陕西周至广济中学数学贾天会

陕西省西安市周至县2023届高三下学期一模理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．命题：“，”的否定是（ ）0x ∀>210x x -+≤A ．，B ．，0x ∃>210x x -+≤0x ∃>210x x -+>C ．，D ．，0x ∀>210x x -+>0x ∀≤210x x -+>2．设集合，，若，则的范围是（ ）{}=1<<2A x x {}=>B x x a A B A ⋂=a A ．B ．C ．D ．2a ≥1a ≤1a ≥2a ≤3．若复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ）z ()1i 2i z +=i z A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．已知是等差数列的前n 项和，若，，则（ ）n S {}n a 310S =930S =6S =A ．15B ．20C ．25D ．－255．下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）()cos f x x x =-A ．B ．C ．D ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭6．公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率的范围是：，为π 3.1415926π 3.1415927<<纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.甲同学是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码.如果排列时要求两个1不相邻，那么甲同学可以设置的不同密码个数为（ ）A ．240B ．360C ．480D ．7207．设、是两个不同的平面．则“中有三个不共线的点到的距离相等”是“”αβαβ//αβ的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．某种卷筒卫生纸绕在圆柱形盘上，空盘时盘芯直径为40，满盘时直径为mm 120，已知卫生纸的厚度为0.1，则满盘时卫生纸的总长度大约（ ）（π≈3.14，mm mm 精确到1）m A ．60B ．80C ．100D ．120mmmm9．某校高二年级学生举行中国象棋比赛，经过初赛，最后确定甲、乙、丙三位同学进入决赛.决赛规则如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，最后的胜者获得冠军，比赛结束.若经抽签，已知第一场甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，则（ ）12A ．甲获得冠军的概率最大B ．甲比乙获得冠军的概率大C ．丙获得冠军的概率最大D ．甲、乙、丙3人获得冠军的概率相等10．对于函数，若对任意的，，，为某一三角形的()f x 123,,R x x x ∈()1f x ()2f x ()3f x 三边长，则称为“可构成三角形的函数”，已知是可构成三角形的函数，()f x 22()1x tf x x +=+则实数t 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．[]0,11,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭()0,∞+11．已知双曲线C ：的左、右焦点分别为，，过的直线()222210,0x y a b a b -=>>1F 2F 1F 与圆相切于点Q ，与双曲线的右支交于点P ，若线段的垂直平分线恰好222x y a +=PQ 过右焦点，则双曲线C 的离心率为（ ）2FA B C D ．212．过点可作三条直线与曲线相切，则实数a 的取值范围为()1,23()3f x x x a =-+（ ）A ．B ．C ．D ．()1,2()2,3()3,4()4,5二、填空题13．已知向量，，若，则实数m 的值为______.(),2a m = ()2,1b =()2a b b +⊥ 14．若抛物线y2=2x 上的一点M 到坐标原点O M 到该抛物线焦点的距离为_____．15．若定义域为的奇函数在区间上单调递减，且不等式的解集R ()f x (),0∞-()0xf x <为，则符合题意的一个函数解析式为______.()(),11,-∞-⋃+∞()f x =16．我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为1的线段，第1次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第2次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去.若经过n次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于，则的最小值为__________.99100n （参考数据：）lg20.301,lg30.477≈≈三、解答题17．在中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，满足ABC .(2)cos cos 0c a B b C -+=(1)求B ；(2)若的周长为6，，求的面积.ABC 2b =ABC 18．偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某同学的某科考试成绩与该科平均成绩的差叫某科偏差（实际成绩－平均成绩＝偏差）.在某次考试成绩统计中，教研人员为了对学生数学偏差x （单位：分）与物理偏差y （单位：分）之间的关系进行分析，随机挑选了8位同学，得到他们的两科成绩偏差数据如下：学生序号12345678数学偏差x /分201513325-10-18-物理偏差y /分6.53.53.51.50.50.5- 2.5- 3.5-(1)若x 与y 之间具有线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程；(2)若本次考试数学平均成绩为100分，物理平均成绩为70.5分，试由（1）的结论预测数学成绩为116分的同学的物理成绩.参考公式：，.1221ni ii nii x y nx ybxnx==-=-∑∑ a y bx =- 参考数据：，.8211256i i x ==∑81324i i i x y ==∑19．如图，在直三棱柱中，，E 为的中点，，111ABC A B C AC BC ⊥1BB 1AC =.12CC BC ==(1)证明：；1AC C E ⊥(2)求平面与平面ABC 所成角的余弦值.1AEC 20．已知椭圆C ：，右焦点与抛物线()222210x y a b a b +=>>()2,0F c 28y x=的焦点重合.(1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆C 的左焦点为，过点的直线l 与椭圆C 交于两点，A 关于x 轴1F ()3,0D -,A B 对称的点为M ，证明：三点共线.1,,M F B 21．已知函数.()e 1x f x ax =--(1)讨论函数的单调性；()f x (2)若有且仅有2个零点，求实数a 的取值范围；()f x (3)证明：.e ln(2)0x x -+>22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数）.以原点O 为极122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为.2sin 4cos 0ρθθ-=(1)求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；(2)已知直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，设，求的值.()2,0M 11MA MB-23．已知函数()2f x x a x =-+-(1)当时，求不等式的解集；=1a ()3f x ≥(2)若，求的取值范围()21f x a ≥-a参考答案：1．B【分析】根据全称量词命题的否定方法写出命题的否定即可.【详解】因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“，”的否定为：“，”.0x ∀>210x x -+≤0x ∃>210x x -+>故选：B 2．B【分析】由，得，从而可求出的范围.A B A ⋂=A B ⊆a 【详解】因为，所以，A B A ⋂=A B ⊆因为，，{}=1<<2A x x {}=>B x x a 所以，1a ≤故选：B 3．A【分析】利用复数的除法运算，可得，即得解1i z =+【详解】由题意：()1i 2i z +=可得：()2i 2i(1i)2i(1i)===i 1i 1i 1i (1i)(1i)2z --=-=+++-在复平面中对应的点为，在第一象限(1,1)故选：A 4．B【分析】根据等差数列前项和公式求得首项和公差即可求解.n 【详解】设公差为，d 则有，即，133310S a d =+=9193036S a d ==+101231a d +=联立解得，所以，11331031210a d a d +=⎧⎨+=⎩11030a d ⎧=⎪⎨⎪=⎩61206S a ==故选:B.5．A【分析】化简，结合正弦函数的性质，令，()2sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭22262k x k πππππ-+≤-≤+，对赋值，结合选项即可判断.Z k ∈k【详解】由题，，()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭令，，22262k x k πππππ-+≤-≤+Z k ∈则，，22233k x k ππππ-+≤≤+Z k ∈当时，，0k =233x ππ-≤≤当时，，1k =5833x ππ≤≤因为，所以是一个单调递增的区间，20,,233πππ⎛⎫⎡⎤⊆- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦0,2π⎛⎫⎪⎝⎭故选：A 6．A【分析】直接利用插空法分两步完成计算得到答案.【详解】先把数字3，4，5，9四个数排列，共有种排列方法，四个数排列产生5个空，44A 把两个1插到5个空里，共有种方法，根据乘法分步原理得共有种.25C 4245A C 240⨯=故选：A 7．B【分析】利用平行平面的性质、特例法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】如下图所示：当、相交时，设，若、、，且，则、到平面的距离相αβa αβ⋂=A B C α∈//BC βB C β等，若线段的中点，则、到平面的距离相等，则、、到平面的距离相AC D a ∈A C βA B C β等，即“中有三个不共线的点到的距离相等”“”；αβ⇒//αβ若，则内所有点到平面内的距离都相等，//αβαβ即“中有三个不共线的点到的距离相等”“”.αβ⇐//αβ因此，“中有三个不共线的点到的距离相等”是“”的必要不充分条件.αβ//αβ故选：B.8．C【分析】将卫生纸的长度近似看成400个直径成等差数列的圆周长的和，利用等差数列前n 项和公式即可求得满盘时卫生纸的总长度大约为100m【详解】空盘直径是，半径是，周长是40mm 20mm ()2π2040πmm ⨯=满盘直径是，半径是，周长是120mm 60mm ()2π60120πmm ⨯=，则每一圈周长成等差数列，共400项，60204000.1-=，()()40040040π120π32000πmm 100480mm 100m 2S +==≈≈故选：C.9．C【分析】根据比赛进行的场次进行分类讨论，结合相互独立事件概率计算公式，求得甲、乙、丙三人获得冠军的概率，从而确定正确答案．【详解】根据决赛规则，至少需要进行四场比赛，至多需要进行五场比赛，（1）甲获得冠军有两种情况：①共比赛四场结束，甲四连胜夺冠，概率为411(216=②共比赛五场结束，并且甲获得冠军．则甲的胜、负、轮空结果共有四种情况∶胜胜胜负胜，胜胜负空胜，胜负空胜胜，负空胜胜胜，概率分别为，即，54441111(,(),(),()22221111,,,32161616因此，甲最终获得冠军的概率为；111119163216161632++++=（2）乙获得冠军，与（1）同理，概率也为；932(3)丙获得冠军，概率为，99147913232321632--==>由此可知丙获得冠军的概率最大，即A ，B ，D 错误，C 正确，故选∶C ．10．B【分析】根据构成三角形的条件，只需研究该函数的最小值与最大值，只要保证，即可保证该函数为“可构成三角形的函数” ，即得答案.()()min max 2f x f x >【详解】由题意得，，2222211()11111x t x t t f x x x x +++--===++++()0f t =当时，，适合题意；1t =()1f x =的定义域为R ，则，所以是偶函数，()f x 22()()1x tf x f x x +-==+()f x 因为为偶函数，故只需考虑在上的范围，()f x ()f x [0,)+∞当时，，此时在单调递减，故，1t >21()111t f x x -=+>+()f x [0,)+∞()1,(]f x t ∈由题意知对任意的，恒成立，123,,R x x x ∈()()()123f x f x f x +>需，此时无最小值，故需，即；.()()min max 2f x f x >()f x 21t ⨯≥12t <≤当，在上单调递增，，1t <()f x [0,)+∞(),1)[f x t ∈对对任意的，恒成立，123,,R x x x ∈()()()123f x f x f x +>需，但此时无最大值，需，即，()()min max 2f x f x >()f x 21≥t 112t ≤<综上：,1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故选：B 11．A【分析】根据题意画出草图，由题意O 为的中点可得，求出12F F 12||||,||2||F Q MQ MF OQ ==，即可得到，，根据双曲线定义推得长度，在直角三角形1||F Q b =||MP 1||PF 2PF 2Rt F MP 中用勾股定理即可找到之间的关系，即可求得离心率.,a b 【详解】设的焦距为，则，()222210,0x y a b a b -=>>2c 1(,0)F c -2(,0)F c 由题意过的直线与圆相切于点Q ，连接,则,1F 222x y a +=OQ 1OQ F P ⊥连接,设M 为的中点，则,则,2PF PQ 221,MF PQ MF PF ⊥∴⊥2OQ MF ∥因为O 为的中点，故Q 为的中点，即,12F F 1F M 12||||,||2||F Q MQ MF OQ ==在中，，故，1Rt OQF 1||||OF c OQ a ==，1||F Q b ==则，由于M 为的中点，所以,||MQ b =PQ ||MP b =即,1||3=PF b 在双曲线 中，P 在右支上，有，22221x y a b-=12||2PF PF a -=所以，又，2||32PF b a =-2||2||2MF OQ a ==所以在中，,即，2Rt F MP 22222||||||MF MP PF +=2224(32)a b b a +=-化简得，23812,2b b ab a =∴=故双曲线的离心率为c e a ====故选：A【点睛】关键点点睛：要求双曲线的离心率，即要求出之间的关系，因而解答本题时，,,a b c 根据题意推出相关线段的长，特别是，继而在中应用勾股定理即是关12,||PF PF 2Rt F MP 键所在.12．D【分析】求导得到导函数，设切点为，得到切线方程，代入点坐标得到()3000,3x x x a -+，设，计算函数的极值，得到答案.3200235a x x =-+32()235g x x x =-+【详解】，，3()3f x x x a =-+2()33f x x '=-设切点为，则切线方程为，()3000,3x x x a -+()())320000333(y x x a x x x --+=--切线过点，，整理得到，(1,2)()()()32000023331x x a x x --+=--3200235a x x =-+方程有三个不等根.令，则，令，则或，32()235g x x x =-+2()66g x x x '=-()0g x '=0x =1x =当或时，，函数单调递增；0x <1x >()0g x '>当时，，函数单调递减，01x <<()0g x '<极大值，极小值，函数与有三个交点，(0)5g =4(1)g =y a =3200235y x x =-+则，的取值范围为.45a <<a (4,5)故选：D 13．－6【分析】先求得的坐标，再根据求解.2a b +()2a b b +⊥ 【详解】解：因为向量，，(),2a m = ()2,1b =所以，()24,4a b m +=+又因为，()2a b b +⊥ 所以，()24140m ⨯++⨯=解得，6m =-故答案为：－614．32【分析】求得点M 的坐标，将点M 到该抛物线焦点的距离转化为点M 到抛物线y 2=2x 的准线的距离即可．【详解】设点M ，∵2,2y y ⎛⎫⎪⎝⎭∴∴y 2=2或y 2=-6（舍去），∴x==1()2220032y y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭22y ∴M 到抛物线y 2=2x 的准线x=-的距离d=1-（-）=121232∵点M 到抛物线焦点的距离等于点M 到抛物线y 2=2x 的准线的距离，∴点M 到该抛物线焦点的距离为32故答案为.32【点睛】本题考查抛物线定义的应用，考查转化思想，求得点M 的坐标是关键.15．（答案不唯一）1,00,0,1,0x x x x x -+>⎧⎪=⎨⎪--<⎩【分析】先化简条件“不等式的解集为”，再结合奇函数和单调性()0xf x <()(),11,-∞-⋃+∞写出解析式.【详解】因为的解集为，()0xf x <()(),11,-∞-⋃+∞所以时，的解为；时，的解为；0x >()0f x <()1,+∞0x <()0f x >(),1-∞-又因为定义域为的奇函数在区间上单调递减，R ()f x (),0∞-所以的解析式可以为答案不是唯一的，符合题意即可.()f x ()1,00,0,1,0x x f x x x x -+>⎧⎪==⎨⎪--<⎩ 故答案为：（答案不唯一）1,00,0,1,0x x x x x -+>⎧⎪=⎨⎪--<⎩ 16．12【分析】设每次操作留下的长度为，得到为等比数列，公比为，首项为，求出{}n a {}n a 2323，23nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭从而得到去掉的所有线段长度总和为，列出不等式，求出答案.2113nn a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭【详解】设每次操作留下的长度为，{}n a 则，，且每次操作留下的长度均为上一次操作留下长度的，123a =22222333a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭23所以为等比数列，公比为，首项为，故，{}n a 23231222333n nn a -⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭所以经过次这样的操作后，去掉的所有线段长度总和为，n 2113nn a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭故，即，29913100n ⎛⎫-> ⎪⎝⎭213100n⎛⎫< ⎪⎝⎭两边取对数得：，()lg 3lg 22n ->因为，所以，则n 的最小值为12.lg20.301,lg30.477≈≈211.40.4770.301n >≈-故答案为：1217．(1)π3B =【分析】(1)利用正弦定理先边化角，再借助和角正弦公式化简得，从而可解；1cos 2B =(2)利用余弦定理和已知的周长得到，再借助三角形的面积公式即可4ac =1sin 2ABC S ac B =△求解.【详解】（1）∵，(2)cos cos 0c a B b C -+=根据正弦定理可得：，(sin 2sin )cos sin cos 0C A B B C -+=即.(sin cos sin cos )2sin cos 0C B B C A B +-=∴，即.sin()2sin cos 0B C A B +-=sin 2sin cos 0A A B -=∵，∴，0πA <<sin 0A ≠∴，1cos 2B =又，∴.0πB <<π3B =（2）由余弦定理知，2222cos b a c ac B =+-即，2224()3a c ac a c ac =+-=+-又，，6a b c ++=2b =∴.4ac =∴11sin 422ABC S ac B ==⨯= 18．(1)1142y x =+(2)75分.【分析】(1)根据线性回归方程的求法直接求解；(2)利用回归方程以及偏差的定义求解.【详解】（1）由题意可得，，[]1520151332(5)(10)(18)82x =⨯+++++-+-+-=，[]196.5 3.5 3.5 1.50.5(0.5)( 2.5)( 3.5)88y =⨯+++++-+-+-=又，，8211256i i x ==∑81324i i i x y ==∑∴，，259324812845125682b -⨯⨯==⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭91518422a =-⨯=∴y 关于x 的线性回归方程为：.1142y x =+（2）设该同学的物理成绩为W ，则物理偏差为W －70.5.又数学偏差为，11610016-=∴，解得.1170.51642W -=⨯+75W =∴预测这位同学的物理成绩为75分.19．(1)证明见解析【分析】（1）证明平面，根据线面垂直的性质定理即可证明结论；AC ⊥11BB C C （2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面的法向量，根据空间角的向量1AEC 求法即可求得答案.【详解】（1）证明：在直三棱柱中,平面，平面，111ABC A B C 1CC ⊥ABC AC ⊂ABC 故 ,又，平面,1CC AC ⊥AC BC ⊥11,,CC BC C CC BC =⊂ 11BB C C 故平面,平面,AC ⊥11BB C C 1C E ⊂11BB C C 所以.1AC C E ⊥（2）由题意知平面，，1CC ⊥ABC AC BC ⊥分别以所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，1,,CA CB CC由已知得E 为的中点，，,1BB 1AC =12CC BC ==所以,11(1,0,0),(0,2,0),(0,2,2),(0,2,1),(0,0,2)A B B E C 故,1(1,0,2),(1,2,1)AC AE =-=-设平面的一个法向量为，1AEC (,,)m x y z =则，即，令，则，10m AC m Ae ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 2020x z x y z -+=⎧⎨-++=⎩1z =12,2x y ==所以，1(2,,1)2m =因为平面，故平面ABC 的一个法向量可取为，1CC ⊥ABC (0,0,1)n =故 ，cos ,||||m n m n m n ⋅〈〉===由图可知平面与平面ABC 所成角为锐角，1AEC 故平面与平面ABC 1AEC 20．(1)22162x y +=(2)证明见解析【分析】（1）根据题意求得c ，结合离心率求得，即得答案；,a b （2）判断直线l 的斜率存在，设出直线方程，并和椭圆方程联立，可得根与系数的关系式，表示出，的坐标，利用向量的共线证明三点共线，即得结论.1MF 1BF【详解】（1）∵椭圆C 的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的焦点()2,0F c 28y x =28y x =为,(2,0)∴,2c =又∴∴,c aa =2222b ac =-=∴椭圆C 的方程为.22162x y +=（2）证明：由（1）知椭圆C 的左焦点为，()12,0F -当直线l 的斜率不存在时，其方程为：，此时直线l 与椭圆C 没有交点，不符合题意；3x =-当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为，，，()3y k x =+()11,A x y ()22,B x y 则.()11,M x y -联立，消去y 得，22(3)162y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222231182760k x k x k +++-=∴，解得,()()()2222184312760k k k ∆=-+->223k <∴，,21221831k x x k -+=+212227631k x x k -=+∵，，()1112,MF x y =--()1222,BF x y =--- 又，，()113y k x =+()223y k x =+∴()()()()()()()12122112223232x y y x k x x k x x ------=+++++()12122512k x x x x ⎡⎤=+++⎣⎦，222227618251203131k k k k k ⎛⎫--=⨯+⨯+= ⎪++⎝⎭∵与共线，而与有公共点,即、、 三点共线.1MF 1BF 1MF 1BF1F M 1F B 【点睛】思路点睛：本题涉及到直线和椭圆的位置关系的问题，解答并不困难，要证明三点共线，一般结合向量的共线来证明，利用向量共线的坐标表示，计算即可.21．(1)在上单调递减，在上单调递增()f x (),ln a -∞()ln ,a +∞(2)()()0,11,+∞ (3)证明见解析【分析】(1)利用导函数讨论单调性；(2)根据导函数与单调性、最值的关系求解；(3)利用导函数与单调性的关系证明不等式.【详解】（1）∵，∴，()e 1x f x ax =--()e '=-x f x a 当时，，函数在上单调递增；0a ≤()0f x '>()f x R 当时，令，得；令，得.0a >()0f x '>ln x a >()0f x '<ln x a <∴在上单调递减，在上单调递增.()f x (),ln a -∞()ln ,a +∞（2）由（1）知当时，函数在上单调递增，不符合题意；0a ≤()f x R 当时，，0a >min ()(ln )ln 1f x f a a a a ==--且，11(e 0a f a--=>当趋于无穷大时，的增长速率远远大于的增长速率，所以趋于,由x e x y =1y ax =+()f x +∞此作出的图象，()f x∴若有且仅有2个零点，只需.()f x min ()ln 10f x a a a =--<设，则.()ln 1g x x x x =--()1ln 1ln g x x x '=--=-∴当时，，函数单调递增；()0,1x ∈()0g x '>()g x 当时，，函数单调递减.()1,x ∈+∞()0g x '<()g x 又，(1)1ln110g =--=∴或.01a <<1a >∴实数a 的取值范围为.()()0,11,+∞ （3）证明：由（1）可知当时1a =在上单调递减，在上单调递增.()f x (),0∞-()0,∞+，min ()(0)0f x f ==即，当且仅当时取等号，e 1x x ≥+0x =设，则.()1ln(2)h x x x =+-+11()122x h x x x =+'+=-+当时，，函数单调递减；()2,1x ∈--()0h x '<()h x 当时，，函数单调递增，()1,x ∈-+∞()0h x '>()h x 又，(1)0ln10h -=-=∴，当且仅当时取等号.1ln(2)0x x +-+≥=1x -∴.e ln(2)0x x -+>【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．22．，0y --=24y x =(2)14【分析】(1)消参可求l 的普通方程，利用，可求直角坐标方程；cos x ρθ=sin y ρθ=(2)根据直线参数方程中参数的几何意义结合韦达定理求解.【详解】（1）∵直线l 的参数方程为（t 为参数），122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴消去t 可得直线l .0y --=∵曲线C 的极坐标方程为，2sin 4cos 0ρθθ-=即，22sin 4cos 0ρθ-ρθ=又∵，，cos x ρθ=sin y ρθ=∴曲线C 的直角坐标方程为.24y x =（2）将（t 为参数）代入，122x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩24y x =得，显然，即方程有两个不相等的实根，238320t t --=0∆>设点A ，B 在直线l 的参数方程中对应的参数分别是，，1t 2t 则，，1283t t +=123203t t =-<∴，2112t t t t -=+∴.121212111411t M t t t t t A MB +==-=-23．(1)(][),03,-∞⋃+∞(2)(],1-∞【分析】（1）分类讨论去绝对值求解；（2）根据求的最小值，运算求解.a b a b +≥-()f x 【详解】（1）当时，由，即=1a ()3f x ≥123x x -+-≥当时，，解得；1x <123x x -+-≥0x ≤当时，，无解；12x ≤<123x x -+-≥当时，，解得，2x ≥123x x -+-≥3x ≥综上所述：不等式的解集为(][),03,-∞⋃+∞（2）∵，当且仅当时等号成立，()()()222f x x a x x a x a =-+-≥---=-()()20x a x --≤则的最小值为()f x 2a -因为，所以()21f x a ≥-221a a -≥-所以或210a -≤()()2221>0221a a a --≥-⎧⎪⎨⎪⎩解得或12a ≤112a <≤综上，即的取值范围为.1a ≤a (],1-∞。

高二数学（文科）一､单选题（共12题，每题5分）1.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个是偶数”的正确假设为（ ）A.自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数B.自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C.自然数a ，b ，c 都是奇数D.自然数a ，b ，c 都是偶数2.某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量y （单位：千瓦·时）与气温x （单位：℃）之间的关系，随机选取了4天的用电量与当天气温，并制作了以下对照表：由表中数据得线性回归方程：2ˆˆyx a =-+，则由此估计：当某天气温为2℃时，当天用电量约为（ ）A.56千瓦·时B.62千瓦·时C.64千瓦·时D.68千瓦·时3.抛掷一枚均匀骰子2次，在下列事件中，与事件“第一次得到6点”不相互独立的是（ ）A.第二次得到6点B.第二次的点数不超过3C.第二次的点数是奇数D.两次得到的点数和是124.现在，很多人都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不认可.为了调查人们对这种交通方式的认可度，某同学从交通拥堵不严重的A 城市和交通拥堵严重的B 城市分别随机调查了20名市民，得到如下22⨯列联表：附：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++.P （K 2≥k ） 0.250.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 k1.3232.0722.7063.8415.0246.63510.828根据表中的数据，下列说法中正确的是（ ）A.没有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”B.有99%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”C.可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”D.可以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”5.已知事件A ，B 相互独立，P （A ）=0.4，P （B ）=0.3，给出下列四个式子：①P （AB ）=0.12；②P （A B ）=0.18；③P （A B ）=0.28；④P （A B ）=0.42.其中正确的有（ ） A.4个 B.2个 C.3个 D.1个6.已知袋子内有6个球，其中3个红球，3个白球，从中不放回地依次抽取2个球，那么在已知第一次抽到红球的条件下，第二次也抽到红球的概率是（ ）A.0.5B.0.6C.0.4D.0.27.甲､乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6，0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是（ ） A.0.45 B.0.6 C.0.65 D.0.75 8.证明不等式112(2)a a a a a +-<---≥所用的最适合的方法是（ ） A.综合法 B.分析法 C.间接证法 D.合情推理法9.执行如图所示的程序框图输出的结果是（ ）A.8B.6C.5D.310.一份数学单元试卷中有4个填空题，某同学答对每个题的概率都是45，那么，4个题中答对2个题的概率是（ ） A.16625 B.96625 C.192625 D.25662511.将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为（ ）A.811B.809C.807D.80512.《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”.就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为112V =⨯（底面圆的周长的平方⨯高），则由此可推得圆周率π的取值为（ ） A.3 B.3.1 C.3.14 D.3.2二､填空题（共4题，每题5分）13.复数i(12i)z =-（i 是虚数单位）的实部为__________.14.如图，EFGH 是以O 为圆心､半径为1的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE （阴影部分）内”，则（1）()P A =___________（2）()P B A =__________.15.“开心辞典”中有这样一个问题：给出一组数，要你根据规律填出后面的第几个数.现给出一组数：11315,,,,228432---，…，则第8个数可以是___________. 16.现有A ，B 两队参加关于“十九大”知识问答竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢一分，答错得0分.A 队中每人答对的概率均为23，B 队中3人答对的概率分别为221,,332，且各答题人答题正确与否之间互无影响，若事件M 表示A 队得2分“，事件N 表示”B 队得1分“，则P （MN ）=___________. 三､解答题（共6题）17.（10分）已知m R ∈，复数()()22231i z m m m =--+-. （1）实数m 取什么值时，复数z 为实数､纯虚数；（2）实数m 取值范围是什么时，复数z 对应的点在第三象限.18.（12分）某学校高三年级有学生1000名，经调查，其中750名同学经常参加体育锻炼（称为A 类同学），另外250名同学不经常参加体育锻炼（称为B 类同学），现用分层抽样方法（按A 类､B 类分两层）从该年级的学生中抽查100名同学.如果以身高达到165厘米作为达标的标准，对抽取的100名学生进行统计，得到以下列联表：（1）完成上表；（2）能否有犯错率不超过0.05的前提下认为体育锻炼与身高达标有关系？（2K 的观测值精确到0.001）.参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，参考数据：19.（12分）（1）若,x y 都是正实数，且2x y +>，求证：12x y +<与12yx+<中至少有一个成立.（2）求证：()n N *>∈20.（12分）甲､乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，求下列事件的概率： （1）两人都中靶； （2）恰好有一人中靶； （3）两人都脱靶； 21.（12分）求证：（1）222a b c ab ac bc ++≥++；（2）>22.（12分）某单位为了了解用电量y 度与气温C x 之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温. C 量(度)（1）求线性回归方程；（参考数据：442111120,440i ii i i x yx ====∑∑）（2）根据（1）的回归方程估计当气温为10C ︒时的用电量.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：1221ˆni ii nii x y nx ybxnx==-⋅=-∑∑，ˆˆay b x =-⋅.高二数学（文科）答案1.【答案】B2.【答案】A3.【答案】D4.【答案】D5.【答案】A6.【答案】C7.【答案】D8.【答案】B9.【答案】A 10.【答案】B11.【答案】B 12.【答案】A13.【答案】2 14.【答案】（1）.2π（2）.1415.【答案】13216.【答案】108117.【答案】（1）3m =（2）(1,1)m ∈-【解析】（1）由虚部为0求得使z 为实数的m 值，再由实部为0且虚部不为0求得使z 为纯虚数的m 值； （2）由实部与虚部均小于0求解. 解：（1）当210m -=，即1m =±时，复数()()22231z m m m i =--+-为实数；当2223010m m m ⎧--=⎨-≠⎩，即3m =时， 复数()()22231z m m m i =--+-是纯虚数；（2）由题意，2223010m m m ⎧--<⎨-<⎩，解得11m -<<. ∴当(1,1)m ∈-时，复数z 对应的点在第三象限.本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数的基本概念，是基础题.18.【答案】（1）（2）不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为体育锻炼与身高达标有关系.【解析】（1）由分层抽样的计算方法可求得积极参加锻炼与不积极参加锻炼的人数，填入表格中，根据表格中的总计及各项值求出其它值即可；（2）由公式计算出2K，与参考数据表格中3.841作比较，若小于3.841则不可以，若大于3.841则可以.（1）填写列联表如下：（2）K2的观测值为22100(40153510)75255050K⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯≈1.333<3.841.所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为体育锻炼与身高达标有关系.本题考查独立性检验，根据抽样方法进行计算填表，将数值代入公式求出2K，注意保留三位小数，注意观测值与概率之间的大小关系与趋势.19.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】试题分析：（1）本题证明结论中结构较复杂，而其否定结构简单，故可用反证法证明其否定不成立，以此来证明结论成立.（2）采用分析法从要证的结果入手去证明不等式即可.解析：（1）假设1x y +<2和1y x +<2都不成立，即1x y +≥2和1yx+≥2同时成立.∵x >0且y >0，∴1+x ≥2y ，且1+y ≥2x .两式相加得2+x +y ≥2x +2y ，∴x +y ≤2.这与已知条件x +y >2矛盾，∴1x y +<2和1yx+<2中至少有一个成立.（2）原式子等价于)*n N >∈，两边平方得到()4122221n n n n +>+++>+>22212n n n n -++>+，得证.20.【答案】（1）0.72（2）0.26（3）0.0221.【解析】分析：（1）利用基本不等式，即可证得222a b c ab bc ac ++≥++； （2）根据题意，利用分析法证明，寻找使不等式成立的充分条件即可. 详解：（1）2222222,2,2a b ab a c ac b c bc +≥+≥+≥，222a b c ab bc ac ∴++≥++；（2）要证>，只要证22>，只要证1313+>+只要证>只要证4240>，显然成立，故>点睛：本题主要考查了均值不等式的应用，考查不等式的证明方法，用分析法证明不等式，关键是寻找使不等式成立的充分条件，着重考查了推理与论证能力，属于中档试题. 22.【答案】（1）250y x =-+. （2）30度.【解析】分析：（1）求出,x y 的均值，再由公式，计算出系数的值，即可求出线性回归方程；10x =代入线性回归方程，计算出y 得值，即为当气温为10C 时的用电量.详解：（1）4421110,30,1120,440,2i ii i i x y x yx b ======∴=-∑∑把(10,30)代入回归方程得30210a =-⨯+，解得50a =.∴回归方程为250y x =-+；（2）当10x =时，30y =，估计当气温为10C 时的用电量为30度.点睛：本题主要考查了线性回归分析的实际应用问题，其中根据最小二乘法求解回归系数是解答的关键和计算的难点，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.。

陕西省西安中学高2025届高三第一次质量检测考试数学试题（时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}(){}2210,log 1A x xB x x x =-≤≤=-≤，则A B = （ ）A. {}10x x -≤≤ B. {}10x x -<≤ C. {}10x x -≤< D. {}10x x -<<2. “01a <<”是“函数()()log 2a f x a x =-在(),1-∞上单调递增”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的图象大致为（）A. B.C. D.4. 已知521log 2,log ,2ba b a c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ）A. c b a>> B. c a b>> C. a b c>> D. b c a>>5. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()32f x f x +=，且()21f =-，则()100f =（ ）A. 1- B. 1C. 3- D. 36. 已知函数()e 1,0,2,0,x x f x x x⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩()1g x kx =-，若关于x 的方程()()f x g x =有2个不相等的实数解，则实数k 的取值范围是（ ）A. {}eB. [)e,+∞ C. {}1,0e 8⎛⎫- ⎪⎝⎭D. {}1,e 8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭7. 已知函数3()1f x x x =-+，则（ ）A. ()f x 有三个极值点B. ()f x 有三个零点C. 点(0,1)是曲线()y f x =对称中心D. 直线2y x =是曲线()y f x =的切线8. 已知函数24,0()log ,0x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪<⎩，2()g x x ax b =++，若方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（ ）A. 28- B. 28C. 14- D. 14二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列导数运算正确的是（ ）A.1()x '= B. (e )e x x --'= C. 21(tan )cos x x'=D. 1(ln )x x'=10. 甲乙丙等5人的身高互不相同，站成一排进行列队训练，则（ ）A. 甲乙不相邻的不同排法有48种B. 甲乙中间恰排一个人不同排法有36种C. 甲乙不排在两端的不同排法有36种D. 甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有20种11. 已知0c b a <<<，则（ ）A. ac b bc a+<+ B. 333b c a +<C.a c ab c b +<+ D.>三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如下，数据的分组依次是[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，则可估计这次数学测试成绩的第40百分位数是_________．的的13. 若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则a =__________.14. 51(2)y x y x ⎛⎫-+⎪⎝⎭的展开式中，23x y 的系数为__________．四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知函数3212()232a f x x x ax +=-+．（1）若1a =，求函数()f x 极值；（2）讨论函数()f x 的单调性．16. 为践行“更快更高更强”的奥林匹克格言，落实全民健身国家战略.某校高三年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高.为了解活动效果，该年级对开展活动以来近6个月体重超重的人数进行了调查，调查结果统计如图，根据上面的散点图可以认为散点集中在曲线e bx a y +=的附近，请根据下表中的数据求出月份x 123456体重超标人数y987754483227lnz y= 4.58 4.34 3.98 3.87 3.46 3.29（1）该年级体重超重人数y 与月份x 之间的经验回归方程(系数ˆ,a b的最终结果精确到0.01)；的（2）预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超标的人数降至10人以下.附：经验回归方程：ˆˆˆy bx a =+中，1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆa y bx=-；参考数据：6123.52i i z ==∑，6177.72i i i x z ==∑，62191i i x ==∑，ln10 2.30.≈17. 已知函数()log (1)a f x x =+，()()()2log 2a g x x t t =+∈R ，0a >，且 1.a ≠（1）当01a <<且1t =-时，求不等式()()f x g x ≤解集；（2）若函数()2()21f x F x a tx t =+-+在区间(1,2]-上有零点，求t 的取值范围.18. 某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95].根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值X 服从正态分布()2,N μσ，并把质量指标值不小于80的产品称为A 等品，其它产品称为B 等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差s 的近似值为11，用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为A 等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827,(22)0.9545P P μσξμσμσξμσ-<<+≈-<<+≈，(33)0.9973P μσξμσ-<<+≈. )（2）（i ）从样本质量指标值在[45,55)和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为η，求η的分布列和数学期望；（ii ）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件A 等品芯片的的的利润是(124)m m <<元，一件B 等品芯片的利润是ln(25)m -元，根据(1)的计算结果，试求m 的值，使得每箱产品的利润最大.19. 已知函数1()e ln (1).x f x a x a x -=+-+（1）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =时，证明：函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；（3）若1x =是函数()f x 的极大值点，求实数a 的取值范围.陕西省西安中学高2025届高三第一次质量检测考试数学试题（时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}(){}2210,log 1A x xB x x x =-≤≤=-≤，则A B = （ ）A. {}10x x -≤≤ B. {}10x x -<≤ C. {}10x x -≤< D. {}10x x -<<【答案】C 【解析】【分析】先根据对数函数的单调性解不等式化简集合B ，然后利用交集运算求解即可.【详解】因为()222log 1log 2x x -≤=，所以202x x <-≤，解得12x <≤或10x -≤<，故{10B x x =-≤<或}12x <≤，又{}10A x x =-≤≤，所以A B = {}10x x -≤<.故选：C2. “01a <<”是“函数()()log 2a f x a x =-在(),1-∞上单调递增”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据对数函数和一次函数的单调性，再结合复合函数“同增异减”的判断法则求得对应的a 的取值范围即可得出结论.【详解】易知()()log 2a f x a x =-的定义域为(),2a -∞，且函数2y a x =-为单调递减函数；根据复合函数单调性可知若函数()()log 2a f x a x =-在(),1-∞上单调递增，可得0121a a <<⎧⎨≥⎩，解得112a ≤<；显然112a a ⎧⎫|≤<⎨⎬⎩⎭是{}|01a a <<的真子集，所以“01a <<”是“函数()()log 2a f x a x =-在(),1-∞上单调递增”的必要不充分条件.3. 函数()()2e esin xxf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】利用函数的奇偶性可排除A 、C ，代入1x =可得()10f >，可排除D.【详解】()()()()()22ee sin e e sin xx x x f x x x x x f x ---=-+--=-+-=，又函数定义域为[]2.8,2.8-，故该函数为偶函数，可排除A 、C ，又()11πe 11111e sin11e sin 10e e 622e 42ef ⎛⎫⎛⎫=-+->--=-->-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故可排除D.故选：B.4. 已知521log 2,log ,2ba b a c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则（ ）A. c b a >>B. c a b>> C. a b c>> D. b c a>>【答案】B 【解析】【分析】判断出01a <<，0b <，1c >，即可求解.【详解】555log 1log 2log ,0151a a <=<∴<=< 22log log 10b a =<= ，故0b <；1122bc ⎛⎫⎛⎫=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1c >，故c a b >>.5. 已知定义在R 上的函数()f x 满足()()32f x f x +=，且()21f =-，则()100f =（ ）A. 1- B. 1C. 3- D. 3【答案】C 【解析】【分析】由条件推得函数的周期为4，结合函数的周期，即可求解.【详解】由()()32f x f x +=，可得()()()342f x f x f x +==+，所以()f x 的周期为4，则()()()3100032f f f ===-．故选：C.6. 已知函数()e 1,0,2,0,x x f x x x⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩()1g x kx =-，若关于x 的方程()()f x g x =有2个不相等的实数解，则实数k 的取值范围是（ ）A. {}e B. [)e,+∞ C. {}1,0e 8⎛⎫- ⎪⎝⎭D. {}1,e 8⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据题意，转化为()y f x =与1y kx =-的图象有2个交点，分0k =、0k <和0k >，三种情况讨论，结合导数的几何意义与函数的图象，即可求解.【详解】由题意，关于x 的方程()()f x g x =有2个不相等的实数解，即()y f x =与1y kx =-的图象有2个交点，如图所示，当0k =，直线1y =-与2y x=图象交于点()2,1--，又当0x ≥时，e 10x -≥，故直线1y =-与e 1x y =-（0x ≥）的图象无公共点，故当0k =时，()y f x =与1y kx =-的图象只有一个交点，不合题意；当0k >，直线1y kx =-与曲线e 1x y =-（0x ≥）相切时，此时()y f x =与1y kx =-的图象有2个交点，设切点()00,e 1xP x -，则00e x x x k y =='=，又由1y kx =-过点()0,1-，所以()000e 11e 0x x x ---=-，解得01x =，所以e =k ；当0k <时，若21kx x=-，则220kx x --=，由180k ∆=+=，可得18k =-，所以当18k =-时，直线1y kx =-与2y x=的图象相切，由图得当108k -<<时，直线1y kx =-与()y f x =的图象有2个交点．综上所述，实数k 的取值范围是{}1,0e 8⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：C ．7 已知函数3()1f x x x =-+，则（ ）A. ()f x 有三个极值点B. ()f x 有三个零点C. 点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心D. 直线2y x =是曲线()y f x =的切线【答案】C 【解析】【分析】求导后判断单调性，从而求得极值点即可判断A ；利用单调性结合零点存在性定理即可判断B ；令3()h x x x =-，得到()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心，再结合图象的平移规律即可判断C ；由导数的几何意义求得切线方程即可判断D.【详解】对于A ，由题，()231f x x '=-，令()0f x '>得x >或x <()0f x '<得x <<的.所以()f x在(,-∞，)+∞上单调递增，(上单调递减，所以x =是极值点，故A 不正确；对应B，因(10f =+>，10f =->，()250f -=-<，所以，函数()f x在⎛-∞ ⎝上有一个零点，当x ≥时，()0f x f ≥>，即函数()f x在⎫∞⎪⎪⎭+上无零点，综上所述，函数()f x 有一个零点，故B 错误；对于C ，令3()h x x x =-，该函数的定义域为R ，()()()()33h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(0,0)是()h x 的对称中心，将()h x 的图象向上移动一个单位得到()f x 的图象，所以点(0,1)是曲线()y f x =的对称中心，故C 正确；对于D ，令()2312f x x '=-=，可得1x =±，又()(1)11f f =-=，当切点为(1,1)时，切线方程为21y x =-，当切点为(1,1)-时，切线方程为23y x =+，故D 错误.故选：C8. 已知函数24,0()log ,0x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪<⎩，2()g x x ax b =++，若方程()0g f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有5个不相等的整数解，则其中最大整数解和最小整数解的和等于（ ）A. 28- B. 28C. 14- D. 14【答案】A 【解析】【分析】利用换元法结合一元二次方程根的分布，数形结合计算即可.【详解】先作出()f x 的大致图象，如下令()f x t =，则()20g t t at b =++=，根据()f x 的图象可知：要满足题意必须()0g t =有两个不等根()1212,t t t t <，且()1f x t =有两个整数根，()2f x t =有三个整数根，结合对勾函数和对数函数图象与性质知，两函数14,y t y x x==+相切时符合题意，因为44x x +≥=，当且仅当2x =时取得等号，又()()22log log 0y x x x ==-<，易知其定义域内单调递减，即()14f x t ==，此时有两个整数根2x =或16x =-，而要满足()2f x t =有三个整数根，结合()f x 图象知必有一根小于2，显然只有1x =符合题意，当1x =时有()15f =，则25t =，解方程45x x+=得25t =的另一个正根为4x =，又()2log 5x -=⇒32x =-，此时五个整数根依次是32,16,1,2,4x =--，显然最大根和最小的根和为()43228+-=-.故选：A二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列导数运算正确的是（ ）A. 211()x x '=-B. (e )e x x --'=C. 21(tan )cos x x'=D. 1(ln )x x'=【答案】ACD【解析】的的【分析】利用求导公式逐项判断即可.【详解】对于A ，211(x x '=-，故A 正确；对于B ，(e )e x x --'=-，故B 错误；对于C ，2222sin cos sin 1(tan )()=cos cos cos x x x x x x x+''==，故C 正确；对于D ，()(ln ),01(ln )ln ,0x x x x x x '>⎧⎪==⎨⎡⎤-<⎪⎣⎦⎩''，故D 正确.故选：ACD10. 甲乙丙等5人的身高互不相同，站成一排进行列队训练，则（ ）A. 甲乙不相邻的不同排法有48种B. 甲乙中间恰排一个人的不同排法有36种C. 甲乙不排在两端的不同排法有36种D. 甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有20种【答案】BCD 【解析】【分析】根据排列和组合的定义、结合捆绑法逐一判断即可.【详解】A ：甲乙不相邻的不同排法有3234A A 72=种，所以本选项不正确；B ：甲乙中间恰排一个人的不同排法有123323C A A 36=种，所以本选项正确；C ：甲乙不排在两端的不同排法有2333A A 36=种，所以本选项正确；D ：甲乙丙三人从左到右由高到矮的不同排法有5533A 20A =种，所以本选项正确.故选：BCD11. 已知0c b a <<<，则（ ）A. ac b bc a+<+ B. 333b c a +<C.a c ab c b +<+D.>【答案】ABD 【解析】【分析】选项ABD ，利用不等式的性质计算即可，选项C ，因为b c +可正可负，所以不容易化简解决，一般当乘或除以一个不知正负的数，基本上错误，我们只需要找反例即可.【详解】因为0c b a <<<，所以ac bc ac b bc a <⇒+<+，故A 正确；因为0c b a <<<，所以333333,0b a c b c a <<⇒+<，故B 正确；因为0c b a <<<，不妨令3,2,1a b c ===-，得32,2a c abc b +==+，此时a c ab c b +>+，故C 错误；因为0c b a <<<0>>⇒<⇒>，故D 正确.故选：ABD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如下，数据的分组依次是[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，则可估计这次数学测试成绩的第40百分位数是_________．【答案】65【解析】【分析】利用百分位数的定义求解.【详解】解：成绩在[20,60)的频率是()0.0050.01200.3+⨯=，成绩在[20,80)的频率为0.30.02200.7+⨯=，所以第40百分位数一定在[60,80)内，所以这次数学测试成绩的第40百分位数是0.40.36020650.4-+⨯=，故答案为：6513. 若曲线e x y x =+在点()0,1处的切线也是曲线ln(1)y x a =++的切线，则a =__________.【答案】ln 2【解析】【分析】先求出曲线e xy x =+在()0,1的切线方程，再设曲线()ln 1y x a =++的切点为()()0,ln 1x xa ++，求出y '，利用公切线斜率相等求出0x ，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.【详解】由e xy x =+得e 1x y '=+，00|e 12x y ='=+=，故曲线e xy x =+在()0,1处的切线方程为21yx =+；由()ln 1y x a =++得11y x '=+，设切线与曲线()ln 1y x a =++相切的切点为()()00,ln 1x x a ++，由两曲线有公切线得0121y x '==+，解得012x =-，则切点为11,ln 22a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，切线方程为112ln 21ln 222y x a x a ⎛⎫=+++=++- ⎪⎝⎭，根据两切线重合,所以ln 20a -=，解得ln 2a =.故答案为：ln 214. 51(2)y x y x ⎛⎫-+⎪⎝⎭展开式中，23x y 的系数为__________．【答案】40【解析】【分析】根据二项式的通项公式进行求解即可.【详解】二项式5(2)x y +的通项公式为()515C 2rrr r T x y -+=⋅⋅，所以23x y 的系数为()233255C 21C 240⋅+-⋅⋅=，故答案为：40四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16，17题15分，第18，19题17分，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15. 已知函数3212()232a f x x x ax +=-+．（1）若1a =，求函数()f x 的极值；（2）讨论函数()f x 的单调性．【答案】（1）极小值为23，极大值为56（2）答案见解析【解析】的【分析】（1）对()f x 求导，分析单调性，再根据极值定义即可求解；（2）()()(2)f x x a x =--'，对a 分2a =，2a >和2a <讨论单调性即可.【小问1详解】3213()2,()(1)(2)32f x x x x f x x x =-+'=--.所以x <1或x >2时，'()0f x >，12x <<时，'()0f x <，则()f x 在(1,2)上递减，在(,1),(2,)-∞+∞递增，所以()f x 的极小值为2(2)3f =，极大值为5(1)6f =.【小问2详解】()()(2)f x x a x =--'，当2a =时，'()0f x ≥，所以()f x 在(,)-∞+∞上递增，当2a >时，2x <或x a >时，'()0f x >；2x a <<时，'()0f x <，所以()f x 在(,2),(,)a -∞+∞上递增，在(2,)a 上递减，当2a <时，x a <或2x >时，'()0f x >；2a x <<时，'()0f x <，所以()f x 在(,),(2,)a -∞+∞上递增；在(,2)a 上递减．16. 为践行“更快更高更强”的奥林匹克格言，落实全民健身国家战略.某校高三年级发起了“发扬奥林匹克精神，锻炼健康体魄”的年度主题活动，经过一段时间后，学生的身体素质明显提高.为了解活动效果，该年级对开展活动以来近6个月体重超重的人数进行了调查，调查结果统计如图，根据上面的散点图可以认为散点集中在曲线e bx a y +=的附近，请根据下表中的数据求出月份x 123456体重超标人数y987754483227ln z y= 4.58 4.34 3.98 3.87 3.46 3.29（1）该年级体重超重人数y 与月份x 之间的经验回归方程(系数ˆ,a b的最终结果精确到0.01)；（2）预测从开展活动以来第几个月份开始该年级体重超标的人数降至10人以下.附：经验回归方程：ˆˆˆy bx a =+中，1221ˆni ii nii x y nx ybxnx ==-⋅=-∑∑，ˆˆa y bx=-；参考数据：6123.52ii z==∑，6177.72i ii x z==∑，62191i i x ==∑，ln10 2.30.≈【答案】（1）0.26 4.83ex y -+=（2）从第十个月开始【解析】【分析】（1）由计算公式与参考数据，求出ˆ,a b则可得回归方程；（2）根据经验回归方程建立不等式0.26 4.83e 10x -+<，解出不等式则可预测.【小问1详解】由e bx a y +=得ln z y bx a ==+，由题意得1(123456) 3.56x =+++++=，11123.52 3.9266n i i z z ===⨯=∑，所以6162221677.726 3.5 3.92ˆ0.26916 3.56i i i ii x zx zbxx ==-⋅-⨯⨯==≈--⨯-∑∑，ˆˆ 3.92(0.26) 3.5 4.83az bx =-≈--⨯=，所以ˆˆln 0.26 4.83zy x ==-+，即y 关于x 的经验回归方程为0.26 4.83e x y -+=【小问2详解】令0.26 4.83ln10 2.3e 10e e x -+<=≈，所以0.26 4.83 2.3x -+<，又由于x ∈N ，所以解得10x ≥，且x *∈N ，所以从第十个月开始，该年级体重超标的人数降至10人以下.17. 已知函数()log (1)a f x x =+，()()()2log 2a g x x t t =+∈R ，0a >，且 1.a ≠（1）当01a <<且1t =-时，求不等式()()f x g x ≤的解集；（2）若函数()2()21f x F x a tx t =+-+在区间(1,2]-上有零点，求t 的取值范围.【答案】（1）15|24x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭（2）2t ≤-或t ≥【解析】【分析】（1）当1t =-时，将不等式()()f x g x ≤转化为()()2log 1log 21a a x x +≤-，利用对数函数的单调性结合一元二次不等式求解即可；（2）解法一：分离参数，将原函数的零点问题转化为22(2x t x x +=-≠-且12)x -<≤有根，设2U x =+(14U <≤且2U ≠+，则124t U U=--+，利用对勾函数的单调性求解值域即可求解；解法二：先判断0t =时，不合题意，当0t ≠时，根据二次函数零点分布分类讨论，列不等式组求解即可.【小问1详解】当1t =-时，()()2log 1log 21a a x x +≤-，又0<a <1，则x +1≥(2x−1)22x−1>0，∴4x 2−5x ≤0x >12⇒12<x ≤54，∴不等式()()f x g x ≤的解集为15|24x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭；【小问2详解】解法一：由题设()222F x tx x t =+-+，由()0F x =，得22(2x t x x +=-≠-且12)x -<≤，则()()222422x t x x +=-+-++，设2U x =+(14U <≤且2U ≠+，则212424U t U U U U=-=-+--，令2()U U Uϕ=+，当1U <<时，()U ϕ4U <<时，()U ϕ单调递增，且()()913,42ϕϕϕ===，故()92U ϕ≤≤且() 4.U ϕ≠12402U U ∴-≤--<或2044U U<--≤-t 的取值范围为：2t ≤-或t ≥解法二：()222F x tx x t =+-+，若0t =，则()2F x x =+在(1,2]-上没有零点．下面就0t ≠时分三种情况讨论：①方程()0F x =在(1,2]-上有重根12x x =，则0∆=，解得t =，又1212x x t ==-(]1,2∈-⇒t =；②F (x )在(1,2]-上只有一个零点，且不是方程的重根，则()()120F F -<，解得2t <-或1t >，经检验2t =-或1t =时，F (x )在(1,2]-上都有零点，则2t ≤-或 1.t ≥③方程()0F x =在(1,2]-上有两个相异实根，则有t >0Δ>0−1<−12t <2F(−1)>0F(2)>0或t <0Δ>0−1<−12t <2F(−1)<0F(2)<0，解得1t <<，综上可知：t 的取值范围为2t ≤-或t ≥18. 某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片质量按等级划分为五个层级，分别对应如下五组质量指标值：[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95].根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值X 服从正态分布()2,N μσ，并把质量指标值不小于80的产品称为A 等品，其它产品称为B 等品. 现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差s 的近似值为11，用样本平均数x 作为μ的近似值，用样本标准差s 作为σ的估计值. 若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为A 等品的概率(保留小数点后面两位有效数字)；(①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据:若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827,(22)0.9545P P μσξμσμσξμσ-<<+≈-<<+≈，(33)0.9973P μσξμσ-<<+≈. )（2）（i ）从样本的质量指标值在[45,55)和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为η，求η的分布列和数学期望；（ii ）该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装. 已知一件A 等品芯片的利润是(124)m m <<元，一件B 等品芯片的利润是ln(25)m -元，根据(1)的计算结果，试求m 的值，使得每箱产品的利润最大.【答案】（1）0.16 （2）（i ）分布列见解析，32；（ii ）794m =【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求得样本平均数，然后利用正态分布的对称性求解概率.（2）（i ）先求出η的取值，然后求出对应的概率，即可求出分布列，代入期望公式求解即可；（ii ）先根据二项分布的期望求出()E Z 1684ln(25)m m =+-，然后构造函数()1684ln(25)(124)f x x x x =+-<<，利用导数求出最大值时的m 即可.【小问1详解】由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的平均数为：10(0.01500.025600.04700.015800.0190)69x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．即69x μ≈=，11s σ≈≈，所以2(69,11)X N ~，因为质量指标值X 近似服从正态分布2)(69,11N ，所以1(69116911)(80)2P X P X --<<+≥=1()2P X μσμσ--<<+=10.68270.158650.162-≈=≈，所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为A 等品的概率约为0.16.【小问2详解】（i ）(0.010.01)1010020+⨯⨯=，所以所取样本的个数为20件，质量指标值在[]85,95的芯片件数为10件，故η可能取的值为0，1，2，3，相应的概率为：301010320C C 2(0)C 19η===P ，211010320C C 15(1)C 38η===P ，15(2)38η===P ，031010320C C 2(3)C 19η===P ，随机变量η的分布列为：η0123P21915381538219所以η的数学期望2151523()0123193838192E η=⨯+⨯+⨯+⨯=.（ii ）设每箱产品中A 等品有Y 件，则每箱产品中B 等品有(100)Y -件，设每箱产品的利润为Z 元，由题意知：(100)ln(25)(ln(25))100ln(25)Z mY Y m m m Y m =+--=--+-，由（1）知：每箱零件中A 等品的概率为0.16，所以~(100,0.16)Y B ，所以()1000.1616E Y =⨯=，所以()[(ln(25))100ln(25)]E Z E m m Y m =--+-(ln(25))100ln(25)m m EY m =--+-16(ln(25))100ln(25)m m m =--+-1684ln(25)m m =+-.令()1684ln(25)(124)f x x x x =+-<<，由84()16025f x x '=-=-得，794x =，又79(1,)4∈x ，()0f x '>，()f x 单调递增，79(,24)4∈x ，()0f x '<，()f x 单调递减，所以当79(1,24)4x =∈时，()f x 取得最大值.所以当794m =时，每箱产品利润最大.19. 已知函数1()e ln (1).x f x a x a x -=+-+（1）当0a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当1a =时，证明：函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；（3）若1x =是函数()f x 的极大值点，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析（3）(,1).-∞【解析】【分析】（1）代入a 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）对函数()f x ()f x 导函数的单调性，求出导函数的最小值，即可证明；（3）对()f x 求导得，11()e 1x f x a a x -'=+--，令11()e 1x h x a a x-=+--，再求导，分a 的不同取值讨论()h x 的性质，即可求出a 的取值范围.【小问1详解】当0a =时，()ln f x x x =-，且知11()1x f x x x-='-=，在(0,1)上，()0f x '>， ()f x 在(0,1)上单调递增；在(1,)+∞上，()0f x '<， ()f x 在(1,)+∞上单调递减；所以函数()f x 的单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,)+∞【小问2详解】证明：因为1a =，所以1()e ln 2x f x x x -=+-，且知11()e2x f x x-'=+-，要证函数()f x 单调递增，即证()0f x '≥在(0,)+∞上恒成立，设11()e 2x g x x-=+-，0x >，则121()e x g x x -'=-，注意1e x y -=，21y x =-在(0,)+∞上均为增函数，故()g x '在(0,)+∞上单调递增，且(1)0g '=，于是()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，()(1)0g x g ≥=，即()0f x '≥，因此函数()f x 在(0,)+∞上单调递增;【小问3详解】由11()e 1x f x a a x-'=+--，有(1)0f '=，令11()e 1x h x a a x -=+--，有121()e x h x a x -'=-，①当0a ≤时，11()e 0x xh x a x -'=-<在(0,)+∞上恒成立，因此()f x '在(0,)+∞上单调递减，注意到(1)0f '=，故函数()f x 的增区间为(0,1)，减区间为(1,)+∞，此时1x =是函数()f x 的极大值点;②当0a >时，1e x y a -=与21y x=-在(0,)+∞上均为单调增函数，故()h x '在(0,)+∞上单调递增，注意到(1)1h a '=-，若(1)0h '<，即01a <<时，此时存在(1,)n ∈+∞，使()0h n '=，因此()f x '在(0,)n 上单调递减，在(,)n +∞上单调递增，又知(1)0f '=，则()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)n 上单调递减，此时1x =为函数()f x 的极大值点，若(1)0h '>，即1a >时，此时存在(0,1)m ∈，使()0h m '=，因此()f x '在(0,)m 上单调递减.在(,)m +∞上单调递增，又知(1)0f '=，则()f x 在(,1)m 上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，此时1x =为函数()f x 的极小值点.当1a =时，由(1)可知()f x 单调递增，因此1x =非极大值点，综上所述，实数 a 的取值范围为(,1).-∞【点睛】关键点点睛：已知函数的极大值点，求出函数的导数，根据导数的导数121()e x h x a x -'=-分类讨论，确定函数极值点是解题的关键，据此可得符合题意的参数取值范围.。

用激情和智慧书写责任与使命陕西省西安市周至县楼观台九年制学校王海朝“教师——人类灵魂的工程师”的“灵魂”是什么？几年的教学实践或许给出了我明确的答案：那就是，提起教育就充满感情，提起学生就满怀欣喜。

一个教师的“灵魂”是什么？一个教师的“真谛”是什么？我们从很多的报道中，从我们身边的教师身上，不难发现答案，那就是——“教好书、育好人”。

在踏上教师工作岗位之时，我一直以来在反思自己，我是谁？我要成为一个什么样的教师？我离这个目标还有多远？有时候，当我忘记了最初的誓言时，我也会停下来，思考自己，我是否做到了“教好书、育好人”。

今天，我有幸成为一名教师，我没有任何理由不去为实现自身跨越式发展和学生终身发展而努力，我没有任何优越感而对这一职业骄傲和自豪，给予我的只是一种责任和使命，上岗以来，我没有辜负所有领导，所有教师和每一位家长和学生，我相信，这将是我一生的财富、荣耀和动力。

时光像沙漏一样筛过我们的青春，回想起来，有太多值得思考和回味的东西：我奋斗过、失意过，迷茫过，不解过，但更多的是收获知识和经验，收获更多的成功和喜悦。

我不断学习，成长并快乐着，努力实现自身的价值，“全力以赴”朝着当初的誓言迈进。

伤感经过一天的行程，我如期报到。

一路上，寒风怒号，冰天雪地，崇山峻岭，荒凉之极，道道溪流九曲回环……能见到村子和人家，已是一种莫大的奢侈。

对于生在平原的我来说，唯有荒凉伴寂寥的境况，便纵有无尽伤感，更与何人说。

学校校舍极其简陋，门窗、楼梯护栏上锈迹斑驳，墙壁、教室阴暗无光，几处掉渣的墙皮坑坑洼洼，窗户玻璃多出破碎，厚厚的土墙根部，也许年代久远，已经半边脱落，早已步入了危房行列，门前一条河流溪水潺潺，好像在倾诉着岁月的无情。

整个宿舍不足10平米，我躺在一张用砖头垒砌架起的木床上，晃晃悠悠地度过了我的第一个不眠之夜。

“一个人想，一个人笑，一个人哭。

我很小的时候父母就出去打工了。

不知道什么是父爱什么是母爱，就连他们的样子都记不清了。