(完整版)全等三角形难题超级好题汇总

1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 的长.解：延长AD 到E,使AD=DE∵D 是BC 中点∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中AD=DE∠BDE=∠ADCBD=DC∴△ACD ≌△BDE∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE ＜AE ＜AB+BE∵AB=4即4-2＜2AD ＜4+21＜AD ＜3∴AD=22. 已知：BC=ED ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2证明：连接BF 和EF∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF连接BE在三角形BEF 中,BF=EF∴ ∠EBF=∠BEF 。

∵ ∠ABC=∠AED 。

∴ ∠ABE=∠AEB 。

∴ AB=AE 。

在三角形ABF 和三角形AEF 中AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。

∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

AD B C已知：∠1=∠2，CD=DE，EF如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。

求证：BC=AB+DC。

在BC上截取BF=AB，连接EF∵BE平分∠ABC∴∠ABE=∠FBE又∵BE=BE∴⊿ABE≌⊿FBE（SAS）∴∠A=∠BFE∵AB知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C证明：设线段AB,CD所在的直线交于E，则：△AED是等腰三角形。

∴AE=DE而AB=CD∴BE=CE∴△BEC是等腰三角形∴∠B=∠C.是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB<AC-AB在AC上取点E，使AE＝AB。

∵AE＝ABBACDF21EAAP＝AP∠EAP＝∠BAE，∴△EAP≌△BAP∴PE＝PB。

PC＜EC＋PE∴PC＜（AC－AE）＋PB∴PC－PB＜AC－AB。

初二数学全等三角形专题（难题） 1、在等边ABC ∆的两边AB ，AC 所在直线上分别有两点M N D ，，为ABC ∆外一点，且60MDN ∠=︒，120BDC ∠=︒，BD CD =，探究：当点M N ，分别爱直线AB AC ，上移动时，BM BN MN ，，之间的数量关系．⑴如图①，当点M N ，在边AB AC ，上，且DM DN =时，BM NC MN ，，之间的数量关系式_________； ⑵如图②，当点M N ，在边AB AC ，上，且DM DN ≠时，猜想(1)问的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；2、如图，ABC ∆的边BC 在直线l 上，AC BC ⊥，且AC BC =；EFP ∆的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =．⑴ 在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系；⑵ 将EFP ∆沿直线l 向左平移到图2的位置时，EP 交AC 于点Q ，连结AP ，BQ ．猜想并写出BQ 与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；⑶ 将EFP ∆沿直线l 向左平移到图3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长线于点Q ，连结AP ，BQ ．你认为⑵中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．3、已知，在ABC ∆中，ACB ∠为锐角，D 是射线BC 上一动点(D 与C 不重合)，以AD 为一边向右侧作等边ADE ∆(C 与E 不重合)，连接CE ．⑴ 若ABC ∆为等边三角形，当点D 在线段BC 上时(如图1所示)，则直线BD 与直线CE 所夹锐角为 度；⑴ 若ABC ∆为等边三角形，当点D 在线段BC 的延长线上时(如图2所示)，你在⑴中得到的结论是否仍然成立？请说明理由；⑴ 若ABC ∆不是等边三角形，且BC AC >(如图3所示)．试探究当点D 在线段BC 上时，你在⑴中得到的结论是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请指出当ACB ∠满足什么条件时，能使⑴中的结论成立，并说明理由．3、(1)如图，在四边形ABCD 中，90AB AD B D =∠=∠=︒，，E F 、分别是边BC CD 、上的点，且12EAF =BAD ∠∠．求证：EF BE FD =+;图①M NDCBA图②MND CBA图⑴lPC (F )B A (E )图⑵Q ←lPFE C B A图⑶←QAEB CF Pl图1FED C B A图2B C D F AE图3B CFA(2) 如图在四边形ABCD 中，180AB AD B+D =∠∠=︒，，E F 、分别是边BC CD 、上的点，且12EAF BAD ∠=∠， (1)中的结论是否仍然成立？不用证明．(3) 如图，在四边形ABCD 中，AB AD =，180B ADC ∠+∠=︒，E F ，分别是边BC CD ，延长线上的点，且12EAF BAD ∠=∠， (1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．4、如图，已知⑴ABC 是等边三角形，E 是AC 延长线上一点，选择一点D ，使得⑴CDE 是等边三角形，如果M 是线段AD 的中点，N 是线段BE 的中点， 求证：⑴CMN 是等边三角形．（根据⑴ACD ⑴⑴BCE ，得出AD=BE ，AM=BN ；又⑴AMC ⑴⑴BNC ，可得CM=CN ，⑴ACM=⑴BCN ，证明⑴NCM=⑴ACB=60°即可证明⑴CMN 是等边三角形；）EFDCBAEFD CBAEFDCBA外角的平分线交于点N，DM与MN有怎样的数量关系?点M、N分别在AB、AC上，求AMN∆的周长．BMNM CBA。

全等三角形难题(含答案)1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点 ∴BD=DC在△ACD 和△BDE 中 AD=DE∠BDE=∠ADC BD=DC∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2∵在△ABE 中 AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4即4-2＜2AD ＜4+2 1＜AD ＜3 ∴AD=22. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB延长CD 与P ，使D 为CP 中点。

连接AP ,BP ∵DP=DC,DA=DB∴ACBP 为平行四边形 又∠ACB=90∴平行四边形ACBP 为矩形ADBCC∴AB=CP=1/2AB3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠24. 5. 证明：连接BF 和EF∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF∴ 三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边) ∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE在三角形BEF 中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF 。

∵ ∠ABC=∠AED 。

∴ ∠ABE=∠AEB 。

∴ AB=AE 。

在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴ 三角形ABF 和三角形AEF 全等。

∴ ∠BAF=∠EAF (∠1=∠2)。

已知：∠1=∠2，CD=DE，EFBBA CDF2 1 E如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。

求证：BC=AB+DC 。

在BC 上截取BF=AB ，连接EF ∵BE 平分∠ABC ∴∠ABE=∠FBE 又∵BE=BE∴⊿ABE ≌⊿FBE （SAS ） ∴∠A=∠BFE∵AB 知：ABDC BAFEABC DA14.P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB<AC-AB在AC上取点E，使AE＝AB。

全等三角形难题（含答案）1.已知：AB=4, AC=2 D 是BC 中点，AD 是整数，求 AD解：延长AD 至U E,使AD=DE •/ D 是BC 中点 ••• BD=DC在^ ACD^n ^ BDE 中AD=DE/ BDE=Z ADCBD=DC••• AC=BE=2•••在△ ABE 中AB-BEv AE< AB+BE •/ AB=4即 4-2 v 2AD< 4+2 1v ADV 3••• AD=2延长CD 与 P,使D 为CP 中点。

连接 AP,BP •••DP=DC,DA=DB •••ACBP 为平行四边形又/ ACB=90•••平行四边形ACBP 为矩形2.已知：D 是AB 中点，/ ACB=90，求证: CD 1 -AB2••• AB=C P=1/2ABBC=DE / B=/ E ,/ C=/ D, F 是 CD 中点，求证：/ 仁/ 2证明：•/ BC=ED,CF=DF,/ BCF=/ EDF•••三角形BCF 全等于三角形 EDF （边角边）••• BF=EF, / CBF=/ DEF连接BE在三角形BEF 中,BF=EF••• / EBF=/ BEF•/ / ABC / AED••• / ABE=/ AEB •• AB=AE 。

在三角形ABF 和三角形AEF 中AB=AE,BF=EF,/ ABF=/ ABE+/ EBF=/ AEB+Z BEF=/ AEF•••三角形ABF 和三角形AEF 全等。

••• / BAF=/ EAF （ / 1 = / 2）。

4.已知：/ 仁/ 2, CD=DE EF//AB ，求证：EF=AC过C 作CG/ EF 交AD 的延长线于点GCG/ EF ，可得，/ EFD= CGDDE= DC/ FDE =/ GDC （对顶角）3.已知: 连接BF 和EFEF= CG/ CGD=/ EFD又，EF// AB•••/ CGD=/ 2 :.△ AGC为等腰三角形,AG= CG又EF = CG ••• EF= AC5.已知：AD平分/ BAC AC=AB+BD 求证：/ B=2/ C证明：延长AB取点E,使AE= AC连接DE•/ AD平分Z BAC• / EAD=/ CAD•AE= AC, AD= AD.△ A ED^A ACD (SAS• / E=/ C•AC= AB+BD• AE= AB+BD•AE= AB+BE• BD= BE• / BDE=/ E-/ ABC=/ E+Z BDE• / ABC= 2/ E• Z ABC= 2/ C6.已知：AC平分/ BAD CE丄AB, / B+Z D=180°，求证：AE=AD+BE证明：在AE上取F,使EF= EB,连接CF• CE 丄AB• / CEB=/ CEF= 90°•EB= EF, CE= CE,.△ CEB^A CEF• / B=/ CFE•/ B+/ »180°，/ CFE+/ CFA= 180• / CFAAC平分/ BAD./ DAC=/ FAC•AC= AC• △ ADC^A AFC( SAS• A» AF• AE= AF+ FE= AD+ BE12.如图，四边形ABCD中, AB// DC BE、CE分别平分/ ABC / BCD且点E在AD上。

1.已知：如图，AB ∥DE ，AC ∥DF ，BE =CF ．求证：AB =DE ．A DB EC F 【答案】∵ AB ∥ DE ，∴ ∠B =∠DEF∵AC ∥DF ，∴∠F =∠ACB∵ BE =CF ，∴ BE +EC =CF +EC 即 BC =EF∴∆ABC ≌∆DEF ，∴AB =DE ．2.图中是一副三角板，45︒的三角板Rt ∆DEF 的直角顶点D 恰好在30︒的三角板Rt ∆ABC 斜边AB 的中点处，∠A = 30︒，∠E = 45︒，∠EDF =∠ACB = 90︒，DE 交AC 于点G ，GM ⊥AB 于M ．（1）如图1，当DF 经过点C 时，作CN ⊥AB 于N ，求证：AM =DN ．（2）如图2，当DF ∥AC 时，DF 交BC 于H ，作HN ⊥AB 于N ，（1）的结论仍然成立，请你说明理由．FCEGAM D N B图1ECFG HA B图2【答案】⑴ ∵ ∠A = 30︒，∠ACB = 90︒， D 是 AB 的中点，∴ BC =BD ， ∠B = 60︒ ∴△BCD 是等边三角形．又∵CN ⊥DB ，∴DN =1DB ，2∵∠EDF = 90︒，∆BCD 是等边三角形．∴∠ADG = 30︒，而∠A = 30︒，∴GA =GD ．∵ GM ⊥AB ，∴AM =1 AD 2又∵AD =DB ，∴AM =DN ．⑵∵DF ∥AC ，∴∠BDF =∠A = 30︒，∠AGD =∠GDH = 90︒，∴∠ADG = 60︒．∵∠B = 60︒，AD =DB ，∴∆ADG ≌∆DBH ，∴AG =DH ，又∵∠BDF =∠A ，GM ⊥AB ，HN ⊥AB ，∴∆AMG ≌∆DNH ．∴AM =DN ．3.在正方形ABCD 中，AB 、BC 、CD 三边上分别有点E 、G 、F ，且EF ⊥DG ．求证：EF =DG ．⎨ ⎩ADA DEEM FFB G CBGC【答案】过点C 作 EF 的平行线，交 AB 于 M ．易知CM = EF ．从而证的∆BCM ≌ ∆CDG ，从而有 DG = CM ，故 EF = DG ．4.在正方形 ABCD 中， E 、 F 、G 、 H 分别是 AB 、 BC 、CD 、 DA 边上的点，且 EG ⊥ FH ，求证： EG = FH ．A HD A H N DGGEEMBF CBF C【答案】过点 E 作 EM ⊥ CD ，过点 F 作 FN ⊥ AD ，垂足分别为 M 、N ． 由 EM ⊥ CD ， FN ⊥ AD ， EG ⊥ FH ，易得∠MEG = ∠NFH 因为 EM = BC ， BC = CD ， CD = NF ，所以 EM = NF 故∆EMG ≌ ∆NFH ，所以 EG = FH ．5.∆ABC 中， ∠B = 90︒ ， M 为 AB 上一点，使得 AM = BC ， N 为 BC 上一点，使得CN = BM ，连 AN 、CM 交于 P 点．试求∠APM 的度数，并写出你的推理证明的过程．AMBN C【答案】∠APM 的度数为45︒证明过程如下：如图过点 M 作 AB 的垂线 MD ，使 MD = CN ，连接 DA 、 DN ， 于是因为 MD ∥ CN 且 MD = CN ，所以四边形 MDNC 是平行四边形． 从而∠MDN = ∠MCN ，又因为CN = BM ，得到 DM = BM ，进而在∆MDA 与∆MBC 中， ⎧DM = BM ⎪∠DMA = ∠MBC = 90︒ ， ⎪MA = BC PFP⎨ ⎩所以∆DMA ≌ ∆MBC ，这样 DA = MC ，而 MC = DN ， 所以 DN = DA ．又因为∠ADN = ∠ADM + ∠MDN= ∠ADM + ∠DAM = 90︒ ， 所以得到∆ADN 是一个等腰直角三角形，所以∠AND = 45︒ ，利用 MC ∥ DN ，从而得到∠APM = ∠AND = 45︒ ．ADB NC6.如图，在Rt ∆ABC 中， AB = AC ，AD ⊥ BC ，垂足为 D ． E 、F 分别是CD 、AD 上的点，且CE = AF ．如果∠AED = 62︒ ，那么∠DBF = ．A【答案】28︒BDE7.E 、F 分别是正方形 ABCD 的 BC 、CD 边上的点，且 BE = CF ．求证：AE ⊥ BF ．ADF【答案】在∆ABE 和∆BCF 中⎧ AB = BC ⎪∠ABE = ∠BCF⎪BE = CF∴ ∆ABE ≌ ∆BCF BEC∴ ∠BAE = ∠CBF ∵ ∠BAE + ∠AEB = 90︒ ∴ ∠CBF + ∠AEB = 90︒ ∴ AE ⊥ BF8.E 、F 、G 分别是正方形 ABCD 的 BC 、CD 、AB 边上的点，GE ⊥ EF ，GE = EF ．求证： BG + CF = BC ．AD【答案】显然， ∆BEG ≌ ∆CFE ，GFBECM PC∴ BG = CE ， BE = CF ∴ BG + CF = BC9.如图，矩形 ABCD 中， E 是 AD 上一点， CE ⊥ EF 交 AB 于 F 点，若 DE = 2 ，矩形周长为16 ，且CE = EF ，求 AE 的长．AEDFBC【答案】∵ FE ⊥ EC ，∴ ∠AEF + ∠DEC = 90︒ ．∵ ∠AEF + ∠AFE = 90︒ ， ∴ ∠AFE = ∠DEC ．在三角形 AFE 与∆DEC 中， FE = CE ， ∠A = ∠D = 90︒ ， ∠AFE = ∠DEC ， ∴ ∆AFE ≌ ∆DEC ． ∴ AE = DC ． ∵矩形周长为16 ， ∴ AD + DC = 8 ． ∵ AD = AE + DE ，∴且 DE = 2 ．∴ 2 AE = 8 - DE ． 即 AE = 3 ．10.如图，已知∆ABC 中，∠ABC = 90︒，AB = BC ，三角形的顶点在相互平行的三条直线l 1 ，l 2 ，l 3 上，且l 1 ，l 2 之间的距离为2 ，l 2 ，l 3 之间的距离为3 ，则 AC 的长是 ．Al 1 l 2【答案】2 Bl 311.两个全等的30︒ 、60︒ 的三角板 ADE 、 BAC ，如右下图所示摆放， E 、 A 、C 在一条直线上，连结 BD ．取 BD 的中点 M ，连结 ME 、MC ，试判断∆EMC 的形状， 并说明理由．BMDEA C【解析】判断∆EMC 是等腰直角三角形．理由：如图，连结 AM ．17MBA C∵ ∠DAE = 30︒ ， ∠BAC = 60︒ ，∴ ∠DAB = 90︒ ∵ ∆ADE ≌ ∆BAC ，∴ AD = AB又∵ M 是 BD 的中点，∴ AM = DM = BM ∴ ∠ADM = ∠MAB = 45︒ ∴ ∠EDM = ∠EDA + ∠ADM = 60︒ + 45︒ = 105︒ ∴ ∠MAC = ∠MAB + ∠BAC = 45︒ + 60︒ = 105︒ ∴ ∠EDM = ∠MAC ∵ ED = CA ，∴ ∆EDM ≌ ∆CAM ∴ EM = CM ， ∠DME = ∠AMC而∠DME + ∠EMA = 90︒ ，∴ ∠AMC + ∠EMA = 90︒ 即∠EMC = 90︒ ，∴ ∆EMC 是等腰直角三角形．12.已知等腰直角三角形 ABC ， ∠C 为直角， M 为 BC 的中点． CD ⊥ AM ．求证： ∠AMC = ∠DMB ．求证： ∠AMC = ∠DMB ．CA DB【答案】法一：如图，过 B 作 EB ⊥ BC ，交CD 延长线于 E ．CE∵ ∠3 + ∠1 = 90︒ ， ∠4 + ∠1 = 90︒ ，∴ ∠3 = ∠4 ．又 AC = CB ，∴ Rt ∆CBE ≌ Rt ∆AMC ，∴ BE = CM ， ∠5 = ∠1 ． 又 BM = CM ，∴ BE = BM ．∴ ∠MBD + ∠EBD = 90︒ ，而∠MBD = 45︒ ，∴ ∠EBD =∠MBD ． 又 BD 为公共边，∴ ∆BED ≌ ∆BMD ．∴ ∠5 = ∠2 ．解法二：如图，作底边 AB 的高CE 交 AM 于 F ，则CE 亦为中线和角平分线，3 1 M4 2 ADB5 MDC ∴AE =CE =BE ．又∠3 +∠CDE =∠4 +∠CDE = 90︒．∴∠3 =∠4 ，∴Rt∆DCE = Rt∆FAE ，∴AMA E D B=CE=2，∴∠EDF = 45︒=∠B ，故CM AC 1DF ∥BC ．又 E 、M 为AB 、BC 的中点，∴连接EM ，则EM ∥AC ．∴AC ⊥BC ，∴EM ⊥BC ，故EM ⊥DF ．∴EM 为DF 的中垂线．∴∠FME =∠DME ．而∠FME +∠1 =∠DME +∠2 = 90︒，∴∠1 =∠2 ．解法三：如图，作CG =AG 的平分线CF 交AM 于F ，CA DB 则∠ACF =∠MCF = 45︒，即ACF =∠CBD = 45︒．∵AC ⊥BC ，C D ⊥AM ，∴∠CAF +∠CMF =∠BCD +∠CMF = 90︒．∴BM=1．AC 2又∠B =∠CAD ，∴∆ACF ≌∆CBD ．∴CF =BD ．又CM =BM ，∠MCF =∠MBD ．∴∆CFM ≌∆BDM ．∴∠FMC =∠DMB ．解法四：如图，过D 作DG ⊥CB ．CA∵∠B = 45︒，∴DG =BG ．∵∠DCG +∠AMC =∠FAC +∠AMC = 90︒，∴∠DCG =∠FAC ．∴∆DCG ∽∆MAC ．∴DG∶CG =CM∶AC = 1∶2 ，则BG∶CG = 1∶2 ．∵DG ∥AC ，∴BD∶AD = 1∶2 ，而BM∶AC = 1∶2 ， B =∠CAD ．∴∆BMD ∽∆ACD ，∴∠BMD =∠ACD ．而∠ACD =MGM F3 1FM24AMC ，解法五：如图，延长CB 到 E ，使 BE = BC ．连接 AE ，延长CD 交 AE 于G ，则 AC = BC = BE ，CE∴AM = CE = 2 ．CM AC 1 ∴ Rt ∆ACM ∽ Rt ∆ECA ．∴ ∠CAM = ∠E ． ∵ ∠CAM + ∠ACF = 90︒ ， ∠GCE + ∠ACF = 90︒ ， ∴ ∠CAM = ∠GCE ．即∠GCE = ∠E ．∴ CG = GE ． ∵ ∠CAE + ∠E = 90︒ ， ∠ACG + ∠GCE = 90︒ ，∴ ∠CAE = ∠ACG ，∴ CG = AG ，从而 AG = GE ．又∵ BC = BE ，所以 D 为∆AEC 的重心，∴ BD = 1．而 BM = 1 ， ∠B = ∠CAD ． AD 2AC 2∴ ∆BMD ∽ ∆ACD ，∴ ∠BMD =∠ACD ． 而 ∠AMC = ∠ACF ，∴ ∠BMD = ∠AMC ．解法六：如图，过 A 作 AH ⊥ AM ，与 BC 的延长交于 H ．HD B∵ ∠1 + ∠2 = 90︒ ， ∠1 + ∠AMC = 90︒ ， ∴ ∠2 = ∠AMC ， ∴ Rt ∆AHC ∽ Rt ∆MAC ，∴ HC = AC= 2 ． AC MC而 AC = BC ，∴HC= 2 ．BC∵ HA ∥ C D ，∴ AD = HC= 2 ．BD BC又∵ AC BM = 2 ， ∠CAD = ∠B ，∴ ∆ADC ∽ ∆BDM ，C MFFMAD BG而∠AMC = ∠ACD ，∴ ∠AMC = ∠BMD ．解法七：如图，过 D 作 DE ⊥ BM ，垂足为 E ．CA∵ ∠CAM + ∠CMA = 90︒ ， ∠ECD + ∠CMA = 90︒ ， ∴ ∠CAM = ∠ECD ， ∴ Rt ∆CAM ∽ Rt ECD ，∴ DE = MC = 1 ．CEAC2∵ ∠B = 45︒ ， ∠DEB = 90︒ ，∴ DE = BE ，∴ BE = 1． CE 2设 ME = x ，CM = BE = a ，∴a - x = 1 ，∴ x = a． a + x 2 3∴ DE = BE = a - a = 2a ，∴ ME = 1 = MC，3 3 ∴ Rt ∆CAM ∽ Rt ∆EDM ， ∴ ∠AMC = ∠BMD ．DE 2 AC13.如图所示，已知在等腰直角三角形 ABC 中， ∠BAC 是直角， D 是 AC 上一点， AE ⊥ BD ，AE 的延长线交 BC 于 F ，若∠ADB = ∠FDC ，求证：D 是 AC 的中点．AFC【答案】过C 作CH 垂直于 AC 交 AF 延长线于 H 点；易证∆ABD ≌∆AHC ， HC = AD ；进而证明∆FHC ≌∆FDC ，得到 HC = CD ，则 D 为 AC 中点．A14.如图所示，在等边∆ABC 中， DE ∥ BC ， O 为∆ADE 的中心， M 为 BE 的中点， 求证OM ⊥ CM ．M EDE【答案】如图所示，延长OM 至点 N ，使OM = MN ，连接OA 、OE 、OC 、 BN 、CN ．AAD OEO N D EMMBCNB C因为OM = NM ， BM = ME ， ∠OME = ∠NMB ， 故∆BMN ≌ ∆EMO ，则 BN = EO ， ∠OEM =∠NBM ． 因为 DE ∥ BC ，则∠DEB = ∠CBE ， ∠OED = ∠CBN ．因为O 为∆ADE 的中心，则OA = OE = BN ， ∠OAE = ∠OED = 30︒ = ∠CBN ． 因为 AC = BC ，故∆AOC ≌ ∆BNC ，从而OC = CN ． 因为OM = MN ，故OM ⊥ CM ．【点评】如果具备三角形相似的知识，我们就可以采取下面的解法． 如图所示，取 AE 的中点 N ，连接 MN 、OA 、ON 、OC ． 因为O 为∆ADE 的中心，故∠OAN = 30︒ ， OA =2ON ． 因为 AN = NE ， BM = EM ，故 AB = 2MN = AC ．因为ON ⊥ AC ， MN ∥ AB ，故∠MNE = 60︒ ，因为∠ONM = 30︒ ，故∆OAC ∽ ∆ONM ，∠OMN = ∠OCN ，则O 、M 、C 、N 四点共圆．因为ON ⊥ AC ，故OM ⊥ CM ．15.已知 P 为等腰直角∆ABC 的斜边 AB 上任意一点， PE 、PF 分别为 AC 、BC 之垂线，垂足为 E 、 F ． M 为 AB 之中点．则 E 、 M 、 F 组成等腰直角三角形．A ECF B【答案】解法一：如图，连接CM ，则CM 为 AB 之中线，亦为 AB 之高．P MAECFB∴ ∠CMA = 90︒ ． ∵ ∠PEC = ∠PFC = ∠ECF = 90︒ ， ∴ ECFP 为矩形，故 PE = CF ． 又∵ ∠A = 45︒ ，∴ ∆AEP 为等腰直角三角形，∴ AE = PE ．∴ AE = CF ． 又∵ CM = AM ， ∠MCF = ∠A = 45︒ ， ∴ ∆AEM ≌ ∆CFM ，∴ ∠AME = ∠CMF ， EM = FM ． ∵ ∠CME + ∠AME = 90︒ ，∴ ∠CME + ∠CMF = 90︒ ，即∠EMF = 90︒ ． ∴ ∆EMF 为等腰直角三角形． 解法二：如图，由 M 作 ME ' ⊥ AC ， MF ' ⊥ BC ，则显然由于 M 为 AB 之中点， AC = BC ， AC ⊥ BC ，AE E'CF F'B∴ ME 'CF ' 为正方形，故 ME ' = MF ' ． 又设 ME ' 交 PF 于Q ， 则∵ PE ⊥ AC ， PF ⊥ BC ，∴ ∠EPF = ∠C = 90︒ ．而∠PEE ' = ∠EE 'Q = 90︒ ． ∴ EE 'QP 为矩形，故 EE ' = PQ ． 同理 FF ' = QM ．又∵ PF ∥ AC ，∴ ∠QPM = ∠A = 45︒ ． ∴ ∆PQM 为等腰直角三角形， ∴ PQ = QM ，故 EE ' = FF ' ．又 ME ' = MF ' ， ∠EE 'M = ∠FF 'M = 90︒ ． ∴ ∆EE 'M ≌ ∆FF 'M ，∴ ∠EME ' = ∠FMF ' ， EM =FM ． 又∠E 'MF + ∠FMF ' = 90︒ ， ∴ ∠E 'MF + ∠EME ' = 90︒ ．即∠EMF = 90︒ ，故∆MEF 为等腰直角三角形．解法三：如图，延长 FM 到Q ，使 MQ = FM ，连接 AQ ．PMPMQ2 2 2 A QECFB∵ AM = BM ，∴ A 、 F 、 B 、Q 4 点组成平行四边形． ∴ AQ = FB ， AQ ∥ FB ．又∵ BC ⊥ AC ，∴ AQ ⊥ AC ， ∴ ∠QAE = ∠FCE = 90︒ ．又∵ PF ⊥ BC ， ∠B = 45︒ ，∴ FP = FB ．同理 EP = AE ． ∵ ECFP 为矩形，∴ FP = CE ， EP = CF ，故 AB ．而CM ⊥ AB ， ∴ AQ = CE ， A E = CF ． ∴ Rt ∆AEQ ≌ Rt ∆CFE ． ∴ EQ = FE ， ∠AQE = ∠CEF ， ∠QEA = ∠EFC ． ∵ ∠AQE + ∠QEA = 90︒ ，∴ ∠CEF + ∠QEA = 90︒ ．故 PF= ．QF∴ ∆FEQ 为等腰直角三角形．而 M 为底边之中点，所以∆EMF 亦为等腰直角三角形．解法四：如图，连接CM ，则因为 M 为 AB 之中点，所以CM ⊥ AB ，CM 平分∠ACB ， 即∠MCB = 45︒ ．由 F 向 MB 引垂线 FQ ，向CM 引垂线 FF ' ，显然 F 'FQM 为矩形．则 FF ' = MQ ．AECFB又∵ ∆CF 'F 为等腰直角三角形， CF = 2FF ' = 2MQ ． 又∵ PE ⊥ AC ， PF ⊥ BC ， AC ⊥ BC ， ∴ ECFP 为矩形，故 EP = CF = 2MQ ． 于是在Rt ∆EPF 和Rt ∆MQF 中， PF = FB =2QF ， PF = ， EP= ，∴ PF = EP ，QF MQQF MQ∴ ∆EPF ∽ ∆MQF ，故∠EFP =∠MFQ ． 又∵ ∠PFM + ∠MFQ = 45︒ ， ∵ ∠PFM + ∠EFP = 45︒ ，即 PF = BF ．同理∠FEM = 45︒ ， ∆EMF 为等腰直角三角形．PMPM QF'E解法五：如图，连接CP 、CM ．AECFB∵ PF = BF ， ∆ABC 为等腰直角三角形， ∴ ∠BPF = ∠BCM = 45︒ ．∴ P 、C 、 F 、 M 4 点共圆．∴ ∠CMF = ∠CPF ．又∵ ∠CPF = ∠CEF ，∴ ∠CEF = ∠CMF ，∴ E 、C 、 F 、 M 4 点共圆．∴ ∠MEF = ∠MCF = 45︒ ， ∠MFE = ∠MCE = 45︒ ，∴ iEMF 是等腰直角三角形．16.长方形 ABCD 中， AB = 4 ， BC = 7 ， ∠BAD 的角平分线交 BC 于点 E ， EF ⊥ ED 交 AB 于 F ，则 EF = ．ADFBEC【解析】由 AB = 4 ，AE 平分∠BAD 可知 BE = AB = CD = 4 ．由基本图可知∆BEF ≌∆CDE ， 故 EF = DE又 BC = 7 ， BE = 4 ，故CE = 3 ．由勾股定理可知， DE = 5 ． 从而可知 EF = 5 ．【答案】517.如图，设∆ABC 和∆CDE 都是正三角形，且∠EBD = 62︒ ，则∠AEB A ．124︒ B ．122︒ C ．120︒ D ．118︒的度数是( )ABCD【答案】分析 既然题目这样问，说明这两个角之间必然能找到一定的联系． 解 易知∠ACE = ∠BCD ， ∆AEC ≌ ∆BDC ，于是∠EAC = ∠DBC ,从而∠EBD = ∠CBD + ∠CBE = ∠EAC + ∠CBE ,在考虑到∠EAC + ∠AEC + ∠ACE + ∠CEB + ∠ECB + ∠EBD = 360,有：∠BEC + ∠AEC = 360 - 60 - 62 = 360 - ∠AEB 从而∠AEB = 122 ，选B 。

1.如图，已知等边△ABC ，P 在AC 延长线上一点，以PA 为边作等边△APE,EC 延长线交BP 于M ，连接AM,求证：（1）BP=CE ； （2）试证明：EM-PM=AM.2.已知，如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点． （1）求证：①BE CD =；②AN AM =；（2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图B E3.已知：如图，ABC △是等边三角形，过AB 边上的点D 作DG BC ∥，交AC 于点G ，在GD 的延长线上取点E ，使DE DB ，连接AE CD ，． （1）求证：AGE DAC △≌△；（2）过点E 作EF DC ∥，交BC 于点F ，请你连接AF ，并判断AEF △是怎样的三角形，试证明你的结论．CGAEDBF4、在ABC △中，2120AB BC ABC ==∠=，°，将ABC △绕点B 顺时针旋转角α(0<°α90)<°得A BC A B 111△，交AC 于点E ，11A C 分别交AC BC 、于D F 、两点．如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段1EA 与FC 有怎样的数量关系？并证明你的结论；ADBECF 1A1CADBECF 1A1C5. 如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．ABCD EF6已知Rt ABC △中，90AC BC C D ==︒，∠，为AB 边的中点，90EDF ∠=°， EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ． 当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证12DEF CEF ABC S S S +=△△△．当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC 和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，DEF S △、CEF S △、ABC S △又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．A EC F BD图1图3ADFECBADBCE 图2F7、已知AC//BD,∠CAB和∠DBA的平分线EA、EB与CD相交于点E.求证:AB=AC+BD.8.等边△ABC，D为△ABC外一点，∠BDC=120°，BD=DC．∠MDN=60°射线DM与直线AB相交于点M，射线DN与直线AC相交于点N，①当点M、N在边AB、AC上，且DM=DN时，直接写出BM、NC、MN之间的数量关系．②当点M、N在边AB、AC上，且DM≠DN时，猜想①中的结论还成立吗？若成立，请证明．③当点M、N在边AB、CA的延长线上时，请画出图形，并写出BM、NC、MN之间的数量关系．DCBA9.如图1，BD 是等腰ABC Rt Δ的角平分线， 90=∠BAC .（1）求证BC =AB +AD ；（2）如图2，BD AF ⊥于F ，BD CE ⊥交延长线于E ，求证：BD =2CE ；10、如图，四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，AD+AB=2AE ，则∠B 与∠ADC 互补.为什么？ABCD FE 图2DBEAC图十一11如图，在△ABC 中∠ABC,∠ACB 的外角平分线交P.求证:AP 是∠BAC 的角平分线12、如图在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，∠ADC ＋∠ABC ＝180度，CE ⊥AD 于E ，猜想AD 、AE 、AB 之间的数量关系，并证明你的猜想，EBAC图2DCB13如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O ，求证：OE=OD14如图所示，已知在△AEC 中，∠E=90°，AD 平分∠EAC ，DF ⊥AC ，垂足为F ，DB=DC ，求证：BE=CF15如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形。

1.如图，已知等边△ABC ，P 在AC 延长线上一点，以PA 为边作等边△APE,EC 延长线交BP 于M ，连接AM,求证：（1）BP=CE ；（2）试证明：EM-PM=AM.2、点C 为线段AB 上一点，△ACM, △CBN 都是等边三角形，线段AN,MC 交于点E ，BM,CN 交于点F 。

求证：（1）AN=MB.（2）将△ACM 绕点C 按逆时针方向旋转一定角度，如图②所示，其他条件不变，（1）中的结论是否依然成立 （3）AN与BM 相交所夹锐角是否发生变化。

3.已知，如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，ADAE =，BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点． （1）求证：①BE CD =；②AN AM =；（2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立.22题PB EAB A B N CNA4、如图１，以ABC △的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连结EG ，试判断ABC △与AEG △面积之间的关系，并说明理由．5、如图所示，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形，且A 、B 、D 三点共线．下列结论：①AE=CD ；②BF=BG ；③HB 平分∠AHD ；④∠AHC=60°，⑤△BFG 是等边三角形；⑥FG ∥AD ．其中正确的有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个6. 如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．AGFCBDE（图１）ABC DEF7、已知Rt ABC △中，90AC BC C D ==︒，∠，为AB 边的中点，90EDF ∠=°，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ．当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证12DEF CEFABC S S S +=△△△．当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC 和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立若成立，请给予证明；若不成立，DEF S △、CEF S △、ABC S △又有怎样的数量关系请写出你的猜想，不需证明．8.已知AC 求证:AB=AC+BD.A E C FBD图1图3ADFECBADBCE 图2FDCBA9.如图1，BD 是等腰ABC Rt Δ的角平分线， 90=∠BAC .（1）求证BC =AB +AD ；（2）如图2，BD AF ⊥于F ，BD CE ⊥交延长线于E ，求证：BD =2CE ；10、已知，如图1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD=DC ，BD 平分∠ABC 。

完整版)全等三角形难题题型归类及解析1.在三角形ABC中，AD是角BAC的平分线，AE=AC，DE=2cm，BD=3cm，求BC的长度。

为了解决这个问题，我们可以利用角平分线的轴对称性，构造全等三角形ADE和ABC。

因为AE=AC，所以三角形ADE和三角形ABC的两边分别相等，因此它们是全等的。

根据全等三角形的性质，∠DAE=∠CAB，∠AED=∠ACB。

又因为AD是角BAC的平分线，所以∠DAE=∠EAC，因此∠CAB=2∠EAC。

设BC=x，则根据正弦定理可得：3/x=sin(2EAC)/sin(EAC)，化简后得到x=6.2.在三角形ABC中，BD是角ABC的平分线，AB=BC，P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求解PM与PN 的关系。

首先，我们可以利用角平分线的性质，构造等腰三角形ABD和CBD。

因为AB=BC，所以三角形ABD和三角形CBD的两边分别相等，因此它们是全等的。

根据全等三角形的性质，∠BDA=∠BDC，∠ADB=∠CDB。

又因为BD是角ABC的平分线，所以∠ADB=∠BDC，因此∠BDA=∠CDB。

因此，三角形APM和三角形CPN是全等的。

因为全等三角形的对应边相等，所以PM=PN。

3.在三角形OAB中，P是角OAB的平分线上的一点，PC⊥OA于C，∠OAP+∠OBP=180°，OC=4cm，求解AO+BO的值。

我们可以利用角平分线的轴对称性，构造全等三角形OAC和OBC。

因为∠OAP+∠OBP=180°，所以∠AOP=∠BOP=90°。

因此，三角形OAP和三角形OBP是直角三角形。

设AO=x，BO=y，则根据勾股定理可得：x^2+PC^2=OP^2，y^2+PC^2=OP^2.又因为OC=4cm，所以PC=2cm。

将PC代入上面的两个式子中，得到x^2+y^2=OP^2-4.又因为三角形OAC和三角形OBC是全等的，所以x=y，因此2x^2=OP^2-4，即OP^2=2x^2+4.因此，AO+BO=2x=2√((OP^2-4)/2)=2√(2x^2)=2√(2y^2)=2√(2x^2+4)/2=2√(OP^2)/2=OP√2=2√6.4.在三角形ABC中，E在边AC上，且∠XXX∠ABC。

1、 如图，在ABC ∆中，AB BC =，90ABC ∠=。

F 为AB 延长线上一点，点E 在BC 上，BE BF =,连接,AE EF 和CF 。

求证:AE CF =.2、 如图,D 是ABC ∆的边BC 上的点，且CD AB =，ADB BAD ∠=∠，AE 是ABD ∆的中线。

求证：2AC AE =.3、 如图，在ABC ∆中，AB AC >，12∠=∠,P 为AD 上任意一点。

求证：AB AC PB PC ->-。

4、如图，BD 、CE 分别是ABC ∆的边AC 、AB 上的高，F 、G 分别是线段DE 、BC 的中点求证:DE FG ⊥5、如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线,交AB 于点E,交AD 于点F ，求证:∠ADC＝∠BDE6、如图,在锐角ABC ∆中，已知C ABC ∠=∠2,ABC ∠的平分线BE 与AD 垂直，垂足为D ，若cm BD 4=，求AC 的长参考答案1、 思路分析：可以利用全等三角形来证明这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形.以线段AE 为边的ABE ∆绕点B 顺时针旋转90到CBF ∆的位置，而线段CF 正好是CBF ∆的边，故只要证明它们全等即可。

解答过程：90ABC ∠=，F 为AB 延长线上一点∴90ABC CBF ∠=∠=在ABE ∆与CBF ∆中AB BC ABC CBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE CBF ∆≅∆(SAS)∴AE CF =。

解题后的思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。

小结：利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。

这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。

2、 思路分析：要证明“2AC AE =”，不妨构造出一条等于2AE 的线段，然后证其等于AC 。

全等三角形经典证明：AB=10，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD1. ：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB2. ：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠23. ：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC4. ：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C5. ：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BEA BC DEF 21 DABC CDB AADBC6. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。

求证：BC=AB+DC 。

7.：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C8、：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C9．〔5分〕如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ． 10．〔5分〕如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ．求证：∠OAB =∠OBA 11．〔6分〕如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，假设AB =CD ，AF =CE ，BD 交DCB A F E A B CDAC 于点M ．〔1〕求证：MB =MD ，ME =MF〔2〕当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？假设成立请给予证明；假设不成立请说明理由．12．〔7分〕：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点， 〔1〕求证：△AED ≌△EBC ．〔2〕观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．〔直接写出结果，不要求证明〕：/13.〔7分〕如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD =2CE ．14、〔10分〕如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。

1.如图，已知等边△ABC ，P 在AC 延长线上一点，以PA 为边作等边△APE,EC 延长线交BP 于M ，连接AM,求证：（1）BP=CE ； （2）试证明：EM-PM=AM.2、点C 为线段AB 上一点，△ACM, △CBN 都是等边三角形，线段AN,MC 交于点E ，BM,CN 交于点F 。

求证： （1）AN=MB.（2）将△ACM 绕点C 按逆时针方向旋转一定角度，如图②所示，其他条件不变，（1）中的结论是否依然成立？ （3）AN 与BM 相交所夹锐角是否发生变化。

3.已知，如图①所示，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，且点B A D ，，在一条直线上，连接BE CD M N ，，，分别为BE CD ，的中点． （1）求证：①BE CD =；②AN AM =；（2）在图①的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立.22题PB EA B A B N CN 图①图②4、如图１，以ABC △的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连结EG ，试判断ABC △与AEG △面积之间的关系，并说明理由．5、如图所示，已知△ABC 和△BDE 都是等边三角形，且A 、B 、D 三点共线．下列结论：①AE=CD ；②BF=BG ；③HB 平分∠AHD ；④∠AHC=60°，⑤△BFG 是等边三角形；⑥FG ∥AD ．其中正确的有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个6. 如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，AD 是BC 边上的中线，过C 作AD 的垂线，交AB 于点E ，交AD 于点F ，求证：∠ADC ＝∠BDE ．AG FC BDE （图１） ABCD EFDCB A7、已知Rt ABC △中，90AC BC C D ==︒，∠，为AB 边的中点，90EDF ∠=°，EDF ∠绕D 点旋转，它的两边分别交AC 、CB （或它们的延长线）于E 、F ． 当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC ⊥于E 时（如图1），易证12DEF CEF ABC S S S +=△△△．当EDF ∠绕D 点旋转到DE AC 和不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，DEF S △、CEF S △、ABC S △又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．8.已知AC//BD,∠CAB 和∠DBA 的平分线EA 、EB 与CD 相交于点E. 求证:AB=AC+BD.9.如图1，BD 是等腰ABC Rt Δ的角平分线， 90=∠BAC .（1）求证BC =AB +AD ； （2）如图2，BD AF ⊥于F ，BD CE ⊥交延长线于E ，求证：BD =2CE ；A E C F BD图1图3ADFECBADBCE图2FAD FE图十一4321P A BC 10、已知，如图1，在四边形ABCD 中，BC ＞AB ，AD=DC ，BD 平分∠ABC 。

全等三角形证明经典50 题 (含答案 )1.已知： AB=4 ，AC=2 ， D 是 BC 中点， AD 是整数，求 AD AA DB CD C B2. 已知： D 是 AB 中点，∠ ACB=90 °，求证：CD 1 AB23.已知： BC=DE ，∠ B= ∠E，∠ C= ∠ D， F 是 CD 中点，求证：∠ 1=∠ 2A A1 21 2BFECDEC FD B4.已知：∠ 1=∠ 2， CD=DE ， EF//AB ，求证： EF=AC5.已知： AD 均分∠ BAC ， AC=AB+BD ，求证：∠ B=2 ∠ CA6.已知： AC 均分∠ BAD ， CE⊥ AB ，∠ B+ ∠D=180 °，求证： AE=AD+BE12.如图，四边形 ABCD 中， AB ∥ DC ，BE、 CE 分别均分∠ ABC 、∠ BCD ，且点 E 在 AD上。

求证： BC=AB+DC 。

E DCFA B13.已知： AB//ED ，∠ EAB= ∠ BDE ， AF=CD ， EF=BC ，求证：∠ F=∠ C14.P 是∠ BAC 均分线 AD 上一点， AC>AB ，求证： PC-PB<AC-AB CAP DB15. 已知∠ ABC=3 ∠ C，∠ 1=∠2， BE⊥ AE ，求证： AC-AB=2BE16.已知， E 是 AB 中点， AF=BD ， BD=5 ， AC=7 ，求 DCDF A CE B18．如图，在△ABC 中， BD =DC ，∠ 1=∠ 2，求证： AD⊥BC ．19．如图， OM 均分∠ POQ ，MA ⊥ OP,MB⊥ OQ ， A、 B 为垂足， AB 交 OM 于点 N．求证：∠ OAB=∠OBA20．（ 5 分）如图，已知 AD ∥BC，∠ PAB 的均分线与∠ CBA 的均分线订交于 E， CE 的连线交AP 于 D ．求证： AD +BC =AB．PACEDCD BA B21．如图，△ ABC 中， AD 是∠ CAB 的均分线，且AB=AC+CD，求证：∠ C=2∠ B22．（ 6 分）如图①， E、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于 E， BF⊥AC 于 F ，若 AB=CD ， AF=CE， BD 交 AC 于点 M．（1）求证： MB=MD ， ME =MF（2）当 E、F 两点挪动到如图②的地点时，其他条件不变，上述结论可否建立？若建立请赐予证明；若不建立请说明原因．23．已知：如图，DC∥ AB，且 DC =AE， E 为 AB 的中点，（ 1）求证：△ AED≌△ EBC．（ 2）观看图前，在不添协助线的状况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：AE ODB C24．（ 7 分）如图，△ ABC 中，∠ BAC=90 线垂直于过 C 点的直线于 E，直线 CE 交求证： BD =2CE．度， AB=AC， BD 是∠ ABC 的均分线， BD 的延伸BA 的延伸线于 F．FAED证明：B C25、如图： DF=CE， AD=BC，∠ D=∠ C。

全等三角形经典证明已知：AB=10，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD1. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12CD AB,2. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2]已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。

求证：BC=AB+DC 。

《7.已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠CA [CDEF 21 DABC CDBAADBC>8、已知：AB=CD ，∠A=∠D ，求证：∠B=∠C9．（5分）如图，在△ABC 中，BD =DC ，∠1=∠2，求证：AD ⊥BC ．,10．（5分）如图，OM 平分∠POQ ，MA ⊥OP ,MB ⊥OQ ，A 、B 为垂足，AB 交OM 于点N ．求证：∠OAB =∠OBA、11．（6分）如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ．（1）求证：MB =MD ，ME =MF（2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立若成立请给予证明；若不成立请说明理由．—12．（7分）已知：如图，DC ∥AB ，且DC =AE ，E 为AB 的中点，（1）求证：△AED ≌△EBC ．D^BAFE AB C（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC 外，请再写出两个与△AED 的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：【/13.（7分）如图，△ABC 中，∠BAC =90度，AB =AC ，BD 是∠ABC 的平分线，BD 的延长线垂直于过C 点的直线于E ，直线CE 交BA 的延长线于F ．求证：BD =2CE ．&14、（10分）如图：DF=CE ，AD=BC ，∠D=∠C 。

2024届初中数学重难点题型专项(全等三角形证明题)练习题型1：重叠边技巧①短边相等＋重叠边=长边相等②长边相等－重叠边=短边相等1．（∙广东）如图，点A 、C 、F 、D 在同一直线上，AF=DC ，AB=DE ，BC=EF ，求证：∥AB DE ．2．（∙重庆）已知点A 、E 、F 、C 在同一直线上，已知AD BC ∥，AD BC =，AE CF =，试说明BE 与DF 的关系．3．（∙湖北荆门）如图，点E、F在BC上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．求证：∠A＝∠D．4．（∙甘肃）如图，AB∥CD，BN∥MD，点M、N在AC上，且AM=CN，求证：BN=DM．5．（∙新疆）如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A ＝∠D，AF＝DC．求证：(1)ABC≌△DEF；(2)BC∥EF．△题型2：重叠角技巧重叠角技巧： 小角相等+重叠角=大角相等大角相等-重叠角=小角相等∠＝2∠，AB＝AD．求证：△ABC≌△ADE．6．（∙福建∙福州）如图，AC＝AE，17．（∙四川资阳）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AD，∠B=∠D，1=2∠∠．求证：BC=DE．∠，求证：△ABC≌△ADE．8.如图，AB＝AD，∠C＝∠E，1∠＝29．(雅礼)如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝90°，∠DAE＝90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD＝CE．∠∠．10．（∙四川达州）已知△ABN和△ACM位置如图所示，AB=AC，AD=AE，1=2（1）求证：BD=CE；（2）求证：∠M=∠N．题型3：等角的余角相等技巧： ∠1+∠2=90，∠2+∠3=90， ∠1=∠3技巧：把全等三角形中一个三角形的两个锐角分别随意标上∠1、∠2，再从第二个三角形的两个锐角中挑一个和∠1或∠2互余的角标上∠3。

11．（∙甘肃）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD=CD， （1）求证：△ABD≌△CFD；（2）已知BC=7，AD=5，求AF的长．12．（∙辽宁沈阳）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，BE CE ⊥于E ，AD CE ⊥于D ， 2.5cm AD =，1.7cm DE =，求BE 的长．13．（长郡）如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，E 是BC 边上的一点，连接AE ，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D ．（1）求证：△ACE ≌△CBD ；（2）若BE ＝3，AB ＝6，求点E 到AB 的距离．14．（∙广东）如图，△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，AE =CE ．求证：（1）△AEF ≌△CEB ；（2）AF =2CD ．15．（周南）（1）如图1，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，AE 是过A 点的一条直线，且B 、C 在AE 的异侧，BD ⊥AE 于D ，CE ⊥AE 于E ，求证：BD ＝DE +CE ．（2）若直线AE绕点A旋转到图2的位置时（BD＜CE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请予以证明．题型4：证两次全等的证明题16．如图，已知AB＝DC，AE＝DF，CE＝BF．求证：AF＝DE．17．如图，点C在线段AB上，AD∥EB，AC＝BE，AD＝BC．CF平分∠DCE．求证：（1）△ACD≌△BEC；（2）CF⊥DE．18．如图1所示，点E、F在线段AC上，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为点E，F；DE，BF分别在线段AC的两侧，且AE＝CF，AB＝CD，BD与AC相交于点G．（1）求证：EG＝GF；（2）若点E在F的右边，如图2时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由．题型5：旋转型全等（手拉手模型）19．（∙浙江）如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，DC连接AE、DE、．(1)求证：△ABE≌△CBD；(2)若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．20．（∙山东聊城）如图，在ABC 中，90ACB ∠= ，AC BC =，D 是AB 边上一点(点D 与A ，B 不重合)，连接CD ，将线段CD 绕点C 按逆时针方向旋转90 得到线段CE ，连接DE 交BC 于点F ，连接BE ． 1（）求证：ACD △≌BCE ；2（）当AD BF =时，求BEF ∠的度数．21．（∙湖南∙澧县）如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AB ＝AC ，点E 是BD 上一点，且AE ＝AD ，EAD ∠＝BAC,∠（1）求证：A ∠BD ＝ACD ∠；（2）若ACB ∠＝65°，求BDC ∠的度数．22．（∙北京）如图，已知：△OAB ，△EOF 都是等腰直角三角形，∠AOB =90°，中，∠EOF =90°，连结AE 、BF ．求证：（1）AE =BF ；（2）AE ⊥BF ．23．（∙浙江）如图，点C 为线段BD 上一点，,ABC CDE △△都是等边三角形，AD 与CE 交于点,F BE 与AC 相交于点G ．（1）求证：ACD BCE ≌；（2）求证：ACF BCG ≌求证：（1）AE =BF ；（2）AE ⊥BF ．题型6：角平分线的性质与判定24．（∙北京）如图所示，在△ABC 中，C ∠＝90°，AD 是BAC ∠的平分线，⊥DE AB 交AB 于点E ，点F 在AC 上，BD ＝DF ．求证：（1）CF ＝EB ；（2）AB ＝AF ＋2EB ．25．（∙广西北海）如图，⊥DE AB 于E ，⊥DF AC 于F,若BD=CD 、BE=CF ，(1)求证：AD 平分BAC ∠；(2)已知AC=20， BE=4，求AB 的长.求证：（1）AE =BF ；（2）AE ⊥BF ．26．（∙浙江∙义乌）如图，已知AC 平分∠⊥BAD,CE AB 于E ，⊥CF AD 于F ，且BC=CD ， （1）求证：△≌△BCE DCF（2）若AB=17，AD=9，求AE 的长.27．（∙甘肃平凉）如图，90B C ∠=∠=︒，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠，求证：AM 平分DAB ∠．∠， 28．（∙北京）如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分ABC ∠∠．求证：A+C=180°29．（∙全国）在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．(1)若BE＝CF，求证：AD是△ABC的角平分线．(2)若AD是△ABC的角平分线，求证：BE＝CF．参考答案题型1：重叠边技巧①短边相等＋重叠边=长边相等②长边相等－重叠边=短边相等1．（∙广东）如图，点A 、C 、F 、D 在同一直线上，AF=DC ，AB=DE ，BC=EF ，求证：∥AB DE ．【答案详解】∵AF=DC ，∴AF ﹣FC=DC ﹣CF ，即AC=DF ．在△ACB 和△DFE 中AC DF AB DE BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴△≌△ACB DFE（SSS ），∴∠∠A=D ，∴∥AB DE ．2．（∙重庆）已知点A 、E 、F 、C 在同一直线上，已知AD BC ∥，AD BC =，AE CF =，试说明BE 与DF 的关系．【答案详解】解：数量关系BE DF =，位置关系BE DF ∥．理由：∵AD BC ∥，∴∠A =∠C ，又AE CF = ，∴AE +EF =CF +EF ，即AF =CE ，在ADF 和CBE △中，AD BC A C AF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，ADF ∴ ≌()CBE SAS △∴BE =DF ，∠BEF =∠DFE ，∴BE DF ∥．3．（∙湖北荆门）如图，点E 、F 在BC 上，BE ＝CF ，AB ＝DC ，∠B ＝∠C ．求证：∠A ＝∠D ．【答案详解】解∵BE ＝CF ，∴BE +EF ＝CF +EF ，即BF ＝CE ．在△ABF 和△DCE 中，AB DC B C BF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△DCE ， ∴∠A ＝∠D ．4．（∙甘肃）如图，AB ∥CD ，BN ∥MD ，点M 、N 在AC 上，且AM =CN ，求证：BN =DM ．【答案详解】解：∵AB ∥CD ，BN ∥MD ，∴∠A =∠C ，∠CMD =∠ANB ，∵AM =CN ，∴AM +MN =MN +CN ，即AN =MC ，在△ANB 和△CMD 中，∠A =∠C ，AN =MC ，∠ANB =∠CMF，∴△ANB ≌△CMD （ASA ），∴BN =MD ．5．（∙新疆）如图，点A 、F 、C 、D 在同一直线上，点B 和点E 分别在直线AD 的两侧，且AB ＝DE ，∠A ＝∠D ，AF ＝DC ．求证：△(1)ABC ≌△DEF ；(2)BC ∥EF ．【答案详解】(1)证明：∵AF ＝DC ，∴AF +CF ＝DC +CF ，∴AC ＝DF ，∵在△ABC 和△DEF 中，AB DE A D AC DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （SAS ）；(2)证明：由（1）知△ABC ≌△DEF ，∴∠BCA ＝∠EFD ，∴BC ∥EF ．题型2：重叠角技巧重叠角技巧：①小角相等+重叠角=大角相等②大角相等-重叠角=小角相等6．（∙福建∙福州）如图，AC ＝AE ，1∠＝2∠，AB ＝AD ．求证：△ABC ≌△ADE ．【答案详解】证明：∵∠∠1=2，12EAB EAB ∴∠+∠=∠+∠，即CAB EAD ∠=∠，在ABC 和ADE 中，{AC AECAB EAD AB AD=∠=∠=()ABC ADE SAS ∴≅ ．7．（∙四川资阳）如图，在△ABC和△ADE 中，AB =AD ，∠B =∠D ，1=2∠∠．求证：BC =DE ．【答案详解】证明：∵∠∠1=2，∵∠DAC +1=2+∠∠∠DAC ∴∠BAC =∠DAE ，在△ABC 和△ADE 中，B D AB AD BAC DAE ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△ADE ≌△ABC （ASA ）∴BC =DE ，8.如图，AB ＝AD ，∠C ＝∠E ，1∠＝2∠，求证：△ABC ≌△ADE ．【解答】证明：∵∠1＝2∠，∴∠1+∠EAC ＝2+∠∠EAC ，即∠BAC ＝∠DAE ，在△ABC 和△ADE 中，BAC DAE C E AB AD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△ADE （AAS ）． 9．(雅礼)如图，△ABC 和△ADE 都是等腰三角形，且∠BAC ＝90°，∠DAE ＝90°，B ，C ，D 在同一条直线上．求证：BD ＝CE ．【解答】证明：∵△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∴AD ＝AE ，AB ＝AC ，又∵∠EAC ＝90°+∠CAD ，∠DAB ＝90°+∠CAD ，∴∠DAB ＝∠EAC ，∵在△ADB 和△AEC中，∴△ADB ≌△AEC （SAS ），∴BD ＝CE ．10．（∙四川达州）已知△ABN 和△ACM 位置如图所示，AB =AC ，AD =AE ，1=2∠∠．（1）求证：BD =CE ；（2）求证：∠M=∠N ．【答案详解】（1）证明：在△ABD 和△ACE 中，12AB AC AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴BD =CE ；（2）证明：∵∠∠1=2，∴∠∠1+DAE =2+∠∠DAE ，即∠BAN =∠CAM ，由（1）知：△ABD ≌△ACE ，∴∠B =∠C ，在△ACM 和△ABN 中，C B AC AB CAM BAN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ACM ≌△ABN （ASA ），∴∠M =∠N ．题型3：等角的余角相等技巧： ∠1+∠2=90，∠2+∠3=90，∴∠1=∠3技巧：把全等三角形中一个三角形的两个锐角分别随意标上∠1、∠2，再从第二个三角形的两个锐角中挑一个和∠1或∠2互余的角标上∠3。