大地测量中不适定问题的正则化解法研究

大地测量中病态性问题研究高立恒(山东理工大学建工学院测绘工程山东淄博 255000) 摘要：目前，随着大地测量技术的迅速发展，在大地测量界对病态问题处理的精度和准确度的要求越来越高，人们所采用的数据处理手段也应随之发展。

如何充分考虑大地测量实际，探讨有偏估计和观测方程直接解算的新方法，以满足大地测量发展的需要，是大地测量学者面临的一个新任务。

关键词：大地测量；病态性问题；测量误差；数据处理引言在大地测量中，大部分实际问题都归结为解线性方程组问题。

当方程组系数矩阵呈病态时，测量平差系统所得参数估值性质明显变差。

病态性问题在测量工程中大量存在，而且有时是不可避免的，大地测量中是很常见的，如在GPS快速定位、某些控制网平差、大地测量反演、航天飞行器的精密轨道解算以及重力场的向下延拓等方面存在病态问题。

探索病态问题处理的新方法，是现代测量误差理论及数据处理研究中一项重要课题国内为许多的专家学者已经提出不少解决病态问题的理论及方法。

其中著名的有岭估计、广义岭估计、主成分估计法、遗传算法、加权迭代改善算法、奇异值分解法（SVD）等。

1 病态性产生的原因病态性在数据处理中危害性是很大的。

人们必须对病态性产生的原因和机理进行准确的分析和掌握，这将有助于对病态性进行正确的诊断，它是研究如何削弱和克服病态影响的基础。

病态性的产生与参数选取、观测以及计算方法的选择密切相关。

1．1参数选择的原因。

人们在建立—个平差模型时，在平差前，由于不可能对所有参数的规律全部了解掌握，往往造成过度参数化，使得参数之间存在着某些程度的复共线性，从而导致模型病态。

例如，在测边网中，要用多台测距仪测量边长，为了补偿不同仪器的系统误差，在数据处理中，经常要附加参数，这样常常会造成过度参数化，引起模型病态。

1．2 观测的原因。

观测的原因是指统计分析中的采样不足或测量当中观测量不够。

在统计分析中，由于某些条件限制，子样采样为局部结果。

此时设计矩阵表现出严重的复共线性，其实质为采样不足而引起的模型病态。

现代测量与现代平差技术摘要:本文首先简述了现代测量平差中的各种理论与经典测量平差之间的关系,指出现代测量平差与数据处理理论仍然是以高斯-马尔柯夫模型为核心,通过该模型在不同层面上的扩充、发展形成了若干新理论、新方法,并以图描述了经典测量与现代测量数据处理中各种理论之间的关系。

然后分别阐述了现代测量数据处理中粗差理论、系统误差的处理、病态问题的处理、非线性问题的处理、不等式约束的平差等的发展,最后综述了其他数据处理理论的一些发展情况。

最后讲了整体平差法是一个严格而又有效的平差方法,其应用与现代计算机技术密切相关。

具体介绍了整体平差法的基本原理,并以实测GPS控制网的布设为例,探讨了它在现代测量控制网建立中的具体应用及其技术优势。

关键词:经典测量平差;现代测量平差;高斯-马尔柯夫误差模型;误差模型扩展整体平差分级平差GPS控制网Abstract: This paper described the relationship between the theories in modern surveying adjustment and the traditional surveying adjustment. It pointed out that the theories of modern surveying adjustment and the data processing should be still based on Gauss-Markov error model. Through enlargement and development in different aspects of the model, new theories and methods are worked out. A figure showing such relationship is given.Meanwhile, the theories on blunder detection, systematic error processing, ill-pose problem, nonlinear model,inequality constraints are elaborated. At the last the progresses of other theories on data processing are summarized.Key words: traditional surveying adjustment; modern surveying adjustment; Gauss-Markov error model;extension of error model1、现代测量平差与数据处理理论发展概述经典的测量平差与数据处理是以高斯-马尔柯夫模型为核心[1]:L=AX+Δ(1a)E(Δ) = 0,D(Δ) =σ20Q=σ20P-1(1b)Rnk(A) =n,R(Q) =R(P) =n(1c)这里L为观测向量,Δ为误差向量,X为未知参数向量,A为X的系数矩阵,E(·)为数学期望,σ2为单位权方差,P为观测权矩阵,Q为协因素矩阵,n为观测个数。

２０２０年８月第５５卷　第４期　＊江西省南昌市经开区广兰大道４１８号东华理工大学地球物理与测控技术学院，３３００１３。

Ｅｍａｉｌ：ｄｗｊｈｔｊ＠ｈｏｔｍａｉｌ．ｃｏｍ本文于２０１９年１２月２７日收到，最终修改稿于２０２０年２月１４日收到。

本项研究受国家自然科学基金项目“基于线性相关约束的地球物理联合反演研究”（４１６０４１０４）和“圆锥型场源矿井瞬变电磁法理论基础研究”（４１９７４０８６）、东华理工大学教育部核技术应用工程研究中心开放基金项目“宽范围岩石物性约束技术的改进及其在相山地区ＭＴ和重力正则化联合反演中的应用”（ＨＪＳＪＹＢ２０１６－７）及江西省自然科学基金项目“城市多参数可控电磁勘探理论研究”（２０１９２ＢＡＢ２０２０１２）联合资助。

·非地震·文章编号：１０００－７２１０（２０２０）０４－０９０６－０９大地电磁测深阶段式自适应正则化反演郭一豪①②　陈　晓＊①②　杨海燕①②　张志勇①②　曾志文①②　周　勇①②（①东华理工大学核技术应用教育部工程研究中心，江西南昌３３００１３；②东华理工大学地球物理与测控技术学院，江西南昌３３００１３）郭一豪，陈晓，杨海燕，张志勇，曾志文，周勇．大地电磁测深阶段式自适应正则化反演．石油地球物理勘探，２０２０，５５（４）：９０６－９１４．摘要　如何合理确定正则化因子一直是地球物理反演的研究热点和难点。

从提高反演稳定性的角度对正则化因子的选择进行考量，是确定正则化因子取值的新思路。

此外，以往的正则化反演研究对非线性优化算法的随机性考虑不足。

基于此，以Ｚｈｄａｎｏｖ提出的自适应算法为框架，提出了一种新的自适应正则化算法，即阶段式自适应算法，按照“阶段”自适应地调整正则化因子。

将此方法分别应用于大地电磁测深（ＭＴ）的共轭梯度和差分进化算法（ＤＥ）反演。

模型试验表明该算法可以提高反演的稳定性，在一定程度上降低衰减因子的影响，而且该算法具有同时适用于线性和非线性优化算法的特点。

GPS快速定位中相位模糊度动态解算的一种正则化方法段荣;赵修斌;庞春雷;李媛;伍劭实【期刊名称】《中国惯性技术学报》【年(卷),期】2015(023)005【摘要】针对GPS快速定位中少数历元组成的法方程存在严重病态性的问题,研究了GPS单频整周模糊度快速解算的新方法:即首先采用改进SVD分解获得系数矩阵的精确奇异值,避免了较小奇异值抖动的影响;然后基于改进SVD分解结合法矩阵病态性特点,设计了一种改进Tikhonov正则化方法,合理构造了正则化矩阵,有效抑制法矩阵的病态性.算例表明:与LS估计-LAMBDA方法和Tikhonov正则化-LAMBDA方法相比,新方法能够有效降低法矩阵的条件数约3个数量级,仅解算4个历元数据,浮点解偏离真值的方差从41.89减小到1.04,可以快速获得准确、稳定的模糊度浮点解.模糊度固定性能结果进一步表明,新方法显著地提高模糊度搜索效率和成功率,解算成功率提高100％.【总页数】7页(P624-630)【作者】段荣;赵修斌;庞春雷;李媛;伍劭实【作者单位】空军工程大学信息与导航学院,西安710077;空军工程大学信息与导航学院,西安710077;空军工程大学信息与导航学院,西安710077;94153部队,陕西咸阳712200;空军工程大学信息与导航学院,西安710077【正文语种】中文【中图分类】V557【相关文献】1.GPS动态定位中整周模糊度的快速解算 [J], 刘少鹏;卢艳娥;周亚飞2.单频GPS动态定位中整周模糊度的一种快速解算方法 [J], 刘宁;熊永良;冯威;徐韶光3.GPS动态定位中相位模糊度的解算方法 [J], Sauer.,K;王爱朝4.GPS接收机RTK定位中整周模糊度的快速解算方法 [J], 冯仲科;韩熙春5.差分GPS载波相位整周模糊度快速解算方法 [J], 朱志宇;刘维亭;张冰因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

第３９卷第１期２０００９－２月复旦学报（自然科学版）Ｊｏｕｒｎａ］ｏｆＦｕｄａｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅ）Ｖ０１．３９Ｎｏ．１Ｆｅｂ．２０００文章编号：０４２７７１ｒ】｜Ｉｚ（）ＯＯ）Ｏｔ００２６Ｏｑ不适定逆成像问题的多准则正则化求解方法戴伟辉，高汝熹（管理学院）搐要：不适定性（ｉｌｌｐｏｓｅｄｎｅｓｓ）是图像重建（ｘ射线ＣＴ的投影重建、心电ＥＣＧ厦脑电ＥＥＧ信号的逆成像重建）逆问题求解中非常普遍的情况，由于对观测数据及正问题数字离散化过程中所产生的误差撮为敏感，它在很＾程度上将影响到重建凰像的质量、稳定性和求解精度．通过对由投影重建图像逆问题求解过程中的不适定性丹析，给出ｒ求解不适定逆成像问题的多准则正则化方法及其理论基础，实验结果表明诫方法此传统的单准则正则化求解方法具有更高的成像精度与稳定性．该方法已成功地应用于ＣＴ图像重建、ＮＭＲ围像重建、心电逆同题求鹪以及大气湍流图像重建等领域．关键词：图像重建；不适定逆问题；多准则正则化中图分类号：ＴＰ３９ｌ４１文献标识码：Ａ图像重建过程中．由于逆算子的不适定性．成像质量和精度对观测数据及正问题数字离散化过程中所产生的误差极为敏感．解决这一问题的通常途径是采用Ｔｉｋｈｏｎｏｖ和Ｍｉｌｌｅｒ形式的正则化求解方法“～．近年来，人们在图像重建领域内研究的新成果表明，一－：采取多个准则函数同时优化的正则化求解方法和某些更加精细而有效地描述待重建对象属性的先验知识时．可以获得精度大大高于常规方法下的重建图像，为求解不适定逆成像问题提供了有敬的途径．本文通过对由投影重建图像逆问题求解过程中的不适定性分析，给出了一组受ｇｈｏｓｔ函数影响下的重建图像示例，阐述了求解不适定逆成像问题的多准则正则化方法及其理论基础．实验结果表明，该方法比传统的单准则正则化求解方法具有更高的成像精度与稳定性．并已成功地应用于ＣＴ图像重建、ＮＭＲ图像重建、心电逆问题求解以及大气湍流图像重建等领域。

有界椭球不确定性平差算法在病态问题中的应用夏玉国; 宋迎春【期刊名称】《《大地测量与地球动力学》》【年(卷),期】2019(039)009【总页数】5页(P956-959,965)【关键词】不确定性; 椭球约束; 病态问题; 岭估计【作者】夏玉国; 宋迎春【作者单位】中南大学地球科学与信息物理学院长沙市麓山南路932号 410083; 中南大学有色金属成矿预测与地质环境监测教育部重点实验室长沙市麓山南路932号 410083【正文语种】中文【中图分类】P207病态问题广泛存在于大地测量的数据处理中，如GPS 快速定位、大地反演中常存在不适定问题，其原因是观测信息不充分或者对参数物理信息和先验信息不了解[1-2]。

为解决病态问题，学者们提出一系列有偏估计方法，如岭估计法、Tikhonov正则化法、截断奇异值法，这些方法主要是利用数学手段缩小病态观测方程的系数阵(或法矩阵)的条件数，但很少进行病态原因的分析和从机制上采取有效措施，没有重视算法在实际问题中的物理意义是否合理[3-4]。

解决病态问题的有效途径是充分利用参数的附加信息或先验信息对部分参数进行约束，从而保证参数解的唯一性和稳定性，如等式约束、不等式约束、区间约束以及椭球约束等[5-8]。

等式约束和不等式约束在大地测量实际问题中是一种简单的约束信息，相关文献较多，如谢建等[6]建立附等式约束的病态模型，推导出参数估值的计算公式；冯光财等[7]给出不等式约束和广义岭参数之间的转换方法。

有学者提出利用椭球集合描述不确定先验信息，通过集员估计方法进行参数估计，如Fogel等[8]提出的椭球集员估计算法。

利用椭球约束描述复杂的先验信息，在测绘数据处理中是一种新的尝试，由于带有椭球约束的线性模型与岭估计有较强的相关性[7,9]，因此用集员估计方法处理病态问题比较合适，此方法已经在其他领域得到广泛应用，但在测量平差数据处理中还需要进一步研究[10]。

本文将利用椭球约束描述观测向量和参数的有界不确定先验信息，把它们融入到测量平差模型中，建立平差准则对不适定性进行抑制，研究新的有界椭球不确定性平差方法在病态问题中的应用。

大地电磁测深和重力数据同步正则化联合反演陈晓;张磊;郭曼;葛坤朋;王彦国【摘要】在以往正则化联合反演中,不同的地球物理方法均采用相同的正则化因子.当不同的地球物理方法的数据拟合泛函和模型稳定泛函的数量级不一致时,单正则化因子条件下的正则化联合反演不能充分发挥不同地球物理方法各自模型约束泛函的作用.针对这点不足,以大地电磁测深(MT)和重力联合反演为例,提出了双正则化因子的确定方法,新方法根据MT和重力方法各自的数据拟合效率实现了正则化因子的自适应调整.设计了非完全共界面的断块模型.模型试验表明:与传统的MT和重力正则化联合反演相比,双正则化因子条件下的MT和重力联合反演可以更好地发挥各自的模型约束泛函的模型约束作用,联合反演的解更符合真实模型.【期刊名称】《科学技术与工程》【年(卷),期】2016(016)008【总页数】5页(P54-58)【关键词】联合反演;双正则化因子;大地电磁测深;重力【作者】陈晓;张磊;郭曼;葛坤朋;王彦国【作者单位】东华理工大学放射性地质与勘探技术国防重点学科实验室,南昌330013;东华理工大学放射性地质与勘探技术国防重点学科实验室,南昌330013;东华理工大学放射性地质与勘探技术国防重点学科实验室,南昌330013;东华理工大学放射性地质与勘探技术国防重点学科实验室,南昌330013;东华理工大学放射性地质与勘探技术国防重点学科实验室,南昌330013【正文语种】中文【中图分类】P631多种地球物理方法间的联合反演是综合地球物理研究的重要发展方向，目前各种地球物理参数之间可能的联合反演组合层出不穷。

基于物性或构造耦合约束的电阻率和密度联合反演通常出现在MT和重力联合反演以及MT、重力和地震联合反演中。

Dell’Aversana[1]利用重力、MT和地震顺序反演研究了地质情况复杂的逆冲断层带。

Colombo等[2]利用地震资料联合重力和MT数据重建速度分布，证明联合反演可以减少解的多解性并提高非地震方法的分辨率。

第30卷第4期2010年8月大地测量与地球动力学JOURNALOFGEODESYANDGEODYNAMICSAug.,2010文章编号:1671 5942(2010)04 0102 05测量数据处理中病态矩阵和正则化方法吴杰李明峰1)1,2)*余腾1)1)宿迁学院,宿迁 2238002)南京工业大学土木工程学院,南京摘要从扰动角度、空间几何角度、超椭球的角度对病态方程进行了研究,给出的正则化计算方法能够更好地减弱系数阵复共线数的影响。

数值试验结果表明,该方法效果较好。

关键词测量平差;病态性;条件数;空间几何分析;复共线性;正则化方法中图分类号:P207 文献标识码:A ILLMATRIXANDREGULARIZATIONMETHODINSURVEYINGDATAPROCESSI NGWuJie,LiMingfeng1)SuqianCollege,Suqian 2238002)DepartmentofCivilEngineering,NanjingUniversityofTechnology,Nanjing 1)1,2)andYuTeng1)AbstractTheexplorestheillconditioningequationfromdisturbance,spatialgeometryandellipsoidalstructureareexplored.Theregularizationmethodwhichcanbebetterabletoabatecoefficientmatrix ofthecomplex1 引言在测量数据处理中,LS估计是被广泛采用的估计方法,但是当模型病态时,观测数据的微小扰动常常会造成估值与其真值的偏差很大,估值表现出不稳定。

病态问题危害非常严重,且存在于变形观测数据处理、大地测量、GPS数据处理等许多领域。

目前测量界对病态问题的研究主要集中在两个方面:一是如何建立病态问题的有效诊断方法;二是寻求效果更好的病态问题解法。