江西省上饶市横峰中学2020届高考数学下学期适应性考试试题理

精品解析：2020届江西省上饶市高三第三次模拟考试数学(理)试题(精品解析：20XX年届江西省上饶市高三第三次模拟考试数学(理)试题(原卷版)初高中数学学习资料的店初高中数学学习资料的店第1 页共5 页上饶市20XX年届第三次高考模拟考试数学（理科）试题卷一、选择题1.已知集合{}32A x x =-，{}5B x x =≤，则A B =I （）A. {}5x x ≤B. {}35x x ≤≤C. {}37x x ≤D. {}35x x ≤2.复数z 满足i 12i z ?=+(i 为虚数单位)，则复数z 在复平面内所对应的点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.51x ?- ???的展开式中1x 项的系数为（）A. 5-B. 10-C. 5D. 104.执行如图的程序框图，若输入2x =，则输出的y 值为（）A. 5B. 7C. 9D. 155.若1sin 63πα??+= ???，则5sin 26πα??+= ???（）A.79 B.13 C.89D.236.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且***-*****XX年a a a a a ++=+，则118S S =（）A. 37B.16 C.511D.54精品解析：20XX年届江西省上饶市高三第三次模拟考试数学(理)试题(原卷版)初高中数学学习资料的店初高中数学学习资料的店第2 页共5 页7.将曲线22x yx y +=+围成的区域记为Ⅰ,曲线1x y +=围成的区域记为Ⅱ,在区域Ⅰ中随机取一点,此点取自区域Ⅱ的概率为（）A. 12π+B. 11π+C. 22π+D. 21π+ 8.在明代珠算发明之前，我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具来记数、列式和计算.算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，算筹有纵式和横式两种，如图是利用算筹表示1~9的数字，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，例如，137可以用7根小木棍表示“”，则用6根小木棍（要求用完6根）能表示不含“0”且没有重复数字的三位数的个数是（）A. 12B. 18C. 24D. 27 9.已知函数()[]()22cos,2x f x x x ππ=-++∈-，则不等式()()120f x f +-的解集为（）A. [)(],31,ππ--UB. [)(],13,ππ--UC. ()3,1-D. ()1,3-10.半径为2的球O 内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为（）A. 93B. 123C. 163D. 18311.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 作斜率为22的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A 、B 两点，若22AF BF =，则双曲线的离心率为（）A. 2B. 2C. 5D. 3精品解析：20XX年届江西省上饶市高三第三次模拟考试数学(理)试题(原卷版)初高中数学学习资料的店初高中数学学习资料的店第3 页共5 页12.已知函数22xx y e x e=+和函数()a y a R x =∈，关于这两个函数图像的交点个数，下列四个结论：①当22a 时，两个函数图像没有交点；②当221e a e+=时，两个函数图像恰有三个交点；③当*****e a e +时，两个函数图像恰有两个交点；④当221e a e+时，两个函数图像恰有四个交点.正确结论的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题13.对于正在培育的一颗种子，它可能1天后发芽，也可能2天后发芽，...，如表是20颗不同种子发芽前所需培育的天数统计表，则这组种子发芽前所需培育的天数的众数是________.中位数是________. 发芽前所需培育天数1 2 3 4 5 6 7 ≥8 种子数4 33522114.若实数x ，y 满足条件10,10,330,x y x y x y +-≥??--≤??-+≥?，则32z x y =+的最大值为______.15.在扇形OAB 中，60AOB ∠=?，C 为弧AB 上的一个动点.若OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r，则2x y +的取值范围是________. 16.正方形ABCD的两个顶点,A B 在直线40x y +-=上，另两个顶点,C D 分别在直线210x y --=，4230x y +-=上，那么正方形ABCD 的边长为________. 三、解答题17.已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足2sin 223sin 3C C +=，C 为锐角.（1）求角C 的大小；精品解析：20XX年届江西省上饶市高三第三次模拟考试数学(理)试题(原卷版)初高中数学学习资料的店初高中数学学习资料的店第4 页共5 页（2）若2cos3BAC ∠=-，点D 为边BC 上的动点（不与C 点重合），设AD DC λ=，求λ的取值范围. 18.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，BC //AD ，23πBAD ∠=，2PA AB BC ===，4=AD ，点M 是棱PD 的中点.（1）求证：//CM 平面PAB ；（2）求二面角M AC D --的大小.19.为了释放学生压力，某校高三年级一班进行了一个投篮游戏，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮）.在相同的条件下，每轮甲乙两人站在同一位置上，甲先投，每人投一次篮，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得1-分；两人都命中或都未命中，两人均得0分.设甲每次投篮命中的概率为23，乙每次投篮命中的概率为12，且各次投篮互不影响. （1）经过1轮投篮，记甲的得分为X ，求X 的分布列及期望；（2）若经过n 轮投篮，用i p 表示第i 轮投篮后，甲的累计得分低于乙的累计得分的概率.①求123,,P P P ；②规定00P =，经过计算机模拟计算可得()111,i i i P aP bP i i N +-=+≥∈，请根据①中123,,P P P 值求出,a b 的值，并由此求出数列{}n P 的通项公式.20.已知抛物线()2:20C y px p =的焦点为F ，抛物线C 上的点到准线的最小距离为1.精品解析：20XX年届江西省上饶市高三第三次模拟考试数学(理)试题(原卷版)初高中数学学习资料的店初高中数学学习资料的店第5 页共5 页（1）求抛物线C 的方程；（2）若过点F 作互相垂直的两条直线1l 、2l ，1l 与抛物线C 交于,A B 两点，2l 与抛物线C 交于,C D 两点，,M N 分别为弦,AB CD 的中点，求MF NF ?的最小值. 21.已知函数()()2ln f x ax x a R =+∈. （1）讨论函数()f x 的单调区间情况；（2）若函数()()2ln 0f x ax x a =+≠有且只有两个零点12,x x ，证明：*****e x x e -+-. 22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos sin x y θθ=??=?（θ为参数），将曲线C 上各点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到曲线1C .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为4cos 3sin 100ρθρθ+-=. （1）写出曲线1C 的极坐标方程与直线l 的直角坐标方程；（2）曲线1C 上是否存在不同的两点()11,M ρθ，()22,N ρθ（以上两点坐标均为极坐标，10ρ，20ρ，102θπ≤，202θπ≤），使点M 、N 到l 的距离都为1？若存在，求出12θθ-的值；若不存在，请说明理由.23.设函数()cos 21f x x a a =+-++. （1）若1132f π?? ???，求实数a 的取值范围. （2）证明：对于任意。

绝密★启用前江西省上饶市横峰中学2020届高三毕业班下学期高考适应性考试理科综合试题2020年6月1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时,选出每小题的答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时,将答案填写在答题卡上,写在试卷上无效。

4.计算时可能用到的相对原子质量：C-12 H-1 O-16 N-14 B-11 S-32 Na-23Fe-56 Cl-35.5 Cu-64 I-127一、选择题（本题共13 个小题,每小题6分。

共78分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1．在人体内,HIV病毒与特异性抗体结合后产生沉淀,被吞噬细胞摄取后彻底水解可得到（）A．多种氨基酸、1种核糖B．20种氨基酸、4种脱氧核糖C．20种氨基酸、5种含氮碱基D．多种氨基酸、4 种核糖核苷酸2.早在19世纪末有医生发现,癌症患者手术后意外感染酿脓链球菌,其免疫功能增强、存活时间延长,从而开启了"癌症免疫疗法”的大门。

"癌症免疫疗法”是指通过自身免疫系统来抗击癌细胞的疗法。

下列相关叙述正确的是（）A. 患者免疫功能增强是因为酿脓链球菌侵入癌细胞使其裂解死亡B. 酿脓链球菌激活患者的非特异性免疫功能从而消灭癌细胞C. 癌症免疫疗法主要是通过增强患者的细胞免疫功能来杀死癌细胞D. 癌症免疫疗法通过改变癌细胞的遗传信息来达到治疗目的3．南方某地的常绿阔叶林曾因过度砍伐而遭到破坏。

停止砍伐一段时间后,该地常绿阔叶林逐步得以恢复。

下表为恢复过程中依次更替的群落类型及其植物组成。

下列叙述不正确的是（）2 针叶林52 12 13 针、阔叶混交林67 24 174 常绿阔叶林106 31 16A．该地恢复过程中群落演替的类型为次生演替B．更为稳定的群落是演替的第4阶段C．针叶林中的动物分层现象会比草丛中的更复杂D．草本植物种类始终最多说明群落类型没有改变4、水溶性化学信号一般不直接进入细胞,而是与细胞表面的特异性受体结合,通过信号的转导继而对靶细胞产生效应；而脂溶性信号分子则通过自由扩散直接透过细胞膜,与靶细胞内的受体结合。

横峰中学2020届高三适应性考试数学（理科）一、选择题：（本题包括12小题，共60分，每小题只有一个选项符合题意） 1.设集合{}2|20A x x x =--≤，{}3|log 1B x x =≤，则AB =（ ）A. []1,2-B. (]0,1C. (]0,2D. []1,3【答案】C 【解析】 【分析】先由二次不等式及对数不等式的解法求出集合A 、B ，然后结合集合交集的运算求A B 即可.【详解】解：解不等式220x x --≤，得12x -≤≤， 即[]1,2A =-，解不等式3log 1x ≤，得03x <≤， 即(]0,3B =， 则AB =(]0,2，故选：C.【点睛】本题考查了二次不等式及对数不等式的解法，重点考查了集合交集的运算，属基础题.2.已知复数()z i a i =-（i 为虚数单位，a R ∈），若12a <<，则z 的取值范围为（ ） A.2,5B.)2,2C. (5D. ()1,2【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的基本运算法则进行化简，再求复数模的范围即可. 【详解】解：因为复数()1z i a i ai =-=+， 所以21z a =+12a <<，即214a <<，则z 的取值范围为(2,5，故选：A.【点睛】本题主要考查复数的乘法运算及模长的计算，属于基础题.3.某中学高二年级共有学生2400人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，若样本中共有男生42人，则该校高二年级共有女生（ ） A. 1260 B. 1230C. 1200D. 1140【答案】D 【解析】 【分析】由分层抽样方法列方程求解即可．【详解】设女生总人数为：x 人，由分层抽样的方法可得： 抽取女生人数为：804238-=人， 所以80382400x=，解得：1140x = 故选D【点睛】本题主要考查了分层抽样方法中的比例关系，属于基础题．4.已知3512a b a b ==⋅=，，，则向量a 在向量b 上的投影为（ ） A.125B. 3C. 4D. 5【答案】A 【解析】因为12a b ⋅=，设两向量的夹角为θ ，由向量数量积的几何意义有cos 12a b θ⋅=，所以1212cos 5a b θ==，即向量a 在向量b 上的投影为125，选A. 5.已知命题“:p x R ∀∈,211x +≥”的否定是（ ） A. 0x R ∃∈,2011x +≤ B. 0x R ∃∈,2011x +<C. x R ∀∈,211x +<D. x R ∀∈,211x +≤【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题与特称命题的关系,直接写出命题的否定即可. 【详解】解::p x R ∀∈,211x +≥所以0:p x R ⌝∃∈,2011x +<.故选:B【点睛】本题考查全称命题与特称命题的否定,属于基础题.6.若实数x ，y 满足约束条件220,20,30,x y x y x y -+≤⎧⎪+≤⎨⎪-+≤⎩则233z x y =-+的最大值为（ ）A. 8-B. 5-C. 2-D. 15-【答案】C 【解析】 【分析】利用约束条件画出可行域，然后利用目标函数的几何意义得最值.【详解】由题意，实数x ，y 满足约束条件2202030x y x y x y -+≤⎧⎪+≤⎨⎪-+≤⎩，如图：图中阴影部分由22030x y x y -+=⎧⎨-+=⎩，解得()4,1A --，目标函数233z x y =-+化为2133zy x =-+，由图可知当目标函数过()4,1A --时得最大值，此时()()max 243132z =⨯--⨯-+=-. 故选：C.【点睛】本题考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题.7.在ABC 中，已知45A ∠=︒，62AB =，且AB 边上的高为22，则sin C =（ ） A.10B.310C.10 D.210【答案】B 【解析】 【分析】由已知可求AD ，利用勾股定理可求AC ，由余弦定理可得BC ，进而根据正弦定理可得sin C 的值.【详解】∵在ABC 中，已知45A ∠=︒，62AB =，且AB 边上的高为22， ∴22AD =，224AC AD CD =+=，∴由余弦定理可得2222cos 16722462402BC AC AB AC AB A =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=， ∴由正弦定理sin sin AB BC C A=可得262sin 3102sin 1040AB A C BC ⨯⋅===. 故选：B.【点睛】本题主要考查了勾股定理，余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题. 8.函数()()22sin cos x xf x x x -=-的部分图象大致是（ ）A.B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性可以排除部分选项，再利用特殊值进行排除，可得正确结果. 【详解】因为()()()()22sin cos ()xx f x x x f x --=---=，所以()f x 是偶函数，排除选项A ；当(0,),()02x f x π∈>，排除选项D ； 当(,),()02x f x 3π∈π>，排除选项C ；故选：B.【点睛】本题主要考查函数图象的识别，利用函数的性质及特殊值，采用排除法是这类问题的常用方法，侧重考查直观想象的核心素养.9.已知函数()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若()()120f x f x +=.且120x x ≤，则12x x -的最小值为（ ） A.6πB.3π C.2π D.23π 【答案】B 【解析】 【分析】由条件可得12sin 2sin 233ππx x ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后可得1222233ππx x k π-+-=或1222,33ππx x k πk Z ⎛⎫⎛⎫---=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可分析出答案.【详解】因为()sin 23πf x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()()120f x f x +=，120x x ≤ 所以12sin 2sin 233ππx x ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1222233ππx x k π-+-=或1222,33ππx x k πk Z ⎛⎫⎛⎫---=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以123πx x k π+=+或12,2k x x k π-=∈Z 因为120x x ≤， 所以，若12,2k x x k π-=∈Z ，1x 、2x 一个取0，一个取2π时12x x -最小为2π， 若123πx x k π+=+，1x 、2x 一个取0，一个取3π时12x x -最小为3π，即12x x -的最小值为3π故选：B【点睛】本题主要考查的是三角函数的图象和性质，考查的核心素养是数学运算，属于中档题.10.已知双曲线22:14x C y -=，12,F F 分别为双曲线的左右焦点，00(,)P x y 为双曲线C 上一点，且位于第一象限，若三角形12PF F 为锐角三角形，则0y 的取值范围为（ ）A. ,)5+∞ B. )+∞ C. 1()52D.1(2 【答案】C 【解析】 【分析】因为P 位于第一象限，所以12PF F ∠恒为锐角，由21PF F ∠为锐角可得02x <<，01(0,)2y ∈，由12F PF ∠为锐角得120PF PF ⋅>，利用平面向量积可得答案.【详解】由2214x y -=得1(F 、2F ，因为P 位于第一象限，所以12PF F ∠恒为锐角，因为三角形12PF F 为锐角三角形，所以21PF F ∠为锐角，12F PF ∠为锐角，由21PF F ∠为锐角得025x <<，所以220011(0,)44x y =-∈，因为00y >，所以01(0,)2y ∈，由12F PF ∠为锐角得120PF PF ⋅>， 所以0000(5,)(5,)0x y x y ---⋅-->，所以2000(5)(5)0x x y ---+>， 所以220050x y +->，又220014x y -=，所以22004450y y ++->，即2015y >，又00y >，所以055y >， 综上所述：051(,)52y ∈. 故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，考查了平面向量数量积，考查了运算求解能力，考查了锐角三角形的概念，属于基础题.11.如图，在矩形ABCD 中，已知22AB AD a ==，E 是AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △，连接1A C .若当三棱锥1A CDE -的体积取得最大值时，三棱锥1A CDE -外接球的体积为82π，则a =（ ）A. 2 2 C. 22 D. 4【答案】B 【解析】 【分析】要想体积最大，需高最大，当1A DE ⊥△面BCDE 时体积最大，根据对应球的体积即可求解结论.【详解】在矩形ABCD 中，已知22AB AD a ==，E 是AB 的中点，所以1A DE ∆为等腰直角三角形； 斜边DE 上的高为22112222A K DE a a a '==+=, 要想三棱锥1A CDE -的体积最大；需高最大，则当1A DE ⊥△面BCDE 时体积最大， 此时三棱锥1A CDE -的高等于：22112222DE a a a =+=； 取DC 的中点H ，过H 作下底面的垂线；此时三棱锥1A CDE -的外接球球心在OH 上； 因为三棱锥1A CDE -外接球的体积为823π，可得348233R ππ=，解答2R =， 如图所示，222OH OC CH =-；①222A O A G GO ''=+；②即222R a OH -=；③2222222R a OH a ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④联立③④可得2a =；故选：B.【点睛】本题考查的知识要点：几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力及空间想象能力的应用，属于中档题型. 12.已知函数()()21cos 12f x ax x a R =+-∈，若函数()f x 有唯一零点，则a 的取值范围为（ ） A. (),2-∞ B. (][),01,-∞⋃+∞C. ()(),11,-∞+∞D. ()[),01,-∞+∞【答案】D 【解析】 【分析】求出()sin f x x ax '=-+，设()()sin g x f x x ax '==-+，则()cos g x x a '=-+，当1a ≥时，可知()g x 在R 上单调递增，()00g =，即可判断()f x 在[)0,+∞上为增函数，在(),0-∞上为减函数，由()0f x =，即可证明，当1a ≥时，()f x 有唯一的零点；然后验证0a =时，函数的零点的个数，判断选项即可. 【详解】因为()()sin f x x ax x R '=-+∈. 令()sin g x x ax =-+，则()cos g x x a '=-+，所以当1a ≥时，()cos 0g x x a '=-+≥，即()g x 在R 上单调递增， 又()0sin00g =-=，所以[)0,x ∈+∞，()0f x '≥，当(),0x ∈-∞，()0f x '<， 所以()f x 在[)0,+∞上为增函数，在(),0-∞上为减函数， 又()00f =，即当1a ≥时，()0f x ≥， 且当且仅当0x =，()0f x =， 故当1a ≥时，()f x 有唯一的零点； 排除A ，当0a =时，()cos 1f x x =-，令()0f x =，可得cos 1x =，有无数解，所以0a =，不成立，排除B ，C ， 故选：D.【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值的求法，考查转化思想，分类讨论思想的应用，属于中档题.二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知()6x a +的展开式中所有项系数和为64，其中实数a 为常数且0a <，则a =________. 【答案】3- 【解析】 【分析】由题得()61=64a +，解方程即得解.【详解】因为()6x a +的展开式中所有项系数和为64， 所以()661=642,12,1a a a +=∴+=±∴=（舍去）或3a =-. 所以3a =-.故答案为：3-. 【点睛】本题主要考查二项式展开式所有项的系数的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 14.已知2sin 2cos sin ,ααβ==且22ππαβ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，，，则()cos 2αβ+=______. 【答案】14- 【解析】 【分析】根据2sin2cos αα=化简可得sin α，由cos sin αβ=可得=2παβ+，利用诱导公式求()cos 2αβ+即可.【详解】由2sin2cos αα= 则4sin cos cos ααα=，因为22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以1sin ,0,42παα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，由cos sin 4αβ===2παβ+，所以()1cos 2sin 4αβα+=-=-. 【点睛】本题考查正弦的二倍角公式，诱导公式，角的变换，考查运算求解的能力，属于中档题.15.盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色相同外完全相同.从盒中一次随机取出4个球，设X 表示取出的三种颜色球的个数的最大数，则()3P X ==______.【答案】1363【解析】 【分析】由题意3X =表示抽出的4个球中有3个红球、1个其他色或者3个黄球、1个其他色，计算概率即可.【详解】当3X =时，随机取出4个球中有3个红球、1个其他色，共有314520C C ⋅=种取法，随机取出4个球中有3个黄球、1个其他色，共有31366C C ⋅=种取法，所以当取出的三种颜色球的个数的最大数为3时，共有20626+=种取法， 所以()49262613312663P X C ====, 故答案为：1363【点睛】本题主要考查了组合的实际应用，古典概型，考查了推理运算能力，属于中档题.16.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点(00,2p H x x ⎛⎫>⎪⎝⎭是抛物线C 上的一点，以H 为圆心的圆交直线2px =于A 、B 两点（点A 在点B 的上方），若7sin 9HFA ∠=，则抛物线C 的方程是_________. 【答案】24y x = 【解析】 【分析】根据点H 在抛物线上和7sin 9HFA ∠=，列方程组可解得0x 和，即可得出抛物线的方程.【详解】画出图形如下图所示，作HD AB⊥，垂足为D，由题意得点(00,22pH x x⎛⎫>⎪⎝⎭在抛物线C上，则0232px=①，由抛物线的定义，可知02pDH x=-，因为7sin9HFA∠=，所以，77992pDH HF x⎛⎫==+⎪⎝⎭，所以007292p px x⎛⎫-=+⎪⎝⎭，解得04x p=②，由①②解得048x p==-（舍去）或48x p==，故抛物线C的方程为24y x=．故答案为：24y x=.【点睛】本题考查抛物线的定义，利用抛物线的定义进行线段的转化是关键，考查方程思想的应用，属于中等题.三、解答题（共70分.解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22、23选做其中一道题）17.已知数列{}n a的前n项和为n S，且满足12a=，12n nS a+=-.（1）求数列{}n a的通项公式；（2）数列{}n b满足22log1n nb a=+，记数列{}n b的前n项和为n T，求证:123111134nT T T T++++< .【答案】（1）2nna=；（2）证明见解析【解析】 【分析】（Ⅰ）根据n S 与n a 的关系，可得12n n a a +=，从而判断{}n a 为等比数列，利用等比数列的通项公式即可求解.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，22log 121n n b a n =+=+，利用等差数列的求和公式可得()2n T n n =+，再利用裂项求和法可求出11nk kT =∑，令()31114212f n n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭，根据11012n n +>++，利用不等式的性质得到结果. 【详解】（1）因为12n n S a +=-，① 当2n ≥时，12n n S a -=-，② 由①-②得1n n n a a a +=-，即12n n a a +=，当1n =时，2124a a =+=，21422a a ==， 所以数列{}n a 为等比数列，其首项为12a =，公比为2，所以112n nn a a q -==；（2）由（1）得，22log 121n n b a n =+=+， 所以()2n T n n =+， 所以()11111222k T k k k k ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 11111111111...2324112nk k T n n n n =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑. 31114212n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭因为11012n n +>++所以1134nk kT =<∑. 【点睛】本题考查了n S 与n a 的关系、等比数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式、裂项求和法以及证明不等式，综合性比较强，属于中档题.18.如图，底面ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，CF ∥DE ，3DE CF =，BE 与平面ABCD 所成的角为45．（1）求证：平面ACE ⊥平面BDE ； （2）求二面角F BE D --的余弦值． 【答案】（1）见解析；（219【解析】 【分析】（1）DE⊥平面ABCD ，可得到DE⊥AC，又因为底面为正方形所以得到AC⊥BD，进而得到线面垂直;(2)建立坐标系得到面BEF 和面BDE 的法向量，根据法向量的夹角的求法得到夹角的余弦值，进而得到二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：DE⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ．∴DE⊥AC．又底面ABCD 是正方形，∴AC⊥BD，又BD∩DE=D， ∴AC⊥平面BDE ，又AC ⊂平面ACE ，∴平面ACE⊥平面BDE ．（2）以D 为坐标原点，DA 、DC 、DE 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示，BE与平面ABCD所成的角为45°，即∠EBD=45°，∴DE=BD=2AD=32，CF=DE=2．∴A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），E（0，0，32），F（0，3，2），∴ =（﹣3，0，2）， =（0，3，22-），设平面BEF的一个法向量为 =（x，y，z），则，即3203220x zy z⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，令z=32，则 =（2，4，32）．又AC⊥平面BDE，∴=（﹣3，3，0）为平面BDE的一个法向量．∴cos＜＞=3832⋅19．∴二面角F﹣BE﹣D 19．【点睛】本题考查平面和平面垂直的判定和性质．在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直，或者可以通过建系的方法求两个面的法向量使得两个面的法向量互相垂直即可.19.在疫情这一特殊时期，教育行政部门部署了“停课不停学”的行动，全力帮助学生在线学习.复课后进行了摸底考试，某校数学教师为了调查高三学生这次摸底考试的数学成绩与在线学习数学时长之间的相关关系，对在校高三学生随机抽取45名进行调查.知道其中有25人每天在线学习数学的时长是不超过1小时的，得到了如下的等高条形图：（1）是否有99%的把握认为“高三学生的这次摸底考试数学成绩与其在线学习时长有关”；（2）将频率视为概率，从全校高三学生这次数学成绩超过120分的学生中随机抽取10人，求抽取的10人中每天在线学习时长超过1小时的人数的数学期望与方差.【答案】（1）没有99%的把握认为“高三学生的这次摸底成绩与其在线学习时长有关”；（2）()6E X=，() 2.4D X=【解析】【分析】（1）根据题目数据列出22⨯列联表，计算2K，与临界值比较即可得出结论；（2）由在线时长超过1小时的频率代替概率，可知在线时长超过1小时的人数()~10,0.6X B，根据二项分布求出期望和方差.详解】（1）依题意，得22⨯列联表在线学习时长数学成绩120≤分120>分合计1≤小时15 10 25 1>小时 5 15 20 合计20 25 45∵2245(1515510)4415.51256.6352025252080K ⨯-⨯===<⨯⨯⨯∴没有99%的把握认为“高三学生的这次摸底成绩与其在线学习时长有关”； （2）从上述22⨯列联表中可以看出：这次数学成绩超过120分的学生中每天在线学习时长超过1小时的频率为150.625=， 则()~10,0.6X B ， ∴()100.66E X =⨯=，()()100.610.6 2.4D X =⨯⨯-=.【点睛】本题主要考查了独立性检验，二项分布，期望、方差，考查了数学知识在实际问题中的应用，属于中档题.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b =>>+的离心率为3，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点M 为椭圆上位于第一象限内一动点，, A B 分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB 与x 轴交于点C ，直线MA 与轴交于点D ，求证：四边形ABCD 的面积为定值．【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（2）见解析. 【解析】 【分析】(1)根据题目所给的条件得到2222221c ab a a bc ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解出参数值即可；（2）12ABCD S AC BD =⋅⋅分别设出直线AM 和BM 求出点B ，D 的坐标，并表示出AC ，BD 的长度，代入面积公式化简即可.【详解】（Ⅰ）由已知可得：2222221c ab a a bc ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得：21a b =⎧⎨=⎩； 所以椭圆C 的方程为：2214x y +=．（Ⅱ）因为椭圆C 的方程为：2214x y +=，所以()2,0A -，()0,1B -．设()(),0,0M m n m n >>，则2214m n +=，即2244m n +=．则直线BM 的方程为：11n y x m +=-，令0y =，得1C mx n =+； 同理：直线AM 的方程为：()22n y x m =++，令0x =，得22D ny m =+． 所以()()()2221121212212221ABCDm n m n S AC BD n m m n ++=⋅⋅=⋅+⋅+=⋅++++22144448144882222222m n mn m n mn m n mn m n mn m n ++++++++=⋅=⋅=++++++． 即四边形ABCD 的面积为定值2．【点睛】圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点，一般难度较大，计算较复杂，考查较强的分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向. 21.已知函数()2xf x e x =-.(Ⅰ)求曲线()f x 在1x =处的切线方程；(Ⅱ)求证：当0x >时，()21ln 1x e e x x x+--≥+.【答案】（Ⅰ）()2 1.y e x =-+；(Ⅱ)见解析． 【解析】试题分析：（1）则导数的几何意义可求得曲线()f x 在1x =处的切线方程．（2）由（1）当0x >时，()()21,f x e x ≥-+，即()221xe x e x -≥-+， x e +()221e x x--≥,只需证,()21 x e e x x+--≥x ln 1x ≥+试题解析：（Ⅰ）()'2xf x e x =-， 由题设得()'12f e =-，()11f e =-，()f x 在1x =处的切线方程为()2 1.y e x =-+(Ⅱ)()'2xf x e x =-，()''2xf x e =-，∴()'f x 在()0,ln2上单调递减，在()ln2,+∞上单调递增，所以()()''ln222ln20f x f ≥=->，所以()f x 在[]0,1上单调递增，所以()()[]max 11,0,1f x f e x ==-∈.()f x 过点()1,1e -，且()y f x =在1x =处的切线方程为()21y e x =-+，故可猜测：当0,1x x >≠时，()f x 的图象恒在切线()21y e x =-+的上方.下证：当0x >时，()()21,f x e x ≥-+设()()()21,0g x f x e x x =--->，则()()()'22,''2xxg x e x e g x e =---=-，()'g x 在()0,ln2上单调递减，在()ln2,+∞上单调递增，又 ()()'030,'10,0ln21g e g =->=<<，∴()'ln20g <，所以，存在()00,12x n ∈，使得()0'0g x =，所以，当()()00,1,x x ∈⋃+∞时，()'0g x >；当()0,1x x ∈时，()'0g x <，故()g x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在()1,+∞上单调递增，又()()010g g ==，∴()()2210xg x e x e x =----≥，当且仅当1x =时取等号，故()21,0x e e x x x x+--≥>. 又ln 1x x ≥+，即()21ln 1x e e x x x+--≥+，当1x =时，等号成立.【点睛】解本题的关键是第（1）结论对第（2）问的证明铺平了路，只需证明()21x e e x x+--≥x ln 1x ≥+．所以利用导数证明不等式时，要进行适当的变形，特别是变形成第（1）问相似或相同形式时，将有利于快速证明．22.在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()23πρθ+=.（1）求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；（2）直线l 与x 轴的交点为P ，经过点P 的直线m 与曲线C 交于,A B两点，若||||PA PB +=m 的倾斜角.【答案】(1) 226x y +=，40x -= (2)6π或56π. 【解析】 【分析】（1）利用22sin cos 1αα+=消去参数化曲线C 为普通方程，运用cos ,sin x y ρθρθ==，即可化直线l 极坐标方程为直角坐标方程；（2）将直线方程化为具有几何意义的参数方程，代入曲线C 方程，利用根与系数关系结合直线参数的几何意义，即可求解.【详解】（1）曲线C 的普通方程为226x y +=，因为cos()23πρθ+=，所以cos sin 40ρθθ-=，直线l的直角坐标方程为40x -=. （2）点P 的坐标为(4,0)， 设直线m 的参数方程为4cos sin x t y t θθ=+⎧⎨=⎩（t 为参数，θ为倾斜角），联立直线m 与曲线C 的方程得28cos 100t t θ++=.设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则121228cos 1064cos 400t t t t θθ+=-⎧⎪=⎨⎪∆=->⎩，所以1212||||||||||8|cos |PA PB t t t t θ+=+=+==，得cos θ=，且满足>0∆， 故直线m 的倾斜角为6π或56π. 【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程和直角坐标方程互化，考查直线参数方程参数灵活应用，属于中档题.23.已知函数()()0,0f x x a x b a b =-++>>.（Ⅰ）若1a b ==时，解不等式()2f x x ->；（Ⅱ）若()f x 的值域是[)4,+∞，若1111k a b +≥++恒成立，求k 的最大值. 【答案】（Ⅰ）{2x x 或}0x ≤（Ⅱ）23 【解析】【分析】（Ⅰ）先根据绝对值定义将函数化为分段函数形式，再分类列不等式，最后解不等式求结果; （Ⅱ）先根据绝对值三角不等式得()f x 的最小值，根据条件可得4a b +=，再利用1的代换求1111a b +++最小值，即得k 的取值范围，进而可得结果. 【详解】解：（Ⅰ）∵1a =，1b =∴()2,1112,112,1x x f x x x x x x ≥⎧⎪=-++=-<<⎨⎪-≤-⎩当1x ≥时，()2f x x ->化为2x >，不等式的解为2x >；当11x -<<时，()2f x x ->化为220x x ->⇒<，不等式的解为10x -<<；当1x ≤-时，()2f x x ->化为2323x x ->⇒<-，所以不等式的解为1x ≤-；综上所述，不等式的解集为{2x x 或}0x ≤（（Ⅱ）∵()|||||()()|||f x x a x b x a x b a b =-++≥--+=+，当且仅当()()0x a x b -+≤时取“=”号又()f x 的值域是[)4,+∞， ∵4a b +=，∵0a >，0b >.∴∴4116a b a b +=⇒+++=∵()1111112241111a b a b a b b a ++⎛⎫⎛⎫+++⋅+=++≥+≥⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ （当且仅当1111b a a b ++=++，即2a b ==时取“=”号） ∴112113a b +≥++，当且仅当2a b ==时取“=”号. 又1111k a b +≥++恒成立，∴23k ≤ ∴k 的最大值是23【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式、根据绝对值三角不等式求最值以及利用基本不等式求最值，考查综合分析与求解能力，属中档题.。

江西省上饶市2020年高考数学二模试卷（理科）（解析版）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1．设U=R，已知集合A={x|x＞1}，B={x|x＞a}，且（∁U A）∪B=R，则a的范围是（）A．（﹣∞，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1]D．[1，+∞）2．（5分）（2016广州模拟）已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（）A．3+4i B．5+4i C．3﹣4i D．5﹣4i3．设随机变量ξ服从正态分布N（3，4），若p（ξ＜2a﹣1）=p（ξ＞a+2），则a=（）A．B．C．D．24．已知数列{a n}满足a n+1+a n=n，若a1=2，则a8﹣a4=（）A．4 B．3 C．2 D．15．双曲线﹣y2=1的右顶点到该双曲线一条渐近线的距离为（）A．B．C．D．16．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为3的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．B．C．9﹣D．27﹣7．已知函数f（x）=4﹣x+2x与g（x）=4x+2﹣x﹣m的图象上存在关于x轴对称的点，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣]B．（﹣2，+∞）C．[﹣，+∞）D．[4，+∞）8．（5分）（2016洛阳二模）若如图所示的程序框图输出的S是126，则条件①可以为（）A．n≤5 B．n≤6 C．n≤7 D．n≤89．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，M是抛物线C上一点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为9π，则p=（）A．2 B．4 C．6 D．810．若（x﹣a）2（﹣1）4的展开式中常数项为15，则a的值为（）A．1 B．8 C．﹣1或9 D．1或﹣911．已知四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在球O的球面上，底面ABCD是矩形，平面PAD 垂直于平面ABCD，在△PAD中，PA=PD=2，∠APD=120°，AB=4，则球O的表面积等于（）A．16πB．20πC．32πD．36π12．设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0）处的切线方程为l：y=g（x），当x ≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”，则f （x）=lnx+2x2﹣x的“类对称点”的横坐标是（）A．e B．C．D．二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分）13．已知向量=（m，3），=（1，2），且∥，则实数m的值为．14．已知变量x，y满足，则的最小值为．15．已知函数f（x）=，若f（2﹣a）＞f（2a），求a的取值范围为．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，对任意n∈N*，S n=（﹣1）n a n++2n﹣6且（a n+1﹣p）（a n﹣p）＜0恒成立，则实数p的取值范围是．三、简答题(本大题共5小题，共70分。

绝密★启用前江西省上饶市普通高中2020届高三毕业班下学期第三次高考模拟考试数学(理)试题2020年6月1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效。

第I卷一、选择题：共12小题，每小题5分,共60分。

在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A＝<2},B＝{x|x≤5},则A∩B＝A.{x|x≤5}B.{x|3≤x≤5}C.{x|3≤x<7}D.{x|3<x≤5}2.设复数z满足zi＝1＋2i(为虚数单位),则z在复平面内所对应的点所在的象限是A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限1)5的展开式中1x项的系数为A.－5B.－10C.5D.104.执行如图的程序框图,若输入x,则输出的值为A.5B.7C.9D.155.若1sin()63πα+=,则5sin(2)6πα+=A.79B.13C.89D.236.已知等差数列{a n}的前项和为S n,且2783622011a a aa a++=+,则118SS=A.37B.16C.511D.547.将曲线x2＋y2＝|x|＋|y|围成的区域记为I,曲线|x|＋|y|＝1围成的区域记为II,在区域I中随机取一点,此点取自区域II的概率为A.12π+B.11π+C.22π+D.21π+8.在明代珠算发明之前,我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具来记数、列式和计算。

算筹实际上是一根根相同长度的小木棍,算筹有纵式和横式两种,如图是利用算筹表示1～9的数字,表示多位数时,个位用纵式,十位用横式,百位用纵式,千位用横式,以此类推,例如,137可以用7根小木棍表示“”,则用6根小木棍(要求用完6根)能表示不含“0”且没有重复数字的三位数的个数是A.12B.18C.24D.279.已知函数f(x)＝－x2＋2＋cos2x(x∈[－π,π]),则不等式f(x＋1)－f(2)>0的解集为。

横峰中学2020届高三适应性考试数学（理科）考试时间：120分钟一、选择题：（本题包括12小题，共60分，每小题只有一个选项符合题意）1．设集合{}220A x x x =--≤，{}3log1B x x =≤，则A B =( )A ．[]1,2-B ．(]0,1C ．(]0,2D ．[]1,32．已知复数()z i a i =-（i 为虚数单位，a R ∈），若12a <<，则z 的取值范围为（ ）A ．(2,5B ．)2,2C ．(5D ．()1,23．某中学高二年级共有学生2400人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，若样本中共有男生42人，则该校高二年级共有女生（ ） A ．1260B ．1230C ．1200D ．11404．已知3,5,12a b a b ==⋅=，则向量a 在向量b 上的投影为（ ）A ．125B ．3C ．4D ．55．已知命题“:p x R ∀∈,211x +≥”的否定是（ ）A ．0x R ∃∈,2011x +≤B ．0x R ∃∈,2011x +<C ．x R ∀∈,211x +<D ．x R ∀∈,211x +≤6．若实数x ，y 满足约束条件220,20,30,x y x y x y -+≤⎧⎪+≤⎨⎪-+≤⎩则233z x y =-+的最大值为（ ）A ．8-B ．5-C ．2-D ．15-7．在ABC ∆中，已知45A ∠=︒，62AB =，且AB 边上的高为22sin C =（ ）A 10B 310C 10D 2108．函数()()22sin cos x xf x x x -=-的部分图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若()()120f x f x +=.且120x x ≤，则12x x -的最小值( ) A ．6π B ．3π C ．2π D ．23π 10．已知双曲线22:14x C y -=，12,F F 分别为双曲线的左右焦点，00(,)P x y 为双曲线C 上一点，且位于第一象限，若三角形12PF F 为锐角三角形，则0y 的取值范围为（ ）A ．5)+∞ B ．25()+∞ C ．51)2D ．125(211．如图，在矩形ABCD 中，已知22AB AD a ==，E 是AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻折成1A DE △，连接1A C .若当三棱锥1A CDE -的体积取得最大值时，三棱锥1A CDE -外接82，则a =（ ） A ．2 B 2 C ．2D ．412．已知函数()()21cos 12f x ax x a R =+-∈，若函数()f x 有唯一零点，则a 的取值范围为A ．(),2-∞B ．(][),01,-∞⋃+∞C ．()(),01,-∞⋃+∞D ．()[),01,-∞⋃+∞二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知()6x a +的展开式中所有项系数和为64，其中实数a 为常数且0a <，则a =________.14．已知2sin 2cos sin ,ααβ==且22ππαβ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，，，则()cos 2αβ+=______. 15．盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色相同外完全相同.从盒中一次随机取出4个球，设X 表示取出的三种颜色球的个数的最大数，则()3P X ==____.16．已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点(00,22p H x x ⎛⎫>⎪⎝⎭是抛物线C 上的一点，以H 为圆心的圆交直线2px =于A 、B 两点（点A 在点B 的上方），若7sin 9HFA ∠=，则抛物线C 的方程是_________. 三、解答题（共70分。

【关键字】适应江西省横峰中学2016年五月份适应性考试试卷高三数学（理）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷选择题（共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，则（）A． B．C．D．R2.若复数满足，是虚数单位，则的虚部为（）A. B. C. D.3.在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直线y＝—x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为 ( )A.－1 B．0 C.— D．14.若，，则的值为（）A．B．C．D．5.如图，在圆心角为直角的扇形OAB区域中，M、N分别为OA、OB的中点，在M、N两点处各有一个通信基站，其覆盖范围分别为以OA、OB为直径的圆，在扇形OAB内随机取一点，则此点无信号的概率是（）A．1﹣B．+ C．﹣D．6.执行如图所示的程序框图，输出，那么判断框内应填（）A．B．C．D．7.的展开式中的系数等于（）A．-48 B．48 C．234 D．4328.已知函数（，，均为正的常数）的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（）A . B.C. D .9.已知点是边长为2的正方形ABCD的内切圆内（含边界）的一动点，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）10.过双曲线的右焦点作直线的垂线,垂足为,交双曲线的左支于点,若,则该双曲线的离心率为（）A. B.2 C. D.11.如图所示，圆为正三角形的内切圆，为圆上一点，向量，则的取值范围为（）A．B．C．D．12.已知函数，对，使得，则的最小值为( )A . B．C．D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知展开式的常数项是，则由曲线和围成的封闭图形的面积为________.14.不等式组表示的平面区域内的点都在圆内，则的最小值是_______．15.已知边长为的菱形中，，沿对角线折成二面角为的四面体，则四面体的外接球的表面积为________．16.已知数列的前项和为且成等比数列，成等差数列，则等于.三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.在中，角的对边分别是，若（1）求角；（2）若，，求的面积．18. “开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40（单位：岁），其猜对歌曲名称与否的人数如图所示． （1）写出2×2列联表；判断是否有90%的把握认为猜对歌曲名称是否与年龄有关；说明你～40）用分层抽样的方法选取6名选手，并抽取3名幸运选手，记3名幸运选手中年龄在20～30岁之间的人数为X ，求X 的分布列及期望． （参考公式：．其中．）19. 如图1，在边长为4的菱形中，，于点，将沿折起到的位置，使，如图2. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值；（3）判断在线段上是否存在一点，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由 20. 已知为曲线: 的弦且轴，左，右顶点为，①直线 与交于S ，求点S 的轨迹的方程。

2020年江西省上饶市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，，则A. B. C. D.2.设复数z满足为虚数单位，则z在复平面内所对应的点所在的象限是A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.的展开式中项的系数为A. B. C. 5 D. 104.执行如图的程序框图，若输入，则输出的y值为A. 5B. 7C. 9D. 155.若，则A. B. C. D.6.已知等差数列的前n项和为，且，则A. B. C. D.7.将曲线围成的区域记为Ⅰ，曲线围成的区域记为Ⅱ，在区域Ⅰ中随机取一点，此点取自区域Ⅱ的概率为A. B. C. D.8.在明代珠算发明之前，我们的先祖从春秋开始多是用算筹为工具来记数、列式和计算．算筹实际上是一根根相同长度的小木棍，算筹有纵式和横式两种，如图是利用算筹表示的数字，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推，例如，137可以用7根小木棍表示“”，则用6根小木棍要求用完6根能表示不含“0”且没有重复数字的三位数的个数是A. 12B. 18C. 24D. 279.已知函数，则不等式的解集为A. B.C. D.10.半径为2的球O内有一个内接正三棱柱，则正三棱柱的侧面积的最大值为A. B. C. D.11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作斜率为的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A、B两点，若，则双曲线的离心率为A. 2B.C.D.12.已知函数和函数，关于这两个函数图象的交点个数，下列四个结论：当时，两个函数图象没有交点；当时，两个函数图象恰有三个交点；当时，两个函数图象恰有两个交点；当时，两个函数图象恰有四个交点．正确结论的个数为A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.对于正在培育的一颗种子，它可能1天后发芽，也可能2天后发芽，，如表是20颗不同种子发芽前所需培育的天数统计表，则这组种子发芽前所需培育的天数的众数是______中位数是发芽前所需培育天1234567数种子数4335221014.若实数x，y满足条件，则的最大值为______．15.在扇形OAB中，，C为弧上的一个动点．若，则的取值范围是______．16.正方形ABCD的两个顶点A，B在直线上，另两个顶点C，D分别在直线，上，那么正方形ABCD的边长为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，C为锐角．求角C的大小；若，点D为边BC上的动点不与C点重合，设，求的取值范围．18.如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，点M是棱PD的中点．求证：平面PAB；求二面角的大小．19.为了释放学生压力，某校高三年级一班进行了一个投篮游戏，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛每人各投一次为一轮在相同的条件下，每轮甲乙两人站在同一位置上，甲先投，每人投一次篮，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得分；两人都命中或都未命中，两人均得0分．设甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且各次投篮互不影响．经过1轮投篮，记甲的得分为X，求X的分布列及期望；若经过n轮投篮，用表示第i轮投篮后，甲的累计得分低于乙的累计得分的概率．求，，；规定，经过计算机模拟计算可得，请根据中，，值求出a，b的值，并由此求出数列的通项公式．20.已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C上的点到准线的最小距离为1．求抛物线C的方程；若过点F作互相垂直的两条直线、，与抛物线C交于A，B两点，与抛物线C交于C，D两点，M，N分别为弦AB，CD的中点，求的最小值．21.已知函数．讨论函数的单调区间情况；若函数有且只有两个零点，，证明：．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数，将曲线C上各点纵坐标伸长到原来的2倍横坐标不变，得到曲线以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．写出曲线的极坐标方程与直线l的直角坐标方程；曲线上是否存在不同的两点，以上两点坐标均为极坐标，，，，，使点M、N到l的距离都为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．23.设函数．若，求实数a的取值范围．证明：对于任意的，成立．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：，，．故选：B．可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法的定义，交集的运算，不等式的性质，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：D解析：解：因为，所以，复数z在复平面内所对应的点在第四象限．故选：D．直接由已知的复数整理得到其在复平面内对应点的坐标得答案．本题考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.答案：B解析：解：的展开式的通项为：，令，求得，故．展开式中项的系数，故选：B．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于，求出r的值，即可求得展开式中项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．4.答案：D解析：解：模拟程序的运行，可得，，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，满足条件，执行循环体，，不满足条件，退出循环，输出y的值为15．故选：D．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5.答案：A解析：解：由，则．故选：A．利用诱导公式和二倍角公式，计算即可．本题考查了诱导公式和二倍角公式应用问题，是基础题．6.答案：D解析：解：，，．故选：D．利用等差数列的通项公式、求和公式及其性质即可得出．本题考查了等差数列的通项公式、求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7.答案：C解析：解：曲线、曲线围成的区域Ⅰ、Ⅱ，如图：可知区域Ⅰ的面积为区域Ⅱ的面积为；由几何概率公式得：．故选：C．分别求出各自对应的面积，进而求得结论．本题考查了几何概型的概率问题，关键是求出对应的面积，属于中档题．8.答案：C解析：解：数字7、2、1组成6个，数字7、6、1组成6个，数字6、3、1组成6个，数字3、2、1组成6个，共24个符合要求的三位数，故选：C．分4种情况讨论即可求出结果．本题主要考查了合情推理中的归纳推理，是基础题．9.答案：C解析：解：根据题意，函数，有，故为偶函数，在区间上，函数和函数都是减函数，则函数在区间上是减函数，则．变形可得，且，解可得，即不等式的解集为，故选：C．根据题意，分析可得为偶函数且在区间上是减函数，据此可得原不等式等价于，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题．10.答案：B解析：解：如图所示，设正三棱柱上下底面的中心分别为，，底面边长与高分别为x，h，则，在中，，化为，，．当且仅当，即时取等号，此时．故选：B．由题意画出图形，设底面边长与高分别为x，h，利用直角三角形边的关系把h用含有x的代数式表示，写出侧面积的平方，利用基本不等式求侧面积平方的最值，则答案可求．本题考查棱柱侧面积的求法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．11.答案：D解析：解：如图，取AB中点M，连结，，，设，，，又，，，，，由勾股定理，知，即，解得，，，即，化简得，离心率．故选：D．取AB中点M，连结，则，设，由双曲线的定义可知，，，所以，，，由勾股定理，知，将所得结论代入进行运算可得，，再由，化简即可得离心率的值．本题考查双曲线的定义和基本几何性质，还涉及勾股定理、直线斜率与倾斜角之间的关系等基础知识点，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．12.答案：D解析：解：两个函数图象交点个数只须考察方程的解的个数，即方程的解的个数，令，当时，，，所以在上为增函数，值域为；当时，，，由，得．当时，，为增函数；当时，，为减函数；当时，，函数在上有最大值为，令，方程，化为，当时，方程无解，原方程无解，两个函数图象无交点；当时，方程有唯一解，，原方程有唯一解，两个函数图象恰有一个交点；当时，方程有两解，，原方程有两解，两个函数图象恰有两个交点；当时，方程有两解，，原方程有三解，两个函数图象恰有三个交点；当时，方程有两解，，原方程有四解，两个函数图象恰有四个交点．故选：D．通过函数的交点个数，转化为方程的解的个数，构造函数，利用函数的导数，求解函数的单调性，判断函数的极值，通过a的范围判断函数的零点个数，然后判断选项的正误即可．本题考查函数的导数的应用，函数的零点以及方程根的关系，考查转化思想以及分类讨论思想的应用，是难题．13.答案：4解析：解：由图中数据可知，该20颗种子发芽天数从小到大排列为：1、1、1、1、2、2、2、3、3、3、4、4、4、4、4、5、5、6、6、7；众数是4，中位数为．故答案为：4，．把数据列出来，根据众数以及中位数的定义求解即可．本题考查参观人数的中位数、众数的求法，是基础题．14.答案：13解析：【分析】本题考查的知识点是简单线性规划的求最值问题，属基础题．画出约束条件对应的平面区域，再求出对应的平面区域顶点的坐标，分别代入目标函数，比较目标函数值即可得到其最优解．【解答】解：实数x，y满足条件，对应的可行域如下图所示：由，解得，时，目标函数经过时，目标函数取得最大值：，故的最大值为：13；故答案为：13．15.答案：解析：解：如图所示，过点C作，交OA于E，再作，交OB于F，可得四边形OECF是平行四边形，x、y均为正数且中x的系数较大，当点C沿AB弧由A向B运动的过程中，变短而变长．当C与A重合时，达到最大而达到最小，此时有最大值为2；当C与B重合时，达到最小而达到最大，此时有最小值为1．即的取值范围是故答案为：．如图所示，过点C作，交OA于E，再作，交OB于F，利用向量的平行四边形法则可得：，对x，y的取值变化情况即可得出．本题考查了向量的平行四边形法则、函数的性质，属于中档题．16.答案：或解析：解：设因为；可设直线CD的方程为联立，得联立，得，又直线AB与CD的距离为，，解得或，正方形的边长为即为：或．故答案为：或．设出直线CD的方程为，与已知联立求得C，D的坐标以及CD的长，结合平行线间的距离公式求出m，进而求得结论．本题考查两平行直线的距离公式的运用以及直线方程的设法，考查运算能力，属于基础题．17.答案：解：，，，，为锐角，，，．由，可知，在中，，，，，．解析：利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合C为锐角，，可求C的值．由，可知，在中由正弦定理可得，由，可得，从而可求的取值范围．本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题．18.答案：解：如图，取AP的中点E，连接BE、EM．是PD的中点，，，又，，所以，，四边形BCME为平行四边形，，又平面PAB，平面PAB，平面PAB．在平面ABCD内过点A作AD的垂线Ax，由题意知PA，Ax，AD两两垂直，以A为坐标原点，Ax，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知，，，可得0，，，2，，，，设平面MAC的法向量为，则由，即，令，则，，为平面MAC的一个法向量．底面ABCD，可取平面ACD的一个法向量为，，二面角为锐二面角，二面角的大小为．解析：取AP的中点E，连接BE、推导出四边形BCME为平行四边形，，由此能证明平面PAB．在平面ABCD内过点A作AD的垂线Ax，由题意知PA，Ax，AD两两垂直，以A为坐标原点，Ax，AD，AP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的大小．本题考查线面平行的证明，考查二面解的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：的可能取值为，0，1．；；．X01P期望即经过1轮投篮，甲得分的期望为分．由知，经过两轮投球，甲的累计得分低于乙的累计得分的有两种情况：一是甲两轮都得分为分：二是两轮中甲一轮得0分，另一轮得分．．经过三轮投球，甲累计得分低有四种情况：；；；．将，，，的值分别代入，得得，．，即又，所以是首项、公比都是的等比数列．，，数列的通项公式为．解析：的可能取值为，0，利用相互独立及其互斥事件概率计算公式即可得出．由知，经过两轮投球，甲的累计得分低于乙的累计得分的有两种情况：一是甲两轮都得分为分：二是两轮中甲一轮得0分，另一轮得分．利用相互独立与互斥事件的概率计算公式即可得出．经过三轮投球，甲累计得分低有四种情况：；；；同理可得其概率．将，，，的值分别代入，得，解得，可得，即，利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．本题考查了相互独立及其互斥事件概率计算公式、随机变量的分布列、数学期望、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.答案：解：抛物线C上的点到准线的最小距离为1，，解得，抛物线C的方程为：；由可知焦点为，由已知可得，两直线AB，CD的斜率都存在且均不为0，设直线AB的斜率为k，则直线CD的斜率为，直线AB的方程为，联立方程，消去x得：，设点，，则，为弦AB的中点，所以，由，得，点，同理可得：，，，，当且仅当，即，等号成立，的最小值为8．解析：由抛物线C上的点到准线的最小距离为1可得，从而求出抛物线C的方程；由题意可知两直线AB，CD的斜率都存在且均不为0，设直线AB的斜率为k，则直线CD的斜率为，所以直线AB的方程为，与抛物线方程联立，利用韦达定理可得点M的坐标，同理可得点N的坐标，利用两点间距离公式表达出，，再利用基本不等式即可求出的最小值．本题主要考查了抛物线方程，以及直线与抛物线的位置关系，是中档题．21.答案：解：的定义域为，，当时，在上递减，在上递增；当时，在上，，在上，，在上递减，在和上分别递增；当时，在上，，在上，，在和上分别递减，在上递增．证明：由可知，当时，在上递减，在和上分别递增，在上，当时，，当时，，在上有且只有一个零点；在上，当时，，当时，，为使有且只有两个零点，则在上有且只有一个零点，则须在的最大值，可得，零点；而当时，，，，，，，，，另一个零点满足：，，由可知，当时，在和上分别递减，在上递增，在上，当时，，当时，，在上有且只有一个零点；在上，当时，，当时，，为使有且只有两个零点，则在上有且只有一个零点，则须在的最大值，可得，零点；而当时，，，，由上面证明可知，，另一个零点满足：，，综上可知，．解析：求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；时，在上有且只有一个零点，则须在的最大值，可得，零点；再求出，证明结论即可；时，在的最大值，可得，零点；再求出，证明结论即可．本题考查了函数的单调性、零点问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，是一道综合题．22.答案：解：由曲线C的参数方程为为参数可得其直角坐标方程为，将曲线C上各点纵坐标伸长到原来的2倍横坐标不变，根据得到曲线的直角坐标方程为，其极坐标方程为，又直线l的极坐标方程为，故其直角坐标方程为；曲线是以O为圆心，2为半径的圆，圆心O到直线l的距离为，，存在这样的点M，N，，且点O到直线MN的距离为，，又，，，，．解析：直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用点到直线的距离公式的应用和存在法的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：，，可化为，等价为或或，解得或或，则a的范围是或；证明：要证恒成立，即证恒成立，也就是证明恒成立．的最大值为1，即证．成立，当且仅当时，取得等号．原结论成立．解析：由题意可得，再由零点分区间法和绝对值的意义，去绝对值，解不等式，即可得到所求范围；运用分析法证明，结合余弦函数的性质和绝对值的性质，即可得证．本题考查绝对值不等式的解法和性质的运用，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和分析法，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。

横峰中学2021届高考数学理科适应性考试卷创 作人：历恰面 日 期： 2020年1月1日本套试卷分为第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕两局部． 第I 卷1至2页，第二卷3至8页．在在考试完毕之后以后，将本套试卷和答题卡一起交回．祝各位考生考试顺利！第I 卷考前须知：1．答第I 卷前，所有考生必须将本人的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．2．每一小题在选出答案以后，用铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．一.选择题: 此题一共12小题，每一小题5分，一共60分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符 合题目要求的．1． 设全集}|{},0|{,2x x x N x x M R U ≥=>==集合，那么以下关系中正确的选项是〔 〕 A ．M N M ∈ B ．M N M ⊆C ．R N M =D ．〔 U M 〕N =2. 当z 2时，z 100＋z 50＋1的值等于〔 〕 A . 1 B. －1 C. i D. －i3． 假设直线1:1:22=+=+y x C by ax l 与圆有两个不同交点，那么点P 〔a ，b 〕与圆C的位置关系是A ．点在圆上B ．点在圆内C ．点在圆外D ．不能确定 ( )4．等差数列6427531,4,}{a a a a a a a a n ++=+++则中= 〔 〕A ．3B ．4C ．5D ．65．设命题p ：假设001:;11,<⇔<<>ab bq b a b a 则. 给出以下四个复合命题： ①p 或者q ；②p 且q ；③ p ；④ q ，其中真命题的个数有 〔 〕A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个6．为了得到函数)32sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2sin =的图象〔 〕A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移6π个单位长度C ．向右平移3π个单位长度D ．向左平移3π个单位长度7．两个平面α与β相交但不垂直，直线m 在平面α内，那么在平面β内 〔 〕A ．一定存在与直线m 平行的直线B ．一定不存在与直线m 平行的直线C ．一定存在与直线m 垂直的直线D ．不一定存在与直线m 垂直的直线8．假设352222=--++→x x a x x lin n ，那么a 的值是〔 〕 A ． 2B ． -2C ． 6D ． -69．假设函数()321f x ax a =-+在区间[]1,1-上无实数根，那么函数31()()(34)5g x a x x =--+的递减区间是〔 〕Ａ．(2,2)- Ｂ．(1,1)- Ｃ．(,1)-∞- Ｄ．(,1)-∞-∪(1,)+∞10．某人上午7:00乘汽车以匀速1υ千米/时〔30≤1υ≤100〕从A 地出发到距300公里的B地，在B 地不作停留，然后骑摩托车以匀速2υ千米/时〔4≤2υ≤20〕从B 地出发到距50公里的C 地，方案在当天16:00至21:00到达C 地。

高三数学理科试题卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}2|13,|680A x x B x x x =-≤≤=-+<，则AB 等于（ ）A ．{}|14x x -≤<B ．{}|23x x <<C ．{}|23x x <≤D ．{}|14x x -<<2.设i 是虚数单位，若21mii-+为纯虚数，则实数m 的值为（ ） A ．2 B ．-2 C ．12 D ．12-3.函数()()21f x a x b =++与()()2212g x x a x =--+在(],4-∞上都是递减的，实数a的取值范围是（ ）A ．(],3-∞-B ．(),3-∞-C ．13,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D ．13,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭4.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的概率是（ ） A ．16 B ．13 C ．23 D ．565.在如图所示的算法流程图中，输出S 的值为（ ） A ．11 B ．12 C ．13 D ．156.下列双曲线中，与双曲线2213x y -=的离心率和渐近线都相同的是（ ） A ．22139x y -= B ．22139y x -= C ．22193x y -= D ．2213y x -= 7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，该多面体的体积是（ ）A ．32B ．16C ．643 D ．3238.在约束条件0024x y y x t y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩下，当0t ≥时，其所表示的平面区域的面积为()S t ，()S t 与t 之间的函数关系用下列图像表示，正确的应该是（ ）A ．B ．C ．D ．9.函数()()22cos 3sin 20f x x x ωωω=>的最小正周期为π，给出下列四个命题： （1）()f x 的最大值为3；（2）将()f x 的图像向左平移3π后所得的函数是偶函数； （3）()f x 在区间,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；（4）()f x 的图象关于直线6x π=对称．其中正确说法的序号是（ ）A ．（2）（3）B ．（1）（4）C ．（1）（2）（4）D ．（1）（3）（4） 10.已知()()()()4241220126243111x x a a x a x a x ++=+++++++，则0246a a a a +++的值为：（ ）A ．4312-B ．6312+C ．6322+D ．6322-11.已知定义在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦的函数()()sin cos 1f x x x ax =+-，若()y f x =仅有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．2,2π⎛⎤⎥⎝⎦ B ．[)2,2,π⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ C ．12,2π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D ．12,,2π⎛⎤⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎝⎦⎝⎭12.将半径都为1的4个彼此相切的钢球完全装入形状为正三棱台的容器里，该正三棱台的高的最小值为（ ） A ．263+．261+ C ．2623+．633+第Ⅱ卷二、填空题:本大题共四小题，每题5分，满分20分．13.已知向量a 与b 的夹角为120°，3,13a a b =+=，则b 等于___________．14.数列{}n a 满足1120212112n n n n n a a a a a +⎧⎛⎫≤< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-≤< ⎪⎪⎝⎭⎩，若167a =，则2016a =___________．15.已知AB 是抛物线24y x =上的一条动弦，且AB 的中点横坐标为2，则AB 的最大值为___________．16. ABC ∆的三个内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，其面积()22S a b c =--．若2a =，则BC 边上的中线长的取值范围是__________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和1n S >，且()()*612,n n n S a a n N =++∈．（1）求{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b满足n b =，求{}n b 的前n 项和．18.（本小题满分12分）某中学对男女学生是否喜爱古典音乐进行了一个调查，调查者学校高三年级随机抽取了100名学生，调查结果如下表：（1）完成上表，并根据表中数据，判断是否有95%的把握认为“男学生和女学生喜欢古典音乐的程度有差异”；（2）从以上被调查的学生中以性别为依据采用分层抽样的方式抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取5名学生去某古典音乐会的现场观看演出，求正好有X 个男生去观看演出的分布列及期望．附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++19.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -的侧面PAD 是正三角形，底面ABCD 为菱形，点E 为AD 的中点，若BE PE =． （1）求证：PB BC ⊥；（2）若0120PEB ∠=，求二面角A PB C --的余弦值． 20.（本小题满分12分）已知直线:1l y x =-+与椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>相交于不同的两点A B 、，且线段AB 的中点P 的坐标为21,33⎛⎫⎪⎝⎭．（1）求椭圆C 的离心率；（2）设O 为坐标原点，且2OP AB =，求椭圆C 的方程． 21.（本小题满分12分）已知函数()()()()()()2231,ln 134x f x x e g x a x x a x a a R =+=+++-+∈． （1）若9a =，求函数()y g x =的单调区间； （2）若()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，AB 是O 的一条切线，切点为B ，直线ADE CFD CGE 、、都是O 的割线，已知AC AB =．（1）若1,4CG CD ==，求DEGF的值； （2）求证：//FG AC ．23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为24sin 30ρρθ-+=，A B 、两点极坐标分别为()()1,1,0π、．（1）求曲线C 的参数方程；（2）在曲线C 上取一点P ，求22AP BP +的最值． 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()()2f x x x a a R =-++∈． （1）若1a =，求不等式()4f x ≥的解集；（2）若不等式()2f x x ≤的解集为[)1,+∞，求a 的值．参考答案一、选择题 CAAC BCDA DBBC 二、填空题 13. 4 14. 3715. 6 16. (]14， 三、解答题 17.（本小题12分） 解：（1）由()()11111126a S a a ==++，解得1112a a ==或， 由假设111a S =>，因此12a =，故{}n a 的通项为31n a n =-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）由13n b ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分得{}n b 前n项和111133nni i i b ====∑∑．．．．．．．．．．．．．．．．12分18．（本小题12分） 解：（1）将表中的数据代入公式计算，得()2210060102010100 4.7627030802021K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，由于4.762 3.841>，所以有95%的把握认为“男学生和女学生喜欢古典音乐的程度有差异”．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）由题意知：这10名学生中有8名男生和2名女生 ，故X 可取值3，4，5．．．．．．．．．．6分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 故其分布列为：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 该分布满足超几何分布，故其期望85410EX =⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19.（本小题12分）（1）证明：由,,BE PE AB PA AE AE ===得AEP AEB ∆≅∆，从而060EAB ∠=，且AD BE ⊥，又∵AD PE ⊥，∴AD ⊥平面PBE ，而PB ⊂平面PBE ，得AD PB ⊥，又∵//AD BC ，∴PB BC ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）解：如图建立直角坐标系，其中O 为坐标原点，x 轴平行于DA ，30,0,,,2P B PB ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的中点坐标34⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，连结AG ，又知1,,2,22A C ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由此得到：()333331,,,0,,,2,0,04422GA PB BC ⎛⎫⎛⎫=--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有0,0GA PB BC PB ==， ∴,GA PB BC PB ⊥⊥，∵,GA BC 的夹角为θ等于所求二面角的平面角，∴cos GA BC GA BCθ==-．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20.（本小题12分）解：（1）设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆2222221122222222:b x a y a b C b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩， 两式相减：()()()()22121212120bx x x x a y y y y -++-+=，由题意可知：2112122142,,133y yx x y y x x -+=+==--代入上式得222a b =，∵222a b c =+，∴222a c =，从而所求离心率2e =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 （2）由（1）得椭圆C 的方程为：222212x y b b +=，与直线l 联立方程组并化简得：2234220x x b --+=，从而()21612220b ∆=-->，得213b >，且21212422,33b x x x x -++==，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分∵2OP AB =，∴OA OB ⊥，有()12121212210x x y y x x x x +=-++=得：222421033b -+⨯-+=，解得：234b =（满足0∆>）．故所求的椭圆C 的方程为2224133x y +=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21．（本小题12分）解：（1）当()()239,9ln 1694a g x x x x ==++-+，()0g x '>，得11x -<<，或()2,0x g x '><，得12x <<．故所求增区间为()1,1-和()2,+∞，减区间为()1,2………………………………4分 （2）由()()f x g x ≥，有()()()2231ln 134x x e a x x a x a +≥+++-+，令()()()()2231ln 134x h x x e a x x a x a =+-+----， ①当0a ≥时，()()()2323312x a h x x e x a x '=+--+-+，1°当0x =时，()()()23233012x a h x x e x a x '=+--+-=+，2°当()1,0x ∈-时，()()()2323312x a h x x e x a x '=+--+-+()()()()22123232311011x x a x e x a x e a x x ⎛⎫<+--+-=+-+-< ⎪++⎝⎭， 3°当()0,x ∈+∞时，()()()2323312x a h x x e x a x '=+--+-+ ()()()()22123232311011x x a x e x a x e a x x ⎛⎫>+--+-=+-+-> ⎪++⎝⎭， ()h x 在()1,0-递减，在()0,+∞递增，∴()()min 01h x h a ==-， 则有010a a ≥⎧⎨-≥⎩，解得01a ≤≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分②当0a <时，在()1,0x ∈-时，()()0,1f x ∈，即()1f x <， 而对于函数()y g x =，不妨令421aax e -=-+，有()()()()4223ln 13ln 123ln 112314aa g x a x x a x a a x a a e a -⎛⎫=+++-+>++-=-+++-= ⎪⎝⎭，故在()1,0-内存在421a ae--+，使得()()()(),g x f x f x g x >≥不恒成立，综上：a 的取值范围是[]0,1．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22．（本小题满分10分）（1）证明:由题意可得：,,,G E D F 四点共圆， ∴,CGF CDE CFG CED ∠=∠∠=∠，∴CGFCDE ∆∆，∴DE CDGF CG =， 又∵1,4,4DECG CD GF===．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）∵AB 为切线，AE 为割线，∴2AB AD AE =， 又∵AC AB =，∴2AD AE AC =， ∴AD ACAC AE=，又∵EAC DAC ∠=∠，∴ADC ACE ∆∆，∴ADC ACE ∠=∠，又∵ADC EGF ∠=∠，∴ACE EGF ∠=∠ ∴//FG AC ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 23．（本小题满分10分）解：（1）由24sin 30ρρθ-+=，得22430x y y +-+=，即()2221x y +-=，故所求参数方程为：cos 2sin x t y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）由已知条件知A B 、两点直角坐标分别为()()1,01,0-、，令()cos ,2sin P t t +，()()()()222222cos 12sin cos 12sin 8sin 12AP BP t t t t t +=++++-++=+，故当sin 1t =-，有最小值4，sin 1t =，有最大值20．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分24．（本小题满分10分）解：（1）1a =时，由()4f x ≥得214x x -++≥， 当1x <-时，有214x x ---≥，得32x ≤-； 12x -≤≤时，有214x x -++≥，解集为空集； 2x >时，有214x x -++≥，得52x ≥， 综上，所求解集为53|22x x x ⎧⎫≥≤-⎨⎬⎩⎭或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （2）法一：由()2f x x ≤的解集为[)1,+∞知：1x =是方程22x x a x -++=一个根， 得0a =或-2而当0a =时，由22x x x -+≤解得1x ≥，合题意； 当2a =-时，由222x x -≤解得1x ≥，合题意． 综上：0a =或-2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分法二：不等式()2f x x ≤可化为：22x a x x +≤--， 分别作出y x a =+及22y x x =--的图象由图可知若()2f x x ≤的解集为[)1,+∞，则有：()1111a a -+=+=或， 解得：20a a =-=或．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。