2015-2016年湖北省武汉二中高一上学期期末数学试卷带答案

XXX2015-2016学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含答案XXX2015-2016学年度第一学期期末考试高一数学一、选择题：本大题共8小题，共40分。

1.设全集 $U=\{1,2,3,4,5,6\}$，集合 $M=\{1,4\}$，$N=\{1,3,5\}$，则 $N\cap (U-M)=()$A。

$\{1\}$ B。

$\{3,5\}$ C。

$\{1,3,4,5\}$ D。

$\{1,2,3,5,6\}$2.已知平面直角坐标系内的点 $A(1,1)$，$B(2,4)$，$C(-1,3)$，则 $AB-AC=()$A。

$22$ B。

$10$ C。

$8$ D。

$4$3.已知 $\sin\alpha+\cos\alpha=-\frac{1}{\sqrt{10}}$，$\alpha\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$，则 $\tan\alpha$ 的值是（）A。

$-\frac{3}{4}$ B。

$-\frac{4}{3}$ C。

$\frac{3}{4}$ D。

$\frac{4}{3}$4.已知函数 $f(x)=\sin(\omega x+\frac{\pi}{4})$（$x\inR,\omega>0$）的最小正周期为 $\pi$，为了得到函数$g(x)=\cos\omega x$ 的图象，只要将 $y=f(x)$ 的图象（）：A.向左平移 $\frac{\pi}{4}$ 个单位长度B.向右平移$\frac{\pi}{4}$ 个单位长度C.向左平移 $\frac{\pi}{2}$ 个单位长度D.向右平移$\frac{\pi}{2}$ 个单位长度5.已知 $a$ 与 $b$ 是非零向量且满足 $3a-b\perp a$，$4a-b\perp b$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。

$\frac{\pi}{4}$ B。

$\frac{\pi}{3}$ C。

武汉二中2015－2016学年度上学期期末考试高一数学试卷考试时间：2016年1月27日上午8:00－10:00 试卷满分：150分一、选填题(每小题5分，共60分)1. 已知全集{}1,2,3,4U =,集合{}=12A ，,{}=23B ，,则()=U A B U ð（ ）A.{}134，，B.{}34，C. {}3D. {}4 2. 函数y ＝x ln (1-x )的定义域为（ ） A. (0,1)B. [0,1)C. (0,1]D. [0,1]3. 用二分法研究函数53()81f x x x =+-的零点时, 第一次经过计算(0)0f < , (0.5)0f >, 则其 中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为（ ）A. (0, 0.5) (0.125)fB. (0.5 , 1) (0.25)fC. (0.5 , 1) (0.75)fD. (0 , 0.5) (0.25)f4. 函数2sin(2),[0,]6y x x ππ=-∈为增函数的区间是（ ）A. [0,]3πB. 7[,]1212ππC. 5[,]36ππD. 5[,]6ππ5. 如图, 一个大风车的半径为8 m , 每12 min 旋转一周, 最低点离地面为2 m . 若风车翼片从最低点按逆时针方向开始旋转, 则该翼片的端点P 离地面的距离h (m )与时间t (min )之间的函数关系是（ ） A. h ＝8cos π6t ＋10B. h ＝－8cos π3t ＋10C. h ＝－8sin π6t ＋10D. h ＝－8cos π6t ＋106 . 如图, 在ΔABC 中, AD AB ⊥, 23BC BD =u u u r u u u r , 1AD =u u u r, 则AC AD ⋅u u u r u u u r ＝ （ ）A. 23B.3C.32D. 337. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤->+-=-6,136),1(log )(63x x x x f x 满足98)(-=n f , 则=+)4(n f（ ）A. 2B. －2C. 1D. －1A O BC8. 如图, 平面内有三个向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r , 其中OA u u u r 与OB uuu r 的夹角为120︒, OA u u u r 与OC u u u r 的夹角为30︒, 且3||2,||,||232OA OB OC ===u u u r u u u r u u u r, 若(,)OC OA OB λμλμ=+∈R u u u r u u u r u u u r , 则（ ） A. 4,2λμ== B. 83,32λμ==C . 42,3λμ== D. 34,23λμ==9. 要得到sin 2x y =的图像, 只需将cos 24x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像上的所有点 （ ）A. 向右平移π2B. 向左平移π2C. 向左平移4π D. 向右平移4π10. 已知向量a ＝(2,1), b ＝(1,2), 则|a ＋λb |(λ∈R )的最小值为 （ ）A.55B. 255C . 355D. 511. 对于函数f (x )＝a sin x ＋bx ＋c (其中, a , b ∈R , c ∈Z ), 选取a , b , c 的一组值计算f (1)和f (－1), 所得出的正确结果一定不可能是 （ ）A. 4和6B. 3和1C. 2和4D. 1和212. 函数y ＝11-x 的图像与函数2sin (35)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（ ） A. 2B. 4C. 6D. 8二 、填空题(每小题5分，共20分)13. 若b a c b a ϖϖϖϖϖ+===,2,1且a c ϖϖ⊥则向量a ϖ与b ϖ的夹角 .14. 方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 .15. 已知函数()sin f x x =. 若存在1x , 2x , ⋅⋅⋅, m x 满足1206m x x x π≤<<⋅⋅⋅<≤, 且()()()()()()1223112m m f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=(2m ≥, m *∈N ), 则m 的最小值为 .16. 在锐角三角形C AB 中, 1tan 2A =, D 为边C B 上的点, D ∆AB 与CD ∆A 的面积分别为2 和4. 过D 作D E ⊥AB 于E , DF C ⊥A 于F , 则D DF E⋅=u u u r u u u r.三、解答题(共70分)17. (10分)计算: (1) 已知2sin cos 0αα-=, 求sin cos sin cos sin cos sin cos αααααααα-+++-的值. (2) 已知cos 534=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x π, 求x x x x tan 1cos sin sin 23-+的值.18. (12分)已知向量a , b 满足|a |＝|b |＝1, 且|k a ＋b |＝3|a －k b |(k >0), 令f (k )＝a ·b . (1) 求f (k )＝a ·b (用k 表示);(2) 当k >0时, f (k )≥x 2－2tx －12对任意的t ∈[－1,1]恒成立, 求实数x 的取值范围.19. (12分)设a ∈R , f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 2π满足f ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3π＝f (0),(1) 求函数f (x )的解析式; (写成形如y ＝A sin (wx ＋φ)＋B 的形式, w ＞0) (2) 画出函数在[0,]π的图像; (3)求函数在[4π,2411π]上的最大值和最小值.20. (12分)某影院共有1000个座位, 票价不分等次. 根据该影院的经营经验, 当每张标价不超过10元时, 票可全部售出, 当每张票价高于10元时, 每提高1元, 将有30张票不能售出, 为了获得更好的收益, 需给影院一个合适的票价, 符合的基本条件是: ①为方便找零和算帐, 票价定为1元的整数倍; ②影院放映一场电影的成本费用支出为5750元, 票房收入必须高于成本支出. 用x (元)表示每张票价, 用y (元)表示该影院放映一场的净收入(除去成本费用支出后的收入). (1) 把y 表示成x 的函数, 并求其定义域;(2) 试问在符合基本条件的前提下, 每张票价定为多少元时, 放映一场的净收入最多?21. (12分)在平面直角坐标系中, O 为坐标原点, A 、B 、C 三点满足1233OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r(1) 求证: A 、B 、C 三点共线(2) 已知()()1,cos 1sin ,cos ,0,2A x B x x x π⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦、, f (x )=||3222AB m OC OA ⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅ 的最小值为12, 求实数m 的值.22. (12分)在△ABC 中. (1) ||2,|AC AB AD BC D BAD DAC ︒==⊥∠=∠=︒u u u r u u u r 于，2,45,60AC AB AD BC D BAD DAC ︒==⊥∠=∠=︒u u u r u u r 于，, 求BD ·AC , BA ·AC . (2) 如果(1)的条件下△ABC 中, PQ 是以A 为圆心, 2为半径的圆的直径, 求CQ BP ⋅的最大值, 最小值, 并指出取最大值, 最小值时向量PQ u u u r 与BC u u u r的夹角.武汉二中2015－2016学年度上学期期末考试高一数学试卷参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DBDCDABCACDD13、 120° 14、 2 15、 8 16、 －151617. (10分) (1) －310（6分） (2) 6027 （6分） 18 . (12分) 解：(1)由题设得|a |2＝|b |2＝1, 对|k a ＋b |＝3|a －k b|两边平方得k 2a 2＋2k a ·b ＋b 2＝3(a 2－2k a ·b ＋k 2b 2),整理易得f (k )＝a ·b ＝k 2＋14k (k >0)．---------------------------------------------6分(2)f (k )＝k 2＋14k ＝k 4＋14k ≥12, 当且仅当k ＝1时取等号．欲使f (k )≥x 2－2tx －12对任意的t ∈[－1,1]恒成立, 等价于12≥x 2－2tx －12,即g (t )＝2xt －x 2＋1≥0在[－1,1]上恒成立, 而g (t )在[－1,1]上为单调函数或常函数,所以⎩⎪⎨⎪⎧g (1)＝2x －x 2＋1≥0g (－1)＝－2x －x 2＋1≥0,解得1－2≤x≤2－1.故实数x的取值范围为[1－2, 2－1]．-------------------------------------12分19. (12分) (1) 解：22 ()sin cos cos sinf x a x x x x=-+sin2cos2.2ax x=-由31()(0)1,2 3.3222af f aπ-=-⋅+=-=得解得因此()3sin2cos22sin(2).6f x x x xπ=-=----------------------4分(2) ---------------------8分(3) 当[,],2[,],()43632x x f xπππππ∈-∈时为增函数,当113[,],2[,],()324624x x f xπππππ∈-∈时为减函数,所以11()[,]() 2.443f x fπππ=在上的最大值为又因为11()3,()2, 424f fππ==故11()[,]424f xππ在上的最小值为11() 2.24fπ=-----------------12分20. (12分) 解：（1）由题意知当x≤10时, y=1000x-5750,当x>10时, y=[1000-30(x-10)]x-5750= -30x2+1300x-57502100057500:301300575001301305.7566x x x x ->⎧⎨-+->⎩<<=解之得又x ∈N ,∴6≤x ≤38 ∴所求表达式为210005750(610,)3013005750(1038,){638,}x x x N y x x x x N x x x N -≤≤∈⎧=⎨-+-<≤∈⎩≤≤∈定义域为 ------------------------------------6分 （2）当425010,),106(57501000max ==∈≤≤-=y x N x x x y 时时当23013005750(1038,),y x x x x N =-+-<≤∈时2max 652500030(),22833033y x x y =--+==时 所以每张票价定为22元时净收入最多。

数学考试时间: 2015年2月4 日 上午9: 00—11: 00 试卷满分: 150分一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分, 共50分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 想要得到函数cos 2y x =的图像, 只需将函数cos(2)3y x π=-（ ） 而得到.A ．向右平移6π个单位 B ．向右平移3π个单位C ．向左平移6π个单位 D ．向左平移3π个单位2. 设集合{}U =1,2,3,4,{}25M =x U x x+p =0∈-,若{}2,3U C M =,则实数p 的值为（ ） A ．4-B ．4C ．6-D ．63. 函数y ＝ln cos x ,,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭的图象是4.设4a b =r r g若a r 在b r 方向上的投影为23, 且b r 在a r 方向上的投影为3, 则a r 和b r 的夹角等于( ) A ．3πB ．6πC ．32π D ．323ππ或5. 设集合{}2A=230x x x +->, 集合{}2B=210,0x x ax a --≤>.若A B ⋂中恰含有一个整数, 则实数a 的取值范围是 （ ） A ．30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．34,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．()1,+∞6. 已知函数2sin ()1cos 2xg x x=+则此函数的最小正周期为（ ）A ．2πB ．πC ．32π D ．2π7.,OA OB u u u r u u u r的夹角为θ, 2,1,,(1)OA OB OM kOA ON k OB ====-u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r , ()MN f k =u u u u r在0k k =时取得最小值, 若002/7k <<, 则θ的取值范围是（ ）A ．,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭B ．2,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．,3ππ⎛⎫⎪⎝⎭8.已知函数⎩⎨⎧>≤+=.0,ln ,0,1)(x x x kx x f 则下列关于函数[]1)(+=x f f y 的零点个数的判断正确的是（ ）A ．当0>k 时,有3个零点;当0<k 时,有2个零点B ．当0>k 时,有4个零点;当0<k 时,有1个零点C ．无论k 为何值,均有2个零点D ．无论k 为何值,均有4个零点9. 已知直角梯形ABCD 中, AD ∥BC , ∠ADC ＝90°, AD ＝2, BC ＝1, P 是腰DC 上的动点,则 3PA PB +u u u r u u u r的最小值为 （ ）A ．4B ．5C 6D ．210.223sin 22(222)sin()4cos()t t πββπβ++>+-已知对于02t πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，恒成立，则的取值范围是（ ）A ．4t >B ．3t >C ．2t >D ．2t ≥-二、填空题: 本大题共5小题, 每小题5分, 共25分. 请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置, 书写不清, 模棱两可均不得分11.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长为2, 则这个圆心角所对的弧长是 .12.已知2log 32t =-,则48log 54= . (用t 表示)13.1()cos cos()cos ,0,()23f x x x f πθθθπ=--<<的值最大，则 32()0,23x f x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦在上的最小值是 . 14. 以M 为圆心半径为2.5的圆外接于ABC V , 且513120MA MC MB ++=u u u r u u u u r u u u r r, 则两个面积比/BCMABM S S =V V .15. 如图, 在直角坐标系xOy 中,锐角ABC ∆内接于单位圆,已知BC 平行于x 轴, 且tan 2XDA ∠=,记(0)2XOA παα∠=<<30()2X B πβπβ∠=<<, 则sin()αβ+= . 三、解答题: 本大题共6小题, 共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16. 已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+>≤≤是R 上的偶函数, 其图像关于点3(,0)4M π 对称, 且在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数, 求ωϕ和的值.17. 已知函数2()243f x ax x a =+--,a ∈R .(1)当1a =时,求函数()f x 在[]1,1-上的最大值;(2)如果函数()f x 在区间[]1,1-上存在两个不同的零点,求a 的取值范围.18. 设(cos ,(1)sin ),(cos ,sin ),(0,0)2a b παλαββλαβ=-=><<<r r 是平面上的两个向量, 若向量a b +r r 与a b -r r互相垂直.(1) 求实数λ的值;(2) 若45a b ⋅=r r , 且4tan 3β=, 求tan()4πα-的值.19. 已知武汉二中食堂需要定期购买食品配料, 该食堂每天需要食品配料200千克, 配料的价格为8.1元/千克, 每次购买配料需支付运费236元.每次购买来的配料还需支付保管费用（若n 天购买一次, 需要支付n 天的保管费）. 其标准如下: 7天以内（含7天）, 无论重量多少, 均按10元/天支付; 超出7天以外的天数, 根据实际剩余配料的重量, 以每天0.03元/千克支付.(1) 当9天购买一次配料时, 求该食堂用于配料的保管费用p 是多少元？ (2) 设该食堂x 天购买一次配料, 求该食堂在这x 天中用于配料的总费用．．．y （元）关于x 的函数关系式, 并求该食堂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用．．．．．．．．．最少?20. 对于函数12(),(),()f x f x h x , 如果存在实数,a b 使得12()()()h x a f x b f x =⋅+⋅, 那么称()h x 为12(),()f x f x 的线性函数.(1) 下面给出两组函数, ()h x 是否分别为12(),()f x f x 的线性函数？并说明理由;第一组: 12()lg,()lg10,()lg 10xf x f x x h x x ===; 第二组: 1)(,1)(,)(22221+-=++=-=x x x h x x x f x x x f ;(2) 设12212()log ,()log ,2,1f x x f x x a b ====, 线性函数()h x .若不等式23()2()0h x h x t ++<在[2,4]x ∈上有解, 求实数t 的取值范围;21. (1)有时一个式子可以分拆成两个式子, 求和时可以达到相消化简的目的, 如我们初中曾学过:11111111...(1)()...()12239910022399100+++=-+-++-⨯⨯⨯=11100-=99100请用上面的数学思维来证明如下:11111cot cot 32sin 2sin 4sin 8sin16sin 32x x x x x x x++++=- (注意: cos cot sin xx x =）(2) 当02x π<<时, 且sin 8sin sin 4sin 2sin sin 8sin 2sin 4x x x xx x x x-+=g g , 求x 的值.武汉二中2014——2015学年上学期高一年级期末考试数学试卷参考答案参考答案:CBAAB DCBBB11. 2/sin1; 12. 352t t -+; 13. 12-; 14. 513; 15. 45-16、解: 由f (x )是偶函数，得f (－x )＝f (x )，即sin(－ωx ＋φ)＝sin (ωx ＋φ)，所以－cos φsin ωx ＝cos φsin ωx 对任意x 都成立． 又ω>0，∴cos φ＝0.依题设0≤φ≤π，所以φ＝π2，∴f (x )＝cos ωx ， 其对称中心为(π2＋k πω，0)(k ∈Z )．∵f (x )的图象关于点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，∴令π2＋k πω＝3π4， ∴ω＝23(2k ＋1)，k ＝0,1,2，….当k ＝0时，ω＝23，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是减函数；当k ＝1时，ω＝2，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是减函数； 当k ≥2时，ω≥103，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上不是单调函数． 综上得ω＝23或ω＝2.17、解：(1)当1a =时,则2()244f x x x =+-222(2)42(1)6x x x =+-=+-.因为[]1,1x ∈-,所以1x =时,()f x 的最大值(1)2f =(2)若()y f x =在[]1,1-上有两个零点, 则0,8(1)(2)0,111,(1)0,(1)0a a a a f f >⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪-≥⎪⎪≥⎩或0,8(1)(2)0,111,(1)0,(1)0.a a a a f f <⎧⎪∆=++>⎪⎪-<-<⎨⎪-≤⎪⎪≤⎩ 解得7a ≥或2a <-.18．解: （1）由题设可得()()0,a b a b +⋅-=r r r r即220,a b -=r r代入,a b r r 坐标可得22222cos +(1)sin cos sin 0αλαββ---=.222(1)sin sin 0,λαα∴--=0,0,22παλλ<<>∴=Q .(2）由（1）知，4cos cos sin sin cos(),5a b αβαβαβ⋅=+=-=r r02παβ<<<Q ∴ 02παβ-<-<33sin(),tan()54αβαβ∴-=--=-.34tan()tan 743tan tan[()]=341tan()tan 241()43αββααββαββ-+-+∴=-+==--⋅--⨯. 17tan()431πα-=-19、解：(1) 当9天购买一次时，该食堂用于配料的保管费用88)21(20003.070=+⨯⨯+=p 元(2）① 当70≤<x 时，23637023610360+=++=x x x y②当 7>x 时，]12)8()7[(670236360+++-+-+++=Λx x x y43232132++=x x ∴⎩⎨⎧>++≤<+=7,432321370,2363702x x x x x y∴设该食堂x 天购买一次配料平均每天支付的费用为)(x f 元∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈>++∈≤<+=N x x x x N x x xx f 且且7,321432370,236370)(当70≤<x 时 xx f 236370)(+= )(x f 是]7,0(上的减函数. 当且仅当7=x 时,)(x f 有最小值7540372826=（元）当7>x 时3214323)(++=x x x f =321)144(3++xx ≥393当且仅当12144==x x x 即时取等号∵75403393< ∴当12=x 时 )(x f 有最小值393元20. 解：(1) ①lglg10lg 10x a b x x +={1011,22a b a b a b +=-=∴==Q 所以()h x 是12(),()f x f x 的线性函数②设222()(1)1a x xb x x x x ++++=-+，即22()()1a b x a b x b x x ++++=-+，则⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+111b b a b a ，该方程组无解.所以()h x 不是12(),()f x f x 的线性函数. (2) 122122()2()()2log log log h x f x f x x x x =+=+=若不等式23()2()0h x h x t ++<在[2,4]x ∈上有解，23()2()0h x h x t ++<，即22223()2()3log 2log t h x h x x x <--=--设2log s x =，则[1,2]s ∈，22223log 2log 32y x x s s =--=--，max 5y =-，故，5t <-.。

2016-2017学年湖北省武汉二中高一（上）期末数学试卷一、选择题1．sin20°sin80°﹣cos160°sin10°=（）A．B．C．D．2．若=，则tanθ=（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣33．在函数y=sin|x|、y=|sinx|、y=sin（2x+）、y=tan（2x+）中，最小正周期为π的函数的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．方程x﹣sinx=0的根的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为f（x）=x2+1，值域为{5，10}的“孪生函数”共有（）A．4个B．8个C．9个D．12个6．函数y=2sin（﹣2x）的单调递增区间是（）A．B．C．D．7．已知函数f（x）=Asin（ωｘ+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（）A．B．C．D．8．定义在R上的函数f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称，且对任意的实数x都有，f（﹣1）=1，f（0）=﹣2，则f（1）+f（2）+…＋f（2 017）=（）A．0 B．﹣2 C．1 D．﹣49．已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a，b为常数，a≠０，x∈R）在x=处取得最大值，则函数y=f（x+）是（）A．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称B．偶函数且它的图象关于点（，0）对称C．奇函数且它的图象关于点（，0）对称D．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称10．将函数y=sin（x﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为（）A．y=sin（x﹣）B．y=sin（2x﹣）C．y=sin x D．y=sin（x﹣）11．函数f（x）=2sin（2x+），g（x）=mcos（2x﹣）﹣2m+3（m＞0），若对任意x1∈[0，]，存在x2∈[0，]，使得g（x1）=f（x2）成立，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=e x﹣e﹣x+4sin3x+1，x∈（﹣1，1），若f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞2成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，1）B．（0，1）C．D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）二、填空题13．若α+β=则（1﹣tanα）（1﹣tanβ）的值为．14．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣2+log35）=．15．一个匀速旋转的摩天轮每12分钟转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18米，P是摩天轮轮周上一定点，从P在最低点时开始计时，则14分钟后P点距地面的高度是米．16．定义在R上的单调函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）+f（y），若F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）在（0，π）上有零点，则a的取值范围是．三、解答题17．某正弦交流电的电压v（单位V）随时间t（单位：s）变化的函数关系是v=120sin，t∈[0，+∞）．（1）求该正弦交流电电压v的周期、频率、振幅；（2）若加在霓虹灯管两端电压大于84V时灯管才发光，求在半个周期内霓虹灯管点亮的时间？（取≈1.4）18．已知函数f（x）=2sin（2ωｘ+）+1（其中0＜ω＜1），若点（﹣，1）是函数f（x）图象的一个对称中心，（1）试求ω的值；（2）先列表，再作出函数f（x）在区间x∈[﹣π，π]上的图象．19．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥０时，f（x）=x+x2．（1）求x＜0时，f（x）的解析式；（2）问是否存在这样的非负数a，b，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[4a﹣2，6b﹣6]？若存在，求出所有的a，b值；若不存在，请说明理由．20．（1）若cos=，π＜x＜π，求的值．（2）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1（x∈R），若f（x0）=，x0∈[，]，求cos2x0的值．21．已知函数f（x）=4sin2（+）?sinx+（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）﹣1．（1）化简f（x）；（2）常数ω＞0，若函数y=f（ωｘ）在区间上是增函数，求ω的取值范围；（3）若函数g（x）=在的最大值为2，求实数a的值．22．已知函数．任取t∈R，若函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值为M（t），最小值为m（t），记g（t）=M（t）﹣m（t）．（1）求函数f（x）的最小正周期及对称轴方程；（2）当t∈[﹣2，0]时，求函数g（t）的解析式；（3）设函数h（x）=2|x﹣k|，H（x）=x|x﹣k|+2k﹣8，其中实数k为参数，且满足关于t的不等式有解，若对任意x1∈[4，+∞），存在x2∈（﹣∞，4]，使得h（x2）=H（x1）成立，求实数k的取值范围．2016-2017学年湖北省武汉二中高一（上）期末数学试卷参考答案一、选择题1．sin20°sin80°﹣cos160°sin10°=（）A．B．C．D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式化成同角，再用和差公式即可求解．【解答】解：∵sin80°=sin（90°﹣10°）=cos10°，cos160°=cos=﹣cos20°，那么：sin20°sin80°﹣cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin（20°+10°）=sin30°=故选D2．若=，则tanθ=（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3【考点】三角函数的化简求值．【分析】直接利用诱导公式化简求解即可．【解答】解：==，可得sinθ=3cosθ，∴tanθ=﹣3．故选：D．3．在函数y=sin|x|、y=|sinx|、y=sin（2x+）、y=tan（2x+）中，最小正周期为π的函数的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】利用y=Asin（ωｘ+φ）的周期等于T=，y=|Asin（ωｘ+φ）|的周期为，y=Atan （ωｘ+φ）的周期为，得出结论．【解答】解：∵函数y=sin|x|不是周期函数，y=|sinx|是周期等于π的函数，y=sin（2x+）的周期等于=π，y=tan（2x+）的周期为，故这些函数中，最小正周期为π的函数的个数为2，故选：B．4．方程x﹣sinx=0的根的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．【分析】方程x﹣sinx=0的根的个数可转化为函数f（x）=x﹣sinx的零点个数，有导数证明函数是单调函数，f（x）零点有且只有一个为0．从而方程x﹣sinx=0的根有且只有一个为【解答】解：方方程x﹣sinx=0的根的个数可转化为函数f（x）=x﹣sinx的零点个数，∵f′（x）=1﹣cosx，﹣1≤cosx≤１，所以1﹣cosx≥０，即f′（x）≥０，所以f（x）=x﹣sinx在R上为增函数．又因为f（0）=0﹣sin0=0，所以0是f（x）唯一的一个零点，所以方程x﹣sinx=0的根的个数为1，故选：A．5．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为f（x）=x2+1，值域为{5，10}的“孪生函数”共有（）A．4个B．8个C．9个D．12个【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法；函数的表示方法．【分析】根据已知中若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，再由函数解析式为y=x2+1，值域为{5，10}，由y=5时，x=±2；y=10时，x=±3，用列举法，可以得到函数解析式为y=x2+1，值域为{5，10}的所有“孪生函数”，进而得到答案．【解答】解：由已知中“孪生函数”的定义：一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，当函数解析式为y=x2+1，值域为{5，10}时，由y=5时，x=±2，y=7时，x=±3用列举法得函数的定义域可能为：{﹣2，﹣3}，{﹣2，3}，{2，﹣3}，{2，3}，{﹣2，﹣3，3}，{2，﹣3，3}，{2，3，﹣2}，{2，﹣3，﹣2}，{﹣2，﹣3，3，2}，共9个故选：C．6．函数y=2sin（﹣2x）的单调递增区间是（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωｘ+φ）的图象变换．【分析】先根据三角函数的诱导公式将自变量x的系数变为正数，再由函数的单调递减区间为的单调递增区间根据正弦函数的单调性求出x的范围，得到答案．【解答】解：，由于函数的单调递减区间为的单调递增区间，即故选B．7．已知函数f（x）=Asin（ωｘ+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（）A．B．C．D．【考点】由y=Asin（ωｘ+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】观察图象的长度是四分之一个周期，由此推出函数的周期，又由其过点（，2）然后求出φ，即可求出函数解析式．【解答】解：由图象可知：的长度是四分之一个周期函数的周期为2，所以ω=函数图象过（，2）所以A=2，并且2=2sin（φ）∵，∴φ=f（x）的解析式是故选A．8．定义在R上的函数f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称，且对任意的实数x都有，f（﹣1）=1，f（0）=﹣2，则f（1）+f（2）+…＋f（2 017）=（）A．0 B．﹣2 C．1 D．﹣4【考点】函数的值．【分析】根据f（x）=﹣f（x+）求出函数的周期，由函数的图象的对称中心列出方程，由条件、周期性、对称性求出f（1）、f（2）、f（3）的值，由周期性求出答案．【解答】解：由f（x）=﹣f（x+）得f（x+）=﹣f（x），∴f（x+3）=﹣f（x+）=f（x），即函数的周期为3，又f（﹣1）=1，∴f（2）=f（﹣1+3）=f（﹣1）=1，且f（）=﹣f（﹣1）=﹣1，∵函数图象关于点（，0）呈中心对称，∴f（x）+f（﹣x﹣）=0，则f（x）=﹣f（﹣x﹣），∴f（1）=﹣f（﹣）=﹣f（）=1，∵f（0）=﹣2，∴f（3）=f（0）=﹣2，则f（1）+f（2）+f（3）=1+1﹣2=0∴f（1）+f（2）+…＋f=1，故选C．9．已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a，b为常数，a≠０，x∈R）在x=处取得最大值，则函数y=f（x+）是（）A．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称B．偶函数且它的图象关于点（，0）对称C．奇函数且它的图象关于点（，0）对称D．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称【考点】三角函数的最值．【分析】将已知函数变形f（x）=asinx﹣bcosx=sin（x﹣φ），根据f（x）=asinx﹣bcosx在x=处取得最大值，求出φ的值，化简函数，即可得出结论．【解答】解：将已知函数变形f（x）=asinx﹣bcosx=sin（x﹣φ），其中tanφ=，又f（x）=asinx﹣bcosx在x=处取得最大值，∴﹣φ=2kπ+（k∈Z）得φ=﹣﹣2kπ（k∈Z），∴f（x）=sin（x+），∴函数y=f（x+）=sin（x+）=cosx，∴函数是偶函数且它的图象关于点（，0）对称．故选：B．10．将函数y=sin（x﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为（）A．y=sin（x﹣）B．y=sin（2x﹣）C．y=sin x D．y=sin（x﹣）【考点】函数y=Asin（ωｘ+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωｘ+φ）的图象变换规律即可得解，注意三角函数的平移原则为左加右减上加下减．【解答】解：将函数y=sin（x﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式为y=sin（x﹣），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为y=sin[（x+）﹣]=sin（x﹣），故选：D．11．函数f（x）=2sin（2x+），g（x）=mcos（2x﹣）﹣2m+3（m＞0），若对任意x1∈[0，]，存在x2∈[0，]，使得g（x1）=f（x2）成立，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意可得，当x∈[0，]时，g（x）的值域是f（x）的值域的子集，由此列出不等式组，求得m的范围．【解答】解：当x∈[0，]时，2x+∈[，]，sin（2x+）∈[，1]，f（x）=2sin（2x+）∈[1，2]，同理可得2x﹣∈[﹣，]，cos（2x﹣）∈[，1]，g（x）=mcos（2x﹣）﹣2m+3∈[﹣+3，﹣m+3]，对任意x1∈[0，]，存在x2∈[0，]，使得g（x1）=f（x2）成立，∴，求得1≤m≤，故选：D．12．已知函数f（x）=e x﹣e﹣x+4sin3x+1，x∈（﹣1，1），若f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞2成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，1）B．（0，1）C．D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】令g（x）=f（x）﹣1，则可得g（x）为奇函数，且g（x）在（﹣1，1）上为增函数，进而可得答案．【解答】解：令g（x）=f（x）﹣1=e x﹣e﹣x+4sin3x，则g（﹣x）=﹣g（x），即g（x）为奇函数，若f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞2成立，即g（1﹣a）+g（1﹣a2）＞0成立，即g（1﹣a）＞﹣g（1﹣a2）=g（a2﹣1），∵g′（x）=e x+e﹣x+12sin2xcosx≥０在x∈（﹣1，1）时恒成立，故g（x）在（﹣1，1）上为增函数，故﹣1＜a2﹣1＜1﹣a＜1，解得：a∈（0，1），故选：B．二、填空题13．若α+β=则（1﹣tanα）（1﹣tanβ）的值为2．【考点】两角和与差的正切函数．﹣1，代入【分析】由题意可得tan（α+β）=﹣1=，即tanα+tanβ=tanαtanβ（1﹣tanα）（1﹣tanβ）的展开式，化简可得结果．【解答】解：若α+β=，则tan（α+β）=﹣1=，﹣1．∴tanα+tanβ=tanαtanβ∴（1﹣tanα）（1﹣tanβ）=1﹣tanα﹣tanβ+tanαtanβ=1﹣（tanαtanβ﹣1）+tanαtanβ=2，故答案为：2．14．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣2+log35）=．【考点】奇函数；函数的值．【分析】可利用奇函数的定义将f（﹣2+log35）的值的问题转化为求f（2﹣log35）的值问题，再根据函数的性质求出f（﹣2+log35）【解答】解：由题意f（﹣2+log35）=﹣f（2﹣log35）由于当x＞0时，，故f（﹣2+log35）=﹣f（log3）==故答案为15．一个匀速旋转的摩天轮每12分钟转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18米，P 是摩天轮轮周上一定点，从P在最低点时开始计时，则14分钟后P点距地面的高度是6米．【考点】函数y=Asin（ωｘ+φ）的图象变换．【分析】由实际问题设出P与地面高度与时间t的关系，f（t）=Asin（ωｔ+φ）+B，由题意求出三角函数中的参数A，B，及周期T，利用三角函数的周期公式求出ω，通过初始位置求出φ，求出f（14）的值即可．【解答】解：设P与地面高度与时间t的关系，f（t）=Asin（ωｔ+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），由题意可知：A==8，B=10，T==12，所以ω=，即f（t）=8sin（t+φ）+10，又因为f（0）=2，即sinφ=﹣1，故φ=，∴f（t）=8sin（t+）+10，∴f（14）=6（米），故答案为：6．16．定义在R上的单调函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）+f（y），若F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）在（0，π）上有零点，则a的取值范围是[2，+∞）．【考点】抽象函数及其应用．【分析】①令x=y=0，则f（0）=2f（0），则f（0）=0；再令y=﹣x，f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，可得f（x）是奇函数．②F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）在（0，π）上有零点．f（﹣sinx﹣cos2x+3）在（0，π）上有解；根据函数f（x）是R上的单调函数，asinx=﹣sinx﹣cos2x+3在（0，π）上有解．x∈（0，π），sinx≠０；a==sinx+﹣1，令t=sinx，t∈（0，1]；则a=t+﹣1；利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：①令x=y=0，则f（0）=2f（0），则f（0）=0；再令y=﹣x，则f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=0，且f（x）定义域为R，关于原点对称．∴f（x）是奇函数．②F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）在（0，π）上有零点．∴f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）=0在（0，π）上有解；∴f（asinx）=﹣f（sinx+cos2x﹣3）=f（﹣sinx﹣cos2x+3）在（0，π）上有解；又∵函数f（x）是R上的单调函数，∴asinx=﹣sinx﹣cos2x+3在（0，π）上有解．∵x∈（0，π），∴sinx≠０；∴a==sinx+﹣1；令t=sinx，t∈（0，1]；则a=t+﹣1；∵y=t+，＜0，因此函数y在（0，1]上单调递减，∴a≥２．故答案为：[2，+∞）．三、解答题17．某正弦交流电的电压v（单位V）随时间t（单位：s）变化的函数关系是v=120sin，t∈[0，+∞）．（1）求该正弦交流电电压v的周期、频率、振幅；（2）若加在霓虹灯管两端电压大于84V时灯管才发光，求在半个周期内霓虹灯管点亮的时间？（取≈1.4）【考点】正弦函数的图象．【分析】（1）根据v=120sin，t∈[0，+∞），求该正弦交流电电压v的周期、频率、振幅；（2）由及得，结合正弦图象，取半个周期，即可得出结论．【解答】解：（1）周期，频率，振幅（2）由及得结合正弦图象，取半个周期有解得所以半个周期内霓虹灯管点亮的时间为（s）18．已知函数f（x）=2sin（2ωｘ+）+1（其中0＜ω＜1），若点（﹣，1）是函数f（x）图象的一个对称中心，（1）试求ω的值；（2）先列表，再作出函数f（x）在区间x∈[﹣π，π]上的图象．【考点】函数的图象．【分析】（1）根据三角函数的对称中心求出ω，（2）利用五点作图法，画图即可．【解答】解：（1）点（﹣，1）是函数f（x）图象的一个对称中心，∴﹣2ω?+=kπ，k∈Z，即ω=﹣3k+∵0＜ω＜1，∴ω=，（2）由（1）知f（x）=2sin（x+）+1，x∈[﹣π，π]列表如下x+﹣π﹣0 πx﹣π﹣π﹣πy0 ﹣1 1 3 1 019．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥０时，f（x）=x+x2．（1）求x＜0时，f（x）的解析式；（2）问是否存在这样的非负数a，b，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[4a﹣2，6b﹣6]？若存在，求出所有的a，b值；若不存在，请说明理由．【考点】函数奇偶性的性质；函数的值域．【分析】（1）设x＜0，则﹣x＞0，利用x≥０时，f（x）=x+x2．得到f（﹣x）=﹣x+x2，再由奇函数的性质得到f（﹣x）=﹣f（x），代换即可得到所求的解析式．（2）假设存在这样的数a，b．利用函数单调性的性质建立方程求参数，若能求出，则说明存在，否则说明不存在．【解答】解：（1）设x＜0，则﹣x＞0，于是f（﹣x）=﹣x+x2，又f（x）为奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣f（x）=﹣x+x2，即x＜0时，f（x）=x﹣x2．…（2）假设存在这样的数a，b．∵a≥０，且f（x）=x+x2在x≥０时为增函数，…∴x∈[a，b]时，f（x）∈[f（a），f（b）]=[4a﹣2，6b﹣6]，∴…，即…或，考虑到0≤a＜b，且4a﹣2＜6b﹣6，…可得符合条件的a，b值分别为…20．（1）若cos=，π＜x＜π，求的值．（2）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1（x∈R），若f（x0）=，x0∈[，]，求cos2x0的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；同角三角函数基本关系的运用．【分析】（1）根据同角的三角函数关系，转化法求出cosx、sinx和tanx的值，再计算所求的算式；（2）利用三角恒等变换化简f（x），根据f（x0）=求出sin（2x0+）和cos（2x0+）的值，再计算cos2x0的值．【解答】解：（1）由π＜x＜π，得π＜x+＜2π，又cos=，∴sin=﹣；∴cosx=cos=cos cos+sin sin=﹣，从而sinx=﹣，tanx=7；故原式=；（2）f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），当f（x0）=时，sin（2x0+）=，又x0∈[，]，∴2x0+∈[，]，∴cos（2x0+）=﹣，∴cos2x0=cos[（2x0+）﹣]=﹣×+×=．21．已知函数f（x）=4sin2（+）?sinx+（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）﹣1．（1）化简f（x）；（2）常数ω＞0，若函数y=f（ωｘ）在区间上是增函数，求ω的取值范围；（3）若函数g（x）=在的最大值为2，求实数a的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数与方程的综合运用．【分析】（1）使用降次公式和诱导公式化简4sin2（+），使用平方差公式和二倍角公式化简（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）；（2）求出f（ωｘ）的包含0的增区间U，令[﹣，]?U，列出不等式组解出ω；（3）求出g（x）解析式，判断g（x）的最大值，列方程解出a．【解答】解：（1）f（x）=2[1﹣cos（+x）]?sinx+cos2x﹣sin2x﹣1=（2+2sinx）?sinx+1﹣2sin2x﹣1=2sinx．（2）∵f（ωｘ）=2sinωｘ，由≤ωｘ≤，解得﹣+≤x≤+，∴f（ωｘ）的递增区间为[﹣+，+]，k∈Z．∵f（ωｘ）在[﹣，]上是增函数，∴当k=0时，有，∴，解得，∴ω的取值范围是（0，]．（3）g（x）=sin2x+asinx﹣acosx﹣a﹣1，令sinx﹣cosx=t，则sin2x=1﹣t2，∴y=1﹣t2+at﹣a﹣1=﹣（t﹣）2+﹣，∵t=sinx﹣cosx=sin（x﹣），∵x∈[﹣，]，∴x﹣∈[﹣，]，∴．①当＜﹣，即a＜﹣2时，y max=﹣（﹣）2+﹣=﹣a﹣﹣2．令﹣a﹣﹣2=2，解得a=﹣（舍）．②当﹣≤≤１，即﹣2≤a≤２时，y max=﹣，令，解得a=﹣2或a=4（舍）．③当，即a＞2时，在t=1处，由得a=6．因此，a=﹣2或a=6．22．已知函数．任取t∈R，若函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值为M（t），最小值为m（t），记g（t）=M（t）﹣m（t）．（1）求函数f（x）的最小正周期及对称轴方程；（2）当t∈[﹣2，0]时，求函数g（t）的解析式；（3）设函数h（x）=2|x﹣k|，H（x）=x|x﹣k|+2k﹣8，其中实数k为参数，且满足关于t的不等式有解，若对任意x1∈[4，+∞），存在x2∈（﹣∞，4]，使得h（x2）=H（x1）成立，求实数k的取值范围．【考点】正弦函数的图象．【分析】（1）根据正弦型函数f（x）的解析式求出它的最小正周期和对称轴方程；（2）分类讨论、和t∈[﹣1，0]时，求出对应函数g（t）的解析式；（3）根据f（x）的最小正周期T，得出g（t）是周期函数，研究函数g（t）在一个周期内的性质，求出g（t）的解析式；画出g（t）的部分图象，求出值域，利用不等式求出k的取值范围，再把“对任意x1∈[4，+∞），存在x2∈（﹣∞，4]，使得h（x2）=H（x1）成立”转化为“H（x）在[4，+∞）的值域是h（x）在（﹣∞，4]的值域的子集“，从而求出k的取值范围．【解答】解：（1）函数，则f（x）的最小正周期为；令，解得f（x）的对称轴方程为x=2k+1（x∈Z）；（2）①当时，在区间[t，t+1]上，，m（t）=f（﹣1）=﹣1，∴；②当时，在区间[t，t+1]上，，m（t）=f（﹣1）=﹣1，∴；③当t∈[﹣1，0]时，在区间[t，t+1]上，，，∴；∴当t∈[﹣2，0]时，函数；（3）∵的最小正周期T=4，∴M（t+4）=M（t），m（t+4）=m（t），∴g（t+4）=M（t+4）﹣m（t+4）=M（t）﹣m（t）=g（t）；∴g（t）是周期为4的函数，研究函数g（t）的性质，只须研究函数g（t）在t∈[﹣2，2]时的性质即可；仿照（2），可得；画出函数g（t）的部分图象，如图所示，∴函数g（t）的值域为；已知有解，即k≤４g（t）max=4，∴k≤４；若对任意x1∈[4，+∞），存在x2∈（﹣∞，4]，使得h（x2）=H（x1）成立，即H（x）在[4，+∞）的值域是h（x）在（﹣∞，4]的值域的子集．∵，当k≤４时，∵h（x）在（﹣∞，k）上单调递减，在[k，4]上单调递增，∴h（x）min=h（k）=1，∵H（x）=x|x﹣k|+2k﹣8在[4，+∞）上单调递增，∴H（x）min=H（4）=8﹣2k，∴8﹣2k≥１，即；综上，实数的取值范围是．2017年3月9日。

2015-2016学年湖北省武汉二中高一（上）期末数学试卷一、选填题（每小题5分，共60分）1. 已知全集U ={1, 2, 3, 4}，集合A ={1, 2}，B ={2, 3}，则∁U (A ∪B)=( ) A.{1, 3, 4} B.{3, 4} C.{3} D.{4}2. 函数y =√x ln (1−x)的定义域为（ ） A.(0, 1) B.[0, 1) C.(0, 1] D.[0, 1]3. 用二分法研究函数f(x)=x 5+8x 3−1的零点时，第一次经过计算f(0)<0，f(0.5)>0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为（ ） A.(0, 0.5)f(0.125) B.(0.5, 1)f(0.25) C.(0.5, 1)f(0.75) D.(0, 0.5)f(0.25)4. 函数y =2sin (π6−2x)，x ∈[0, π]）为增函数的区间是（ ） A.[0, π3] B.[π12, 712π]C.[π3, 56π]D.[56π, π]5. 一个大风车的半径为8m ，12min 旋转一周，它的最低点Po 离地面2m ，风车翼片的一个端点P 从P o 开始按逆时针方向旋转，则点P 离地面距离ℎ(m)与时间f(min )之间的函数关系式是（ ）A.ℎ(t)=−8sin π6t +10 B.ℎ(t)=−8cos π6t +10 C.ℎ(t)=−8sin π6t +8D.ℎ(t)=−8cos π6t +86. 如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →=2√3BD →，|AD →|=1，则AC →⋅AD →=( )A.2√3B.√3C.√32D.√337. 设f(x)={−log 3(x +1)(x >6)3x−6−1(x ≤6)满足f(n)=−89，则f(n +4)=( )A.2B.−2C.1D.−18. 如图，平面内有三个向量OA →，OB →，OC →，其中OA →与OB →的夹角为120∘，OA →与OC →的夹角为30∘，且|OA →|=2，|OB|=32，|OC →|=2√3，若OC →=λOA →+μOB →(λ, μ∈R)，则（ ）A.λ=4，μ=2B.λ=2,μ=32C.λ=2,μ=43D.λ=32，μ=439. 要得到y =sin x2的图象，只需将函数y =cos (x2−π4)的图象（ ） A.向左平移π4B.向右平移π4C.向左平移π2D.向右平移π210. 已知向量a →=(2, 1)，b →=(1, 2)，则|a →+λb →|(λ∈R)的最小值为（ ） A.√55 B.2√55C.3√55D.√511. 对于函数f(x)=a sin x +bx +c （其中，a ，b ∈R ，c ∈Z ），选取a ，b ，c 的一组值计算f(1)和f(−1)，所得出的正确结果一定不可能是( )A.4和6B.3和1C.2和4D.1和212. 函数y =1x−1的图象与函数y =2sin πx(−3≤x ≤5)的图象所有交点的横坐标之和等于（ ） A.2 B.4 C.6 D.8二、填空题（每小题5分，共20分）|a →|＝1，|b →|＝2，c →=a →+b →，且c →⊥a →，则a →与b →的夹角为________．方程log 2(9x−1−5)=log 2(3x−1−2)+2的解为________．已知函数f(x)=sin x ．若存在x 1，x 2，…，x m 满足0≤x 1<x 2<...<x m ≤6π，且|f(x 1)−f(x 2)|+|f(x 2)−f(x 3)|+...+|f(x m−1)−f(x m )|=12(m ≥2, m ∈N ∗)，则m 的最小值为________．在锐角三角形ABC 中，tan A =12，D 为边BC 上的点，△ABD 与△ACD 的面积分别为2和4．过D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，则DE →⋅DF →=________． 三、解答题（共70分） 计算：（1）已知2sin α−cos α=0，求 sin α−cos αsin α+cos α+sin α+cos αsin α−cos α的值．（2）已知cos (π4+x)=35，求sin 3x+sin x cos 2x1−tan x 的值．已知向量a →，b →满足|a →|=|b →|=1，且|ka →+b →|=√3|a →−kb →|(k >0)，令f(x)=a →⋅b →． （1）求f(k)=a →⋅b →（用k 表示）；（2）当k >0时，f(k)≥x 2−2tx −12对任意的t ∈[−1, 1]恒成立，求实数x 的取值范围．设a ∈R ，f(x)=cos x(a sin x −cos x)+cos 2(π2−x)满足f (−π3)=f(0)，（1）求函数f(x)的解析式； （写成形如y =A sin (wx +φ)+B 的形式，w >0）（2）画出函数在[0, π]的图象；（3）求函数在[π4, 11π24]上的最大值和最小值．某电影院共有1000个座位，票价不分等次，根据影院的经营经验，当每张票价不超过10元时，票可全售出；当每张票价高于10元时，每提高1元，将有30张票不能售出，为了获得更好的收益，需给影院定一个合适的票价，需符合的基本条件是：①为了方便找零和算账，票价定为1元的整数倍；②电影院放一场电影的成本费用支出为5750元，票房的收入必须高于成本支出，用x （元）表示每张票价，用y （元）表示该影院放映一场的净收入（除去成本费用支出后的收入） 问：(1)把y 表示为x 的函数，并求其定义域；(2)试问在符合基本条件的前提下，票价定为多少时，放映一场的净收人最多？在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A 、B 、C 三点满足OC →=13OA →+23OB →． （1）求证：A ，B ，C 三点共线；（2）若A(1,cos x),B(1+sin x,cos x),x ∈[0,π2]，f(x)=OA →⋅OC →−(2m 2+23)⋅|AB →|的最小值为12，求实数m 的值．在△ABC 中．（1）|AC →|=2，AD ⊥BC 于D ，∠BAD =45∘，∠DAC =60∘，求BD →⋅AC →，BA →⋅AC →．（2）如果（1）的条件下，△ABC 中，PQ 是以A 为圆心，√2为半径的圆的直径，求BP →⋅CQ ¯的最大值，最小值，并指出取最大值，最小值时向量PQ →与BC →的夹角．参考答案与试题解析2015-2016学年湖北省武汉二中高一（上）期末数学试卷一、选填题（每小题5分，共60分）1.【答案】D【考点】交、并、补集的混合运算【解析】根据A与B求出两集合的并集，由全集U，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合．【解答】解：∵A={1, 2}，B={2, 3}，∴A∪B={1, 2, 3}.∵全集U={1, 2, 3, 4}，∴∁U(A∪B)={4}．故选D.2.【答案】B【考点】函数的定义域及其求法【解析】由函数的解析式可直接得到不等式组{x≥01−x>0，解出其解集即为所求的定义域，从而选出正确选项【解答】解：由题意，自变量满足{x≥0,1−x>0,解得0≤x<1，即函数y=√x ln(1−x)的定义域为[0, 1).故选B.3.【答案】D【考点】二分法求方程的近似解【解析】根据零点定理f(a)f(b)<0，说明f(x)在(a, b)上有零点，已知第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈(0, 0.5)，根据二分法的定义即可得到第二次应计算的函数值f(0.25)．【解答】解：令f(x)=x5+8x3−1，则f(0)<0，f(0.5)>0，∴f(0)⋅f(0.5)<0，∴其中一个零点所在的区间为(0, 0.5)，第二次应计算的函数值应该为f(0+0.52)=f(0.25).故选D.4.【答案】C【考点】正弦函数的单调性函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】先根据诱导公式进行化简，再由复合函数的单调性可知y=−2sin(2x−π6)的增区间可由y=2sin(2x−π6)的减区间得到，再由正弦函数的单调性可求出x的范围，最后结合函数的定义域可求得答案．【解答】解：由y=2sin(π6−2x)=−2sin(2x−π6)其增区间可由y=2sin(2x−π6)的减区间得到，即2kπ+π2≤2x−π6≤2kπ+32π，k∈Z∴kπ+π3≤x≤kπ+56π，k∈Z．令k=0，π3≤x≤56π，故选C．5.【答案】B【考点】三角函数模型的应用【解析】由题意可设ℎ(t)＝A cosωt+B，根据周期性2πω=12，与最大值与最小值分别为18，2．即可得出．【解答】设ℎ(t)＝A cosωt+B，∵12min旋转一周，∴2πω=12，∴ω=π6．由于最大值与最小值分别为18，2．∴{−A+B=18A+B=2，解得A＝−8，B＝10．∴ℎ(t)＝−8cosπ6t+10．6.【答案】A【考点】平面向量数量积的运算 【解析】用AB →，AD →表示AC →，再计算数量积． 【解答】解：∵ AD ⊥AB ，∴ AB →⋅AD →=0．∵ AC →=2√3BD →=2√3(AD →−AB →)=2√3AD →−2√3AB →．∴ AC →⋅AD →=(2√3AD →−2√3AB →)⋅AD →=2√3AD →2−2√3AB →⋅AD →=2√3．故选：A ． 7.【答案】 B【考点】 函数的求值 【解析】结合题意，分别就当n >6时，当n ≤6时，代入，然后由f(n)=−89可求n ，进而可求f(n +4) 【解答】解：当n >6时，f(n)=−log 3(n +1)=−89,∴ n =389−1不满足题意，舍去. 当n ≤6时，f(n)=3n−6−1=−89, ∴ n −6=−2，即n =4,∴ f(n +4)=f(8)=−log 39=−2. 故选B . 8.【答案】 C【考点】数量积表示两个向量的夹角 平面向量的基本定理及其意义【解析】如图所示，过点C 作CD // OB ，交直线OA 与点D ，由题意可得∠OCD =90∘．在Rt △OCD 中，利用边角关系求得|CD →|=2，|OD →|=4，再由|OD →|=λ|OA →|， 且|DC →|=μ|OB →|，求得λ、μ的值．【解答】解：如图所示，过点C 作CD // OB ，交直线OA 与点D ．∵ 中OA →与OB →夹角为120∘，OA →与OC →的夹角为30∘，∴ ∠OCD =90∘． 在Rt △OCD 中，|CD →|=|OC →|tan 30∘=2√3×√33=2，|OD →|=2sin 30∘=4，由 OC →=λOA →+μOB →=OD →+DC →，可得|OD →|=λ|OA →|，且|DC →|=μ|OB →|，即 4=λ⋅2，且2=μ⋅32． 解得 λ=2，且μ=43，故选：C ．9.【答案】 D【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】由于函数y =sin x 2=cos (x 2−π2)，再根据y =A sin (ωx +φ)的图象变换规律，可得结论． 【解答】解：由于函数y =sin x2=cos (x2−π2)=cos (x−π22−π4)，故只需将函数y =cos (x2−π4)的图象向右平移π2可得函数y =sin x2的图象， 故答案为D 10. 【答案】 C【考点】平面向量数量积的运算 平面向量的坐标运算 【解析】先将向量a →+λb →坐标化，即a →+λb →=(2+λ, 1+2λ)，再利用向量数量积运算性质|a →|2=a →2，将|a →+λb →|转化为数量积√(a →+λb →)2，最后由数量积的坐标运算，将|a →+λb →|写成关于λ的函数，求最小值即可【解答】解：∵ a →=(2, 1)，b →=(1, 2)∴ a →+λb →=(2+λ, 1+2λ)∴ ∴ |a →+λb →|2=(2+λ)2+(1+2λ)2=5λ2+8λ+5=5(λ+45)2+95≥95 ∴ |a →+λb →|≥3√55故选C 11. 【答案】 D【考点】 函数的求值 【解析】求出f(1)和f(−1)，求出它们的和；由于c ∈Z ，判断出f(1)+f(−1)为偶数． 【解答】解：f(1)=a sin 1+b +c ①， f(−1)=−a sin 1−b +c ②， ①+②得：f(1)+f(−1)=2c ， ∵ c ∈Z ，∴ f(1)+f(−1)是偶数. 故选D . 12.【答案】 D【考点】正弦函数的图象 函数的图象变换 【解析】由题意可得函数y =1x−1的图象（红色部分）与函数y =2sin πx(−3≤x ≤5)的图象所有交点关于点(1, 0)对称，它们共有8个交点，构成4对，且每一对关于点(1, 0)对称，由此求得所有交点的横坐标之和． 【解答】 解：函数y =1x−1的图象关于点(1, 0)对称，函数y =2sin πx(−3≤x ≤5)的图象也关于点(1, 0)对称，如图所示： 故函数y =1x−1的图象（红色部分）与函数y =2sin πx(−3≤x ≤5)的图象所有交点关于点(1, 0)对称，它们共有8个交点，构成4对，且每一对关于点(1, 0)对称， 故他们的横坐标之和为4×2=8，故选：D ．二、填空题（每小题5分，共20分） 【答案】23π 【考点】数量积表示两个向量的夹角 【解析】根据c →=a →+b →，且c →⊥a →可得c →⋅a →=0进而求出a →⋅b →=−1然后再代入向量的夹角公式cos <a →,b →>=a →⋅b→|a →||b →|再结合<a →,b →>∈[0, π]即可求出<a →,b →>． 【解答】∵ c →=a →+b →，且c →⊥a →∴ c →⋅a →=0 ∴ (a →+b →)⋅a →=0 ∵ |a →|＝1 ∴ a →⋅b →=−1 ∵ |b →|＝2 ∴ cos <a →,b →>=a →⋅b→|a →||b →|=−12∵ <a →,b →>∈[0, π] ∴ <a →,b →>=23π；【答案】 x =2 【考点】对数的运算性质 【解析】利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可． 【解答】解：∵log2(9x−1−5)=log2(3x−1−2)+2，∴log2(9x−1−5)=log2[4×(3x−1−2)]，∴9x−1−5=4(3x−1−2)，化为(3x)2−12⋅3x+27=0，因式分解为：(3x−3)(3x−9)=0，∴3x=3，3x=9，解得x=1或2.经过验证：x=1不满足条件，舍去．∴x=2.故答案为：x=2.【答案】8【考点】正弦函数的图象【解析】由正弦函数的有界性可得，对任意x i，x j(i, j＝1, 2, 3,…,m)，都有|f(x i)−f(x j)|≤f(x)max−f(x)min＝2，要使m取得最小值，尽可能多让x i(i＝1, 2, 3,…,m)取得最高点，然后作图可得满足条件的最小m值．【解答】解：∵y=sin x对任意x i，x j(i, j=1, 2, 3,…,m)，都有|f(x i)−f(x j)|≤f(x)max−f(x)min=2，要使m取得最小值，尽可能多让x i(i=1, 2, 3,…,m)取得最高点，考虑0≤x1<x2<...<x m≤6π，|f(x1)−f(x2)|+|f(x2)−f(x3)|+...+|f(x m−1)−f(x m)|=12，按下图取值即可满足条件，∴m的最小值为8．故答案为：8.【答案】−16 15【考点】平面向量数量积的运算同角三角函数间的基本关系【解析】由题意画出图形，结合面积求出cos A=2√55，|DE→|⋅|DF→|=8√515，然后代入数量积公式得答案．【解答】解：如图，∵△ABD与△ACD的面积分别为2和4，∴12|AB→|⋅|DE→|=2，12|AC→|⋅|DF→|=4，可得|DE→|=4|AB→|，|DF→|=8|AC→|，∴|DE→|⋅|DF→|=32|AB→|⋅|AC→|．又tan A=12，∴sin Acos A=12，联立sin2A+cos2A=1，得sin A=√55，cos A=2√55．由12|AB→|⋅|AC→|sin A=6，得|AB→|⋅|AC→|=12√5．则|DE→|⋅|DF→|=8√515．∴DE→⋅DF→=|DE→|⋅|DF→|cos<DE→，DF→>=8√515×(−2√55)=−1615．故答案为：−1615．三、解答题（共70分）【答案】解：（1）∵2sinα−cosα=0，即tanα=12，∴原式=tanα−1tanα+1+tanα+1tanα−1=12−112+1+12+112−1=−13−3=−103；（2）∵cos(π4+x)=√22(cos x−sin x)=35，∴cos x−sin x=3√25，两边平方得：(cos x −sin x)2=1−2sin x cos x =1825，即sin x cos x =750，则原式=sin x(sin 2x+cos 2x)1−sin x cos x=sin x cos x cos x−sin x=7503√25=7√260． 【考点】同角三角函数基本关系的运用 【解析】（1）已知等式变形后，利用同角三角函数间基本关系化简求出tan α的值，原式变形后代入计算即可求出值； （2）已知等式利用两角和与差的余弦函数公式化简求出cos x −sin x 的值，再利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系求出sin x cos x 的值，原式变形后代入计算即可求出值． 【解答】解：（1）∵ 2sin α−cos α=0，即tan α=12， ∴ 原式=tan α−1tan α+1+tan α+1tan α−1=12−112+1+12+112−1=−13−3=−103；（2）∵ cos (π4+x)=√22(cos x −sin x)=35，∴ cos x −sin x =3√25，两边平方得：(cos x −sin x)2=1−2sin x cos x =1825，即sin x cos x =750， 则原式=sin x(sin2x+cos 2x)1−sin x cos x=sin x cos xcos x−sin x =7503√25=7√260． 【答案】解：（1）由|a →|=|b →|=1，|ka →+b →|=√3|a →−kb →|k 2a →2+b 2+2ka →⋅b →=3(a →2−2ka →⋅b →+k 2b →2) 整理得a →⋅b →=k 2+14k∴ f(k)=k 2+14k(k >0)…（2）当 k >0时f(k)=14(k +1k )≥14⋅2√k ⋅1k =12 （当且当k =1时等号成立）…∴ 当 k >0时f(k)≥x 2−2tx −12对任意的t ∈[−1, 1]恒成立即12≥x 2−2tx −12亦即x 2−2tx −1≤0对任意的t ∈[−1, 1]恒成立… 而x 2−2tx −1=−2xt +x 2−1=g(t)∴ g(t)=−2xt +x 2−1<0对任意的t ∈[−1, 1]恒成立由一次函数的性质可得{g(−1)=2x +x 2−1≤0→−1−√2≤x ≤−1+√2g(1)=−2x +x 2−1≤0→1−√2≤x ≤1+√2…∴ 1−√2≤x ≤√2−1∴ 实数的取值范围为[1−√2,√2−1]【考点】平面向量的综合题 【解析】（1）直接利用|a →|=|b →|=1，结合|ka →+b →|=√3|a →−kb →|两边平方整理即可得到结论；（2）当 k >0时，先根据基本不等式求出f(k)的最小值，再把所求问题转化为g(t)=−2xt +x 2−1<0对任意的t ∈[−1, 1]恒成立，最后结合一次函数的知识即可得到实数x 的取值范围． 【解答】解：（1）由|a →|=|b →|=1，|ka →+b →|=√3|a →−kb →|k 2a →2+b 2+2ka →⋅b →=3(a →2−2ka →⋅b →+k 2b →2) 整理得a →⋅b →=k 2+14k∴ f(k)=k 2+14k(k >0)…（2）当 k >0时f(k)=14(k +1k)≥14⋅2√k ⋅1k=12（当且当k =1时等号成立）…∴ 当 k >0时f(k)≥x 2−2tx −12对任意的t ∈[−1, 1]恒成立即12≥x 2−2tx −12亦即x 2−2tx −1≤0对任意的t ∈[−1, 1]恒成立… 而x 2−2tx −1=−2xt +x 2−1=g(t)∴ g(t)=−2xt +x 2−1<0对任意的t ∈[−1, 1]恒成立由一次函数的性质可得{g(−1)=2x +x 2−1≤0→−1−√2≤x ≤−1+√2g(1)=−2x +x 2−1≤0→1−√2≤x ≤1+√2…∴ 1−√2≤x ≤√2−1∴ 实数的取值范围为[1−√2,√2−1] 【答案】解：（1）f(x)=cos x(a sin x −cos x)+cos 2(π2−x)=a cos x sin x −cos 2x +sin 2x =a2sin 2x −cos 2x ， 由f (−π3)=f(0)得−√32⋅a 2+12=−1，解得a =2√3，因此f(x)=√3sin 2x−cos2x=2sin(2x−π6)，（2）图象如图所示：（3）当x∈[π4, π3]时，f(x)为增函数，当x∈[π3, 11π24]时，f(x)为减函数，所以函数f(x)在[π4, 11π24]上的最大值为f(π3)=2，又因为f(π4)=√3，f(11π24)=√2，故f(x)的最小值为√2．【考点】三角函数中的恒等变换应用正弦函数的图象【解析】（1）利用对函数解析式化简整理，进而根据三角函数的性质求得函数的解析式．（2）直接作图即可，（2）根据x的范围，最后根据三角函数图象和性质求得函数的最大和最小值【解答】解：（1）f(x)=cos x(a sin x−cos x)+cos2(π2−x)=a cos x sin x−cos2x+sin2x=a2sin2x−cos2x，由f(−π3)=f(0)得−√32⋅a2+12=−1，解得a=2√3，因此f(x)=√3sin2x−cos2x=2sin(2x−π6)，（2）图象如图所示：（3）当x∈[π4, π3]时，f(x)为增函数，当x∈[π3, 11π24]时，f(x)为减函数，所以函数f(x)在[π4, 11π24]上的最大值为f(π3)=2，又因为f(π4)=√3，f(11π24)=√2，故f(x)的最小值为√2．【答案】解：(1)电影院共有1000个座位，电影院放一场电影的成本费用支出为5750元，票房的收入必须高于成本支出，当x>5.75，票价最低为6元,y=6×1000−5750=250；当票价不超过10元时：y=1000x−5750，（6≤x≤10，且x∈Z），票价高于10元时：y=x[1000−30(x−10)]−5750=−30x2+1300x−5750，∵{1000−30(x−10)>0，−30x2+1300x−5750>0，解得：5<x<4313，∴y=−30x2+1300x−5750，（10<x≤43，且x∈Z）；∴y={250(6≥x>5.75,x∈Z)，1000x−5750(6<x≤10,x∈Z)，−30x2+1300x−5750(10≤x≤43，x∈Z).(2)对于y=1000x−5750，（6≤x≤10，且x∈Z），x=10时：y最大为4250元，对于y=−30x2+1300x−5750，（10<x≤43，且x∈Z）；当x =−b 2a≈21.6时，y 最大， ∴ 票价定为22元时代入得净收人为8830元． 所以票价定为22元时净收入最大，最大为8830元.【考点】函数解析式的求解及常用方法 【解析】（1）根据x 的范围，分别求出函数表达式；（2）分别求出两个函数的最大值，从而综合得到答案．【解答】解：(1)电影院共有1000个座位，电影院放一场电影的成本费用支出为5750元，票房的收入必须高于成本支出，当x >5.75，票价最低为6元, y =6×1000−5750=250； 当票价不超过10元时： y =1000x −5750，（6≤x ≤10，且x ∈Z ）， 票价高于10元时：y =x[1000−30(x −10)]−5750 =−30x 2+1300x −5750， ∵ {1000−30(x −10)>0，−30x 2+1300x −5750>0，解得：5<x <4313，∴ y =−30x 2+1300x −5750，（10<x ≤43，且x ∈Z ）；∴ y ={250(6≥x >5.75,x ∈Z )，1000x −5750(6<x ≤10,x ∈Z )，−30x 2+1300x −5750(10≤x ≤43，x ∈Z ).(2)对于y =1000x −5750，（6≤x ≤10，且x ∈Z ）， x =10时：y 最大为4250元，对于y =−30x 2+1300x −5750，（10<x ≤43，且x ∈Z ）； 当x =−b2a ≈21.6时，y 最大，∴ 票价定为22元时代入得净收人为8830元． 所以票价定为22元时净收入最大，最大为8830元. 【答案】解：∵ (1)OC →=13OA →+23OB →，∴ AC →=OC →−OA →=−23OA →+23OB →，AB →=OB →−OA →，… ∴ AC →=23⋅AB →，…∴ AC → // AB →，即A ，B ，C 三点共线． …（2）由A(1,cos x),B(1+sin x,cos x),x ∈[0,π2]，…∵ AB →=(sin x,0)，∴ |AB →|=√sin 2x =sin x ，… ∵ OC →=13OA →+23OB →=(1+23sin x, cos x)，从而f(x)=OA →⋅OC →−(2m 2+23)⋅|AB →|=1+23sin x +cos 2x −(2m 2+23)sin x =−sin 2x −2m 2sin x +2=−(sin x +m 2)2+m 4+2．…又x ∈[0,π2]，则t =sin x ∈[0, 1]，f(x)=g(t)=−(t +m 2)2+m 4+2．由于−m 2≤0，∴ g(t)=−(t +m 2)2+m 4+2在[0, 1]上是减函数，当t =1，即x =π2时，f(x)=g(t)取得最小值为−(1+m 2)2+m 4+2=12，解得m =±12，综上，m =±12． …【考点】平面向量数量积的运算 【解析】（1）由条件求得AB →和AC →，可得AC →=23⋅AB →，从而得到AC → // AB →，即A ，B ，C 三点共线．（2）先求出AB →=(sin x,0)，从而求得f(x)=1+sin x +cos 2x −(2m 2+23)sin x ，由x 的范围求得sin x ∈[0, 1]，利用二次函数的性质求出f(x)的最小值，即可求得实数m 的值． 【解答】解：∵ (1)OC →=13OA →+23OB →，∴ AC →=OC →−OA →=−23OA →+23OB →，AB →=OB →−OA →，…∴ AC →=23⋅AB →，…∴ AC → // AB →，即A ，B ，C 三点共线． … （2）由A(1,cos x),B(1+sin x,cos x),x ∈[0,π2]，… ∵ AB →=(sin x,0)，∴ |AB →|=√sin 2x =sin x ，… ∵ OC →=13OA →+23OB →=(1+23sin x, cos x)，从而f(x)=OA →⋅OC →−(2m 2+23)⋅|AB →|=1+23sin x +cos 2x −(2m 2+23)sin x=−sin 2x −2m 2sin x +2=−(sin x +m 2)2+m 4+2．…又x ∈[0,π2]，则t =sin x ∈[0, 1]，f(x)=g(t)=−(t +m 2)2+m 4+2． 由于−m 2≤0，∴ g(t)=−(t +m 2)2+m 4+2在[0, 1]上是减函数，当t =1，即x =π2时，f(x)=g(t)取得最小值为−(1+m 2)2+m 4+2=12，解得m =±12， 综上，m =±12． …第21页 共22页 ◎ 第22页 共22页【答案】 解：（1）以BC ，DA 分别为x ，y 轴如图，|AC →|=2，AD ⊥BC 于D ，∠BAD =45∘，∠DAC =60∘， 可得A(0, 1)，B(−1, 0)，C(√3, 0)， D(0, 0)，BD →⋅AC →=(1, 0)(−1, √3)=−1，BA →⋅AC →=(1, 1)(−1, √3)=√3−1．（2）设AQ →与x 轴正方向成角θ，即向量PQ →与BC →的夹角为：θ． BP →⋅CQ ¯=(AP →−AB →)•(AQ →−AC →)=(AP →−AB →)•(−AP →−AC →) =−AP →2+(AB →−AC →)AP →+AC →⋅AB →=−AP →2+CB →⋅AP →+AC →⋅AB →−−−−−−−− ∵ AP →2=2，AB →⋅AC →=|AB →|⋅|AC →|cos ∠BAC=2√2cos 105∘=1−√3−−−−−−−−−−∴ BP →⋅CQ →=−2+CB →⋅AP →+1−√3=−1−√3+|CB →|⋅|AP →|cos θ =−1−√3+(1+√3)×√2cos θ=−1−√3+(1+√3)cos θ−−−当CB →与AP →方向相同时，BP →⋅CQ →取得最大值0，此时PQ →与BC →的方向相同；------ 当CB →与AP →方向相反时，BP →⋅CQ →取得最小值−2−2√3，此时PQ →与BC →的方向相反------ 【考点】向量在几何中的应用 平面向量数量积的运算【解析】（1）建立直角坐标系，利用点的坐标表示向量，然后求解数量积的值．（2）利用向量的转化为已知向量的关系，通过向量的数量积推出数量积的表达式，然后求解最值． 【解答】 解：（1）以BC ，DA 分别为x ，y 轴如图，|AC →|=2，AD ⊥BC 于D ，∠BAD =45∘，∠DAC =60∘，可得A(0, 1)，B(−1, 0)，C(√3, 0)， D(0, 0)，BD →⋅AC →=(1, 0)(−1, √3)=−1，BA →⋅AC →=(1, 1)(−1, √3)=√3−1．（2）设AQ →与x 轴正方向成角θ，即向量PQ →与BC →的夹角为：θ．BP →⋅CQ ¯=(AP →−AB →)•(AQ →−AC →)=(AP →−AB →)•(−AP →−AC →) =−AP →2+(AB →−AC →)AP →+AC →⋅AB →=−AP →2+CB →⋅AP →+AC →⋅AB →−−−−−−−− ∵ AP →2=2，AB →⋅AC →=|AB →|⋅|AC →|cos ∠BAC =2√2cos 105∘=1−√3−−−−−−−−−−∴ BP →⋅CQ →=−2+CB →⋅AP →+1−√3=−1−√3+|CB →|⋅|AP →|cos θ =−1−√3+(1+√3)×√2cos θ=−1−√3+(1+√3)cos θ−−−当CB →与AP →方向相同时，BP →⋅CQ →取得最大值0，此时PQ →与BC →的方向相同；------ 当CB →与AP →方向相反时，BP →⋅CQ →取得最小值−2−2√3，此时PQ →与BC →的方向相反------。

2014-2015学年湖北省武汉二中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5.00分）想要得到函数y=cos2x的图象，只需将函数y=cos（﹣2x）（）而得到．A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平个单位2．（5.00分）设U={1，2，3，4}，且M={x∈U|x2﹣5x+P=0}，若∁U M={2，3}，则实数P的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣6 D．63．（5.00分）设函数y=ln（cosx），x∈（﹣，）的图象是（）A．B．C．D．4．（5.00分）设=4，若在方向上的投影为，且在方向上的投影为3，则和的夹角等于（）A．B．C． D．或5．（5.00分）设集合A={x|x2+2x﹣3＞0}，集合B={x|x2﹣2ax﹣1≤0，a＞0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是（）A． B．C．D．（1，+∞）6．（5.00分）已知函数g（x）=，则此函数的最小正周期为（）A．B．πC． D．2π7．（5.00分）的夹角为θ，||=2，||=1，=k，=（1﹣k），||=f（k）在k=k0时取得最小值，若0＜k0＜，则θ的取值范围是（）A．（，） B．（，）C．（，）D．（，π）8．（5.00分）已知函数，则下列关于函数y=f[f（x）]+1的零点个数的判断正确的是（）A．当k＞0时，有3个零点；当k＜0时，有2个零点B．当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有1个零点C．无论k为何值，均有2个零点D．无论k为何值，均有4个零点9．（5.00分）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则||的最小值为（）A．4 B．5 C．D．210．（5.00分）已知3+sin2β+2t＞（2+t）sin（β+）+对于β∈[0，]恒成立，则t的取值范围是（）A．t＞4 B．t＞3 C．t＞2 D．t≥﹣2二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分11．（5.00分）已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对弧长为．12．（5.00分）已知log23=t﹣2，则log4854=．（用t表示）13．（5.00分）f（x）=cosxcos（x﹣θ）﹣cosθ，0＜θ＜π，f（）的值最大，则2f（）在x∈[0，]上的最小值是．14．（5.00分）以M为圆心半径为2.5的圆外接于△ABC，且5+13+12=，则两个面积比=．15．（5.00分）如图，在直角坐标系xOy中，锐角△ABC内接于单位圆，已知BC 平行于x轴，且tan∠xDA=2，记∠xOA=α（0＜α＜），∠xOB═β（π＜β＜），则sin（α+β）=．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（12.00分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．17．（12.00分）已知函数f（x）=2ax2+4x﹣3﹣a，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值；（Ⅱ）如果函数f（x）在区间[﹣1，1]上存在零点，求a的取值范围．18．（12.00分）设=（cosα，（λ﹣1）sinα），=（cosβ，sinβ），（λ＞0，0＜α＜β＜）是平面上的两个向量，若向量与互相垂直．（1）求实数λ的值；（2）若=，且tanβ=，求tan（α﹣）的值．19．（12.00分）已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为1.8元/千克，每次购买配料需支付运费236元．每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：7天以内（含7天），无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付．（Ⅰ）当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用P是多少元？（Ⅱ）设该厂x天购买一次配料，求该厂在这x天中用于配料的总费用y（元）关于x的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少？20．（13.00分）对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a．f1（x）+b．f2（x），那么称h（x）为f1（x），f2（x）的线性函数．（1）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f1（x），f2（x），的线性函数？并说明理由；第一组：f1（x）=lg，f2（x）=lg10x，h（x）=lgx，；第二组：f1（x）=x2﹣x，f2（x）=x2+x+1，h（x）=x2﹣x+1；（2）设f 1（x）=log2x，f2（x）=log x，a=2，b=1，线性函数h（x）．若不等式3h2（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围．21．（14.00分）（1）有时一个式子可以分拆成两个式子，求和时可以达到相消化简的目的，如我们初中曾学过：…+=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣=请用上面的数学思维来证明如下：+=cotx﹣cot32x（注意：cotx=）（2）当0＜x＜时，且=，求x的值．2014-2015学年湖北省武汉二中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5.00分）想要得到函数y=cos2x的图象，只需将函数y=cos（﹣2x）（）而得到．A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平个单位【解答】解：将函数y=cos（﹣2x）=cos2（x﹣）的图象向左平移个单位，即可得到函数y=cos2x的图象，故选：C．2．（5.00分）设U={1，2，3，4}，且M={x∈U|x2﹣5x+P=0}，若∁U M={2，3}，则实数P的值为（）A．﹣4 B．4 C．﹣6 D．6【解答】解：由全集U={1，2，3，4}，C U M={2，3}，得到集合M={1，4}，即1和4是方程x2﹣5x+P=0的两个解，则实数P=1×4=4．故选：B．3．（5.00分）设函数y=ln（cosx），x∈（﹣，）的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：∵x∈（﹣，），∴0＜cosx＜1，∵函数y=lnx为增函数，ln1=0∴ln（cosx）＜0，故选：A．4．（5.00分）设=4，若在方向上的投影为，且在方向上的投影为3，则和的夹角等于（）A．B．C． D．或【解答】解：设和的夹角为θ，由=4，可得||•||cosθ=4，若在方向上的投影为，则||cosθ=，在方向上的投影为3，则||cosθ=3，综上可得cosθ=，由于0≤θ≤π，则θ=．故选：A．5．（5.00分）设集合A={x|x2+2x﹣3＞0}，集合B={x|x2﹣2ax﹣1≤0，a＞0}．若A∩B中恰含有一个整数，则实数a的取值范围是（）A． B．C．D．（1，+∞）【解答】解：由x2+2x﹣3＞0，得：x＜﹣3或x＞1．由x2﹣2ax﹣1≤0，得：．所以，A={x|x2+2x﹣3＞0}={x|x＜﹣3或x＞1}，B={x|x2﹣2ax﹣1≤0，a＞0}={x|}．因为a＞0，所以a+1＞，则且小于0．由A∩B中恰含有一个整数，所以．即，也就是．解①得：a，解②得：a．所以，满足A∩B中恰含有一个整数的实数a的取值范围是．故选：B．6．（5.00分）已知函数g（x）=，则此函数的最小正周期为（）A．B．πC． D．2π【解答】解：∵g（x）==，∴由三角函数的周期性及其求法可知函数的最小正周期为：2π．故选：D．7．（5.00分）的夹角为θ，||=2，||=1，=k，=（1﹣k），||=f（k）在k=k0时取得最小值，若0＜k0＜，则θ的取值范围是（）A．（，） B．（，）C．（，）D．（，π）【解答】解：由题意可得•=2×1×cosθ=2cosθ，=﹣=（1﹣k）﹣k，∴||2==（1﹣k）2+k2﹣2k（1﹣k）=（1﹣k）2+4k2﹣4k（1﹣k）cosθ=（5+4cosθ）k2+（﹣2﹣4cosθ）k+1，由二次函数知当上式取最小值时，k0=，由题意可得0＜＜，解得﹣＜cosθ＜，∴＜θ＜．故选：C．8．（5.00分）已知函数，则下列关于函数y=f[f（x）]+1的零点个数的判断正确的是（）A．当k＞0时，有3个零点；当k＜0时，有2个零点B．当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有1个零点C．无论k为何值，均有2个零点D．无论k为何值，均有4个零点【解答】解：分四种情况讨论．（1）x＞1时，lnx＞0，∴y=f（f（x））+1=ln（lnx）+1，此时的零点为x=＞1；（2）0＜x＜1时，lnx＜0，∴y=f（f（x））+1=klnx+1，则k＞0时，有一个零点，k＜0时，klnx+1＞0没有零点；（3）若x＜0，kx+1≤0时，y=f（f（x））+1=k2x+k+1，则k＞0时，kx≤﹣1，k2x ≤﹣k，可得k2x+k≤0，y有一个零点，若k＜0时，则k2x+k≥0，y没有零点，（4）若x＜0，kx+1＞0时，y=f（f（x））+1=ln（kx+1）+1，则k＞0时，即y=0可得kx+1=，y有一个零点，k＜0时kx＞0，y没有零点，综上可知，当k＞0时，有4个零点；当k＜0时，有1个零点；故选：B．9．（5.00分）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=2，BC=1，P是腰DC上的动点，则||的最小值为（）A．4 B．5 C．D．2【解答】解：如图，以直线DA，DC分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（2，0），B（1，a），C（0，a），D（0，0）设P（0，b）（0≤b≤a）则=（2，﹣b），=（1，a﹣b），∴=（5，3a﹣4b）∴||=≥5，即有当3a=4b时，取得最小值5．故选：B．10．（5.00分）已知3+sin2β+2t＞（2+t）sin（β+）+对于β∈[0，]恒成立，则t的取值范围是（）A．t＞4 B．t＞3 C．t＞2 D．t≥﹣2【解答】解：设x=sinβ+cosβ，β∈[0，]，∴x=sin（β+），∵β∈[0，]，∴β+∈[，]，∴x∈[1，]；又∵x2=1+sin2β，∴sin2β=x2﹣1，∵x=sin（β+），∴sin（β+）=cos（β﹣）=x，∴不等式3+sin2β+2t＞（2+t）sin（β+）+可化为3+（x2﹣1）+2t＞（2+t）•x+，即x2﹣（t+2）x﹣+2+2t＞0，∴（2﹣x）t＞2x﹣x2+=x（2﹣x）+（2﹣x）•；又∵x∈[1，]，∴2﹣x＞0，∴t＞x+，令函数f（x）=x+，则函数f（x）在x∈[1，]上是减函数，∴f（x）在x∈[1，]上的最大值为f（1）=3；∴t的取值范围为（3，+∞）．故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分11．（5.00分）已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对弧长为．【解答】解：如图：设∠AOB=2，AB=2，过点0作OC⊥AB，C为垂足，并延长OC交于D，则∠AOD=∠BOD=1，AC=AB=1．Rt△AOC中，r=AO==，从而弧长为α•r=2×=，故答案为．12．（5.00分）已知log23=t﹣2，则log4854=．（用t表示）【解答】解：∵log23=t﹣2，∴log4854=====．故答案为：．13．（5.00分）f（x）=cosxcos（x﹣θ）﹣cosθ，0＜θ＜π，f（）的值最大，则2f（）在x∈[0，]上的最小值是．【解答】解：由题意可得f（x）=cosxcos（x﹣θ）﹣cosθ=cos2xcosθ+sinxcosxsinθ﹣cosθ=cosθ+sinxcosxsinθ﹣cosθ=cos（2x﹣θ）又∵当x=时f（x）取得最大值，∴2×﹣θ=2kπ，k∈Z，可得：θ=﹣2kπ，k∈Z，又∵0＜θ＜π，∴…6分∴f（x）=cos（2x﹣），∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴2f（）=cos（3x﹣）∈[﹣，]．故答案为：﹣．14．（5.00分）以M为圆心半径为2.5的圆外接于△ABC，且5+13+12=，则两个面积比=．【解答】解：如图所示，分别延长MA，MB，MC，使得，，．∵5+13+12=，∴=，∴点M是△DEF的重心．∵=，∴S==，△MBC=，同理可得S△MAB∴=．故答案为：．15．（5.00分）如图，在直角坐标系xOy中，锐角△ABC内接于单位圆，已知BC 平行于x轴，且tan∠xDA=2，记∠xOA=α（0＜α＜），∠xOB═β（π＜β＜），则sin（α+β）=﹣．【解答】解：∵tan∠xDA=2，∴直线AB的斜率k=2，设AB的方程为y=2x+m，由，消去y得5x2+4mx+m2﹣1=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，∵∠xOA=α（0＜α＜），∠xOB═β，∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=y1x2+x1y2=（2x1+m）x2+x1（2x2+m）=4x1x2+m（x1+x2）=4×+m•（）=﹣，故答案为：﹣三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．（12.00分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值．【解答】解：由f（x）是偶函数，得f（﹣x）=f（x），即sin（﹣ωx+φ）=sin（ωx+φ），所以﹣cosφsinωx=cosφsinωx，对任意x都成立，且w＞0，所以得cosφ=0．依题设0≤φ≤π，所以解得φ=，由f（x）的图象关于点M对称，得，取x=0，得f（）=sin（）=cos，∴f（）=sin（）=cos，∴cos=0，又w＞0，得=+kπ，k=0，1，2，3，…∴ω=（2k+1），k=0，1，2，…当k=0时，ω=，f（x）=sin（）在[0，]上是减函数，满足题意；当k=1时，ω=2，f（x）=sin（2x+）=cos2x，在[0，]上是减函数，满足题意；当k=2时，ω=，f（x）=sin（x+）在[0，]上不是单调函数；所以，综合得ω=或2．17．（12.00分）已知函数f（x）=2ax2+4x﹣3﹣a，a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值；（Ⅱ）如果函数f（x）在区间[﹣1，1]上存在零点，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，则f（x）=2x2+4x﹣4=2（x2+2x）﹣4=2（x+1）2﹣6．因为x∈[﹣1，1]，所以x=1时，f（x）的最大值f（1）=2．…（3分）（Ⅱ）（1）当a=0时，f（x）=4x﹣3，显然在区间[﹣1，1]上有零点，所以a=0时，命题成立．…（4分）（2）当a≠0时，令△=16+8a（3+a）=8（a+1）（a+2）=0，解得a=﹣1，a=﹣2．…（5分）①当a=﹣1时，f（x）=﹣2x2+4x﹣2=﹣2（x﹣1）2，f（x）的零点为x=1，满足条件．②当a=﹣2时，，求得函数的零点x=，满足条件．所以当a=0，﹣1，﹣2时，y=f（x）均恰有一个零点在区间[﹣1，1]上．…（7分）③当f（﹣1）•f（1）=（a﹣7）（a+1）≤0，即﹣1≤a≤7时，y=f（x）在区间[﹣1，1]上必有零点．…（8分）④若y=f（x）在区间[﹣1，1]上有两个零点，则，或．…（12分）解得a≥7或a＜﹣2．综上所述，函数f（x）在区间[﹣1，1]上存在极值点，实数a的取值范围是{a|a ≥﹣1，或a≤﹣2}，故答案为{a|a≥﹣1，或a≤﹣2}．…（13分）18．（12.00分）设=（cosα，（λ﹣1）sinα），=（cosβ，sinβ），（λ＞0，0＜α＜β＜）是平面上的两个向量，若向量与互相垂直．（1）求实数λ的值；（2）若=，且tanβ=，求tan（α﹣）的值．【解答】解：（1）由题意得，（）•（）=0，则，将=（cosα，（λ﹣1）sinα），=（cosβ，sinβ）代入上式得，cos2a+（λ﹣1）2sin2α﹣cos2β﹣sin2β=0，化简得，（λ﹣1）2sin2α﹣sin2α=0，因为λ＞0，0＜α＜，所以（λ﹣1）2﹣1=0，解得λ=2；（2）由（1）知，=（cosα，sinα）•（cosβ，sinβ）=cosαcosβ+sinαsinβ=cos（α﹣β）=，因为0＜α＜β＜，所以＜α﹣β＜0，所以sin（α﹣β）==，则tan（α﹣β）==，所以tanα=tan[（α﹣β）+β]===，则tan（α﹣）===．19．（12.00分）已知某食品厂需要定期购买食品配料，该厂每天需要食品配料200千克，配料的价格为1.8元/千克，每次购买配料需支付运费236元．每次购买来的配料还需支付保管费用，其标准如下：7天以内（含7天），无论重量多少，均按10元/天支付；超出7天以外的天数，根据实际剩余配料的重量，以每天0.03元/千克支付．（Ⅰ）当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用P是多少元？（Ⅱ）设该厂x天购买一次配料，求该厂在这x天中用于配料的总费用y（元）关于x的函数关系式，并求该厂多少天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少？【解答】解：（I）第8天剩余配料200×9﹣200×7=400（千克），第9天剩余配料200×9﹣200×8=200（千克），答：该厂第8天和第9天剩余配料的重量分别是400千克，200千克．当9天购买一次时，该厂用于配料的保管费用P=70+0.03×200×（1+2）=88（元），答：当9天购买一次配料时，求该厂用于配料的保管费用P是88元．（II）①当x≤7时，y=360x+10x+236=370x+236；②当x＞7时，y=360x+236+70+6[（x﹣7）+（x﹣6）+…+2+1]，=3x2+321x+432．∴设该厂x天购买一次配料平均每天支付的费用为W元当x≤7时，W=，当x＞7时，W=，当x≤7时，当且仅当x=7时，W有最小值（元），当x＞7时=，∴当x=12时W有最小值393元，答：该厂在这x天中用于配料的总费用y（元）关于x的函数关系式是y=370x+236（x≤7）y=3x2+321x+432（x＞7），该厂12天购买一次配料才能使平均每天支付的费用最少．20．（13.00分）对于函数f1（x），f2（x），h（x），如果存在实数a，b使得h（x）=a．f1（x）+b．f2（x），那么称h（x）为f1（x），f2（x）的线性函数．（1）下面给出两组函数，h（x）是否分别为f1（x），f2（x），的线性函数？并说明理由；第一组：f1（x）=lg，f2（x）=lg10x，h（x）=lgx，；第二组：f1（x）=x2﹣x，f2（x）=x2+x+1，h（x）=x2﹣x+1；（2）设f 1（x）=log2x，f2（x）=log x，a=2，b=1，线性函数h（x）．若不等式3h2（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，求实数t的取值范围．【解答】解：（1）①设alg+blg10x=lgx，则；解得，a=b=；所以h（x）是f1（x），f2（x）的线性函数；②设a（x2﹣x）+b（x2+x+1）=x2﹣x+1，即（a+b）x2+（b﹣a）x+b=x2﹣x+1，则，该方程组无解；所以h（x）不是f1（x），f2（x）的线性函数．（2）h（x）=2log 2x+log x=log2x，若不等式3h2（x）+2h（x）+t＜0在x∈[2，4]上有解，即t＜﹣（3h2（x）+2h（x））=﹣3log22x﹣2log2x，设s=log2x，则s∈[1，2]，y=﹣3log22x﹣2log2x=﹣3s2﹣2s，则y max=﹣5，故，t＜﹣5．21．（14.00分）（1）有时一个式子可以分拆成两个式子，求和时可以达到相消化简的目的，如我们初中曾学过：…+=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣=请用上面的数学思维来证明如下：+=cotx﹣cot32x（注意：cotx=）（2）当0＜x＜时，且=，求x的值．【解答】解：（1）证明：∵cotx﹣cot2x=﹣==，∴+=（cotx﹣cot2x）+（cot2x﹣cot4x）+（cot4x﹣cot8x）+（cot8x﹣cot16x）+（cot16x ﹣cot32x）=cotx﹣cot32x，即可得证．（2）∵=，∴=++，∴由（1）可得：cot﹣cotx=cotx﹣cot8x，cot=2cotx﹣cot8x，cot﹣2cotx=﹣cot8x，cot﹣2×=﹣cot8x，∴tan=﹣cot8x∴8x=90°++180°•k∴x=12°+24°•k∴x=12°，36°，60°，84°．。

湖北省武汉二中高一（上）期末数学试卷一、选择题1．（5分）sin20°sin80°﹣cos160°sin10°=（）A．B．C．D．2．（5分）若=，则tanθ=（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣33．（5分）在函数y=sin|x|、y=|sinx|、y=sin（2x+）、y=tan（2x+）中，最小正周期为π的函数的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（5分）方程x﹣sinx=0的根的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．45．（5分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为f（x）=x2+1，值域为{5，10}的“孪生函数”共有（）A．4个 B．8个 C．9个 D．12个6．（5分）函数y=2sin（﹣2x）的单调递增区间是（）A．B．C．D．7．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（）A．B．C．D．8．（5分）定义在R上的函数f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称，且对任意的实数x都有，f（﹣1）=1，f（0）=﹣2，则f（1）+f（2）+…+f（2 017）=（）A．0 B．﹣2 C．1 D．﹣49．（5分）已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a，b为常数，a≠0，x∈R）在x=处取得最大值，则函数y=f（x+）是（）A．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称B．偶函数且它的图象关于点（，0）对称C．奇函数且它的图象关于点（，0）对称D．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称10．（5分）将函数y=sin（x﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为（）A．y=sin（x﹣）B．y=sin（2x﹣）C．y=sin x D．y=sin（x﹣）11．（5分）函数f（x）=2sin（2x+），g（x）=mcos（2x﹣）﹣2m+3（m＞0），若对任意x1∈[0，]，存在x2∈[0，]，使得g（x1）=f（x2）成立，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．12．（5分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x+4sin3x+1，x∈（﹣1，1），若f（1﹣a）+f （1﹣a2）＞2成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，1）B．（0，1） C．D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）二、填空题13．（5分）若α+β=则（1﹣tanα）（1﹣tanβ）的值为．14．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣2+log35）=．15．（5分）一个匀速旋转的摩天轮每12分钟转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18米，P是摩天轮轮周上一定点，从P在最低点时开始计时，则14分钟后P点距地面的高度是米．16．（5分）定义在R上的单调函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）+f（y），若F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）在（0，π）上有零点，则a的取值范围是．三、解答题17．（10分）某正弦交流电的电压v（单位V）随时间t（单位：s）变化的函数关系是v=120sin（100πt﹣），t∈[0，+∞）．（1）求该正弦交流电电压v的周期、频率、振幅；（2）若加在霓虹灯管两端电压大于84V时灯管才发光，求在半个周期内霓虹灯管点亮的时间？（取≈1.4）18．（12分）已知函数f（x）=2sin（2ωx+）+1（其中0＜ω＜1），若点（﹣，1）是函数f（x）图象的一个对称中心，（1）试求ω的值；（2）先列表，再作出函数f（x）在区间x∈[﹣π，π]上的图象．19．（12分）已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x+x2．（1）求x＜0时，f（x）的解析式；（2）问是否存在这样的非负数a，b，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[4a﹣2，6b﹣6]？若存在，求出所有的a，b值；若不存在，请说明理由．20．（12分）（1）若cos=，π＜x＜π，求的值．（2）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1（x∈R），若f（x0）=，x0∈[，]，求cos2x0的值．21．（12分）已知函数f（x）=4sin2（+）•sinx+（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）﹣1．（1）化简f（x）；（2）常数ω＞0，若函数y=f（ωx）在区间上是增函数，求ω的取值范围；（3）若函数g（x）=在的最大值为2，求实数a的值．22．（12分）已知函数．任取t∈R，若函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值为M（t），最小值为m（t），记g（t）=M（t）﹣m（t）．（1）求函数f（x）的最小正周期及对称轴方程；（2）当t∈[﹣2，0]时，求函数g（t）的解析式；（3）设函数h（x）=2|x﹣k|，H（x）=x|x﹣k|+2k﹣8，其中实数k为参数，且满足关于t的不等式有解，若对任意x1∈[4，+∞），存在x2∈（﹣∞，4]，使得h（x2）=H（x1）成立，求实数k的取值范围．湖北省武汉二中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（5分）sin20°sin80°﹣cos160°sin10°=（）A．B．C．D．【解答】解：∵sin80°=sin（90°﹣10°）=cos10°，cos160°=cos（180°﹣20°）=﹣cos20°，那么：sin20°sin80°﹣cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin（20°+10°）=sin30°=故选D2．（5分）若=，则tanθ=（）A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3【解答】解：==，可得sinθ=﹣3cosθ，∴tanθ=﹣3．故选：D．3．（5分）在函数y=sin|x|、y=|sinx|、y=sin（2x+）、y=tan（2x+）中，最小正周期为π的函数的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：∵函数y=sin|x|不是周期函数，y=|sinx|是周期等于π的函数，y=sin（2x+）的周期等于=π，y=tan（2x+）的周期为，故这些函数中，最小正周期为π的函数的个数为2，故选：B．4．（5分）方程x﹣sinx=0的根的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：方方程x﹣sinx=0的根的个数可转化为函数f（x）=x﹣sinx的零点个数，∵f′（x）=1﹣cosx，﹣1≤cosx≤1，所以1﹣cosx≥0，即f′（x）≥0，所以f（x）=x﹣sinx在R上为增函数．又因为f（0）=0﹣sin0=0，所以0是f（x）唯一的一个零点，所以方程x﹣sinx=0的根的个数为1，故选：A．5．（5分）若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为f（x）=x2+1，值域为{5，10}的“孪生函数”共有（）A．4个 B．8个 C．9个 D．12个【解答】解：由已知中“孪生函数”的定义：一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，当函数解析式为y=x2+1，值域为{5，10}时，由y=5时，x=±2，y=7时，x=±3用列举法得函数的定义域可能为：{﹣2，﹣3}，{﹣2，3}，{2，﹣3}，{2，3}，{﹣2，﹣3，3}，{2，﹣3，3}，{2，3，﹣2}，{2，﹣3，﹣2}，{﹣2，﹣3，3，2}，共9个故选：C．6．（5分）函数y=2sin（﹣2x）的单调递增区间是（）A．B．C．D．【解答】解：，由于函数的单调递减区间为的单调递增区间，即故选B．7．（5分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（）A．B．C．D．【解答】解：由图象可知：的长度是四分之一个周期函数的周期为2，所以ω=函数图象过（，2）所以A=2，并且2=2sin（φ）∵，∴φ=f（x）的解析式是故选A．8．（5分）定义在R上的函数f（x）的图象关于点（﹣，0）成中心对称，且对任意的实数x都有，f（﹣1）=1，f（0）=﹣2，则f（1）+f（2）+…+f（2 017）=（）A．0 B．﹣2 C．1 D．﹣4【解答】解：由f（x）=﹣f（x+）得f（x+）=﹣f（x），∴f（x+3）=﹣f（x+）=f（x），即函数的周期为3，又f（﹣1）=1，∴f（2）=f（﹣1+3）=f（﹣1）=1，且f（）=﹣f（﹣1）=﹣1，∵函数图象关于点（，0）呈中心对称，∴f（x）+f（﹣x﹣）=0，则f（x）=﹣f（﹣x﹣），∴f（1）=﹣f（﹣）=﹣f（）=1，∵f（0）=﹣2，∴f（3）=f（0）=﹣2，则f（1）+f（2）+f（3）=1+1﹣2=0∴f（1）+f（2）+…+f（2017）=f（1）=1，故选C．9．（5分）已知函数f（x）=asinx﹣bcosx（a，b为常数，a≠0，x∈R）在x=处取得最大值，则函数y=f（x+）是（）A．奇函数且它的图象关于点（π，0）对称B．偶函数且它的图象关于点（，0）对称C．奇函数且它的图象关于点（，0）对称D．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称【解答】解：将已知函数变形f（x）=asinx﹣bcosx=sin（x﹣φ），其中tanφ=，又f（x）=asinx﹣bcosx在x=处取得最大值，∴﹣φ=2kπ+（k∈Z）得φ=﹣﹣2kπ（k∈Z），∴f（x）=sin（x+），∴函数y=f（x+）=sin（x+）=cosx，∴函数是偶函数且它的图象关于点（，0）对称．10．（5分）将函数y=sin（x﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为（）A．y=sin（x﹣）B．y=sin（2x﹣）C．y=sin x D．y=sin（x﹣）【解答】解：将函数y=sin（x﹣）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象对应的解析式为y=sin（x﹣），再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为y=sin[（x+）﹣]=sin（x﹣），故选：D．11．（5分）函数f（x）=2sin（2x+），g（x）=mcos（2x﹣）﹣2m+3（m＞0），若对任意x1∈[0，]，存在x2∈[0，]，使得g（x1）=f（x2）成立，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．【解答】解：当x∈[0，]时，2x+∈[，]，sin（2x+）∈[，1]，f（x）=2sin（2x+）∈[1，2]，同理可得2x﹣∈[﹣，]，cos（2x﹣）∈[，1]，g（x）=mcos（2x﹣）﹣2m+3∈[﹣+3，﹣m+3]，对任意x1∈[0，]，存在x2∈[0，]，使得g（x1）=f（x2）成立，∴，求得1≤m≤，12．（5分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x+4sin3x+1，x∈（﹣1，1），若f（1﹣a）+f （1﹣a2）＞2成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，1）B．（0，1） C．D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）【解答】解：令g（x）=f（x）﹣1=e x﹣e﹣x+4sin3x，则g（﹣x）=﹣g（x），即g（x）为奇函数，若f（1﹣a）+f（1﹣a2）＞2成立，即g（1﹣a）+g（1﹣a2）＞0成立，即g（1﹣a）＞﹣g（1﹣a2）=g（a2﹣1），∵g′（x）=e x+e﹣x+12sin2xcosx≥0在x∈（﹣1，1）时恒成立，故g（x）在（﹣1，1）上为增函数，故﹣1＜a2﹣1＜1﹣a＜1，解得：a∈（0，1），故选：B．二、填空题13．（5分）若α+β=则（1﹣tanα）（1﹣tanβ）的值为2．【解答】解：若α+β=，则tan（α+β）=﹣1=，∴tanα+tanβ=tanαtanβ﹣1．∴（1﹣tanα）（1﹣tanβ）=1﹣tanα﹣tanβ+tanαtanβ=1﹣（tanαtanβ﹣1）+tanαtanβ=2，故答案为：2．14．（5分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣2+log35）=．【解答】解：由题意f（﹣2+log35）=﹣f（2﹣log35）由于当x＞0时，，故f（﹣2+log35）=﹣f（log3）==故答案为15．（5分）一个匀速旋转的摩天轮每12分钟转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18米，P是摩天轮轮周上一定点，从P在最低点时开始计时，则14分钟后P点距地面的高度是6米．【解答】解：设P与地面高度与时间t的关系，f（t）=Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），由题意可知：A==8，B=10，T==12，所以ω=，即f（t）=8sin（t+φ）+10，又因为f（0）=2，即sinφ=﹣1，故φ=，∴f（t）=8sin（t+）+10，∴f（14）=6（米），故答案为：6．16．（5分）定义在R上的单调函数f（x）满足：f（x+y）=f（x）+f（y），若F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）在（0，π）上有零点，则a的取值范围是[2，+∞）．【解答】解：①令x=y=0，则f（0）=2f（0），则f（0）=0；再令y=﹣x，则f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=0，且f（x）定义域为R，关于原点对称．∴f（x）是奇函数．②F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）在（0，π）上有零点．∴f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）=0在（0，π）上有解；∴f（asinx）=﹣f（sinx+cos2x﹣3）=f（﹣sinx﹣cos2x+3）在（0，π）上有解；又∵函数f（x）是R上的单调函数，∴asinx=﹣sinx﹣cos2x+3在（0，π）上有解．∵x∈（0，π），∴sinx≠0；∴a==sinx+﹣1；令t=sinx，t∈（0，1]；则a=t+﹣1；∵y=t+，＜0，因此函数y在（0，1]上单调递减，∴a≥2．故答案为：[2，+∞）．三、解答题17．（10分）某正弦交流电的电压v（单位V）随时间t（单位：s）变化的函数关系是v=120sin（100πt﹣），t∈[0，+∞）．（1）求该正弦交流电电压v的周期、频率、振幅；（2）若加在霓虹灯管两端电压大于84V时灯管才发光，求在半个周期内霓虹灯管点亮的时间？（取≈1.4）【解答】解：（1）周期，频率，振幅（2）由及得结合正弦图象，取半个周期有解得所以半个周期内霓虹灯管点亮的时间为（s）18．（12分）已知函数f（x）=2sin（2ωx+）+1（其中0＜ω＜1），若点（﹣，1）是函数f（x）图象的一个对称中心，（1）试求ω的值；（2）先列表，再作出函数f（x）在区间x∈[﹣π，π]上的图象．【解答】解：（1）点（﹣，1）是函数f（x）图象的一个对称中心，∴﹣2ω•+=kπ，k∈Z，即ω=﹣3k+∵0＜ω＜1，∴ω=，（2）由（1）知f（x）=2sin（x+）+1，x∈[﹣π，π]列表如下ππ19．（12分）已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x+x2．（1）求x＜0时，f（x）的解析式；（2）问是否存在这样的非负数a，b，当x∈[a，b]时，f（x）的值域为[4a﹣2，6b﹣6]？若存在，求出所有的a，b值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设x＜0，则﹣x＞0，于是f（﹣x）=﹣x+x2，又f（x）为奇函数，f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣f（x）=﹣x+x2，即x＜0时，f（x）=x﹣x2．…（4分）（2）假设存在这样的数a，b．∵a≥0，且f（x）=x+x2在x≥0时为增函数，…（6分）∴x∈[a，b]时，f（x）∈[f（a），f（b）]=[4a﹣2，6b﹣6]，∴…（8分），即…（10分）或，考虑到0≤a＜b，且4a﹣2＜6b﹣6，…（12分）可得符合条件的a，b值分别为…（14分）20．（12分）（1）若cos=，π＜x＜π，求的值．（2）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1（x∈R），若f（x0）=，x0∈[，]，求cos2x0的值．【解答】解：（1）由π＜x＜π，得π＜x+＜2π，又cos=，∴sin=﹣；∴cosx=cos=cos cos+sin sin=﹣，从而sinx=﹣，tanx=7；故原式=；（2）f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x=2sin（2x+），当f（x0）=时，sin（2x0+）=，又x0∈[，]，∴2x0+∈[，]，∴cos（2x0+）=﹣，∴cos2x0=cos[（2x0+）﹣]=﹣×+×=．21．（12分）已知函数f（x）=4sin2（+）•sinx+（cosx+sinx）（cosx﹣sinx）﹣1．（1）化简f（x）；（2）常数ω＞0，若函数y=f（ωx）在区间上是增函数，求ω的取值范围；（3）若函数g（x）=在的最大值为2，求实数a的值．【解答】解：（1）f（x）=2[1﹣cos（+x）]•sinx+cos2x﹣sin2x﹣1=（2+2sinx）•sinx+1﹣2sin2x﹣1=2sinx．（2）∵f（ωx）=2sinωx，由≤ωx≤，解得﹣+≤x ≤+，∴f（ωx）的递增区间为[﹣+，+]，k∈Z．∵f（ωx）在[﹣，]上是增函数，∴当k=0时，有，∴，解得，∴ω的取值范围是（0，]．（3）g（x）=sin2x+asinx﹣acosx﹣a﹣1，令sinx﹣cosx=t，则sin2x=1﹣t2，∴y=1﹣t2+at﹣a﹣1=﹣（t﹣）2+﹣，∵t=sinx﹣cosx=sin（x﹣），∵x∈[﹣，]，∴x﹣∈[﹣，]，∴．①当＜﹣，即a＜﹣2时，y max=﹣（﹣）2+﹣=﹣a﹣﹣2．令﹣a﹣﹣2=2，解得a=﹣（舍）．②当﹣≤≤1，即﹣2≤a≤2时，y max=﹣，令，解得a=﹣2或a=4（舍）．③当，即a＞2时，在t=1处，由得a=6．因此，a=﹣2或a=6．22．（12分）已知函数．任取t∈R，若函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值为M（t），最小值为m（t），记g（t）=M（t）﹣m（t）．（1）求函数f（x）的最小正周期及对称轴方程；（2）当t∈[﹣2，0]时，求函数g（t）的解析式；（3）设函数h（x）=2|x﹣k|，H（x）=x|x﹣k|+2k﹣8，其中实数k为参数，且满足关于t的不等式有解，若对任意x1∈[4，+∞），存在x2∈（﹣∞，4]，使得h（x2）=H（x1）成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）函数，则f（x）的最小正周期为；令，解得f（x）的对称轴方程为x=2k+1（x∈Z）；（2）①当时，在区间[t，t+1]上，，m（t）=f（﹣1）=﹣1，∴；②当时，在区间[t，t+1]上，，m（t）=f（﹣1）=﹣1，∴；③当t∈[﹣1，0]时，在区间[t，t+1]上，，，∴；∴当t∈[﹣2，0]时，函数；（3）∵的最小正周期T=4，∴M（t+4）=M（t），m（t+4）=m（t），∴g（t+4）=M（t+4）﹣m（t+4）=M（t）﹣m（t）=g（t）；∴g（t）是周期为4的函数，研究函数g（t）的性质，只须研究函数g（t）在t ∈[﹣2，2]时的性质即可；仿照（2），可得；画出函数g（t）的部分图象，如图所示，∴函数g（t）的值域为；已知有解，即k≤4g（t）max=4，∴k≤4；若对任意x1∈[4，+∞），存在x2∈（﹣∞，4]，使得h（x2）=H（x1）成立，即H（x）在[4，+∞）的值域是h（x）在（﹣∞，4]的值域的子集．∵，当k≤4时，∵h（x）在（﹣∞，k）上单调递减，在[k，4]上单调递增，∴h（x）min=h（k）=1，∵H（x）=x|x﹣k|+2k﹣8在[4，+∞）上单调递增，∴H（x）min=H（4）=8﹣2k，∴8﹣2k≥1，即；综上，实数的取值范围是．。

2016年湖北省武汉二中高一上学期人教A版数学期末考试试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. sin20∘sin80∘−cos160∘sin10∘= A. −32B. 32C. −12D. 122. 若sinπ−θ+cosθ−2πsinθ+cosπ+θ=12，则tanθ= A. 1B. −1C. 3D. −33. 在函数y=sin∣x∣，y=∣sin x∣，y=sin2x+2π3，y=tan2x+2π3中，最小正周期为π的函数的个数为 A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个4. 方程x−sin x=0的根的个数为 A. 1B. 2C. 3D. 45. 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为f x=x2+1，值域为5,10的“孪生函数”共有 A. 4个B. 8个C. 9个D. 12个6. 函数y=2sinπ3−2x 的单调递增区间是 A. kπ−π12,kπ+5π12k∈Z B. kπ+5π12,kπ+11π12k∈ZC. kπ−π3,kπ+π6k∈Z D. kπ+π6,kπ+2π3k∈Z7. 已知函数f x=A sinωx+φ（x∈R，A>0，ω>0，∣φ∣<π2）的部分图象如图所示，则f x 的解析式是 A. f x=2sin πx+π6（x∈R）B. f x=2sin2πx+π6（x∈R）C. f x=2sin πx+π3（x∈R）D. f x=2sin2πx+π3（x∈R）8. 设函数f x在定义域D上满足f12=−1，f x≠0，且当x,y∈D时，f x+f y=f x+y1+xy，若数列x n中，x1=12，x n+1=2x n1+x n2x n∈D,n∈N∗，则数列f x n的通项公式为 A. f x n=−2n+1B. f x n=−2n−1C. f x n=−3n−1D. f x n=3n+19. 已知函数f x=a sin x−b cos x（a，b为常数，a≠0，x∈R）在x=π4处取得最大值，则函数y=f x+π4是 A. 奇函数且它的图象关于点π,0对称B. 偶函数且它的图象关于点3π2,0对称C. 奇函数且它的图象关于点3π2,0对称D. 偶函数且它的图象关于点π,0对称10. 将函数y=sin x−π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得图象向左平移π3个单位，则所得函数图象对应的解析式为 A. y=sin12x−π6B. y=sin2x−π6C. y=sin12x D. y=sin12x−π311. 函数f x=2sin2x+π3，g x=m cos2x−π6−2m+3m>0，若对任意x1∈0,π4，存在x2∈0,π4，使得g x1=f x2成立，则实数m的取值范围是 A. 1,43B. 23,1 C. 23,1 D. 1,4312. 已知函数f x=e x−e−x+4sin3x+1，x∈−1,1，若f1−a+f1−a2>2成立，则实数a的取值范围是 A. −2,1B. 0,1C. 1,D. −∞,−2∪1,+∞二、填空题（共4小题；共20分）13. 若α+β=3π4则1−tanα1−tanβ的值为．14. 已知函数f x是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f x=13x，则f−2+log35=．15. 一个匀速旋转的摩天轮每12分钟转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18米，P是摩天轮轮周上一定点，从P在最低点时开始计时，则14分钟后P点距地面的高度是米．16. 定义在R上的单调函数f x满足：f x+y=f x+f y，若F x=f a sin x+f sin x+cos2x−3在0,π上有零点，则a的取值范围是．三、解答题（共6小题；共78分）17. 某正弦交流电的电压v（单位V）随时间t（单位：s）变化的函数关系是v=1202sin100πt−π6，t∈0,+∞．（1）求该正弦交流电电压v的周期、频率、振幅；（2）若加在霓虹灯管两端电压大于84 V时灯管才发光，求在半个周期内霓虹灯管点亮的时间?（取2≈1.4）18. 已知函数f x=2sin2ωx+π6+1（其中0<ω<1），若点 −π6,1是函数f x图象的一个对称中心．（1）试求ω的值；（2）先列表，再作出函数f x在区间x∈−π,π上的图象．19. 已知y=f x是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f x=x+x2．（1）求x<0时，f x的解析式；（2）问是否存在这样的非负数a，b，当x∈a,b时，f x的值域为4a−2,6b−6?若存在，求出所有的a，b值；若不存在，请说明理由．20. （1）若cosπ4+x =35，1712π<x<74π，求sin2x+2sin2x1−tan x的值．（2）已知函数f x=23sin x cos x+2cos2x−1x∈R，若f x0=65，x0∈π4,π2，求cos2x0的值．21. 已知函数f x=4sin2π4+x2⋅sin x+cos x+sin x cos x−sin x−1．（1）化简f x；（2）常数ω>0，若函数y=fωx在区间 −π2,2π3上是增函数，求ω的取值范围；（3）若函数g x=12 f2x+af x−afπ2−x −a −1在 −π4,π2的最大值为2，求实数a的值．22. 已知函数f x=sinπx2x∈R，任取t∈R，若函数f x在区间t,t+1上的最大值为M t，最小值为m t，记g t=M t−m t．（1）求函数f x的最小正周期及对称轴方程；（2）当t∈−2,0时，求函数g t的解析式；（3）设函数 x=2∣x−k∣，H x=x∣x−k∣+2k−8，其中实数k为参数，且满足关于t的不等式2k−4g t≤0有解，若对任意x1∈4,+∞，存在x2∈−∞,4，使得 x2=H x1成立，求实数k的取值范围．答案第一部分 1. D 【解析】因为 sin80∘=sin 90∘−10∘ =cos10∘，cos160∘=cos 180∘−20∘ =−cos20∘，那么：sin20∘sin80∘−cos160∘sin10∘=sin20∘cos10∘+cos20∘sin10∘=sin 20∘+10∘=sin30∘=1. 2. D 【解析】sin π−θ +cos θ−2π sin θ+cos π+θ=sin θ+cos θsin θ−cos θ=12，可得 sin θ=−3cos θ，所以 tan θ=−3． 3. B【解析】因为函数 y =sin ∣x ∣ 不是周期函数，y =∣sin x ∣ 是周期等于 π 的函数，y =sin 2x +2π3 的周期等于 2π2=π，y =tan 2x +2π3的周期为 π2， 故这些函数中，最小正周期为 π 的函数的个数为 2． 4. A【解析】方程 x −sin x =0 的根的个数可转化为函数 f x =x −sin x 的零点个数，因为 fʹ x =1−cos x ，−1≤cos x ≤1，所以 1−cos x ≥0，即 fʹ x ≥0，所以 f x =x −sin x 在 R 上为增函数．又因为 f 0 =0−sin0=0，所以 0 是 f x 唯一的一个零点，所以方程 x −sin x =0 的根的个数为 1． 5. C【解析】由已知中“孪生函数”的定义：一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，当函数解析式为 y =x 2+1，值域为 5,10 时，由 y =5 时，x =±2，y =10 时，x =±3，用列举法得函数的定义域可能为： −2,−3 ， −2,3 ， 2,−3 ， 2,3 ， −2,−3,3 ， 2,−3,3 ， 2,3,−2 ， 2,−3,−2 ， −2,−3,3,2 ，共 9 个． 6. B【解析】y =2sin π3−2x =−2sin 2x −π3，由于函数 y =sin 2x −π3 的单调递减区间为 y =2sin π3−2x 的单调递增区间， 即 2kπ+π2≤2x −π3≤2kπ+3π2k ∈Z ⇒kπ+5π12≤x ≤kπ+11π12k ∈Z ．7. A【解析】由图象可知：56−13的长度是四分之一个周期，函数的周期为 2，所以 ω=2π2=π，函数图象过 13,2 ，所以 A =2，并且 2=2sin π×13+φ ， 因为 ∣φ∣<π2，所以 φ=π6，f x 的解析式是 f x =2sin πx +π6 （x ∈R ）．8. B 【解析】提示：f x n +1 =f 2x n1+x n2 =f x n +f x n =2f x n ，f x 1 =f 12 =−1．9. B【解析】将已知函数变形 f x =a sin x −b cos x = a 2+b 2sin x −φ ，其中 tan φ=ba ，又 f x =a sin x −b cos x 在 x =π4 处取得最大值， 所以 π4−φ=2kπ+π2 k ∈Z 得 φ=−π4−2kπ k ∈Z ， 所以 f x = a 2+b 2sin x +π4 ，所以函数y=f x+π=a2+b2sin x+π=a2+b2cos x,所以函数是偶函数且它的图象关于点3π2,0对称．10. A【解析】将函数y=sin x−π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的曲线是y=sin12x−π3，再将所得图象向左平移π3个单位，得到的曲线是y=sin12x+π3−π3=sin12x−π6．11. D【解析】当x∈0,π4时，2x+π3∈π3,5π6，sin2x+π3∈12,1，f x=2sin2x+π3∈1,2，同理可得2x−π6∈ −π6,π3，cos2x−π6∈12,1，g x=m cos2x−π6−2m+3∈ −3m2+3,−m+3，对任意x1∈0,π4，存在x2∈0,π4，使得g x1=f x2成立，所以−3m2+3≥1,−m+3≤2,求得1≤m≤43．12. B 【解析】令g x=f x−1=e x−e−x+4sin3x，则g−x=−g x，即g x为奇函数，若f1−a+f1−a2>2成立，即g1−a+g1−a2>0成立，即g1−a>−g1−a2=g a2−1，因为gʹx=e x+e−x+12sin2x cos x≥0在x∈−1,1时恒成立，故g x在−1,1上为增函数，故−1<a2−1<1−a<1，解得：a∈0,1．第二部分13. 2【解析】若α+β=3π4，则tanα+β=−1=tanα+tanβ1−tanαtanβ，所以tanα+tanβ=tanαtanβ−1．所以1−tanα1−tanβ=1−tanα−tanβ+tanαtanβ=1−tanαtanβ−1+tanαtanβ= 2.14. −59【解析】由题意f−2+log35=−f2−log35，由于当x>0时，f x=13x ，故f−2+log35=−f log395=−13log395=−59．15. 6【解析】设P与地面高度与时间t的关系，f t=A sinωt+φ+B A>0,ω>0,φ∈0,2π，由题意可知：A=18−22=8，B=10，T=2πω=12，所以ω=π6，即f t=8sinπ6t+φ +10，又因为f0=2，即sinφ=−1，故φ=3π2，所以f t=8sinπ6t+3π2+10，所以f14=6（米）．16. 2,+∞【解析】①令x=y=0，则f0=2f0，则f0=0；再令y=−x，则f x−x=f x+f−x=0，且f x定义域为R，关于原点对称．所以f x是奇函数．②F x=f a sin x+f sin x+cos2x−3在0,π上有零点．所以f a sin x+f sin x+cos2x−3=0在0,π上有解；所以f a sin x=−f sin x+cos2x−3=f−sin x−cos2x+3在0,π上有解；又因为函数f x是R上的单调函数，所以a sin x=−sin x−cos2x+3在0,π上有解．因为x∈0,π，所以sin x≠0．所以a=−sin x−cos 2x+3sin x =sin x+2sin x−1．令t=sin x，t∈0,1．则a=t+2t−1．因为y=t+2t ，yʹ=1−2t<0，因此函数y在0,1上单调递减，所以a≥2．第三部分17. （1）周期T=2π100π=150，频率f=1T=50，振幅A=1202．（2）由120100πt−π6>84及2≈1.4得sin100πt−π6>12．结合正弦图象，取半个周期有π6<100πt−π6<5π6，解得1300<t<1100，所以半个周期内霓虹灯管点亮的时间为1100−1300=2300=1150s．18. （1）点 −π6,1是函数f x图象的一个对称中心，所以−2ω⋅π6+π6=kπ，k∈Z，即ω=−3k+12，因为0<ω<1，所以ω=12．（2）由（1）知f x=2sin x+π6+1，x ∈−π,π列表如下：x+π6−56π−π20π2π7π6x−π−23π−π6π356ππy0−1131019. （1）设x<0，则−x>0，于是f−x=−x+x2，又f x为奇函数，f−x=−f x，所以−f x=−x+x2，即x<0时，f x=x−x2．（2）假设存在这样的数a，b，因为a≥0，且f x=x+x2在x≥0时为增函数，所以x∈a,b时，f x∈f a,f b=4a−2,6b−6，所以6b−6=f b=b2+b,4a−2=f a=a2+a⇒b2−5b+6=0,a2−3a+2=0⇒b=2或b=3,a=1或a=2,即a=1,b=2或a=1,b=3或a=2,b=2或a=2,b=3,考虑到0≤a<b，且4a−2<6b−6，可得符合条件的a，b值分别为a=1,b=2或a=1,b=3或a=2,b=3.20. （1）由1712π<x<74π，得53π<x+π4<2π，又cosπ4+x =35，所以sinπ4+x =−45；所以cos x=cosπ4+x −π4=cosπ4+x cosπ4+sinπ4+x sinπ4=−210，从而sin x=−7210，tan x=7；故原式=2sin x cos x+2sin2x1−tan x=2 −7210× −210+2 −72102=−28.（2）f x=23sin x cos x+2cos2x−1=3sin2x+cos2x=2sin2x+π6,当f x0=65时，sin2x0+π6=35，又x0∈π4,π2，所以2x0+π6∈2π3,7π6，所以cos2x0+π6=−45，所以cos2x0=cos2x0+π6−π6=−45×32+35×12=3−4310．21. （1）f x=21−cosπ2+x ⋅sin x+cos2x−sin2x−1 =2+2sin x⋅sin x+1−2sin2x−1=2sin x.（2）因为fωx=2sinωx，由−π2+2kπ≤ωx≤π2+2kπ，解得−π2ω+2kπω≤x≤π2ω+2kπω，所以fωx的递增区间为 −π2ω+2kπω,π2ω+2kπω，k∈Z．因为fωx在 −π2,2π3上是增函数，所以当k=0时，有 −π2,2π3⊆ −π2ω,π2ω，所以ω>0,−π2ω≤−π2,π2ω≥2π3,解得0<ω≤34，所以ω的取值范围是0,34．（3）g x=sin2x+a sin x−a cos x−12a−1，令sin x−cos x=t，则sin2x=1−t2，所以y=1−t2+at−12a−1=− t−a22+a24−12a，因为t=sin x−cos x= x−π4，因为x∈ −π4,π2，所以x−π4∈ −π2,π4，所以−2≤t≤1．①当a2<−2，即a<−22时，y max=− − 2−a22+a24−a2=−2a−a2−2．令−2a−a2−2=2，解得a=22+1（舍）．②当−≤a2≤1，即−22≤a≤2时，y max=a24−12a，令a 24−12a=2，解得a=−2或a=4（舍）．③当a2>1，即a>2时，在t=1处y max=a2−1，由a2−1=2得a=6．因此，a=−2或a=6．22. （1）函数f x=sinπx2x∈R，则f x的最小正周期为T=2ππ2=4，令π2x=kπ+π2，解得f x的对称轴方程为x=2k+1k∈Z．（2）①当t∈ −2,−32时，在区间t,t+1上，M t=f t=sinπt2，m t=f−1=−1，所以g t=M t−m t=1+sinπt2；②当t∈ −32,−1时，在区间t,t+1上，M t=f t+1=sinπ2t+1=cosπt2，m t=f−1=−1，所以g t=M t−m t=1+cosπt2；③当t∈−1,0时，在区间t,t+1上，M t=f t+1=sinπ2t+1=cosπt2，m t=f t=sinπt2，所以g t=M t−m t=cosπt2−sinπt2；所以当t∈−2,0时，函数g t=cosπt2−sinπt2,t∈−1,01+cosπt2,t∈ −32,−11+sinπt2,t∈ −2,−32．（3）因为f x=sinπx2的最小正周期T=4，所以M t+4=M t，m t+4=m t，所以g t+4=M t+4−m t+4=M t−m t=g t，所以g t是周期为4的函数，研究函数g t的性质，只须研究函数g t在t∈−2,2时的性质即可；仿照（2），可得g t=1+sinπt2,t∈ −2,−321+cosπt2,t∈ −32,−1cosπt2−sinπt2,t∈−1,01−sinπt2,t∈0,121−cosπt2,t∈12,1sinπt2−cosπt2,t∈1,2．画出函数g t的部分图象，如图所示，所以函数g t的值域为1−22,2，已知k−4g t≤0有解，即k≤4g t max=42，所以k≤4，若对任意x1∈4,+∞，存在x2∈−∞,4，使得 x2=H x1成立，即H x在4,+∞的值域是 x在−∞,4的值域的子集．因为 x=2∣x−k∣=2x−k,x≥k 2k−x,x<k，当k≤4时，因为 x在−∞,k上单调递减，在k,4上单调递增，所以 x min= k=1，因为H x=x∣x−k∣+2k−8在4,+∞上单调递增，所以H x min=H4=8−2k，所以8−2k≥1，即k≤7，2．综上，实数k的取值范围是 −∞,72。

2015-2016学年湖北省武汉二中高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡上.）1．两个事件对立是两个事件互斥的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件2．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg3．下列命题正确的是（）A．若p，q为两个命题，则“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件B．若p为：∃x∈R，x2+2x≤0则￢p为：∀x∈R，x2+2x＞0C．命题p为真命题，命题q为假命题．则命题p∧（￢q），（￢p）∨q都是真命题D．命题“若￢p，则q”的逆否命题是“若p，则￢q”．4．从2003件产品中选取50件，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2003件产品中剔除3件，剩下的2000件再按系统抽样的方法抽取，则每件产品被选中的概率（）A．不都相等 B．都不相等C．都相等，且为D．都相等，且为5．在下列命题中：①若向量、共线，则向量、所在的直线平行；②若向量、所在的直线为异面直线，则向量、不共面；③若三个向量、、两两共面，则向量、、共面；④已知空间不共面的三个向量、、，则对于空间的任意一个向量，总存在实数x、y、z，使得；其中正确的命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．36．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当其中有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，341等）．若a，b，c∈{1，2，3，4}，且a，b，c互不相同，任取一个三位自然数，则它是“有缘数”的概率是（）A．B．C．D．7．如果ξ～B，则使P（ξ=k）取最大值时的k值为（）A．5或6 B．6或7 C．7或8 D．以上均错8．已知实数x∈[1，9]，执行如图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为（）A．B．C．D．9．若（ax2+x+y）5的展开式的各项系数和为243，则x5y2的系数为（）A．10 B．20 C．30 D．6010．若某同学连续三次考试的名次（第一名为1，第二名为2，以此类推且没有并列名次情况）不超过3，则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次数据，推断一定不是尖子生的是（）A．甲同学：均值为2，中位数为2 B．乙同学：均值为2，方差小于1C．丙同学：中位数为2，众数为2 D．丁同学：众数为2，方差大于111．设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为，且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙…的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是（）A．B．C． D．12．已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，过F2的直线交双曲线的右支于P、Q两点，若|PF1|=|F1F2|，且3|PF2|=2|QF2|，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．二、填空题：（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡的相应位置.）13．有5名数学实习老师，现将他们分配到高二年级的三个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有______种（用数字作答）．14．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示．现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A；“抽出的学生英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B．则P（A|B）的值是______．15．在一个正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，CD的中点，点Q为平面SKABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足=λ的实数λ的值有______个．16．已知圆P：x2+y2=4y及抛物线S：x2=8y，过圆心P作直线l，此直线与上述两曲线的四个交点，自左向右顺次记为A，B，C，D，如果线段AB，BC，CD的长按此顺序构成一个等差数列，则直线l的斜率为______．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.）17．已知命题p：方程﹣=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（1，2）．若命题p、q有且只有一个为真，求m的取值范围．18．设函数f（x）=x2+bx+c，其中b，c是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件A“f（1）≤5且f（0）≤3”发生的概率．（1）若随机数b，c∈{1，2，3，4}；（2）已知随机函数Rand（）产生的随机数的范围为{x|0≤x≤1}，b，c是算法语句b=4*Rand（）和c=4*Rand（）的执行结果．（注：符号“*”表示“乘号”）19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B，且AB=AC=A1B=2．（1）证明：平面A1AC⊥平面AB1B；（2）求棱AA1与BC所成的角的大小；（3）若点P为B1C1的中点，并求出二面角P﹣AB﹣A1的平面角的余弦值．20．某市一高中经过层层上报，被国家教育部认定为2015年全国青少年足球特色学校．该校成立了特色足球队，队员来自高中三个年级，人数为50人．视力对踢足球有一定的影响，因而对这50人的视力作一调查．测量这50人的视力（非矫正视力）后发现他们的视力全部介于4.75和5.35之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[4.75，4.85），第二组[4.85，4.95），…，第6组[5.25，5.35]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．又知：该校所在的省中，全省喜爱足球的高中生视力统计调查数据显示：全省100000名喜爱足球的高中生的视力服从正态分布N（5.01，0.0064）．（1）试评估该校特色足球队人员在全省喜爱足球的高中生中的平均视力状况；（2）求这50名队员视力在5.15以上（含5.15）的人数；（3）在这50名队员视力在5.15以上（含5.15）的人中任意抽取2人，该2人中视力排名（从高到低）在全省喜爱足球的高中生中前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．参考数据：若ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．21．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴为半径的圆与直线2x﹣y+6=0相切．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点A，B为动直线y=k（x﹣2）（k≠0）与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在点E，使2+•为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值，若不存在，说明理由．22．在平面直角坐标系xOy中，已知点Q（1，2），P是动点，且三角形POQ的三边所在直线的斜率满足+=．（1）求点P的轨迹C的方程；（2）过点D（1，0）任作两条互相垂直的直线l1，l2，分别交轨迹C于点A，B和M，N，设线段AB，MN的中点分别为E，F求证：直线EF恒过一定点．2015-2016学年湖北省武汉二中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题；每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡上.）1．两个事件对立是两个事件互斥的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【考点】互斥事件与对立事件．【分析】根据对立事件和互斥事件的意义知，两个事件是互斥事件那么这两个事件不一定是对立事件，若两个事件是对立事件，则这两个事件一定是互斥事件，即前者能够推出后者，后者不一定能够推出前者．【解答】解：根据对立事件和互斥事件的意义知，两个事件是互斥事件那么这两个事件不一定是对立事件，若两个事件是对立事件，则这两个事件一定是互斥事件，所以两个时间对立是两个事件互斥的充分不必要条件，故选A．2．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i，y i）（i=1，2，…，n），用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x﹣85.71，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心（，）C．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg【考点】回归分析的初步应用．【分析】根据回归方程为=0.85x﹣85.71，0.85＞0，可知A，B，C均正确，对于D回归方程只能进行预测，但不可断定．【解答】解：对于A，0.85＞0，所以y与x具有正的线性相关关系，故正确；对于B，回归直线过样本点的中心（，），故正确；对于C，∵回归方程为=0.85x﹣85.71，∴该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg，故正确；对于D，x=170cm时，=0.85×170﹣85.71=58.79，但这是预测值，不可断定其体重为58.79kg，故不正确故选D．3．下列命题正确的是（）A．若p，q为两个命题，则“p且q为真”是“p或q为真”的必要不充分条件B．若p为：∃x∈R，x2+2x≤0则￢p为：∀x∈R，x2+2x＞0C．命题p为真命题，命题q为假命题．则命题p∧（￢q），（￢p）∨q都是真命题D．命题“若￢p，则q”的逆否命题是“若p，则￢q”．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A根据命题的概念判断即可；B对存在命题的否定：存在改为任意，再否定结论；C根据命题间的等价关系判断即可；D考查了命题的即否命题．【解答】解：A中若p，q为两个命题，“p且q为真”一定能推出“p或q为真”，反之不一定，故应是充分不必要条件，故错误；B中若p为：∃x∈R，x2+2x≤0则￢p为：∀x∈R，x2+2x＞0是对存在命题的否定：存在改为任意，再否定结论，故正确；C命题p为真命题，命题q为假命题，则￢p为假命题，￢q为真命题，则命题p∧（￢q）为证明题，（￢p）∨q为假命题，故错误；D命题“若￢p，则q”的逆否命题是“若￢q，则p”，故错误．故选B．4．从2003件产品中选取50件，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2003件产品中剔除3件，剩下的2000件再按系统抽样的方法抽取，则每件产品被选中的概率（）A．不都相等 B．都不相等C．都相等，且为D．都相等，且为【考点】简单随机抽样．【分析】根据在随机抽样与系统抽样方法中，每件被选中的概率相等可得答案．【解答】解：∵从2003件产品中选取50件，每件被选中的概率相等，∴每件产品被选中的概率为．故选：C．5．在下列命题中：①若向量、共线，则向量、所在的直线平行；②若向量、所在的直线为异面直线，则向量、不共面；③若三个向量、、两两共面，则向量、、共面；④已知空间不共面的三个向量、、，则对于空间的任意一个向量，总存在实数x、y、z，使得；其中正确的命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】命题的真假判断与应用；平行向量与共线向量；向量的共线定理．【分析】①若向量、共线，则向量、所在的直线平行，可由向量的平行定义进行判断；②若向量、所在的直线为异面直线，则向量、不共面，此命题可由共面向量的定义判断；③若三个向量、、两两共面，则向量、、共面，此命题可由共面向量的定义判断；④已知空间不共面的三个向量、、，则对于空间的任意一个向量，总存在实数x 、y 、z ，使得，可由空间向量基本定理进行判断；【解答】解：①若向量、共线，则向量、所在的直线平行，此命题不正确，同一直线上的两个向量也是共线的，此时两直线重合；②若向量、所在的直线为异面直线，则向量、不共面，此命题不正确，任意两两向量是共面的；③若三个向量、、两两共面，则向量、、共面，此命题不正确，两两共面的三个向量不一定共面，三个不共面的向量也满足任意两个之间是共面的；④已知空间不共面的三个向量、、，则对于空间的任意一个向量，总存在实数x 、y 、z ，使得，此命题是正确的，它是空间向量共面定理；综上讨论知，只有④是正确的故选B6．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当其中有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”（如213，341等）．若a ，b ，c ∈{1，2，3，4}，且a ，b ，c 互不相同，任取一个三位自然数，则它是“有缘数”的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】求出所有的a ，b ，c 取法，以及满足条件的a ，b ，c 取法，从而求得“有缘数”的概率．【解答】解：所有的a ，b ，c 取法共有=24个，而“有缘数”的三个位上的数字为1，2，3，或1，3，4，共有2=12个，则它是“有缘数”的概率为=， 故选：A ．7．如果ξ～B，则使P （ξ=k ）取最大值时的k 值为（ ） A ．5或6 B ．6或7 C ．7或8 D ．以上均错【考点】二项分布与n 次独立重复试验的模型．【分析】随机变量ξ～B （20，），当P （ξ=k ）的表达式，由式子的意义知：概率最大也就是ξ最可能的取值．这和期望的意义接近．由E ξ=20×=，知k=6，或k=7都可能是极值，由此能求出p （ξ=k ）取最大值时k 的值．【解答】解：随机变量ξ～B（20，），∴当P（ξ=k）=（）20﹣k（1﹣）k=（）20•2k•，由式子的意义知：概率最大也就是ξ最可能的取值，这和期望的意义接近．∵Eξ=20×=，∴k=6，或k=7都可能是极值，∵P（ξ=6）=P（ξ=7），∴p（ξ=k）取最大值时k的值是6或7．故选：B．8．已知实数x∈[1，9]，执行如图所示的流程图，则输出的x不小于55的概率为（）A．B．C．D．【考点】循环结构．【分析】由程序框图的流程，写出前三项循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于55得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于55的概率．【解答】解：设实数x∈[1，9]，经过第一次循环得到x=2x+1，n=2，经过第二循环得到x=2（2x+1）+1，n=3，经过第三次循环得到x=2[2（2x+1）+1]+1，n=4此时输出x，输出的值为8x+7，令8x+7≥55，得x≥6，由几何概型得到输出的x不小于55的概率为P==．故选B．9．若（ax2+x+y）5的展开式的各项系数和为243，则x5y2的系数为（）A．10 B．20 C．30 D．60【考点】二项式定理的应用．【分析】根据各项系数和求出a的值，再利用乘方的意义求出x5y2的系数．【解答】解：令x=y=1，可得（ax2+x+y）5的展开式的各项系数和为（a+2）5=243，∴a=1，（x2+x+y）5=（x2+x+y）5．而（ax2+x+y）5表示5个因式（ax2+x+y）的积，故有2个因式取y，2个因式取x2，剩下的一个因式取x，可得函x5y2的项，故x5y2的系数为•=30，故选：C．10．若某同学连续三次考试的名次（第一名为1，第二名为2，以此类推且没有并列名次情况）不超过3，则称该同学为班级的尖子生．根据甲、乙、丙、丁四位同学过去连续3次考试名次数据，推断一定不是尖子生的是（）A．甲同学：均值为2，中位数为2 B．乙同学：均值为2，方差小于1C．丙同学：中位数为2，众数为2 D．丁同学：众数为2，方差大于1【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．【分析】根据均值、中位数、众数、方差的定义及意义逐项判断，得出正确选项．【解答】解：甲同学：均值为2，说明名次之和为6，得出三次考试名次均不超过3，断定为尖子生．乙同学：均值为2，说明名次之和为6，得出三次考试名次均不超过3，断定为尖子生．丙同学：中位数为2，众数为2，说明三次考试名次均为2，断定为尖子生丁同学：众数为2，说明某两次名次为2，设另一次名次为x，经验证，当x=1，2，3时方差均小于1，故x＞3．推断一定不是尖子生故选D．11．设甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为，且各次射击相互独立，若按甲、乙、甲、乙…的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是（）A．B．C． D．【考点】相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．【分析】根据题意，分析可得：停止射击时甲射击了两次包括两种情况：①第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击时命中，②第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击未命中，而第二次射击时命中，分别由相互独立事件概率的乘法公式计算其概率，再由互斥事件的概率的加法公式计算可得答案．【解答】解：设A表示甲命中目标，B表示乙命中目标，则A、B相互独立，停止射击时甲射击了两次包括两种情况：①第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击时命中，此时的概率P1=P（••A）=（1﹣）×（1﹣）×=，②第一次射击甲乙都未命中，甲第二次射击未命中，而乙在第二次射击时命中，此时的概率P2=P（•••B）=（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×=，故停止射击时甲射击了两次的概率P=P1+P2=+=；故选C．12．已知双曲线的左、右焦点分别是F1、F2，过F2的直线交双曲线的右支于P、Q两点，若|PF1|=|F1F2|，且3|PF2|=2|QF2|，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出双曲线的焦点，运用双曲线的定义求得|PF2|=|PF1|﹣2a=2c﹣2a，结合条件可得|QF1|=|QF2|+2a=3c﹣a，在△PF1F2和△QF1F2中，分别运用余弦定理以及∠F1F2Q+∠F1F2P=π，得cos∠F1F2Q+cos∠F1F2P=0，化简整理，由离心率公式计算即可得．【解答】解：设双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），则|PF1|=|F1F2|=2c，由双曲线的定义可得|PF2|=|PF1|﹣2a=2c﹣2a，由3|PF2|=2|QF2|，可得|QF2|=3c﹣3a，由双曲线的定义可得|QF1|=|QF2|+2a=3c﹣a，在△PF1F2和△QF1F2中，cos∠F1F2P===，cos∠F1F2Q===，由∠F1F2Q+∠F1F2P=π，可得cos∠F1F2Q+cos∠F1F2P=0，即有+=0，即有5c=7a，即有e==．故选：D．二、填空题：（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在答题卡的相应位置.）13．有5名数学实习老师，现将他们分配到高二年级的三个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配方案有90种（用数字作答）．【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，先把5名实习老师分成三组，一组1人，另两组都是2人，计算其分组的方法种数，进而将三个组分到3个班，即进行全排列，计算可得答案．【解答】解：把5名实习老师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有=15种方法，再将3组分到3个班，共有•A33=90种不同的分配方案，故答案为：90．14．甲、乙两个小组各10名学生的英语口语测试成绩的茎叶图如图所示．现从这20名学生中随机抽取一人，将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A；“抽出的学生英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B．则P（A|B）的值是．【考点】条件概率与独立事件．【分析】由茎叶图，确定P（A）=，P（B）=，P（AB）=，再利用条件概率公式，即可求得结论．【解答】从这20名学生中随机抽取一人，基本事件总数为20个．将“抽出的学生为甲小组学生”记为事件A，则事件A包含的基本事件有10，故P（A）=；“抽出学生的英语口语测试成绩不低于85分”记为事件B，则事件B包含的基本事件有9，P（B）=，故事件AB包含的基本事件有5，故P（AB）=，故P（A|B）==．故答案为：．15．在一个正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，CD的中点，点Q为平面SKABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足=λ的实数λ的值有2个．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】根据题意可知，要满足线段D1Q与OP互相平分，必须当四边形D1PQO是平行四边形时，才满足题意，从而求得点P和点Q位置，求出λ的值，即可得出结论．【解答】解：∵线段D1Q与OP互相平分，且=λ，∴Q∈MN，∴只有当四边形D1PQO是平行四边形时，才满足题意，此时有P为A1D1的中点，Q与M重合，或P为C1D1的中点，Q与N重合，此时λ=0或1故答案为：2．16．已知圆P：x2+y2=4y及抛物线S：x2=8y，过圆心P作直线l，此直线与上述两曲线的四个交点，自左向右顺次记为A，B，C，D，如果线段AB，BC，CD的长按此顺序构成一个等差数列，则直线l的斜率为±．【考点】直线与圆锥曲线的关系；直线与圆的位置关系．【分析】本题利用待定系数设出直线的方程，根据直线和曲线的方程联列方程组，用弦长公式表示出AB、CD的长度，可将条件“三条线段成等差”转化为线段AD、BC的关系，得到斜率k的关系式，解方程求出k的值，得本题结论．【解答】解：∵圆P：x2+y2=4y，∴x2+（y﹣2）2=4．圆心P（0，2），半径r=2，BC=4．∵线段AB，BC，CD的长按此顺序构成一个等差数列，∴AB+CD=BC，∴AB+BC+CD=3BC，∴AD=12．设直线l的方程为：y=kx+2，由，得到：x2﹣8kx﹣16=0，由弦长公式知：AD==8（k2+1）．∴8（k2+1）=12．∴k=±．三、解答题：（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.）17．已知命题p：方程﹣=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：双曲线﹣=1的离心率e∈（1，2）．若命题p、q有且只有一个为真，求m的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用；椭圆的标准方程；双曲线的简单性质．【分析】根据题意求出命题p、q为真时m的范围分别为0＜m＜、0＜m＜15．由p、q有且只有一个为真得p真q假，或p假q真，进而求出答案即可．【解答】解：将方程改写为，只有当1﹣m＞2m＞0，即时，方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，所以命题p等价于；因为双曲线的离心率e∈（1，2），所以m＞0，且1，解得0＜m＜15，所以命题q等价于0＜m＜15；…若p真q假，则m∈∅；若p假q真，则综上：m的取值范围为…18．设函数f（x）=x2+bx+c，其中b，c是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件A“f（1）≤5且f（0）≤3”发生的概率．（1）若随机数b，c∈{1，2，3，4}；（2）已知随机函数Rand（）产生的随机数的范围为{x|0≤x≤1}，b，c是算法语句b=4*Rand（）和c=4*Rand（）的执行结果．（注：符号“*”表示“乘号”）【考点】简单线性规划；古典概型及其概率计算公式；几何概型；随机思想的发展．【分析】（1）由f（x）=x2+bx+c知，事件A“f（1）≤5且f（0）≤3”，即，随机数b，c∈{1，2，3，4}，共等可能地产生16个数对，事件A：包含了其中6个数对，从而可求事件A发生的概率；（2）由题意，b，c均是区间[0，4]中的随机数，产生的点（b，c）均匀地分布在边长为4的正方形区域Ω中，事件A：所对应的区域为的梯形，从而可求事件A的发生概率．【解答】解：（1）由f（x）=x2+bx+c知，事件A“f（1）≤5且f（0）≤3”，即因为随机数b，c∈{1，2，3，4}，所以共等可能地产生16个数对（b，c），列举如下：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），事件A：包含了其中6个数对（b，c），即：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1），所以=，即事件A发生的概率为（2）由题意，b，c均是区间[0，4]中的随机数，产生的点（b，c）均匀地分布在边长为4的正方形区域Ω中（如图），其面积S（Ω）=16．事件A：所对应的区域为如图所示的梯形（阴影部分），其面积为：S（A）=．所以==，即事件A的发生概率为．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B，且AB=AC=A1B=2．（1）证明：平面A1AC⊥平面AB1B；（2）求棱AA1与BC所成的角的大小；（3）若点P为B1C1的中点，并求出二面角P﹣AB﹣A1的平面角的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）因为顶点在A1底面ABC上的射影恰为点B，得到A1B⊥AC，又AB⊥AC，利用线面垂直的判断定理可得AC⊥面AB1B，从而可证平面A1AC⊥平面AB1B．（2）建立空间直角坐标系，求出，，利用向量的数量积公式求出棱AA1与BC所成的角的大小；（3）求出平面PAB的法向量为，而平面ABA1的法向量=（1，0，0），利用向量的数量积公式求出二面角P﹣AB﹣A1的平面角的余弦值．【解答】证明：（1）∵A1B⊥面ABC，∴A1B⊥AC，﹣﹣﹣﹣﹣﹣又AB⊥AC，AB∩A1B=B∴AC⊥面AB1B，﹣﹣﹣﹣﹣﹣∵AC⊂面A1AC，∴平面A1AC⊥平面AB1B；﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2）如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则C（2，0，0），B（0，2，0），A1（0，2，2），B1（0，4，2），所以，．所以，故AA1与棱BC所成的角是．…（3）因为P为棱B1C1的中点，所以P的坐标为（1，3，2）．…设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则令z=1故…而平面ABA1的法向量=（1，0，0），则=故二面角P﹣AB﹣A1的平面角的余弦值是．…20．某市一高中经过层层上报，被国家教育部认定为2015年全国青少年足球特色学校．该校成立了特色足球队，队员来自高中三个年级，人数为50人．视力对踢足球有一定的影响，因而对这50人的视力作一调查．测量这50人的视力（非矫正视力）后发现他们的视力全部介于4.75和5.35之间，将测量结果按如下方式分成6组：第一组[4.75，4.85），第二组[4.85，4.95），…，第6组[5.25，5.35]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．又知：该校所在的省中，全省喜爱足球的高中生视力统计调查数据显示：全省100000名喜爱足球的高中生的视力服从正态分布N（5.01，0.0064）．（1）试评估该校特色足球队人员在全省喜爱足球的高中生中的平均视力状况；（2）求这50名队员视力在5.15以上（含5.15）的人数；（3）在这50名队员视力在5.15以上（含5.15）的人中任意抽取2人，该2人中视力排名（从高到低）在全省喜爱足球的高中生中前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．参考数据：若ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）=0.9974．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）由频率分布直方图求出该校特色足球队人员平均视力，由此能评估该校特色足球队人员在全省喜爱足球的高中生中的平均视力状况．（2）由频率分布直方图求出后两组队员的视力在5.15以上（含5.15），其频率为及人数．（3）由题意随机变量ξ可取0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的数学期望．【解答】解：（1）由频率分布直方图知，该校特色足球队人员平均视力为4.8 0.1+4.9 0.2+5.0 0.3+5.1 0.2+5.2 0.1+5.3 0.1=5.03高于全省喜爱足球的高中生的平均值5.01…4分（2）由频率分布直方图知，后两组队员的视力在5.15以上（含5.15），其频率为0.2，人数为0.2 50=10，即这50名队员视力在5.15以上（含5.15）的人数为10人…6分（3）∵P（5.01﹣3×0.08＜ξ≤5.01﹣3×0.08，即P（4.77＜ξ≤5.25）=0.9974，∴P（ξ≥5.25）==0.013，0.0013×100000=130，…8分∴全省喜爱足球的高中生中前130名的视力在5.25以上．这50人中视力在5.25以上的有0.1 50=5人，这50名队员视力在5.15以上（含5.15）的人分为两部分：5人在5.25以上，5人在5.15∽5.25…9分随机变量ξ可取0，1，2，P（ξ=0）===，P（ξ=1）===，P（ξ=2）===．∴Eξ=0×+1×+2×=1…12（分）．21．已知椭圆C ： =1（a ＞b ＞0）的离心率为，以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴为半径的圆与直线2x ﹣y +6=0相切．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点A ，B 为动直线y=k （x ﹣2）（k ≠0）与椭圆C 的两个交点，问：在x 轴上是否存在点E ，使2+•为定值？若存在，试求出点E 的坐标和定值，若不存在，说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）求得圆O 的方程，由直线和圆相切的条件：d=r ，可得a 的值，再由离心率公式，可得c 的值，结合a ，b ，c 的关系，可得b ，由此能求出椭圆的方程；（2）由直线y=k （x ﹣2）和椭圆方程，得（1+3k 2）x 2﹣12k 2x +12k 2﹣6=0，由此利用韦达定理、向量的数量积，结合已知条件能求出在x 轴上存在点E ，使•为定值，定点为（，0）．【解答】解：（1）由离心率为，得=，即c=a ，① 又以原点O 为圆心，椭圆C 的长半轴长为半径的圆为x 2+y 2=a 2，且与直线相切，所以，代入①得c=2，所以b 2=a 2﹣c 2=2．所以椭圆C 的标准方程为+=1．（2）由，可得（1+3k 2）x 2﹣12k 2x +12k 2﹣6=0，△=144k 4﹣4（1+3k 2）（12k 2﹣6）＞0，即为6+6k 2＞0恒成立．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），所以x 1+x 2=，x 1x 2=，根据题意，假设x 轴上存在定点E （m ，0），使得为定值，则有=（x 1﹣m ，y 1）•（x 2﹣m ，y 2）=（x 1﹣m ）•（x 2﹣m ）+y 1y 2 =（x 1﹣m ）（x 2﹣m ）+k 2（x 1﹣2）（x 2﹣2）=（k 2+1）x 1x 2﹣（2k 2+m ）（x 1+x 2）+（4k 2+m 2）=（k 2+1）•﹣（2k 2+m ）•+（4k 2+m 2）。

武汉二中2015——2016学年上学期高一年级期中考试数学试卷考试时间: 2015年11月6日 上午8: 00—10: 00 试卷满分: 150分一、选择题: 本大题共12小题, 每小题5分, 共60分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 集合},0)3(|{N x x x x M ∈<-=的真子集的个数为 （ ）A. 1B. 2C. 3D. 42. 函数xe y =的反函数是（ ）A. xe y -=B. xe y -= C. 2ln 21x y =D. 3ln 31x y = 3. 集合},{,}log ,3{2b a Q a P ==, 且}3,1,0{=⋃Q P , 则=⋂Q P （ ）A. 0B. ∅C. }0{D. }0,3{4. 设集合}1,0{,},,{==B c b a A , 则从A 到B 的映射的个数有 （ ）A. 3B. 6C. 8D. 9 5. 函数]4323ln[122+--++-=x x x x xy 的定义域是（ ）A. )1,0()0,4[⋃-B. ]1,0()0,4[⋃-C. )1,0()0,4(⋃-D. ),2[]4,(∞+⋃--∞6. 已知10005.12125==y x , 则=-xyxy（ ）A. 1B. 2C. 0D.31 7. 函数x x y +--=31的最大值为M , 最小值为N , 则NM的值为 （ ）A.2B. 1C. －1D. 28. 设7.11.33.09.0,9.0,7.1===c b a , 则c b a ,,的大小关系是（ ）A. c b a <<B. c a b <<C. a c b <<D. b a c << 9. 下列各式中可以得到n m >的个数为（ ）(1)10,<<<a a a nm; (2)n m 44log log >; (3)n m 3.03.0log log >; (4)5log 5log n m <; (5)33n m >A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个10. 已知实数a . b 满足等式b a 20162015=, 下列五个关系式: ①0＜b ＜a ; ②a ＜b ＜0; ③0＜a ＜b ; ④b ＜a ＜0; ⑤a ＝b . 其中成立的关系式有 （ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个11. 已知函数)(x f 是R 上的增函数, 且函数图像经过)1,3(,)1,0(B A -两点, 那么1|)1(|<+x f 的解集的补集．．是 （ ）A. )2,1(-B. )4,1(C. ),4[)1,(∞+⋃--∞D. ),2[]1,(∞+⋃--∞12. 函数⎩⎨⎧∈∈=QC x Qx x f R π1)(, 下列结论不正确．．．的是 （ ）A. 此函数为偶函数B. 此函数不单调C. 函数值域为],1[πD. 方程x x f f =)]([有两解二、填空题: 本大题共4小题, 每小题5分, 共20分. 请将答案填在答题卡对应题号．．．．．．．的位置上. 答错位置, 书写不清, 模棱两可均不得分13. 已知函数b a x g x+=)(的定义域和值域都是]0,1[-, 则=+b a .14. 设函数2211)(x x x f -+=, 则f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＋f (21)＋f (31)＋f (41)＋f (51)＝ . 15. 定义在R 上的奇函数)(x f , 当0>x 时, x x x f ln )(2+=, 则)(x f 在R 上的表达式为____________.16. 已知集合}065|{2≤--=x x x A , ]12,3[--=m m B , 若B B A =⋂, 则实数m 的取值范围是_______.三、解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明. 证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分10分）定义在),(),(b a a b ⋃--上的奇函数)(x f , 在),(b a 上是增函数, 判断)(x f 在区间 ),(a b --上的单调性并证明.18. （本小题满分12分） (1) 计算: ]ln )33(4[log ]3log27[log 23210log 2153432e --⋅-(2) 已知31=+xx , R m b a ∈>>,0,0 求2472322-⋅-+--x x x x 的值.已知奇函数)(x f 是定义在)3,3(-上的减函数, 不等式0)3()3(2<-+-x f x f 的解集是A , 集合}51|{≤≤⋂=x x A B , 求函数B x x x x g ∈+-=,1215)(2的最大值和最小值.20. （本小题满分12分）如图, 已知底角为 45的等腰梯形ABCD , 底边BC 长为cm 7, 腰长为cm 22, 当一条垂 直于底边BC （垂足为F ）的直线l 把梯形ABCD 分成两部分, 令x BF =||(0>x , 单位:cm ), 求直线l 左边部分的面积y 关于x 的函数解析式, 并画出图像.21. （本小题满分12分）已知函数++∈∈++=N c N a c x ax x f ,(,2)(2)满足①5)1(=f ; ②11)2(6<<f . (1) 求函数)(x f 的解析表达式;(2) 若对任意]2,1[∈x , 都有12)(+>mx x f 成立, 求实数m 的取值范围．设函数)(x f 满足:①对任意实数n m ,都有)()(2)()(n f m f n m f n m f ⋅=-++; ②对任意R m ∈, 都有)1()1(m f m f -=+恒成立; ③)(x f 不恒为0, 且当10<<x 时,1)(<x f ．(1) 求)0(f , )1(f 的值;(2) 判断函数)(x f 的奇偶性, 并给出你的证明(3) 定义: “若存在非零常数T , 使得对函数)(x g 定义域中的任意一个x , 均有)()(x g T x g =+, 则称)(x g 为以T 为周期的周期函数”．试证明: 函数)(x f 为周期函数, 并求出)32017()33()32()31(f f f f ++++ 的值．武汉二中2015——2016学年上学期高一年级期中考试数学试卷参考答案: (其他解答方法, 参照给分) 一、选择题. CDCCA DCCBC DC 二、填空题. 13. 23- 14. 015. ⎪⎩⎪⎨⎧<=>---+=000)ln(0ln )(22x x x x x x x x f 16. 272≤≤m三、解答题17. )(x f 在上为),(a b --增函数. 2分, 证明如下: 对于a x x b -<<<-21有a x x b >->->21, 因为)(x f 在),(b a 上为增函数, 所以有)()(21x f x f ->-. . . . . (1) 4分, 又)(x f 为奇函数, 所有对于任意),(),(b a a b x ⋃--∈恒有)()(x f x f -=-, 所以)()(,)()(2211x f x f x f x f -=--=-6分,代入(1)得:)()()()(2121x f x f x f x f <⇒->- 8分, 由增函数的定义可知, )(x f 在区间),(a b --上为增函数.10分. 18. (1). 21-6分 (2).4516- 6分, 247-没有化简的, 扣2分.19. 解: 由题意可得:⎪⎩⎪⎨⎧<<⇒>-<<<<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧->-<-<-<-<-622,36060333333333222x x or x x x x x x x 分 6分 故}52|{,}62|{≤<=<<=x x B x x A 8分, 由二次函数的图像和性质得52126)5()(max -==g x g10分, 20421)1021()(min -==g x g 12分.没有指出什么时候取最值, 扣2分. 两个地方只扣一次. 20.解: 过D A ,分别作BC AG ⊥于G , DH ⊥BC 于H , 因为ABCD 是等腰梯形, 底角450, AB =22cm 所以BG =AG =DH =HC =2cm , 又BC =7cm , 所以AD =GH =3cm , ……2分 （1）当点F 在BG 上时, 即]2,0(∈x 时, y =221x ……………4分 （2）当点F 在GH 上时, 即(2,5]x ∈时, y =2+2(x －2)=2x －2 ……………6分 （3）当点F 在HC 上时, 即(]7,5∈x 时, y =-⨯+2)73(212)7(21-x 10)7(212+-x……8分∴函数的解析式为(](](]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈+--∈-∈=7,510)7(215,2222,02122x x x x x x y ………………10分 函数图像如下: (图像没有标明关键点的坐标的, 灵活处理)……12分21. 解: （1）∵5)1(=f ∴a c c a -=⇒++=325……1分, 又∵1144611)2(6<++<⇒<<c a f ……2分, 所以有: 3431<<-a , 又+∈N a , 2,1==c a , 所以22)(2++=x x x f ……6分（2）法一: 设1)1(212)()(2+--=--=x m x mx x f x g , x ∈[1, 2], 则由已知得: 当211≤⇒≤-m m 时, 024)1()(min ≥-==m g x g , 此时m ≤2; ……2分当32211<<⇒<-<m m 时, 04)1(44)1()(2min ≥--=-=m m g x g , 此时无解; ……2分当321≥⇒≥-m m 时, 049)2()(min ≥-==m g x g , 此时无解． 综上所述, m 的取值范围为]2,∞-(用不等式表示也可)．……2分 法二: 由已知得, x x m 1)1(2+≤-在]2,1[∈x 上恒成立．由于函数xx y 1+=在[1, 2]上单调递增, 所以2512≤+≤x x , 故22)1(2≤⇒≤-m m (参照上面解法给分)22. 解: （1）由于)(x f 不恒为0, 故存在0x , 使0)(0≠x f , 令0,0==n x m , 则)0()(2)()(000f x f x f x f =+, 所以1)0(=f , ……2分 令)1(2)0()2(12f f f n m =+⇒==,由)1()1(m f m f -=+并令1=m 得: )0()2(f f =, 结合以上结果可得1)1(2=f ……3分 又令21==n m , 2)21()21(2)0()1(<⋅=+f f f f (因为1)21(<f ) 所以, 1)1(<f , 故1)1(-=f ; ……4分（2）令x n m ==,0, 得: )()0(2)()(x f f x f x f =-+, 以及有1)0(=f 即有)()(x f x f =-, 即有)(x f 为偶函数; ……6分（3）由)1()1(m f m f -=+并取x m -=+1得)2()(x f x f +=-, 又)(x f 为偶函数, 则)()2(x f x f =+, 即)(x f 是以2为周期的周期函数; ……8分令)31(21)32()31(2)0()32(3122f f f f f n m =+⇒=+⇒==, 再令)31()32(2)31(1)31()32(2)31()1(31,32f f f f f f f n m =+-⇒=+⇒==．而1)32(<f , 解得, 21)32(,21)31(-==f f , ……10分由)1()1(m f m f -=+得, )34()32(,)35()31(f f f f ==, 所以0)36()35()34()33()32()31(=+++++f f f f f f 又由于)(x f 是以2为周期的周期函数,21)31()32017(0336)32017()33()32()31(==+⨯=++++f f f f f f ……12分。