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高中数学必修2 高中数学必修二2.3.4《平面与平面垂直的性质》导学导练【知识要点】1、平面与平面垂直的性质（重点）性质1、如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面若α⊥β，α∩β=AB，CDα，CD⊥AB.则CD⊥β.定理剖析：（1）面面垂直得到线面垂直；（2）为判定和作出线面垂直提供依据。
性质2、如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。
【范例析考点】考点一．利用性质定理证明线面垂直例1：如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点。
(1)求证：AM∥平面BDE；(2)求证：AM⊥平面BDF；(3)求二面角A－DF－B的大小；【针对练习】1、如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB．考点二．利用性质定理证明面面垂直例2：如图所示，在长方体1111ABCD A B C D-中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点（Ⅰ）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；（Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A1B1M1【针对练习】1、直角梯形ABCD中，BCAD//，090=∠A，1==ABAD，2=BC.沿BD翻折，使平面ABD⊥平面BCD.(1)求二面角ACDB--的大小；(2)证明：平面ABC⊥平面ADCA DBCADBCMC BF个人原创，版权所有，翻印必究，如需借用，QQ 索取密码 第1页 解密佛山吉红勇老师扣扣：一0七669八11考点三．利用性质定理证明线线垂直例3：如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面PBC 求证：BC ⊥AB ．【针对练习】1、在三棱锥P ABC -中，侧面PAC 与面ABC 垂直，3PA PB PC ===． (1)求证：AB BC ⊥；(2)设23AB BC ==，求AC 与平面PBC 所成角的大小．2、如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是BB 1、CD 的中点. (Ⅰ)证明AD⊥D 1F; (Ⅱ)求AE 与D 1F 所成的角; (Ⅲ)证明面AED⊥面A 1FD 1;考点四．利用面面垂直性质求距离例4：如图10，四棱锥P —ABCD 的底面是AB=2，BC=2的矩形，侧面PAB 是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD. （1）证明侧面PAB⊥侧面PBC ； （2）求侧棱PC 与底面ABCD 所成的角； （3）求直线AB 与平面PCD 的距离.【针对练习】1、点P 是边长为a 的正三角形ABC 所在平面外一动点，始终保持平面APB ⊥平面PBC ，且平面APC ⊥平面PBC ，求点P 到平面ABC 的最大距离.ACBp2、已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面A 1ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC ＝90°，BC ＝2，AC ＝2，且AA 1⊥A 1C ，AA 1＝A 1C 。
（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二第2课时 两平面垂直的判定【课时目标】 1．掌握二面角、二面角的平面角的概念，会求简单的二面角的大小．2．掌握两个平面互相垂直的概念，并能利用判定定理判定两个平面垂直．1．二面角：一条直线和由这条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角．______________叫做二面角的棱．________________叫做二面角的面．二面角α的范围为________________．2．平面与平面的垂直①定义：如果两个平面所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直． ②面面垂直的判定定理文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条______，那么这两个平面互相垂直．符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥α⇒α⊥β．一、填空题 1．下列命题：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a 、b 分别和一个二面角的两个面垂直，则a 、b 组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角； ④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系． 其中正确的是________(填序号)．2．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有________条． 3．设有直线m 、n 和平面α、β，则下列结论中正确的是________(填序号)． ①若m ∥n ，n ⊥β，m ⊂α，则α⊥β； ②若m ⊥n ，α∩β＝m ，n ⊂α，则α⊥β； ③若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β．4．过两点与一个已知平面垂直的平面有________个．5．在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，把菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD＝32，则二面角B－AC－D的大小为________．6．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中成立的是________(填序号)．①BC∥面PDF; ②DF⊥面PAE；③面PDF⊥面ABC; ④面PAE⊥面ABC．7．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________．8．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．9．已知α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：____________．二、解答题10．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点．求证：平面BEF⊥平面BGD．11．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E 是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝3．(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A—BE—P的大小．能力提升12．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C．13．如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．(1)求证：BC⊥平面PAC．(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．1．证明两个平面垂直的主要途径(1)利用面面垂直的定义，即如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．2．利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中存在这样的直线，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论依据并有利于证明，不能随意添加．3．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的的．第2课时两平面垂直的判定答案知识梳理1．两个半平面这条直线每个半平面0°≤α≤180°2．①直二面角②垂线l⊂β作业设计1．②④解析①不符合二面角定义，③从运动的角度演示可知，二面角的平面角不是最小角．2．0解析若存在1条，则α⊥β，与已知矛盾．3．①③解析②错，当两平面不垂直时，在一个平面内可以找到无数条直线与两个平面的交线垂直．4．1或无数解析当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直，当两点连线与平面不垂直时，有且只有一个平面与已知平面垂直．5．60°解析如图所示，由二面角的定义知∠BOD即为二面角的平面角．∵DO＝OB＝BD＝3 2，∴∠BOD＝60°．6．①②④解析如图所示，∵BC∥DF，∴BC∥平面PDF．∴①正确．由BC⊥PE，BC⊥AE，∴BC⊥平面PAE．∴DF⊥平面PAE．∴②正确．∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)．∴④正确．7．45°解析可将图形补成以AB、AP为棱的正方体，不难求出二面角的大小为45°．8．5解析 由PA ⊥面ABCD 知面PAD ⊥面ABCD ，面PAB ⊥面ABCD ， 又PA ⊥AD ，PA ⊥AB 且AD ⊥AB ， ∴∠DAB 为二面角D —PA —B 的平面角， ∴面DPA ⊥面PAB ．又BC ⊥面PAB ， ∴面PBC ⊥面PAB ，同理DC ⊥面PDA ， ∴面PDC ⊥面PDA ． 9．①③④⇒②(或②③④⇒①)10．证明 ∵AB ＝BC ，CD ＝AD ，G 是AC 的中点， ∴BG ⊥AC ，DG ⊥AC ， ∴AC ⊥平面BGD ．又EF ∥AC ，∴EF ⊥平面BGD ．∵EF ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面BGD ．11．(1)证明 如图所示，连结BD ，由ABCD 是菱形且∠BCD ＝60°知，△BCD 是等边三角形．因为E 是CD 的中点，所以BE ⊥CD ．又AB ∥CD ，所以BE ⊥AB ． 又因为PA ⊥平面ABCD ， BE ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BE ．而PA ∩AB ＝A ， 因此BE ⊥平面PAB ． 又BE ⊂平面PBE ， 所以平面PBE ⊥平面PAB ．(2)解 由(1)知，BE ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ， 所以PB ⊥BE ．又AB ⊥BE ，所以∠PBA 是二面角A —BE —P 的平面角． 在Rt △PAB 中，tan ∠PBA ＝PAAB ＝3，则∠PBA ＝60°．故二面角A —BE —P 的大小是60°．12．证明 (1)由E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点知 EF ∥BC ．因为EF ⊄平面ABC ． BC ⊂平面ABC ．所以EF∥平面ABC．(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1．又A1D⊂平面A1B1C1，故CC1⊥A1D．又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C．13．(1)证明∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC．又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC．又∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC．(2)解∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC．又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE．∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°．∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC．这时∠AEP＝90°，故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．。
2.3.3 直线与平面垂直的性质一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．若l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥αB ．若直线l 与平面α垂直，则l 与α内的任一直线垂直C ．若E 、F 分别为△ABC 中AB 、BC 边上的中点，则EF 与经过AC 边的所有平面平行D ．两条垂直的直线中有一条和一个平面平行，则另一条和这个平面垂直2．若M 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )① ⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ②⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒M ∥n ；③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒M ⊥n; ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n⇒n ⊥α． A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．已知直线PG ⊥平面α于G ，直线EF ⊂α，且PF ⊥EF 于F ，那么线段PE ，PF ，PG 的大小关系是( )A ．PE >PG >PFB ．PG >PF >PEC ．PE >PF >PGD ．PF >PE >PG4．PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B 的任一点，则下列关系不正确的是( )A ．PA ⊥BCB ．BC ⊥平面PAC C ．AC ⊥PBD ．PC ⊥BC 5．下列命题：①垂直于同一直线的两条直线平行； ②垂直于同一直线的两个平面平行； ③垂直于同一平面的两条直线平行； ④垂直于同一平面的两平面平行． 其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．在△ABC 所在的平面α外有一点P ，且PA ＝PB ＝PC ，则P 在α内的射影是△ABC 的( )A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心二、填空题7．线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．8．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a ∥b成立的条件是________．(只填序号)①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．9．如图所示，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD 是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．三、解答题10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：(1)MN∥AD1；11．如图所示，设三角形ABC的三个顶点在平面α的同侧，AA′⊥α于A′，BB′⊥α于B′，CC′⊥α于C′，G、G′分别是△ABC 和△A′B′C′的重心，求证：GG′⊥α．2.3.4 平面与平面垂直的性质1．平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内________于________的直线与另一个平面垂直．用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒________．2．两个重要结论：(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在________________________．图形表示为：符号表示为：α⊥β，A∈α，A∈a，a⊥β⇒________．(2)已知平面α⊥平面β，a⊄α，a⊥β，那么________(a与α的位置关系)．一、选择题1．平面α⊥平面β，直线a∥α，则( )A．a⊥βB．a∥βC．a与β相交 D．以上都有可能2．平面α∩平面β＝l，平面γ⊥α，γ⊥β，则( )A．l∥γB．l⊂γC．l与γ斜交 D．l⊥γ3．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有( )A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条4．设α－l－β是直二面角，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l都不垂直，那么( )A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b可能垂直，也可能平行C．a与b不可能垂直，但可能平行D．a与b不可能垂直，也不可能平行5．已知两个平面互相垂直，那么下列说法中正确的个数是( ) ①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线，垂足必落在交线上④过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面A ．4B ．3C ．2D ．16．如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6．过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A ′、B ′，则AB ∶A ′B ′等于( )A ．2∶1B ．3∶1C ．3∶2D ．4∶3 二、填空题7．若α⊥β，α∩β＝l ，点P ∈α，PD /∈l ，则下列命题中正确的为________．(只填序号)①过P 垂直于l 的平面垂直于β； ②过P 垂直于l 的直线垂直于β； ③过P 垂直于α的直线平行于β； ④过P 垂直于β的直线在α内． 三、解答题8．如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面PBC ．求证：BC ⊥AB ．9．如图所示，P 是四边形ABCD 所在平面外的一点，四边形ABCD 是∠DAB ＝60°且边长为a 的菱形．侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB．10．如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA．。
D B A α 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； ] ]； a 来表 a a 线线平行 A ·α C ·B · A · α P· αLβ 共面直线p线面平行 面面平行 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行叫做垂足。
叫做垂足。
的垂线，则这两个ba第 3 页 共 3 页aa b a b //,a a a ÞþýüË^^1、性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号表示：符号表示：b a b a //,Þ^^a a 2、性质定理：一条直线与一个平行垂直，那么过这条直线的平面也与此平面垂直 符号表示：b a b a ^ÞÌ^a a ,2.3.4平面与平面垂直的性质1、性质定理：、性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
符号表示：b b a a b a ^Þïþïýü=^Ì^a l l a a ,2、性质定理：垂直于同一平面的直线和平面平行。
符号表示：符号表示：符号表示：一、异面直线所成的角一、异面直线所成的角1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ¢¢， 我们把a ¢与b ¢所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。
所成的角。
2.角的取值范围：090q <£°；垂直时，异面直线当b a ,900=q二、直线与平面所成的角二、直线与平面所成的角1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角2.角的取值范围：°°££900q 。
三、两个半平面所成的角即二面角：三、两个半平面所成的角即二面角： 1、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
2.3.4平面与平面垂直的性质姓名:___________班级:______________________1.已知,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,若,m n αβ⊥⊥,且βα⊥,则下列结论一定正确的是( )A.m n ⊥B.//m nC.m 与n 相交D.m 与n 异面2.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,12AA AB =,AB BC =,则下列结论中正确的是( )A.1BD ∥1B CB.11A D ∥平面1AB CC.1BD AC ⊥D.1BD ⊥平面1AB C3.如图所示,平面四边形ABCD 中,2,1====BD CD AD AB ,CD BD ⊥,将其沿对角线BD 折成四面体BCD A -,使平面ABD ⊥平面BCD ,则下列说法中不正确的是( )A.ABD ACD 平面平面⊥B.CD AB ⊥C.ACD ABC 平面平面⊥D.ABC AD 平面⊥4.设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,则下列命题正确的是( ) ①若,m ααβ⊥⊥,则m β; ②若,,m n ααββ⊥⊂,则m n ⊥;③,,m n m n αβ⊂⊂,则αβ;④若,,n n m αββ⊥⊥⊥,则m α⊥.A.①②B.③④C.①③D.②④5.在正四面体P ABC -中,D,E,F 分别是AB,BC,CA 的中点,下面四个结论中不成立的是( )A.BC ∥平面PDFB.DF ⊥平面PAEC.平面PDF ⊥平面ABCD.平面PAE ⊥平面ABC6.如图,在四面体D －ABC 中,若AB ＝CB,AD ＝CD,E 是AC 的中点,则下列正确的是( )A.平面ABC ⊥平面ABDB.平面ABD ⊥平面BDCC.平面ABC ⊥平面BDE,且平面ADC ⊥平面BDED.平面ABC ⊥平面ADC,且平面ADC ⊥平面BDE7.已知三条不重合的直线,,m n l 和两个不重合的平面,αβ,下列命题正确的是( )A.若m n ,n α⊂,则m αB.若αβ⊥,m αβ=,且n m ⊥,则n α⊥C.若l n ⊥,m n ⊥,则lm D.若l α⊥,m β⊥,且l m ⊥,则αβ⊥8.如图,四棱锥S ABCD -的底面为正方形,SD ⊥底面ABCD ,则下列结论中不正确的是( )A.AC SB ⊥B.AB ∥平面SCDC.AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角D.SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角9.如图,四面体P －ABC 中,PA ＝PB 平面PAB ⊥平面ABC,∠ABC ＝90°,AC ＝8,BC ＝6,则PC ＝________.10.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,给出以下四个结论:①1D C ∥平面11A ABB ; ②11A D 与平面1BCD 相交; ③AD⊥平面1D DB ; ④平面1BCD ⊥平面11A ABB .其中正确结论的序号是 .11.已知PA ⊥正方形ABCD 所在的平面,垂足为A,连接PB,PC,PD,则平面PAB,平面PAD,平面PCD,平面PBC,平面ABCD 中,互相垂直的平面有 对.12.如图,O 是正方形ABCD 的中心,PO ⊥底面ABCD ,E 是PC 的中点.求证:(1)//PA 平面BDE ;(2)平面PAC ⊥平面BDE . 13.如图,正三棱柱111C B A ABC -中,E 是AC 的中点.(1)求证:平面111A ACC BEC ⊥;(2)若2,21==AB AA ,求点A 到平面1BEC 的距离.14.在如图所示的几何体中,四边形A B C 是等腰梯形,,AB CD 60,DAB ∠=FC ⊥平面,ABCD AE BD ⊥,CB CD CF ==.(1)求证:BD ⊥平面AED ;(2)求二面角F BD C --的余弦值.参考答案1.A【解析】因为,m n αβ⊥⊥,所以,m n 所在向量分别是,αβ的法向量,又βα⊥,所以m n ⊥,故选A.考点:线面垂直的性质,面面垂直的性质.2.C【解析】连接BD,∵1111ABCD A B C D -为长方体,AB ＝BC,∴AC ⊥BD,AC ⊥1DD ,∵BD∩1DD ＝D,∴AC ⊥平面1BDD ,∵1BD ⊂平面1BDD ,∴AC ⊥1BD .考点:直线与平面垂直的性质,直线与平面平行的判定.3.D【解析】取BD 中点M,连接AM ,显然CD AM ⊥,又CD BD ⊥,所以ABD CD 面⊥,所以ABD ACD 平面平面⊥,CD AB ⊥.因为CD AB ⊥,AD AB ⊥,所以ACD AB 面⊥,所以ACD ABC 平面平面⊥.考点:折叠问题及线面垂直,面面垂直.4.D【解析】对于①可以有β⊂m ,故不成立;关于③可以有βα ,所以不成立,故选D. 考点:空间直线与平面的位置关系及判定.5.C【解析】由DF ∥BC,可得BC ∥平面PDF,故A 正确;作PO ⊥平面ABC,垂足为O,则O 在AE 上,则DF ⊥PO,又DF ⊥AE,故DF ⊥平面PAE,故B 正确;由DF ⊥平面PAE 可得,平面PAE ⊥平面ABC,故D 正确.故选C.考点:空间中直线与平面之间的位置关系.6.C【解析】因为AB ＝CB,且E 是AC 的中点,所以BE ⊥AC,同理,DE ⊥AC,于是AC ⊥平面BDE.因为AC 在平面ABC 内,所以平面ABC ⊥平面BDE.又AC ⊂平面ACD,所以平面ACD ⊥平面BDE,所以选C.考点:面面垂直的判定与性质.7.D【解析】A 选项,可能有α⊂m ;B 选项,若n β⊂,则α⊥n ,无条件n β⊂,直线n 与平面α位置关系不确定;C 选项,在空间中,l 与m 可能平行,可能异面,可能相交,故选D . 考点:空间的线面关系.8.C【解析】因为SD⊥底面ABCD,所以AC SD ⊥,又ABCD 为正方形,所以AC BD ⊥,所以SDB AC 面⊥,所以AC⊥SB ,A 正确;因为CD AB //,所以AB∥平面SCD,故B 正确;AB 与SC 所成的角为SCD ∠,DC 与SA 所成的角为SAB ∠,故不相等;很明显SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角相等.考点:线面垂直、线面平行、异面直线所成的角、线面角.9.7【解析】取AB 的中点E,连接PE,CE,∵PA ＝PB,∴PE ⊥AB. 又平面PAB ⊥平面ABC,∴PE ⊥平面ABC,∴PE ⊥CE.∵∠ABC ＝90°,AC ＝8,BC ＝6,∴AB＝,PE=∴PC＝7.考点:面面垂直的性质.10.①④【解析】对于①,因为平面11A ABB ∥平面11D CDC ,⊂C D 1平面11D CDC ,故C D 1与平面11A ABB 没有公共点,所以1D C ∥平面11A ABB ,故①正确;对于②,因为11D A ∥BC ,所以11D A ⊂平面1BCD ,所以②错误;对于③,AD 与1,BD BD 不垂直,所以③错误;对于④,在长方体1111ABCD A B C D -中,容易知道⊥BC 平面11A ABB ,而BC ⊂平面1BCD ,所以平面⊥1BCD 平面11A ABB ,所以④正确.故应填①④.考点:空间中直线与平面之间的位置关系.11.5【解析】,,PA ABCD PAB ABCD PAD ABCD ⊥∴⊥⊥平面平面平面平面,又,,,CD AD PADABCD AD CD PAD ⊥=∴⊥平面平面平面PCD PAD ∴⊥平面平面,同理,平面PAB ⊥平面PAD ,平面PBC ⊥平面PAB ,所以互相垂直的平面共有5对.考点:面面垂直的性质与判定.12.(1)见解析(2)见解析【解析】(1)如图,连接OE ,因为,O E 分别是,AC PC 的中点,所以//OE PA ,又因为,OE BDE PA BDE ⊂⊄平面平面,所以//PA 平面BDE .(2)PO ⊥底面ABCD ,PO BD ∴⊥,又BD AC ⊥,∴BD PAC ⊥平面,又因为BD BDE ⊂平面,所以平面PAC ⊥平面BDE .考点:线与面平行的判定,面与面垂直的判定.13.(1)证明见解析【解析】证明:(1)∵111C B A ABC -是正三棱柱,∴⊥1AA 平面ABC ,又⊂BE 平面ABC ,∴1AA BE ⊥.∵ABC ∆是正三角形,E 是AC 中点,∴AC BE ⊥,又A AC AA = 1,⊂1AA 平面11A ACC ,⊂AC 平面11A ACC ,∴⊥BE 平面11A ACC ,∵⊂BE 平面1BEC ,∴平面1BEC ⊥平面11A ACC .(2)正三棱柱111C B A ABC -中,2,21==AB AA ,因为E 是AC 中点,在直角1CEC ∆中∵⊥BE 平面11A ACC ,⊂1EC 平面11A ACC ,∴1EC BE ⊥,∴2333212111=⨯⨯=⋅=∆EC BE S BEC . 设点A 到面1BEC 的距离为h ,∵11BEC A ABE C V V --=,∴662331=⨯h , ∴36=h . 考点:面面垂直的判定定理,线面垂直的性质定理,等体积法.14.(1)详见解析【解析】(1)证明:因为四边形ABCD 为等腰梯形,AB CD ,60DAB ∠=,所以120ADC BCD ∠=∠=.又CB CD =,所以30CDB ∠=, 因此90ADB ∠=,AD BD ⊥,又AE BD ⊥,且AE AD A =,,AE AD ⊂平面AED ,所以BD ⊥平面AED .(2)取BD 的中点G ,连接,CG FG ,因为CB CD =,所以CG BD ⊥. 又FC ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,所以FC BD ⊥.由于FC CG C =,,FC CG ⊂平面FCG ,所以BD ⊥平面FCG ,故BD FG ⊥.所以FGC ∠为二面角F BD C --的平面角.在等腰三角形B C D 中,由于120BCD ∠=,因,又CB CF =,所以FG ==, 因此,二面角F BD C --的余弦值为 考点:线面垂直的判定;二面角求解。
【成才之路】 高中数学 2.3.4平面与平面垂直的性质练习 新人教A 版必修2基础巩固一、选择题1．平面α⊥平面β，α∩β＝l ，m ⊂α，m ⊥l ，则( ) A ．m ∥β B ．m ⊂βC ．m ⊥βD ．m 与β相交但不必然垂直[答案] C2．已知平面α⊥平面β，直线a ⊥β，则( ) A ．a ⊂α B ．a ∥α C ．a ⊥α D ．a ⊂α或a ∥α [答案] D3．(2015·合肥高一检测)空间四边形ABCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，且DA ⊥平面ABC ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 [答案] B4．如下图所示，三棱锥P －ABC 的底面在平面α内，且AC ⊥PC ，平面PAC ⊥平面PBC ，点P ，A ，B 是定点，则动点C 的轨迹是( )A ．一条线段B ．一条直线C ．一个圆D ．一个圆，但要去掉两个点[答案] D[解析] ∵平面PAC ⊥平面PBC ，AC ⊥PC ，平面PAC ∩平面PBC ＝PC ，AC ⊂平面PAC ，∴AC ⊥平面PBC ．又∵BC ⊂平面PBC ，∴AC ⊥BC ．∴∠ACB ＝90°. ∴动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，除去A 和B 两点．5．如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角别离为π4和π6.过A 、B 别离作两平面交线的垂线，垂足为A ′、B ′，则AB A ′B ′等于( )A ．2 1B ．3 1C ．3 2D ．4 3[答案] A[解析] 由已知条件可知∠BAB ′＝π4，∠ABA ′＝π6，设AB ＝2a ，则BB ′＝2a sin π4＝2a ，A ′B ＝2a cos π6＝3a ，∴在Rt △BB ′A ′中，得A ′B ′＝a ，∴AB A ′B ′＝21.6．如图所示，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在( )A ．直线AB 上 B ．直线BC 上 C ．直线AC 上D ．△ABC 内部[答案] A[解析] ∵AC ⊥AB ，AC ⊥BC 1，∴AC ⊥平面ABC 1， 又∵AC ⊂平面ABC ，∴平面ABC 1⊥平面ABC ，∴C 1在平面ABC 上的射影H 必在平面ABC 1与平面ABC 的交线AB 上，故选A ． 二、填空题7．平面α⊥平面β，直线l ⊂α，直线m ⊂β，则直线l ，m 的位置关系是________. [答案] 相交、平行、异面8．三棱锥P －ABC 的高为PH ，若三个侧面两两垂直，则H 为△ABC 的________心． [答案] 垂[解析] 由三个侧面两两垂直知三条侧棱两两垂直，则有BC⊥PA，AB⊥PC，CA⊥PB，又由BC⊥PA，PH⊥BC，得BC⊥平面PAH，则BC⊥AH，同理有AB⊥CH，CA⊥BH，所以H为△ABC高线的交点，即垂心．三、解答题9．把一副三角板如图拼接，设BC＝6，∠A＝90°，AB＝AC，∠BCD＝90°，∠D＝60°，使两块三角板所在的平面彼此垂直．求证：平面ABD⊥平面ACD．[证明]⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫平面ABC⊥平面BCDCD⊥BC⇒CD⊥平面ABCAB⊂平面ABC⇒⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫CD⊥ABAB⊥AC⇒AB⊥平面ACDAB⊂平面ABD⇒平面ABD⊥平面ACD．10.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD 是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点．(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD．[解析] (1)∵CD∥平面PBO，CD⊂平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO＝BO，∴BO∥CD．又BC∥AD，∴四边形BCDO为平行四边形．则BC＝DO，而AD＝3BC，∴AD＝3OD，即点O是靠近点D的线段AD的一个三等分点．(2)证明：∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，AB⊂底面ABCD，且AB ⊥AD，∴AB⊥平面PAD．又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD．又PA⊥PD，且PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，AB∩PA＝A，∴PD⊥平面PAB．又PD⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD．能力提升一、选择题1．在空间中，下列命题正确的是( )A．若三条直线两两相交，则这三条直线肯定一个平面B．若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥αC．若平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面βD．若直线a∥b，且直线l⊥a，则l⊥b[答案] D[解析] 选项A中，如有3个交点，则肯定一个平面，若三条直线交于一点，则不必然能肯定一个平面，如正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1，AB，AD两两相交，但由AA1，AB，AD 不能肯定一个平面，所以A不正确；选项B中，缺少条件m是平面α外的一条直线，所以B不正确；选项C中，不知足面面垂直的性质定理的条件，必需是α内垂直于l的直线，所以C不正确；由于两条平行直线中的一条与第三条直线垂直，那么另一条也与第三条直线垂直，所以D正确．2．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( )A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β[答案] C[解析] l⊥α，α⊥β⇒l∥β或l⊂β，A错；l∥α，α∥β⇒l∥β或l⊂β，B错；l⊥α，α∥β⇒l⊥β，C正确；若l∥α，α⊥β，则l与β位置关系不肯定，D错．3．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则能够得出a⊥b的是( )A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β[答案] C[解析] b⊥β，α∥β，∴b⊥α，又a⊂α，∴b⊥a.4.如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转进程中的一个图形(A′不与A，F重合)，则下列命题中正确的是( )①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②BC∥平面A′DE；③三棱锥A′－FED的体积有最大值．A．①B．①②C．①②③D．②③[答案] C[解析] 注意折叠前DE⊥AF，折叠后其位置关系没有改变．①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，∴点A′在平面ABC上的射影在线段AF上．②BC∥DE，BC⊄平面A′DE，DE⊂平面A′DE，∴BC∥平面A′DE.③当平面A′DE⊥平面ABC时，三棱锥A′－FED的体积达到最大．二、填空题5.如右图所示，P是菱形ABCD所在平面外的一点，且∠DAB＝60°，边长为a.侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，PB与平面AC所成的角为θ，则θ＝________.[答案] 45°[解析] 如图所示，取AD的中点G，连接PG，BG，BD．∵△PAD是等边三角形，∴PG⊥AD，又平面PAD⊥平面AC，平面PAD∩平面AC＝AD，PG⊂平面PAD，∴PG⊥平面AC，∴∠PBG是PB与平面AC所成的角θ.在△PBG中，PG⊥BG，BG＝PG，∴∠PBG ＝45°，即θ＝45°.6．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为DC 的中点，F 为线段EC (端点除外)上一动点．现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ．在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB ，K 为垂足．设AK ＝t ，则t 的取值范围是________.[答案] (12，1)[解析] 如图，过D 作DG ⊥AF ，垂足为G ，连接GK ，∵平面ABD ⊥平面ABC ，又DK ⊥AB ， ∴DK ⊥平面ABC ，∴DK ⊥AF . ∴AF ⊥平面DKG ，∴AF ⊥GK .容易患到，当F 接近E 点时，K 接近AB 的中点，当F 接近C 点时，K 接近AB 的四等分点．所以t 的取值范围是(12，1)．三、解答题7．(2015·甘肃兰州一中期末)如图，四棱锥A －BCDE 中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，BC ＝2，CD ＝2，AB ＝AC ，CE 与平面ABE 所成的角为45°.(1)证明：AD ⊥CE ；(2)求二面角A －CE －B 的正切值．[解析] (1)证明：如图，取BC 的中点H ，连接HD ，交CE 于点P ，连接AH ，AP . ∵AB ＝AC ， ∴AH ⊥BC ．又∵平面ABC ⊥平面BCDE ， ∴AH ⊥平面BCDE ， 又CE ⊂平面BCDE ， ∴AH ⊥CE .又∵HC CD ＝CD DE ＝12，∠BCD ＝∠CDE ＝90°，∴Rt △HCD ∽Rt △CDE . ∴∠CDH ＝∠CED ， ∴HD ⊥CE .又AH ∩HD ＝H ， ∴CE ⊥平面AHD ． ∴AD ⊥CE .(2)由(1)CE ⊥平面AHD ，得AP ⊥CE ， 又HD ⊥CE ，∴∠APH 就是二面角A －CE －B 的平面角． 过点C 作CG ⊥AB ，垂足为G ，连接EG . ∵BE ⊥BC ，且BE ⊥AH ，AH ∩BC ＝H ， ∴BE ⊥平面ABC ， ∴BE ⊥CG ，又BE ∩AB ＝B ，∴CG ⊥平面ABE ，∴∠CEG 就是CE 与平面ABE 所成的角，则∠CEG ＝45°， 又CE ＝22＋22＝6，∴CG ＝EG ＝ 3.又BC ＝2，∴∠ABC ＝60°， ∴AB ＝BC ＝AC ＝2，∴AH ＝ 3. 又由△HCP ∽△DEP 得HP ＝33， ∴tan ∠APH ＝AH HP＝3.8．(2011·江苏)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 别离是AP ，AD 的中点．求证：(1)直线EF ∥平面PCD ； (2)平面BEF ⊥平面PAD ．[解析] (1)在△PAD 中，因为E ，F 别离为AP ，AD 的中点，所以EF ∥PD ． 又因为EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ， 所以直线EF ∥平面PCD ．(2)连接BD．因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD，又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD．。
人教B 版 数学 必修2：平面与平面垂直的性质一、选择题1. 二面角α－l －β是直二面角，a ∈ α，b ∈β，且a 、b 与l 都是斜交，那么 ( D ) A. a 与b 可能垂直，但不可能平行． B. a 与b 可能垂直，也可能平行． 与b 不可能垂直，但可能平行． D. a 与b 不可能平行，也不可能垂直．2. 在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中,真命题是 ( B )A.若l ⊂β且α⊥β,则l ⊥α.B. 若l ⊥β且α∥β,则l ⊥α.C.若l ⊥β且α⊥β,则l ∥α.D. 若α∩β=m 且l ∥m,则l ∥α.3. 在相互垂直的两个平面中，下列命题中①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内的任意一直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；④过一个平面内的任意一点作垂直于另一个平面的直线必在第一个平面内；正确的个数是 （ C ）A ．1B ．2C ．3D ．44.下列四个命题中错误的一个是 （ D ） A ．空间存在不共面的四个点A 、B 、C 、D ，若是AB ⊥CD ，AD ⊥BC ，则AC ⊥BD ； B ．若l β，且l ⊥α，则α⊥β；C ．若α，β，γ是三个不同的平面，a 表示直线，若是α∩β=a,α⊥γ,β⊥γ，则a ⊥γ；D ．与两条异面直线都垂直的直线是这两条异面直线的公垂线5. 关于直线l ，m ，n 和平面βα,，下列命题中正确的是 （ D ） A ．若n m n m //,//,//则αα B ．若αα⊥⊥n m n m 则,,// C ．若ααα⊥⊥⊥⊂⊂l n l m l n m 则且,,,, D ．若βαβα⊥⊥则,//,m m二、填空题6. 设有不同的直线a 、b 和不同的平面a 、β、γ，给出下列三个命题： （1）若a a //，a b //，则b a //．（2）若a a //，β//a ，则β//a ． （3）若γ⊥a ，γβ⊥，则β//a ． 其中正确的个数是7. 设P 是60的二面角l αβ--内一点，,PA PB αβ⊥⊥平面平面,A,B 为垂足，4,2,PA PB ==则AB 的长为 .8. α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α、β之外的两条不同的直线，给出四个论断： ①m ⊥n ，②α⊥β，③n ⊥β，④m ⊥α，以其中三个论断作为条件，余下一个论断 作为结论，写出你以为正确的一个命题 ．9. 已知m 、n 是直线，γβα,,是平面，给出下列命题（1）若γα⊥，γβ⊥，则βα//（2）若,,βα⊥⊥n n 则βα//（3）若α内不共线三点 A ，B ，C 到β的距离都相等，则βα//（4）若,,αα⊂⊂m n 且βαββ//,//,//则m n（5）若m,n 为异面直线，且βααββα//,//,,//,则m m n n ⊂⊂. 则其中正确的是.10. 已知平面α和平面交于直线l ，P 是空间一点，PA ⊥α，垂足为A ，PB ⊥β，垂足为B ，且PA=1，PB=2，若点A 在β内的射影与点B 在α内的射影重合，则点P 到l 的距离为 . 三、解答题11. 如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，1BB PM ⊥交1AA 于点M ，1BB PN ⊥交1CC 于点N .(1) 求证：MN CC ⊥1；(2) 在任意DEF ∆中有余弦定理：DFE EF DF EF DF DE ∠⋅-+=cos 2222. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.12. 三棱锥P ─ABC 中,侧面PAC 与底面ABC 垂直,PA=PB=PC 求证AB ⊥BC; PBCA13. 如图，一副三角板拼放，现沿拼接处将它们折成一个直二面角， (1)求证AB ⊥平面ACD ；(2)求平面ABD 与平面BCD 所成的角； (3)求AD 与BC 所成角的正切值．14. 已知直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，且160AA AD ,DAB =︒=∠，F 为棱BB 1的中点，M 为线段AC 1的中点.（1）求证：直线MF 1AA A 1B 1B C 1CMN P【课时41答案】5. D .7. 设平面PAB 交棱l 于点Q ，则由PA ⊥平面α，PB ⊥平面β知：l ⊥PA ，l ⊥PB ． 于是∠AQB 为二面角α－l —β的平面角，从而∠AQB=60°，故∠APB=1 20°． 在△APB 中，AB 2=PA 2 ＋PB 2—2 PA·PB cos 1 20°=28．72=AB ． 8.②、③、④ ① 或 ①、③、④ ② 9. （2）（5） 10.5 11. (1) 证：MN CC PMN CC PN CC PM CC BB CC ⊥⇒⊥∴⊥⊥⇒111111,,//平面 ；(2) 解：在斜三棱柱111C B A ABC -中，有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=，其中α为 平面B B CC 11与平面A A CC 11所组成的二面角.∴⊥,1PMN CC 平面 上述的二面角为MNP ∠,在PMN ∆中， cos 2222⇒∠⋅-+=MNP MN PN MN PN PMMNP CC MN CC PN CC MN CC PN CC PM ∠⋅⋅⋅-+=cos )()(211111222222，由于111111111,,BB PM S CC MN S CC PN S A ABB A ACC B BCC ⋅=⋅=⋅=，∴有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=. 12. 如图,取AC 中点D,连结PD 、BD. 因为PA=PC,因此PD ⊥AC, 又已知面PAC ⊥面ABC. 因此PD ⊥面ABC,D 为垂足. 因为PA=PB=PC,因此DA =DB=DC,可知AC 为ΔABC 的外接圆直径, 因此AB ⊥BC.13. (1)∵CD ⊥BC ，平面ABC ⊥平面BCD,CD ⊥平面ABC ，CD ⊥AB, 又∵AB ⊥AC,AB ⊥平面ACD ．(2)过A 作AE ⊥BC 于E ．∵平面ABC ⊥平面BCD ．∴AE ⊥平面BCD ．过E 作EF ⊥BD 于F ，连结AF ．得AF ⊥ BD ∴∠AFE确实是平面ABD 与平面BCD 所成二面角的平面DPBCA14.（Ⅰ）延长C 1F 交CB 的延长线于点N ，连结AN.因为F 是BB 1的中点，因此F 为C 1N 的中点，B 为CN 的中点.又M 是线段AC 1的中点，故MF .,ABCD AN ABCD MF 平面平面又⊂⊄.//ABCD MF 平面∴（Ⅱ）证明：连BD ，由直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1可知：⊥A A 1平面ABCD,又∵BD ⊂平面ABCD ，.1BD A A ⊥∴四边形ABCD 为菱形，.BD AC ⊥∴,,,1111A ACC A A AC A A A AC 平面又⊂=⋂ .11A ACC BD 平面⊥∴在四边形DANB 中，DA ∥BN 且DA=BN ，因此四边形DANB 为平行四边形. 故NA ∥BD ，⊥∴NA 平面ACC 1A 1. 1AFC NA 平面又⊂平面平面⊥∴1AFC ACC 1A 1.（Ⅲ）由（Ⅱ）知BD ⊥ACC 1A 1，又AC 1⊂ ACC 1A 1，∴BD ⊥AC 1，∵BD 又由BD ⊥AC 可知NA ⊥AC ，∴∠C 1AC 确实是平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的平面角或补角.在Rt △C 1AC 中，31tan 11==CA C C AC C ， 故∠C 1AC=30°.∴平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的大小为30°或150°.。
2.3.3直线与平面垂直的性质2．3.4平面与平面垂直的性质题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分答案一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分)1．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l()A．平行B．相交C．垂直D．互为异面直线2．在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是()图L23183．设平面α⊥平面β，若平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则() A．直线a必垂直于平面βB．直线b必垂直于平面αC．直线a不一定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面垂直4．已知两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，给出下列命题：①若α∥β，m⊂α，则m∥β；②若m∥n，m∥β，则n∥β；③若m⊂α，n⊂β，则m，n异面；④若α⊥β，m∥α，则m⊥β.其中错误命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．35．已知直线a，b，c及平面α，下列条件中，能使b∥c成立的是()A．b⊥a且c⊥aB．b⊥α且c⊥αC．b，c与α所成角相等D．b∥α且c∥α6．对于直线m，n和平面α，β，γ，有如下四个命题：①若m∥α，m⊥n，则n⊥α；②若m⊥α，m⊥n，则n∥α；③若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ；④若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β.其中真命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4图L23197．如图L2319所示，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在平面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线CA上D．△ABC内部二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，则一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中所有真命题的序号是________．9．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一动点．当点M 满足________时，平面MBD⊥平面PCD.10．已知m，n是空间两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下面有四个命题：①m⊥α，n∥β，α∥β⇒m⊥n；②m⊥n，α∥β，m⊥α⇒n∥β；③m⊥n，α∥β，m∥α⇒n⊥β；④m⊥α，m∥n，α∥β⇒n⊥β.其中所有真命题的序号是________．11．如图L2320，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，M，N分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起．下列说法正确的是________．(填上所有正确说法的序号)①不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥平面DEC；②不论D折至何位置都有MN⊥AE；③不论D折至何位置(不在平面ABC内)都有MN∥AD；④在折起过程中，一定存在某个位置，使EC⊥AD.图L2320三、解答题(本大题共2题，共25分)12．(12分)如图L2321所示，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，PA ＝AB ，G 为PD 的中点．求证：AG ⊥平面PCD .图L232113．(13分)如图L2322所示的五面体中，四边形CBB 1C 1为矩形，B 1C 1⊥平面ABB 1N ，四边形ABB 1N 为梯形，且AB ⊥BB 1，BC ＝AB ＝AN ＝12BB 1＝4.(1)求证：BN ⊥平面C 1B 1N ； (2)求此五面体的体积．图L232214．(5分)若l，m，n是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中为假命题的是()A．若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，则l⊥γB．若l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥mC．若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥m，则l∥nD．若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β或α∥β15．(15分)如图L2323(1)所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图L2323(2)所示．(1)求证：DE∥平面A1CB.(2)求证：A1F⊥BE.(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ?请说明理由．图L23232．3.3 直线与平面垂直的性质 2．3.4 平面与平面垂直的性质1．C [解析] 若l 在平面α内，则存在直线m ⊥l ；若l 不在平面α内，且l ⊥α，则l 垂直于平面α内任意一条直线；若l 不在平面α内，且l 与α不垂直，则它的射影在平面α内为一条直线，在平面α内必有直线m 垂直于它的射影，故m 垂直于l .综上所述，m 与l 垂直．2．A3．C [解析] 当两个平面垂直时，在一个平面内只有垂直于交线的直线才垂直于另一个平面． 4．D [解析] 易知①正确；②中直线n 也可能在平面β内，故②错误； ③中m 与n 也可能相交或平行，故③错误； ④显然错误．5．B [解析] 由直线与平面垂直的性质易知B 正确．6．A [解析] ①不正确；②中直线n 也可能在平面α内，故②不正确；③不正确；④当m ⊥α，m ∥n 时，有n ⊥α，又n ⊂β，所以α⊥β，故④正确．7．A [解析] ∵CA ⊥AB ，CA ⊥BC 1，AB ∩BC 1＝B ， ∴CA ⊥平面ABC 1，∴平面ABC ⊥平面ABC 1，∴由面面垂直的性质定理可知C 1在平面ABC 上的射影H 必在直线AB 上．8．②④ [解析] ②是面面垂直的判定定理；③中垂直于同一直线的两条直线不一定相互平行，如正方体中共顶点的三条棱；由面面垂直的性质定理可知④正确．9．DM ⊥PC 或BM ⊥PC10．①④11．①②④ [解析] 如图，设Q ，P 分别为CE ，DE 的中点，可证MNPQ 是矩形，所以①②正确；当平面ADE ⊥平面ABCD 时，有EC ⊥AD ，④正确．故填①②④.12．证明：∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CD . 又AD ⊥CD ，PA ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面PAD . 又AG ⊂平面PAD ，∴AG ⊥CD .∵PA ＝AB ＝AD ，G 为PD 的中点，∴AG ⊥PD . 又PD ∩CD ＝D ，∴AG ⊥平面PCD .13．解：(1)证明：过N 作NM ⊥BB 1，垂足为M ， ∵B 1C 1⊥平面ABB 1N ，BN ⊂平面ABB 1N ， ∴B 1C 1⊥BN ，又BC ＝4，AB ＝4，BM ＝AN ＝4，BA ⊥AN ，∴ BN ＝42＋42＝42，B 1N ＝NM 2＋B 1M 2＝42＋42＝42， ∵BB 1＝82＝64，B 1N 2＋BN 2＝32＋32＝64，∴BN ⊥B 1N ， ∵B 1C 1⊂平面B 1C 1N ，B 1N ⊂平面B 1C 1N ，B 1N ∩B 1C 1＝B 1， ∴BN ⊥平面C 1B 1N .(2)连接CN ，则V C －ABN ＝13×BC ·S △ABN ＝13×4×12×4×4＝323,又B 1C 1⊥平面ABB 1N ，所以平面CBB 1C 1⊥平面ABB 1N ，且平面CBB 1C 1∩平面ABB 1N ＝BB 1，NM ⊥BB 1，NM ⊂平面ABB 1N ，∴ NM ⊥平面B 1C 1CB,∴VN －B 1C 1CB ＝13×NM ·S 矩形B 1C 1CB ＝13×4×4×8＝1283，∴此几何体的体积V ＝V C －ABN ＋VN －B 1C 1CB ＝323＋1283＝1603.14．D15．解：(1)证明：因为D ，E 分别为AC ，AB 的中点，所以DE ∥BC . 又DE ⊄平面A 1CB ，所以DE ∥平面A 1CB . (2)证明：由已知得DC ⊥BC 且DE ∥BC ，所以DE ⊥DC .又DE ⊥A 1D ，A 1D ∩CD ＝D ，所以DE ⊥平面A 1DC ， 而A 1F ⊂平面A 1DC ，所以DE ⊥A 1F .又因为A 1F ⊥CD ，所以A 1F ⊥平面.(3)线段A 1B 上存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ . 理由如下：如图所示，分别取A 1C ，A 1B 的中点P ，Q ，连接DP ，PQ ，QE ，则PQ ∥BC .又因为DE ∥BC ，所以DE ∥PQ ，所以平面DEQ 即为平面DEP . 由(2)知，DE ⊥平面A 1DC ， 所以DE ⊥A 1C .又因为P 是等腰三角形DA 1C 底边A 1C 的中点，所以A 1C ⊥DP ，所以A 1C ⊥平面DEP ，从而A 1C ⊥平面DEQ .故线段A 1B 上存在点Q ，且Q 为A 1B 的中点时，使得A 1C ⊥平面DEQ .。
2021年高中数学 2.3.3直线与平面垂直、平面与平面垂直的性质练习新人教A版必修2基础梳理1．直线与平面垂直的性质定理．练习1：正方体ABCDA1B1C1D1中，求证AC⊥平面BB1D1D.证明：由正方体的性质可知AC⊥BD，BB1⊥平面AC，所以BB1⊥AC，因为BD与BB1相交，所以AC⊥平面BB1D1D.2．平面与平面垂直的性质定理．练习2：直线与平面不垂直，那么该直线与平面内的所有直线都不垂直对吗？答案：错►思考应用1．垂直于同一平面的两平面平行吗？解析：不一定．可能平行，也可能相交，如相邻的墙面与地面都垂直，但两墙面相交．2．两个平面垂直，其中一个平面内的任一条直线与另一个平面一定垂直吗？解析：不一定．只有垂直于两平面的交线才能垂直于另一个平面．自测自评1．若直线a⊥直线b，且a⊥平面α，则有(D)A．b∥αB．b⊂αC．b⊥αD．b∥α或b⊂α2．两个平面互相垂直，一个平面内的一条直线与另一个平面(D)A．垂直B．平行C．平行或相交D．平行或相交或直线在另一个平面内3．若直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有下列四个命题：①α∥β⇒l⊥m ②α⊥β⇒l∥m ③l∥m⇒α⊥β④l⊥m⇒α∥β其中正确的命题的序号是(D)A ．①②B ．③④C ．②④D ．①③4．如图，▱ADEF 的边AF 垂直于平面ABCD ，AF ＝2，CD ＝3，则CE ＝13．解析：∵AF∥ED，AF ⊥平面ABCD ，∴ED ⊥平面ABCD.∴ED⊥DC.在Rt △EDC 中，ED ＝2，CD ＝3，∴CE ＝22＋32＝13.基础达标1．△ABC 所在的平面为α，直线l⊥AB，l ⊥AC ，直线m ⊥BC ，m ⊥AC ，则直线l ，m 的位置关系是(C )A ．相交B ．异面C ．平行D ．不确定解析： ⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥AB l ⊥AC ⇒l ⊥a ， ⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥BC m ⊥AC ⇒m ⊥a. 由线面垂直的性质定理得m∥l，故选C.2．如图，PA ⊥平面ABCD ，且四边形ABCD 为矩形，下列结论中不正确的是(C )A ．PB ⊥BC B ．PD ⊥CDC ．PO ⊥BD D ．PA ⊥BD3．已知平面α、β和直线m 、l ，则下列命题中正确的是(D )A ．若α⊥β，α∩β＝m ，l ⊥m ，则l⊥βB ．若α∩β＝m ，l ⊂α，l ⊥m ，则l ⊥βC．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β解析：选项A缺少了条件：l⊂α；选项B缺少了条件：α⊥β；选项C缺少条件α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直的性质定理的全部条件．4．平面α⊥平面β，直线a∥α，则a与β的位置关系为__________．答案：a∥β或a⊂β或a与β相交5．圆O的半径为4，PO垂直圆O所在的平面，且PO＝3，那么点P到圆上各点的距离是________．答案：5巩固提升6．如图所示，平面α⊥平面β，在α与β的交线l上取线段AB＝4 cm，AC，BD分别在平面α和平面β内，AC⊥l，BD⊥l，AC＝3 cm，BD＝12 cm，求线段CD的长．解析：连接AD，在Rt△ABD中，BD＝12，AB＝4，∴AD＝122＋42＝410(cm)．∵AC⊥l，AC⊂面α，α⊥β，α∩β＝l，∴AC⊥Β.又AD⊂β，∴CA⊥AD.在Rt△ADC中，AC＝3，AD＝410，∴CD＝32＋（410）2＝169＝13(cm)．7．已知，△ABC所在平面外一点V，VB⊥平面ABC，平面VAB⊥平面VAC.求证：AC⊥BA.证明：过B 作BD⊥VA 于D ，∵平面VAB⊥平面VAC ，∴BD ⊥平面VAC ，∴BD ⊥AC ，又∵VB⊥平面ABC ，∴VB ⊥AC ，又∵BD∩VB＝B ，∴AC ⊥平面VBA ，∴AC ⊥BA.8．如下图(左)所示，在边长为1的等边三角形ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，AD ＝AE ，F 是BC 的中点，AF 与DE 交于点G ，将△ABF 沿AF 折起，得到如下图(右)所示的三棱锥ABCF ，其中BC ＝22.(1)证明：DE∥平面BCF ；(2)证明：CF⊥平面ABF.(3)当AD ＝23时，求三棱锥FDEG 的体积V F －DEG . 解析：(1)在等边三角形ABC 中，AD ＝AE ，∴AD DB ＝AE EC，在折叠后的三棱锥ABCF 中也成立， ∴DE ∥BC.又∵DE ⊄平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴DE ∥平面BCF.(2)在等边三角形ABC 中，F 是BC 的中点，所以AF ⊥BC ，即AF⊥CF，①且BF ＝CF ＝12.∵在三棱锥ABCF 中，BC ＝22， ∴BC 2＝BF 2＋CF 2.∴CF ⊥BF.② ∵BF ∩AF ＝F ，∴CF ⊥平面ABF.(3)由(1)可知，GE ∥CF ，结合(2)可得GE⊥平面DFG.∴V FDEG ＝V EDFG ＝13×12×DG ×FG ×GE ＝13×12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13×32×13＝3324.1．(1)直线与平面垂直的性质：①定义：若a⊥α，b ⊂α，则a⊥b；②性质定理：a⊥α，b ⊥α，则a∥b；③a⊥α，a ⊥β，则α∥β.(2)平面与平面垂直的性质：①性质定理：α⊥β，α∩β＝l ，m ⊂β，m ⊥l ，则m⊥α.②如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．2．直线与平面垂直的性质、面面垂直的性质，结合其判定定理，其核心思想是转化思想，即实现了线面垂直、线线垂直、面面垂直的相互转化，而且沟通了平行和垂直的内在联系，实现了平行和垂直的相互转化．%d/39768 9B58 魘fr-!,Md< 25118 621E 戞P。
课后导练基础达标1已知直线l、m,平面α、β,且l⊥α,m⊂β,给出下列四个命题，其中正确命题的个数是（）①若α∥β,则l⊥m ②若l⊥m,则α∥β ③若α⊥β,则l∥m ④若l∥m,则α⊥βA.1个B.2个C.3个D.4个解析：若α∥β，∵l⊥α,∴l⊥β.又∵m⊂β,∴l⊥m，所以①正确.若l∥m,∵l⊥α,∴m⊥α.又m⊂β，∴α⊥β.所以④正确，而②③错误.答案：B2在下列关于直线m、l和平面α、β的命题中,真命题是（）A.若l⊂β,且α⊥β,则l⊥αB.若l⊥β,且α∥β,则l⊥αC.若l⊥β,且α⊥β,则l∥αD.若α∩β=m,且l∥m,则l∥α解析：A项中l与α可以平行或斜交，A项错.B项中，l⊥β且α∥β,∴l⊥α正确.C项中，l可在α内，C项错，D项中，l可在α内，D项错.答案：B3如图，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是（）A.平行B.垂直相交C.异面且垂直D.相交但不垂直解析：∵ABCD为菱形，∴BD⊥AC.又∵MC⊥面ABCD，∴MC⊥BD，∴BD⊥面MAC，∴BD⊥MA.答案：C4已知平面α、β、γ，则下列正确的是（）A.α⊥β,β⊥γ，则β∥γB.α∥β,β⊥γ，则α⊥γC.α∩β=a,β∩γ=b，则a⊥bD.α⊥β,α∩β=a，a⊥b，则b⊥α解析：如下，A项错，β与γ可平行，也可相交；B项正确.证明如下，设β∩γ=a，在γ内作直线l⊥α.∵β⊥γ,∴l⊥β.又α∥β,∴l⊥α.又l⊂γ,∴α⊥γ.C项显然错误，D项中缺少了b⊂β,∴D项错.答案：B5经过平面α外一点和α内一点与平面α垂直的平面有（）A.0个B.1个C.无数个D.1个或无数个解析：当过这两点的直线l⊥α时，能作无数多个；当l与α斜交时，只能作一个.答案：D6对于直线m、n和平面α、β，α⊥β的一个条件是（）A.m⊥n,m∥α,n∥βB.m⊥n,α∩β=m,n⊂αC.m∥n,m⊥α,n⊥βD.m∥n,n⊥β,m⊂α解析：A项错，因为即使α∥β，也可以有符合m⊥n，且m∥α，n∥β的直线m、n存在；B 项错，因为二面角α-m-β无论是否为90°，均可找到符合题意的图形；C项错，因为m∥n 且m⊥α时，有n⊥α，又由n⊥β得α∥β，不会得到α⊥β.答案：D7在正方体ABCD-A1B1C1D1中，过A、C、D的平面与过D、B1、B的平面的位置关系是（）A.相交但不垂直 B.相交成60°角C.互相垂直D.互相平行解析：∵过A、C、D的平面即平面ABCD，过D、B1、B的平面即平面D1DBB1，又∵正方体中，B1B⊥平面ABCD，∴可得平面B1BDD1⊥面ABCD，故选C.答案：C8如图，P为△ABC所在平面外一点，AP=AC,BP=BC,D为PC的中点.求证：PC⊥AB.证明：∵AP=AC，BP=BC，D为PC中点.∴PC⊥AD，PC⊥BD.又∵AD∩BD=D，∴PC⊥平面ABD.又∵AB⊂平面ABD，故PC⊥AB.综合运用9设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是…（）①若m⊥α,n∥α，则m⊥n ②若α∥β,β∥γ,m⊥α，则m⊥γ ③若m∥α,n∥α，则m∥n ④若α⊥γ,β⊥γ，则α∥βA.①②B.②③.③④ D.①④解析：①正确.过n作平面γ作平面γ∩α=a，∵n∥α,∴n∥a,又m⊥α，a⊂α，∴m⊥a,∴m⊥n.②正确.∵m⊥α，α∥β，∴m⊥β.又∵β∥γ，∴m⊥γ.③错.m与n可能平行、相交或异面.④错.α∥β或α与β相交.答案：A10空间四边形SABC 中，SO ⊥平面ABC,O 为△ABC 的垂心. 求证：平面SOC ⊥平面SAB.证明：连结OC ，∵O 为△ABC 的垂心， ∴OC ⊥AB.又∵SO ⊥面ABC.AB ⊂面ABC ，∴SO ⊥AB. ∴AB ⊥面SOC ， 又AB ⊂面SAB.故平面SOC ⊥平面ABC.11如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上.已知：∠BAC 在平面α内，点P ∉α，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，PO ⊥α，垂足分别为E 、F 、O ，且PE=PF.求证：∠BAO=∠CAO. 证明：⇒⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎩⎨⎧⊥⊥⇒⎪⎭⎪⎬⎫⊥⊥⊥=⇒⎭⎬⎫⊥=AC OF AB OE AC PF AB PE PO OF OE PO PF PE αα∠BAO=∠CAO.拓展探究12(2006全国Ⅱ，7(理))如图,平面α⊥平面β,A ∈α,B ∈β,AB 与两平面α,β所成的角分别为4π和6π.过A,B 分别作两平面交线的垂线,垂足为A′,B′,则AB ∶A′B′等于( )A.2∶1B.3∶1C.3∶2D.4∶3解析：连结AB′,BA′,则∠ABA′=6π, ∠BAB′=4π. 在Rt △ABB′中,22='AB B A ,AB′=22AB.在Rt △AA′B 中,21='AB A A ,AA′=21AB. ∴在Rt △AA′B′中,A′B′=21AB.∴选A. 答案：A(文)如图,平面α⊥平面β,A ∈α,B ∈β,AB 与两平面α,β所成的角分别为4π和6π.过A,B 分别作两平面交线的垂线,垂足为A′,B′,若AB=12,则A′B′等于( ) A.4 B.6 C.8 D.9解析:连结AB′,BA′,则∠ABA′=6π, ∠BAB′=4π.在Rt △ABB′中,∵AB=12,∴AB′=26.在Rt △AA′B 中,∵AB=12,∴AA′=6. ∴在Rt △AA′B′中,A′B′=6. ∴选B. 答案：B。
2.3.4平面与平面垂直的性质1. 下列命题错误的是（ ）.A. α不垂直β⇒α内一定存在直线平行于βB. αβ⊥⇒α内一定存在直线平行于βC. α不垂直β⇒α内不存在直线垂直βD. αβ⊥⇒α内所有直线都垂直于β2. 已知αβ⊥，,a b αβ⊂⊂，b 是α的斜线，a ⊥b ，则a 与β的位置关系是（ ）. A.a ∥β B. a 与β相交不垂直 C. a β⊥ D.不能确定3. 已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线． ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线． ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面．④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确的个数是（ ） A ．３Ｂ．２Ｃ．１Ｄ．０4. 若平面αβ⊥平面，直线a α⊂，则a 与β的位置关系为_____________________.5. 直线m 、n 和平面α、β满足m n ⊥，m α⊥,αβ⊥，则n 和β的位置关系为__________.6. 如图，已知平面α，β，直线a 满足αβ⊥，a β⊥，a α⊄，试判断直线a 与平面α的位置关系．7. 已知平面α，β，γ且αγ⊥，βγ//，求证αβ⊥．8. 已知平面α，β，γ满足αγ⊥，βγ⊥，l αβ=，求证：l γ⊥．9. 在三棱锥P ABC -中，侧面PAC 与面ABC 垂直，3PA PB PC ===． （１） 求证：AB BC ⊥；（２） 设AB BC ==，求AC 与平面PBC 所成角的大小．参考答案1. 答案：D2. 答案：B3. 答案：Ｂ．4. 答案：相交或平行或a 在平面β内5. 答案：相交或平行或n 在平面β内6. 答案：解：在α内作垂直于α与β交线的直线b ，因为αβ⊥，所以b β⊥． 因为a β⊥，所以a b //．又因为a α⊄，所以a α//．即直线a 与平面α平行．7. 答案：证明：设l αγ=，在平面α内作直线a l ⊥．因为αγ⊥，所以a γ⊥．过a 作一个平面δ与平面β相交于直线b ， 由αβ//，得a b //．又b β⊂，所以βγ⊥．因为a γ⊥，所以b γ⊥．8. 答案：在平面γ内做两条相交直线分别垂直于平面α，β与平面γ的交线，再利用面面垂直的性质定理证直线l γ⊥平面．αβba9. 答案：证明：如图（１）所示，取AC 中点D ，连结BD ，PD ．PA PC =∵，PD AC ⊥∴．又平面PAC ⊥平面ABC ，PD ⊥∴面ABC ．PA PB PC ==∵，DA DB DC ==∴．可知 AC 为ABC △的外接圆直径．∴AB BC ⊥．（２）解：如图（２），作CF PB ⊥于F ，连结AF ，PBC PBA ∵△≌△，AF PB ⊥∴，AF CF =． PB ⊥∴平面AFC ．∴面AFC ⊥面PBC，交线为CF ．∴直线AC 在平面PBC 内的射影为直线CF ． ∴ACF ∠为AC 与平面PBC 所成的角．在ABC Rt △中，AB BC ==，BD =∴ 在PDC Rt △中，DC =PD =．在PDB Rt △中，3PD DB DF PB ⨯===在FDC Rt △中，tan DF DCF DC ∠===． 30ACF ∠=∴þ．即AC 与平面PBC 所成角为30þ． AA图（２）。
2.3.4平面与平面垂直的性质课时过关·能力提升一、基础巩固1.已知平面α⊥平面β,直线a⊥β,则()A.a⊂αB.a∥αC.a⊥αD.a⊂α或a∥α2.如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAB⊥平面ABC,PA=PB,AD=DB,则()A.PD⊂平面ABCB.PD⊥平面ABCC.PD与平面ABC相交但不垂直D.PD∥平面ABCPA=PB,AD=DB,所以PD⊥AB.因为平面PAB⊥平面ABC,平面PAB∩平面ABC=AB,PD⊂平面PAB,所以PD⊥平面ABC3.已知m,n,l是直线,α,β是平面,α⊥β,α∩β=l,n⊂β,n⊥l,m⊥α,则直线m与n的位置关系是()A.异面B.相交但不垂直C.平行D.相交且垂直α⊥β,α∩β=l,n⊂β,n⊥l,∴n⊥α.又m⊥α,∴m∥n.4.如图,点P为四边形ABCD外一点,平面PAD⊥平面ABCD,PA=PD,E为AD的中点,则下列结论不一定成立的是()A.PE⊥ACB.PE⊥BCC.平面PBE⊥平面ABCDD.平面PBE⊥平面PADPA=PD,E为AD的中点,所以PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PE⊥平面ABCD,所以PE⊥AC,PE⊥BC,所以选项A,B成立.又PE⊂平面PBE,所以平面PBE⊥平面ABCD,所以选项C成立.故选D.5.已知等边三角形ABC与等边三角形BCD所在的平面垂直,且BC=2,则三棱锥A-BCD的体积为()A.1B.√3C.2D.2√3BC的中点E,连接AE.因为△ABC为等边三角形,所以AE⊥BC.因为平面ABC⊥平面BCD,所以AE⊥平面BDC.所以V A-BCD=13S△BCD·AE=13×√34×4×√3=1.6.如图,沿直角三角形ABC的中位线DE将平面ADE折起,使得平面ADE⊥平面BCDE,得到四棱锥A-BCDE,则平面ABC与平面ACD的关系是.答案:垂直7.如图,平面α⊥平面β,平面α∩平面β=A'B',A∈α,B∈β,AA'⊥A'B',BB'⊥A'B',且AA'=3,BB'=4,A'B'=2,则三棱锥A-A'BB'的体积V=.α⊥β,α∩β=A'B',AA'⊂α,AA'⊥A'B',∴AA'⊥β.∴V=13S△A'BB'·AA'=13·(12A'B'·BB')·AA'=13×12×2×4×3=4.8.如图,P是菱形ABCD所在平面外的一点,且∠DAB=60°,AB的长为a.侧面PAD 为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD,PB与平面ABCD所成的角为θ,则θ=.,取AD的中点G,连接PG,BG,BD.因为△PAD是等边三角形,所以PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PG⊂平面PAD,所以PG⊥平面ABCD,∠PBG是PB与平面ABCD所成的角θ.在△PBG中,PG⊥BG,BG=PG,所以∠PBG=45°,即θ=45°.°9.如图,在三棱台ABC-DEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1, BC=2,AC=3.(1)求证:BF⊥平面ACFD;(2)求直线BD与平面ACFD所成角的余弦值.,延长AD,BE,CF相交于一点K.因为平面BCFE⊥平面ABC,且AC⊥BC,所以AC⊥平面BCK.因此BF⊥AC.又因为EF∥BC,BE=EF=FC=1,BC=2,所以△BCK为等边三角形,且F为CK的中点,则BF⊥CK.因为AC∩CK=C,所以BF⊥平面ACFD.BF⊥平面ACK,所以∠BDF是直线BD与平面ACFD所成的角.在Rt△BFD中,BF=√3,DF=32,得cos∠BDF=√217.故直线BD与平面ACFD所成角的余弦值为√217.二、能力提升1.在空间中,下列命题正确的是()A.若三条直线两两相交,则这三条直线确定一个平面B.若直线m与平面α内的一条直线平行,则m∥αC.若平面α⊥β,且α∩β=l,则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面βD.若直线a∥b,且直线l⊥a,则l⊥bA中,若有3个交点,则确定一个平面,若三条直线交于一点,则不一定能确定一个平面,如在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1,AB,AD两两相交,但由AA1,AB,AD不能确定一个平面,所以A不正确;选项B中,缺少条件m是平面α外的一条直线,所以B不正确;选项C中,不满足面面垂直的性质定理的条件,必须是α内垂直于l的直线,所以C不正确;由于两条平行直线中的一条与第三条直线垂直,那么另一条也与第三条直线垂直,所以D正确.2.如图,三棱锥P-ABC的底面在平面α内,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C的轨迹是()A.一条线段B.一条直线C.一个圆D.一个圆,但要去掉两个点PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,平面PAC∩平面PBC=PC,AC⊂平面PAC,所以AC⊥平面PBC.因为BC⊂平面PBC,所以AC⊥BC.所以∠ACB=90°.所以动点C的轨迹是以AB为直径的圆,除去A和B两点.★3.如图,平面α⊥平面β,A∈α,B∈β,AB与两平面α,β所成的角分别为π4和π6.过点A,B分别作两平面交线的垂线,垂足分别为A′,B′,则AB∶A′B′等于()A.2∶1B.3∶1C.3∶2D.4∶3,连接AB',A'B,则由已知得AA'⊥平面β,BB'⊥平面α,∠ABA'=π6,∠BAB'=π4.设AB=a,则BA'=√32a,BB′=√22a.在Rt△BA'B'中,A'B'=12a,故ABA'B'=21.4.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C,有如下三个结论.①AC⊥BD;②△ACD是等边三角形;③AB与平面BCD成60°的角.结论正确的序号是.,取BD的中点E,连接AE,CE,则BD⊥AE,BD⊥CE,而AE∩CE=E,∴BD⊥平面AEC.又AC⊂平面AEC,∴AC⊥BD,故①正确.a.设正方形的边长为a,则AE=CE=√22易知∠AEC=90°是直二面角A-BD-C的平面角,∴AC=a,∴△ACD是等边三角形,故②正确.由题意及AE⊥BD知,AE⊥平面BCD,则∠ABE是AB与平面BCD所成的角,而∠ABE=45°,故③不正确.★5.在三棱柱ABC-A'B'C'中,侧面A'ACC'是垂直于底面的菱形,BC⊥A'C',则A'B与AC'所成角的大小为.BC⊥A'C',A'C'∥AC,所以BC⊥AC.因为平面A'ACC'⊥平面ABC,平面A'ACC'∩平面ABC=AC,所以BC⊥平面A'ACC',所以BC⊥AC'.因为四边形A'ACC'为菱形,所以AC'⊥A'C.因为BC∩A'C=C,所以AC'⊥平面A'CB,所以AC'⊥A'B.所以A'B与AC'所成的角等于90°.°6.如图,正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=AD=2, CD=4,M为CE的中点.求证:(1)BM∥平面ADEF;(2)平面BDE⊥平面BEC.如图,取DE的中点N,连接MN,AN.在△EDC中,M,N分别为EC,ED的中点,CD.所以MN∥CD,且MN=12CD,因为AB∥CD,AB=12所以MN∥AB,且MN=AB,所以四边形ABMN为平行四边形.所以BM∥AN.因为AN⊂平面ADEF,且BM⊄平面ADEF,所以BM∥平面ADEF.(2)因为四边形ADEF为正方形,所以ED⊥AD.因为平面ADEF⊥平面ABCD,且平面ADEF∩平面ABCD=AD,ED⊂平面ADEF, 所以ED⊥平面ABCD.所以ED⊥BC.在直角梯形ABCD中,AB=AD=2,CD=4,可得BC=2√2.在△BCD中,BD=BC=2√2,CD=4,所以BC⊥BD.又BD∩ED=D,所以BC⊥平面BDE.因为BC⊂平面BEC,所以平面BDE⊥平面BEC.★7.如图,在四棱锥A-BCDE中,平面ABC⊥平面BCDE,∠CDE=∠BED=90°,AB=CD=2,DE=BE=1,AC=√2.(1)证明:AC⊥平面BCDE;(2)求直线AE与平面ABC所成的角的正切值.,连接BD.在直角梯形BCDE中,由DE=BE=1,CD=2,得BD=BC=√2.由AC=√2,AB=2,得AB2=AC2+BC2,即AC⊥BC.又平面ABC⊥平面BCDE,从而AC⊥平面BCDE.BCDE中,由BD=BC=√2,DC=2,得BD⊥BC.又平面ABC⊥平面BCDE,所以BD⊥平面ABC.作EF∥BD,与CB的延长线交于点F,连接AF,则EF⊥平面ABC.所以∠EAF是直线AE与平面ABC所成的角.在Rt△BEF中,由EB=1,∠EBF=45°,得EF=√22,BF=√22.在Rt△ACF中,由AC=√2,CF=3√22,得AF=√262.在Rt△AEF中,由EF=√22,AF=√262,得tan∠EAF=√1313.所以直线AE与平面ABC所成的角的正切值是√1313.。
数学必修二平面与平面垂直的性质学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 在正方体A1B1C1D1−ABCD中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1−BD−A的正切值为（）A.√33B.√22C.√2D.√32. 设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m则“α⊥β”是"a⊥b"的( )A.充要条件B.即不充分不必要条件C.充分不必要条件D.必要不充分条件3. 已知边长为a的正△ABC的中线AF与中位线DE相交于点G，现将△AED沿DE翻折为△A′ED，如图是翻折过程中的一个图形，则下列四个结论：①动直线A′F与直线DE互相垂直；②恒有平面A′GF⊥平面BCED；③四棱锥A′−BCED的体积有最大值；④三棱锥A′−DEF的侧面积没有最大值．其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.44. 过平面α外两点且垂直于平面α的平面（）A.有且只有一个B.不是一个便是两个C.有且仅有两个D.一个或无数个5. 若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则（）A.α // γB.α⊥γC.α与γ相交但不垂直D.以上都有可能6. 平面α，β及直线l满足：α⊥β，l // α，则一定有（）A.l // βB.l⊂βC.l与β相交D.以上三种情况都有可能7. 已知平面α⊥平面β，点A∈α，则过点A且垂直于平面β的直线（）A.只有一条，不一定在平面α内B.有无数条，不一定在平面α内C.只有一条，一定在平面α内D.有无数条，一定在平面α内8. 若平面α、β互相垂直，则（）A.α中的任意一条直线都垂直于βB.α中有且只有一条直线垂直于βC.平行于α的直线垂直于βD.α内垂直于变线的直线必垂直于β9. 将正方形ABCD沿BD折成直二面角，M为CD的中点，则∠AMD的大小是（）A.45∘B.30∘C.60∘D.90∘10. 如图所示，在四棱锥E−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，△CDE是正三角形，M为线段DE的中点，点N为底面ABCD内的动点，则下列结论正确的是()A.若BC⊥EN时，平面CDE⊥平面ABCDB.若BC⊥DE时，直线EA与平面ABCD所成的角的正弦值为√104C.若直线BM和EN异面时，点N不可能为底面ABCD的中心D.若平面CDE⊥平面ABCD，且点N为底面ABCD的中心时，BM=EN11. 已知AB是平面α的垂线，AC是平面α的斜线，CD∈平面α，CD⊥AC，则面面垂直的有________．12. 如图所示，以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕．使△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面，则∠BAC=________．13. 设△ABC的三个顶点在平面α的同侧，AA1⊥平面α于点A1，BB1⊥平面α于点B1，CC1⊥平面α于点C1，G、G1分别是△ABC和△A1B1C1的重心，若AA1=7，BB1=3，CC1=5，则GG1=________．14. 如图，两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M、N分别是BD和AE的中点，那么①AD⊥MN；②MN // 面CDE；③MN // CE；④MN、CE异面其中正确结论的序号是________．15. 设M，N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E（如图），AE=EB=DE= 2．现将△ADE沿DE折起，使二面角A−DE−B为90∘，P，Q分别是线段AE和线段EB上任意一点，若MQ⊥PN时，求PQ长度的取值范围________．16. 在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥AD，底面ABCD为梯形，AB // DC，AB⊥BC，PA=AB=BC，点E在棱PB上．若平面AEC⊥平面PBC，求E点位置．17. 如图，在四棱锥E−ABCD中，平面EAB⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，EA⊥EB，M，N分别为AE，CD的中点。
2.3.4平面与平面垂直的性质练习 新人教A 版必修2一、选择题1．平面α⊥平面β，α∩β＝l ，m ⊂α，m ⊥l ，则( ) A ．m ∥β B ．m ⊂β C ．m ⊥βD ．m 与β相交但不一定垂直[答案] C2．已知平面α⊥平面β，直线a ⊥β，则( )A ．a ⊂αB ．a ∥αC ．a ⊥αD ．a ⊂α或a ∥α[答案] D3．空间四边形ABCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，且DA ⊥平面ABC ，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定 [答案] B4．如下图所示，三棱锥P －ABC 的底面在平面α内，且AC ⊥PC ，平面PAC ⊥平面PBC ，点P ，A ，B 是定点，则动点C 的轨迹是( )A ．一条线段B ．一条直线C ．一个圆D ．一个圆，但要去掉两个点[答案] D[解析] ∵平面PAC ⊥平面PBC ，AC ⊥PC ，平面PAC ∩平面PBC ＝PC ，AC ⊂平面PAC ，∴AC ⊥平面PBC ．又∵BC ⊂平面PBC ，∴AC ⊥BC ．∴∠ACB ＝90°. ∴动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，除去A 和B 两点．5．如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6.过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足为A ′、B ′，则AB A ′B ′等于( )A ．2 1B ．3 1C ．3 2D ．4 3[答案] A[解析] 由已知条件可知∠BAB ′＝π4，∠ABA ′＝π6，设AB ＝2a ，则BB ′＝2a sin π4＝2a ，A ′B ＝2a cos π6＝3a ，∴在Rt △BB ′A ′中，得A ′B ′＝a ，∴AB A ′B ′＝21.6．如图所示，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在( )A ．直线AB 上 B ．直线BC 上 C ．直线AC 上D ．△ABC 内部[答案] A[解析] ∵AC ⊥AB ，AC ⊥BC 1，∴AC ⊥平面ABC 1， 又∵AC ⊂平面ABC ，∴平面ABC 1⊥平面ABC ，∴C 1在平面ABC 上的射影H 必在平面ABC 1与平面ABC 的交线AB 上，故选A ． 二、填空题7．平面α⊥平面β，直线l ⊂α，直线m ⊂β，则直线l ，m 的位置关系是________. [答案] 相交、平行、异面8．三棱锥P －ABC 的高为PH ，若三个侧面两两垂直，则H 为△ABC 的________心． [答案] 垂[解析] 由三个侧面两两垂直知三条侧棱两两垂直，则有BC ⊥PA ，AB ⊥PC ，CA ⊥PB ，又由BC ⊥PA ，PH ⊥BC ，得BC ⊥平面PAH ，则BC ⊥AH ，同理有AB ⊥CH ，CA ⊥BH ，所以H 为△ABC 高线的交点，即垂心．三、解答题9．把一副三角板如图拼接，设BC ＝6，∠A ＝90°，AB ＝AC ，∠BCD ＝90°，∠D ＝60°，使两块三角板所在的平面互相垂直．求证：平面ABD ⊥平面ACD ．[证明]⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫平面ABC ⊥平面BCD CD ⊥BC ⇒CD ⊥平面ABC AB ⊂平面ABC⇒⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫CD ⊥AB AB ⊥AC ⇒AB ⊥平面ACDAB ⊂平面ABD⇒平面ABD ⊥平面ACD ． 10.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧棱PA ⊥PD ，底面ABCD 是直角梯形，其中BC ∥AD ，∠BAD ＝90°，AD ＝3BC ，O 是AD 上一点．(1)若CD ∥平面PBO ，试指出点O 的位置； (2)求证：平面PAB ⊥平面PCD ．[解析] (1)∵CD ∥平面PBO ，CD ⊂平面ABCD ， 且平面ABCD ∩平面PBO ＝BO ， ∴BO ∥CD ．又BC ∥AD ，∴四边形BCDO 为平行四边形． 则BC ＝DO ，而AD ＝3BC ，∴AD ＝3OD ，即点O 是靠近点D 的线段AD 的一个三等分点．(2)证明：∵侧面PAD ⊥底面ABCD ，侧面PAD ∩底面ABCD ＝AD ，AB ⊂底面ABCD ，且AB ⊥AD ，∴AB ⊥平面PAD ．又PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD ．又PA ⊥PD ，且PA ⊂平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，AB ∩PA ＝A ，∴PD ⊥平面PAB ． 又PD ⊂平面PCD ，∴平面PAB ⊥平面PCD ．能力提升一、选择题1．在空间中，下列命题正确的是( )A．若三条直线两两相交，则这三条直线确定一个平面B．若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥αC．若平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面βD．若直线a∥b，且直线l⊥a，则l⊥b[答案] D[解析] 选项A中，若有3个交点，则确定一个平面，若三条直线交于一点，则不一定能确定一个平面，如正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1，AB，AD两两相交，但由AA1，AB，AD不能确定一个平面，所以A不正确；选项B中，缺少条件m是平面α外的一条直线，所以B 不正确；选项C中，不满足面面垂直的性质定理的条件，必须是α内垂直于l的直线，所以C不正确；由于两条平行直线中的一条与第三条直线垂直，那么另一条也与第三条直线垂直，所以D正确．2．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( )A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β[答案] C[解析] l⊥α，α⊥β⇒l∥β或l⊂β，A错；l∥α，α∥β⇒l∥β或l⊂β，B错；l⊥α，α∥β⇒l⊥β，C正确；若l∥α，α⊥β，则l与β位置关系不确定，D错．3．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则能够得出a⊥b的是( )A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β[答案] C[解析] b⊥β，α∥β，∴b⊥α，又a⊂α，∴b⊥a.4.如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形(A′不与A，F重合)，则下列命题中正确的是( )①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②BC∥平面A′DE；③三棱锥A′－FED的体积有最大值．A．①B．①②C．①②③D．②③[答案] C[解析] 注意折叠前DE⊥AF，折叠后其位置关系没有改变．①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，∴点A′在平面ABC上的射影在线段AF上．②BC∥DE，BC⊄平面A′DE，DE⊂平面A′DE，∴BC∥平面A′DE.③当平面A′DE⊥平面ABC时，三棱锥A′－FED的体积达到最大．二、填空题5.如右图所示，P是菱形ABCD所在平面外的一点，且∠DAB＝60°，边长为a.侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，PB与平面AC所成的角为θ，则θ＝________.[答案] 45°[解析] 如图所示，取AD的中点G，连接PG，BG，BD．∵△PAD是等边三角形，∴PG⊥AD，又平面PAD⊥平面AC，平面PAD∩平面AC＝AD，PG⊂平面PAD，∴PG⊥平面AC，∴∠PBG是PB与平面AC所成的角θ.在△PBG中，PG⊥BG，BG＝PG，∴∠PBG＝45°，即θ＝45°.6．如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC．在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK＝t，则t的取值范围是________.[答案] (12，1)[解析] 如图，过D 作DG ⊥AF ，垂足为G ，连接GK ，∵平面ABD ⊥平面ABC ，又DK ⊥AB ， ∴DK ⊥平面ABC ，∴DK ⊥AF . ∴AF ⊥平面DKG ，∴AF ⊥GK .容易得到，当F 接近E 点时，K 接近AB 的中点，当F 接近C 点时，K 接近AB 的四等分点．所以t 的取值范围是(12，1)．三、解答题7．(2015·甘肃兰州一中期末)如图，四棱锥A －BCDE 中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，BC ＝2，CD ＝2，AB ＝AC ，CE 与平面ABE 所成的角为45°.(1)证明：AD ⊥CE ；(2)求二面角A －CE －B 的正切值．[解析] (1)证明：如图，取BC 的中点H ，连接HD ，交CE 于点P ，连接AH ，AP . ∵AB ＝AC ， ∴AH ⊥BC ．又∵平面ABC ⊥平面BCDE ， ∴AH ⊥平面BCDE ， 又CE ⊂平面BCDE ， ∴AH ⊥CE . 又∵HC CD ＝CD DE＝12，∠BCD ＝∠CDE ＝90°，∴Rt △HCD ∽Rt △CDE . ∴∠CDH ＝∠CED ， ∴HD ⊥CE .又AH ∩HD ＝H ， ∴CE ⊥平面AHD ． ∴AD ⊥CE .(2)由(1)CE ⊥平面AHD ，得AP ⊥CE ，又HD ⊥CE ，∴∠APH 就是二面角A －CE －B 的平面角． 过点C 作CG ⊥AB ，垂足为G ，连接EG . ∵BE ⊥BC ，且BE ⊥AH ，AH ∩BC ＝H ， ∴BE ⊥平面ABC ， ∴BE ⊥CG ，又BE ∩AB ＝B ，∴CG ⊥平面ABE ，∴∠CEG 就是CE 与平面ABE 所成的角，则∠CEG ＝45°， 又CE ＝22＋22＝6，∴CG ＝EG ＝ 3.又BC ＝2，∴∠ABC ＝60°， ∴AB ＝BC ＝AC ＝2，∴AH ＝ 3. 又由△HCP ∽△DEP 得HP ＝33， ∴tan ∠APH ＝AH HP＝3.8．(2011·江苏)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 分别是AP ，AD 的中点．求证：(1)直线EF ∥平面PCD ； (2)平面BEF ⊥平面PAD ．[解析] (1)在△PAD 中，因为E ，F 分别为AP ，AD 的中点，所以EF ∥PD ． 又因为EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ， 所以直线EF ∥平面PCD ．(2)连接BD ．因为AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，所以△ABD 为正三角形．因为F 是AD 的中点，所以BF ⊥AD ．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，BF ⊂平面ABCD ，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD，又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD．。
