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课时提升作业(十一)函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质(一)(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·淮北高一检测)函数y=3sin的相位和初相分别为( )A.-x+,B.x+,C.x-,-D.x+,【解析】选A.函数y=3sin的相位为-x+,初相为.2.(2015·九江高一检测)由y=f(x)的图像向左平移个单位,再把所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y=2sin的图像,则f(x)为( ) A.2sin B.2sinC.2sinD.2sin【解析】选B.将y=2sin图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍得到y=2sin,再将图像向右平移个单位,得到y=2sin.【误区警示】本题容易出现将平移方向、倍数弄反的错误,应将图像逆向变换得到平移前的图像.【补偿训练】将函数y=sinωx(ω>0)的图像向左平移个单位长度,平移后的图像如图所示,则y=sinωx(ω>0)的解析式是________.【解析】将函数y=sinωx(ω>0)的图像向左平移个单位长度,得到y=sin,即y=sin,由图可知,函数y=sin(ωx+ω)在x=时取得最大值,所以ω×+ω=2kπ+.即ω=8k+2(k∈Z),所以k=0时,ω=2,所以y=sinωx(ω>0)的解析式是y=sin 2x.答案:y=2sin2x3.函数y=sin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,0≤φ<2π)的部分图像如图,则( )A.ω=,φ=B.ω=,φ=C.ω=,φ=D.ω=,φ=【解析】选C.由题意以及函数的图像,可知T=4×(3-1)=8,因为T=,所以ω=;因为函数的图像经过(3,0),所以0=sin,π+φ=π.且0≤φ<2π,所以φ=.4.(2015·全国卷Ⅰ)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图像如图所示,则f(x)的单调递减区间为( )A.(k∈Z)B.(k∈z)C.(k∈Z)D.(k∈Z)【解题指南】根据图像,利用五点法求出ω,φ的值,确定f(x)的解析式,求出f(x)的单调递减区间.【解析】选D.由五点作图知,解得ω=π,φ=,所以f(x)=cos,令2kπ<πx+<2kπ+π,k∈Z,解得2k-<x<2k+,k∈Z,故f(x)的单调递减区间为(k ∈Z).【补偿训练】函数y=sinωx(ω>0)的部分图像如图所示,点A,B是最高点,点C是最低点.若△ABC是直角三角形,则ω的值为( )A. B. C. D.π【解析】选A.函数的最大值为1,又△ABC是等腰直角三角形,故三角形AB边上的高为2,A与B的距离为4,即为最小正周期T,由=4得ω=.5.若曲线y=Asinωx+a(A>0,ω>0)在区间上截直线y=2与y=-1所得的弦长相等且不为0,则下列对a和A的描述正确的是( ) A.a=,A> B.a=1,A>1C.a=,A≤D.a=1,A≤1【解析】选A.由题意曲线y=Asinωx+a(A>0,ω>0)的图像关于直线y=a 对称,又截直线y=2及y=-1所得的弦长相等,所以,两条直线y=2及y=-1关于y=a对称,a==,又弦长相等且不为0,故振幅A大于=,A>,故有a=,A>.二、填空题(每小题5分,共15分)6.将函数f(x)=2sin的图像上各点的横坐标缩小为原来的一半,纵坐标保持不变得到新函数g(x),则g(x)的最小正周期是______. 【解析】将函数f(x)=2sin的图像上各点的横坐标缩小为原来的一半,得到函数g(x)=2sin(2x-),所以g(x)的最小正周期是=π. 答案:π7.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图像如图所示,则f=________.【解析】由函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图像可得·=-,解得ω=3,故f(x)=2sin(3x+φ).因为正数图像过点,故3×+φ=kπ,k∈Z,故φ=-+kπ,k∈Z,所以φ=,f(x)=2sin.所以f=2sin=2sin=2sin=.答案:8.在平面直角坐标系xOy中,直线y=1与函数y=3sin x(0≤x≤10)的图像所有交点的横坐标之和为________.【解析】因为y=3sin x的周期T==4,所以当0≤x≤10时,其图像如下:由图知,直线y=1与正弦曲线y=3sin x(0≤x≤10)相交于A,B,C,D,E,F6个点,其横坐标如图所示,则x1+x2=2,x3+x4=10,x5+x6=18,所以所有交点的横坐标之和为2+10+18=30.答案:30三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2015·汉中高一检测)已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的最小正周期为,最小值为-2,图像过,求该函数的解析式.【解析】因为函数的最小正周期为,所以T==,即ω=3.又因为函数的最小值为-2,所以A=2,所以函数解析式可写为y=2sin,又因为函数图像过点,所以有:2sin=0,解得φ=kπ-.因为|φ|<π,所以φ=或-,所以,函数解析式为:y=2sin或y=2sin(3x-).10.(2015·湖北高考)某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)在某一个周期内的图像时,列表并填入了部分数据,如表:ωx+φ0 π2πxAsin(ωx+φ) 0 5 -5 0(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f(x)的解析式.(2)将y=f(x)图像上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到y=g(x)的图像.若y=g(x)图像的一个对称中心为,求θ的最小值.【解析】(1)根据表中已知数据,得A=5,ω=2,φ=-.数据补全如表: ωx+φ0 π2πx πAsin(ωx+φ) 0 5 0 -5 0且函数表达式为f(x)=5sin.(2)由(1)知f(x)=5sin,得g(x)=5sin.因为y=sinx的对称中心为(kπ,0),k∈Z.令2x+2θ-=kπ,k∈Z,解得x=+-θ,k∈Z.由于函数y=g(x)的图像关于点成中心对称,令+-θ=,k∈Z,解得θ=-,k∈Z.由θ>0可知,当k=1时,θ取得最小值.【补偿训练】已知函数f(x)=sin(ω>0,x∈R)的最小正周期为π.(1)求f.(2)在下面给定的平面直角坐标系中,画出函数y=f(x)在区间上的图像,并根据图像写出其在上的单调递减区间.【解析】(1)依题意得=π,解得ω=2,所以f(x)=sin,所以f=sin=sin cos-cos sin=×-×=.(2)因为x∈,所以2x-∈,列表如下:2x---π-0x ---f(x) 0 -1 0 1画出函数y=f(x)在区间上的图像如下:由图像可知函数y=f(x)在上的单调递减区间为,.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2015·山东高考)要得到函数y=sin的图像,只需将函数y=sin4x的图像( )A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位【解题指南】对于y=Asin一类的图像的左右平移问题,一定要将函数变形为y=Asin[ω(x+)]再加以判断,即对x变化了个单位(左加右减).【解析】选B.要得到y=sin=sin[4(x-)]的图像,只需将y=sin4x的图像向右平移个单位.2.(2015·潍坊高一检测)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,<,x∈R)在一个周期内的图像如图所示,则y=f(x)的图像可由函数y=cosx的图像(纵坐标不变),________得到( )A.先把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向左平移个单位长度B.先把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向右平移个单位长度C.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向左平移个单位长度D.先把各点的横坐标伸长到原来的2倍,再向右平移个单位长度【解析】选B.由图可知A=1,T=4×=π,故ω=2,则f=sin,又图像过,故sin=1,故由+φ=,得φ=,故f=sin,又f=sin=cos=cos,故将函数y=cosx的图像先把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向右平移个单位长度得到f(x)=sin的图像.二、填空题(每小题5分,共10分)3.将函数f(x)=2cos的图像向左平移个单位,再向下平移1个单位,得到函数g(x)的图像,则g(x)的解析式为______.【解析】将函数f(x)=2cos的图像向左平移个单位,得到y=2cos=2cos,再向下平移1个单位,得到函数g(x)=2cos-1的图像,所以g(x)的解析式为g(x)=2cos-1.答案:g(x)=2cos-14.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A>0,ω>0,-<φ<),其部分图像如图所示,将f(x)的图像纵坐标不变,横坐标变成原来的2倍,再向右平移1个单位得到g(x)的图像,则函数g(x)的解析式为________.【解析】由函数图像可知A=1,=2,所以T=8,所以ω===,当x=1时,f(x)得最大值1,所以1=sin,又因为-<φ<,所以φ=,所以f(x)=sin,将f(x)的图像纵坐标不变,横坐标变成原来的2倍得y=sin,再向右平移1个单位得到g(x)=sin=sin(x+1)的图像.答案:g(x)=sin(x+1)三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2015·沈阳高一检测)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图像如图所示.(1)求函数f(x)的表达式.(2)若f=,求tanα的值.【解析】(1)根据题意,得因为函数的最大值为1,最小值为-1,所以A=1,因为函数的最小正周期为T,满足=-=,所以T=π,得=π,解之得ω=2,因为当x=时,函数达到最大值为1,所以f()=sin(+φ)=1,可得+φ=+2kπ(k∈Z),因为|φ|<,所以取k=0,得φ=,因此,函数f(x)的表达式为f(x)=sin.(2)因为f(x)=sin,所以f(α+)=sin(2α+)=,可得cos2α=,因为cos2α=cos2α-sin2α=,cos2α+sin2α=1.所以cos2α=,sin2α=,可得tan2α==.因为α∈(0,),所以tanα=(舍负).【补偿训练】已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)在一个周期内的图像如图所示,(1)求f(x)的解析式.(2)求f+f+f+…+f的值.【解题指南】根据图示信息求出解析式,再根据函数在一个周期内的和的情况求和.【解析】(1)由图像可知A=2,周期T=2=π,所以ω===2,则f(x)=2sin(2x+φ),由图像过点,得2sin=2,即sin=1,取+φ=得φ=,故f(x)=2sin.(2)由(1)可知f(x)的周期为π,因为f+f+f+f=1--1+=0,所以f+f+f+…+f=0×503+f+f+f=f+f+f=1--1=-.6.将函数y=lgx的图像向左平移一个单位长度,可得函数f(x)的图像;将函数y=cos的图像向左平移个单位长度,可得函数g(x)的图像.(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图像.(2)判断方程f(x)=g(x)解的个数.【解题指南】解答本题(1)利用平移变换法画出两个函数的图像.(2)根据弦函数的“有界性”及lg10=1确定两个函数图像的交点个数,即为方程f(x)=g(x)解的个数.【解析】函数y=lgx的图像向左平移一个单位长度,可得函数f(x)=lg(x+1)的图像,即图像C1;函数y=cos的图像向左平移个单位长度,可得函数g(x)=cos=cos2x的图像,即图像C2.(1)画出图像C1和C2如图.(2)因为f(9)=lg10=1,所以由图像可知:两个图像共有5个交点.即方程f(x)=g(x)解的个数为5.关闭Word文档返回原板块。
第一章 学业质量标准检测(A)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．下列命题正确的是( C ) A ．终边相同的角一定相等 B ．第一象限的角都是锐角 C ．锐角都是第一象限角 D ．小于90°的角都是锐角[解析] 终边相同的角相差k ·360°(k ∈Z )，故A 不正确；锐角0°<α<90°，而第一象限角是指终边在第一象限的角，其中有正角、负角，包括锐角，故B 不正确；而C 正确，小于90°的角的包括锐角、负角和零角，故D 不正确．2．设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( D )A ．43B ．34C ．－34D ．－43[解析] ∵α是第二象限角，∴cos α＝15x <0，即x <0.又cos α＝15x ＝x x 2＋16，解得x ＝－3，∴tan α＝4x ＝－43.3．如果cos (π＋A )＝－12，那么sin ⎝⎛⎭⎫π2＋A ＝( B ) A ．－12B ．12C ．－32D ．32[解析] 由cos (π＋A )＝－cos A ＝－12，∴cos A ＝12，∴sin ⎝⎛⎭⎫π2＋A ＝cos A ＝12. 4．已知角α是第二象限角，且|cos α2|＝－cos α2，则角α2是( C )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角[解析] 由α是第二象限角知，α2是第一或第三象限角．又∵|cos α2|＝－cos α2，∴cos α2<0.∴α2是第三象限角． 5．下列函数中，既是以π为周期的奇函数，又是⎝⎛⎭⎫0，π2上的增函数的是( A ) A ．y ＝tan x B ．y ＝cos x C ．y ＝tan x2D ．y ＝|sin x |[解析] y ＝tan x 为T ＝π的奇函数，且在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数． 6．若sin α是5x 2－7x －6＝0的根，则sin (－α－3π2)sin (3π2－α)tan 2(2π－α)cos (π2－α)cos (π2＋α)sin (π＋α)＝( B )A ．35B ．53C ．45D ．54[解析] 方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2.则sin α＝－35原式＝cos α(－cos α)tan 2αsin α(－sin α)(－sin α)＝－1sin α＝53.7．已知函数y ＝2sin ωx (ω>0)的图像与直线y ＋2＝0相邻的两个公共点之间的距离为2π3，则ω的值为( A )A ．3B ．32C ．23D ．13[解析] 函数y ＝2sin ωx (ω>0)的最小值是－2，它与直线y ＋2＝0相邻的两个公共点之间的距离恰好为一个周期，由2πω＝2π3，得ω＝3.故应选A ．8．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x .当0≤x <π时，f (x )＝0，则f (23π6)＝( A )A ．12B ．32C ．0D ．－12[解析] 本题考查递归运算，诱导公式． f (236π)＝f (176π)＋sin 176π ＝f (116π)＋sin 116π＋sin 176π＝f (56π)＋sin 56π＋sin 116π＋sin 176π＝0＋12－12＋12＝12.9．设函数f (x )＝cos (x ＋π3)，则下列结论错误的是( B )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在(π2，π)单调递减[解析] A 项，因为f (x )＝cos (x ＋π3)的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的一个周期为－2π，A 正确．B 项，因为f (x )＝cos (x ＋π3)图像的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，所以y ＝f (x )的图像关于直线x ＝8π3对称，B 项正确．C 项，f (x ＋π)＝cos (x ＋4π3)．令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π－56π，当k ＝1时，x ＝π6，所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6，C 项正确．D 项，因为f (x )＝cos (x ＋π3)的递减区间为[2k π－π3，2k π＋2π3](k ∈Z )，递增区间为[2k π＋2π3，2k π＋5π3](k ∈Z )，所以(π2，2π3)是减区间，[2π3，π)是增区间，D 项错误．10．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 是( B ) A ．[－π，0]上的增函数 B ．⎣⎡⎦⎤－34π，π4上的增函数 C ．⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的增函数 D ．⎣⎡⎦⎤π4，54π上的增函数[解析] y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π4 ∵y ＝cos x 在[－π，0]上是增函数，∴当函数图像向右平移π4后得到y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x －π4在⎣⎡⎦⎤－34π，π4上是增函数．11．函数f (x )＝cos (ωx ＋φ)的部分图像如图所示，则f (x )的单调递减区间为( D )A ．⎝⎛⎭⎫k π－14，k π＋34，k ∈Z B ．⎝⎛⎭⎫2k π－14，2k π＋34，k ∈Z C ．⎝⎛⎭⎫k －14，k ＋34，k ∈Z D ．⎝⎛⎭⎫2k －14，2k ＋34，k ∈Z [解析] 由五点作图知，⎩⎨⎧14ω＋φ＝π2，54ω＋φ＝3π2，解得ω＝π，φ＝π4，所以f (x )＝cos (πx ＋π4)，令2k π＜πx ＋π4＜2k π＋π，k ∈Z ，解得2k －14＜x ＜2k ＋34，k ∈Z ，故单调减区间为(2k －14，2k＋34)，k ∈Z ，故选D ． 12．(2019·天津卷)已知函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y ＝f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图像对应的函数为g (x )．若g (x )的最小正周期为2π，且g ⎝⎛⎭⎫π4＝2，则f ⎝⎛⎭⎫3π8＝( C ) A ．－2 B ．－2 C ．2D ．2[解析] 因为f (x )是奇函数(显然定义域为R )，所以f (0)＝A sin φ＝0，所以sin φ＝0.又|φ|<π，所以φ＝0.由题意得g (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫12ωx ，且g (x )最小正周期为2π， 所以12ω＝1，即ω＝2.所以g (x )＝A sin x ，所以g ⎝⎛⎭⎫π4＝A sin π4＝22A ＝2，所以A ＝2. 所以f (x )＝2sin 2x ，所以f ⎝⎛⎭⎫3π8＝ 2.故选C ．第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13．1弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所对的扇形面积是__18__. [解析] ∵l ＝αR ，∴R ＝lα＝6.根据扇形面积公式有S 扇＝12lR ＝12×6×6＝18.14．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期为2π，且当x ∈[0，π]时f (x )＝sin x ，则f (53π)＝2[解析] 由题意可知f (53π)＝f (53π－2π)＝f (－π3)＝f (π3)＝sin π3＝32.15．设f (x )的定义域为R ，最小正周期为3π2.若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x ⎝⎛⎭⎫－π2≤x <0，sin x (0≤x <π)，则f ⎝⎛⎭⎫－154π＝2[解析] ∵T ＝3π2，∴kT ＝k ·3π2(k ∈Z )都是y ＝f (x )的周期，∴f ⎝⎛⎭⎫－15π4＝f ⎣⎡⎦⎤(－3)×3π2＋3π4＝f ⎝⎛⎭⎫3π4＝sin 3π4＝sin π4＝22. 16．下列命题中，正确命题的序号是__①④__. ①函数y ＝sin |x |不是周期函数． ②函数y ＝tan x 在定义域内是增函数． ③函数y ＝⎪⎪⎪⎪cos2x ＋12的周期是π2. ④y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π2是偶函数． [解析] ②中y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内是增函数，③中y ＝⎪⎪⎪⎪cos2x ＋12的周期为π.三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)已知角θ的终边上有一点P (－3，m )，且sin θ＝24m ，求cos θ与tan θ的值．[解析] 由题意可知mm 2＋3＝2m 4，∴m ＝0或5或－ 5.(1)当m ＝0时，cos θ＝－1，tan θ＝0； (2)当m ＝5时，cos θ＝－64，tan θ＝－153； (3)当m ＝－5时，cos θ＝－64，tan θ＝153. 18．(本题满分12分)求证：tan αsin αtan α－sin α＝tan α＋sin αtan αsin α.[解析] 方法一：∵右边＝tan 2α－sin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α－tan 2αcos 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2α(1－cos 2α)(tan α－sin α)tan αsin α＝tan 2αsin 2α(tan α－sin α)tan αsin α＝tan αsin αtan α－sin α＝左边，∴原等式成立．方法二：∵左边＝tan αsin αtan α－tan αcos α＝sin α1－cos α，右边＝tan α＋tan αcos αtan αsin α＝1＋cos αsin α＝1－cos 2αsin α(1－cos α)＝sin 2αsin α(1－cos α)＝sin α1－cos α，∴左边＝右边，原等式成立．19．(本题满分12分)已知函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)的图像的一段如图所示，求它的解析式．[解析] 由图像可知A ＝2，T 2＝5π6－π6＝2π3，∴T ＝4π3，ω＝2πT ＝32.将N (π6，－2)代入y ＝2sin (32x ＋φ)得，2sin (32×π6＋φ)＝－2，∴π4＋φ＝2k π－π2，φ＝2k π－3π4(k ∈Z )． ∵|φ|<π，∴φ＝－3π4.求φ值也可以用下面这种方法． 取P (π2，0)代入y ＝2sin (32x ＋φ)，得2sin (32×π2＋φ)＝0.∵3π4＋φ＝k π，k ∈Z .又|φ|<π， ∴φ＝－3π4或φ＝π4，而y ＝2sin (32x ＋φ)过(π6，－2)，∴φ＝－3π4.∴函数的解析式为y ＝2sin (32x －3π4)．20．(本小题满分12分)已知f (x )＝2sin (2x ＋π6)＋a ＋1(a 为常数)．(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若当x ∈[0，π2]时，f (x )的最大值为4，求a 的值；(3)求出使f (x )取得最大值时x 的取值集合．[解析] (1)由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )．(2)当x ∈[0，π2]时，2x ＋π6∈[π6，76π]，故当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )有最大值a ＋3＝4，所以a ＝1.(3)当sin (2x ＋π6)＝1时f (x )取得最大值，此时2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π6，k ∈Z ，此时x 的取值集合为{x |x ＝k π＋π6，k ∈Z }．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋a (a 为实常数)．且当x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π12时，f (x )的最大值与最小值之和为3.(1)求实数a 的值；(2)说明函数y ＝f (x )的图像经过怎样的变换可以得到函数y ＝sin x 的图像？ [解析] (1)依题意有f (x )＝2sin (2x ＋π3)＋a ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，π12⇒2x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π6⇒2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π6，π2， ∴12≤sin (2x ＋π3)≤1， 即⎩⎪⎨⎪⎧f (x )max ＝2＋a f (x )min ＝1＋a，∴2a ＋3＝3⇒a ＝0. (2)由(1)知f (x )＝2sin (2x ＋π3)．将函数y ＝2sin (2x ＋π3)的图像先向右平移π6个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，最后把所得图像上所有点的纵坐标缩短为原来的12倍(横坐标不变)，便得到函数y ＝sin x 的图像．22．(本小题满分12分)已知f (x )＝sin x2|cos x |. (1)判断f (x )的奇偶性；(2)画出f (x )在[－π，π]上的简图；(3)求f (x )的最小正周期及在[－π，π]上的单调区间． [解析] (1)∵cos x ≠0，∴x ≠k π＋π2(k ∈Z )．∴函数定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z ，关于原点对称，且f (－x )＝sin (－x )2|cos (－x )|＝－sin x2|cos x |＝－f (x )， ∴此函数为奇函数．(2)f (x )＝sin x2|cos x |＝⎩⎨⎧22tan x ⎝⎛⎭⎫－π2<x <π2，－22tan x ⎝⎛⎭⎫－π≤x <－π2或π2<x ≤π，图像如图所示，(3)T ＝2π，单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π2，π2，单调递减区间为⎣⎡⎭⎫－π，－π2，⎝⎛⎦⎤π2，π.。
全新北师大版高中数学必修四课时同步测试题（全册共147页附答案）目录第一章三角函数Array§1周期现象§2角的概念的推广§3弧度制§4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2单位圆与周期性4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4.4单位圆的对称性与诱导公式§5正弦函数的图像与性质5.1正弦函数的图像5.2正弦函数的性质§6余弦函数的图像与性质§7正切函数7.1正切函数的定义7.2正切函数的图像与性质7.3正切函数的诱导公式§8函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质第1课时函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换第2课时函数y=Asin(ωx+φ)的性质第3课时函数y=Asin(ωx+φ)的图像与性质习题课§9三角函数的简单应用第一章检测第二章平面向量§1从位移、速度、力到向量§2从位移的合成到向量的加法2.1向量的加法2.2向量的减法§3从速度的倍数到数乘向量3.1数乘向量3.2平面向量基本定理01第一章三角函数§1周期现象课时过关·能力提升1.下列变化是周期现象的是()A.地球自转引起的昼夜交替变化B.某同学每天上学的时间C.某交通路口每次红灯亮时等待通行的车辆数D.某同学每天打电话的时间解析:某同学每天上学的时间是可以变化的,不是周期现象;某交通路口每次红灯亮时等待通行的车辆数是随意变化的,不是周期现象;某同学每天打电话的时间可长可短,也不具有规律性,不是周期现象.故选A.答案:A20..428 571 428 571…的小数点后第545位上的数字是()A.5B.4C.8D.7解析:由题意知,数字重复出现的周期为6,而545=6×90+5,故小数点后第545位上的数字是7.答案:D3.按照规定,奥运会每4年举行一次.2008年夏季奥运会在北京举办,则下列年份中不举办夏季奥运会的应该是()A.2012B.2016C.2019D.2020解析:2 019=2 008+4×2+3,显然,2 019不是4的倍数,故选C.答案:C4.小明今年17岁了,与小明属相相同的老师的年龄可能是()A.26B.32C.36D.41解析:属相每12年循环一次,41=12×2+17,故选D.答案:D5.下列变量y关于变量x的散点图中,可能是周期现象的是()答案:D6.我国农历用鼠牛虎兔龙蛇马羊猴鸡狗猪这12种动物按顺序轮流代表各年的年号,2016年是猴年,则1949年是()A.牛年B.虎年C.兔年D.龙年解析:2 016-1 949=67,67÷12=5……7,从猴年往前数第7个即可,也就是牛年.答案:A7.把一批小球按2个红色、5个白色的顺序排列,则第30个小球是色.解析:小球的排列每隔7个呈周期变化,30=4×7+2,故第30个小球是红色.答案:红8.已知函数y=f(x),x∈N+,且f(1)=2,f(2)=4,f(3)=2,f(4)=4,f(5)=2,f(6)=4,f(7)=2,f(8)=4,……,试猜想f(2 018)=.解析:易知当自变量x为奇数时,f(x)=2;当自变量x为偶数时,f(x)=4.故猜想f(2 018)=4.答案:49.分析下面诗句中有哪些是周期现象.东升西落照苍穹,影短影长角不同.昼夜循环潮起伏,冬春更替草枯荣.解太阳东升西落,昼夜循环,潮涨潮落,冬去春来(四季更替),草枯草绿都是周期现象.10.设钟摆每经过1.7 s回到原来的位置,在右图中从钟摆达到最高位置时开始计时,经过2 min后,请你估计钟摆在铅垂线的左边还是右边.解因为2×60=70×1.7+1,所以钟摆在铅垂线的右边.★11.下表是某日在泰山山顶每隔2 h测得的温度(单位:℃).(1)以时刻为x轴,以气温为y轴,画出图像;(2)若山顶的温度与时刻t具有周期现象,试估计泰山山顶一天中的最大温差.解(1)如图.(2)由图表知,泰山山顶一天中的最大温差约为28-(-2)=30(℃).§2角的概念的推广课时过关·能力提升1.下列命题中正确的是()A.终边相同的角一定相等B.{α|α是锐角}⫋{β|0°≤β<90°}C.第一象限的角都是锐角D.大于90°的角都是钝角解析:对于A,终边相同的角不一定相等,它们可能相差若干“圈”;对于B,α是锐角,即0°<α<90°,故{α|α是锐角}⫋{β|0°≤β<90°};对于C,第一象限的角是指终边在第一象限的角,如390°的终边在第一象限,而390°>90°,不是锐角;对于D,360°>90°,但不是钝角.答案:B2.-1 122°角的终边所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:因为-1 122°=-4×360°+318°,而318°角的终边在第四象限,所以-1 122°角的终边所在的象限是第四象限.答案:D3.在[360°,1 440°]内,与-21°26'终边相同的角有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:所有与-21°26'终边相同的角,连同-21°26'在内,可表示为α=k×360°-21°26',k∈Z.当k=2时,α=698°34';当k=3时,α=1 058°34';当k=4时,α=1 418°34'.答案:C4.如图,终边落在阴影部分的角的集合是()A.{α|-45°≤α≤120°}B.{α|120°≤α≤315°}C.{α|-45°+k×360°≤α≤120°+k×360°,k∈Z}D.{α|120°+k×360°≤α≤315°+k×360°,k∈Z}解析:注意角的范围不能局限于0°~360°,故在-360°~360°范围内,阴影部分表示-45°到120°范围内的角(包括-45°和120°).又终边相同的角一般相差360°的整数倍,于是所求集合为选项C中的集合.故选C.答案:C5.如果角α与角γ+45°的终边重合,角β与角γ-45°的终边重合,那么角α与角β的关系为()A.α+β=0°B.α-β=90°C.α+β=2k×180°(k∈Z)D.α-β=2k×180°+90°(k∈Z)解析:由条件知α=γ+45°+k1×360°(k1∈Z),β=γ-45°+k2×360°(k2∈Z),将两式相减得α-β=(k1-k2)×360°+90°,等价于α-β=2k×180°+90°(k∈Z).故选D.答案:D★6.设角α的终边为射线OP,射线OP1与OP关于y轴对称,射线OP2与OP1关于直线y=-x对称,则以OP2为终边的角的集合是()A.{β|β=k×360°+α,k∈Z}B.{β|β=(2k+1)×180°+α,k∈Z}C.{β|β=k×360°+90°+α,k∈Z}D.{β|β=k×360°+270°+α,k∈Z}解析:依题意,射线OP1所对应的角γ满足α+γ=k1×360°+180°,k1∈Z,①射线OP2所对应的角β满足γ+β=k2×360°-90°,k2∈Z,②②-①得β-α=(k2-k1)×360°-270°,即β=k×360°+90°+α,k∈Z.答案:C7.角α与角β的终边关于原点对称,则α与β的关系为.答案:β-α=k×360°+180°(k∈Z)8.若角α的终边与240°角的终边相同,则角α2的终边在第象限.答案:二或四9.已知角α满足180°<α<360°,角5α与α有相同的始边,且又有相同的终边,则角α=.解析:∵5α与α的始边和终边分别相同,∴这两角的差应是360°的整数倍,即5α-α=4α=k·360°(k∈Z).∴α=k·90°(k∈Z).又180°<α<360°,令180°<k·90°<360°(k∈Z),则2<k<4(k∈Z),∴k=3,α=270°.答案:270°10.已知角α=-1 910°.(1)把角α写成β+k×360°(0°≤β<360°,k∈Z)的形式,并判断它是第几象限角;(2)求角θ,使角θ与α的终边相同,且-720°≤θ<0°.解(1)设α=-1 910°=β+k×360°(k∈Z),则β=-1 910°-k×360°(k∈Z).令0°≤-1 910°-k×360°<360°,解得-61136<k≤-51136.故k=-6,相应的β=250°.于是α=250°-6×360°,它是第三象限角.(2)令θ=250°+k×360°(k∈Z),取k=-1,-2,得到符合-720°≤θ<0°的角θ为250°-360°=-110°,250°-720°=-470°.故θ=-110°或θ=-470°.11.在与1 030°角终边相同的角中,求满足下列条件的角:(1)最大负角;(2)最小正角;(3)360°~720°的角.解与1 030°角终边相同的角的集合为{α|α=k×360°+1 030°,k∈Z}.(1)令k=-3,得与1 030°终边相同的角中最大负角为-50°.(2)令k=-2,得最小正角为310°.(3)令k=-1,得α=670°.★12.如图,一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动,若两只蚂蚁均从点A(1,0)同时逆时针匀速爬动,若红蚂蚁每秒爬过α角,黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°),如果两只蚂蚁都在第14秒末回到A点,并且在第2秒末均位于第二象限,求α,β的值.解根据题意可知14α,14β均为360°的整数倍,故可设14α=m·360°,m∈Z,14β=n·360°,n∈Z,从而可知α=m 7×180°,β=n7×180°,m,n∈Z.∵两只蚂蚁在第2秒末均位于第二象限,∴2α,2β的终边在第二象限.又0°<α<β<180°,故90°<2α<2β<180°.于是45°<α<90°,45°<β<90°.∴45°<m7×180°<90°,45°<n 7×180°<90°,即74<m<72,74<n<72.又α<β,∴m<n.∴m=2,n=3,即α=(3607)°,β=(5407)°.§3弧度制课时过关·能力提升1.将分针拨快15分,则分针转过的弧度数是()A.−π3B.π3C.−π2D.π2解析:分针拨快15分钟相当于顺时针旋转90°,由-90°=−π2,得转过的弧度数为−π2.答案:C2.集合{α|kπ+π4≤α≤kπ+π2,k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是()答案:C3.若α是第四象限角,则π-α是第()象限角.A.一B.二C.三D.四解析:∵2kπ−π2<α<2kπ(k∈Z),∴-2kπ<-α<-2kπ+π2(k∈Z),∴-2kπ+π<π-α<-2kπ+3π2(k∈Z),故π-α是第三象限角.答案:C4.已知圆弧的长度等于圆弧所在圆的内接正三角形的边长,则该圆弧所对圆心角的弧度数为()A.π3B.2π3C.√3D.2如图,设圆弧所在圆的半径为r,则圆的内接正三角形的边长为√3r,所以圆弧的长度为√3r.由l=|α|r得,该圆弧所对的圆心角的弧度数|α|=√3rr=√3.答案:C5.已知集合M={x|x=k·π2,k∈Z},N={x|x=kπ±π2,k∈Z},则()A.集合M是集合N的真子集B.集合N是集合M的真子集C.M=ND.集合M与集合N之间没有包含关系解析:因为kπ±π2=(2k±1)π2=(2k±1)·π2,它是π2的奇数倍,所以集合N是集合M的真子集.答案:B6.一圆内切于圆心角为π3,半径为R的扇形,则该圆的面积与该扇形的面积之比为() A.3∶4 B.2∶3 C.1∶2 D.1∶3圆内切于扇形是指该圆与扇形的两条半径和弧都相切,如图,由圆半径r=(R-r)si nπ6,得r=13R,故[π·(13R)2]∶(12·π3R2)=2∶3.答案:B7.若三角形的三个内角之比为1∶2∶3,则此三角形的最小内角的弧度数为.解析:设最小内角为α,则α+2α+3α=π,故α=π6.答案:π68.若角α的终边与角π6的终边关于直线y=x对称,且α∈(-4π,4π),则α=.解析:设角π6的终边为OA,OA关于直线y=x对称的射线为OB,则以OB为终边的角的集合为{α|α=2kπ+π3,k∈Z}.∵α∈(-4π,4π),∴-4π<2kπ+π3<4π.∴−136<k<116.∵k∈Z,∴k=-2或-1或0或1.∴α=−11π3或−5π3或π3或7π3.答案:−11π3或−5π3或π3或7π39.若角θ的终边与角8π5的终边相同,则在[0,2π]内终边与角θ4的终边相同的是.解析:由题意,θ=2kπ+8π5(k∈Z),∴θ4=kπ2+2π5(k∈Z).∵0≤kπ2+2π5≤2π,∴−45≤k≤165,∴k=0或1或2或3.故θ4依次为2π5或9π10或7π5或19π10.答案:2π5或9π10或7π5或19π10★10.半径为1的圆的圆心位于坐标原点,点P从点A(1,0)出发,按照逆时针方向沿圆周匀速旋转,已知点P在1 s内转过的角度为θ(0<θ<π),经过2 s到达第三象限,经过14 s又回到出发点A处.求:(1)角θ的大小;(2)线段OP每秒扫过的扇形的面积.解(1)∵0<θ<π,∴0<2θ<2π.又2kπ+π<2θ<2kπ+3π2(k∈Z),∴k=0.∴π2<θ<3π4.①又14θ=2nπ(n∈Z),∴θ=nπ7(n∈Z).②由①②可得θ=4π7或θ=5π7.(2)由(1)知θ=4π7或θ=5π7,∵S扇形=12θr2=12θ,∴S扇形=2π7或S扇形=5π14.即线段OP每秒扫过的面积是2π7或5π14.11.已知两个圆心角相同的扇形,它们的面积之比为1∶2,求它们的周长比.解设两圆的半径分别为r,R,圆心角α所对的弧长分别为l1,l2,则两扇形的周长之比为2r+l12R+l2=2r+r|α|2R+R|α|=rR=√12r2|α|12R2|α|=√12=√2即它们的周长比为1∶√2.★12.设集合A={x|2kπ+π3<x<2kπ+5π3,k∈Z},B={x|−4≤x≤4},求A∩B.解∵A={x|2kπ+π3<x<2kπ+5π3,k∈Z},∴当k=-1时,−5π3<x<−π3;当k=0时,π3<x<5π3.∵B={x|-4≤x≤4},∴A∩B={x|-4≤x<-π3或π3<x≤4}.在数轴上表示为如图中的阴影部分.§4正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4.2单位圆与周期性课时过关·能力提升1.已知角α的终边与单位圆相交于点P(-√32,12),则cos α=()A.−√32B.−12C.12D.√32答案:A2.若1 140°角的终边上有一点(4,a),则a的值是()A.4√3B.−4√3C.±4√3D.√3解析:∵x=4,y=a,r=√16+a2,∴sin 1 140°=sin(3×360°+60°)=sin 60°=√32=√16+a2解得a=4√3.答案:A3.下列函数是周期函数的有()①y=sin x;②y=cos x;③y=x2.A.①③B.②③C.①②D.①②③解析:y=sin x和y=cos x都是周期函数.函数y=x2的图像不是重复出现的,故函数y=x2不是周期函数.答案:C4.若α为象限角,则式子|sinα|sinα+|cosα|cosα有()个不同值.A.1B.2C.3D.4解析:若α为第一象限角,原式=1+1=2;若α为第二象限角,原式=1-1=0;若α为第三象限角,原式=-1-1=-2;若α为第四象限角,原式=-1+1=0.答案:C5.若sin αcos α<0,则α的终边在()A.第一或第二象限B.第一或第三象限C.第一或第四象限D.第二或第四象限解析:∵sin αcos α<0,∴sin α与cos α异号,∴α的终边在第二或第四象限.答案:D6.在△ABC中,若sin A·cos B<0,则此三角形必为三角形.解析:在△ABC中,∵0<∠A<π,∴sin A>0.又sin A·cos B<0,∴cos B<0,∴∠B为钝角.故△ABC为钝角三角形.答案:钝角7.已知角θ的终边过点P(sin2π3,cos2π3),则角θ可以是.(只填一个满足条件的即可)解析:si n2π3=√32,cos2π3=−12,即点P(√32,-12),从而点P在第四象限.因此,只需找到一个第四象限的角θ使得sin θ=−12,cos θ=√32即可,显然θ=−π6满足条件,故填−π6.答案:−π6(答案不唯一)8.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且sin α>0,cos α≤0,则a的取值范围是.解析:∵sin α>0,cos α≤0,∴{a+2>0,3a-9≤0,解得-2<a≤3.答案:-2<a≤3★9.已知cos α<0,且sin α<0.(1)求角α的集合;(2)求角α2终边所在的象限;(3)试判断si nα2·co sα2的符号.解(1)由cos α<0,得角α的终边在第二或第三象限或在x轴的非正半轴上;由sin α<0,得角α的终边在第三或第四象限或在y 轴的非正半轴上.故满足cos α<0,且sin α<0的角α在第三象限.所以角α的集合为{α|2kπ+π<α<2kπ+32π,k ∈Z}.(2)由2k π+π<α<2k π+32π(k ∈Z ),得k π+π2<α2<kπ+34π(k ∈Z ),所以角α2的终边在第二或第四象限.(3)当角α2的终边在第二象限时,si n α2>0,cos α2<0,所以si n α2·co s α2<0;当角α2的终边在第四象限时,si n α2<0,cos α2>0, 所以si n α2·co s α2<0. 综上所述,si n α2·co s α2的符号为负. 10.已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x 轴的非负半轴.若P (4,y )是角θ终边上一点,且sin θ=−2√55,求y 的值. 解根据题意,sin θ=−2√55<0及P (4,y )是角θ终边上一点,可知θ为第四象限角,所以y<0.由三角函数的定义,√4+y 2=−2√55,解得y=-8.11.已知角α的终边经过点P (-3cos θ,4cos θ),其中θ∈(2kπ+π2,2kπ+π)(k ∈Z ),求角α的正弦函数值和余弦函数值. 解∵θ∈(2kπ+π2,2kπ+π)(k ∈Z ),∴cos θ<0.又x=-3cos θ,y=4cos θ, ∴r =√x 2+y 2=√(-3cosθ)2+(4cosθ)2=−5cos θ.∴sin α=−45,cos α=35.★12.已知α是第三象限角,试判断sin(cos α)·cos(sin α)的符号.解∵α是第三象限角,∴-1<sin α<0,-1<cos α<0.∴sin(cos α)<0,cos(sin α)>0.∴sin(cos α)·cos(sin α)<0.4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质课时过关·能力提升1.已知函数y=sin x ,x ∈[π6,2π3],则y 的取值范围是( )A .[-1,1]B .[12,1]C.(12,√32)D.(√32,1)解析:由单位圆可知正弦函数y=sin x 在[π6,π2]上是增加的,在[π2,2π3]上是减少的,所以当x =π2时取得最大值1,当x =π6时取得最小值12.答案:B 2.已知函数y=sin x 的定义域为[a ,b ],值域为[-1,12],则b −a 的最大值和最小值之和等于( )A .4π3B.8π3C.2πD.4π解析:利用正弦函数的性质知(b-a )min =2π3,(b −a)max =4π3,故b-a 的最大值和最小值之和等于2π. 答案:C3.函数y =√1-12sinx 的值域是( )A .[12,1]B.[0,12]C .[1,32]D.[√22,√62]解析:∵-1≤sin x ≤1,∴12≤1−12sin x ≤32,√22≤√1-12sinx ≤√62.因此函数y =√1-12sinx 的值域是[√22,√62],故选D .答案:D4.函数y =√1+2cosx 的定义域是( )A .[-2π3,2π3]B .[2kπ-2π3,2kπ+2π3],k ∈ZC .[-π3,π3]D.[2kπ-π3,2kπ+π3],k∈Z解析:∵1+2cos x≥0,∴cos x≥−12,∴x∈[2kπ-2π3,2kπ+2π3],k∈Z,此即为所求函数的定义域,故选B.答案:B5.函数y=√1-cosx的单调增区间是.解析:∵y=cos x的递减区间是[2kπ,2kπ+π],k∈Z,它与y=-cos x的单调性相反,∴原函数的递增区间为[2kπ,2kπ+π],k∈Z.答案:[2kπ,2kπ+π],k∈Z6.函数y=1-x1+cosx的定义域是;函数y=√2sinx-1的定义域是.解析:∵1+cos x≠0,∴cos x≠-1,∴x∈{x|x≠2kπ+π,k∈Z}.∵2sin x-1≥0,∴sin x≥12,∴x∈{x|2kπ+π6≤x≤2kπ+5π6,k∈Z}.答案:{x|x≠2kπ+π,k∈Z}{x|2kπ+π6≤x≤2kπ+5π6,k∈Z}7.函数y=-sin x,x∈(-3π4,π3]的最大值为,最小值为.解析:当x=−π2时,函数y=-sin x,x∈(-3π4,π3]取得最大值1;当x=π3时,函数y=-sin x,x∈(-3π4,π3]取得最小值−√32.答案:1−√328.函数y=2-sin x的值域是,递增区间是,最小正周期是.答案:[1,3][2kπ+π2,2kπ+3π2](k∈Z)2π9.下列说法正确的有.(只填序号)①y=|sin x|的定义域为R;②y=3sin x+1的最小值为1;③y=sin x-1的递增区间为[2kπ+π2,2kπ+3π2](k ∈Z ).解析:∵y=sin x 的定义域为R ,∴y=|sin x|的定义域为R ,故①正确;当sin x=-1时,y min =-2,故②错;y=sin x-1的递增区间为[2kπ-π2,2kπ+π2],k ∈Z ,故③错. 答案:①10.已知函数y=a sin x+b 的最大值为0,最小值为-4,求a ,b 的值.解由题意知,{|a |+b =0,-|a |+b =-4,解得{a =2,b =-2或{a =-2,b =-2.11.若0<α<2π,求使sin α<√32和cos α>12同时成立的α的范围. 解利用单位圆及正弦函数的性质,在(0,2π)内,由sin α<√32,得α∈(0,π3)∪(2π3,2π). 同理,由cos α>12,得α∈(0,π3)∪(5π3,2π).故所求α的范围是(0,π3)∪(5π3,2π).★12.函数f (x )=-sin 2x+sin x+a ,若1≤f (x )≤174对一切x ∈R 恒成立,求a 的取值范围. 解f (x )=−(sinx -12)2+14+a,当sin x=-1时,y min =a-2; 当sin x =12时,y max =14+a,∴f (x )的值域为[a -2,14+a].∴{a -2≥1,14+a ≤174,∴{a ≥3,a ≤4,即3≤a ≤4. ∴a 的取值范围是[3,4].4.4 单位圆的对称性与诱导公式课时过关·能力提升1.已知f (cos x )=cos 2x ,则f (sin 15°)=( )。
本文涵盖资料目录2021年北师大版数学必修4课时作业：103角函数模型的简单应用 Word 版含解析2021年北师大版数学必修4课时作业：11位移、速度和力向量的概念Word版含解析2021年北师大版数学必修4课时作业：12向量的加法 Word版含解析2021年北师大版数学必修4课时作业：13向量的减法 Word版含解析2021年北师大版数学必修4课时作业：14数乘向量 Word版含解析2021年北师大版数学必修4课时作业：15平面向量基本定理 Word版含解析2021年北师大版数学必修4课时作业：16平面向量的坐标 Word版含解析2021年北师大版数学必修4课时作业：17从力做的功到向量的数量积Word版含解析2021年北师大版数学必修4课时作业：18平面向量数量积的坐标表示Word版含解析2021年北师大版数学必修4课时作业：19向量应用举例 Word版含解析2021年北师大版数学必修4课时作业：1周期现象角的概念的推广 Word 版含解析2021年北师大版数学必修4课时作业：20同角3角函数的基本关系 Word 版含解析2021年北师大版数学必修4课时作业：21两角差的余弦函数 Word版含解析2021年北师大版数学必修4课时作业：22两角和与差的正弦、余弦 Word 版含解析2021年北师大版数学必修4课时作业：23两角和与差的正切函数 Word 版含解析2021年北师大版数学必修4课时作业：242倍角的3角函数（1） Word 版含解析2021年北师大版数学必修4课时作业：252倍角的3角函数（2） Word 版含解析2021年北师大版数学必修4课时作业：2弧度制 Word版含解析2021年北师大版数学必修4课时作业：3任意角的正弦函数、余弦函数的定义单位圆与周期性 Word版含解析2021年北师大版数学必修4课时作业：4单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质单位圆的对称性与诱导公式2021年北师大版数学必修4课时作业：5正弦函数的图像正弦函数的性质 Word版含解析2021年北师大版数学必修4课时作业：6余弦函数的图像余弦函数的性质 Word版含解析2021年北师大版数学必修4课时作业：7正切函数的定义正切函数的图像与性质 Word版含解析2021年北师大版数学必修4课时作业：8正切函数的诱导公式 Word版含解析2021年北师大版数学必修4课时作业：9函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象Word版含解析2021年北师大版数学必修4课时作业：第1章章末检测卷 Word版含解析2021年北师大版数学必修4课时作业：第2章章末检测卷 Word版含解析2021年北师大版数学必修4课时作业：第3章章末检测卷 Word版含解析2021年北师大版数学必修4课时作业：模块提升卷 Word版含解析课时作业10 三角函数模型的简单应用 |基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．电流I (A)随时间t (s)变化的关系是I ＝3sin100πt ，t ∈[0，＋∞)，则电流I 变化的周期是( )A.150 B ．50 C.1100 D ．100解析：T ＝2π100π＝150. 答案：A2．已知A 1，A 2，…A n 为凸多边形的内角，且lgsin A 1＋lgsin A 2＋…＋lgsin A n ＝0，则这个多边形是( )A ．正六边形B ．梯形C ．矩形D ．含锐角菱形 解析：由题意，得sin A 1·sin A 2·…·sin A n ＝1， ∴sin A 1＝sin A 2＝…＝sin A n ＝1， ∴A 1＝A 2＝…＝A n ＝90°.根据多边形的内角和得n ×90°＝(n －2)×180°， 解得n ＝4. 答案：C 3.如图为一半径为3米的水轮，水轮圆心O 距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P 到水面的距离y (米)与时间x (秒)满足函数关系y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则有( )A ．ω＝2π15，A ＝3B ．ω＝152π，A ＝3C ．ω＝2π15，A ＝5D ．ω＝152π，A ＝5解析：周期T ＝15秒，ω＝2πT ＝2π15. 答案：A4．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最P (t )/mmHg115 140 115 90 115描点、连线并左右扩展得到函数P (t )的简图如图所示．(4)此人的收缩压为115＋25＝140(mmHg)，舒张压为115－25＝90(mmHg)，与标准值120/80 mmHg 相比较，此人血压偏高．10．已知电流I (A)与时间t (s)的关系为I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)． (1)如图所示的是该函数在一个周期内的图象，求该函数的解析式；(2)如果t 在任意一段1150s 的时间内，电流I 都能取到最大值和最小值，那么ω的最小值是多少？解析：(1)由图可知A ＝300，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1180＋1900＝175，∴ω＝2πT ＝150π. 又当t ＝1180时，I ＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫150π·1180＋φ＝0， 而|φ|<π2，∴φ＝π6.故所求的函数解析式为I ＝300sin(150πt ＋π6)．(2)依题意，周期T ≤1150，即2πω≤1150， ∴ω≥300π，故ω的最小值为300π. |能力提升|(20分钟，40分)11．初速度为v 0，发射角为θ，则炮弹上升的高度y 与v 0之间的关系式(t 是飞行的时间)为( )A ．y ＝v 0tB ．y ＝v 0t sin θC ．y ＝v 0t sin θ－12gt 2 D ．y ＝v 0t cos θ解析：由速度的分解可知炮弹上升的初速度为v 0sin θ.故炮弹上升的高度y ＝v 0t sin θ－12gt 2，故选C.答案：C12．一半径为6米的水轮如图，水轮圆心O 距离水面3米，已知水轮每分钟转动4圈，水轮上点P 从水中浮现时开始到其第一次达到最高点的用时为________秒．解析：过O 作水平面的垂线，垂足为Q ，如图所示由已知可得OQ ＝3，OP ＝6，则cos ∠POQ ＝12，即∠POQ ＝60°，则水轮上点P 从水中浮现时开始到其第一次达到最高点要旋转120°，即13个周期，又由水轮每分钟转动4圈，可知周期是15秒，故水轮上点P 从水中浮现时开始到第一次达到最高点的用时为5秒． 答案：513．如图，某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．(1)求出种群数量y 关于时间t 的函数表达式(其中t 以年初以来的月为计量单位)；(2)估计当年3月1日动物种群数量． 解析：(1)设动物种群数量y 关于t 的解析式为y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b (A >0，ω>0)， 则⎩⎨⎧－A ＋b ＝700，A ＋b ＝900，解得A ＝100，b ＝800. 又周期T ＝2×(6－0)＝12，所以ω＝2πT ＝π6，所以y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t ＋φ＋800(t ≥0)．又当t ＝6时，y ＝900，所以900＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×6＋φ＋800，所以sin(π＋φ)＝1，所以sin φ＝－1，所以取φ＝－π2，所以y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6t －π2＋800.(2)当t ＝2时，y ＝100sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×2－π2＋800＝750，即当年3月1日动物种群数量约是750.14．某港口水深y (米)是时间t (0≤t ≤24，单位：小时)的函数，记作y ＝f (t )，下面是某日水深的数据.t /小时 0 3 6 9 12 15 18 2124y /米 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 9.9 7.010.0经长期观察，y ＝f (t )的曲线可近似地看成是函数y ＝A sin ωt ＋b 的图象． (1)试根据以上数据，求出函数y ＝f (t )的近似解析式．(2)一般情况下，船舶航行时，船底高出海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的(船舶停靠时，船底只需不碰海底即可)．某船吃水深度(船底离水面的距离)为6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，那么它至多能在港内停留多长时间(忽略进出港所需的时间)?解析：(1)由已知数据，描出曲线如图：易知函数y ＝f (t )的周期T ＝12，振幅A ＝3，b ＝10，∴ω＝2πT ＝π6，∴y ＝3sin π6t ＋10.(2)由题意，该船进出港时，水深应不小于5＋6.5＝11.5米，由y ≥11.5，得3sin π6t ＋10≥11.5，∴sin π6t ≥12.① ∵0≤t ≤24，∴0≤π6t ≤4π.②由①②得π6≤π6t ≤5π6或13π6≤π6t ≤17π6. 化简得1≤t ≤5或13≤t ≤17.∴该船最早能在凌晨1点进港，5点出港或在13点进港，17点出港．每次至多可以在港内停留4小时．课时作业11位移、速度和力向量的概念5．如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断错误的是( )A.AB →＝OC →B.AB →∥DE →C ．|AD →|＝|BE →| D.AD →＝FC →解析：由题图可知，|AD →|＝|FC →|，但AD →、FC →不共线，故AD →≠FC →，故选D. 答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________.解析：因为正方形的对角线长为22，所以|OA →|＝ 2.答案： 27．给出下列三个条件：①|a |＝|b |；②a 与b 方向相反；③|a |＝0或|b |＝0，其中能使a ∥b 成立的条件是________．解析：由于|a |＝|b |并没有确定a 与b 的方向，即①不能够使a ∥b 成立；因为a 与b 方向相反时，a ∥b ，即②能够使a ∥b 成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a |＝0或|b |＝0时，a ∥b 能够成立．故使a ∥b 成立的条件是②③.答案：②③8．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC 是共线向量，则m ＝________.解析：∵A ，B ，C 不共线，∴AB →与BC →不共线．又m 与AB →，BC →都共线，∴m ＝0.答案：0三、解答题(每小题10分，共20分)9．在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a .(1)试以B 为起点画一个向量b ，使b ＝a .(2)画一个以C 为起点的向量c ，使|c |＝2，并说出c 的终点的轨迹是什么．解析：(1)根据相等向量的定义，所作向量b 应与a 同向，且长度相等，如图所示．(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c ，所有这样的向量c 的终点的轨迹是以点C 为圆心，2为半径的圆，如图所示．10．如图所示，在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N 、M 分别是AD 、BC 上的点，且CN →＝MA →.求证：DN →＝MB →.证明：∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →|且AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴|DA →|＝|CB →|且DAࠀ12ࠀ12ࠀ12ࠀ12ࠀ12ࠀ12ࠀ12ࠀ12ࠀ12ࠀ12ࠀ12ࠀ12ࠀ12ࠀ12ࠀ12ࠀ12ࠀ12ࠀ12ࠀ12ࠀ12ࠀ12ࠀ12ࠀ12ࠀ12ࠀ12ࠀ12ࠀ12ࠀ12ࠀ12ࠀ12ࠀ12헱볈颩颅颅颅颅皅薘顶皅薘顶顢121212121212121212121212121212121212121212ࠀࠀࠀࠀࠀࠀ㔀脈࠶䎁ࠀ伀J 儀J 帀J 愀ࠀ12ࠀࠀࠀࠀࠀࠀ䌀ࠀ儀ي帀J 愀ࠀ12ࠀࠀࠀࠀࠀࠀ䌀ࠀ伀J 倀࠶儀J 帀J 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的两条对角线的交点，则AO →＋OC →＋CB →＝AC →＋CB →＝AB →.故选A.答案：A2．在矩形ABCD 中，|AB →|＝4，|BC →|＝2，则向量AB →＋AD →＋AC →的长度等于( )A ．2 5B ．4 5C ．12D ．6解析：因为AB →＋AD →＝AC →，所以AB →＋AD →＋AC →的长度为AC →的模的2倍，故选B.答案：B3．如图在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是( )A.AB →＋CD →＝0B.AD →＋AB →＝AC →C.AD →＋BD →＝AB →D.AD →＋CB →＝0解析：由|AB →|＝|CD →|，且AB →与CD →的方向相反，知AB →与CD →是一对相反向量，因此有AB →＋CD →＝0，故选项A 正确；由向量加法的平行四边形法则知AD →＋AB →＝AC →，故选项B 正确；由AB →－AD →＝DB →，得AB →＝AD →＋DB →，故选项C 错误；AD →与CB →是一对相反向量，故AD →＋CB →＝0，故选项D 正确．答案：C4．如图所示，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，则OA →＋BC →＋AB →＝( ) A.CD → B.OC →C.DA →D.CO →解析：OA →＋BC →＋AB →＝OA →＋AB →＋BC →＝OC →.答案：B5．如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于( )A ．1B ．2C ．3D ．2 3 解析：由正六边形知FE →＝BC →，所以AB →＋FE →＋CD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →，所以|AB →＋FE →＋CD →|＝|AD →|＝2.故选B.答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．化简(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝________.解析：原式＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＋BC →＝AO →＋OB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →.答案：AC →7．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，|AB →|＝1，则|BC →＋CD →|＝________. 解析：在菱形ABCD 中，连接BD ，∵∠DAB ＝60°，∴△BAD 为等边三角形，又∵|AB →|＝1，∴|BD →|＝1，|BC →＋CD →|＝|BD →|＝1.答案：18．小船以10 3 km/h 的速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为10 km/h ，则小船实际航行速度的大小为________km/h.解析：如图，设船在静水中的速度为|v 1|＝10 3 km/h ，河水的流速为|v 2|＝10 km/h ，小船实际航行速度为v 0，则由|v 1|2＋|v 2|2＝|v 0|2，得(103)2＋102＝|v 0|2，所以|v 0|＝20 km/h ，即小船实际航行速度的大小为20 km/h.答案：20三、解答题171717171717ࠀ17ࠀ17ࠀ17ࠀ17ࠀ17ࠀ17ࠀ17ࠀ17ࠀ17ࠀ17ࠀ17ࠀ17ࠀ17ࠀ17ࠀ17ࠀ17ࠀ17ࠀ17ࠀ17ࠀ17ࠀ17ࠀ17ࠀ17ࠀ17ࠀ17ࠀ17ࠀ17ࠀ17ࠀ17가࠶࠶࠶࠶࠶࠶࠶奭蒖䪖涖涩1717ࠀ孨ैࠀ텨䜥䌀ࠀ儀ै帀J 愀ࠀ17ࠀ孨ैࠀ텨䜥䌀ࠀ伀ي倀ي儀ي帀ي愀ࠀ漀Ĩ̭j17ࠀ孨ैࠀ텨䜥䌀ࠀ伀ي倀ي儀ي唀Ĉ䩞0䩡6ࠀ孨ैࠀ텨䜥㘀脈䩃6䩏17䩑17䩞17䩡6ࠀ孨ैࠀ텨䜥䌀ࠀ伀J 倀Պ儀J 帀J 愀ࠀ17ࠀ孨ैࠀ텨䜥䌀ࠀ伀J 儀J 帀J 愀ࠀ17ࠀ孨ैࠀ텨䜥䌀ࠀ伀J 倀ъ儀J 帀J 愀ࠀ17ࠀ孨ैࠀ텨䜥䌀ࠀ愀ࠀ漀Ĩࠀ孨ैࠀ텨䜥䌀ࠀ倀࠶愀ࠀ17ࠀ孨ैࠀ텨䜥䌀ࠀ愀ࠀ17ࠀ孨ैࠀ텨䜥䌀ࠀ伀J 儀J 愀ࠀࠀࠀ17ࠀ17ࠀ17ࠀ17ࠀ17ࠀ17ࠀ17ࠀ17ࠀ17ࠀ17ࠀ17ࠀ17ै17ࠀ17ࠀ17ै17ै17Ⴆ17ࠀ17ࠀ17ࠀ17ࠀ17ò1717171717171717171717Ð1717171717퀀171717171717Ð1717171717퀀171717171717Ð1717171717퀀171717171717Ð1717171717퀀171717171717Ð1717171717퀀171717171717Ð1717171717퀀171717171717¸1717171717퀀171717171717Ð1717171717퀀171717171717Ð1717171717퀀171717171717Ð171717171717171717ࠀ␃가ैD 䜁Jun 왍17 17圀졄怀愁Ĥ摧◑G ࠀ萑Ǡ䐭Ā⑇䴀ै17࠶ ÿ17䑗È葠Ǡ摧◑G ԍैD 䴁ै17࠶ ÿ17摧◑GȍैD 䴁ै17࠶ ÿ17摧◑G 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→＝－OF →－OE →解析：EF →＝EO →＋OF →＝OF →－OE →＝EO →－FO →＝－OE →－FO →.故选B.答案：B3．下列式子不正确的是( )A ．a －0＝aB ．a －b ＝－(b －a )C.AB →＋BA →≠0D.AC →＝DC →＋AB →＋BD →解析：根据向量减法的三角形法则，A 正确；B 正确；因为AB →与BA →是一对相反向量，相反向量的和为零向量，所以C 不正确；根据向量加法的多边形法则，D 正确．答案：C4．如图，在四边形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BC →＝c ，则DC →＝( )A ．a －b ＋cB ．b －(a ＋c )答案：2三、解答题(每小题10分，共20分)9．如图所示，已知OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →＝e ，OF →＝f ，试用a ，b ，c ，d ，e ，f 表示：(1)AD →－AB →； (2)AB →＋CF →； (3)EF →－CF →.解析：(1)因为OB →＝b ，OD →＝d ，所以AD →－AB →＝BD →＝OD →－OB →＝d －b .(2)因为OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OF →＝f ，所以AB →＋CF →＝(OB →－OA →)＋(OF →－OC →)＝b ＋f －a －c . (3)EF →－CF →＝EF →＋FC →＝EC →＝OC →－OE →＝c －e .10．已知P 1P →＝32PP 2→，又PP 2→＝λP 2P 1→，求实数λ.解析：因为PP 2→＝λP 2P 1→，所以PP 2→＝λ(PP 1→－PP 2→)，可得λP 1P →＝(－1－λ)PP 2→.又因为P 1P →＝32PP 2→，所以λP 1P →＝32λPP 2→，可得－1－λ＝32λ，解得λ＝－25.|能力提升|(20分钟，40分)11．平面内有三点A ，B ，C ，设m ＝AB →＋BC →，n ＝AB →－BC →，若|m |＝|n |，则有( )A ．A ，B ，C 三点必在同一直线上B ．△ABC 必为等腰三角形且∠ABC 为顶角 C ．△ABC 必为直角三角形且∠ABC ＝90°D ．△ABC 必为等腰直角三角形解析：如图，作AD →＝BC →，则ABCD 为平行四边形，从而m ＝AB →＋BC →＝AC →，n ＝AB →－BC →＝AB →－AD →＝DB →.因为|m |＝|n |，所以|AC →|＝|DB →|.所以四边形ABCD 是矩形，所以△ABC 为直角三角形，且∠ABC ＝90°. 答案：C12．给出下列命题：①若OD →＋OE →＝OM →，则OM →－OE →＝OD →；②若OD →＋OE →＝OM →，则OM →＋DO →＝OE →；③若OD →＋OE →＝OM →，则OD →－EO →＝OM →；④若OD →＋OE →＝OM →，则DO →＋EO →＝MO →. 其中正确命题的序号为________．解析：①因为OD →＋OE →＝OM →，所以OD →＝OM →－OE →，正确； ②OM →－OD →＝OE →，所以OM →＋DO →＝OE →，正确；③因为OE →＝－EO →，所以OD →－EO →＝OM →，正确；④－OM →＝－OD →－OE →，所以MO →＝DO →＋EO →，正确． 答案：①②③④13．已知e 1，e 2是两个非零不共线的向量，a ＝2e 1－e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a 与b 是共线向量，求实数k 的值．解析：∵a 与b 是共线向量，∴a ＝λb ， ∴2e 1－e 2＝λ(k e 1＋e 2)＝λk e 1＋λe 2， ∴⎩⎨⎧ λk ＝2λ＝－1，∴⎩⎨⎧k ＝－2λ＝－1， ∴k ＝－2.14．若a ≠0，b ≠0，且|a |＝|b |＝|a －b |，求a 与a ＋b 所在直线的夹角．解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，则a －b ＝BA →， ∵|a |＝|b |＝|a －b |， ∴|OA →|＝|OB →|＝|BA →|，∴△OAB 是等边三角形， ∴∠BOA ＝60°. ∵OC →＝a ＋b ，且在菱形OACB 中， 对角线OC 平分∠BOA .∴a 与a ＋b 所在直线的夹角为30°.课时作业14 数乘向量8．设a ，b 是两个不共线的向量．若向量k a ＋2b 与8a ＋k b 的方向相反，则k ＝________.解析：因为向量k a ＋2b 与8a ＋k b 的方向相反，所以k a ＋2b ＝λ(8a ＋k b )⇒k ＝8λ，2＝λk ⇒k ＝－4(因为方向相反，所以λ<0⇒k <0)．答案：－4三、解答题(每小题10分，共20分) 9．计算 (1)13(a ＋2b )＋14(3a －2b )－12(a －b )；(2)12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(3a ＋2b )－23a －b －76⎣⎢⎡⎦⎥⎤12a ＋37⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋76a . 解析：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋34－12a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23－12＋12b＝712a ＋23b .(2)原式＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫73a ＋b －76⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋37b ＝76a ＋12b －76a －12b ＝0.10．已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，且OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →(λ∈R ，λ≠1，λ≠0)．(1)求证：A ，B ，M 三点共线．(2)若点B 在线段AM 上，求实数λ的取值范围．解析：(1)因为OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →，所以OM →＝λOB →＋OA →－λOA →， OM →－OA →＝λOB →－λOA →，即AM →＝λAB →，又λ∈R ，λ≠1，λ≠0且AM →，AB →有公共点A ，所以A ，B ，M 三点共线．(2)由(1)知AM →＝λAB →，若点B 在线段AM 上， 则AM →，AB →同向且|AM →|>|AB →|(如图所示)，所以λ>1.|能力提升|(20分钟，40分)11．已知a ，b 是两个不共线的向量，AB →＝λ1a ＋b ，AC →＝a ＋λ2b (λ1，λ2∈R )，若A ，B ，C 三点共线，则( )A ．λ1＝λ2＝－1B ．λ1＝λ2＝1C ．λ1λ2＋1＝0D ．λ1λ2－1＝0解析：若A ，B ，C 三点共线，则AB →，AC →共线，所以存在实数λ，使得AC →＝λAB →，即a ＋λ2b ＝λ(λ1a ＋b )，即(1－λλ1)a ＋(λ2－λ)b ＝0，由于a ，b 不共线，所以1＝λλ1且λ2＝λ，消去λ得λ1λ2＝1.答案：D12．如图所示，在△ABC 中，D 为BC 边上的一点，且BD ＝2DC ，若AC →＝mAB →＋nAD →(m ，n ∈R )，则m －n ＝________.解析：直接利用向量共线定理，得BC →＝3DC →，则AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋3DC →＝AB →＋3(AC →－AD →)＝AB →＋3AC →－3AD →，AC →＝－12AB →＋32AD →，则m ＝－12，n ＝32，那么m －n ＝－12－32＝－2.答案：－213．已知e ，f 为两个不共线的向量，若四边形ABCD 满足AB →＝e ＋2f ，BC →＝－4e －f ，CD →＝－5e －3f .(1)用e 、f 表示AD →；(2)证明：四边形ABCD 为梯形．解析：(1)AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝(e ＋2f )＋(－4e －f )＋(－5e －3f )＝(1－4－5)e ＋(2－1－3)f ＝－8e －2f .(2)证明：因为AD →＝－8e －2f ＝2(－4e －f )＝2BC →，所以AD →与BC →方向相同，且AD →的长度为BC →的长度的2倍，即在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，且AD ≠BC ，所以四边形ABCD 是梯形．14．如图所示，在△ABC 中，点D 是边BC 的中点，A ，D ，E 三点共线，求证：存在一个实数λ，使得AE →＝λ(AB →＋AC →)．证明：由向量加法的平行四边形法则可知AD →＝12(AB →＋AC →)． 因为A ，D ，E 三点共线，课时作业15平面向量基本定理M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μBC →，则λ＋μ＝________.解析：因为AB ＝2，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC ，所以BH ＝1，又M 为AH 的中点，BC ＝3，所以AM →＝12AH →＝12(AB →＋BH →)＝12(AB →＋13BC →)＝12AB →＋16BC →，所以λ＋μ＝23.答案：23三、解答题(每小题10分，共20分)9．已知e 1，e 2是平面内两个不共线的向量，a ＝3e 1－2e 2，b ＝－2e 1＋e 2，c ＝7e 1－4e 2，试用向量a 和b 表示c .解析：因为a ，b 不共线，所以可设c ＝x a ＋y b ， 则x a ＋y b ＝x (3e 1－2e 2)＋y (－2e 1＋e 2) ＝(3x －2y )e 1＋(－2x ＋y )e 2＝7e 1－4e 2. 又因为e 1，e 2不共线，所以⎩⎨⎧ 3x －2y ＝7－2x ＋y ＝－4，解得⎩⎨⎧x ＝1y ＝－2，所以c ＝a －2b .10．如图所示，设M ，N ，P 是△ABC 三边上的点，且BM →＝13BC →，CN →＝错误!␃가ैD 䜁Jun 왍30 30圀졄怀愁Ĥ摧࠶21ࠀ萑Ǡ䐭Ā⑇䴀ै30࠶ ÿ30䑗È葠Ǡ摧࠶21ȍैD 䴁ै30࠶ ÿ30摧࠶21ࠀै30ै30ै30ࠀ30ࠀ30ࠀ30ࠀ30ࠀ30ࠀ30ࠀ30ࠀ30ࠀ30ࠀ30ࠀ30ࠀ30ै30ै30ࠀ30ࠀ30ࠀ30ࠀ30ࠀ30ࠀ30ै30ࠀ30ࠀ30ࠀ30ࠀ30ࠀ30ࠀ30ࠀ30ࠀ30ࠀ30ࠀ30ࠀ30ैैैै귫袛衷睤瞛瞛鮈瞈瞛瞛袛袛瞛30303030303030303030303030ࠀ가ैࠀࠀࠀ䌀ࠀ伀J 倀࠶儀J 帀J 愀ࠀ30ࠀ가ैࠀࠀࠀ䌀ࠀ伀J 儀J 帀J 愀ࠀ30ࠀ가ैࠀࠀࠀ䌀ࠀ伀J 倀ъ儀J 帀J 愀ࠀ30ࠀ가ैࠀࠀࠀ㘀脈䩃6䩏30䩑30䩞30䩡6ࠀ가ैࠀࠀࠀ䈀ت䩃6䩏30䩐 䩑30䩞30䩡6桰ÿ30ࠀ가ैࠀࠀࠀ㘀脈䩃6䩏30䩐䩑30䩞30䩡6ࠀ가ैࠀࠀࠀ䌀ࠀ伀J 倀Պ儀J 帀J 愀ࠀ30ࠀ가ैࠀࠀࠀ䌀ࠀ伀ъ倀ъ儀ъ帀ъ愀ࠀ漀Ĩ∀ࠀ30ࠀ30ࠀ30ࠀ30ࠀ30ࠀ30ࠀ30ࠀ30ࠀ30ै30ै30ै30ै30ै30ै30ࠀ30ै30ࠀ30ࠀ30ࠀ30ࠀ30ࠀ30ࠀ30ࠀ30ࠀ30ࠀ30ࠀ30ࠀ30ࠀ30ࠀ30ࠀ30ै돊쪟쫛貳扵扎扎龳덢扎龳乢덢乢30ࠀ가ैࠀࠀࠀ㘀脈䩃6䩏30䩐䩑30䩞30䩡6ࠀ가ैࠀࠀࠀ䌀ࠀ伀J 倀Պ儀J 帀J 愀ࠀ30ࠀ가ैࠀࠀࠀ䈀Ȫ䩃6䩏30䩐 䩑30䩞30䩡6桰30ÿࠀ가ैࠀࠀࠀ䌀ࠀ伀J 倀ъ儀J 帀J 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【北师大版】高中数学必修四全册学案（全册共340页附答案）目录§1周期现象§2角的概念的推广§3弧度制4．1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4．2 单位圆与周期性4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质4．4 单位圆的对称性与诱导公式(一)4.4 单位圆的对称性与诱导公式(二)5．1 正弦函数的图像5.2 正弦函数的性质§6余弦函数的图像与性质7．1 正切函数的定义7．2 正切函数的图像与性质7.3 正切函数的诱导公式§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(一)§8函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像与性质(二)§9三角函数的简单应用章末复习课第二章平面向量§1从位移、速度、力到向量2．1 向量的加法2.2 向量的减法3．1 数乘向量3.2 平面向量基本定理§4平面向量的坐标§5从力做的功到向量的数量积§1周期现象内容要求 1.了解周期现象，能判断简单的实际问题中的周期(重点).2.初步了解周期函数的概念，能判断简单的函数的周期性(难点)．知识点周期现象(1)概念：相同间隔重复出现的现象．(2)特点：①有一定的规律；②不断重复出现．【预习评价】1．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)地球上一年春、夏、秋、冬四季的变化是周期现象．(√)(2)钟表的分针每小时转一圈，它的运行是周期现象．(√)2．观察“2,0,1,7,2,0,1,7,2,0,1,7，…”寻找规律，则第25个数字是________．解析观察可知2,0,1,7每隔四个数字重复出现一次，具有周期性，故第25个数字为2. 答案 2题型一周期现象的判断【例1】判断下列现象是否为周期现象，并说明理由．(1)地球的自转；(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数；(3)钟表的秒针的转动；(4)某段高速公路每天通过的车辆数．解(1)地球每天自转一圈，并且每一天内的任何时段总会重复前一天内相同时段的动作，因此是周期现象．(2)连续抛掷一枚骰子，朝上一面的点数有可能为1,2，…，6，并且前一次出现的点数，下一次可能出现，也可能不出现，故出现的点数是随机的，因此不是周期现象．(3)钟表的秒针的转动，每一分钟转一圈，并且每分钟总是重复前一分钟的动作，因此是周期现象．(4)某段高速公路每天通过的车辆数，会因时间、天气、交通状况等因素而发生变化，没有一个确定的规律，因此不是周期现象．规律方法周期现象的判断关键：首先要认真审题，明确题目的实际背景，然后应牢牢抓住“间隔相同，现象(或值)重复出现”这一重要特征进行判断．【训练1】判断下列现象是否为周期现象：(1)每届奥运会的举办时间；(2)北京天安门广场的国旗，日出时升旗，日落时降旗，则其每天的升旗时间；(3)中央电视台每晚7：00的新闻联播．解(1)奥运会每4年一届，所以其举办时间呈周期现象．(2)北京每天的日出、日落随节气变化，并非恒定，相邻两天的升旗时间间隔是变化的，不是常数，所以不是周期现象．(3)每24小时，新闻联播重复一次，所以是周期现象．题型二周期现象的应用【例2】一个地区不同日子里白昼的时长是不同的，所给表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间近似到0.1小时)：坐标系中画出这些数据的散点图，并估计该地区一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．(2)白昼时间的变化是否具有周期现象？你估计该地区来年6月21日的白昼时间是多少？解(1)散点图如图所示，因为从4月27日至8月13日的白昼时间均超过15.9小时，所以该地区一年白昼时间超过15.9小时的大约有3＋31＋30＋31＋12＝107(天)．(2)由散点图可知，白昼时间的变化是周期现象，该地区来年6月21日的白昼时间为19.4小时．规律方法收集数据、画散点图，分析、研究数据特点从而得出结论是用数学方法研究现实问题的常用方法．【训练2】受日月的引力，海水会发生涨落，这种现象叫做潮汐．已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：几次？时间最长的一次是什么时候？有多长时间？解由题中表可知，一天内能开放三次，时间最长的一次是上午9时至下午3时，共6个小时．【例3】2017年5月1日是星期一，问2017年10月1日是星期几？解按照公历记法，2017年5、7、8这三个月份都是31天，6、9月份各30天．从2017年5月1日到2017年10月1日共有153天，因为每星期有7天，故由153＝22×7－1知，从2017年5月1日再过154天恰好与5月1日相同都是星期一，这一天是公历2017年10月2日，故2017年10月1日是星期日．【迁移1】试确定自2017年5月1日再过200天是星期几？解由200＝28×7＋4知自2017年5月1日再过200天是星期五．【迁移2】从2017年5月1日到2017年10月1日经过了几个星期五？几个星期一？解因为从2017年5月1日到2017年10月1日的153天中有21个完整的周期零6天，在每个周期中有且仅有一个星期五和一个星期一，故共经过了22个星期五，21个星期一．【迁移3】试确定自2017年5月1日再过7k＋3(k∈Z)天后那一天是星期几？解每隔七天，周一至周日依次循环，故7k天后为周一，7k＋3天后为星期四．规律方法应用周期性解决实际问题的两个要点特别提醒计算两个日期的间隔时间时要注意有的月份30天，有的月份31天，二月份有28天(或29天)．课堂达标1．下列自然现象：月亮东升西落，气候的冷暖，昼夜变化，火山爆发．其中是周期现象的有( )A．1个B．2个C．3个D．4个解析月亮东升西落及昼夜变化为周期现象；气候的冷暖与火山爆发不是周期现象，故选B.答案 B2．如果今天是星期五，则58天后的那一天是星期( )A．五B．六C．日D．一解析每隔七天循环一次，58＝7×8＋2，故58天后为周日．答案 C3．共有50架飞机组成编队，按侦察机、直升机、轰炸机、歼击机的顺序轮换编队，则最后一架飞机是________飞机．解析周期为4,50＝12×4＋2，所以最后一架是直升机．答案直升机4．某物体作周期运动，如果一个周期为0.4秒，那么运动4秒，该物体经过了________个周期．解析4÷0.4＝10，所以经过了10个周期．答案105．某班有48名学生，每天安排4名同学进行卫生值日，按一周上五天课，一学期二十周计算，该班每位同学一学期要值日几次？解共有48名学生，每天安排4名，则12个上课日就轮完一遍．一学期有5×20＝100(个)上课日，而12×8＝96(个)上课日，所以一个学期内该班每位同学至少值日8次，有部分同学要值日9次．课堂小结1．对于某些具有重复现象的事件，研究其规律，可预测未来在一定时间该现象发生的可能性及发生规律，具有一定的研究价值．2．利用散点图可以较直观地分析两变量之间的某种关系，然后再利用这种关系选择一种合适的函数去拟合这些散点，从而可以避免因盲目选择函数模型而造成的不必要的失误.基础过关1．下列是周期现象的为( ) ①闰年每四年一次；②某交通路口的红绿灯每30秒转换一次； ③某超市每天的营业额； ④某地每年6月份的平均降雨量． A ．①②④B ．②④C ．①②D ．①②③解析 ①②是周期现象；③中每天的营业额是随机的，不是周期现象；④中每年6月份的降雨量也是随机的，不是周期现象． 答案 C2．把17化成小数，小数点后第20位是( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析 17＝0.1·42857·，小数点后“142857”呈周期性变化，且周期为 6.∵20＝3×6＋2，∴第20位为4. 答案 C3．按照规定，奥运会每4年举行一次.2016的夏季奥运会在巴西举办，那么下列年份中不举办夏季奥运会的应该是( ) A ．2020 B ．2024 C ．2026D ．2028解析 C 中2026不是4的倍数，选C. 答案 C4．把一批小球按2个红色，5个白色的顺序排列，第30个小球是________色． 解析 周期为7,30＝4×7＋2，所以第30个小球与第2个小球颜色相同，为红色． 答案 红5．如图所示，变量y与时间t(s)的图像如图所示，则时间t至少隔________ s时y＝1会重复出现1次．答案 26．若今天是星期一，则第7天后的那一天是星期几？第120天后的那一天是星期几？(注：今天是第一天)解每星期有7天，从星期一到星期日，呈周期性变化，其周期为7.∴第7天后的那一天是星期一．∵120＝17×7＋1，∴第120天后的那一天是星期二．7．水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，假设水车5分钟转一圈，计算1小时内最多盛水多少升？解因为1小时＝60分钟＝12×5分钟，且水车5分钟转一圈，所以1小时内水车转12圈．又因为水车上装有16个盛水槽，每个盛水槽最多盛水10升，所以每转一圈，最多盛水16×10＝160(升，)所以水车1小时内最多盛水160×12＝1 920(升)．能力提升8．钟表分针的运动是一个周期现象，其周期为60分钟，现在分针恰好指在2点处，则100分钟后分针指在( )A．8点处B．10点处C．11点处D．12点处解析由于100＝1×60＋40，所以100分钟后分针所指位置与40分钟后分针所指位置相同，现在分针恰好指在2点处，经过40分钟分针应指在10点处，故选B.答案 B9．设钟摆每经过1.8秒回到原来的位置．在图中钟摆达到最高位置A点时开始计时，经过1分钟后，钟摆的大致位置是( )A．点A处B．点B处C．O、A之间D．O、B之间解析 钟摆的周期T ＝1.8 秒，1分钟＝(33×1.8＋0.6)秒，又T 4＜0.6＜T2，所以经过1分钟后，钟摆在O 、B 之间． 答案 D10．今天是星期六，再过100天后是星期________． 解析 100＝14×7＋2，∴再过100天是星期一． 答案 一11．一个质点，在平衡位置O 点附近振动，如果不考虑阻力，可将此振动看作周期运动，从O 点开始计时，质点向左运动第一次到达M 点用了0.3 s ，又经过0.2 s 第二次通过M 点，则质点第三次通过M 点，还要经过的时间可能是________ s.解析 质点从O 点向左运动，O →M 用了0.3 s ，M →A →M 用了0.2 s ，由于M →O 与O →M 用时相同，因此质点运动半周期T2＝0.2＋0.3×2＝0.8(s)，从而当质点第三次经过M 时用时应为M →O →B →O →M ，所用时间为0.3×2＋0.8＝1.4(s)． 答案 1.412．游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O 距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：(1)你与地面的距离随时间的变化而变化，这个现象是周期现象吗？ (2)转四圈需要多少时间？(3)你第四次距地面最高需要多少时间？ (4)转60分钟时，你距离地面是多少？ 解 (1)是周期现象，周期12分钟/圈． (2)转四圈需要时间为4×12＝48(分钟)．(3)第1次距离地面最高需122＝6(分钟)，而周期是12分钟，所以第四次距地面最高需12×3＋6＝42(分钟)．(4)∵60÷12＝5，∴转60分钟时你距离地面与开始时刻距离地面相同，即40.5－40＝0.5(米)．13．(选做题)下面是一个古希腊的哲学家、数学家、天文学家毕达哥拉斯的故事：有一次毕达哥拉斯处罚学生，让他来回数在黛安娜神庙的七根柱子(这七根柱子的标号分别为A，B，C，…，G)，如图所示，一直到指出第1 999个数的柱子的标号是哪一个才能够停止．你能帮助这名学生尽快结束这个处罚吗？解通过观察可发现规律：数“2,3,4，…，1 997,1 998，1 999”按标号为“B，C，D，E，F，G，F，E，D，C，B，A”这12个字母循环出现，因此周期是12.先把1去掉，(1 999－1)÷12＝166……6，因此第1 999个数的柱子的标号与第167个周期的第6个数的标号相同，故数到第1 999个数的柱子的标号是G.§2角的概念的推广内容要求 1.理解正角、负角、零角与象限角的概念(知识点1 角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点O从一个位置OA旋转到另一个位置OB 所形成的图形．点O是角的顶点，射线OA，OB分别是角α的始边和终边．(2)按照角的旋转方向，分为如下三类：(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)按逆时针方向旋转所成的角是正角(√)(2)按顺时针方向旋转所成的角是负角(√)(3)没有作任何旋转就没有角对应(×)(4)终边和始边重合的角是零角(×)(5)经过1小时时针转过30°(×)知识点2 象限角如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．【预习评价】1．锐角属于第几象限角？钝角又属于第几象限角？提示锐角属于第一象限角，钝角属于第二象限角．2．第二象限的角比第一象限的角大吗？提示不一定．如120° 是第二象限的角，390°是第一象限的角，但120°＜390°.知识点3 终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和．【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)终边相同的角一定相等(×)(2)相等的角终边一定相同(√)(3)终边相同的角有无数多个(√)(4)终边相同的角它们相差180°的整数倍(×)题型一角的概念的推广【例1】写出下图中的角α，β，γ的度数．解要正确识图，确定好旋转的方向和旋转的大小，由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°.规律方法 1.理解角的概念的三个“明确”2．表示角时的两个注意点(1)字母表示时：可以用希腊字母α，β等表示，“角α”或“∠α”可以简化为“α”．(2)用图示表示角时：箭头不可以丢掉，因为箭头代表了旋转的方向，也即箭头代表着角的正负．【训练1】(1)图中角α＝________，β＝________；(2)经过10 min，分针转了________．解析(1)α＝－(180°－30°)＝－150°β＝30°＋180°＝210°.(2)分针按顺时针过了周角的16，即－60°.答案(1)－150°210°(2)－60°题型二终边相同的角【例2】已知α＝－1 910°.(1)把α写成β＋k×360°(k∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ＜0°.解(1)－1 910°＝250°－6×360°，其中β＝250°，从而α＝250°＋(－6)×360°，它是第三象限角．(2)令θ＝250°＋k×360°(k∈Z)，取k＝－1，－2就得到满足－720°≤θ＜0°的角，即250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°.所以θ为－110°，－470°.规律方法将任意角化为α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k.可用观察法(α的绝对值较小时适用)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，且余数为正值．【训练2】写出终边在阴影区域内(含边界)的角的集合．解 终边在直线OM 上的角的集合为M ＝{α|α＝45°＋k ·360°，k ∈Z }∪{α|α＝225°＋k ·360°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋2k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝45°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z } ＝{α|α＝45°＋n ·180°，n ∈Z }．同理可得终边在直线ON 上的角的集合为{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z }， 所以终边在阴影区域内(含边界)的角的集合为 {α|45°＋n ·180°≤α≤60°＋n ·180°，n ∈Z }．【探究1】 在四个角－20°，－400°，－2 000°，1 600°中，第四象限角的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析 －20°是第四象限角，－400°＝－360°－40°与－40°终边相同，是第四象限角，－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，1 600°＝4×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，故第四象限角有2个． 答案 C【探究2】 写出终边落在第一象限和第二象限内的角的集合．解 根据终边相同的角一定是同一象限的角，又可以先写出第一象限锐角范围和第二象限钝角的范围，再加上360°的整数倍即可． 所以表示为：第一象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，0°＜α＜90°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＜β＜k ·360°＋90°，k ∈Z }．第二象限角的集合：S ＝{β|β＝k ·360°＋α，90°＜α＜180°，k ∈Z }，或S ＝{β|k ·360°＋90°＜β＜k ·360°＋180°，k ∈Z }．【探究3】 已知α为第二象限角，那么2α，α2分别是第几象限角？解 ∵α是第二象限角，∴90＋k ×360°＜α＜180°＋k ×360°，180°＋2k ×360°＜2α＜360°＋2k ×360°，k ∈Z .∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角．同理45°＋k 2×360°＜α2＜90°＋k2×360°，k ∈Z .当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ，则45°＋n ×360°＜α2＜90°＋n ×360°，此时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则225°＋n ×360°＜α2＜270°＋n ×360°，此时，α2为第三象限角．∴α2为第一或第三象限角． 【探究4】 已知α为第一象限角，求180°－α2是第几象限角．解 ∵α为第一象限角，∴k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ， ∴k ·180°＜α2＜k ·180°＋45°，k ∈Z ， ∴－45°－k ·180°＜－α2＜－k ·180°，k ∈Z ，∴135°－k ·180°＜180°－α2＜180°－k ·180°，k ∈Z .当k ＝2n (n ∈Z )时，135°－n ·360°＜180°－α2＜180°－n ·360°，为第二象限角；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，－45°－n ·360°＜180°－α2＜－n ·360°，为第四象限角．∴180°－α2是第二或第四象限角．规律方法 1.象限角的判定方法(1)根据图像判定．利用图像实际操作时，依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内，在直角坐标平面内，0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．2．α，2α，α2等角的终边位置的确定方法不等式法：(1)利用象限角的概念或已知条件，写出角α的范围． (2)利用不等式的性质，求出2α，α2等角的范围．(3)利用“旋转”的观点，确定角终边的位置．例如，如果得到k ×120°＜α3＜k ×120°＋30°，k ∈Z ，可画出0°＜α3＜30°所表示的区域，再将此区域依次逆时针或顺时针转动120°(如图所示)．易错警示 由α的范围确定2α的范围时易忽视终边在坐标轴上的情况.课堂达标1．－361°的终边落在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 因为－361°的终边和－1°的终边相同，所以它的终边落在第四象限，故选D. 答案 D2．设A ＝{θ|θ为锐角}，B ＝{θ|θ为小于90°的角}，C ＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( ) A ．A ＝B B ．B ＝C C ．A ＝CD ．A ＝D解析 直接根据角的分类进行求解，容易得到答案． 答案 D3．将－885°化为α＋k ·360°(0°≤α<360°，k ∈Z )的形式是________________． 答案 195°＋(－3)×360°4．与－1 692°终边相同的最大负角是________． 解析 ∵－1 692°＝－5×360°＋108°， ∴与108°终边相同的最大负角为－252°. 答案 －252°5.如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．①{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．②{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}＝{α|n·180°＋30°≤α<n·180°＋105°，n∈Z}．课堂小结1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转量”决定角的“绝对值大小”．2．区域角的表示形式并不唯一，如第二象限角的集合，可以表示为{α|90°＋k×360°＜α＜180°＋k×360°，k∈Z}，也可以表示为{α|－270°＋k×360°＜α＜－180°＋k×360°，k∈Z}.基础过关1．下列各组角中，终边相同的是( )A．495°和－495°B．1 350°和90°C．－220°和140°D．540°和－810°解析－220°＝－360°＋140°，∴－220°与140°终边相同．答案 C2．设A＝{小于90°的角}，B＝{锐角}，C＝{第一象限角}，D＝{小于90°而不小于0°的角}，那么有( )A．B C A B．B A CC．D A∩C) D．C∩D＝B解析锐角、0°～90°的角、小于90°的角及第一象限角的范围，如下表所示.答案 D3．若α是第四象限角，则180°－α是( )A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角解析可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．答案 C4．已知角α＝－3 000°，则与角α终边相同的最小正角是______．解析∵－3 000°＝－9×360°＋240°，∴与－3 000°角终边相同的最小正角为240°.答案240°5．在－180°～360°范围内，与2 000°角终边相同的角是______．解析因为2 000°＝200°＋5×360°，2 000°＝－160°＋6×360°，所以在－180°～360°范围内与2 000°角终边相同的角有－160°，200°两个．答案－160°，200°6．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．7．写出与25°角终边相同的角的集合，并求出该集合中满足不等式－1 080°≤β＜－360°的角β.解与25°角终边相同的角的集合为S＝{β|β＝k·360°＋25°，k∈Z}．令k＝－3，则有β＝－3×360°＋25°＝－1 055°，符合条件；令k＝－2，则有β＝－2×360°＋25°＝－695°，符合条件；令k ＝－1，则有β＝－1×360°＋25°＝－335°，不符合条件． 故符合条件的角有－1 055°，－695°.能力提升8．以下命题正确的是( ) A ．第二象限角比第一象限角大B ．A ＝{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，B ＝{β|β＝k ·90°，k ∈Z }，则ABC ．若k ·360°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z )，则α为第一或第二象限角D ．终边在x 轴上的角可表示为k ·360°(k ∈Z ) 解析 A 不正确，如－210°<30°.在B 中，当k ＝2n ，k ∈Z 时，β＝n ·180°，n ∈Z . ∴AB ，∴B 正确．又C 中，α为第一或第二象限角或在y 轴的非负半轴上， ∴C 不正确．显然D 不正确． 答案 B9．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P之间的关系为( ) A ．M ＝P B ．M P C ．M PD ．M ∩P ＝∅解析 对集合M 来说，x ＝(2k ±1)·45°，即45°的奇数倍；对集合P 来说，x ＝(k ±2)·45°，即45°的倍数． 答案 B10．已知角α、β的终边相同，那么α－β的终边在________． 解析 ∵α、β终边相同， ∴α＝k ·360°＋β(k ∈Z )．∴α－β＝k ·360°，故α－β终边会落在x 轴非负半轴上． 答案 x 轴的非负半轴上11．若α为第一象限角，则k ·180°＋α(k ∈Z )的终边所在的象限是第________象限． 解析 ∵α是第一象限角，∴k 为偶数时，k ·180°＋α终边在第一象限；k 为奇数时，k ·180°＋α终边在第三象限． 答案 一或三12．求终边在直线y ＝x 上的角的集合S .解 因为直线y ＝x 是第一、三象限的角平分线，在0°～360°之间所对应的两个角分别是45°和225°，所以S ＝{α|α＝k ·360°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·360°＋225°，k∈Z }＝{α|α＝2k ·180°＋45°，k ∈Z }∪{α|α＝(2k ＋1)·180°＋45°，k ∈Z }＝{α|α＝n ·180°＋45°，n ∈Z }．13．(选做题)已知角α、β的终边有下列关系，分别求α、β间的关系式： (1)α、β的终边关于原点对称； (2)α、β的终边关于y 轴对称．解 (1)由于α、β的终边互为反向延长线，故α、β相差180°的奇数倍(如图1)，于是α－β＝(2k －1)·180°(k ∈Z )．(2)在0°～360°内，设α的终边所表示的角为90°－θ，由于α、β关于y 轴对称(如图2)，则β的终边所表示的角为90°＋θ.于是α＝90°－θ＋k 1·360°(k 1∈Z )，β＝90°＋θ＋k 2·360°(k 2∈Z )．两式相加得α＋β＝(2k ＋1)·180°(k ∈Z )．§3 弧度制内容要求 1.了解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数(重点).2.掌握弧度制下的弧长公式，会用弧度解决一些实际问题(难点)．知识点1 弧度制 (1)角度制与弧度制的定义(2)如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr. 【预习评价】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位(√) (2)1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12π(√)(3)1°的角比1 rad 的角要大(×)(4)1 rad 的角的大小和所在圆的半径的大小有关(×) 知识点2 角度制与弧度制的换算 常见角度与弧度互化公式如下：请填充完整下表，一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系有：设扇形的半径为R ，弧长为l ，α(0<α<2π)为其圆心角，则1.一个扇形的半径为2 cm ，圆心角为π6，则该扇形所对的弧长l ＝________cm.答案π32.一个扇形的半径为2 cm ，其对应的弧长为2.则该扇形的面积为________cm 2. 答案 2知识点4 利用弧度制表示终边相同的角在弧度制下，与α终边相同的角连同α在内可以表示为2k π＋α(k ∈Z )，其中α的单位必须是弧度． 【预习评价】1.与30°终边相同的角为( ) A ．2k π＋π3(k ∈Z )B ．2k π＋π6(k ∈Z )C ．360°k ＋π3(k ∈Z )D ．2k π＋30°(k ∈Z )答案 B2.终边在x 轴上的角的集合用弧度制表示为________． 答案 {α|α＝k π，k ∈Z }题型一 角度与弧度的互化【例1】 将下列角度与弧度进行互化： (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－115π.解 (1)20°＝20×π180 rad ＝π9 rad.(2)－15°＝－15×π180 rad ＝－π12 rad.(3)712π rad ＝712×180°＝105°. (4)－115π rad ＝－115×180°＝－396°.规律方法 角度制与弧度制互化的原则、方法以及注意点(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180rad 和1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝α·180°；n °＝n ·π180rad.(3)注意点：①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad”可以省略不写；②用“弧度”为单位度量角时，“常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数；③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度． 【训练1】 将下列各角度与弧度互化： (1)512π；(2)－76π；(3)－157°30′. 解 (1)512π＝512×180°＝75°；(2)－76π＝－76×180°＝－210°；(3)－157°30′＝－157.5°＝－157.5×π180rad＝－78π rad.题型二 用弧度制表示终边相同的角【例2】 (1)把－1 480°写成α＋2k π(k ∈Z )的形式，其中0≤α＜2π； (2)若β∈[－4π，0)，且β与(1)中α终边相同，求β. 解 (1)∵－1 480°＝－74π9＝－10π＋16π9，0≤16π9＜2π，∴－1 480°＝16π9－2×5π＝16π9＋2×(－5)π.(2)∵β与α终边相同，∴β＝2k π＋16π9，k ∈Z .又∵β∈[－4π，0)，∴β1＝－2π9，β2＝－209π.【训练2】 用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(包括边界)并判断 2 015°是不是这个集合的元素．解 因为150°＝5π6.所以终边在阴影区域内角的集合为S ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪5π6＋2k π≤β≤3π2＋2k π，k ∈Z . 因为2 015°＝215°＋5×360°＝43π36＋10π，又5π6＜43π36＜3π2.所以2 015°＝43π36∈S ，即2 015°是这个集合的元素．方向1 求弧长【例3－1】 已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6.求的长；解 ∵α＝120°＝23π，r ＝6，∴的长l ＝23π×6＝4π.方向2 求圆心角【例3－2】 已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角． 解 设圆心角是θ，半径是r ， 则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋r θ＝10，12θ·r 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8(舍)．故扇形圆心角为12.方向3 求面积的最值【例3－3】 已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r . ∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010rad ＝2 rad.∴当扇形的圆心角为2 rad ，半径为10 cm 时，扇形的面积最大为100 cm 2.规律方法 灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题.课堂达标1．与120°角终边相同的角为( ) A ．2k π－2π3(k ∈Z )B.11π3C ．2k π－10π3(k ∈Z )D ．(2k ＋1)π＋2π3(k ∈Z )解析 120°＝2π3且2k π－10π3＝(2k －4)π＋2π3(k ∈Z )，∴120°与2k π－10π3(k ∈Z )，终边相同．答案 C2．－23π12化为角度应为( )A ．－345°B ．－15°C ．－315°D ．－375°解析 －23π12＝－2312×180°＝－345°.答案 A3．已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为________．解析 由弧长公式l ＝αR 得α＝l R ＝1812＝32.答案 324．下列结论不正确的是________(只填序号)．①π3 rad ＝60°；②10°＝π18 rad ；③36°＝π5 rad ；④5π8 rad ＝115°. 解析5π8 rad ＝58×180°＝112.5°，∴④错． 答案 ④5．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 解 设扇形的半径为R ，弧长为l ，则2R ＋l ＝4， ∴l ＝4－2R ，根据扇形面积公式S ＝12lR ，得1＝12(4－2R )·R ，∴R ＝1，∴l ＝2，∴α＝l R ＝21＝2，即扇形的圆心角为2 rad.课堂小结1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．解答角度与弧度的互化问题的关键在于充分利用“180°＝π rad”这一关系式． 3．在弧度制下，扇形的弧长公式及面积公式都得到了简化，具体应用时，要注意角的单位取弧度.基础过关1．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( )A.403πB.203π C.2003π D.4003π 解析 240°＝240×π180 rad ＝43π rad ，∴弧长l ＝|α|·r ＝43π×10＝403π，故选A.答案 A2．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是( )A ．2k π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋9π4(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )答案 C3．若α＝－3，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 ∵－π＜－3＜－π2，∴－3是第三象限角．答案 C4．若三角形三内角之比为4∶5∶6，则最大内角的弧度数是____________． 答案 25π5．如果一扇形的弧长变为原来的32倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的________．解析 由于S ＝12lR ，若l ′＝32l ，R ′＝12R ，则S ′＝12l ′R ′＝12×32l ×12R ＝34S .答案 346．把下列各角化为2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z ) 的形式且指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合．(1)－46π3；(2)－1 485°；(3)－20.解 (1)－46π3＝－8×2π＋2π3，它是第二象限角，终边相同的角的集合为。
课时作业(十一)1．设x ，y ，z 满足x 2＋2y 2＋3z 2＝3，则x ＋2y ＋3z 的最大值是( ) A ．32 B ．4 C.32 2 D ．6答案 A解析 构造两组数x ，2y ，3z 和1，2，3，由柯西不等式，得[x 2＋(2y)2＋(3z)2][12＋(2)2＋(3)2]≥(x ＋2y ＋3z)2.即18≥(x ＋2y ＋3z)2，∴x ＋2y ＋3z ≤32，故选A.2．若2x ＋3y ＋4z ＝10，则x 2＋y 2＋z 2取到最小值的x ，y ，z 的值为( ) A.53，109，56 B.2029，3029，4029 C ．1，12，13D ．1，14，19答案 B3．若x ，y ，z ∈R ，且1x ＋2y ＋3z ＝1，则x ＋y 2＋z3的最小值是( )A ．5B ．6C ．8D ．9 答案 D4．已知x ，y 是实数，则x 2＋y 2＋(1－x －y)2的最小值是( ) A.16 B.13 C ．6 D ．3 答案 B5．若a ，b ，c 为正数，则(a b ＋b c ＋c a )·(b a ＋c b ＋ac )的最小值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．9 答案 D6．若2a>b>0，则a ＋4（2a －b ）·b的最小值为( )A ．1B ．3C ．8D ．12 答案 B解析 a ＋4（2a －b ）·b ≥a ＋4（2a －b ＋b 2）2＝a ＋4a 2＝a 2＋a 2＋4a 2≥3 3（a 2）2·2a ＝3.7．设a 1，a 2，…，a n 为正实数，P ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ，Q ＝n1a 1＋1a 2＋…＋1a n ，则P ，Q 间的大小关系为( ) A ．P>Q B ．P ≥Q C ．P<Q D ．P ≤Q答案 B解析 ∵a 1，a 2，…，a n 为正实数，∴(a 1＋a 2＋…＋a n )·(1a 1＋1a 2＋…＋1a n )＝[(a 1)2＋(a 2)2＋…＋(a n )2]·[(1a 1)2＋(1a 2)2＋…＋(1a n)2] ≥(a 1·1a 1＋a 2·1a 2＋…＋a n ·1a n)2＝n 2. ∴a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n1a 1＋1a 2＋…＋1a n，即P ≥Q.8．已知a 12＋a 22＋…＋a n 2＝1，x 12＋x 22＋…＋x n 2＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值为( ) A ．1 B ．－1 C ．0 D ．不确定答案 A解析 ∵(a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 12＋a 22＋…＋a n 2)·(x 12＋x 22＋…＋x n 2)＝1×1＝1， ∴a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是1.9．已知a 2＋b 2＋c 2＝1，若a ＋b ＋2c ≤|x ＋1|对任意实数a ，b ，c 恒成立，则实数x 的取值范围是( ) A ．x ≥1或x ≤－3 B ．－3≤x ≤1 C ．x ≥－1或x ≤3 D ．－1≤x ≤3 答案 A10．已知实数x ，y ，z 满足2x －y －2z －6＝0，x 2＋y 2＋z 2≤4，则2x ＋y ＋z ＝( ) A.13B.23C.53 D ．2答案 B11．已知实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋z ＝1，则x 2＋4y 2＋z 2的最小值为________． 答案 13解析 (x 2＋4y 2＋z 2)(1＋1＋1)≥(x ＋2y ＋z)2， ∵x ＋2y ＋z ＝1，∴3(x 2＋4y 2＋z 2)≥1，即x 2＋4y 2＋z 2≥13.当且仅当x ＝2y ＝z ＝13，即x ＝13，y ＝16，z ＝13时取等号．故(x 2＋4y 2＋z 2)min ＝13.12．设x ＋y ＋z ＝19，则函数u ＝x 2＋4＋y 2＋9＋z 2＋16的最小值为________． 答案44213．若x ＋y ＋z ＝6，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为________． 答案 12解析 因为(12＋12＋12)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋y ＋z)2＝62，所以x 2＋y 2＋z 2≥12.当且仅当x ＝y ＝z ＝2时，等号成立．故x 2＋y 2＋z 2的最小值为12.14．设a ，b ，c 为正数，则(a ＋b ＋c)(4a ＋9b ＋36c )的最小值是________．答案 121解析 (a ＋b ＋c)(4a ＋9b ＋36c )＝[(a)2＋(b)2＋(c)2][(2a )2＋(3b )2＋(6c )2]≥(a ·2a ＋b ·3b ＋c ·6c)2＝(2＋3＋6)2＝121. 当且仅当a 2＝b 3＝c6时等号成立．15．已知实数a ，b ，c 满足a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1，求证：－23≤c ≤1.证明 因为a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1，所以a ＋2b ＝1－c ，a 2＋b 2＝1－c 2. 由柯西不等式：(12＋22)(a 2＋b 2)≥(a ＋2b)2， 得5(1－c 2)≥(1－c)2，整理得3c 2－c －2≤0，解得－23≤c ≤1，所以－23≤c ≤1.16．已知函数f(x)＝|x －4|－t ，t ∈R ，且关于x 的不等式f(x ＋2)≤2的解集为[－1，5]． (1)求t 的值；(2)a ，b ，c 均为正实数，且a ＋b ＋c ＝t ，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1.解析 (1)由f(x ＋2)≤2，得|x －2|－t ≤2， ∴当t ＋2≥0时，解得－t ≤x ≤t ＋4. 又∵不等式f(x ＋2)≤2的解集为[－1，5]， ∴－t ＝－1且t ＋4＝5，∴t ＝1.(2)∵a ，b ，c 均为正实数，且a ＋b ＋c ＝1， ∴a 2b ＋b 2c ＋c 2a＋(a ＋b ＋c) ＝(a 2b ＋b)＋(b 2c ＋c)＋(c 2a＋a) ≥2a 2＋2b 2＋2c 2＝2(a ＋b ＋c)＝2， ∴a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.1．(2016·湖北黄冈月考)设a ，b ，c 为正数，a ＋b ＋9c 2＝1，则a ＋b ＋3c 的最大值是________，此时a ＋b ＋c ＝________． 答案213 18＋721解析 由柯西不等式，得 [(a)2＋(b)2＋(3c)2]·[12＋12＋(33)2] ≥(1·a ＋1·b ＋33·3c)2， 所以a ＋b ＋3c ≤ 2＋13＝213， 当且仅当a 1＝b 1＝3c 33且a ＋b ＋9c 2＝1，即a ＝b ＝37，c ＝721时取等号， 所以a ＋b ＋3c 的最大值是213，此时a ＋b ＋c ＝18＋721.2．(2016·陕西咸阳模拟)已知a ，b ，c 都是正数，且a ＋2b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为________． 答案 6＋4 2解析 因为a ，b ，c 都是正数，且a ＋2b ＋c ＝1，由柯西不等式得1a ＋1b ＋1c ＝(a ＋2b ＋c)(1a ＋1b ＋1c)≥(1＋2＋1)2＝6＋4 2. 3．边长为a ，b ，c 的三角形ABC ，其面积为14，外接圆半径为1，若s ＝a ＋b ＋c ，t ＝1a ＋1b ＋1c ，则s 与t 的大小关系是________． 答案 s ≤t解析 由已知得12absinC ＝14，csinC ＝2R ＝2.所以abc ＝1，所以1a ＋1b ＋1c＝ab ＋bc ＋ca ，由柯西不等式得(1a ＋1b ＋1c )(ab ＋bc ＋ca)≥(b ＋c ＋a)2，所以(1a ＋1b ＋1c )2≥(a ＋b ＋c)2.即1a ＋1b ＋1c≥a ＋b ＋ c. 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时等号成立．4．已知a ＋b ＋c ＝1，且a ，b ，c 是正数，求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≥9.证明 左边＝[2(a ＋b ＋c)](1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a )＝[(a ＋b)＋(b ＋c)＋(c ＋a)](1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a )≥(1＋1＋1)2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号，∴2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≥9.。
