【K12】高中数学第一章推理与证明1.1归纳与类比演绎推理教案北师大版选修2_2

演绎推理一、教学目标1、知识与技能：(1)了解演绎推理 的含义；(2)能正确地运用演绎推理 进行简单的推理；(3)了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别。

2、方法与过程：认识演绎推理的主要形式为三段论,认识三段论推理一般模式,包括三步(1)大前提,(2)小前提,(3)结论.再从实际应用中认识数学中的证明,主要通过演绎推理来进行的.从实例中认识它的重要作用和具体做法。

3、情感态度与价值观：通过本节的学习,使学生认识到演绎推理在数学中的重要性,我们既需要用合情推理来发现结论,也要用演绎推理来证明结论的对否。

二、教学重点：了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理.教学难点：了解合情推理与演绎推理之间的联系与差别, 分析证明过程中包含的“三段论”形式,三段论的证明原理三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、复习准备：1. 练习： ① 对于任意正整数n ，猜想（2n -1）与(n +1)2的大小关系？②在平面内，若,a c b c ⊥⊥，则//a b . 类比到空间，你会得到什么结论？（结论：在空间中，若,a c b c ⊥⊥，则//a b ；或在空间中，若,,//αγβγαβ⊥⊥则）2. 讨论：以上推理属于什么推理，结论正确吗？合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明，有什么能使结论正确的推理形式呢？3. 导入：（小前提）是二次函数函数12++=x x y（二）、新课探析1.概念：① 概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。

要点：由一般到特殊的推理。

② 讨论：演绎推理与合情推理有什么区别？合情推理⎧⎨⎩归纳推理：由特殊到一般类比推理：由特殊到特殊；演绎推理：由一般到特殊. ③ 提问：观察上面导入的表格，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？２．“三段论”是演绎推理的一般模式；包括⑴大前提---已知的一般原理；⑵小前提---所研究的特殊情况；⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．三段论的基本格式M —P （M 是P ） （大前提）S —M （S 是M ） （小前提）S —P （S 是P ） （结论） 3.三段论推理的依据,用集合的观点来理解:如图若集合M 的所有元素都具有性质P,S 是M 的一个子集,那么S 中所有元素也都具有性质P.④ 举例：举出一些用“三段论”推理的例子.2.例题探析：21.1y x x =++例把“函数的图象是一条抛物线”恢复成完全三段论。

【关键字】教案1.1 归纳推理教学过程：1.创设情景：1．情景㈠：苹果落地的故事，正是基于这个发现，牛顿大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“万有引力定理”思考：整个过程对你有什么启发？教师：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”。

2．情景㈡：陈景润和他在“歌德巴赫猜想”证明中的伟大成就：任何一个大于4的偶数都可以写成两个奇素数之和。

如：6＝3+3，8＝3+5，10＝5+5, 12＝5+7，14＝7+7，16＝5+11,…，1000＝29＋971，1002＝139＋863，……2.探求研究:探究1．学生根据自备的多面体进行观察，统计多面体的面数、顶点数和棱数；（学生实验与教师课件演示结合）探究2．观察、猜想它们之间是否有稳定的数量关系？探究3．整理所得结论，并尝试证明；若得证，则改写成定理，否则修改猜想，进一步尝试证明。

教师指导，合作交流，归纳：，，，F+V-E=2等等，其中“F+V-E=为“欧拉公式”。

3.概念讲解结合情景问题和探究过程所得，教师引导学生完成归纳推理的概念及分析。

定义：根据一类事物的部分事物具有某种属性,推断该类事物的每一个都具有这种属性的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).多面体面数(F) 顶点数(V) 棱数(E) 三棱锥 4 4 6四棱锥 5 5 8三棱柱 5 6 9五棱锥 6 6 10立方体 6 8 12正八面体8 6 12五棱柱7 10 15截角正方体7 10 15尖顶塔9 9 16说明：⑴归纳推理的作用：发现新事实，获得新结论；(2)归纳推理的一般步骤：试验、观察→概括、推广→猜测一般性结论→证明；⑶归纳推理的结论不一定成立。

4.例题解析例1：在数列中，猜想这个数列的通项公式？解析：先由学生计算：归纳：说明（学生完成）：⑴有整数和分数时,往往将整数化为分数；⑵当分子分母都在变化时,往往统一分子(或分母),再寻找另一部分的变化规律.例2：（拓展）问：如果面积是一定的，什么样的平面图形周长最小？试猜测结论。

第一章推理与证明
章末小结
一、归纳和类比
1．归纳推理和类比推理是常用的合情推理，都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理．
2．从推理形式上看，归纳是由部分到整体、由个别到一般的推理；类比是两类事物特征间的推理，是由特殊到特殊的推理．
二、直接证明和间接证明
1．直接证明包括综合法和分析法．
(1)综合法证明数学问题是“由因导果”，而分析法则是“执果索因”，二者一正一反，各有特点．综合法的特点是表述简单、条理清楚，分析法则便于解题思路的探寻．
(2)分析法与综合法往往结合起来使用，即用分析法探寻解题思路，而用综合法书写过程，即“两头凑”，可使问题便于解决．
2．间接证明主要是反证法．
反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立．
反证法主要适用于以下两种情形：
(1)要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；
(2)如果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形．
三、数学归纳法
数学归纳法是推理逻辑，它的第一步称为归纳奠基，是论证的基础保证，即通过验证落实传递的起点，这个基础必须真实可靠；它的第二步称为归纳递推，是命题具有后继传递性的保证，两步合在一起为完全归纳步骤．这两步缺一不可．第二步中证明“当n＝k＋1时结论正确”的过程中，必须用“归纳假设”，否则就是错误的．
1。

第一章推理与证明1.1.1归纳推理教学设计教学目标1.通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理这种基本的分析问题法，认识归纳推理的基本方法与步骤，并把它们用于对问题的发现与解决中去。

2.归纳推理是从特殊到一般的推理方法，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。

教学重点了解合情推理的含义，能利用归纳法进行简单的推理。

教学难点用归纳进行推理，做出猜想。

教学过程一、课堂引入从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理。

见书上的三个推理案例，回答几个推理各有什么特点？都是由“前提”和“结论”两部分组成，但是推理的结构形式上表现出不同的特点，据此可分为合情推理与演绎推理二、新课讲解1、蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。

蛇，鳄鱼，海龟，蜥蜴都是爬行动物，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。

2、三角形的内角和是180︒，凸四边形的内角和是360︒，凸五边形的内角和是540︒由此我们猜想：凸边形的内角和是(2)180n-⨯︒3、221222221,,,331332333+++<<<+++，由此我们猜想：a a mb b m+<+（,,a b m均为正实数）这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为归纳推理.(简称：归纳)归纳推理的一般步骤：⑴对有限的资料进行观察、分析、归纳整理；⑵提出带有规律性的结论，即猜想；⑶检验猜想。

三、例题讲解例1 通过观察下列等式，猜想一个一般性结论，并证明结论的真假。

23130sin 75sin 15sin 222=++ ；23145sin 85sin 25sin 222=++ ； 23150sin 90sin 30sin 222=++ ；23180sin 120sin 60sin 222=++ 。

1.1.1 归纳推理教学过程：一：创设情景，引入概念师：今天我们要学习第一章：推理与证明。

那么什么是推理呢？下面请大家仔细看这段flash，体验一下flash动画中，人物推理的过程。

（学生观看flash动画）。

师：有哪位同学能描述一下这段flash动画中的人物的推理过程吗？生：flash中人物通过观察，发现7只乌鸦是黑色的于是得到推理：天下乌鸦一般黑。

师：很好！那么能不能把这个推理的过程用一般化的语言表示出来呢？生：这是从一个或几个已有的判断得到一个新的判断的过程。

师：非常好！（引出推理的概念）。

师：推理包括合情推理和演绎推理，而我们今天要学的知识就是合情推理的一种——归纳推理。

那么，什么是归纳推理呢？下面我们通过介绍数学中的一个非常有名的猜想让大家体会一下归纳推理的思想。

（引入哥德巴赫猜想）师：据说哥德巴赫无意中观察到：3+7=10，3+17=20，13+17=30，这3个等式。

大家看这3个等式都是什么运算？生：加法运算。

师：对。

我们看来这些式子都是简单的加法运算。

但是哥德巴赫却把它做了一个简单的变换，他把等号两边的式子交换了一下位置，即变为：10=3+7，20=3+17，30=13+17。

大家观察这两组式子，他们有什么不同之处？生：变换之前是把两个数加起来，变换之后却是把一个数分解成两个数。

师：大家看等式右边的这些数有什么特点？生：都是奇数。

师：那么等式右边的数又有什么特点呢？生：都是偶数。

师：那我们就可以得到什么结论？生：偶数=奇数+奇数。

师：这个结论我们在小学就知道了。

大家在挖掘一下，等式右边的数除了都是奇数外，还有什么其它的特点？（学生观察，有人看出这些数还都是质数。

）师：那么我们是否可以得到一个结论：偶数=奇质数+奇质数？（学生思考，发现错误！）。

生：不对！2不能分解成两个奇质数之和。

师：非常好！那么我们看偶数4又行不行呢？生：不行！师：那么继续往下验证。

（学生发现6=3+3，8=5+3，10=5+5，12=5+7，14=7+7……）师：那我们可以发现一个什么样的规律？生：大于等于6的偶数可以分解为两个奇质数之和。

第一章 推理与证明一、教学目标1、了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用。

2、了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程与特点。

3、了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程与特点。

4、了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

二、教学重点：1、能利用归纳和类比等进行简单的推理2、能用综合法、分析法、反证法、数学归纳法证明一些简单的数学命题。

教学难点：数学归纳法 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 (一)知识结构本章在回顾已有知识的基础上逐一介绍了合情推理的两种基本思维方式：归纳推理、类比推理，以及数学证明的主要方法：分析法、综合法、反证法、数学归纳法，上述推理方式和证明方法都是数学的基本思维过程，它们贯穿于整个高中数学的学习中，数学知识的学习过程也是这些思维方法的领悟、训练和应用的过程，要通过学习感受逻辑思维在数学以及日常生推理与证明AFBCME活中的作用。

（二）、例题探析例1、将下面平面几何中的概念类比到立体几何中的相应结果是什么？请将下表填充完整。

例2、分别用分析法和综合法证明：在△ABC 中，如果AB =AC ，BE ，CF 分别是三角形的高线，BE 与CF 相交于点M ，那么，MB =MC 。

证明：（分析法）要证明MB =MC ，只需证明△BFM ≌△CEM 。

因为△BFM ，△CEM 均为直角三角形，且∠BMF =∠CME ， 只需证明BF =CE 即可。

在Rt △BFC 与Rt △CEB 中，由于△ABC 为等腰三角形， ∠ABC =∠ACB ，BC =BC ，∠EBC =∠FCB ，有△BFC ≌△CEB ，BF =CE 以上各布可逆，故MB =MC 。

（综合法）在Rt △BFC 与Rt △CEB 中，由于△ABC 为等腰三角形， 有∠ABC =∠ACB ，BC =BC ，∠EBC =∠FCB ，可知△BFC ≌△CEB ，所以BF =CE 在Rt △BFM 与Rt △CEM 中，∠BMF=∠CME ，∠FBM =∠ECM ， 所以△BFM ≌△CEM ，MB =MC ，得证。

1.1 归纳推理-北师大版选修1-2教案一、教学目标1.了解归纳推理的含义和基本方法。

2.能够运用归纳推理的方法对新事物进行分析和总结。

3.理解归纳推理在日常生活和科学研究中的作用。

二、教学重难点•归纳法的基本概念和方法。

•归纳法在实际问题中的应用。

三、教学内容及方法A. 归纳推理的概念和方法归纳法是基于具体实例得出一般结论的思维方法。

它基于一个前提，即通过已知的若干个具体实例推断出对所有实例都适用的一般性规律。

在归纳推理的过程中，需要遵循以下步骤：1.收集一定量的实例。

2.分析实例，找到它们之间的规律或共性。

3.根据上述规律，得出结论并进行检验。

4.如果结论符合实际情况，即可推广应用。

在教学中，可以通过让学生分析和总结日常生活和学习中的实际例子，引导学生了解归纳推理的概念和方法。

B. 归纳推理的应用归纳法是科学研究中的一种重要方法。

科学家通过对具体实验的观察和分析，引出一般性规律，并对新的实验进行预测和验证。

案例1：研究金属膨胀系数学生可以了解到，在科学研究中，为了确定金属的膨胀系数，科学家通过多次实验收集数据，并分析得出了数学公式，用于计算金属在温度变化时的膨胀率。

案例2：研究“生命起源”学生可以了解到，生命起源的理论是基于对生命形态和生理机能共性的归纳总结。

科学家通过对已知的生命形态和机能进行分析，得出了生命共性的模型，从而推断出生命的起源。

从案例中可以看出，归纳法不仅在日常生活中有着广泛的应用，而且在科学研究中起着至关重要的作用。

四、教学设计A. 教学过程1.导入环节通过让学生分析日常生活中的例子，了解归纳推理的概念和方法。

2.知识讲授讲解归纳法的定义、基本方法以及在科学研究中的应用。

3.案例分析引导学生通过案例分析，了解归纳法在日常生活和科学研究中的具体应用。

4.练习巩固教师出示一些具体的问题，让学生运用归纳法来解决。

5.总结反思让学生总结本节课的主要内容，反思自己在学习过程中的收获和不足。