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2018年高考数学（理）二轮复习讲练测热点十一圆锥曲线的综合问题纵观近几年高考圆锥曲线的综合问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，主要注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力.其中直线与椭圆、抛物线的位置关系常常与平面向量、三角函数、函数的性质、不等式等知识交汇命题.涉及求轨迹、与圆相结合、定点、定值、最值、参数范围、存在性问题等.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.1.求轨迹方程求轨迹方程的基本方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等.（1）求轨迹方程时,先看轨迹的形状能否预知,若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线,则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解;否则利用直接法或代入法.（2）讨论轨迹方程的解与轨迹上的点是否对应,要注意字母的取值范围.例1【2017课标II，理】设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P 满足。
(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线上，且。
证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。
【答案】(1) 。
(2)证明略。
【解析】（2）由题意知。
设,则，。
由得，又由（1）知，故。
所以，即。
又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F.例2【2018届湖北省荆州中学、宜昌一中等“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟”高三2月联考】如图，一张坐标纸上一已作出圆及点，折叠此纸片，使与圆周上某点重合，每次折叠都会留下折痕，设折痕与直线的交点为，令点的轨迹为.（1）求轨迹的方程；（2）若直线与轨迹交于两个不同的点，且直线与以为直径的圆相切，若，求的面积的取值范围.【答案】 (1) ；(2) .试题解析：（1）折痕为的垂直平分线，则，由题意知圆的半径为，∴，∴的轨迹是以为焦点的椭圆，且，，∴，∴的轨迹的方程为.（2）与以为直径的圆相切，则到即直线的距离：，即，由，消去，得，∵直线与椭圆交于两个不同点，∴，，设，，则，，，又，∴，∴，设，则，∴，，∵关于在单调递增，∴，∴的面积的取值范围是.2. 圆锥曲线与圆相结合的问题处理有关圆锥曲线与圆相结合的问题,要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用,如直径对的圆心角为直角,构成了垂直关系;弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形.利用圆的一些特殊几何性质解题,往往使问题简化.例3【2017课标3，理20】已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C与A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程.【答案】(1)证明略；(2)直线的方程为，圆的方程为 .或直线的方程为，圆的方程为 .【解析】所以，解得或 .当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为.当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为 .3.定值定点问题（1）求解定点和定值问题的基本思想是一致的,定值是证明求解的一个量与参数无关,定点问题是求解的一个点(或几个点)的坐标,使得方程的成立与参数值无关.解这类试题时要会合理选择参数(参数可能是直线的斜率、截距,也可能是动点的坐标等),使用参数表达其中变化的量,再使用这些变化的量表达需要求解的解题目标.当使用直线的斜率和截距表达直线方程时,在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系,把双参数问题化为单参数问题解决.（2）证明直线过定点的基本思想是使用一个参数表示直线方程,根据方程的成立与参数值无关得出x,y的方程组,以方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点.例4【2018届河北省唐山市高三上学期期末】已知抛物线：的焦点，过点作两条互相垂直的直线，直线交于不同的两点，直线交于不同的两点，记直线的斜率为.(1)求的取值范围；(2)设线段的中点分别为点，证明：直线过定点.【答案】(1) {k|k＜－2或0＜k＜} (2)见解析【解析】试题分析：（1）写出直线的方程，与抛物线方程联立方程组，利用判别式求出的一个范围，另外直线的方程为与抛物线方程联立同样又得出的一个范围，两者求交集即得；（2）设，利用韦达定理可得即点坐标，用代替可得点坐标，计算出，得证结论．试题解析：（1）由题设可知k≠0，所以直线m的方程为y＝kx＋2，与y2＝4x联立，整理得ky2－4y＋8＝0，①由Δ1＝16－32k＞0，解得k＜．直线n的方程为y＝－x＋2，与y2＝4x联立，整理得y2＋4ky－8k＝0，由Δ2＝16k2＋32k＞0，解得k＞0或k＜－2．所以故k的取值范围为{k|k＜－2或0＜k＜}．（2）设A(x 1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)．由①得，y1＋y2＝，则y0＝，x0＝－，则M(－，)．同理可得N(2k2＋2k，－2k)．直线MQ的斜率k MQ＝＝，直线NQ的斜率k NQ＝＝＝k MQ，所以直线MN过定点Q(2，0)．例5【2018届河南省商丘市高三上学期期末】在平面直角坐标系中，已知两点，，动点满足，线段的中垂线交线段于点.（1）求点的轨迹的方程；（2）过点的直线与轨迹相交于两点，设点，直线的斜率分别为，问是否为定值？并证明你的结论.【答案】(1) ；(2)答案见解析.【解析】试题分析：（1）利用椭圆定义求出点的轨迹的方程；（2）讨论直线的斜率，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立方程得，利用根与系数关系表示，即可得到定值.试题解析：（Ⅰ）以题意可得：,，所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，且所以，所以轨迹的方程为.（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，由，解得，设，.②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，将代入整理化简，得，依题意，直线与轨迹必相交于两点，设，则，，又，，所以综上得：为定值2.（说明：若假设直线为，按相应步骤给分）4.最值、范围问题求解范围、最值问题的基本解题思想是建立求解目标与其他变量的关系(不等关系、函数关系等),通过其他变量表达求解目标,然后通过解不等式、求函数值域(最值)等方法确定求解目标的取值范围和最值.在解题时要注意其他约束条件对求解目标的影响,如直线与曲线交于不同两点时对直线方程中参数的约束、圆锥曲线上点的坐标范围等.例6【2018届吉林省长春市第十一高中、东北师范大学附属中学、吉林一中，重庆一中等五校高三1月联考】已知椭圆的短轴长为，离心率为，点，是上的动点，为的左焦点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若点在轴的右侧，以为底边的等腰的顶点在轴上，求四边形面积的最小值. 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) .试题解析：（Ⅰ）依题意得解得∴椭圆的方程是（Ⅱ）设设线段中点为∵∴中点，直线斜率为由是以为底边的等腰三角形∴∴直线的垂直平分线方程为令得∵∴由∴四边形面积当且仅当即时等号成立，四边形面积的最小值为.5.探索性问题解决直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题,往往是先假设所求的元素存在,然后再推理论证,检验说明假设是否正确. 其解题步骤为:(1)先假设存在,引入参变量,根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组).(2)解此方程(组)或不等式(组),若有解则存在;若无解则不存在.(3)得出结论.例7【2018届河北省石家庄市高三上学期期末】已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，过的直线交椭圆于两点.（1）若以为直径的动圆内切于圆，求椭圆的长轴长；（2）当时，问在轴上是否存在定点，使得为定值？并说明理由.【答案】（Ⅰ）6（Ⅱ）见解析【解析】试题分析：（1）设的中点为，可得 ,当两个圆相内切时，两个圆的圆心距等于两个圆的半径差，即，所以，椭圆长轴长为；（2）先求得椭圆方程为，设直线AB方程为：，联立可得，设根据韦达定理及平面向量数量积公式可得，当即时为定值.试题解析：（Ⅰ）设的中点为M，在三角形中，由中位线得：当两个圆相内切时，两个圆的圆心距等于两个圆的半径差，即所以，椭圆长轴长为6.（Ⅱ）由已知，，所以椭圆方程为当直线AB斜率存在时，设直线AB方程为：设由得恒成立设当即时为定值当直线AB斜率不存在时，不妨设当时，为定值综上：在X轴上存在定点，使得为定值【反思提升】1.高考涉及考查轨迹问题通常是以下两类：一类是容易题，以定义法、相关点法、待定系数法等为主，另一类是高难度的纯轨迹问题，综合考查各种方法.“轨迹”、“方程”要区分求轨迹方程，求得方程就可以了；若是求轨迹，求得方程还不够，还应指出方程所表示的曲线类型（定形、定位、定量）.处理轨迹问题成败在于：对各种方法的领悟与解题经验的积累.所以在处理轨迹问题时一定要善于根据题目的特点选择恰当的方法（什么情况下用什么方法上面已有介绍，这里不在重复）确定轨迹的范围是处理轨迹问题的难点，也是学生容易出现错误的地方，在确定轨迹范围时，应注意以下几个方面：①准确理解题意，挖掘隐含条件；②列式不改变题意，并且要全面考虑各种情形；③推理要严密，方程化简要等价；④消参时要保持范围的等价性；⑤数形结合，查“漏”补“缺”.在处理轨迹问题时，要特别注意运用平面几何知识，其作用主要有：①题中没有给出明显的条件式时，可帮助列式；②简化条件式；③转化化归.2.涉及求取值范围的问题时,首先要找到产生范围的几个因素:(1)直线与曲线相交(判别式);(2)曲线上点的坐标的范围;(3)题目中给出的限制条件.其次要建立结论中的量与这些范围中的因素的关系;最后利用函数或不等式求变量的取值范围.3.解析几何中最值问题的基本解法有几何法和代数法.几何法是根据已知的几何量之间的相互关系,通过平面几何和解析几何的知识加以解决(如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等);代数法是建立求解目标关于某个或某两个变量的函数,通过求解函数的最值(普通方法、基本不等式方法、导数方法等)解决.4.存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在.注意以下几点:(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论.(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件.(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要思维开放,采取另外的途径.。
2018年高考数学试题分类汇编之圆锥曲线（解析版）一、选择题1.（浙江卷）（2）双曲线221 3=x y -的焦点坐标是A ．(0)，0)B ．(−2，0)，(2，0)C ．(0，，(0D ．(0，−2)，(0，2)解：∵双曲线方程可得双曲线的焦点在x 轴上，且a 2=3，b 2=1， 由此可得222=+=b a c ∴该双曲线的焦点坐标为（±2，0）故选：B2.（天津文）（7）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d += 则双曲线的方程为（A ）22139x y -= （B ）22193x y -= （C ）221412x y -=（D ）221124x y -= 解：由题意可得，CD 是双曲线的一条渐近线x aby =，即0=-ay bx ，)0,(c F故选：A3.（天津理）(7)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点. 设A ，B 到双曲线同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126d d +=，则双曲线的方程为A221412x y -= B221124x y -= C 22139x y -= D 22193x y -=解：由题意可得，CD 是双曲线的一条渐近线x aby =，即0=-ay bx ，)0,(c F故选：C4.（全国卷一文）（4）已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为A ．13B ．12C D 解：椭圆的一个焦点为（2，0），可得a 2-4=4，解得22=a ，故选：C5.（全国卷一理）（8）设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅= A ．5B ．6C ．7D ．8解：抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F （1，0），过点（-2，0联立直线与抛物线C ：y 2=4x ，消去x 可得：y 2-6y+8=0， 解得y 1=2，y 2=4，不妨M （1，2），N （4，4），FM ＝(0，2)， FN ＝(3，4)．则 FM ∙FN =（0，2）•（3，4）=8． 故选：D6.（全国卷一理）（11）已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |= A ．32B ．3 C． D ．4故选：B7.（全国卷二文）（6）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A．y =B．y =C．y = D ．y = 解：∵双曲线的离心率为==ace则2222±=-=aa c ab 故选：A.8.（全国卷二文）（11）已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PFF ∠=︒，则C 的离心率为 A．1 B．2C D 1-解：F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1=60°， 可得椭圆的焦点坐标F 2（c ，0），所以P（c 23,21故选：D9.（全国卷二理）（5）双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>A ．y =B ．y =C ．y x =D ．y =解：∵双曲线的离心率为==ace则2222±=-=aa c ab 故选：A ．10.（全国卷二理）（12）已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b+=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P在过A 12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为 A ．23B ．12C ．13D ．14解：由题意可知：A （-a ，0），F 1（-c ，0），F 2（c ，0），直线AP 的方程为：）（a x y +=63，故选：D11.（全国卷三文）（10）已知双曲线22221(00)x y C a b a b-=>>：，(4,0)到C 的渐近线的距离为AB ．2CD ．故选：D12.（全国卷三理）（11）设12F F ，是双曲线22221x y C a b-=：（00a b >>，）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若1PF ，则C 的离心率为A B ．2 C D在三角形F 1PF 2中，由余弦定理可得|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2-2|PF 2|•|F 1F 2|COS ∠PF 2O ，故选：C二、填空题1.（北京文）（10）已知直线l 过点（1,0）且垂直于 轴，若l 被抛物线24y ax =截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________.解：∵直线l 过点（1，0）且垂直于x 轴，∴x=1，代入到y 2=4ax ，可得y 2=4a ，显然a ＞0，∴y=±∴抛物线的焦点坐标为（1，0）， 故答案为：（1，0）2.（北京文）（12）若双曲线2221(0)4x y a a -=>的离心率为2，则a =_________.解：双曲线的离心率为245422=+a a ，解得a=4． 故答案为：43.（北京理）（14）已知椭圆22221(0)x y M a b a b +=>>：，双曲线22221x y N m n -=：．若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为__________；双曲线N 的离心率为__________．解：若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，4.（江苏卷）（8）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的右焦点(,0)F c到一条渐近，则其离心率的值是．，故答案为：25.（浙江卷）（17）已知点P(0，1)，椭圆24x+y2=m(m>1)上两点A，B满足AP=2PB，则当m=_______时，点B横坐标的绝对值最大．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由P（0，1），AP=2PB，可得-x 1=2x2，1-y1=2（y2-1），即有x1=-2x2，y1+2y2=3，又x12+4y12=4m，即为x22+y12=m，①x22+4y22=4m，②①-②得（y1-2y2）（y1+2y2）=-3m，可得y1-2y2=-m，即有m=5时，x22有最大值4，即点B横坐标的绝对值最大．故答案为：5．6．（全国卷三理）（16）已知点()11M -，和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB =︒∠，则k =________．解：∵抛物线C ：y 2=4x 的焦点F （1，0），∴过A ，B 两点的直线方程为y=k （x-1），联立⎩⎨⎧-==)1(42x k y xy 可得，k 2x 2-2（2+k 2）x+k 2=0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），y 1y 2=k 2（x 1-1）（x 2-1）=k 2[x 1x 2-（x 1+x 2）+1]=-4，∵M （-1，1），∴ MA =（x 1+1，y 1-1）， MB =（x 2+1，y 2-1）， ∵∠AMB=90°=0，∴MA *MB =0∴（x 1+1）（x 2+1）+（y 1-1）（y 2-1）=0，整理可得，x 1x 2+（x 1+x 2）+y 1y 2-（y 1+y 2）+2=0，∴即k 2-4k+4=0， ∴k=2． 故答案为：2三、解答题1.（北京文）（20）（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>焦距为斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B .（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若1k =，求||AB 的最大值；（Ⅲ）设(2,0)P -，直线P A 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C ,D和点71(,)42Q -共线，求k .解析（Ⅰ）由题意得2c =，所以c =3c e a ==，所以a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（Ⅱ）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则2223644(33)48120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12|||AB x x =-=，易得当20m =时，max ||AB =||AB（Ⅲ）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ， 则221133x y += ①，222233x y += ②， 又(2,0)P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为1(2)y k x =+， 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2222111(13)121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+， 又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+， 所以1111712(,)4747x y C x x --++，同理可得2222712(,)4747x y D x x --++．故3371(,)44QC x y =+-，4471(,)44QD x y =+-， 因为,,Q C D 三点共线，所以34437171()()()()04444x y x y +--+-=，将点,C D 的坐标代入化简可得12121y y x x -=-，即1k =．2.（北京理）（19）（本小题14分）已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N ． （Ⅰ）求直线l 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O 为原点，μλ==,，求证：μλ11+为定值．解析：（Ⅰ）因为抛物线y 2=2px 经过点P （1，2）， 所以4=2p ，解得p =2，所以抛物线的方程为y 2=4x ． 由题意可知直线l 的斜率存在且不为0， 设直线l 的方程为y =kx +1（k ≠0）． 由241y x y kx ⎧=⎨=+⎩得22(24)10k x k x +-+=． 依题意22(24)410k k ∆=--⨯⨯>，解得k<0或0<k<1． 又P A ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点（1，-2）．从而k ≠-3． 所以直线l 斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）． （Ⅱ）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． 由（I ）知12224k x x k -+=-，1221x x k =． 直线P A 的方程为y –2=1122(1)1y y x x --=--． 令x =0，得点M 的纵坐标为1111212211M y kx y x x -+-+=+=+--． 同理得点N 的纵坐标为22121N kx y x -+=+-． 由μλ==,得=1M y λ-，1N y μ=-．所以2212121212122224112()111111=211(1)(1)11M N k x x x x x x k k y y k x k x k x x k k λμ-+---++=+=+=⋅=⋅------． 所以11λμ+为定值．3.（江苏卷）（18）（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C过点1)2，焦点12(F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △，求直线l 的方程．解析：（1）因为椭圆C的焦点为12(),F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以001x y =． 因此，点P的坐标为． ②因为三角形OAB，所以1 2AB OP ⋅=，从而AB =．设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得001,2x =，所以2222121()()x B y y x A =-+-222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+． 因为22003x y +=， 所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=， 解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P的坐标为． 综上，直线l的方程为y =+4.（天津文）（19）（本小题满分14分） 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>> 的右顶点为A ，上顶点为B .||AB =（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于,P Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限.若BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，求k 的值.解析：（I ）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23.a b =由||AB ==从而3,2a b ==. 所以，椭圆的方程为22194x y +=. （II ）解：设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>，点Q 的坐标为11(,).x y -- 由BPM △的面积是BPQ △面积的2倍，可得||=2||PM PQ ，从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =.易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩ 消去y ，可得2632x k =+.由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y，可得1x =由215x x =5(32)k =+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-. 当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意. 所以，k 的值为12-. 5.（天津理）(19)(本小题满分14分) 设椭圆22221x x a b +=(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B .，点A 的坐标为(,0)b ，且FB AB ⋅=.（I ）求椭圆的方程；（II ）设直线l ：(0)y kx k =>与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若AQAOQ PQ =∠(O 为原点) ，求k 的值. 解析（Ⅰ）：设椭圆的焦距为2c ，由已知知2259c a =，又由a 2=b 2+c 2，可得2a =3b ．由已知可得，FB a =，AB，由FB AB ⋅=ab =6，从而a =3，b =2． 所以，椭圆的方程为22194x y +=． （Ⅱ）解：设点P 的坐标为（x 1，y 1），点Q 的坐标为（x 2，y 2）．由已知有y 1>y 2>0，故12sin PQ AOQ y y ∠=-．又因为2sin y AQ OAB =∠，而∠OAB =π4，故2AQ．由AQ AOQ PQ =∠，可得5y 1=9y 2． 由方程组22194y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消去x，可得1y =．易知直线AB 的方程为x +y –2=0，由方程组20y kx x y =⎧⎨+-=⎩，，消去x ，可得221k y k =+．由5y 1=9y 2，可得5（k +1）=，两边平方，整理得25650110k k -+=，解得12k =，或1128k =．所以，k 的值为111228或． 6.（浙江卷）（21）（本题满分15分）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：y 2=4x 上存在不同的两点A ，B 满足P A ，PB 的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆x 2+24y =1(x <0)上的动点，求△P AB 面积的取值范围．解析（Ⅰ）设00(,)P x y ，2111(,)4A y y ，2221(,)4B y y ． 因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程202014()422y x y y ++=⋅即22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根． 所以1202y y y +=．因此，PM 垂直于y 轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎪⎨=-⎪⎩ 所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-，12||y y -= 因此，PAB △的面积32212001||||4)24PABS PM y y y x =⋅-=-△． 因为220001(0)4y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈． 因此，PAB △面积的取值范围是7.（全国一卷文）（20）（12分）设抛物线22C y x =：，点()20A ，，()20B -，，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点． （1）当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；（2）证明：ABM ABN =∠∠．解：（1）当l 与x 轴垂直时，l 的方程为x =2，可得M 的坐标为（2，2）或（2，–2）．所以直线BM 的方程为y =112x +或112y x =--． （2）当l 与x 轴垂直时，AB 为MN 的垂直平分线，所以∠ABM =∠ABN ．当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为(2)(0)y k x k =-≠，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则x 1>0，x 2>0． 由2(2)2y k x y x=-⎧⎨=⎩，得ky 2–2y –4k =0，可知y 1+y 2=2k ，y 1y 2=–4． 直线BM ，BN 的斜率之和为1221121212122()22(2)(2)BM BN y y x y x y y y k k x x x x ++++=+=++++．① 将112y x k =+，222y x k=+及y 1+y 2，y 1y 2的表达式代入①式分子，可得 121221121224()882()0y y k y y x y x y y y k k ++-++++===． 所以k BM +k BN =0，可知BM ，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM +∠ABN ．综上，∠ABM =∠ABN ．8.（全国一卷理）（19）（12分） 设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于,A B 两点，点M 的坐标为(2,0). （1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；（2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.解：（1）由已知得(1,0)F ，l 的方程为x =1.由已知可得，点A的坐标为或(1,. 所以AM的方程为y x =+y x =. （2）当l 与x 轴重合时，0OMA OMB ∠=∠=︒.当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线，所以OMA OMB ∠=∠.当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠，1221(,),(,)A y x y x B ，则12x x <<，直线MA ，MB 的斜率之和为212122MA MB x x y y k k +=+--. 由1122,y k k x y k x k =-=-得 121212(23()42)(2)MA MB x x x x k k x x k k k -+++=--. 将(1)y k x =-代入2212x y +=得 2222(21)4220k x k x k +-+-=. 所以，21221222422,2121x x x k k k x k -+==++. 则3131322244128423()4021k k k k k k k k k x x x x --++-++==+. 从而0MA MB k k +=，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以OMA OMB ∠=∠.综上，OMA OMB ∠=∠.9.（全国二卷文）（20）（12分）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =．（1）求l 的方程； （2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解：（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）．设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．由2(1)4y k x y x =-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=．216160k ∆=+=，故212224k x x k ++=． 所以212244(1)(1)k AB AF BF x x k +=+=+++=． 由题设知22448k k +=，解得k =–1（舍去），k =1．因此l 的方程为y =x –1． （2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+．设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则00220005(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=．10.（全国卷二理）（19）（12分）设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，||8AB =． （1）求l 的方程；（2）求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解：（1）由题意得(1,0)F ，l 的方程为(1)(0)y k x k =->.设1221(,),(,)A y x y x B ，由2(1),4y k x y x=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=. 216160k ∆=+>，故122224k x k x ++=. 所以122244||||||(1)(1)x k AB AF BF kx +=+=+++=. 由题设知22448k k +=，解得1k =-（舍去），1k =.因此l 的方程为1y x =-. （2）由（1）得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为2(3)y x -=--，即5y x =-+. 设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则00220005,(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩解得003,2x y =⎧⎨=⎩或0011,6.x y =⎧⎨=-⎩ 因此所求圆的方程为22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=.11.（全国卷三文）（20）（12分） 已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点．线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：2||||||FP FA FB =+．解：（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，则2211143x y +=，2222143x y +=． 两式相减，并由1212=y y k x x --得1212043x x y y k +++⋅=．由题设知1212x x +=，122y y m +=，于是34k m=-. 由题设得302m <<，故12k <-． （2）由题意得F （1，0）．设33()P x y ，，则331122(1)(1)(1)(00)x y x y x y -+-+-=，，，，． 由（1）及题设得3123()1x x x =-+=，312()20y y y m =-+=-<．又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1)2P -，，3||=2FP uu r ．于是1||22x FA =-uu r ．同理2||=22x FB -uu r ． 所以1214()32FA FB x x +=-+=u u r u u r ．故2||=||+||FP FA FB u u r u u r u u r ． 12.（全国卷三理）（20）（12分）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，． （1）证明：12k <-； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且FP FA FB ++=0．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．解：（1）设1221(,),(,)A y x y x B ，则222212121,14343y x y x +=+=. 两式相减，并由1221y x y k x -=-得 1122043y x y k x +++⋅=. 由题设知12121,22x y x y m ++==，于是 34k m=-.① 由题设得302m <<，故12k <-. （2）由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则 331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=. 由（1）及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<.又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3||2FP =.于是 1||(22x FA x ==-. 同理2||22x FB =-. 所以121||||4()32FA FB x x +=-+=. 故2||||||FP FA FB =+，即||,||,||FA FP FB 成等差数列.设该数列的公差为d ，则 1212||||||||||2FB FA x x d =-=-=②将34m =代入①得1k =-. 所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404x x -+=.故121212,28x x x x +==，代入②解得||d =.或。
高考专题突破五1．如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.【解析】 (1)由题设知c a ＝22，b ＝1， 结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)证明 由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1， 得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0，由已知Δ＞0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0，则x 1＋x 2＝4k （k －1）1＋2k 2，x 1x 2＝2k （k －2）1＋2k 2， 从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－k x 2＝2k ＋(2－k )⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k （k －1）2k （k －2）＝2k －2(k －1)＝2. 2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为32，其中一条渐近线的方程为x －2y ＝0.以双曲线C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E ，过原点O 的动直线与椭圆E 交于A ，B 两点．(1)求椭圆E 的方程；(2)若点P 为椭圆E 的左顶点，PG →＝2GO →，求|GA →|2＋|GB →|2的取值范围．【解析】 (1)由双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为32，得c ＝322，∴a 2＋b 2＝92.① 由题意知b a ＝22，② 由①②解得a 2＝3，b 2＝32， ∴椭圆E 的方程为x 23＋23y 2＝1. (2)由(1)知P (－3，0)．设G (x 0，y 0)，由PG →＝2GO →， 得(x 0＋3，y 0)＝2(－x 0，－y 0)．即⎩⎨⎧x 0＋3＝－2x 0，y 0＝－2y 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－33，y 0＝0，∴G ⎝⎛⎭⎫－33，0. 设A (x 1，y 1)，则B (－x 1，－y 1)，|GA →|2＋|GB →|2＝⎝⎛⎭⎫x 1＋332＋y 21＋⎝⎛⎭⎫x 1－332＋y 21 ＝2x 21＋2y 21＋23＝2x 21＋3－x 21＋23＝x 21＋113. 又∵x 1∈[－3，3]，∴x 21∈[0，3]，∴113≤x 21＋113≤203， ∴|GA →|2＋|GB →|2的取值范围是⎣⎡⎦⎤113，203. 3．(2018·顺义尖子生素质展示)已知椭圆x 24＋y 23＝1的左顶点为A ，右焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于B ，C 两点．(1)求该椭圆的离心率；(2)设直线AB 和AC 分别与直线x ＝4交于点M ，N ，问：x 轴上是否存在定点P 使得MP ⊥NP ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【解析】 (1)由椭圆方程可得a ＝2，b ＝3，从而椭圆的半焦距c ＝a 2－b 2＝1. 所以椭圆的离心率为e ＝c a ＝12. (2)依题意，直线BC 的斜率不为0，设其方程为x ＝ty ＋1.将其代入x 24＋y 23＝1，整理得(4＋3t 2)y 2＋6ty －9＝0. 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝－6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t 2. 易知直线AB 的方程是y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)， 从而可得M ⎝⎛⎭⎫4，6y 1x 1＋2，同理可得N ⎝⎛⎭⎫4，6y 2x 2＋2.假设x 轴上存在定点P (p ，0)使得MP ⊥NP ，则有PM →·PN →＝0.所以(p －4)2＋36y 1y 2（x 1＋2）（x 2＋2）＝0. 将x 1＝ty 1＋1，x 2＝ty 2＋1代入上式，整理得(p －4)2＋36y 1y 2t 2y 1y 2＋3t （y 1＋y 2）＋9＝0， 所以(p －4)2＋36×（－9）t 2（－9）＋3t （－6t ）＋9（4＋3t 2）＝0， 即(p －4)2－9＝0，解得p ＝1或p ＝7.所以x 轴上存在定点P (1，0)或P (7，0)，使得MP ⊥NP .4．如图，已知M (x 1，y 1)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任意一点，F 为椭圆的右焦点．(1)若椭圆的离心率为e ，试用e ，a ，x 1表示|MF |，并求|MF |的最值；(2)已知直线m 与圆x 2＋y 2＝b 2相切，并与椭圆交于A ，B 两点，且直线m 与圆的切点Q 在y 轴右侧，若a ＝2，求△ABF 的周长．【解析】 (1)设F (c ，0)，则|MF |＝（x 1－c ）2＋y 21，又x 21a 2＋y 21b 2＝1，则y 21＝⎝⎛⎭⎫1－x 21a 2b 2， 所以|MF |＝ ⎝⎛⎭⎫1－b 2a 2x 21－2cx 1＋a 2 ＝ c 2a2x 21－2cx 1＋a 2＝（ex 1－a ）2， 又－a ≤x 1≤a 且0<e <1，所以|MF |＝a －ex 1，且|MF |max ＝a ＋ae ，|MF |min ＝a －ae .(2)设A (x 0，y 0)，B (x 2，y 2)(x 0，x 2>0)，连接OQ ，OA ， 在Rt △OQA 中，|AQ |2＝x 20＋y 20－b 2，又y 20＝⎝⎛⎭⎫1－x 20a 2b 2， 所以|AQ |2＝c 2x 20a 2， 则|AQ |＝cx 0a ，同理|BQ |＝cx 2a ， 所以|AB |＋|AF |＋|BF |＝2a －⎝⎛⎭⎫c a x 0＋c a x 2＋c a x 0＋c ax 2＝2a ， 又a ＝2，所以所求周长为4.。
专题20 圆锥曲线的综合问题考纲解读明方向分析解读 1.了解解析几何的基本思想和研究几何问题的方法——坐标法.2.理解轨迹的概念.能够根据所给条件选择适当的直角坐标系,运用求轨迹方程的常用方法(如:直接法、代入法、定义法、待定系数法、参数法、交轨法等)求轨迹方程.3.本节在高考中以求曲线的方程和研究曲线的性质为主,分值约为12分,属中高档题.分析解读 1.会处理动曲线(含直线)过定点的问题.2.会证明与曲线上的动点有关的定值问题.3.会按条件建立目标函数,研究变量的最值问题及变量的取值范围问题,注意运用“数形结合”“几何法”求某些量的最值.4.能与其他知识交汇,从假设结论成立入手,通过推理论证解答存在性问题.5.本节在高考中围绕直线与圆锥曲线的位置关系,展开对定值、最值、参数取值范围等问题的考查,注重对数学思想方法的考查,分值约为12分,难度偏大.2018年高考全景展示1．【2018年江苏卷】如图，在平面直角坐标系中，椭圆C过点，焦点，圆O 的直径为．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于两点．若的面积为，求直线l的方程．【答案】（1）椭圆C的方程为；圆O的方程为（2）①点P的坐标为；②直线l的方程为【解析】分析：（1）根据条件易得圆的半径，即得圆的标准方程，再根据点在椭圆上，解方程组可得a,b，即得椭圆方程；（2）第一问先根据直线与圆相切得一方程，再根据直线与椭圆相切得另一方程，解方程组可得切点坐标.第二问先根据三角形面积得三角形底边边长，再结合①中方程组，利用求根公式以及两点间距离公式，列方程，解得切点坐标，即得直线方程.（2）①设直线l与圆O相切于，则，所以直线l的方程为，即．由，消去y，得．（*）因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以．因为，所以．因此，点P的坐标为．②因为三角形OAB的面积为，所以，从而．设，由（*）得，所以．因为，所以，即，解得舍去），则，因此P的坐标为．综上，直线l的方程为．点睛：直线与椭圆的交点问题的处理一般有两种处理方法：一是设出点的坐标，运用“设而不求”思想求解；二是设出直线方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理求出交点坐标，适用于已知直线与椭圆的一个交点的情况.2．【2018年理新课标I卷】设椭圆的右焦点为，过的直线与交于两点，点的坐标为. （1）当与轴垂直时，求直线的方程；（2）设为坐标原点，证明：.【答案】(1) AM的方程为或.(2)证明见解析.【解析】分析：(1)首先根据与轴垂直，且过点，求得直线l的方程为x=1，代入椭圆方程求得点A 的坐标为或，利用两点式求得直线的方程；（2）当l与x轴重合时，.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为，，则，直线MA，MB的斜率之和为.由得.将代入得.所以，.则.从而，故MA ，MB 的倾斜角互补，所以.综上，.点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与椭圆相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.2017年高考全景展示1.【2017课标1，理20】已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，P 4（1C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点. 【解析】试题分析：（1）根据3P ，4P 两点关于y 轴对称，由椭圆的对称性可知C 经过3P ，4P 两点.另外222211134a b a b +>+知，C 不经过点P 1，所以点P 2在C 上.因此134,,P P P 在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C 的方程；（2）先设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，在设直线l 的方程，当l 与x 轴垂直，通过计算，不满足题意，再设设l ：y kx m =+（1m ≠），将y kx m =+代入2214x y +=，写出判别式，韦达定理，表示出12k k +，根据121k k +=-列出等式表示出k 和m 的关系，判断出直线恒过定点.（2）设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率分别为k 1，k 2，如果l 与x 轴垂直，设l ：x =t ，由题设知0t ≠，且||2t <，可得A ，B 的坐标分别为（t，（t，）.则121k k +==-，得2t =，不符合题设. 从而可设l ：y kx m =+（1m ≠）.将y kx m =+代入2214x y +=得222(41)8440k x kmx m +++-= 由题设可知22=16(41)0k m ∆-+>.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1+x 2=2841kmk -+，x 1x 2=224441m k -+. 而12121211y y k k x x --+=+121211kx m kx m x x +-+-=+1212122(1)()kx x m x x x x +-+=.由题设121k k +=-，故1212(21)(1)()0k x x m x x ++-+=.即222448(21)(1)04141m kmk m k k --+⋅+-⋅=++.解得12m k +=-.当且仅当1m >-时，0∆>，欲使l ：12m y x m +=-+，即11(2)2m y x ++=--， 所以l 过定点（2，1-）【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系.【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中为告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在情况，接着通法是联立方程组，求判别式、韦达定理，根据题设关系进行化简.2.【2017课标II ，理】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =。
专题12：圆锥曲线问题归类篇类型一：方程的标准形式一、前测回顾1．椭圆x 2m ＋y 24＝1的焦距是2，则m 的值是 ．2.双曲线x 24＋y 2k ＝1的离心率e ∈(1，2)，则k 的取值范围是 ．3.若a ≠0，则抛物线y ＝4ax 2 的焦点坐标为 ． 答案：1.3或5；2.(－12,0)；3.(0,116a)．二、方法联想方程的标准形式涉及方程标准形式时，必须先设(或化)为方程的标准形式，注意椭圆和双曲线区分(或讨论)焦点在哪轴上，抛物线要注意开口方向． 三、归类巩固*1.以y ＝±2x 为渐近线的双曲线的离心率是 ．答案：3或62(已知双曲线的渐近线，讨论焦点的位置，确定基本量的关系) *2.以抛物线y 2＝4x 的焦点为焦点，以y ＝±x 为渐近线的双曲线的标准方程为 ． 答案：x 212－y 212＝1 (已知两个圆锥曲线，判断焦点的位置，确定基本量的的关系)类型二：圆锥曲线定义及几何性质的应用一、前测回顾1. 已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1⊥PF 2．若△PF 1F 2的面积为9，则b 的值为__________．2.已知定点A (3，2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点P 是抛物线上的动点，当P A ＋PF 最小时，点P 的坐标为 ．3. 点F 为椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点，过点F 且倾斜角为π3的直线交椭圆于A ,B 两点(AF <BF )，则AFBF ＝ ．答案： 1.3；2.(2，2); 3.35．二、方法联想1.涉及焦半径问题时，优先用定义(第一、二定义)，注意焦半径范围．2.焦点三角形问题从椭圆的性质和三角形的性质两个方面考虑， 常用结论（以焦点在x 轴的方程为例）：3.若点P 为椭圆或双曲线上任意一点，A,B 两点关于原点对称，且直线PA,直线PB 斜率存在，则k PA ·k PB＝e 2－1 .三、归类巩固*1.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ,OC 所在直线，点B 为该双曲线的焦点，若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________．答案：2(几何图形与圆锥曲线联系，利用几何性质求解)**2.已知椭圆C ：x 225＋y 29＝1，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别是A ，B ，线段MN 的中点在C 上，则AN ＋BN ＝________．答案：16(利用中位线性质，转化成椭圆的定义)*3．已知动圆圆心在抛物线y 2＝4x 上，且动圆恒与直线x ＝－1相切，则此动圆必过定点 ．答案：(1，0) (考查抛物线的定义，直线与圆相切，定点问题)**4．已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为 ． 答案：x ±2y ＝0 (考查椭圆、双曲线的离心率及双曲线的渐近线方程)**5.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支与焦点为F 的抛物线22(p 0)x py =>交于,A B 两点，若4AF BF OF +=，则该双曲线的渐近线方程为 .答案:y x =（考查抛物线的定义及抛物线与双曲线的几何性质.） **6．如图，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2．若以A 1A 2为直径 的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D ．则菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值S 1S 2＝ ．答案：2＋52(何图形的面积计算)**7．已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为 ．答案：43(考查抛物线的方程及其几何性质，直线与抛物线相切问题)**8．过点M (1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB的中点，则椭圆C 的离心率等于________． 答案：22(考查离心率的计算，点差法，中点坐标公式,或常用结论)类型三：离心率或范围的计算一、前测回顾1.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 到过顶点A (－a ， 0)， B (0， b )的直线的距离等于b 7，则椭圆的离心率为 ．2. 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两焦点为F 1、F 2，连接点F 1，F 2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为 ．3. 已知椭圆E :x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ,B两点．若AF ＋BF ＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是 ．4.已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，在椭圆上存在一点M 满足MF 1→·MF 2→＝0，则椭圆离心率的取值范围是 ．5.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a ＞0，b ＞0)的两个焦点为F 1、F 2，若P 为其上一点，且PF 1＝2PF 2，则双曲线离心率的取值范围为 ．答案：1.12； 2.3－1；3. (0，32]；4.[22，1)；5.(1，3]．二、方法联想椭圆离心率范围为(0，1)．双曲线离心率范围为(1，＋∞)．求椭圆、双曲线的离心率，本质上是要找出关于基本量a ，b ，c 的一个齐次关系，从而求出离心率； 求椭圆、双曲线的离心率的范围，有两种情形，①题中给出的是关于基本量a ，b ，c 的齐次不等关系；②题中给出的是关于基本量a ，b ，c 与某一变化的量之间的一个等量关系，即f (P )＝g (a ，b ，c )，根据g (a ，b ，c )在f (P )的值域内，可得关于基本量a ，b ，c 的齐次不等关系． 三、归类巩固*1.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率e ＝2，则一条渐近线与实轴所成锐角的值是________．答案：π4（已知离心率，求渐近线的倾斜角）*2.已知双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C的一条渐近线交于M 、N 两点.若∠MAN =60°，则C 的离心率为 .答案:3（已知双曲线渐近线与圆的位置关系，求离心率） *3.双曲线x 24－y 2k＝1的离心率e ∈(1，2)，则k 的取值范围是 ．答案： (0，12)；(已知离心率的范围，求参数取值范围)*4．设双曲线的左准线与两条渐近线交于A ，B 两点，左焦点在以AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为 ．答案：(1，2) (考查圆、双曲线的几何性质，双曲线的准线与渐近线，离心率问题)*5．设双曲线的左准线与两条渐近线交于A ，B 两点，左焦点在以AB 为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为 ．答案：(1，2) (考查圆、双曲线的几何性质，双曲线的准线与渐近线，离心率问题)**6．已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点．P为C 上一点，且PF ⊥x 轴，过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E ．若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 ．答案：13 (考查椭圆的定义，离心率及椭圆的方程)**7.已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点，且左右焦点分别是F 1，F 2，这两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形．若PF 1＝10，椭圆和双曲线的离心率分别是e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是 ．答案：(13,＋∞)(已知有联系的两个圆锥曲线，求离心率的取值范围)**8.设△ABC 是等腰三角形，∠ABC ＝120°，则以A ，B 为焦点且过点C 的双曲线的离心率为________．答案：3＋12(三角形与圆锥曲线相结合，求离心率的取值范围)类型四：直线与圆锥曲线的综合问题一、前测回顾1．(1)点A 是椭圆x 236＋y 220＝1的左顶点，点F 是右焦点，若点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，满足P A ⊥PF ，则点P 的坐标为 ．(2)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为 ．答案：(1)(32，523)．(2)6．2．(1)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的上、下顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P在椭圆C 上，且OP ⊥AF ， 延长AF 交椭圆C 于点Q ，若直线OP 的斜率是直线BQ 的斜率的2倍，则椭圆C 的离心率为 ．(2)已知椭圆的方程为x 26＋y 22＝1，与右焦点F 相应的准线l 与x 轴相交于点A ，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点．设→AP ＝λ→AQ (λ＞1)，过点P 且平行于准线l 的直线与椭圆相交于另一点M ， 证明：→FM ＝λ→QF ．(3) 过点M (1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M 是线段AB的中点，则椭圆C 的离心率等于________． 答案：(1)22 ；(2)略；(3) 22． 3． (1)设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是 ．(2)已知椭圆C ：x 2＋2y 2＝4，O 为原点．若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，则线段AB 长度的最小值为 ． 答案：（1）62；（2）22．二、方法联想1．椭圆上一个点问题方法1：设点. ①设点(x 0,y 0)代入方程、列式、消元；②设点(a cos θ,b sin θ)方法2：求点. 代入方程、列式、求解． 注意 考虑x 0(或y 0)的取值范围．变式：如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的上、下顶点分别为A ，B ，右焦点为F ，点P 在椭圆C 上，且OP ⊥AF .求证：存在椭圆C ，使直线AF 平分线段OP .答案：略(已知椭圆上一点，利用该点坐标满足椭圆方程，方程有解进行证明) 2．直线与椭圆相交于两点问题①已知其中一点坐标(x 0,y 0)，设出直线的方程，与椭圆方程联立，可用韦达定理求出另一根；②两点均未知方法1 设两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，直线方程与椭圆方程联立，消去y 得关于x 的方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝－B A ，x 1x 2＝CA ，代入已知条件所得式子消去x 1，x 2(其中y 1，y 2通过直线方程化为x 1，x 2)． 有时也可以直接求出两交点.注意：(1)设直线方程时讨论垂直于x 轴情况；(2)通过△判断交点个数；(3)根据需要也可消去x 得关于y 的方程． 结论：弦长公式 ｜AB ｜＝1＋k 2｜x 1－x 2｜＝1＋1k2｜y 1－y 2｜．方法2 设两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，代入椭圆方程得⎩⎨⎧x 12a 2＋y 12b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，通过已知条件建立x 1、y 1与x 2、y 2的关系，消去x 2、y 2解关于x 1、y 1的方程组（或方程）．方法3 点差法设两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，代入椭圆方程得⎩⎨⎧x 12a 2＋y 12b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2×x 1＋x 2y 1＋y 2，即k AB ＝－b 2a 2×x 0y 0，其中AB 中点M 为(x 0，y 0)．注意：点差法一般仅适用于与弦中点与弦的斜率相关的问题． 3. 圆锥曲线的最值与范围问题(1)点在圆锥曲线上(非线性约束条件)的条件下，求相关式子(目标函数)的取值范围问题，常用参数方程代入转化为三角函数的最值问题，或根据平面几何知识或引入一个参数(有几何意义)化为函数进行处理．(2)由直线(系)和圆锥曲线(系)的位置关系，求直线或圆锥曲线中某个参数(系数)的范围问题，常把所求参数作为函数，另一个元作为自变量求解．三、归类巩固*1.由椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点作倾斜角为45°的直线l 交椭圆于A 、B 两点．则OA →·OB →．答案：－13 (考查直线与椭圆的交点问题，向量的数量积)2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，长轴长为4.过椭圆的左顶点A 作直线l ，分别交椭圆和圆x 2＋y 2＝a 2于相异两点P ，Q .*①若直线l 的斜率为12，求APAQ的值；**②若PQ →＝λAP →，求实数λ的取值范围．答案：①56；②（0,1）(已知直线与椭圆、圆分别交于两点，并且其中一点已知，求另一点)**3.设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，离心率为33，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.设A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点．若AC →·DB→＋AD →·CB →＝8，求k 的值．答案： 863. (已知直线与椭圆交于两点及这两点的坐标的关系，求直线斜率)**4.已知椭圆C ：x 26＋y 22＝1设F 为椭圆C 的左焦点，T 为直线x ＝－3上任意一点，过F 作TF 的垂线交椭圆C 于点P ，Q .①证明：OT 平分线段PQ (其中O 为坐标原点)； ②当|TF ||PQ |最小时，求点T 的坐标．答案： T 点的坐标是(－3，1)或(－3，－1)． (求取最值时的条件)综合应用篇一、例题分析例1. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点（在x 轴上方），连结PF 1并延长交椭圆于另一点Q ，设PF 1→＝λF 1Q →．*（1）若点P 的坐标为 (1，32)，且△PQF 2的周长为8，求椭圆C 的方程；**（2）若PF 2垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率e ∈[12，22]，求实数λ的取值范围．解：（1）因为F 1，F 2为椭圆C 的两焦点，且P ，Q 为椭圆上的点，所以PF 1＋PF 2＝QF 1＋QF 2＝2a ，从而△PQF 2的周长为4a ． 由题意，得4a ＝8，解得a ＝2．因为点P 的坐标为 (1，32)，所以1a 2＋94b 2＝1，解得b 2＝3．所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1．（2）方法一：因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设P (c ，y 0)，y 0＞0．设Q (x 1，y 1)．因为P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20b 2＝1，解得y 0＝b 2a ，即P (c ，b 2a).因为F 1(－c ，0)，所以PF 1→＝(－2c ，－b 2a )，F 1Q →＝(x 1＋c ，y 1)．由PF 1→＝λF 1Q →，得－2c ＝λ(x 1＋c )，－b 2a＝λy 1，（第18题）解得x 1＝－λ＋2λc ，y 1＝－b 2λa ，所以Q (－λ＋2λc ，－b 2λa ).因为点Q 在椭圆上，所以(λ＋2λ)2e 2＋b 2λ2a 2＝1，即(λ＋2)2e 2＋(1－e 2)＝λ2，(λ2＋4λ＋3)e 2＝λ2－1， 因为λ＋1≠0，所以(λ＋3)e 2＝λ－1，从而λ＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3．因为e ∈[12，22]，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5．所以λ的取值范围为[73，5]．方法二：因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设P (c ，y 0)，y 0＞0．因为P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20b 2＝1，解得y 0＝b 2a ，即P (c ，b 2a)．因为F 1(－c ，0)，故直线PF 1的方程为y ＝b 22ac (x ＋c )．由⎩⎨⎧y ＝b 22ac(x ＋c )，x 2a 2＋y2b 2＝1，得(4c 2＋b 2)x 2＋2b 2cx ＋c 2(b 2－4a 2)＝0．因为直线PF 1与椭圆有一个交点为P (c ，b 2a )．设Q (x 1，y 1)，则x 1＋c ＝－2b 2c 4c 2＋b 2，即－c －x 1＝2b 2c4c 2＋b 2．因为PF 1→＝λF 1Q →，所以λ＝2c －c －x 1＝4c 2＋b 2b 2＝3c 2＋a 2a 2－c 2＝＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3．因为e ∈[12，22]，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5．所以λ的取值范围为[73，5]．〖教学建议〗（1）问题归类与方法：本题离心率与参数值有等量关系，求参数范围本质上等价于求离心率范围.求椭圆、双曲线的离心率的范围，有两种情形，①题中给出的是关于基本量a ，b ，c 的齐次不等关系；②题中给出的是关于基本量a ，b ，c 与某一变化的量之间的一个等量关系，即f (P )＝g (a ，b ，c )，根据g (a ，b ，c )在f (P )的值域内，可得关于基本量a ，b ，c 的齐次不等关系．（2）方法选择与优化：本题既可以从向量式选择坐标形式代入椭圆方程求函数关系式，也可以从P 点坐标已知选择联立椭圆的方法求另一点，再求函数关系；最后也可以用λ表示离心率e ，解不等式求出λ的范围. 例2.已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－c ，0)，右顶点为A ，点E 的坐标为(0，c )，△EF A 的面积为b 22. *（1）求椭圆的离心率；（2）设点Q 在线段AE 上，|FQ |＝32c ，延长线段FQ 与椭圆交于点P ，点M ，N 在x 轴上，PM ∥QN ，且直线PM 与直线QN 间的距离为c ，四边形PQNM 的面积为3c . **（i ）求直线FP 的斜率； ***（ii ）求椭圆的方程.解：(1)设椭圆的离心率为e .由已知，可得12(c ＋a )c ＝b 22.又由b 2＝a 2－c 2，可得2c 2＋ac －a 2＝0，即2e 2＋e －1＝0.又因为0＜e ＜1，解得e ＝12.所以，椭圆的离心率为12.（2）（ⅰ）方法一：依题意，设直线FP 的方程为x ＝my －c (m ＞0)，则直线FP 的斜率为1m.由（Ⅰ）知a ＝2c ，可得直线AE 的方程为x 2c ＋yc ＝1，即x ＋2y －2c ＝0，与直线FP 的方程联立，可解得x＝(2m －2)c m ＋2，y ＝3c m ＋2，即点Q 的坐标为((2m －2)c m ＋2，3cm ＋2). 由已知|FQ |=3c 2，有[(2m －2)c m ＋2＋c ]2＋(3c m ＋2)2＝(3c 2)2，整理得3m 2－4m ＝0，所以m ＝43，即直线FP 的斜率为34.方法二：由（Ⅰ）知a ＝2c ，可得直线AE 的方程为x 2c ＋y c ＝1，即x ＋2y －2c ＝0，又|FQ |＝32c设Q (x 0，y 0) ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋2y 0－2c ＝0(x 0＋c )2＋y 02＝94c 2 消y 0 得5x 20＋4cx 0－c 2＝0， x 0＝－c （舍）或c 5 ，所以Q (c 5，910c ) ，直线FP 的斜率为34.（ii ）方法一：由（i ）得直线FP 的方程为3x －4y ＋3c ＝0 ，与椭圆x 24c 2＋y 23c 2＝1 联立得7x 2＋6cx －13c 2＝0，x ＝－137c （舍）或c ，所以P (c ，32c ) 由（i ）得Q (c 5，910c )，由题直线QN,直线PM 的斜率一定存在，设为k 0 , 设PM ：k 0x －y －k 0c ＋32c ＝0 ，QN ：k 0x －y －k 05c ＋910c ＝0，两平行线距离为|－k 0c ＋32c ＋k 0c 5－910c |k 02＋1＝c ，解得k 0＝－43 ，所以M (178c ，0)，N (78c ，0) ，四边形PQNM 的面积为S ΔPFM －S ΔFQN ＝12(178c ＋c )×32c－12(78c ＋c )×910c ＝3c ，解得c ＝2 ，所以椭圆的方程为 x 216＋y 212＝1 . 方法二：同方法一求出k 0＝－43，所以FP ⊥QN ，FP ⊥PM , 又P (c ，32c )，Q (c 5，910c )，直线FP 的斜率为34.即tan ∠PFM ＝34 ，|FQ |＝32c ，|FP |＝52c ，所以四边形PQNM 的面积为 12(QN ＋PM )·c ＝12(34×32c ＋34×52c )·c＝3c ，解得c ＝2 ，所以椭圆的方程为 x 216＋y 212＝1 .方法三：可利用|F Q |＝32c ，|FP |＝52c 得FP －FQ ＝c 即直线PM 与直线QN 间的距离，直接得FP ⊥QN ，FP ⊥PM ，避免求k 0的值简化运算过程.〖教学建议〗（1）问题归类与方法：1.求椭圆、双曲线的离心率，本质上是要找出关于基本量a ，b ，c 的一个齐次关系，从而求出离心率； 2．直线与椭圆相交于两点问题①已知其中一点坐标(x 0,y 0)，设出直线的方程，与椭圆方程联立，可用韦达定理求出另一根；②两点均未知方法1 设两点A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，直线方程与椭圆方程联立，消去y 得关于x 的方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝－B A ，x 1x 2＝CA ，代入已知条件所得式子消去x 1，x 2(其中y 1，y 2通过直线方程化为x 1，x 2)． 有时也可以直接求出两交点.（2）方法选择与优化：本题对考生计算能力要求较高，是一道难题重点考察了计算能力，以及转化与化归的能力，解答此类题目，利用a,b,c,e 的关系，确定椭圆离心率是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，一般都是根据根与系数的关系解题，但本题需求解交点坐标，再求解过程逐步发现四边形PQNM 的几何关系，从而求解面积，计算结果，本题计算量比较大.二、反馈巩固*1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为 ． 答案：x 23＋y 22＝1 (考查椭圆的定义，离心率及椭圆的方程)*2.在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．答案：22(利用双曲线与渐近线的几何性质求解)*3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ,C两点，且∠BFC ＝90°,则该椭圆的离心率是 .答案:63(考查椭圆的定义，离心率及椭圆的方程) *4．已知方程x 2m 2+n －y 23m 2–n =1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是 .答案：(–1,3) (考查双曲线的标准方程及几何性质)*5．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左右顶点分别为A 1，A 2，点P 在C 上且直线PA 2斜率的取值范围为[－2，－1]，那么直线PA 1的斜率的取值范围是 ．答案：[38，34] (考查椭圆的几何性质，定值问题，函数的值域)**6．设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0＜b ＜1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若AF 1＝3F 1B ，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________．答案：x 2＋32y 2＝1 (考查用待定系数法求椭圆方程，利用向量法研究点坐标之间的关系)***7．点M 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P ，Q ，若ΔPQM 是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是 ． 答案：(0，6－22) (考查直线与圆相切，圆的几何性质，椭圆的方程及离心率的计算) **8．如图，点A 是椭圆 x 2a 2 ＋ y 2b 2 ＝1(a ＞b ＞0)的下顶点．过A 作斜率为1的直线交椭圆于另一点P ，点B 在y 轴上， 且BP ∥x 轴，AB →·AP →＝9，若B 点坐标为(0，1)，则椭圆 方程是 ．答案：x 212＋y 24＝1 (**9．已知椭圆x 24＋y 22＝1上有一点P ，F 1，F 2是椭圆的左、右焦点，若△F 1PF 2为直角三角形，则这样的点P 有________个．答案：6 (考查椭圆的几何性质，焦点三角形)**10．椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆C 上恰好有6个不同的点P ，使得△F 1F 2P 为等腰三角形，则椭圆C 的离心率的取值范围是 ．答案：(13，12)∪(12，1) (考查椭圆的定义，焦点三角形，标准方程和简单几何性质)**11．在平面直角坐标系xOy 中，设定点A (a ，a )，P 是函数y ＝1x (x ＞0)图象上一动点,若点P A 之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为_______. 答案：－1或10 (考查两点距离，函数的最值问题)12．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a＞b ＞0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连结BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连结F 1C ．*(1)若点C 的坐标为(43，13)，且BF 2＝2，求椭圆的方程；** (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．答案：(1) x 22＋y 2＝1；(2)55．(考查求椭圆的标准方程，离心率问题)13. 已知椭圆C ： x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为22，且椭圆C 与圆M ： (x －1)2＋y 2＝12的公共弦长为2.*(1)求椭圆C 的方程.**(2)经过原点作直线l （不与坐标轴重合）交椭圆于A ， B 两点， AD ⊥x 轴于点D ，点E 在椭圆C 上，且(AB →－EB →)·(DB →＋AD →)＝0，求证： B ， D ， E 三点共线.. 解：（1）由题意得2a ＝22，则a ＝2.由椭圆C 与圆M ： (x －1)2＋y 2＝12的公共弦长为2，其长度等于圆M 的直径，可得椭圆C 经过点(1，±22)，所以12＋12b 2＝1，解得b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.（2）证明：设A (x 1，y 1)， E (x 2，y 2)，则B (－x 1，－y 1)， D (x 1，0).因为点A ， E 都在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝2，x 22＋2y 22＝2，所以(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋ 2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0， 即y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2).又(AB →－EB →)·(DB →＋AD →) ＝AE →·AB →＝0， 所以k AB ·k AE ＝－1，即y 1x 1·y 1－y 2x 1－x 2＝－1，所以y 1x 1·x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝1所以y 1x 1＝2(y 1＋y 2)x 1＋x 2又k BE －k BD ＝y 1＋y 2x 1＋x 2－y 12x 1＝ y 1＋y 2x 1＋x 2－y 1＋y 2x 1＋x 2＝0，所以k BE ＝k BD ，所以B ， D ， E 三点共线. （记住常见的结论可以更快获取思路，避免联立方法的繁琐计算）14．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F 2(3，0),离心率为e .*(1)若e ＝32，求椭圆的方程； **(2)设直线y ＝kx 与椭圆相交于A ，B 两点，M ，N 分别为线段AF 2，BF 2的中点，若坐标原点O 在以MN 为直径的圆上，且22＜e ≤32，求k 的取值范围. 答案：（1）x 212＋y 23＝1 ；（2）(－∞，－24]∪[24，＋∞) .(本题可以利用平面几何知识得F 2A ⊥F 2B 简化运算，考查函数值域问题)15.如图，已知动直线:l y kx m =+与椭圆2214x y +=交于,A B 两个不同点. *(1)若动直线:l y kx m =+又与圆22(y 2)1x +-=相切，求m 的取值范围.**(2)若动直线:l y kx m =+与y 轴交于点P ，满足2PB AP =，点O 为坐标原点.求AOB ∆面积的最大值，并指出此时k 的值.解：把y kx m =+代入椭圆方程22440x y +-=得： 222(41)8440,(1)k x kmx m +++-=（Ⅰ）222(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+->即22410(2)k m -+>直线l 与圆22(2)1x y +-=相切，22221,43(3)1m k m m k -∴=∴=-++把（3）代入（2）得：2316130m m -+>解得：133m >或1m < （Ⅱ）(0,),P m 设 1122(,),(,)A x y B x y ，122,20PB AP x x =∴+=由（1）式得：121122288,()4141km kmx x x x x k k -+=∴=-+=++ 又1x 是方程（1）的根，2222222226464(41)440(41)41k m k m k m k k ∴+++-=++ 22241361k m k +∴=+，依题意得0≠k ，显然满足222(8)4(41)(44)0km k m ∆=-+-> 1212243,41kmx x x k -==+2122212121,241361AOB m k k S x x m k k ∆∴=-==++31194k k=≤+ ∴当且仅当194k k =即1.6k =±（符合题意）， ∴当16k =±时，AOB ∆的面积取最大值为1.(考查直线与圆位置关系，直线与椭圆的位置关系，函数最值问题)16．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，过点F 1、F 2分别作倾斜角都为α(α≠0)的两条直线AB 、DC ，分别交椭圆E 于点A 、B 和D 、C .当α＝π4时，点B 坐标为(0，1)． *(1) 求椭圆E 的方程；** (2) 当α变化时，讨论线段AD 与BC 长度之间的关系，并给出证明； *** (3) 当α变化时，求四边形ABCD 面积的最大值及对应的α值．答案：(1) x 22＋y 2＝1；(2) AD ＝BC ；(3)α＝π2.(考查椭圆方程，直线被椭圆截得弦长及四边形面积的范围、最值)第15题17.如图，圆O 与离心率为32的椭圆T ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)相切于点M (0，1)．*⑴求椭圆T 与圆O 的方程;⑵过点M 引两条互相垂直的两直线l 1，l 2与两曲线分别交于点A ，C 与点B ，D (均不重合).**①若P 为椭圆上任一点，记点P 到两直线的距离分别为d 1，d 2，求d 21＋d 22的最大值； ***②若3MA →·MC →＝4MB →·MD →，求l 1与l 2的方程． 解: (1)x 24＋y 2＝1，x 2＋y 2＝1．(2)①163，此时P (±423，－13)．②l 1：y ＝2x ＋1，l 2：y ＝－22x ＋1 或l 1：y ＝－2x ＋1，l 2：y ＝22(考查椭圆的基本量计算，椭圆上点的坐标的设法及范围，直线与圆锥曲线相交，已知其中一个交点，求另一交点的坐标，利用相似比减少解析几何中的运算量.问题2中，d 21＋d 22实际上就是矩形的对角线的平方，即PM 2．问题3中，求出A ，C 点坐标后，直接用－1k 替换k ，得到B ，D 点坐标．或将3MA →·MC →＝4MB →·MD→转化为3(k 2＋1)x A x C ＝4(1k2＋1)x B x D ．)18.如图，已知抛物线x 2＝y ，点A (－12，14),B (32，94)，抛物线上的点P (x ，y )(－12＜x ＜32)．过点B 作直线AP的垂线，垂足为Q ．*（1）求直线AP 斜率的取值范围； ***（2）求|PA |·|PQ |的最大值． 答案：（1）(－1，1)；（2）2716(试题分析：（1）由两点求斜率公式可得AP 的斜率为x －12，由－12＜x ＜32，得AP 斜率的取值范围；（2）联立直线AP 与BQ 的方程，得Q 的横坐标，进而表达|P A |与|PQ |的长度，通过函数f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3求解|P A |·|PQ |的最大值．也可以利用向量的数量积的投影法: |PA |·|PQ |＝PA →·PB →减少了求Q 点坐标问题达到简化运算的目的.)。
2018年高三二轮复习讲练测之测案【苏教版数学】专题八 解析几何总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分_______一、填空题1. 【江苏省如皋市2017--2018学年度高三年级第一学期教学质量调研（三）】“3m =”是“两直线1:320l mx y ++=和()2:210l x m y m +-+-=平行”的_______条件.(在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个填空) 【答案】充要2. 【安徽省六安市第一中学2018届高三上学期第五次月考数学（文）】已知集合(){,|,}A x y y x m m R ==+∈，集合()2={,|14}B x y y x =--，若A B ⋂有两个元素，则实数m 的取值范围是__________． 【答案】(122,1⎤--⎦【解析】集合(){|}A x y y x m m R ==+∈，，表示直线y x m =+，集合()2{|14}B x y y x ==--，表示圆心为（0，1），半径为2的圆的下半部分．如图所示．∵A B ⋂有两个元素，∴直线y x m =+与半圆有两个交点．当直线与圆相切时，即图中直线1l，则有122m -+=，解得122m =-或122m =+（舍去）．当直线过点（2，1）时，即图中直线2l ，则有12m =+，解得1m =-．结合图形可得1221m -<≤-． ∴实数m 的取值范围是(122,1⎤--⎦．答案： (122,1⎤--⎦．3. 【贵州省贵阳市第一中学2018届高三12月月考数学（文）】已知函数()()sin f x x x x R =+∈，且点(),M x y 满足条件()()2223410f y y f x x -++-+≤ ，若点()0,3A 关于直线:10l x y ++=的对称点是B ，则线段BM 的最小值是__________． 【答案】2101-【名师点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用，同时考查圆的方程，点关于直线的对称点，两点间距离的最小值求法，考查运算能力，属于中档题．4. 【高邮市2018届高三期初文科】在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22214x y m m -=+的离心率为6，则m 的值为_______． 【答案】1或4【解析】很明显0m >，双曲线的焦点位于x 轴上，由双曲线的方程可得：2222222222224,4,116c a b b m a m b m e a a a m++==+===+=+=，整理可得： 2540m m --=，解得： 1m =或4m =，即m 的值为1或4.5. 【2015届浙江省嘉兴市桐乡一中高三新高考单科综合调研三】椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其左焦点，若AF ^BF ，设6π=∠ABF ，则该椭圆的离心率为 .【答案】13-【解析】取椭圆右焦点M ，连接BM AM ,，由椭圆对称性以及AF ^BF 知四边形AFBM 为矩形，由6π=∠ABF 得c AF =，c AM 3=，由椭圆定义知a AM AF 2=+，31e =-.6. 北京市东城区2018届高三第一学期期末文科数学试题【】设命题:p 已知()()()()1,1,1,1,1,1,1,1A B C D ----，满足AMD ∠ BMC =∠的所有点M 都在y 轴上.能够说明命题p 是假命题的一个点M 的坐标为______.【答案】17,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭7.已知双曲线方程为2214y x -=，过(1,0)P 的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数共有 条 【答案】3【解析】∵(1,0)P 为双曲线的右顶点，当l 斜率不存在时，与双曲线相切只有一个公共点，当l 斜率存在时，l 平行于渐近线时与双曲线相交只有一个公共点，所以一共有3条.8.【2015届辽宁省大连市第二十高级中学高三上学期期中考试】已知点,,P A B 在双曲线12222=-by a x 上，直线AB 过坐标原点，且直线PA 、PB 的斜率之积为31，则双曲线的离心率为 ． 【答案】332 【解析】∵直线AB 过原点，且在双曲线上，所以,A B 两点关于原点对称，则可设()()()111122,,,,,A x y B x y P x y --，∴2121PA y y k x x -=-，2121PB y y k x x +=+，由题意得222121212221212113PA PBy y y y y y k k x x x x x x -+-??=-+-，又由2211221x y a b -=，2222221x y a b -=，相减得22222121220x x y y a b ---=， 即222212222113y y b a x x -==-，2213b a =，∴2222242333ac a b e a a a +====. 9. 【安徽省黄山市2017届高三第二次模拟考试数学（文）】已知两个等高的几何体在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等. 椭球体是椭圆绕其轴旋转所成的旋转体. 如下图将底面直径皆为2b ，高皆为a 的椭半球体及已被挖去了圆锥体的圆柱体放置于同一平面β上. 以平行于平面β的平面于距平面β任意高d 处可横截得到S 圆及S 环两截面，可以证明S S =环圆总成立. 则短轴长为4cm ，长轴为6cm 的椭球体的体积为__________3cm ．【答案】16π【名师点睛】主要读懂题目所描述的新的定义，然后根据定义及几何关系建立等式从而求解.10. 【2017届安徽省宣城市高三下学期第二次调研（模拟）考试数学（理）】已知P 是圆224x y +=上一点，且不在坐标轴上， ()2,0A ， ()0,2B ，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，则2AN BM +的最小值为__________．【答案】8【解析】设点()2cos ,2sin P θθ，则直线PA 的方程： ()sin 2cos 1y x θθ=--，则2sin 0,cos 1M θθ⎛⎫- ⎪-⎝⎭同理2cos ,0sin 1N θθ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，则2AN BM + 2cos 4sin 6sin 1cos 1θθθθ=++--的最小值为8.11. 【江苏省前黄高级中学、如东高级中学、姜堰中学等五校2018届高三上学期第一次学情监测】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()()22:1261C x y -+-=和两点()(),2,,2A a a B a a ---，且1a >，若圆C 上存在两个不同的点,P Q ，使得90APB AQB ∠=∠=︒，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】17117a +≤≤+【名师点睛】判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．12．【辽宁省沈阳市郊联体2018届高三上学期期末考试文数】已知双曲线C ： 22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交双曲线于,A B 两点，线段2AF 与双曲线的另一交点为C ，若24ABC BCF S S ∆∆=，则双曲线的离心率为________． 【答案】3 【解析】如图所示：因为24ABCBCF S S ∆∆=，所以|AC|=4|F 2C|．由x=-c ，代入双曲线的方程，可得2b y a =±，取A （-c ，2b a），直线AF 2的方程为：y-0=()20b a x c c c---- 化为：y=-()22b x c ac - 代入双曲线22221x y a b -=可得：（4c 2-b 2）x 2+2cb 2x-b 2c 2-4a 2c 2=0，∴x C ×（-c ）=22222222222244544c b c a c b c a cx AF CF c b c b ++-∴==-- ∴c-（-c ）=5（c-22224)4b c a cc b +-化为：3a 2=c 2，解得e=3ca= ，故答案为313. 【江苏省如皋市2017--2018学年度高三年级第一学期教学质量调研（三】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆221:9O x y +=，圆()222:616O x y +-=，在圆2O 内存在一定点M ，过M 的直线l 被圆1O ，圆2O 截得的弦分别为AB ， CD ，且34AB CD =，则定点M 的坐标为_______. 【答案】1807⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】34AB CD =总成立，且知，过两圆的圆心直线截两圆弦长比是63,84=∴点M 在两圆心连线上，因为圆心连线方程为0x =，可设()00,M y ，设直线l 的方程为0y kx y =+，因为34AB CD =，所以202202991166161y k y k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=⎛⎫-- ⎪+⎝⎭，解得0187y =或018y =-（此时点M 在圆2O 外，舍去），故答案为1807⎛⎫ ⎪⎝⎭，.14. 【湖南省长郡中学2018届高三月考试题（五）文科数学】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ， 2F ，过1F 且与x 轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，直线2AF 与椭圆的另一个交点为C ，若72ABCBCFSS =，则椭圆的离心率为__________．【答案】3311【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．二、解答题15 【江苏省高邮市2018届高三期初考试文科数学试题】已知三点P 53,22⎛⎫- ⎪⎝⎭、1F ()2,0-、2F ()2,0。
