量子力学教程高等教育出版社周世勋课后答案-第三章

第三章 量子力学中的力学量3.1 一维谐振子处在基态t i x e x ωαπαψ2222)(--=，求：(1)势能的平均值2221x U μω=； (2)动能的平均值μ22p T =；(3)动量的几率分布函数。

解：(1) ⎰∞∞--==dx e x x U x 2222222121απαμωμωμωμωαμωαπαπαμω ⋅==⋅=22222241212121221ω 41=(2) ⎰∞∞-==dx x p x p T )(ˆ)(2122*2ψψμμ ⎰∞∞----=dx e dx d e x x22222122221)(21ααμπα⎰∞∞---=dx e x x 22)1(22222αααμπα][222222222⎰⎰∞∞--∞∞---=dx e x dx e x x ααααμπα ]2[23222απααπαμπα⋅-=μωμαμαπαμπα⋅===442222222ω 41= 或 ωωω 414121=-=-=U E T(3)*(,)()()p c p t x x dx ψψ=⎰ 2222x iit px e dx αωαππ∞----∞=⎰22122i i x px t ee dxeαωαππ∞----∞=⎰2222221()222ip p i x t edxe αωαααππ-+-∞--∞=⎰2222221()222p ip ix t e edxeαωαααππ--+∞--∞=⎰222222p i t e ωαααππ--=22222p i t e eωααπ--=动量几率分布函数为 2222()(,)p p c p t eαωαπ-==3.2.氢原子处在基态0/301),,(a r e a r -=πϕθψ，求：(1)r 的平均值；(2)势能re 2-的平均值；(3)最可几半径； (4)动能的平均值；(5)动量的几率分布函数。

解：(1) ϕθθπτϕθψππd rd d r re a d r r r a r sin 1),,(0220/23020⎰⎰⎰⎰∞-==⎰∞-=/233004dr a r a a r04030232!34a a a =⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2203020/232020/232202/2322214 4 sin sin 1)()2(000a e a a e drr e a e d drd r e a e d drd r e ra e r e U a r a r a r -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞-ππππϕθθπϕθθπ(3)电子出现在r+dr 球壳内出现的几率为 ⎰⎰=ππϕθθϕθψω02022 sin )],,([)(d drd r r dr r dr r e a a r 2/23004-=2/23004)(r e a r a r -=ω0/2030)22(4)(a r re r a a dr r d --=ω 令0321 , ,0 0)(a r r r drr d =∞==⇒=，ω 当0)( ,0 21=∞==r r r ω时，为几率最小位置/22203022)482(4)(a r e r a r a a dr r d -+-=ω08)(230220<-=-=e a dr r d a r ω ∴ 0a r =是最可几半径。

(4)2222ˆ21ˆ∇-==μμ p T⎰⎰⎰∞--∇-=ππϕθθπμ02002/2/32 sin )(1200d drd r e e a T a r a r ⎰⎰⎰∞---=ππϕθθπμ02002/22/302 sin )]([11200d drd r e dr d r drd re a a r a r⎰∞----=0/02032 )2(1(240dr e a r r a a a r μ2220204022)442(24a a a a μμ =-= (5) τϕθψψd r r p c p),,()()(* ⎰= ⎰⎰⎰-∞-=ππθϕθθππ20cos 02/302/3 sin 1)2(1)(0d d edr r eap c pr ia r⎰⎰-=-∞-πθθπππ0cos 0/2302/3)cos ( )2(20d edr er apr ia r⎰∞--=0cos /2302/30)2(2πθπππpr ia r e iprdre r a⎰∞---=/302/3)()2(20dr e e re ip a pr ipria rπππ])1(1)1(1[)2(22020302/3p i a p i a ip a+--=πππ 222200330)1(421p a a ipip a +=π 22220440033)(24+=p a a a a π222202/30)()2(+=p a a π动量的概率分布函数422025302)(8)()(+==p a a p c p πω 3.5一刚性转子转动惯量为I ，它的能量的经典表示式是IL H 22=，L 为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函数： (1) 转子绕一固定轴转动： (2) 转子绕一固定点转动：解：(1)设该固定轴沿Z 轴方向，则转子只有φ角方向的运动自由度，且只有z 方向的角动量，即 22Z L L =则经典哈密顿量为 22Z L H I=哈密顿算符 22222ˆ21ˆϕd d I L I H Z -== 其本征方程为 (t H与ˆ无关，属定态问题)222222()()2()2()d E I d d IEd ϕφϕφφϕφϕφφ-=⇒=-令222 IE m =，则0)()( 222=+ϕφϕϕφm d d 取其解为 ϕϕφim Ae =)( (m 实数，可正可负可为零) 由波函数的单值性，应有ϕπϕϕφπϕφim im e e =⇒=++)2()()2( 即 12=πm i e ∴m= 0，±1，±2，…转子的定态能量为Im E m 222 = (m= 0，±1，±2，…)可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。

除m=0外，能级是二重简并的。

定态波函数为 ϕφim m Ae = A 为归一化常数，由归一化条件ππϕϕφφππ2121 220220*=⇒===⎰⎰A A d Ad mm∴ 转子的归一化波函数为 ϕπφim m e 21=(2)取固定点为坐标原点，则转子可以向任意方向(,)θφ旋转，哈密顿算符为2ˆ21ˆL IH= 其本征方程为),(),(ˆ212ϕθϕθEY Y L I= (式中),(ϕθY 设为Hˆ的本征函数，E 为其本征值) ),(2),(ˆ2ϕθϕθIEY Y L= 令 22 λ=IE ，则有),(),(ˆ22ϕθλϕθY Y L= 此即为角动量2ˆL的本征方程，其本征值为 ) ,2 ,1 ,0( )1(222 =+==λL其波函数为球谐函数ϕθϕθim mm m e P N Y )(cos ),( = (m = 0，±1，±2，…，±l )∴ 转子的定态能量为 2)1(2IE +=能量是分立的，且是)12(+ 重简并的。

#3.7 一维运动粒子的状态是, 0() 0, 0x Axe x x x λψ-⎧≥=⎨<⎩当当其中0>λ，求：(1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的平均动量。

解：(1)先求归一化常数，由 ⎰⎰∞-∞∞-==02222)(1dx e x A dx x xλψ2341A λ=∴2/32λ=A∴3/22, 0() 0, 0x xe x x x λλψ-⎧≥=⎨<⎩当当∴1/23/2()01()()()22ikx ik x c p e x dx xe dx λψλππ∞∞--+-∞==⋅⎰⎰31/2()()021()[]ik x ik x xe e dx ikikλλλπλλ∞∞-+-+=-+++⎰331/2()1/20222121()|()()()ik x e p ik i λλλπλπλ-+∞-==++ ∴动量几率分布函数为222233222232)(12)(12)()(p p p c p +=+==λπλλπλω偶函数 (2) ⎰⎰∞∞---∞∞--==dx e dxd xe i dx x px p xx )(4)(ˆ)(3*λλλψψ ⎰∞∞----=dx e x x i x λλλ23)1(4 ⎰∞∞----=dx e x x i x λλλ223)(4)4141(4223λλλ--= i0= （或者）*ˆ()()()p pp dp p p dp ψψω∞∞-∞-∞==⎰⎰（被积函数）奇函数 3.9.设氢原子处于状态 ),()(23),()(21),,(11211021ϕθϕθϕθψ--=Y r R Y r R r 求氢原子能量、角动量平方，及角动量Z 分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。

解：在此状态中，波函数为哈密顿算符的本征函数，氢原子能量有确定值，为 22222282 s s e n e E μμ-=-= )2(=n波函数为2ˆL算符的本征函数，角动量的平方有确定值为 2222)1( =+=L )1(=波函数为ˆz L 的不同本征函数叠加，角动量Z 分量的可能值为 01=Z L ， -=2Z L其相应的几率分别为 41， 43 其平均值为 4343041-=⨯-⨯=Z L 3.6 设t=0时，粒子的状态为]cos [sin )(212kx kx A x +=ψ 求此时粒子的平均动量和平均动能。

解：]cos )2cos 1([]cos [sin )(2121212kx kx A kx kx A x +-=+=ψ]cos 2cos 1[2kx kx A+-=)]()(1[2212221ikx ikx kx i kx i e e e e A --++--=ππ21][2221212212210⋅++--=--ikx ikx kx i kx i x i e e e e e A 可见，动量n p 的可能值为 k k k k -- 2 2 0动能μ22n p 的可能值为μμμμ2 2 2 2 022222222 k k k k对应的几率n ω应为 π2)1616 16 164(22222⋅A A A A A = π2)81 81 81 81 21(A ⋅上述的A 为归一化常数，可由归一化条件，得ππω222)1644(1222⋅=⋅⨯+==∑A A A nn ∴ π/1=A ∴ 动量p 的平均值为2162162162216202222=⋅⨯-⋅⨯+⋅⨯-⋅⨯+==∑ ππππωA k A k A k A k p p nnn∑==n n n p p T ωμμ22222812281202222⨯⨯+⨯⋅+=μμ k k μ8522 k =3.11. 求第3.6题中粒子位置和动量的测不准关系?)()(22=∆⋅∆p x 解： 0=p 22245 2 k T p ==μ 0]cos 21[sin 222=+=⎰∞∞-dx kx kx x A x∞=+=⎰∞∞-dx kx kx x A x 22222]cos 21[sin∞=-=-=∆⋅∆)()()()(222222p p x x p x#3.13利用测不准关系估计氢原子的基态能量。