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谈谈备考复习中的几个数学思想和意识一、考试说明3．个性品质要求考生能以平和的心态参加考试，合理支配考试时间，以实事求是的科学态度解答试题，树立战胜困难的信心，体现锲而不舍的精神.4．考查要求(1)对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，注重学科的内在联系和知识的综合.(2)数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括.对数学思想和方法的考查与数学知识的考查结合进行，考查时，从学科整体意义和思想含义上立意，注重通性通法，淡化特殊技巧.(3)对数学能力的考查，以抽象概括能力和推理论证能力为核心，全面考查各种能力.强调探究性、综合性、应用性.突出数学试题的能力立意，坚持素质教育导向.(4)注重试题的基础性、综合性和层次性.合理调控综合程度，坚持多角度，多层次的考查.二、北京卷的特点“大气、平和，贯通融合”……试题遵循“立德树人、服务选才，引导教学”的命题思路，渗透传统数学文化，立足主干知识，突出数学思想方法，凸显能力立意，注重数学素养和创新能力的考查考查的是学生的“探索实践、猜想证明和化归转化”的基本思想方法和能力.北京卷解析几何题的落脚点还是“能力”！北京卷一贯秉持“多想少算”的理念，我们在意的是学生“动手尝试、探索实践”的能力和“先猜再证”的基本研究方法.”问题研究的过程，从来都是“大胆猜想、小心证明”的过程．三、几个数学思想方法的体会1．特殊与一般的思想通过对某些个例的认识，积累对这类事物的了解，由现象到本质，由实践到理论；再用所得到的规律解决这类事物中的新问题.这种由特殊到一般再由一般到特殊的反复认识的过程，就是人们认识世界的基本过程之一.在高考考查中，突出体现的是极端原理、特殊化的方法，常见的有构造特殊函数，构造特殊图形，寻找特殊点，确定特殊位置，利用特殊值、特殊方程等.（1）一般与特殊的思想应该是一种思考的习惯例1．（东城区2019届高三上学期期末）在菱形ABCD中，若BD=，则C B D B⋅的值为.国际象棋棋盘 构造特殊图形例2．（昌平区2019届高三上学期期末）设点12,F F 分别为椭圆22:195x y C +=的左、右焦点，点P 是椭圆C 上任意一点，若使得12PF PF m ⋅=成立的点恰好是4个，则实数m 的值可以是A ．12 B ．3 C ．5 D ．8 关注椭圆的顶点例3．（18西城二模8）在直角坐标系xOy 中，对于点(,)x y ，定义变换σ：将点(,)x y变换为点(,)a b ，使得tan ,tan ,x a y b =⎧⎨=⎩其中ππ,(,)22a b ∈-．这样变 换σ就将坐标系xOy 内的曲线变换为坐标系aOb 内的曲线．则四个函数12(0)y x x =>，22(0)y x x =>，3e (0)x y x =>，4ln (1)y x x =>在坐标系xOy 内的图象，变换为坐标系aOb 内的四条曲线（如图）依次是（A ）②，③，①，④（B ）③，②，④，① （C ）②，③，④，①（D ）③，②，①，④ 关注特殊点（0,0）--（0,0），（1,1）--（π4，π4），（0,1）--（0，π4），（1,0）--（π4，0） 选A 例4、一个国际象棋棋盘（由88⨯个方格组成），其中有一个小方格因破损而被剪去（破损位置不确定）. “L ”形骨牌由三个相邻的小方格组成，如图所示. 现要将这个破损的棋盘剪成数个“L ”形骨牌，则（A ）至多能剪成19块“L ”形骨牌（B ）至多能剪成20块“L ”形骨牌（C ）一定能剪成21块“L ”形骨牌（D ）前三个答案都不对分象限简化问题，而不是从2×2，2×3，3×3……规律列举例5、（东城区2019届高三上学期期末）已知函数2()e 2x f x ax x x =--．(Ⅰ) 当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；(Ⅱ) 当0x >时，若曲线()y f x =在直线y x =-的上方，求实数a 的取值范围．利用相切猜测例6、【2015年高考北京卷理科第18题】已知函数1()ln1x f x x+=-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求证：当(0,1)x ∈时，3()2()3x f x x >+； （Ⅲ）设实数k 使得3()()3x f x k x >+对(0,1)x ∈恒成立，求k 的最大值． 关注特殊值猜想，然后论证（2）特殊到一般的过程是一个深化认识的过程例8．（西城区2019届高三上学期期末）已知椭圆222 1(2x y C a a +=： 点分别为,A B ，点M 是椭圆C 上异于,A B 的一点，直线AM 与y 轴交于点P .（Ⅰ）若点P 在椭圆C 的内部，求直线A M 的斜率的取值范围；（Ⅱ）设椭圆C 的右焦点为F ，点Q 在y 轴上，且//AQ BM ，求证：PFQ ∠为定值.在解决问题时可以，先让点P 和M 重合时观察一下角的值，然后推理证明；再进一步推广，对于任意的椭圆，只要在横轴上确定点F(b,0)都可得到类似的结论；也可以把问题改变成“求以PQ 为直径的圆过定点”的问题2、分类讨论 分类又称逻辑划分．分类讨论既是一种数学思维方法，也是一种重要的解题策略，本质上是“化整为零，积零为整”的解题策略，就是将一个较复杂的数学问题分解（或分割）成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.对问题进行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题（或综合性问题）分解为小问题（或基础性问题），优化解题思路，降低问题难度.例1、（14年理科5）设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件例2、数列{a n }的前n 项和为S n =n 2+1，则数列的通项公式为__________ 有关概念引起的讨论 例3、椭圆的方程为2212x y m+=的离心率为12，则m 的值为（ ） A 、32 B 、83 C 、23或38 D 、32或83图形的不确定性 例4、已知函数2()ln(1)(0)2k f x x x x k =+-+≥ 参数取值 (Ⅰ)当k =2时，求曲线y =f (x )在点(1，(1)f )处的切线方程；(Ⅱ)求f (x )的单调区间.解：（I ）322ln 230x y -+-=.（II ）(1)()1x kx k f x x+-'=+，(1,)x ∈-+∞. 当0k =时，()1x f x x '=-+.所以，在区间(1,0)-上，()0f x '>；在区间(0,)+∞上，()0f x '<. 故()f x 得单调递增区间是(1,0)-，单调递减区间是(0,)+∞.当01k <<时，由(1)()01x kx k f x x+-'==+，得10x =，210k x k -=>. 所以，在区间(1,0)-和1(,)k k-+∞上，()0f x '>；在区间1(0,)k k -上，()0f x '<. 故()f x 得单调递增区间是(1,0)-和1(,)k k -+∞，单调递减区间是1(0,)k k-. 当1k =时，2()1x f x x'=+.故()f x 得单调递增区间是(1,)-+∞. 当1k >时，(1)()01x kx k f x x +-'==+，得11(1,0)k x k-=∈-，20x =. 所以，在区间1(1,)k k --和(0,)+∞上，()0f x '>；在区间1(,0)k k-上，()0f x '<. 故()f x 的单调递增区间是1(1,)k k --和(0,)+∞，单调递减区间是1(,0)k k-. 例5、正五边形ABCDE 中，若把顶点A 、B 、C 、D 、E 染上红、黄、绿、三种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不同的染色方法共有（ ）A ．30种B ．27种C ．24种D ．21种3、数与形结合数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化.对数量关系的研究可以转化为对图形性质的研究，反之，也可以使对图形性质的研究转化为对数量关系的研究，这种解决数学问题过程中“数”与“形”相互转化的研究策略，即是数学结合的思想.数形结合思想是一种可使复杂问题简单化、抽象问题直观化的常用的数学思想方法.例1．已知点A(0,2),B(2,0),若点C 在函数y=x 2的图象上,则使得ABC ∆的面积为2的点C 的个数为A. 4B. 3C. 2D. 1分析:显然OBC ∆的面积是2,点C 的个数转化为如图分别过原点O 及点(4,0)与AB 平行直线,这两条平行线与y=x 2交点个数的问题,4个交点,故选A. 直观分析例2．向量(2,0)a =，(,)b x y =，若b 与b a -的夹角等于6π，则b 的最大值为（ ） A ．4 B．C ．2 D几何化，再认识，转化概念 例3．（2011海淀一模理14）如图，线段AB =8，点C 在线段AB 上，且AC =2，P 为线段CB 上一动点，点A 绕点C 旋转后与点B 绕点P旋转后重合于点D .设CP =x ， △CPD 的面积为()f x .则()f x 的定义域为 ； 导函数'()f x 的零点是 .（2，4）， 3再认识，概念转化例4.（海淀19期末8）8.已知集合{}(,)150,150,,A s t s t s N t N =≤≤≤≤∈∈.若B A ⊆，且对任意的(,)a b B ∈，(,)x y B ∈，均有()()0a x b y --≤，则集合B 中元素个数的最大值为A ．25B ．49C ．75D ．99 几何化，直观描述概念 例5、（14年理科17）如图，正方形AMDE 的边长为2，B ，C分别为AM ，MD 的中点，在五棱锥P ABCDE -中，F 为棱PE的中点，平面ABF 与棱PD ，PC 分别交于点G 、H ．A C P BD（Ⅱ）若PA ⊥平面ABCDE ，且P A A E =，求直线BC 与平面ABF 所成角的大小，并求线段PH 的长．对基本图形要熟悉，补形为基本图形，再认识，概念转化例6、（海淀区2019届高三上学期期末）正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，动点M 在线段CC 1上，动点P 在平面1111A B C D 上，且AP ⊥平面1MBD .（Ⅰ）当点M 与点C 重合时，线段AP 的长度为 ；（Ⅱ）线段AP 长度的最小值为 .利用基本图形转化运动对象，再认识例7．已知点(1,1)A --．若曲线G 上存在两点,B C ，使ABC △为正三角形，则称G 为Γ型曲线．给定下列三条曲线：① 3(03)y x x =-+≤≤； ② 0)y x =≤； ③ 1(0)y x x =->． 其中，Γ型曲线的个数是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3对图形的定性分析，猜测判断例8．已知0a ≥，函数2()(2)x f x x ax e =-.（1）当x 为何值时，()f x 取得最小值？证明你的结论；答：（1）1x a =-（2）设()f x 在[1,1]-上是单调函数，求a 的取值范围. 答：（2）3[,)4+∞ 函数图像例9．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点(1,1)A -关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于13-. （Ⅰ）求动点P 的轨迹方程； ()22341x y x +=贡（Ⅱ）设直线AP 和BP 分别与直线3x =交于点,M N ，问：是否存在点P 使得PAB ∆与PMN ∆的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由. 几何性质分析4、函数与方程的思想 函数是高中高中代数的主干，包括概念、图象（数形结合）、性质（单调性），函数的思想是对函数内容在高层次的抽象、概括、提炼，从整体的角度来考虑问题、研究问题、解决问题.方程的思想是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设、解三步达到求值目的的解题思路和策略，它是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础.函数与方程的思想，既是函数思想与方程思想的体现，也是两种思想的综合运用，是研究变量与函数、相等与不相等过程中的基本数学思想.例1、（18年理科14）已知椭圆22221(0)x y M a b a b +=>>：，双曲线22221x y N m n-=：．若双曲线N 的 两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离 心率为__________；双曲线N 的离心率为__________12 合理的构建方程例2、（18年14题）在平面直角坐标系xOy 中，动点(,)P x y 到两坐标轴的距离之和等于它到定 点(1,1)的距离，记点P 的轨迹为C .给出下面四个结论：①曲线C 关于原点对称；②曲线C 关于直线y x =对称；③点2(,1)()R a a -∈在曲线C 上；④在第一象限内，曲线C 与x 轴的非负半轴、y 轴的非负半轴围成的封闭图形的面积小于12. 其中所有正确结论的序号是 . 根据方程分析图像性质例3．若2a >，则函数321()13f x x ax =-+在区间(0,2)上恰好有（ ） （A ）0个零点 （B ）1个零点 （C ）2个零点 （D ）3个零点 根据方程分析图像性质例4．（海淀区2019届高三上学期期末）已知函数2()xax x f x e -=． （Ⅰ）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a >时，求证：2()f x e>-对任意(0,)x ∈+∞成立.例5．（西城区2019届高三上学期期末）已知函数()ln f x x x a =-+，其中a ∈R ．（Ⅰ）如果曲线()y f x =与x 轴相切，求a 的值；（Ⅱ）如果函数2()()=f xg x x在区间(1,e)上不是单调函数，求a 的取值范围． 学生对导数问题的解答一般要经历四个环节：“分析问题”、 “构建函数”、 “研究函数”、 “解决问题”．“考生面对我们给出的题目，首先是弄明白要干什么，要解决的问题是什么，或更高一点，它能转化成什么问题” ；“接下来是思考为了解决上面的问题，有可能用到的函数是什么，学生要有根据问题构建恰当函数的意识和基本方法”；“研究上面构建出来的函数（一般要借助导数）”；“导数的考查不只停留在利用导数研究函数性质的层面，要能够利用刚构建的函数的性质去解决问题”． 例6．（2015年高考北京卷文科第20题）已知椭圆22:33C x y +=．过点(1,0)D 且不过点(2,1)E 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，直线AE 与直线3x =交于点M .（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；（Ⅲ）试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由． 方程消元，构建方程【分析】在第（Ⅱ）问中，显然,D E 分别为,AB AM 的中点，所以//DE BM ，即B M D Ek k =；在第（Ⅲ）问中，若设1122(,),(,)A x y B x y ，当AB 不垂直于x 轴时，11221//11x x DE BM x --⇔=-，即等价于12122()30x x x x +--=，余下的工作就简单了． 我们当然不要求学生一定要用上面的方法解决，而且这里涉及的平行截割定理多数学生也没有学过．但学生不难得到：11212323BMy x y x k x +---=-． 接下来他该怎么办呢？什么样的学生能做下去呢？首先，他要能猜到答案是平行，即1BM k =；其次，他要能想到证明1BM k =就是证明10BM k -=，因为直接计算BM k 是有一定难度的．只要能想到证明10BM k -=, 此后的问题就简单了．5、反思的意识反思问题表征，反思资源配置，反思策略选择，反思解题过程，多问几个“为什么这样解”。
