上海师范大学附属中学2018-2019年下学期高三质量检测试卷数学试题(含答案)

上师大附中2018-2019学年度第一学期高三数学周练试卷(11）一、填空题1.已知向量()()，，，，212-==b m a 且，b a ⊥则实数m 的值是_______. 2.函数()()x x x f ++-=22lg 的定义城是_______.3.已知扇形的半径为6,圆心角为3π,则扇形的面积为_________. 4.已知等比数列{}n a 的前n 项和为，，424=S S S n 则=48S S _______. 5.已知倾斜角为α的直线l 与直线032=-+y x 垂直,则⎪⎭⎫ ⎝⎛+α222015cos π的值为____. 6.已知直线，012:1=--y x l 直线，01:2=+-by ax l 其中{}，，，，，，，654321∈b a 则直线1l 与2l 的交点位于第一象限的概率为_________.7.某单位安排5个人在六天中值班,每天1人,每人至少值班1天,共有_______种不同值班方案(用数字作答).8.设函数()()()＜π＜，＞，＞为常数，且、、ϕωϕωϕω000sin A A x A x f +=的部分图像如图所示,则ϕ的值为_________.第8题 第12题9.已知二次函数()，322++-=x x x f 不等式()m x f ≥的解集的区间长度为6(规定:闭区间[]b a ，的长度为a b -),则实数m 的值是______.10.某工厂建造一个无盖的长方体贮水池,其容积为48002m ,深度为3m 。

如果池底每2m 1的造价为150元,池壁每2m 1的造价为120元，要使水池总造价最低,那么水池底部的周长为___m.11.在△ABC 中,，0sin sin 2sin =+C B A 则A 的最大值是________.12.如图,在平面四边形ABCD 中,AB ⊥BC,AD ⊥CD,∠BCD=60°，CB=CD=32.若点M 为边 BC 上的动点,则∙的最小值为________.二、选择题13.直线03=-y x 绕原点逆时针旋转90°,再向右平移1个单位,所得到直线的方程为A.033=-+y xB.013=-+y xC.033=--y xD.033=+-y x14、从总体为N 的一批零件中使用简单随机抽样抽取一个謇量为40的样本,若某个零件在第2次抽取时被抽到的可能性为19%,则N=A.100B.4000C.101D.400115.使复数为实数的充分而不必要条件是 A.z z = B.z z = C.2z 为实数 D.z z +为实数16.三位同学张博源、高家铭和刘雨恒分别从莎士比亚、雨果和曹雪芹三位名家中选择了一位进行性格研究并且他们选择的名家各不相同。

2018-2019学年上海市上师大附中高三上学期数学试卷 一、填空题1. 函数()x x x f 4cos 4sin 2=的最小正周期为 ． 【答案】4π2.已知在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为A B ∠∠，，C ∠所对的边．若222b c a +-=，则A ∠= ． 【答案】4π3.三阶行列式13124765x -中元素5-的代数余子式为()x f ，则方程()0f x =的解为____． 【答案】 2log 3x =4. 抛物线2y x =的焦点坐标是 ． 【答案】 （0，14） 5. 长方体的对角线与过同一个顶点的三个表面所成的角分别为α，β，γ，则222cos cos cos αβγ++= ．【答案】 16. 已知(0,)απ∈，3cos 5α=-，则tan()4πα+= ． 【答案】17-7. 已知圆锥的母线长为5，侧面积为15π，则此圆锥的体积为 （结果保留π）． 【答案】 12π8. 已知函数20()210x x x f x x -⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩ ，则11[(9)]f f ---= ．【答案】2-9. 设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()n n a a a a +⋅⋅⋅++=∞→542lim ，则q = ．【答案】21-510. []x 是不超过x 的最大整数，则方程271(2)2044x x⎡⎤-⋅-=⎣⎦满足x <1的所有实数解是 ．【答案】 1x =-或12x =11. 给出下列函数：①1y x x=+；①x x y +=2；①2x y =；①23y x =；①x y tan =；①()sin arccos y x =；①(lg lg 2y x =-．从这7个函数中任取两个函数，则其中一个是奇函数另一个是偶函数的概率是 ． 【答案】3712. 已知非零向量OP 、不共线，设m m OP m OM 111+++=，定义点集 }|||||{FQ FP F A ==. 若对于任意的3m ≥，当1F ，2F A ∈且不在直线PQ 上时，不等式||||21k F F ≤恒成立，则实数k 的最小值为▲________． 【答案】 34二．选择题12. 设集合{}1,2,3,4,5,6M =，1s 、2s 、…、k s 都是M 的含有两个元素的子集，且满足对任意的{},i i i s a b =，{},j j j s a b =(i j ≠且{})1,2,3,,i j k ⋅∈…，都有min ,min ,j j i i i i j j a b a b b a b a ⎧⎫⎧⎫⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩⎭{}(min ,x y 表示x 、y 中较小)，则k 的最大值是（）【A 】.10 【B 】．11【C 】．12【D 】．13【答案】B14.设0ab >且c da b>，则下列各式中，恒成立的是（ ） 【A 】ad bc <【B 】.ad bc > 【C 】.d b c a > 【D 】. d b c a <【答案】B15.定义在R 上的函数()f x 满足2201()4210x xx f x x -⎧+≤<=⎨--≤<⎩，且(1)(1)f x f x -=+，则 函数35()()2x g x f x x -=--在区间[1,5]-上的所有零点之和为（ ）【A 】.4； 【B 】 5； 【C 】 7； 【D 】 8. 【答案】B16．已知数列{}n a 的首项1a a =，且04a <≤，14464n n n n na a a a a +->⎧=⎨-≤⎩，n S 是此数列的前n 项和，则以下结论正确的是（ ） 【A 】不存在．．．a 和n 使得2015n S = 【B 】不存在．．．a 和n 使得2016n S =【C 】不存在．．．a 和n 使得2017n S = 【D 】不存在．．．a 和n 使得2018n S = 【答案】A三．解答题18.已知向量11,sin 22a x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭和向量()1,()b f x =，而且a ①b 。

上海师范大学附属中学2019年高三第二次质量检测数学试题2019.4.10一、填空题（本大题共有12题，满分54分）．1、已知集合1=1,22A ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，集合{}2=|,B y y x x A =∈，则A B = ．2、设m ∈R ，若复数(1i)(1i)m ++在复平面内对应的点位于实轴上，则m = ．3、若数列{}n a 为等差数列，且12341,21a a a a =++=，则122limnn a a a n →∞+++= ．4、若将函数6()f x x =表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x =+-+-+-++-则3a 的值等于 ．5、某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是 ．6、向量，若与平行，则实数= ．7、已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，角的终边与圆心在原点的单位圆(半径为1的圆)交于第二象限内的点，则＝ ．(用数值表示)8、已知：当0x >时，不等式11kx b x≥++恒成立，当且仅当13x =时取等号，则k = ．10、已知直角三角形△ABC 中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，则△ABC 绕直线AC 旋转一周所得几何体的体积为 ．11、定义函数348122()1()222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，则函数()()6g x xf x =-在区间[]8,1内的所有零点的和为 ．()()2,3,1,2a b ==-ma b +2a b -m αx α4(,)5A A x sin 2α12、已知双曲线C ：22198x y -=，左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2作一直线与双曲线C 的右半支交于P 、Q 两点，使得∠F 1PQ=90°，则△F 1PQ 的内切圆的半径r = ．二、选择题（每题5分，共20分） 13、用反证法证明命题：“已知a 、b，如果ab 可被 5 整除，那么a 、b 中至少有一个能被 5 整除”时，假设的内容应为（ ）A. a 、b 都能被5 整除B. a 、b 都不能被5 整除C. a 、b 不都能被5 整除D. a 不能被5 整除14、若矩阵11122122a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭ 满足：11122122,,,{0,1},a a a a ∈且111221220a a a a ＝　，则这样的互不相等的矩阵共有（ ）.A 2个 .B 6个 .C 8个 .D 10个15、已知函数2()sin f x x x =⋅，各项均不相等的数列{}n x 满足2i x π≤(1,2,3,,)i n =．令[]*1212()()()()()()n n F n x x x f x f x f x n N =+++⋅++∈．给出下列三个命题：(1)存在不少于3项的数列{}n x ，使得()0F n =；(2)若数列{}n x 的通项公式为()*12nn x n N ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则(2)0F k >对*k N ∈恒成立；(3)若数列{}n x 是等差数列，则()0F n ≥对*n N ∈恒成立． 其中真命题的序号是（ ）（A ）(1)(2) （B ）(1)(3) （C ） (2)(3) （D ）(1)(2)(3) 16、已知函数()x f y =的定义域为R ，且满足下列三个条件：① 对任意的[]84,21，∈x x ，当21x x <时，都有()()02121>--x x x f x f 恒成立；② ()()x f x f -=+4； ③ ()4+=x f y 是偶函数；若()()()2017116f c f b f a ===，，，则c b a ,,的大小关系正确的是（ ）A. c b a <<B. c a b <<C. b c a <<D. a b c << 三、解答题：（本大题共有5题，满分76分）17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 在ABC ∆中，边a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对应的边.（1）若2(2)sin 0(2)sin 1sin (2)sin c a b A b a BC a b A-=-+-，求角C 的大小； （2）若4sin 5A =，23C π=，c =ABC ∆的面积.18．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与地面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马，如图所示，在阳马P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD . （1）已知4AD CD m ==，斜梁PB 与底面ABCD 所成角为15︒，求立柱PD 的长； （精确到0.01m ）（2）求证：四面体PDBC 为鳖臑.19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数)(x f 与时刻x （时）的关系为4321)(2++-+=a a x x x f ，)24,0[∈x ，其中a 是与气象有关的参数，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0a ．若用每天)(x f 的最大值为当天的综合污染指数，并记作)(a M ．（1）令12+=x xt ，)24,0[∈x ，求t 的取值范围； （2）求)(a M 的表达式，并规定当2)(≤a M 时为综合污染指数不超标，求当a 在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．20．（本题满分14分）第1小题满分7分，第2小题满分7分，已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F 与x 轴不垂直的直线交椭圆于,P Q 两点． （1）求椭圆的方程；（2）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形？ 若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．21．（本题满分18分）第1小题满分分，第2小题满分6分，第3小题满分8分已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a >，()*1N 4nn n a S n ⎛⎫⋅=∈ ⎪⎝⎭（1）若()21log n n n b S a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ； （2）若02n πθ<<，2tan n n n a θ⋅=，求证：数列{}n θ为等比数列，并求出其通项公式；（3）记12311112222n n c a a a a =-+-+-++-，若对任意的*N n ∈，n c m ≥恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分）．1、已知集合1=1,22A ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，集合{}2=|,B y y x x A =∈，则A B = {}1 ．2、设m ∈R ，若复数(1i)(1i)m ++在复平面内对应的点位于实轴上，则m = －1 ．3、若数列{}n a 为等差数列，且12341,21a a a a =++=，则122limnn a a a n →∞+++= 1.54、若将函数6()f x x =表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x =+-+-+-++-则3a 的值等于20 ．5、某学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这六门学科中选三门参加等级考，要求是物理、化学、生物这三门至少要选一门，政治、历史、地理这三门也至少要选一门，则该生的可能选法总数是 18 ．6、向量，若与平行，则实数=____-0.5___7、已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，角的终边与圆心在原点的单位圆(半径为1的圆)交于第二象限内的点，则＝．(用数值表示) 8、已知：当0x >时，不等式11kx b x≥++恒成立，当且仅当13x =时取等号，则k = 916- 9、已知直线0243=++y x 与圆()2221r y x =+-相切，则该圆的半径大小为 1 .10、已知直角三角形△ABC 中，90A ∠=︒，3AB =，4AC =，则△ABC 绕直线AC 旋转一周所得几何体的体积为 12π11、定义函数348122()1()222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，则函数()()6g x xf x =-在区间[]8,1内的所有零点的和为22112、已知双曲线C ：22198x y -=，左、右焦点分别为F 1、F 2，过点F 2作一直线与双曲线C 的右半支交于P 、Q 两点，使得∠F 1PQ=90°，则△F 1PQ 的内切圆的半径r =__2______． ()()2,3,1,2a b ==-ma b +2a b -m αx α4(,)5A A x sin 2α2425二、选择题（每题5分，共20分） 13、用反证法证明命题：“已知a 、b，如果ab 可被 5 整除，那么a 、b 中至少有一个能被 5 整除”时，假设的内容应为___B_______.A. a 、b 都能被5 整除B. a 、b 都不能被5 整除C. a 、b 不都能被5 整除D. a 不能被5 整除14、若矩阵11122122a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭ 满足：11122122,,,{0,1},a a a a ∈且111221220a a a a ＝　，则这样的互不相等的矩阵共有 D.A 2个 .B 6个 .C 8个 .D 10个15、已知函数2()sin f x x x =⋅，各项均不相等的数列{}n x 满足2i x π≤(1,2,3,,)i n =．令[]*1212()()()()()()n n F n x x x f x f x f x n N =+++⋅++∈．给出下列三个命题：(1)存在不少于3项的数列{}n x ，使得()0F n =；(2)若数列{}n x 的通项公式为()*12nn x n N ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，则(2)0F k >对*k N ∈恒成立；(3)若数列{}n x 是等差数列，则()0F n ≥对*n N ∈恒成立． 其中真命题的序号是（ D ）（A ）(1)(2) （B ）(1)(3) （C ） (2)(3) （D ）(1)(2)(3) 16、已知函数()x f y =的定义域为R ，且满足下列三个条件：① 对任意的[]84,21，∈x x ，当21x x <时，都有()()02121>--x x x f x f 恒成立；② ()()x f x f -=+4； ③ ()4+=x f y 是偶函数；若()()()2017116f c f b f a ===，，，则c b a ,,的大小关系正确的是( B ) A. c b a << B. c a b << C. b c a << D. a b c << 三、解答题：（本大题共有5题，满分76分）17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 在ABC ∆中，边a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对应的边.（1）若2(2)sin 0(2)sin 1sin (2)sin c a b Ab a BC a b A-=-+-，求角C 的大小； （2）若4sin 5A =，23C π=，c =ABC ∆的面积. （1）由题意，()()2sin 2sin 2sin c C a b A b a B =-+-；……………2分 由正弦定理得()()2222c a b a b a b =-+-，∴222c a b ab =+-，……………2分∴2221cos 22a b c C ab +-==，∴3C π=；……………2分 （2）由4sin 5A =，c =sin sin a c A C =，∴85a =；…………2分由23a c A C π<⇒<=，∴3cos 5A =,…………2分∴()4sin sin sin cos cos sin 10B AC A C A C =+=+=；…………2分∴1sin 2ABC S ca B ∆==…………2分18．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与地面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马，如图所示，在阳马P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD . （1）已知4AD CD m ==，斜梁PB 与底面ABCD 所成角为15︒，求立柱PD 的长； （精确到0.01m ）（2）求证：四面体PDBC 为鳖臑.（1）解：因为侧棱⊥PD 底面ABCD ，则侧棱PB 在底面上的射影是DB ，所以PBD ∠就是侧棱PB 与底面ABCD 所成的角，即︒=∠15PBD ．……2分ABCD在PDB ∆中，)(24,9022m CD AD DB PDB =+=︒=∠， ………3分 由DB PD PBD =∠tan 得 2415tan PD=︒，解得 )(52.1m PD =． ………5分 所以立柱PD 的长约为 m 52.1． ………………………………6分 （2）由题意知底面ABCD 是长方形，所以BCD ∆是直角三角形． ………………………2分 因为侧棱⊥PD 底面ABCD ， 得BC PD DB PD DC PD ⊥⊥⊥,,，所以PDC ∆、PDB ∆是直角三角形． …………………………4分 因为DC BC ⊥，PD BC ⊥，又D DC PD = ，PD DC ,≠⊂平面PDC ， 所以⊥BC 平面PDC ． …………………………………………6分 又因为PC ≠⊂平面PDC ，所以PC BC ⊥，所以PBC ∆ 为直角三角形． …………………………………7分 由鳖臑的定义知，四面体为鳖臑． ………………………8分 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数)(x f 与时刻x （时）的关系为4321)(2++-+=a a x x x f ，)24,0[∈x ，其中a 是与气象有关的参数，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈21,0a ．若用每天)(x f 的最大值为当天的综合污染指数，并记作)(a M ．（1）令12+=x xt ，)24,0[∈x ，求t 的取值范围； （2）求)(a M 的表达式，并规定当2)(≤a M 时为综合污染指数不超标，求当a 在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标．(1)由条件得202100p =⇒=，所以*16,)y x x =≤≤∈N 2分10M mx x =--，（*116,x x ≤≤∈N ）． …………………………………6分（２）因为030M ≤≤，PDBC所以()*100116,1030mx x x x mx x ⎧+--≥⎪≤≤∈⎨+--⎪⎩N 恒成立 ………………………8分()*101116,201m x x x m x ⎧≥-++⎪⎪⇒≤≤∈⎨⎪≤++⎪⎩N 恒成立 ………………………10分设t =，则：114t ≤≤ 221010111420101m t t t m t t ⎧≥-++⎛⎫⇒≤≤⎨ ⎪≤++⎝⎭⎩恒成立， 由221711010110()1224m t t t t ⎛⎫≥-++=--+≤≤ ⎪⎝⎭恒成立得72m ≥（4x =时取等号） ………………………12分 212010114m t t t ⎛⎫≤++≤≤ ⎪⎝⎭恒成立得194m ≤（16x =时取等号）所以71924m ≤≤． ………………………14分20．（本题满分14分）第1小题满分7分，第2小题满分7分，已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F 与x 轴不垂直的直线交椭圆于,P Q 两点． （1）求椭圆的方程；（2）在线段OF 上是否存在点(,0)M m ，使得以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形？ 若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解（1）设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x根据题意得1==c b 所以2222=+=c b a所以椭圆方程为1222=+y x （2）假设在线段OF 上存在点)10)(0,(<<m m M ,使得以,MP MQ 为邻边的平行四边形是菱形．因为直线与x 轴不垂直，所以设直线的方程为)0)(1(≠-=k x k y ．Q P ,坐标为),(),,(2211y x y x由⎩⎨⎧-==+)1(2222x k y y x 得，0224)21(2222=-+-+k x k x k 222212221212,214kk x x k k x x +=⋅+=+- 计算得：),(),,(2211y m x y m x -=-=，其中021≠-x x 由于以,MP MQ=计算得421x x m += 即2221214k k x x m +=+=，)0(≠k 所以210<<m21．（本题满分18分）第1小题满分分，第2小题满分6分，第3小题满分8分已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a >，()*1N 4nn n a S n ⎛⎫⋅=∈ ⎪⎝⎭（1）若()21log n n n b S a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ； （2）若02n πθ<<，2tan n n n a θ⋅=，求证：数列{}n θ为等比数列，并求出其通项公式；（3）记12311112222n n c a a a a =-+-+-++-，若对任意的*N n ∈，n c m ≥恒成立，求实数m 的取值范围.解：（1）*12,N n b n n =-∈ (2)由tan 2tan 2n nn n n n a a θθ⋅==得代入()*1N 4nn n a S n ⎛⎫⋅=∈ ⎪⎝⎭得12tan n n n S θ=，当2n ≥时，111112tan 2tan n n n n n n n a S S θθ---=-==， 因为tan 2n n n a θ=，代入上式整理得()1tan tan 2n n θθ-=，02n πθ<<所以1112,02n n n n θθθθ--==≠的常数.当1n =时，111111111,,0,tan 1,424n a S a a a a πθθ⎛⎫=⋅=>∴===⎪⎝⎭所以数列{}n θ是等比数列，首项为4π，公比为12，其通项公式为11*11,N 422n n n n πθπ-+⎛⎫⎛⎫==∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（3）由（2）得*11tan ,N 22n n n a n π+=∈，它是个单调递减的数列， 所以 11111,0,2222n n n n a a a a a ≤=-≤∴-=-123111122222n n n c a a a a nS =-+-+-++-=-对任意的*N n ∈，n c m ≥恒成立，所以()min n m c ≤. 由111110222n n n n n c c n n S S a ++++⎛⎫---=- ⎝-≥⎪⎭=知，1n n c c +≥ 所以数列{}n c 是单调递增的，n c 最小值为10c =，()min 0n m c ≤= 因此，实数m 的取值范围是(],0-∞.。

绝密★启用前 2019年上海市华东师范大学第二附属中学高三下学期5月信心考三模数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．直线:1l y kx =+与圆22:1O x y +=相交于,A B 两点，则"1"k =是“OAB ∆的面积为12”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 2．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N 最接近的是 （参考数据：lg3≈0.48） A ．1033 B ．1053 C ．1073 D ．1093 3．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ,求其直径d 的一个近似公式d ≈人们还用过一些类似的近似公式,根据 3.14159π≈判断,下列近似公式中最精确的一个是（ ） A ．d ≈B ．d ≈C ．d ≈D ．d ≈（ ） A ．与a 有关，且与b 有关 B ．与a 有关，但与b 无关 C ．与a 无关，且与b 无关 D ．与a 无关，但与b 有关 第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 5．已知集合{}{}|13,|1A x x B x x=-≤=≤-，则()R A C B =__________。

6．若615nC =，则n =_________。

7．抛物线2y x =的准线方程为_______.8．已知方程220x x b -+=的一个根是2a i +（其中a R ∈，i 是虚数单位），则实数b =_____。

9．已知数列{}n b 的通项公式是2112nn b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()12lim n n b b b →+∞+++=_________。

2019届上海市华东师范大学第二附属中学高三下学期质量调研数学试题一、单选题1．已知数列{}n a 的极限是A ,如果数列{}n b 满足66210310n n n a n b a n ⎧≤=⎨⎩，，，＞那么数列{}n b 的极限是（ ） A ．3A B ．2AC ．AD ．不存在【答案】A【解析】利用数列的递推关系式，求解数列的极限即可． 【详解】解：数列{a n }的极限是A ，如果数列{b n }满足66210310n n na nb a n ⎧≤=⎨⎩，，，＞， 那么数列{b n }的极限是：3A ． 故选：A ． 【点睛】本题考查数列的极限的运算法则的应用，考查计算能力． 2．已知,x y R ∈，则“1x >或1y >”是“2x y +>”的（ ） A ．充要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分非必要条件 D ．既非充分也非必要条件 【答案】B【解析】通过反例可知“1x >或1y >”是“2x y +>”的非充分条件；利用逆否命题为真可知若2x y +>，则1x >或1y >为真，验证出“1x >或1y >”是“2x y +>”的必要条件，从而可得结果. 【详解】 若32x =，0y =，则322x y +=<，可知“1x >或1y >”是“2x y +>”的非充分条件；若2x y +>，则1x >或1y >的逆否命题为：若1x ≤且1y ≤，则2x y +≤；可知其逆否命题为真命题，则原命题为真；则“1x >或1y >”是“2x y +>”的必要条件； 则“1x >或1y >”是“2x y +>”的必要非充分条件本题正确选项：B 【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，关键是能够利用原命题与逆否命题同真假来判断出必要条件成立.3．《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”,则以正方体1111ABCD A B C D -的顶点为顶点的“鳖臑”的个数为（ ）A ．12B ．24C ．48D ．58【答案】B【解析】每个顶点对应6个鳖臑，所以8个顶点对应48个鳖臑．但每个鳖臑都重复一次，再除2． 【详解】解：当顶点为A 时，三棱锥A ﹣EHG ，A ﹣EFG ，A ﹣DCG ，A ﹣DHG ，A ﹣BCG ，A ﹣BFG ，为鳖臑．所以8个顶点为8×6＝48个．但每个鳖臑都重复一次，再除2．所以个数为24个． 故选：B ．【点睛】本题考查线面位置关系，属于中档题．4．函数()()0y f x x R m =∈，＞，若存在实数m M ≤，使得对所有x D ∈，都有()m f x M ≤≤，则称()()y f x x D =∈“有界”，设()()1y f x x R =∈是增函数，()()2y f x x R =∈是周期函数，且对所有()()1200x R f x f x ∈，＞，＞，已知()()()12h x f x f x =，下列命题中真命题是（ ）A ．若()h x 是周期函数,则()1f x “有界”B ．若()h x 是周期函数,则()2f x “有界”C ．若()1f x “有界”,则()h x 不是周期函数D ．若()2f x “有界”,则()h x 不是周期函数 【答案】D【解析】根据有界性、周期性与单调性的概念逐一分析判断即可. 【详解】解： 设()2y f x =的周期为2T ，()h x 的周期为1T ，()22x max f M =，()11x max f M =，若()h x 是周期函数,则()()()()()1112112T T T h x n f x n f x n f x f x +=++=， ∵()()1y f x x R =∈是增函数，即()()111T f x n f x +>, ∴()()212T f x n f x +＜，若21T T =，则()()2121T T f x n f x n ++＜，显然不成立， 若21T T ＜，给定S ，则存在S N +∈使得()()()()21222122T T T f x n f x n f x n f x n s T ⎧++⎪⎨⎡⎤+++⎪⎣⎦⎩＜＜, ∵()2f x 为周期函数，∴()()2222T f x n f x n s T ⎡⎤+++⎣⎦＜，又∵()()1f x x R ∈是增函数，∴()21T f x n +的值越来越小，无法判定； 对于C ，D 选项，()()()()()21222122T T T T h x n f x n f x n f x n f x +=++=+ 若()1f x “有界”,即()()212T h x n M f x +≤ ∵()2f x 为周期函数，∴()h x 也是周期函数， 若()2f x “有界”,则()2m f x M ≤≤，()()()()()()21222122212T T T T T h x n f x n f x n f x n f x M f x n +=++=+≤+，又()()1y f x x R =∈是增函数， ∴()h x 不是周期函数故选：D ． 【点睛】本题考查了命题的真假判断与应用，考查函数的性质，涉及到函数的周期性、单调性及有界性，属难题．二、填空题 5．行列式1598的值为________.【答案】﹣37【解析】按照行列式的运算法则，直接展开化简计算即可． 【详解】 解：1598＝1×8﹣9×5＝﹣37． 故答案为：﹣37 【点睛】本题考查二阶行列式的定义，运算法则，是基础题．6．设集合{}{}1234202A B ==-，，，，，，，则AB =________.【答案】{}2【解析】利用交集概念及运算即可得到结果. 【详解】∵{}{}1234202A B ==-，，，，，，，∴{}2A B ⋂= 故答案为：{}2 【点睛】本题考查交集概念及其运算，属于基础题.7．已知向量()()157215a b =-=，，，，，，则a b +=_______.【答案】13【解析】利用向量加法坐标公式可得a b +的坐标，进而求模即可. 【详解】∵()()157215a b =-=，，，，，，∴()3412a b +=-，， ∴91613a b +=+=， 故答案为：13 【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，模长的计算，考查运算能力，属于简单题. 8．如果复数z 满足2220z z-+=，那么z =______. 【解析】设z ＝a +bi ，利用待定系数法建立方程组求出a ，b 的值，再由复数的模长公式进行计算即可． 【详解】 解：设z ＝a +bi ，则由z 2﹣2z +2＝0得（a +bi ）2﹣2（a +bi ）+2＝0， 即a 2﹣b 2﹣2a +2+（2ab ﹣2b ）i ＝0， 则a 2﹣b 2﹣2a +2＝0①且2ab ﹣2b ＝0②， 由2ab ﹣2b ＝0得ab ﹣b ＝0， 即b ＝0或a ＝1，若b ＝0，由①得a 2﹣2a +2＝0此时a 无解， 若a ＝1由①得b 2＝1，即b ＝1或b ＝﹣1， 即z ＝1+i 或z ＝1﹣i ， 则|z |， 【点睛】本题主要考查复数的模长的计算，利用待定系数法求出复数是解决本题的关键． 9．椭圆2221x y +=的焦距是______. 【解析】把椭圆x 2+2y 2＝1转化为标准方程，然后求出其焦距． 【详解】解：把椭圆x 2+2y 2＝1转化为：22112y x +=，a ＝1，b ＝2得c=∴2c．椭圆x2+2y2＝1．．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，解题时要认真审题，注意公式的合理选用．10．掷一颗均匀的骰子,所得点数为质数的概率是_______(结果用最简分数表示).【答案】1 2【解析】掷一颗均匀的骰子，一共有6种可能，其中为质数为2，3，5，根据概率公式即可求出【详解】解：掷一颗均匀的骰子，一共有6种可能，其中为质数为2，3，5，故所得点数为质数的概率是31 62 =，故答案为：1 2【点睛】本题考查概率的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意列举法的灵活运用．11．若圆锥的侧面积与底面积之比为2,则其母线与轴的夹角大小为________.【答案】30°【解析】根据圆锥的底面积公式和侧面积公式，结合已知可得l＝2R，进而解三角形得到答案．【详解】解：设圆锥的底面半径为R，母线长为l，则：其底面积：S底面积＝πR2，其侧面积：S侧面积＝12×2πRl＝πRl，∵圆锥的侧面积是其底面积的2倍，∴l＝2R，故该圆锥的母线与底面所成的角θ有cosθ＝12， ∴θ＝60°，∴该圆锥的轴与母线的夹角大小为30°， 故答案为：30°． 【点睛】本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆锥的底面积公式和侧面积公式，是解答的关键． 12．从5名男教师和4名女教师选出4人参加“组团式援疆”工作,且要求选出的4人中男女教师都有,则不同的选取方法的种数为________. 【答案】120【解析】根据题意，用间接法分析：首先计算从5名男教师和4名女教师选出4人的选法，再计算其中只有男教师和女教师的选法数目，进而分析可得答案． 【详解】解：根据题意，从5名男教师和4名女教师选出4人，有C 94＝126种， 其中只有男教师的选法有C 54＝5种， 只有女教师的选法有C 44＝1种，则男女教师都有的选法有126﹣5﹣1＝120种； 故答案为：120． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，注意用间接法分析，避免分类讨论，属于基础题． 13．若两直线12:2:24l y kx k l y x =++=-+，的交点在第一象限,则正整数k =______.【答案】1【解析】直接求出交点坐标，交点的纵横坐标都大于0，解不等式组即可． 【详解】解：两直线l 1：y ＝kx +k +2，l 2：y ＝﹣2x +4，则224y kx k y x =++⎧⎨=-+⎩，k ≠﹣2，22642k x k k y k -⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，又两直线的交点在第一象限，则2026402kk k k -⎧>⎪⎪+⎨+⎪>⎪+⎩，解得﹣23＜k ＜2， 所以正整数k ＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查两条直线的交点坐标，考查计算能力，是基础题．14．若321nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式中,常数项为正数,则正整数n 的最小值是______. 【答案】6【解析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于0，求出r 的值，即可求得常数项．再根据常数项为正数，求得正整数n 的最小值． 【详解】解：∵321nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项式展开式的通项公式为T r +1＝rn C •（﹣1）r •x 3n ﹣5r ，令3n ﹣5r＝0，因为常数项为正数 求得最小的r ＝6，故常数项为6n C ,为正数，则正整数n 的最小值为6， 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．15．已知()122x x ay a b R b++=∈+，既是奇函数,又是减函数,则a b +=_______.【答案】1-【解析】根据题意，由函数奇偶性的定义可得f （﹣x ）＝﹣f （x ），则有122x x ab --++＝﹣122x xab+++，分析可得a ＝﹣1，b ＝2或a ＝1，b ＝﹣2，将a 、b 的值代入函数的解析式，分析其单调性可得a 、b 的值，相加即可得答案．【详解】解：根据题意，()122x x ay a b R b ++=∈+，是奇函数，则有f （﹣x ）＝﹣f （x ），则有122x x a b --++＝﹣122x x ab+++，变形可得：a ＝﹣1，b ＝2或a ＝1，b ＝﹣2；当a ＝﹣1，b ＝2时，f （x ）＝12122x x +-+＝11221x --，为增函数，不符合题意；当a ＝1，b ＝﹣2时，f （x ）＝12122x x ++-＝11221x +-，为减函数，符合题意；故a ＝1，b ＝﹣2，则a +b ＝﹣1； 故答案为：﹣1 【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判断与应用，关键是掌握函数奇偶性与单调性的定义，属于基础题．16．已知坐标平面上的曲线Γ和直线l ，若l 与Γ有且仅有一个公共点P ，且Γ除P 之外的所有点都在l 的同侧，称l 为Γ的一条“基线”，则下列曲线中：arcsin y x =①；3y x =②；2111y y x x x==-+③；④，没有“基线”的是_________(写出所有符合要求的曲线编号). 【答案】②④【解析】根据函数的图像与性质分析即可得到结果. 【详解】作出arcsin y x =的图象，显然y 2π=适合题意；作出3y x =的图象，显然不存在基线；函数211y x =+为偶函数，在x 0=处取到最大值1， 所以y 1=适合题意； 作出1y x x=-的图象，显然不存在基线；综上可知：②④不存在基线. 故答案为：②④ 【点睛】本题考查命题的真假，函数的图象与性质，新定义的理解与应用，考查转化思想以及计算能力．三、解答题17．如图,正三棱柱111ABC A B C -底面三角形的周长为6,侧棱长1AA 长为3.(1)求正三棱柱111ABC A B C -的体积；(2)求异面直线1A C 与AB 所成角的大小. 【答案】（1）23（2）24【解析】（1）由已知求得三棱柱底面边长，得到底面积，再由棱柱体积公式求解； （2）以C 为坐标原点，以过C 且垂直于AB 的直线为x 轴，以过C 且平行于AB 的直线为y 轴，以CC 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解． 【详解】解：（1）∵正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1底面三角形的周长为6，∴边长为2， 则AB 边上的高为3， ∴12332ABCS=⨯⨯=， 又侧棱长AA 1长为3，则正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积V ＝123ABCSAA ⋅=；（2）以C 为坐标原点，以过C 且垂直于AB 的直线为x 轴，以过C 且平行于AB 的直线为y 轴，以CC 1所在直线为z 轴建立空间直角坐标系， 则C （0，0，0），A()31,0-，，B()310，，，A 1()312-，，，()()10,2,031,2AB CA ==-，，，∴cos 1CA AB ，＝11CA AB CA AB⋅⋅＝224222-=-⨯． ∴异面直线A 1C 与AB 所成角的大小为24．【点睛】本题考查多面体体积的求法，训练了利用空间向量求解异面直线所成角，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 18．已知函数()2sin cos sin .f x x x x =-(1)求()f x 的最小正周期；(2)设ABC ∆为锐角三角形,角A 角B 若()0f A =，求ABC ∆的面积.【答案】（1）π（2【解析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性，得出结论．（2）根据f （A ）＝0，求得A 的值，再利用正弦定理求得B ，可得C 的值，利用△ABC 的面积为 12•ab •sin C ，计算求得结果． 【详解】解：（1）函数f （x ）＝sin x cos x ﹣sin 2x ＝12sin2x ﹣122cos x -＝2sin （2x +4π）﹣12， 故它的最小正周期为22π＝π．（2）∵△ABC 为锐角三角形，角A B若f （A ）＝2sin （2A +4π）﹣12＝0，∴sin （2A +4π）＝2，∴2A +4π＝34π，∴A ＝4π．再由正弦定理可得4sinBsinπ=，∴sin B ＝2， ∴B ＝3π，∴C ＝π﹣A ﹣B ＝512π，∴sin C ＝sin （6π+4π）＝sin 6πcos 4π+cos 6πsin 4π故△ABC 的面积为 12•ab •sin C ＝124＝34+． 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性，正弦定理，两角和差的三角公式的应用，属于中档题．19．某地自2014年至2019年每年年初统计所得的人口数量如下表所示:(1)根据表中的数据计算2014年至2018年每年该地人口的增长数量,并描述该地人口数量的变化趋势；(2)研究人员用函数()0.65544502000 4.48781tP t e -=++拟合该地的人口数量,其中t 的单位是年,2014年初对应时刻()0t P t =，的单位是干人，设()P t 的反函数为()T x ，求()2400T 的值(精确到0.1),并解释其实际意义.【答案】（1）见解析，（2）T （2400）＝5.5，见解析.【解析】（1）根据表中的数据可得从2014年到2019人后增加的数量，逐年增多，从2017后，增加的人数逐年减少，但人口总数是逐年在增加的， （2）根据函数的表达式，以及反函数的定义，代值计算即可． 【详解】解：（1）2014年至2019年每年该地人口的增长数量为2385﹣2082＝303千人， 3135﹣2082＝53，2203﹣2135＝68，2276﹣2203＝73，2339﹣2276＝63，2385﹣2339＝46，由上述数据可得从2014年到2019年每年人口增长数量呈先增加后减少的变化趋势，每一年人口总数呈逐渐递增的变化趋势， （2）由()0.65544502000 4.48781tP t e -=++， ∵P （t ）的反函数为T （x ），∴2400＝20000.66544504.48781t e -++，∴4.4878e ﹣0.6554t +1450400=，∴4.4878e ﹣0.6554t 18=，两边取对数可得ln 4.4878﹣0.6554t ＝﹣ln 8， ∴t 4.4878835.90240.65540.6554ln ln ln +==≈5.5，∴T （2400）＝5.5．其实际意义为：可根据数学模型预测人口数量增长规律，及提供有效数据，即经过半年时间，该地人口数量人数即增长到2400千人．【点睛】本题考查了函数模型在实际生活中的应用，考查了反函数的性质，考查了运算求解能力，属于中档题20．设常数m≥在平面直角坐标系xOy中,已知点(0F，直线:l y m=，曲线)x y m lΓ=≤≤：，与y轴交于点A与Γ交于点,,B P Q分别是曲线Γ与线段AB上的动点.(1)用m表示点B到点F的距离；(2)若0AP FQ⋅=且FA FP FQ+=，求m的值；(3)设m=且存在点P、Q,使得FPQ∆是等边三角形,求FPQ∆的边长.【答案】（1）1BF=-（2）m1=（3）3【解析】（1）运用平面内两点间距离公式求解；（2）由条件可知四边形AFPQ为正方形，转化为边长相等，即可得到m的解；（3）设出P，Q坐标利用|PF|＝|FQ|求出t，即可求出两点坐标，进而求出边长．【详解】解：（1）由y mx=⎧⎪⎨=⎪⎩，可得Bm），又F（0，∴|BF|===﹣1，（2）由0AP FQ⋅=且FA FP FQ+=，则四边形AFPQ为正方形，∵F（0，A（0，m），P（1），∴|AF|＝m，|FP|＝1，∴m=1，即m=1，（3）由yx⎧=⎪⎨=⎪⎩可得B，），设点Q （t ，22），则||FQ |22t =+，（0≤t 7≤）， 设P （x 0，y 0），则|PF |021y =-，∵△FPQ 是等边三角形，∴|PF |＝|FQ |，即20212y t -=+，即20212t y ++=，代入曲线方程得22200(21)112t x y ++=+=-， ∵|QF |2＝|QP |2，t 2+2＝（22(21)12t t ++--）2+（221222t ++-）2， 解得t 2＝7， |FQ |72=+=3△FPQ 的边长为3．【点睛】考查了两点之间的距离公式，向量运算带来的几何意义，以及特殊三角形的性质，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．21．已知*n N ∈和31n +个实数1231n x x x +≤≤⋯≤，若有穷数列{}k a 由数列{}k x 的项重新排列而成,且下列条件同时成立：① 3n 个数()11211k k k n k k n k a a a a a a k n +++++---≤≤，，两两不同；②当1k n ≤≤时，2111k n k k n k k k a a a a a a +++++---＞＞都成立，则称{}k a 为{}k x 的一个“友数列”.(1)若12341123n x x x x =====，，，，写出的{}k x 全部“友数列”；(2)已知{}k a 是通项公式为()131k x k k n =≤≤+的数列{}k x 的一个“友数列”，且131n a x +=，求31n a +(用n 表示)；(3)设2n ≥，求所有使得通项公式为()131kk a q k n =≤≤+的数列{}k a 不能成为任何数列{}k x 的“友数列”的正实数q 的个数(用n 表示). 【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析 【解析】（1）对1a 分类讨论即可得到结果；（2）由条件①知：3n 个数两两不同，又{}{}131131max max 31i i i n i n a x n ≤≤+≤≤+==+ ， {}{}1313max max 1i i i ni na x ≤≤≤≤==，∴差值最大为3n ，分类讨论即可得到结果；（3）根据“友数列”的定义，分析即可得到结果. 【详解】解：（1）若11,a ≠ 则234,,a a a 中存在两个1，不妨设(),24i j a a i j ≤<≤， 则有11i j a a a a -=- 与②矛盾， 故有11,a =则234111a a a -<-<-， ∴234111,a a a -<-<- ∴2341,2,3a a a ===即好数列{}{}1234,,,1,1,2,3a a a a = ；（2）由条件①知：3n 个数两两不同，又{}{}131131max max 31i i i n i n a x n ≤≤+≤≤+==+ ， {}{}1313max max 1i i i ni na x ≤≤≤≤==，∴差值最大为3n ，而令k 取1时，由131a n =+，2222313131n n n a n a n a +++-<+-<+- ，若221n a +≠，则22313n n a n ++-<，而1k ≠时，1121k k k k n k k n a a a a a a +++++-<-<- 故只可能为某个j 且1j ≠ 使213j j n a a n ++-=， 则{}2121max ,3j j n j j n a a a a n ++++-<<，矛盾， ∴必有1k =则有22313n n a n ++-=，即221n a += ， 其次，若1231,n a a n +-≠+则此时差值中31n -除3n 外最大，则有2131j j n a a n ++-=-，1j ≠，又2122,j j n n a a a +++≠， ∴21,2j j n a a ++≥，而21,3j j n a a n ++≤， 则213231j j n a a n n ++-≤-<-矛盾， ∴必有1231,n a a n +-=-即22n a += 同理，若1232,a a n -≠-则有1j ≠使2132j j n a a n ++-=-，且21,3j j n a a ++≥，且21,3j j n a a n ++≤，∴213332j j n a a n n ++-≤-<-矛盾， ∴必有1232,n a a n +-=-即23a =，接着考虑：223n a a +- ，2323,n a a a a +--， 若22333n a a n +-≠-，则有()1,2j j ≠，使得2333j j n a a n ++-=-， 又234,4j j n a a ++≥≥ ，23,3j j n a a n ++≤矛盾， ∴22333n a a n +-=- 依次类推即可.故对于21n k =+ ()0,1,2,n =时，313,n n a a +-=且122323a a n a -=-⇒=，3233532a a n a n -=-⇒=-，11n n a a --=，联立，得322n n a +=， ∴31352n n a ++=，对于2n k = ()0,1,2,n =时，1232a a n -=-，()3235a a n -=--，11n n a a --=-， 联立，得32n n a =， ∴31362n n a ++=，（3）233112331,,,,n n a q a q a q a q ++==== ，若()0131kk a q k n =≤≤+ 为一个数列{}k x 的“友数列”，则()01131kk a k n q ⎛⎫=≤≤+ ⎪⎝⎭亦为一个数列{}k x '的友数列，故不妨设1q ≥ ，则所有差排列如下：01 ：1q =时，易知与条件①②矛盾； 02 ：1q >时，()()2121121111n n n n q q q q q ++-+-<-<<- ， ()()1111111n n n n q q q q q ++-+-<-<<-，()()1111n q q q q q --<-<<-观察上面式子，若不存在{}k x ，则先比较：211n q+-与()111n n qq-+-()()21221111n n n q q q q q +--=-++++，()()()1111111n n n n n q q q q q q q -+---=-++++()()212212111n n n n q q q q q ---+=-+++<-，在比较11n q+-与()11n qq --大小，()()11111n n n q q q q q +--=-++++()1111n n q q q -+-<-，综上，不存在满足题意的q 值. 【点睛】本题以新定义为载体，考查数列及极限，关键是理解新定义，合理转化，需要计算细心．。

上海师范大学附属中学2019年高三第三次质量检测数学试题一、填空题（本大题共有12题，满分54分）．1. 设集合{2,3,4,12}A =，{0,1,2,3}B =，则A B = {}2,32.不等式11x<的解集为 ()(),01,-∞+∞3．已知tan 2θ=-，且,2πθπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则cos θ=___4．已知球主视图的面积等于9π，则该球的体积为__36π ___.5. 从5男3女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人志愿者服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有种不同的选法_____780____.（用数字作答）6. 定义(),,,a a bF a b b a b≤⎧=⎨>⎩，已知函数()f x 、()g x 的定义域都是R ，则下列四个命题中为真命题的是____（2）（3）（4）____（写出所有真命题的序号）①若()f x 、()g x 都是奇函数，则函数()()(),F f x g x 为奇函数 ②若()f x 、()g x 都是偶函数，则函数()()(),F f x g x 为偶函数 ③若()f x 、()g x 都是增函数，则函数()()(),F f x g x 为增函数 ④若()f x 、()g x 都是减函数，则函数()()(),F f x g x 为减函数7.已知函数()f x 是定义在R 上且周期为4的偶函数，当时[2,4]x ∈，43()|log ()|2f x x =-，则1()2f 的值为128.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，121a a ==，平面内三个不共线的向量OA 、OB 、OC 满足11()(1)n n n OC a a OA a OB -+=++-，2n ≥，*n N ∈，若A 、B 、C 在同一直线上，则2018S = 29. 已知点,C D 是椭圆2214x y +=上的两个动点，且点(0,2)M ，若MD λ=MC ，则实数λ的取值范围为__1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦____.10.已知数列{}n a ，其通项公式为31n a n =+，*n ∈N ，{}n a 的前n 项和为n S ，则limnn nS n a →∞=⋅12. 11.已知点A (–3,–2)和圆C ：(x–4)2+(y–8)2=9，一束光线从点A 发出，射到直线l ：y=x –1后反射(入射点为B )，反射光线经过圆周C 上一点P ，则折线ABP 的最短长度是 712.已知函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x ⋅-=和()()114f x f x +⋅-=对任意的x R ∈都成立，若当[]0,1x ∈时，()f x 的值域为[]1,2，则当[]100,100x ∈-时，函数()f x 的值域为100100[2,2]- .二、选择题（每题5分，共20分）13. 若非空集合A 、B 、C 满足AB C =，且B 不是A 的子集，则（ B ）A. “x C ∈”是“x A ∈”的充分条件但不是必要条件B. “x C ∈”是“x A ∈”的必要条件但不是充分条件C. “x C ∈”是“x A ∈”充要条件D. “x C ∈”既不是“x A ∈”的充分条件也不是“x A ∈”的必要条件14.定义在R 上的函数()f x 满足2201()4210x xx f x x -⎧+≤<=⎨--≤<⎩，且(1)(1)f x f x -=+，则函数35()()2x g x f x x -=--在区间[1,5]-上的所有零点之和为（ B ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 815.已知函数1202()12212x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩，且1()()f x f x =，1()(())n n f x f f x -=，1,2,3,n =⋅⋅⋅，则满足方程()n f x x =的根的个数为（ C ）A. 2n 个B. 22n 个C. 2n个 D. 2(21)n-个16.关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是111222a b c a b c ⎛⎫⎪⎝⎭，则方程组存在唯一解的条件是（ C ）．A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21aa 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 平行 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21c c 不平行C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 不平行 D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21c c 不平行三、解答题：（本大题共有5题，满分76分）17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数()2cos f x x =，()1cos 2g x x x =+. （1）若直线x a =是函数()y f x =的图像的一条对称轴，求()2g a 的值； （2）若02x π≤≤，求()()()h x f x g x =+的值域.解：（1）()21cos 2cos 2x f x x +==，其对称轴为2,,2k x k x k Z ππ==∈，因为直线线x a =是函数()y f x =的图像的一条对称轴， 所以,2k a k Z π=∈， 又因为()1222g x x =+，所以()()()112sin 2=222g a g k k ππ==+ 即()122g a =. (2)由（1）得()()()1cos 2212sin 216h x f x g x x x x π=+=+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1710,,2,,sin 2,2266662x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤∈∴+∈+∈- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦所以()h x 的值域为122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，. 18．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数()221x f x a =-+（常数a R ∈） （1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）当()f x 为奇函数时，若对任意的[]2,3x ∈，都有()2x mf x ≥成立，求m 的最大值.【答案】：（1）若当1a =时，()f x 为奇函数。

2019届上海市上海师范大学附属中学高三下学期第二次质量检测数学试题一、单选题1．用反证法证明命题“已知,*∈a b N ，如果ab 可被5整除，那么,a b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（ ） A.,a b 都能被5整除 B.,a b 都不能被5整除 C.,a b 不都能被5整除 D.a 不能被5整除【答案】B【解析】根据反证法的概念，利用命题的否定，即可求解，得到答案． 【详解】由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证，“,a b 中至少有一个能被5整除”的否定是“,a b 都不能被5整除”．故选B. 【点睛】本题主要考查了反证法的概念及其应用，其中解答中熟记反证法的概念，合理利用命题的否定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 2．已知函数的定义域为R ，且满足下列三个条件： ①对任意的[]12,4,8x x ∈，当12x x <时，都有()()12120f x f x x x ->-；②()()4f x f x +=-； ③()4y f x =+是偶函数；若()6a f =， ()11b f =， ()2017c f =，则,,a b c 的大小关系正确的是（ ） A ．a b c << B ．b a c <<C ．a c b <<D ．c b a <<【答案】B【解析】根据题意，由①分析可得函数()f x 在区间[]4,8上为增函数，由②分析可得函数()f x 的周期为8，由③分析可得函数()f x 的图象关于直线4x =-和4x =对称，进而分析可()6a f =，()11b f =， ()()()()20172528117c f f f f ==⨯+==， 结合函数在[]4,8上的单调性，分析可得答案．【详解】由①得()f x 在[]4,8上单调递增；由得②()()()84f x f x f x +=-+=，故()f x 是周期为8的的周期函数，所以()()()2017252811c f f f ==⨯+=，()()113b f f ==；再由③可知()f x 的图像关于直线4x =对称，所以()()()1135b f f f ===， ()()17c f f ==．结合()f x 在[]4,8上单调递增可知， ()()()567f f f <<，即b a c <<．故选B ． 【点睛】解析式不知道的函数成为抽象函数，解决抽象函数问题的基本思路有两个： （1）取特殊值.对于求函数值的问题可选择定义域内的特殊值代入解析式验证求解； （2）运用所给的性质.解题时要用好所给的函数的性质进行适当的变形，同时要灵活运用函数的其他性质，如周期性、单调性、奇偶性等，并在此基础上将抽象问题转化为函数问题求解.二、填空题3．已知集合1=1,22A ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，集合{}2=|,B y y x x A =∈，则A B =________．【答案】{}1【解析】先由x A ∈得出集合B ，再求得A B .【详解】因为1=1,22A ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，，当x A ∈时，2y x =得1y =，或4y =，或14y =，所以11,4,4B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭， 所以AB ={}1，故填：{}1. 【点睛】本题考查根据集合的描述法转化为用列举法表示集合和集合间的交集运算，属于基础题.4．设m R ∈，若复数(1i)(1i)m ++在复平面内对应的点位于实轴上，则m =______． 【答案】1-【解析】()()()()1111mi i m m i ++=-++， 复数()()11mi i ++在复平面内对应的点位于实轴上， 则复数的虚部为零，10m +=，解得：1m =-. 5．若数列{}n a 为等差数列，且12341,21a a a a =++=，则122lim nn a a a n →∞+++= .【答案】32【解析】设出等差数列的公差，由已知求得公差，然后求等差数列的前n 项和后代入122nn a a a limn →∞+++得答案．【详解】设等差数列{a n }的公差为d ，由a 1＝1，a 2+a 3+a 4＝21，得 3a 1+6d ＝21，即3+6d ＝21，d ＝3．∴()122231133132222nn n n n n n n a a a n n limlimlim lim n n n →∞→∞→∞→∞--++++-====． 故答案为：32． 【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了数列极限的求法，是基础题．6．若将函数6()f x x =表示成23601236()(1)(1)(1)(1)f x a a x a x a x a x =+-+-+-++-则3a 的值等于___________． 【答案】20【解析】令1x t -=，则1x t =+， 所以()62601261t a a t a t a t +=++++，所以3a 就是3t 的系数，因为661661k k k k k k T C t C t --+==，所以当3k =时，33620a C ==。

上海师范大学附属中学 2018-2019年下学期高三数学练习卷注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分）．1、若复数z 满足2315i z -=+（i 是虚数单位），则=z _52i 2-___． 2、已知等比数列{}n a 满足232,1a a ==，则12231lim ()n n n a a a a a a +→+∞+++=323 .3、已知13a >，函数()lg(||1)f x x a =-+在区间[0,31]a -上有最小值为0且有最大值为lg(1)a +，则实数a 的取值范围是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦_.4、秦九韶是我国南宋时期数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，右边的流程图是秦九韶算法的一个实例. 若输入n 、x 的值分别为4、2，则输出q 的值为 50 （在算法语言中用“*”表示乘法运算符号，例如5210*=）5、设{}13A x x =≤≤，{}124,B x m x m m R =+≤≤+∈，A B ⊆，则m 的取值范围是__1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦___. 6、如图：在梯形ABCD 中，//AD BC 且12AD BC =，AC 与 BD 相交于O ，设AB a =，DC b =，用,a b 表示BO ，则BO = 4233a b -+r r7、若函数()()sinsin022xxf x ωπωω+=>的最小正周期为π，则ω= 28、在等差数列{}n a 中，若8103,1a a =-=，9m a =，则正整数m = 149、抛物线28y x =的动弦AB 的长为6，则弦AB 中点M 到y 轴的最短距离是9810、已知定义在R 上的单调函数)(x f 的图像经过点)2,3(-A 、)2,2(-B ，若函数()f x 的反函数为)(1x f -，则不等式51)2(21<+--x f 的解集为 )4,0(11、若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是11212、从单词“shadow ”中任意选取4个不同的字母排成一排，则其中含有“a ”的共有____240____种排法．（用数字作答）二、选择题（每题5分，共20分）13、设()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x >时,()()1,0≠>+=a a b a x f x，若()f x 在R 上存在反函数，则下列结论正确是（ ）．A ．11a b >⎧⎨<-⎩或0110a b <<⎧⎨-<<⎩B ．11a b >⎧⎨≥-⎩或⎩⎨⎧≥-≤<<0110b b a 或C ．⎩⎨⎧-<<->121b a 或⎩⎨⎧-<<-<<5.0110b aD ．⎩⎨⎧-≤>21b a 或 ⎩⎨⎧<<-<<05.010b a14、如图，已知直线l ⊥平面α，ABlPO垂足为O ，在ABC △中，2,2,BC AC AB ===， 点P 是边AC 上的动点.该三角形在空间按以下条件作自由 移动：(1)A l ∈，(2)C α∈.则OP PB +的最大值为 ( )(A) 2.(B)(C) 1(D) 15、已知a 、b 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，a αβ=，a ∥b ，则下列结论不可能成立的是（ ）A. b 垂直于β，且b 平行于αB. b 垂直于α，且b 平行于βC. b 平行于α，且b 平行于βD. b 与α、β都相交 16、在给出的下列命题中，是假命题的是(A )设O A B C 、、、是同一平面上的四个不同的点，若(1)(R)OA m OB m OC m =⋅+-⋅∈， 则点A B C 、、必共线(B )若向量a b 和是平面α上的两个不平行的向量，则平面α上的任一向量c 都可以表示为(R)c a b λμμλ=+∈、，且表示方法是唯一的(C )已知平面向量OA OB OC 、、满足||||(0)OA OB OC r r ==>|=|，且0OA OB OC ++=，则ABC ∆是等边三角形(D )在平面α上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量ab c d 、、、，使得其 中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直三、解答题：（本大题共有5题，满分76分）17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时。

上海师范大学附属中学2018-2019年下学期高三数学质量检测试卷2019.4.1一、填空题（本大题共有12题，满分54分）．1、已知函数2()210x x x f x x -⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩ ，则11[(9)]f f ---= -2 ．2、若复数z 满足014=-zz ,则z 的值为 )1,1(-3、执行如图所示的程序框图，若输入1n =的，则输出S = 3log 19S = ．4、若321()nx x-的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为_____20____. 5、将序号分别为1、2、3、4、5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 24 ． 6、已知△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且2226tan 5b c a ac B -+=， 则sin B的值是 537、已知数列{}n a 的前n 项和n n S n +=2，则该数列的通项公式=n a n 2 .8、若X 是一个集合，τ是一个以X 的某些子集为元素的集合，且满足：（1）X 属于τ，∅属于τ；（2）τ中任意多个元素的并集属于τ；（3）τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X 上的一个拓扑．已知集合{},,X a b c =，对于下面给出的四个集合τ：①{},{},{},{,,}a c a b c τ=∅； ②{},{},{},{,},{,,}b c b c a b c τ=∅；③{},{},{,},{,}a a b a c τ=∅； ④{},{,},{,},{},{,,}a c b c c a b c τ=∅．其中是集合X 上的拓扑的集合τ的序号是 ②④ ．（写出所有集合X 上的拓扑的集合τ的序号）9、（松江区2018高三上期末）已定义,(,),a a b F a b b a b ≤⎧=⎨>⎩，已知函数(),()f x g x 的定义域都是R ，则下列四个命题中为真命题的是 ②③④ ．（写出所有真命题的序号 ） ① 若(),()f x g x 都是奇函数，则函数((),())F f x g x 为奇函数． ② 若(),()f x g x 都是偶函数，则函数((),())F f x g x 为偶函数． ③ 若(),()f x g x 都是增函数，则函数((),())F f x g x 为增函数． ④ 若(),()f x g x 都是减函数，则函数((),())F f x g x 为减函数．10、矩阵1211222232332123i n in in n ni nn a a a a a a a a a n a a a ⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭中每一行都构成公比为2的等比数列，第i 列各元素之和为i S ，则2lim 2n n n S n →∞=⋅13． 11、对于曲线C 所在平面上的定点0P ，若存在以点0P 为顶点的角α，使得0AP B α≥∠对于曲线C 上的任意两个不同的点B A ,恒成立，则称角α为曲线C 相对于点0P 的“界角”，并称其中最小的“界角”为曲线C 相对于点0P 的“确界角”．曲线⎪⎩⎪⎨⎧<--≥+=)0(12)0(1:22x x x x y C 相对于坐标原点O 的“确界角”的大小是512π12、已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且11=a ,12+=n n n a a S （*N ∈n ），若112)1(++-=n n nn a a n b ,则数列}{n b 的前n 项和=n T _____1)1(1+-+-n n 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-++-为偶数，为奇数n n nn n n ,1,12_______.二、选择题（每题5分，共20分）13、已知函数()()f x x R ∈满足()(4)f x f x =-，若函数2|41|y x x =-+与()y f x =图象的交点为 112233(,),(,),(,),,(,),n n x y x y x y x y 则1ni i x ==∑（A ）0 (B)n (C) 2n (D)4n14、关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222111c b a c b a ，则方程组存在唯一解的条件是（ ）． A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21aa 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 平行 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21c c 不平行 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21aa 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 不平行 D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21c c 不平行 15、在Rt ABC ∆中，AB AC =，点M 、N 是线段AC 的三等分点，点P 在线段BC 上运动且满足PC k BC =⋅，当PM PN ⋅取得最小值时，实数k 的值为（ CCC ）.A 12 .B 13C 、 14 .D 1816、若0a <，0b <，则22b a p a b=+与q a b =+的大小关系为A. p q <B. p q ≤C. p q >D. p q ≥三、解答题：（本大题共有5题，满分76分）17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知直三棱柱111A B C ABC -中，11AB AC AA ===，90BAC ︒∠=. （1）求异面直线1A B 与11B C 所成角； （2）求点1B 到平面1A BC 的距离.18．（本题满分14分）第1小题满分6分，第2小题满分8分．第20题图设数列{}{}n n a b ，及函数f x ()（x R ∈），n n b f a ()=（n N *∈）． （1）若等比数列{}n a 满足a a 1213==，，f x x ()2=，求数列{}n n b b 1+的前n （n N *∈）项和； （2）已知等差数列{}n a 满足x a a f x q 1224()(1)λ===+，，（q λ、均为常数，q 0>，且q 1≠），n n c n b b b 123()=+++++L （n N *∈）．试求实数对q ()λ，，使得{}n c 成等比数列．19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知两动圆2221:(3)F x y r +=和2222:(3)(4)F x y r +=-（04r <<），把它们的公共点的轨迹记为曲线C ,若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点A B 、满足：0MA MB ⋅=． (1)求曲线C 的方程；(2)证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标； (3)求ABM △面积S 的最大值．20．（本题满分14分）第1小题满分7分，第2小题满分7分，如图，摩天轮上一点P 在t 时刻距离地面高度满足sin()y A t b ωϕ=++，[],ϕππ∈-，已知某摩天轮的半径为50米，点O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处．（1）根据条件写出y （米）关于t （分钟）的解析式； （2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距离地面超过85米?21．（本题满分18分）第1小题满分分，第2小题满分6分，第3小题满分8分设函数()y f x =的定义域为D ，值域为A ，如果存在函数()x g t =，使得函数()y f g t =⎡⎤⎣⎦的值域仍是A ，那么称()x g t =是函数()y f x =的一个等值域变换．（1）判断下列函数()x g t =是不是函数()y f x =的一个等值域变换？说明你的理由；① ()2log ,0f x x x =>，()1,0x g t t t t==+>；② ()21,f x x x x R =-+∈，()2,t x g t t R ==∈．（2）设函数()y f x =的定义域为D ，值域为A ，函数()g t 的定义域为1D ，值域为1A ，那么“1D A =”是否为“()x g t =是()y f x =的一个等值域变换”的一个必要条件？请说明理由； （3）设()2l og f x x =的定义域为[]2,8x ∈，已知()2231mt t nx g t t -+==+是()y f x =的一个等值域变换，且函数()y f g t =⎡⎤⎣⎦的定义域为R ，求实数m n 、的值．参考答案选择填空见题目（红色标注物即答案） 17、解：（1）异面直线B A 1与11C B 所成角为3π．（2）点1B 到平面BC A 1的距离为3318、解：（1）由已知可得n n a 13-=（n N *∈），故n n b 123-=⋅（n N *∈），所以n n b b 1+n 2143-=⋅（n N *∈），从而{}n n b b 1+是以12为首项，9为公比的等比数列，故数列{}n n b b 1+的前n 项和为n 3(91)2-（n N *∈）．（2）依题意得n a n 2=（n N *∈），所以n b n q 2(1)λ=+（n N *∈），故n c n q q n q qq222223(1)11λλλ=+++---（n N *∈），令q q 2230110λλ⎧+=⎪-⎨⎪+=⎩，解得q 13λ=-⎧⎪⎨=⎪⎩（q 302=-<舍去），因此，存在q ()(12λ=-，，，使得数列{}n c 成等比数列，且n n c 33()4=⋅（n N *∈）．19、（1）设两动圆的公共点为Q ，则有：12124()QF QF F F +=>．由椭圆的定义可知Q的轨迹为椭圆，2,a c ==C 的方程是：2214x y +=．…4分（2）（理）证法一：由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,当AB 的斜率不存在时，易知满足条件0MA MB ⋅=的直线AB 为：0x =过定点3(0,)5N -当AB 的斜率存在时，设直线AB ：y kx m =+，联立方程组：2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩①②，把②代入①有：222(14)8440k x kmx m +++-= 122814km x x k -+=+③，21224414m x x k -⋅=+④，因为0MA MB ⋅=，所以有1212(1)(1)0x x kx m kx m ⋅++-+-=，221212(1)(1)()(1)0k x x k m x x m +⋅+-++-=，把③④代入整理：22222448(1)(1)(1)01414m kmk k m m k k--++-+-=++，（有公因式m -1）继续化简得： (1)(53)0m m --=，35m -=或1m =（舍）， 综合斜率不存在的情况，直线AB 恒过定点3(0,)5N -．证法二：（先猜后证）由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ,如果直线AB 恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在y 轴上，设为(0,)N m ； 取特殊直线:1MA y x =+，则直线MB 的方程为1y x =-+，解方程组22141x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得点83(,)55A --，同理得点83(,)55B -，此时直线AB 恒经过y 轴上的点3(0,)5N -（只要猜出定点的坐标给2分）下边证明点3(0,)5N -满足条件0MA MB ⋅=当AB 的斜率不存在时，直线AB 方程为：0x =， 点 A B 、 的坐标为(0,1)±，满足条件0MA MB ⋅=；当AB 的斜率存在时，设直线AB ：35y kx =-，联立方程组：221435x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩①②，把②代入①得：222464(14)0525k k x x +--= 122245(14)k x x k +=+③，1226425(14)x x k -⋅=+④， 所以1212121288(1)(1)()()55MA MB x x y y x x kx kx ⋅=⋅+--=⋅+--21212864(1)()525k k x x x x =+-++2226482464(1)052525(14)5(14)k k k k k -=+⋅-⋅+=++（3）（理）ABM △面积MNA MNB S S S =+△△=1212MN x x -212124()45x x x x +-⋅ 由第(2)小题的③④代入，整理得：22322542514k S k +=⋅+因N 在椭圆内部，所以k R ∈,可设22542t k =+≥，23249tS t =+32(2)94t t t=≥+92542t t +≥，∴6425S ≤(0k =时取到最大值)．所以ABM △面积S 的最大值为6425．20、解：（1）由题设可知50A =，60b =，又23T πω==，所以23ωπ=， 从而250sin()603y t πϕ=++， 再由题设知0t =时10y =，代入250sin()603y t πϕ=++，得sin 1ϕ=-，从而2πϕ=-，因此，26050cos,(0)3y t t π=->. （2）要使点P 距离地面超过85米，则有26050cos 853y t π=->， 即21cos32t π<- ，又202,(0)3t t ππ<<>解得224,(0)333t t πππ<<>， 即12t <<所以，在摩天轮转动的一圈内，点P 距离地面超过85米的时间有1分钟.21.（1）①不是②()221331244f x x x x ⎛⎫=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，即()f x 的值域为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，当t ∈R 时，()21332244t f g t ⎛⎫=-+≥⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，即()y f g t =⎡⎤⎣⎦的值域仍为3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，所以()x g t = 是()f x 的一个等值域变换. （2）不必要性的反例：()[)2,,0,x x D B f ===∞+R()()1121,,1,t g t D B =-==-+∞R此时1B D ⊂，但()()221tf g t =-⎡⎤⎣⎦的值域仍为[)0,B =+∞，即()()21t g t x =-∈R 是()()2f x x x =∈R 的一个等值域变换.（反例不唯一）（3）()2log f x x =定义域为[]2,8，因为()x g t =是()f x 的一个等值域变换，且函数()f g t ⎡⎤⎣⎦的定义域为R ，所以()22,13t mt x g t t t n+==+-∈R 的值域为[]2,8，()()22222328213811mt t n t mt t n t t -+≤≤⇔+≤-+≤++， 所以，恒有()()()()12289422094880m m n m n ⎧<<⎪∆=---=⎨⎪∆=---=⎩，解得335335m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.。