高中物理必修二补充双星与多星问题

（答题时间：25分钟） 1. 据报道，一个国际研究小组借助于智利的甚大望远镜，观测到了一组双星系统，它们绕两者连线上的某点O 做匀速圆周运动，如图所示。

此双星系统中体积较小成员能“吸食”另一颗体积较大星体的表面物质，达到质量转移的目的，假设在演变的过程中两者球心之间的距离保持不变，则在最初演变的过程中 （ ）A. 它们做圆周运动的万有引力保持不变B. 它们做圆周运动的角速度不断变小C. 体积较大星体圆周运动轨迹的半径变大，线速度变大D. 体积较大星体圆周运动轨迹的半径变大，线速度变小2. 银河系的恒星中大约四分之一是双星。

某双星由质量不等的星体S 1和S 2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C 做匀速圆周运动。

由天文观察测得其周期为T ，S 1到C 点的距离为r 1，S 1和S 2的距离为r ，已知万有引力常量为G 。

由此可求出S 2的质量为（ ）A. 21224GTr r r -π B. 23124GT r π C. 2324GT r π D. 21224GT r r π 3. 宇宙中两个星球可以组成双星，它们只在相互间的万有引力作用下，绕球心连线的某点做周期相同的匀速圆周运动。

根据宇宙大爆炸理论，双星间的距离在不断缓慢增加，设双星仍做匀速圆周运动，则下列说法错误的是（ ）A. 双星相互间的万有引力减小B. 双星做圆周运动的角速度增大C. 双星做圆周运动的周期增大D. 双星做圆周运动的半径增大4. 宇宙空间有一双星系统，其中甲质量为M ，乙质量为m 。

在某一阶段内持续将星球甲的组成物质搬往星球乙，在搬运过程中保持两者总质量不变且两者中心间距离不变，若两者均可视为均匀球体，且不考虑其他影响，下列说法正确的是（ ）A. 甲的周期变大B. 甲的周期变小C. 甲的线速度变大D. 甲的线速度变小5. 如图所示，两个星球A 、B 组成双星系统，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。

双星与多星问题双星模型1、模型构建在天体运动中,将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上得某点做周期相同得匀速圆周运动得行星称为双星。

2、模型条件①两颗星彼此相距较近。

②两颗星靠相互之间得万有引力做匀速圆周运动。

③两颗星绕同一圆心做圆周运动。

3、模型特点如图所示为质量分别就是m １与ｍ2得两颗相距较近得恒星。

它们间得距离为L 、此双星问题得特点就是:(1)两星得运行轨道为同心圆，圆心就是它们之间连线上得某一点。

（2)两星得向心力大小相等，由它们间得万有引力提供。

(3)两星得运动周期、角速度相同。

(4）两星得运动半径之与等于它们间得距离,即r 1+ｒ2=Ｌ、4、 双星问题得处理方法双星间得万有引力提供了它们做圆周运动得向心力，即 错误!=m １ω2r １＝m 2ω2r 2。

5、 双星问题得两个结论(1)运动半径:ｍ1r 1=m 2r ２,即某恒星得运动半径与其质量成反比。

(2)质量之与:由于ω=错误!,ｒ１＋r 2＝L ,所以两恒星得质量之与m 1＋m 2=错误!。

【示例1】２0１６年２月11日，美国科学家宣布探测到引力波，证实了爱因斯坦1００年前得预测，弥补了爱因斯坦广义相对论中最后一块缺失得“拼图”、双星得运动就是产生引力波得来源之一,假设宇宙中有一双星系统由a 、b 两颗星体组成,这两颗星绕它们连线得某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动,测得a 星得周期为T ,a 、b 两颗星得距离为l ，a 、b 两颗星得轨道半径之差为Δr (a 星得轨道半径大于b 星得轨道半径),则( )A 、b 星得周期为＼ｆ（l -Δr,l +Δr )TB 、ａ星得线速度大小为π(l ＋Δr )TC 、a 、b 两颗星得半径之比为错误!D 、a 、b 两颗星得质量之比为错误!规律总结解答双星问题应注意“两等”“两不等”(1)双星问题得“两等”：①它们得角速度相等。

②双星做匀速圆周运动得向心力由它们之间得万有引力提供,即它们受到得向心力大小总就是相等得。

双星模型、三星模型、四星模型一、双星问题1.模型构建：在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做角速度、周期相同的匀速圆周运动的恒星称为双星。

2．模型条件： (1)两颗星彼此相距较近。

(2)两颗星靠相互之间的万有引力提供向心力做匀速圆周运动。

(3)两颗星绕同一圆心做圆周运动。

3．模型特点: (1)“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供。

(2)“周期、角速度相同”——两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。

(3)三个反比关系：m1r1＝m2r2；m1v1＝m2v2；m1a1＝m2a2推导：根据两球的向心力大小相等可得，m1ω2r1＝m2ω2r2，即m1r1＝m2r2；等式m1r1＝m2r2两边同乘以角速度ω，得m1r1ω＝m2r2ω，即m1v1＝m2v2；由m1ω2r1＝m2ω2r2直接可得，m1a1＝m2a2。

(4)巧妙求质量和：Gm1m2L2＝m1ω2r1①Gm1m2L2＝m2ω2r2②由①＋②得：G m1＋m2L2＝ω2L ∴m1＋m2＝ω2L3G4. 解答双星问题应注意“两等”“两不等”(1)“两等”: ①它们的角速度相等。

②双星做匀速圆周运动向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等。

(2)“两不等”:①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离。

②由m1ω2r1＝m2ω2r2知由于m1与m2一般不相等，故r1与r2一般也不相等。

二、多星模型(1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外，各星体的角速度或周期相同．(2)三星模型：①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图甲所示)．②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)．(3)四星模型：①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙)．②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心O，外围三颗星绕O做匀速圆周运动(如图丁所示)．三、卫星的追及相遇问题1、某星体的两颗卫星从相距最近到再次相距最近遵从的规律：内轨道卫星所转过的圆心角与外轨道卫星所转过的圆心角之差为2π的整数倍。

微专题25 双星与多星问题【核心要点提示】(1)核心问题是“谁”提供向心力的问题．(2)“双星问题”的隐含条件是两者的向心力相同、周期相同、角速度相同；双星中轨道半径与质量成反比；(3)多星问题中，每颗行星做圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力的合力提供，即F 合＝m v 2r ，以此列向心力方程进行求解．【微专题训练】“双星体系”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的半径远小于两个星球之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．如图1所示，相距为L 的A 、B 两恒星绕共同的圆心O 做圆周运动，A 、B 的质量分别为m 1、m 2，周期均为T .若有间距也为L 的双星C 、D ，C 、D 的质量分别为A 、B 的两倍，则( )A ．A 、B 运动的轨道半径之比为m 1m 2B ．A 、B 运动的速率之比为m 1m 2C ．C 运动的速率为A 的2倍D ．C 、D 运动的周期均为22T 【解析】对于双星A 、B ，有G m 1m 2L 2＝m 1(2πT )2r 1＝m 2(2πT )2r 2，r 1＋r 2＝L ，得r 1＝m 2m 1＋m 2L ，r 2＝m 1m 1＋m 2L ，T ＝2πL L G m 1＋m 2，A 、B 运动的轨道半径之比为r 1r 2＝m 2m 1，A 错误；由v＝2πr T 得，A 、B 运动的速率之比为v 1v 2＝r 1r 2＝m 2m 1，B 错误；C 、D 运动的周期T ′＝2πL L G 2m 1＋2m 2＝22T ，D 正确；C 的轨道半径r 1′＝2m 22m 1＋2m 2L ＝r 1，C 运动的速率为v 1′＝2πr 1′T ′＝2v 1，C 错误．【答案】D(2013·山东理综)双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为( ) A.n 3k 2T B.n 3kT C.n 2kT D.n kT 【解析】双星靠彼此的引力提供向心力，则有 G m 1m 2L 2＝m 1r 14π2T 2 G m 1m 2L 2＝m 2r 24π2T 2 并且r 1＋r 2＝L 解得T ＝2πL 3G (m 1＋m 2)当两星总质量变为原来的k 倍，两星之间距离变为原来的n 倍时 T ′＝2πn 3L 3Gk (m 1＋m 2)＝n 3k·T 故选项B 正确． 【答案】B(多选)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m ，半径均为R ，四颗星稳定分布在边长为a 的正方形的四个顶点上．已知引力常量为G .关于四星系统，下列说法正确的是( )A ．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动B ．四颗星的轨道半径均为a2C ．四颗星表面的重力加速度均为GmR 2D ．四颗星的周期均为2πa2a(4＋2)Gm【解析】其中一颗星体在其他三颗星体的万有引力作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为22a ，故A 正确，B 错误；在星体表面，根据万有引力等于重力，可得G mm ′R 2＝m ′g ，解得g ＝GmR2，故C 正确；由万有引力定律和向心力公式得Gm 2(2a )2＋2Gm 2a 2＝m 4π2T 2·2a2，T ＝2πa2a(4＋2)Gm，故D正确． 【答案】ACD(2016·河南省郑州市高三月考)宇宙中有这样一种三星系统，系统由两个质量为m 的小星体和一个质量为M 的大星体组成，两个小星体围绕大星体在同一圆形轨道上运行，轨道半径为r 。

微专题25 双星与多星问题【核心要点提示】(1)核心问题是“谁”提供向心力的问题．(2)“双星问题”的隐含条件是两者的向心力相同、周期相同、角速度相同；双星中轨道半径与质量成反比；(3)多星问题中，每颗行星做圆周运动所需的向心力是由它们之间的万有引力的合力提供，即F 合＝m v 2r ，以此列向心力方程进行求解．【微专题训练】“双星体系”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的半径远小于两个星球之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．如图1所示，相距为L 的A 、B 两恒星绕共同的圆心O 做圆周运动，A 、B 的质量分别为m 1、m 2，周期均为T .若有间距也为L 的双星C 、D ，C 、D 的质量分别为A 、B 的两倍，则( )A ．A 、B 运动的轨道半径之比为m 1m 2B ．A 、B 运动的速率之比为m 1m 2C ．C 运动的速率为A 的2倍D ．C 、D 运动的周期均为22T 【解析】对于双星A 、B ，有G m 1m 2L 2＝m 1(2πT )2r 1＝m 2(2πT )2r 2，r 1＋r 2＝L ，得r 1＝m 2m 1＋m 2L ，r 2＝m 1m 1＋m 2L ，T ＝2πL L G m 1＋m 2，A 、B 运动的轨道半径之比为r 1r 2＝m 2m 1，A 错误；由v＝2πr T 得，A 、B 运动的速率之比为v 1v 2＝r 1r 2＝m 2m 1，B 错误；C 、D 运动的周期T ′＝2πL L G 2m 1＋2m 2＝22T ，D 正确；C 的轨道半径r 1′＝2m 22m 1＋2m 2L ＝r 1，C 运动的速率为v 1′＝2πr 1′T ′＝2v 1，C 错误．【答案】D(2013·山东理综)双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为( ) A.n 3k 2T B.n 3kT C.n 2kT D.n kT 【解析】双星靠彼此的引力提供向心力，则有 G m 1m 2L 2＝m 1r 14π2T 2 G m 1m 2L 2＝m 2r 24π2T 2 并且r 1＋r 2＝L 解得T ＝2πL 3G (m 1＋m 2)当两星总质量变为原来的k 倍，两星之间距离变为原来的n 倍时 T ′＝2πn 3L 3Gk (m 1＋m 2)＝n 3k·T 故选项B 正确． 【答案】B(多选)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m ，半径均为R ，四颗星稳定分布在边长为a 的正方形的四个顶点上．已知引力常量为G .关于四星系统，下列说法正确的是( )A ．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动B ．四颗星的轨道半径均为a2C ．四颗星表面的重力加速度均为GmR 2D ．四颗星的周期均为2πa2a(4＋2)Gm【解析】其中一颗星体在其他三颗星体的万有引力作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为22a ，故A 正确，B 错误；在星体表面，根据万有引力等于重力，可得G mm ′R 2＝m ′g ，解得g ＝GmR2，故C 正确；由万有引力定律和向心力公式得Gm 2(2a )2＋2Gm 2a 2＝m 4π2T 2·2a2，T ＝2πa2a(4＋2)Gm，故D正确． 【答案】ACD(2016·河南省郑州市高三月考)宇宙中有这样一种三星系统，系统由两个质量为m 的小星体和一个质量为M 的大星体组成，两个小星体围绕大星体在同一圆形轨道上运行，轨道半径为r 。

双星、多星系统问题宇宙中不存在孤立的天体，常见的情况是两个或多个天体组成一个相对独立的系统。

高中物理中常常处理一些相对简单的天体系统，其中最简单的是双星系统，相对复杂的有三星、四星系统等。

一、稳定双星系统1、基本模型如图2-14-1所示，质量分别为m 1、m 2的两个天体在万有引力的相互作用下，绕着二者连线上的某个点（公共圆心O ）以相同的角速度做圆周运动，构成一个稳定的双星系统。

在这个系统中，两天体的运动存在如下三个基本关系：（1）向心力大小相同：2212n 1n L m m GF F ==；（2）速度大小相同：ωωω==21；（3）轨道半径之和等于两天体的间距：L r r =+21。

2、基本结论（1）轨道半径关系：2211r m r m =由牛顿第二定律，有天体1：121221r m L m Gm ω=，天体2：222221r m Lm Gm ω=；两式联立，有2211r m r m =，即两天体的轨道半径与各自的质量成反比，质量大的天体轨道半径小，质量小的天体轨道半径大；联立L r r =+21，可得L m m m r 2121+=，L m m m r 2112+=。

（2）系统的周期：)(π2213m m G L T +=把L m m m r 2121+=代入121221r m L m m G ω=，可得321)(Lm m G +=ω，则双星系统的周期为)(π2π2213m m G L T +==ω；即两天体间距越小，总质量越大，系统的周期越小，角速度越大。

（3）线速度关系：2211v m v m =，且Lm m G L v v )(2121+==+ω在2211r m r m =式两边乘以共同的角速度ω，得2211r m r m ωω=，也就是2211v m v m =，即两天体的线速度大小与各自的质量成反比，质量大的天体线速度小，质量小的天体线速度大。

联立321)(Lm m G +=ω,2211r v r v ωω==，，L r r =+21，可得两天体的线速度大小之和为：L m m G L v v v )(2121+==+=ω。

专题5.5 双星与多星问题双星模型 1.模型构建在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星。

2. 模型条件①两颗星彼此相距较近。

②两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动。

③两颗星绕同一圆心做圆周运动。

3. 模型特点如图所示为质量分别是m 1和m 2的两颗相距较近的恒星。

它们间的距离为L .此双星问题的特点是：(1)两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点。

(2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供。

(3)两星的运动周期、角速度相同。

(4)两星的运动半径之和等于它们间的距离，即r 1＋r 2＝L . 4. 双星问题的处理方法双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即 Gm 1m 2L2＝m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2。

5. 双星问题的两个结论(1)运动半径：m 1r 1＝m 2r 2，即某恒星的运动半径与其质量成反比。

(2)质量之和：由于ω＝2πT ，r 1＋r 2＝L ，所以两恒星的质量之和m 1＋m 2＝4π2L3GT2。

【示例1】2016年2月11日，美国科学家宣布探测到引力波，证实了爱因斯坦100年前的预测，弥补了爱因斯坦广义相对论中最后一块缺失的“拼图”.双星的运动是产生引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由a 、b 两颗星体组成，这两颗星绕它们连线的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得a 星的周期为T ，a 、b 两颗星的距离为l ，a 、b 两颗星的轨道半径之差为Δr (a 星的轨道半径大于b 星的轨道半径)，则( ) A.b 星的周期为l －Δrl ＋ΔrT B.a 星的线速度大小为π(l ＋Δr )TC.a 、b 两颗星的半径之比为ll －ΔrD.a 、b 两颗星的质量之比为l ＋Δrl －Δr【答案】 B规律总结解答双星问题应注意“两等”“两不等” (1)双星问题的“两等”： ①它们的角速度相等。