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ADI-FDTD方法

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fdtd有限时域差分在光刻中的应用 -回复

fdtd有限时域差分在光刻中的应用 -回复

fdtd有限时域差分在光刻中的应用-回复FDTD（Finite-difference time-domain）有限时域差分方法是一种应用于电磁场求解的数值模拟方法。

其在光刻领域中的应用主要用于设计和优化光刻光源、光刻机相场、光掩模和光刻介质等关键元件。

本文将详细介绍FDTD方法在光刻中的应用，并逐步解释其工作原理和算法。

第一部分：FDTD方法的基本原理FDTD方法是一种时域全波求解方法，其基本思想是将Maxwell方程组在时域内进行离散化，利用差分格式进行数值求解。

对于三维情况，它在空间上将求解区域划分为网格，时间上将求解区域划分为时步。

通过在网格上离散Maxwell方程组，可以得到电场和磁场的时序演化。

FDTD方法具有广泛的适用性和数值稳定性，能够模拟复杂光学器件的电磁传输和相场分布。

第二部分：光刻中的应用场景1. 光刻光源设计和优化光刻光源的设计和优化是提高光刻分辨率和工艺品质的关键因素。

通过在FDTD模拟中引入设计参数，如波长、光束形状等，可以评估不同方案的光源性能，并提供光刻工艺改进的建议。

2. 光刻机相场分析光刻机在光刻过程中的相场分布对于芯片的精度和质量至关重要。

利用FDTD方法，可以模拟光刻过程中光源的照射、掩模的光透过、投影镜头的衍射等过程，分析在不同光刻条件下的相场分布，从而指导光刻机的调整和优化。

3. 光掩模设计光刻过程中的掩模设计也是提高分辨率和衍射限制的重要方向。

通过在FDTD模拟中建模掩模的二维结构和材料参数，可以得到在光照条件下的透射率和相位分布，进而评估掩模对光照模式的影响和光刻效果。

4. 光刻介质设计光刻介质作为光刻过程中的能量接收和传输介质，对于光刻分辨率和工艺过程中的能量损失起着重要作用。

利用FDTD方法，可以模拟光照条件下光刻介质的电磁传输和光损耗情况，评估不同材料参数对光刻效果的影响，并指导光刻介质的优化设计。

第三部分：FDTD方法的算法步骤1. 网格划分将求解区域离散化为规则的网格，网格的大小和密度与所求解问题的复杂程度和准确度要求相关。

FDTD方法

FDTD方法

有限差分法(FDM)的起源,讨论其在静电场求解中的应用.以铝电解槽物理模型为例,采用FDM 对其场域进行离散,使用MATLAB和C求解了各节点的电位.由此,绘制了整个场域的等位线和电场强度矢量分布.同时,讨论了加速收敛因子对超松弛迭代算法迭代速度的影响,以及具有正弦边界条件下的电场分布.有限差分法有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。

该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。

有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。

该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。

分类对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。

从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。

考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。

目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。

差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。

构造差分的方法构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。

其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。

通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式2 时域有限差分法时域有限差分法是一种在时域中求解的数值计算方法，求解电磁场问题的FDTD方法是基于在时间和空间域中对Maxwell旋度方程的有限差分离散化一以具有两阶精度的中心有限差分格式来近似地代替原来微分形式的方程。

FDTD 方法模拟空间电磁性质的参数是按空间网格给出的，只需给定相应空间点的媒质参数，就可模拟复杂的电磁结构。

fdtd光学仿真原理

fdtd光学仿真原理

fdtd光学仿真原理
FDTD（Finite-Difference Time-Domain）是一种基于有限差分时间域方法的光学仿真原理。

它是一种数值计算方法，用于模拟电磁波在空间和时间上的传播和相互作用。

FDTD方法基于Maxwell方程组，通过将空间和时间离散化为网格，将电场和磁场分量在网格点上进行计算。

在每个时间步长中，根据电场和磁场的更新公式，计算它们在下一个时间步长的值。

通过迭代计算，可以模拟电磁波的传播和相互作用过程。

FDTD方法的优点包括简单易懂、适用于各种复杂的光学结构和材料、能够考虑非线性和吸收等效应。

它广泛应用于光学器件设计、光纤通信、光子晶体等领域的仿真和优化。

在进行FDTD光学仿真时，需要确定网格的大小和分辨率、时间步长的选取、边界条件的设定等。

此外，还需要考虑材料的折射率、吸收系数等参数的设定，以及光源的位置和波长等。

总之，FDTD光学仿真原理是基于有限差分时间域方法的数值计算方法，用于模拟电磁波在空间和时间上的传播和相互作用。

它是一种强大的工具，可以帮助研究人员和工程师设计和优化各种光学器件和系统。

1。

FDTD网络并行计算及ADI-FDTD方法研究

FDTD网络并行计算及ADI-FDTD方法研究

FDTD网络并行计算及ADI-FDTD方法研究FDTD网络并行计算及ADI-FDTD方法研究引言：随着电磁场仿真领域的快速发展，传统的有限差分时域（FDTD）方法在计算速度和存储资源方面逐渐受到限制。

为了解决这些问题，研究者们开展了FDTD网络并行计算及ADI-FDTD方法研究，旨在提高计算速度和减少存储资源占用。

本文将探讨FDTD网络并行计算的基本原理、算法设计和实现过程，以及ADI-FDTD方法的应用和效果分析。

一、FDTD网络并行计算的基本原理FDTD网络并行计算是基于并行计算技术对FDTD算法进行加速的一种方法。

它通过将电磁场仿真问题划分成多个子域，并使用多个计算节点同时计算各个子域的电磁场分布，从而提高计算效率。

FDTD网络并行计算的基本原理包括任务划分、进程间通信和结果汇总三个方面。

1. 任务划分任务划分是将整个电磁场仿真问题划分成多个子域的过程。

划分的原则是使每个子域尽可能均匀分布计算量，且保持与原始问题的边界条件和物理特性相一致。

2. 进程间通信进程间通信是各个计算节点之间交换信息的过程。

在FDTD网络并行计算中，各个计算节点需要交换与边界相邻的电磁场分布信息，以保持边界条件的准确性。

3. 结果汇总结果汇总是将各个计算节点计算得到的电磁场分布结果进行合并的过程。

通常采用串行方式或并行归约方式，将各个计算节点的结果进行累加得到最终的电磁场分布结果。

二、FDTD网络并行计算的算法设计与实现FDTD网络并行计算的算法设计主要包括数据划分、任务调度和进程间通信等方面。

实现过程中需要权衡计算负载的均衡性和通信开销的减小，以提高整体计算效率。

1. 数据划分数据划分是将整个电磁场分布划分成多个小区域的过程。

通过将区域划分成多个均匀的网格单元，将计算任务分配给各个计算节点来实现并行计算。

一般通过选择适当的数据划分策略来保证计算负载的均衡性。

2. 任务调度任务调度是指将划分好的任务分配给各个计算节点进行计算的过程。

FDTD方法

FDTD方法

有限差分法(FDM)的起源,讨论其在静电场求解中的应用.以铝电解槽物理模型为例,采用FDM对其场域进行离散,使用MATLAB和C求解了各节点的电位.由此,绘制了整个场域的等位线和电场强度矢量分布.同时,讨论了加速收敛因子对超松弛迭代算法迭代速度的影响,以及具有正弦边界条件下的电场分布.有限差分法有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。

该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。

有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。

该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。

分类对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。

从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。

考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。

目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。

差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。

构造差分的方法构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。

其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。

通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式2 时域有限差分法时域有限差分法是一种在时域中求解的数值计算方法，求解电磁场问题的FDTD方法是基于在时间和空间域中对Maxwell旋度方程的有限差分离散化一以具有两阶精度的中心有限差分格式来近似地代替原来微分形式的方程。

FDTD 方法模拟空间电磁性质的参数是按空间网格给出的，只需给定相应空间点的媒质参数，就可模拟复杂的电磁结构。

Adi-FDTD

Adi-FDTD

FDTD简介
FDTD方法的扩展：
网络并行FDTD方法 时域多分辨小波（MRTD）方法
伪谱时域差分（PSTD）方法
简化时域有限差分（RFDTD）方法 交替方向隐式时域差分（ADI-FDTD）方法
FDTD简介
优点：计算相对简单 显式差分 足一定要求 缺点：时间步长必须满 优点：无条件稳定性 隐式差分缺点：计算复杂且量大
ECJTU@2013
概要
FDTD简介 背景及发展 基本原理
FDTD简介
传统的FDTD法属于显式差分方法，因而具有显式差分
方法的共同特性，解得过程必须满足稳定性条件。对 FDTD法来说，就是必须满足Courant条件。
1 1 1 1 2 2 (x) (y ) (z ) 2
背景及发展
基本原理
2.二维ADI-FDTD差分格式 考虑空间一个无源区域，
其媒质参数不随时间变 化且各向同性，二维TE 波情况的麦克斯韦旋度 方程在直角坐标系中写 成分量式为：
E x H z y t E y H z x t E y E x H z y t x
基于交变隐式差分方向方法的时域有限差分法基于交变隐式差分方向方法的时域有限差分法adifdtdecjtu2013概要?fdtd简介?背景及发展?基本原理fdtd简介?传统的fdtd法属于显式差分方法因而具有显式差分方法的共同特性解得过程必须满足稳定性条件
ADI-FDTD
基于交变隐式差分方向方 法的时域有限差分法

1
2

t 1 1 i , j 2 2 2 y E E Nhomakorabea
n 1 x n 1 2 y

时域有限差分方法发展

时域有限差分方法发展时域有限差分方法（FDTD）是一种数值模拟方法，用于分析电磁波在电磁介质中的传播规律和行为。

FDTD 方法因其精度高、适用性强和易于实现等特点，已成为求解电磁问题的重要数值方法之一。

本文将介绍 FDTD 方法的历史、理论基础、发展和应用。

一、FDTD方法的历史FDTD 方法最早可以追溯到20世纪60年代，当时美国内战研究所的J. T. Sinko 和K. L. Wong 开始了电磁场传输问题的理论研究，他们提出了一种细分方法，也就是时域有限差分方法。

此后，人们对这种方法进行了不断的改进和优化，以增强其计算效果和范围。

1970年代后期，FDTD 方法开始被广泛应用于求解电磁波的传播和散射问题，尤其在电磁场数值模型的精细化计算和二维和三维问题的求解方面得到了广泛应用。

随着计算机硬件和软件水平的提高以及数值方法的发展，FDTD 方法不断得到优化和完善，使得其在各种应用领域中都能得到成功地应用。

二、FDTD方法的理论基础FDTD 方法是一种基于麦克斯韦方程组的数值算法，它可以用于求解完整的时间域电磁场的变化。

其核心思想是通过对空间内的电磁场进行离散化处理，将微分方程转化为差分方程，进而用数值计算方法求解出场的值。

FDTD 方法的主要思想是将物理力学中的傅里叶变换方法应用到电磁场问题中。

具体来说，FDTD 方法是否采用离散时间和空间点以在有限时间内模拟模拟区域内的电磁波。

该方法在时间内基于麦克斯韦方程组的简化形式，以离散的形式计算和分析电磁波的传播和反射。

这些离散点可以由网格、三角网格（二维情况下）或四面体、四面体网格（三维情况下）建模。

在离散化计算之后，差分方程可转化为等效的差分模型，以计算场值。

三、FDTD方法的发展在过去几十年中，FDTD 方法得到了快速的发展和广泛的应用。

目前，FDTD方法可用于众多的问题求解，如电磁波的传播问题、微波电路、微波天线设计、宽带天线、电磁兼容性、光学传输问题以及生物医学中的电磁传播问题等。

应用FDTD方法解决电磁辐射问题

应用FDTD方法解决电磁辐射问题自电磁场基本方程以来，电磁场理论和应用的发展已经有一百多年的历史。

目前，电磁波的研究已深入到各个领域，应用十分广泛，例如无线电波传波，光纤通信和移动通信，雷达技术，微波，天线，电磁成像，地下电磁探测，电磁兼容等等。

在各类复杂系统中的电磁问题，主要依靠各种电磁场数值计算方法加以解决。

随着电子计算机处理能力和存储容量的巨大发展，更促进了这些计算方法在实际问题中的应用。

目前在电磁场领域应用的数值算法也是种类繁多，各有其优缺点，常用的电磁场计算方法大致有：FDTD Finite difference time domain （时域有限差分法）TLM Transmission line method （传输线法）FEM Finite element method （有限元法）BEM Boundary element method （边界元法）MoM Method of moments （矩量法） 其中时域有限差分法(FDTD)理论经过30多年的发展和完善，已经成为时域电磁场数值计算的主要方法之一，并广泛应用各类实际工程电磁场中。

一、 FDTD 法简介时域有限差分法以差分原理为基础，直接从概括电磁场普遍规律的麦克斯韦旋度方程出发，将其转换为差分方程组，在一定体积内和一段时间上对连续电磁场的数据采样。

因此，它是以电磁场问题的最原始、最本质、最完备的数值模拟。

以它为基础制作的计算程序，对广泛的电磁场问题具有通用性，因此得到了广泛的应用。

1. Yee 差分算法基本原理考虑空间一个无源区域，其煤质参数不随时间变化且各向同性，由Maxwell 方程组中的两个旋度方程在直角坐标系中可导出六个耦合公式：1(1.1)1(1.2)H E H t E H E t ρμμσεε∂=-∇⨯-∂∂=∇⨯-∂ ⇒1()(1.3)1()(1.4)1()(1.5)1()(1.6)1()(1.7)1()(1.8)y x z x y x z y y x z z y x z x y x z y y x z z E H E H t z y H E E H t x z E E H H t y x H E H E t y z E H H E t z x H H E E t x y ρμρμρμσεσεσε∂⎧∂∂=--⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂=--⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪=--∂∂∂⎪⎨∂∂∂⎪=--⎪∂∂∂⎪∂∂⎪∂=--⎪∂∂∂⎪∂∂∂⎪=--⎪∂∂∂⎩其中ε为介电常数（F/m ）；μ为磁导率（H/m ）；σ为电导率（S/m ）；ρ为磁阻率（/m Ω）。

提高亚网格FDTD法对细导线电流的模拟精度

北京大学学报（自然科学版），第41卷，第5期，2005年9月Acta Scientiarum NaturaIiumUniversitatis Pekinensis，VoI.41，No.5（Sept.2005）提高亚网格FDTD法对细导线电流的模拟精度1）田方龚中麟（北京大学信息科学技术学院电子学系，北京，100871）摘要提出了在时域有限差分（FDTD）方法中应用亚网格技术精确模拟细导线上电流的改进方法———圆形积分回路法。

通过计算同轴线特性阻抗、无限长细导线对!型平面波的散射电流以及单极细圆柱形天线的输入导纳，对所提出的方法作了验证，证明了该方法比常用的矩形积分回路法对细导线上电流的模拟要精确得多。

关键词时域有限差分法；亚网格技术；圆形积分回路法；细导线中图分类号TM1530引言微波集成电路及器件的馈源一般都比较小，而且是电磁能量集中区域，其附近的电磁场分布非常复杂，对它的精确模拟是至今尚未完全解决的问题。

同轴线馈电是微波器件常用的馈电方式，其尺寸和馈电位置的微小改变将引起微波器件输入阻抗和电磁场分布的明显改变，因此对同轴线和同轴探针的准确模拟是模拟微波器件特性的前提。

有限元法具有灵活的网格划分方式，是模拟不规则和精细微波结构的理想工具。

然而，有限元法是频域方法，一次计算只能得到某个频率的解，这是有限元法的不足。

FDTD法的优点是一次计算能得到一个频率区间的解，缺点是网格划分不灵活。

目前，FDTD法的研究中已经出现局部网格细化技术、不规则网格划分技术和亚网格技术，可应用于对不规则和精细微波结构的模拟，但是必须作较多特殊的数学处理。

FDTD法的亚网格技术是用来模拟比常规网格尺度小的结构，如薄介质层、导体的窄缝隙和细导线等。

这样做的目的是节省计算机的存储空间和计算时间。

TafIove用亚网格技术计算了无限长细导线的散射磁场，与本征函数展开法的计算结果很符合，另外TafIove还计算了有限长细导线的散射磁场，与矩量法结果非常一致［1］。

时域有限差分法（FDTD算法）的基本原理及仿真

时域有限差分法（FDTD 算法）时域有限差分法是1966年K.S.Y ee 发表在AP 上的一篇论文建立起来的，后被称为Y ee 网格空间离散方式。

这种方法通过将Maxwell 旋度方程转化为有限差分式而直接在时域求解, 通过建立时间离散的递进序列, 在相互交织的网格空间中交替计算电场和磁场。

FDTD 算法的基本思想是把带时间变量的Maxwell 旋度方程转化为差分形式，模拟出电子脉冲和理想导体作用的时域响应。

需要考虑的三点是差分格式、解的稳定性、吸收边界条件。

有限差分通常采用的步骤是：采用一定的网格划分方式离散化场域；对场内的偏微分方程及各种边界条件进行差分离散化处理，建立差分格式，得到差分方程组；结合选定的代数方程组的解法，编制程序，求边值问题的数值解。

1.FDTD 的基本原理FDTD 方法由Maxwell 旋度方程的微分形式出发，利用二阶精度的中心差分近似，直接将微分运算转换为差分运算，这样达到了在一定体积内和一段时间上对连续电磁场数据的抽样压缩。

Maxwell 方程的旋度方程组为：E EH σε+∂∂=⨯∇tH H E m t σμ-∂∂-=⨯∇ （1） 在直角坐标系中，（1）式可化为如下六个标量方程：⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂+∂∂=∂∂-∂∂z z x y y y z x x x yz E t E y H x H E t E x H z H E t E z H y H σεσεσε，⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫-∂∂-=∂∂-∂∂-∂∂-=∂∂-∂∂-∂∂-=∂∂-∂∂z m zx y y m y z x x m x y z H t H y E x E H t H x E z E H t H z E y E σμσμσμ （2）上面的六个偏微分方程是FDTD 算法的基础。

Y ee 首先在空间上建立矩形差分网格，在时刻t n ∆时刻，F(x,y ,z)可以写成),,(),,,(),,,(k j i F t n z k y j x i F t z y x F n =∆∆∆∆= （3）用中心差分取二阶精度： 对空间离散：()[]2),,21(),,21(),,,(x O xk j i F k j i F x t z y x F n n xi x ∆+∆--+≈∂∂∆= ()[]2),21,(),21,(),,,(y O yk j i F k j i F y t z y x F n n yj y ∆+∆--+≈∂∂∆= ()[]2)21,,()21,,(),,,(z O zk j i F k j i F z t z y x F n n zk z ∆+∆--+≈∂∂∆=对时间离散：()[]22121),,(),,(),,,(t O tk j i F k j i F t t z y x F n n tn t ∆+∆-≈∂∂-+∆= （4） Y ee 把空间任一网格上的E 和H 的六个分量，如下图放置:oyxzEyHzExEzHxEyEyEzEx HyEzEx图1 Y ee 氏网格及其电磁场分量分布在FDTD 中，空间上连续分布的电磁场物理量离散的空间排布如图所示。

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g1 = r1 / b1
g i = (ri − ai g i −1 ) / (bi − ai xi −1 )
这两种方法都是利用高 斯消元的原理，通过前 向和后向迭代 进行求解，其计算量正 比于未知数的个数 n，而不是正比于 n 3。
n 同理，通过（5'）求 E x +1分量时，随着 x坐标的变化逐行扫描组 成
2
2
（17）
（18）
由于p, q取值都大于1，可以得出：
1 ± j pq − 1 ε1 = p
（19）
同样，为了计算过程二的增长因子ε 2，将平面波本征模代入过程二的 式（5）（6）（7）
∆t k y ∆y E x0ε 2 = E x 0 + j ε∆y sin 2 H z 0 ε 2 ∆t k x ∆x E y 0ε 2 = E y 0 − j H z0 sin ε∆x 2
n 时刻E xn +1 , E y +1 , H zn +1分量的大小。
可以发现，两个过程中 对于磁场和电场的值都 是同时计算的。
3.对角型线性方程组求解 对角型线性方程组求解
将（4）代入（3）中，可以得到：
E
n+ 1 2 y
(
i − 1, j + 1
2
2 εµ ∆x 2 n + 1 n 1 + 2 ⋅ E y 2 i, j + 1 + E y + 2 i + 1, j + 1 − 2 2 2 ∆t
v max ∆ t ≤ 1 1 1 1 + + (∆x) 2 (∆y ) 2 (∆z ) 2
其中v max 为电磁波在媒质中传播的最大相速。 如果时间步长不满足上述条件，将导致FDTD计算发散。
FDTD方法的扩展：
网络并行FDTD方法 时域多分辨小波（MRTD）方法 伪谱时域差分（PSTD）方法 简化时域有限差分（RFDTD）方法 交替方向隐式时域差分（ADI-FDTD）方法
（9） （10） （11）
H z = H z 0ε1 exp{− j(k x x + k y y)}
其中k x , k y 分别代表沿x, y方向的波数，ε 1代表过程一的增长因子。
将平面波本征模代入过程一的式（2）（3）（4）可以得到以下关系：
∆t k y ∆y E x0ε 1 = E x 0 + j ε∆y sin 2 H z 0 ∆t k x ∆x E y 0ε 1 = E y 0 − j H z 0ε 1 sin ε∆x 2
在ADI-FDTD中 空间离散仍采用 图（a）所示的 Yee元胞
（1）
把ADI技术应用到FDTD的迭代公式中，需要把第n步到 第n + 1步的计算分成两次来进行。
具体的迭代公式为：
过程一： 1 , j = E xn i + 1 , j + ∆t E i+ 2ε∆y 2 2 ⋅ H zn i + 1 , j + 1 − H zn i + 1 , j − 1 2 2 2 2
)
(
)
(
) )}
（3’）
2 εµ ∆x n E y i, j + 1 + 2 µ∆x ⋅ H zn i + 1 , j + 1 − H zn i − 1 , j + 1 = − 2 ∆t 2 2 2 2 ∆t ห้องสมุดไป่ตู้ ∆x n n + E xn i + 1 , j + 1 − E xn i + 1 , j + E x i − 1 , j − E x i − 1 , j + 1 ∆y 2 2 2 2
T = T + ∆T 2
T > Tmax
结束
图1 ADI − FDTD（二维TE波）的计算流程图
4.稳定性证明 稳定性证明
应用冯·诺依曼方法来分析上面公式中两个过程的稳定性， 设
Ex = Ex0ε1 exp{− j(k x x + k y y)}
E y = E y 0ε1 exp{− j(k x x + k y y )}
n+ 1 2 x
( { (
)
(
)
)
(
)}
（2）
E
⋅H
{
n+ 1 2 y
n+ 1 2 z
∆t (i, j + 1 2 ) = E (i, j + 1 2 ) − 2ε∆x (i + 1 2 , j + 12 ) − H (i + 1 2 , j − 1 2 )}
n y n+ 1 2 z
{ (
n+ 1 2
{ (i + 1, j + 12)− E (i, j + 12)}
n+ 1 2 y
)
(
)}
（7）
在过程一中，通过（2）（4）可算出计算区域各个网格点在n + 1 ~ 时刻E
n+ 1 2 x
2
,E
n+ 1 2 y
,H
n+ 1 2 z
分量的大小。
在过程二中，通过（5）（7）可算出计算区域各个 网格点在n + 1 ~
n+ i + 1 , j + 1 = Hz 2 2
)
1
2
∆t (i + 1 2 , j + 1 2 ) + 2µ∆y
∆t ⋅ E xn +1 i + 1 , j + 1 − E xn +1 i + 1 , j − 2 µ∆y 2 2 ⋅ Ey
(
)
{ (
)
)
{ (
)
(
(
)
(
通过（3'）求E
b1 a 2
n+ 1 2 y
分量时，随着 y坐标的变化逐行（具有 相同x坐标）
x1 r1 x r 2 2 ⋅ K = K c n −1 x n −1 rn −1 bn x n rn
i = N − 1, N − 2, K,1 : xi = xi − g i +1 xi +1
方法二： For i = 1 : x1 = c1 / b1 For For For
i = 2,3,K, N − 1 : xi = ci / (bi − ai xi −1 ) i = N : xi = (ri − ai g i −1 ) / (bi − ai xi −1 ) i = N − 1, N − 2,K,1 : xi = g i − xi xi +1
{ (
{ (i + 1, j + 12)− E (i, j + 12)}
n+ 1 2 n+ 1 2 y
)
(
)}
（4）
过程二： E
n +1 x
(
⋅ H zn +1
E
n +1 y
{ (
n+ i + 1 , j = Ex 2
1 , j + ∆t i+ 2ε∆y 2 i + 1 , j + 1 − H zn +1 i + 1 , j − 1 2 2 2 2
线性方程组，该线性方 程组同样也为对角型系 统，可以按照相同 的方式求解。 通过上面的分析，可以 得到 ADI − FDTD 方法的计算流程，如图 所示：
开始
T =0
过程一 （2）（3'）（4）
T = T + ∆T
分别更新 E x , E y , H z
2
过程二 （5'）（6）（7） 分别更新 E x , E y , H z
(
)
{ (
)
(
{ (
)
(
)
(
)
(
)}
将（7）代入（5）中，可以得到：
E
n +1 x
(
2 n n 1 , j − 1 − 2 εµ ∆y + 2 ⋅ E x +1 i + 1 , j + E x +1 i + 1 , j + 1 i+ 2 2 2 ∆t 2
1 2
)
(
)
)
(
)}
（5）
⋅H
{
(
i, j + 1
n+ 1 2 z
∆t ) = E (i, j + 1 2 )− 2ε∆x 2 (i + 1 2 , j + 12 ) − H (i + 1 2 , j − 1 2 )}
n+ 1 2 y n+ 1 2 z
（6）
H
n +1 z
(
（12）
（13）
H z 0ε 1 = H z 0
k y ∆y ∆t ∆t k x ∆x E x0 − j sin sin + j E y 0ε 1 µ∆y 2 µ∆x 2
（14）
整理成为矩阵的形式 :
−
ε1 − 1
扫描组成线性方程组， 该线性方程组为对角型 系统，其数学模型为：