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2013届高考数学一轮复习讲义： 4.8 正弦定理和余弦定理

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2013届高考北师大版数学总复习课件：4.7正弦定理和余弦定理

2013届高考北师大版数学总复习课件：4.7正弦定理和余弦定理

2．(2010· 湖北理)在 ΔABC 中，a＝15，b＝10，A＝60° ，则 cosB＝( ) 2 2 B. 3 6 D. 3
2 2 A．－ 3 6 C．－ 3 [答案] D
15 10 3 [解析] 由正弦定理可得 ＝ ，∴sinB＝ ，又因为 sin60° sinB 3 6 b<a，所以 B<A，故 B 为锐角，cosB＝ . 3
知识梳理 1．正弦定理和余弦定理 定理 正弦定理 余弦sin B sinC＝2R _________________
(R 为△ABC 外接圆半径)
b ＋c －2bccosA a2＝________________ a2＋c2－2accosB b2＝________________
5．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 c＝ 2， b＝ 6，B＝120° ，则 a＝________
[答案] 2
[解析] 由余弦定理得 b2＝a2＋c2－2accos120° ， 即 6＝a
2 2 2
7 3 故得 sinB＝ ，cosB＝ ，ac＝2. 4 4 1 1 7 7 所以 S△ABC＝ acsinB＝ ×2× ＝ . 2 2 4 4
4．(2010· 湖南文)在 ΔABC 中，角 A，B，C 所对的边长分别 为 a，b，c.若∠C＝120° ，c＝ 2a，则( A ． a＞ b B． a ＜ b C ． a＝ b D．a 与 b 的大小关系不能确定
[答案] A
)
[解析] 本题考查余弦定理的应用以及三角形边的大小的判 定． 由题意得， c2 ＝ a2 ＋ b2 － 2abcosC ＝ a2 ＋ b2 － 2abcos120° ＝ a2 ＋b2＋ab， 又 c＝ 2 a ， ∴2a2＝a2＋b2＋ab， a2－b2＝ab>0， ∴a2>b2， a> b .

2013届高考数学一轮复习课件(理)人教A版-第23讲 正(余)弦定理

2013届高考数学一轮复习课件(理)人教A版-第23讲 正(余)弦定理

1 2 2 ＝ ×4R sinAsinB× 2 2 3π ＝ 2R sinAsin( －A) 4
2
1 2 π ＝ R [ 2sin(2A－ )＋1]． 2 4 3π π π 5π 因为 0<A< ，所以－ <2A－ < ， 4 4 4 4 π π 3π 所以当 2A－ ＝ ，即 A＝ 时，S△ABC 取最大值． 4 2 8 2＋1 2 (SR，它的内接△ABC 中，有 2R(sin2A－sin2C)＝( 2a－b)sinB，求角 C 和△ABC 面积 S△ABC 的最大值．
a b c 【解析】由正弦定理得 sinA＝ ，sinB＝ ，sinC＝ ， 2R 2R 2R a2 c2 b 则 2R( 2－ 2)＝( 2a－b)× ， 4R 4R 2R 即 a2－c2＝( 2a－b)b， a2＋b2－c2 2 π 3π 所以 cosC＝ ＝ ，于是 C＝ ，A＋B＝ . 2 4 4 2ab 1 所以 S△ABC＝ ab· sinC 2
π π π asin －C 2RsinAsin －C sinAsin －C 6 6 6 (3) ＝ ＝ b－c 2RsinB－2RsinC sinB－sinC 31 3 cosC－ sinC 2 2 2 ＝ π sin －C－sinC 3 3 3 cosC－ sinC 4 4 1 ＝ ＝ . 2 3 3 cosC－ sinC 2 2
1 1 3 【解析】由 S＝ bcsinA，即 3＝ ×1×c× ，所以 c＝4. 2 2 2 所以 a＝ b2＋c2－2bccos120° 1 ＝ 16＋1＋2×4×1× 2 ＝ 21. a 21 所以 2R＝ ＝ ＝2 7. sinA 3 2 a＋b＋c 2RsinA＋sinB＋sinC 所以 ＝ ＝ 2R ＝ sinA＋sinB＋sinC sinA＋sinB＋sinC 2 7.

高考数学一轮复习---正弦定理和余弦定理(一)

高考数学一轮复习---正弦定理和余弦定理(一)

高考数学一轮复习---正弦定理和余弦定理（一）一、基础知识1．正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．正弦定理的常见变形：(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ； (2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c 2R； (3)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(4)a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝a sin A . 2．余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ； b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .3．三角形的面积公式(1)S △ABC ＝12ah a (h a 为边a 上的高)； (2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ； (3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)． 二、常用结论汇总1．三角形内角和定理在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π；变形：A ＋B 2＝π2－C 2. 2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A ＋B )＝sin C ； (2)cos(A ＋B )＝－cos C ；(3)sin A ＋B 2＝cos C 2； (4)cos A ＋B 2＝sin C 2. 3．三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B .4．用余弦定理判断三角形的形状在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，当b 2＋c 2－a 2>0时，可知A 为锐角；当b 2＋c 2－a 2＝0时，可知A 为直角；当b 2＋c 2－a 2<0时，可知A 为钝角．三、考点解析考点一 利用正、余弦定理解三角形考法(一) 正弦定理解三角形例.(1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝30°，则cos B ＝________.(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.考法(二) 余弦定理解三角形例.(1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos A ＋a cos B ＝c 2，a ＝b ＝2，则△ABC 的周长为( )A ．7.5B ．7C ．6D ．5(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且c －b 2c －a ＝sin A sin B ＋sin C，则角B ＝________.跟踪训练1.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( )A.24 B ．－24 C.34 D ．－34 2.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( )A.π12B. π6C.π4D.π33.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C .(1)求角A 的大小；(2)若cos B ＝13，a ＝3，求c 的值． 考点二 判定三角形的形状例、(1)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝a c，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．等腰非等边三角形C ．等边三角形D ．钝角三角形变式练习1.(变条件)若本例(1)条件改为“a sin A ＋b sin B <c sin C ”，那么△ABC 的形状为________．2.(变条件)若本例(1)条件改为“c －a cos B ＝(2a －b )cos A ”，那么△ABC 的形状为________．3.(变条件)若本例(2)条件改为“cos A cos B ＝b a ＝2”，那么△ABC 的形状为________． 课后作业1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若sin A a ＝cos B b，则B 的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°2．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( )A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定3．在△ABC 中，cos B ＝a c(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A ．直角三角形 B ．等边三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角三角形4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3，cos B ＝23，则b ＝( ) A ．14 B ．6 C.14 D.65．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a sin B cos C ＋c sin B cos A ＝12b ，且a >b ，则B ＝( )A.π6B.π3C.2π3D.5π66．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2(b cos A ＋a cos B )＝c 2，b ＝3,3cos A ＝1，则a ＝( ) A. 5 B ．3 C.10 D ．47．在△ABC 中，AB ＝6，A ＝75°，B ＝45°，则AC ＝________.8．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－14，3sin A ＝2sin B ，则c ＝________. 9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝________，c ＝________.10．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，sin A ，sin B ，sin C 成等差数列，且a ＝2c ，则cos A ＝________.11．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A ＝2B .(1)求证：a ＝2b cos B ；(2)若b ＝2，c ＝4，求B 的值．12．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C .(1)求A 的大小；(2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．提高训练1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若2c os 2A ＋B 2－cos 2C ＝1,4sin B ＝3sin A ，a －b ＝1，则c 的值为( ) A.13 B.7 C.37 D ．62．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c ＝3，2sin A a ＝t a n C c，若sin(A －B )＋sin C ＝2sin 2B ，则a ＋b ＝________.3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos C －c ＝2b .(1)求角A 的大小；(2)若c ＝2，角B 的平分线BD ＝3，求a .。

2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)第7课时 正弦定理和余弦定理

2013届高考一轮数学复习理科课件(人教版)第7课时 正弦定理和余弦定理

第四章
第四章 第7课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
第四章
第7课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
题型一
利用正弦、余弦定理解斜三角形
例 1 (1)在△ABC 中，已知 a＝ 2，b＝ 3，A＝45° ，求 B，C 及边 c. 【思路】 已知 a，b，A，由正弦定理可求 B，从而可求 C，c；
第四章
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
2013届高考一轮数学复习理科课件（人教版）
第四章 三角函数
第四章
三角函数
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
第7课时 正弦定理和余弦定理
第四章
第7课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
2012· 考纲下载
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角 形度量问题.
第四章
第7课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
在△ABC 中，有 A＋B＋C＝π，即 sinA＝sin(B＋C)． ∴2sinAcosB＋sinA＝0. 1 2π ∵sinA≠0，∴cosB＝－ ，从而 B＝ . 2 3 (2)由余弦定理有 b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)． 1 即 19＝5 －2ac(1－2)．∴ac＝6.
答案 B
)
3 B. 4 2 D. 3
第四章
第7课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）
解析 ∵a、b、c 成等比数列，∴b2＝ac， a2＋c2－b2 a2＋4a2－2a2 3 ∴cosB＝ 2ac ＝ ＝4. 4a2
第四章
第7课时
高考调研
高三数学（新课标版· 理）

高考数学一轮复习正弦定理余弦定理及解三角形课件理

高考数学一轮复习正弦定理余弦定理及解三角形课件理

基础诊断 考点突破
课堂总结
解 (1)由题意可知 c＝8－(a＋b)＝72.
由余弦定理得 cos C＝a2＋2ba2b－c2＝22＋2×5222×－52722
＝－15.
(2)由 sin Acos2B2＋sin Bcos2A2＝2sin C 可得：
sin
1＋cos A· 2
B＋sin
1＋cos B· 2
a2＋b2－c2 2ab
基础诊断 考点突破
课堂总结
2.S△ABC＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B＝a4bRc＝12(a＋b＋c)·r(r 是 三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R，r.
基础诊断 考点突破
课堂总结
• 3．实际问题中的常用角
• (1)仰角和俯角
• 在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线
1－2419＝2
7 7.
而∠AEB＝23π－α，所以
cos∠AEB＝cos23π－α＝cos23πcos α＋sin23πsin α
＝－12cos
α＋
3 2 sin
α
＝－12·2 7 7＋
3 21 2 ·7
＝
7 14 .
基础诊断 考点突破
课堂总结
在
Rt△EAB
中，cos∠AEB＝EBAE＝B2E，故
课堂总结
5．(人教 A 必修 5P10B2 改编)在△ABC 中，acos A＝bcos B， 则这个三角形的形状为________． 解析 由正弦定理，得 sin Acos A＝sin Bcos B， 即 sin 2A＝sin 2B，所以 2A＝2B 或 2A＝π－2B， 即 A＝B 或 A＋B＝2π， 所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形． 答案 等腰三角形或直角三角形

高考数学一轮总复习第四章三角函数与解三角形 6正弦定理余弦定理课件

高考数学一轮总复习第四章三角函数与解三角形 6正弦定理余弦定理课件
变式2 （2022年全国乙卷）记的内角,,的对边分别为,, ，已知 .
（1）证明： .
（2）若,，求 的周长.
解：（1）证明：因为 ，所以 .所以 .所以,即,所以 .（2）因为,所以由（1）得 .由余弦定理，得 ，则，所以 .故 ，所以.所以的周长为 .
考点二 判断三角形的形状
例3 对于 ，有如下命题：①若，则 为等腰三角形；②若，则 为直角三角形；③若，则 为钝角三角形.其中所有正确命题的序号是____.
A. B. C. D.
√
解：对于A，由正弦定理，有，原式仅当 时成立,故A错误.对于B，因为，故，原式仅当 时成立,故B错误.对于C，，由余弦定理 ,得,原式仅当 时成立,故C错误.对于D，由正弦定理,可得，即 ，故D正确.故选D.
2.在中，角,,的对边分别为,,，已知，， ，则角 ( )
第四章 三角函数与解三角形
4.6 正弦定理、余弦定理
掌握余弦定理、正弦定理，并能用它们解决简单的实际问题.
【教材梳理】
1.正弦定理、余弦定理 在中，若角,,所对的边分别是,,，为 外接圆的半径，则
类别
正弦定理
余弦定理
文字语言
在一个三角形中，各边和它所对角的_______的比相等
考点四 与三角形面积有关的问题
例5 （2023年全国甲卷）记的内角,,的对边分别为,,，已知
（1）求 ；
（2）若，求 的面积．
解：（1）因为 ，所以，解得 ．（2）由正弦定理,可得 ，即 ，即 .因为，所以 .又 ，所以 .故的面积为 ．
【点拨】三角形面积计算问题要选用恰当公式，其中 等公式比较常用,可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化.
A. B. C. D.

高考总复习一轮数学精品课件 第五章 三角函数 第七节 正弦定理和余弦定理及其应用

(1)在△ABC中,一定有a+b+c=sin A+sin B+sin C.( × )
(2)在△ABC中,若sin 2A=sin 2B,则必有A=B.( × )
(3)在△ABC中,若a2+b2<c2,则△ABC是钝角三角形.(
√
)
2.已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,面积为
3.(2023 全国乙,文 4)记△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 acos Bbcos A=c,且
π
C= ,则
5
B=(
π
A.
10
π
B.
5
3π
C.
10
2π
D.
5
答案 C
)
解析由acos B-bcos A=c及正弦定理,得sin Acos B-sin Bcos A=sin C,
(1)若式子中含有正弦的齐次式,优先考虑正弦定理“角化边”;
(2)若式子中含有a,b,c的齐次式,优先考虑正弦定理“边化角”;
(3)若式子中含有余弦的齐次式,优先考虑余弦定理“角化边”;
(4)含有面积公式的问题,要考虑结合余弦定理求解;
(5)同时出现两个自由角(或三个自由角)时,要用到三角形的内角和定理.
又因为sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,
sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,
所以sin Bcos C+cos Bsin C-sin Acos C-cos Asin C=sin Ccos B-sin Ccos A,整
理得sin Bcos C-sin Acos C=0,因此(sin B-sin A)cos C=0,所以sin B=sin A或

正弦定理与余弦定理(高三一轮复习)


150°不符合题意，舍去．可得B＝30°.
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 12 —
5．(易错题)在△ABC中，若ab＝ccooss AB，则△ABC的形状为( D )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰或直角三角形
解析 因为ab＝ccooss BA，所以由正弦定理可得ssiinn AB＝ccooss AB，即sin Acos A＝sin Bcos
— 10 —
3．(2023·江门检测)在△ABC中，已知a＝ 13，b＝4，c＝3，则cos A＝( A )
12 A.2 B. 2
3 C. 2
D．－
2 2
解析 在△ABC中，已知a＝ 13，b＝4，c＝3，由余弦定理得cos A＝ 422＋×342×－313＝16＋294－13＝12.
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 16 —
针对训练 1．(2023·陕西渭南月考)在△ABC中，若AB＝7，AC＝5，∠ACB＝120°，则BC ＝( B ) A．2 2 B．3 C．6 D. 6 解析 在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠ACB，故 49＝25＋BC2－2×5×BC× －12 ，即BC2＋5BC－24＝0，解得BC＝3或BC＝－8(舍 去)．
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 9—
2．在△ABC中，若AB＝3，BC＝3 2，∠B＝45°，则△ABC的面积为( D )
A．2 2 B．4
7 C.2
9 D.2
解析 由题意，S△ABC＝12AB·BC·sin∠B＝12×3×3 2× 22＝92.

高考数学一轮总复习教学课件第四章 三角函数、解三角形第一课时 余弦定理和正弦定理




,

= =c=csin C,
判断三角形形状的两种途径
[针对训练] (2020·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为
2


a,b,c,已知 cos (+A)+cos A=.
(1)求A;

2
(1)解:由已知得 sin A+cos A=,

2
即 cos A-cos A+=0,





sin B=2× = ,


2
由余弦定理 a =b +c -2bccos A,


2

2
得 2= +c -2× c· ,即 2c -2c-3=0,解得 c=
+




综上,b= ,c=
+

.

或 c=
-

(舍去).
(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下
所以 sin B=
×

=



=


.


- = ,
(3)求sin(2A-B)的值.








解:(3)因为 cos A=- ,所以 <A<π,故 0<B< ,又 sin A=

2sin Acos A=2×


(-
,所以 c;
2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况
项目
A为锐角
A为钝角或直角
图形

高考数学一轮专项复习ppt课件-正弦定理、余弦定理(北师大版)


且 c＝2b，则ab等于
A.2
B.3
C. 2
√D. 3
由正弦定理及bsin 2A＝asin B，
得2sin Bsin Acos A＝sin Asin B， 又 sin A≠0，sin B≠0，则 cos A＝12. 又 c＝2b，所以由余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋4b2－4b2×12 ＝3b2， 得ab＝ 3.
变形
(2)sin
A＝
a 2R
，
b
c
sin B＝ 2R ，sin C＝ 2R ；
(3)a∶b∶c＝_s_i_n_A_∶__s_i_n_B_∶__s_i_n_C__
余弦定理
b2＋c2－a2 cos A＝ 2bc ；
c2＋a2－b2 cos B＝ 2ac ；
a2＋b2－c2 cos C＝____2_a_b______
命题点3 与平面几何有关的问题 例4 (2023·梅州模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已 知2a＋b＝2ccos B. (1)求角C；
由2a＋b＝2ccos B， 根据正弦定理可得2sin A＋sin B＝2sin Ccos B， 则2sin(B＋C)＋sin B＝2sin Ccos B， 所以2sin Bcos C＋2cos Bsin C＋sin B＝2sin Ccos B， 整理得(2cos C＋1)sin B＝0， 因为B，C均为三角形内角， 所以B，C∈(0，π)，sin B≠0， 因此 cos C＝－12，所以 C＝23π.
知识梳理 2.三角形解的判断
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式 解的个数
a＝bsin A 一解
bsin A<a<b 两解
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主页
[难点正本
疑点清源]
解三角形时，三角形解的个数的判断 在△ABC 中，已知 a、b 和 A 时，解的情况如下： A 为锐角 或直角 图形 关系式 解的个数 a＝bsin A bsin A<a<b 一解 两解 a≥b 一解 A 为钝角
a>b 一解
主页
利用正弦定理求解三角形
例 1 在△ABC 中，a＝ 3，b＝ 2，B＝45° .求角 A、C 和 边 c.
方法一 由正弦定理知 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
[4 分]
∴sin2Acos Asin B＝sin2Bsin Acos B， 又 sinA· B≠0，∴sin Acos A＝sin Bcos B， sin ∴sin 2A＝sin 2B. [8 分]
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在△ABC 中，0<2A<2π，0<2B<2π， ∴2A＝2B 或 2A＝π－2B， π ∴A＝B 或 A＋B＝ . 2 ∴△ABC 为等腰或直角三角形． [14 分]
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探究提高
在已知关系式中，若既含有边又含有角．通常的思路是：将角 都化成边或将边都化成角，再结合正、余弦定理即可求角．
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变式训练 3
在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边长分别是 a，b，c. π (1)若 c＝2，C＝ ，且△ABC 的面积为 3，求 a，b 的值； 3 (2)若 sin C＋sin(B－A)＝sin 2A，试判断△ABC 的形状． π 解 (1)∵c＝2，C＝ ， 3
(1)利用正弦定理建立以 a、c 为未知数的方程组求解． (2)利用余弦定理建立 p2 的函数式．
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解
(1)由题设并由正弦定理， a＝1， 1 a＝ ， 解得 1 或 4 c＝4 c＝1.
5 a＋c＝4， 得 ac＝1， 4
(2)由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accos B 1 1 ＝(a＋c)2－2ac－2accos B＝p2b2－ b2－ b2cos B， 2 2 3 1 2 即 p ＝ ＋ cos B. 2 2 3 2 因为 0<cos B<1，所以 p ∈2，2， 6 由题设知 p>0，所以 <p< 2. 2
已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这 个三角形，但要注意解的判断．
a b 3 2 解 由正弦定理得 ＝ ， ＝ ， sin A sin B sin A sin 45° 3 ∴sin A＝ . 2 ∵a>b，∴A＝60° A＝120° 或 .
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6＋ 2 bsin C 当 A＝60° 时，C＝180° －45° －60° ＝75° ，c＝ ＝ ； sin B 2
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失误与防范
在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一 边的对角，进而求出其他的边和角时，有时可能出现一解、两 解或无解，所以要进行分类讨论．
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考点一
三角函数的最值问题
例 1． （本题满分 1 2 分） 已知函数 f ( x ) sin x cos x 3 cos2 x ． 3 3 3 (1)将 f ( x) 写成 A sin( x ) h ( A 0 )的形式， 并 求其图象对称中心； (2)如果△ABC 的三边 a,b,c 满足 b 2 ac ,且边 b 所对 的角为 x,试求 x 的取值范围及此时函数 f ( x) 的值域.
当 cos A＝0 时，∵0<A<π， π ∴A＝ ，△ABC 为直角三角形； 2
当 sin A－sin B＝0 时，得 sin B＝sin A，由正弦定理得 a＝b， 即△ABC 为等腰三角形． ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形．
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易错警示
代数化简或三角运算不当致误
(14 分)在△ABC 中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)· sin(A＋B)， 试判断△ABC 的形状．
探究提高
(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是 迅速解答本题的关键． (2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程 思想在解题过程中的运用．
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变式训练 2
在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 A 2 5 → → cos ＝ ，AB· ＝3. AC 2 5 (1)求△ABC 的面积； (2)若 b＋c＝6，求 a 的值．
方法二 由正弦定理、余弦定理得： b2＋c2－a2 2 a2＋c2－b2 a2b ＝b a ， 2bc 2ac
∴a2(b2＋c2－a2)＝b2(a2＋c2－b2)， ∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0， ∴a2－b2＝0 或 a2＋b2－c2＝0.
即 a＝b 或 a2＋b2＝c2. ∴△ABC 为等腰或直角三角形．
[6 分]
[10 分]
[14 分]
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批阅笔记
(1)利用正弦、余弦定理判断三角形形状时，对所给的边角关系 式一般都要先化为纯粹的边之间的关系或纯粹的角之间的关 系，再判断． (2)本题也可分析式子的结构特征，从式子看具有明显的对称 性，可判断图形为等腰或直角三角形． (3)易错分析： ①方法一中由 sin 2A＝sin 2B 直接得到 A＝B， 其 实学生忽略了 2A 与 2B 互补的情况， 由于计算问题出错而结论 错误．方法二中由 c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)不少同学直接得 到 c2＝a2＋b2，其实是学生忽略了 a2－b2＝0 的情况，由于化简 不当致误．②结论表述不规范．正确结论是△ABC 为等腰三角 形或直角三角形，而不少学生回答为：等腰直角三角形．
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方法与技巧
1．正、余弦定理和三角形面积公式是本节的重点，利用三角形 内角和、边、角之间的关系，三角函数的变形公式去判断三角 形的形状，求解三角形，以及利用它们解决一些实际问题． A B C 2．应熟练掌握和运用内角和定理：A＋B＋C＝π， ＋ ＋ ＝ 2 2 2 π 中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减少角的种数． 2 3．正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结 合得 sin2A＝sin2B＋sin2C－2sin B· C· A， sin cos 可以进行化简或 证明． 4．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径： (1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角 转换．
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a2＋c2－b2 解 (1)由余弦定理知：cos B＝ ， 2ac a2＋b2－c2 cos C＝ . 2ab
cos B b 将上式代入 ＝－ 得： cos C 2a＋c a2＋c2－b2 2ab b ·2 ＝－ ， 2ac a ＋b2－c2 2a＋c 整理得：a2＋c2－b2＝－ac. a2＋c2－b2 －ac 1 ∴cos B＝ ＝ ＝－ . 2ac 2ac 2
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变式训练 1
已知 a，b，c 分别是△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边， 若 a＝1，b＝ 3，A＋C＝2B，则角 A
π 的大小为________． 6
π ∵A＋C＝2B 且 A＋B＋C＝π，∴B＝ . 3
asin B 1 由正弦定理知：sin A＝ b ＝ ， 2 π 又 a<b，∴A<B，∴A＝ . 6
A 2 5 3 2A 解 (1)因为 cos ＝ ，所以 cos A＝2cos －1＝ ， 2 5 2 5 4 → → ∴sin A＝ .又AB· ＝3，所以 bccos A＝3，∴bc＝5. AC 5 1 1 4 ∴S△ABC＝ bcsin A＝ ×5× ＝2. 2 2 5
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(2)由(1)知，bc＝5，又 b＋c＝6， 根据余弦定理得 a2＝b2＋c2－2bccos A＝(b＋c)2－2bc－2bccos A 3 ＝36－10－10× ＝20，∴a＝2 5. 5
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3 (1 2 2x 1 sin 2x 2x 1 sin 2 x 3 3 cos 2 x 1 sin 2 xx 3 (1 coscos))2 x ) 解： （1） x 解： f (ffxx)) 1 （1） (() 解:(1) f ( x) 2 sin 3 2 (1 cos 3 ) 解： （1） 2 3 2 2 (1 3 3 2 3 2 2 3 3
审题视角
(1)先对等式化简，整理成以单角的形式表示． (2)判断三角形的形状可以根据边的关系判断，也可以根据角 的关系判断，所以可以从以下两种不同方式切入：一、根据 余弦定理，进行角化边；二、根据正弦定理，进行边化．
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规范解答 解 ∵(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)， ∴b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]＝a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]， ∴2sin Acos B·2＝2cos Asin B·2， b a 即 a2cos Asin B＝b2sin Acos B．
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要点梳理
忆一忆知识要点
1 1 1 abc 1 3．S△ABC＝ absin C＝ bcsin A＝ acsin B＝ ＝ (a＋b＋c)· r(r 2 2 2 4R 2 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算 R、r. 4．在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及 任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其 它边或角．情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注 意区分． 余弦定理可解决两类问题： (1)已知两边及夹角或两边及一 边对角的问题；(2)已知三边问题．
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利用余弦定理求解三角形
cos B 例 2 在△ABC 中，a、 b、c 分别是角 A、B、C 的对边，且 cos C b ＝－ . 2a＋c (1)求角 B 的大小； (2)若 b＝ 13，a＋c＝4，求△ABC 的面积．
cos B b 由 ＝－ ，利用余弦定理转化为边的关系求解． cos C 2a＋c
一轮复习讲义