高中数学 必修二 2.3.4平面与平面垂直的性质练习

高中数学必修2 高中数学必修二2.3.4《平面与平面垂直的性质》导学导练【知识要点】1、平面与平面垂直的性质（重点）性质1、如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面若α⊥β，α∩β=AB，CDα，CD⊥AB.则CD⊥β.定理剖析：（1）面面垂直得到线面垂直；（2）为判定和作出线面垂直提供依据。

性质2、如果两个平面垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内。

【范例析考点】考点一．利用性质定理证明线面垂直例1：如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点。

(1)求证：AM∥平面BDE；(2)求证：AM⊥平面BDF；(3)求二面角A－DF－B的大小；【针对练习】1、如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB．考点二．利用性质定理证明面面垂直例2：如图所示，在长方体1111ABCD A B C D-中，AB=AD=1，AA1=2，M是棱CC1的中点（Ⅰ）求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；（Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A1B1M1【针对练习】1、直角梯形ABCD中，BCAD//，090=∠A，1==ABAD，2=BC.沿BD翻折，使平面ABD⊥平面BCD.(1)求二面角ACDB--的大小；(2)证明：平面ABC⊥平面ADCA DBCADBCMC BF个人原创，版权所有，翻印必究，如需借用，QQ 索取密码 第1页 解密佛山吉红勇老师扣扣：一0七669八11考点三．利用性质定理证明线线垂直例3：如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面PBC 求证：BC ⊥AB ．【针对练习】1、在三棱锥P ABC -中，侧面PAC 与面ABC 垂直，3PA PB PC ===． (1)求证：AB BC ⊥；(2)设23AB BC ==，求AC 与平面PBC 所成角的大小．2、如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E 、F 分别是BB 1、CD 的中点. (Ⅰ)证明AD⊥D 1F; (Ⅱ)求AE 与D 1F 所成的角; (Ⅲ)证明面AED⊥面A 1FD 1;考点四．利用面面垂直性质求距离例4：如图10，四棱锥P —ABCD 的底面是AB=2，BC=2的矩形，侧面PAB 是等边三角形，且侧面PAB⊥底面ABCD. （1）证明侧面PAB⊥侧面PBC ； （2）求侧棱PC 与底面ABCD 所成的角； （3）求直线AB 与平面PCD 的距离.【针对练习】1、点P 是边长为a 的正三角形ABC 所在平面外一动点，始终保持平面APB ⊥平面PBC ，且平面APC ⊥平面PBC ，求点P 到平面ABC 的最大距离.ACBp2、已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧面A 1ACC 1与底面ABC 垂直，∠ABC ＝90°，BC ＝2，AC ＝2，且AA 1⊥A 1C ，AA 1＝A 1C 。

（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修二第2课时 两平面垂直的判定【课时目标】 1．掌握二面角、二面角的平面角的概念，会求简单的二面角的大小．2．掌握两个平面互相垂直的概念，并能利用判定定理判定两个平面垂直．1．二面角：一条直线和由这条直线出发的____________所组成的图形叫做二面角．______________叫做二面角的棱．________________叫做二面角的面．二面角α的范围为________________．2．平面与平面的垂直①定义：如果两个平面所成的二面角是__________，就说这两个平面互相垂直． ②面面垂直的判定定理文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条______，那么这两个平面互相垂直．符号表示：⎭⎪⎬⎪⎫l ⊥α⇒α⊥β．一、填空题 1．下列命题：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a 、b 分别和一个二面角的两个面垂直，则a 、b 组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角； ④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系． 其中正确的是________(填序号)．2．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有________条． 3．设有直线m 、n 和平面α、β，则下列结论中正确的是________(填序号)． ①若m ∥n ，n ⊥β，m ⊂α，则α⊥β； ②若m ⊥n ，α∩β＝m ，n ⊂α，则α⊥β； ③若m ⊥α，n ⊥β，m ⊥n ，则α⊥β．4．过两点与一个已知平面垂直的平面有________个．5．在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，把菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD＝32，则二面角B－AC－D的大小为________．6．在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中成立的是________(填序号)．①BC∥面PDF; ②DF⊥面PAE；③面PDF⊥面ABC; ④面PAE⊥面ABC．7．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是________．8．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，图中互相垂直的平面有________对．9．已知α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α．以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：____________．二、解答题10．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝BC，CD＝DA，E、F、G分别为CD、DA和对角线AC的中点．求证：平面BEF⊥平面BGD．11．如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E 是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝3．(1)证明：平面PBE⊥平面PAB；(2)求二面角A—BE—P的大小．能力提升12．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．求证：(1)EF∥平面ABC；(2)平面A1FD⊥平面BB1C1C．13．如图，在三棱锥P—ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，点D、E分别在棱PB、PC上，且DE∥BC．(1)求证：BC⊥平面PAC．(2)是否存在点E使得二面角A—DE—P为直二面角？并说明理由．1．证明两个平面垂直的主要途径(1)利用面面垂直的定义，即如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．2．利用面面垂直的判定定理证明面面垂直时的一般方法：先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中存在这样的直线，则可通过线面垂直来证明面面垂直；若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论依据并有利于证明，不能随意添加．3．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的的．第2课时两平面垂直的判定答案知识梳理1．两个半平面这条直线每个半平面0°≤α≤180°2．①直二面角②垂线l⊂β作业设计1．②④解析①不符合二面角定义，③从运动的角度演示可知，二面角的平面角不是最小角．2．0解析若存在1条，则α⊥β，与已知矛盾．3．①③解析②错，当两平面不垂直时，在一个平面内可以找到无数条直线与两个平面的交线垂直．4．1或无数解析当两点连线与平面垂直时，有无数个平面与已知平面垂直，当两点连线与平面不垂直时，有且只有一个平面与已知平面垂直．5．60°解析如图所示，由二面角的定义知∠BOD即为二面角的平面角．∵DO＝OB＝BD＝3 2，∴∠BOD＝60°．6．①②④解析如图所示，∵BC∥DF，∴BC∥平面PDF．∴①正确．由BC⊥PE，BC⊥AE，∴BC⊥平面PAE．∴DF⊥平面PAE．∴②正确．∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)．∴④正确．7．45°解析可将图形补成以AB、AP为棱的正方体，不难求出二面角的大小为45°．8．5解析 由PA ⊥面ABCD 知面PAD ⊥面ABCD ，面PAB ⊥面ABCD ， 又PA ⊥AD ，PA ⊥AB 且AD ⊥AB ， ∴∠DAB 为二面角D —PA —B 的平面角， ∴面DPA ⊥面PAB ．又BC ⊥面PAB ， ∴面PBC ⊥面PAB ，同理DC ⊥面PDA ， ∴面PDC ⊥面PDA ． 9．①③④⇒②(或②③④⇒①)10．证明 ∵AB ＝BC ，CD ＝AD ，G 是AC 的中点， ∴BG ⊥AC ，DG ⊥AC ， ∴AC ⊥平面BGD ．又EF ∥AC ，∴EF ⊥平面BGD ．∵EF ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面BGD ．11．(1)证明 如图所示，连结BD ，由ABCD 是菱形且∠BCD ＝60°知，△BCD 是等边三角形．因为E 是CD 的中点，所以BE ⊥CD ．又AB ∥CD ，所以BE ⊥AB ． 又因为PA ⊥平面ABCD ， BE ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BE ．而PA ∩AB ＝A ， 因此BE ⊥平面PAB ． 又BE ⊂平面PBE ， 所以平面PBE ⊥平面PAB ．(2)解 由(1)知，BE ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ， 所以PB ⊥BE ．又AB ⊥BE ，所以∠PBA 是二面角A —BE —P 的平面角． 在Rt △PAB 中，tan ∠PBA ＝PAAB ＝3，则∠PBA ＝60°．故二面角A —BE —P 的大小是60°．12．证明 (1)由E 、F 分别是A 1B 、A 1C 的中点知 EF ∥BC ．因为EF ⊄平面ABC ． BC ⊂平面ABC ．所以EF∥平面ABC．(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知CC1⊥平面A1B1C1．又A1D⊂平面A1B1C1，故CC1⊥A1D．又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D⊂平面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C．13．(1)证明∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC．又∠BCA＝90°，∴AC⊥BC．又∵AC∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC．(2)解∵DE∥BC，又由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC．又∵AE⊂平面PAC，PE⊂平面PAC，∴DE⊥AE，DE⊥PE．∴∠AEP为二面角A—DE—P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC＝90°．∴在棱PC上存在一点E，使得AE⊥PC．这时∠AEP＝90°，故存在点E，使得二面角A—DE—P为直二面角．。

2.3.3 直线与平面垂直的性质一、选择题1．下列说法正确的是( )A ．若l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥αB ．若直线l 与平面α垂直，则l 与α内的任一直线垂直C ．若E 、F 分别为△ABC 中AB 、BC 边上的中点，则EF 与经过AC 边的所有平面平行D ．两条垂直的直线中有一条和一个平面平行，则另一条和这个平面垂直2．若M 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )① ⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n m ⊥α⇒n ⊥α； ②⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ⊥α⇒M ∥n ；③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αn ∥α⇒M ⊥n; ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥αm ⊥n⇒n ⊥α． A ．1 B ．2 C ．3 D ．43．已知直线PG ⊥平面α于G ，直线EF ⊂α，且PF ⊥EF 于F ，那么线段PE ，PF ，PG 的大小关系是( )A ．PE >PG >PFB ．PG >PF >PEC ．PE >PF >PGD ．PF >PE >PG4．PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B 的任一点，则下列关系不正确的是( )A ．PA ⊥BCB ．BC ⊥平面PAC C ．AC ⊥PBD ．PC ⊥BC 5．下列命题：①垂直于同一直线的两条直线平行； ②垂直于同一直线的两个平面平行； ③垂直于同一平面的两条直线平行； ④垂直于同一平面的两平面平行． 其中正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．在△ABC 所在的平面α外有一点P ，且PA ＝PB ＝PC ，则P 在α内的射影是△ABC 的( )A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心二、填空题7．线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．8．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a ∥b成立的条件是________．(只填序号)①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．9．如图所示，平面ABC⊥平面ABD，∠ACB＝90°，CA＝CB，△ABD 是正三角形，O为AB中点，则图中直角三角形的个数为________．三、解答题10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：(1)MN∥AD1；11．如图所示，设三角形ABC的三个顶点在平面α的同侧，AA′⊥α于A′，BB′⊥α于B′，CC′⊥α于C′，G、G′分别是△ABC 和△A′B′C′的重心，求证：GG′⊥α．2.3.4 平面与平面垂直的性质1．平面与平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内________于________的直线与另一个平面垂直．用符号表示为：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒________．2．两个重要结论：(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在________________________．图形表示为：符号表示为：α⊥β，A∈α，A∈a，a⊥β⇒________．(2)已知平面α⊥平面β，a⊄α，a⊥β，那么________(a与α的位置关系)．一、选择题1．平面α⊥平面β，直线a∥α，则( )A．a⊥βB．a∥βC．a与β相交 D．以上都有可能2．平面α∩平面β＝l，平面γ⊥α，γ⊥β，则( )A．l∥γB．l⊂γC．l与γ斜交 D．l⊥γ3．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有( )A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条4．设α－l－β是直二面角，直线a⊂α，直线b⊂β，a，b与l都不垂直，那么( )A．a与b可能垂直，但不可能平行B．a与b可能垂直，也可能平行C．a与b不可能垂直，但可能平行D．a与b不可能垂直，也不可能平行5．已知两个平面互相垂直，那么下列说法中正确的个数是( ) ①一个平面内的直线必垂直于另一个平面内的无数条直线②一个平面内垂直于这两个平面交线的直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线③过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线，垂足必落在交线上④过一个平面内的任意一点作交线的垂线，则此直线必垂直于另一个平面A ．4B ．3C ．2D ．16．如图所示，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为π4和π6．过A 、B 分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A ′、B ′，则AB ∶A ′B ′等于( )A ．2∶1B ．3∶1C ．3∶2D ．4∶3 二、填空题7．若α⊥β，α∩β＝l ，点P ∈α，PD /∈l ，则下列命题中正确的为________．(只填序号)①过P 垂直于l 的平面垂直于β； ②过P 垂直于l 的直线垂直于β； ③过P 垂直于α的直线平行于β； ④过P 垂直于β的直线在α内． 三、解答题8．如图，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥平面ABC ，平面PAB ⊥平面PBC ．求证：BC ⊥AB ．9．如图所示，P 是四边形ABCD 所在平面外的一点，四边形ABCD 是∠DAB ＝60°且边长为a 的菱形．侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD．(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB．10．如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：(1)DE＝DA；(2)平面BDM⊥平面ECA；(3)平面DEA⊥平面ECA．。

D B A α 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； ] ]； a 来表 a a 线线平行 A ·α C ·B · A · α P· αLβ 共面直线p线面平行 面面平行 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行叫做垂足。

叫做垂足。

的垂线，则这两个ba第 3 页 共 3 页aa b a b //,a a a ÞþýüË^^1、性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

符号表示：符号表示：b a b a //,Þ^^a a 2、性质定理：一条直线与一个平行垂直，那么过这条直线的平面也与此平面垂直 符号表示：b a b a ^ÞÌ^a a ,2.3.4平面与平面垂直的性质1、性质定理：、性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

符号表示：b b a a b a ^Þïþïýü=^Ì^a l l a a ,2、性质定理：垂直于同一平面的直线和平面平行。

符号表示：符号表示：符号表示：一、异面直线所成的角一、异面直线所成的角1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ¢¢， 我们把a ¢与b ¢所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。

所成的角。

2.角的取值范围：090q <£°；垂直时，异面直线当b a ,900=q二、直线与平面所成的角二、直线与平面所成的角1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角2.角的取值范围：°°££900q 。

三、两个半平面所成的角即二面角：三、两个半平面所成的角即二面角： 1、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。

2.3.4平面与平面垂直的性质姓名:___________班级:______________________1.已知,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,若,m n αβ⊥⊥,且βα⊥,则下列结论一定正确的是( )A.m n ⊥B.//m nC.m 与n 相交D.m 与n 异面2.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,12AA AB =,AB BC =,则下列结论中正确的是( )A.1BD ∥1B CB.11A D ∥平面1AB CC.1BD AC ⊥D.1BD ⊥平面1AB C3.如图所示,平面四边形ABCD 中,2,1====BD CD AD AB ,CD BD ⊥,将其沿对角线BD 折成四面体BCD A -,使平面ABD ⊥平面BCD ,则下列说法中不正确的是( )A.ABD ACD 平面平面⊥B.CD AB ⊥C.ACD ABC 平面平面⊥D.ABC AD 平面⊥4.设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,则下列命题正确的是( ) ①若,m ααβ⊥⊥,则m β; ②若,,m n ααββ⊥⊂,则m n ⊥;③,,m n m n αβ⊂⊂,则αβ;④若,,n n m αββ⊥⊥⊥,则m α⊥.A.①②B.③④C.①③D.②④5.在正四面体P ABC -中,D,E,F 分别是AB,BC,CA 的中点,下面四个结论中不成立的是( )A.BC ∥平面PDFB.DF ⊥平面PAEC.平面PDF ⊥平面ABCD.平面PAE ⊥平面ABC6.如图,在四面体D －ABC 中,若AB ＝CB,AD ＝CD,E 是AC 的中点,则下列正确的是( )A.平面ABC ⊥平面ABDB.平面ABD ⊥平面BDCC.平面ABC ⊥平面BDE,且平面ADC ⊥平面BDED.平面ABC ⊥平面ADC,且平面ADC ⊥平面BDE7.已知三条不重合的直线,,m n l 和两个不重合的平面,αβ,下列命题正确的是( )A.若m n ,n α⊂,则m αB.若αβ⊥,m αβ=,且n m ⊥,则n α⊥C.若l n ⊥,m n ⊥,则lm D.若l α⊥,m β⊥,且l m ⊥,则αβ⊥8.如图,四棱锥S ABCD -的底面为正方形,SD ⊥底面ABCD ,则下列结论中不正确的是( )A.AC SB ⊥B.AB ∥平面SCDC.AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角D.SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角9.如图,四面体P －ABC 中,PA ＝PB 平面PAB ⊥平面ABC,∠ABC ＝90°,AC ＝8,BC ＝6,则PC ＝________.10.如图,在长方体1111ABCD A B C D -中,给出以下四个结论:①1D C ∥平面11A ABB ; ②11A D 与平面1BCD 相交; ③AD⊥平面1D DB ; ④平面1BCD ⊥平面11A ABB .其中正确结论的序号是 .11.已知PA ⊥正方形ABCD 所在的平面,垂足为A,连接PB,PC,PD,则平面PAB,平面PAD,平面PCD,平面PBC,平面ABCD 中,互相垂直的平面有 对.12.如图,O 是正方形ABCD 的中心,PO ⊥底面ABCD ,E 是PC 的中点.求证:(1)//PA 平面BDE ;(2)平面PAC ⊥平面BDE . 13.如图,正三棱柱111C B A ABC -中,E 是AC 的中点.(1)求证:平面111A ACC BEC ⊥;(2)若2,21==AB AA ,求点A 到平面1BEC 的距离.14.在如图所示的几何体中,四边形A B C 是等腰梯形,,AB CD 60,DAB ∠=FC ⊥平面,ABCD AE BD ⊥,CB CD CF ==.(1)求证:BD ⊥平面AED ;(2)求二面角F BD C --的余弦值.参考答案1.A【解析】因为,m n αβ⊥⊥,所以,m n 所在向量分别是,αβ的法向量,又βα⊥,所以m n ⊥,故选A.考点:线面垂直的性质,面面垂直的性质.2.C【解析】连接BD,∵1111ABCD A B C D -为长方体,AB ＝BC,∴AC ⊥BD,AC ⊥1DD ,∵BD∩1DD ＝D,∴AC ⊥平面1BDD ,∵1BD ⊂平面1BDD ,∴AC ⊥1BD .考点:直线与平面垂直的性质,直线与平面平行的判定.3.D【解析】取BD 中点M,连接AM ,显然CD AM ⊥,又CD BD ⊥,所以ABD CD 面⊥,所以ABD ACD 平面平面⊥,CD AB ⊥.因为CD AB ⊥,AD AB ⊥,所以ACD AB 面⊥,所以ACD ABC 平面平面⊥.考点:折叠问题及线面垂直,面面垂直.4.D【解析】对于①可以有β⊂m ,故不成立;关于③可以有βα ,所以不成立,故选D. 考点:空间直线与平面的位置关系及判定.5.C【解析】由DF ∥BC,可得BC ∥平面PDF,故A 正确;作PO ⊥平面ABC,垂足为O,则O 在AE 上,则DF ⊥PO,又DF ⊥AE,故DF ⊥平面PAE,故B 正确;由DF ⊥平面PAE 可得,平面PAE ⊥平面ABC,故D 正确.故选C.考点:空间中直线与平面之间的位置关系.6.C【解析】因为AB ＝CB,且E 是AC 的中点,所以BE ⊥AC,同理,DE ⊥AC,于是AC ⊥平面BDE.因为AC 在平面ABC 内,所以平面ABC ⊥平面BDE.又AC ⊂平面ACD,所以平面ACD ⊥平面BDE,所以选C.考点:面面垂直的判定与性质.7.D【解析】A 选项,可能有α⊂m ;B 选项,若n β⊂,则α⊥n ,无条件n β⊂,直线n 与平面α位置关系不确定;C 选项,在空间中,l 与m 可能平行,可能异面,可能相交,故选D . 考点:空间的线面关系.8.C【解析】因为SD⊥底面ABCD,所以AC SD ⊥,又ABCD 为正方形,所以AC BD ⊥,所以SDB AC 面⊥,所以AC⊥SB ,A 正确;因为CD AB //,所以AB∥平面SCD,故B 正确;AB 与SC 所成的角为SCD ∠,DC 与SA 所成的角为SAB ∠,故不相等;很明显SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角相等.考点:线面垂直、线面平行、异面直线所成的角、线面角.9.7【解析】取AB 的中点E,连接PE,CE,∵PA ＝PB,∴PE ⊥AB. 又平面PAB ⊥平面ABC,∴PE ⊥平面ABC,∴PE ⊥CE.∵∠ABC ＝90°,AC ＝8,BC ＝6,∴AB＝,PE=∴PC＝7.考点:面面垂直的性质.10.①④【解析】对于①,因为平面11A ABB ∥平面11D CDC ,⊂C D 1平面11D CDC ,故C D 1与平面11A ABB 没有公共点,所以1D C ∥平面11A ABB ,故①正确;对于②,因为11D A ∥BC ,所以11D A ⊂平面1BCD ,所以②错误;对于③,AD 与1,BD BD 不垂直,所以③错误;对于④,在长方体1111ABCD A B C D -中,容易知道⊥BC 平面11A ABB ,而BC ⊂平面1BCD ,所以平面⊥1BCD 平面11A ABB ,所以④正确.故应填①④.考点:空间中直线与平面之间的位置关系.11.5【解析】,,PA ABCD PAB ABCD PAD ABCD ⊥∴⊥⊥平面平面平面平面,又,,,CD AD PADABCD AD CD PAD ⊥=∴⊥平面平面平面PCD PAD ∴⊥平面平面,同理,平面PAB ⊥平面PAD ,平面PBC ⊥平面PAB ,所以互相垂直的平面共有5对.考点:面面垂直的性质与判定.12.(1)见解析(2)见解析【解析】(1)如图,连接OE ,因为,O E 分别是,AC PC 的中点,所以//OE PA ,又因为,OE BDE PA BDE ⊂⊄平面平面,所以//PA 平面BDE .(2)PO ⊥底面ABCD ,PO BD ∴⊥,又BD AC ⊥,∴BD PAC ⊥平面,又因为BD BDE ⊂平面,所以平面PAC ⊥平面BDE .考点:线与面平行的判定,面与面垂直的判定.13.(1)证明见解析【解析】证明:(1)∵111C B A ABC -是正三棱柱,∴⊥1AA 平面ABC ,又⊂BE 平面ABC ,∴1AA BE ⊥.∵ABC ∆是正三角形,E 是AC 中点,∴AC BE ⊥,又A AC AA = 1,⊂1AA 平面11A ACC ,⊂AC 平面11A ACC ,∴⊥BE 平面11A ACC ,∵⊂BE 平面1BEC ,∴平面1BEC ⊥平面11A ACC .(2)正三棱柱111C B A ABC -中,2,21==AB AA ,因为E 是AC 中点,在直角1CEC ∆中∵⊥BE 平面11A ACC ,⊂1EC 平面11A ACC ,∴1EC BE ⊥,∴2333212111=⨯⨯=⋅=∆EC BE S BEC . 设点A 到面1BEC 的距离为h ,∵11BEC A ABE C V V --=,∴662331=⨯h , ∴36=h . 考点:面面垂直的判定定理,线面垂直的性质定理,等体积法.14.(1)详见解析【解析】(1)证明:因为四边形ABCD 为等腰梯形,AB CD ,60DAB ∠=,所以120ADC BCD ∠=∠=.又CB CD =,所以30CDB ∠=, 因此90ADB ∠=,AD BD ⊥,又AE BD ⊥,且AE AD A =,,AE AD ⊂平面AED ,所以BD ⊥平面AED .(2)取BD 的中点G ,连接,CG FG ,因为CB CD =,所以CG BD ⊥. 又FC ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,所以FC BD ⊥.由于FC CG C =,,FC CG ⊂平面FCG ,所以BD ⊥平面FCG ,故BD FG ⊥.所以FGC ∠为二面角F BD C --的平面角.在等腰三角形B C D 中,由于120BCD ∠=,因,又CB CF =,所以FG ==, 因此,二面角F BD C --的余弦值为 考点:线面垂直的判定;二面角求解。

【成才之路】 高中数学 2.3.4平面与平面垂直的性质练习 新人教A 版必修2基础巩固一、选择题1．平面α⊥平面β，α∩β＝l ，m ⊂α，m ⊥l ，则( ) A ．m ∥β B ．m ⊂βC ．m ⊥βD ．m 与β相交但不必然垂直[答案] C2．已知平面α⊥平面β，直线a ⊥β，则( ) A ．a ⊂α B ．a ∥α C ．a ⊥α D ．a ⊂α或a ∥α [答案] D3．(2015·合肥高一检测)空间四边形ABCD 中，平面ABD ⊥平面BCD ，且DA ⊥平面ABC ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．不能确定 [答案] B4．如下图所示，三棱锥P －ABC 的底面在平面α内，且AC ⊥PC ，平面PAC ⊥平面PBC ，点P ，A ，B 是定点，则动点C 的轨迹是( )A ．一条线段B ．一条直线C ．一个圆D ．一个圆，但要去掉两个点[答案] D[解析] ∵平面PAC ⊥平面PBC ，AC ⊥PC ，平面PAC ∩平面PBC ＝PC ，AC ⊂平面PAC ，∴AC ⊥平面PBC ．又∵BC ⊂平面PBC ，∴AC ⊥BC ．∴∠ACB ＝90°. ∴动点C 的轨迹是以AB 为直径的圆，除去A 和B 两点．5．如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角别离为π4和π6.过A 、B 别离作两平面交线的垂线，垂足为A ′、B ′，则AB A ′B ′等于( )A ．2 1B ．3 1C ．3 2D ．4 3[答案] A[解析] 由已知条件可知∠BAB ′＝π4，∠ABA ′＝π6，设AB ＝2a ，则BB ′＝2a sin π4＝2a ，A ′B ＝2a cos π6＝3a ，∴在Rt △BB ′A ′中，得A ′B ′＝a ，∴AB A ′B ′＝21.6．如图所示，在斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上的射影H 必在( )A ．直线AB 上 B ．直线BC 上 C ．直线AC 上D ．△ABC 内部[答案] A[解析] ∵AC ⊥AB ，AC ⊥BC 1，∴AC ⊥平面ABC 1， 又∵AC ⊂平面ABC ，∴平面ABC 1⊥平面ABC ，∴C 1在平面ABC 上的射影H 必在平面ABC 1与平面ABC 的交线AB 上，故选A ． 二、填空题7．平面α⊥平面β，直线l ⊂α，直线m ⊂β，则直线l ，m 的位置关系是________. [答案] 相交、平行、异面8．三棱锥P －ABC 的高为PH ，若三个侧面两两垂直，则H 为△ABC 的________心． [答案] 垂[解析] 由三个侧面两两垂直知三条侧棱两两垂直，则有BC⊥PA，AB⊥PC，CA⊥PB，又由BC⊥PA，PH⊥BC，得BC⊥平面PAH，则BC⊥AH，同理有AB⊥CH，CA⊥BH，所以H为△ABC高线的交点，即垂心．三、解答题9．把一副三角板如图拼接，设BC＝6，∠A＝90°，AB＝AC，∠BCD＝90°，∠D＝60°，使两块三角板所在的平面彼此垂直．求证：平面ABD⊥平面ACD．[证明]⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫平面ABC⊥平面BCDCD⊥BC⇒CD⊥平面ABCAB⊂平面ABC⇒⎭⎪⎬⎪⎫⎭⎪⎬⎪⎫CD⊥ABAB⊥AC⇒AB⊥平面ACDAB⊂平面ABD⇒平面ABD⊥平面ACD．10.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA⊥PD，底面ABCD 是直角梯形，其中BC∥AD，∠BAD＝90°，AD＝3BC，O是AD上一点．(1)若CD∥平面PBO，试指出点O的位置；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD．[解析] (1)∵CD∥平面PBO，CD⊂平面ABCD，且平面ABCD∩平面PBO＝BO，∴BO∥CD．又BC∥AD，∴四边形BCDO为平行四边形．则BC＝DO，而AD＝3BC，∴AD＝3OD，即点O是靠近点D的线段AD的一个三等分点．(2)证明：∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，AB⊂底面ABCD，且AB ⊥AD，∴AB⊥平面PAD．又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD．又PA⊥PD，且PA⊂平面PAB，AB⊂平面PAB，AB∩PA＝A，∴PD⊥平面PAB．又PD⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD．能力提升一、选择题1．在空间中，下列命题正确的是( )A．若三条直线两两相交，则这三条直线肯定一个平面B．若直线m与平面α内的一条直线平行，则m∥αC．若平面α⊥β，且α∩β＝l，则过α内一点P与l垂直的直线垂直于平面βD．若直线a∥b，且直线l⊥a，则l⊥b[答案] D[解析] 选项A中，如有3个交点，则肯定一个平面，若三条直线交于一点，则不必然能肯定一个平面，如正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1，AB，AD两两相交，但由AA1，AB，AD 不能肯定一个平面，所以A不正确；选项B中，缺少条件m是平面α外的一条直线，所以B不正确；选项C中，不知足面面垂直的性质定理的条件，必需是α内垂直于l的直线，所以C不正确；由于两条平行直线中的一条与第三条直线垂直，那么另一条也与第三条直线垂直，所以D正确．2．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是( )A．若l⊥α，α⊥β，则l⊂βB．若l∥α，α∥β，则l⊂βC．若l⊥α，α∥β，则l⊥βD．若l∥α，α⊥β，则l⊥β[答案] C[解析] l⊥α，α⊥β⇒l∥β或l⊂β，A错；l∥α，α∥β⇒l∥β或l⊂β，B错；l⊥α，α∥β⇒l⊥β，C正确；若l∥α，α⊥β，则l与β位置关系不肯定，D错．3．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则能够得出a⊥b的是( )A．a⊥α，b∥β，α⊥βB．a⊥α，b⊥β，α∥βC．a⊂α，b⊥β，α∥βD．a⊂α，b∥β，α⊥β[答案] C[解析] b⊥β，α∥β，∴b⊥α，又a⊂α，∴b⊥a.4.如图，边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转进程中的一个图形(A′不与A，F重合)，则下列命题中正确的是( )①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②BC∥平面A′DE；③三棱锥A′－FED的体积有最大值．A．①B．①②C．①②③D．②③[答案] C[解析] 注意折叠前DE⊥AF，折叠后其位置关系没有改变．①中由已知可得平面A′FG⊥平面ABC，∴点A′在平面ABC上的射影在线段AF上．②BC∥DE，BC⊄平面A′DE，DE⊂平面A′DE，∴BC∥平面A′DE.③当平面A′DE⊥平面ABC时，三棱锥A′－FED的体积达到最大．二、填空题5.如右图所示，P是菱形ABCD所在平面外的一点，且∠DAB＝60°，边长为a.侧面PAD 为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，PB与平面AC所成的角为θ，则θ＝________.[答案] 45°[解析] 如图所示，取AD的中点G，连接PG，BG，BD．∵△PAD是等边三角形，∴PG⊥AD，又平面PAD⊥平面AC，平面PAD∩平面AC＝AD，PG⊂平面PAD，∴PG⊥平面AC，∴∠PBG是PB与平面AC所成的角θ.在△PBG中，PG⊥BG，BG＝PG，∴∠PBG ＝45°，即θ＝45°.6．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为DC 的中点，F 为线段EC (端点除外)上一动点．现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ．在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB ，K 为垂足．设AK ＝t ，则t 的取值范围是________.[答案] (12，1)[解析] 如图，过D 作DG ⊥AF ，垂足为G ，连接GK ，∵平面ABD ⊥平面ABC ，又DK ⊥AB ， ∴DK ⊥平面ABC ，∴DK ⊥AF . ∴AF ⊥平面DKG ，∴AF ⊥GK .容易患到，当F 接近E 点时，K 接近AB 的中点，当F 接近C 点时，K 接近AB 的四等分点．所以t 的取值范围是(12，1)．三、解答题7．(2015·甘肃兰州一中期末)如图，四棱锥A －BCDE 中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，BC ＝2，CD ＝2，AB ＝AC ，CE 与平面ABE 所成的角为45°.(1)证明：AD ⊥CE ；(2)求二面角A －CE －B 的正切值．[解析] (1)证明：如图，取BC 的中点H ，连接HD ，交CE 于点P ，连接AH ，AP . ∵AB ＝AC ， ∴AH ⊥BC ．又∵平面ABC ⊥平面BCDE ， ∴AH ⊥平面BCDE ， 又CE ⊂平面BCDE ， ∴AH ⊥CE .又∵HC CD ＝CD DE ＝12，∠BCD ＝∠CDE ＝90°，∴Rt △HCD ∽Rt △CDE . ∴∠CDH ＝∠CED ， ∴HD ⊥CE .又AH ∩HD ＝H ， ∴CE ⊥平面AHD ． ∴AD ⊥CE .(2)由(1)CE ⊥平面AHD ，得AP ⊥CE ， 又HD ⊥CE ，∴∠APH 就是二面角A －CE －B 的平面角． 过点C 作CG ⊥AB ，垂足为G ，连接EG . ∵BE ⊥BC ，且BE ⊥AH ，AH ∩BC ＝H ， ∴BE ⊥平面ABC ， ∴BE ⊥CG ，又BE ∩AB ＝B ，∴CG ⊥平面ABE ，∴∠CEG 就是CE 与平面ABE 所成的角，则∠CEG ＝45°， 又CE ＝22＋22＝6，∴CG ＝EG ＝ 3.又BC ＝2，∴∠ABC ＝60°， ∴AB ＝BC ＝AC ＝2，∴AH ＝ 3. 又由△HCP ∽△DEP 得HP ＝33， ∴tan ∠APH ＝AH HP＝3.8．(2011·江苏)如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，E ，F 别离是AP ，AD 的中点．求证：(1)直线EF ∥平面PCD ； (2)平面BEF ⊥平面PAD ．[解析] (1)在△PAD 中，因为E ，F 别离为AP ，AD 的中点，所以EF ∥PD ． 又因为EF ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ， 所以直线EF ∥平面PCD ．(2)连接BD．因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．因为F是AD的中点，所以BF⊥AD．因为平面PAD⊥平面ABCD，BF⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD，又因为BF⊂平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD．。

人教B 版 数学 必修2：平面与平面垂直的性质一、选择题1. 二面角α－l －β是直二面角，a ∈ α，b ∈β，且a 、b 与l 都是斜交，那么 ( D ) A. a 与b 可能垂直，但不可能平行． B. a 与b 可能垂直，也可能平行． 与b 不可能垂直，但可能平行． D. a 与b 不可能平行，也不可能垂直．2. 在下列关于直线l 、m 与平面α、β的命题中,真命题是 ( B )A.若l ⊂β且α⊥β,则l ⊥α.B. 若l ⊥β且α∥β,则l ⊥α.C.若l ⊥β且α⊥β,则l ∥α.D. 若α∩β=m 且l ∥m,则l ∥α.3. 在相互垂直的两个平面中，下列命题中①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内的任意一直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；④过一个平面内的任意一点作垂直于另一个平面的直线必在第一个平面内；正确的个数是 （ C ）A ．1B ．2C ．3D ．44.下列四个命题中错误的一个是 （ D ） A ．空间存在不共面的四个点A 、B 、C 、D ，若是AB ⊥CD ，AD ⊥BC ，则AC ⊥BD ； B ．若l β，且l ⊥α，则α⊥β；C ．若α，β，γ是三个不同的平面，a 表示直线，若是α∩β=a,α⊥γ,β⊥γ，则a ⊥γ；D ．与两条异面直线都垂直的直线是这两条异面直线的公垂线5. 关于直线l ，m ，n 和平面βα,，下列命题中正确的是 （ D ） A ．若n m n m //,//,//则αα B ．若αα⊥⊥n m n m 则,,// C ．若ααα⊥⊥⊥⊂⊂l n l m l n m 则且,,,, D ．若βαβα⊥⊥则,//,m m二、填空题6. 设有不同的直线a 、b 和不同的平面a 、β、γ，给出下列三个命题： （1）若a a //，a b //，则b a //．（2）若a a //，β//a ，则β//a ． （3）若γ⊥a ，γβ⊥，则β//a ． 其中正确的个数是7. 设P 是60的二面角l αβ--内一点，,PA PB αβ⊥⊥平面平面,A,B 为垂足，4,2,PA PB ==则AB 的长为 .8. α、β是两个不同的平面，m 、n 是平面α、β之外的两条不同的直线，给出四个论断： ①m ⊥n ，②α⊥β，③n ⊥β，④m ⊥α，以其中三个论断作为条件，余下一个论断 作为结论，写出你以为正确的一个命题 ．9. 已知m 、n 是直线，γβα,,是平面，给出下列命题（1）若γα⊥，γβ⊥，则βα//（2）若,,βα⊥⊥n n 则βα//（3）若α内不共线三点 A ，B ，C 到β的距离都相等，则βα//（4）若,,αα⊂⊂m n 且βαββ//,//,//则m n（5）若m,n 为异面直线，且βααββα//,//,,//,则m m n n ⊂⊂. 则其中正确的是.10. 已知平面α和平面交于直线l ，P 是空间一点，PA ⊥α，垂足为A ，PB ⊥β，垂足为B ，且PA=1，PB=2，若点A 在β内的射影与点B 在α内的射影重合，则点P 到l 的距离为 . 三、解答题11. 如图，点P 为斜三棱柱111C B A ABC -的侧棱1BB 上一点，1BB PM ⊥交1AA 于点M ，1BB PN ⊥交1CC 于点N .(1) 求证：MN CC ⊥1；(2) 在任意DEF ∆中有余弦定理：DFE EF DF EF DF DE ∠⋅-+=cos 2222. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.12. 三棱锥P ─ABC 中,侧面PAC 与底面ABC 垂直,PA=PB=PC 求证AB ⊥BC; PBCA13. 如图，一副三角板拼放，现沿拼接处将它们折成一个直二面角， (1)求证AB ⊥平面ACD ；(2)求平面ABD 与平面BCD 所成的角； (3)求AD 与BC 所成角的正切值．14. 已知直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，且160AA AD ,DAB =︒=∠，F 为棱BB 1的中点，M 为线段AC 1的中点.（1）求证：直线MF 1AA A 1B 1B C 1CMN P【课时41答案】5. D .7. 设平面PAB 交棱l 于点Q ，则由PA ⊥平面α，PB ⊥平面β知：l ⊥PA ，l ⊥PB ． 于是∠AQB 为二面角α－l —β的平面角，从而∠AQB=60°，故∠APB=1 20°． 在△APB 中，AB 2=PA 2 ＋PB 2—2 PA·PB cos 1 20°=28．72=AB ． 8.②、③、④ ① 或 ①、③、④ ② 9. （2）（5） 10.5 11. (1) 证：MN CC PMN CC PN CC PM CC BB CC ⊥⇒⊥∴⊥⊥⇒111111,,//平面 ；(2) 解：在斜三棱柱111C B A ABC -中，有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=，其中α为 平面B B CC 11与平面A A CC 11所组成的二面角.∴⊥,1PMN CC 平面 上述的二面角为MNP ∠,在PMN ∆中， cos 2222⇒∠⋅-+=MNP MN PN MN PN PMMNP CC MN CC PN CC MN CC PN CC PM ∠⋅⋅⋅-+=cos )()(211111222222，由于111111111,,BB PM S CC MN S CC PN S A ABB A ACC B BCC ⋅=⋅=⋅=，∴有αcos 21111111111222A ACC B BCC A ACC B BCC A ABB S S S S S ⋅-+=. 12. 如图,取AC 中点D,连结PD 、BD. 因为PA=PC,因此PD ⊥AC, 又已知面PAC ⊥面ABC. 因此PD ⊥面ABC,D 为垂足. 因为PA=PB=PC,因此DA =DB=DC,可知AC 为ΔABC 的外接圆直径, 因此AB ⊥BC.13. (1)∵CD ⊥BC ，平面ABC ⊥平面BCD,CD ⊥平面ABC ，CD ⊥AB, 又∵AB ⊥AC,AB ⊥平面ACD ．(2)过A 作AE ⊥BC 于E ．∵平面ABC ⊥平面BCD ．∴AE ⊥平面BCD ．过E 作EF ⊥BD 于F ，连结AF ．得AF ⊥ BD ∴∠AFE确实是平面ABD 与平面BCD 所成二面角的平面DPBCA14.（Ⅰ）延长C 1F 交CB 的延长线于点N ，连结AN.因为F 是BB 1的中点，因此F 为C 1N 的中点，B 为CN 的中点.又M 是线段AC 1的中点，故MF .,ABCD AN ABCD MF 平面平面又⊂⊄.//ABCD MF 平面∴（Ⅱ）证明：连BD ，由直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1可知：⊥A A 1平面ABCD,又∵BD ⊂平面ABCD ，.1BD A A ⊥∴四边形ABCD 为菱形，.BD AC ⊥∴,,,1111A ACC A A AC A A A AC 平面又⊂=⋂ .11A ACC BD 平面⊥∴在四边形DANB 中，DA ∥BN 且DA=BN ，因此四边形DANB 为平行四边形. 故NA ∥BD ，⊥∴NA 平面ACC 1A 1. 1AFC NA 平面又⊂平面平面⊥∴1AFC ACC 1A 1.（Ⅲ）由（Ⅱ）知BD ⊥ACC 1A 1，又AC 1⊂ ACC 1A 1，∴BD ⊥AC 1，∵BD 又由BD ⊥AC 可知NA ⊥AC ，∴∠C 1AC 确实是平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的平面角或补角.在Rt △C 1AC 中，31tan 11==CA C C AC C ， 故∠C 1AC=30°.∴平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的大小为30°或150°.。