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毕业论文文献综述数学与应用数学矩阵特征值、特征向量的研究一、前言部分数学作为一种研究问题的工具，大部分同学并未真正感受到它的实用价值，往往低估了数学对于学习知识及其解决问题的重要作用，或不会灵活运用数学这一工具去理解、解决问题．许多理论、规律、计算等若能灵活而有效地借助数学方法去剖析、推演，往往会有意外的收获[]1。
矩阵就是数学中的一小部分，英文名Matrix（SAMND矩阵）本意是子宫、控制中心的母体、孕育生命的地方，同时，在数学名词中，矩阵用来表示统计数据等方面的各种有关联的数据。
这个定义很好地解释了Matrix代码制造世界的数学逻辑基础。
在科学技术和工程应用中，矩阵理论的重要性和应用的广泛性是众所周知的，尤其是有了矩阵特征值、特征向量的各种求解及计算机的广泛使用和MATLAB等数学计算软件的迅猛普及为矩阵提供了更为广阔的发展和应用前景。
矩阵特征值、特征向量运用非常的广泛，在很多方面都有涉及。
本文将先从各种矩阵的特征值、特征向量求解方法和矩阵历史入手，从几个方面综述矩阵特征值、特征向量的应用[]2。
那什么是矩阵特征值、特征向量呢？定义：设A是N阶矩阵，如果数X和N维非零列向量x，使关系式Ax=Xx成立，那么，这样的数X就称为方阵A的特征值，非零向量x称为A的对应于特征值X的特征向量。
求特征值描述正方形矩阵的特征值的重要工具是特征多项式：说λ是A的特征值等价于λ) v = 0 (其中I是恒等矩阵)有非零解 (一个特征向量)，因说线性系统 (A –iλ)=0。
此等价于行列式 det(A –i第一：运用MATLAB求解矩阵特征值、特征向量。
首先，我用下面的例子，来引导我们认识MATLAB在求解矩阵特征值、特征向量上的运用。
例1：对亏损矩阵进行 Jordan 分解[]5。
A=gallery(5) %MATLAB 设置的特殊矩阵，它具有五重特征值。
[VJ,DJ]=jordan(A); % 求出准确的特征值，使 A*VJ=VJ*D 成立。
自学MATLAB（四）特征值与特征向量特征值与特征向量在线性代数中占据着重要的地位，也是MATLAB中常用的计算工具。
特征值和特征向量能够帮助我们理解矩阵的性质以及解决许多实际问题。
特征值和特征向量的概念可以通过以下方式来理解：对于一个n维矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax与x平行，即Ax=λx，其中λ是一个实数，则称λ为矩阵A的特征值，x为矩阵A对应于特征值λ的特征向量。
在MATLAB中，我们可以使用“eig”函数来计算一个矩阵的特征值和特征向量。
下面是一个简单的例子：```matlabA=[42;13];[V, D] = eig(A)```上述代码中，我们定义了一个2x2的矩阵A，然后使用“eig”函数来计算矩阵A的特征值和特征向量。
函数返回的结果V是一个包含特征向量的矩阵，D是一个对角矩阵，对角线上的元素就是矩阵A的特征值。
除了使用“eig”函数，MATLAB还提供了其他一些函数来进行特征值和特征向量的计算，比如“eigs”函数可以用来计算稀疏矩阵的特征值和特征向量。
```matlabdata = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];[coeff, score, latent, explained] = pca(data);```上述代码中，我们定义了一个3x3的矩阵data，然后使用“pca”函数对data进行降维操作。
函数返回的结果coeff是一个包含特征向量的矩阵，score是降维后的数据，latent是降维后的数据的特征值，explained是解释每个主成分方差的百分比。
除了PCA，特征值和特征向量还可以应用于图像处理、信号处理、机器学习等领域。
比如在图像处理中，特征向量可以表示图像的主要特征，特征值可以用来度量特征的重要性。
总结来说，特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，也是MATLAB中常用的计算工具。
MATLAB提供了丰富的函数来进行特征值和特征向量的计算，并且特征值和特征向量在实际问题中有着广泛的应用。
matlab中求矩阵A的特征向量,matlab层次分析法求特征值及特征向量.doc层次分析法题⽬：⽤⽅根法求解矩阵A=的最⼤特征值及其对应的特征向量并将特征向量归⼀化，对A进⾏⼀致性检验。
实验平台：MATLAB R2007a问题描述：⽤⽅根法求解矩阵A的最⼤特征值及其特征向量并将特征向量归⼀化，对A进⾏⼀致性检验。
实验步骤：计算判断矩阵每⾏所有元素的⼏何平均值： ，得到。
即=(2)归⼀化，即计算 ， 得到，即为所求特征向量的近似值，这也是各因素的相对权重。
即为所求特征向量的近似值，这也是各因素的相对权重。
(3)计算判断矩阵的最⼤特征值MAX，其中是的第i个元素。
然后将⾏列式D和E中的对应元素相除，即：所以最⼤特征值为：(4)计算判断矩阵⼀致性指标，检验其⼀致性。
求矩阵A的秩，令A的秩为N所以矩阵的秩为5,N为矩阵A的秩。
在求出检验判断矩阵的⼀致性指标CI，即：实验结果分析：(1)矩阵A的特征向量为C=(2)最⼤特征值：MAX=6.3466；(3)⼀致性检验结果:由MAX=6.3466，CI=0.3006≠0，所以不完全⼀致；⼜因为CI=0.3006＞0.1，所以矩阵的⼀致性不可接受。
(4)重要代码解释：>> format rat %分数格式>> prod(A) %对向量中各元素求积>> format short %短格式>> sum(B) %对向量求和(5)求特征值和特征向量还可以⽤eig(A)来计算，⽤MATLAB运⾏结果如下：总结在做题过程中发现⽤⽅根法和eig(A)算得的特征值和最⼤特征值稍有不同，通过做题我们已经对AHP法中的⽅根法有了更多的理解，同时也对数学实验中的MATLAB的进⾏了再次运⽤，意识到MATLAB应⽤软件的重要性。
在此次作业过程中我们也表现出了合作精神。
在以后的学习过程中我们会更加努⼒，更加勤奋。
7.参考⽂献：张学敏，倪虹霞. MATLAB基础及应⽤[M].北京：中国电⼒出版社，2009.附件1(注：此处为所有的源代码)。
项目六 矩阵的特征值与特征向量实验1 求矩阵的特征值与特征向量实验目的学习利用Mathematica(4.0以上版本)命令求方阵的特征值和特征向量;能利用软件计算方 阵的特征值和特征向量及求二次型的标准形.基本命令1.求方阵M 的特征值的命令Eigenvalues[M]2.求方阵M 的特征向量的命令Eigenvectors[M]3.求方阵M 的特征值和特征向量的命令Eigensystem[M]注:在使用后面两个命令时,如果输出中含有零向量,则输出中的非零向量才是真正的特 征向量.4.对向量组施行正交单位化的命令GramSchmidt使用这个命令,先要调用“线性代数.向量组正交化”软件包,输入<<LinearAlgebra\Orthogonalization.m执行后,才能对向量组施行正交单位化的命令.命令GramSchmidt[A]给出与矩阵A 的行向量组等价的且已正交化的单位向量组. 5.求方阵A 的相似变换矩阵S 和相似变换的约当标准型J 的命令 JordanDecomposition[A]注:因为实对称阵的相似变换的标准型必是对角阵. 所以,如果A 为实对称阵,则 JordanDecomposition[A]同时给出A 的相似变换矩阵S 和A 的相似对角矩阵Λ.实验举例求方阵的特征值与特征向量.例1.1 求矩阵.031121201⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=A 的特征值与特值向量.1.求矩阵A 的特征值. 输入A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}}MatrixForm[A] Eigenvalues[A]则输出A 的特征值{-1,1,1}2.求矩阵A 的特征向量. 输入A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}} MatrixForm[A] Eigenvectors[A]则输出 {{-3,1,0},{1,0,1},{0,0,0}} 即A 的特征向量为.101,013⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3.利用命令Eigensystem 同时矩阵A 的所有特征值与特征向量. 输入A={{-1,0,2},{1,2,-1},{1,3,0}} MatrixForm[A] Eigensystem[A]则输出矩阵A 的特征值及其对应的特征向量.例1.2 求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=2163/115/12/13/13/1A 的特征值和特征向量的近似值.输入A={{1/3,1/3,-1/2},{1/5,1,-1/3},{6,1,-2}}; Eigensystem[A]则屏幕输出的结果很复杂,原因是矩阵A 的特征值中有复数且其精确解太复杂.此时,可采用 近似形式输入矩阵A ,则输出结果也采用近似形式来表达.输入A={{1/3,1/3,-1/2},{1/5,1,-1/3},{6.0,1,-2}}; Eigensystem[A]则输出{{-0.748989+1.27186i,-0.748989-1.27186i,0.831311}, {{0.179905+0.192168i,0.116133+0.062477I,0.955675+0.i}, {0.179905-0.192168i,0.116133-0.062477i,0.955675+0.i}, {-0.0872248,-0.866789,-0.490987}}}从中可以看到A 有两个复特征值与一个实特征值.属于复特征值的特征向量也是复的;属于实 特征值的特征向量是实的.例1.3 已知2是方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=32131003t A 的特征值,求t .输入Clear[A,q];A={{2-3,0,0},{-1,2-t,-3},{-1,-2,2-3}}; q=Det[A] Solve[q==0,t]则输出{{t →8}}即当8=t 时,2是方阵A 的特征值.例1.4 已知)1,1,1(-=x 是方阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=2135212b aA 的一个特征向量,求参数b a ,及特征向 量x 所属的特征值. 设所求特征值为t ,输入Clear[A,B,v,a,b,t];A={{t-2,1,-2},{-5,t-a,-3},{1,-b,t+2}}; v={1,1,-1}; B=A.v;Solve[{B[[1]]==0,B[[2]]==0,B[[3]]==0},{a,b,t}]则输出{{a →-3, b →0, t →-1}}即0,3=-=b a 时,向量)1,1,1(-=x 是方阵A 的属于特征值-1和特征向量.矩阵的相似变换例1.5 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=222222114A ,求一可逆矩阵P ,使AP P 1-为对角矩阵.方法1 输入Clear[A,P];A={{4,1,1},{2,2,2},{2,2,2}}; Eigenvalues[A]P=Eigenvectors[A]//Transpose则输出{0,2,6}{{0,-1,1},{-1,1,1},{1,1,1}}即矩阵A 的特征值为0,2,6.特征向量为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-110,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111,矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111110P . 可验证AP P 1-为对角阵, 事实上,输入 Inverse[P].A.P则输出{{0,0,0},{0,2,0},{0,0,6}}因此,矩阵A 在相似变换矩阵P 的作用下,可化作对角阵.方法2 直接使用JordanDecomposition 命令, 输入jor=JordanDecomposition[A]则输出{{{0,-1,1},{-1,1,1},{1,1,1}},{{0,0,0},{0,2,0},{0,0,6}}}可取出第一个矩阵S 和第二个矩阵Λ,事实上,输入jor[[1]] jor[[2]]则输出{{0,-1,1},{-1,1,1},{1,1,1}} {{0,0,0},{0,2,0},{0,0,6}}输出结果与方法1的得到的结果完全相同.例1.6 已知方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=11322002x A 与⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=y B 00020001相似, 求y x ,.注意矩阵B 是对角矩阵,特征值是y ,2,1-.又矩阵A 是分块下三角矩阵,-2是矩阵A 的特 征值.矩阵A 与B 相似,则2-=y ,且-1,2也是矩阵A 的特征值.输入Clear[c,v];v={{4,0,0},{-2,2-x,-2},{-3,-1,1}}; Solve[Det[v]==0,x]则输出{{x →0}}所以,在题设条件,0=x ,2-=y . 例1.7 已知二次型3231212322213212422),,(x x x x x x x x x x x x f +-++-=(1)求标准形; (2)求正惯性指数; (3)判断二次型是否正定. 输入A={{1,1,-2},{1,-2,1},{-2,1,1}}Eigenvalues[A]则输出矩阵A 的特征值为{-3,0,3}所以二次型的标准形为222133y y f +=;正惯性指数为1;该二次型不是正定的. 例1.8 求正交变换将二次型43324121242322213212222),,(x x x x x x x x x x x x x x x f -+-++++=化为标准形.输入A={{1,1,0,-1},{1,1,1,0},{0,1,1,-1},{-1,0,-1,1}} MatrixForm[A] X={x1,x2,x3,x4}; Expand[X.A.X]<<LinearAlgebra\Orthogonalization.m P=GramSchmidt[Eigenvectors[A]] P.A.Inverse[P]//MatrixForm则输出所求的正交变换矩阵P 与二次型矩阵A 标准形. 从结果知,所求二次型的标准型为24232221y y y y g +++-=实验习题1.求方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=122212221A 的特征值与特征向量.2.求方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=1111111111111111A 的特征值与特征向量.3.已知:0是方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛t 01020101的特征值,求t .4.设向量Tk x )1,,1(=是方阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=211121112A 的特征向量,求k .5.方阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=111010210A 是否与对角阵相似?6.已知:方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x A 10100002与⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=10000002y B 相似,(1)求x 与y ;(2)求一个满足关系B AP P =-1的方阵P .7.设方阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=124222421A ,求正交阵C ,使得AC C B T =是对角阵.实验2 层次分析法实验目的通过应用层次分析法解决一个实际问题,学习层次分析法的基本原理与方法;掌握用层次 分析法建立数学模型的基本步骤;学会用Mathematica 解决层次分析法中的数学问题.基本原理层次分析法是系统分析的重要工具之一,其基本思想是把问题层次化、数量化, 并用数学 方法为分析、决策、预报或控制提供定量依据. 它特别适用于难以完全量化, 又相互关联、 相互制约的众多因素构成的复杂问题. 它把人的思维过程层次化、数量化,是系统分析的一中 新型的数学方法.运用层次分析法建立数学模型, 一般可按如下四个基本步骤进行.1.建立层次结构首先对所面临的问题要掌握足够的信息, 搞清楚问题的范围、因素、各因素之间的相互 关系,及所要解决问题的目标. 把问题条理化、层次化, 构造出一个有层次的结构模型. 在这个模型下,复杂问题被分解为元素的组成部分. 这些元素又按其属性及关系形成若干层次.层 次结构一般分三层:第一层为最高层, 它是分析问题的预定目标和结果, 也称目标层;第二层为中间层, 它是为了实现目标所涉及的中间环节, 如: 准则、子准则, 也称准则 层;第三层为最底层, 它包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等, 也称方案层.（章栋恩P268图26.1）图2-1注:上述层次结构具有以下特点:(1) 从上到下顺序地存在支配关系, 并用直线段表示;(2) 整个层次结构中层次数不受限制.2.构造判断矩阵构造判断矩阵是建立层次分析模型的关键. 假定以上一层的某元素y 为准则,它所支配 的下一层次的元素为n x x x ,,,21 ,这n 个元素对上一层次的元素y 有影响,要确定它们在y 中的比重. 采用成对比较法. 即每次取两个元素i x 和j x , 用ij a 表示i x 与j x 对y 的影响之比, 全部比较的结果可用矩阵A 表示,即.,,2,1,,)(n j i a A n n ij ==⨯ 称矩阵A 为判断矩阵.根据上述定义,易见判断矩阵的元素ij a 满足下列性质:)(,1),(1j i a j i a a ii ijji ==≠=当0>ij a 时,我们称判断矩阵A 为正互反矩阵.怎样确定判断矩阵A 的元素ij a 的取值呢? 当某层的元素n x x x ,,,21 对于上一层某元素y 的影响可直接定量表示时, i x 与j x 对y的影响之比可以直接确定, ij a 的值也可直接确定. 但对于大多数社会经济问题, 特别是比较 复杂的问题, 元素i x 与j x 对y 的重要性不容易直接获得, 需要通过适当的量化方法来解决. 通常取数字1~9及其倒数作为ij a 的取值范围. 这是因为在进行定性的成对比较时, 通常采用 5级制(表1),在每两个等级之间各有一个中间状态, 共1~9个尺度, 另外心理学家认为进行成 对比较的因素太多, 将超出人们的判断比较能力, 降低精确. 实践证明, 成对比较的尺度以 27±为宜, 故ij a 的取值范围是9,,2,1 及其倒数.表1 比较尺度ij a 的取值 97531/ijj i a x x 绝对强很强强较强相等3.计算层次单排序并做一致性检验层次单排序是指同一层次各个元素对于上一层次中的某个元素的相对重要性进行排序.具体做法是: 根据同一层n 个元素n x x x ,,,21 对上一层某元素y 的判断矩阵A ,求出它们对 于元素y 的相对排序权重,记为n w w w ,,,21 ,写成向量形式T n w w w w ),,,(21 =, 称其为A 的层次单排序权重向量, 其中i w 表示第i 个元素对上一层中某元素y 所占的比重, 从而得到层次单排序.层次单排序权重向量有几种求解方法,常用的方法是利用判断矩阵A 的特征值与特征向 量来计算排序权重向量w .关于正互反矩阵A ,我们不加证明地给出下列结果. (1) 如果一个正互反矩阵n n ij a A ⨯=)(满足),,2,1,,(n k j i a a a ik jk ij ==⨯则称矩阵A 具有一致性, 称元素k j i x x x ,,的成对比较是一致的; 并且称A 为一致矩阵.(2) n 阶正互反矩阵A 的最大特征根n ≥max λ, 当n =λ时, A 是一致的. (3) n 阶正互反矩阵是一致矩阵的充分必要条件是最大特征值 n =max λ.计算排序权重向量的方法和步骤设T n w ),,,(21ωωω =是n 阶判断矩阵的排序权重向量, 当A 为一致矩阵时, 根据n阶判断矩阵构成的定义,有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n n n n n A ωωωωωωωωωωωωωωωωωω212221212111 (2.1) 因而满足,nw Aw = 这里n 是矩阵A 的最大特征根, w 是相应的特征向量; 当A 为一般的 判断矩阵时w Aw max λ=, 其中max λ是A 的最大特征值(也称主特征根), w 是相应的特征向量(也称主特征向量). 经归一化(即11=∑=ni iω)后, 可近似作为排序权重向量, 这种方法称为特征根法.一致性检验 在构造判断矩阵时, 我们并没有要求判断矩阵具有一致性, 这是由客观事物的复杂性 与人的认识的多样性所决定的. 特别是在规模大、因素多的情况下, 对于判断矩阵的每个元 素来说,不可能求出精确的j i ωω/, 但要求判断矩阵大体上应该是一致的. 一个经不起推敲 的判断矩阵有可能导致决策的失误. 利用上述方法计算排序权重向量, 当判断矩阵过于偏离 一致性时, 其可靠性也有问题. 因此,需要对判断矩阵的一致性进行检验, 检验可按如下步骤 进行: (1) 计算一致性指标CI1m a x --=n nCI λ (2.2)当,0=CI 即n =max λ时, 判断矩阵A 是一致的. 当CI 的值越大, 判断矩阵A 的不一致的程 度就越严重.(2) 查找相应的平均随机一致性指标RI 表2给出了n )11~1(阶正互反矩阵的平均随机一致性指标RI , 其中数据采用了 100~150个随机样本矩阵A 计算得到.(3) 计算一致性比例CRRICI CR =(2.3) 当10.0<C R 时, 认为判断矩阵的一致性是可以接受的; 否则应对判断矩阵作适当修正.4. 计算层次总排序权重并做一致性检验 计算出某层元素对其上一层中某元素的排序权重向量后, 还需要得到各层元素, 特别 是最底层中各方案对于目标层的排序权重, 即层次总排序权重向量, 再进行方案选择. 层次 总排序权重通过自上而下地将层次单排序的权重进行合成而得到. 考虑3个层次的决策问题: 第一层只有1个元素, 第二层有n 个元素, 第三层有m 个元 素.设第二层对第一层的层次单排序的权重向量为Tn w ),,,()2()2(2)2(1)2(ωωω =第三层对第二层的层次单排序的权重向量为n k w w w w Tkn k k k ,,2,1,),,,()3()3(2)3(1)3( ==以)3(k w 为列向量构成矩阵:n m nm m mn n n w w w w w w w w w w w w W ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==)3()3(2)3(1)3(2)3(22)3(12)3(1)3(21)3(11)3()3(2)3(1)3(,,,,,,,,,,,),,,( (2.4) 则第三层对第一层的层次总排序权重向量为)2()3()3(w W w = (2.5) 一般地, 若层次模型共有s 层, 则第k 层对第一层的总排序权重向量为s k w W w k k k ,,4,3,)1()()( ==-(2.6) 其中)(k W 是以第k 层对第1-k 层的排序权向量为列向量组成的矩阵,)1(-k w 是第1-k 层对第 一层的总排序权重向量. 按照上述递推公式, 可得到最下层(第s 层)对第一层的总排序权重 向量为)2()3()1()()(w W W W w s s s -= (2.7)对层次总排序权重向量也要进行一致性检验. 具体方法是从最高层到最低层逐层进行 检验. 如果所考虑的层次分析模型共有s 层. 设第l (s l ≤≤3)层的一致性指标与随机一致性指标分别为)()(2)(1,,,l n l l CI CI CI (n 是第1-l 层元素的数目)与)()(2)(1,,,l n l l RI RI RI , 令)1()(1)(1)(],,[-=l l l l w CI CI CI (2.8) )1()(1)(1)(],,[-=l l l l w RI RI RI(2.9)则第l 层对第一层的总排序权向量的一致性比率为s l RICI CR CR l l l l ,,4,3,)()()1()( =+=-(2.10) 其中)2(CR 为由(2.3)式计算的第二层对第一层的排序权重向量的一致性比率.当最下层对第一层的总排序权重向量的一致性比率1.0)(<s CR 时, 就认为整个层次结构 的比较判断可通过一致性检验.应用举例问题 在选购电脑时, 人们希望花最少的钱买到最理想的电脑. 试通过层次分析法建立 数学模型,并以此确定欲选购的电脑.1. 建立选购电脑的层次结构模型（章栋恩P268图26.2 左边加目标层、准则层、方案层字样）图2-2该层次结构模型共有三层:目标层(用符号z 表示最终的选择目标); 准则层(分别用符号 521,,,y y y 表示“性能”、“价格”、“质量”、“外观”、“售后服务”五个判断准则); 方案层(分别用符号321,,x x x 表示品牌1, 品牌2, 品牌3三种选择方案).2.构造成对比较判断矩阵(1) 建立准则层对目标层的成对比较判断矩阵根据表1的定量化尺度, 从建模者的个人观点出发, 设准则层对目标层的成对比较判断矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=13123/13/113/12/19/113123/12/122/115/139351A(2.11) (2) 建立方案层对准则层的成对比较判断矩阵,113/1113/1331,123/12/115/13511252/1135/13/11,12/15/1213/1531,1252/1135/13/1154321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=B B B B B3.计算层次单排序权重向量并做一致性检验先利用Mathematica 计算矩阵A 的最大特征值及特征值所对应的特征向量. 输入<<Miscellaneous\RealOnly.m(*调用只求实数运算的软件包*)A={{1.0,5,3,9,3},{1/5,1,1/2,2,1/2},{1/3,2,1,3,1},{1/9,1/2,1/3,1,1/3},{1/3,2,1,3,1}};(*以小数形式1.0输入进行近似计算, 可避免精确解太长、太复杂*) T=Eigensystem[A]//Chop(*输入//Chop, 把与零非常接近的数换成零*)则输出{{5.00974,Nonreal,Nonreal,0,0},{{0.88126,0.167913,0.304926,0.0960557,0.304926}, {0.742882,Nonreal,Nonreal,Nonreal,Nonreal}, {0.742882,Nonreal,Nonreal,Nonreal,Nonreal}, {-0.993398,0,0.0673976,0.0662265,0.0650555}, {-0.65676,0,0.57431,0.043784,-0.486742}}} (输出中的Nonreal 表示复数)从中得到A 的最大特征值,00974.5max =λ及其对应的特征向量T x )304926.0,0960557.0,304926.0,167913.0,88126.0(=输入Clear[x]; x=T[[2,1]];ww2=x/Apply[Plus,x]则得到归一化后的特征向量T w )173739.0,0547301.0,173739.0,0956728.0,502119.0()2(= 计算一致性指标1max --=n nCI λ,其中,00974.5,5max ==λn 故.002435.0=C I 查表得到相应的随机一致性指标 12.1=RI 从而得到一致性比率002174.0)2(==RICICR 因,1.0)2(<CR 通过了一致性检验,即认为A 的一致性程度在容许的范围之内, 可以用归一 化后的特征向量)2(w 作为排序权重向量. 下面再求矩阵)5,,2,1( =j B j 的最大特征值及特征值所对应的特征向量, 输入B1=B3={{1.0,1/3,1/5},{3,1,1/2},{5,2,1}}; B2=Transpose[B1];B4={{1.0,5,3},{1/5,1,1/2},{1/3,2,1}}; B5={{1.0,3,3},{1/3,1,1},{1/3,1,1}}; T1=Eigensystem[B1]//Chop T2=Eigensystem[B2]//Chop T3=Eigensystem[B3]//Chop T4=Eigensystem[B4]//Chop T5=Eigensystem[B5]//Chop则输出 {{3.00369,Nonreal, Nonreal},{{0.163954,0.46286,0.871137},{ Nonreal, Nonreal,0.871137}, { Nonreal, Nonreal, 0.871137}}};{{3.00369,Nonreal, Nonreal}, {{0.928119,0.328758,0.174679}, {0.928119, Nonreal, Nonreal}, {0.928119, Nonreal, Nonreal}}}{{3.00369, Nonreal, Nonreal}, {{0.163954,0.46286,0.871137}, { Nonreal, Nonreal,0.871137}, { Nonreal, Nonreal,0.871137}}}{{3.00369, Nonreal, Nonreal}, {{0.928119,0.174679,0.328758}, {0.928119, Nonreal, Nonreal}, {0.928119, Nonreal, Nonreal}}} {{3,0,0},{{0.904534,0.301511,0.301511}, {-0.973329,0.162221,0.162221},{-0.170182,-0.667851,0.724578}}从上面的输出可以分别得到)5,,2,1( =j B j 的最大特征值000.3,00369.3,00369.3,00369.3,00369.354321=====λλλλλ 以及上述特征值所对应的特征向量TT T TT x x x x x )301511.0,301511.0,904534.0()328758.0,174679.0,928119.0()871137.0,46286.0,163954.0()174679.0,328758.0,928119.0()871137.0,46286.0,163954.0(54321=====其中.5,,2,1),,,(321 ==i x x x x i i i i 为求出归一化后的特征向量, 输入Clear[x1,x2,x3,x4,x5]; x1=T1[[2,1]]; w1=x1/Apply[Plus,x1]x2=T2[[2,1]]; w2=x2/Apply[Plus,x2] x3=T3[[2,1]]; w3=x3/Apply[Plus,x3] x4=T4[[2,1]]; w4=x4/Apply[Plus,x4] x5=T5[[2,1]]; w5=x5/Apply[Plus,x5]则输出TT T TT w w w w w )200000.0,200000.0,600000.0()229651.0,12202.0,648329.0()581552.0,308996.0,109452.0()12202.0,229651.0,648329.0()581552.0,308996.0,109452.0(54321===== 计算一致性指标)5,,2,1(1=--=i n nCI i i λ,其中,3=n 输入lamda={T1[[1,1]],T2[[1,1]],T3[[1,1]],T4[[1,1]],T5[[1,1]]} CI=(lamda-3)/(3-1)//Chop则输出0,0018473.0,0018473.0,0018473.0,0018473.054321=====CI CI CI CI CI查表得到相应的随机一致性指标)5,,2,1(58.0 ==i RI i计算一致性比率5,,2,1, ==i RI CI CR iii ,输入CR=CI/0.58则输出.0,003185.0,003185.0,003185.0,003185.054321=====CR CR CR CR CR因),5,,2,1(,1.0 =<i CR i 通过了一致性检验. 即认为)5,,2,1( =j B j 的一致性程度在容许 的范围之内, 可以用归一化后的特征向量作为其排序权重向量.4. 计算层次总排序权重向量并做一致性检验购买个人电脑问题的第三层对第二层的排序权重计算结果列于表3.以矩阵表示第三层对第二层的排序权重计算结果为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2.0229651.0581552.012202.0581552.02.012202.0308996.0229651.0308996.06.0648329.0109452.0648329.0109452.0)3(W )3(W 即是第三层对第二层的权重向量为列向量组成的矩阵. 最下层(第三层)对最上层(第一层)的总排序权向量为)2()3()3(w W w =为了计算上式, 输入W3=Transpose[{w1,w2,w3,w4,w5}]; ww3=W3.ww2则从输出结果得到T w )452037.0,272235.0,275728.0()3(=为了对总排序权向量进行一致性检验, 计算)2(521)3().,,.,.(w I C I C I C CI =输入CI.ww2则从输出结果得到0015263.0)3(=CI 再计算)2(51)3(],,[w RI RI RI =,输入RI=Table[0.58,{j,5}]; RI.ww2则从输出结果得到 58.0.)3(=I R最后计算 )3()3()2()3(./...I R I C R C R C +=,可得0048057.0.)3(=R C 因为,1.0.)3(<R C 所以总排序权重向量符合一致性要求的范围.根据总排序权重向量的分量取值, 品牌3的电脑是建模者对这三种品牌机的首选.实验报告1.根据你的设想购置一台计算机, 需考虑什么样的判断准则? 利用层次分析法及数学软件做出最佳的决策.2.根据你的经历设想如何报考大学, 需要什么样的判断准则? 利用层次分析法及数学软件做出最佳的决策.3.假期到了, 某学生打算做一次旅游, 有四个地点可供选择, 假定他要考虑5个因素: 费用、景色、居住条件、饮食以及旅游条件. 由于该学生没有固定收入, 他对费用最为看重, 其次是旅游点的景色, 至于旅游条件、饮食, 差不多就行, 住什么地方就更无所谓了. 这四个旅游点没有一个具有明显的优势, 而是各有优劣. 该同学拿不定主意, 请用层次分析法帮助他找出最佳旅游点.4. 假设你马上就要从大学毕业, 正面临择业的问题, 你对工作的选择着重考虑下面几个因素: (1)单位的声誉; (2)收入; (3)专业是否对口; (4)是否有机会深造或晋升; (5)工作地点;(6)休闲时间. 对上述各种因素你可以根据自己的具体情况排序,也可以增加或减少所考虑的因素. 现在有四个单位打算你, 但如果用上述标准来衡量,没有一个单位具有明显的优势,请用层次分析法为你自己做一个合理的选择.。
matlab求矩阵的特征值与特征向量在MATLAB中，我们可以使用eig函数来计算矩阵的特征值和特征向量。
这个函数会返回一个包含特征值的对角矩阵，以及一个特征向量矩阵。
对角矩阵的对角线元素就是特征值，而特征向量矩阵的列就是相应的特征向量。
% 定义一个3x3矩阵A = [4 1 0; 2 3 4; 0 0 5];% 使用eig函数计算特征值和特征向量[V,D] = eig(A);% V是特征向量矩阵，D是特征值对角矩阵，对角线元素是特征值在这个例子中，A是一个3x3矩阵，我们使用eig函数来计算它的特征值和特征向量。
返回的结果中，V是一个3x3矩阵，包含了对应的特征向量，而D是一个3x3的对角矩阵，其对角线元素就是特征值。
注意，V的列是对应的特征向量。
例如，如果我们要获取第一个特征向量，我们可以这样做：first_eigenvector = V(:,1);同样地，D的对角线元素是对应的特征值。
例如，如果我们要获取第一个特征值，我们可以这样做：first_eigenvalue = D(1,1);为了更好地理解这个过程，我们可以画出特征向量的图形。
例如，如果我们有一个二维矩阵，我们可以这样画出它的特征向量：% 假设A是一个2x2矩阵A = [4 1; 2 3];[V,D] = eig(A);% 取前两个特征向量eigenvectors = V(:,1:2);% 画出这两个特征向量figure; hold on;plot(eigenvectors(1,:),eigenvectors(2,:),'ro-');xlabel('Eigenvector 1'); ylabel('Eigenvector 2');title('Eigenvectors of A');hold off;在这个例子中，我们取了A的前两个特征向量，并画出了它们。
注意，因为这是二维空间，所以每个特征向量都有两个分量。
矩阵的特征值与特征向量的计算摘要物理，力学，工程技术中的很多问题在数学上都归结于求矩阵特征值的问题，例如振动问题（桥梁的振动，机械的振动，电磁振动等）、物理学中某些临界值的确定问题以及理论物理中的一些问题。
矩阵特征值的计算在矩阵计算中是一个很重要的部分，本文使用幂法和反幂法分别求矩阵的按模最大，按模最小特征向量及对应的特征值。
幂法是一种计算矩阵主特征值的一种迭代法，它最大的优点是方法简单，对于稀疏矩阵比较合适，但有时收敛速度很慢。
其基本思想是任取一个非零的初始向量。
由所求矩阵构造一向量序列。
再通过所构造的向量序列求出特征值和特征向量。
反幂法用来计算矩阵按模最小特征向量及其特征值，及计算对应于一个给定近似特征值的特征向量。
本文中主要使用反幂法计算一个矩阵的按模最小特征向量及其对应的特征值。
计算矩阵按模最小特征向量的基本思想是将其转化为求逆矩阵的按模最大特征向量。
然后通过这个按模最大的特征向量反推出原矩阵的按模最小特征向量。
关键词：矩阵；特征值；特征向量；冥法；反冥法THE CALCULATIONS OF EIGENVALUE AND EIGENVECTOR OF MATRIXABSTRACTPhysics, mechanics, engineering technology in a lot of problems in mathematics are attributed to matrix eigenvalue problem, such as vibration (vibration of the bridge, mechanical vibration, electromagnetic vibration, etc.) in physics, some critical values determine problems and theoretical physics in some of the problems. Matrix eigenvalue calculation is a very important part in matrix computation. In this paper, we use the power method and inverse power method to calculate the maximum of the matrix, according to the minimum characteristic vector and the corresponding characteristic value.Power method is an iterative method to calculate the eigenvalues of a matrix. It has the advantage that the method is simple and suitable for sparse matrices, but sometimes the convergence rate is very slow. The basic idea is to take a non - zero initial vector. Construct a vector sequence from the matrix of the matrix. Then the eigenvalues and eigenvectors are obtained by using the constructed vector sequence.The inverse power method is used to calculate the minimum feature vectors and their eigenvalues of the matrix, and to calculate the eigenvalues of the matrix. In this paper, we use the inverse power method to calculate the minimum eigenvalue of a matrix and its corresponding eigenvalues. The basic idea of calculating the minimum characteristic vector of a matrix is to transform it to the maximumc haracteristic vector of the modulus of the inverse matrix. Then, according to the model, the minimum feature vector of the original matrix is introduced.Key words: Matrix ；Eigenvalue ；Eigenvector ；Iteration methods;目录1引言 (1)2相关定理。
用matlab求特征值和特征向量的命令MATLAB是一种强大的数学软件工具，可以用来进行特征值与特征向量的计算与研究。
特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念，对于许多实际问题的求解和分析具有重要的指导意义。
特征值可以理解为一个矩阵在线性变换下的伸缩比例，而特征向量则是在该伸缩变换下保持方向不变的向量。
通过计算特征值和特征向量，我们可以获得有关矩阵本质特性的重要信息，比如矩阵图像压缩、物理系统的模态分析等。
在MATLAB中，计算特征值和特征向量非常简单。
我们可以使用eig函数来进行求解。
假设我们有一个矩阵A，可以使用以下命令求解其特征值和特征向量：[eigen_vectors, eigen_values] = eig(A);其中，eigen_vectors是一个包含A的特征向量的矩阵，每一列是一个特征向量；eigen_values是一个包含A的特征值的对角矩阵，其中对角线上的元素就是特征值。
通过计算得到的特征向量可以用来描述矩阵A的变换过程中的方向性质，而特征值则描述了对应的变换过程中的伸缩比例。
特征向量可以看作是矩阵A对某个方向的影响，而特征值则表示在该方向上的伸缩程度。
除了通过eig函数，MATLAB还提供了其他一些函数用于特征值和特征向量的计算与分析。
例如，svd函数可以求解奇异值分解，也可以用于特征值与特征向量的估计；eigs函数用于计算稀疏矩阵的特征值与特征向量等。
在实际应用中，特征值和特征向量的求解对于理解和优化许多问题具有重要意义。
例如，在电力系统中，特征值与特征向量可以用来分析系统的振荡模态以及稳定性；在人脸识别中，特征值与特征向量可以用于提取人脸图像的最具代表性的特征，从而实现人脸的自动识别。
总而言之，特征值与特征向量是矩阵理论中的重要概念，能够帮助我们揭示矩阵的本质特性。
MATLAB提供了简单且强大的工具来计算和分析特征值与特征向量。
通过深入研究和应用这些概念，我们可以更好地理解和解决各种实际问题。
matlab解特征值问题特征值问题是线性代数中的重要问题之一，通过求解特征值和特征向量，我们可以揭示矩阵的性质和相关的物理、数学问题。
在本文中，我们将介绍如何使用Matlab解决特征值问题，并通过实际案例展示其应用。
一、特征值和特征向量简介特征值和特征向量是矩阵运算中的重要概念，它们可以帮助我们理解和分析矩阵的性质以及相关的物理、数学问题。
对于一个n阶矩阵A，如果存在一个非零向量x，使得Ax = λx，其中λ是一个常数，那么λ就是矩阵A的特征值，而x就是对应于特征值λ的特征向量。
二、Matlab求解特征值和特征向量在Matlab中，我们可以使用eig函数来求解特征值和特征向量。
eig函数的基本语法为：[V, D] = eig(A)其中A是待求解特征值和特征向量的矩阵，V是特征向量的矩阵，D是特征值的对角矩阵。
三、实例演示现在，我们通过一个实际案例来演示如何使用Matlab解决特征值问题。
假设我们有一个3阶矩阵A如下：A = [1 2 3;4 5 6;7 8 9]我们想要求解矩阵A的特征值和特征向量。
在Matlab中，我们可以使用以下代码来完成求解：```matlabA = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];[V, D] = eig(A);```通过运行以上代码，我们可以得到特征向量矩阵V和特征值对角矩阵D的值。
四、结果分析在得到特征向量矩阵V和特征值对角矩阵D之后，我们可以进一步分析矩阵A的特性。
特征向量矩阵V的每一列对应于特征值对角矩阵D的每一个特征值，而特征向量矩阵V的列向量则是与其对应的特征值对应的特征向量。
针对我们的实际案例，假设我们得到的特征向量矩阵V和特征值对角矩阵D分别为：V = [0.232 -0.785 0.408;-0.525 -0.087 -0.816;0.819 0.613 0.408]D = [16.116 0 0;0 0.000 0;0 0 -7.116]通过分析特征值和特征向量，我们可以得到以下结论：- 特征值16.116对应的特征向量为V的第一列，特征向量为[0.232, -0.525, 0.819]。
毕业论文文献综述信息与计算科学矩阵特征值与特征向量计算的MATLAB GUI设计一、前言部分MATLAB语言是性能卓著的实验“仪器”,是一款功能强大的。
用它能能送的进行各种数学计算和符号演算，绘制多种可视化图形[1]。
MATLAB是一种数值计算环境和编程语言，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。
MATLAB基于矩阵运算，具有强大的数值分析、矩阵计算、信号处理和图形显示功能，其强大的数据处理能力和丰富的工具箱使得它的编程极为简单。
MATLAB既能进行科学计算，又能开发出所需要的图形界面。
图形用户界面（GUI）是由窗口、光标、按键、菜单、文字说明等对象（Objects）构成的一个用户界面。
用户通过一定的方法选择、激活这些图形对象，是计算机产生某种动作或变化，比如实现计算、绘图等[2]。
由于计算机的发展和普及,科学计算已经成为解决各类科学技术问题的重要手段。
因此,掌握科学计算的基本原理和方法是当今科学技术工作者不可缺少的本领和技能之一。
求特征问题是科学与工程中提出的一类重要数学问题。
如动力学系统和结构系统中的振动问题，需要求系统的频率与振幅，又如物理学中的某些临界值的确定等[3]。
二、主题部分2.1 MATLAB软件介绍2.1.1 MATLAB软件概况[4、5]“MATLAB”是“Matrix Laboratory”的缩写。
MATLAB的第一个版本是LINPACK和EISPACK库的程序的一个接口，用来分析线性方程组。
随着MATLAB的演化，除了线性代数外，它还支持许多其他的程序。
MATLAB的核心仍然是基于命令行的交互式分析工具。
用户可以用类Fortran语言扩展交互环境。
交互环境中的程序以命令行的形式执行。
MATLAB用户接口包括下拉菜单和对话框，任何个人电脑使用者对这一接口都很熟悉。
菜单命令支持文件操作、打印、程序编辑和用户接口定制。
MATLAB的数值计算是通过在命令窗口输入命令，并不是通过菜单操作进行的。
MATLAB是一个基本的应用程序，它有一个称为标准工具箱的巨大程序模块库。
MATLAB 工具箱包括解决实际问题的扩展库，如：求根、插值、数值积分、线性和非线性方程组求解以及常微分方程组求解。
由于继承了LINPACK、EISPACK和LAPACK的特性，MATLAB对数值线性代数来说是一个高可靠的优化系统。
许多数值作业能够用线性代数语言精确地表示。
MATLAB和线性代数的密切关系是程序员能够用很短的MATLAB语言来解决复杂的数值作业。
标准工具箱还包括数据可视化的扩展图形库，有简单的点、线和复杂的三维图形和动画。
所有的MATLAB程序都可以使用这些函数，这样就可以在所有程序和程序集中分析并生成达到出版质量的图示。
对图形的快速访问能有效地提高用户的效率。
诊断点有助于调试程序和检验算法是否正确执行。
低级的图形函数为自定义图形用户接口的分析代码提供了扩展空间。
除了标准工具箱，可以使用其他的工具箱，如：信号处理、图像处理、优化、统计分析、偏微分方程的求解和许多数值计算的应用。
2.1.2 MATLAB语言特点[6、7]MATLAB语言有不同于其他高级语言的特点，它被称为第四代计算机语言，MATLAB语言的最大特点就是简单和直接。
正如第三代计算机语言使人们摆脱对计算机硬件操作一样，MATLAB语言使人们从烦琐的程序代码中解放出来。
它丰富的函数使开发者无须重复编程，只要简单的调用和使用即可。
MATLAB语言的主要特点可概括如下：（1）以矩阵和数组为基础的运算MATLAB 是以矩阵为基础的，不需要预先定义变量和矩阵(包括数组)的维数，可以方便地进行矩阵的算术运算、关系运算和逻辑运算等。
（2）简单易学，使用方便MATLAB 被称为“草稿式”语言，这是因为其函数名和表达更接近我们书写计算公式的思维表达方式，编写MATLAB程序犹如在草稿纸上排列公式与求解问题，因此可以快速地验证工程技术人员的算法。
此外MATLAB还是一种解释性语言，不需要专门的编译器。
（3）强大的图形技术MATLAB具有非常强大的以图形化显示矩阵和数组的能力，同时它能给这些图形增加注释并且打印这些图形。
MATLAB 的图形技术既包括一些可以方便产生二维、三维科技专业图形的高级绘图函数，又包括一些可以让用户灵活控制图形特点的低级绘图命令。
另外，用户还可以利用MATLAB的句柄图形技术创建图形用户界面。
(4)编程效率极高MATLAB 是一种面向科学和工程计算的高级语言。
它以矩阵运算为基础，极少的代码即可实现复杂的功能。
(5) 可扩充性强，具有方便的应用程序接口MATLAB 不仅有着丰富的库函数，在进行复杂的数学运算时可以直接调用。
而且用户还可以根据需要方便地编写和扩充新的函数库。
通过混合编程用户可以方便地在MATLAB环境中调用其他用 Fortran 或者 C 语言编写的代码，也可以在 C 语言或者 Fortran 语言程序中调用MATLAB 计算引擎来执行MATLAB代码。
2.1.3 MATLAB GUI介绍 [8、9]一个可以发布的应用程序通常都需要有一个友好的图形用户界面（Graphical User Interface）。
程序的用户界面是用户与计算机程序的交互方式，用户通过键盘、鼠标等输入设备与计算机交换信息。
图形用户界面（GUI）是包含图形对象，如窗口、图标、菜单和文本的用户界面。
用户以某种方式选择或激活这些对象，会引起动作或发生变化，例如调用计算程序或者绘图等。
图形用户界面通常是一种包含多种图形对象的界面，典型的图像界面包括图形显示区域，功能按钮控件以及用户自定义的功能菜单等。
为了让界面实现各种功能，需要对各个图形对象进行布局和事件编程。
当用户激活对应的GUI对象时，就能执行相应的时间行为。
GUI也是一种Matlab对象，可以使用M文件来创建M文件，这也是最基础的，使用其他方法创建时，也需要编写相应的程序代码。
除了使用M文件来创建GUI对象外，Matlab 还为用户开发图形界面提供一个方便高效的继承开发环境：Matlab图形用户界面开发环境（Matlab Graphical User Interface Development Environment,GUIDE）。
其主要是一个界面设计工具集，他将所有GUI所支持的用户控件都集成起来，同时提供界面外观、属性和行为响应方法的设置方法。
除了可以使用GUIDE创建GUI之外，还可以将设计好的GUI界面保存为一个FIG资源文件，同时自动生成对应的M 文件。
该M文件包含了GUI初始化代码和组建界面布局的控制代码。
使用GUIDE创建GUI对象执行效率高，可以交互式的进行组件布局，还能生成保存和发布GUI的对应文件。
2.2 矩阵特征值与特征向量计算求解特征问题是科学与工程中提出的一类重要数学问题,如动力学系统和结构系统中的震动问题,需要求系统的频率与振幅,又如物理学中的某些临界值的确定等2.2.1乘幂法及其变体[3]乘幂法是用于大型稀疏矩阵的主特征值的迭代方法,其特点是公式简单,易于上机实现.乘幂法德计算公式如下.设n n A R ⨯∈,取初始向量()0n x R ∈,令()()10x Ax =, ()()21x Ax =,…,一般有()()1k k x Ax -=(3.1.4) 并形成向量序列(){}k x，由递推公式(3.1.4),有 ()()()()2202()...k k k k x A Ax A x A x --==== (3.1.5)这表明()k x 是用A 的k 次幂左乘()0x 得到的,因此称此方法为乘幂法,(3.1.4)式或(3.1.5)式称为乘幂公式, (){}k x称为乘幂序列.设n n A R ⨯∈可逆,反幂法可以求出A 的绝对值最小的特征值及相应的特征向量.由 ()0Ax x x λ=≠可知11,A x x λ-=即若0λ≠为矩阵A 的特征值,则1λ必为矩阵1A -的按模最大特征值,且特征向量相同.因此,若乘幂法可求A 的主特征值1λ,则用1A -做乘幂矩阵,由迭代公式()()11k k x A x +-= (3.1.24) 便可求出1A -的按模最大特征值1n λ,再取倒数即可得到矩阵A 的按模最小特征值n λ.因此,对任取初始向量()0n xR ∈,称公式(3.1.24)为求矩阵A 按模最小特征值的反幂法. 2.2.2 子空间迭代法[10]子空间迭代法最初是由Clint 和Ｊennings 提出,是反幂法的推广[11] .稍后,Bathe 和Wilson 在其中加入了子空间上的Rayleigh-Ritz 过程,它可以明显地改善收敛速度.以下是一个子空间迭代算法的主要步骤.Ⅰ.初始化(1)确定子空间的维数q ;(2)选取初始向量矩阵N q x R ⨯∈;(3)设定每次移轴的最大迭代次数max I .Ⅱ.移轴与Sturm 序列校核(1)计算移轴μ,应设法保证它不是特征值;(2)分解移轴刚度矩阵1K M LDL μ--=;(3)Strum 序列校核.Ⅲ.迭代max I 次,完成后转向Ⅰ(1)将X 进行M 一成交归一化;(2)解试11()T X LDL MX -=; (3)计算K 和M 在1X 上的投影,1111,T T K X KX M X MX ⋅⋅==(4)求解q 阶广义特征值问题K M ⋅⋅⋅⋅⋅Φ=ΦΛ;(5)形成新的近似特征向量1X X ⋅=Φ;(6)按模态误差判断特征值和特征向量的收敛,移出已收敛的特征向量,并在X 中加入随机向量或减缩子空间的大小.子空间迭代法假设q 个初始向量同时进行迭代,求得前p 个特征向量.传统上,4)q =, 其中s 为L 中一行的平均非零元个数,由第Ⅱ与Ⅲ步计算之比确定.2.2.3 Jacobi 旋转法[12]Jacobi 方法用来计算实对称的全部特征值及对应的特征向量.基本思想:通过一组平面旋转将A 化为对角阵.若n n A R ⨯∈为对称阵,则存在一正定阵p ,使12(,,...,)T n PAP diag p λλλ==, 12,,...,n λλλ为A 的特征值, T P 的列向量j v 为A 对应于j λ的特征向量.主要问题是如何构造P .n R 中{},i j x x 平面内的平均旋转变换.cos sin sin cos ,i i j i i j k k y x x y x x y PX y x θθθθ=+⎧⎪=-+=⎨⎪=⎩()()1212,,...,,...,,...,,,...,,...,,...,T i j n T i j n X x x x x x Y y y y y y ==P 的性质:1 P 为正交阵,T pp I =. 2.P 为单位阵I 只在(,),(,),(,),(,)i i j j i j j i 四个位置元素不一样.3. T PAP 只改变A 的i 行i 列j 行j 列的元素.定理1 设A 为n 阶对称阵, TC PAP =,其中P 为正定阵则22||||||||F F C A = 定理 2 设n n A R⨯∈为对称矩阵, (,)P i j 为宜平面旋转阵, TC PAP =的元素计算式为: 11cos sin 11sin cos 11T T ij PP i j θθθθ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭O O O 列列2222cos sin 2sin cos sin cos 2sin cos 1()sin 2cos 22ii ii jj ij jj ii jj ij ij ji jj ii ij c a a a c a a a c c a a a θθθθθθθθθθ=++=+-==-+cos sin (,)cos sin (,)(,,)ik ki ik jk jk j jk ik lk lk c c a a k i j c c a a k i j c a l k i j θθθθ==+≠==+≠=≠设S (A )表示A 的非对角元素的平方和,D (A )表示A 的对角元素平方和,由上式22()()2()()2ijij D C D A a S C S A a =+=-这说明C 的对角元素平方和和A 的对角元素平方和增加了22ij a ,非对角元素和此A 的非对角元素平方和减少了22ij a .2.2.4 Householder 方法[13] 设n R ω∈,且2||||1ω=,则矩阵2T H I ωω=-称为Househoder 矩阵或Householder 变换,一般我们简称为H 阵或H 变换.H 阵有以下重要性质;(1)H 是对称阵: T H H =; (2)H 是正交阵: T H H I =;(3)设,n x y R ∈,22|||||||x y =则总存在H 阵使Hx=y我们仅就(3)给出证明.若x=y ,则只需取x ω⊥即可,今设x y ≠,要使(2)T Hx I x y ωω=-= 即2()T x y x ωω-=-只需取2()/||||y x y x ω=--即可.2.2.5 QR 方法[14]QR 算法是求矩阵特征值的最有效和应用最广泛的一种方法.QR 算法也是一种变换方法.设n n A C⨯∈,令1A A =,先将1A 作QR 分解,写成1A QR =,其中Q 是酉矩阵即,T H H Q Q I Q Q ==是Q 的共轭转置,R 是上三角阵,当A 非奇异且规定R的对角元是正实数时,则分解时唯一的,然后令2A QR =,则有21H A Q A Q =.是的正交相似变换,他们有相同的特征值.这个过程可继续下去,得到迭代序列{k A },称此过程为基本QR 算法过程.算法 基本QR 算法(1)定义1A A =(2)对于k =1,2,…(3) k k k A Q R = (对k A 作QR 分解)(4) 1H k k k k k k A Q A Q R Q +==三、总结部分本文首先介绍了MATLAB 这个数学软件，让我们初步了解了这个软件的一些情况。
