【世纪金榜】高考数学(文科,全国通用)一轮总复习阶段易错考点排查练(五)(含答案解析)

课时提升作业一集合(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.下列结论正确的是()A.0∈N*B.0∈∅C.{0}⊆N*D.∅⊆N*【解析】选D.集合N*表示正整数集,∅中不含任何元素,所以A,B,C都不正确,∅是任何集合的子集,故D正确.2.(2015·全国卷Ⅱ)已知集合A={x|-1<x<2},B={x|0<x<3},则A∪B=()A.(-1,3)B.(-1,0)C.(0,2)D.(2,3) 【解析】选A.因为A={x|-1<x<2},B={x|0<x<3},所以A∪B=.3.(2016·德州模拟)若集合M={x|-2<x<3},N={y|y=x2+1,x∈R},则集合M∩N=()A.(-2,+∞)B.(-2,3)C.[1,3)D.R 【解析】选C.因为y=x2+1≥1,所以N={y|y≥1},所以M∩N={x|1≤x<3}.4.已知A={x|x2<4},B为自然数集,则A∩B=()A.{-2,-1,0,1,2}B.{-1,0,1}C.{0,1}D.{1} 【解析】选C.因为A={x|-2<x<2},B是自然数集,所以A∩B={0,1}.【误区警示】解答本题易误选D,出错的原因是对自然数集的定义理解不到位.【加固训练】已知集合A={x|(x+1)(x-2)≤0},B为整数集,则A∩B=()A.{-2,-1,0,1}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0}D.{0,1} 【解析】选B.因为A={x|-1≤x≤2},B为整数集,所以A∩B={-1,0,1,2}.5.(2016·滨州模拟)已知集合A={log2a,3},B={a,b},若A∩B={0},则A∪B=()A.{0,3}B.{0,1,3}C.{0,2,3}D.{0,1,2,3} 【解析】选B.因为A∩B={0},所以0∈A,且0∈B,即log2a=0,b=0,a=1,b=0,所以A∪B={0,1,3}.6.(2016·临沂模拟)已知集合A={0,x},B={x2,-x2,|x|-1},若A⊆B,则实数x的值为()A.1或-1B.1C.-1D.2 【解析】选A.验证法,当x=1时,A={0,1},B={1,-1,0},满足A⊆B,当x=-1时,A={0,-1},B={1,-1,0},满足A⊆B,当x=2时,A={0,2},B={4,-4,1},不满足A⊆B.故选A.【一题多解】解答本题还可采用如下方法:选A.因为A⊆B,所以0∈B,因为x≠0,所以|x|-1=0,即x=±1,经验证,易知x=±1满足题意.7.(2016·泰安模拟)已知集合A,B均为全集U={1,2,3,4}的子集,且(A∪B)={4},B={1,2},则A∩B=()A.{3}B.{4}C.{3,4}D.∅【解析】选A.由U={1,2,3,4},(A∪B)={4},知A∪B={1,2,3},又B={1,2},所以A中一定有元素3,没有元素4,所以A∩B={3}.【一题多解】本题还可用Venn图求解如下:如图,由图及已知易得A∩B={3}.【加固训练】已知A={x|x+1>0},B={-2,-1,0,1},则(A)∩B=()A.{-2,-1}B.{-2}C.{-2,0,1}D.{0,1}【解析】选A.由x+1>0⇒x>-1,所以A={x|x≤-1},故得(A)∩B={-2,-1}.二、填空题(每小题5分,共15分)8.已知集合A={x|x2-2015x-2016≤0},B={x|x<m+1},若A⊆B,则实数m的取值范围是.【解析】因为A={x|-1≤x≤2016},B={x|x<m+1},A⊆B,所以m+1>2016,即m>2015.答案:(2015,+∞)9.(2014·重庆高考)设全集U=,A=,B=,则∩B=.【解析】由题意知A=,B=,故∩B=.答案:10.若集合A={x∈R|(a2-1)x2+(2a+1)x+1=0}中只有一个元素,则实数a的值构成的集合为.【解题提示】按二次项系数是否为0分类讨论.【解析】当a2-1=0,即a=1或a=-1时,方程分别为3x+1=0或-x+1=0,方程都有一个根,满足题意. 当a2-1≠0时,Δ=(2a+1)2-4(a2-1)=0,即4a+5=0,a=-.此时方程有两个等根,满足题意.故a的值构成的集合为.答案:(20分钟35分)1.(5分)(2015·浙江高考)已知集合P={x|x2-2x≥3},Q={x|2<x<4},则P∩Q= ()A.[3,4)B.(2,3]C.(-1,2)D.(-1,3]【解析】选A.由题意得,P={x|x≥3或x≤-1},所以P∩Q=[3,4).【加固训练】某校高三(1)班50个学生选择选修模块课程,他们在A,B,C三个模块中进行选择,且至少需要选择1个模块,具体模块选择的情况如下表:则三个模块都选择的学生人数是.【解题提示】设三个模块都选择的学生人数是x,用Venn图表示三个两两相交的集合,把每一部分的学生数用x表示出来,再根据总数为50列方程求解.【解析】设三个模块都选择的学生人数为x,则各部分的人数如图所示,则有(1+x)+(5+x)+(2+x)+(12-x)+(13-x)+(11-x)+x=50,解得x=6.答案:62.(5分)(2016·菏泽模拟)设全集U={1,2,3,4,5,6},用U的子集可表示由0,1组成的6位字符串,如{2,4}表示的是第2个字符为1,第4个字符为1,其余均为0的6位字符串010100,并规定空集表示的字符串为000000.(1)若M={2,3,6},则M表示的6位字符串为.(2)若A={1,3},集合A∪B表示的字符串为101001,则满足条件的集合B的个数是. 【解题提示】(1)先求出M表示的6位字符串,从而求出M表示的6位字符串.(2)由A={1,3},集合A∪B表示的字符串为101001,求出集合B,从而得到答案.【解析】(1)M表示的6位字符串是011001;则M表示的6位字符串为100110.(2)若A={1,3},集合A∪B表示的字符串为101001,所以集合B可能是{6},{1,6},{3,6},{1,3,6},共4个.答案:(1)100110(2)43.(12分)已知集合A={x|(x-1)(x-3)<0},集合B={x|2m<x<1-m}.(1)当m=-1时,求A∪B.(2)若A⊆B,求实数m的取值范围.(3)若A∩B=∅,求实数m的取值范围.【解析】(1)当m=-1时,B={x|-2<x<2},A={x|1<x<3},则A∪B={x|-2<x<3}.(2)由A⊆B知解得m≤-2,即实数m的取值范围为(-∞,-2].(3)由A∩B=∅,得①当2m≥1-m,即m≥时,B=∅,符合题意;②当2m<1-m,即m<时,需或得0≤m<或∅,即0≤m<.综上知m≥0,即实数m的取值范围为[0,+∞).【加固训练】已知全集U=R,集合A={x|x2-x-6<0},B={x|x2+2x-8>0}, C={x|x2-4ax+3a2<0},若(A∪B)⊆C,求实数a的取值范围.【解析】A={x|-2<x<3},B={x|x<-4,或x>2},A∪B={x|x<-4,或x>-2}, (A∪B)={x|-4≤x≤-2},而C={x|(x-a)(x-3a)<0}.①当a>0时,C={x|a<x<3a},显然不成立.②当a=0时,C=∅,不成立.③当a<0时,C={x|3a<x<a},要使(A∪B)⊆C,只需即-2<a<-.4.(13分)已知集合A={x|x2+4x=0,x∈R},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,a∈R,x∈R}.若A∪B=A,试求实数a的取值范围.【解析】因为A∪B=A,所以B⊆A,易知A={0,-4}.(1)当A=B={0,-4}时,0,-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两根,所以所以a=1.(2)当B A时,有B≠∅和B=∅两种情况.①当B≠∅时,B={0}或B={-4},所以方程x2+2(a+1)x+a2-1=0有相等的实数根0或-4,所以Δ=4(a+1)2- 4(a2-1)=0,所以a=-1,所以B={0}满足条件.②当B=∅时,Δ<0,a<-1.综上知实数a的取值范围是{a|a≤-1或a=1}.。

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阶段易错考点排查练(四)立体几何考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积1.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为 ( )A.6B.9C.12D.18【解析】选B.由三视图可得,该几何体为三棱锥S-ABC,其中底面△ABC 为等腰三角形,底边AC=6,AC 边上的高为3,SB ⊥底面ABC,且SB=3,所以该几何体的体积V=××6×3×3=9.2.一个空间几何体的三视图如图所示,则这个空间几何体的表面积是 ( )A.4πB.4(π+1)C.5πD.6π【解析】选B.这是一个由轴截面割开的半个圆柱与一个球的组合体,其表面积是圆柱的上、下两个底面半圆、圆柱的侧面积的一半、圆柱的轴截面和球的表面积之和,故这个几何体的表面积是2××π×12+×2π×1×2+2×2+4π×=4(π+1).3.如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A.64+32πB.64+64πC.256+64πD.256+128π【解析】选C.依题意,该几何体是一个正四棱柱及一个圆柱的组合体,其中正四棱柱的底面边长是8,侧棱长是4,圆柱的底面半径是4,高是4,因此所求几何体的体积等于82×4+π×42×4=256+64π.4.已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中圆的直径为4,该几何体的体积为V1,直径为4的球的体积为V2,则V1∶V2=.【解析】由三视图知,该几何体为圆柱内挖去一个底面相同的圆锥,因此V1=8π-=,V2=×23=,V1∶V2=1∶2.答案:1∶2考点二线、面位置关系1.下列说法中,正确的是( )①一条直线如果和一个平面平行,它就和这个平面内的无数条直线平行;②一条直线和一个平面平行,它就和这个平面内的任何直线无公共点;③过直线外一点,有且仅有一个平面和已知直线平行;④如果直线l和平面α平行,那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内.A.①②③④B.①②③C.②④D.①②④【解析】选D.由线面平行的性质定理知①④正确;由直线与平面平行的定义知②正确;③错误,因为经过一点可作一直线与已知直线平行,而经过这条直线可作无数个平面.2.设l,m,n表示不同的直线,α,β,γ表示不同的平面,给出下列四个命题:①若m∥l,且m⊥α,则l⊥α;②若m∥l,且m∥α,则l∥α;③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,则l∥m∥n;④若α∩β=m,β∩γ=l,γ∩α=n,且n∥β,则l∥m.其中正确命题的个数是( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.易知①正确;②错误,l与α的具体关系不能确定;③错误,以墙角为例即可说明;④正确,可以以三棱柱为例说明,故选B.3.若m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题不正确的是( )A.若α∥β,m⊥α,则m⊥βB.若m∥n,m⊥α,则n⊥αC.若m∥α,m⊥β,则α⊥βD.若α∩β=m,且n与α,β所成的角相等,则m⊥n【解析】选D.容易判断选项A,B,C都正确,对于选项D,当直线m与n平行时,直线n与两平面α,β所成的角也相等,均为0°,故D不正确.4.设a,b为不重合的两条直线,α,β为不重合的两个平面,给出下列命题:①若a∥α且b∥α,则a∥b;②若a⊥α且a⊥β,则α∥β;③若α⊥β,则一定存在平面γ,使得γ⊥α,γ⊥β;④若α⊥β,则一定存在直线l,使得l⊥α,l∥β.上面命题中,所有真命题的序号是.【解析】①中a与b还可能相交或异面,故不正确.②垂直于同一直线的两平面平行,正确.③中存在γ,使得γ与α,β都垂直.④中只需直线l⊥α且l⊄β就可以.答案:②③④5.设a,b为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,且a⊄α,a⊄β,给出下列四个结论:①若b⊂β,a∥b,则a∥β;②若a⊥β,α⊥β,则a∥α;③若a⊥b,b⊥α,则a∥α;④若α⊥β,a⊥β,b∥a,则b∥α.其中正确结论的序号是.【解析】由线面、面面平行或垂直的判定与性质定理知①②③正确;对于④,由a⊥β,b∥a可得b⊥β,又因为α⊥β,所以b⊂α或b∥α,故④错误.答案:①②③6.(2016·宣城模拟)如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4.E,F分别在线段BC和AD上,EF∥AB,将矩形ABEF沿EF折起,记折起后的矩形为MNEF,且平面MNEF⊥平面ECDF.(1)求证:NC∥平面MFD.(2)若EC=3,求证:ND⊥FC.(3)求四面体NFEC体积的最大值.【解析】(1)因为四边形MNEF,EFDC都是矩形,所以MN∥EF∥CD,MN=EF=CD.所以四边形MNCD是平行四边形,所以NC∥MD,因为NC⊄平面MFD,MD⊂平面MFD,所以NC∥平面MFD.(2)连接ED,设ED∩FC=O,因为平面MNEF⊥平面ECDF,且NE⊥EF,所以NE⊥平面ECDF,因为FC⊂平面ECDF,所以FC⊥NE,又EC=CD,所以四边形ECDF为正方形,所以FC⊥ED.所以FC⊥平面NED,因为ND⊂平面NED,所以ND⊥FC.(3)设NE=x,则EC=4-x,其中0<x<4.由(2)得NE⊥平面FEC,所以四面体NFEC的体积为V NFEC=S△EFC·NE=x(4-x).所以V NFEC≤=2.当且仅当x=4-x,即x=2时,四面体NFEC的体积最大.关闭Word文档返回原板块。

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专项强化训练(五)圆锥曲线的综合问题1.已知直线l :y=x+1,圆O:x 2+y 2=32,直线l 被圆截得的弦长与椭圆C:2222x y a b+=1(a>b>0)的短轴长相等,椭圆的离心率. (1)求椭圆C 的方程.(2)过点1M(0,)3-的直线l 0交椭圆于A,B 两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点T,使得无论l 0如何转动,以AB 为直径的圆恒过定点T?若存在,求出点T 的坐标;若不存在,请说明理由.【解题提示】(1)利用弦长公式及离心率公式求出a,b 的值,从而求得椭圆C 的方程.(2)先根据直线l 0的斜率不存在及斜率为0的情况确定T 的坐标,然后再证明以AB 为直径的圆恒过定点T 即可.【解析】(1)由题意知,圆O 的半径r=2圆O(0,0)到直线y=x+1的距离2=,则直线l 被圆截得的弦长为2==, 依题意2=2b,b=1.又椭圆的离心率c b 1e ,,a a a a======得所以椭圆C 的方程为2x 2+y 2=1.(2)假设存在定点T(x 0,y 0), 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)(x 1≤x 2).当直线l 0的斜率不存在时,易知A(0,1),B(0,-1), 则圆的方程为x 2+y 2=1.当直线l 0的斜率为0时,直线l 0的方程为y=-13,代入椭圆方程可得4141A(,),B(,),3333---即圆的方程为22116x (y ).39++=易知T(0,1).下面证明,当直线l 0的斜率存在且不为0时,T(0,1)也符合. 设直线l 0的方程为y=kx-13,联立22x y 1,21y kx ,3⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩消去y 得(2k 2+1)x 2-416kx 39-=0. 则()()1212224k 16x x ,x x 312k 912k -+==++. 此时,=(x 1,y 1-1),=(x 2,y 2-1),即当直线l 0的斜率存在且不为0时,以AB 为直径的圆恒过点T(0,1). 综上所述,存在定点T,其坐标为(0,1).【加固训练】已知椭圆C: 2222x y a b+=1(a>b>0)的左,右焦点分别为F 1,F 2,A为上顶点,△AF 1F 2为正三角形,以AF 2为直径的圆与直线y=3x+2相切. (1)求椭圆C 的标准方程.(2)过点F 2作斜率为k 的直线l 与椭圆交于M,N 两点,在x 轴上是否存在点P(m,0),使得=+时四边形PMQN 为菱形,且点Q 在椭圆C上?若存在,求m 的值;若不存在,请说明理由. 【解析】(1)由已知△AF 1F 2为正三角形,c 1sin30,a 2c,b 3c,a 2=︒===得即 由A(0,b),F 2(c,0),得AF 2的中点c bB(,)22, 点B 到直线3的距离为解得a 2=4,b 2=3,所以椭圆C 的标准方程为22x y 43+=1.(2)由(1)可知F 2(1,0), 设直线l 的方程为y=k(x-1).联立方程,得()22y k x 1,x y 1,43⎧=-⎪⎨+=⎪⎩整理得(3+4k 2)x 2-8k 2x+4k 2-12=0,设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),由根与系数的关系得x 1+x 2=228k 34k +,则y 1+y 2=k(x 1+x 2-2)=26k34k -+, 又=(x 1-m,y 1),=(x 2-m,y 2),所以=+=(x 1+x 2-2m,y 1+y 2)得5k 4+16k 2+12=0,因为5k 4+16k 2+12>0恒成立, 故满足条件的点P(m,0)不存在.2.过x 轴上动点A(a,0)引抛物线y=x 2+1的两条切线AP,AQ.切线斜率分别为k 1和k 2,切点分别为P,Q.(1)求证:k 1·k 2为定值,并且直线PQ 过定点.(2)记S 为面积,当最小时,求·的值.【解析】(1)方法一:设过A 点的直线为:y=k(x-a),与抛物线联立得()2y k x a ,y x 1,⎧=-⎪⎨=+⎪⎩得x 2-kx+ka+1=0, Δ=k 2-4ak-4=0, 所以k 1+k 2=4a, k 1·k 2=-4为定值.抛物线方程y=x 2+1,求导得y ′=2x, 设切点P,Q 的坐标分别为(x P ,y P ),(x Q ,y Q ), k 1=2x P ,k 2=2x Q ,所以x P +x Q =2a,x P ·x Q =-1. 直线PQ 的方程:y-y P =P Q P Qy y x x --(x-x P ),由y P =+1,y Q =+1,得到y=(x P +x Q )x-x P x Q +1,整理可得y=2xa+2,所以直线PQ 过定点(0,2).方法二:设切点P,Q 的坐标分别为(x P ,y P ),(x Q ,y Q ),求导得y ′=2x, 所以l AP :y=2x P (x-a),(x P ,y P )在直线上,即y P =2x P (x P -a), 由P(x P ,y P )在抛物线方程上得y P =+1,整理可得y P =2x P a+2, 同理y Q =2x Q a+2, 所以l QP :y=2xa+2,所以直线PQ过定点(0,2).联立PQ的直线方程l QP:y=2xa+2和抛物线方程y=x2+1,可得:x2-2xa-1=0.所以x P x Q=-1,x P+x Q=2a,所以k1·k2=2x P×2x Q=-4为定值.(2)设A到PQ的距离为d..当且仅当t=3时取等号,即a=±22因为·=(x P-a,y P)·(x Q-a,y Q)=x P x Q-a(x P+x Q)+a2+y P y Q,y P y Q=(2x P a+2)(2x Q a+2)=4a2x P x Q+4+4a(x P+x Q)=4a2+4,.所以·=3a2+3=923.(2015·郑州模拟)已知两点A(-2,0)和B(2,0),直线AM,BM相交于点M,且这两条直线的斜率之积为-.(1)求点M的轨迹方程.(2)记点M的轨迹为曲线C,曲线C上在第一象限的点P的横坐标为1,直线PE,PF与圆(x-1)2+y2=r2（0<r<）相切于点E,F,又PE,PF与曲线C 的另一交点分别为Q,R.求△OQR的面积的最大值(其中点O为坐标原点).【解析】(1)设点M(x,y),因为k AM k BM=-,所以·=-,整理得点M所在的曲线的方程为+=1(x≠±2).(2)由题意可得点P（1,）,因为圆(x-1)2+y2=r2的圆心为(1,0),所以直线PE与直线PF的斜率互为相反数.设直线PE的方程为y=k(x-1)+,与椭圆方程联立消去y,得:(4k2+3)x2+(12k-8k2)x+(4k2-12k-3)=0,由于x=1是方程的一个解,所以方程的另一解为x Q=,同理x R=.故直线RQ的斜率为k RQ==把直线RQ 的方程y=x+b代入椭圆方程,消去y 整理得 x 2+bx+b 2-3=0,原点O 到直线RQ 的距离为d=,所以S △ORQ =··=≤·=. 即△OQR 的面积的最大值为. 4.(2015·西安模拟)已知椭圆C: 2222x y a b+=1(a>b>0)经过点3(1,2,离心率为32. (1)求椭圆C 的方程.(2)直线y=k(x-1)(k ≠0)与椭圆C 交于A,B 两点,点M 是椭圆C 的右顶点,直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点P,Q,试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点?若是,求出定点坐标;若不是,说明理由.【解析】(1)由题意得22c 3a 2131,a 4b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得a=2,b=1.所以椭圆C 的方程是2x 4+y 2=1.(2)以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点,由()22y k x 1,x y 14⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得(1+4k 2)x 2-8k 2x+4k 2-4=0, 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则有221212228k 4k 4x x ,x x .14k 14k-+==++ 又因为点M 是椭圆C 的右顶点,所以点M(2,0), 由题意可知直线AM 的方程为y=11y x 2-(x-2), 故点112y P(0,)x 2--. 直线BM 的方程为y=22y x 2-(x-2), 故点Q 222y (0,).x 2-- 若以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点N(x 0,0),则等价于·=0恒成立,又因为(x 1-2)(x 2-2)=x 1x 2-2(x 1+x 2)+4y1y2=k(x1-1)·k(x2-1)=k2[x1x2-(x1+x2)+1]即x轴上的定点为(3,0)或(-3,0).故以线段PQ为直径的圆过x轴上的定点(±3,0).5.(2014·平顶山模拟)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,过其右焦点F2作与x轴垂直的直线l与该椭圆交于A,B两点,与抛物线y2=4x 交于C,D两点,且=.(1)求椭圆E的方程.(2)若过点M(2,0)的直线与椭圆E相交于G,H两点,设P为椭圆E上一点,且满足+=(t≠0,O为坐标原点),当|-|<时,求实数t的取值范围.【解析】(1)因为直线l过右焦点F2且与x轴垂直,所以|AB|=,|CD|=4.又椭圆E的离心率为,且=,故椭圆E的方程为:+=1.(2)由题意知直线GH的斜率不为零.设直线GH的方程为:x=my+2.联立+=1与x=my+2,消去x得:(m2+2)y2+4my-28=0.设P(x,y),G(x1,y1),H(x2,y2),则y1+y2=-,y1y2=-,x1+x2=m(y1+y2)+4=.因为+=,所以P(,-).因为P点在椭圆上,所以将P点坐标代入椭圆方程得t2=.因为|-|<,所以|GH|2=(1+m2)(y1-y2)2=(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]14m 4+11m 2-25<0,所以0≤m 2<1, 所以t 2=∈(,],所以t ∈[-,-)∪(,],所以实数t 的取值范围为[-,-)∪(,].6.(2015·昆明模拟)已知F 1,F 2分别是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P 是椭圆E 上的点,以F 1P 为直径的圆经过F 2,1PF u u u r ·2PF u u u r=a 2.直线l 经过F 1,与椭圆E 交于A,B 两点,F 2与A,B 两点构成△ABF 2. (1)求椭圆E 的离心率. (2)设△F 1PF 2的周长为2+,求△ABF 2的面积S 的最大值.【解析】(1)因为F 1,F 2分别是椭圆E 的左、右焦点,P 是椭圆E 上的点,以F 1P 为直径的圆经过F 2,所以PF 2⊥x 轴. 所以|PF 2|=. 又1PF u u u r·2PF u u u r=a 2, 所以|PF 2|2=a 2,即=a,所以a 2=4b 2,即a 2=4(a 2-c 2),化简得3a 2=4c 2, 所以=,所以椭圆E 的离心率等于. (2)因为△F 1PF 2的周长为2+,所以2a+2c=2+.所以b2=,所以椭圆E的方程为x2+4y2=1.当直线l的斜率不存在时,△ABF2的面积S=××2c=. 当直线l的斜率存在时,设为k,由F2与A,B两点构成△ABF2得到k≠0.由已知得直线l的方程为y=k(x+),即2kx-2y+k=0,所以F2(,0)到直线l的距离d=.得(1+4k2)x2+4k2x+3k2-1=0,所以|AB|=·=.当且仅当k2=时等号成立.又>,所以△ABF2的面积S的最大值等于.【加固训练】如图,已知椭圆C: 2222x ya b+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,其上顶点为A.已知△F1AF2是边长为2的正三角形.(1)求椭圆C的方程.(2)过点Q(-4,0)任作一动直线l交椭圆C于M,N两点,记=λ·.若在线段MN上取一点R,使得=-λ·,当直线l运动时,点R在某一定直线上运动,求出该定直线的方程.【解析】(1)因为△F1AF2是边长为2的正三角形,所以c=1,a=2,b=3,所以,椭圆C的方程为22x y43+=1.(2)由题意知,直线MN的斜率必存在,设其方程为y=k(x+4).并设M(x1,y1),N(x2,y2),由()22x y1,43y k x4⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消去y得(3+4k2)x2+32k2x+64k2-12=0,()22212122232k64k1214414k0,x x,x x.34k34k--∆=->+==++g则由=λ·得-4-x1=λ(x2+4),故λ=12x 4x 4+-+. 设点R 的坐标为(x 0,y 0), 则由=-λ·得x 0-x 1=-λ(x 2-x 0),112122012x 4xx x x x 4x x 411x 4++-λ+==+-λ++g 解得故点R 在定直线x=-1上.关闭Word 文档返回原板块。

课时提升作业二十二两角和、差及倍角公式的应用(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·济宁模拟)下列各式中,值为的是()A.2sin 15°cos 15°B.cos215°-sin215°C.2sin215°-1D.sin215°+cos215°【解析】选B.cos215°-sin215°=cos30°=.2.(2016·菏泽模拟)已知sinα=,α∈,则tan2α=()A.-B.C.-D.2【解析】选A.因为sinα=,α∈,所以cosα==,tanα==2,所以tan2α===-.3.(2016·上饶模拟)已知α∈(0,π),且sinα+cosα=,则cos2α的值为()A. B.-C.±D.-【解析】选B.将sinα+cosα=两边平方,得1+sin2α=,所以sin2α=-,所以sinα>0,cosα<0,可知<α<π.又因为sinα>|cosα|,所以<α<,即π<2α<,所以cos2α=-.4.已知α∈R,sinα+2cosα=,则tan2α=()A. B.C.-D.-【解析】选C.两边平方,再同时除以cos2α,得3tan2α-8tanα-3=0,tanα=3或tanα=-,代入tan2α=,得到tan2α=-.【一题多解】本题还可以采用如下解法:选C.(猜想法)由给出的数据及选项的唯一性,记sinα=,cosα=,这时sinα+2cosα=符合要求,此时tanα=3,代入二倍角公式得到答案C.【加固训练】若tanθ+=4,则sin2θ=()A. B.C. D.【解析】选D.方法一:因为tanθ+==4,所以4tanθ=1+tan2θ,所以sin2θ=2sinθcosθ====.方法二:因为tanθ+=+==,所以4=,故sin2θ=.5.(2016·淄博模拟)将函数f(x)=sin2xsin+cos2xcos-sin的图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,则函数g(x)在上的最大值和最小值分别为()A.,-B.,-C.,-D.,-【解析】选C. f(x)=×sin2x+cos2x-sin=sin2x+cos2x-=sin2x+×-=sin,所以g(x)=sin.因为x∈,所以4x+∈,所以当4x+=时,g(x)取得最大值;当4x+=时,g(x)取得最小值-.二、填空题(每小题5分,共15分)6.若cosxcosy+sinxsiny=,则cos(2x-2y)=.【解析】cosxcosy+sinxsiny=cos(x-y)=⇒cos2(x-y)=2cos2(x-y)-1=-.答案:-7.已知=,则sin2=.【解析】因为===sin2x,所以sin2x=,则sin2===.答案:8.函数y=sin cos的单调递减区间是.【解析】y=sin cos=cosx=cos2x-sin2x+=cos+.求此函数的单调递减区间应有2kπ≤2x+≤π+2kπ(k∈Z),由此可得x∈(k∈Z).答案:(k∈Z)三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2016·青岛模拟)已知函数f(x)=sin2x+cos2x,x∈R.(1)求f(x)的最大值和最小正周期.(2)若f=,α是第二象限的角,求sin2α.【解析】(1)由题意得,f(x)=2=2sin,所以f(x)的最大值为2,且函数的最小正周期为T==π.(2)由(1)知,f(x)=2sin,因为f=,所以2sinα=,即sinα=,又因为α是第二象限的角,所以cosα=-=-,所以sin2α=2sinαcosα=2××=-.10.(2016·烟台模拟)已知函数f(x)=(sin2x-cos2x)+2sinxcosx.(1)求f(x)的最小正周期.(2)设x∈,求f(x)的值域和单调递增区间.【解析】(1)因为f(x)=-(cos2x-sin2x)+2sinxcosx=sin2x-cos2x=2sin,所以ω=2,所以f(x)的最小正周期为π.(2)因为x∈,所以-π≤2x-≤,所以-1≤sin≤.所以f(x)的值域为[-2,].当y=2sin递增时,-≤2x-≤,即-≤x≤.故f(x)的递增区间为.(20分钟40分)1.(5分)若tan=-3,则=()A.-1B.1C.-2D.2【解析】选D.因为tan=-3,所以=-3,所以tanθ=2,所以==tanθ=2.2.(5分)(2016·滨州模拟)设函数f(x)=cos(2x+φ)+sin(2x+φ),且其图象关于直线x=0对称,则()A.y=f(x)的最小正周期为π,且在上为增函数B.y=f(x)的最小正周期为π,且在上为减函数C.y=f(x)的最小正周期为,且在上为增函数D.y=f(x)的最小正周期为,且在上为减函数【解析】选B.f(x)=cos(2x+φ)+sin(2x+φ)=2=2cos,因为ω=2,所以T==π,又函数图象关于直线x=0对称,所以φ-=kπ(k∈Z),即φ=kπ+(k∈Z),又因为|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2cos2x,令2kπ≤2x≤2kπ+π(k∈Z),解得:kπ≤x≤kπ+(k∈Z),所以函数的递减区间为(k∈Z),又(k∈Z),所以函数在上为减函数,则y=f(x)的最小正周期为π,且在上为减函数,故选B.3.(5分)(2016·武汉模拟)在三角形ABC中,A,B,C是三角形ABC的内角,设函数f(A)=2sin sin+sin2-cos2,则f(A)的最大值为.【解析】函数f(A)=2sin sin+sin2-cos2=2sin sin+sin2-cos2=2sin cos-=sinA-cosA=sin,由于A是三角形的内角,所以0<A<π,-<A-<,故当A-=时,即A=时,函数f(A)的最大值为.答案:【加固训练】(2016·长春模拟)函数f(x)=2sin cos+的最大值为.【解析】因为f(x)=2sin+=sin cos-sin2+=sinx-+=sin,所以f(x)max=1.答案:14.(12分)(2016·德州模拟)已知函数f(x)=2cosωx(sinωx-cosωx)+1(ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数f(x)图象的对称轴方程和单调递减区间.(2)若函数g(x)=f(x)-f,求函数g(x)在区间上的最小值和最大值.【解析】f(x)=2cosωx(sinωx-cosωx)+1=sin2ωx-cos2ωx=sin.由于函数f(x)的最小正周期为T==π,故ω=1,即函数f(x)=sin.(1)令2x-=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z),即为函数f(x)图象的对称轴方程.令+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),得+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),即函数f(x)的单调递减区间是(k∈Z).(2)g(x)=f(x)-f=sin-sin=2sin,由于x∈,则0≤2x-≤,故当2x-=即x=时函数g(x)取得最大值2,当2x-=,即x=时函数g(x)取得最小值-2.5.(13分)某居民小区内建有一块矩形草坪ABCD,AB=50米,BC=25米,为了便于居民平时休闲散步,该小区物业管理公司将在这块草坪内铺设三条小路OE,EF和OF,考虑到小区整体规划,要求点O是AB的中点,点E在边BC上,点F在边AD上,且OE⊥OF,如图所示.(1)设∠BOE=α,试将△OEF的周长l表示成α的函数关系式,并求出此函数的定义域.(2)经核算,三条路每米铺设费用均为400元.试问如何设计才能使铺路的总费用最低?并求出最低总费用.【解题提示】(1)由题意可知∠OFA=α,利用直角三角形中边角的关系列式,结合图形求定义域.(2)利用换元法求最值,要注意α的范围.【解析】(1)在Rt△BOE中,OE=,在Rt△AOF中,OF=.在Rt△OEF中,EF==,当点F在点D时,角α最小,α=,当点E在点C时,角α最大,α=,所以l=,定义域为.(2)设t=sinα+cosα,α∈,所以≤t≤,l==∈[50(+1),50(+1)],所以当α=时,l min=50(+1),总费用最低,为20000(+1)元.。

单元评估检测(一)第一章(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知下列结论:①-2∈Z;②π∉Q;③N⊆N*;④Q R.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.因为Z,Q,N,N*,R分别表示整数集、有理数集、自然数集(包括0),正整数集,实数集,又因为-2是整数,π是无理数,所以①正确;②正确;③不正确;④正确.2.(2016·济宁模拟)已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x(x-2)<0},则A∩B=()A.{0}B.{-1}C.{1}D.{0,-1,1}【解析】选C.因为B={x|0<x<2},所以A∩B={1}.【一题多解】解答本题还可用如下方法:选C.验证法:当x=0时,x(x-2)=0<0不成立;当x=-1时,x(x-2)=3<0不成立;当x=1时,x(x-2)=-1<0成立.结合答案选项可知选C.3.命题“∃x0∈∁R Q,∈Q”的否定是()A.∃x0∉∁R Q,∈QB.∃x0∈∁R Q,∉QC.∀x∉∁R Q,x2∈QD.∀x∈∁R Q,x2∉Q 【解析】选D.“∃x0∈∁R Q”的否定为“∀x∈∁R Q”,“∈Q”的否定为“x2∉Q”.【加固训练】已知命题p:∃x 0>1,-1>0,那么p是()A.∀x>1,x2-1>0B.∀x>1,x2-1≤0C.∃x0>1,-1≤0D.∃x0≤1,-1≤0【解析】选B.“∃x0>1,-1>0”的否定为“∀x>1,x2-1≤0”.4.(2016·青岛模拟)设A=,B={x|x≥a}.若A⊆B,则实数a的取值范围是()A.a<B.a≤C.a≤1D.a<1【解析】选C.A={1,2,3,4},由A⊆B得a≤1.【误区警示】本题易误选A或B,出现错误的原因是忽视了集合A中“x∈Z”这一条件及对端点值的验证.5.(2016·临沂模拟)使x2>4成立的充分不必要条件是()A.2<x<4B.-2<x<2C.x<0D.x>2或x<-2 【解题提示】要分清谁是谁成立的充分不必要条件.【解析】选A.因为x2>4的解集为{x|x>2或x<-2},故A选项正确.6.已知集合M=,N={x|x≤-3},则集合{x|x≥1}=()A.M∩NB.M∪NC.∁R(M∩N)D.∁R(M∪N)【解题提示】先解不等式,化简集合M,再数形结合求解.【解析】选D.<0⇔(x+3)(x-1)<0⇔-3<x<1,即M={x|-3<x<1},由图易知{x|x≥1}=∁R(M∪N).7.(2016·聊城模拟)p:x>1,y>1,q:x+y>2,xy>1,则p是q的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.由不等式的结论可得p⇒q,但x=100,y=0.1,满足x+y>2,xy>1,但不满足p,故p是q的充分而不必要条件.8.设等差数列{a n}的公差为d,则a1d>0是数列{}为递增数列的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【解析】选 A.数列{}为递增数列⇔>⇔>1⇔>1⇔>1⇔a1d>0.【加固训练】“sinα≠sinβ”是“α≠β”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.α=β⇒sinα=sinβ,但sinα=sinβα=β.因此α=β是sinα=sinβ的充分不必要条件,从而“sinα≠sinβ”是“α≠β”的充分不必要条件.9.已知命题p:∃x 0∈R,x0<+1,命题q:∀x∈R,sin4x-cos4x≤1,则p∨q,p∧q,p∨q,p∧(q)中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选C.因为x2-x+1>0对∀x∈R恒成立,即x<x2+1恒成立,所以p真;因为sin4x-cos4x=(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)=sin2x-cos2x=-cos2x≤1恒成立,所以q真.故p假,q假,所以p∨q真,p∧q真,p∨q真,p∧(q)假.10.(2016·淄博模拟)已知函数f(x)=x2+bx+c,则“c<0”是“∃x0∈R,使f(x0)<0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解题提示】把问题转化为方程x2+bx+c=0有根的情况解答.【解析】选A.若c<0,则Δ=b2-4c>0,所以∃x0∈R,使f(x0)<0成立.若∃x0∈R,使f(x0)<0,则有Δ=b2-4c>0,即b2-4c>0即可,所以当c=1,b=3时,满足Δ=b2-4c>0,所以“c<0”是“∃x0∈R,使f(x0)<0”的充分不必要条件.【误区警示】解答本题易误选C,出错的原因就是不能进行合理转化,尤其反推时,不知道举反例,而导致误选C.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2016·合肥模拟)对于集合M,N,定义M-N={x|x∈M,且x∉N},M⊕N=(M-N)∪(N-M).设A={y|y=x2-3x,x∈R},B={y|y=-2x,x∈R},则A⊕B等于__________.【解题提示】先化简集合A,B,再按新定义计算.【解析】因为A=,B={y|y<0},所以A-B={y|y≥0},B-A=,A⊕B=(A-B)∪(B-A)=.答案:∪[0,+∞)12.命题:已知x∈R,若x<1,则x2<1的逆否命题是__________________________.【解析】已知x∈R是大前提,所以原命题的逆否命题是:已知x∈R,若x2≥1,则x≥1.答案:已知x∈R,若x2≥1,则x≥113.已知集合A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},定义集合A×B={(x,y)|x∈A,y∈B},集合A×B中属于集合{(x,y)|log x y∈N}的元素的个数是________.【解析】由定义可知A×B中的元素为(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8).其中使log x y∈N的有(2,2),(2,4),(2,8),(4,4)共4个.答案:414.(2016·枣庄模拟)下列3个命题:①“函数f(x)=tan(x+φ)为奇函数”的充要条件是“φ=kπ(k∈Z)”;②“如果x2+x-6≥0,则x>2”的否命题;③在△ABC中,“A>30°”是“sinA>”的充分不必要条件.其中真命题的序号是________.【解析】当φ=时,f(x)=tan==(x≠kπ,k∈Z),f(-x)===-f(x),即f(x)为奇函数,所以①为假命题;命题“如果x2+x-6≥0,则x>2”的否命题是“若x2+x-6<0,则x≤2”,因为x2+x-6<0⇔-3<x<2,所以②为真命题;在△ABC 中,当A=160°时,sinA=sin160°=sin20°<sin30°=.所以③为假命题.答案:②15.(2016·北京模拟)设集合A={x|x2+2x-3>0},集合B={x|x2-2ax-1≤0,a>0}.若A∩B中恰含有一个整数,则实数a的取值范围是____________.【解题提示】先化简集合A,再结合二次函数的图象求解.【解析】A={x|x2+2x-3>0}={x|x>1或x<-3},因为函数y=f(x)=x2-2ax-1的对称轴为x=a>0,f(0)=-1<0,根据对称性可知要使A∩B中恰含有一个整数,则这个整数为2,所以有f(2)≤0且f(3)>0,即所以即≤a<.答案:【加固训练】(2015·大连模拟)若命题“∀x∈R,ax2-a2x-2≤0”是真命题,则实数a的取值范围是________.【解析】当a=0时,-2≤0成立,当a≠0时,由题意,得解得-2≤a<0,综上所述,a∈[-2,0].答案:[-2,0]三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)已知集合A={x|x2-1<0},B={x|x+a>0}.(1)若a=-,求A∩B.(2)若A∩B=A,求实数a的取值范围.【解析】A={x|-1<x<1}.(1)当a=-时,B==,所以A∩B=.(2)若A∩B=A,则A⊆B,因为B={x|x>-a},所以-a≤-1,即a≥1.17.(12分)设集合A={x|x2+ax-12=0},B={x|x2+bx+c=0},且A≠B,A∪B={-3,4},A∩B={-3},求a,b,c的值.【解析】因为A∩B={-3},所以-3∈A,且-3∈B,所以(-3)2-3a-12=0,解得a=-1,A={x|x2-x-12=0}={-3,4}.因为A∪B={-3,4},且A≠B,所以B={-3},即方程x2+bx+c=0有两个等根为-3,所以即b=6,c=9.综上a,b,c的值分别为-1,6,9.18.(12分)(2016·临沂模拟)已知命题p:函数y=log0.5(x2+2x+a)的定义域为R,命题q:函数y=-(5-2a)x是减函数,若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数a的取值范围.【解析】由函数y=log0.5(x2+2x+a)的定义域为R得x2+2x+a>0恒成立,所以Δ=4-4a<0,a>1,由函数y=-(5-2a)x是减函数,得5-2a>1,所以a<2.因为p∨q为真命题,p∧q为假命题,所以p,q必为一真一假,当p真q假时,所以a≥2.当p假q真时,所以a≤1.综上所述,a的取值范围是a≥2或a≤1.【加固训练】已知命题p:方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实根,命题q:不等式4x2+4(m-2)x+1>0的解集为R.若p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数m的取值范围.【解析】命题p为真时,实数m满足Δ1=m2-4>0且-m<0,解得m>2;命题q为真时,实数m满足Δ2=16(m-2)2-16<0,解得1<m<3.p∨q为真命题,p∧q为假命题,等价于p真q假或者p假q真.若p真q假,则实数m满足解得m≥3;若p假q真,则实数m满足解得1<m≤2.综上可知,所求m的取值范围是(1,2]∪[3,+∞).19.(12分)(2016·青岛模拟)已知p:x2≤5x-4,q:x2-(a+2)x+2a≤0.(1)求p中对应x的取值范围.(2)若p是q的必要不充分条件,求a的取值范围.【解析】(1)因为x2≤5x-4,所以x2-5x+4≤0,即(x-1)(x-4)≤0,所以1≤x≤4,即p中对应x的取值范围为1≤x≤4.(2)设p对应的集合为A={x|1≤x≤4}.由x2-(a+2)x+2a≤0,得(x-2)(x-a)≤0.当a=2时,不等式的解为x=2,对应的解集为B={2};当a>2时,不等式的解为2≤x≤a,对应的解集为B={x|2≤x≤a};当a<2时,不等式的解为a≤x≤2,对应的解集为B={x|a≤x≤2}.若p是q的必要不充分条件,则B A,当a=2时,满足条件;当a>2时,因为A={x|1≤x≤4},B={x|2≤x≤a},要使B A,则满足2<a≤4;当a<2时,因为A={x|1≤x≤4},B={x|a≤x≤2},要使B A,则满足1≤a<2.综上,1≤a≤4.20.(13分)已知集合A={y|y2-(a2+a+1)y+a(a2+1)>0},B=.(1)若A∩B=∅,求a的取值范围.ðA)∩B.(2)当a取使不等式x2+1≥ax恒成立的a的最小值时,求(R【解题提示】(1)先化简集合A,B,再由题意列关于a的不等式组求解.(2)先由题意确定a的值,再求解.【解析】A={y|y<a或y>a2+1},B={y|2≤y≤4}.(1)当A∩B=∅时,解得≤a≤2或a≤-.即a∈(-∞,-]∪[,2].(2)由x2+1≥ax,得x2-ax+1≥0,依题意Δ=a2-4≤0,即-2≤a≤2.所以a的最小值为-2.当a=-2时,A={y|y<-2或y>5}.所以∁R A={y|-2≤y≤5},故(∁R A)∩B={y|2≤y≤4}.21.(14分)求证:方程ax2+2x+1=0有且只有一个负数根的充要条件为a≤0或a=1.【解题提示】充分性与必要性分两步证明→充分性:a≤0或a=1作为条件,必要性:ax2+2x+1=0有且只有一个负数根作为条件.【证明】充分性:当a=0时,方程为2x+1=0,其根为x=-,方程只有一负根.当a=1时,方程为x2+2x+1=0,其根为x=-1,方程只有一负根.当a<0时,Δ=4(1-a)>0,方程有两个不相等的根,且<0,方程有一正一负两个根.所以充分性得证.必要性:若方程ax2+2x+1=0有且只有一负根.当a=0时,符合条件.当a≠0时,方程ax2+2x+1=0有实根,则Δ=4-4a≥0,所以a≤1,当a=1时,方程有一负根x=-1.当a<1时,若方程有且只有一负根,则所以a<0.所以必要性得证.综上,方程ax2+2x+1=0有且只有一个负数根的充要条件为a≤0或a=1.。

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阶段滚动月考卷(五)解析几何(时间:120分钟分值:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(滚动单独考查)设i为虚数单位,若=b-i(a,b∈R),则a+b= ( )A.1B.2C.3D.42.(滚动交汇考查)(2016·莱芜模拟)设点P(x,y),则“x=2且y=-1”是“点P在圆(x-2)2+y2=1上”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.(2016·合肥模拟)若圆(x-3)2+(y+5)2=r2上有且只有两个点到直线4x-3y=2的距离等于1,则半径r的取值范围是( )A.(4,6)B.[4,6)C.(4,6]D.[4,6]4.(滚动单独考查)(2016·邢台模拟)若a>b>c,则使+≥恒成立的最大的正整数k为( )A.2B.3C.4D.55.(滚动单独考查)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,为了得到g(x)=sin2x的图象,则只需将f(x)的图象( )A.向右平移个长度单位B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位D.向左平移个长度单位6.(2016·滨州模拟)已知A,B是圆O:x2+y2=1上的两个点,P是线段AB上的动点,当△AOB的面积最大时,则·-的最大值是( )A.-1B.0C.D.7.(滚动交汇考查)如图,已知点D为△ABC的边BC上一点,=3,E n(n∈N*)为边AC上的一列点,满足=a n+1-(3a n+2),其中实数列{a n}中a n>0,a1=1,则数列{a n}的通项公式为( )A.a n=2·3n-1-1B.a n=2n-1C.a n=3n-2D.a n=3·2n-1-28.(2016·聊城模拟)已知点F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点,若△ABF2是锐角三角形,则该椭圆的离心率e的取值范围是( )A.(0,-1)B.(-1,1)C.(-1,+∞)D.(-1,1)9.曲线的方程为+=2,若直线l:y=kx+1-2k与曲线有公共点,则k的取值范围是( )A. B.C.∪[1,+∞)D.∪(1,+∞)10.(2016·南充模拟)已知抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C:-=1(a>0,b>0)渐近线的距离为,点P是抛物线y2=8x上的一动点,P到双曲线C的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3,则该双曲线的方程为( ) A.-=1 B.y2-=1C.-x2=1D.-=1二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(滚动单独考查)若实数x,y满足则z=x+2y的最小值是.12.(2016·衡水模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,双曲线的一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为.13.(滚动单独考查)用[x]表示不大于实数x的最大整数,方程lg2x-[lgx]-2=0的实根个数是.14.若对任意α∈R,直线l:xcosα+ysinα=2sin+4与圆C:(x-m)2+(y-m)2=1均无公共点,则实数m的取值范围是.15.已知F1,F2为双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线,垂足为M,且满足||=3||,则此双曲线的渐近线方程为.三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(滚动单独考查)已知函数f(x)=sin+cos+2cos2x-1.(1)求函数f(x)的最小正周期.(2)若α∈且f(α)=,求cos2α.17.(12分)(滚动单独考查)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形,侧面PAB是正三角形,AB=2,BC=,PC=.点E,H分别为PA,AB的中点.(1)求证:PH⊥AC.(2)求三棱锥P-EHD的体积.18.(12分)(2016·滨州模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)经过点M(-2,-1),离心率为.过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C 交于异于M的另外两点P,Q.(1)求椭圆C的方程.(2)试判断直线PQ的斜率是否为定值,证明你的结论.19.(12分)(2016·泰安模拟)已知各项都不相等的等差数列{a n}的前六项和为60,且a6为a1与a21的等比中项.(1)求数列{a n}的通项公式a n及前n项和S n.(2)若数列{b n}满足b n+1-b n=a n(n∈N*),且b1=3,求数列的前n项和T n.20.(13分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右顶点、上顶点分别为A,B,坐标原点到直线AB的距离为,且a= b.(1)求椭圆C的方程.(2)过椭圆C的左焦点F1的直线l交椭圆于M,N两点,且该椭圆上存在点P,使得四边形MONP(图形上的字母按此顺序排列)恰好为平行四边形,求直线l的方程.21.(14分)(滚动单独考查)已知函数f(x)=ax+(1-a)lnx+(a∈R).(1)当a=0时,求f(x)的极值.(2)当a<0时,求f(x)的单调区间.(3)方程f(x)=0的根的个数能否达到3,若能,请求出此时a的范围,若不能,请说明理由.答案解析1.C 因为=b-i(a,b∈R),所以a+2i=bi+1,所以a=1,b=2,则a+b=3.2.A 当x=2且y=-1时,(x-2)2+y2=(2-2)2+(-1)2=1,满足点在圆上,当x=1,y=0时,满足(x-2)2+y2=1但x=2且y=-1不成立,即“x=2且y=-1”是“点P在圆(x-2)2+y2=1上”的充分不必要条件.【加固训练】(2016·兰州模拟)如果直线ax+by=4与圆C:x2+y2=4有两个不同的交点,那么点(a,b)和圆C的位置关系是( )A.在圆外B.在圆上C.在圆内D.不能确定A 因为直线ax+by=4与圆C:x2+y2=4有两个不同的交点,所以圆心(0,0)到直线ax+by-4=0的距离d=<2,所以a2+b2>4,所以点(a,b)在圆C的外部.3.A 因为圆心(3,-5)到直线4x-3y=2的距离等于=5,由|5-r|<1得4<r<6.4.C 因为a>b>c,所以a-b>0,b-c>0,a-c>0,且a-c=a-b+b-c.又因为+=+=2++≥2+2=4,当且仅当b-c=a-b,即a+c=2b时取等号.所以k≤+,k≤4,故k的最大正整数为4.5.A 由函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象可得A=1,=·=-,求得ω=2.因为题干中图象过点,且|φ|<,所以2×+φ=π,所以φ=,f(x)=sin.故把f(x)=sin的图象向右平移个长度单位,可得y= sin=sin2x=g(x)的图象.6.C 由题意知:△AOB的面积S=||||sin∠AOB=×1×1×sin∠AOB=sin∠AOB,当∠AOB=时,S取最大值,此时⊥,如图所示,不妨取A(1,0),B(0,1),设P(x,1-x),所以·-=·(-)=·=(x-1,1-x)·(-x,x-1)=-x(x-1)+(1-x)(x-1)=(x-1)(1-2x)=-2x2+3x-1,x∈[0,1],当x=-=时,上式取最大值.7.A 因为=3,所以=+=+=+(+)=-+, 设m=,因为=a n+1-(3a n+2),-+=a n+1-(3a n+2),所以-m=a n+1,m=-(3a n+2),所以a n+1=(3a n+2),所以a n+1+1=3(a n+1),因为a1+1=2,所以{a n+1}是以2为首项,3为公比的等比数列,所以a n+1=2·3n-1,所以a n=2·3n-1-1.8.B 因为点F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点,所以F1(-c,0),F2(c,0),A,B,因为△ABF2是锐角三角形,所以∠AF2F1<45°,所以tan∠AF2F1<1,所以<1,整理,得b2<2ac,所以a2-c2<2ac,两边同时除以a2,并整理,得e2+2e-1>0,解得e>-1,或e<--1(舍),又因为0<e<1,所以椭圆的离心率e的取值范围是(-1,1).【误区警示】解答本题易出现以下错误:一是没有注意椭圆离心率的范围,而选错答案;二是运算错误得出错误选项.9.A 方程+=2表示的是动点P(x,y)到点A(-1,0),B(1,0)的距离之和为2,即有P的轨迹为线段AB:y=0(-1≤x≤1),直线l:y=kx+1-2k为恒过定点C(2,1)的直线,k AC==,k BC==1,直线l:y=kx+1-2k与曲线有公共点,等价为k AC≤k≤k BC,即为≤k≤1. 【误区警示】解答本题易出现如下错误:一是不能观察曲线方程,造成不会解题;二是没有注意x的取值范围,误将线段当作直线去做,造成结果错误.10.【解题提示】确定抛物线的焦点坐标,双曲线的渐近线方程,进而可得b与a的关系,再利用抛物线的定义,结合P到双曲线C的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3,可得FF1的值,从而可求双曲线的几何量,从而得出双曲线的方程.C 抛物线y2=8x的焦点F(2,0),双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线的方程为ax-by=0,因为抛物线y2=8x的焦点F到双曲线C:-=1(a>0,b>0)渐近线的距离为,所以=,所以a=2b.因为P到双曲线C的上焦点F1(0,c)的距离与到直线x=-2的距离之和的最小值为3,所以FF1=3,所以c2+4=9,所以c=,因为c2=a2+b2,a=2b,所以a=2,b=1,所以双曲线的方程为-x2=1.11.【解析】由实数x,y满足作出可行域如图:因为z=x+2y,作出直线y=-x,当直线y=-x过点O时z取得最小值,所以z=x+2y的最小值是0.答案:012.【解析】因为双曲线的一个焦点在直线l上,令y=0,可得x=-5,即焦点坐标为(-5,0),所以c=5,因为双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x+10,所以=2,因为c2=a2+b2,所以a2=5,b2=20,所以双曲线的方程为-=1.答案:-=113.【解题提示】先进行换元,令lgx=t,则得t2-2=[t],作y=t2-2与y=[t]的图象可得解的个数.【解析】令lgx=t,则得t2-2=[t].作y=t2-2与y=[t]的图象,知t=-1,t=2,及1<t<2内有一解.当1<t<2时,[t]=1,所以t=.故得:x=,x=100,x=1,即共有3个实根.答案:314.【解题提示】求出圆心到直线的距离大于半径,结合对任意α∈R恒成立,即可求得实数m的取值范围.【解析】由题意,圆心到直线的距离d=|mcosα+msinα-2sin-4|>1,所以|(2m-2)sin-4|>1,所以(2m-2)sin-4>1或(2m-2)sin-4<-1,所以-<m<.答案:-<m<15.【解析】根据题意由双曲线的性质:焦点到渐近线的距离等于b可得:||=b,则||=3b,||=a,||=c,cos∠F1OM=cos(π-∠MOF2)=-cos∠MOF2=-,在△MF1O中,由余弦定理可知=-,又因为c2=a2+b2,所以a2=2b2,即=,所以双曲线的渐近线方程为y=±x.答案:y=±x【加固训练】若点P是椭圆+y2=1上的动点,则点P到直线l:y=x+1的距离的最大值是.【解析】设P(cosθ,sinθ),则点P到直线l:y=x+1的距离为= .所以点P到直线l:y=x+1的距离的最大值是=.答案:16.【解析】(1)因为f(x)=sin2x-cos2x+cos2x+sin2x+cos2x=sin2x+cos2x=sin.所以函数f(x)的最小正周期T==π.(2)因为f(α)=,所以sin=,所以sin=,因为α∈,所以≤2α+≤,所以cos=-,所以cos2α=cos=cos cos+sin sin=-×+×=-.17.【解题提示】(1)根据勾股定理的逆定理得BC⊥PB,由四边形ABCD 为矩形,得BC⊥AB,从而BC⊥平面PAB,进而平面PAB⊥平面ABCD,由此能证明PH⊥平面ABCD,从而可得PH⊥AC.(2)由V P-EHD=V D-PEH,利用等积法能求出三棱锥P-EHD的体积.【解析】(1)因为PAB为正三角形,AB=2,所以PB=AB=2,因为BC=,PC=,所以PC2=BC2+PB2,所以根据勾股定理的逆定理得BC⊥PB,因为四边形ABCD为矩形, 所以BC⊥AB,因为PB,AB⊂平面PAB且交于点B,所以BC⊥平面PAB,因为BC⊂平面ABCD,所以平面PAB⊥平面ABCD.因为点H为AB的中点,△PAB为正三角形,所以PH⊥AB,所以PH⊥平面ABCD,因为AC⊂平面ABCD,所以PH⊥AC.(2)由(1)知DA⊥平面PEH,DA=BC=,S△PEH=S△PAB=×××2=,所以三棱锥P-EHD的体积V P-EHD=V D-PEH=×DA×S△PEH=××=.18.【解析】(1)因为椭圆C:+=1(a>b>0)经过点M(-2,-1),离心率为.所以+=1,①且=,②由①,②解得a2=6,b2=3,所以椭圆C的方程为+=1.(2)直线PQ的斜率为定值,证明如下:由题意可得直线MP,MQ的斜率都存在.设P(x1,y1),Q(x2,y2).直线MP的方程为y+1=k(x+2),与椭圆C的方程联立,得(1+2k2)x2+(8k2-4k)x+8k2-8k-4=0,因为-2,x1是该方程的两根,所以-2x1=,即x1=.设直线MQ的方程为y+1=-k(x+2),同理得x2=.因为y1+1=k(x1+2),y2+1=-k(x2+2),所以k PQ====1,因此直线PQ的斜率为定值.19.【解题提示】(1)设等差数列{a n}的公差为d,由题意建立方程组,求得d和a1,根据等差数列的通项公式和求和公式,分别求得a n及前n 项和S n.(2)由(1)中的a n和S n,根据迭代法得:b n=(b n-b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b2-b1)+b1,结合条件化简后求得b n,再利用裂项法求得,代入前n项和T n再相消后化简即可.【解析】(1)设等差数列{a n}的公差为d,则解得所以a n=2n+3,S n==n(n+4).(2)因为b n+1-b n=a n,所以b n-b n-1=a n-1=2n+1(n≥2,n∈N*),当n≥2时,b n=(b n-b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b2-b1)+b1=a n-1+a n-2+…+a1+b1=S n-1+b1=(n-1)(n-1+4)+3=n(n+2),对b1=3也适合,所以b n=n(n+2)(n∈N*),所以==,则T n===.20.【解析】(1)设直线AB的方程为bx+ay-ab=0,坐标原点到直线AB 的距离为=,=,又因为a=b,解得a=4,b=2,故椭圆的方程为+=1.(2)由(1)可求得椭圆的左焦点为F1(-2,0),易知直线l的斜率不为0,故可设直线l:x=my-2,点M(x1,y1),N(x2,y2), 因为四边形MONP为平行四边形,所以,=+=(x1+x2,y1+y2)⇒P(x1+x2,y1+y2).联立⇒(m2+2)y2-4my-8=0,则y1+y2=,x1+x2=m(y1+y2)-4,所以x1+x2=,因为点P(x1+x2,y1+y2)在椭圆上,所以(x1+x2)2+2(y1+y2)2=16⇒+2=16⇒m=±,那么直线l的方程为x=±y-2.21.【解题提示】(1)代入a的值,求出定义域,求导,利用导数求出单调区间,即可求出极值.(2)直接对f(x)求导,根据a的不同取值,讨论f(x)的单调区间.(3)由第二问的结论,即函数的单调区间来讨论f(x)的零点个数.【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞).当a=0时,f(x)=lnx+,f′(x)=-=.令f′(x)=0,解得x=1,当0<x<1时,f′(x)<0;当x>1时,f′(x)>0.所以f(x)的单调递减区间是(0,1),单调递增区间是(1,+∞);所以x=1时,f(x)有极小值为f(1)=1,无极大值.(2)f′(x)=a--==(x>0),令f′(x)=0,得x=1或x=-,当-1<a<0时,1<-,令f′(x)<0,得0<x<1或x>-,令f′(x)>0,得1<x<-;当a=-1时,f′(x)=-≤0.当a<-1时,0<-<1,令f′(x)<0,得0<x<-或x>1,令f′(x)>0,得-<x<1;综上所述:当-1<a<0时,f(x)的单调递减区间是(0,1),,单调递增区间是;当a=-1时,f(x)的单调递减区间是(0,+∞);当a<-1时,f(x)的单调递减区间是,(1,+∞),单调递增区间是.(3)当a≥0时,f′(x)=(x>0),f′(x)=0(x>0)仅有1解,方程f(x)=0至多有两个不同的解.由(2)知-1<a<0时,极小值f(1)=a+1>0,方程f(x)=0至多在区间上有1个解.a=-1时f(x)单调,方程f(x)=0至多有1个解;a<-1时,f<f(1)=a+1<0,方程f(x)=0仅在区间内有1个解;故方程f(x)=0的根的个数不能达到3.关闭Word文档返回原板块。

2021版高考北师大版文科数学一轮复习易错考点排查练概率统计含解析温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl，滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后.关闭Word文档返回原板块.易错考点排查练概率统计1。

下列说法正确的是（)A.某厂一批产品的次品率为,则任意抽取其中10件产品一定会发现一件次品B。

掷一枚硬币,连续出现5次正面向上，第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为0。

5C。

某医院治疗一种疾病的治愈率为10％，那么前9个病人都没有治愈,第10个病人就一定能治愈D。

气象部门预报明天下雨的概率是90%,说明明天该地区90％的地方要下雨,其余10％的地方不会下雨【解析】选B.A。

产品的次品率是大量的产品通过试验得到的数据,题目中的产品个数很少，故不正确；B。

掷硬币正面或反面朝上的概率是通过大量试验得到的准确的值,和试验次数无关,故正确;C。

解释同A选项,也不正确；D.事件的概率是大量试验后得到的结果，是准确的值,和试验次数无关,但是D选项的说法体现的不是概率的概念，故不正确.2.任意掷两枚骰子，则出现点数之和为奇数的概率和点数之和为偶数的概率分别为()A。

,B。

，C.，D。

，【解析】选B.任意掷两枚骰子,所得可能结果用（x，y)表示，其中x表示第一枚抛掷出现的点数,y表示第二枚抛掷出现的点数,则试验的所有结果为：（1,1），（1,2）,（1，3），(1,4）,(1,5），（1，6),(2，1),（2，2)，（2,3)，(2,4），（2,5），(2,6），(3，1），（3，2),（3，3）,（3，4)，（3,5）,(3,6）,(4，1）,(4，2）,(4，3），（4,4）,（4，5），(4，6)，(5，1）,(5,2),(5,3),（5，4）,（5，5），(5，6），(6，1),（6，2），（6，3),（6，4），(6,5),(6，6),共36个基本事件。

所以出现点数之和为奇数的有(1，2)，（1，4），（1,6)，(2,1）,（2，3)，（2,5)，(3,2）,（3，4),（3，6),(4，1),（4，3）,（4,5）,(5，2）,（5，4)，（5,6）,（6，1),(6，3）,(6，5），共18个,因此点数之和为奇数的概率为=。

单元评估检测(四)第四章(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知下列命题:①0没有方向;②1是单位向量;③若a=b,b=c,则a=c;④若a∥b,b∥c(b≠0),则a∥c.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3 【解析】选C.0有方向,其方向是任意的,1是实数,不是单位向量,所以①②都假;由向量相等的意义知③真;因为b≠0,所以④真.2.(2015·福建高考)若(1+i)+(2-3i)=a+bi(a,b∈R,i是虚数单位),则a,b的值分别等于()A.3,-2B.3,2C.3,-3D.-1,4【解题提示】根据复数相等的含义求解.【解析】选A.由题可知3-2i=a+bi,因为a,b均为实数,所以a=3,b=-2.【加固训练】(2016·长春模拟)已知=1-yi,其中x,y是实数,i是虚数单位,则x+yi的共轭复数为()A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i【解析】选D.由==1-yi得解得故x+yi的共轭复数为2-i.3.在平行四边形ABCD中,已知=,=3,设=a,=b,若=xa+yb,则xy= ()A. B.-C. D.-【解题提示】数形结合,利用向量的线性运算法则求解.【解析】选D.如图,因为=,=3,所以===b,===-a,=+=b-a=-a+b,又因为=xa+yb,a与b不共线,所以x=-,y=,xy=-×=-.4.(2016·烟台模拟)已知点A,B,则与向量方向相同的单位向量是()A. B.C. D.【解析】选C.=,||==,所以=.5.(2016·临沂模拟)已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+4b与a-2b共线,则m的值为()A. B.2C.-D.-2【解析】选D.由题意,得ma+4b=(2m-4,3m+8),a-2b=(4,-1), 所以-2m+4-4(3m+8)=0,即m=-2.【加固训练】已知a=(1,x),b=(-1,x),若2a-b 与a+2b 垂直,则|a|=( ) A.1 B.C.D.2【解析】选B.因为a=(1,x),b=(-1,x), 所以2a-b=(3,x),a+2b=(-1,3x), 又因为2a-b 与a+2b 垂直, 所以(2a-b)·(a+2b)=-3+3x 2=0, 即x 2=1, 故|a|===.6.向量a,b 均为非零向量,(a-2b)⊥a,(b-2a)⊥b,则a,b 的夹角为 ( ) A. B.C.D.【解析】选B.因为(a-2b)·a=|a|2-2a ·b=0,即|a|2=2a ·b,(b-2a)·b=|b|2-2a ·b=0,即|b|2=2a ·b,所以|a|2=|b|2,即|a|=|b|, 设a 与b 的夹角为θ,则cos θ=||||a ba b =221||2||a a =,因为θ∈[0,π],所以θ=.【加固训练】1.若|a|=2,|b|=4且(a+b)⊥a,则a 与b 的夹角是 ( ) A. B. C.D.-【解析】选A.根据题意,由于|a|=2,|b|=4且(a+b)⊥a,则有(a+b)·a=0⇔a 2+b ·a=0⇔4+b ·a=0,所以b ·a=-4,那么可知a 与b 的夹角的余弦值为||||b ab a =-=-,则a 与b 的夹角是.2.若非零向量a,b 满足|a|=3|b|=|a+2b|,则a 与b 夹角的余弦值为________.【解析】由|a|=|a+2b|,设a 与b 的夹角为θ,等式两边平方得a 2+4a ·b+4b 2=a 2⇒a ·b=-b 2,所以cos θ=||||a b a b =223||-b b =-.答案:-7.已知菱形ABCD 的边长为2,∠BAD=120°,点E,F 分别在边BC,DC 上,BC=3BE,DC=λDF.若·=1,则λ的值为 ( )A.-1B.1C.-2D.2【解析】选D.如图,由题意可得·=||·||cos120°=2×2×=-2,在菱形ABCD中,易知=,=,所以=+=+,=+=+,·=·=+-2=1,解得λ=2.8.(2016·威海模拟)已知向量a,b 的夹角为120°,且|a|=1,|b|=2,则向量a-b 在向量a+b 上的投影是 ( ) A.-B.C.D.-3【解析】选A.由已知,向量|a-b|2=|a|2+|b|2-2a ·b=1+4+2=7,|a+b|2=|a|2+|b|2+ 2a ·b=1+4-2=3,(a-b)·(a+b)=|a|2-|b|2=-3,则cos<a-b,a+b>=()()||||-+-+a b a b a b a b==-,向量a-b 在向量a+b 上的投影是|a-b|cos<a-b,a+b>=×=-.9.(2016·枣庄模拟)在△ABC中,=(+),若sinC·+sinA·+sinB·=0,则△ABC的形状为()A.等边三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【解析】选A.设角A,B,C的对边分别是a,b,c,由=(+),可知P为BC的中点,结合题意及正弦定理可得c+a+b=0,故c(-)+a-b=(a-c)+(c-b)=0,而与为不共线向量,所以a-c=c-b=0,即a=b=c.10.设a,b,c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量,且满足a与b不共线,a⊥c,|a|=|c|,则|b·c|的值一定等于()A.以a,b为邻边的平行四边形的面积B.以b,c为邻边的平行四边形的面积C.以a,b为两边的三角形的面积D.以b,c为两边的三角形的面积【解题提示】数形结合,注意利用每两个向量夹角间的关系进行转化求解.【解析】选A.如图,设b与c的夹角为θ,因为a⊥c,所以a与b的夹角为-θ,因为|a|=|c|,所以|b·c|=||b||c|cosθ|=所以|b·c|是以a,b为邻边的平行四边形的面积.【加固训练】(2016·中山模拟)如图所示,点A,B,C是圆O上的三点,CO的延长线与线段AB交于圆内一点D,若=x+y,则()A.0<x+y<1B.x+y>1C.x+y<-1D.-1<x+y<0【解析】选 C.由于A,B,D三点共线,所以可设=α,则=+=+α=+α(-)=(1-α)+α,由于O,C,D三点共线,且点D在圆内,点C在圆上,与方向相反,则存在λ<-1,使得=λ=λ[(1-α)+α]=λ(1-α)+λα=x+y,因此x=λ(1-α),y=λα,所以x+y=λ<-1.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2015·四川高考)设i是虚数单位,则复数i-=________.【解题提示】利用i2=-1,对所求式子化简,便可求解.【解析】i-=i-=i+i=2i.答案:2i12.(2016·聊城模拟)已知平面向量a=(1,2),b=(4,2),c=ma+b(m∈R),且a·c=a2,则实数m的值为________.【解析】由题意,得c=m(1,2)+(4,2)=(m+4,2m+2),所以a·c=m+4+(2m+2)×2=5m+8,a2=(12+22)=3,5m+8=3,m=-1.答案:-113.已知向量a=(m,2),b=(-1,-2),若a+b与a-b共线,则a与b的夹角为________.【解析】因为a=(m,2),b=(-1,-2),所以a+b=(m-1,0),a-b=(m+1,4),由题意得,4(m-1)-0=0,即m=1,所以a=(1,2),因为b=(-1,-2),所以b=-a,即a与b共线反向,所以其夹角为π.答案:π14.(2015·浙江高考)已知e1,e2是平面单位向量,且e1·e2=.若平面向量b满足b·e1=b·e2=1,则|b|=__________.【解析】由题可知,不妨设e1=(1,0),e2=,设b=(x,y),则b·e1=x=1,b·e2=x+y=1,所以b=,所以|b|==,答案:【加固训练】(2016·厦门模拟)已知向量a=(x-1,2),b=(4,y),若a⊥b,则9x+3y的最小值为________.【解析】若a⊥b,则a·b=0,所以2x+y=2,由基本不等式得9x+3y≥6,当且仅当9x=3y,即x=,y=1时等号成立.答案:615.设非零向量a,b的夹角为θ,记f(a,b)=acosθ-bsinθ,若e1,e2均为单位向量,且e1·e2=,则向量f(e1,e2)与f(e2,-e1)的夹角为______.【解题提示】根据e1·e2=求e1与e2的夹角,进而确定e2与-e1的夹角,根据新定义求向量f(e1,e2)与f(e2,-e1)的数量积,由此确定其夹角.【解析】设e1,e2的夹角为α,则e2与-e1的夹角为π-α,由题意,得|e1|=|e2|=1,所以e1·e2=|e1||e2|cosα=cosα=,故α=,π-α=π,所以f(e1,e2)=e1cos-e2sin=e1-e2,f(e2,-e1)=e2cosπ-=e1-e2,f(e1,e2)·f(e2,-e1)==-e1·e2+=-=0.所以f(e1,e2)与f(e2,-e1)的夹角为.答案:【方法技巧】平面向量的数量积的运算技巧(1)平面向量数量积的运算类似于多项式的乘法运算,特别要注意乘法公式的应用.(2)熟记公式a2=|a|2=a·a,在遇到向量模的问题时,可将所给等式(不等式)两边平方,将向量问题转化为实数问题来解决.三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)解答下列各题(1)若z=,求|z|.(2)设复数z的共轭复数为,且z·-3iz=,求z.【解析】(1)z=====--i,所以|z|==.(2)设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,因为z·-3iz=,所以a2+b2-3ai+3b=,即(a2+b2+3b)-3ai=1+3i,所以解得或所以z=-1或z=-1-3i.17.(12分)已知△ABC是等腰直角三角形,||=||=1.=4.(1)求·(-).(2)若点M在线段BC上,求·的最大值.【解析】(1)如图,以A点为坐标原点,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(0,1),因为=4,所以==(-1,1)=,所以D,所以=,-==(1,-1),所以·(-)=-=.(2)设=x=(-x,x),所以M(-x+1,x),=(-x+1,x),=,·=(-x+1)+x=-2x2+x-=-2-=-2+.又因为x∈[0,1],所以(·)max=.18.(12分)(2016·临沂模拟)已知a=,b=A(cos2φ,-sin2φ),f(x)=a·b的部分图象如图所示,P,Q分别是该图象的最高点和最低点,点P的坐标为(1,A),点R的坐标为(1,0),△PRQ的面积为.(1)求A及φ的值.(2)将f(x)的图象向左平移2个单位长度后得到函数g(x)的图象,求函数g(x)的单调减区间.【解析】(1)因为f(x)=a·b=Acos xcos2φ-Asin xsin2φ=Acos,所以函数f(x)的周期T==6.如图,设PQ与x轴的交点为M,则点M是函数f(x)的图象与x轴的一个交点,由题意得|RM|=T=,|PR|=A,所以S△PRQ=2·S△PRM=2×××A=,即A=,所以P(1,),f(x)=cos,f(1)=sin=,即sin=1,所以+2φ=+2kπ(k∈Z).因为|φ|<,所以φ=,综上,A=,φ=.(2)由(1)得f(x)=cos,由题意得g(x)=cos=cos,由2kπ≤x+π≤2kπ+π(k∈Z),得6k-≤x≤6k+(k∈Z),即函数g(x)的单调减区间为(k∈Z).【加固训练】已知复平面内平行四边形ABCD(A,B,C,D按逆时针排列),A点对应的复数为2+i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i.(1)求点C,D对应的复数.(2)求平行四边形ABCD的面积.【解题提示】运用向量、复数间的对应关系解题.【解析】(1)设点O为原点,因为向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i, 所以向量对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i,又=+,所以点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i,又=+=(1+2i)+(3-i)=4+i,=-=2+i-(1+2i)=1-i,所以=+=1-i+(4+i)=5,所以点D对应的复数为5.(2)由题知=(1,2),=(3,-1),因为·=||||cosB,所以cosB===,所以sinB=,又||=,||=,所以面积S=||||sinB=××=7.所以平行四边形ABCD的面积为7.19.(12分)设a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且|a-kb|=|ka+b|(k>0).(1)若f(k)=a·b,求f(k)的表达式.(2)当f(k)取最小值时,求向量a与b的夹角.【解题提示】(1)利用条件建立k与a·b的关系,由此求f(k)的表达式.(2)利用函数的思想求f(k)的最小值,并由此求向量a与b的夹角.【解析】(1)因为a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),所以|a|=|b|=1.由|a-kb|=|ka+b|,得3(a-kb)2=(ka+b)2,即3(1-2ka ·b+k 2)=k 2+2ka ·b+1,8ka ·b=2k 2+2,因为k>0,所以a ·b=.所以f(k)=a ·b=(k>0). (2)因为k>0,f(k)==+≥2=, 当且仅当=,即k=1时,“=”成立,此时a ·b==,设a 与b 的夹角为θ,则cos θ=||||a b a b =, 因为θ∈[0,π],所以θ=.【一题多解】解答本题(1)还可采用如下解法:因为a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),所以a-kb=(cos α-kcos β,sin α-ksin β),ka+b=(kcos α+cos β,ksin α+sin β),(a-kb)2=(cos α-kcos β)2+(sin α-ksin β)2=1+k 2-2kcos(α-β),(ka+b)2=(kcos α+cos β)2+(ksin α+sin β)2=1+k 2+2kcos(α-β), 由|a-kb|=|ka+b|,得3(a-kb)2=(ka+b)2,即3[1+k 2-2kcos(α-β)]=1+k 2+2kcos(α-β),所以cos(α-β)=,所以f(k)=a ·b=cos αcos β+sin αsin β=cos(α-β)=(k>0). 20.(13分)已知m=(1,1),向量n 与m 的夹角为,且m ·n=-1. (1)求向量n 的坐标.(2)已知q=(1,0),若n ⊥q,p=,其中A,C 为△ABC 的内角,且A+C=,求|n+p|的最小值.【解题提示】(1)根据题意列方程组求向量n 的坐标.(2)根据题意转化为三角函数的最值.【解析】(1)设n=(x,y),由题意得m·n=x+y=-1.①cos=,=-,x2+y2=1.②联立①②得,或即n=(-1,0)或n=(0,-1).(2)因为q=(1,0),n⊥q,所以n=(0,-1),所以n+p==(cosA,cosC),|n+p|=,因为A+C=,所以C=-A,A∈,所以|n+p|===.因为A∈,所以2A+∈,所以当2A+=π,即A=时,|n+p|min==.21.(14分)(2016·青岛模拟)已知A,B,其中x∈.(1)求||的表达式.(2)若·=(O为坐标原点),求tanx的值.(3)若f(x)=+4λ||(λ∈R),求函数f(x)的最小值.【解题提示】(1)先求的坐标,再求模.(2)利用向量的数量积转化为三角函数的条件求值.(3)转化为关于sinx的二次函数的最值问题,注意x的取值范围.【解析】(1)||===.因为x∈,所以||=-2sinx.(2)因为·=cos cos x-sin sin x=cos2x,所以cos2x=,1-2sin2x=,sin2x=,因为x∈,所以sinx=-.进而可得cosx=,所以tanx=-.(3)f(x)=+4λ||=4sin2x-8λsinx=4(sinx-λ)2-4λ2,因为x∈,所以sinx∈[-1,0].①当-1≤λ≤0时,f(x)的最小值为-4λ2,此时sinx=λ;②当λ<-1时,f(x)的最小值为8λ+4,此时sinx=-1;③当λ>0时,f(x)的最小值为0,此时sinx=0.【加固训练】(2016·福州模拟)已知点A(2,0),B(0,2),O(0,0),C(cosα,sinα),且0<α<π.(1)若|+|=,求与的夹角.(2)若⊥,求tanα的值.【解析】(1)因为|+|=,所以(2+cosα)2+sin2α=7,所以cosα=.又因为α∈(0,π),所以α=∠AOC=, 又因为∠AOB=,所以与的夹角为.(2)=(cosα-2,sinα),=(cosα,sinα-2).因为⊥,所以·=0,所以cosα+sinα=,①所以(cosα+sinα)2=,所以2sinαcosα=-.又因为α∈(0,π),所以α∈. 因为(cosα-sinα)2=1-2sinαcosα=,cosα-sinα<0,所以cosα-sinα=-.②由①②得cosα=,sinα=, 所以tanα=-.。

单元评估检测(八)第八章(120分钟150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.过点P(1,2)的直线l平分圆C:x2+y2+4x+6y+1=0的周长,则直线l的斜率为()A. B.1 C. D.【解析】选A.圆的方程可化为(x+2)2+(y+3)2=12.因为l平分圆C的周长,所以l过圆C的圆心(-2,-3),又因为l过点P(1,2),所以k l==.2.(2016·济宁模拟)抛物线x2=ay的准线方程是y=1,则实数a的值为()A.-4B.4C.D.-【解析】选A.由条件知-=1,所以a=-4.3.(2016·枣庄模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离为c(c为双曲线的半焦距长),则双曲线的离心率为()A. B. C. D.3【解析】选C.由条件知,=c,所以=,所以4b2=5a2,因为a2+b2=c2,所以4c2=9a2,所以e==.4.点P是抛物线y2=4x上一点,P到该抛物线焦点的距离为4,则点P的横坐标为()A.2B.3C.4D.5【解析】选B.设点P的横坐标为x0,抛物线的准线为x=-1,根据抛物线的定义可知,P到该抛物线焦点的距离等于P到该准线的距离,即x0-(-1)=4,所以x0=3,即点P的横坐标为3.5.(2016·莱芜模拟)已知圆C:(x+1)2+(y-1)2=1与x轴切于A点,与y轴切于B点,设劣弧AB 的中点为M,则过点M的圆C的切线方程是()A.y=x+2-B.y=x+1-C.y=x-2+D.y=x+1-【解析】选A.由已知得M,又切线斜率为1,故切线方程为y+-1=x-+1,即y=x+2-.6.(2016·泰安模拟)已知实数1,m,9成等比数列,则圆锥曲线+y2=1的离心率为()A. B.2 C.或2 D.或【解析】选C.根据条件可知m2=9,所以m=±3,当m=3时,e==,当m=-3时,e=2,所以正确选项为C.【加固训练】(2016·长春模拟)如图,F1,F2是双曲线C1:x2-=1与椭圆C2的公共焦点,点A 是C1,C2在第一象限的公共点,若|F1F2|=|F1A|,则C2的离心率是()A. B. C.或 D.【解析】选B.设椭圆方程为+=1(a>b>0),由题意得,|AF1|=|F1F2|=2c=2=4,所以c=2,|AF1|-|AF2|=2,所以|AF2|=2,所以2a=|AF1|+|AF2|=6,所以a=3,所以e==.7.(2016·聊城模拟)若F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,M是椭圆上的任意一点,且△MF1F2的内切圆的周长为3π,则满足条件的点M的个数为()A.2B.4C.6D.不确定【解题提示】由内切圆的周长为3π可确定内切圆的半径,然后利用面积相等确定点M的纵坐标,进而确定M点的个数.【解析】选A.由△MF1F2的内切圆的周长为3π得,内切圆的半径r=,所以△MF1F2的面积为(|MF1|+|MF2|+|F1F2|)r=|F1F2|×|y M|,即(10+6)×=6×|y M|,得|y M|=4,所以满足条件的点M是短轴的2个端点.【加固训练】(2016·赣州模拟)设集合A=,B={(x,y)|y=3x},则A∩B的子集的个数是()A.4B.3C.2D.1【解析】选A.指数函数y=3x的图象与椭圆+=1有两个交点,所以A∩B中有2个元素,所以其子集有22=4个.8.已知抛物线y2=2px(p>0)与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于两点A,B(A,B异于原点),抛物线的焦点为F.若双曲线的离心率为2,|AF|=7,则p=()A.3B.6C.12D.42【解题提示】由双曲线的离心率可求出双曲线的渐近线方程,从而可求出A,B两点的坐标,然后利用抛物线的定义可求p的值.【解析】选B.因为双曲线的离心率为2,所以e2===4,即b2=3a2,所以双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±x,代入y2=2px(p>0),得x=p或x=0,故x A=x B=p,又因为|AF|=x A+=p+=7,所以p=6.9.(2016·烟台模拟)已知圆O:x2+y2-4=0,圆C:x2+y2+2x-15=0,若圆O的切线l交圆C于A,B两点,则△OAB面积的取值范围是()A.[2,2]B.[2,8]C.[2,2]D.[2,8]【解析】选A.圆O的切线l交圆C于A,B两点,则△OAB的面积S=AB·r,圆O:x2+y2-4=0的半径为r=2,AB是圆C:x2+y2+2x-15=0的弦长,圆C:x2+y2+2x-15=0的圆心C(-1,0),半径为4,圆心C到AB的距离最小时,AB最大,圆心C到AB的距离最大时,AB最小,如图,AB的最小值为:2=2;AB的最大值为:2=2;所以△OAB面积的最小值为:×2×2=2.△OAB面积的最大值为:×2×2=2.所以△OAB面积的取值范围是[2,2].10.我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F1,F2是一对“相关曲线”的焦点,P是它们在第一象限的交点,当∠F1PF2=60°时,这一对“相关曲线”中双曲线的离心率是()A. B. C. D.2【解析】选A.设椭圆的长半轴为a1,椭圆的离心率为e1,则e1=,a1=.双曲线的实半轴为a,双曲线的离心率为e,e=,a=.设|PF1|=x,|PF2|=y(x>y>0),则由余弦定理得4c2=x2+y2-2xycos60°=x2+y2-xy,当点P看成是椭圆上的点时,有4c2=(x+y)2-3xy=4-3xy,当点P看成是双曲线上的点时,有4c2=(x-y)2+xy=4a2+xy,两式联立消去xy得4c2=+3a2,即4c2=+3,所以+3=4,又因为=e,所以e2+=4,整理得e4-4e2+3=0,解得e2=3,所以e=,即双曲线的离心率为.【加固训练】(2016·孝感模拟)已知点F1,F2是双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右两焦点,若双曲线左支上存在点P与点F2关于直线y=x对称,则双曲线的离心率为()A. B. C.2D.【解析】选D.过焦点F2且垂直渐近线y=x的直线方程为:y-0=-(x-c),联立渐近线方程y=x与y-0=-(x-c),解得x=,y=,故对称中心的点坐标为,由中点坐标公式可得点F2的对称点P的坐标为,将其代入双曲线的方程可得-=1,化简可得c2=5a2,故可得e==.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把正确答案填在题中横线上)11.(2016·菏泽模拟)直线kx+y+k+1=0与圆x2+y2+2x-2y-2=0相切,则k=.【解析】圆心到直线的距离为d==2,解得k=0.答案:012.以抛物线y2=20x的焦点为圆心,且与双曲线-=1的两条渐近线都相切的圆的方程为.【解析】由已知可以知道,抛物线的焦点坐标为(5,0),双曲线的渐近线方程为y=±x,则所求圆的圆心为(5,0),利用圆心到直线3x-4y=0的距离为半径r,则有r==3,故圆的方程为(x-5)2+y2=9.答案:(x-5)2+y2=913.(2015·浙江高考)椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F(c,0)关于直线y=x的对称点Q在椭圆上,则椭圆的离心率是.【解题提示】利用已知条件求出点Q的坐标,从而求出a,b,c的关系.【解析】设F(c,0)关于直线y=x的对称点为Q(m,n),则有解得m=,n=,所以Q在椭圆上,即有+=1,解得a2=2c2,所以离心率e==.答案:【加固训练】已知椭圆C:+=1,点M与椭圆C的焦点不重合.若M关于椭圆C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在椭圆C上,则|AN|+|BN|=.【解析】如图,设MN的中点为P,由题意可知,PF1,PF2分别为△AMN,△BMN的中位线,所以|AN|+|BN|=2(|PF1|+|PF2|)=2×4=8.答案:814.抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,M是抛物线C上的点,若三角形OFM的外接圆与抛物线C的准线相切,且该圆的面积为36π,则p的值为.【解析】设△OFM的外接圆圆心为O1,则|O1O|=|O1F|=|O1M|,所以O1在线段OF的中垂线上,又因为☉O1与抛物线的准线相切,所以O1在抛物线上,所以O1,又因为圆面积为36π,所以半径为6,所以+p2=36,所以p=8.答案:815.若方程+=1所表示的曲线C,给出下列四个命题:①若C为椭圆,则1<t<4;②若C为双曲线,则t>4或t<1;③曲线C不可能是圆;④若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则1<t<.其中正确的命题是.(把所有正确命题的序号都填在横线上)【解析】若C为椭圆,则有4-t>0,t-1>0且4-t≠t-1,解得1<t<4且t≠,所以①不正确;若C为双曲线,则有(4-t)(t-1)<0,解得t>4或t<1,所以②正确;若t=时,该曲线表示为圆,所以③不正确;若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则4-t>t-1>0,解得1<t<,所以④错误.答案:②三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)16.(12分)(2016·青岛模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P(4,0).(1)设Q是抛物线C上的动点,求|PQ|的最小值.(2)过点P的直线l与抛物线C交于M,N两点,若△FMN的面积为6,求直线l的方程.【解题提示】(1)设Q(x,y),则|PQ|===,利用单调性即可得出.(2)设直线l:x=my+4,M(x1,y1),N(x2,y2),与抛物线方程联立可得根与系数的关系,再利用△FMN 的面积为6即可求出.【解析】(1)设Q(x,y),则|PQ|===,当x=2时,|PQ|min=2.(2)设直线l:x=my+4,M(x1,y1),N(x2,y2),焦点F(1,0).联立消去x得y2-4my-16=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-16,所以S△FMN=|PF|·|y1-y2|=×3×=×=6=6,所以m=±1,所以直线l的方程为:x+y-4=0或x-y-4=0.17.(12分)已知圆心在x轴上的圆C过点(0,0)和(-1,1),圆D的方程为(x-4)2+y2=4.(1)求圆C的方程.(2)由圆D上的动点P向圆C作两条切线分别交y轴于A,B两点,求|AB|的取值范围.【解题提示】(1)求出过两点(0,0)和(-1,1)的直线的垂直平分线方程,得到其与x轴的交点坐标,即圆C的圆心坐标,进一步求得半径,代入圆的标准方程即可.(2)设出P点坐标,然后求出切线方程,得到切线在y轴上的截距,利用换元法和配方法求得|AB|的取值范围.【解析】(1)过两点(0,0)和(-1,1)的直线的斜率为-1,则线段AB的垂直平分线方程为:y-=1×,整理得:y=x+1.取y=0,得x=-1.所以圆C的圆心坐标为(-1,0),半径为1,所以圆C的方程为:(x+1)2+y2=1.(2)设P(x0,y0),A(0,a),B(0,b),则直线PA方程为=,整理得:(y0-a)x-yx0+ax0=0.因为直线PA与圆C相切,可得=1,化简得(x0+2)a2-2y0a-x0=0,同理可得PB方程(x0+2)b2-2y0b-x0=0,所以a,b为方程(x0+2)x2-2y0x-x0=0的两根,所以|AB|=|a-b|===2·,令t=x0+2∈[4,8],则|AB|=2·,求得|AB|min=,|AB|max=.|AB|的取值范围是.18.(12分)已知椭圆+=1(a>b>0),离心率e=,且过点.(1)求椭圆方程.(2)Rt△ABC以A(0,b)为直角顶点,边AB,BC与椭圆交于B,C两点,求△ABC面积的最大值. 【解析】(1)由e=,即=,又a2-b2=c2,得a=3b,把点代入椭圆方程可得:+=1⇒b=1,所以椭圆方程为:+y2=1.(2)不妨设直线AB的方程为y=kx+1,则直线AC的方程为y=-x+1,由得(1+9k2)x2+18kx=0⇒x B=,把k用-代换,可得x C=,从而有|AB|=,|AC|=,于是S△ABC=|AB||AC|=162=162.令t=k+≥2,有S△ABC==≤,当且仅当t=>2时,(S△ABC)max=.19.(12分)(2016·烟台模拟)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,右焦点为F,右顶点A 在圆F:(x-1)2+y2=r2(r>0)上.(1)求椭圆C和圆F的方程.(2)已知过点A的直线l与椭圆C交于另一点B,与圆F交于另一点P.请判断是否存在斜率不为0的直线l,使点P恰好为线段AB的中点,若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由. 【解析】(1)由题意可得c=1,又由题意可得=,所以a=2,所以b2=a2-c2=3,所以椭圆C的方程为+=1,所以椭圆C的右顶点为A(2,0),代入圆F的方程,可得r2=1,所以圆F的方程为(x-1)2+y2=1.(2)假设存在直线l:y=k(x-2)(k≠0)满足条件,由得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.设B(x1,y1),则2+x1=,可得中点P,由点P在圆F上可得+=1,化简整理得k2=0,又因为k≠0,所以不存在满足条件的直线l.【一题多解】解决本题(2)还有如下方法:假设存在直线l满足题意,由(1)可得OA是圆F的直径,所以OP⊥AB.由点P是AB的中点,可得|OB|=|OA|=2.设点B(x1,y1),则由题意可得+=1.又因为直线l的斜率不为0,所以<4,所以|OB|2=+=+3=3+<4,这与|OA|=|OB|矛盾,所以不存在满足条件的直线l.20.(13分)(2015·湖南高考)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:+=1(a>b>0)的一个焦点.C1与C2的公共弦的长为2.过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D 两点,且与同向.(1)求C2的方程.(2)若︱AC︱=︱BD︱,求直线l的斜率.【解题提示】(1)由题意可得F的坐标为(0,1),又因为F也是椭圆C2的一个焦点,可得a2-b2=1,根据C1与C2的公共弦长为2,C1与C2都关于y轴对称可得+=1,然后得到对应曲线方程即可.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)根据=,可得(x3+x4)2-4x3x4=(x1+x2)2-4x1x2,设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1,联立直线与抛物线方程、直线与椭圆方程、利用根与系数的关系进行计算即可得到结果.【解析】(1)由C1:x2=4y知其焦点F的坐标为(0,1),因为F也是椭圆C2的一个焦点,所以a2-b2=1①;又C1与C2的公共弦长为2,C1与C2都关于y轴对称,且C1的方程为:x2=4y,由此易知C1与C2的公共点的坐标为,所以+=1②,联立①②得a2=9,b2=8,故C2的方程为+=1.(2)如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),因为与同向,且|AC|=|BD|,所以=,从而x3-x1=x4-x2,即x3-x4=x1-x2,于是(x3+x4)2-4x3x4=(x1+x2)2-4x1x2③,设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1,由得x2-4kx-4=0,由x1,x2是这个方程的两根,所以x1+x2=4k,x1x2=-4④,由得(9+8k2)x2+16kx-64=0,而x3,x4是这个方程的两根,所以x3+x4=-,x3x4=-,⑤将④,⑤代入③,得16(k2+1)=+.即16(k2+1)=,所以(9+8k2)2=16×9,解得k=±,即直线l的斜率为±.21.(14分)一种画椭圆的工具如图1所示.O是滑槽AB的中点,短杆ON可绕O转动,长杆MN 通过N处铰链与ON连接,MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动,且DN=ON=1,MN=3.当栓子D 在滑槽AB内作往复运动时,带动N绕O转动,M处的笔尖画出的椭圆记为C.以O为原点,AB 所在的直线为x轴建立如图2所示的平面直角坐标系.(1)求椭圆C的方程.(2)设动直线l与两定直线l1:x-2y=0和l2:x+2y=0分别交于P,Q两点.若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,说明理由.【解析】(1)因为|OM|≤|MN|+|NO|=3+1=4,当M,N在x轴上时,等号成立;同理|OM|≥|MN|-|NO|=3-1=2,当D,O重合,即MN⊥x轴时,等号成立.所以椭圆C的中心为原点O,长半轴长为4,短半轴长为2,其方程为+=1.(2)当直线l的斜率不存在时,直线l为x=4或x=-4,都有S△OPQ=×4×4=8.当直线l的斜率存在时,设直线l:y=kx+m,由消去y,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0.因为直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,所以Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-16)=0,即m2=16k2+4.①又由可得P,同理可得Q.由原点O到直线PQ的距离为d=和|PQ|=|x P-x Q|,可得S△OPQ=|PQ|·d=|m||x P-x Q|=·|m|=.②将①代入②得,S△OPQ==8.当k2>时,S△OPQ=8=8>8;当0≤k2<时,S△OPQ=8=8.因0≤k2<,则0<1-4k2≤1,≥2,所以S△OPQ=8≥8,当且仅当k=0时取等号.所以当k=0时,S△OPQ的最小值为8.综上可知,当直线l与椭圆C在四个顶点处相切时,△OPQ的面积取得最小值8.。