高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1不等式1.1.1不等式例题与探究新人教A版选修4_5

无理不等式的解法一、引入：1．无理不等式的类型： ①⎪⎩⎪⎨⎧>⇒⎭⎬⎫≥≥⇔>)()(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 定义域型 ②⎩⎨⎧≥<⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x f xg x g x f x f x g x g x f 或型 ③⎪⎩⎪⎨⎧<>≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 型二、典型例题：例1 解不等式0343>---x x解：∵根式有意义 ∴必须有：303043≥⇒⎩⎨⎧≥-≥-x xx又有 ∵ 原不等式可化为343->-x x 两边平方得：343->-x x 解之：21>x ∴}3|{}21|{}3|{>=>⋂>x x x x x x例2 解不等式x x x 34232->-+-解：原不等式等价于下列两个不等式组得解集的并集：Ⅰ：⎪⎩⎪⎨⎧->-+-≥-+-≥-222)34(23023034x x x x x x Ⅱ：⎩⎨⎧<-≥---0340232x x x 解Ⅰ：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<⇒<<<≤≤345623562134x x x x 解Ⅱ：234≤<x ∴原不等式的解集为}256|{≤<x x例3 解不等式24622+<+-x x x解：原不等式等价于⎪⎩⎪⎨⎧+<+->+≥+-222)2(462020462x x x x x x}10102|{100212≤<<≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧<<->≤≥⇒x x x x x x x 或或特别提醒注意：取等号的情况例4 解不等式1112-+>+x x解 ：要使不等式有意义必须：2112101012-≥⇒⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≥⇒⎩⎨⎧≥+≥+x x x x x原不等式可变形为 1112+>++x x 因为两边均为非负 ∴22)1()112(+>++x x 即)1(122+->+x x ∵x +1≥0 ∴不等式的解为2x +1≥0 即 21-≥x例5 解不等式)0(112>≤-+a ax x例6 解不等式1123>-+-x x解：定义域 x -1≥0 x ≥1 原不等式可化为：3211->--x x 两边立方并整理得：)1(41)2(->-+x x x在此条件下两边再平方, 整理得：0)10)(2)(1(>---x x x 解之并联系定义域得原不等式的解为}1021|{><<x x x 或。

1.1.1 不等式的基本性质A 级 基础巩固一、选择题1．已知m ，n ∈R ，则1m >1n成立的一个充要条件是() A ．m >0>n B ．n >m >0C ．m <n <0D ．mn (m －n )<0 解析：1m >1n ⇔1m －1n >0⇔n －m mn>0⇔mn (n －m )>0⇔mn (m －n )<0. 答案：D2．已知a ，b ，c ，d 为实数，且c >d ，则“a >b ”是“a －c >b －d ”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：由⎩⎪⎨⎪⎧a －c >b －d ，c >d ⇒a >b ； 而当a ＝c ＝2，b ＝d ＝1时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a >b ，c >d ，但a －c >b －d 不成立，所以“a >b ”是“a －c >b －d ”的必要不充分条件．答案：B3．已知实数a ，b ，c 满足c <b <a 且ac <0，那么下列选项中一定成立的是()A ．ab >acB ．c (b －a )<0C ．ab 2>cb 2D ．a (a －c )<0解析：由题意，知a >0，c <0，b 的符号不确定．不等式两端同乘以一个正数，不等号的方向不改变．答案：A4．设a ，b 为正实数，则“a <b ”是“a －1a <b －1b”成立的() A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件解析：若a <b 且a >0，b >0，则1a >1b ⇒－1a <－1b ， 所以a －1a <b －1b. 若a －1a <b －1b， 且a >0，b >0⇒a 2b －b <ab 2－a ⇒a 2b －ab 2－b ＋a <0，ab (a －b )＋(a －b )<0⇒(a －b )(ab ＋1)<0⇒a －b <0⇒a <b .答案：C5．已知x ，y ∈R ，且x ＞y ＞0，则()A.1x －1y ＞0 B ．sin x －sin y ＞0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＜0 D ．ln x ＋ln y ＞0 解析：函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在(0，＋∞)上为减函数，所以当x ＞y ＞0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12y ＜0，故C 正确；函数y ＝1x 在(0，＋∞)上为减函数，所以由x ＞y ＞0⇒1x ＜1y ⇒1x －1y ＜0，故A 错误；函数y ＝sin x 在(0，＋∞)上不单调，当x ＞y ＞0时，不能比较sin x 与sin y 的大小，故B 错误；x ＞y ＞0xy ＞1 ln(xy )＞0 ln x ＋ln y ＞0，故D 错误． 答案：C二、填空题6．已知0＜a ＜1，则a ，1a，a 2的大小关系是________． 解析：因为a －1a ＝（a ＋1）（a －1）a＜0， 所以a ＜1a. 又因为a －a 2＝a (1－a )＞0，所以a ＞a 2，所以a 2＜a ＜1a. 答案：a 2＜a ＜1a7．若1＜a ＜3，－4＜b ＜2，那么a －|b |的取值X 围是______．解析：因为－4＜b ＜2，所以0≤|b |＜4，所以－4＜－|b |≤0.又1＜a ＜3，所以－3＜a －|b |＜3.答案：(－3，3)8．设a ＞0，b ＞0，则b 2a ＋a 2b与a ＋b 的大小关系是________． 解析：b 2a ＋a 2b －(a ＋b )＝（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2）ab －(a ＋b )＝（a ＋b ）（a －b ）2ab .因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b ＞0，ab ＞0，(a －b )2≥0.所以b 2a ＋a 2b ≥a ＋b .答案：b 2a ＋a 2b ≥a ＋b三、解答题9．已知1≤a ＋b ≤5，－1≤a －b ≤3，求3a －2b 的取值X 围．解：设3a －2b ＝x (a ＋b )＋y (a －b )，则3a －2b ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b .从而⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝52.所以3a －2b ＝12(a ＋b )＋52(a －b )．因为1≤a ＋b ≤5，－1≤a －b ≤3，所以12≤12(a ＋b )≤52，－52≤52(a －b )≤152，所以－2≤3a －2b ≤10.10．已知a ＞b ＞0，比较a b 与a ＋1b ＋1的大小．解：a b －a ＋1b ＋1＝a （b ＋1）－b （a ＋1）b （b ＋1）＝a －bb （b ＋1）.因为a ＞b ＞0，所以a －b ＞0，b (b ＋1)＞0.所以a －bb （b ＋1）＞0.所以a b ＞a ＋1b ＋1.B 级 能力提升1．(2016·全国卷Ⅰ)若a ＞b ＞1，0＜c ＜1，则()A ．a c ＜b cB ．ab c ＜ba cC ．a log b c ＜b log a cD ．log a c ＜log b c解析：法一 由0＜c ＜1知y ＝x c 在(1，＋∞)上单调递增，故由a ＞b ＞1知a c ＞b c ，A 错；因为0＜c ＜1，所以－1＜－c ＜0，所以y ＝xc －1在x ∈(0，＋∞)上是减函数，所以b c －1＞a c －1，又ab ＞0，所以ab ·b c －1＞ab ·a c －1，即ab c＞ba c ，B 错； 易知y ＝log c x 是减函数，所以0＞log c b ＞log c a ，所以log b c ＜log a c ，D 错； 由log b c ＜log a c ＜0，得－log b c ＞－log a c ＞0，又a ＞b ＞1＞0，所以－a log b c ＞－b log a c ＞0，所以a log b c ＜b log a c ，故C 正确．法二 依题意，不妨取a ＝10，b ＝2，c ＝12.易验证A 、B 、D 均是错误的，只有C 正确． 答案：C2．若a ，b ∈R ，且a ＞b ，下列不等式：①b a ＞b －1a －1；②(a ＋b )2＞(b ＋1)2；③(a －1)2＞(b －1)2. 其中不成立的是________．解析：①b a －b －1a －1＝ab －b －ab ＋a a （a －1）＝a －b a （a －1）. 因为a －b ＞0，a (a －1)的符号不确定，①不成立；②取a ＝2，b ＝－2，则(a ＋b )2＝0，(b ＋1)2＝1，②不成立；③取a ＝2，b ＝－2，则(a －1)2＝1，(b －1)2＝9，③不成立．答案：①②③3．已知c a ＞d b，bc ＞ad ，求证：ab ＞0. 证明：⎩⎪⎨⎪⎧c a ＞d b ，bc ＞ad ⇒⎩⎪⎨⎪⎧c a －d b ＞0， ①bc －ad ＞0. ②又bc ＞ad ，则bc －ad ＞0.由②得bc －ad ＞0.故ab ＞0.。

1．绝对值三角不等式绝对值三角不等式(1)定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立． 几何解释：用向量a ，b 分别替换a ，b .①当a 与b 不共线时，有|a ＋b|<|a |＋|b |，其几何意义为：三角形的两边之和大于第三边．②若a ，b 共线，当a 与b 同向时，|a ＋b |＝|a |＋|b |，当a 与b 反向时，|a ＋b |<|a |＋|b |.由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式． ③定理1的推广：如果a ，b 是实数，则||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.(2)定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |.当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．几何解释：在数轴上，a ，b ，c 所对应的点分别为A ，B ，C ，当点B 在点A ，C 之间时，|a －c |＝|a －b |＋|b －c |.当点B 不在点A ，C 之间时：①点B 在A 或C 上时，|a －c |＝|a －b |＋|b －c |；②点B 不在A ，C 上时，|a －c |<|a －b |＋|b －c |.应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．[例1] 已知|A －a |<3，|B －b |<3，|C －c |<3. 求证：|(A ＋B ＋C )－(a ＋b ＋c )|<s .[思路点拨] 原式――→变形 重新分组――→定理 转化为|A －a |＋|B －b |＋|C －c |―→得出结论 [证明] |(A ＋B ＋C )－(a ＋b ＋c )|＝|(A －a )＋(B －b )＋(C －c )|≤|(A －a )＋(B －b )|＋|C －c |≤|A －a |＋|B －b |＋|C －c |.因为|A －a |<s 3，|B －b |<s 3，|C －c |<s3，所以|A －a |＋|B －b |＋|C －c |<s 3＋s 3＋s 3＝s .含绝对值不等式的证明题两种类型及解法(1)比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |，通过适当的添、拆项证明；(2)综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明．1．以下四个命题：①若a ，b ∈R ，则|a ＋b |－2|a |≤|a －b |；②若|a －b |<1，则|a |<|b |＋1；③若|x |<2，|y |>3，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪x y <23；④若AB ≠0，则lg |A |＋|B |2≥12(lg|A |＋lg|B |)．其中正确的命题有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个解析：选A ∵|a ＋b |＝|(b －a )＋2a |≤|b －a |＋2|a |＝|a －b |＋2|a |，∴|a ＋b |－2|a |≤|a －b |，①正确；∵1>|a －b |≥|a |－|b |，∴|a |<|b |＋1，②正确；∵|y |>3，∴1|y |<13.又∵|x |<2，∴|x ||y |<23，③正确；⎝ ⎛⎭⎪⎫|A |＋|B |22＝14(|A |2＋|B |2＋2|A ||B |)≥14(2|A ||B |＋2|A ||B |)＝|A ||B |，∴2lg |A |＋|B |2≥lg|A ||B |.∴lg |A |＋|B |2≥12(lg|A |＋lg|B |)，④正确．2．已知a ，b ∈R 且a ≠0，求证：|a 2－b 2|2|a |≥|a |2－|b |2. 证明：①若|a |>|b |，左边＝|a ＋b ||a －b |2|a |＝|a ＋b ||a －b ||a ＋b ＋a －b |≥|a ＋b ||a －b ||a ＋b |＋|a －b |＝11|a ＋b |＋1|a －b |. ∵1|a ＋b |≤1|a |－|b |，1|a －b |≤1|a |－|b |， ∴1|a ＋b |＋1|a －b |≤2|a |－|b |. ∴左边≥|a |－|b |2＝右边． ②若|a |<|b |，左边>0，右边<0，∴原不等式显然成立．③若|a |＝|b |，原不等式显然成立．综上可知原不等式成立.[例2] (1)(2)如果关于x 的不等式|x －3|＋|x －4|＜a 的解集为空集，求实数a 的取值范围．[思路点拨] 利用绝对值三角不等式或函数思想方法可求解．[解] (1)法一：||x －3|－|x ＋1||≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4，∴－4≤|x －3|－|x ＋1|≤4.∴y max ＝4，y min ＝－4.法二：把函数看作分段函数．y ＝|x －3|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4，x <－1，2－2x ，－1≤x ≤3，－4，x >3.∴－4≤y ≤4.∴y max ＝4，y min ＝－4.(2)只要a 不大于|x －3|＋|x －4|的最小值，则|x －3|＋|x －4|＜a 的解集为空集，而|x －3|＋|x －4|＝|x －3|＋|4－x |≥|x －3＋4－x |＝1，当且仅当(x －3)(4－x )≥0，即3≤x ≤4时等号成立．∴当3≤x ≤4时，|x －3|＋|x －4|取得最小值1.∴a的取值范围为(－∞，1]．(1)利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式．(2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键．3．若a，b∈R，且|a|≤3，|b|≤2，则|a＋b|的最大值是________，最小值是________．解析：∵|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，∴1＝3－2≤|a＋b|≤3＋2＝5.答案：5 14．已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－5|的最小值为a，求a的值．解：因为|x＋1|＋|x－5|≥|(x＋1)－(x－5)|＝6，当且仅当－1≤x≤5时，等号成立，所以f(x)的最小值等于6，即a＝6.5．若对任意实数，不等式|x＋1|－|x－2|>a恒成立，求a的取值范围．解：∵a<|x＋1|－|x－2|对任意实数恒成立，∴a<(|x＋1|－|x－2|)min.∵||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3.∴(|x＋1|－|x－2|)min＝－3.∴a<－3.即a的取值范围为(－∞，－3)．1．对于|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，下列结论正确的是( )A．当a，b异号时，左边等号成立B．当a，b同号时，右边等号成立C．当a＋b＝0时，两边等号均成立D．当a＋b>0时，右边等号成立；当a＋b<0时，左边等号成立解析：选B 当a，b异号且|a|>|b|时左边等号才成立，故A不正确；显然B正确；当a＋b＝0时，右边等号不成立，C不正确；D显然不正确．2．若|a－c|<b，则下列不等式不成立的是( )A．|a|<|b|＋|c| B．|c|<|a|＋|b|C．b>|c|－|a| D．b<||a|－|c||解析：选D ∵|a－c|<b，令a＝1，c＝2，b＝3.则|a|＝1，|b|＋|c|＝5，∴|a|<|b|＋|c|成立．|c|＝2，|a|＋|b|＝4，∴|c|<|a|＋|b|成立．||c|－|a||＝||2|－|1||＝1，∴b>||c|－|a||成立．故b<||a|－|c||不成立．3．不等式|a＋b||a|＋|b|<1成立的充要条件是( )A．a，b都不为零B．ab<0C．ab为非负数D．a，b中至少有一个不为零解析：选 B|a＋b||a|＋|b|<1⇔|a＋b|<|a|＋|b|⇔a2＋b2＋2ab<a2＋b2＋2|ab|⇔ab<|ab|⇔ab<0.4．“|x－a|<m且|y－a|<m”是“|x－y|<2m”(x，y，a，m∈R)的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A ∵|x－a|<m，|y－a|<m，∴|x－a|＋|y－a|<2m.又∵|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|，∴|x－y|<2m，但反过来不一定成立，如取x＝3，y＝1，a＝－2，m＝2.5，|3－1|<2×2.5，但|3－(－2)|>2.5，|1－(－2)|>2.5，∴|x－y|<2m不一定有|x－a|<m且|y－a|<m，故“|x－a|<m且|y－a|<m”是“|x－y|<2m”(x，y，a，m∈R)的充分不必要条件．5．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．解析：|x－a|＋|x－1|≥|a－1|，则只需要|a－1|≤3，解得－2≤a≤4.答案：[－2,4]6．若ab>0，则下面四个不等式：①|a＋b|>|a|；②|a＋b|<|b|；③|a＋b|<|a－b|；④|a＋b|>|a|－|b|中，正确的有________．解析：∵ab>0，∴a，b同号．∴|a＋b|＝|a|＋|b|.∴①④正确．答案：①④7．下列四个不等式：①log x10＋lg x≥2(x>1)；②|a－b|<|a|＋|b|；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2(ab ≠0)；④|x －1|＋|x －2|≥1，其中恒成立的是________．(填序号)解析：log x 10＋lg x ＝1lg x ＋lg x ≥2，①正确； ab ≤0时，|a －b |＝|a |＋|b |，②不正确；∵ab ≠0时，b a 与a b同号， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2，③正确； 由|x －1|＋|x －2|的几何意义知|x －1|＋|x －2|≥1恒成立，④也正确，综上可知①③④正确．答案：①③④8．设a ，b ∈R ，ε>0，|a |<ε4，|b |<23ε. 求证：|4a ＋3b |<3ε.证明：∵|a |<ε4，|b |<23ε，∴|4a ＋3b |≤|4a |＋|3b |＝4|a |＋3|b |<4·ε4＋3·2ε3＝3ε.9．已知函数f (x )＝ax 2＋x －a (－1≤x ≤1)，且|a |≤1，求证：|f (x )|≤54. 证明：∵－1≤x ≤1，∴|x |≤1，又∵|a |≤1，∴|f (x )|＝|a (x 2－1)＋x |≤|a (x 2－1)|＋|x |≤|x 2－1|＋|x |＝1－|x |2＋|x |＝－⎝⎛⎭⎪⎫|x |－122＋54≤54. 10．设函数y ＝|x －4|＋|x －3|.求(1)y 的最小值；(2)使y <a 有解的a 的取值范围；(3)使y ≥a 恒成立的a 的最大值．解：(1)∵y ＝|x －4|＋|x －3|≥|x －4＋3－x |＝1，当且仅当3≤x≤4时取等号，∴y min＝1.(2)由(1)知y≥1.要使y<a有解，∴a>1.即a的取值范围为(1，＋∞)．(3)要使y≥a恒成立，只要y的最小值1≥a即可．∴a max＝1.。

不等式的基本性质知识梳理1.两个实数大小的比较 a>b ⇔_____________; a=b_____________a-b=0; _____________⇔a-b<0.2.不等式的基本性质（1）如果a>b ，那么b<a ；如果b<a,那么__________，即__________. (2)如果a>b,b>c ，那么__________，即a>b,b>c ⇒__________. (3)如果a>b ，那么a+c__________b+c.(4)如果a>b,c>0，那么ac__________bc;如果a>b,c<0,那么ac__________bc.（5）如果a>b>0，那么a n __________b n(n∈N ,n≥2). (6)如果__________,那么nn b a >(n∈N ,n≥2).3.作差比较法（1）理论依据：____________________________________.(2)方法步骤:①_________;②_________;③_________;④_________. 知识导学1.实数大小比较的原理与实数乘法的符号法则是推导不等式性质的依据.与等式相比,主要区别在数乘这一性质上,对于不等式a=b ⇒ac=bc,不论c 是正数,负数还是零,都是成立的,而对于不等式a>b,两边同乘以c 之后,ac 与bc 的大小关系就需对c 加以讨论确定.2.学习不等式的概念与性质应着重从如下三方面去思考: (1)不等式及其变形的不等号中有无等号.理解严格不等号“>”“<”或“≠”与严格不等号“≥”或“≤”的意义，养成有区别使用它们的习惯.（2）不等式的传递变形中应注意不等号方向的一致性. （3）适度地放大或缩小是不等式变形的关键.3.不等式的一些性质在应用时可以适当延伸，如将“>”改为“≥”，将正数改为非负数等等,下面列举几个例子: a≥b,b≥c ⇒a≥c. a≥b,c≥d ⇒a+c≥b+d. a>b≥0,c>d≥0⇒ac>bd.a>b>0,c>d>0⇒c bd a >. a>b,ab>0⇒ba 11<.4.方法与规律:(1)同向不等式相加,异向不等式相减.(2)不等式的“乘与除”，看了“大小”看“正负”. (3)要说明一个不等式不成立，只要举一个反例即可. 疑难突破1.使用不等式性质的前提条件在使用不等式的性质时，一定要搞清它们成立的前提条件.例如：（1）在应用传递性时，如果两个不等式中有一个带等号而另一个不带等号，那么等号是传递不过去的.如a≤b,b<c ⇒a<c.(2)在乘法法则中，要特别注意乘数c 的符号，例如当c≠0时，有a>b ⇒ac 2>bc 2;若无c≠0这个条件，则a>b ⇒ac 2>bc 2就是错误结论（当c=0时，取“=”）.（3）a>b>0⇒a n >b n>0成立的条件是“n 为大于1的自然数”，假如去掉“n 为大于1的自然数”这个条件，取n=-1，a=3,b=2，那么就会出现3-1>2-1,即2131>的错误结论. 2.不等式的性质中的“⇒”和“⇔”在不等式的基本性质中，条件和结论的逻辑关系有两种：“⇒”与“⇔”，即推出关系和等价关系，或者说“不可逆关系”与“可逆关系”.这要求必须熟记与区别不同性质的条件.如a>b,ab>0⇒ba 11<,而反之则包含几类情况，即若a 1<b 1，则可能有a>b,ab>0;也可能有a<0<b,即a>b,ab>0与ba 11<是不等价关系.在数学命题中，文字语言的表述通常要“翻译”成相应的数学符号，只有准确地转换，才能正确地解答问题.。

1.1.3 三个正数的算术-几何平均不等式课堂探究1．三个正数或三个以上正数的算术几何平均不等式的应用条件剖析：“一正”：不论是三个数或者n 个数的算术几何平均不等式，都要求是正数，否则不等式是不成立的．如a ＋b ＋c ≥33abc ，取a ＝b ＝－2，c ＝2时，a ＋b ＋c ＝－2，而33abc ＝6，显然－2≥6不成立．“二定”：包含两类求最值问题：一是已知n 个正数的和为定值(即a 1＋a 2＋…＋a n 为定值)，求其积a 1a 2…a n 的最大值；二是已知乘积a 1a 2…a n 为定值，求其和a 1＋a 2＋…＋a n 的最小值．“三相等”：取“＝”号的条件是a 1＝a 2＝a 3＝…＝a n ，不能只是其中一部分相等． 不等式a 2＋b 2≥2ab 与a 3＋b 3＋c 3≥3abc 的运用条件不一样，前者要求a ，b ∈R ，后面要求a ，b ，c ∈R ＋.要注意区别．2．灵活使用基本不等式中的变形与拼凑方法剖析：为了使用三个正数的算术几何平均不等式求最值(或范围等)，往往需要对数学代数式变形或拼凑，有时一个数拆成两个或两个以上的数，这时候，拆成的数要相等，如y ＝4x 4＋x 2＝4x 4＋x 22＋x 22，其中把x 2拆成x 22和x 22两个数，这样可满足不等式成立的条件，若这样变形：y ＝4x 4＋x 2＝4x 4＋x 24＋34x 2，虽然满足了乘积是定值这个要求，但“三相等”这个要求就无法实现了，这是因为：取“＝”号的条件是4x 4＝x 24＝34x 2，显然x 无解．题型一 应用三个正数的算术几何平均不等式求函数的最值 【例1】已知x ＞0，求函数y ＝x (1－x 2)的最大值．分析：为使数的“和”为定值，可以先平方，即y 2＝x 2(1－x 2)2＝x 2(1－x 2)(1－x 2)＝2x 2(1－x 2)(1－x 2)×12.求出最值后再开方．解：∵y ＝x (1－x 2)，∴y 2＝x 2(1－x 2)2＝2x 2(1－x 2)(1－x 2)·12.∵2x 2＋(1－x 2)＋(1－x 2)＝2， ∴y 2≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2＋1－x 2＋1－x 233＝427.当且仅当2x 2＝1－x 2，即x ＝33时取等号成立．∴y ≤239.∴y 的最大值为239.反思 对式子拼凑，以便能利用算术几何平均不等式求最值，是必须掌握的一种解题方法，但拼凑要合理，且要符合适用的条件，对于本题，有的学生可能这样去拼凑：y ＝x (1－x 2)＝x (1－x )(1＋x )＝12·x (2－2x )·(1＋x )≤12⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2－2x ＋1＋x 33＝12. 虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取“＝”号的条件，显然x ＝2－2x ＝1＋x 无解，即无法取“＝”号，也就是说，这种拼凑法是不正确的．这就要求平时多积累一些拼凑方法，同时注意算术几何平均不等式的使用条件，三个缺一不可.题型二 应用三个正数的算术几何平均不等式证明不等式【例2】设a ，b ，c ＞0，求证：(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥9.分析：先观察求证式子的结构，通过变形转化为用算术几何平均不等式证明． 证明：∵a ，b ，c ＞0，∴a ＋b ＋c ≥33abc ，1a ＋1b ＋1c ≥331abc.∴(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c ≥9.当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．反思 三个正数的算术几何平均不等式定理，是根据不等式的意义、性质和比较法证出的，因此，凡是可以利用该定理证明的不等式，一般都可以直接应用比较法证明，只是在具备条件时，直接应用该定理会更简便．若不直接具备“一正二定三相等”的条件，要注意经过适当的恒等变形后再使用定理证明．连续多次使用算术几何平均不等式定理时要注意前后等号成立的条件是否保持一致. 题型三 应用三个正数的算术几何平均不等式解决实际问题【例3】如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学可知，桌子边缘一点处的亮度E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r 的平方成反比，即E ＝k sin θr2，这里k 是一个和灯光强度有关的常数．那么究竟应该怎样选择灯的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？分析：根据题设条件建立r 与θ的关系式―→ 将它代入E ＝k sin θr2―→ 得到以θ为自变量，E 为因变量的函数关系式―→ 用平均不等式求函数的最值―→获得问题的解解：∵r ＝2cos θ，∴E ＝k ·sin θcos 2θ4⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2， ∴E2＝k 216·sin 2θ·cos 4θ＝k 232·(2sin 2θ)·cos 2θ·cos 2θ≤k 232·⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 2θ＋cos 2θ＋cos 2θ33＝k 2108，当且仅当2sin 2θ＝cos 2θ时取等号， 即tan 2θ＝12，tan θ＝22，∴h ＝2tan θ＝2，即h ＝2时，E 最大． ∴灯的高度h 为2时，才能使桌子边缘处最亮．反思 处理此类求最值的实际问题，应正确找到各变量之间的关系，建立适当的函数关系式，把问题转化为求函数的最值问题，并将关系式配凑成可以用算术几何平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可直接求解．。