最短路径模型

最短路径问题数学模型
最短路径问题是指在一个给定的图中，求出两个顶点之间的最短路径的问题。

在实际生活中，这类问题很常见，比如我们要从一个城市到另一个城市，就需要找到最短的路线。

这个问题可以用数学模型来描述。

首先，我们可以把这个问题抽象成一个图论问题，其中图的顶点表示城市，边表示两个城市之间的道路。

每条边都有一个权值表示道路的长度。

假设我们要求从顶点s到顶点t的最短路径，我们可以用一个数组d来记录s到各个顶点的最短距离，初始化为无穷大。

然后，我们可以使用一种叫做Dijkstra算法的算法来求解这个问题。

具体的过程是：
1. 初始化d[s]=0，d[v]=无穷大（v≠s）。

2. 从未标记的节点中选择标号最小的节点v，对v进行标记。

3. 更新所有v的出边相邻节点的距离，具体为：若d[v]+v到该节点的距离< d[该节点]，则更新d[该节点]为d[v]+v到该节点的距离。

4. 重复步骤2和3，直到所有节点都被标记。

5. d[t]即为s到t的最短距离。

这个算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n是节点数。

当然，还有更快的算法，比如Floyd算法，但是它的时间复杂度更高，达到了O(n^3)。

总之，最短路径问题是一个经典的数学问题，可以用图论和算法
来描述和求解。

熟练掌握这个问题对于计算机科学专业的学生来说非常重要。

√ （ ７ ３ ＋ ０ ７ ｐ ） ＋
） ７ ｐ ＇ — （ ７ — ３ ＋０ — ２ ２ ７ ）＋ — （ １ ８ 一 ８ ｐ－６ ０ ）
： 、 ６ ２ ９ ２ ９ ｐ （ ９ １ ２ ６ ２ ＋３ ５ ４ ｐ ） （ Ｉ １ ０ ２ ５ ８ ｐ（ ７ ０ ８ ｐ ５ １ ４ ７ ６ ¨
使 之更 好 地 服务 油 田开 发项 目 ， 重 点关 心油 井 挤注 防 垢。油 田 进 入 中后 期 开发 后 ， 含 水 率 不断 升 高 ， 各种 结垢 问题 也将 日益 严重 ， 井 下挤 注 防垢 技术 的应 用 势在 必 行 ， 科 学合 理地 应用 油
井 挤注 防垢 技术 ， 做 好应 尽 的准 备 工作 ， 将 会 大 大提 高我 国油
所以： 最短 时 间路径为
ｍ ｉ ｎ ＝ 喜 厶，
用此模 型就 可 以对起 点到 目标 点之 间的路 径进行 优化 求解 。

４ ３ 给定场 景下 最短 路径模 型求 解
应 用 “拉 线 原 理 ” ， 计 算 各 个 路 线 的 最 短 路 径 相 互 比 较 可 得 最 优 行 走 路 线 以 及 最 短 路 径 。 知 ｏ （ ｏ ， ０ ） Ａ （ ３ ０ ０ ， ３ ０ ０ ）的 最 优 行 走 路 线 为 Ｏ Ａ Ａ ，最
ｏ （ ｏ ， ０ ） － － － ） Ａ （ ３ ０ ０ ， ３ ０ ０ ） Ｂ ００ ０ ， ７ ０ ０ ） Ｃ（ ７ ０ ０ ， ６ ４ ０ ） 的最优 行走 路
线为 Ｄ一 ５ 一 一 ７ 一 Ｄ８ 一 一 一 ９ 一 ９一 Ａ１ ０ 一Ｂ ｔ ０ 一Ｃ 一０ ， 最 短路径 Ｌ＝３ ０ ４ ２ ． ８ ０ ２ ２。
验 及应 用 。
模型缺陷 ： 在 障碍 物 较 多 时 ， 且形 状 不规 则 时 ， 模型 需 要 ０ 一 Ａ的最短路 径 ｏ （ ｏ ， ０ ） Ｃ （ ７ ０ ０ ， ６ ４ ０ ） 的 最 ０一 Ｂ的最 短路 径 优 行 走 路 线 为 参 考 文献 ［ １ ］ 机 器人 行走 问题． ｈ ｔ ｔ ｐ ： ／ ／ ｗ ｅ ｎ ｋ ｕ ． ｂ ａ ｉ ｄ ｕ ． ｃ ｏ ｍ ／

最短路径模型一一旋转最值类当点P是O O外一点，直线PO分别交O O于点A、B两点，则线段PA的长是点P 到O O的最短距离，线段PB的长是点P至U O O上的点的最长距离•当点P是O O内一点，直线PO分别交O O于点A、B，则线段PA的长是点P到O O 上的点的最短距离，线段PB的是点P到O O 上的点的最长距离•总结：用旋转思想解决线段最值问题的本质是利用三角形三边关系解决问题•特点：旋转类最值一般涉及到平面上一定点到圆上一动点的最大值（或最小值），属于单动点问题，有时动点的运动路径圆（或圆弧）并不直接给出，此时需要根据条件把“隐圆”勾画出来，具体来说“隐圆”一般有如下呈现方式：①定点定长：② 定弦定角•的动点，将△ EBF沿EF所在直线折叠得到△ EB' F,连结B'D,则B'D的最小值是（）【典例2】如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE= DF，连接CF交BD于点G,连结BE交AG于点H，若正方形的边长是2,则线段DH长度的最小值是_____ . ___A . 2 .10-2 B. 6 D. 4C. 2.13-2【针对训练】1.如图，在△ ABC 中，/ ACB = 90° AC = 2, BC = 1，点A , C 分别在x 轴，y 轴上，当点 A 在x 轴正半轴上运动时，点 C 随之在y 轴上运动，在运动过程中，点B相切，点P 、Q 分别是边BC 和半圆上的运点，连接PQ ,则PQ 长的最大值与最小值的和是（4.如图，AC = 3, BC = 5,且/ BAC = 90 ° D 为 AC 上一动点，以 交圆于E 点，连CE ,则CE 的最小值为（ ）.6. 如图，△ ABC >△ EFG 是边长为2的等边三角形，点 D 是边BC 、EF 的中点，直线 AG 、 FG 相交于点M ，当△ EFG 绕点D 旋转时，线段BM 长的最小值是C. -2到原点0的最大c . 1 22. 如图，在矩形 ABCD 段CE 的最小值为（A . 323. 如图，在△ ABC 中，中，AB = 4, BC = 6, E 是矩形内部的一个动点，且 ）.B. 2 .10-2C. 2.13-2AE 丄BE ,则线D. 4AB = 10, AC = 8, BC = 6,以边AB 的中点 O 为圆心，作半圆与 AC A. 13 2B. .132C. 55.如图，已知正方形 ABCD 的边长为2, E 是BC 边上的动点, 足为G ,连结CG ,贝U CG 的最小值为（ ）.16 D.—9 BF 丄AE 交CD 于点F ，垂AD 为直径作圆，连接 BDD.3 16 1A .B .B7. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，/ A = 60° M是AD边的中点，N是AB边上一动&如图，△ ABC为等边三角形，AB=2,若点P ABC内一动点，且满足/ PAB= / ACP ,则线段PB长度的最小值为 ________________ 9.如图，在正方形ABCD中，0是对角线AC与BD的交点，M是BC边上的动点（点M不与B, C重合），CN丄DM , CN与AB交于点N,连接0M , ON , MN .下列五个结论：①△ CNB ◎△ DMC :②厶CON◎△ DOM ;③厶OMN OAD :④AN2+CM2=MN2;⑤若AB=2,1则S A OMN的最小值是一，其中正确结论的个数是（）2R C门八A . 2 B. 3 C. 4 D. 510.如图，Rt A ABC 中，AB丄BC, AB=6 , BC=4, P是厶ABC内部的一个动点，且满足 / PAB=Z PBC，则线段CP长的最小值为（）12- 1313 1311.二次函数y 2（x 1）5，当m W x< n且mn v 0时，y的最小值为2m,最大值为2n,则m+n的值为（）A . 5B . 22 C.△12.如图，已知直线 y -X 3与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，P 是以C （0,1 ）为圆心,417,P 是AB 上一点，BP=3, Q 是CD 边上一动点,将梯形APQD 沿直线PQ 折叠，A 的对应点 A 当CA '的长度最小时, CQ 的长为（ 13 D . 2 14•将形状、大小完全相同的两个等腰三角形如图所示放置，点 C . 8 D 在AB 边上，△ DEF 绕点 D 旋转，腰 DF 和底边DE 分别交△ CAB 的两腰CA , CB 于M , N 两点，若 CA=5, AB=6, 12 — 的最小值为 MA DN 15.如图，在直角坐标系中，O A 的圆心A 的坐标为（-1, 0） ，半径为1,点P 为直线 过点P 作O A 的切线，切点为Q ,则切线长PQ 的最小值是则厶PAB 面积的最大值是（PB . 213.如图，菱形 ABCD 的边 AB=8, / B=60°16. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=2, AD=3，点E是AB的中点，点F是AD边上的一个动点，将△ AEF沿EF所在直线翻折，得到△ A' EF，则A' C的长的最小值是_____________ .17. _________________________________________________ 如图所示，已知点C （1, 0），直线y=-x+7与两坐标轴分别交于A, B两点，D, E分别是AB, OA上的动点，则△ CDE周长的最小值是_________________________________________________ .18. 如图，△ APB中，AB=2, / APB=90°,在AB的同侧作正△ ABD、正厶APE和正△ BPC,则四边形PCDE面积的最大值是 ________ .19. _____________________________________________________________ 如图，边长为4的正方形ABCD内接于点0,点E是A B上的一动点（不与A、B重合），点F是BC上的一点，连接0E、OF，分别与AB、BC交于点G, H，且/ EOF =90 °,有以下结论：① A E B F:②厶OGH 是等腰三角形；③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化：④厶GBH周长的最小值为4 2 .其中正确的是________________________________________________________ （把你认为正确结论的序号都填上）.nc20. 如图，等腰△ ABC 中，CA=CB=4,/ ACB=120。

（最短路径四种常见模型）【学习目标】 1．掌握如何求长（正）方体中的最短路径2．掌握如何求圆柱中的最短路径3．掌握如何求阶梯的最短路径4. 掌握如何求U 型滑道的最短路径【典型例题】类型一、长（正）方体中的最短路径【例1】如图，一长方体木块长6AB =，宽5BC =，高1BB 2=， 一直蚂蚁从木块点A 处，沿木块表面爬行到点1C 位置最短路径的长度为（ ）举一反三：【变式1】如图，正方体的棱长为2cm ，点B 为一条棱的中点.蚂蚁在正方体表面爬行，从点A 爬到点B 的最短路程是（ ）A ．√10cmB ．4cmC ．√17cmD ．5cm【变式2】如图，在墙角处放着一个长方体木柜（木柜与墙面和地面均没有缝腺），一只蚂蚁从柜角A 处沿着木柜表面爬到柜角C 1处．若AB =3，BC =4，CC 1=5，则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）A ．√74B ．3√10C ．√89D ．12【变式3】棱长分别为5cm ，3cm 两个正方体如图放置，点P 在E 1F 1上，且E 1P =13E 1F 1，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点P ，需要爬行的最短距离是 ．【变式4】如图，两个一样的长方体礼品盒，其底面是边长为15cm 的正方形，高为20cm ；现有彩带若干（足够用），数学组的小明和小刚分别采用自己喜欢的方式用彩带装饰两个礼品盒（假设彩带完美贴合长方体礼品盒）.(1)如图1，小明从底面点A开始均匀缠绕长方体侧面，刚好缠绕2周到达点B，求所用彩带的长度；(2)如图2，小刚沿着长方体的表面从点C缠绕到点D，点D与点E的距离是5cm，请问小刚所需要的彩带最短是多少？（注：以上两问均要求画出平面展开示意图，再解答）类型二、圆柱中的最短距离【例2】如图，已知圆柱底面的周长为6，圆柱高为3，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）A．4√3B．2√3C．3√5D．6√2举一反三：【变式1】如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的B点，已知知圆柱底面周长是3m，高为16m，则所需彩带最短是（）m．A．8 B．5 C．20 D．10【变式2】如图，圆柱形玻璃杯高为7cm，底面周长为20cm在杯内壁离杯底2cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（）（杯壁厚度不计）【变式3】如图，已知线段BC是圆柱底面的直径，圆柱底面的周长为10，圆柱的高12AB=，在圆柱的侧面上，过点A、C两点嵌有一圈长度最短的金属丝．(1)见将圆柱侧面沿的开，所得的圆针侧面展开图是___________．(2)求该金属丝的长．【变式4】如图1，一只蚂蚁要从圆柱的下底面的点A爬到上底面的点B处，求它爬行的最短距离. 已知圆柱底面半径为R，高度为h.小明同学在研究这个问题时，提出了两种可供选择的方案，方案1：沿A→C→B爬行；方案2：沿圆柱侧面展开图的线段AB爬行，如图2.（π取3）(1)当1h=时，哪种方式的爬行距离更近？R=，4(2)当1h=时，哪种方式的爬行距离更近？R=，1(3)当R与h满足什么条件时，两种方式的爬行距离同样远？类型三、阶梯的最短距离【例3】某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯．已知楼梯总高度5米，楼梯长13米，主楼道宽2米；这种红色地毯的售价为每平方米30元，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要元．举一反三：【变式1】如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别是4米、0.7米、0.3米，A、B是这个台阶上两个相对的顶点，A点处有一只蚂蚁，它想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是米．【变式2】如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1,A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（）A．18B．15C．12D．8【变式3】如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90cm，25cm和15cm的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点．在A点处有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？【变式4】如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米．(1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？(2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C 处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？类型四、U型池的最短距离【例4】如图，这是一个供滑板爱好者使用的U形池，该U形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为12m的半圆，其边缘AB=CD=20m（边缘的宽度忽略不计），点E在CD上，CE=4m.一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为（）A．28m B．24m C．20m D．18m举一反三：【变式1】如图，是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为10 m的半圆，其边缘AB＝CD＝30 m. 小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离为__________ m．(π取3)【变式2】如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为32m的半圆，其边缘AB＝CD＝15m，点E在CD上，CE＝3m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为_____m．（边缘部分的厚度忽略不计）。