点集拓扑学练习题1(第二章)
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点集拓扑学练习题—第二章
一. 判断题(每小题2分)
1. 集合X 的一个拓扑有不只一个基,一个基也可以生成若干个拓扑( )
2. 拓扑空间中任两点的距离是无意义的.( )
3. 实数集合中的开集,只能是开区间,或若干个开区间的并.( )
4. T 1、T 2是X 的两个拓扑,则T 1UT 2是一个拓扑.( )
5. 平庸空间中任一个序列均收敛,且收敛于任一个点。( )
6. 从(X ,T 1)到(X ,T 2)的恒同映射必是连续的。( )
7.从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( )
8.设12, T T 是集合X 的两个拓扑,则12 T T ⋂不一定是集合X 的拓扑( )
9.从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射( )
10.设A 为离散拓扑空间X 的任意子集,则()d A φ= ( )
11.设A 为平庸空间X (X 多于一点)的一个单点集,则()d A φ= ( )
12.设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集,则()d A X = ( )
二.填空题:(每空格3分)
1. X=Z +, T ={Z 1,Z 2,…Z n …},其中
Z n ={n,n+1,n+2,…},
则包含3的所有开集为_____________
包含3的所有闭集为________________
包含3的所有邻域为_________________
设A={1,2,3,4,5}
则A 的导集为_____________________
A 的闭包为______________________
2. 设X 为度量空间,x ∈X,则d ({x})=______________
3、在实数空间R 中,有理数集Q 的导集是___________.
4、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 ;
5、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集,则()d A = ; A = ;
6、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集,则()d A = ; A = ;
7、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3T X φ=,
则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;
三、单项选择题(每题2分)
1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中,( )是X 上的拓扑.
① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T
② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T
③ {,,{},{,}}X a a b φ=T
④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T
2、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =( )
①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d
3、已知{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =( )
①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d
4、设{,,,}X a b c d =,拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数
为( )
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4
5、设{,}X a b =,拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为( )
① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3
6、在实数空间中,有理数集Q 的内部Q 是( )
① φ ② Q ③ R -Q ④ R
7、在实数空间中,有理数集Q 的边界()Q ∂是( )
① φ ② Q ③ R -Q ④ R
8、在实数空间中,整数集Z 的内部Z 是( )
① φ ② Z ③ R -Z ④ R
9、在实数空间中,整数集Z 的边界()Z ∂是( )
① φ ② Z ③ R -Z ④ R
10、在实数空间中,区间[0,1)的边界是( )
① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1)
11、设X 是一个拓扑空间,A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是( )
① ()()()d A B d A d B ⋃=⋃ ② A B A B ⋃=⋃
③ ()()()d A B d A d B ⋂=⋂ ④ A A =
12、已知X 是一个离散拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中正确的是( )
① ()d A φ= ② ()d A X A =-
③ ()d A A = ④ ()d A X =
13、已知X 是一个平庸拓扑空间,A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是(
) ① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =-
③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠
14、设{,,,}X a b c d =,令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑是(
)
① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }}
② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}
③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }}
④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }}
15、离散空间的任一子集为( )
① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭
16、平庸空间的任一非空真子集为( )
① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭
17、实数空间R 中的任一单点集是 ( )
① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭
18、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41
,……},则A =( )
①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A
19、在实数空间R 中,下列集合是闭集的是( )
① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集
20、在实数空间R 中,下列集合是开集的是( )
① 整数集Z ② 有理数集
③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z '
21、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是( )
① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4