2017-2018学年江苏省海安中学高一4月底月考数学试题(普通班)

2017-2018学年江苏省南通市海安高级中学高二（下）6月月考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣1＞0}，则A∩B＝．2．（5分）已知复数z满足：z（1﹣i）＝2+4i，其中i为虚数单位，则复数z的模为．3．（5分）某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为．4．（5分）从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是．5．（5分）如图，它是一个算法的流程图，最后输出的k值为．6．（5分）已知α为第二象限角，，则cos2α＝．7．（5分）若双曲线的一条渐近线方程为2x﹣y＝0，则双曲线的离心率为．8．（5分）对于直线l，m，平面α，m⊂α，则“l⊥m”是“l⊥α”成立的条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个）．9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2﹣6x+5＝0，点A，B在圆C上，且AB＝2，则|+|的最大值是．10．（5分）若关于x的方程4x+a•2x+a+1＝0有实根，则实数a的取值范围是．11．（5分）已知等比数列{a n}的公比q＞1，其前n项和为S n．若S4＝2S2+1，则S6的最小值为．12．（5分）已知△ABC的三边长a，b，c满足b+c≤2a，c+a≤2b，则的取值范围是．13．（5分）如果sin3θ﹣cos3θ＞，且θ∈（0，2π），那么角θ的取值范围是．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A，B为x轴正半轴上的两个动点，P（异于原点O）为y轴上的一个定点，若以AB为直径的圆与圆x2+（y﹣2）2＝1相外切．且∠APB的大小恒为定值，则线段OP的长为．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a cos B＝b cos A．（1）求的值；（2）若sin A＝，求sin（C﹣）的值．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱P A的中点．（1）求证：PC∥平面BDE；（2）若PC⊥P A，PD＝AD，求证：平面BDE⊥平面P AB．17．（14分）给定椭圆C：+＝1（a＞b＞0），称圆C1：x2+y2＝a2+b2为椭圆C的“伴随圆”．已知椭圆C的离心率为，且经过点（0，1）．（1）请求出椭圆C的标准方程；（2）若过点P（0，m）（m＞0）的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2，求实数m的值．18．（16分）如图（示意），公路AM、AN围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tanα＝﹣2．在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km，km．现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园．为尽量减少耕地占用，问如何确定B点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．19．（16分）已知函数f（x）＝e x，g（x）＝x﹣b，b∈R．（1）若函数f（x）的图象与函数g（x）的图象相切，求b的值；（2）设T（x）＝f（x）+ag（x），a∈R，求函数T（x）的单调增区间；（3）设h（x）＝|g（x）|•f（x），b＜1．若存在x1，x2∈[0，1]，使|h（x1）﹣h（x2）|＞1成立，求b的取值范围．20．（16分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且2a5﹣a3＝13，S4＝16．（1）求数列{a n}的前n项和S n；（2）设T n＝（﹣1）i a i，若对一切正整数n，不等式λT n＜[a n+1+（﹣1）n+1a n]•2n﹣1恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数m，n（n＞m＞2），使得S2，S m﹣S2，S n﹣S m成等比数列？若存在，求出所有的m，n；若不存在，说明理由．2017-2018学年江苏省南通市海安高级中学高二（下）6月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x2﹣1＞0}，则A∩B＝{2}．【解答】解：∵x2﹣1＞0，∴x＜﹣1或x＞1，即B＝{x|x＜﹣1或x＞1}，∵A＝{﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{2}．故答案为：{2}2．（5分）已知复数z满足：z（1﹣i）＝2+4i，其中i为虚数单位，则复数z的模为．【解答】解：由z（1﹣i）＝2+4i，得，∴．故答案为：．3．（5分）某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数据的方差为0.032．【解答】解：数据9.7，9.9，10.1，10.2，10.1的平均数＝＝10，方差＝（0.09+0.01+0.01+0.04+0.01）＝0.032．故答案为：0.032．4．（5分）从2个红球，2个黄球，1个白球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是．【解答】解：从5个球中任意取两个共有C52＝10种，两球颜色相同的有2种，两球颜色不同的概率是1﹣＝，故答案为：．5．（5分）如图，它是一个算法的流程图，最后输出的k值为5．【解答】解：模拟执行程序框图，可得k＝1，S＝0满足条件S＜20，S＝21＝2，k＝2满足条件S＜20，S＝21+22＝5，k＝3满足条件S＜20，S＝5+23＝13，k＝4满足条件S＜20，S＝13+24＝21，k＝5不满足条件S＜20，退出循环，输出k的值为5．故答案为：5．6．（5分）已知α为第二象限角，，则cos2α＝．【解答】解：∵，两边平方得：1+sin2α＝，∴sin2α＝﹣，①∴（sinα﹣cosα）2＝1﹣sin2α＝，∵α为第二象限角，∴sinα＞0，cosα＜0，∴sinα﹣cosα＝，②∴cos2α＝﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）＝（﹣）×＝．故答案为：．7．（5分）若双曲线的一条渐近线方程为2x﹣y＝0，则双曲线的离心率为．【解答】解：∵双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为2x﹣y＝0，∴b＝2a，∴c＝a，∴双曲线的离心率是e＝＝．故答案为：．8．（5分）对于直线l，m，平面α，m⊂α，则“l⊥m”是“l⊥α”成立的必要不充分条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个）．【解答】解：根据线面垂直的定义可知，∵m⊂α，若l⊄α，当l⊥m时，l⊥α成立，若l⊂α，则l⊥α不成立，∴若l⊥α，则根据线面垂直的性质可知，l⊥m成立，即“l⊥m”是“l⊥α”成立的必要不充分条件，故答案为：必要不充分．9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2﹣6x+5＝0，点A，B在圆C上，且AB＝2，则|+|的最大值是8．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点M（x′，y′）．∵∴＝，∵圆C：x2+y2﹣6x+5＝0，∴（x﹣3）2+y2＝4，圆心C（3，0），半径CA＝2．∵点A，B在圆C上，AB＝2，∴，即CM＝1．点M在以C为圆心，半径r＝1的圆上．∴OM≤OC+r＝3+1＝4．∴，．故答案为：8．10．（5分）若关于x的方程4x+a•2x+a+1＝0有实根，则实数a的取值范围是（﹣∞，2﹣2]．【解答】解：令2x＝t＞0，原方程4x+a•2x+a+1＝0即为t2+at+a+1＝0则原方程有实根等价于关于t的方程t2+at+a+1＝0有正根．于是有f（0）＜0，即a+1＜0，解得a＜﹣1；或﹣≥0且△≥0，解得a≤0且a2﹣4a﹣4≥0，解得a≤2﹣2．综上实数a的取值范围是（﹣∞，2﹣2]．故答案为：（﹣∞，2﹣2]．11．（5分）已知等比数列{a n}的公比q＞1，其前n项和为S n．若S4＝2S2+1，则S6的最小值为2+3．【解答】解：∵S4＝2S2+1，∴＝2×+1，化为a1（1+q）（q2﹣1）＝1，∵q＞1，∴S6＝＝×（1+q+q2）（1+q）（1﹣q+q2）＝q2﹣1++3≥+3，当且仅当q2＝1+，即q＝时取等号．∴S6的最小值为2+3．故答案为：2+3．12．（5分）已知△ABC的三边长a，b，c满足b+c≤2a，c+a≤2b，则的取值范围是．【解答】解：三角形必须满足两边之和大于第三边，所以b+c＞a，c+a＞b，结合已知得a ＜b+c≤2a①b＜c+a≤2b②将①变形得﹣2a≤﹣b﹣c＜﹣a③将②③相加得b﹣2a＜a﹣b＜2b﹣a由不等式左边b﹣2a＜a﹣b得3a＞2b，所以＜由不等式右边a﹣b＜2b﹣a得2a＜3b，所以＞所以的取值范围是＜＜故答案为13．（5分）如果sin3θ﹣cos3θ＞，且θ∈（0，2π），那么角θ的取值范围是．【解答】解：不等式sin3θ﹣cos3θ＞，化为7sin3θ+sin5θ＞cos5θ+7cos3θ，考察函数f（x）＝7x3+x5是R上的增函数，所以sinθ＞cosθ，．∵θ∈[0，2π），∴θ的取值范围是．故答案为：．14．（5分）在平面直角坐标系xOy中，A，B为x轴正半轴上的两个动点，P（异于原点O）为y轴上的一个定点，若以AB为直径的圆与圆x2+（y﹣2）2＝1相外切．且∠APB的大小恒为定值，则线段OP的长为．【解答】解：设O2（a，0），圆O2的半径为r（变量），OP＝t（常数），则tan∠OP A＝，tan∠OPB＝，∴tan∠APB＝＝，∵＝|r+1|，∴a2＝（r+1）2﹣4，∴tan∠APB＝＝，∵∠APB的大小恒为定值，∴，∴|OP|＝．二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（14分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a cos B＝b cos A．（1）求的值；（2）若sin A＝，求sin（C﹣）的值．【解答】解：∵在△ABC中，a cos B＝b cos A，∴＝，又由正弦定理可得＝，∴＝，sin A cos B﹣cos A sin B＝0，sin（A﹣B）＝0．由﹣π＜A﹣B＜π得，A﹣B＝0，∴a＝b，即＝1．（2）∵A＝B，A+B+C＝π，A为锐角，sin A＝，∴cos A＝＝，sin2A＝2sin A cos A＝2×＝，cos2A＝2cos2A﹣1＝，∴sin（C﹣）＝sin（π﹣2A﹣）＝sin（2A+）＝（sin2A+cos2A）＝（+）＝．16．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱P A的中点．（1）求证：PC∥平面BDE；（2）若PC⊥P A，PD＝AD，求证：平面BDE⊥平面P AB．【解答】证明：（1）连结AC，交BD于O，连结OE．因为ABCD是平行四边形，所以OA＝OC．因为E为侧棱P A的中点，所以OE∥PC．因为PC⊂平面BDE，OE⊂平面BDE，所以PC∥平面BDE．（2）因为E为P A中点，PD＝AD，所以P A⊥DE．因为PC⊥P A，OE∥PC，所以P A⊥OE．因为OE⊂平面BDE，DE⊂平面BDE，OE∩DE＝E，所以P A⊥平面BDE．因为P A⊂平面P AB，所以平面BDE⊥平面P AB．17．（14分）给定椭圆C：+＝1（a＞b＞0），称圆C1：x2+y2＝a2+b2为椭圆C的“伴随圆”．已知椭圆C的离心率为，且经过点（0，1）．（1）请求出椭圆C的标准方程；（2）若过点P（0，m）（m＞0）的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C的伴随圆C1所截得的弦长为2，求实数m的值．【解答】解：（1）记椭圆C的半焦距为c，由题意，得b＝1，＝，c2＝a2+b2，解得a＝2，b＝1，故椭圆C的标准方程为：+y2＝1．（2）由（1）知，椭圆C的方程为+y2＝1，圆C1的方程为x2+y2＝5．显然直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝kx+m，即kx﹣y+m＝0．因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，故方程组（*）有且只有一组解．由（*）得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0．从而△＝（8km）2﹣4（1+4k2）（4m2﹣4）＝0．化简，得m2＝1+4k2．①因为直线l被圆x2+y2＝5所截得的弦长为2，所以圆心到直线l的距离d＝＝．即＝．②由①②，解得k2＝2，m2＝9．因为m＞0，所以m＝3．18．（16分）如图（示意），公路AM、AN围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tanα＝﹣2．在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km，km．现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园．为尽量减少耕地占用，问如何确定B点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．【解答】解：过点P作PE⊥AM，PF⊥AN，垂足为E、F，连接P A．设AB＝x，AC＝y．因为P到AM，AN的距离分别为3，，即PE＝3，PF＝．由S△ABC＝S△ABP+S△APC＝⋅x⋅3+⋅y⋅＝（3x+y）．①…（4分）因为tanα＝﹣2，所以sinα＝．所以S△ABC＝⋅x⋅y⋅．②…（8分）由①②可得⋅x⋅y⋅＝（3x+y）．即3x+5y＝2xy．③…（10分）因为3x+5y≥2，所以2xy≥2．解得xy≥15．…（13分）当且仅当3x＝5y取“＝”，结合③解得x＝5，y＝3．所以S△ABC＝⋅x⋅y⋅有最小值15．答：当AB＝5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2．…（16分）19．（16分）已知函数f（x）＝e x，g（x）＝x﹣b，b∈R．（1）若函数f（x）的图象与函数g（x）的图象相切，求b的值；（2）设T（x）＝f（x）+ag（x），a∈R，求函数T（x）的单调增区间；（3）设h（x）＝|g（x）|•f（x），b＜1．若存在x1，x2∈[0，1]，使|h（x1）﹣h（x2）|＞1成立，求b的取值范围．【解答】解：（1）设切点为（t，e t），因为函数f（x）的图象与函数g（x）的图象相切，所以e t＝1，且e t＝t﹣b，解得b＝﹣1；（2）T（x）＝e x+a（x﹣b），T′（x）＝e x+a．当a≥0时，T′（x）＞0恒成立．当a＜0时，由T′（x）＞0，得x＞ln（﹣a）．所以，当a≥0时，函数T（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞）；当a＜0时，函数T（x）的单调增区间为（ln（﹣a），+∞）．（3）h（x）＝|g（x）|•f（x）＝，当x＞b时，h′（x）＝（x﹣b+1）e x＞0，所以h（x）在（b，+∞）上为增函数；当x＜b时，h′（x）＝﹣（x﹣b+1）e x，因为b﹣1＜x＜b时，h′（x）＝﹣（x﹣b+1）e x＜0，所以h（x）在（b﹣1，b）上是减函数；因为x＜b﹣1时，h′（x）＝﹣（x﹣b+1）e x＞0，所以h（x）在（﹣∞，b﹣1）上是增函数．①当b≤0时，h（x）在（0，1）上为增函数．所以h（x）max＝h（1）＝（1﹣b）e，h（x）min＝h（0）＝﹣b．由h（x）max﹣h（x）min＞1，得b＜1，所以b≤0．②当0＜b＜时，因为b＜x＜1时，h′（x）＝（x﹣b+1）e x＞0，所以h（x）在（b，1）上是增函数，因为0＜x＜b时，h′（x）＝﹣（x﹣b+1）e x＜0，所以h（x）在（0，b）上是减函数．所以h（x）max＝h（1）＝（1﹣b）e，h（x）min＝h（b）＝0．由h（x）max﹣h（x）min＞1，得b＜．因为0＜b＜，所以0＜b＜．③当≤b＜1时，同理可得，h（x）在（0，b）上是减函数，在（b，1）上是增函数．所以h（x）max＝h（0）＝b，h（x）min＝h（b）＝0．因为b＜1，所以h（x）max﹣h（x）min＞1不成立．综上，b的取值范围为（﹣∞，）．20．（16分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且2a5﹣a3＝13，S4＝16．（1）求数列{a n}的前n项和S n；（2）设T n＝（﹣1）i a i，若对一切正整数n，不等式λT n＜[a n+1+（﹣1）n+1a n]•2n﹣1恒成立，求实数λ的取值范围；（3）是否存在正整数m，n（n＞m＞2），使得S2，S m﹣S2，S n﹣S m成等比数列？若存在，求出所有的m，n；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）设数列{a n}的公差为d．∵2a5﹣a3＝13，S4＝16，∴，解得a1＝1，d＝2，…（2分）∴a n＝2n﹣1，S n＝n2．…（4分）（2）①当n为偶数时，设n＝2k，k∈N*，则T2k＝（a2﹣a1）+（a4﹣a3）+…+（a2k﹣a2k﹣1）＝2k．…（5分）代入不等式λT n＜[a n+1+（﹣1）n+1a n]•2n﹣1，得λ•2k＜4k，从而λ＜．设f（k）＝，则f（k+1）﹣f（k）＝﹣＝．∵k∈N*，∴f（k+1）﹣f（k）＞0，∴f（k）是递增的，∴f（k）min＝2，∴λ＜2．…（7分）②当n为奇数时，设n＝2k﹣1，k∈N*，则T2k﹣1＝T2k﹣（﹣1）2k a2k＝2k﹣（4k﹣1）＝1﹣2k．…（8分）代入不等式λT n＜[a n+1+（﹣1）n+1a n]•2n﹣1，得λ•（1﹣2k）＜（2k﹣1）4k，从而λ＞﹣4k．∵k∈N*，∴﹣4k的最大值为﹣4，所以λ＞﹣4．综上，λ的取值范围为﹣4＜λ＜2．…（10分）（3）假设存在正整数m，n（n＞m＞2），使得S2，S m﹣S2，S n﹣S m成等比数列，则（S m﹣S2）2＝S2•（S n﹣S m），即（m2﹣4）2＝4（n2﹣m2），∴4n2＝（m2﹣2）2+12，即4n2﹣（m2﹣2）2＝12，…（12分）即（2n﹣m2+2）（2n+m2﹣2）＝12．…（14分）∵n＞m＞2，∴n≥4，m≥3，∴2n+m2﹣2≥15．∵2n﹣m2+2是整数，∴等式（2n﹣m2+2）（2n+m2﹣2）＝12不成立，故不存在正整数m，n（n＞m＞2），使得S2，S m﹣S2，S n﹣S m成等比数列．…（16分）。

江苏省南通市海安中学2017-2018学年高一(创新班)下学期4月月考数学试题学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________一、填空题1. 已知复数z满足(1＋i)z＝1＋i(i是虚数单位)，则|z|＝________.2. 已知向量，，则______.3. 集合____________________．4. 已知函数y＝的图像在点M(1，f(1))处的切线方程是，则＝________.5. 一个高为的圆锥，底面周长为.该圆锥的表面积为______.6. 将函数的图象向左至少平移______个单位可得到函数的图象.7. 若函数（e为自然对数的底数）是奇函数，则实数的值为_______．8. 设是等差数列的前项的和,若则的值为__________．9. 已知圆：的两焦点为，，点满足，则的取值范围为______.10. 在锐角△中，若，，依次成等差数列，则的值为_______．11. 在平面直角坐标系中，若直线l：与圆C：相切，且圆心C在直线l的上方，则的最大值为______.12. 已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点,为坐标原点.若双曲线的离心率为2,的面积为,则_________.13. 已知实数x，y满足设，则z的取值范围是______.（表示a，b两数中的较大数）14. 若幂函数（）及其导函数在区间上的单调性一致（同为增函数或同为减函数），则实数a的取值范围是______.二、解答题15. 在长方形中，，.M，N分别是线段，的中点，P是长方形（含边界）内一点.（1）求的值；（2）求的取值范围.16. 如图，在四棱锥中，为二面角的平面角.（1）求证：平面平面；（2）若平面，求证：平面.17. 如图，在平面直角坐标系中，A，B是圆O：与x轴的两个交点（点B在点A右侧），点，x轴上方的动点P使直线，，的斜率存在且依次成等差数列.（1）求证：动点P的横坐标为定值；（2）设直线，与圆O的另一个交点分别为S，T.求证：点Q，S，T三点共线.18. 如图，某机场建在一个海湾的半岛上，飞机跑道的长为，且跑道所在的直线与海岸线l的夹角为（海岸线可以看作是直线），跑道上离海岸线距离最近的点B到海岸线的距离.D为海湾一侧海岸线上的一点，设（），点D对跑道的视角为.（1）将表示为x的函数；（2）求点D的位置，使取得最大值.19. 设数列的前n项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前n项和为，求；（3）判断数列中是否存在三项成等差数列，并证明你的结论.20. 已知函数.（1）过点（e是自然对数的底数）作函数图象的切线l，求直线l的方程；（2）求函数在区间（）上的最大值；（3）若，且对任意恒成立，求k的最大值.（参考数据：，）。

2017～2018年度第二学期期中学业质量监测高一创新班数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1. 已知集合，则______.【答案】[1，2]【解析】分析：根据一元二次不等式，求解集合，再利用补集的运算即可求解．详解：由集合或，所以，即．点睛：本题主要考查了集合的运算，其中正确求解集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．2. 设是虚数单位，若复数满足，则复数的模=______.【答案】1【解析】分析：利用复数的运算法则，以及模的计算公式，即可求解．详解：由，则，所以．点睛：本题主要考查了复数的运算法则和复数模的计算，其中熟记复数的运算公式和模的计算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．3. 函数的定义域为______.【答案】【解析】分析：根据函数的解析式，得到解析式有意义所满足的条件，即可求解函数的定义域．详解：由函数可知，实数满足，即，解得，即函数的定义域为．点睛：本题主要考查了函数的定义域的求解，其中根据函数的解析式得到满足条件的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．4. 若，则的值为______.【答案】【解析】分析：根据三角函数的诱导公式，即可求解对应的函数值．详解：由，则．点睛：本题主要考查了三角函数的诱导公式的应用问题，其中熟记三角函数的诱导公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．5. 已知，且，，则的值为______.【答案】【解析】分析：利用两角和与差的正切函数公式，即可化简求值．详解：由，则．点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中把角转化为和熟记两角和与差的正切公式是解答的关键，着重考查了转化意识和推理、运算能力．6. 已知双曲线的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为______.【答案】【解析】分析：先由双曲线的渐近线方程为，易得，再由抛物线的焦点为，可得双曲线，最后根据双曲线的性质列出方程组，即可求解的值，得到双曲线的方程．详解：由双曲线的渐近线方程为，得，因为抛物线的焦点坐标为，得，又由，联立可得，所以双曲线的方程为．点睛：本题主要考查了双曲线和抛物线的标准方程及其几何性质的应用，其中熟记圆锥曲线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．7. 由0，1，2，3，4，5这6个数字共可以组成______.个没有重复数字的四位偶数．【答案】156【解析】分析：可分当末位为和末位不为两种情况分类讨论，再根据分类计数原理求得结果．详解：可分为两类：（1）当末位为时，可以组成个；（2）当末位是或时，则首位有四种选法，中间可以从剩余的个数字选取两个，共可以组成种，由分类计数原理可得，共可以组成个没有重复数字的四位偶数．点睛：本题主要考查了排列、组合及简单的计数原理的应用，着重考查了分类的数学思想方法，对于数字问题是排列中常见到的问题，条件变换多样，把排列问题包含数字问题时，解答的关键是看清题目的实质，注意数列字的双重限制，即可在最后一位构成偶数，由不能放在首位．8. 用数学归纳法证明：“…即，其中，且”时，第一步需验证的不等式为：“______.”【答案】【解析】分析：由题意时，，即可得到第一步需要验证的不等式．详解：由题意可知，当时，，所以第一步需验证的不等式为“”．点睛：本题主要考查了数学归纳法的应用，其中熟记数学归纳法的基本步骤是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力．9. 已知函数有且只有一个零点，则实数b的取值范围是______.【答案】【解析】分析：函数有零点是函数图象的交点，利用函数和的图象，即可求出参数的取值范围．详解：由题意，函数有一个零点，即函数和的图象只有一个交点，如图所示，直线与半圆相切的直线方程为，又过点的直线为，所以满足条件的的取值范围是或，即．点睛：本题主要考查了函数零点的应用问题，其中解答中把函数有零点转化为函数图象得交点是解答的关键，着重考查了转化与化归思想和数形结合思想，以及分析问题和解答问题的能力．10. 设x，y，z均是不为0的实数，9x，12y，15z成等比数列，且，，成等差数列，则的值是______. 【答案】【解析】试题分析：由于成等比数列，，得，又因为成等差数列，，，.考点：等差数列和等比数列的性质.11. 设满足约束条件则目标函数的取值范围为______.【答案】【解析】试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中,因此当时过点C时，取最大值1，当时与直线相切时取最小值，当时，综上目标函数的取值范围为考点：线性规划12. 如图，在△ABC中，边BC的四等分点依次为D，E，F．若，则AE的长为______.【答案】【解析】分析：用和表示出得出，在根据和的关系计算，从而得到的长．详解：因为,所以，所以所以，因为，所以,所以，所以，所以，所以，所以，即．点睛：本题考查了平面向量的基本定理，及平面向量的数量积的运算问题，对于平面向量的计算问题，往往有两种形式，一是利用数量积的定义式，二是利用数量积的坐标运算公式、向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．13. 设函数在上存在导数,对任意的有,且在上.若,则实数的取值范围______.【答案】【解析】令，所以，则为奇函数 . 时，，由奇函数性质知：在R上上递增 .则实数的取值范围是点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等14. 设是三个正实数，且，则的最大值为______.【答案】．【解析】分析：由已知条件可得是方程的正根，求出，打入变形化简利用基本不等式，即可求解．详解：由，所以，所以是方程的正根，所以，所以，当且仅当等号成立，所以的最小值为．二．解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15. 如图，在正三棱柱中，已知，分别为，的中点，点在棱上，且．求证：（1）直线∥平面；（2）直线平面．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证，往往需要利用平几知识，如本题利用平行四边形性质：连结，可先证得四边形是平行四边形，进而证得四边形是平行四边形，即得，（2）证明线面垂直，一般利用线面垂直判定与性质定理，经多次转化论证，而在寻找线线垂直时，不仅可利用线面垂直转化，如由平面，得，而且需注意利用平几中垂直条件，如本题中利用正三角形性质得试题解析：（1）连结，因为，分别为，的中点，所以且，所以四边形是平行四边形，…………………2分所以且，又且，所以且，所以四边形是平行四边形，…………………4分所以，又因为，，所以直线平面．…………………………………………………7分（2）在正三棱柱中，平面，又平面，所以，又是正三角形，且为的中点，所以，……………9分又平面，，所以平面，又平面，所以，……………………………………11分又，平面，，所以直线平面．…………………………………………………14分考点：线面平行判定定理，线面垂直判定与性质定理【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.16. 已知向量与共线，其中A是△ABC的内角．（1）求角的大小；（2）若BC=2，求△ABC面积的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状.【答案】（1）（2）△ABC的面积最大值,等边三角形.【解析】分析：（1）由，得，利用三角恒等变换的公式，求解，进而求解角的大小；（2）由余弦定理，得和三角形的面积公式，利用基本不等式求得，即可判定当时面积最大，得到三角形形状．详解：（1）因为m//n,所以.所以，即，即.因为, 所以.故，.（2）由余弦定理，得又，而，（当且仅当时等号成立）所以.当△ABC的面积取最大值时，.又，故此时△ABC为等边三角形点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.17. 已知椭圆：（）的离心率为，椭圆与轴交于两点，且．（1）求椭圆的方程；（2）设点是椭圆上的一个动点，且点在轴的右侧，直线与直线交于两点，若以为直径的圆与轴交于，求点横坐标的取值范围及的最大值．【答案】（1）（2） 2试题解析：（1）由题意可得，，，得，解得，椭圆的标准方程为.（2）设，，，所以，直线的方程为，同理得直线的方程为，直线与直线的交点为，直线与直线的交点为，线段的中点，所以圆的方程为，令，则，因为，所以，所以，因为这个圆与轴相交,该方程有两个不同的实数解，所以，解得．设交点坐标，则（），所以该圆被轴截得的弦长为最大值为2．考点：直线与圆位置关系，两直线交点18. 如图，一个角形海湾AOB，∠AOB＝2θ（常数θ为锐角）．拟用长度为l（l为常数）的围网围成一个养殖区，有以下两种方案可供选择：方案一如图1，围成扇形养殖区OPQ，其中＝l；方案二如图2，围成三角形养殖区OCD，其中CD＝l；（1）求方案一中养殖区的面积S1；（2）求证：方案二中养殖区的最大面积S2＝；（3）为使养殖区的面积最大，应选择何种方案？并说明理由．【答案】（1）（2）见解析（3）为使养殖区面积最大，应选择方案一．【解析】分析：（1）设，利用弧长公式得，再利用扇形的面积公式，即可求解；（2）设，由余弦定理和基本不等式得，再利用三角形的面积公式，即可证得；（3）由（1）（2）得，令，求得，求得函数的单调性，得，得，作出相应的选择．详解：解：（1）设OP＝r，则l＝r·2θ，即r＝，所以S1＝lr＝，θ∈(0，)．(2)设OC＝a，OD＝b．由余弦定理，得l2＝a2＋b2－2abcos2θ，所以l2≥2ab－2abcos2θ．所以ab≤，当且仅当a＝b时“＝”成立．所以S△OCD＝absin2θ≤＝，即S2＝．(3)－＝(tanθ－θ)，θ∈(0，)，．令f(θ)＝tanθ－θ，则f '(θ)＝()'－1＝．当θ∈(0，)时，f '(θ)＞0，所以f(θ)在[0，)上单调增，所以，当θ∈(0，)，总有f(θ)＞f(0)＝0．所以－＞0，得S1＞S2．答：为使养殖区面积最大，应选择方案一．(没有作答扣一分)点睛：本题主要考查了扇形的弧长公式和扇形的面积公式，及导数在函数中的综合应用，其中正确理解题意，利用扇形的弧长公式和面积公式建立函数关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．19. 已知函数(a > 0，b，c)．（1）设．①若，在处的切线过点(1，0)，求的值；②若，求在区间上的最大值；（2）设在，两处取得极值，求证：，不同时成立．【答案】（1）①或②0（2）见解析【解析】（1）根据题意，在①中，利用导数的几何意义求出切线方程，再将点代入即求出的值，在②中，通过函数的导数来研究其单调性，并求出其极值，再比较端点值，从而求出最大值；（2）由题意可采用反证法进行证明，假设问题成立，再利用函数的导数来判断函数的单调性，证明其结果与假设产生矛盾，从而问题可得证.试题解析：（1）当时，.①若，则，从而，故曲线在处的切线方程为.将点代入上式并整理得，解得或.②若，则令，解得或.（ⅰ）若，则当时，，所以为区间上的增函数，从而的最大值为.（ii）若，列表：所以的最大值为.综上，的最大值为0.（2）假设存在实数，使得与同时成立.不妨设，则.因为，为的两个极值点，所以.因为，所以当时，，故为区间上的减函数，从而，这与矛盾，故假设不成立.既不存在实数，，，使得，同时成立.点睛：此题主要考查了有关函数导数的几何意义、以及导数在判断函数单调性、求函数的最值等方面的知识和运算技能，属于中高档题型，也是高频考点.利用导数求函数单调区间的一般步骤：1.确定函数的定义域；2.求导数；3.在函数的定义域内解不等式和；4.根据3的结果确定函数的单调区间.20. 已知是数列的前n项和，，且．（1）求数列的通项公式；（2）对于正整数，已知成等差数列，求正整数的值；（3）设数列前n项和是，且满足：对任意的正整数n，都有等式成立.求满足等式的所有正整数n.【答案】（1）（2）（3）1和3.【解析】试题分析：（1）先根据和项与通项关系得项之间递推关系，再根据等比数列定义判断，最后根据等比数列通项公式求结果，（2）根据等差数列化简得，再根据正整数限制条件以及指数性质确定不定方程正整数解，（3）先根据定义求数列通项公式，再根据等差数列求和公式求，根据数列相邻项关系确定递减，最后根据单调性求正整数解.试题解析：（1）由得，两式作差得，即.，，所以，，则，所以数列是首项为公比为的等比数列，所以；（2）由题意，即，所以，其中，，所以，，，所以，，；（3）由得，，，，所以，即，所以，又因为，得，所以，从而，，当时；当时；当时；下面证明：对任意正整数都有，，当时，，即，所以当时，递减，所以对任意正整数都有；综上可得，满足等式的正整数的值为和.。

江苏省海安高级中学2017-2018学年度第一学期期中考试高一数学（创新班）试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．已知集合{}1221A m =--，，，集合{}22B m =，，若B A ⊆，则实数m ▲ ．2．函数()πcos 3y x =+的最小正周期为 ▲ ． 3．已知幂函数()f x 的图象经过点124⎛⎫⎪⎝⎭，，则()=f x ▲ ．4．函数()f x =的定义域为 ▲ . 5．已知弧长为πcm 的弧所对的圆心角为4π，则这条弧所在的扇形面积为 ▲ 2cm . 6．已知向量(()11AP PB ==，uu u r uu r ，则AP u u u r 和AB u u u r的夹角等于 ▲ ．7．已知函数f (x )是R 上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2)()f x f x +=，且当[02]x ∈，时， 2()log (1)f x x =+，则(2010)(2011)f f -+的值为 ▲ ．8．函数5()2sin(π)(0)6f x x ωω=>+的图象如图所示，若5AB =，则()f x 在[20162019]，上的单调增区间为 ▲ ．9．在等比数列{}n a 中，公比51421156q a a a a >-=-=，，，则3=a ▲ ．10．在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1， D 是边BC 上一点， 2DC BD =uuu r uu u r ， 则AD BC ⋅uuu r uu u r＝ ▲ ．11．已知x y ∈R ，，且222x y x y +=≠，，则()()2211x y x y ++-的最小值是 ▲ ．12．在数列{}n a 中，21010a =，1n n a a n +-≤，221n n a a n +-+≥，则20182018a 的值为 ▲ ． 13．已知函数()[]sin ππlg πx x f x x x ⎧∈-⎪=⎨>⎪⎩，，，，，，x 1，x 2，x 3，x 4，x 5是方程f (x )＝m 的五个不等的实数根，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5的取值范围是 ▲ ．14．若△ABC 的内角A B C ，，满足sin 2sin A B C =，则cos C 的最小值是 ▲ ． 二、解答题: 本大题共6小题，15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请（第8题）在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知集合{}3A x x =<，{}(1)(21)0B x x m x m m =-+--<∈R ，. （1）若m =3，求()A B R ðI ；（2）若A B A =，求实数m 的取值范围.16．在△ABC 中，C －A ＝2π，sin B ＝13. （1）求sin A 的值；（2）设AC ，求△ABC 的面积．17．已知数列{}n a 满足135a =，*112(2)n n a n n a -=-∈N ，≥,数列{}nb 满足*1()1n n b n a =∈-N ．（1）求证数列{}n b 是等差数列； （2）求数列{}n a 中的最大项和最小项．C(第19题)18．设向量a ()33cos sin 22θθ=，，b ()cos sin 22θθ=-，，其中π03θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，. （1）求⋅+a b a b的最大值和最小值；（2）若k k +=-a b b ，求实数k 的取值范围.19．如图，公园内有一块边长为2a 的正三角形ABC 空地，拟改建成花园，并在其中建一直道DE方便花园管理. 设D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE 均分三角形ABC 的面积. （1）设ADx （x a ≥），DE y ，试将y 表示为x 的函数关系式； （2）若DE 是灌溉水管，为节约成本，希望其最短，DE 的位置应在哪里？ 若DE 是参观路线，希望其最长，DE 的位置应在哪里？20．已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n A 与n B ，对任意n *∈N ，112()n n n n a a b b ++-=-． （1）若212n A n b ==，，求n B ； （2）若对任意n *∈N ，都有n n a B =．①当12b =时，求数列{}n nb 的前n 项和n C ；②是否存在两个整数,s t (1)s t <<，使11s ts tA A AB B B ，，成等差数列？若存在，求出s t ，的值，若不存在，请说明理由．参考答案【填空题答案】1．1 2．π 3．2x - 4．(0 5.2π 6.4π 7．18．[2018,2019]9. 4 10.83- 11. 1 12. 100913.(),10π【解答题答案】15. 【解】（1）当m =3时，{}(2)(7)0(27)B x x x =--<=，， ………………………2分而()33A =-，，于是(][)33A =-∞-+∞R ，，ð， …………………………4分所以()[)37.A B =R ，ð…………………………6分（2）A B A B A =⇔⊆.若B =∅，则121m m -=+，解得2.m =- …………………………8分若B ≠∅，由B A ⊆得23133213m m m ≠-⎧⎪--⎨⎪-+⎩，≤≤，≤≤， 解得21m -<≤.…………………………12分 综上得实数m 的取值范围是[]21-，. …………………………14分 16．【解】（1）由C －A ＝2π和A ＋B ＋C ＝π， 得B ＝2π－2A ,0<A <4π. …………………………4分 故sin B ＝cos2A ，即1－22sin A ＝13，sin A =. …………………………7分（2）由(1)得sin sin()cos 2C A A π=+==. ………………10分又由正弦定理sin sin BC ACA B=，得BC =， …………………………12分所以1sin 2ABC S AC BC C ∆=⋅⋅=…………………………14分17．【解】（1）由*112(2)n n a n n a -=-≥∈N ，得*112()n na n a +=-∈N1111111111121n n n n n nb b a a a a ++-=-=-=----- ………………………4分又152b =-，所以{}n b 是以52-为首项，1为公差的等差数列 (6)分（2）因为17(1)2n b b n n =+-=-， 所以121127n n a b n =+=+-． (9)分13n ≤≤时数列{}n a 单调递减且1n a <，4n ≥时数列{}n a 单调递减且1n a >所以数列{}n a 的最大项为43a =，最小项为31a =-. ………………………14分18．【解】（1）a ·b ()()3333cos sin cos sin cos cos sin sin cos 222222222θθθθθθθθθ=⋅-=-=，，. ……2分2cos θ+a b .于是2co 1c 2c θθθθθθ⋅-===-+a b a b …………………………4分 因为π03θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以1c o s 12θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，. …………………………6分 故当1cos 2θ=即π3θ=时，⋅+a b a b 取得最小值12-；当cos 1θ=即0θ=时，⋅+a b a b 取得最大值12.…………………………8分（2）由k k +=-a b b 得222221312cos 23(1)6cos 2cos 24k k k k k k k kθθθ++=-⇔++=+-⇔=a b a b . ……………11分因为π03θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，所以1cos 212θ-≤≤. 不等式211124k k +-⇔≤≤22(1)044104k k k k k ⎧+⎪⎪⎨-+⎪⎪⎩≥，≤，解得22k ≤1k =-， 故实数k 的取值范围是{}221⎡-⎣. …………………………16分19．【解】（1）因为DE 均分三角形ABC 的面积，所以21(2)2xA E a=，即22a AE x=. …………………………2分 在△ADE 中，由余弦定理得y =…………………………4分因为0202AD a AE a ≤≤，≤≤，所以202202x a a a x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤，≤≤， 解得2a x a ≤≤ 故y 关于x 的函数关系式为)2y a x a =≤≤. …………………………6分 （2）令2t x =，则224a t a ≤≤，且y =设()4224()4af t t t a a t⎡⎤=+∈⎣⎦，. …………………………8分若22122a t t a <≤≤，则()()4121212124()()0t t t t a f t f t t t ---=>所以()f t 在222a a ⎡⎤⎣⎦，上是减函数. 同理可得()f t 在2224a a ⎡⎤⎣⎦，上是增函数. ………………11分于是当22t a =即x =时，min y =，此时DE //BC，且.AD = ……………………13分当2t a =或24t a =即x =a 或2a时，max y =，此时DE 为AB 或AC 上的中线. …………15分故当取AD 且DE //BC 时，DE 最短；当D 与B 重合且E 为AC 中点，或E 与C 重合且D 为AB 中点时，DE 最长. …………………………16分20．【解】（1）因为2n A n =，所以221,1(1),n 2n n a n n =⎧=⎨--≥⎩即21n a n =- ……………………2分故111()12n n n n b b a a ++-=-=，所以数列{}n b 是以2为首项，1为公差的等差数列，所以2112(22n B n =⋅ ……………………4分 （2）①依题意112()n n n n B B b b ++-=-，即112()n n n b b b ++=-，12n n b b +=， 又因为12b =，所以0n b ≠，所以12n nb b +=， 所以数列{}n b 是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以2n n b =， ………………………6分12312+22+32++2n n C n =⨯⨯⨯⋅⋅⋅⋅，2341212+22+32++(1)22n n n C n n +=⨯⨯⨯⋅⋅⋅-⋅+⋅，错位相减得 1231112+2+2++22222n n n n n C n n +++-=⋅⋅⋅-⋅=--⋅所以1(1)22n n C n +=-⋅+ (1)0分②由题意10B ≠，所以10b ≠，由①112n n b b -=得1(21)n n n a B b ==-，11(22)n n A b n +=--， 所以111(22)2(21)21n n n n n A b n n B b +--==---， ……………………12分假设存在两个整数,s t (1)s t <<，使11,,s ts tA A AB B B 成等差数列， 即11,,212121s ts t---成等差数列， 即121212121s t s t=+--- 即212121s t s t =+--，因为1121t t+>-，所以2121s s >-，即221ss <+ 令(s)221(2,)s h s s s *=--≥∈N ，则(1)(s)220s h s h +-=->，所以(s)h 递增， 若3s ≥，则(s)h(3)10h ≥=>，不满足221s s <+，所以2s =，……………………14分 代入121212121s t s t =+---得2310tt --=(3)t ≥， 当3t =时，显然不符合要求；当4t ≥时，令()231(3,)t t t t t ϕ*=--≥∈N ，则同理可证()t ϕ递增，所以()(4)30t ϕϕ≥=>， 所以不符合要求. 所以，不存在正整数,s t ，使11,,s ts tA A AB B B 成等差数列. ……………………16分。

阶段检测三 高一 创新班数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．． 1．已知复数z 满足(1＋i)z ＝1＋3i(i 是虚数单位)，则|z |= ▲ ． 2．已知向量a (12)=，，b (32)=-，，则()⋅-a a b = ▲ ． 3．集合A ＝{3，2a }，B ＝{a ，b }，且A ∩B ＝{2}，则A ∪B = ▲ ．4．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)= ▲ ． 52π．该圆锥的表面积为 ▲ ．6． 将函数sin 2y x =的图象向左至少平移 ▲ 个单位可得到函数cos 2y x =的图象．7． 若函数2(e )()e 1x xx m f x +=-（e 为自然对数的底数）是奇函数，则实数m 的值为 ▲ ． 8． 设n S 是等差数列{a n }的前n 项的和．若27a =，77S =-，则a 7的值为 ▲ ． 9．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，点P (x 0，y 0)满足0＜x 202＋y 20＜1，则PF 1＋PF 2的取值范围为 ▲ ．10．在锐角△ABC 中，若tan A ，tan B ，tan C 依次成等差数列，则tan tan A C 的值为 ▲ ． 11．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：20x y +=与圆C ：22()()5x a y b -+-=相切，且圆心C在直线l 的上方，则ab 的最大值为 ▲ ．12．已知双曲线()2222100y x a b a b-=>>，的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p = ▲ ． 13．已知实数x ，y 满足2002x y x y +⎧⎪⎨⎪+⎩≥，≥，≤，设{}max 342z x y x y =--，，则z 的取值范围是 ▲ ． （max{}a b ，表示a ，b 两数中的较大数）14．若幂函数()a f x x =(a ∈R )及其导函数()f x '在区间(0，+∞)上的单调性一致(同为增函数或同为减函数)，则实数a 的取值范围是 ▲ ．（第17题）二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）如图，在长方形ABCD 中，AB =4，AD =2．M ，N 分别是线段BC ，CD 的中点，P 是长方形ABCD （含边界）内一点． （1）求sin ∠MAN 的值； （2）求MN MP ⋅的取值范围．16．（本题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PAB ∠为二面角P AD B --的平面角． （1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）若BC ⊥平面PAB ，求证：//AD 平面PBC ．17．（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是圆O ：221x y += 与x 轴的两个交点（点B 在点A 右侧），点(20)Q -，， x 轴 上方的动点P 使直线PA ，PQ ，PB 的斜率存在且依次成等差 数列．（1）求证：动点P 的横坐标为定值；（2）设直线PA ，PB 与圆O 的另一个交点分别为S ，T ．ABPD（第16题）。

高一年级阶段性测试（三）物理（创新班）一、单项选择题．本题共7小题，每小题3分，共计21分．每小题只有一个选项符合题意1. 有关布朗运动的说法错误的是A. 布朗运动就是分子的无规则运动B. 布朗运动反映了分子的无规则运动C. 颗粒越小布朗运动越显著D. 温度越高布朗运动越激烈【答案】A【解析】试题分析：布朗运动是悬浮微粒的无规则运动，不是分子的无规则运动，形成的原因是由于液体分子对悬浮微粒无规则撞击引起的．布朗运动的激烈程度与温度、颗粒的大小有关．布朗运动是悬浮在液体中微粒的无规则运动，所以布朗运动不是微粒分子的无规则运动，也不是液体分子的无规则运动，原因是由于液体分子对悬浮微粒无规则撞击引起的，所以布朗运动是液体分子无规则运动的反映，A错误B正确；液体温度越高，液体分子运动越激烈，布朗运动越显著，悬浮微粒越小，受到液体分子撞击的冲力越不平衡，布朗运动越显著，CD正确．2. 用筷子滴一滴水，体积约为0.1cm3，这一滴水中含有水分子的个数最接近以下哪一个值(阿伏加德罗常数N A＝6×1023mol－1，水的摩尔体积为V mol＝18cm3/mol)A. 6×1023个B. 3×1021个C. 6×1019个D. 3×1017个【答案】B【解析】0.1cm3水的物质量为：分子数为：，故应选B。

3. 通过一阻值R=100Ω的电阻的交变电流如图所示，其周期为1s.电阻两端电压的有效值为A. 12VB. VC. 15VD. V【答案】B【解析】试题分析：已知交变电流的周期，一个周期内分为两段，每一段均为恒定电流，根据焦耳定律即可得一个周期内交变电流产生的热量由有效值的定义可得，代入数据得，解得，B正确；视频4. 如图所示，固定于水平面上的金属架CDEF处在竖直向下的匀强磁场中，金属棒MN沿框架以某一速度向右做匀速运动。

t=0时,磁感应强度为B0，此时MN到达的位置恰好使MDEN构成一个边长为L的正方形.为使MN棒中不产生感应电流,从t=0开始,磁感应强度B随时间t的变化的图象正确的是A. B. C. D.【答案】C【解析】当通过闭合回路的磁通量不变，则MN棒中不产生感应电流，有： B0L2=BL（L+vt）所以可知，B与t是非线性关系，B-t图线是曲线，而且随着t的增大，B减小，故C正确，ABD错误。

高一年级阶段测试(四)数 学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应．．．．．位置上．．．． 1．设{}{}()|46()|53A x y y x B x y y x ==-+==-，，，，则AB = ▲ ．2. 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于 ▲ ，那么这个数列就叫做等比数列．3．已知2(2)31f x x =+，则函数f (x )的解析式为 ▲ ．.4．在△ABC 中，cos cos B Cb c=，则△ABC 是 ▲ _三角形. 5．若关于x 的不等式ax 2+bx +1>0的解集为{1<x <2}，则实数a+b = ▲ ． 6．若方程x x -=3lg 的解在区间(n ，n +1) (n ∈ N*)，则n = ▲ ． 7．把函数πsin(2)3y x =+的图像向右平移π6个单位长度，再将所得图像上的所有点的横坐标变为原来的21倍（纵坐标不变），则所得的图像的函数解析式为 ▲ ． 8．如果用半径为1的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒，那么这个圆锥筒的高等于 ▲ ． 9．设a =(x ，3)，b =(2，-1)，若a ，b 夹角为钝角，则x 的取值范围为 ▲ ． . 10．已知l ，m 是空间两条不重合的直线，α，β是两个不同的平面．给出下列命题： ①若l ∥α，l ∥m ，则m ∥α； ②若l ⊂α，m ⊂β，α∥β，则l ∥m ； ③若l ⊂α，m ⊂β，l ⊥m ，则α⊥β； ④若α⊥β，l ⊥α，m ⊥β，则l ⊥m ．其中是真命题的有 ▲ ．（填所有真命题的序号）． 11．已知数列{}n a 满足)2(11≥+=-+n a a a n n n ，若87=a ，则=++++10321a a a a ▲ ．12．已知正实数x ，y 满足31x y +≤，则yy x 211++的最小值为 ▲ ． 13．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，{a 2n －1}是公差为d 的等差数列，{a 2n }是公比为q 的等比数列，且a 1＝a 2＝a ，S 2：S 4：S 6＝1：3：6，则daq 的值是 ▲ ．14．在平面四边形ABCD 中，AD ＝2，CD ＝4，△ABC 为等边三角形，则△BCD 面积的最大值是 ▲ ．二、解答题：本大题共6题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本题满分14分)叙述并证明基本不等式定理.16．（本题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD是矩形，BC ， E ，F 分别为BC ，CD 的中点，且PF ⊥平面ABCD ．求证：（1）EF ∥平面PBD ；（2）平面PAE ⊥平面PEF ．D CA（第17．（本题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知60B =︒，8c =.（1）若点M 是线段BC 的中点， AMBM，求b 的值； （2）若12b =，求△ABC 的面积.18．（本题满分16分）设n S 数列{}n a 的前n 项和，对任意n *∈N ，都有1()()n n S an b a a c =+++（a b c ，，为常数）．（1）当3022a b c ===-，，时，求n S ； （2）当1002a b c ===，，时，求证：数列{}n a 是等差数列．19．(本题满分16分)某商场在一部向下运行的手扶电梯终点的正上方竖直悬挂一幅广告画．如图，该电梯的高AB 为4米，它所占水平地面的长AC 为8米．该广告画最高点E 到地面的距离为232米，最低点D 到地面距离6米．假设某人眼睛到脚底的距离MN 为32米，他竖直站在此电梯上观看DE 视角为θ．（1）设此人到直线EC 的距离为x 米，试用含x 的表达式表示tan θ； （2）此人到直线EC 的距离为多少米时，视角θ最大？20．（本题满分16分）已知等差数列{a n }和等比数列{b n }均不是常数列，若a 1＝b 1＝1，且a 1，2a 2，4a 4成等比数列，4b 2，2b 3，b 4成等差数列．（1）求{a n }和{b n }的通项公式；（2）设m ，n 是正整数，若存在正整数i ，j ，k （i ＜j ＜k ），使得a m b j ，a m a n b i ，a n b k 成等差数列，求m ＋n 的最小值；（3）令c n ＝a n b n，记{c n }的前n 项和为T n ，{1a n}的前n 项和为A n ．若数列{p n }满足p 1＝c 1，且对n ≥2，n ∈N*，都有p n ＝T n －1n ＋A n c n ，设{p n }的前n 项和为S n ，求证：S n ＜4(1+12+13+ (1))．高一年级阶段测试(四)数 学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题纸相应．．．．．位置上．．．． 1． {}(12)AB =，2.同一个常数 3． 23()14f x x =+.4．等腰 5． 166． 27． x y 4sin =8．9． 623-≠<x x 且 . 10．④．11． 解：设 127,,,588,a x a y a x y ===+=12310558888a a a a x y ++++=+=.12． 4 解析y y x 211++4222)211)(3(≥++++=+++≥yyx y x y y y x y x ，当且仅当14x y ==时，yy x 211++的最小值为4． 13． 2【提示】S 2＝2a ，S 4＝a 1＋a 3＋a 2＋a 4＝2a ＋d ＋a ＋aq ＝3a ＋d ＋aq ， S 6＝a 1＋a 3＋a 5＋a 2＋a 4＋a 6＝3a ＋3d ＋a ＋aq ＋aq 2＝， 因为S 2：S 4：S 6＝1：3：6，DCA所以(2a )：(3a ＋d ＋aq )：(4a ＋3d ＋aq ＋aq 2)＝1：3：6，即⎩⎨⎧d ＋aq ＝3a ，3d ＋aq ＋aq 2＝8a ，所以2aq －aq 2＝a ． 因为a ≠0，所以2q －q 2＝1即q ＝1， 所以d ＝2a ，从而daq ＝2．14． 4＋43．【提示】设△BCD 的面积为S ，则S ＝12×4×BC ×sin ∠BCD ＝2BC sin(∠ACD ＋π3)＝BC sin ∠ACD ＋3BC cos ∠ACD 设∠ADC ＝α，则AC sin α＝2sin ∠ACD，于是AC sin ∠ACD ＝2sin α，即BC sin ∠ACD ＝2sin α，又BC cos ∠ACD ＝AC ×AC 2＋42－222AC ×4＝AC 2＋128＝22＋42－2×2×4cos α＋128＝4－2cos α，所以S ＝2sin α＋3(4－2cos α)＝4sin(α－π3)＋43， 从而S 的最大值为4＋43，此时α＝5π6．二、解答题：本大题共6题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本题满分14分)叙述并证明基本不等式定理.两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数，当且仅当两正数相等时两者相等，即对任意a>0，b >0，有2a b+≥a=b 时等号成立． ………4分 证法1：2a b+-22211022=+-=≥当且仅当=a b =时，取“=”．证法2≤2a b+，只要证a b ≤+，只要证0a b ≤-，只要证20≤．因为最后一个不等式成立，≤2a b+成立，=a b =时，取“=”号．证法3：对于正数,a b有20≥，a b⇒+-16．（本题满分14分）17．18．（解：（11为首项，3为公比的等比数列，（2）19．【解析】（1）作MGCE ⊥交于点G ，作NH AC ⊥交于H ，则CH GM x ==．在Rt BAC ∆中，因为4AB =，8AC =，所以1tan 2BCA ∠=，所以tan 2x NH CH BCA =⋅∠=，所以32xMH MN NH +=+=．因为MH GC =，所以922x DG DC GC DC MH =-=-=-，EG EC GC EC MH =-=-=102x-，在Rt DGM ∆中，922tan x DG DMG GM x -∠==，在Rt EGM ∆中，102tan x EG EMG GM x -∠==，所以 tan tan tan tan tan()1tan tan EMG DMG EMD EMG DMG EMG DMG θ∠-∠=∠=∠-∠=+∠⋅∠9102229102221x xx x x x x x---=--+⋅222529180xx x =-+（08x <≤）； （2）由08x <≤得50x >，1800x>，所以22222tan 180529180529x x x x xθ==-++-2231≤=，当且仅当1805xx=即6x=时取“=”，又因为tanyθ=在区间(0,)2π上递增，所以当6x=米，tanθ取得最大值2231，此时视角θ取得最大值．答：此人到直线EC的距离为6米时，视角θ最大．20．解：（1）设等差数列的公差为d（d≠0），等比数列在公比为q（q≠1），由题意得：解得d＝1，q＝2，………4分（2）由a m b j，a m a n b i，a n b k成等差数列，，………6分可得①当1≤m≤2或 (8)分6，或………10分（3………11分（1）………12分。

2017-2018学年江苏省海安中学高一（普通班）下学期期中考试数学试题一、填空题1．函数最小正周期_______．【答案】【解析】函数的最小正周期为2．已知集合，则______.【答案】[1，2]【解析】分析：根据一元二次不等式，求解集合，再利用补集的运算即可求解．详解：由集合或，所以，即．点睛：本题主要考查了集合的运算，其中正确求解集合是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．3．圆锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1：2，则原圆锥的高被截面分成的两段之比为_______．【答案】【解析】分析：根据题意，由相似边的比与面积比的关系，先求出截面分圆锥的高与原来圆锥的高的比值，再求出所求的比值．详解：根据面积比是对应边之比的平方得，此截面分圆锥的高与原来圆锥的高的比为，所以此截面分圆锥的高为上下两段的比为．点睛：本题以圆锥为载体，主要考查了面积比是对应边比的平方的应用，注意所求的比值不是相似边的比值，这是题目的一个易错点，着重考查了推理与运算能力．4．函数的定义域为______.【答案】【解析】分析：根据函数的解析式，得到解析式有意义所满足的条件，即可求解函数的定义域．详解：由函数可知，实数满足，即，解得，即函数的定义域为．点睛：本题主要考查了函数的定义域的求解，其中根据函数的解析式得到满足条件的不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．5．关于x的不等式的解集为_______．【答案】【解析】分析：根据题意，把不等式转化为，再根据，所以，即可得到不等式的解集．详解：由题意，不等式，可得，因为，所以，所以不等式的解集为，即不等式的解集为．点睛：本题考查了一元二次不等式的求解，其中把一元二次不等式转化为是解得关键，着重考查了推理与运算能力．6．已知，且，，则的值为_______．【答案】【解析】分析：利用两角和与差的正切函数公式，即可化简求值．详解：由，则．点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中把角转化为和熟记两角和与差的正切公式是解答的关键，着重考查了转化意识和推理、运算能力．7．若函数（e 为自然对数的底数）是奇函数，则实数的值为_______．【答案】1【解析】8．设{an}是等比数列，有下列四个判断：①{an2}是等比数列；②是等比数列；③是等比数列；④是等差数列.其中正确判断的序号是_______．【答案】①②④ 【解析】分析：设数列的首项为，公比为，利用等差、等比数列的定义即可判定．详解：设数列的首项为，公比为，①中，由（常数），则数列构成公比为的等比数列；②中，由（常数），则数列构成公比为的等比数列；③中，若，则，此时不能构成等比数列，所以是错误的；④中，由（常数），所以数列构成公差为的等差数列，所以正确命题的序号为①②④．点睛：本题主要考查了等比数列的定义和等差数列的定义的应用，熟记等比、等差数列的定义判定是解答的关键，着重考查了推理与运算能力． 9．已知向量满足则向量的夹角为_______．【答案】【解析】分析：根据，求得，再利用向量的夹角公式，即可求得两个向量的夹角．详解：由题意，则，所以，又由，且，所以所以向量的夹角为．点睛：本题主要考查了向量的数量积的运算和向量的夹角的求解，其中熟记向量的数量积的运算和向量的夹角公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．10．如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E，F 分别是BC，AD的中点，则EF与AB所成角的大小为_______．【答案】或【解析】分析：取的中点，连接与，则与（异面直线）所成的角为，从而或，由此能求出与所成的角的大小．详解：取的中点，连接与，则与（异面直线）所成的角为，因为，所以或，而，则，所以或，即异面直线与所成的角或．点睛：本题主要考查了异面直线所成的求解，解答中认真审题，通常通过平移把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，从而求解异面直线所成的角，着重考查了空间想象能力和推理、运算能力．11．设x，y，z均是不为0的实数，9x，12y，15z成等比数列，且，，成等差数列，则的值是______.【答案】【解析】试题分析：由于成等比数列，，得，又因为成等差数列，，，.【考点】等差数列和等比数列的性质.12．在△ABC中，已知BC=2，，则△ABC面积的最大值是．【答案】【解析】因为∴1=AB2AC2cos2A（1）又∵S=|AB||AC|sinA∴4S2=AB2AC2sin2A（2）（1）+（2）得：1+4S2=AB2AC2（cos2A+sin2A）即1+4S2=AB2AC2∴BC2=AC2-2+AB2=AC2+AB2-2∵BC=2，∴AC2+AB2=6由不等式：AC2+AB2≥2AC•AB 当且仅当，AC=AB时，取等号∴6≥2AC•AB即AC•AB≤3∴1+4S2=AB2AC2《9∴4S2≤8，即：S2≤2，故则面积的最大值是13．在斜三角形ABC中，若,则的最大值为____．【答案】【解析】分析：由已知可得sin2C=4sinAsinBcosC，即2（a2+b2）=3c2，再由余弦定理结合基本不等式求出cosC的最小值，则sinC的最大值可求．详解：由+=，可得，=，即=，∴，即sin2C=4sinAsinBcosC．根据正弦定理及余弦定理可得，c2=4ab•，整理得2（a2+b2）=3c2，∴cosC==，则sinC=．即sinC的最大值为．故答案为：．点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错.14．设是三个正实数，且，则的最大值为_______．【答案】【解析】分析：由已知条件可得是方程的正根，求出，打入变形化简利用基本不等式，即可求解．详解：由，所以，所以是方程的正根，所以，所以，当且仅当等号成立，所以的最小值为．点睛：本题主要考查了基本不等式求最值，其中解答中根据题设条件，把实数转化为是方程的正根求得，代入使用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了转化思想，以及分析问题和解答问题的能力，试题有一定难度，属于中档试题．二、解答题15．解关于x的不等式（）【答案】见解析【解析】分析：求出方程的根，根据根的大小分类条例，即可求解不等式的解集．详解：点睛：本题主要考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法问题，解答时需要对含字母的根，根据根的大小分类讨论，属于易错题，着重考查了推理与运算能力．16．已知向量与共线，其中A是△ABC的内角．（1）求角的大小；（2）若BC=2，求△ABC面积的最大值，并判断S取得最大值时△ABC的形状.【答案】（1）（2）△ABC为等边三角形【解析】分析：（1）由，得，利用三角恒等变换的公式，求解，进而求解角的大小；（2）由余弦定理，得和三角形的面积公式，利用基本不等式求得，即可判定当时面积最大，得到三角形形状．详解：（1）因为m//n,所以.所以，即，即.因为, 所以.故，.（2）由余弦定理，得又，而，（当且仅当时等号成立）所以.当△ABC的面积取最大值时，.又，故此时△ABC为等边三角形点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值.利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.17．设数列的前n项和为，已知，，．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：对任意的正整数n，都有，求数列的最大项．【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）由得，两式做差得，叠乘可得数列的通项公式；（2）由递推公式，作差化简可得，由（1）得，得到，作差即可判定数列的单调性，求解数列的最大项．详解：（1）由得，两式做差得所以………，叠乘可得（2），当时…两式做差，时，，满足．所以又，所以所以而，得所以所以，当或时数列有最大项为点睛：本题主要考查了利用数列的递推公式求解数列的通项公式，以及数列的求和问题，其中解答中正确化简数列的递推关系式，得到数列的通项公式是解答的关键，同时数列的单调性的判定是解答的一个难点，着重考查了分析问题和解答问题的能力．18．如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P,分别在两条公路边上建两个仓库M、N （异于村庄A),要求PM＝PN＝MN＝2（单位:千米)．如何设计, 可以使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远)．【答案】当为时，工厂产生的噪声对居民的影响最小。

江苏省南通市海安县曲塘中学2017-2018学年高一（下）期末数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题4分，共56分．）1．某运动队有男女运动员49人，其中男运动员有28人，按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为14的样本，那么应抽取女运动员人数是．2．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒300粒豆子，其中落在阴影区域内的豆子有200粒，则空白区域的面积约为．3．已知一组数据8，9，x，10，7，6的平均数为8，那么x的值为．4．A，B两人下棋，A获胜的概率为30%，两人下成和棋的概率为20%，那么A不输的概率为．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则角A=．6．设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则的值为．7．过点A（1，﹣1）、B（﹣1，1）且圆心在直线x+y﹣2=0上的圆的方程是．8．函数的定义域为．9．已知点M（﹣1，3），点N（3，2），点P在直线y=x+1上，则当PM+PN取得最小值时，点P的坐标为．10．已知实数x，y满足x2+y2=3，则的取值范围为．11．已知数列{a n}的前n项和，则a1+a2+a3+…+a10=．12．已知实数x，y满足，则z=2|x﹣4|+|y﹣3|的取值范围是．13．已知过点P（1，1）的两条直线斜率均存在，且互相垂直．若这两条直线被圆O：x2+y2=4所截得的弦长之比为，则这两条直线的斜率之和为．14．设集合P={x，1}，Q={y，1，2}，x，y∈{1，2，3，4，5，6，7}，且P⊆Q，在直角坐标平面内，从所有满足这些条件的有序实数对（x，y）所表示的点中任取一个，若该点落在圆x2+y2=R2（R2∈Z）内（不包括边界）的概率为，则满足要求的R2的集合为．二、解答题（本大题共6小题，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．已知甲、乙两人分别位于图中的M、N两点，每隔1分钟，甲、乙两人分别向东南西北四个方向的其中一个方向行走1格，且甲向四个方向行走的概率是相等的，乙向东、向西行走的概率都是，向北行走的概率是，甲、乙分别向某个方向行走的事件记为A、B．（1）分别求出甲、乙向南行走的概率；（2）求两人经过1分钟相遇的概率．（已知事件A、B同时发生的概率P（AB）=P（A）•P（B））16．某市为了了解本地高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩；（2）如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学，求这名同学考试成绩在80分以上的频率；（3）若在80分以上的学生中选出40名学生，其中男生不少于17人，女生不少于18人，求这批学生中男生人数不少于女生的概率．17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）当，且△ABC的面积为时，求a的值；（2）当时，求sin（B﹣A）的值．18．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1，圆O2均与x轴相切，且圆O1，O2都在射线y=mx （m＞0，x＞0）上．（1）若O1的坐标为（3，1），过直线x﹣y+2=0上的一点P作圆O1的切线，切点分别为A，B两点，求PA长度的最小值；（2）若圆O1，圆O2的半径之积为2，Q（2，2）是两圆的一个公共点，求两圆的另一条公切线的方程．19．已知数列{a n}的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，公差与公比均为2，并且a2+a4=a1+a5，a7+a9=a8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求使得a m•a m+1•a m+2=a m+a m+1+a m+2成立的所有正整数m的值．2）设实数x，y满足不等式组，作出不等式组表示的平面区域，并求当a＞0时，z=y﹣ax的最大值；（2）若关于x的不等式组对任意n∈N*恒成立，求所有这样的解x构成的集合．江苏省南通市海安县曲塘中学2017-2018学年高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题4分，共56分．）1．某运动队有男女运动员49人，其中男运动员有28人，按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为14的样本，那么应抽取女运动员人数是6．考点：分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据分层抽样的定义和性质进行求解即可．解答：解：由题意知女运动员有49﹣28=21人，由分层抽样的定义可知，从全体运动员中抽出一个容量为14的样本，那么应抽取女运动员人数是人，故答案为：6点评：本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．2．如图，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒300粒豆子，其中落在阴影区域内的豆子有200粒，则空白区域的面积约为．考点：模拟方法估计概率．专题：计算题；概率与统计．分析：根据几何概型的意义进行模拟试验，计算不规则图形的面积，关键是要根据几何概型的计算公式，列出豆子落在阴影区域内的概率与阴影部分面积及正方形面积之间的关系．解答：解：由题意，设空白区域的面积为S，则1﹣=，∴S=．故答案为：．点评：利用几何概型的意义进行模拟试验，估算不规则图形面积的大小，关键是要根据几何概型的计算公式，探究不规则图形面积与已知的规则图形的面积之间的关系，及它们与模拟试验产生的概率（或频数）之间的关系，并由此列出方程，解方程即可得到答案．3．已知一组数据8，9，x，10，7，6的平均数为8，那么x的值为8．考点：众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：根据平均数的公式进行求解即可．解答：解：∵数据8，9，x，10，7，6的平均数为8，∴8+9+x+10+7+6=8×6=48，解得x=8，故答案为：8点评：本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础．4．A，B两人下棋，A获胜的概率为30%，两人下成和棋的概率为20%，那么A不输的概率为0.5．考点：互斥事件的概率加法公式．专题：概率与统计．分析：利用互斥事件的概率加法公式即可得出．解答：解：∵A不输与A、B两人下成和棋是互斥事件．∴根据互斥事件的概率计算公式可知：A不输的概率P=0.2+0.3=0.5．故答案为：O.5．点评：此题主要考查了概率的意义，正确理解互斥事件及其概率加法公式是解题的关键．5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则角A=．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：根据正弦定理和两角差的正弦公式化简式子，根据内角的范围判断A与B的关系，结合条件和内角和定理求出A的值．解答：解：由题意得，则acosB=bcosA，由正弦定理得，sinAcosB=cosBcosA，则sin（A﹣B）=0，又A、B∈（0，π），则A﹣B∈（﹣π，π），所以A﹣B=0，即A=B，因为，所以A=B=，故答案为：．点评：本题考查正弦定理，两角差的正弦公式，注意内角的范围，属于中档题．6．设等比数列{a n}的公比q=2，前n项和为S n，则的值为3．考点：等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等比数列的通项、求和公式代入计算，化简即得结论．解答：解：==•=1+q，∵q=2，∴=1+2=3，故答案为：3．点评：本题考查数列的前n项和，注意解题方法的积累，属于基础题．7．过点A（1，﹣1）、B（﹣1，1）且圆心在直线x+y﹣2=0上的圆的方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．考点：圆的标准方程．专题：计算题．分析：先求AB的中垂线方程，它和直线x+y﹣2=0的交点是圆心坐标，再求半径，可得方程．解答：解：圆心一定在AB的中垂线上，AB的中垂线方程是y=x，所以，圆心（1，1）；圆心到A的距离就是半径：=2，所以所求圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．故答案为：（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．点评：本题解答灵活，求出圆心与半径是解题的关键，本题考查了求圆的方程的方法．是基础题目．8．函数的定义域为（，）．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．分析：根据函数的解析式，列出不等式组，求出解集即可．解答：解：∵函数，∴，即；解得，∴＜x＜；∴f（x）的定义域为．故答案为：（，）．点评：本题考查了求函数定义域的应用问题，也考查了不等式的解法与应用问题，是基础题目．9．已知点M（﹣1，3），点N（3，2），点P在直线y=x+1上，则当PM+PN取得最小值时，点P的坐标为（，）．考点：点到直线的距离公式．专题：数形结合；直线与圆．分析：根据图形，得出点M、N在直线y=x+1的两侧，当PM+PN取得最小值时，点P 是直线MN与y=x+1的交点；求出交点坐标即可．解答：解：∵点M（﹣1，3），点N（3，2）在直线y=x+1的两侧，∴当PM+PN取得最小值时，点P是直线MN与y=x+1的交点；如图所示，又直线MN的方程为=，即x+4y=11；∴两方程联立，解得；∴P的坐标为（，）．故答案为：（，）．点评：本题考查了直线方程的应用问题，也考查了数形结合的解题思想，是基础题目．10．已知实数x，y满足x2+y2=3，则的取值范围为[﹣，]．考点：直线与圆的位置关系；基本不等式．专题：直线与圆．分析：画出满足条件的平面区域，根据的几何意义结合图象求出其范围即可．解答：解：画出满足条件的平面区域，如图示：，而的几何意义表示过A（2，0）与圆上的点的直线的斜率，显然直线与圆在上方与圆相切时，斜率最小，在下方与圆相切时，斜率最大，由OA=2，OB=，得∠OAB=30°，∴直线AB的斜率是﹣，同理可求：直线在圆的下方时即蓝色直线的斜率是：故答案为：．点评：本题考查了的几何意义，考查数形结合思想，考查直线斜率公式，是一道基础题．11．已知数列{a n}的前n项和，则a1+a2+a3+…+a10=61．考点：数列的求和；数列的概念及简单表示法．专题：等差数列与等比数列．分析：根据数列的前n项和公式，令n=10代入即可得到结论．解答：解：∵数列{a n}的前n项和，∴a1+a2+a3+…+a10=S10=102﹣4×10+1=100﹣40+1=61，故答案为：61点评：本题考查了数列的前n项和的求解，比较基础．12．已知实数x，y满足，则z=2|x﹣4|+|y﹣3|的取值范围是[3，10]．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：则x＜4，y≤3，则z=2|x﹣4|+|y﹣3|=11﹣2x﹣y，即y=11﹣2x﹣z，平移直线y=﹣2x+11﹣z，由图象知当直线经过点B（4，0）时，直线截距最小，此时z最大，最大为z=11﹣8﹣0=3，当直线经过点A时，直线截距最大，此时z最小，由，解得A（0，1），最小值为z=11﹣0﹣1=10，即3≤z≤10，故答案为：[3，10]点评：本题主要考查线性规划的应用，根据平面区域确定x，y的取值范围，去掉绝对值是解决本题的关键．13．已知过点P（1，1）的两条直线斜率均存在，且互相垂直．若这两条直线被圆O：x2+y2=4所截得的弦长之比为，则这两条直线的斜率之和为或．考点：直线与圆相交的性质．专题：综合题；直线与圆．分析：设这两条直线的斜率分别为k、﹣，利用点斜式求得两条弦所在的直线方程，求出各自的弦心距，再结合弦长之比为，得到关于k的一元二次方程，求出k的值，即可求得方程的两根之和．解答：解：设这两条直线的斜率分别为k、﹣，则这两条直线的方程分别为m：y﹣1=k（x﹣1），n：y﹣1=﹣（x﹣1），即m：kx﹣y+1﹣k=0，n：x+ky﹣1﹣k=0．圆心O到直线m的距离为d=，可得弦长为2．圆心O到直线n的距离为d′=，可得弦长为2．再由弦长之比为，即可得3k2+10k+3=0．求得k=﹣3，或k=﹣，∴当k=﹣3时，这两条直线的斜率之和为；当k=﹣时，两条直线的斜率之和为．故答案为：或．点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，韦达定理，弦长公式，属于中档题．14．设集合P={x，1}，Q={y，1，2}，x，y∈{1，2，3，4，5，6，7}，且P⊆Q，在直角坐标平面内，从所有满足这些条件的有序实数对（x，y）所表示的点中任取一个，若该点落在圆x2+y2=R2（R2∈Z）内（不包括边界）的概率为，则满足要求的R2的集合为{30，31，32}．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据两个集合之间的关系，写出x，y可能的取值，也就是得到试验发生包含的事件数，根据所给的概率的值，求出满足条件的事件数，把所有点的坐标的平方和比较，选出满足要求的R2．解答：解：∵集合P={x，1}，Q={y，1，2}，x，y∈{1，2，3，4，5，6，7}，P⊆Q，∴x=2，y=3，4，5，6，7，这样在坐标系中共组成5个点，当x=y时，也满足条件共有5个，∴所有的事件数是5+5=10，∵点落在圆x2+y2=R2内（不含边界）的概率恰为，∴有4个点落在圆内，（2，3）（2，4）（3，3）（2，5）是落在圆内的点，∴32≥R2＞29，R2∈Z而落在圆内的点不能多于4个，所以满足要求的R2的集合为：{30，31，32}故答案为：{30，31，32}．点评：本题考查等可能事件的概率和集合间的关系，本题解题的关键是看出x，y的可能的取值，注意列举时做到不重不漏．属于中档题二、解答题（本大题共6小题，共64分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．已知甲、乙两人分别位于图中的M、N两点，每隔1分钟，甲、乙两人分别向东南西北四个方向的其中一个方向行走1格，且甲向四个方向行走的概率是相等的，乙向东、向西行走的概率都是，向北行走的概率是，甲、乙分别向某个方向行走的事件记为A、B．（1）分别求出甲、乙向南行走的概率；（2）求两人经过1分钟相遇的概率．（已知事件A、B同时发生的概率P（AB）=P（A）•P（B））考点：相互独立事件的概率乘法公式；互斥事件的概率加法公式．专题：概率与统计．分析：（1）根据甲向四个方向行走的概率是相等的，故甲向南行走的概率；用1减去乙向东、向南、向北行走的概率，即得乙向南行走的概率．（2）利用相互独立事件的概率乘法公式求得在点E相遇的概率和在点F相遇的概率，相加即得所求．解答：解：（1）由于甲向四个方向行走的概率是相等的，故甲向南行走的概率为；乙向南行走的概率为1﹣﹣﹣=，（2）求两人经过1分钟相遇的地点是图中点E或点F，在点E相遇的概率为=，在点F相遇的概率为=，故两人经过1分钟相遇的概率为+=．点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．16．某市为了了解本地高中学生的汉字书写水平，在全市范围内随机抽取了近千名学生参加汉字听写考试，将所得数据整理后，绘制出频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．（1）试估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩；（2）如果从参加本次考试的同学中随机选取1名同学，求这名同学考试成绩在80分以上的频率；（3）若在80分以上的学生中选出40名学生，其中男生不少于17人，女生不少于18人，求这批学生中男生人数不少于女生的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）根据频率分布直方图，计算数据的平均数即可；（2）计算被抽到的同学考试成绩在80（分）以上的概率；（3）求出所有的基本事件，再找到满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．解答：解：（1）估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩：0.1×55+0.2×65+0.3×75+0.25×85+0.15×95=76.5；（2）设被抽到的这名同学考试成绩在80（分）以上为事件A．P（A）=0.025×10+0.015×10=0.4；∴被抽到的这名同学考试成绩在80（分）以上的概率为0.4；（3）设男生人数为x，则女生人数为40﹣x，所以，即17≤x≤22，所以共有（17，13），（18，22），（19，21），（20，20），（21，19），（22，18），6个等可能事件，则男生人数不少于女生有（20，20），（21，19），（22，18），共3个，故这批学生中男生人数不少于女生的概率P=点评：本题考查了频率布直方图应用问题，以及古典概型的概率问题，属于基础题．17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．（1）当，且△ABC的面积为时，求a的值；（2）当时，求sin（B﹣A）的值．考点：余弦定理；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：（1）由已知结合三角形面积公式即可求得a的值．（2）由已知及余弦定理可得c=，可得b2=a2+c2，由勾股定理可得B=90°，cosA==，利用诱导公式即可求得sin（B﹣A）的值．解答：（本题满分为10分）解：（1）∵，△ABC的面积为，∴S=，∴解得：a=2…4分（2）∵，，∴由余弦定理可得：c=，∴b2=a2+c2，可得B=90°，∴cosA==，∴sin（B﹣A）=sin（90°﹣A）=cosA=…10分点评：本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，勾股定理，诱导公式的应用，属于基本知识的考查．18．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O1，圆O2均与x轴相切，且圆O1，O2都在射线y=mx （m＞0，x＞0）上．（1）若O1的坐标为（3，1），过直线x﹣y+2=0上的一点P作圆O1的切线，切点分别为A，B两点，求PA长度的最小值；（2）若圆O1，圆O2的半径之积为2，Q（2，2）是两圆的一个公共点，求两圆的另一条公切线的方程．考点：圆的切线方程．专题：综合题；直线与圆．分析：（1）利用PA=，可得O1P取最小值时，PA有最小值，（2）圆O1，O2的坐标可设为O1（，r1），O2（，r2），确定r1、r2是r2﹣4m（m+1）r1+8m2=0的两个根，利用圆O1，圆O2的半径之积为2，求出m，即可求两圆的另一条公切线的方程．解答：解：（1）由题意，圆O1的半径r=1，所以PA=，所以O1P取最小值时，PA有最小值，O1到直线x﹣y+2=0的距离d==2，所以O1P最小值为2，所以PA长度的最小值为；（2）因为圆O1，O2都在射线y=mx（m＞0，x＞0）上，所以圆O1，O2的坐标可设为O1（，r1），O2（，r2），因为Q（2，2）是两圆的一个公共点，所以（2﹣）2+（2﹣r1）2=r12，（2﹣）2+（2﹣r2）2=r22，所以r12﹣4m（m+1）r1+8m2=0，r22﹣4m（m+1）r2+8m2=0，所以r1、r2是r2﹣4m（m+1）r1+8m2=0的两个根，因为r1r2=8m2=2（m＞0），所以m=，因为两圆的另一条公切线的倾斜角是直线OO1的倾斜角的两倍，所以两圆的另一条公切线的斜率为=，所以两圆的另一条公切线的方程y=x．点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．已知数列{a n}的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，公差与公比均为2，并且a2+a4=a1+a5，a7+a9=a8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求使得a m•a m+1•a m+2=a m+a m+1+a m+2成立的所有正整数m的值．考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）根据已知条件，求解该数列的前两项，可得数列{a n}的通项公式；（2）根据所给的等式确定m的值．解答：解：（1）∵数列{a n}的奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，公差与公比均为2，∴a3=a1+2，a5=a1+4，a7=a1+6，a4=2a2，a6=4a2，∵a2+a4=a1+a5，a4+a7=a6+a3∴a2+2a2=a1+4+a1，2a2+6+a1=4a2+2+a1∴a1=1，a2=2，∴a n=；（2）∵a m•a m+1•a m+2=a m+a m+1+a m+2成立，∴由上面可以知数列{a n}为：1，2，3，4，5，8，7，16，9，…当m=1时等式成立，即1+2+3=﹣6=1×2×3；等式成立．当m=2时等式成立，即2×3×4≠2+3+4；等式不成立．当m=3、4时等式不成立；当m≥5时，∵a m•a m+1•a m+2为偶数，a m+a m+1+a m+2为奇数，∴可得m取其它值时，不成立，∴m=1时成立．点评：本题重点考查了等差数列的概念和基本性质、等比数列的概念和基本性质等知识，属于中档题．解题关键是准确应用等差和等比数列的基本性质求解问题．2）设实数x，y满足不等式组，作出不等式组表示的平面区域，并求当a ＞0时，z=y﹣ax的最大值；（2）若关于x的不等式组对任意n∈N*恒成立，求所有这样的解x构成的集合．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=ax+z 斜率的变化，从而求出a的取值．（2）将的分子分母同除2n，结合“对勾函数“的单调性，求出=∈（0，]，进而将恒成立问题转化为最值问题后，可得，解方程可得答案．解答：解：（1）不等式组等价为，即，作出不等式组对应的平面区域，由z=y﹣ax得y=ax+z，直线与y轴交点的纵坐标为z，平移直线y=ax+z，由图象可知在点B（0，2）处，z max=2，当0＜a≤2时，在点B处，直线y=ax+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（，），z min=﹣a．当a＞2时，在点A（0，4）处，直线y=ax+z的截距最大，此时z最大，z max=4．（2）若对任意n∈N*恒成立，即对任意n∈N*恒成立，∵=∈（0，]故即解得x=﹣1或x=故所有这样的解x的集合是．点评：本题主要考查线性规划以及不等式恒成立问题，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．。

江苏省海安高级中学2017-2018学年高二6月月考数学（理）试题全解全析1．2【解析】分析：先求出复数的代数形式，再求即可．详解：由题意得，∴．点睛：本题考查复数的除法运算和复数模的求法，考查学生的运算能力，属容易题．2．③点睛：本题考查复数的乘法运算和复数的概念，解题的关键是准确理解复数的概念，并把复数的问题转化为实数的问题解决．3．3【解析】分析：根据方差的定义并结合条件可求出数据3x1，3x2，…，3x100 的方差，然后再求标准差．详解：设数据x1，x2，…，x100的平均数为，则数据3x1，3x2，…，3x100 的平均数为．由题意得，设数据3x1，3x2，…，3x100 的方差为，则，∴数据3x1，3x2，…，3x100 的标准差为．点睛：若数据x1，x2，…，x n的平均数为，方差为s2，则ax1＋b，ax2＋b，…，ax n＋b的平均数为a＋b，方差为a2s2，解题时要注意这一结论的运用，正确理解系数对结果的影响．4．11【解析】试题分析：I=1，1<7成立，S=3，I=3；3<7成立，S=7，I=5；5<7，S=11，I=7；7<7不成立，输出11；考点：1.程序框图；2.循环结构；5．【解析】分析：根据古典概型概率公式求解即可．详解：由题意得，从从1,2,3,4,5五个数中取两个数的所有可能情况有，共10种，其中取出的恰好都为偶数的情况只有一种，故所求概率为．点睛：求古典概型概率的关键一是对概率类型的判断；二是通过列举等方法得到所有的基本事件总数和事件A 包含的基本事件的个数，然后再根据公式求解．6．【解析】硬币的直径为2 cm,所以半径为1 cm.硬币的圆心距正方形各边的距离都大于1 cm时,也就是硬币的圆心落在一个边长为4 cm的正方形内,硬币与格线没有公共交点,所以硬币与格线有公共点的概率为1-.故答案为：.点睛：本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．点睛：类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．8．【解析】分析：根据，然后各项相加后相消可得结果．详解：∵，∴．点睛：解题的关键是将式子中的每一项进行裂为两项的形式，然后相消可得结果，主要考查学生的变形能力和运算能力．9．84【解析】分析：根据二项展开式的通项求先求得有理数的个数，然后可得无理数的个数．详解：展开式的通项为，当为整数且为整数时，为有理数，此时，共17项，所以无理数的个数为个．点睛：求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求（求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等），解出项数，再代回通项公式即可．10．590【解析】试题分析：法一、据题意，选派结果有以下三类：骨科1名、脑外科2名、内科2名，骨科2名、脑外科1名、内科2名，骨科2名、脑外科2名、内科1名，骨科3名、脑外科1名、内科1名，骨科1名、脑外科1名、内科3名，骨科1名、脑外科3名、内科1名.所以选派方法总数为：.法二、（排除法）由于每个科都未超过5人，那么将2个科合在一起，任选5人，则在这2个科中每个科都必有一人.另外由于每个科都未超过5人，那么从这11人中任选5人，不存在这5人同一科的情况，故选派种数为：.考点：排列组合.11．【解析】分析：设等比数列的公比为，则，从而得到，然后进行分类讨论，可求出所有k值．详解：设等比数列的公比为，则，所以．①若为等差中项，则，即，解得a=1，不合题意．③若为等差中项，则，即，化简得：，解得或(舍去)，∴综上可得满足要求的实数k有且仅有一个，且．点睛：本题考查等比数列的基本运算，解题的关键是由“任意相邻三项按某顺序排列后成等差数列”进行分类讨论，逐步求得结果．12．【解析】分析：利用已知条件通过直线与单位圆的关系求出点的坐标，然后利用两角和的正切公式求解即可．详解：由题意可得，点，是单位圆与直线的交点，由，解得或，∴，∴．同理，∴．点睛：解答本题的关键是结合题意，通过解方程组得到点A,B的坐标，进而可求得，然后根据两角和的正切公式求解．主要考查学生利用所学知识解决问题和计算能力．13．【解析】分析：利用数量积定义及其运算性质、基本不等式可得结果．详解：由题意得，∴．又，∴．∴，解得，∴，当且仅当且，即时等号成立．故的最大值为．点睛：本题考查平面向量基本定理及向量数量积的运算，解题的关键是由数量积得到间的关系，然后结合利用基本不等式求解可得所求的最大值．14．【解析】分析：分x=0和x≠0两种情况讨论．当x≠0时，利用换元法将问题转化为求函数在区间上的最值的问题处理，进而可得所求的最大值．详解：①当x=0时，；②当x≠0时，由，令，由得，则，由于在上单调递减，所以，此时x＝，所以f(x)≤．故f(x)的最大值为．点睛：根据单调性和基本不等式求最值是求最值的常用方法，由于本题中函数的解析式较复杂，因此解题时需要作变形，并结合函数解析式的特点，利用换元的方法把原函数进行简化，然后利用单调性求出函数的最值，换元时要注意新元的范围．15．（1）见解析（2）见解析（2）因为是二面角C-AD-E的平面角，所以又因为，平面ABC，所以DA平面ABC，又DA平面DABE，所以平面ABC平面DABE.点睛：本题考查空间位置关系的证明，解题时要结合图形进行分析，找到证明结论时需要的条件，然后根据相应的定理、性质等进行推理证明即可．16．（1）（2）【解析】试题分析：（I）利用锐角△ABC中，sinC=，求出角C的大小；（II）先求得B+A=150°，根据B、A都是锐角求出A的范围，由正弦定理得到a=2sinA，b=2sinB=2sin（A+30°），根据a2+b2=4+2sin（2A﹣60°）及A的范围，得（2A﹣60°），从而得到a2+b2的范围．详解：（I）由已知及余弦定理，得tanC===，∴sinC=，故锐角C=．（II）当C=1时，∵B+A=150°，∴B=150°﹣A．由题意得，∴60°＜A＜90°．由=2，得a=2sinA，b=2sinB=2sin（A+30°），∴a2+b2=4[sin2A+sin2（A+30°）]=4[+]=4[1﹣cos2A﹣（cosA﹣sin2A）]=4+2sin（2A﹣60°）．∵60°＜A＜90°，∴（2A﹣60°）．∴7＜a2+b2≤4+2．点睛：本题考查同角三角函数的基本关系，正弦定理得应用，三角在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.17．（1）或（2）见解析【解析】分析：（1）设点的坐标为，根据切线长定理可得，又为坐标轴上的点，由此可得所求．（2）由题意可设直线的方程为，即．问题等价于圆心到直线的距离小于半径，即，分析可得，由可得，从而得结论成立．详解：（1）设点的坐标为，圆与圆的半径分别为，由题意得，即化简得，因为为坐标轴上的点，所以点的坐标为或.（2）依题意知直线过圆的圆心，可设直线的方程为，即，则圆心到直线的距离为，又圆的半径为，“直线与圆总相交”等价于．．．“且，”，即①，记，整理得，当时，得；当时，由判别式，解得；综上得，的最小值为1，所以由①可得，解得．故直线与圆总相交．点睛：本题考查直线和圆的位置关系和学生的运算能力．解答本题（2）时要注意方法的选择，由于运算量较大，解题时可根据等价转化的方法、通过逐步的分析，得到结论成立时所需要的条件，从而达到解题的目的．18．1）（2）（3），【解析】分析：由题意得到．（1）运用赋值法求解．（2）将两边求导后再用赋值法求解．（3）由题意列出不等式组，解不等式组后可得所求项．详解：∵展开式中二项式系数最大的是四、五两项，∴展开式中有8项，故，∴展开式的通项为，（1）由展开式通项可得，在中，令，得，令，得，∴．（3）展开式的通项为，故展开式中项的系数的绝对值为，假设第r项的系数绝对值最大，则，解得，又，∴或，故第2项和第3项的系数绝对值最大，且．点睛：（1）与二项式系数和或项的系数和有关的问题，常用的解法时赋值法，通过对变量取特殊的值达到去掉字母的目的，进而得到所求的和．（2）求系数最大的项时，要注意构造不等式组，解不等式组得到的取值后再求相关的项．19．（1）见解析（2）0<p<0.3【解析】分析：（1）由题意可得随机变量X1的分布列和期望；结合X～B(2，p)可得随机变量X2的分布列和期望．（2）由E(X1)<E(X2)可得关于p的不等式，解不等式可得所求．详解：(1)由题意得X1的分布列为∴E(X1)＝1.2×＋1.18×＋1.17×＝1.18.由题设得X～B(2，p)，即X的分布列为所以X2的分布列为∴E(X2)＝1.3×(1－p)2＋1.25×2p(1－p)＋0.2×p2＝1.3×(1－2p＋p2)＋2.5×(p－p2)＋0.2×p2＝－p2－0.1p＋1.3.(2)由E(X1)<E(X2)，得－p2－0.1p＋1.3>1.18，整理得(p＋0.4)(p－0.3)<0，解得－0.4<p<0.3.因为0<p<1，所以0<p<0.3．即当E(X1)<E(X2)时，p的取值范围是.点睛：(1)求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．(2)求解离散型随机变量X的均值与方差时，只要在求解分布列的前提下，根据均值、方差的定义求EX，DX即可．20．（1）1（2）1【解析】分析：（1）当时可得，可得.（2）先得到关系式，累乘可得，从而可得，即为定值．详解：（1）当时，，又，所以.（2）即，由累乘可得，又，所以．即恒为定值1．点睛：本题考查组合数的有关运算，解题时要注意所给出的的定义，并结合组合数公式求解．由于运算量较大，解题时要注意运算的准确性，避免出现错误．21．（1）a ＝1，b ＝－；（2）λ1＝1，λ2＝3； 【解析】试题分析：利用题意得到特征多项式，据此即可求得相应的特征值为3和122．（1）圆M ： 22742x y ⎛⎛⎫+-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭圆N ： 22312x y ⎛⎛⎫-+-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭；（2）1. 【解析】试题分析：（1）将圆M 的参数方程消去参数可得直角坐标方程；把点232ππ⎫⎛⎫⎪ ⎪⎭⎝⎭，和点，化为直角坐标可得圆N 的圆心和圆N 上的一点，从而可得半径，进而可求得圆的方程。