C与∠AOC 满足的数量关系是（）A．∠C=13∠AOC B．∠C=12∠AOC C．∠C=23∠AOC D．∠C=34∠AOC6．小明、小红在微信里互相给对方发红包．小明先给小红发1元，小红给小明发回2元，小明再给小红发3元，小红又给小明发回4元……按照这个规律，两人一直互相发红包，直到小明给小红发了199元后，小红突然不发回了．若在整个过程中，两人都及时领取了对方的红包，则最终小红的收支情况是（）A．赚了99元B．赚了100元C．亏了99元D．亏了100元二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．式子√x−2有意义，则x的取值范围是．8．若两个相似多边形面积比为4：9，则它们的周长比是．9．一个多边形的每个外角都是45°，则这个多边形的边数为．10．方程1x+2=1x2−4的解是．11．淋巴细胞是人体内最小的白细胞，直径为6微米，即0.000006米，用科学记数法表示0.000006是 ．12．已知a 、b 是一元二次方程2x 2+3x ﹣4＝0的两个根，那么ab 2+a 2b 的值是 ．13．把如图①所示的正三棱锥沿其中的三条棱剪开后，形成的平面展开图为图②．若剪开的三条棱中有两条是AB 、AC ，则剪开的另一条棱是 （写出所有正确的答案）．14．如图，在▱ABCD 中，E 是线段AB 的中点，DE 交AC 于点F ，则AF AC= ．15．已知整式M ＝a 2﹣2a ，下列关于整式M 的值的结论： ①M 的值可能为4；②当a 为小于0的实数时，M 的值大于0； ③不存在这样的实数a ，使得M 的值小于﹣1． 其中所有正确结论的序号是 ．16．如图，⊙O 的半径为2，AB 是⊙O 的一条弦，以AB 为边作一个等边△ABC ，则OC 长的取值范围是 ．三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明 17．先化简，再求值：（2a +b ）2﹣（2a +b ）（2a ﹣b ），其中a ＝2，b ＝1． 18．解方程：x （x ﹣6）＝﹣4（x ﹣6）．19．如图，在△ABC 和△A 'B 'C '中，AB ＝A ′B ′，BC ＝B ′C ′，D 、D ′分别是BC 、B ′C ′的中点，且AD ＝A ′D ′．求证：△ABC ≌△A 'B 'C '．20．如图所示是某地区2018﹣2022年汽车进、出口量统计图．（1）与上一年相比，出口量增长率最高的年份是（）A.2019年B.2020年C.2021年D.2022年（2）根据图提供的信息，请写出两个不同于（1）的结论．21．如图是某城市地铁线路图的一部分，已知甲从A站上车，随机从B，C，D，E中的某站下车．（1）甲从C站下车的概率是；（2）若乙与甲乘坐同一趟地铁从A站上车，随机从B、C、D、E中的某一站下车，求甲、乙两人恰好从同一站下车的概率．22．如图，某住宅小区南，北两栋楼房直立在地面上，且高度相等．为了测量两楼的高度AE、BD和两楼之间的距离AD，小莉在南楼楼底地面A处测得北楼顶部B的仰角为31°，然后她来到南楼离地面12m 高的C处，此时测得B的仰角为20°．求两楼的高度和两楼之间的距离．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．）23．甲、乙两种商品的进价分别为55元/千克、15元/千克，每千克甲商品比乙商品售价多60元，售出甲商品20千克与售出乙商品60千克所获得的利润相等．（1）求甲、乙商品的售价；（2）某超市计划同时购进甲、乙两种商品共120千克，且购进甲商品的数量不大于乙商品数量的2倍．要使两种商品销售完后获得的总利润最大，应购进甲、乙两种商品各多少千克？24．如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，点E、F分别在射线AB、AD上，OE＝OF，且点C、E、F 在一条直线上，EF与⊙O相切于点C．（1）求证：矩形ABCD是正方形；（2）若OF＝10，则正方形ABCD的面积是．25．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+（k﹣2）x+3．（1）该抛物线经过一个定点：（写出坐标）；（2）点P（m，n）是抛物线上一点，当点P在抛物线上运动时，n存在最小值N．①若N＝3，求k的值；②若﹣1＜k＜3，结合该抛物线，直接写出N的取值范围．26．在学习矩形的判定时，王老师提出一个命题：“一组对边相等，一组对角相等且另外两个角中有一个直角的四边形是矩形”．小明和小丽都发现这个命题是假命题，并举出了反例．（1）小明：如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，把△ABC沿AB翻折，得到△ABD，再以D为圆心，DB长为半径作弧，交射线CB于点E，连接DE，过点A、E分别作AC、BC的垂线，交于点F．则四边形AFED是该命题的一个反例．请你说明此反例的合理性．（2）小丽：作出图②，在△ABC中，∠B＝90°，∠NMB＝∠A．她发现四边形ABMN已满足一组对角相等，一个角是直角，但无法保证MN恰好与AB相等，请你完善小丽的作法，并在图②的基础上用尺规作图作出符合要求的M′N′，使四边形ABM′N′是该命题的一个反例（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）．27．在平面内，将小棒AB经过适当的运动，使它调转方向（调转前后的小棒不一定在同一条直线上），那么小棒扫过区域的面积如何尽可能地小呢？已知小棒长度为4，宽度不计．方案1：将小棒绕AB中点O旋转180°到B'A'，设小棒扫过区域的面积为S1即图中灰色区域的面积，下同）；方案2：将小棒先绕A逆时针旋转60°到AC，再绕C逆时针旋转60°到CB，最后绕B逆时针旋转60°到B′A′，设小棒扫过区域的面积为S2．（1）①S1＝S2＝；（结果保留π）②比较S1与S2的大小．（参考数据：π≈3.14，√3≈1.73．）（2）方案2可优化为方案3：首次旋转后，将小棒先沿着小棒所在的直线平移再分别进行第2、3次旋转，三次旋转扫过的面积会重叠更多，最终小棒扫过的区域是一个等边三角形．①补全方案3的示意图；②设方案3中小棒扫过区域的面积为S3，求S3．（3）设计方案4，使小棒扫过区域的面积S4小于S3，画出示意图并说明理由．2023年江苏省南京市鼓楼区中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上） 1．下列四个数中，最大的是（ ） A ．﹣1B ．0C ．1.4D ．√2解：A 、﹣1为负数，小于选项C 、D 中的正数，故A 选项不符合题意； B 、0小于选项C 、D 中的正数，故B 选项不符合题意；C 、比较1.4和√2的大小，计算1.42＝1.96＜2，所以1.4＜√2，故C 选项不符合题意； C 、比较1.4和√2的大小，计算1.42＝1.96＜2，所以1.4＜√2，故D 选项符合题意； 故选：D ．2．计算a 2•a 4的结果是（ ） A ．a 8B ．a 4C ．a 6D ．a 2解：a 2•a 4＝a 2+4＝a 6． 故选：C ．3．计算√12−√3的结果是（ ） A ．√9B ．2C ．2√3D ．√3解：√12−√3=2√3−√3=√3． 故选：D ．4．已知A （2，0），B （0，2），下列四个点中与A 、B 在同一条直线上的是（ ） A ．（1，2）B ．（﹣1，3）C ．（﹣2，﹣3）D ．（3，﹣2）解：设AB ：y ＝kx +b ，把A （2，0），B （0，2）代入关系式得， {0=2k +b 2=b ， ∴{k =−1b =2， ∴y ＝﹣x +2，把x ＝1代入关系式得，y ＝1，故A 不满足题意； 把x ＝﹣1代入关系式得，y ＝3，故B 满足题意； 把x ＝﹣2代入关系式得，y ＝4，故C 不满足题意； 把x ＝3代入关系式得，y ＝﹣1，故D 不满足题意；故选：B ．5．如图，在⊙O 中，C 是AB ̂上一点，OA ⊥OB ，过点C 作弦CD 交OB 于E ，若OA ＝DE ，则∠C 与∠AOC 满足的数量关系是（ ）A ．∠C =13∠AOC B ．∠C =12∠AOCC ．∠C =23∠AOCD ．∠C =34∠AOC解：连接OD ，∵OA ⊥OB ， ∴∠BOA ＝90°，∴∠BOC ＝∠AOB ﹣∠AOC ＝90°﹣∠AOC ， ∵OD ＝OC ， ∴∠D ＝∠C ，∵OD ＝OA ，OA ＝DE ， ∴OD ＝DE ， ∴∠DEO ＝∠DOE =180°−∠D 2=180°−∠C2， ∵∠DEO 是△EOC 的一个外角， ∴∠DEO ＝∠C +∠BOC ， ∴180°−∠C2=∠C +90°﹣∠AOC ，∴3∠C ＝2∠AOC ， ∴∠C =23∠AOC ， 故选：C ．6．小明、小红在微信里互相给对方发红包．小明先给小红发1元，小红给小明发回2元，小明再给小红发3元，小红又给小明发回4元……按照这个规律，两人一直互相发红包，直到小明给小红发了199元后，小红突然不发回了．若在整个过程中，两人都及时领取了对方的红包，则最终小红的收支情况是（）A．赚了99元B．赚了100元C．亏了99元D．亏了100元解：1﹣2+3﹣4+5﹣6+...+197﹣198+199＝（﹣1）×1982+199＝（﹣1）×99+199＝（﹣99）+199＝100（元），则小红赚了100元，故选：B．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．式子√x−2有意义，则x的取值范围是x≥2．解：由题意得，x﹣2≥0，解得x≥2．故答案为：x≥2．8．若两个相似多边形面积比为4：9，则它们的周长比是2：3．解：∵两个相似多边形面积比为4：9，∴两个相似多边形相似比为2：3，∴两个相似多边形周长比为2：3，故答案为：2：3．9．一个多边形的每个外角都是45°，则这个多边形的边数为8．解：多边形的外角的个数是360÷45＝8，所以多边形的边数是8．故答案为：8．10．方程1x+2=1x2−4的解是x＝3．解：1x+2=1x2−4，方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得x﹣2＝1，解得：x＝3，检验：当x＝3时，（x+2）（x﹣2）≠0，所以分式方程的解是x＝3．故答案为：x＝3．11．淋巴细胞是人体内最小的白细胞，直径为6微米，即0.000006米，用科学记数法表示0.000006是6×10﹣6．解：将数0.000006用科学记数法表示正确的是6×10﹣6．故答案为：6×10﹣6．12．已知a 、b 是一元二次方程2x 2+3x ﹣4＝0的两个根，那么ab 2+a 2b 的值是 3 ． 解：∵a 、b 是一元二次方程2x 2+3x ﹣4＝0的两个根， ∴a +b =−32，ab ＝﹣2，∴ab 2+a 2b ＝ab （a +b ）＝﹣2×（−32）＝3， 故答案为：3．13．把如图①所示的正三棱锥沿其中的三条棱剪开后，形成的平面展开图为图②．若剪开的三条棱中有两条是AB 、AC ，则剪开的另一条棱是 BD 或CD （写出所有正确的答案）．解：把如图①所示的正三棱锥沿其中的三条棱剪开后，形成的平面展开图为图②．若剪开的三条棱中有两条是AB 、AC ，则剪开的另一条棱是BD 或CD ． 故答案为：BD 或CD ．14．如图，在▱ABCD 中，E 是线段AB 的中点，DE 交AC 于点F ，则AF AC=13．解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴∠CDE ＝∠AED ，∠DCA ＝∠CAB ， ∴△AEF ∽△CDF ， ∴AF CF=AE CD，∵E 是AB 的中点， ∴AE =12AB ， ∴AE =12CD ，∴AE CD =AF CF =12， ∴AF AC =13．故答案为：13．15．已知整式M ＝a 2﹣2a ，下列关于整式M 的值的结论：①M 的值可能为4；②当a 为小于0的实数时，M 的值大于0；③不存在这样的实数a ，使得M 的值小于﹣1．其中所有正确结论的序号是 ①②③ ．解：①当M ＝4时，a 2﹣2a ＝4，整理得：a 2﹣2a ﹣4＝0，∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣4）＝4+16＝20＞0，∴此方程有两个不相等的实数根，∴M 的值可能为4，故①正确；②M ＝a 2﹣2a ＝a （a ﹣2），∵a ＜0，∴a ﹣2＜0，∴a （a ﹣2）＞0，∴M ＞0，∴当a 为小于0的实数时，M 的值大于0，故②正确； ③M ＝a 2﹣2a ＝a 2﹣2a +1﹣1＝（a ﹣1）2﹣1，∵（a ﹣1）2≥0，∴（a ﹣1）2﹣1≥﹣1，∴M ≥﹣1，∴不存在这样的实数a ，使得M 的值小于﹣1， 故③正确；所以，上列关于整式M 的值的结论，其中所有正确结论的序号是①②③，故答案为：①②③．16．如图，⊙O 的半径为2，AB 是⊙O 的一条弦，以AB 为边作一个等边△ABC ，则OC 长的取值范围是 0≤OC ≤4 ．解：AB 为弦、△ABC 是等边角形，当△ABC 是等边角形，且C 恰好在圆的内部，C 与O 重合，此时OC 最小为0，当C 在圆的外部，如下图：连接：AO 、OC 、OB ，在OC下方作等边三角形OCD，则OC＝OD＝CD，∠OCD＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴CA＝CB，∠ACB＝60°，∴∠ACB＝∠OCD，∴∠ACO＝∠BCD，∴△CAO≌△CBD（SAS），∴BD＝OA＝2，∵OD最大是4，OD＝OC，∴0≤OC≤4，故答案为：0≤OC≤4，三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明17．先化简，再求值：（2a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b），其中a＝2，b＝1．解：（2a+b）2﹣（2a+b）（2a﹣b）＝4a2+4ab+b2﹣4a2+b2＝4ab+2b2，当a＝2，b＝1时，原式＝4×2×1+2×12＝10．18．解方程：x（x﹣6）＝﹣4（x﹣6）．解：x（x﹣6）＝﹣4（x﹣6），x（x﹣6）+4（x﹣6）＝0，（x﹣6）（x+4）＝0，∴x﹣6＝0或x+4＝0∴x1＝6，x2＝﹣4．19．如图，在△ABC和△A'B'C'中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，D、D′分别是BC、B′C′的中点，且AD＝A′D′．求证：△ABC≌△A'B'C'．证明：∵AD ，A 'D '分别是△ABC 和△A 'B 'C '的中线，BC ＝B 'C '，∴BD ＝B 'D '，在△ABD 和△A 'B 'D '中，{AB =A ′B ′BD =B′D′AD =A′D′，∴△ABD ≌△A 'B 'D '（SSS ），∴∠B ＝∠B '，在△ABC 和△A 'B 'C '中，{AB =A ′B ′∠B =∠B′BC =B′C′，∴△ABC ≌△A 'B 'C '（SAS ）．20．如图所示是某地区2018﹣2022年汽车进、出口量统计图．（1）与上一年相比，出口量增长率最高的年份是（ A ）A .2019年B .2020年C .2021年（2）根据图提供的信息，请写出两个不同于（1）的结论．解：（1）由统计图可知，与上一年相比，出口量增长率最高的年份是2019年，其增长为60%， 故答案为：A ；（2）由统计图可知，①2018年和2019年出口量比进口量低；②每年的出口量呈现上升趋势．21．如图是某城市地铁线路图的一部分，已知甲从A 站上车，随机从B ，C ，D ，E 中的某站下车．（1）甲从C 站下车的概率是 14 ；（2）若乙与甲乘坐同一趟地铁从A 站上车，随机从B 、C 、D 、E 中的某一站下车，求甲、乙两人 恰好从同一站下车的概率．解：（1）甲从C 出口出站的概率为14； 故答案为：14． （2）画树状图如下：共有16种等可能的结果，甲、乙两人从同一个出口出站的结果有4种，∴甲、乙两人恰好从同一站下车的概率为416=14． 22．如图，某住宅小区南，北两栋楼房直立在地面上，且高度相等．为了测量两楼的高度AE 、BD 和两楼之间的距离AD ，小莉在南楼楼底地面A 处测得北楼顶部B 的仰角为31°，然后她来到南楼离地面12m 高的C 处，此时测得B 的仰角为20°．求两楼的高度和两楼之间的距离．（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60．）解：过点C 作CF ⊥BD ，垂足为F ，由题意得：AC ＝DF ＝12m ，CF ＝AD ，设AD ＝CF ＝x m ，在Rt △ABD 中，∠BAD ＝31°，∴BD ＝AD •tan31°≈0.6x （m ），在Rt △CFB 中，∠BCF ＝20°，∴BF ＝CF •tan20°≈0.36x （m ），∴BD ＝BF +DF ＝（0.36x +12）m ，∴0.6x ＝0.36x +12，解得：x ＝50，∴AD ＝50m ，BD ＝30m ，∴两楼的高度约为30m ，两楼之间的距离约为50m ．23．甲、乙两种商品的进价分别为55元/千克、15元/千克，每千克甲商品比乙商品售价多60元，售出甲商品20千克与售出乙商品60千克所获得的利润相等．（1）求甲、乙商品的售价；（2）某超市计划同时购进甲、乙两种商品共120千克，且购进甲商品的数量不大于乙商品数量的2倍．要使两种商品销售完后获得的总利润最大，应购进甲、乙两种商品各多少千克？解：（1）设甲商品的售价是x 元/千克，乙商品的售价是y 元/千克，根据题意得：{x −y =6020(x −55)=60(y −15)， 解得：{x =85y =25． 答：甲商品的售价是85元/千克，乙商品的售价是25元/千克；（2）设购进甲商品m 千克，则购进乙商品（120﹣m ）千克，根据题意得：m ≤2（120﹣m ），解得：m ≤80．设购进的两种商品销售完后获得的总利润为w 元，则w ＝（85﹣55）m +（25﹣15）（120﹣m ），即w＝20m+1200，∵20＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝80时，w取得最大值，此时120﹣m＝120﹣80＝40．答：要使两种商品销售完后获得的总利润最大，应购进甲商品80千克，乙商品40千克．24．如图，四边形ABCD是⊙O的内接矩形，点E、F分别在射线AB、AD上，OE＝OF，且点C、E、F 在一条直线上，EF与⊙O相切于点C．（1）求证：矩形ABCD是正方形；（2）若OF＝10，则正方形ABCD的面积是40．（1）证明：如图，连接AC，∵四边形ABCD是⊙O的内接矩形，∴AC是⊙O的直径，∵EF与⊙O相切于点C，∴AC⊥EF，∵OE＝OF，∴CF＝CE，∠FOC＝∠EOC，∴∠AOF＝∠AOE，∵OA＝OA，∴△AOF≌△AOE（SAS），∴AF＝AE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠F AE＝90°，∴AC=12EF＝CF＝CE，∴∠CAE＝45°，∵∠ABC＝90°，∴∠ACB＝45°，∴AB＝CB，∴矩形ABCD是正方形；（2）解：∵OC=12AC，AC＝CF，∴CF＝2OC，∵OF＝10，OF2＝OC2+CF2，∴102＝OC2+4OC2，∴OC＝2√5，∴AB=√2OC＝2√10，∴AB2＝40，∴正方形ABCD的面积是40．故答案为：40．25．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+（k﹣2）x+3．（1）该抛物线经过一个定点：（0，3）（写出坐标）；（2）点P（m，n）是抛物线上一点，当点P在抛物线上运动时，n存在最小值N．①若N＝3，求k的值；②若﹣1＜k＜3，结合该抛物线，直接写出N的取值范围．（1）解：∵y＝x2+（k﹣2）x+3，∴y＝x（x+k﹣2）+3，∴当x＝0时，y＝3，∴无论k取何值，抛物线经过（0，3）．故答案为：（0，3）．（2）①∵y＝x2+（k﹣2）x+3，a＝1＞0，∴二次函数的图象是开口向上的，点P为顶点时的n最小，∵N＝3，∴4×3−(k−2)24=3，解得k ＝2，答：k 的值为2．②∵﹣1＜k ＜3，∴0≤（k ﹣2）2＜9，∴﹣9＜﹣（k ﹣2）2≤0，∵N =4×3−(k−2)24≤3， ∴34＜N ≤3． 答：N 的取值范围为34＜N ≤3． 26．在学习矩形的判定时，王老师提出一个命题：“一组对边相等，一组对角相等且另外两个角中有一个直角的四边形是矩形”．小明和小丽都发现这个命题是假命题，并举出了反例．（1）小明：如图①，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，把△ABC 沿AB 翻折，得到△ABD ，再以D 为圆心，DB 长为半径作弧，交射线CB 于点E ，连接DE ，过点A 、E 分别作AC 、BC 的垂线，交于点F ．则四边形AFED 是该命题的一个反例．请你说明此反例的合理性．（2）小丽：作出图②，在△ABC 中，∠B ＝90°，∠NMB ＝∠A ．她发现四边形ABMN 已满足一组对角相等，一个角是直角，但无法保证MN 恰好与AB 相等，请你完善小丽的作法，并在图②的基础上用尺规作图作出符合要求的M ′N ′，使四边形ABM ′N ′是该命题的一个反例（保留作图的痕迹，写出必要的文字说明）．解：（1）∵△ABD 由Rt △ABC 翻折得到，∴AC ＝AD ，∠C ＝∠ADB ＝90°，∵EF ⊥CE ，AC ⊥AF ，∴四边形ACEF是矩形，∴AC＝EF，∴AD＝EF，在四边形ACBD中，∠DAC＝180°﹣∠DBC，∠DBE＝180°﹣∠DBC，∴∠DAE＝∠DBE，∵BD＝DE，∴∠DBE＝∠DEB，∴∠DAC＝∠DEB，∵∠F AD＝90°﹣∠DAC，∠FED＝90°﹣∠DEB，∴∠F AD＝∠FED＜90°，∴四边形ADEF满足一组对边相等，一组对角相等且另外两个角中有一个直角的四边形，但是它不是矩形；（2）如图所示，①在射线MN上截取MD＝AB；②作DN′∥BC，交AC于点N′；③在BC上截取MM＝DN′，连接MN′，四边形ABM′N′即为所求．27．在平面内，将小棒AB经过适当的运动，使它调转方向（调转前后的小棒不一定在同一条直线上），那么小棒扫过区域的面积如何尽可能地小呢？已知小棒长度为4，宽度不计．方案1：将小棒绕AB中点O旋转180°到B'A'，设小棒扫过区域的面积为S1即图中灰色区域的面积，下同）；方案2：将小棒先绕A逆时针旋转60°到AC，再绕C逆时针旋转60°到CB，最后绕B逆时针旋转60°到B′A′，设小棒扫过区域的面积为S2．（1）①S1＝4πS2＝8π﹣8√3；（结果保留π）②比较S1与S2的大小．（参考数据：π≈3.14，√3≈1.73．）（2）方案2可优化为方案3：首次旋转后，将小棒先沿着小棒所在的直线平移再分别进行第2、3次旋转，三次旋转扫过的面积会重叠更多，最终小棒扫过的区域是一个等边三角形．①补全方案3的示意图；②设方案3中小棒扫过区域的面积为S3，求S3．（3）设计方案4，使小棒扫过区域的面积S4小于S3，画出示意图并说明理由．解：（1）①方案1：∵将小棒绕AB中点O旋转180°到B'A'，∴小棒扫过区域是以AB为直径的圆，∴S1＝π×22＝4π，方案2：∵扇形ABC的面积=60×π×16360=83π，∴S2＝3×83π−√34×16×2＝8π﹣8√3，故答案为：4π；8π﹣8√3；②∵S1＝4π＝4×3.14＝12.56，S2＝8×3.14﹣8×1.73＝11.28，且12.56＞11.28，∴S1＞S2；（2）①依题意补全方案3的示意图如下：②连接EM，M为切点，则M为AA'的中点，EM＝4，第21页（共21页）设AM ＝x ，则AE ＝2x ，由勾股定理得：AM 2+EM 2＝AE 2，即：x 2+42＝4x 2，解得：x =4√33， ∴AA '＝AE ＝2x =8√33，∴S 3=12AA '•EM =12×8√33×4=16√33． （3）设计方案4：如图，△ABC 是等边三角形，首先让点B 在BC 上运动，点A 在CB 的延长线上运动，使得AB 的长度保持不变，当点B 运动到点C 时，由此AB 边调转到AC （ A 'B '）边，接着两次同样的方式旋转到BC （ A 'B '）边和AB （ B 'A '）边，最终小棒扫过的区域是如图所示．对于第一次旋转，当旋转AB 旋转到DH 时，此时DH ⊥BC ，又作DE ∥AB ，则S △CDE ＝S 3＝S △ABC +S 梯形ABED ，依题意得：扫过的区域比等边三角形ABC 多三块全等的图形，记每块面积为a ，则有a ＜S △ADF ，F 为AB 的中点，∵S △ADF ＜S △GDF ，∴S △ADF ＜12S 四边形GDAF =14S 梯形ABED ，∴a ＜S △ADF ＜14S 梯形ABED ，∴S 4＝S △ABC +3a ＜S △ABC +34S 梯形ABED ＜S △ABC +S 梯形ABED ＝S 3．。

2021年江苏省南京市鼓楼区中考数学二模试卷一、选择题（共6小题）.1．比﹣3小2的数是（）A．﹣5B．﹣1C．1D．52．下列计算中，结果正确的是（）A．＝3B．＝2C．＝D．＝﹣3．如果一个正多边形的每一个外角都是36°，那么这个多边形的边数是（）A．10B．11C．12D．134．在平面直角坐标系中，将一次函数y＝2x+1的图象向左平移1个单位长度，得到的图象对应的函数表达式是（）A．y＝2x+2B．y＝2x+3C．y＝2x D．y＝2x﹣15．正比例函数y1＝k1x和反比例函数y2＝的图象如图所示，交点A的坐标是（1，4），那么当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．x＞1B．x＜1C．﹣1＜x＜1D．﹣1＜x＜0或x＞16．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4，点P从C点出发，沿CB运动到点B停止，过点B作射线AP的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为（）A．B．2C．D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上)7．2020年7月，南京市统计局公布了鼓楼区的常住人口约为107万人，用科学记数法表示107万人是人．8．如果反比例函数y＝的图象经过点（﹣3，2），那么也经过点（﹣2，）．9．若8的平方根和立方根分别是a和b，则ab＝．10．若a2﹣a﹣1＝0，则代数式a（a﹣1）（a+1）﹣a的值是．11．式子在实数范围内有意义，则x的范围是．12．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，顺次连接AB、BC、CD、DA的中点得到四边形EFGH，那么四边形EFGH的面积为．13．若一组数据2，3，4，5，x的方差是2，那么x的值为．14．将一副三角板如图摆放，则∠1＝°．15．如图是四个全等的正八边形和一个正方形拼成的图案，已知正方形的面积为4，则一个正八边形的面积为．16．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM＝°．三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解不等式组，并写出它的整数解．18．某同学解方程﹣2＝，过程如下：第一步：整理，得﹣2＝，第二步：…．（1）请你说明第一步变化过程的依据是：；（2）请把以上解方程的过程补充完整．19．某新冠疫苗接种点有4个完全相同的冷藏箱用来储存疫苗，同一冷藏箱里的疫苗都来自同一厂家，其中有两箱储存A厂家的疫苗，另两箱分别储存B厂家和C厂家的疫苗．（1）如果从中随机拿出两个箱子，送往1号和2号接种台，求拿出的两个冷藏箱里有A 厂家疫苗的概率；（2）如果将4个箱子随机送往4个接种台，每个接种台接受一个箱子，那么1号台恰好到A厂家疫苗的概率是．20．某学校七、八、九年级分别有1000、1200和1400名学生，为了了解学生对校服的满意度，随机抽取七、八年级各100名学生，九年级200名学生，进行综合评价（打分为整数，满分100分），下面给出了一些信息．信息一：七年级打分成绩的频数分布表：分组50≤x＜6060≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x＜100人数616182832信息二：七年级学生打分在80≤x＜90这一组的分数统计表：分数80818283848586878889人数2310226273信息三：九年级学生打分的统计表：分数6263646667686971727374767778人数12123144391133分数8081828384868889909293959698人数5179152018161220104556信息四：三个年级打分成绩的平均数、中位数、众数如表：年级平均数中位数众数七年级82a88八年级8684.586九年级84b c （1）表中a＝；b＝；c＝；（2）此次调查中，满意度较高的是哪一个年级，请说明理由；（3）如果全校3600名学生全部参与打分，你估计打分在85分以上（含85分）的约有多少人？21．已知△ABC，AB＝AC．按下列要求用直尺和圆规作图．（保留作图痕迹，不写作法）（1）在图①中求作一点P，使∠BPC＝∠BAC，且A、P在直线BC异侧；（2）在图②中求作一点P，使∠BPC＝∠BAC，且A、P在直线BC同侧．22．小明写完作业后到图书馆找妈妈一起看书．小明从家出发，走了一段路程后突然发现钥匙与图书证忘带，立即打电话给妈妈（打电话时间忽略不计）．妈妈立即骑车从图书馆出发，回家取相关证件并停留片刻后按原速度原路返回．两人距图书馆的路程y（米）与妈妈出发的时间x（分钟）之间的函数关系如图所示．（注：小明和妈妈始终沿同一条直道行进）（1）小明的速度是米/分，妈妈在家停留了分钟．（2）当x为何值时，两人相距2100m．23．如图①，AB、CD是两座垂直于同一水平地面且高度不同的铁塔．小明和小丽为了测量两座铁塔的高度，从地面上的点E处测得铁塔顶端A的仰角为39°，铁塔顶端C的仰角为27°，沿着EB向前走20米到达点F处，测得铁塔顶端A的仰角为53°．已知∠ABE ＝∠CDE＝90°，点E、B、D构成的△EBD中，∠EBD＝90°．（1）图②是图①中的一部分，求铁塔AB的高度；（2）小明说，在点E处只要再测量一个角，通过计算即可求出铁塔CD的高度，那么可以测量的角是，若将这个角记为α，则铁塔CD的高度是；（用含α的式子表示）（3）小丽说，除了在点E处测量角的度数外，还可以在点F处再测量一条线段的长度，通过计算也可求出铁塔CD的高度，那么可以测量的线段是．（请写出两个不同的答案，可用文字描述）（参考数据：sin39°，cos39°，tan39°，sin27°，cos27°≈，tan27°，sin53，cos53°≈，tan53°≈）24．已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）＝m+1（m为常数）．（1）若它的一个实数根是方程2（x﹣1）﹣4＝0的根，则m＝，方程的另一个根为；（2）若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣m）﹣4＝0的根，求m的值；（3）若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣n）﹣4＝0的根，求m+n的最小值．25．已知二次函数y＝﹣mx2﹣4mx﹣4m+4（m为常数，且m＞0）．（1）求二次函数的顶点坐标；（2）设该二次函数图象上两点A（a，y a）、B（a+2，y b），点A和点B间（含点A，B）的图象上有一点C，将点C纵坐标的最大值和最小值的差记为h．①当m＝1时，若点A和点B关于二次函数对称轴对称，求h的值；②若存在点A和点B使得h的值是4，则m的取值范围是．26．如图①，A是⊙O外一点，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，过点B 作BD∥AC，交⊙O于点D，连接DO，并延长DO交⊙O于点E，连接AE．已知BD＝2，⊙O的半径为3．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）求AE的长；（3）如图②，若点M是⊙O上一点，且BM＝3，过A作AN∥BM，交弧ME于点N，连接ME，交AN于点G，连接OG，则OG的长度是．27．学完“探索三角形相似的条件”之后，小明所在的学习小组尝试探索四边形相的条件，以下是他们的思考，请你和他们一起完成探究过程．【定义】四边成比例，且四角分别相等的两个四边形叫做相似四边形．【初步思考】（1）小明根据探索三角形相似的条件所获得的经验，考虑可以从定义出发逐步弱化条件探究四边形相似的条件，他考虑到“四角分别相等的两个四边形相似”可以举出反例“矩形”，“四边成比例的两个四边形相似”可以举出反例．所以四边形相似的条件必须再添加条件，于是，可以从“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”，“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”来探究．（2）学习小组一致认为，“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”是真命题，请结合图形完成证明．已知：四边形ABCD和四边形A′B′C′D′中，＝＝＝，∠A＝∠A′．求证：四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′．（3）对于“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，学习小组得到如下的四个命题：①“三边成比例，两邻角分别相等且只有一角为其中两边的夹角的两个四边形相似”；②“三边成比例，两邻角分别相等且都不是其中两边的夹角的两个四边形相似”；③“三边成比例及其两夹角分别相等的两个四边形相似”；④“三边成比例，两对角分别相等的两个四边形相似”．其中真命题是．（填写所有真命题的序号）（4）请你完成“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”的探究过程．参考答案一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．比﹣3小2的数是（）A．﹣5B．﹣1C．1D．5解：﹣3﹣2＝﹣3+（﹣2）＝﹣5．故选：A．2．下列计算中，结果正确的是（）A．＝3B．＝2C．＝D．＝﹣解：A、原式＝＝3，所以A选项计算错误；B、与不能合并，所以B选项计算错误；C、原式＝＝＝，所以C选项的计算正确；D、与不能合并，所以D选项的计算错误．故选：C．3．如果一个正多边形的每一个外角都是36°，那么这个多边形的边数是（）A．10B．11C．12D．13解：∵一个多边形的每个外角都是36°，∴n＝360°÷36°＝10，故选：A．4．在平面直角坐标系中，将一次函数y＝2x+1的图象向左平移1个单位长度，得到的图象对应的函数表达式是（）A．y＝2x+2B．y＝2x+3C．y＝2x D．y＝2x﹣1解：由“左加右减”的原则可知，将一次函数y＝2x+1的图象向左平移1个单位，所得图象的解析式为y＝2（x+1）+1，即y＝2x+3．故选：B．5．正比例函数y1＝k1x和反比例函数y2＝的图象如图所示，交点A的坐标是（1，4），那么当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．x＞1B．x＜1C．﹣1＜x＜1D．﹣1＜x＜0或x＞1解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，点A的坐标是（1，4），∴交点B的坐标为（﹣1，﹣4）．观察函数图象发现：当﹣1＜x＜0或x＞1时，正比例函数图象在反比例函数图象的上方，∴当y1＞y2时，x的取值范围是﹣1＜x＜0或x＞1．故选：D．6．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝4，点P从C点出发，沿CB运动到点B停止，过点B作射线AP的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为（）A．B．2C．D．解：∵AQ⊥BQ，∴点Q在以AB为直径的⊙O上运动，运动路径为，连接OC，∵∠ACB＝90°，OA＝OB，∴CO＝OA＝2，∴∠COB＝2∠CAB＝60°，∴的长为，故选：D．二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上)7．2020年7月，南京市统计局公布了鼓楼区的常住人口约为107万人，用科学记数法表示107万人是 1.07×106人．解：107万＝1070000＝1.07×106．故答案为：1.07×106．8．如果反比例函数y＝的图象经过点（﹣3，2），那么也经过点（﹣2，3）．解：将（﹣3，2）代入反比例函数y＝得：k＝﹣6．∴反比例函数解析式为：y＝﹣．当x＝﹣2时，y＝3．∴反比例函数也经过点（﹣2，3）．故答案为：3．9．若8的平方根和立方根分别是a和b，则ab＝．解：8的平方根：．8的立方根：．故ab＝．故答案为：．10．若a2﹣a﹣1＝0，则代数式a（a﹣1）（a+1）﹣a的值是1．解：原式＝a（a2﹣1）﹣a＝a3﹣a﹣a＝a•a2﹣2a，∵a2﹣a﹣1＝0，∴a2＝a+1，a2﹣a＝1，∴原式＝a（a+1）﹣2a＝a2﹣a＝1．故答案为：1．11．式子在实数范围内有意义，则x的范围是x≥1且x≠2．解：∵式子在实数范围内有意义，∴，解得x≥1且x≠2．故答案为：x≥1且x≠2．12．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，顺次连接AB、BC、CD、DA的中点得到四边形EFGH，那么四边形EFGH的面积为24．解：连接HF、EG，∵矩形ABCD，∴BC∥AD，BC＝AD，∵H、F分别为边BC、DA的中点，∴BH＝AF，∴四边形BHFA是平行四边形，∴AB＝HF，AB∥HF，同理BC＝EG，BC∥EG，∵AB⊥BC，∴HF⊥EG，∴四边形EFGH的面积是EG×HF＝×6×8＝24．故答案为：24．13．若一组数据2，3，4，5，x的方差是2，那么x的值为1或6．解：这组数据的平均数为：（2+3+4+5+x）＝，方差是：[（﹣2）2+（﹣3）2（﹣4）2（﹣5）2（﹣x）2]＝2，整理得：x2﹣7x+6＝0，解得：x1＝1，x2＝6，∴x的值为1或6，故答案为：1或6．14．将一副三角板如图摆放，则∠1＝105°．解：如图所示：∵∠D＝90°，∴∠AOB＝90°﹣∠AOD﹣∠B＝90°﹣30°﹣30°＝30°，∴∠BOC＝∠AOC﹣∠AOB＝90°﹣30°＝60°，∴∠1＝∠BOC+∠C＝60°+45°＝105°．故答案为：105．15．如图是四个全等的正八边形和一个正方形拼成的图案，已知正方形的面积为4，则一个正八边形的面积为8．解：设正八边形的中心为O，连接OA，OB，如图所示，∵正方形的面积为4，∴AB＝2，∵AB是正八边形的一条边，∴∠AOB＝＝45°．过点B作BD⊥OA于点D，设BD＝x，则OD＝x，OB＝OA＝x，∴AD＝x﹣x，在Rt△ADB中，BD2+AD2＝AB2，即x2+（x﹣x）2＝22，解得x2＝2+，∴S△AOB＝OA•BD＝×x2＝+1，∴S正八边形＝8S△AOB＝8×（+1）＝8+8，故答案为：8+8．16．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝130°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠AMN+∠ANM＝100°．解：如图，延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．∵A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，∴AM＝A'M，AN＝A″N，此时△AMN的周长最小值等于A'A″的长，∵BA＝BA′，NA＝NA″，∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），∵∠BAD＝130°，∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠BAD＝50°，∴∠AMN+∠ANM＝2×50°＝100°．故答案为：100．三、解答题（本大题共11小题，共88分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．解不等式组，并写出它的整数解．解：，由①得：x≤1，由②得：x＞﹣1，∴不等式组的解集为﹣1＜x≤1，则不等式组的整数解为0，1．18．某同学解方程﹣2＝，过程如下：第一步：整理，得﹣2＝，第二步：…．（1）请你说明第一步变化过程的依据是：分式的基本性质；（2）请把以上解方程的过程补充完整．解：（1）由题意可得：第一步变化过程的依据是：分式的基本性质，故答案为：分式的基本性质；（2）方程两边同乘（x﹣3）得：x﹣2﹣2（x﹣3）＝10﹣3x，去括号，得：x﹣2﹣2x+6＝10﹣3x，移项，得：x﹣2x+3x＝10﹣6+2，合并同类项，得：2x＝6，系数化1，得：x＝3，检验：当x＝3时，x﹣3＝0，∴x＝3是原方程的增根，∴原分式方程无解．19．某新冠疫苗接种点有4个完全相同的冷藏箱用来储存疫苗，同一冷藏箱里的疫苗都来自同一厂家，其中有两箱储存A厂家的疫苗，另两箱分别储存B厂家和C厂家的疫苗．（1）如果从中随机拿出两个箱子，送往1号和2号接种台，求拿出的两个冷藏箱里有A 厂家疫苗的概率；（2）如果将4个箱子随机送往4个接种台，每个接种台接受一个箱子，那么1号台恰好到A厂家疫苗的概率是．解：（1）画树状图如图：共有12种等可能的结果，拿出的两个冷藏箱里有A厂家疫苗的结果有10种，∴拿出的两个冷藏箱里有A厂家疫苗的概率为＝；（2）如果将4个箱子随机送往4个接种台，每个接种台接受一个箱子，那么1号台恰好到A厂家疫苗的概率是＝，故答案为：．20．某学校七、八、九年级分别有1000、1200和1400名学生，为了了解学生对校服的满意度，随机抽取七、八年级各100名学生，九年级200名学生，进行综合评价（打分为整数，满分100分），下面给出了一些信息．信息一：七年级打分成绩的频数分布表：分组50≤x＜6060≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x＜100人数616182832信息二：七年级学生打分在80≤x＜90这一组的分数统计表：分数80818283848586878889人数2310226273信息三：九年级学生打分的统计表：分数6263646667686971727374767778人数12123144391133分数8081828384868889909293959698人数5179152018161220104556信息四：三个年级打分成绩的平均数、中位数、众数如表：年级平均数中位数众数七年级82a88八年级8684.586九年级84b c（1）表中a＝85.5；b＝84；c＝84和90；（2）此次调查中，满意度较高的是哪一个年级，请说明理由；（3）如果全校3600名学生全部参与打分，你估计打分在85分以上（含85分）的约有多少人？解：（1）七年级学生打分成绩的中位数a＝（85+86）÷2＝85.5，九年级学生打分成绩的中位数b＝（84+84）÷2＝84，九年级学生打分成绩的众数c＝84和90；故答案为：85.5，84，84和90；（2）满意度较高的是七年级，理由：七年级的中位数大于八、九年级的中位数，超过一半的学生打分超过85分，∴满意度较高的是七年级；（3）1000×+1200×+1400×＝1792（人）．答：估计打分在85分以上（含85分）的约有1792人．21．已知△ABC，AB＝AC．按下列要求用直尺和圆规作图．（保留作图痕迹，不写作法）（1）在图①中求作一点P，使∠BPC＝∠BAC，且A、P在直线BC异侧；（2）在图②中求作一点P，使∠BPC＝∠BAC，且A、P在直线BC同侧．解：（1）如图1中，∠BPC即为所求作．（2）如图2中，∠BPC即为所求作．22．小明写完作业后到图书馆找妈妈一起看书．小明从家出发，走了一段路程后突然发现钥匙与图书证忘带，立即打电话给妈妈（打电话时间忽略不计）．妈妈立即骑车从图书馆出发，回家取相关证件并停留片刻后按原速度原路返回．两人距图书馆的路程y（米）与妈妈出发的时间x（分钟）之间的函数关系如图所示．（注：小明和妈妈始终沿同一条直道行进）（1）小明的速度是80米/分，妈妈在家停留了5分钟．（2）当x为何值时，两人相距2100m．解：（1）由图象可知：小明在距图书馆2000米时给妈妈打电话，到达图书馆用了25分钟，∴小明的速度为：＝80（米/分），妈妈的速度为：＝200（米/分），妈妈按原速度原路返回总共用时35分，∴妈妈在家停留了：35﹣15﹣15＝5（分），故答案为：80，5；（2）设OA的函数解析式为：y＝kx，∵A（15，3000），∴3000＝15k，解得：k＝200，∴线段OA的解析式为：y＝200x（0≤x≤15），设DE的函数解析式为：y＝mx+n，∵D（0.2000），E（25，0），∴，解得：，∴线段DE的函数解析式为：y＝﹣80x+2000（0≤x≤25），同理，线段BC的函数解析式为：y＝﹣200x+7000（20≤x≤35），观察图像，两人相距2100米有两种情况，①妈妈从图书馆回家时，即y OA﹣y DE＝2100，200x﹣（﹣80x+2000）＝2100，解得：x＝（分），②妈妈从家返回图书馆时，即y BC﹣y DE＝2100，﹣200x+7000﹣（﹣80x+2000）＝2100，解得：x＝（分），答：当x为或时，两人相距2100米．23．如图①，AB、CD是两座垂直于同一水平地面且高度不同的铁塔．小明和小丽为了测量两座铁塔的高度，从地面上的点E处测得铁塔顶端A的仰角为39°，铁塔顶端C的仰角为27°，沿着EB向前走20米到达点F处，测得铁塔顶端A的仰角为53°．已知∠ABE ＝∠CDE＝90°，点E、B、D构成的△EBD中，∠EBD＝90°．（1）图②是图①中的一部分，求铁塔AB的高度；（2）小明说，在点E处只要再测量一个角，通过计算即可求出铁塔CD的高度，那么可以测量的角是∠BED，若将这个角记为α，则铁塔CD的高度是；（用含α的式子表示）（3）小丽说，除了在点E处测量角的度数外，还可以在点F处再测量一条线段的长度，通过计算也可求出铁塔CD的高度，那么可以测量的线段是FD长度或F到DE的距离．（请写出两个不同的答案，可用文字描述）（参考数据：sin39°，cos39°，tan39°，sin27°，cos27°≈，tan27°，sin53，cos53°≈，tan53°≈）解：（1）在Rt△ABE中，∠ABE＝90°，∴tan39°＝，即BE＝，在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，∴tan53°＝，即BF＝，∵EF＝20米，∴﹣＝20，∴AB＝≈40（米），答：铁塔AB的高度为40米；（2）在点E处只要再测量一个角，通过计算即可求出铁塔CD的高度，那么可以测量的角是∠BED，在Rt△ABE中，BE＝＝50，在Rt△BED中，DE＝＝，在Rt△CED中，CD＝DE•tan27°＝×＝，故答案为∠BED，；（3）在点F处再测量FD长度或F到DE的距离，通过计算也可求出铁塔CD的高度，①测得FD＝m，在Rt△BDF中，利用勾股定理求得BD，在Rt△BED中，利用勾股定理求得DE，在Rt△CED中，利用CD＝DE•tan27°求得结果，②测得F到DE的距离为n，通过三角形相似求得BD，然后在Rt△BED中，利用勾股定理求得DE，在Rt△CED中，根据CD＝DE•tan27°求得CD；故答案为FM长度或F到DE的距离．24．已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）＝m+1（m为常数）．（1）若它的一个实数根是方程2（x﹣1）﹣4＝0的根，则m＝1，方程的另一个根为x＝0；（2）若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣m）﹣4＝0的根，求m的值；（3）若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣n）﹣4＝0的根，求m+n的最小值．解：（1）解2（x﹣1）﹣4＝0得：x＝3，将x＝3代入（x﹣1）（x﹣2）＝m+1，得：m＝1，将m＝1代入（x﹣1）（x﹣2）＝m+1，得：x＝3或x＝0，∴另一个解为x＝0，故答案为1；x＝0．（2）由2（x﹣m）﹣4＝0得：x＝2+m，将x＝2+m代入（x﹣1）（x﹣2）＝m+1，得（2+m﹣1）（2+m﹣2）＝m+1，解得：m＝1或m＝﹣1，答：m的值为1或﹣1．（3）由2（x﹣n）﹣4＝0得：x＝2+n，将x＝2+n代入（x﹣1）（x﹣2）＝m+1，得（2+n﹣1）（2+n﹣2）＝m+1，整理得：m＝n2+n﹣1，∴m+n＝n2+2n﹣1＝（n+1）2﹣2≥﹣2，当n＝﹣1时，m+n有最小值﹣2，答：m+n的最小值为﹣2．25．已知二次函数y＝﹣mx2﹣4mx﹣4m+4（m为常数，且m＞0）．（1）求二次函数的顶点坐标；（2）设该二次函数图象上两点A（a，y a）、B（a+2，y b），点A和点B间（含点A，B）的图象上有一点C，将点C纵坐标的最大值和最小值的差记为h．①当m＝1时，若点A和点B关于二次函数对称轴对称，求h的值；②若存在点A和点B使得h的值是4，则m的取值范围是0＜m≤4．解：（1）y＝﹣mx2﹣4mx﹣4m+4＝﹣m（x2+4x+4）+4＝﹣m（x+2）2+4，∴二次函数的顶点坐标为（﹣2，4）．（2）①∵点A、B关于对称轴对称＝﹣2，∴a＝﹣3，当m＝1时，y＝﹣x2﹣4x﹣4+4＝﹣x2﹣4x，则当x＝﹣3（或x＝﹣1）时，y最小值＝3，当x＝﹣2时，y最大值＝4，∴h＝1．②结论：0＜m≤4，理由如下：当a+2≤﹣2，即a≤﹣4时，h＝y b﹣y a＝﹣m（a+2+2）2+4﹣[﹣m（a+2）2+4]＝﹣4m（a+3），∵h＝4，∴4＝﹣4m（a+3），∴a＝﹣﹣3≤﹣4，∵m＞0，解得m≤1，当﹣4＜a≤﹣3时，h＝4﹣y a＝4﹣[﹣m（a+2）2+4]＝m（a+2）2，∴可得a＝﹣﹣2，∴﹣4＜﹣﹣2≤﹣3，解得1＜m≤4，当﹣3＜a≤﹣2时，h＝4﹣y b＝4﹣[﹣m（a+2+2）2+4]＝m（a+4）2，可得a＝﹣4，∴﹣3＜﹣4≤﹣4，不等式无解．当a＞﹣2时，h＝y a﹣y b＝﹣m（a+2）2+4﹣[﹣m（a+2+2）2+4]＝4m（a+3），可得a＝﹣3，∴﹣3＞﹣2，∴m＜1，综上所述，满足条件的m的值为0＜m≤4．故答案为：0＜m≤4．26．如图①，A是⊙O外一点，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，过点B 作BD∥AC，交⊙O于点D，连接DO，并延长DO交⊙O于点E，连接AE．已知BD＝2，⊙O的半径为3．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）求AE的长；（3）如图②，若点M是⊙O上一点，且BM＝3，过A作AN∥BM，交弧ME于点N，连接ME，交AN于点G，连接OG，则OG的长度是．【解答】（1）证明：如图1，连接OB，∵AB与⊙O相切于点B，∴OB⊥AB，∴∠OBA＝90°，∵BD∥AC，∴∠AOE＝∠ODB，∠AOB＝∠OBD，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠AOE＝∠AOB，在△AOB与△AOE中，，∴△AOB≌△AOE（SAS），∴∠AEO＝∠ABO＝90°，∴OE⊥AE，∵E在⊙O上，∴AE是⊙O的切线；解：（2）如图2，过O作OH⊥BD于H，则BH＝DH＝，∠BHO＝90°，在Rt△OBH中，OH＝，∵∠OHB＝∠ABO＝90°，∠OBD＝∠AOB，∴△OBH∽△AOB，∴，即，∴AB＝，∵AB，AE是⊙O的切线，∴AE＝AB＝；（3）取AO的中点P，如图3，连接BP，EP，OB，OE，在Rt△AOB中，∵P是斜边AO的中点，∴AP＝OP＝BP，同理，EP＝AP＝OP，∴AP＝OP＝BP＝EP，∴A，B，O，E四点共圆，∵∠ABO＝90°，∴AO为圆的直径，连接OB，OM，BE，∵OB＝OM＝BM＝3，∴∠OBM＝60°，∴∠ABM＝∠ABO+∠OBM＝150°，∵AN∥BM，∴∠BAN＝180°﹣∠ABM＝30°，连接BE，设BE与AN交于Q点，如图4，又∠BEM＝，∴∠BAN＝∠BEM，∵∠AQB＝∠EQG，∴△AQB∽△EQG，∴，又∠BQG＝∠AQE，∴△BQG∽△AQE，∴∠AEB＝∠AGB，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝∠AGB，∵A，B，O，E四点共圆，如图5，连接AO，设BG与AO交于H点，∴∠AOB＝∠AEB，又∠BHO＝∠AHG，∴△BHO∽△AHG，∴∠OBH＝∠OAG，，∵∠AHB＝∠GHO，∴△AHB∽△GHO，∴∠ABG＝∠AOG，∵∠ABG+∠OBH＝90°，∠OBH＝∠∠OAG，∴∠AOG+∠OAG＝90°，∴∠AGO＝90°，如图6，延长GO交BM于F，∵BM∥AN，∴∠BFO＝180°﹣∠AGO＝90°，∴OF⊥BM，∴BF＝，又BO＝3，∴，过B作BD⊥AN于D，则在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，∴BD＝，∵∠OFB＝∠AGO＝∠BDG＝90°，∴四边形BDGF为矩形，∴FG＝BD＝，∴OG＝FG﹣OF＝．27．学完“探索三角形相似的条件”之后，小明所在的学习小组尝试探索四边形相的条件，以下是他们的思考，请你和他们一起完成探究过程．【定义】四边成比例，且四角分别相等的两个四边形叫做相似四边形．【初步思考】（1）小明根据探索三角形相似的条件所获得的经验，考虑可以从定义出发逐步弱化条件探究四边形相似的条件，他考虑到“四角分别相等的两个四边形相似”可以举出反例“矩形”，“四边成比例的两个四边形相似”可以举出反例正方形和菱形．所以四边形相似的条件必须再添加条件，于是，可以从“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”，“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”来探究．（2）学习小组一致认为，“四边成比例，且一角对应相等的两个四边形相似”是真命题，请结合图形完成证明．已知：四边形ABCD和四边形A′B′C′D′中，＝＝＝，∠A＝∠A′．求证：四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′．（3）对于“三边成比例，且两角分别相等的两个四边形相似”，学习小组得到如下的四个命题：①“三边成比例，两邻角分别相等且只有一角为其中两边的夹角的两个四边形相似”；②“三边成比例，两邻角分别相等且都不是其中两边的夹角的两个四边形相似”；③“三边成比例及其两夹角分别相等的两个四边形相似”；④“三边成比例，两对角分别相等的两个四边形相似”．其中真命题是③．（填写所有真命题的序号）（4）请你完成“两边成比例，且三角分别相等的两个四边形相似”的探究过程．【解答】（1）解：∵正方形的四边相等，菱形的四边也相等，四边成比例，但不相似，∴“四边成比例的两个四边形相似”可以举出反例菱形和正方形，故答案为：菱形和正方形；（2）证明：分别连接BD，B'D'，∵＝，∠A＝∠A′，∴△ABD∽△A'B'D'，∴∠ABD＝∠A'B'D'，∠ADB＝∠A'D'B'，，∴＝，∴△BCD∽△B'C'D'，∴∠C＝∠C'，∠CDB＝∠C'D'B'，∠CBD＝∠C'B'D'，∴∠ABC＝∠A'B'C'，∠CDA＝∠C'D'A'，∵＝＝，∠A＝∠A'，∠C＝∠C′，∴四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'；（3）解：①如图，四边形ABCD∽四边形A′B'CD'，以A'为圆心，AD'为半径作圆交C′D'延长线于点D'′，则AD″＝AD′，，∠B′＝∠B，∠C′＝∠C，但四边形A'B'C′D″不与四边形ABCD相似；②如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，以C′为圆心、C′D′为半径作圆交过点D′且和A′B′平行的直线相交于点D″．过D″作D'A'∥DA交A′B′于点A″，则C′D'＝C′D″，四边形A′D′D″A″为平行四边形．则，即，∠B′A″D″＝∠A′＝∠A，∠B′＝∠B，但四边形A″B'C′D″不与四边形ABCD相似；③已知：如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′中，，∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCD＝∠B′C′D′．求证：四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′．证明：连接BD，B′D′．∵∠BCD＝∠B′C′D′，且，∴△BCD∽△B′C′D′，∴∠CDB＝∠C′D′B′，∠C′B′D′＝∠CBD，，∵，∴，∵∠ABC＝∠A′B′C′，∴∠ABD＝∠A′B′D′，∴△ABD∽△A′B′D′，∴＝，∠A＝∠A′，∠ADB＝∠A′D′B′，∴＝，∠ADC＝∠A′D′C′，∠A＝∠A′，∠ABC＝∠A′B′C′，∠BCD＝∠B′C′D′，∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似；④如图，四边形ABCD∽四边形A'BCD'，以C为圆心，CA'为半径作圆交A'B′于点A″，在CA″左侧作△C'A″D'′≌△C′A'D′，则C″D″＝C'D'＝kCD，A″D″＝A′D'＝kAD，B′C′＝kBC，∠D″＝D，∠B′＝∠B，但四边形A″B′C′D″不与四边形ABCD 相似．故选：③；（4）解：因为四边形内角和为360°，所以四边形只要三个角分别相等，第四个角就也相等，所以只需考虑成比例的两边是邻边还是对边．若成比例的两边是对边，则有反例“矩形”．若成比例的两边是邻边，则相似，理由如下：已知：如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′中，＝，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′．求证：四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′．证明：连接BD，B′D′．∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，∴∠D＝∠D′．∵＝，∠A＝∠A′，∴△ABD∽△A′B′D′，∴∠ADB＝∠A′D′B′，＝，∴∠CDB＝∠CDA﹣∠ADB＝∠C′D′A′﹣∠A′D′B′＝∠C′D′B′，∵∠C＝∠C′，∴△BCD∽△B′C′D′，∴＝＝＝＝，∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似．。

2024年江苏省南京市鼓楼区中考数学一模试卷一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.能与−2相加得0的数是( )A. 2B. −2C. 12D. −122.下列正确的是( )A. 4+9=2+3B. 4×9=2×3C. 94=32D. 4.9=0.73.整数372310…0用科学记数法表示为3.7231×1011，则原数中0的个数为( )A. 5B. 6C. 7D. 84.下列图形是三棱柱展开图的( )A. B.C. D.5.若m≠n，则下列化简一定正确的是( )A. m+3n+3=mnB. m−3n−3=mnC. m3n3=mnD. 3m3n=mn6.如图为某射击场35名成员射击成绩的条形统计图(成绩均为整数)，其中部分已破损.若他们射击成绩的中位数是5环，则下列数据中无法确定的是( )A. 3环以下(含3环)的人数B. 4环以下(含4环)的人数C. 5环以下(含5环)的人数D. 6环以下(含6环)的人数二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。

7.若x+2y=5，则3x+6y−1的值是______．8.若分式xx−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．9.计算3+12的结果是______．10.若圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1，则它的侧面积是______．11.若a n+a n⋯+a na个a n=a4(a为大于1的整数)，则n的值是______．12.一组数据x，2，3的平均数是3，这组数据的方差是______．13.如图，四边形ABCD是矩形，根据尺规作图痕迹，计算∠1的大小为______．14.如图，正八边形ABCDEFGH的半径为4，则它的面积是______．15.关于x的方程(x−n)2+2(x−n)+2=m(m>1)的两根之和是______．16.如图，已知点A(1,0)、B(5,0)，点C在y轴上运动.将AC绕A顺时针旋转60°得到AD，则BD的最小值为______．三、解答题：本题共11小题，共88分。

2014-2015 学年度第二学期调研测试卷（鼓楼二模）九年级数学一、选择题（本大题共6 小题，每小题2 分，共12 分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答．题．纸．相．应．位．置．上）1．下列剪纸作品都是轴对称图形．其中对称轴条数最多的作品是A．B．C．D．2．下列算式结果为－3 的是A．－│－3│B．（－3）0 C．－（－3）D．（－3）－14．使分式x－2有意义的x 的取值范围是A．x＞2 B．x＜2 C．x≠2 D．x≥24．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是A．(a－1)(a－2)＝a2－3a＋2 B．a2－3a＋2＝(a－1)(a－2)C．(a－1)2＋(a－1)＝a2－a D．a2－3a＋2＝(a－1)2－(a－1)5．下列命题中，假命题的是A．两组对边分别相等的四边形是平行四边形B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形C．一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形D．一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形6．对函数y＝x3的描述：①y 随x 的增大而增大，②它的图象是中心对称图形，③它的自变量取值范围是x≠0．正确的是A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题（本大题共10 小题，每小题2 分，共20 分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答．题．纸．相．应．位．置．上）7．9 的平方根是．8．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数是．⎧x＋y＝1，⎧x＝1，9．已知方程组⎨ 的解为⎨ 则一次函数y＝－x＋1 和y＝2x－2 的图象的交点坐标为．⎩2x－y＝2 ⎩y＝0．3＝ x 的图象上的两点，且 10． 计 算 （ 18 － 8 ）× 2 的 结 果 是 ．11．已知 x 1、x 2 是一元二次方程 x 2＋x ＝1 的两个根，则 x 1x 2＝ ． 12．如果代数式 2x ＋y 的值是 3，那么代数式 7－6x －3y 的值是．13．已知点 A （2，y 1）、B （m ，y 2）是反比例函数 y 6y 1＜y 2．写出满足条件的 m 的一个值，m 可以是．14．如图，∠1＝70°，直线 a 平移后得到直线 b ，则∠2－∠3＝°．AAB（第 14 题）BC（第 15 题）C（第 16 题）15．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝13 cm ，BC ＝10 cm ．则△ABC 内切圆的半径是cm ．16．如图，方格纸中有三个格点 A 、B 、C ，则 sin ∠ABC ＝．三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分．请在答．题．纸．指．定．区．域．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12 分）（1）解方程组⎧x ＋2y ＝6， ⎨⎩3x －2y ＝2．3x －1（2）解不等式 2x －1≥ 2 ，并把它的解集在数轴上表示出来．a b31218．（8 分）某校八年级学生开展踢毽子比赛活动，每班派 5 名学生参加，按团体总数排列名次，在规定时间内每人踢 100 个以上（含 100 个）为优秀，下表是成绩最好的甲、乙两班各 5 名学生的比赛数据.(单位:个)1 号2 号3 号4 号5 号 总数 甲班 89 100 96 118 97 500 乙班1009611090104500方差、优秀率三个方面考虑，你认为应该选定哪一个班为冠军？19．(6 分)如图是汽车加油站在加油过程中，加油器仪表某一瞬间的显示，请你结合图片信息，解答下列问题：（1）加油过程中的常量是 ，变量是 ；（2）请用合适的方式表示加油过程中变量之间的关系．（第 19 题）20．(8 分)在一个不透明的袋子中，放入除颜色外其余都相同的 1 个白球、2 个黑球、3 个红球．搅匀后，从中随机摸出 2 个球． （1）请列出所有可能的结果：（2）求每一种不同结果的概率．2.4516.666.8021．（8 分）某纪念币从2013 年11 月11 日起开始上市，通过市场调查得知该纪念币每1 枚的市场价y（单位：元）与上市时间x（单位：天）的数据如下：（1）根据上表数据，在某一特定时期内，可从下列函数中选取一个恰当的函数描述纪念币的市场价y 与上市时间x 的变化关系：①y＝ax＋b（a≠0）；②y＝a（x－h）2＋k（a≠0）；③ y＝a（a≠0）．x你可选择的函数的序号是．（2）利用你选取的函数，求该纪念币上市多少天时市场价最低，最低价格是多少？22．（7 分）三角形中有3 个角、3 条边共6 个元素，由其中的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解三角形．已知△ABC 中，AB＝ 2 ，∠B＝45°，BC＝1＋3 ，解△ABC． AB C（第22 题）23．(7 分)如图，线段 AB 绕点 O 顺时针旋转一定的角度得到线段 A 1B 1． （1）请用直尺和圆规作出旋转中心 O （不写作法，保留作图痕迹）；（2）连接 OA 、OA 1、OB 、OB 1，根据旋转的性质用符号语言写出 2 条不同类型的正确结论；（3）针对第（2）问中的图形，添加一定的条件，可以求出线段 AB 扫过的面积．（不再添加字母和辅助线，线段的长用 a 、b 、c …表示，角的度数用 α、β、γ…表示）．你添加的条件是，线段 AB 扫过的面积是 ．BA 1B 1A（第 23 题）24．（6 分）如图，OA 、OB 是⊙O 的半径且 OA ⊥OB ，作 OA 的垂直平分线交⊙O 于点 C 、D ，连接 CB 、AB ．求证：∠ABC ＝2∠CBO ．B（第 24 题）EHFG25．（8分）小明和小莉在跑道上进行100 m 短跑比赛，两人从出发点同时起跑，小明到达终点时，小莉离终点还差6 m ，已知小明和小莉的平均速度分别为x m/s 、y m/s ．（1）如果两人重新开始比赛，小明从起点向后退6 m ，两人同时起跑能否同时到达终点？若能，请求出两人到达终点的时间；若不能，请说明谁先到达终点．（2）如果两人想同时到达终点，应如何安排两人起跑位置？请设计两种方案．26．（8 分）（1）已知：如图，E 、F 、G 、H 分别是菱形 ABCD 的各边上与顶点均不重合的点，且 AE ＝CF ＝CG ＝AH ．A 求证：四边形 EFGH 是矩形．BDC（第 26 题）（2）已知：E、F、G、H 分别是菱形ABCD 的边AB、BC、CD、AD 上与顶点均不重合的点，且四边形EFGH 是矩形．AE 与AH 相等吗？如果相等，请说明理由；如果不相等，请举反例进行说明．AB DC（备用图）27．（10 分）△ABC 中，AB＝AC＝10，BC＝12，矩形DEFG 中，EF＝4，FG＞12．（1）如图①，点 A 是FG 的中点，FG∥BC，将矩形DEFG 向下平移，直到DE 与BC 重合为止．要研究矩形DEFG 与△ABC 重叠部分的面积，就要进行分类讨论，你认为如何进行分类，写出你的分类方法（无需求重叠部分的面积）．E DAF GB C①（第27 题）（2）如图②，点B 与F 重合，E、B、C 在同一直线上，将矩形DEFG 向右平移，直到点E 与C 重合为止．设矩形DEFG 与△ABC 重叠部分的面积为y，平移的距离为x．① 求y 与x 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；② 在给定的平面直角坐标系中画出y 与x 的大致图象，并在图象上标注出关键点坐标．yD GAE B（F） C O x②． 32014-2015 学年度第二学期调研测试卷 九年级数学参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分． 一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分．）题号 1 2 3 4 5 6 答案DACBDA二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分．） 7．±38．59． （1,0）10．2 11．－1 12．－213．答案不唯一，如 1 等 14．110 15 10 三、解答题（本大题共 11 小题，共88 分．） 9 ． 14514517．（本题 12 分）⎧x ＋2y ＝6，①（1）解方程组 ⎨⎩3x －2y ＝2. ②解法一：由①，得 x ＝6－2y ③，…………………………………………………………1 分将③代入②，得 3(6－2y )－2y ＝2，解这个一元一次方程，得 y ＝2，………………………………………………3 分将 y ＝2 代入③，得 x ＝2， ……………………………………………………5 分⎧x ＝2， 所以原方程组的解是 ⎨ …………………………………………………6 分 ⎩y ＝2．解法二：①＋②，得 4x ＝8解这个一元一次方程，得 x ＝2，………………………………………………3 分将 x ＝2 代入①，得 y ＝2， ……………………………………………………5 分⎧x ＝2， 所以原方程组的解是 ⎨ …………………………………………………6 分 ⎩y ＝2．（2）解：去分母，得 2（2x －1）≥3x －1． ………………………………………1 分去 括 号 ， 得 4x －2≥3x －1． ………………………………………2 分移项、合并同类项，得 x ≥1．……………………………………………4 分这个不等式的解集在数轴上表示如下：…………………………………………6 分18．（本题 8 分）解：甲班 5 名学生比赛成绩的中位数是 97 个，乙班 5 名学生比赛成绩的中位数是 100 个 ；1615 15…………………………………………………………………………………………2 分＝100，＝100，s ＝ 470 ，s ＝ 232．………………………………………4 分5 5 甲班的优秀率为：2÷5=0.4=40%，乙班的优秀率为：3÷5=0.6=60%；…………6 分乙班定为冠军．因为乙班 5 名学生的比赛成绩的中位数比甲班大，方差比甲班小，优秀率比甲班高，综合评定乙班踢毽子水平较好．…………………………………8 分 19．（本题 6 分）（1）单价，数量、金额；……………………2 分（2）设加油数量是 x 升，金额是 y 元，…………………4 分则 y ＝6.80x ．……………………………………… …………………………………6 分20．（本题 8 分）解：（1）搅匀后，从中随机摸出 2 个球，所有可能的结果有 15 个，即：（白，黑 1），（白，黑 2），（白，红 1），（白，红 2），（白，红 3），（黑 1，黑 2），（黑 1，红 1），（黑1，红 2），（黑 1，红 3），（黑 2，红 1），（黑 2，红 2），（黑 2，红 3），（红 1，红 2），（红 1，红 3），（红 2，红 3）．它们是等可能的．…………………………………………3 分（2）其中摸得一个白球和一个黑球的结果有 2 个，摸得一个白球和一个红球的结果有 3 个，摸得二个黑球的结果有 1 个，摸得一个黑球和一个红球的结果有 6 个，摸得二个红球的结果有 3 个．所以 P （摸得一个白球和一个黑球）＝ 2，P （摸得一个白球和一个红球）＝ 3 115＝ 5 ，P （摸得二个黑球）＝ 1，P （摸得一个黑球和一个红球）＝ 6 2P （摸得二红球）＝ 3115＝ 5 ，8 分21．（本题 8 分）15＝ 5 ．…………………………………………………解：（1）②；…………………………………………………………………………………2 分（2）当 x ＝4 时，y ＝90，当 x ＝10 时，y ＝51，当 x ＝36 时，y ＝90，⎧ ＝ （＝ AB＝ ＝ ＝ 360 ＝ 2 ∠⎧⎪a (4－h ) 2+k =90， 1a = ， 则⎨a (10－h ) 2+k =51，解得⎨ 4 所以 y 1 x －20）2＋26；……………6 分⎪⎩a (36－h ) 2+k =90．h =20， 4 k =26．当 x ＝20 时，y 有最小值 26．答：该纪念币上市 20 天时市场价最低，最低价格为 26 元． ………8 分A22．（本题 7 分）解：过点 A 作 AD ⊥BC ，垂足为 D ．在 Rt △ADB 中，∠ADB ＝90°，∠B ＝45°，AB ＝ 2 则 cos ∠B BD．BDC（第 22 题）∴AD ＝BD ＝ AB ×cos 45°＝ 2 ×cos 45°＝1．……………………2 分在 Rt △ADC 中 ，∠ADC ＝90°，C D ＝BC －BD ＝1＋ 3 －1＝ 3 ． 则 tan ∠C AD 1 3．CD 3 3 B 1∴∠C ＝30°．………………………………………………5 分 A∴AC ＝ 12+（ 3 ）2 ＝2，∠BAC ＝180°－45°－30°＝105°．………7 分23． （本题 7 分）解：（1）如图；…………………………………2 分（2）如：OA =OA 1，∠AO A 1＝∠BOB 1 等；…………4 分 （3）添加的条件为：∠AO A 1＝∠BOB 1＝α；OA ＝OA 1＝a ；OB ＝OB 1＝b ．…………………………6 分面积为πα (b 2－a 2)…………………………7 分24．（本题 6 分）证明：连接 OC 、AC ．（第 23 题）∵CD 垂直平分 OA ， A∴OC ＝AC ．∴OC ＝AC ＝OA ．∴△OAC 是等边三角形．……………………………………3 分∴∠AOC ＝60°．∴∠ABC 1 AOC ＝30°．………………………………4 分11 / 13（第 24 题）BA 1OCDO⎩ BmE nB FH DG y 在△AOB 中，OA ＝OB ，∠AOB ＝90°．∴∠ABO ＝45°．∴∠CBO ＝∠ABO －∠ABC ＝45 °－30°＝15°．……………5 分∴∠ABC ＝2∠CBO ． ………………………………………6 分25．（本题 8 分）解：（1）根据题意，得1009447 ＝ x ．…………………………………………2 分x ＝ y ，则 50106 因为100 106 5000 18 106 100 x － y ＝ x － 47x ＝－47x ＜0， 所 以 x ＜ y所以小明先到达终点．………………………………………………………………4 分（2）方案一：小明在起点，小莉在起点前 6 米处，两人同时起跑，同时到达；……5 分方案二：设小莉在起点，小明在起点后 a 米处，两人同时起跑，同时到达． 100＋a 则 100100＋a 5000 300 x ＝ y ，即 x ＝ 47x ，解得 a ＝ 47 ．300所以小莉在起点，小明在起点后 47 米处，两人同时起跑，同时到达．……8 分26．（本题 8 分）（1）证明：∵四边形 ABCD 是菱形，∴ AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∠A ＝∠C ，∠B ＝∠D ，∠A ＋∠B ＝180°． A∵ AE ＝CF ＝CG ＝AH ，∴ BE ＝BF ＝DG ＝DH ．∴ △AEH ≌△CFG ，△BEF ≌△DHG ．∴ EH ＝FG ，EF ＝HG ．∴四边形 EFGH 是平行四边形．……………………………2 分又∵∠AEH ＝∠AHE 1180°－∠A ）＝90 1 A ，＝ 2 （ °－ 2 ∠C∠BEF ＝∠BFE 1180°－∠B ）＝90 1 B ，（第 26 题）＝ 2 （ ∴∠HEF ＝180°－∠AEH －∠BEF°－ 2 ∠ ＝180°－（90 1A ）－（90 1B ）°－ 2 ∠ 1°－ 2 ∠＝ 2 （∠A ＋∠B ） ＝90°．∴四边形 EFGH 是矩形．…………………………………………………………………5 分（2）如图，m 、n 是经过菱形对角线交点且与对边垂直的 2 条直线，可证四边形 EFGH 是矩形，显然，AE 与＝ ＝ 3AH 不相等．……………………………………………………………8 分27．（本题 10 分）解：（1）学生回答合理应给分，如：从重叠部分的形状看分为 2 类，即三角形和四边形（梯形）；也可从数量的角度来分类，设平移的距离为 x ．分为 0＜x ≤4，4＜x ≤8，8＜x ≤12 三类等；………2 分 （2）y① 当 0≤x ≤4 时，y 2 x 2； 当 4＜x ≤6 时，y 16 x － 32；3 34 80当 6＜x ≤10 时，y ＝－3（x －8）2＋ 3 ；16 224 当 10＜x ≤12 时，y ＝－ 3 x ＋ 3 ；当 12＜x ≤16 时，y 216－x ）2．………7 分＝3（ ② 如图：…………………10 分（第 27 题）80 3 64 332 34 6 8 10 12 16。

ADE江苏省南京市中考数学试卷（满分 1２0 分，考试时间 120 分钟）一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，满分 12 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1.计算5 3 的结果是A ．－2B ．2C ．－8D ．8【答案】B 【解析】5 3 2 22.计算(xy 3 )2 的结果是A ． x 2 y 6【答案】 AB ． x 2 y6C ． x 2 y9D ． x 2 y9【解析】由积的乘方公式可得3. 如图，在△ABC 中，DE∥BC， AD 1 ，则下列结论中正确的是 DB 2 A ．AE 1B ． DE1 AC 2BC 2ADE 的周长 1 ADE 的面积 1C ．ABC 的周长=3【答案】C【解析】由周长比等于相似比D ．ABC 的面积=3BC4.某市 2013 年底机动车的数量是2106 辆，2014 年新增3105 辆，用科学记数法表示该市 2014 年底机动车的数量是 A ． 2.3105【答案】CB ． 3.2 105C ． 2.3106D ． 3.2106【解析】210631052.31065.估计5 1 介于2A ．0.4 与 0.5 之间B ．0.5 与 0.6 之间C ．0.6 与 0.7 之间D ．0.7 与 0.8 之间【答案】C445 1535ONG M【解析】 2.236 ，则5 10.61826. 如图，在矩形 ABCD 中，AB =4，AD =5，AD 、AB 、BC 分别与⊙O 相切于 E 、F 、G 三点，过点 D 作⊙O的切线交 BC 于点 M ，则 DM 的长为A ．133 C ．4 133【答案】AB ． 92D ． 2 5AEDF【解析】由勾股定理得：设 GM=x ， (3 x )242 (3 x )2BC解得， x 4 ，所以 DM =13 ．33二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分.不需写出解答过程，请把答案直接填在答．题．卡．相．应．位． 置．上） 7. 4 的平方根是 ▲ ；4 的算术平方根是 ▲ ．【答案】2 ；2【解析】2 ， 28. jsc 若式子 【答案】 x 1在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ▲ ．【解析】 x 1 0, x 19.jsc计算的结果是 ▲ ．【答案】5【解析】5 510. 分解因式(a b )(a 4b ) ab 的结果是 ▲．【答案】(a 2b )2【解析】(a b )(a 4b )ab a 2 4ab ab 4b 2ab a 2 4ab 4b 2 (a 2b )22x 1 111. 不等式2x 1 3 的解集是 ▲．【答案】1x 15x 1 5153O C D【解析】2x 1 1, 2x 2, x 12x 1 3, 2x 2, x 11 x 112. 已知方程 x2mx 3 0 的一个根是 1，则它的另一个根是 ▲，m 的值是 ▲ ．【答案】3；-4 【解析】1m 3 0, m 4x 2 4x 3 0 (x 1)(x 3) 0x 1, x 313. 在平面直角坐标系中，点 A 的坐标是（2，-3），作点 A 关于 x 轴的对称点得到点 A ’，再作点 A ’关于 y 轴的对称点，得到点 A ’ ，则点 A ’ 的坐标是（ ▲ ， ▲ ）．【答案】-2；3【解析】（2，-3）关于 x 轴对称（2，3），关于 y 轴对称（-2，3） 14.某工程队有 14 名员工，他们的工种及相应每人每月工资如下表所示．工种 人数 每人每月工资/元电工 5 7000 木工 4 6000 瓦工56000现该工程队进行了人员调整：减少木工 2 名，增加电工，瓦工各 1 名．与调整前相比，该工程队员工月工资的方差▲（填“变小”，“不变”或“变大”）．【答案】变大【解析】电工的工资高于瓦工工资。