下载文档原格式
习 题一、习题编号本次作业：1，2， 7，9，12，17，18，19，23，25 二、习题解答1.1 设随机试验E 是将一枚硬币抛两次，观察H -正面，T -反面出现的情况，试分析它的概率空间(),,P Ω。
解1.1： 样本空间：Ω = {HH, HT, TH, TT}集类：F = { Ø, Ω, {HH}, {HT}, {TH}, {TT},{HH,HT}, {HH, TH}, {HH,TT}, {HT, TH}, {HT, TT}, {TH, TT}, {HH, HT, TH}, {HH, HT, TT}, {HT, TH, TT}, {TH, TT, HH}, }概率：P: P{HH} = P{HT} = P{TH} = P{TT} = 1/41.2 设,A B ∈Ω，集类{},A B =。
试求：()σ的所有元素。
解1.2：因为：{},A B =所以：(){},,,σ=∅Ω1.3 设四个黑球与两个白球随机地等分为A 与B 两组，记A 组中白球的数目为X ；然后随机交换A 与B 中一个球，再记交换后A 组中白球的数目为Y 。
试求：（1）X 的分布律；（2）Y|X 的分布律；（3）Y 的分布律。
解1.3：（1）总计有2个白球，因此，X 的取值为0，1，2。
等分共有36C 种分法，等分后，X 取值分别为0，1，2的概率为：3211244242333666012012131()()555XX C C C C C P X P X C C C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）交换一个球后，1）如果X 中没有白球，则交换后Y 可能取值为0、1 2）如果X 中有一个白球，则交换后Y 可能取值为0、1、2 3）如果X 中有两个白球，则交换后Y 可能取值为1、2|0|01|00|11|12|11|22|21225221(|)3399933Y XP Y X ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭（3）20()(|)()i P Y P Y X i P X i ====∑2(0)(0|)()1123359515i P Y P Y X i P X i =======⨯+⨯=∑2(1)(1|)()21532135953535i P Y P Y X i P X i =======⨯+⨯+⨯=∑2(2)(2|)()23110953515i P Y P Y X i P X i =======+⨯+⨯=∑故Y 的分布律为：012131()555YP Y ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭1.4 设A 与B 是概率空间(),,P Ω上的事件，且()01P B <<，试证明：A 与B独立的充要条件为：()()|=|P A B P A B 。
通信原理李晓峰版习题解答篇一：通信原理李晓峰课后习题答案习题一1（略）2两个二元消息符号与2的取值及概率分别为：求它们的熵。
解：利用式()???2?1易见，(1)??03203?072207?08812()()(2)??2?0303?2?0202?19713（略）4假定电话按键由10个数字、“*”与“#”组成，按压每个数字键的概率均为0099，按压“*”或“#”的概率各为0005，拨号速率为2次。
试求（1）每次按键产生的熵与连续拨号的熵率？（2）如果每次按键采用4位二进制表示，拨号产生的二进制数据率（二元符号率）？解：（1）利用式()???2?1，??10?009920199?2?000520005?3356连续按键产生的熵率??335605?6712（2）拨号产生的二进制数率,4?2?85（略）6假定容量为47的盘可存储133分钟的数字音视频资料，试计算该数字音视频信号的数据率（二元符号率）是多少？解：数据率为?47?2?8133?603030?50599注意，1=2?1073741824?10，有时也可用109。
7（略）8（略）9（略）10假定电传打字机的信道带宽为300，信噪比为30（即，?1000），试求该信道的容量。
)解：利用式?2(1?有?103010?300?2(1?1000)?299()2511假定某用户采用拨号上网，已测得电话线可用频带300-3400，信噪比为25（即，），试计算该信道的容量；在选用调制解调器时，可选速率为56、288或96的调制解调器中哪个较合适？解：带宽=3400-300=3100，利用式?2(1??10)，有?3100?2(1?31623)?2573()故应采用288的调制解调器较合适（实际调制解调器会结合实际线路情况，自动降低速率，以充分利用信道资源）。
习题三1（略）2一个信号具有如下形式：????20?23000??106000??2?其中?10；5（1）试确定每个频率分量的功率；（2）确定调制指数；（3）确定边带功率、全部功率，以及边带功率与全部功率之比。
习题一1. （略）2. 两个二元消息符号X 与X 的取值及概率分别为：解：利用式21()log Mi i i H X P P ==-∑易见，)(881.07.0log 7.03.0log 3.0)(221bit X H ≈--=)(971.12.0log 2.023.0log 3.02)(222bit X H ≈⨯-⨯-=3. （略）4. 假定电话按键由10个数字、“*”与“#”组成，按压每个数字键的概率均为0.099，按压“*”或“#”的概率各为0.005，拨号速率为2次/s 。
试求（1）每次按键产生的熵与连续拨号的熵率？（2）如果每次按键采用4位二进制表示，拨号产生的二进制数据率（二元符号率）？ 解：（1）利用式21()log Mi i i H X P P ==-∑，22100.099log 0.09920.005log 0.0053.356bits/keyH =-⨯-⨯≈连续按键产生的熵率3.356/ 6.7120.5/H bits key R T s key===/bits s（2）拨号产生的二进制数率,4/2/8/bit key key s bits s ⨯=5. （略）6. 假定容量为4.7GB 的DVD 盘可存储133分钟的数字音视频资料，试计算该数字音视频信号的数据率（二元符号率）是多少？ 解：数据率为304.728/ 5.059Mbps 13360Bytes bits Byte R s⨯⨯==⨯注意，1GB=3092107374182410Bytes Bytes =≈，有时也可用910。
7. （略） 8. （略） 9. （略）10. 假定电传打字机的信道带宽为300Hz ，信噪比为30dB （即，30/10/101000S N ==），试求该信道的容量。
解：利用式bps NSB C )1(log 2+=有2C 300log (11000) 2.99()kbps =⨯+=11. 假定某用户采用拨号上网，已测得电话线可用频带300-3400Hz ，信噪比为25dB （即，2.5/10S N =），试计算该信道的容量；在选用调制解调器时，可选速率为56、28.8或9.6kbps 的调制解调器中哪个较合适？解：带宽B=3400Hz-300Hz=3100Hz ，利用式bps NSB C )1(log 2+=，有2C 3100log (1316.23)25.73()kbps =⨯+=故应采用28.8kbps 的调制解调器较合适（实际调制解调器会结合实际线路情况，自动降低速率，以充分利用信道资源）。
习题第一章 2 4 6 10 11；2 两个二元消息符号1X 与2X 的取值及概率分别为：解：利用式21()log Mi i i H X P P ==-∑易见，)(881.07.0log 7.03.0log 3.0)(221bit X H ≈--=)(971.12.0log 2.023.0log 3.02)(222bit X H ≈⨯-⨯-=4 假定电话按键由10个数字、“*”与“#”组成，按压每个数字键的概率均为0.099，按压“*”或“#”的概率各为0.005，拨号速率为2次/s 。
试求（1）每次按键产生的熵与连续拨号的熵率？（2）如果每次按键采用4位二进制表示，拨号产生的二进制数据率（二元符号率）？解：（1）利用式21()log Mi i i H X P P ==-∑，22100.099log 0.09920.005log 0.0053.356bits/keyH =-⨯-⨯≈连续按键产生的熵率（信息速率）3.356/ 6.7120.5/H bits key R T s key===/bits s（2）拨号产生的二进制速率,4/2/8/bit key key s bits s ⨯=6 假定容量为4.7GB 的DVD 盘可存储133分钟的数字音视频资料，试计算该数字音视频信号的数据率（二元符号率）是多少？解：数据率为304.728/ 5.059Mbps 13360Bytes bits Byte R s⨯⨯==⨯注意，1GB=3092107374182410Bytes Bytes =≈，有时也可用910。
10 假定电传打字机的信道带宽为300Hz ，信噪比为30dB （即，30/10/101000S N ==），试求该信道的容量。
解：利用式bps NSB C )1(log 2+= 有2C 300log (11000) 2.99()kbps =⨯+=11假定某用户采用拨号上网，已测得电话线可用频带300-3400Hz ，信噪比为25dB（即， 2.5/10S N =），试计算该信道的容量；在选用调制解调器时，可选速率为56、28.8或9.6kbps 的调制解调器中哪个较合适？解：带宽B=3400Hz-300Hz=3100Hz ，利用式bps NSB C )1(log 2+=，有 2C 3100log (1316.23)25.73()kbps =⨯+=故应采用28.8kbps 的调制解调器较合适（实际调制解调器会结合实际线路情况，自动降低速率，以充分利用信道资源）。
1-9 已知随机变量X 的分布函数为20,0(),011,1X x F x kxx x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求：①系数k ； ②X 落在区间(0.3,0.7)内的概率； ③随机变量X 的概率密度。
解：第①问 利用()X F x 右连续的性质 k ＝1第②问 {}{}{}()()0.30.70.30.70.70.30.7P X P X F P X F =<<=<≤-=-第③问201()()0X X xx d F x f x elsedx≤<⎧==⎨⎩1-10已知随机变量X 的概率密度为()()xX f x kex -=-∞<<+∞（拉普拉斯分布），求：①系数k ②X 落在区间(0,1)内的概率 ③随机变量X 的分布函数 解：第①问 ()112f xd x k ∞-∞==⎰第②问 {}()()()211221x x P x X x F x F xfx d x<≤=-=⎰ 随机变量X 落在区间12(,]x x 的概率12{}P x X x <≤就是曲线()y f x =下的曲边梯形的面积。
{}{}()()1010101112P X P X f x dxe -<<=<≤==-⎰第③问()102102xx e x f x e x -⎧≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩()00()110022111010222xx xxxx xxF x f x dx e dx x e x e dx edxx e x -∞-∞---∞=⎧⎧≤≤⎪⎪⎪⎪==⎨⎨⎪⎪+>->⎪⎪⎩⎩⎰⎰⎰⎰1-11 某繁忙的汽车站，每天有大量的汽车进出。
设每辆汽车在一天内出事故的概率为0.0001，若每天有1000辆汽车进出汽车站，问汽车站出事故的次数不小于2的概率是多少？,(01)p q λ→∞→→∞→−−−−−−−−→−−−−−−−−→−−−−−−−−→n=1n ,p 0,np=n 成立，0不成立-分布二项分布泊松分布高斯分布汽车站出事故的次数不小于2的概率()()P(2)101k P k P k ≥=-=-=答案 0.1P(2)1 1.1k e -≥=-100.1n p ≥≤实际计算中，只需满足，二项分布就趋近于泊松分布()np!keP X k k λλλ-=＝＝1-12 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为(34)0,0(,)0x y XYkex y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩,,其它求：①系数k ？②(,)X Y 的分布函数？③{01,02}P X X <≤<≤？第③问 方法一：联合分布函数(,)XY F x y 性质：若任意四个实数1212,,,a a b b ，满足1212,a a b b ≤≤，则121222111221{,}(,)(,)(,)(,)XY XY XY XY P a X a b Y b F a b F a b F a b F a b <≤<≤=+--{01,02}(1,2)(0,0)(1,0)(0,2)XY XY XY XY P X Y F F F F ⇒<≤<≤=+--方法二：利用(){(,)},X YDP x y D f u v dudv∈∈⎰⎰)(210{01,02},XY P X Y f x y dxdy <≤<≤=⎰⎰1-13 已知随机变量(,)X Y 的概率密度为101,(,)0x y x f x y ⎧<<<=⎨⎩,,其它①求条件概率密度(|)X f x y 和(|)Y f y x ？②判断X 和Y 是否独立？给出理由。
随机信号分析第一章1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.8. 设随机试验X 的分布律为求X 的概率密度和分布函数，并给出图形。
解：()()()())0.210.520.33i i if x p x x x x x δδδδ=-=-+-+-∑（ ()()()())0.210.520.33i i iF x p u x x u x u x u x =-=-+-+-∑（9.10. 设随机变量X 的概率密度函数为()xf x ae-=，求:(1)系数a ；（2）其分布函数。
解：（1）由()1f x dx ∞-∞=⎰()()2xxx f x dx ae dx ae dx e dx a ∞∞∞---∞-∞-∞==+=⎰⎰⎰⎰所以12a =（2）()1()2xxtF x f t dt e dt --∞-∞==⎰⎰所以X 的分布函数为()1,0211,02xx e x F x e x -⎧<⎪⎪=⎨⎪-≥⎪⎩ 11. 12.13. 若随机变量X 与Y 的联合分布律为求：（1）X 与Y 的联合分布函数与密度函数；（2）X 与Y 的边缘分布律；（3）Z XY =的分布律；（4）X 与Y 的相关系数。
解：（1）()()()()()()()(),,0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1ij i j ijF x y p u x x y y u x y u x y u x y u x y u x y u x y =--=+++-+-++-+--∑∑()()()()()()()(),,0.07,10.18,0.15,10.081,10.321,0.201,1ij i j ijf x y p x x y y x y x y x y x y x y x y δδδδδδδ=--=+++-+-++-+--∑∑（2）X 的分布律为（i ij jP P ⋅=∑）()()00.070.180.150.4010.080.320.200.60P X P X ==++===++=Y 的分布律为()()()10.070.080.1500.180.320.5010.150.200.35P Y P Y P Y =-=+===+===+=（3）Z XY =的分布律为()()()()()()()()()()111,10.080001,00.400.320.72111,10.20P Z P XY P X Y P Z P XY P X P X Y P Z P XY P X Y =-==-===-======+===+======== （4）因为()()()00.4010.600.6010.1500.5010.350.20E X E Y =⨯+⨯==-⨯+⨯+⨯=()()10.0800.7210.200.12E XY =-⨯+⨯+⨯=则()()()()ov ,0.120.600.200C X Y E XY E X E Y =-=-⨯=X 与Y 的相关系数0XY ρ=，可见它们无关。
14.15. 设随机变量()~0,1X N ，()~0,1Y N 且相互独立，U X Y V X Y =+⎧⎨=-⎩。
（1） 随机变量(),U V 的联合概率密度(),UV f u v ； （2） 随机变量U 与V 是否相互独立？ 解：（1）随机变量(),X Y 的联合概率密度为()()22221,,,2x y XY f x y ex y Rπ+-=∈由反函数 22u v x u v y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 1112211222J ==--， ()()()22241,,,,4u v UV XY f u v f x y J eu v R π+-=⋅=∈由于,（3）22224441114u v u v ee e π+---⎛⎫⎛⎫=⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()2,,UV U V f u v f u f v u v R =∈所以随机变量U 与V 相互独立。
16. 17. 18. 19.20. 已知对随机变量X 与Y ，有1EX =，3EY =，()4D X =，()16D Y =，0.5XY ρ=，又设 3U X Y =+，2V X Y =-，试求EU ，EV ，()D U ，()D V 和(,)Cov U V 。
（22()()D U EU EU =-）解：首先，22()()5EX D X EX =+=，22()()25EY D Y EY =+=。
又因为()(,)7XY E XY Cov X Y EX EY EX EY ρ=+⨯=+⨯=于是(3)36EU E X Y EX EY =+=+=(2)25EV E X Y EX EY =-=-=-()2222222()()3()(96)()76D U EU EUE X Y EU E X XY Y EU =-=+-=++-=()2222222()()2()(44)()52D V EV EVE X Y EV E X XY Y EV =-=--=-+-=[]22()(3)(2)(352)70E UV E X Y X Y E X XY Y =+-=--=-(,)()40Cov U V E UV EU EV =-⨯=-21. 22.23. 已知随机变量X 服从[0,]a 上的均匀分布。
随机变量Y 服从[,]X a 上的均匀分布，试求（1） (),(0)E Y X X a ≤≤； （2） EY解：（1）对[0,]x a ∈有，()2a XE Y X +=（2）/23(())224a Xa a EY E E Y X E a ++⎛⎫====⎪⎝⎭24.25. 设太空梭飞行中，宇宙粒子进入其仪器舱的数目N 服从（参数为λ）泊松分布。
进舱后每个粒子造成损坏的概率为p ，彼此独立。
求：造成损坏的粒子平均数目。
解：每个粒子是否造成损坏用i X 表示1,1,2,,0i X i N⎧==⎨⎩造成损坏没有造成损害,造成损坏的粒子数1Nii Y X ==∑ ，于是()11(|)(|)|ni i ni i E Y N n E X N n E X N n =======∑∑可合理地认为N 和i X 是独立的，于是()1(|)ni i E Y N n E X np====∑()()()()(|)E Y E E Y N E Np pE N p λ====27． 若随机变量X 的概率特性如下，求其相应的特征函数：（1）X 为常数c ，即{}1P X c ==；（2）参数为2的泊松分布； （3）（－1，1）伯努利分布：()0.4(1)0.6(1)f x x x δδ=-++（4）指数分布：303(),xx e f x -≥⎧=⎨⎩其他解：（1）()jvX jvc jvc X v E e E e e φ⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦， 如果c=0，则()1X v φ=。
（2）{}()()0001()!!jv jv jvX jvk X k kjv k jvk k k e ev E e e P X k e e e e k k e e e λλλλλφλλ∞=∞∞--==--⎡⎤===⎣⎦====∑∑∑（3）()11()0.40.60.40.6jv jvX jv jv jvX v E e e e e e φ--⎡⎤==⨯+⨯=+⎣⎦（4）3(3)003()333jvXjvx xjv xX v E e e e dx edx jv φ+∞+∞--⎡⎤==⨯==⎣⎦-⎰⎰28. 随机变量123,,X X X 彼此独立；且特征函数分别为123(),(),()v v v φφφ，求下列随机变量的特征函数：（1）12X X X =+； （2）123X X X X =++； （3）12323X X X X =++； （4）1232410X X X X =+++；解：（1）12X X X =+12()()()jvXX v E e v v φφφ⎡⎤==⎣⎦（2）123X X X X =++同（1），123()()()()X v v v v φφφφ= （3）12323X X X X =++123()()(2)(3)X v v v v φφφφ=（4）1232410X X X X =+++10123()(2)()(4)jv X v e v v v φφφφ=29. 随机变量X 具有下列特征函数，求其概率密度函数、均值、均方值与方差。
（1）2424()0.20.30.20.20.1j v j v j v j v v e e e e φ--=++++；（2）()0.30.7jv jvv e eφ-=+； （3）()4/(4)v jv φ=-；（4）()(sin5)/(5)v v v φ=；解：（1）1()ikj v x i i v p eφ==∑()()1ki i i f x p x x δ==-∑2424()0.20.30.20.20.1j v j v j v j v v e e e e φ--=++++()()()()()()0.20.320.240.220.14f x x x x x x δδδδδ=+-+-++++()()()(0)/20.340.220.240.10.6E X jφ'==⨯+⨯+-⨯+-⨯=()()()()222222(0)20.340.220.240.1 6.8E Xj φ''=-=⨯+⨯+-⨯+-⨯=()()()22 6.80.36 6.44Var X E X E X =-=-=（2）()11()0.30.7jv jv v eeφ⋅⋅-=+()()()0.310.71f x x x δδ=-++()()(0)/10.310.70.4E X j φ'==⨯+-⨯=-()()()2222(0)10.310.71E Xj φ''=-=⨯+-⨯=()()()2210.160.84Var X E X E X =-=-= （3）()4/(4)v jv φ=-()4/(4)v jv φ-=+利用傅里叶变换公式，可知这是指数分布，()44()xf x e u x -=()4/(4)v jv φ=-()()(0)k k k E X j φ⎡⎤=-⎣⎦()21(0)/4(4)4v E X j jv φ-='==-= ()231(0)8(4)8v E Xjv φ-=''=-=-= ()()22111()81616Var X E X E X =-=-=。
（4）()()sin /2()2/2x t p t sa τωτωτττωτ⎛⎫=⇔=⎪⎝⎭sin 51sin10/2()10()51010/2v v v v v v φφ⎡⎤==⨯⨯=-⎢⎥⎣⎦ ，利用傅里叶变换公式，可知这是均匀分布，()1,55100,x f x ⎧-<<⎪=⎨⎪⎩其他()0E X =, ()21025123Var X ==,()()()22253E X Var X E X =+=。
