2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(山东卷)
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2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(山东卷)第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013山东,文1)复数z =22i i(-)(i 为虚数单位),则|z |=( ).A .25 B.5 D2.(2013山东,文2)已知集合A ,B 均为全集U ={1,2,3,4}的子集,且(A ∪B )={4},B ={1,2},则A ∩=( ).A .{3}B .{4}C .{3,4}D .3.(2013山东,文3)已知函数f (x )为奇函数,且当x >0时,f (x )=x 2+1x,则f (-1)=( ). A .2 B .1 C .0 D .-24.(2013山东,文4)一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如下图所示,则该四棱锥侧面积和体积分别是( ).A.8B.83C.,83D .8,85.(2013山东,文5)函数f (x )的定义域为( ). A .(-3,0] B .(-3,1] C .(-∞,-3)∪(-3,0] D .(-∞,-3)∪(-3,1] 6.(2013山东,文6)执行两次下图所示的程序框图,若第一次输入的a 的值为-1.2,第二次输入的a 的值为1.2,则第一次、第二次输出的a 的值分别为( ).A .0.2,0.2B .0.2,0.8C .0.8,0.2D .0.8,0.87.(2013山东,文7)△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .若B =2A ,a =1,bc =( ).A..2 C.18.(2013山东,文8)给定两个命题p ,q .若⌝p 是q 的必要而不充分条件,则p 是⌝q 的( ).A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件9.(2013山东,文9)函数y =x cos x +sin x 的图象大致为( ).10.(2013山东,文10)将某选手的9个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,7个剩余分数的平均分为91.现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊,无法辨认,在图中以x 表示: 则7个剩余分数的方差为( ).A .1169B .367C .36 D.11.(2013山东,文11)抛物线C 1:y =212x p(p >0)的焦点与双曲线C 2:2213x y -=的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线,则p =( ).A.16 B.8 C.3 D.312.(2013山东,文12)设正实数x ,y ,z 满足x 2-3xy +4y 2-z =0.则当zxy取得最小值时,x +2y -z 的最大值为( ).A .0B .98C .2D .94第2卷(共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.13.(2013山东,文13)过点(3,1)作圆(x -2)2+(y -2)2=4的弦,其中最短弦的长为__________.14.(2013山东,文14)在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组2360,20,0x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩所表示的区域上一动点,则|OM |的最小值是__________. 15.(2013山东,文15)在平面直角坐标系xOy 中,已知OA =(-1,t ),OB=(2,2).若∠ABO =90°,则实数t 的值为__________.16.(2013山东,文16)定义“正对数”:ln +x =0,01,ln ,1,x x x <<⎧⎨≥⎩现有四个命题:①若a >0,b >0,则ln +(a b )=b ln +a ;②若a >0,b >0,则ln +(ab )=ln +a +ln +b ; ③若a >0,b >0,则ln a b ⎛⎫⎪⎝⎭+≥ln +a -ln +b ; ④若a >0,b >0,则ln +(a +b )≤ln +a +ln +b +ln 2.其中的真命题有__________.(写出所有真命题的编号)三、解答题:本大题共6小题,共74分.17.(2013山东,文17)(本小题满分12分)某小组共有A ,B ,C ,D ,E 五位同学,他们的身高(单位:米)及体重指标(2(1)从该小组身高低于(2)从该小组同学中任选2人,求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率.18.(2013山东,文18)(本小题满分12分)设函数f (x )2ωx -sin ωx cos ωx (ω>0),且y =f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4. (1)求ω的值; (2)求f (x )在区间3ππ,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.19.(2013山东,文19)(本小题满分12分)如图,四棱锥P -ABCD 中,AB ⊥AC ,AB ⊥PA ,AB ∥CD ,AB =2CD ,E ,F ,G ,M ,N 分别为PB ,AB ,BC ,PD ,PC 的中点. (1)求证:CE ∥平面PAD ;(2)求证:平面EFG ⊥平面EMN .20.(2013山东,文20)(本小题满分12分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 4=4S 2,a 2n =2a n +1. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)若数列{b n }满足1212112n n n b b b a a a +++=- ,n ∈N *,求{b n }的前n 项和T n .21.(2013山东,文21)(本小题满分12分)已知函数f (x )=ax 2+bx -ln x (a ,b ∈R ). (1)设a ≥0,求f (x )的单调区间;(2)设a >0,且对任意x >0,f (x )≥f (1).试比较ln a 与-2b 的大小.22.(2013山东,文22)(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C 的中心在原点O ,焦点在x 轴上,短轴长为2,离心率为2. (1)求椭圆C 的方程;(2)A ,B 为椭圆C 上满足△AOB E 为线段AB 的中点,射线OE 交椭圆C 于点P .设OP =tOE,求实数t 的值.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(山东卷)第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 答案:C解析:44i 134i43i i iz ---==--,所以|z | 5.故选C. 2. 答案:A解析:∵(A ∪B )={4},∴A ∪B ={1,2,3}. 又∵B ={1,2},∴A 一定含元素3,不含4. 又∵={3,4},∴A ∩={3}.3. 答案:D解析:∵f (x )为奇函数,∴f (-1)=-f (1)=111⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-2.4.答案:B解析:由正(主)视图数据可知正四棱锥的底面是边长为2的正方形,高也是2,如图:由图可知PO =2,OE =1,所以PE所以V =13×4×2=83,S =1422⨯5.答案:A解析:由题可知12030x x ⎧-≥⎨+>⎩⇒213x x ⎧≤⎨>-⎩⇒0,3,x x ≤⎧⎨>-⎩ ∴定义域为(-3,0].6. 答案:C解析:第一次:a =-1.2<0,a =-1.2+1=-0.2,-0.2<0,a =-0.2+1=0.8>0,a =0.8≥1不成立,输出0.8.第二次:a =1.2<0不成立,a =1.2≥1成立,a =1.2-1=0.2≥1不成立,输出0.2. 7. 答案:B解析:由正弦定理sin sin a b A B =得:1sin A =,又∵B =2A ,∴1sin A ==∴cos A A =30°,∴∠B =60°,∠C =90°,∴c 2. 8. 答案:A解析:由题意:q ⇒⌝p ,⌝p q ,根据命题四种形式之间的关系,互为逆否的两个命题同真同假,所以等价于所以p 是⌝q 的充分而不必要条件.故选A.9.答案:D解析:因f (-x )=-x ·cos(-x )+sin(-x )=-(x cos x +sin x )=-f (x ),故该函数为奇函数,排除B ,又x ∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭,y >0,排除C ,而x =π时,y =-π,排除A ,故选D. 10. 答案:B解析:∵模糊的数为x ,则:90+x +87+94+91+90+90+91=91×7, x =4,所以7个数分别为90,90,91,91,94,94,87,方差为s 2=222229091291912949187917(-)+(-)+(-)+(-)=367.11. 答案:D解析:设M 2001,2x x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,21''2x y x p p⎛⎫== ⎪⎝⎭,故M 点切线的斜率为0x p =M 1,36p p ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.由1,36p p ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,(2,0)三点共线,可求得p D. 12.答案:C解析:由x 2-3xy +4y 2-z =0得x 2+4y 2-3xy =z ,22443331z x y xyxy xy xy+=-≥-=-=, 当且仅当x 2=4y 2即x =2y 时,z xy有最小值1,将x =2y 代入原式得z =2y 2,所以x +2y -z =2y +2y -2y 2=-2y 2+4y , 当y =1时有最大值2.故选C.第Ⅱ卷(共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.13.答案:解析:如图,当AB 所在直线与AC 垂直时弦BD 最短,AC ==CB =r =2,∴BA =BD =14.解析:由约束条件可画出可行域如图阴影部分所示.由图可知OM 的最小值即为点O 到直线x +y -2=0的距离,即d min=. 15.答案:5解析:∵OA =(-1,t ),OB=(2,2),∴BA =OA-OB =(-3,t -2).又∵∠ABO =90°,∴BA ·OB=0,即(-3,t -2)·(2,2)=0, -6+2t -4=0, ∴t =5. 16.答案:①③④三、解答题:本大题共6小题,共74分. 17.解:(1)从身高低于1.80的同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有:(A ,B ),(A ,C ),(A ,D ),(B ,C ),(B ,D ),(C ,D ),共6个.由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.选到的2人身高都在1.78以下的事件有:(A ,B ),(A ,C ),(B ,C ),共3个. 因此选到的2人身高都在1.78以下的概率为P =36=12. (2)从该小组同学中任选2人,其一切可能的结果组成的基本事件有:(A ,B ),(A ,C ),(A ,D ),(A ,E ),(B ,C ),(B ,D ),(B ,E ),(C ,D ),(C ,E ),(D ,E ),共10个.由于每个人被选到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.选到的2人身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的事件有:(C ,D ),(C ,E ),(D ,E ),共3个.因此选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率为P =310. 18.解:(1)f (x )2ωx -sin ωx cos ωx1cos 21sin 222x x ωω--ωx -12sin 2ωx=πsin 23x ω⎛⎫-- ⎪⎝⎭.因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4,又ω>0,所以2ππ=424ω⨯.因此ω=1. (2)由(1)知f (x )=πsin 23x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.当π≤x ≤3π2时,5π3≤π8π233x -≤.所以πsin 2123x ⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭,因此-1≤f (x .故f (x )在区间3ππ,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦,-1.19.(1)证法一:取PA 的中点H ,连接EH ,DH . 因为E 为PB 的中点, 所以EH ∥AB ,EH =12AB . 又AB ∥CD ,CD =12AB , 所以EH ∥CD ,EH =CD .因此四边形DCEH 是平行四边形, 所以CE ∥DH .又DH ⊂平面PAD ,CE 平面PAD , 因此CE ∥平面PAD . 证法二:连接CF .因为F 为AB 的中点, 所以AF =12AB . 又CD =12AB , 所以AF =CD . 又AF ∥CD ,所以四边形AFCD 为平行四边形. 因此CF ∥AD .又CF 平面PAD , 所以CF ∥平面PAD .因为E ,F 分别为PB ,AB 的中点, 所以EF ∥PA .又EF 平面PAD , 所以EF ∥平面PAD . 因为CF ∩EF =F ,故平面CEF ∥平面PAD . 又CE ⊂平面CEF , 所以CE ∥平面PAD .(2)证明:因为E ,F 分别为PB ,AB 的中点, 所以EF ∥PA .又AB ⊥PA ,所以AB ⊥EF . 同理可证AB ⊥FG .又EF ∩FG =F ,EF ⊂平面EFG ,FG ⊂平面EFG , 因此AB ⊥平面EFG .又M ,N 分别为PD ,PC 的中点, 所以MN ∥CD .又AB ∥CD ,所以MN ∥AB . 因此MN ⊥平面EFG . 又MN ⊂平面EMN ,所以平面EFG ⊥平面EMN . 20.解:(1)设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d ,由S 4=4S 2,a 2n =2a n +1得:11114684,212211,a d a d a n d a n d +=+⎧⎨+(-)=+(-)+⎩ 解得a 1=1,d =2.因此a n =2n -1,n ∈N *.(2)由已知1212112n n n b b b a a a +++=- ,n ∈N *, 当n =1时,1112b a =;当n ≥2时,111111222n n n n n b a -⎛⎫=---= ⎪⎝⎭.所以12n n n b a =,n ∈N *.由(1)知a n =2n -1,n ∈N *,所以b n =212nn -,n ∈N *. 又T n =23135212222nn -++++ ,231113232122222n n n n n T +--=++++ , 两式相减得2311122221222222n n n n T +-⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 113121222n n n -+-=--, 所以T n =2332nn +-. 21.解:(1)由f (x )=ax 2+bx -ln x ,x ∈(0,+∞),得f ′(x )=221ax bx x+-.①当a =0时,f ′(x )=1bx x-.若b ≤0,当x >0时,f ′(x )<0恒成立, 所以函数f (x )的单调递减区间是(0,+∞). 若b >0,当0<x <1b时,f ′(x )<0,函数f (x )单调递减. 当x >1b时,f ′(x )>0,函数f (x )单调递增. 所以函数f (x )的单调递减区间是10,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭,单调递增区间是1,b ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.②当a >0时,令f ′(x )=0,得2ax 2+bx -1=0.由Δ=b 2+8a >0得x 1=4b a -x 2=4b a-.显然,x 1<0,x 2>0.当0<x <x 2时,f ′(x )<0,函数f (x )单调递减; 当x >x 2时,f ′(x )>0,函数f (x )单调递增.所以函数f (x )的单调递减区间是⎛ ⎝⎭,单调递增区间是⎫+∞⎪⎪⎝⎭. 综上所述,当a =0,b ≤0时,函数f (x )的单调递减区间是(0,+∞);当a =0,b >0时,函数f (x )的单调递减区间是10,b ⎛⎫ ⎪⎝⎭,单调递增区间是1,b ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭;当a >0时,函数f (x )的单调递减区间是⎛ ⎝⎭,单调递增区间是⎫+∞⎪⎪⎝⎭. (2)由题意,函数f (x )在x =1处取得最小值,由(1)是f (x )的唯一极小值点,故4b a-=1,整理得2a +b =1,即b =1-2a . 令g (x )=2-4x +ln x ,则g ′(x )=14xx-, 令g ′(x )=0,得x =14.当0<x <14时,g ′(x )>0,g (x )单调递增;当x >14时,g ′(x )<0,g (x )单调递减.因此g (x )≤14g ⎛⎫⎪⎝⎭=1+1ln 4=1-ln 4<0,故g (a )<0,即2-4a +ln a =2b +ln a <0,即ln a <-2b . 22解:(1)设椭圆C 的方程为2222=1x y a b+(a >b >0),由题意知222,222,a b c ca b ⎧=+⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩解得a b =1.因此椭圆C 的方程为22x +y 2=1.(2)当A ,B 两点关于x 轴对称时, 设直线AB 的方程为x =m ,由题意m <0或0<m将x =m 代入椭圆方程22x +y 2=1,得|y |所以S △AOB =|m =. 解得m 2=32或m 2=12.① 又OP =tOE =()12t OA OB + =12t (2m,0)=(mt,0), 因为P 为椭圆C 上一点,所以22mt ()=1.② 由①②得t 2=4或t 2=43.又因为t >0,所以t =2或t =3. 当A ,B 两点关于x 轴不对称时,设直线AB 的方程为y =kx +h . 将其代入椭圆的方程22x +y 2=1, 得(1+2k 2)x 2+4khx +2h 2-2=0,设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由判别式Δ>0可得1+2k 2>h 2, 此时x 1+x 2=2412kh k -+,x 1x 2=222212h k -+, y 1+y 2=k (x 1+x 2)+2h =2212h k +,所以|AB |=因为点O 到直线AB 的距离d, 所以S △AOB =1|AB |d又S △AOB||h =③ 令n =1+2k 2,代入③整理得3n 2-16h 2n +16h 4=0,解得n =4h 2或n =243h , 即1+2k 2=4h 2或1+2k 2=243h .④ 又OP =tOE =()12t OA OB + =12t (x 1+x 2,y 1+y 2)=222,1212kht ht k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭, 因为P 为椭圆C 上一点, 所以2222212121212kh h t k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦,即222112h t k =+.⑤将④代入⑤得t 2=4或t 2=43,又知t >0,故t =2或t .经检验,适合题意.综上所得t =2或t =3.。
绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项:1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页。
2. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。
4. 考试结束,将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题共8小题。
每小题5分,共40分。
在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项。
(1)已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},则A∩B= ( ) (A){0}(B){-1,,0}(C){0,1} (D){-1,,0,1}(2) = ( )(A)-1 - i(B)-1 + i(C)1 + i(D)1 - i(3)从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()(A)(B)(C)(D)(4)已知双曲线C: = 1(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为()(A)y=±x (B)y=±x (C)y=±x (D)y=±x(5)已知命题p:,则下列命题中为真命题的是:()(A) p∧q (B)¬p∧q (C)p∧¬q (D)¬p∧¬q(6)设首项为1,公比为的等比数列{an }的前n项和为Sn,则()(A)Sn =2an-1 (B)Sn=3an-2 (C)Sn=4-3an(D)Sn=3-2an(7)执行右面的程序框图,如果输入的t∈[-1,3],则输出的s属于(A)[-3,4](B)[-5,2](C)[-4,3](D)[-2,5](8)O为坐标原点,F为抛物线C:y²=4x的焦点,P为C上一点,若丨PF丨=4,则△POF的面积为(A)2 (B)2(C)2(D)4(9)函数f(x)=(1-cosx)sinx在[-π,π]的图像大致为(10)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos²A+cos2A=0,a=7,c=6,则b=(A)10 (B)9 (C)8 (D)5(11)某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体积为(A)18+8π(B)8+8π(C)16+16π(D)8+16π(12)已知函数f(x)= 若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是(A)(-∞] (B)(-∞] (C)[-2,1] (D)[-2,0]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
绝密★启用并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
共4页,满分150分。
考试用时150分钟.考试结束后,将本卷和答题卡一并交回。
注意事项:1. 答题前,考试务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类在答题卡和试卷规定的位置上。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明\证明过程或演算步骤.参考公式:如果事件A,B 互斥,那么P (A+B )=P(A)+P(B);如果事件A,B 独立,那么P (AB )=P(A)*P(B) 第Ⅰ卷 (共60分) 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)复数z 满足(z-3)(2-i)=5(i 为虚数单位),则z 的共轭复数为() A. 2+i B.2-i C. 5+i D.5-i (2)设集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x ∈A, y ∈A }中元素的个数是( ) A. 1 B. 3 C. 5 D.9 (3)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时, f(x) =x 2+1x,则f(-1)=() (A )-2(B )0 (C )1(D )2(4)已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直,体积为94,底面积是边长为√3的正三棱柱,若P 为底面A 1B 1C 1的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为 () (A )5π12(B )π3(C )π4(D )π6(5)将函数y=sin (2x +φ)的图像沿x 轴向左平移 个单位后,得到一个偶函数的图像,则φ的一个可能取值为 (A )3π4(B )π4(C )0 (D )−π4(6)在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组:2x-y-2≥0,x+2y-1≥0,3x+y-8≤0,所表示的区域上一动点,则直线OM 斜率的最小值为(A )2 (B )1 (C )−13 (D )−12(7)给定两个命题p,q 。
2013年普通高等学校招生模拟考试(新课标第二十套)
数学试卷(文史类)(选自2013年普通高等学校招生全国统一考试新课标Ⅰ卷)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ第22、23、24题为选考题,其它题为必考题。
满分150分,考试时间150分钟
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2013年普通高等学校招生模拟考试(新课标第二十套)
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(17)(本小题满分12分)
18(本小题满分共12分)
19.(本小题满分12分)
(20)(本小题满分共12分)
(21)(本小题满分12分)
(22)(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲
(23)(本小题10分)选修4—4:坐标系与参数方程
(24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲。
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={1,2,3,4},B ={x |x =n 2,n ∈A },则A ∩B =( ).A .{1,4}B .{2,3}C .{9,16}D .{1,2}2. 212i1i +(-)=( ).A .11i 2-- B .11+i 2- C .11+i 2 D .11i 2- 3.从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( ).A .12B .13C .14 D .164.( ,文4)已知双曲线C :2222=1x y a b-(a >0,b >0)的离心率为2,则C 的渐近线方程为( ). A .y =14x ± B .y =13x ± C .y =12x ± D .y =±x5.( ,文5)已知命题p :∀x ∈R,2x <3x ;命题q :∃x ∈R ,x 3=1-x 2,则下列命题中为真命题的是( ). A .p ∧q B .⌝p ∧q C .p ∧⌝q D .⌝p ∧⌝q6.( ,文6)设首项为1,公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ,则( ).A .Sn =2an -1B .Sn =3an -2C .Sn =4-3anD .Sn =3-2an7.( ,文7)执行下面的程序框图,如果输入的t ∈[-1,3],则输出的s 属于( ).A .[-3,4]B .[-5,2]C .[-4,3]D .[-2,5]8.( ,文8)O 为坐标原点,F 为抛物线C :y 2=的焦点,P 为C 上一点,若|PF |=则△POF 的面积为( ).A .2 B. C. D .49.( ,文9)函数f (x )=(1-cos x )sin x 在[-π,π]的图像大致为( ).10.( ,文10)已知锐角△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c,23cos 2A +cos 2A =0,a =7,c =6,则b =( ).A .10B .9C .8D .511.( ,文11)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).A .16+8πB .8+8πC .16+16πD .8+16π12.( ,文12)已知函数f (x )=22,0,ln(1),0.x x x x x ⎧-+≤⎨+>⎩若|f (x )|≥ax ,则a 的取值范围是().A .(-∞,0]B .(-∞,1]C .[-2,1]D .[-2,0]第Ⅱ卷二、填空题:本大题共4小题,每小题5分. 13.( ,文13)已知两个单位向量a ,b 的夹角为60°,c =ta +(1-t )b .若b ·c =0,则t =______.14.( ,文14)设x ,y 满足约束条件13,10,x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩则z =2x -y 的最大值为______. 15.( ,文15)已知H 是球O 的直径AB 上一点,AH ∶HB =1∶2,AB ⊥平面α,H 为垂足,α截球O 所得截面的面积为π,则球O 的表面积为______.16.( ,文16)设当x =θ时,函数f (x )=sin x -2cos x 取得最大值,则cos θ=______.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.( ,文17)(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3=0,S 5=-5.(1)求{a n }的通项公式;(2)求数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.18.( ,文18)(本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药,B药)的疗效,随机地选取20位患者服用A药,20位患者服用B药,这40位患者在服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h).试验的观测结果如下:服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间:0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间:3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5(1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好?(2)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?19.( ,文19)(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(1)证明:AB⊥A1C;(2)若AB=CB=2,A1C,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.20.( ,文20)(本小题满分12分)已知函数f(x)=e x(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.(1)求a,b的值;(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.21.( ,文21)(本小题满分12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程;(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.( ,文22)(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于点D.23.( ,文23)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).24.( ,文24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(2)设a>-1,且当x∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(全国卷I 新课标)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.答案:A解析:∵B ={x |x =n 2,n ∈A }={1,4,9,16},∴A ∩B ={1,4}.2.答案:B 解析:212i 12i 12i i 2i 1i 2i 22++(+)-+===(-)-=11+i 2-. 3.答案:B解析:由题意知总事件数为6,且分别为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),满足条件的事件数是2,所以所求的概率为13. 4.答案:C解析:∵e =c a =,即2254c a =. ∵c 2=a 2+b 2,∴2214b a =.∴12b a =. ∵双曲线的渐近线方程为b y x a=±, ∴渐近线方程为12y x =±.故选C. 5.答案:B解析:由20=30知,p 为假命题.令h (x )=x 3-1+x 2,∵h (0)=-1<0,h (1)=1>0,∴x 3-1+x 2=0在(0,1)内有解.∴∃x ∈R ,x 3=1-x 2,即命题q 为真命题.由此可知只有⌝p ∧q 为真命题.故选B.6.答案:D 解析:11211321113n n n n a a a q a q S q q --(-)===---=3-2a n ,故选D.7.答案:A解析:当-1≤t <1时,s =3t ,则s ∈[-3,3).当1≤t ≤3时,s =4t -t 2.∵该函数的对称轴为t =2,∴该函数在[1,2]上单调递增,在[2,3]上单调递减.∴s max =4,s min =3.∴s ∈[3,4].综上知s ∈[-3,4].故选A.8.答案:C解析:利用|PF |=Px =x P =∴y P =±∴S △POF =12|OF |·|y P |=故选C.9.答案:C解析:由f (x )=(1-cos x )sin x 知其为奇函数.可排除B .当x ∈π0,2⎛⎤ ⎥⎝⎦时,f (x )>0,排除A. 当x ∈(0,π)时,f ′(x )=sin 2x +cos x (1-cos x )=-2cos 2x +cos x +1.令f ′(x )=0,得2π3x=. 故极值点为2π3x=,可排除D ,故选C. 10.答案:D解析:由23cos 2A +cos 2A =0,得cos 2A =125. ∵A ∈π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,∴cos A =15. ∵cos A =2364926b b +-⨯,∴b =5或135b =-(舍). 故选D.11.答案:A解析:该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体.V 半圆柱=12π×22×4=8π, V 长方体=4×2×2=16.所以所求体积为16+8π.故选A.12.答案:D解析:可画出|f (x )|的图象如图所示.当a >0时,y =ax 与y =|f (x )|恒有公共点,所以排除B ,C ;当a ≤0时,若x >0,则|f (x )|≥ax 恒成立.若x ≤0,则以y =ax 与y =|-x 2+2x |相切为界限,由2,2,y ax y x x =⎧⎨=-⎩得x 2-(a +2)x =0. ∵Δ=(a +2)2=0,∴a =-2.∴a ∈[-2,0].故选D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.答案:2解析:∵b ·c =0,|a |=|b |=1,〈a ,b 〉=60°,∴a ·b =111122⨯⨯=. ∴b ·c =[ta +(1-t )b ]·b =0,即ta ·b +(1-t )b 2=0.∴12t +1-t =0. ∴t =2.14.答案:3解析:画出可行域如图所示.画出直线2x -y =0,并平移,当直线经过点A (3,3)时,z 取最大值,且最大值为z =2×3-3=3.15.答案:9π2解析:如图,设球O 的半径为R ,则AH =23R , OH =3R. 又∵π·EH 2=π,∴EH =1.∵在Rt △OEH 中,R 2=22+13R ⎛⎫ ⎪⎝⎭,∴R 2=98. ∴S 球=4πR 2=9π2.16.答案:解析:∵f (x )=sin x -2cos x x -φ),其中sin φ,cos φ当x -φ=2k π+π2(k ∈Z)时,f (x )取最大值. 即θ-φ=2k π+π2(k ∈Z),θ=2k π+π2+φ(k ∈Z).∴cos θ=πcos 2ϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=-sin φ=. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.解:(1)设{a n }的公差为d ,则S n =1(1)2n n na d -+.由已知可得11330,5105,a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得a 1=1,d =-1.故{a n }的通项公式为a n =2-n .(2)由(1)知21211n n a a -+=1111321222321n n n n ⎛⎫=- ⎪(-)(-)--⎝⎭, 从而数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111211132321n n ⎛⎫-+-++- ⎪---⎝⎭L =12n n-. 18.解:(1)设A 药观测数据的平均数为x ,B 药观测数据的平均数为y .由观测结果可得 x =120(0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+2.9+3.0+3.1+3.2+3.5) =2.3, y =120(0.5+0.5+0.6+0.8+0.9+1.1+1.2+1.2+1.3+1.4+1.6+1.7+1.8+1.9+2.1+2.4+2.5+2.6+2.7+3.2) =1.6. 由以上计算结果可得x >y ,因此可看出A 药的疗效更好. (2)由观测结果可绘制如下茎叶图:从以上茎叶图可以看出,A 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎2,3上,而B 药疗效的试验结果有710的叶集中在茎0,1上,由此可看出A 药的疗效更好.19.(1)证明:取AB 的中点O ,连结OC ,OA 1,A 1B .因为CA =CB ,所以OC ⊥AB .由于AB =AA 1,∠BAA 1=60°,故△AA 1B 为等边三角形,所以OA 1⊥AB .因为OC ∩OA 1=O ,所以 AB ⊥平面OA 1C .又A 1C ⊂平面OA 1C ,故AB ⊥A 1C .(2)解:由题设知△ABC 与△AA 1B 都是边长为2的等边三角形,所以OC =OA 1=又A 1C,则A 1C 2=OC 2+21OA ,故OA 1⊥OC .因为OC ∩AB =O ,所以OA 1⊥平面ABC ,OA 1为三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高.又△ABC 的面积S △ABCABC -A 1B 1C 1的体积V =S △ABC ×OA 1=3.20.解:(1)f ′(x )=e x (ax +a +b )-2x -4.由已知得f (0)=4,f ′(0)=4.故b =4,a +b =8.从而a =4,b =4.(2)由(1)知,f (x )=4e x (x +1)-x 2-4x , f ′(x )=4e x (x +2)-2x -4=4(x +2)·1e2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 令f ′(x )=0得,x =-ln 2或x =-2. 从而当x ∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)时,f ′(x )>0;当x ∈(-2,-ln 2)时,f ′(x )<0.故f (x )在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln 2)上单调递减.当x =-2时,函数f (x )取得极大值,极大值为f (-2)=4(1-e -2).21.解:由已知得圆M 的圆心为M (-1,0),半径r 1=1;圆N 的圆心为N (1,0),半径r 2=3.设圆P 的圆心为P (x ,y ),半径为R .(1)因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切,所以|PM |+|PN |=(R +r 1)+(r 2-R )=r 1+r 2=4.由椭圆的定义可知,曲线C 是以M ,N 为左、右焦点,长半轴长为2的椭圆(左顶点除外),其方程为22=143x y +(x ≠-2). (2)对于曲线C 上任意一点P (x ,y ),由于|PM |-|PN |=2R -2≤2,所以R ≤2,当且仅当圆P 的圆心为(2,0)时,R =2.所以当圆P 的半径最长时,其方程为(x -2)2+y 2=4.若l 的倾斜角为90°,则l 与y 轴重合,可得|AB |=若l 的倾斜角不为90°,由r 1≠R 知l 不平行于x 轴,设l 与x 轴的交点为Q ,则1||||QP R QM r =,可求得Q (-4,0),所以可设l :y =k (x +4).由l 与圆M=1,解得k=当k=4时,将4y x =代入22=143x y +,并整理得7x 2+8x -8=0,解得x 1,2=47-±, 所以|AB ||x 2-x 1|=187. 当k=时,由图形的对称性可知|AB |=187. 综上,|AB |=|AB |=187. 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22.(1)证明:连结DE,交BC于点G.由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE.而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,BE=CE.又因为DB⊥BE,所以DE为直径,∠DCE=90°,由勾股定理可得DB=DC.(2)解:由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC,故DG是BC的中垂线,所以BG=2.设DE的中点为O,连结BO,则∠BOG=60°. 从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,所以CF⊥BF,故Rt△BCF外接圆的半径等于.23.解:(1)将45cos,55sinx ty t=+⎧⎨=+⎩消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25,即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.将cos,sinxyρθρθ=⎧⎨=⎩代入x2+y2-8x-10y+16=0得ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.所以C1的极坐标方程为ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.(2)C2的普通方程为x2+y2-2y=0.由2222810160,20x y x yx y y⎧+--+=⎨+-=⎩解得1,1xy=⎧⎨=⎩或0,2.xy=⎧⎨=⎩所以C1与C2交点的极坐标分别为π4⎫⎪⎭,π2,2⎛⎫⎪⎝⎭.24.解:(1)当a=-2时,不等式f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0. 设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则y=1 5,,212,1,236, 1.x xx xx x⎧-<⎪⎪⎪--≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩其图像如图所示.从图像可知,当且仅当x∈(0,2)时,y<0.所以原不等式的解集是{x |0<x <2}.(2)当x ∈1,22a⎡⎫-⎪⎢⎣⎭时,f (x )=1+a .不等式f (x )≤g (x )化为1+a ≤x +3. 所以x ≥a -2对x ∈1,22a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭都成立. 故2a-≥a -2,即a ≤43.从而a 的取值范围是41,3⎛⎤- ⎥⎝⎦.。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)数学(理科)本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页,满分150分.考试用时120分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.注意事项:1.答题前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答案不能答在试卷上.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答.答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式:如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B),如果事件A,B独立,那么P(AB)=P(A)·P(B).第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013山东,理1)复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位),则z的共轭复数z为().A.2+iB.2-iC.5+iD.5-i答案:D=2+i,所以z=5+i.故z=5-i,应选D.解析:由题意得z-3=52-i2.(2013山东,理2)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是().A.1B.3C.5D.9答案:C解析:当x,y取相同的数时,x-y=0;当x=0,y=1时,x-y=-1;当x=0,y=2时,x-y=-2;当x=1,y=0时,x-y=1;当x=2,y=0时,x-y=2;其他则重复.故集合B中有0,-1,-2,1,2,共5个元素,应选C.,则f(-1)=().3.(2013山东,理3)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x)=x2+1xA.-2B.0C.1D.2答案:A)=-2,应选A.解析:因为f(x)是奇函数,故f(-1)=-f(1)=-(12+114.(2013山东,理4)已知三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直,体积为94,底面是边长为√3的正三角形.若P 为底面A 1B 1C 1的中心,则PA 与平面ABC 所成角的大小为( ). A.5π12 B.π3C.π4D.π6答案:B解析:如图所示,由棱柱体积为94,底面正三角形的边长为√3,可求得棱柱的高为√3.设P 在平面ABC 上射影为O ,则可求得AO 长为1,故AP 长为√12+(√3)2=2.故∠PAO=π,即PA 与平面ABC 所成的角为π.5.(2013山东,理5)将函数y=sin(2x+φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能取值为( ). A.3π4B.π4C.0D.-π4答案:B解析:函数y=sin(2x+φ)的图象向左平移π8个单位后变为函数y=sin [2(x +π8)+φ]=sin (2x +π4+φ)的图象,又y=sin (2x +π4+φ)为偶函数,故π4+φ=π2+k π,k ∈Z ,∴φ=π4+k π,k ∈Z .若k=0,则φ=π4.故选B .6.(2013山东,理6)在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组{2x -y -2≥0,x +2y -1≥0,3x +y -8≤0所表示的区域上一动点,则直线OM 斜率的最小值为( ). A.2 B.1 C.-13D.-12答案:C解析:不等式组表示的区域如图阴影部分所示,结合斜率变化规律,当M 位于C 点时OM 斜率最小,且为-13,故选C .7.(2013山东,理7)给定两个命题p,q,若 p 是q 的必要而不充分条件,则p 是 q 的( ). A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 答案:A解析:由题意:q ⇒ p, p q,根据命题四种形式之间的关系,互为逆否的两个命题同真同假,所以{q⇒ p ,pq 等价于{p⇒ q ,qp ,所以p 是 q 的充分而不必要条件.故选A . 8.(2013山东,理8)函数y=x cos x+sin x 的图象大致为( ).答案:D解析:因f(-x)=-x ·cos (-x)+sin (-x)=-(x cos x+sin x)=-f(x),故该函数为奇函数,排除B ,又x ∈(0,π2),y>0,排除C ,而x=π时,y=-π,排除A ,故选D .9.(2013山东,理9)过点(3,1)作圆(x-1)2+y 2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB 的方程为( ). A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0 C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0答案:A解析:该切线方程为y=k(x-3)+1,即kx-y-3k+1=0,由圆心到直线距离为√k +(-1)=1,得k=0或43,切线方程分别与圆方程联立,求得切点坐标分别为(1,1),(95,-35),故所求直线的方程为2x+y-3=0.故选A .10.(2013山东,理10)用0,1,…,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为( ). A.243 B.252 C.261 D.279答案:B解析:构成所有的三位数的个数为C 91C 101C 101=900,而无重复数字的三位数的个数为C 91C 91C 81=648,故所求个数为900-648=252,应选B .11.(2013山东,理11)抛物线C 1:y=12p x 2(p>0)的焦点与双曲线C 2:x 23-y 2=1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M.若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线,则p=( ).A.√316 B.√38C.2√33D.4√33答案:D解析:设M (x 0,12p x 02),y'=(12p x 2)'=x p ,故在M 点处的切线的斜率为x 0p=√33,故M (√33p ,16p).由题意又可知抛物线的焦点为(0,p 2),双曲线右焦点为(2,0),且(√33p ,16p),(0,p2),(2,0)三点共线,可求得p=43√3,故选D .12.(2013山东,理12)设正实数x,y,z 满足x 2-3xy+4y 2-z=0,则当xyz取得最大值时,2x+1y−2z的最大值为( ). A.0 B.1C.94D.3答案:B 解析:由x 2-3xy+4y 2-z=0得x 2-3xy+4y 2z =1≥2√x 2·4y 2-3xy z, 即xyz≤1,当且仅当x 2=4y 2时成立,又x,y 为正实数,故x=2y.此时将x=2y 代入x 2-3xy+4y 2-z=0得z=2y 2,所以2+1−2=-12+2=-(1-1)2+1, 当1y =1,即y=1时,2x +1y −2z 取得最大值为1,故选B .第Ⅱ卷(共90分)二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.13.(2013山东,理13)执行右面的程序框图,若输入的ε的值为0.25,则输出的n 的值为 . 答案:3解析:第1次运行将F 0+F 1赋值给F 1,即将3赋值给F 1,然后将F 1-F 0赋值给F 0,即将3-1=2赋值给F 0,n 增加1变成2,此时1F 1=13比ε大,故循环,新F 1为2+3=5,新F 0为5-2=3,n 增加1变成3,此时1F 1=15≤ε,故退出循环,输出n=3.14.(2013山东,理14)在区间[-3,3]上随机取一个数x,使得|x+1|-|x-2|≥1成立的概率为 .答案:13解析:设y=|x+1|-|x-2|={3,2x -1,-3,x ≥2,-1<x <2,x ≤-1,利用函数图象(图略)可知|x+1|-|x-2|≥1的解集为[1,+∞).而在[-3,3]上满足不等式的x 的取值范围为[1,3],故所求概率为3-13-(-3)=13.15.(2013山东,理15)已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°,且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3,|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则实数λ的值为 . 答案:712解析:∵AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0.∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=0,即4+(λ-1)×3×2×(-12)-9λ=0,即7-12λ=0,∴λ=712.16.(2013山东,理16)定义“正对数”:ln +x ={0,0<x <1,lnx ,x ≥1,现有四个命题:①若a>0,b>0,则ln +(a b )=b ln +a; ②若a>0,b>0,则ln +(ab)=ln +a+ln +b; ③若a>0,b>0,则ln +(ab )≥ln +a-ln +b;④若a>0,b>0,则ln +(a+b)≤ln +a+ln +b+ln 2.其中的真命题有 .(写出所有真命题的编号) 答案:①③④三、解答题:本大题共6小题,共74分.17.(2013山东,理17)(本小题满分12分)设△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cos B=79. (1)求a,c 的值; (2)求sin (A-B)的值.解:(1)由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B,得b 2=(a+c)2-2ac(1+cos B), 又b=2,a+c=6,cos B=79, 所以ac=9,解得a=3,c=3. (2)在△ABC 中,sin B=√1-cos 2B =4√29. 由正弦定理得sin A=asinB b=2√23. 因为a=c,所以A 为锐角. 所以cos A=√1-sin 2A =13.因此sin (A-B)=sin A cos B-cos A sin B=10√227. 18.(2013山东,理18)(本小题满分12分)如图所示,在三棱锥P-ABQ 中,PB ⊥平面ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F 分别是AQ,BQ,AP,BP 的中点,AQ=2BD,PD 与EQ 交于点G,PC 与FQ 交于点H,连接GH.(1)求证:AB ∥GH;(2)求二面角D-GH-E 的余弦值.(1)证明:因为D,C,E,F 分别是AQ,BQ,AP,BP 的中点,所以EF ∥AB,DC ∥AB.所以EF ∥DC. 又EF ⊄平面PCD,DC ⊂平面PCD, 所以EF ∥平面PCD.又EF ⊂平面EFQ,平面EFQ ∩平面PCD=GH, 所以EF ∥GH.又EF ∥AB,所以AB ∥GH.(2)解法一:在△ABQ 中,AQ=2BD,AD=DQ,所以∠ABQ=90°,即AB ⊥BQ. 因为PB ⊥平面ABQ, 所以AB ⊥PB. 又BP ∩BQ=B, 所以AB ⊥平面PBQ.由(1)知AB ∥GH,所以GH ⊥平面PBQ. 又FH ⊂平面PBQ,所以GH ⊥FH. 同理可得GH ⊥HC,所以∠FHC 为二面角D-GH-E 的平面角. 设BA=BQ=BP=2,连接FC,在Rt △FBC 中,由勾股定理得FC=√2, 在Rt △PBC 中,由勾股定理得PC=√5. 又H 为△PBQ 的重心, 所以HC=13PC=√53.同理FH=√53.在△FHC 中,由余弦定理得cos ∠FHC=59+59-22×59=-45.故二面角D-GH-E 的余弦值为-45.解法二:在△ABQ 中,AQ=2BD,AD=DQ, 所以∠ABQ=90°. 又PB ⊥平面ABQ, 所以BA,BQ,BP 两两垂直.以B 为坐标原点,分别以BA,BQ,BP 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 设BA=BQ=BP=2,则E(1,0,1),F(0,0,1),Q(0,2,0),D(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,2). 所以EQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2,-1),FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,-1), DP⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,2),CP ⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,2). 设平面EFQ 的一个法向量为m =(x 1,y 1,z 1), 由m ·EQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,m ·FQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 得{-x 1+2y 1-z 1=0,2y 1-z 1=0,取y 1=1,得m =(0,1,2).设平面PDC 的一个法向量为n =(x 2,y 2,z 2), 由n ·DP⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·CP ⃗⃗⃗⃗ =0, 得{-x 2-y 2+2z 2=0,-y 2+2z 2=0,取z 2=1,得n =(0,2,1). 所以cos <m ,n >=m ·n|m ||n |=45. 因为二面角D-GH-E 为钝角, 所以二面角D-GH-E 的余弦值为-45.19.(2013山东,理19)(本小题满分12分)甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是12外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是23.假设各局比赛结果相互独立. (1)分别求甲队以3∶0,3∶1,3∶2胜利的概率;(2)若比赛结果为3∶0或3∶1,则胜利方得3分、对方得0分;若比赛结果为3∶2,则胜利方得2分、对方得1分,求乙队得分X 的分布列及数学期望.解:(1)记“甲队以3∶0胜利”为事件A 1,“甲队以3∶1胜利”为事件A 2,“甲队以3∶2胜利”为事件A 3,由题意,各局比赛结果相互独立, 故P(A 1)=(23)3=827,P(A 2)=C 32(23)2(1-23)×23=827, P(A 3)=C 42(23)2(1-23)2×12=427.所以,甲队以3∶0胜利、以3∶1胜利的概率都为827,以3∶2胜利的概率为427. (2)设“乙队以3∶2胜利”为事件A 4, 由题意,各局比赛结果相互独立, 所以P(A 4)=C 42(1-23)2(23)2×(1-12)=427.由题意,随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3, 根据事件的互斥性得P(X=0)=P(A 1+A 2)=P(A 1)+P(A 2)=1627, 又P(X=1)=P(A 3)=427, P(X=2)=P(A 4)=427,P(X=3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)=327. 故X 的分布列为所以EX=0×1627+1×427+2×427+3×327=79.20.(2013山东,理20)(本小题满分12分)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 4=4S 2,a 2n =2a n +1. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ,且T n +a n +12n =λ(λ为常数).令c n =b 2n (n ∈N *).求数列{c n }的前n 项和R n .解:(1)设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d,由S 4=4S 2,a 2n =2a n +1得{4a 1+6d =8a 1+4d ,a 1+(2n -1)d =2a 1+2(n -1)d +1.解得a 1=1,d=2.因此a n =2n-1,n ∈N *. (2)由题意知,T n =λ-n2n -1,所以n ≥2时,b n =T n -T n-1=-n2n -1+n -12n -2=n -22n -1.故c n =b 2n =2n -222n -1=(n-1)(14)n -1,n ∈N *.所以R n =0×(14)0+1×(14)1+2×(14)2+3×(14)3+…+(n-1)×(14)n -1,则14R n =0×(14)1+1×(14)2+2×(14)3+…+(n-2)×(14)n -1+(n-1)×(14)n,两式相减得34R n =(14)1+(14)2+(14)3+…+(14)n -1-(n-1)×(14)n=14-(14)n1-14-(n-1)×(14)n =13−1+3n 3(14)n, 整理得R n =19(4-3n+14n -1),所以数列{c n }的前n 项和R n =19(4-3n+14n -1).21.(2013山东,理21)(本小题满分13分)设函数f(x)=xe 2x +c (e =2.718 28…是自然对数的底数,c ∈R ). (1)求f(x)的单调区间、最大值;(2)讨论关于x 的方程|ln x|=f(x)根的个数. 解:(1)f'(x)=(1-2x)e -2x ,由f'(x)=0,解得x=12.当x<12时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 当x>12时,f'(x)<0,f(x)单调递减.所以,函数f(x)的单调递增区间是(-∞,12),单调递减区间是(12,+∞), 最大值为f (12)=12e -1+c.(2)令g(x)=|ln x|-f(x)=|ln x|-x e -2x -c,x ∈(0,+∞). ①当x ∈(1,+∞)时,ln x>0,则g(x)=ln x-x e -2x -c, 所以g'(x)=e -2x (e 2xx +2x -1).因为2x-1>0,e 2xx>0, 所以g'(x)>0.因此g(x)在(1,+∞)上单调递增.②当x ∈(0,1)时,ln x<0,则g(x)=-ln x-x e -2x -c. 所以g'(x)=e -2x (-e 2x x+2x -1).因为e 2x ∈(1,e 2),e 2x >1>x>0, 所以-e 2xx<-1.又2x-1<1,所以-e 2xx +2x-1<0,即g'(x )<0.因此g(x)在(0,1)上单调递减.综合①②可知,当x ∈(0,+∞)时,g(x)≥g(1)=-e -2-c. 当g(1)=-e -2-c>0,即c<-e -2时,g(x)没有零点, 故关于x 的方程|ln x|=f(x)根的个数为0; 当g(1)=-e -2-c=0,即c=-e -2时,g(x)只有一个零点, 故关于x 的方程|ln x|=f(x)根的个数为1; 当g(1)=-e -2-c<0,即c>-e -2时, 当x ∈(1,+∞)时,由(1)知g(x)=ln x-x e -2x -c ≥ln x-(12e -1+c)>ln x-1-c, 要使g(x)>0,只需使ln x-1-c>0,即x ∈(e 1+c ,+∞); 当x ∈(0,1)时,由(1)知g(x)=-ln x-x e -2x -c ≥-ln x-(12e -1+c)>-ln x-1-c, 要使g(x)>0,只需-ln x-1-c>0, 即x ∈(0,e -1-c );所以c>-e -2时,g(x)有两个零点,故关于x 的方程|ln x|=f(x)根的个数为2. 综上所述,当c<-e -2时,关于x 的方程|ln x|=f(x)根的个数为0; 当c=-e -2时,关于x 的方程|ln x|=f(x)根的个数为1; 当c>-e -2时,关于x 的方程|ln x|=f(x)根的个数为2. 22.(2013山东,理22)(本小题满分13分)椭圆C:x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F 1,F 2,离心率为√32,过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1. (1)求椭圆C 的方程;(2)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接PF 1,PF 2.设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M(m,0),求m 的取值范围;(3)在(2)的条件下,过点P 作斜率为k 的直线l,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点.设直线PF 1,PF 2的斜率分别为k 1,k 2.若k ≠0,试证明1kk 1+1kk 2为定值,并求出这个定值. (1)解:由于c 2=a 2-b 2,将x=-c 代入椭圆方程x 22+y 2b 2=1, 得y=±b 2a ,由题意知2b 2a =1,即a=2b 2.又e=c a =√32,所以a=2,b=1.所以椭圆C 的方程为x 24+y 2=1. (2)解法一:设P(x 0,y 0)(y 0≠0).又F 1(-√3,0),F 2(√3,0),所以直线PF 1,PF 2的方程分别为l PF 1:y 0x-(x 0+√3)y+√3y 0=0,l PF 2:y 0x-(x 0-√3)y-√3y 0=0. 由题意知0√3y 0√y 0+(x 0+√3)=0√3y 0√y 0+(x 0-√3).由于点P 在椭圆上,所以x 024+y 02=1, 所以√3|√(√32x 0+2)=√3|√(√32x 0-2). 因为-√3<m<√3,-2<x 0<2,可得√3√32x 0+2=√3-2-√32x 0. 所以m=34x 0.因此-32<m<32.解法二:设P(x 0,y 0).当0≤x 0<2时,①当x 0=√3时,直线PF 2的斜率不存在,易知P (√3,12)或P (√3,-12).若P (√3,12),则直线PF 1的方程为x-4√3y+√3=0.由题意得|m+√3|7=√3-m,因为-√3<m<√3,所以m=3√34. 若P (√3,-12),同理可得m=3√34. ②当x 0≠√3时,设直线PF 1,PF 2的方程分别为y=k 1(x+√3),y=k 2(x-√3). 由题意知1√3k 1√1+k 1=2√3k 2√1+k 2, 所以√3)2(m -3)2=1+1k 121+1k 22. 因为x 024+y 02=1,并且k 1=0x+√3,k 2=0x -3, 所以√3)2(m -3)2=0√3)2024(x -3)2+4-x 2 =3x 02+8√3x 0+163x 02-83x +16=√3x 0+4)2(3x -4)2,即|m+√3m -√3|=|√3x 0+4√3x -4|.因为-√3<m<√3,0≤x 0<2且x 0≠√3, 所以√3+m√3-m =4+√3x 04-√3x . 整理得m=3x 04, 故0≤m<32且m ≠3√34. 综合①②可得0≤m<32.当-2<x 0<0时,同理可得-32<m<0. 综上所述,m 的取值范围是(-32,32).(3)设P(x 0,y 0)(y 0≠0),则直线l 的方程为y-y 0=k(x-x 0). 联立{x 24+y 2=1,y -y 0=k (x -x 0),整理得(1+4k 2)x 2+8(ky 0-k 2x 0)x+4(y 02-2kx 0y 0+k 2x 02-1)=0.由题意Δ=0,即(4-x 02)k 2+2x 0y 0k+1-y 02=0. 又x 024+y 02=1,所以16y 02k 2+8x 0y 0k+x 02=0,故k=-x 00. 由(2)知1k 1+1k 2=x 0+√3y 0+x 0-√3y 0=2x 0y 0, 所以1kk 1+1kk 2=1k (1k 1+1k 2) =(-4y 0x 0)·2x0y 0=-8, 因此1kk 1+1kk 2为定值,这个定值为-8.。
2013年普通高等学校招生全国统一考试·全国卷Ⅰ理科数学(时间:120分钟分值:150分)第Ⅰ卷(选择题)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|-<x<},则( )A.A∩B=∅B.A∪B=RC.B⊆AD.A⊆B2.若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为( )A.-4B.-C.4D.3.为了了解某地区的中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大,在下面抽样方法中,最合理的抽样方法是( )A.简单随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样4.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为( )A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x5.执行如图所示的程序框图,如果输入的t∈[-1,3],则输出的s属于( )A.[-3,4]B.[-5,2]C.[-4,3]D.[-2,5]6.如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为( )A.cm3B.cm3C.cm3D.cm37.设等差数列{a n}的前n项和为S n,若S m-1=-2,S m=0,S m+1=3,则m= ( )A.3B.4C.5D.68.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π9.设m为正整数,(x+y)2m展开式的二项式系数的最大值为a,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值为b,若13a=7b,则m= ( )A.5B.6C.7D.810.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点,若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=111.已知函数f(x)=若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是( )A.(-∞,0]B.(-∞,1]C.[-2,1]D.[-2,0]12.设△A n B n C n的三边长分别为a n,b n,c n,△A n B n C n的面积为S n,n=1,2,3,…,若b1>c1,b1+c1=2a1,a n+1=a n,b n+1=,c n+1=,则( )A.{S n}为递减数列B.{S n}为递增数列C.{S2n-1}为递增数列,{S2n}为递减数列D.{S2n-1}为递减数列,{S2n}为递增数列第Ⅱ卷(非选择题)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.已知两个单位向量a,b的夹角为60°,c=t a+(1-t)b,若b·c=0,则t= .14.若数列{a n}的前n项和S n=a n+,则{a n}的通项公式是a n= .15.设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则cosθ= .16.若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图象关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值为.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=,BC=1,P为△ABC内一点,∠BPC=90°.(1)若PB=,求PA.(2)若∠APB=150°,求tan∠PBA.18.(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.(1)证明AB⊥A1C.(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.19.(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立,(1)求这批产品通过检验的概率.(2)已知每件产品检验费用为100元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.20.(本小题满分12分)已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.(1)求C的方程.(2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当圆P的半径最长时,求|AB|.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=x2+ax+b,g(x)=e x(cx+d),若曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2),且在点P处有相同的切线y=4x+2.(1)求a,b,c,d的值.(2)若x≥-2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上,∠ABC的角平分线BE交圆于点E,DB垂直BE交圆于点D.(1)证明:DB=DC.(2)设圆的半径为1,BC=,延长CE交AB于点F,求△BCF外接圆的半径.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程.(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)当a=-2时,求不等式f(x)<g(x)的解集.(2)设a>-1,且当x∈时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.答案解析1.【解题提示】先求出集合A,然后利用数轴判断集合A与集合B的关系.【解析】选B.由A={x|x2-2x>0}得,A={x|x<0或x>2},又B={x|-<x<},所以A ∪B=R.2.【解题提示】首先设z=a+bi(a,b∈R),利用复数的运算法则进行化简,然后利用复数相等列出关于a,b的方程组求出b的值.D 设z=a+bi(a,b∈R),则(3-4i)z=(3-4i)·(a+bi)=5,化简得3a+4b+(3b-4a)i=5,所以解得即z=+i.3.【解题提示】利用三种抽样:简单随机抽样、分层抽样、系统抽样的概念和性质进行判断.C 小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异而男女生视力情况差异不大,故选用按学段分层抽样的抽样方法.4.【解题提示】根据题目中给出的离心率确定a与c之间的关系,再利用c2=a2+b2确定a与b之间的关系,即可求出渐近线方程.C 因为e==,所以=,又因为c2=a2+b2,所以=,得=,所以渐近线方程为y=±x.5.【解题提示】观察程序框图,知t<1对应的函数为s=3t,t≥1对应的函数为s=4t-t2,再结合函数的定义域求输出的s的范围.A 由程序框图可知,s与t可用分段函数表示为s=则s∈[-3,4].6.【解题提示】结合截面图形,构造直角三角形,利用勾股定理列出关于球半径的方程,求出球半径,再利用V=πR3求出球的体积.A 设球的半径为R cm,由勾股定理可知,R2=(R-2)2+42,解得R=5,所以球的体积V=πR3=π×53=(cm3).7.【解题提示】利用a n=S n-S n-1,求出a m及a m+1的值,从而确定等差数列{a n}的公差,再利用前n项和公式及通项公式求出m的值.C 由已知得,a m=S m-S m-1=2,a m+1=S m+1-S m=3,因为数列{a n}为等差数列,所以d=a m+1-a m=1,又因为S m==0,所以m(a1+2)=0,因为m≠0,所以a1=-2,又a m=a1+(m-1)d=2,解得m=5.8.【解题提示】观察三视图,根据三视图确定几何体的构成,利用圆柱及长方体的体积公式求解.A 由三视图可知,该几何体是一个长方体和一个半圆柱组成的几何体,所以体积为×π×22×4+2×2×4=16+8π.9.【解题提示】分别求出(x+y)2m,(x+y)2m+1展开式的二项式系数的最大值,再利用13a=7b列出等量关系求得m.B 由题意可知a=,b==,而13a=7b即13=7,解得m=6.10.【解题提示】本题中给出AB的中点坐标,所以在解题时先设出A,B两点坐标,然后采用点差法求解.D 由椭圆+=1得,b2x2+a2y2=a2b2,因为过点F的直线与椭圆+=1(a>b>0)交于A,B两点,设A(x1,y1),B(x2,y2),则=1,=-1,则b2+ a2= a2b2①,b2+ a2= a2b2②,由①-②得b2(-)+ a2(-)=0,化简得b2(x1-x2)(x1+x2)+a2(y1-y2)(y1+y2)=0.2b2(x1-x2)-2a2(y1-y2)=0,=,又直线的斜率为k==,即=.因为b2=a2-c2=a2-9,所以=,解得a2=18,b2=9.故椭圆方程为+=1.11.【解题提示】先结合函数画出函数y=|f(x)|的图象,利用|f(x)|在(0,0)处的切线为制定参数的标准.D 画出函数y=|f(x)|的大致图象如图所示,当x≤0时,g(x)=|f(x)|=x2-2x,g′(x)=2x-2,g′(0)=-2,故a≥-2.当x>0时,g(x)=|f(x)|=ln(x+1),g′(x)=,由于g(x)上任意点处切线的斜率都要大于a,所以a≤0,综上-2≤a≤0.12.B 因为a n+1=a n,b n+1=,c n+1=,所以a n=a1,b n+1+c n+1=+,=(b n+c n)+a n=(b n+c n)+a1,b n+1+c n+1-2a1=(b n+c n-2a1),注意到b1+c1=2a1,所以b n+c n=2a1.于是△A n B n C n中,边长B n C n=a1为定值,另两边的长度之和为b n+c n=2a1为定值. 因为b n+1-c n+1=-=-(b n-c n),所以b n-c n=(-)n-1(b1-c1),当n→+∞时,有b n-c n→0,即b n→c n,于是△A n B n C n的边B n C n的高h n随n增大而增大,于是其面积S n=|B n C n|h n=a1h n为递增数列.13.【解题提示】由于条件中给出了b·c=0,所以可以将c=t a+(1-t)b的两边同时乘以b进行求解.【解析】由c=t a+(1-t)b得,b·c=t a·b+(1-t)b2=0,整理得t|a||b|cos 60°+(1-t)|b|2=0,化简得t+1-t=0,所以t=2.答案:214.【解题提示】先利用S1=a1求出a1的值,再利用S n-S n-1=a n求出通项公式a n.【解析】由S1=a1+=a1,解得a1=1.又S n=a n+,得S n-1=a n-1+,所以S n-S n-1=a n-a n-1=a n,得=-2.所以数列{a n}是首项为1,公比为-2的等比数列.故数列的通项公式a n=(-2)n-1.答案:(-2)n-115.【解题提示】利用辅助角公式f(x)=asin x+bcos x=sin(x+φ)(其中tan φ=)构造求解cosθ的值.【解析】f(x)=sin x-2cos x=sin(x+φ),其中tanφ=-2,当x+φ=2kπ+时,函数f(x)取得最大值,即θ=2kπ+-φ.所以cosθ=cos=sinφ,又因为tanφ=-2,φ在第四象限,所以sinφ=-,即cosθ=-.答案:-16.【解题提示】首先利用函数f(x)的图像关于直线x=-2对称求出a,b的值,然后利用导数判断函数的单调性,这里要采用试根的方法对导函数进行因式分解. 【解析】因为函数f(x)的图像关于直线x=-2对称,所以f(0)=f(-4),得4b=-60+15a, 又f′(x)=-4x3-3ax2+2(1-b)x+a,而f′(-2)=0,-4×(-2)3-3a(-2)2+2(1-b)×(-2)+a=0.得11a-4b=28,即解得a=8,b=15.故f(x)=(1-x 2)(x 2+8x+15),则f ′(x)=-4x 3-24x 2-28x+8=-4(x 3+6x 2+7x-2)=-4(x+2)(x 2+4x-1). 令f ′(x)=0,即(x+2)(x 2+4x-1)=0,则x=-2或x=-2-或-2+.当x 变化时,f ′(x),f(x)的变化情况如下表:-2--2+(-2+f(-2-)=[1-(-2-)2][(-2-)2+8×(-2-)+15]=(-4-8)(8-4)=16, f(-2+)=[1-(-2+)2][(-2+)2+8×(-2+)+15]=(4-8)(8+4)=16,故f(x)的最大值为16. 答案:1617.【解析】(1)由已知得,∠PBC=60°, 所以∠PBA=30°.在△PBA 中,由余弦定理得 PA 2=3+-2××cos30°=,故PA=.(2)设∠PBA=α, 由已知得PB=sin α, 在△PBA 中,由正弦定理得=,化简得cos α=4sin α,所以tan α=,即tan ∠PBA=.18.【解题提示】(1)取AB的中点,利用线面垂直证明线线垂直.(2)建立空间直角坐标系求解.【解析】(1)取AB的中点O,连结OC,OA1,A1B.因为CA=CB,所以OC⊥AB.由于AB=AA1,∠BAA1=60°,故△AA1B为等边三角形,所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C,故AB⊥A1C.(2)由(1)知,OC⊥AB,OA1⊥AB,又平面ABC⊥平面AA1B1B,交线为AB,所以OC⊥平面AA1B1B,故OA,OA1,OC两两相互垂直.以O为坐标原点,的方向为x轴的正方向,||为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz,由题设知A(1,0,0),A1(0,,0),C(0,0,),B(-1,0,0).则=(1,0,),==(-1,,0),=(0,-,).设平面BB1C1C的法向量为n=(x,y,z),则有即可取n=(,1,-1).故cos<n,>==-.所以直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.19.【解题提示】(1)由事件的独立性和互斥性,并结合产品通过检验的情形确定这批产品通过检验的概率.(2)根据题意,先确定X的可能取值,然后求出相应的概率,列出分布列利用期望公式求出期望.【解析】(1)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2,第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2,这批产品通过检验为事件A.依题意有A=(A1B1)∪(A2B2),且A1B1与A2B2互斥,所以P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=···+·=×+×=.(2)X可能的取值为400,500,800.P(X=500)=,P(X=800)=,P(X=400)=1--=,所以X的分布列为E(X)=400×+500×+800×=506.25(元).20.【解题提示】(1)根据圆的位置关系与半径的关系并结合圆锥曲线的定义确定曲线C的方程.(2)结合图象,确定当圆P的半径最长时的情形,并对k的值进行分类求解.【解析】由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.(1)动圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4.由椭圆定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为的椭圆(左顶点除外),其方程为+=1(x≠-2).(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2,所以R≤2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2,所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.若l的倾斜角为90°,则l与y轴重合,可得|AB|=2.若l的倾斜角不为90°,由r1≠R,知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,则=,可求得Q(-4,0),所以可设l:y=k(x+4),由l与圆M相切得=1,解得k=±.当k=时,将y=x+代入+=1,并整理得7x2+8x-8=0,解得x1=,x2=,所以|AB|=|x2-x1|=.当k=-时,由图形的对称性可知|AB|=.综上,|AB|=2或|AB|=.21.【解题提示】(1)根据曲线y=f(x)和曲线y=g(x)都过点P(0,2)可将P(0,2)分别代入到y=f(x)和曲线y=g(x)中,再利用在点P处有相同的切线y=4x+2,对曲线y=f(x)和曲线y=g(x)进行求导,列出关于a,b,c,d的方程组求解.(2)构造函数F(x)=kg(x)-f(x),然后求导,判断函数F(x)=kg(x)-f(x)的单调性,通过分类讨论,确定k的取值范围.【解析】(1)由已知得f(0)=2,g(0)=2,f′(0)=4,g′(0)=4.而f′(x)=2x+a,g′(x)=e x(cx+d+c).故b=2,d=2,a=4,d+c=4.从而a=4,b=2,c=2,d=2.(2)由(1)知f(x)=x2+4x+2,g(x)=2e x(x+1).设F(x)=kg(x)-f(x)=2ke x(x+1)-x2-4x-2,则F′(x)=2ke x(x+2)-2x-4=2(x+2)(ke x-1).由题设可得F(0)≥0,即k≥1.令F′(x)=0,即2(x+2)(ke x-1)=0,得x1=-ln k,x2=-2.(ⅰ)若1≤k<e2,则-2<x1≤0,从而当x∈(-2,x1)时,F′(x)<0,当x∈(x1,+∞)时,F′(x)>0,即F(x)在x∈(-2,x1)上单调递减,在x∈(x1,+∞)上单调递增,故F(x)在[-2,+∞)上有最小值为F(x1).F(x1)=2x1+2--4x1-2=-x1(x1+2)≥0.故当x≥-2时,F(x)≥0恒成立,即f(x)≤kg(x).(ⅱ)若当k=e2,则F′(x)=2e2(x+2)(e x-e-2),当x>-2时,F′(x)>0,即F(x)在(-2,+∞)上单调递增,而F(-2)=0,故当且仅当x≥-2时,F(x)≥0恒成立,即f(x)≤kg(x).(ⅲ)若k>e2,则F(-2)=-2ke-2+2=-2e-2(k-e2)<0.从而当x≥-2时,f(x)≤kg(x)不可能恒成立.综上,k的取值范围为[1,e2].22.【解析】(1)连结DE交BC于点G.由弦切角定理得∠ABE=∠BCE,而∠ABE=∠CBE,故∠CBE=∠BCE,BE=CE.又因为DB⊥BE,所以DE为直径,∠DCE=90°,由勾股定理得DB=DC.(2)由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC,故DG是BC的中垂线,所以BG=.设DE的中点为O,连结BO,则∠BOG=60°,从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°,所以CF⊥BF,故Rt△BCF的外接圆的半径等于.23.【解析】(1)将消去参数t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2=25, 即C1:x2+y2-8x-10y+16=0.将代入x2+y2-8x-10y+16=0得ρ2-8ρcosθ-10ρsinθ+16=0.(2)C2的普通方程为x2+y2-2y=0.由解得或所以C1与C2交点的极坐标分别为,.24.【解析】(1)当a=-2时,不等式f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0.设函数y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,则y=其大致图象如图所示,从图象可知,当且仅当x∈(0,2)时,y<0. 所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.(2)当x∈时,f(x)=1+a.不等式f(x)≤g(x)化为1+a≤x+3.所以x≥a-2对x∈都成立,故-≥a-2,即a≤.从而a的取值范围为.。
绝密★启封并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试文科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项:1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至3页,第Ⅱ卷3至5页。
2. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。
4. 考试结束,将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷一、选择题共8小题。
每小题5分,共40分。
在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项。
(1)已知集合A={1,2,3,4},B={x|x=n2,n∈A},则A∩B= ( ) (A){0}(B){-1,,0}(C){0,1} (D){-1,,0,1}(2) = ( )(A)-1 - i(B)-1 + i(C)1 + i(D)1 - i(3)从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()(A)(B)(C)(D)(4)已知双曲线C: = 1(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为()(A)y=±x (B)y=±x (C)y=±x (D)y=±x(5)已知命题p:,则下列命题中为真命题的是:()(A) p∧q (B)¬p∧q (C)p∧¬q (D)¬p∧¬q(6)设首项为1,公比为的等比数列{an }的前n项和为Sn,则()(A)Sn =2an-1 (B)Sn=3an-2 (C)Sn=4-3an(D)Sn=3-2an(7)执行右面的程序框图,如果输入的t∈[-1,3],则输出的s属于(A)[-3,4](B)[-5,2](C)[-4,3](D)[-2,5](8)O为坐标原点,F为抛物线C:y²=4x的焦点,P为C上一点,若丨PF丨=4,则△POF的面积为(A)2 (B)2(C)2(D)4(9)函数f(x)=(1-cosx)sinx在[-π,π]的图像大致为(10)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos²A+cos2A=0,a=7,c=6,则b=(A)10 (B)9 (C)8 (D)5(11)某几何函数的三视图如图所示,则该几何的体积为(A)18+8π(B)8+8π(C)16+16π(D)8+16π(12)已知函数f(x)= 若|f(x)|≥ax,则a的取值范围是(A)(-∞] (B)(-∞] (C)[-2,1] (D)[-2,0]第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
2013年全国普通高等学校招生统一考试文科(山东卷)数学试题1、【答案】C【解析】【考点定位】本题考查复数的基本概念和运算,通过分母实数化思想来考查运算能力,要注意在运算中多次出现,符号确定容易出错.2、【答案】A【解析】,因为,所以中必有元素,【考点定位】本题考查集合的交集、并集和补集运算,考查推理判断能力.对于,这两个条件,可以判断集合中的元素有三种情形,而指出中必有元素,简化了运算,使结果判断更容易.3、【答案】D【解析】【考点定位】本题考查函数的奇偶性的应用,考查运算求解能力和转化思想. 根据直接运算而若求在上的解析式再求便“多余”了.【答案】B【解析】由正视图可知该四棱锥为正四棱锥,底面边长为,高为,侧面上的斜高为,所以【考点定位】本题考查三视图的应用,考查空间想象能力和运算能力. 因求体积的影响,可能会把求侧面积误认为全面积而选C. 此外棱锥体积运算时不要漏乘5、【答案】A【解析】由题意得,所以【考点定位】本题考查函数的定义域的求法,考查数形结合思想和运算能力. 根据函数解析式确定函数的定义域,往往涉及到被开放数非负、分母不能为零,真数为正等多种特殊情形,然后通过交集运算确定.6、【答案】C【解析】两次运行结果如下:第一次第二次【考点定位】本题考查程序框图的运行途径,考查读图能力和运算能力. 本题不同于以往所见试题,两次运行程序输出结果.针对类似问题可根据框图中的关键“部位”进行数据罗列,从而确定正确的输出结果.【答案】B【解析】,所以,整理得求得或若,则三角形为等腰三角形,不满足内角和定理,排除. 【考点定位】本题考查正弦定理和余弦定理的应用,考查运算能力和分类讨论思想.当求出后,要及时判断出,便于三角形的初步定型,也为排除提供了依据.如果选择支中同时给出了或,会增大出错率.8、【答案】A【解析】由且可得且,所以是的充分不必要条件.【考点定位】本题考查充分必要条件的判断,通过等价命题的转化化难为易,也渗透了转化思想的考查. 本题依据原命题的逆否命题进行判断较为简单,也可以依据题目条件构造一个满足“是的必要而不充分条件”的简单例子,进行转化比较,从而确定答案.9、【答案】D【解析】函数在时为负,排除A,由奇函数的性质可排除B,再比较C,D,不难发现在取接近于的正值时排除C.【考点定位】本题考查函数的奇偶性、函数的单调性、函数的值域等函数的重要性质,考查了函数图象的识别能力.本题可根据函数的性质对比图象进行逐一验证,若通过求导方法来研究该函数的图象和性质后再做准确判断,增加了运算负担.10、【答案】B【解析】由图可知去掉的两个数是,所以,【考点定位】本题考查茎叶图的识别、方差运算能统计知识,考查数据处理能力和运算能力. 确定被去掉的数据是解题的关键,本题给出的数据中最大,即便是处理方差运算时要对方差概念牢固掌握,避免与标准差混淆误选D.11、【答案】D【解析】画图可知被在点M处的切线平行的渐近线方程应为,设,则利用求导得又点共线,即点共线,所以,解得所以【考点定位】本题考查了抛物线和双曲线的概念、性质和导数的意义,进一步考查了运算求解能力.这一方程形式为导数法研究提供了方便,本题“切线”这一信号更加决定了“求导”是“必经之路”.根据三点共线的斜率性质构造方程,从而确定抛物线方程形式,此外还要体会这种设点的意义所在.12、【答案】C【解析】当且仅当时成立,因此所以【考点定位】本题考查基本不等式的应用,考查运算求解能力、推理论证能力和转化思想、函数和方程思想. 基本不等式的使用价值在于简化最值确定过程,而能否使用基本不等式的关键是中的是否为定值,本题通过得以实现.13、【答案】【解析】最短弦为过点与圆心连线的垂线与圆相交而成,,所以最短弦长为【考点定位】本题考查直线和圆的位置关系,考查数形结合思想和运算能力. 圆的半径、弦心距、半弦构成的直角三角形在解决直线和圆问题常常用到,本题只需要简单判断最短弦的位置就能轻松解答,有时候可能会出现点到直线的距离公式来求弦心距的长度.14、【答案】【解析】确定可行域为点形成的三角形,因此的最小值为点到直线的距离,所以【考点定位】本题考查线性规划下的最值求法,考查数形结合思想、图形处理能力和运算能力. 线性规划问题的重点是确定可行域,要根据已知条件逐一画出直线并代点验证从而确定区域位于直线的某一侧,类比集合的交集运算确定公共部分,再按照研究方向求得结果.15、【答案】【解析】,所以【考点定位】本题考查平面向量的加减坐标运算和数量积坐标运算,考查转化思想和运算能力. 本题通过进行运算极易想到,但求时往往出现坐标的“倒减”,虽然不影响运算的结果,被填空题型所掩盖,但在解答题中就会被发现.16、【答案】①③④【解析】对于①可分几种情形加以讨论,显然时,依运算,成立,时亦成立.若,则成立.综合①正确.对于②可取特殊值验证排除.对于③分别研究在内的不同取值,可以判断正确;对于④根据在内的不同取值,进行判断,显然中至少有一个小于结论成立,当均大于时,,所以满足运算,结论成立.【考点定位】本题通过新定义考查分析问题解决问题的能力,考查了分类讨论思想,并对推理判断能力和创新意识进行了考查. “正对数”与“普通对数”的差异只在于内,因此在取值验证时要特别注意这一“差异”,对于“正对数”的四则运算法则才能作出正确判断.17、【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】(I)可得到满足条件的基本事件有种情形,目标事件只有种,所以选到的人都在以下的概率为(II)把研究学生的人数扩大到人,基本事件个数增加到,并且要通过身高和体重两方面的限制确定目标事件,因此选到的人的身高都在以上且体重指标都在中的概率为【考点定位】本题考查古典概型的运算,通过对基本事件和目标事件的罗列考查数据处理能力和运算能力. 判断为古典概型后,根据题意罗列可能的结果组成的基本事件是关键.由于本题的两个问题研究的对象发生变化,在寻找基本事件和目标事件时要做到不重不漏.18、【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) ,.【解析】因为图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为,又,所以(II)由(I)知,当时,,所以因此故在区间上的最大值和最小值分别为,.【考点定位】.本题考查三角函数的图象和性质,通过三角恒等变换考查转化思想和运算能力.第一问先逆用倍角公式化为的形式,再利用图象研究周期关系,从而确定第二问在限制条件下求值域,需要通过不等式的基本性质先求出的取值范围再进行求解.式子结构复杂,利用倍角公式简化时要避免符号出错导致式子结构不能形成这一标准形式,从而使运算陷入困境.19、【答案】见解析【解析】(I)取的中点,连接因为为的中点,所以,又,所以因此四边形是平行四边形.所以又平面,平面,因此平面.另解:连结.因为为的中点,所以又所以又,所以四边形为平行四边形,因此. 又平面,所以平面.因为分别为的中点,所以又平面,所以平面.因为,所以平面平面.(II)证明因为分别为的中点,所以,又因为,所以同理可证.又,平面,平面,因此平面.又分别为的中点,所以.又,所以因此平面,又平面,所以平面平面.【考点定位】本题考查空间直线与平面,平面与平面间的位置关系,考查推理论证能力和空间想象能力.要证平面,可证明平面与所在的某个平面平行,不难发现平面平面.证明平面平面时,可选择一个平面内的一条直线()与另一个平面垂直.线面关系与面面关系的判断离不开判定定理和性质定理,而形成结论的“证据链”依然是通过挖掘题目已知条件来实现的,如图形固有的位置关系,中点形成的三角形的中位线等,都为论证提供了丰富的素材.20、【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】(I) 设等差数列的首项为,公差为.由,得,解得因此(Ⅱ) 由可得当时,,当时,所以又,两式相减得所以【考点定位】本题考查等差数列的通项公式、错位相减求和方法,考查方程思想、转化思想和运算能力、推理论证能力.根据已知条件列出关于首项和公差的方程组,从而确该数列的通项公式,这一问相对简单,第二问通过递推关系得到数列的通项公式后再按照错位相减方法转化为等比数列的求和运算进行解决.本题第二问的条件因其结构复杂在使用上形成障碍,如果表示为数列的前项和的形式,则不难想到利用这一熟悉结构来处理.21、【答案】(Ⅰ) 单调递减区间是,单调递增区间是(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)由得(1)当时,(i)若,当时,恒成立,所以函数的单调递减区间是.(ii)若,当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增.所以的单调递减区间是,单调递增区间是(2)当时,令得,由得显然当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增.所以函数的单调递减区间是,单调递增区间是.(Ⅱ)由题意知函数在处取得最小值,由(I)知是的唯一极小值点,故,整理得,令则由得当时,,单调递增;当时,,单调递减.因此故,即即【考点定位】本题考查导数法研究函数的单调性和相关函数值的大小比较,考查分类讨论思想、推理论证能力和运算求解能力.函数的单调区间判断必然通过导数方法来解决,伴随而来的是关于的分类讨论.比较与的大小时要根据已知条件和第一问的知识储备,构造新的函数利用单调性直接运算函数值得到结论.本题具备导数研究函数单调性的特征,必然按照程序化运行,即求导、关于参数分类讨论、确定单调区间等步骤进行.而第二问则是在第一问的基础上进一步挖掘解题素材,如隐含条件的发现、新函数的构造等,都为解决问题提供了有力支持.22、【答案】(I) (Ⅱ) 或【解析】(I)设椭圆的方程为,由题意知,解得因此椭圆的方程为(II)(1)当两点关于轴对称时,设直线的方程为,由题意知或,将代入椭圆方程得.所以解得或.又,因为为椭圆上一点,所以,或又因为所以或(2)当两点关于轴不对称时,设直线的方程为,将其代入椭圆方程得.设,由判别式可得,此时所以,因为点到直线的距离为,所以令,则解得或,即或.又,因为为椭圆上一点,所以,即,所以或又因为所以或经检验,适合题意.综上可知或【考点定位】本题基于椭圆问题综合考查椭圆的方程、直线和椭圆的位置关系、平面向量的坐标运算等知识,考查方程思想、分类讨论思想、推理论证能力和运算求解能力.第一问通过椭圆的性质确定其方程,第二问根据两点关于轴的对称关系进行分类讨论,分别设出直线的方程,通过联立、判断、消元等一系列运算“动作”达成目标.本题极易简单考虑设直线的形式而忽略斜率不存在的情况造成漏解.在联立方程得到后,后续运算会多次出现这一式子,换元简化运算不失为一种好方法,令,搭建了与的桥梁,使坐标的代入运算更为顺畅,使“化繁为简”这一常用原则得以完美呈现。
绝密★启用并使用完毕前2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。
共4页,满分150分。
考试用时150分钟.考试结束后,将本卷和答题卡一并交回。
注意事项:1. 答题前,考试务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类在答题卡和试卷规定的位置上。
2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试卷上。
3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明\证明过程或演算步骤.参考公式:如果事件A,B互斥,那么P(A+B)=P(A)+P(B);如果事件A,B独立,那么P(AB)=P(A)*P(B)第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)复数z满足(z-3)(2-i)=5(i为虚数单位),则z的共轭复数为( )A. 2+iB.2-iC. 5+iD.5-i(2)设集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A, y∈A }中元素的个数是( )A. 1B. 3C. 5D.9(3)已知函数f(x)为奇函数,且当x>0时,f(x) =x2+ ,则f(-1)= ()(A)-2(B)0 (C)1(D)2(4)已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直,体积为,底面积是边长为的正三棱柱,若P为底面A1B1C1的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为( )(A)(B)(C)(D)(5)将函数y=sin(2x +φ)的图像沿x轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图像,则φ的一个可能取值为(A)(B)(C)0 (D)(6)在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组:2x-y-2≥0,x+2y-1≥0,3x+y-8≤0,所表示的区域上一动点,则直线OM斜率的最小值为(A)2 (B)1 (C)(D)(7)给定两个命题p,q。
2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)
文科数学
参考公式:如果事件B A ,互斥,那么)()()(B P A P B A P +=+ 一.选择题:本题共12个小题,每题5分,共60分。
(1)、复数)()2(2
为虚数单位i i
i z -=,则=||z (A)25 (B)
41 (C)6 (D) 5
(2)、已知集合B A 、均为全集}4,3,2,1{=U 的子集,且(){4}U A
B =ð,{1,2}B =,则
U A B =ð
(A){3} (B){4} (C){3,4} (D)∅
(3)、已知函数)(x f 为奇函数,且当0>x 时,x
x x f 1)(2
+
=,
则=-)1(f
(A)2 (B)1 (C)0 (D)-2
(4)、一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,
其正(主)视图如右图所示该四棱锥侧面积和体积分别是
(A) (B) 83 (C) 8
1),3
(D) 8,8
(5)、函数()
f x = (A)(-3,0] (B) (-3,1] (C) (,3)
(3,0]-∞-- (D) (,3)(3,1]-∞--
(6)、执行右边的程序框图,若第一次输入的a 的值
为-1.2,第二次输入的a 的值为1.2,则第一次、 第二次输出的a 的值分别为 (A)0.2,0.2 (B) 0.2,0.8 (C) 0.8,0.2 (D) 0.8,0.8 (7)、ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、,
若2B A =,1a =,b =
c =
(A) (B) 2 (C) (D)1
(8)、给定两个命题q p ,,p q ⌝
是的必要而不充分条件,则p q ⌝
是
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 (9)、函数x x x y sin cos +=的图象大致为
(10)、将某选手的9个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,7个剩余分数的平均分为91,
现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊,无法辨认,在图中以x 表示:
877
9401091
x
则7个剩余分数的方差为
(A)
1169 (B)36
7
(C)36
(D)
(11)、抛物线)0(21:21>=p x p y C 的焦点与双曲线2
22:13
x C y -=的右焦点的连线交1C 于第一象限的点M ,若1C 在点M 处的切线平行于2C 的一条渐近线,则p =
(A)
163 (B)83 (C)332 (D) 3
3
4 (12)、设正实数z y x ,,满足0432
2
=-+-z y xy x ,则当z
xy
取得最大值时,2x y z +-的最大值为
(A)0 (B)98 (C)2 (D)94
二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分
(13)、过点(3,1)作圆22
(2)(2)4x y -+-=的弦,其中最短的弦长为__________
(14)、在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组2360
200x y x y y +-≤⎧⎪
+-≥⎨⎪≥⎩
所表示的区域上一动点,则
直线OM 的最小值为_______
(15)、在平面直角坐标系xOy 中,已知(1,)OA t =-,(2,2)OB =,若90o
ABO ∠=,则实数
t 的值为______
(16).定义“正对数”:0(01)
ln ln (1)
x x x x +<<⎧=⎨≥⎩,,,
现有四个命题:
①若0,0>>b a ,则a b a b
+
+
=ln )(ln ; ②若0,0>>b a ,则b a ab +
+
+
+=ln ln )(ln ③若0,0>>b a ,则b a b
a +
++
-=ln ln )(ln ④若0,0>>b a ,则2ln ln ln )(ln ++≤++
+
+
b a b a
其中的真命题有____________(写出所有真命题的序号)
三.解答题:本大题共6小题,共74分, (17)(本小题满分12分) 某小组共有A B C D E 、、、、五位同学,他们的身高(单位:米)以及体重指标(单位:千克/米2)
(Ⅰ)从该小组身高低于1.80的同学中任选2人,求选到的2人身高都在1.78以下的概率 (Ⅱ)从该小组同学中任选2人,求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率
(18)(本小题满分12分)
设函数2()sin cos (0)2
f x x x x ωωωω=
->,且()y f x =的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为4
π, (Ⅰ)求ω的值 (Ⅱ)求()f x 在区间3[,]2
π
π上的最大值和最小值
如图,四棱锥P ABCD -中,,AB AC AB PA ⊥⊥,
,2AB CD AB CD =∥,,,,,E F G M N 分别为 ,,,,PB AB BC PD PC 的中点
(Ⅰ)求证:CE PAD ∥平面 (Ⅱ)求证:EFG EMN ⊥平面平面
(20)(本小题满分12分)
设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且244S S =,122+=n n a a (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式 (Ⅱ)设数列{}n b 满足*12
12
1
1,2
n n n b b b n N a a a +++
=-∈ ,求{}n b 的前n 项和n
T
(21)(本小题满分12分)
已知函数2
()ln (,)f x ax bx x a b R =+-∈ (Ⅰ)设0a ≥,求)(x f 的单调区间 (Ⅱ) 设0a >,且对于任意0x >,()(1)f x f ≥。
试比较ln a 与2b -的大小
在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C的中心在原点O,焦点在x轴上,短轴长为2,离
心率为
2
(I)求椭圆C的方程
∆E为线段AB的中点,射线OE (II)A,B为椭圆C上满足AOB
=,求实数t的值
交椭圆C与点P,设OP tOE
数学(文史类)试题参考答案
一、选择题:
1.C 2.A 3.D 4.B 5.A 6.C 7.B 8.A 9.D 10.B 11.D 12.C 二、填空题:
13.2214.215.5 16.①③④
三、解答题:
17
20.
- 11 -。