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乐山市高中2020届第一次调查研究考试数学(理工农医类)本试题卷分第－部分(选择题)和第二部分(非选择题)两部分。
第－部分1至2页，第二部分3至4页。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷，草稿纸上答题无效。
满分150分，考试时间120分钟。
考试结束后，将本试题卷和答题卡－并交回。
第一部分(选择题 共60分)注意事项：1.选择题必须用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡对应题目标号的位置上。
2.第一部分共12小题，每小题5分，共60分。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中。
只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{x|(x ＋2)(x －3)<0}，B ＝{x|y＝1x -}，则A ∩(R ðB)＝ (A)[－2，1) (B)[1，3] (C)(－∞，－2) (D)(－2，1)2.已知OA u u u r ＝(5，－1)，OB uuu r ＝(3，2)，AB u u u r 对应的复数为z ，则z r ＝(A)5－i (B)3＋2i (C)－2＋3i (D)－2－3i 3.(2x －y)5的展开式中，含x 3y 2的系数为 (A)80 (B)－80 (C)40 (D)－404.在一次期末考试中，随机抽取200名学生的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100)。
据此绘制了如下图所示的频率分布直方图。
则这200名学生中成绩在[80，90)中的学生有(A)30名 (B)40名 (C)50名 (D)60名5.函数332,0()log 6,0x x f x x x ⎧->=⎨+≤⎩的零点之和为(A)－1 (B)1 (C)－2 (D)26.我市高中数学研究会准备从会员中选拔x 名男生，y 名女生组成－个小组去参加数学文化知识竞赛，若x ，y 满足约束条件251127x y y x x -≥⎧⎪⎪≥-⎨⎪≤⎪⎩，则该小组最多选拔学生(A)21名 (B)16名 (C)13名 (D)11名 7.设m ＝－log 0.30.6，n ＝21log 0.62，则 (A)m ＋n<mn<0 (B)mn<0<m ＋n (C)m ＋n<0<mn (D)mn<m ＋n<08.元代著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有－首诗：“我有－壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当有多少酒?”用程序框图表达如图所示。
2019届四川省乐山市高三第一次调查研究考试数学(理)试题Word版含答案位C. 向左平移4π个单位 D. 向右平移34π个单位10.已知函数1()ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）A ．B ． C.D ．11.2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）A. B.C.D. 12.已知函数3|log |,03()cos ,393x x f x x π<<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩，若存在实数1234,,,x x x x ，当1234x x x x <<<时，满足1234()()()()f x f x f x f x ===，则1234x x x x 的取值范围是（ ）A ．29(7,)4B ．135(21,)4C.[27,30) D ．135(27,)4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设函数()(1)(23)f x x x a =++为偶函数，则a = ． 14.在三角形ABC 中，点,E F 满足12AE AB =，2CF FA =，若EF xAB y AC=+，则x y + ．15.小王同学骑电动自行车以24/km h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，20min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是 km ．16.已知()ln (0)f x x a x a =+>对于区间[1,3]内的任意两个相异实数12,x x ，恒有121211|()()|||f x f x x x-<-成立，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知2sin tan 3a a =•，且0a π<<. （1）求a 的值；（2）求函数()4sin sin()f x x x a =-在[0,]4π上的值域.18. 如图所示，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形，SA ⊥平面ABCD ，M N 、分别为SA CD 、的中点. （1）证明：直线//MN 平面SBC ； （2）证明：平面SBD ⊥平面SAC .19. 某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品.已知各投入x 万元，甲、乙两种商品分别可获得12,y y 万元的利润，利润曲线11:nP yax =，22:P y bx c=+，如图所示.（1）求函数12,y y 的解析式；（2）应怎样分配投资资金，才能使投资获得的利润最大？20. 已知数列{}n a 的前n 项和n S ，点*(,)()nn S n N ∈在函数211()22f x x x =+的图象上.（1）求数列{}na 的通项公式；（2）设数列21{}n n a a+的前n 项和为nT ，不等式1log (1)3na Ta >-对任意正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围.21.已知2()2ln(2)(1)()(1)f x x x g x k x =+-+=+，.（1）求()f x 的单调区间；（2）当2k =时，求证：对于1x ∀>-，()()f x g x <恒成立； （3）若存在01x>-，使得当0(1,)x x ∈-时，恒有()()f x g x >成立，试求k 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.已知直线l 的参数方程为2.224 2.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos()4πρθ=+. （1）判断直线l 与曲线C 的位置关系；（2）过直线l 上的点作曲线C 的切线，求切线长的最小值.23.设函数()|21||2|f x x x =--+. （1）解不等式()0f x >； （2）若0x R ∃∈，使得2()24f x mm+<，求实数m 的取值范围.2019届四川省乐山市高三第一次调查研究考试数学（理）试题参考答案及评分意见一、选择题1-5:BCBDB 6-10: ABCAA 11、12：DD二、填空题13. 23a =- 14.16x y +=- 15.4216.83a ≤- 三、解答题17.解：（1）2sin tan 3a a =•，且0a π<<. 22sin 3cos a a∴=，222cos3cos a a∴-=，22cos 3cos 20a a ∴+-=，解得1cos 2a =或cos 2a =-（舍），0a π<<，3a π∴=. （2）3a π=， ()4sin sin()4sin (sin coscos sin )33f x x x a x x x ππ∴=-=-••22sin 23cos x x x=-2sin(2)16x π=-++，[0,]4x π∈，22[,]663x πππ∴+∈， 2sin(2[1,2]6x π∴+∈），则2sin(2[2,1]6x π-+∈--）， ()[1,0]f x ∴∈-．18.解：（1）在直角梯形ABCD 中，22AC = 取AB 中点E ，连接CE ， 则四边形AECD 为正方形， ∴2AE CE ==, 又122BE AB ==， 则ABC ∆为等腰直角三角形， ∴AC BC ⊥，又∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴PA BC ⊥，由AC PA A =∩得BC ⊥平面PAC ， ∵PC ⊂平面PAC ，所以BC PC ⊥.（2）以A 为坐标原点，,,AD AB AP 分别,,x y z 为轴建立如图所示的坐标系，则(0,0,2)(0,4,0)(2,2,0)P B C ，，，(0,4,2)(2,2,0)BP BC =-=-，. 由（1）知BC 即为平面PAC 的一个法向量，10cos ,||||BC BP BC BP BC BP ==•即PB 与平面PAC 10.19.解：（1）由题知(1,1.25)，(4,2.5)在曲线1P 上， 则1.2512.5,4nn a a ⎧=⎪⎨⎪⎩••，解得5412a n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即154yx =又(4,1)在曲线2P 上，且0c =，则14b =，则14b =，所以214yx =.（2）设甲投资x 万元，则乙投资为(10)x -万元， 投资获得的利润为y 万元，则1(10)4y x =-1542x =+， t =∈，则221551565()4424216y tt t =-++=--+.当52t =，即25 6.254x ==（万元）时，利润最大为6512万元，此时10 3.75x -=（万元），答：当投资甲商品6.25万元，乙商品3.75万元时，所获得的利润最大值为6512万元.20.解：（1）点(,)nn S 在函数211()22f x xx =+的图象上，21122nSn n ∴=+.① 当2n ≥时，2111(1)(1)22n S n n -=-+-，②①-②得nan=.当1n =时，111aS ==，符合上式.*()n a n n N ∴=∈．（2）由（1）得211(2)n n a an n +=+111()22n n =-+，13242111n n n T a a a a a a +∴=+++ 111111(1)23242n n =-+-++-+3111()4212n n =-+++．11(1)(3)n n T T n n +-=>++，∴数列{}nT 单调递增，∴{}n T 中的最小项为113T =. 要使不等式1log (1)3na Ta >-对任意正整数n 恒成立，只要11log (1)33aa >-， 即log (1)log aaa a -<.解得102a <<， 即实数a 的取值范围为1(0,)2. 21.解：（1）2'()2(1)2f x x x =-++ 22(31)(2)2x x x x -++=>-+，当'()0f x <时，2310xx ++<.解得352x -+-<< 当'()0f x >时，解得35x -+>． 所以()f x 单调增区间为35(2,)2-+-，单调减区间为35(,)2-+∞．（2）设()()()h x f x g x =-22ln(2)(1)(1)(1)x x k x x =+-+-+>-，当2k =时，由题意，当(1,)x ∈-+∞时，()0h x <恒成立．22(31)'()22x x h x x -++=-+2(3)(1)2x x x -++=+，∴当1x >-时，'()0h x <恒成立，()h x 单调递减． 又(1)0h -=，∴当(1,)x ∈-+∞时，()(1)0h x h <-=恒成立，即()()0f x g x -<． ∴对于1x ∀>-，()()f x g x <恒成立． （3）因为22(31)'()2x x h x kx -++=-+22(6)222x k x k x ++++=-+．由（2）知，当2k =时，()()f x g x <恒成立， 即对于1x ∀>-，22ln(2)(1)2(1)x x x +-+<+，不存在满足条件的0x ；当2k >时，对于1x ∀>-，10x +>， 此时2(1)(1)x k x +<+． ∴22ln(2)(1)2(1)(1)x x x k x +-+<+<+，即()()f x g x <恒成立，不存在满足条件的0x ； 当2k <时，令2()2(6)(22)t x xk x k =--+-+，可知()t x 与'()h x 符号相同， 当0(,)x x ∈+∞时，()0t x <，'()0h x <，()h x 单调递减．∴当0(1,)x x ∈-时，()(1)0h x h >-=， 即()()0f x g x ->恒成立． 综上，k 的取值范围为(,2)-∞．22.解：（1）由直线l 的参数方程消去参数t 得l 的方程为2y x =+4cos()22224πρθθθ=+=-，22cos 2ρρθθ∴=-，∴曲线C 的直角坐标方程为222220xy x y +-+=，即22(2)(2)4x y ++=.圆心2,2)-到直线l 的距离为2242622d ==>，∴直线l 与圆C 的相离.（2）直线l 上的点向圆C 引切线，则切线长为2(4)3242t ==++≥即切线长的最小值为4223.解：（1）不等式()0f x >可转化为|21||2|x x ->+， 即2244144x x x x -+>++，即23830xx -->，解得13x <-或3x >. 即不等式的解集为1{|3x x <-或3}x >.（2）因为3,21()31,2213,2x x f x x x x x ⎧⎪-+<-⎪⎪=---≤<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，()f x ∴的最小值为15()22f =-. 0x R∃∈，使得2()24f x mm+<， 即0x R ∃∈，使得2min42()m m f x ->，所以25422m m->-，解得1522m -<<， 故实数m 的范围为15(,)22-.。
四川省乐山市高中2019届高三第一次调查研究考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合1，，，则A. B. C. D. 1，【答案】C【】解：；．故选：C．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．2.若与互为共轭复数，则的值为A. B. 2 C. D. 3【答案】A【】解：，，又与互为共轭复数，，．则．故选：A．分别利用复数代数形式的乘除运算化简，再由与互为共轭复数求得a，b的值，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.已知函数满足：，且当时，，则A. B. C. D.【答案】C【】【分析】根据条件即可得出为奇函数，从而得出，求出，从而得出时，，这样即可求出的值．考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0，已知函数求值的方法．【解答】解：；为奇函数，且当时，；；；时，；．故选C．4.若，则A. B. C. D.【答案】A【】解：，则，故选：A．由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．5.如图是计算的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是A. B. C. D.【答案】B【】【分析】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题．模拟流程图的运行过程，即可得出判断框内应填入的条件是什么．【解答】解：根据流程图得，执行过程如下；，；，；，；，；此时输出的值是要求的数值，需要输出，之前的不能输出，所以判断框内应填入的条件是．故选B．6.如图所示，AD是三角形ABC的中线，O是AD的中点，若，其中，，则的值为A. B. C. D.【答案】A【】【分析】运用平行四边形法则和向量的加法运算可解决此问题本题考查平行四边形法则，向量的加法运算．【解答】解：由题意知，，，，．故选：A．7.胡萝卜中含有大量的胡萝卜素，摄入人体消化器官后，可以转化为维生素A，现从a，b两个品种的胡萝卜所含的胡萝卜素单位：得到茎叶图如图所示，则下列说法不正确的是A. B. a的方差大于b的方差C. b品种的众数为D. a品种的中位数为【答案】D【】【分析】利用茎叶图的性质求出a，b两组数据的平均数、方差、众数、中位数，由此能求出结果本题考查命题真假的判断，考查茎叶图、平均数、方差、众数、中位数基础知识，考查运算求解能力，是基础题．【解答】解：由茎叶图得：b品种所含胡萝卜素普遍高于a品种，，故A正确；a品种的数据波动比b品种的数据波动大，的方差大于b的方差，故B正确；b品种的众数为与，故C错误；a品种的数据的中位数为：，故D正确．故选：D．8.已知a，b，c，d都是常数，，若的零点为c，d，则下列不等式正确的是A. B. C. D.【答案】D【】解：由题意设，则所以的两个根是a、b，由题意知：的两根c，d，也就是的两根，画出开口向上以及直线的大致图象，则与交点横坐标就是c，d，与x轴交点就是a，b，又，，则c，d在a，b外，由图得，，故选：D．由题意设，则，由函数零点的定义求出对应方程的根，画出和直线的大致图象，由条件和图象判断出大小关系．本题考查函数的零点、对应方程的根、以及函数图象之间的关系，考查转化思想、数形结合思想，构造法的应用，正确构造函数和画出图象是解题的关键．9.数列满足：，，其前n项的和满足则的值为A. B. C. D.【答案】B【】【分析】根据数列的前n项和与项之间的关系，求出，即数列的偶数项和奇数项分别构成等比数列，利用等比数列的性质进行求解即可本题主要考查递推数列的应用，结合条件求出数列的偶数项和奇数项分别构成等比数列是解决本题的关键．【解答】解：由．得．即．即数列是奇数项和偶数项均为公比为2的等比数列，则，故选B．10.如图是一个几何体的三视图，则该几何体任意两个顶点间距离的最大值是A. B. C. 4 D. 5【答案】B【】解：根据三视图得出：几何体为下图AD，AB，AG相互垂直，面面ABCDE，，，，根据几何体的性质得出：，，，，，，，故最长的为故选；B根据三视图得出：空间几何体的性质得出直线平面的垂直问题，判断各个线段的长度比较即可．本题考查了复杂几何体的三视图的运用，主要是恢复几何体的直观图，利用几何体的性质判断即可，属于中档题．11.已知函数的相邻两个对称中心的距离为，且，则函数的图象与函数且的图象所有交点横坐标之和为A. 16B. 4C. 8D. 12【答案】D【】解：由已知得最小正周期为3，即，所以，则，又，即，所以．，．又．关于中心对称，作出两个函数的图象，可知两函数共有6个交点，且都关于成中心对称，则这六根之和为12．故选：D．根据对称中心，得到最小正周期，再由，求得，利用图象与函数且的图象交点特征求得结果本题主要考查三角函数的图象与性质知识，考查对称法思想在解函数中巧妙运用12.设函数，若存在区间，使在上的值域为，则k的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【】解：，，当时，，在上单调递增，，在上单调递增，，在上单调递增，在上的值域为，，方程在上有两解a，b．作出与直线的函数图象，则两图象有两交点．若直线过点，则，若直线与的图象相切，设切点为，则，解得．，故选：C．判断的单调性得出在上有两解，作出函数图象，利用导数的意义求出k的范围．本题考查了函数的单调性，导数的几何意义，零点个数与函数图象的关系，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的的系数为______．【答案】15【】解：的展开式中只有第四项的二项式系数最大，最大，故，故的展开式的通项公式为，令，求得，则展开式中的的系数为，故答案为：15．先求得，再利用二项展开式的通项公式，求得的系数，本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．14.若命题“，”是假命题，则实数m的范围是______．【答案】【】解：命题“，”是假命题，即命题的否定为真命题，其否定为：“，“，则，解得：，故实数m的范围是：．命题“，”的否定为：“，“，原命题为假，则其否定为真，由，可求出实数m的范围．本题考查了特称命题与全称命题的概念，属简单，易错题型．15.在平行四边形ABCD中，，，E为BC的中点若，则AB的长为______【答案】【】解：由题意知：，，，又，，所以：，所以，故AB的长为：．由平面向量的线性运算可得：，，由平面向量数量积运算可得：，由，可解得．本题考查了平面向量的线性运算及平面向量数量积运算，属中档题．16.已知实数x，y满足，且，则的最大值为______．【答案】9【】解：令，，，，，，解得，的最大值为9故答案为：9．根虎题意，令，根据基本不等式求出的最值，即可得到关于t的不等式解得即可．本题考查了基本不等式及其应用，属基础题．三、解答题（本大题共7小题）17.已知数列是等差数列，是公比的等比数列，且，．求数列的通项公式；令其前n项的和为，求时n的最大值．【答案】解：数列是公差为d的等差数列，是公比的等比数列，且，，可得，解得，即有；，可得，，即为，解得，即n的最大值为5．【】设等差数列的公差为d，运用等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得所求通项；求得，由裂项相消求和可得，解不等式可得n的最大值．本题考查等差数列和等比数列的通项公式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查方程思想和运算能力，属于基础题．18.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、已知．求的值；若，求b的取值范围【答案】本题满分为12分解：，，可得：，，，，，且，解得：分由可求，又，可得：，由余弦定理可得：，，解得：分【】利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合，可求，利用同角三角函数基本关系式可求的值．由可求，又由，利用余弦定理可得，结合范围，利用二次函数的性质可求b的范围．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，余弦定理，二次函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，考查了函数思想的应用，属于中档题．19.心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学男30女，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答选题情况如右表：单位：人能否据此判断有的把握认为视觉和空间能力与性别有关？经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在～分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在～分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望EX．附表及公式．【答案】解：由表中数据得的观测值，所以根据统计有的把握认为视觉和空间能力与性别有关；设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x、y分钟，则基本事件满足的区域为如图所示设事件A为“乙比甲先做完此道题”则满足的区域为，由几何概型即乙比甲先解答完的概率为；由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有种；恰有一人被抽到有种；两人都被抽到有种，可能取值为0，1，2，，，X的分布列为：．【】根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，得到所求的值所处的位置，得到结论；利用面积比，求出乙比甲先解答完的概率；确定X的可能值有0，1，依次求出相应的概率求分布列，再求期望即可．本题考查离散型随机变量及其分布列、独立性检验的应用，考查根据列联表做出观测值，根据所给的临界值表进行比较，本题是一个综合题．20.如图，四棱锥中，平面平面ABCD，是边长为2的等边三角形，底面ABCD是直角梯形，，，E是CD的中点．求证：；设F是梭PB上的点，平面PAD，求EF与平面PAB所成角的正弦值．【答案】证明：取AD中点G，连结PG、BG，面面ABCD，，面面，面ABCD，平面ABCD，，又，，平面PBG，，平面PBG，．解：作，交PA于H，连结DH，平面PAD，面面，，四边形FHDE是平行四边形，，是PA的一个四等分点，，面面PAD，面PAD，作于K，，，，面PAB，是EF与平面PAB所成角，．与平面PAB所成角的正弦值为．【】取AD中点G，连结PG、BG，推导出面ABCD，，，从而平面PBG，进而，由此能证明平面PBG，从而．作，交PA于H，连结DH，推导出四边形FHDE是平行四边形，面PAD，作于K，是EF与平面PAB所成角，由此能求出EF与平面PAB 所成角的正弦值．本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等，是中档题．21.已知函数，其中e为自然对数的底数．若，求证：；若时，，求实数a的取值范围．【答案】解：证明：函数的导数为，时，，显然成立；当时，令，，则在递增，由，可得在递减，递增，可得的最小值为，由，，，则，综上可得，；时，，即，即，由，若，则有，可令，，，由，可得，当时，递减；当时，递增，即有的最小值为，即；当时，存在，使得成立，这与矛盾，则，又，即，综上可得a的范围是．【】求得的导数，讨论显然成立；当时，令，求得导数和单调性、最值，即可判断的单调性和最值，即可得证；由题意可得，由，若，则有，可令，，求得导数和最值，可得a的范围．本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查分类讨论思想方法以及构造函数法，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，以O为极点，以x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为．求曲线C的极坐标方程；设直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．【答案】解：曲线C的参数方程为，得曲线C的普通方程：所以曲线C的极坐标方程为：设A，B两点的极坐标方程分别为，又A，B在曲线C上，则，是的两根，所以：【】直接把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．利用一元二次方程根和系数的关系，进一步求出求出弦长．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用，极径的应用．23.已知函数和的图象关于原点对称，且．Ⅰ解关于x的不等式；Ⅱ如果对，不等式恒成立，求实数c的取值范围．【答案】本小题满分10分选修：不等式选讲解：Ⅰ函数和的图象关于原点对称，，，原不等式可化为．上面不等价于下列二个不等式组：，或，由得，而无解原不等式的解集为分Ⅱ不等式可化为：．作出函数的图象这里略．由此可得函数的最小值为，实数c的取值范围是分【】先将M，N化简，再计算交集或并集，得出正确选项本题考查二次函数图象与性质．第21页，共21页。
2019年四川省乐山市高三（上）第一次调考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={1，2}，则A∩B等于（）A．{﹣1，0，1} B．{0，1}C．{1}D．{1，2}2．sin50°cos10°+sin140°cos80°=（）A．B．C．D．3．命题“∀x∈R，x2﹣2x+4≤0”的否定为（）A．∃x∈R，x2﹣2x+4＞0 B．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0C．∀x∉R，x2﹣2x+4≤0 D．∃x∉R，x2﹣2x+4＞04．若a＞b，则下列不等式正确的是（）A．B．a3＞b3 C．a2＞b2 D．a＞|b|5．已知数列{a n}是递增的等比数例，a1+a4=9，a2a3=8，S n为数列{a n}的前n项和，则S4=（）A．15 B．16 C．18 D．316．把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为（）A．y=sin（2x﹣），x∈R B．y=sin（2x+），x∈RC．y=sin（+），x∈R D．y=sin（x﹣），x∈R7．某实验室至少需要某种化学药品10kg，现在市场上出售的该药品有两种包装，一种是每袋3kg，价格为12元；另一种是每袋2kg，价格为10元．但由于保质期的限制，每一种包装购买的数量都不能超过5袋，则在满足需要的条件下，花费最少（）A．56 B．42 C．44 D．548．已知四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，SD⊥平面ABCD，且SD=AB，则四棱锥S﹣ABCD的外接球的表面积为（）A．144πB．64πC．12πD．8π9．已知函数f（x）=x2+cosx，对于[]上的任意x1，x2，有如下条件：①x1＞x2；②x1＜x2；③|x1|＞x2；④x12＞x22．其中能使f（x1）＞f（x2）恒成立的序号是（）A．①④B．②③ C．③D．④10．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（f（x））=0有且仅有一个实数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0）∪（0，1）C．（0，1）D．（0，1）∪（1，+∞）二、填空题：本大题共5小题；每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上.11．在复平面内，复数对应的点位于第象限．12．若S n是等差数列{a n}的前n项和，a2+a10=4，则S11的值为．13．在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若b=2asinB，则角A等于．14．在△ABC中，点D在线段BC上，且，点O在线段DC上（与点C，D不重合），若，则x的取值范围是．15．对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“可等域函数”，区间A为函数f（x）的一个“可等域区间”，给出下列四个函数：①f（x）=sin x；②f（x）=2x2﹣1；③f（x）=|1﹣2x|；④f（x）=log2（2x﹣2）．其中存在“可等域区间”的“可等域函数”为．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.16．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且bsinA=．（1）求角B的大小；（2）若b=3，a+c=6，求△ABC的面积．17．如图1，在矩形ABCD中，AB=6，BC=2，沿对角线BD将三角形ABD向上折起，使点A移至点P，且点P在平面BCD上的射影O在DC上得到图2．（1）求证：BC⊥PD；（2）判断△PDC是否为直角三角形，并证明；（3）（文）若M为PC的中点，求三棱锥M﹣BCD的体积．（理）若M为PC的中点，求二面角M﹣DB﹣C的大小．18．设函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求k的值；（2）若f（1）＜0，求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0对于任意x ∈R恒成立的T的取值范围．19．某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R（x）=3 700x+45x2﹣10x3（单位：万元），成本函数为C（x）=460x+5 000（单位：万元），又在经济学中，函数f（x）的边际函数Mf（x）定义为Mf（x）=f（x+1）﹣f（x）．（1）求利润函数P（x）及边际利润函数MP（x）；（提示：利润=产值﹣成本）（2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？（3）求边际利润函数MP（x）的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？20．等比数列{c n}满足c n+1+c n=10•4n﹣1，n∈N，数列{a n}满足c n=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前n项和T n；（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．21．设函数f（x）=lnx+，k∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线x﹣2=0垂直，求k值；（Ⅱ）若对任意x1＞x2＞0，f（x1）﹣f（x2）＜x1﹣x2恒成立，求k 的取值范围；（Ⅲ）已知函数f（x）在x=e处取得极小值，不等式f（x）＜的解集为P，若M={x|e≤x≤3}，且M∩P≠∅，求实数m的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={1，2}，则A∩B等于（）A．{﹣1，0，1} B．{0，1}C．{1}D．{1，2}【考点】交集及其运算．【分析】要求A∩B，即求由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合．【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1}，B={1，2}，∴A∩B={1}，故选C．2．sin50°cos10°+sin140°cos80°=（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】利用诱导公式，两角和的正弦函数公式，特殊角的三角函数值即可计算求值得解．【解答】解：sin50°cos10°+sin140°cos80°=sin50°cos10°+cos50°sin10°=sin（50°+10°）=sin60°=．故选：B．3．命题“∀x∈R，x2﹣2x+4≤0”的否定为（）A．∃x∈R，x2﹣2x+4＞0 B．∀x∈R，x2﹣2x+4≥0C．∀x∉R，x2﹣2x+4≤0 D．∃x∉R，x2﹣2x+4＞0【考点】特称命题；命题的否定．【分析】命题“∀x∈R，x2﹣2x+4≤0”，是一个全称命题，其否定命题一定是一个特称命题，由全称命题的否定方法，我们易得到答案．【解答】解：∵命题“∀x∈R，x2﹣2x+4≤0”，∴命题“∀x∈R，x2﹣2x+4≤0”的否定为：∃x∈R，x2﹣2x+4＞0．故答案为：∃x∈R，x2﹣2x+4＞0．4．若a＞b，则下列不等式正确的是（）A．B．a3＞b3 C．a2＞b2 D．a＞|b|【考点】不等关系与不等式．【分析】用特殊值法，令a=﹣1，b=﹣2，代入各个选项检验可得即可得答案．【解答】解：∵a＞b，令a=﹣1，b=﹣2，代入各个选项检验可得：=﹣1，=﹣，显然A不正确．a3=﹣1，b3=﹣6，显然B正确．a2 =1，b2=4，显然C不正确．a=﹣1，|b|=2，显然D 不正确．故选B．5．已知数列{a n}是递增的等比数例，a1+a4=9，a2a3=8，S n为数列{a n}的前n项和，则S4=（）A．15 B．16 C．18 D．31【考点】等比数列的前n项和．【分析】由已知得a1，a4是方程x2﹣9x+8=0的两个根，且a1＜a4，解方得a1=1，a4=8，由此能求出S4．【解答】解：∵数列{a n}是递增的等比数例，a1+a4=9，a2a3=8，∴a1a4=a2a3=8，∴a1，a4是方程x2﹣9x+8=0的两个根，且a1＜a4，解方程x2﹣9x+8=0，得a1=1，a4=8，∴a4=1×q3=8，解得q=2，∴S4==15．故选：A．6．把函数y=sinx（x∈R）的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为（）A．y=sin（2x﹣），x∈R B．y=sin（2x+），x∈RC．y=sin（+），x∈R D．y=sin（x﹣），x∈R【考点】向量的物理背景与概念．【分析】先根据左加右减的性质进行平移，再根据横坐标伸长到原来的2倍时w的值变为原来的倍，得到答案．【解答】解：向左平移个单位，即以x+代x，得到函数y=sin（x+），再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，即以x代x，得到函数：y=sin（x+）．故选C．7．某实验室至少需要某种化学药品10kg，现在市场上出售的该药品有两种包装，一种是每袋3kg，价格为12元；另一种是每袋2kg，价格为10元．但由于保质期的限制，每一种包装购买的数量都不能超过5袋，则在满足需要的条件下，花费最少（）A．56 B．42 C．44 D．54【考点】简单线性规划的应用；简单线性规划．【分析】设价格为12元的x袋，价格为10元y袋，花费为Z百万元，先分析题意，找出相关量之间的不等关系，即x，y满足的约束条件，由约束条件画出可行域；要求应作怎样的组合投资，可使花费最少，即求可行域中的最优解，在线性规划的解答题中建议使用直线平移法求出最优解，即将目标函数看成是一条直线，分析目标函数Z与直线截距的关系，进而求出最优解．【解答】解：设价格为12元的x袋，价格为10元y袋，花费为Z百万元，则约束条件为：，目标函数为z=12x+10y，作出可行域，使目标函数为z=12x+10y取最小值的点（x，y）是A（2，2），此时z=44，答：应价格为12元的2袋，价格为10元2袋，花费最少为44元．故选：C．8．已知四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，SD⊥平面ABCD，且SD=AB，则四棱锥S﹣ABCD的外接球的表面积为（）A．144πB．64πC．12πD．8π【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意，将四棱锥S﹣ABCD扩充为正方体，体对角线长为2，可得四棱锥外接球的直径、半径，即可求出四棱锥外接球的表面积．【解答】解：由题意，将四棱锥S﹣ABCD扩充为正方体，体对角线长为2，∴四棱锥外接球的直径为2，半径为，∴四棱锥外接球的表面积为4π（）2=12π．故选C．9．已知函数f（x）=x2+cosx，对于[]上的任意x1，x2，有如下条件：①x1＞x2；②x1＜x2；③|x1|＞x2；④x12＞x22．其中能使f（x1）＞f（x2）恒成立的序号是（）A．①④B．②③ C．③D．④【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】利用导数可以判定其单调性，再判断出奇偶性，即可判断出结论．【解答】解：∵f′（x）=2x﹣sinx，f″（x）=2﹣cosx＞0，f′（x）在[]上递增，f′（﹣）＜0，f′（）＞0，∴当x=0时，f′（0）=0；当x∈[﹣，0）时，f′（x）＜0，函数f（x）在此区间上单调递减；当x∈（0，]时，f′（x）＞0，函数f（x）在此区间上单调递增．∴函数f（x）在x=0时取得最小值，f（0）=0+1=1，∵∀x∈[﹣，]，都有f（﹣x）=f（x），∴f（x）是偶函数，根据以上结论可得：①当x1＞x2时，则f（x1）＞f（x2）不成立；②当x1＜x2|时，则f（x1）＞f（x2）不成立；③当|x1|＞x2时，则f（x1）=f（|x1|）＞f（x2）不恒成立；④当x12＞x22时，得|x1|＞|x2|，则f（|x1|）＞f（|x2|）⇔f（x1）＞f（x2）恒成立；综上可知：能使f（x1）＞f（x2）恒成立的有④．故选：D．10．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（f（x））=0有且仅有一个实数解，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，0）∪（0，1）C．（0，1）D．（0，1）∪（1，+∞）【考点】分段函数的应用．【分析】利用换元法设t=f（x），则方程等价为f（t）=0，作出函数f （x）的图象，利用数形结合即可得出此题的关键是a•2x取不到1和0．【解答】解：设t=f（x），则f（t）=0，若a＜0时，当x≤0，f（x）=a•2x＜0．由f（t）=0，即，此时t=1，当t=1得f（x）=1，此时x=有唯一解，此时满足条件．若a=0，此时当x≤0，f（x）=a•2x=0，此时函数有无穷多个点，不满足条件．若a＞0，当x≤0，f（x）=a•2x∈（0，a]．此时f（x）的最大值为a，要使若关于x的方程f（f（x））=0有且仅有一个实数解，则a＜1，此时0＜a＜1，综上实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，1）故选：B二、填空题：本大题共5小题；每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上.11．在复平面内，复数对应的点位于第一象限．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数，求出复数在复平面上对应的点的坐标，则答案可求．【解答】解：=，则复数在复平面内对应的点的坐标为：（1，1），位于第一象限．故答案为：一．12．若S n是等差数列{a n}的前n项和，a2+a10=4，则S11的值为22．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．【解答】解：∵S n是等差数列{a n}的前n项和，a2+a10=4，∴S11====22．故答案为：22．13．在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若b=2asinB，则角A等于30°．【考点】正弦定理．【分析】利用正弦定理化简已知的等式，根据sinB不为0得出sinA 的值，由A为锐角三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．【解答】解：利用正弦定理化简b=2asinB得：sinB=2sinAsinB，∵sinB≠0，∴sinA=，∵A为锐角，∴A=30°．故答案为：30°14．在△ABC中，点D在线段BC上，且，点O在线段DC上（与点C，D不重合），若，则x的取值范围是3．【考点】向量的共线定理．【分析】利用向量的运算法则和共线定理即可得出．【解答】解：∵，∴，化为．∴，∵，∴．∴．∴x的取值范围是．故答案为．15．对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“可等域函数”，区间A为函数f（x）的一个“可等域区间”，给出下列四个函数：①f（x）=sin x；②f（x）=2x2﹣1；③f（x）=|1﹣2x|；④f（x）=log2（2x﹣2）．其中存在“可等域区间”的“可等域函数”为①②③．【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【分析】根据“可等域区间”的定义分别进行判断即可得到结论．【解答】解：①对于f（x）=sin x，存在“可等域区间”，如x∈[0，1]时，f（x）=sin x∈[0，1]；②对于函数f（x）=2x2﹣1，存在“可等域区间”，如x∈[﹣1，1]时，f（x）=2x2﹣1∈[﹣1，1]；③对于函数f（x）=|1﹣2x|，存在“可等域区间”，如x∈[0，1]时，f（x）=|2x﹣1|∈[0，1]；④∵f（x）=log2（2x﹣2）单调递增，且函数的定义域为（1，+∞），若存在“可等域区间”，则满足，即，∴m，n是方程2x﹣2x+2=0的两个根，设f（x）=2x﹣2x+2，f′（x）=2x ln2﹣2，当x＞1时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增，∴f（x）=2x﹣2x+2=0不可能存在两个解，故f（x）=log2（2x﹣2）不存在“可等域区间”．所以其中存在“可等域区间”的“可等域函数”为①②③．故答案为：①②③三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤.16．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且bsinA=．（1）求角B的大小；（2）若b=3，a+c=6，求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）根据条件及正弦定理便可得到，从而可以得到tanB=，从而得出B的值；（2）由已知利用余弦定理可求ac的值，利用三角形面积公式即可求值得解．【解答】解：（1）∵bsinA=．∴，∴sinB=cosB，∴tanB=，∵0＜B＜π；∴B=．（2）∵B=，b=3，a+c=6，∴利用余弦定理可得：9=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac=36﹣3ac，解得：ac=9，∴S△ABC=acsinB==．17．如图1，在矩形ABCD中，AB=6，BC=2，沿对角线BD将三角形ABD向上折起，使点A移至点P，且点P在平面BCD上的射影O在DC上得到图2．（1）求证：BC⊥PD；（2）判断△PDC是否为直角三角形，并证明；（3）（文）若M为PC的中点，求三棱锥M﹣BCD的体积．（理）若M为PC的中点，求二面角M﹣DB﹣C的大小．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；与二面角有关的立体几何综合题．【分析】（1）由已知得PO⊥BC，BC⊥CD，从而BC⊥平面PDC，由此能证明BC⊥PD；（2）由已知条件条件出PD⊥平面PBC，从而PD⊥PC，由此证明△PDC是直角三角形．（3）（文）由已知条件推导出M到平面BDC的距离h=，，由此能求出三棱锥M﹣BCD的体积．（3）（理）以平行于BC的直线为x轴，以OC为y轴，以OP为z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M﹣DB﹣C的大小．【解答】（1）证明：∵点P在平面BCD上的射影O在DC上，∴PO⊥BC，∵BC⊥CD，PO∩CD=O，∴BC⊥平面PDC，∵PD⊂平面PDC，∴BC⊥PD；（2）解：△PDC是直角三角形．∵BC⊥PD，PD⊥PB，BC∩PB=B，∴PD⊥平面PBC，∴PD⊥PC，∴△PDC是直角三角形．（3）（文）解：PD=2，DC=6，DP⊥CP，∴PC=2，PO==2，DO=2，OC=4，∵M为PC的中点，∴M到平面BDC的距离h=，，∴三棱锥M﹣BCD的体积V==2．（3）（理）解：如图，以平行于BC的直线为x轴，以OC为y轴，以OP为z轴建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），P（0，0，2），D（0，﹣2，0），C（0，4，0），B（2，4，0），M（0，2，），，=（0，4，），设平面DBM的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（，﹣1，2），又=（0，0，1），∴cos＜＞==二面角M﹣DB﹣C的大小arccos．18．设函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R 的奇函数．（1）求k的值；（2）若f（1）＜0，求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0对于任意x ∈R恒成立的T的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【分析】（1）根据奇函数的性质可得f（0）=0，由此求得k值；（2）由f（x）=a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1），f（1）＜0，求得1＞a＞0，f（x）在R上单调递减，不等式化为f（x2+tx）＜f（x﹣4），即x2+（t﹣1）x+4＞0 恒成立，由△＜0求得t的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，∴1﹣（k﹣1）=0，∴k=2．当k=2时，f（x）=a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1），∴f（﹣x）=﹣f（x）成立∴f（x）是定义域为R的奇函数；（2）函数f（x）=a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1），∵f（1）＜0，∴a﹣＜0，∵a＞0，∴1＞a＞0．由于y=a x单调递减，y=a﹣x单调递增，故f（x）在R上单调递减．不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0，可化为f（x2+tx）＜f（x﹣4）．∴x2+tx＞x﹣4，即x2+（t﹣1）x+4＞0 恒成立，∴△=（t﹣1）2﹣16＜0，解得﹣3＜t＜5．19．某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为R（x）=3 700x+45x2﹣10x3（单位：万元），成本函数为C（x）=460x+5 000（单位：万元），又在经济学中，函数f（x）的边际函数Mf（x）定义为Mf（x）=f（x+1）﹣f（x）．（1）求利润函数P（x）及边际利润函数MP（x）；（提示：利润=产值﹣成本）（2）问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？（3）求边际利润函数MP（x）的单调递减区间，并说明单调递减在本题中的实际意义是什么？【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据利润=产值﹣成本，及边际函数Mf（x）定义得出利润函数P（x）及边际利润函数MP（x）；（2）先对利润函数P（x）求导数，P′（x）=﹣30x2+90x+3240=﹣30（x﹣12）（x+9），利用导数研究它的单调性，从而求得其最大值，即可得出年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大．（3）根据MP（x）=﹣30x2+60x+3275=﹣30（x﹣1）2+3305．利用二次函数的性质研究它的单调性，最后得出单调递减在本题中的实际意义单调递减在本题中的实际意义即可．【解答】解：（1）P（x）=R（x）﹣C（x）=﹣10x3+45x2+3240x﹣5000（x∈N*，且1≤x≤20）；MP（x）=P（x+1）﹣P（x）=﹣30x2+60x+3275（x∈N*，且1≤x≤19）．（2）P′（x）=﹣30x2+90x+3240=﹣30（x﹣12）（x+9），∵x＞0，∴P′（x）=0时，x=12，∴当0＜x＜12时，P′（x）＞0，当x＞12时，P′（x）＜0，∴x=12时，P（x）有最大值．即年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大．（3）MP（x）=﹣30x2+60x+3275=﹣30（x﹣1）2+3305．所以，当x≥1时，MP（x）单调递减，所以单调减区间为[1，19]，且x∈N*．MP（x）是减函数的实际意义，随着产量的增加，每艘利润与前一艘利润比较，利润在减少．20．等比数列{c n}满足c n+1+c n=10•4n﹣1，n∈N，数列{a n}满足c n=．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前n项和T n；（3）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，T m，T n成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由题意可得，c1+c2=10，c2+c3=40，结合等比数列的通项公式可求公比q及c1，代入等比数列的通项公式可求c n，然后由cn=2an可求a n，（2）由b n==，考虑利用裂项求和即可求解T n．（3）假设否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，T m，T n成等比数列，结合（2）代入可得=＞0，解不等式可求m的范围，然后结合m∈N*，m＞1可求．【解答】解：（1）解：由题意可得，c1+c2=10，c2+c3=c1q+c2q=40，所以公比q=4，∴c1+4c1=10∴c1=2．由等比数列的通项公式可得，c n=2•4n﹣1=22n﹣1．∵c n=═22n﹣1∴a n=2n﹣1；（2）∵b n==，∴b n=（﹣），于是T n= [（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=．（3）假设否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，T m，T n成等比数列，则（）2=•．可得=＞0，由分子为正，解得1﹣＜m＜1+，由m∈N*，m＞1，得m=2，此时n=12，当且仅当m=2，n=12时，T1，T m，T n成等比数列．说明：只有结论，m=2，n=12时，T1，T m，T n成等比数列．21．设函数f（x）=lnx+，k∈R．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线x﹣2=0垂直，求k值；（Ⅱ）若对任意x1＞x2＞0，f（x1）﹣f（x2）＜x1﹣x2恒成立，求k 的取值范围；（Ⅲ）已知函数f（x）在x=e处取得极小值，不等式f（x）＜的解集为P，若M={x|e≤x≤3}，且M∩P≠∅，求实数m的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，求得切线的斜率，由条件可得斜率为0，解方程可得k=e；（Ⅱ）条件等价于对任意x1＞x2＞0，f（x1）﹣x1＜f（x2）﹣x2恒成立，设h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞0），求出导数，运用参数分离，求出右边函数的最大值，即可得到k的范围；（Ⅲ）由题意可得k=e，由题意f（x）＜在[e，3]上有解，即∃x∈[e，3]，使f（x）＜成立，运用参数分离，求得右边函数的最小值，即可得到m的范围．【解答】解：（Ⅰ）由条件得f′（x）=﹣（x＞0），∵曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线x﹣2=0垂直，∴此切线的斜率为0，即f′（e）=0，有﹣=0，得k=e；（Ⅱ）条件等价于对任意x1＞x2＞0，f（x1）﹣x1＜f（x2）﹣x2恒成立…（*）设h（x）=f（x）﹣x=lnx+﹣x（x＞0），∴（*）等价于h（x）在（0，+∞）上单调递减．由h′（x）=﹣﹣1≤00在（0，+∞）上恒成立，得k≥﹣x2+x=（﹣x﹣）2+（x＞0）恒成立，∴k≥（对k=，h′（x）=0仅在x=时成立），故k的取值范围是[，+∞）；（Ⅲ）由题可得k=e，因为M∩P≠∅，所以f（x）＜在[e，3]上有解，即∃x∈[e，3]，使f（x）＜成立，即∃x∈[e，3]，使m＞xlnx+e成立，所以m＞（xlnx+e）min，令g（x）=xlnx+e，g′（x）=1+lnx＞0，所以g（x）在[e，3]上单调递增，g（x）min=g（e）=2e，所以m＞2e．。
A. -2B.2C. —3D. 32Xc ・i四川省乐山市高中2019届高三第一次调查研究考试数学(理)试题一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1. 已知集合A = (0,1, 2), F = (x|2x >l),则AHB = ()A. {0}B. {1}C. {1,2}D. (0,1, 2}【答案】C【解析】解：B = {x\x > 0)；A r\B = {1,2}.故选：C.可求出集合然后进行交集的运算即可. 考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算.2. 若牛(a,b€R)与(I-】互为共机复数，则a-b 的值为(【答案】A【解析】解：・. •牛=四沪27, (IT)」％又嗜与(17)2互为共辗复数,・•・ b = 0, a = —2 则 Q — b = —2. 故选：A.分别利用复数代数形式的乘除运算化简，再由彩与(1-02互为共斩复数求得。
，人的 值，则答案可求.本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.1，则人一1)=(3. 已知函数，3)满足:/(-x) + /(x) = 0,且当x > 0时,/(%)= 攀一D ・T 【答案】CA. i>4B. i > 4D. i < 5【解析】【分析】根据条件即可得出心为奇函数，从而得出/(0) = 2 + m-l = 0,求出77； = -1,从而 得出%>0时，/•(%)= 土一 1,这样即可求出了(一1)的值.考查奇函数的定义，奇函数在原点有定义时，原点处的函数值为0,己知函数求值的方 法. 【解答】解：•.•/•(f )+r (x )= o ；••• f(x)为奇函数，且当x > 0时,/(%)=三三一 1；.・顷0)=罕一1 = 0； ••・ x > 0时，/(%) = 土一 1； .•./(-1) = «) = -(「1) = 9 故选C.4. 若tana = - j,则cos2a =()c ・i【答案】Ar i1 ni.i cos 2a-sin 2a l-tan 2a 3 【解析】 解：•: tana =则cos2a = —； ----- --- = •厂；■尹=—=-2 cos z a+sin z a l+tan z a 1+- 54故选：A.由题意利用同竹三角函数的基本关系，二倍角公式，求得cos2a 的值. 本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题.5. 如图是计算： + ! + ： + !的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是()•5 O / X【答案】B 【解析】【分析】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题.模拟流程图的运行过程，即可得出判断框内应填入的条件是什么. 【解答】解：根据流程图得，执行过程如下；C. i > 5•出s /结束)c 1.1 . o5 = 3 + P ' = 3；c 1.1.1 ・ ,S= W + E +;, 1 = 4； oo /c 1 . 1 . 1 . 1 . rS = — +匚--- 一,i = 5；3 5 7 9此时输出的值是要求的数值，Z = 5需要输出，之前的不能输出, 所以判断框内应填入的条件是i > 4.故选B.6.如图所示，AD是三角形ABC的中线，。
乐山市高中2017届第一次调查研究考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知11ai b i i-=-+(,)a b R ∈，其中i 为虚数单位，则a b +=（ ） A ．0 B ．1 C ．-1 D ．22.已知集合2{|30}A x x x =+≤，集合{|21,}B n n k k Z ==+∈，则A B =∩（ ）A ．{1,1}-B ．{1,3}C ．{3,1}--D ．{3,1,1,3}--3.“2x <”是“ln(1)0x -<”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4.如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（ ）A ．11a b < B ．2a ab < C. 2ab a -<- D ．11a b-<- 5.某算法的程序框图如图所示，若输出的12y =，则输入的x 可能为（ ）A ．-1B ．1 C.1或5 D ． -1或16.已知向量(1,3)BA =- ，向量(4,2)BC =- ，则ABC ∆的形状为（ ）A ． 等腰直角三角形B ．等边三角形 C.直角非等腰三角形 D ．等腰非直角三角形7.已知0a >，,x y 满足约束条件1220x x y ax y a ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩，2z x y =+的最小值为-2，则a =（ ）A ．12B ．32C.1 D ．2 8.《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月（按30天计）共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布.A ．12B ． 815 C. 1629 D ． 16319.函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）A.向左平移12π个单位 B. 向右平移4π个单位 C. 向左平移4π个单位 D. 向右平移34π个单位 10.已知函数1()ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（ ）A ．B ． C. D ．11.个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）A. B.C.D.12.已知函数3|log |,03()cos ,393x x f x x π<<⎧⎪=⎨-≤≤⎪⎩，若存在实数1234,,,x x x x ，当1234x x x x <<<时，满足1234()()()()f x f x f x f x ===，则1234x x x x 的取值范围是（ ）A ．29(7,)4B ．135(21,)4 C.[27,30) D ．135(27,)4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.设函数()(1)(23)f x x x a =++为偶函数，则a =．14.在三角形ABC 中，点,E F 满足12AE AB = ，2CF FA = ，若EF xAB yAC =+ ，则x y +．15.小王同学骑电动自行车以24/km h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，20min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是km ．16.已知()ln (0)f x x a x a =+>对于区间[1,3]内的任意两个相异实数12,x x ，恒有121211|()()|||f x f x x x -<-成立，则实数a 的取值范围是． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知2sin tan 3a a =•，且0a π<<.（1）求a 的值；（2）求函数()4sin sin()f x x x a =-在[0,]4π上的值域.18. 如图所示，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是菱形，SA ⊥平面ABCD ，M N 、分别为SA CD 、的中点.（1）证明：直线//MN 平面SBC ；（2）证明：平面SBD ⊥平面SAC .19. 某企业拟用10万元投资甲、乙两种商品.已知各投入x 万元，甲、乙两种商品分别可获得12,y y 万元的利润，利润曲线11:n P y ax =，22:Py bx c =+，如图所示.（1）求函数12,y y 的解析式；（2）应怎样分配投资资金，才能使投资获得的利润最大？20. 已知数列{}n a 的前n 项和n S ，点*(,)()n n S n N ∈在函数211()22f x x x =+的图象上. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列21{}n n a a +的前n 项和为n T ，不等式1log (1)3n a T a >-对任意正整数n 恒成立，求实数a 的取值范围.21.已知2()2ln(2)(1)()(1)f x x x g x k x =+-+=+，.（1）求()f x 的单调区间；（2）当2k =时，求证：对于1x ∀>-，()()f x g x <恒成立；（3）若存在01x >-，使得当0(1,)x x ∈-时，恒有()()f x g x >成立，试求k 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.已知直线l的参数方程为.22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 是参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4cos()4πρθ=+.（1）判断直线l 与曲线C 的位置关系；（2）过直线l 上的点作曲线C 的切线，求切线长的最小值.23.设函数()|21||2|f x x x =--+.（1）解不等式()0f x >； （2）若0x R ∃∈，使得20()24f x m m +<，求实数m 的取值范围.乐山市高中2017届第一次调查研究考试理科数学参考答案及评分意见一、选择题1-5:BCBDB 6-10: ABCAA 11、12：DD二、填空题13. 23a =- 14.16x y +=- 15.83a ≤- 三、解答题17.解：（1）2sin tan 3a a = •，且0a π<<.22sin 3cos a a ∴=，222cos 3cos a a ∴-=，22cos 3cos 20a a ∴+-=， 解得1cos 2a =或cos 2a =-（舍），0a π<<，3a π∴=.（2）3a π= ，()4sin sin()4sin (sin cos cos sin )33f x x x a x x x ππ∴=-=-••22sin cos x x x =-2sin(2)16x π=-++，[0,]4x π∈ ，22[,]663x πππ∴+∈，2sin(2[1,2]6x π∴+∈）， 则2sin(2[2,1]6x π-+∈--），()[1,0]f x ∴∈-．18.解：（1）在直角梯形ABCD 中，AC =取AB 中点E ，连接CE ，则四边形AECD 为正方形，∴2AE CE ==,又122BE AB ==， 则ABC ∆为等腰直角三角形，∴AC BC ⊥，又∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PA BC ⊥，由AC PA A =∩得BC ⊥平面PAC ，∵PC ⊂平面PAC ，所以BC PC ⊥.（2）以A 为坐标原点，,,AD AB AP 分别,,x y z 为轴建立如图所示的坐标系，则(0,0,2)(0,4,0)(2,2,0)P B C ，，，(0,4,2)(2,2,0)BP BC =-=- ，.由（1）知BC 即为平面PAC 的一个法向量，cos ,5||||BC BP BC BP BC BP == •， 即PB 与平面PAC所成角的正弦值为519.解：（1）由题知(1,1.25)，(4,2.5)在曲线1P 上，则 1.2512.5,4n n a a ⎧=⎪⎨⎪⎩••， 解得5412a n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即1y =又(4,1)在曲线2P 上，且0c =，则14b =， 则14b =，所以214y x =. （2）设甲投资x 万元，则乙投资为(10)x -万元，投资获得的利润为y 万元，则1(10)4y x =-1542x =+，t =∈， 则221551565()4424216y t t t =-++=--+. 当52t =，即25 6.254x ==（万元）时，利润最大为6512万元，此时10 3.75x -=（万元）， 答：当投资甲商品6.25万元，乙商品3.75万元时，所获得的利润最大值为6512万元. 20.解：（1） 点(,)n n S 在函数211()22f x x x =+的图象上，21122n S n n ∴=+.① 当2n ≥时，2111(1)(1)22n S n n -=-+-，② ①-②得n a n =.当1n =时，111a S ==，符合上式.*()n a n n N ∴=∈．（2）由（1）得211(2)n n a a n n +=+ 111()22n n =-+， 13242111n n n T a a a a a a +∴=+++ 111111(1)23242n n =-+-++-+ 3111()4212n n =-+++． 110(1)(3)n n T T n n +-=>++ ， ∴数列{}n T 单调递增，∴{}n T 中的最小项为113T =. 要使不等式1log (1)3n a T a >-对任意正整数n 恒成立， 只要11log (1)33a a >-， 即log (1)log a a a a -<.解得102a <<， 即实数a 的取值范围为1(0,)2.21.解：（1）2'()2(1)2f x x x =-++ 22(31)(2)2x x x x -++=>-+， 当'()0f x <时，2310x x ++<.解得2x -<<当'()0f x >时，解得x >所以()f x 单调增区间为(-，单调减区间为3()2-+∞． （2）设()()()h x f x g x =-22ln(2)(1)(1)(1)x x k x x =+-+-+>-，当2k =时，由题意，当(1,)x ∈-+∞时，()0h x <恒成立．22(31)'()22x x h x x -++=-+ 2(3)(1)2x x x -++=+， ∴当1x >-时，'()0h x <恒成立，()h x 单调递减．又(1)0h -=，∴当(1,)x ∈-+∞时，()(1)0h x h <-=恒成立，即()()0f x g x -<． ∴对于1x ∀>-，()()f x g x <恒成立．（3）因为22(31)'()2x x h x k x -++=-+ 22(6)222x k x k x ++++=-+． 由（2）知，当2k =时，()()f x g x <恒成立，即对于1x ∀>-，22ln(2)(1)2(1)x x x +-+<+，不存在满足条件的0x ；当2k >时，对于1x ∀>-，10x +>，此时2(1)(1)x k x +<+．∴22ln(2)(1)2(1)(1)x x x k x +-+<+<+，即()()f x g x <恒成立，不存在满足条件的0x ；当2k <时，令2()2(6)(22)t x x k x k =--+-+，可知()t x 与'()h x 符号相同，当0(,)x x ∈+∞时，()0t x <，'()0h x <，()h x 单调递减．∴当0(1,)x x ∈-时，()(1)0h x h >-=，即()()0f x g x ->恒成立．综上，k 的取值范围为(,2)-∞．22.解：（1）由直线l 的参数方程消去参数t 得l 的方程为y x =+4cos()4πρθθθ=+=- ，2cos ρθθ∴=-，∴曲线C 的直角坐标方程为220x y +-+=，即22((4x y +=.圆心到直线l的距离为62d ==>， ∴直线l 与圆C 的相离.（2）直线l 上的点向圆C 引切线，则切线长为==即切线长的最小值为23.解：（1）不等式()0f x >可转化为|21||2|x x ->+， 即2244144x x x x -+>++，即23830x x -->，解得13x <-或3x >. 即不等式的解集为1{|3x x <-或3}x >. （2）因为3,21()31,2213,2x x f x x x x x ⎧⎪-+<-⎪⎪=---≤<⎨⎪⎪-≥⎪⎩， ()f x ∴的最小值为15()22f =-. 0x R ∃∈ ，使得20()24f x m m +<，即0x R ∃∈，使得2min 42()m m f x ->， 所以25422m m ->-，解得1522m -<<， 故实数m 的范围为15(,)22-.。
四川省乐山市2017届高三一调模拟考试试卷（理）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1．设集合M ＝{x |x 2－3x －4<0}，N ＝{x |0≤x ≤5}，则M ∩N 等于( ) A ．(0，4] B ．[0，4) C ．[－1，0) D ．(－1，0]2. 1.设a 、b 、c ∈R ，0<<b a ，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．22b a < B ．22bc ac < C ．b a 11> D ．ab a 11>- 3.不等式的解集为，则a +b 等于（ ） A. B. C. D.4.） AC D 5. 不等式表示的区域在直线（含边界）的（ ） A.右上方 B.右下方 C.左上方 D.左下方6.设，满足约束条件则的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．7．已知52x ≥，则245()24x x f x x -+=-有( )A ．最大值45 B ．最小值45C ．最大值1D ．最小值18.不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9.已知正实数,a b 满足21a b +=，则2214a b ab++的最小值为（ ） A.72B. 4C.16136D.172220ax bx ++>11,23⎛⎫-⎪⎝⎭1010-1414-280x y -+…280x y -+=x y 10,10,330,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩2z x y =+872112x x-…[)1,-+∞[)1,0-(],1-∞-(](),10,-∞-+∞10.当10<<a 时，关于x 的不等式12)1(>--x x a 的解集是（ ） A.)12,2(--a a B.)2,12(--a a C.),12()2,(+∞---∞a a D.),2()12,(+∞---∞ a a第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分.11.若点)3(，m P 在不等式42<+y x 表示的平面区域内，则m 的取值范围为______.12.已知，满足约束条件，若的最小值为0，则. A ．B ．C ．D ．13.在R 上定义运算bc ad db ca -= ，若21023<-x x x 成立，则符合条件的x 的集合是_________.14.已知c b a ,,分别为ABC ∆的三个内角C B A ,,的对边，2=a ，且C b c B A b sin )()sin )(sin 2(-=-+，则ABC ∆面积的最大值为.15.设正实数,,x y z 满足22390x xy y z -+-=，则当xyz 取得最大值时，x y的值 为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）已知不等式.（1）当时解此不等式；（2）若对任意的实数此不等式恒成立，求实数的取值范围.210x x m --+>3m =x m17. （本小题满分12分）已知0,0,1a b a b >>+=，求证： （1）1118a b ab++≥； （2）11(1)(1)9ab++≥.18.（本小题满分12分）设函数22()28(0)f x x ax a a =-->，记不等式()0f x ≤的解集为A . （1）当1a =时，求集合A ；（2）若(1,1)A -⊆，求实数a 的取值范围.19.（本小题满分12分）已知函数c bx x x f ++=2)(，且10)2(,6)1(==f f . （1）求实数c b ,的值； （2）若函数)0()()(>=x xx f x g ，求)(x g 的最小值并指出此时x 的取值.19.（本小题满分12分）某工厂家具车间造A 、B 型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成，已知木工 做一张A 、B 型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A 、B 型桌子分别需要 3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一 张A 、B 型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A 、B 型桌子各多少 张，才能获得利润最大？最大利润是多少？20. （本小题满分12分）解关于的不等式.x ()2110ax a x -++<参考答案1．【答案】B【解析】因为M ＝{x |x 2－3x －4<0}＝{x |－1<x <4}，N ＝{x |0≤x ≤5}， 所以M ∩N ＝{x |－1<x <4}∩{0≤x ≤5}＝{x |0≤x <4}． 2.【答案】C【解析】令2,1,0a b c =-=-=，则对于A 有：4<1,故A 错误；对于B 有：0<0, 故B 错误；对于C 有：112->-,成立；对于D 有：-1>-1; 故D 错误；故选C. 3.【答案】D 【解析】由题意知11,23-是方程20ax bx c ++=的两个根，由根与系数得关系， 得112231123a ca⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⋅=⎪⎩，解得122a b =-⎧⎨=-⎩，所以14a b +=-. 故选D.4.【答案】D【解析】对于a b ¹，故A 错误；对于B ：由基本不0,0a b >>，故B 错误；对于C ：如果0,0a b <<时，不等式不成立，故C 错误；对于D ：a ，b ∈R ，且0ab >，即,a b 同号， 则有2b a a b +匙=. 选故D. 5.【答案】B【解析】作出直线280x y -+=，原点(0,0)在该直线的右下方，且(0,0)适合不等式，所以不等式表示的平面区域在直线280x y -+=的右下方. 故选B. 6.【答案】B【解析】根据约束条件画出可行域，如图.280x y -+…目标函数2z x y =+可变形为122z y x =-+，则2z即为该直线在y 轴上的截距，平移直线12y x =-并使其与可行域有公共点，则当其经过点A 时，截距最大，即z 最大. 又由方程组10330x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得32x y =⎧⎨=⎩，即(3,2)A ，所以max 3+22=7z =⨯. 故选B. 7．【答案】D【解析】由已知2245(2)+111()=(2)242(2)2(2)x x x f x x x x x ⎡⎤-+-==-+⎢⎥---⎣⎦，∵52x ≥，20x ->，∴11(2)122x x ⎡⎤-+≥=⎢⎥-⎣⎦， 当且仅当1(2)(2)x x -=-，即3x =时取等号．8.【答案】B【解析】原不等式可化为120x x --≥，即10x x --≥，所以10x x +≤，等价于(1)00x x x +≤⎧⎨≠⎩ 解得10x -≤<，所以原不等式得解集为. 故选B. 9.【答案】D【解析】()22211142414a b a b ab ab ab ab ab++=++-=+-， 令ab t =，则224a b ++14ab ab +-=114t t ．+-∵正实数a ，b 满足2a +b =1，∴1³ab ＜£由1y 4t t =-可得21y 400t t ＜，＜?--\?14t t=-单调递减，∴y ³2214b ab++³10.【答案】A【解析】因为10<<a ，所以不等式12)1(>--x x a 变形为()120,2a x a x -+->-两边同时除以负数1a -，得210,2a x a x ---<- [)1,0-又因为220,11a a a a ---=>--解得221a x a -<<-. 故选A. 11.【答案】1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【解析】∵点)3(，m P 在不等式42<+y x 表示的平面区域内， ∴2m +3＜4，即m ＜12.【答案】1【解析】根据约束条件画出可行域，如图.设2z x y =+，将最小值转化为y 轴上的截距，当直线2z x y =+经过点B 时，z 最小，又B 点坐标为(1,2)a -，代入2z x y =+，得220a -=，得1a =.13.【答案】(4,1)-addc -=123<x x x 2340x x +-<，即(1)(4)0x x -+<，解得41x -<<. 故答案为(4,1)-.14.【解析】ABC ∆中，∵2=a ，且C b c B A b sin )()sin )(sin 2(-=-+，∴利用正弦定理 可得()24,b c b c -=-即224b c bc +-=．再利用基本不等式可得42bc ³bc bc -=，∴4bc £，当且仅当2bc ==时取等号，此时，ABC ∆为等边三1sin 222A?创?15.【答案】3【解析】因为,,x y z 为正实数，且22390x xy y z -+-=,则2239z x xy y =-+，所以221193933xy xy x y z x xy y y x==≤=-++-，当且仅当3x y =时等号成立，此时xy=3. 故答案为3. 16.【解析】（1）当3m =时，不等式为220x x -->，即(1)(2)0x x +->，·······2分 解得1x <-或2x > ················4分 ∴ 不等式的解集为(,1)(2,)-∞-+∞ . ················6分（2）“不等式220x x -->对任意实数x 恒成立”等价于“二次函数2()2f x x x =-- 的图象恒在x 轴上方”， ················8分 ∴ 判别式2(1)4(1)0m ∆=---+<，解得34m <. ···············10分 ∴ 实数的取值范围是3(,)4-∞. ···············12分 17.【证明】（1）∵0,0,1a b a b >>+=∴11224a b a b b a a b a b a b +++=+=++≥+=···········2分 当且仅当b a a b +，且1a b +=，即12a b ==时等号成立，··········4分 ∴11111112()8a b a b ab a b ab a b+++=++=+≥. ···············6分 （2）方法1）∵0,0,1a b a b >>+= ∴1112a b b a a a ++=+=+，同理112ab b+=+ ···············8分∴11(1)(1)(2)(2)52()59b a b a a b a b a b ++=++=++≥+=，··10分 当且仅当b a a b +，且1a b +=，即12a b ==时等号成立 ···········12分 方法2）∵由（1），∴11111(1)(1)19a b a b ab++=+++≥. ·················12分 18.【解析】（1）当1=a 时，82)(2--=x x x f ，()0f x ≤，即0822≤--x x ， 即 (2)(4)0x x +-≤ ···············2分 m解得42≤≤-x ， ················3分 ∴{}|24A x x =-≤≤. ···············6分（2）08222≤--a ax x ，即0)2)(4(≤+-a x a x ，···············7分 ∵0a > ， ∴42a a >-∴ 解不等式得24a x a -≤≤，···············8分 ∴[]2,4A a a =-. ···············9分又()1,1A -⊆， ∴1214a a -≥-⎧⎨≤⎩，解得21≥a ， ···············11分∴ 实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. ···············12分 19.【解析】（1）由题设，(1)6(2)10f f =⎧⎨=⎩，即2162210b c b c ++=⎧⎨++=⎩ …………2分解得⎩⎨⎧==41c b . …………4分（2）由（1）知144)(2++=++=xx x x x x g …………6分 因为0>x ，则4424=⋅≥+xx x x …………8分 当且仅当xx 4=即2=x 时取得等号 …………10分 故)(x g 的最小值的为5，此时2=x . …………12分19.【解析】由题意，设每天生产A 型桌子x 张，B 型桌子y 张，则28390,0,x y x y x y x y *+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥≥⎪⎪∈⎩N，·····2分且目标函数为23z x y =+. ·············3分 根据不等式组作出可行域，如图.··················5分把直线230x y +=向上平移，使其与可行域有公共点，则当其经过点(2,3)M 时，目标函数23z x y =+取最大值.·············7分 又由方程组2839x y x y +=⎧⎨+=⎩得点(2,3)M ，················9分此时223313z =⨯+⨯=（千元） ················11分 ∴ 工厂每天生产A 型桌子2张，B 型桌子3张，才能获得利润最大，最大利润是13 千元. ··············· 13分 20.【解析】（1）当0a =时，原不等式即为10x -+<，解得1x >；···············2分 （2）当0a ≠时，原不等式可分解为1()(1)0a x x a --<，则对应方程的两根分别为1a和1. ···············4分 若0a <，则由原不等式得1()(1)0x x a -->，解得1x a<或1x >；······6分 若0a >，则由原不等式得1()(1)0x x a--<. ···············7分 ⅰ)当01a <<时，11a>，则由上式解得11x a <<； ···············8分ⅱ)当1a =时，11a=，则上式没有实数解； ···············10分 ⅲ) 当1a >时，11a <，则由上式解得11x a <<；···············12分综上所述，当0a <时，原不等式的解集为1(,)(1,)a-∞+∞ ；当0a =时，原不等式的解集为(1,)+∞；当01a <<时，原不等式的解集为1(1,)a；当1a =时，原不等式的解集为φ；当1a >时，原不等式的解集为1(,1)a. ···············14分。
四川省乐山市2017届高三一调模拟考试（图片）数学（理）试题数学(理科类)参考答案及评分意见12.28第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：（每小题5分，共60分）1．B；2．B；3．B；4．D；5．B；6．C；7．A；8．C；9．A；10．A；11．D；12．D第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题：（每小题5分，共20分）13．；14．；15．；16．三、解答题：（共70分）16．解：（1）∵2 ，且，∴∴2∴解得：或（舍去）∵，∴（6分）（2）∵，∴整理得：∵，∴∴∴函数在的值域为（12分）18.（12分）解：（1）在直角梯形中，取中点，连接，则四边形为正方形（2分）∴，又∴△ABC为等腰直角三角形∴AC⊥BC（4分）又∵PA⊥BC，由∴BC⊥平面PAC∵平面∴（6分）（2）以A为坐标原点，AD、AB、AP分别为轴，建立如图所示的坐标系。
则P(0,0,2)，B(0,4,0)，C(2,2,0)∴, （9分）由（1）得即为平面的一个法向量（11分）即与平面所成角的正弦值为（12分）19.（12分）解：（1），过点、∴，∴∴；，过点,∴∴（6分）（2）设用万元投资甲商品，那么投资乙商品为万元，总利润为万元。
则，当且仅当即时，此时投资乙商品为10—6.25=3.75万元。
（12分）20.（12分）解：（1）∵在函数的图像上，∴①当时，②①—②得当时，，符合上式，∴（5分）（2）由（1）得，则∴∵∴数列单调递增∴要使不等式对任意正整数恒成立，只要∵，∴∵，即（12分）21.（12分）解：（1）当时，∴，解得当时，解得,∴单调增区间为，单调减区间为（3分）（2）设当时，由题意得时，恒成立当时，恒成立，单调递减，又当时，恒成立，即对于，恒成立（7分）（3）因为由（2）得，当时，恒成立，即对于任意的，，不存在满足条件的；当时，令，可知与符号相同当时，，，单调递减，当时，，即恒成立综上所述，的取值范围为（12分）选考题：（共10分）22．解：（1）∵∴，∴圆C的直角坐标方程为，即∴圆心C的直角坐标为（5分）（2）解法一：直线上的点向圆引切线，则切线长为∴直线上的点向圆引的切线长的最小值为解法二：将直线的参数方程化为普通方程为则圆心C到直线的距离为∴直线上的点向圆引的切线长的最小值为（10分）23．解：（1）①当时，令，解得，又，∴②当时，，令解得又，∴③当时，，令，解得又，∴综上所述：不等式的解集为（2）由（1）得∴∵，使得，∴整理得：，解得：（10分）。
