江苏省南通市启东市2019-2020学年高一下学期期末数学试题

2019-2020学年江苏省南通市启东中学高一（创新班）下学期期初考试数学试题一、单选题1．在ABC V 中，7,2,60AC BC B ===o ，则BC 边上的中线AD 的长为( )A ．1B ．3C ．2D ．7【答案】D【解析】由余弦定理可得：2222cos 3AC AB BC AB BC B AB =+-⋅⇒=，在ABD V 中，由余弦定理可得：2222cos 7AD AB BD AB BD B =+-⋅=，即可． 【详解】由余弦定理可得：22222cos 230AC AB BC AB BC B AB AB =+-⋅⇒--=．3AB ∴=在ABD V 中，由余弦定理可得：2222cos 7AD AB BD AB BD B =+-⋅=，7AD ∴=故选D ． 【点睛】本题主要考查了余弦定理，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答. 2．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图，若图中“努”在正方体的后面，那么这个正方体的前面是（）A．定B．有C．收D．获【答案】B【解析】试题分析：这是一个正方体的平面展开图，其直观图如下：共有六个面，其中面“努”与面“有”相对，所以图中“努”在正方体的后面，则这个正方体的前面是“有”．故选B．【考点】展开图与直观图.3．直线cos320xα+=的倾斜角的范围是( )A．π[6，π5π][26⋃，π)B．[0，π5π][66⋃，π)C．[0，5π]6D．π[6，5π]6【答案】B【解析】求出直线斜率为3kα=，根据cosα的范围即可求得斜率的范围，再由正切函数的图象即可求出直线倾斜角的范围. 【详解】直线方程化为斜截式为：323y xα=，斜率为33kα=-，因为cos [1,1]α∈-，所以斜率33[,]k ∈-， 根据正切函数的图象可知直线倾斜角的范围为[0，π5π][66⋃，π). 故选：B 【点睛】本题考查直线的倾斜角，三角函数的图象与性质，属于基础题.4．正方体1111ABCD A B C D -中，O 为底面ABCD 的中心，M 为棱1BB 的中点，则下列结论中错误的是( ) A ．1//D O 平面11A BCB ．1D O ⊥平面AMC C ．异面直线1BC 与AC 所成角为60︒D ．点B 到平面AMC 的距离为22【答案】D【解析】A 项，通过证明11//OD BO 来证明线面平行；B 项，建立空间直角坐标系，由10OD AM ⋅=u u u u r u u u u r 、10OD CM ⋅=u u u u r u u u u r推出1OD AM ⊥、1OD CM ⊥，从而证明线面垂直；C 项，利用公式11cos ||||AC BC AC BC θ⋅=⋅u u u r u u u u ru u ur u u u u r 可求得异面直线1BC 与AC 所成角的余弦值从而求得夹角；D 项，由等体积法求点到平面的距离即可判断. 【详解】A 项，连接11B D ，交11AC 于点1O ，连接BD ，根据正方体的性质可知，11D O 与BO 平行且相等，所以四边形11BOD O 是平行四边形，即11//OD BO ，又因为1//D O 平面11A BC ，故A 选项正确；B 项，设正方体的边长为1，分别以BA ，BC ，1BB 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图：则11(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(,,0)22B A C O ，11(0,0,),(1,1,1)2M D ，所以111,,122OD ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r ，11,0,2AM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r ，10,1,2CM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r ，因为10OD AM ⋅=u u u u r u u u u r ，10OD CM ⋅=u u u u r u u u u r，所以1OD AM ⊥，1OD CM ⊥，又因为AM CM M ⋂=，且AM ⊂平面AMC ，CM ⊂平面AMC ， 所以1D O ⊥平面AMC ，B 选项正确；C 项，根据B 项可得1(0,1,1)C ，所以1(0,1,1)BC =u u u u r ，(1,1,0)AC =-u u u r， 设异面直线1BC 与AC 所成角为θ，则111cos 2||||AC BC AC BC θ⋅==⋅u u u r u u u u ru u ur u u u u r ， 又0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以60θ︒=，C 选项正确； D 项，设正方体的边长为a ，则2BO a =，所以由勾股定理可得223MO OB BM =+=，根据题意可知MA MC =，O 是AC 的中点，故MO AC ⊥，所以21624MAC S AC MO a =⋅=V ，设点B 到平面MAC 的距离为h ，则13B MAC MAC V S h -=⋅V ，又因为13B MAC M ABC ABC V V S MB --==⋅V ，解得622ABC MAC S MB h S ⋅==≠V V ，D 错误.故选：D 【点睛】本题考查直线与平面平行和垂直的判定及异面直线和平面夹角的求解，属于中档题. 5．已知直线y ＝2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点A ，B 的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，则点C 的坐标为( ) A ．(－2，4) B ．(－2，－4)C ．(2，4)D ．(2，－4)【答案】C【解析】求出A (－4，2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，可写出BC 所在直线方程，与直线y ＝2x 联立，即可求出C 点坐标. 【详解】设A (－4，2)关于直线y ＝2x 的对称点为(x ，y )，则221424222y x y x -⎧⨯=-⎪⎪+⎨+-+⎪=⨯⎪⎩，解得42x y =⎧⎨=-⎩ ∴BC 所在直线方程为y －1＝2143---(x －3)，即3x ＋y －10＝0. 联立直线y=2x ，解得24x y =⎧⎨=⎩，则C (2，4)．故选C. 【点睛】本题主要考查了点关于直线的对称点，属于中档题.6．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( ) A ．50 m B ．100 m C ．120 m D ．150 m【答案】A【解析】如图所示，设水柱CD 的高度为h ．在Rt △ACD 中，由∠DAC=45°，可得AC=h ．由∠BAE=30°，可得∠CAB=60°．在Rt △BCD 中，∠CBD=30°，可得．在△ABC 中，由余弦定理可得：BC 2=AC 2+AB 2﹣2AC•ABcos60°．代入即可得出． 【详解】 如图所示，设水柱CD 的高度为h ．在Rt △ACD 中，∵∠DAC=45°，∴AC=h ． ∵∠BAE=30°，∴∠CAB=60°．又∵B ，A ，C 在同一水平面上，∴△BCD 是以C 为直角顶点的直角三角形， 在Rt △BCD 中，∠CBD=30°，∴．在△ABC 中，由余弦定理可得：BC 2=AC 2+AB 2﹣2AC•ABcos60°．∴（3h ）2=h 2+1002﹣121002h ⨯⨯， 化为h 2+50h ﹣5000=0，解得h=50． 故选A ．【点睛】解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等. 7．已知直线l 方程为(),0f x y =，()111,P x y 和()222,P x y 分别为直线l 上和l 外的点，则方程()()()1122,,,0f x y f x y f x y --=表示（ ） A ．过点1P 且与l 垂直的直线 B ．与l 重合的直线C ．过点2P 且与l 平行的直线D ．不过点2P ，但与l 平行的直线【答案】C【解析】先判断直线与l 平行，再判断直线过点2P ，得到答案. 【详解】由题意直线l 方程为(),0f x y =，则方程()()()1122,,,0f x y f x y f x y --= 两条直线平行，()111,P x y 为直线l 上的点，()11,0f x y =，()()()1122,,,0f x y f x y f x y --=，化为()()22,,0f x y f x y -=，显然()222,P x y 满足方程()()()1122,,,0f x y f x y f x y --=，所以()()()1122,,,0f x y f x y f x y --=表示过点2P 且与l 平行的直线． 故答案选C ．【点睛】本题考查了直线的位置关系，意在考查学生对于直线方程的理解情况.8．如图，23BACπ∠=，圆M与AB、AC分别相切于点D、E，1AD=，点P是圆M及其内部任意一点，且()AP x AD y AE x y R=+∈u u u v u u u v u u u v、，则x y+的取值范围是（）A．1,423⎡⎤+⎣⎦B．423,423⎡⎤-+⎣⎦C．1,23⎡⎤+⎣⎦D．23,23⎡⎤-+⎣⎦【答案】B【解析】连接AM并延长分别交圆M于Q T、，连接DE，DE与AM交于R，显然1122AR AD AEu u u r u u u r u u u r=+，此时1x y+=，分别过Q T、作DE的平行线，由于1,120AD AE BAC==∠=，则2,3AM DM==，则23AQ=-，12AR=，23(423)(23)(23)2AQ AR AD AEu u u r u u u r u u u r u u u r-==-=-+-，此时423x y+=-，同理可得：(23)(23)AT AD AEu u u r u u u r u u u r=+++，423x y+=+，选B.【点睛】此题为向量三点共线的拓展问题，借助点P在等和线DE上1x y+=去求x y+的取值范围，由于点P是圆M及其内部任意一点，所以分别过Q T、作圆的切线，求出两条等和线的x y+值，就可得出x y+的取值范围，本题型在高考中出现多次，要掌握解题方法.二、多选题9．已知直线a ，两个不重合的平面α，β.若//αβ，a α⊂，则下列四个结论中正确的是( )A ．a 与β内所有直线平行B ．a 与β内的无数条直线平行C ．a 与β内的任意直线都不垂直D ．a 与β没有公共点【答案】BD【解析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解。

2019-2020学年江苏省南通市启东市高一（上）期末数学试卷一、单项选择题：1．（3分）sin()3π-的值是( )A ．12B C ．12-D ．2．（3分）函数()f x =的定义域为( ) A ．3(,]2-∞B ．3(,)2-∞C ．3(,2)(2,]2-∞--⋃D ．3(,2)(2,)2-∞--U3．（3分）满足{1}{1A ⊆Ü，2，3}的集合A 的个数为( ) A ．2B ．3C ．8D ．44．（3分）在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB CD =，E 是边CD 上的点，且13CE CD =．若记AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r，则(BE =u u u r ) A ．23a b -+r rB ．23a b +r rC ．43a b +r rD ．2133a b +r r5．（3分）已知5sin 13θ=-，θ是第三象限角，则cos()3πθ-的值为( )A B C D6．（3分）已知向量(2,1)m =r ，(0,1)n =r ，(3,4)p =r ，若R λ∈，()//m n p λ+r r r，则(λ=) A ．35B ．35-C ．53D ．53-7．（3分）已知321.4a -=，321.7b -=，21.7c -=，则( ) A ．a c b <<B ．c b a <<C ．a b c <<D ．b c a <<8．（3分）在平面直角坐标系中，设角α的终边上任意一点P 的坐标是(,)x y ，它与原点的距离是(0)r r >，规定：比值y x r -叫做α的正余混弦，记作sch α．若1(0)5sch ααπ=<<，则tan (α= )A ．34-B ．34 C ．43-D ．43二、多项选择题：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9．（3分）已知全集U R =，集合A ，B 满足A B Ü，则下列选项正确的有( ) A ．A B B =IB ．A B B =UC ．()U A B =∅I ðD ．()U A B =∅I ð10．（3分）已知a r ，b r ，c r 是三个非零向量，则下列结论正确的有( ) A ．若||||a b a b =r rr r g，则//a b r r B ．若//a b r r ，//b c r r ，则//a c r rC ．若a b b c =r r r r g g ，则a b =rrD ．若||||a b a b +=-r rr r ，则a b ⊥r r11．（3分）下列函数中，既是偶函数，又在区间(,0)-∞上单调递减的函数是( ) A ．32y x =B ．||1()2x y =C ．121log ||y x = D ．sin y x =12．（3分）如图所示，点M ，N 是函数()2cos()(0,)22f x x ππωϕωω=+>-<<的图象与x 轴的交点，点P 在M ，N 之间的图象上运动，若(1,0)M -，且当MPN ∆的面积最大时，PM PN ⊥，则( )A ．(0)2f =B ．2πωϕ+=C ．()f x 的单调增区间为[18k -+，18]()k k Z +∈D ．()f x 的图象关于直线5x =对称三、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 13．（3分）计算：1321()log 3264--= ．14．（3分）已知函数2323,,23(),1,24, 1.x x f x x x x x ⎧+-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪⎪⎩„…若()2f x =，则x = ．15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形ABCD 的顶点A ，B 分别在x 轴非负半轴和y 轴的非负半轴上滑动，顶点C 在第一象限内，2AB =，1BC =，设DAx θ∠=，若4πθ=，则点C 的坐标为：若(0,)2πθ∈，则OC OD u u u r u u u r g 的取值范围为 ．16．（3分）已知函数2|1|,1,()2(2), 1.ax x f x x a x ⎧-+<⎪=⎨⎪-⎩…若函数()1y f x =-恰有4个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ．四、解答题：请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．设全集U R =，集合{|15}A x x m =-<-<，1|242x B x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭．（1）当1m =时，求()U A B I ð；（2）在①A B =∅I ，②A B A =U ，③()U A B ⊆ð这三个条件中任选一个，求实数m 的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．已知函数()2cos (3cos )1f x x x x =+-． （1）求()f x 的周期和单调区间； （2）若8()5f α=，(4πα∈，)2π，求cos2α的值．19．已知函数()22x x f x -=-． （1）判断并证明()f x 的奇偶性；（2）求函数22()22()x x g x f x -=+-在区间[0，1]上的最小值和最大值． 20．如图，M ，N 分别是ABC ∆的边BC ，AB 上的点，且14BM BC =，12AN AB =，AM 交CN 于P ．（1）若AM xAB y AC =+u u u u r u u u r u u u r，求x y -的值；（2）若4AB =，3AC =，60BAC ∠=︒，求AP BC u u u r u u u rg 的值．21．“百姓开门七件事，事事都会生垃圾，垃圾分类益处多，环境保护靠你我”，为了推行垃圾分类，某公司将原处理垃圾可获利(0)a a >万元的一条处理垃圾流水线，通过技术改造后，开发引进生态项目．经过测算，发现该流水线改造后获利()f x 万元与技术投入x 万元之间满足的关系式：()4()f x x a x =-．该公司希望流水线改造后获利不少于2x λ万元，其中λ为常数，且1λ…．（1）试求该流水线技术投入x 的取值范围；（2）求流水线改造后获利()f x 的最大值，并求出此时的技术投入x 的值． 22．已知函数2()log f x x =，2()log (1)g x ax =+，a R ∈． （1）若2a =，解关于x 的方程()()0f x g x +=；（2）设t R ∈，函数()|()|h x f x t t =-+在区间[2，8]上的最大值为3，求t 的取值范围；（3）当0a >时，对任意1[,1]2m ∈，函数()()y g x f x =-在区间[m ，1]m +上的最大值与最小值的差不大于1，求a 的取值范围．。

2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．与直线2:10l mx m y--=垂直于点(2,1)P的直线的一般方程是（）A．30x y+-=B．30x y++=C．30x y--=D．210m x my+-=2．数列{}n a的通项1(1)nan n=+，其前n项之和为910，则在平面直角坐标系中，直线(1)0n x y n+++=在y轴上的截距为（）A．-10 B．-9 C．10 D．93．设n S为等比数列{}n a的前n项和，若2580a a+=，则52SS=（）A．-11 B．-8 C．5 D．114．已知一几何体的三视图，则它的体积为（）A．13B．23C．1D．25．已知α、β为锐角，3cos5α=，()1tan3αβ-=-，则tanβ=（）A．13B．3C．913D．1396．“a是第二象限角”是“a是钝角”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要7．某实验中学共有职工150人，其中高级职称的职工15人，中级职称的职工45人，一般职员90人，现采用分层抽样抽取容量为30的样本，则抽取的高级职称、中级职称、一般职员的人数分别为A．5、10、15 B．3、9、18 C．3、10、17 D．5、9、168．直线l过()1,1-且在x轴与y轴上的截距相等，则l的方程为（）A．2y x=+B．y x=-C．2y x=+和y x=-D．2y x=-+9．已知P,A,B,C 是球O 的球面上四点，PA ⊥面ABC,0PA 2BC 6,BAC 90∠===，则该球的半径为（ ） A ．35B ．65C ．33D ．35210．定义运算:a b ad bc c d=-.若不等式22301k kx x+<-的解集是空集，则实数k 的取值范围是( )A ．{}[)024,⋃+∞B ．[]0,24C ．(]0,24D ．(][),024,-∞⋃+∞11．四边形ABCD ，//AB CD ，AB BC ⊥，223AB AD CD ===，则ABC ∆的外接圆与ACD ∆的内切圆的公共弦长（ ） A ．1B ．2C ．3D ．212．（2017新课标全国卷Ⅲ文科）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为A ．6B ．33C ．23D ．13二、填空题：本题共4小题 13．已知直线134x y+=分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，则||AB 等于________. 14．某校女子篮球队7名运动员身高(单位：cm)分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175 cm ，但记录中有一名运动员身高的末位数字不清晰，如果把其末位数字记为x ，那么x 的值为________.15．在正四面体ABCD 中，棱AB 与CD 所成角大小为________.16．等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和.若141,0k a a a =+=，则k = . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设1F ，2F 是椭圆2221(02)4x yb b+=<<的左、右焦点，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若22AF BF +最大值为5，则椭圆的离心率为（ ） A ．12B ．22C ．512- D ．322．如图，若长方体1111ABCD A B C D -的六个面中存在三个面的面积分别是2,3,6，则该长方体中线段1BD 的长是（ ）A ．14B ．27C ．28D ．323．执行如图所示的程序框图，若输入4N =，则输出的数等于（ ）A ．54B ．45C ．56D ．654．如图，函数tan cos 0,,22y x x x πππ⎛⎫⎡⎫⎛⎤=∈⎪ ⎪⎢⎥⎣⎭⎝⎦⎝⎭的图像是（ ） A ． B ．C ．D ．5．在ABC ∆中，3AB =，3C π=，O 为ABC ∆的外接圆的圆心，则CO =（ ）A ．3B ．23C ．3D ．66．如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是C 1D 1，CC 1的中点，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值为（ ）A ．56-B ．5-C ．6 D ．257．已知平面向量(1,2),(2,)a b m ==-，且//a b ，则23a b +=（ ） A ．(5,10)-- B ．()4,8--C ．()3,6--D ．()2,4-- 8．已知圆，圆，分别为圆和圆上的动点，为直线上的动点，则的最小值为A ．B ．C ．D ．9．已知()0,1A -，()0,3B ，则AB =（ ） A ．2B 10C ．4D ．1010．已知公式为正数的等比数列{}n a 满足：11a =，22844a a a ⋅=，则前5项和5S =( )A ．31B ．21C ．15D ．1111．下列各数中最小的数是（ ） A ．(9)85B ．(6)210C ．(4)1000D ．(2)11111112．如图，正四棱柱ABCD A B C D ''''-中（底面是正方形，侧棱垂直于底面），3AA AB '=，则异面直线A B '与AD '所成角的余弦值为（ ）A ．910B ．45C ．710D ．35二、填空题：本题共4小题13．在直角坐标系xOy 中，已知任意角θ以坐标原点O 为顶点，以x 轴的非负半轴为始边，若其终边经过点()00,P x y ，且(0)OP r r =>，定义： 00cos y x si rθ-=，称“sicos θ”为“θ的正余弦函数”，若cos 0si θ=，则sin 23πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________ ． 14．已知α，β为锐角，且(1tan )(1tan )2αβ--=，则αβ+=__________． 15．若角α的终边经过点()2,1P -，则sin 2πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭______. 16．（如下图）在正方形ABCD 中，E 为BC 边中点，若AE AB AD λμ=+，则λμ+=__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

数学参考答案与评分建议一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

1~4 C C D B 5~8 B A C B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

9. AD 10. ABD 11. AC 12. ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 式子1239log 27+的值是 ▲ . 【答案】6 14．已知3sin 5α=，α为锐角，则cos (π)α-= ▲ .【答案】45-15．已知直线10x y -+=与圆2220x y x a +--=相切，则a 的值是 ▲ .【答案】116．“辛普森（Simpson ）公式”给出了求几何体体积的一种估算方法：几何体的体积V 等于其上底的面积S 、中截面（过几何体高的中点平行于底面的截面）的面积S 0的4倍、下底的面积S '之和乘以高h 的六分之一，即()0146V h S S S '=++．已知函数(0)k y m x x =+>的图象过点()122A ，，()11B ，，且与直线0x =，y =1及y =2围成的封闭图形绕y 轴旋转一周得到一个几何体，则k m -= ▲ ，利用“辛普森（Simpson ）公式”可估算该几何体的体积V = ▲ .（第一空2分，其次空3分）【答案】1， 109π216四、解答题：本大题共6小题，共计70分．17. （本小题满分10分）已知3=a ，1=b ，a 与b 的夹角为6π．求：（1）()⋅+a a b ；（2）2a b -．解：（1）()2⋅+=+⋅a a b a a b ……2分()2π3+31cos 6=⨯⨯ 92=． ……5分 （2）()22=2a b a b -- 2244=⋅+a a b b - ……7分 ()2π3431cos +46=⨯⨯⨯- 1=． ……10分 18. （本小题满分12分） 眼睛是心灵的窗户，爱护好视力格外重要．某校高一、高二、高三班级分别有同学1 200名、 1 080名、720名．为了解全校同学的视力状况，学校在6月6日“全国爱眼日”接受分层抽样的方法，抽取50人测试视力，并依据测试数据绘制了如图所示的频率分布直方图． （1）求从高一班级抽取的同学人数； （2）试估量该学校同学视力不低于4.8的概率； （3）从视力在[)4.0 4.4，内的受测者中随机抽取 2人，求2人视力都在[)4.2 4.4，内的概率． 解：（1）高一班级抽取的同学人数为： 1200502012001080720⨯=++． 答：从高一班级抽取的同学人数为20． ……2分 （2）由频率分布直方图，得()0.20.3 1.0 1.5 1.20.21a +++++⨯=， 所以0.8a =． ……4分 所以抽取50名同学中，视力不低于4.8的频率为()1.20.80.20.4+⨯=， 所以该校同学视力不低于4.8的概率的估量值为0.4． ……6分 （3）由频率分布直方图，得 视力在[)4.0 4.2，内的受测者人数为0.20.2502⨯⨯=，记这2人为12a a ，， 视力在[)4.2 4.4，内的受测者人数为0.30.2503⨯⨯=，记这3人为123b b b ，，．……8分 记“抽取2人视力都在[)4.2 4.4，内”为大事A ， 从视力在[)4.0 4.4，内的受测者中随机抽取2人，全部的等可能基本大事共有10个， （第18题）分别为()()()()()()()()1211121321222312a a a b a b a b a b a b a b b b ，，，，，，，，，，，，，，，， ()()1323b b b b ，，，， 则大事A 包含其中3个基本大事：()()()121323b b b b b b ，，，，，， ……10分 依据古典概型的概率公式，得310P A =（）． 答：2人视力都在[)4.2 4.4，内的概率为310． ……12分19．（本小题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知1AB AD ==，12AA =．（1）求证：BD ⊥平面11A ACC ； （2）求二面角1A BD A --的正切值．解：（1）由于1111ABCD A B C D -为长方体，所以1A A ⊥平面ABCD ． 由于BD ⊂平面ABCD ，所以BD 1A A ⊥．……2分 由于AB AD =，所以ABCD 为正方形． 所以BD AC ⊥． ……4分又由于1A A AC A =，1A A AC ⊂，平面11A ACC ，所以BD ⊥平面11A ACC ． ……6分（2）设AC BD O =，连接1A O ． 由（1）知，BD ⊥平面11A ACC ．由于1A O ⊂平面11A ACC ，所以BD ⊥1A O ． ……8分 又由（1）知，BD AO ⊥， 所以1AOA ∠为二面角1A BD A --的平面角． ……10分在1Rt A AO △中，12AA =，12AO AC ==， 所以11tan A A A OA AO ∠=== 所以二面角1A BD A --的正切值为 ……12分20．（本小题满分12分）在锐角△ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且sin b A =．（1）求B 的大小； （2）若AB =2，BC 32=，点D 在边AC 上， ，求BD 的长． 请在①AD =DC ；②∠DBC =∠DBA ；③BD ⊥AC 这三个条件中选择一个，补充在上面 的横线上，并完成解答． （注：假如选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）． 解：（1）在△ABC 中，由正弦定理sin a A =sin b B ，及sin b A =得， sin sin B A A =． ……2分 由于△ABC 为锐角三角形，所以()π02A ∈，，所以sin 0A >． 所以sin B . ……4分 又由于()π02B ∈，，所以π3B =. ……6分 （2）若选①. 法一：在△ABC 中，由于AD =DC ，所以BD ＝()12BA BC +. ……8分 所以BD 2()221+24BA BC BA BC =+⋅ ……10分 ()2233π2+22cos 2234+⨯⨯⨯= 3716= 所以BD . ……12分法二：在△ABC 中，由余弦定理，得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅ A A 1 D 1 B 1 C 1CB D （第19题）A A 1D 1 B 1C 1 CB D （第19题）O()2233π222cos 223=+-⨯⨯⨯ 134=，所以AC =，所以AD DC ==. ……8分 在△ABD 中，由余弦定理，得2222cos AB BD DA BD DA ADB =+-⋅⋅∠即2134cos 16BD ADB =+∠，在△BDC 中，由余弦定理，得2222cos BC BD DC BD DC CDB=+-⋅⋅∠即2913cos 416BD CDB =+∠.……10分 又πADB CDB ∠+∠=，所以cos cos 0ADB CDB ∠+∠=. 所以29134248BD +=+，所以BD.……12分 若选②.在△ABC 中，ABC ABD CBD S S S =+△△△，……8分 即1π1π1πsin sin sin 232626BA BC BA BD BD BC ⋅=⋅+⋅，……10分即1311131222222222BD BD ⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯，解得BD =……12分 若选③.在△ABC 中，由余弦定理，得2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅()2233π222cos 223=+-⨯⨯⨯134=，所以AC =.……8分由于1sin 2ABC S BA BC B =⋅⋅=△12ABC S BD AC =⋅=△，……10分=，解得BD =……12分 21．（本小题满分12分） 已知圆C ：222230x y x ay ++--=关于直线l ：210x y -+=对称．（1）求实数a 的值；（2）设直线m ：(0)y kx k =>与圆C 交于点A B ，，且AB ． ① 求k 的值； ② 点P ( 3，0 )，证明：x 轴平分APB ∠． 解：（1）由于圆C ：222230x y x ay ++--=关于直线l ：2+10x y -=对称， 所以圆心C ()1a -，在直线l ：2+10x y -=上． ……2分 所以1210a --+=，解得0a =． ……4分 （2）① 由（1）知，圆C ：22(1)4x y ++=． 所以圆心C ()10-，到直线m ：0kx y -=……6分由于AB ==24k =， 由于0k >，所以2k =． ……8分 ② 法一：由①知，直线m ：2y x =． 联立222230y x x y x =⎧⎨++-=⎩，，消去y ，得25230x x +-=，解得1x =-或35x =． 不妨()()361255A B --，，，， ……10分 所以6211503132235PA PB k k -+=+=-+=---． 所以直线PA PB ，的倾斜角互补，从而OPA OPB ∠=∠， 所以x 轴平分APB ∠． ……12分 法二：设直线m ：2y x =上的点()112A x x ，，()222B x x ，，又点P ( 3，0 )，所以12122233PA PB x x k k x x +=+-- ()()()()122112232333x x x x x x -+-=--()()()12121222333x x x x x x -+⎡⎤⎣⎦=--．（*） ……8分联立222230y x x y x =⎧⎨++-=⎩，，消去y ，得25230x x +-=， 所以1212253.5x x x x ⎧+=-⎪⎨⎪=-⎩，代入（*），得0PA PB k k+=．所以直线PA PB ，的倾斜角互补，从而OPA OPB ∠=∠， 所以x 轴平分APB ∠． ……12分 22．（本小题满分12分）已知函数()()f x g x ，分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且2()()1f x g x x x +=-+． （1）求函数()f x 与()g x 的解析式；（2）设函数()()()1G x f x a g x =++，若对任意实数x ，3()2G x ≥恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）由于()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且2()()1f x g x x x +=-+，①所以2()()1f x g x x x -+-=++，即2()()+1f x g x x x -=+， ② ……2分 由①＋②2，得2()1f x x =+，由①－②2，得()g x x =-. ……4分 （2）方法一：由（1）得，()G x =()()1f x a g x ++211x a x =+-+．由于对任意实数x ，3()2G x ≥恒成立．当1x ≥时，设()22211()2242a a h x x ax a x a =+--=+---，则()h x 0≥恒成立.若12a-≤，即2a -≥，则当1x =时，()h x 取得最小值12，符合题意； ……6分 若12a->，即2a <-，则当2ax =-时，()h x 取得最小值2142a a ---. 由21042a a ---≥，得22a --+≤22a -<-.所以2a -≥. ……8分 当1x <时，设()22211()2242a a r x x ax a x a =-+-=--+-，则()r x 0≥恒成立. 若12a <，即2a <，则当2a x =时，()r x 取得最小值2142a a -+-. 由21042a a -+-≥，得22a ≤.所以22a <. ……10分 若12a ≥，即2a ≥时，1()(1)2r x r >=，符合题意.所以2a ≥综上，实数a的取值范围是)2⎡+∞⎣． ……12分 方法二：23()112G x x a x =+-+≥恒成立，即2112a x x --≥恒成立. 当1x =时，明显成立； 当1x ≠时，2121x a x --≥，令1x t -=，设2122()t t h t t ++=-， ……6分 当1x >，即0t >时，()21212()22t t h t t t t ++=-=-++. 设12t t ，是(0)+∞，上任意两个值，且12t t <， 则12()()h t h t -=()()()2112122121121212211122()()2222t t t t t t t t t t t t t t t t ---+++++=--=-，当120t t <<<时，1221t t <，210t t ->，120t t >，所以12()()0h t h t -<，即12()()h t h t <；当122t t <<时，1221t t >，210t t ->，120t t >，所以12()()0h t h t ->，即12()()h t h t >， 所以函数()h t在(0上单调递增，在)+∞上单调递减. ……8分所以当t =()h t 在(0)+∞，上取得最大值2-.所以2a -≥. ……10分 当1x <，即0t <时，21212()22t t h t t t t ++==++， 同理可证，函数()h t在(-∞-，上单调递增，在()0上单调递减.所以当t =时，()h t 在(0)-∞，上取得最大值2所以2a ≥综上，实数a 的取值范围是)2⎡+∞⎣． ……12分。

南通市2019-2020学年高一下期末复习检测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知数列{}n a 满足11a =，()*14n n a a n +=+∈N ，则数列{}n a 的前5项和5S =（ ） A ．15B ．28C ．45D ．66【答案】C【解析】【分析】 根据()*14n n a a n +=+∈N 可知数列{}n a 为等差数列,再根据等差数列的求和性质求解即可. 【详解】 因为()*14n n a a n +=+∈N ,故数列{}n a 是以4为公差,首项11a =的等差数列.故()()1553555124452a a S a +===+⨯=.故选：C【点睛】本题主要考查了等差数列的判定与等差数列求和的性质与计算,属于基础题.2．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4540,a a a <>，则使0n S >成立的最小正整数n 为（ ） A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C【解析】【分析】利用等差数列下标和的性质可确定70S <，80S >，90S >，由此可确定最小正整数8n =.【详解】 ()()18845842a a S a a +==+且54a a > 80S ∴> ()17747702a a S a +==<，()19959902a a S a +==> ∴使得0n S >成立的最小正整数8n =故选：C【点睛】本题考查等差数列性质的应用问题，关键是能够熟练应用等差数列下标和性质化简前n 项和公式. 3．已知a R ∈且为常数,圆22:220C x x y ay ++-=,过圆C 内一点()1,2的直线l 与圆C 相交于,A B 两点,当弦AB 最短时,直线l 的方程为20x y -=,则a 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】【分析】由圆的方程求出圆心坐标与半径，结合题意，可得过圆心与点（1，2）的直线与直线2x ﹣y ＝0垂直，再由斜率的关系列式求解．【详解】圆C ：22220x x y ay ++﹣＝化简为22211x y a a +++（）（﹣）＝， 圆心坐标为1C a （﹣，），半径为21a +． 如图，由题意可得，当弦AB 最短时，过圆心与点（1，2）的直线与直线20xy ﹣＝垂直． 则21112a -=---，即a ＝1． 故选：B ．【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理. 4．若关于x 的方程()f x a =，当0a >时总有4个解，则()f x 可以是（ ） A ．21x -B ．11x -C ．22x -D ．2log 2x -【答案】D【解析】【分析】根据函数()f x 的解析式，写出(||)f x 与|(||)|f x 的解析式，再判断对应方程|(||)|f x a =在0a >时解的个数．【详解】对A ，2()1f x x =-，2(||)1f x x ∴=-，()2221,11,11,11,x x f x x x x x ⎧--≤≤⎪∴=-=⎨-⎪⎩或；方程|(||)|f x a =，当10a >>时有4个解，当1a =时有3个解，当1a >时有2个解，A ∴不符合；对B ，1()1f x x =-，1(||)||1f x x ∴=-， 1,111()11,11x x f x x x x⎧>⎪-⎪∴==⎨-⎪<⎪-⎩； 方程|(||)|f x a =，当10a >>时有2个解，当1a =时有3个解，当1a >时有4个解，B ∴不符合；对C ，()22x f x =-，||(||)22x f x ∴=-，22,1()2222,1x x x x f x x ⎧-≤⎪∴=-=⎨->⎪⎩；方程|(||)|f x a =，当10a >>时有4个解，当1a =时有3个解，当1a >时有2个解，C ∴不符合；对D ，2()log 2f x x =-，2(||)log ||2f x x ∴=-， 2222log ,04()log 2log 2,4x x f x x x x ⎧-<≤⎪∴=-=⎨->⎪⎩；方程|(||)|f x a =，当0a >时恒有4个解，D ∴符合题意．【点睛】本题考查了函数与方程的应用问题，考查数形结合思想的运用，对综合能力的要求较高． 5．某种彩票中奖的概率为110000，这是指 A ．买10000张彩票一定能中奖B ．买10000张彩票只能中奖1次C ．若买9999张彩票未中奖，则第10000张必中奖D ．买一张彩票中奖的可能性是110000 【答案】D【解析】 【分析】彩票中奖的概率为110000，只是指中奖的可能性为110000 【详解】彩票中奖的概率为110000，只是指中奖的可能性为110000， 不是买10000张彩票一定能中奖，概率是指试验次数越来越大时，频率越接近概率．所以选D.【点睛】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，是否中奖是随机事件．6．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若132cos 3b c A ===，，，则a =（ ） A ．5B 7C ．4D ．3 【答案】D【解析】【分析】已知两边及夹角，可利用余弦定理求出．【详解】 由余弦定理可得：22212cos 9423293a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=， 解得3a =.故选D.【点睛】本题主要考查利用正余弦定理解三角形，注意根据条件选用合适的定理解决．7．已知向量(1,3),(2,0)a b ==，则|2|a b -=（ ）A ．12B ．C ．D ．8 【答案】C【解析】【分析】根据向量的坐标表示求出(23,3a b -=-，即可得到模长.【详解】 由题(1,3),(2,0)a b ==，(23,3a b -=-，所以|2|93a b -=+=故选：C【点睛】 此题考查向量的数乘运算和减法运算的坐标表示，并求向量的模长，关键在于熟记公式，准确求解. 8．下列函数，是偶函数的为（ ）A ．cos 2y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．sin 2y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．sin 4y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．tan 2y x = 【答案】B【解析】【分析】逐项判断各项的定义域是否关于原点对称，再判断是否满足()()f x f x -=即可得解.【详解】易知各选项的定义域均关于原点对称. ()cos sin sin 2y x x x π⎛⎫=-==-- ⎪⎝⎭，故A 错误；()sin cos cos 2y x x x π⎛⎫=-==- ⎪⎝⎭，故B 正确； sin cos cos sin 42444y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=-≠- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故C 错误； ()tan 2tan 2y x x ==--，故D 错误. 故选：B.【点睛】本题考查了诱导公式的应用和函数奇偶性的判断，属于基础题. 9．若=(2,1), =(1,0)a b ，则32a b +的坐标是 ( )A ．()53，B ．()43，C ．()83，D ．()01-，【答案】C【解析】【分析】【详解】 (2,1),(1,0)a b ==，323(2,1)2(1,0)(8,3)a b ∴+=+=.故选C.10．如图，已知矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，该矩形所在的平面内一点P 满足1CP =，记1I AB AP =⋅，2I AC AP =⋅，3I AD AP =⋅，则（ ）A ．存在点P ，使得12I I =B ．存在点P ，使得13I I =C ．对任意的点P ，有21I I >D ．对任意的点P ，有31I I >【答案】C【解析】 以C 为原点，以,CD CB 所在直线为x 轴、y 轴建立坐标系，则()()3,2,0,2,A B ---()3,0,C -()()()3,0,3,2,0,2AB AC AD ===，1CP =，且P 在矩形内，∴可设()3cos ,2P sin ααπαπ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，()cos 3,2AP sin αα=++，13cos 9I AB AP α=⋅=+，23cos 213I AC AP sin αα=⋅=++，324I sin α=+，2121240,I I sin I I α∴-=+>>，A 错误，C 正确，()3152350I I sin sin αααϕ-=-+-=-++<，31I I <， B 错误，D 错误，故选C.【方法点睛】本题主要考查平面向量数量积公式的坐标表示，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是几何形式，cos a b a b θ⋅=，二是坐标形式，1212a b x x y y ⋅=+（求最值问题与求范围问题往往运用坐标形式），主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， cos a ba b θ= （此时a b 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a 在b 上的投影是a b b ⋅；（3）,a b 向量垂直则0a b ⋅=;(4)求向量ma nb + 的模（平方后需求a b ⋅）.11．下列不等式中正确的是( )A ．若a b >，c d >，则a c b d ->-B ．若ac bc >，则a b >C ．若a b >，则2211a b < D ．若0a b >>，则11a b < 【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质逐一判断即可得解.【详解】解：对于选项A ，若a b >，c d >，不妨取0,2,3a c b d ===-=-，则a c b d -<-，即A 错误； 对于选项B ，若ac bc >，当0c <时，则a b <，即B 错误；对于选项C ，若a b >，不妨取1,2a b ==-，则2211a b >，即C 错误； 对于选项D ，若0a b >>，则a b ab ab >，即11a b <， ，即D 正确， 故选：D.【点睛】本题考查了不等式的性质，属基础题.12．直线x+2y ﹣3＝0与直线2x+ay ﹣1＝0垂直，则a 的值为（ ）A ．﹣1B ．4C ．1D ．﹣4【答案】A【解析】【分析】由两直线垂直的条件，列出方程即可求解，得到答案．【详解】由题意，直线230x y +-=与直线210x ay +-=垂直，则满足1220a ⨯+⨯=，解得1a =-，故选：A ．【点睛】本题主要考查了两直线位置关系的应用，其中解答中熟记两直线垂直的条件是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．二、填空题：本题共4小题13．函数sin arcsin y x x =+的值域是______. 【答案】ππsin1,sin122⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】先求得函数的定义域，根据函数在定义域内的单调性，求得函数的值域.【详解】依题意可知，函数的定义域为[]1,1-，且函数在区间[]1,1-上为单调递增函数，故当1x =-时，函数有最小值为πsin12--，当1x =时，函数有最大值为πsin12+.所以函数函数sin arcsin y x x =+的值域是ππsin1,sin122⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦. 故答案为：ππsin1,sin122⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本小题主要考查反正弦函数的定义域和单调性，考查正弦函数的单调性，考查利用函数的单调性求函数的值域，属于基础题.14．已知1，a ，b ，c ，4成等比数列，则b =______.【答案】2【解析】【分析】因为1，a ，b ，c ，4成等比数列，根据等比数列的性质，可得24b = ，再利用20a b => ，确定取值.【详解】因为1，a ，b ，c ，4成等比数列，所以24b = ，所以2b = 或2b =-，又因为20a b => ，所以2b =.故答案为:2【点睛】本题主要考查等比数列的性质，还考查运算求解的能力，属于基础题.15．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：221x y +=，圆1O ：22(4)4x y ++=，动点P 在直线l ：0x b -+=上（0b <），过P 分别作圆O ，1O 的切线，切点分别为A ，B ，若满足2PB PA =的点P 有且只有一个，则实数b 的值为______. 【答案】283-. 【解析】【分析】 根据圆的切线的性质和三角形全等，得到12PO PO =，求得点P 的轨迹方程，再根据直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，即可求解．【详解】由题意得：(0,0)O ，1(4,0)O -，设(,)P x y ，如下图所示∵PA 、PB 分别是圆O ，O 1的切线，∴∠PBO 1=∠PAO=90°，又∵PB=2PA ，BO 1=2AO ，∴△PBO 1∽△PAO ，∴12PO PO =， ∴2214PO PO =，∴2222(4)4()x y x y ++=+，整理得22464()39x y -+=， ∴点P （x ，y ）的轨迹是以4(,0)3为圆心、半径等于83的圆， ∵动点P 在直线l ：0x b -+=上（0b <），满足PB=2PA 的点P 有且只有一个，∴该直线l 与圆22464()39x y -+=相切，∴圆心4(,0)3到直线l 的距离d 满足d r =，即2248331(22)b +=+，解得203b =或283-， 又因为0b <，所以283b =-．【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中根据圆的切下的性质和三角形全等求得点P 的轨迹方程，再根据直线与圆相切，列出方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．16．函数()log 31,(0a y x a =+->且1)a ≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上（其中m ，n ＞0），则12m n +的最小值等于__________. 【答案】1【解析】【分析】由题意可得定点(2,1)A --，21m n +=，把要求的式子化为44n m m n ++，利用基本不等式求得结果． 【详解】解：()log 31,(0a y x a =+->且1)a ≠ 令31+=x 解得2x =-，则()log 2311a y =-+-=-即函数过定点(2,1)A --，又点A 在直线10mx ny ++=上，21m n ∴+=， 则12242444428m n m n n m n m m n m n m n m n+++=+=+++=，当且仅当4n m m n = 时， 等号成立，故答案为：1．【点睛】本题考查基本不等式的应用，函数图象过定点问题，把要求的式子化为44n m m n ++，是解题的关键，属于基础题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2024届江苏省南通市启东市启东中学数学高一下期末教学质量检测模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是( )A ．至少有一个白球；都是白球B ．至少有一个白球；至少有一个红球C ．至少有一个白球；红、黑球各一个D ．恰有一个白球；一个白球一个黑球2．在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ABC 的面积为()22234a b c +-，且4c =，则ABC 的周长的取值范围是 A ．(43,8⎤⎦B ．(]4,8C ．(434,12+⎤⎦D ．(]8,123．若21tan 5772sincos cos cos 12121212tan2αππππα-+=，则tan α=（ ）A ．-4B ．3C ．4D ．-3 4．的内角，，的对边分别为，，.已知，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知向量(3,)a m =，(2,1)b =-，(0,)a b λλλ=≠∈R ，则实数m 的值为( ) A ．32-B ．32C ．2D ．36．在下列结论中，正确的为（ ）A ．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同B ．向量与向量的长度相等C ．向量就是有向线段D ．零向量是没有方向的7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．8π B ．4π C ．2π D ．π8．如图，已知矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，该矩形所在的平面内一点P 满足1CP =，记1I AB AP =⋅，2I AC AP =⋅，3I AD AP =⋅，则（ ）A ．存在点P ，使得12I I =B ．存在点P ，使得13I I =C ．对任意的点P ，有21I I >D ．对任意的点P ，有31I I >9．如图，在四边形ABCD 中，1sin sin 3DAC α∠==，AB AD ⊥，60D ︒∠=，2AB =，233CD =.则BC =（ ）A 1382-B 4373-C ．4D ．3半径为1，若在ABC ∆中随机地选取m 个点，其中有n 个点正好在扇形里面，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（ ） A ．16nmB ．12nmC ．8n mD ．6n m二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

启东市汇龙中学2019-2020学年度第二学期高一数学综合一一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合A ，B 均为集合U ＝{1，3，5，7，9}的子集，若A ∩B ＝{1，3}，(∁U A)∩B ＝{5}，则集合B 等于( )A . {1，3}B . {3，5}C . {1，5}D . {1，3，5}2. 某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的人数为20 000人，其中持各种态度的人数如下表所示：电视台为了了解观众的具体想法和意见，现采用分层抽样的方法抽选出100人进行更为详细的调查，则每类人中各应抽选出的人数为( )A. 25，25，25，25B. 48，72，64，16C. 20，40，30，10D. 24，36，32，8 3. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 的值为( )A. 1B. 2C. 3－1D. 34. 对于两条不同的直线l 1, l 2，两个不同的平面α，β，下列结论正确的是( )A. 若l 1∥α，l 2∥α，则l 1∥l 2B. 若l 1∥α，l 1∥β，则α∥βC. 若l 1∥l 2，l 1∥α，则l 2∥αD. 若l 1∥l 2 ，l 1⊥α，则l 2⊥α5. 已知等腰直角三角形的直角边的长为4，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为( )A. 22πB. 42πC. 82πD. 162π6. 把一颗骰子抛掷两次，观察向上的点数，记第一次向上的点数为a ，第二次向上的点数为b ，直线l 1：ax ＋by ＝4，l 2：x ＋2y ＝2，则l 1∥l 2的概率为( )A. 16B. 112C. 118D. 1367. 若PQ 是圆x 2＋y 2＝9的弦，PQ 的中点是(－1，2)，则直线PQ 的方程是( ) A. x －2y －5＝0 B. x －2y ＋5＝0 C. 2x －y ＋4＝0 D. 2x ＋z ＝08. 把函数cos y x x =-的图象向左平移m (其中0m >)个单位，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.4π B.3π C.2π D.23π二、 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．则下列结论正确的是( )A. 甲、乙、丙第三次月考物理成绩的平均数为86B. 在这三次月考物理成绩中，丙的成绩平均分最高C. 在这三次月考物理成绩中，乙的成绩最稳定D. 在这三次月考物理成绩中，丙的成绩方差最大10. 已知函数()()sin 0,02f x A x A ωϕωϕπ=+>⎛⎫< ⎪⎝>⎭，的最大值为2，其图像相邻的两条对称轴之间的距离为2π，且()f x 的图像关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则下列结论正确的是（ ）.A ．函数()f x 的图像关于直线5π12x =对称 B ．当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值为22- C ．若3265f πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则44sin cos αα-的值为45- D ．要得到函数()f x 的图像，只需要将()2cos 2g x x =的图像向右平移6π个单位 11. 如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，下列结论正确的是( )A. 直线D 1C ∥平面A 1ABB 1B. 直线A 1D 1与平面BCD 1相交C. 直线AD ⊥平面D 1DBD. 平面BCD 1⊥平面A 1ABB 112. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，下列关于三角形的形状的判断中，正确的是( )A. 若a ＝2bcos C ，则△ABC 一定是等腰三角形B. 若bcos C ＋ccos B ＝asin A ，则△ABC 的形状为直角三角形C. 若acos A ＝bcos B ，则△ABC 的形状为等腰三角形D. 若a 2＋b 2＋c 2＝23absin C ，则△ABC 的形状是正三角形 三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 在△ABC 中，cos C ＝－35，BC ＝1，AC ＝5，则AB ＝________；若点D 是AB 的中点，则CD ＝________．(第一空2分，第二空3分)14. 如图，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，点D 为棱AA 1的中点．若AA 1＝4，AB ＝2，则四棱锥B 1BDC 1的体积为________．15. 经过两直线11370x y +-=和12190x y +-=的交点，且与()3,2A -，()1,6B -等距离的直线的方程是______．16. 定义在[]23,a a -+上的偶函数()f x ，当[]0,x a ∈时，()()log 23a f x x =+，则()f x 的值域为______．四、 解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分10分)某公司2020年前三个月的利润(单位：百万元)如下：(1) 求利润y 关于月份x 的线性回归方程；(2) 试用(1)中求得的回归方程预测4月和5月的利润；(3) 试用(1)中求得的回归方程预测该公司2020年从几月份开始利润超过1000万元？ 相关公式：b ∧＝∑ni ＝1（x i －x ）（y i －y ）∑ni ＝1（x i －x ）2＝∑ni ＝1x i y i －nxy∑ni ＝1x 2i －nx 2，a ∧＝y －b ∧x.18. (本小题满分12分)在① ctan C ＝3(acos B ＋bcos A)，②△ABC 的面积为34(a 2＋b 2－c 2)，③ f(x)＝cos xcos(x －π3)－14，f(C)＝14，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并对其进行求解． 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.________________________________． (1) 求角C 的值；(2) 若cos B ＝35，求sin(A －B)的值．19. (本小题满分12分)如图，在多面体PABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，△PAD 是等边三角形．已知BD ＝2AD ＝8，AB ＝4 5.(1) 设M 是PC 上的一点，求证：平面MBD ⊥平面PAD ； (2) 求点P 到平面ABCD 的距离．20.(本小题满分12分)平面内有向量(1,7)OA =，(5,1)OB =，(2,1)OC =（其中O 为坐标原点），点P 是直线OC 上的一个动点.（1）若//PA PB ，求OP 的坐标；（2）当PA PB ⋅取最小值时，求cos APB ∠的值.21. (本小题满分12分)已知函数()()4412log 2log 2f x x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭． （1）当[]1,16x ∈时，求该函数的值域； （2）求不等式()2f x >的解集；（3）若()4log f x m x <对于[]4,16x ∈恒成立，求m 的取值范围．22. (本小题满分12分)已知以点C(t ，3t)(t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆过原点O.(1) 设直线3x ＋y －4＝0与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程；(2) 在(1)的条件下，设B(0，2)，且P ，Q 分别是直线l ：x ＋y ＋2＝0和圆C 上的动点， 求PQ －PB 的最大值及此时点P 的坐标.启东市汇龙中学2019-2020学年度第二学期高一数学综合一参考答案及评分标准1. D 解析：如图，由图可知B ＝{1，3，5}.2.D 解析：每类人中各应抽选出的人数之比为4 800∶7 200∶6 400∶1 600＝6∶9∶8∶2，所以应抽选的人数分别为66＋9＋8＋2×100＝24，96＋9＋8＋2×100＝36，86＋9＋8＋2×100＝32，26＋9＋8＋2×100＝8，故选D.3. B 解析：由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∴12＝1＋c 2－32×1×c ，∴ c 2－2＝c ，∴ c ＝2或c＝－1(舍)．故选B.4. D 解析：若l 1∥α，l 2∥α，则直线l 1，l 2可能相交，也可能平行，∴ A 不正确；若l 1∥α，l 1∥β，则两个平面可能平行，也可能相交，∴ B 不正确；若l 1∥l 2，l 1∥α，则l 2∥α，l 2也可能在平面α内，∴ C 不正确；若l 1∥l 2 ，l 1⊥α，根据判定定理得l 2⊥α，D 正确．故选D.5. D 解析：由题可得，图(2)为等腰直角三角形图(1)旋转而成的几何体．该几何体是由两个底面半径为22，母线长为4的圆锥组成，故该几何体的表面积S ＝2πrl ＝2π×22×4＝162π.故选D.6. C 解析：由题可知，a ，b 共有6×6＝36(种)组合．当l 1∥l 2时，有a b ＝12⇒b ＝2a ，故a ＝1，b ＝2；a ＝2，b ＝4；a ＝3，b ＝6.但当a ＝2，b ＝4时，两直线重合，∴ l 1∥l 2的概率为236＝118.故选C.7. B 解析：由题意知，设圆的圆心为O ，PQ 的中点为点A(－1，2)，且和直线OA 垂直，则直线PQ 的斜率k ＝－1k OA ＝12，故直线PQ 的方程为：y －2＝12(x ＋1)，整理得x －2y ＋5＝0.故选B.8. 【答案】D9. BC 解析：表格中数据知，甲、乙、丙的第三次月考物理成绩的平均数为90＋85＋823＝2573＜86，∴ A 错误；这三次月考物理成绩中，甲的成绩平均分为85，乙的成绩平均分为83，丙的成绩平均分最高为90＋86＋823＝86，∴ B 正确；这三次月考物理成绩中，乙的成绩波动性最小，最稳定，∴ C 正确；这三次月考物理成绩中，甲的成绩波动性最大，方差最大，∴ D 错误．故选BC. 10. BD由题知：函数()f x ，所以A =.因为函数()f x 图像相邻的两条对称轴之间的距离为2π，所以22T π=，2T ππω==，2ω=，()()2 f x x ϕ=+.又因为()f x 的图像关于点π,012⎛⎫-⎪⎝⎭对称，所以 =0126f ππϕ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=-+，6k ππϕ-+=，k Z ∈.所以6k πϕπ=+，k Z ∈.因为2πϕ<，所以6π=ϕ.即()2 6f x x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭.对选项A ，0512f ππ==⎫⎪⎝⎭≠⎛A 错误.对选项B ，,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，2,662x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，当ππ266x时，()f x 取得最小值2-，故B 正确.对选项C ，sin(2)2625f ππααα⎛⎫-=-==⎪⎝⎭， 得到3cos 25α=.因()()4422223sin cos sin cos sin cos cos 25ααααααα-=+-=-=-，故C 错误.对选项D ，()2g x x =的图像向右平移6π个单位得到222263236y x x x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确.故选：BD11. AD 解析：由题可知D 1C ∥A 1B ，D 1C ⊄平面A 1ABB 1，A 1B ⊂平面A 1ABB 1，所以D 1C ∥平面A 1ABB 1，A 正确；因为A 1D 1∥BC ，A 1D 1⊂平面BCD 1，所以B 不正确；因为AD 与DB 不垂直，又DB ⊂平面D 1DB ，所以C 不正确；因为BC ⊥平面A 1ABB 1，BC ⊂平面BCD 1，所以平面BCD 1⊥平面A 1ABB 1，D 正确．故选AD.12. ABD 解析：由余弦定理可得a ＝2b·a 2＋b 2－c 22ab ，因此a 2＝a 2＋b 2－c 2，得b 2＝c 2，于是b＝c ，则△ABC 为等腰三角形，A 正确；由正弦定理得sin Bcos C ＋sin Ccos B ＝sin 2A ，∴ sin(B ＋C)＝sin 2A ，即sin (π－A)＝sin 2A ，sin A ＝sin 2A ，又A ∈(0，π)，∴ sin A>0，∴ sin A ＝1，即A ＝π2，∴△ABC 为直角三角形，B 正确；由题易知a 2＋b 2＋c 2＝a 2＋b 2＋a 2＋b 2－2abcos C ＝23absin C ，即a 2＋b 2＝2absin(C ＋π6)，由于a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号，所以2absin(C ＋π6)≥2ab ，sin(C ＋π6)≥1，故只能a ＝b 且C ＋π6＝π2，所以△ABC 为正三角形，D 正确．故选ABD.13. 425 解析：根据题意，AB 2＝12＋52－2×1×5×(－35)＝32，所以AB ＝4 2.又由题得cos A ＝52＋（42）2－12×5×42＝752.连结CD ，可知AD ＝22，所以CD 2＝52＋(22)2－2×5×22×cos A ＝5，所以CD ＝ 5. 14.433 解析：VB 1BDC 1＝VDB 1BC 1＝V A 1B 1BC 1＝VBA 1B 1C 1＝13V ABCA 1B 1C 1＝13×3×4＝433.15. 790x y +-=或210x y ++= 16. []1,217.解：(1) x ＝2，y ＝3.8，b ∧＝∑3i ＝1x i y i －3xy ∑3i ＝1x 2i －3（x ）2＝1.75，a ∧＝y －b ∧x ＝0.3，故利润y 关于月份x 的线性回归方程为b ∧＝1.75x ＋0.3.(4分)(2) 当x ＝4时，y ∧＝1.75×4＋0.3＝7.3，故可预测4月的利润为730万元．当x ＝5时，y ∧＝1.75×5＋0.3＝9.05，故可预测5月的利润为905万元．(8分)(3) 由1.75x ＋0.3＝10得x ≈5.5，故公司2020年从6月份开始利润超过1 000万元．(10元) 18. 解：若选①，(1) ∵ ctan C ＝3(acos B ＋bcos A)，由正弦定理，得sin Ctan C ＝3(sin Acos B ＋sin Bcos A)＝3sin(A ＋B)＝3sin C ．(2分)∵ 0＜C ＜π，sin C ≠0，∴ tan C ＝3，∴ C ＝π3.(2分)(2) ∵cos B ＝35，B ∈(0，π)，∴ sin B ＝1－cos 2B ＝45，∴sin 2B ＝2sin Bcos B ＝2425，cos 2B ＝1－2sin 2B ＝－725，∴ sin(A －B)＝sin[(2π3－B)－B]＝sin(2π3－2B)＝sin 2π3cos 2B －cos 2π3sin 2B＝32×(－725)－(－12)×2425＝24－7350.(10分) 若选②，(1) ∵ S △ABC ＝34(a 2＋b 2－c 2)＝12absin C ， ∴ cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝sin C 3，∴sin Ccos C ＝3，∴tan C ＝ 3.∵ 0＜C ＜π，∴ C ＝π3.(4分)下同①.若选③，(1) f(x)＝cosx(12cos x ＋32sin x)－14＝12cos 2x ＋32sin xcos x －14 ＝12×1＋cos 2x 2＋32×sin 2x 2－14 ＝12(12cos 2x ＋32sin 2x)＝12sin(2x ＋π6)， ∵ f(C)＝14，∴ sin(2C ＋π6)＝12.∵ 0＜C ＜π，∴ C ＝π3.(4分)19. (1) 证明：在△ABD 中，∵ AD ＝4，BD ＝8，AB ＝45， ∴ AD 2＋BD 2＝AB 2.∴ AD ⊥BD.∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，BD ⊂平面ABCD ， ∴ BD ⊥平面PAD ，又BD ⊂平面MBD ， ∴平面MBD ⊥平面PAD.(6分) (2) 解：过P 作PO ⊥AD ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，∴ PO ⊥平面ABCD ， 即PO 为四棱锥PABCD 的高．又△PAD 是边长为4的等边三角形，∴ PO ＝2 3. ∴点P 到平面ABCD 的距离为2 3.(12分) 20. 因为点P 是直线OC 上的一个动点，(2,1)OC =， 所以可设(2,)=OP x x ，因为(1,7)OA =，(5,1)OB =，所以(12,7)=-=--PA OA OP x x ，(52,1)=-=--PB OB OP x x ，（1）因为//PA PB ，所以(12)(1)(7)(52)0-----=x x x x ， 解得178=x ，所以1717,48⎛⎫= ⎪⎝⎭OP ； （2）因为(12,7)=--PA x x ，(52,1)=--PB x x ，所以22(12)(52)(7)(1)520125(2)8⋅=--+--=-+=--PA PB x x x x x x x ， 显然，当2x =时，PA PB ⋅取最小值， 此时(3,5)=-PA ，(1,1)=-PB ，所以cos 179⋅∠===-⋅PA PB APB PA PB.21. （1）令4log t x =，[]1,16x ∈，则[]0,2t ∈， 函数()f x 转化为()1222y t t ⎛⎫=-+⎪⎝⎭，[]0,2t ∈， 则二次函数()1222y t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，在10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在124⎛⎤⎥⎝⎦，上单调递增， 所以当14t =时，y 取到最小值为98-，当2t =时，y 取到最大值为5， 故当[]1,16x ∈时，函数()f x 的值域为9,58⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（2）由题得()4412log 2log 202x x ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭，令4log t x =， 则()122202t t ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭，即2230t t -->, 解得32t >或1t <-， 当32t >时，即43log 2x >，解得8x >， 当1t <-时，即4log 1x <-，解得104x <<， 故不等式()2f x >的解集为1{|04x x <<或8}x >.11 （3）由于()44412log 2log log 2x x m x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭对于[]4,16x ∈上恒成立， 令4log t x =，[]4,16x ∈，则[]1,2t ∈即()1222t t mt ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭在[]1,2t ∈上恒成立， 所以121m t t >--在[]1,2t ∈上恒成立， 因为函数1y t =-在[]1,2上单调递增，2y t =也在[]1,2上单调递增， 所以函数121y t t =--在[]1,2上单调递增，它的最大值为52， 故52m >时，()4log f x m x <对于[]4,16x ∈恒成立．22. 解：(1) ∵ OM ＝ON ，∴原点O 在线段MN 的垂直平分线上．设MN 的中点为H ，则CH ⊥MN ，∴ C ，H ，O 三点共线．∵直线MN 的方程是3x ＋y －4＝0，∴直线OC 的斜率k ＝3t t ＝3t 2＝13， 解得t ＝3或t ＝－3，∴圆心为C(3，1)或C(－3，－1)．∴圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝10.由于当圆的方程为(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝10时，圆心到直线3x ＋y －4＝0的距离d ＞r ，此时不满足直线与圆相交，故舍去．∴圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.(6分)(2) 由题意可知PQ －PB ≤BQ ，当B ，P ，Q 三点共线时，等号成立．又B ，C ，Q 三点共线且BQ ＝BC ＋CQ 时BQ 最大，此时BQ ＝BC ＋10＝210.∵ B(0，2)，C(3，1)，∴直线BC 的方程为y ＝－13x ＋2， ∴直线BC 与直线x ＋y ＋2＝0的交点的坐标为(－6，4)．故PQ －PB 的最大值为210，此时点P 的坐标为(－6，4)．(12分)。

第二学期期末考试试卷高一 数学考生注意:本试卷满分为150分，考试时间为120分钟。

一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项．1．cos240º=A ．B ．C ．﹣D ．﹣2.已知单位向量a 、b ，则下列各式成立的是（ ）A. 0a b -=B. 22a b = C. 1a b ⋅= D. 0a b ⋅=3.已知角α的终边上一点(4,3)P -，则cos α=（ ） A ．35- B ．35 C ．45- D ．454.向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，b a •＝－6，则x 1＋y 1x 2＋y 2的值为( ) A.－2 B.2 C.－23 D.235.要得到函数y ＝sin(x 2－π4)的图象，只需将y ＝sin x 2的图象( ) A.向左平移π2个单位长度 B.向右平移π2个单位长度 C.向左平移π4个单位长度 D.向右平移π4个单位长度 6．右表提供了某厂节能降耗技术改造后生产A 产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨标准煤）的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y =0.7x +0.35，那么表中t 的值为（ ）x 3 4 5 6y 2.5 t 4 4.5A ．3B ．3.15C ．3.5D ．4.57.已知[0,π]α∈，则3sin 2α>的概率为（ ） A ．16 B ．13 C. 23D ．568．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如右图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为3，2，则输出v 的值为（ ）A ．35B ．20C ．18D ．99.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，0<φ<π)的图象的一段如图所示，它的解析式可以是( )A. y ＝23sin(2x ＋2π3)B.y ＝23sin(2x ＋π3) C.y ＝23sin(2x －π3) D.y ＝23sin(2x ＋π4) 10.袋中有形状、大小都相同的4个球，其中2个红球、2个白球，从中随机一次摸出2个球，则这2个球中至少有1个 白球的概率为（ ）A ．16B ．13 C. 23D ．56 11．为比较甲、乙两地某月14时的气温状况，随机选取该月中的5天，将这5天中14时的气温数据（单位：℃）制成如图所示的茎叶图．考虑以下结论：①甲地该月14时的平均气温低于乙地该月14时的平均气温；②甲地该月14时的平均气温高于乙地该月14时的平均气温；③甲地该月14时的平均气温的标准差大于乙地该月14时的气温的标准差．④甲地该月14时的平均气温的标准差小于乙地该月14时的气温的标准差；其中根据茎叶图能得到的统计结论的标号为（ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④12．已知0ω>函数π()sin()4f x x ω=+在π(,π)2上单调递减，则ω的取值范围是（ ） A ．15[,]24 B ． 13[,]24 C ． 1(0,]2 D ．(0,2] 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．187和253的最大公约数是________．14．为了调查某省各城市PM2.5的值，按地域把36个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为6,12,18.若用分层抽样的方法抽取12个城市，则乙组中应抽取的城市数为________．)9(题图15.设02≤<x π，且1sin 2sin cos -=-x x x ，则x 的取值范围是 .16.关于函数π()tan(2),4f x x =-，有以下命题： ①函数()f x 的定义域是13π{|π,};28x x k k ≠+∈Z ②函数()f x 是奇函数； ③函数()f x 的图象关于点π(,0)8对称；④函数()f x 的一个单调递增区间为ππ(,)22-. 其中，正确的命题序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.(10分)已知向量),3(),3,2(m b a =-= ，（1）若b a ⊥，求m 的值。

绝密★启用前 2019年江苏省南通市高一下学期期末考试数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．已知集合M ＝｛x ｜x ＜0｝，N ＝｛x ｜x ≤0｝，则( ) A ．M ∩N ＝∅ B ．MUN ＝R C ．M ⊆N D ．N ⊆M 2．函数()f x =的定义域为( ) A ．（一∞，0］ B ．［0，＋∞） C ．（0，＋∞） D ．（－∞，＋∞）3．在△ABC 中，M 是BC 的中点．若AB ＝a ，BC ＝b ，则AM ＝( ) A ．1()2a b + B ．1()2a b - C ．12a b + D ．12a b + 4．在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l 上的一点向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，仍在该直线上，则直线l 的斜率为( ) A ．－2 B ．－12 C ．12 D ．2 5．已知函数()f x ＝sin x 与()cos(2)()22g x x ππϕϕ=+-≤≤的图象的一个交点的横坐标为4π，则ϕ＝( ) A ．－2π B ．－4π C ．4π D ．2π 6．下列说法正确的为 ①如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线平行； ②如果两条直线同时垂直于第三条直线，那么这两条直线平行；………○…………订………在※※装※※订※※线※※内※※答※※题………○…………订………④如果两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行．( )A．①②B．②③C．③④D．①④7．从两个班级各随机抽取5名学生测量身高（单位：cm)，甲班的数据为169，162，150，160，159，乙班的数据为180，160，150，150，165．据此估计甲、乙两班学生的平均身高x甲,x乙及方差2s甲,2s乙的关系为( )A．x甲>x乙,2s甲>2s乙B．x甲>x乙,2s甲<2s乙 C．x甲<x乙,2s甲<2s乙D．x甲<x乙,2s甲>2s乙8．函数e e(),(,0)(0,)2sinx xf x xxππ-+=∈-⋃的图象大致为( )A．B．C．D．9．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝60°，b＝10，则结合a的值解三角形有两解的为( )A．a＝8B．a＝9C．a＝10D．a＝1110．己知函数()f x定义在R上的周期为4的奇函数，且当0≤x≤2时，()f x，函数8()log||g x x=，则方程()()f xg x=的解的个数为( )A．4B．6C．8D．10……装…………○_______姓名：___________班……装…………○第II 卷（非选择题) 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 11．已知角α终边上一点P （-3，4），则sin α＝____ 12．已知平面向量,a b 的夹角为3π，1,2a b ==，则a b ⋅=____ 13．某校共有学生1600人，其中高一年级400人．为了解各年级学生的兴趣爱好情况，用分层抽样的方法从中抽取容量为80的样本，则应抽取高一学生____人． 14．在棱长为1的正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，点E 是棱B 1B 的中点，则三棱锥D 1－DEC 1的体积为____. 15．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，如左下图．假定在水流量稳定的情况下，半径为3m 的筒车上的每一个盛水桶都按逆时针方向作角速度为3πrad /min 的匀速圆周运动，平面示意图如右下图，己知筒车中心O 到水面BC 的距离为2m ，初始时刻其中一个盛水筒位于点P 0处，且∠P 0OA ＝6π（OA //BC )，则8min 后该盛水筒到水面的距离为____m ． 16．过点P (t ，t ）作圆C ：（x 一2)2＋y 2＝1的两条切线，切点为A ，B ，若直线AB 过点（2，18），则t ＝____. 三、解答题 17．已知点O （0，0），A （2，一1），B （一4，8）． （1）若点C 满足30AB BC +=，求点C 的坐标； （2）若OA kOB -与2OA OB +垂直，求k ． 18．如图，在三棱柱ABC –A 1B 1C 1中，AB ＝BC ，D 为AC 的中点，O 为四边形B 1C 1CB…装…………○…订…………○…线…………○……不※※要※※在※※装※※※内※※答※※题※※ …装…………○…订…………○…线…………○…… （1）OD ∥平面A 1ABB 1； （2）平面A 1C 1CA ⊥平面BC 1D ．19．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝2，△ABC 是边长为3的等边三角形．（1）求AD ；（2）求sin ∠DAB ．20．己知点(0,0)O ，直线l 与圆C ：（x 一1)2＋（y 一2）2＝4相交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ．（1）若直线OA 的方程为y ＝一3x ，求直线OB 被圆C 截得的弦长；（2）若直线l 过点（0，2），求l 的方程．21．已知某观光海域AB 段的长度为3百公里，一超级快艇在AB 段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q （单位：万元）与速度v （单位：百公里／小时）（0≤v ≤3）的以下数据：为描述该超级快艇每小时航行费用Q 与速度v 的关系，现有以下三种函数模型供选择：Q av 3＋bv 2＋cv ，Q ＝0．5v ＋a ，Q ＝klog v b（1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；（2）该超级快艇应以多大速度航行才能使AB段的航行费用最少？并求出最少航行费用．22．已知函数1,1()1,1,22ax xxf xxx xx⎧-⎪⎪=⎨-⎪<≠-⎪+⎩….（1）若f(－1）＝f(1)，求a，并直接写出函数()f x的单调增区间；（2）当a≥32时，是否存在实数x，使得()f x-＝一()f x？若存在，试确定这样的实数x的个数；若不存在，请说明理由．参考答案1．C【解析】【分析】根据具有包含关系的两个集合的交集与并集的性质求得结果.【详解】因为{}{}|0,|0M x x N x x =<=≤，所以有M N ⊆，所以有M N M =，M N N =，所以只有C 是正确的，故选C.【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有判断两集合的关系，具备包含关系的两集合的交并运算的性质，属于简单题目.2．A【解析】【分析】根据偶次根式的条件，借助于指数函数的单调性求得结果.【详解】由题意得120x -≥，解得0x ≤，所以函数的定义域是(,0]-∞，故选A.【点睛】该题考查的是有关函数定义域的求解问题，属于简单题目.3．D【解析】【分析】根据向量的加法的几何意义即可求得结果.【详解】在ABC ∆中，M 是BC 的中点，又,AB a BC b ==， 所以1122AM AB BM AB BC a b =+=+=+， 故选D.【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量的加法运算，属于简单题目. 4．A【解析】【分析】首先设出直线l 上的一点00(,)P x y ，进而求得移动变换之后点00'(2,4)P x y +-，根据点在直线上，利用两点斜率坐标公式求得斜率0000422y y k x x --==-+-，从而求得结果. 【详解】根据题意，设点00(,)P x y 是直线l 上的一点，将点00(,)P x y 向右平移2个单位后再向下平移4个单位得到点00'(2,4)P x y +-， 由已知有：点00'(2,4)P x y +-仍在该直线上，所以直线l 的斜率0000422y y k x x --==-+-， 所以直线l 的斜率为2-，故选A.【点睛】该题考查的是有关直线的斜率问题，涉及到的知识点有平移变换，两点斜率坐标公式，属于简单题目.5．B【解析】【分析】 首先根据题中的条件，得到()()44f g ππ=，从而求得sin 2ϕ=-，根据题中所给的22ππϕ-≤≤，进而求得结果.【详解】由题意得()()44f g ππ=，所以cos()22πϕ=+，所以sin ϕ=22ππϕ-≤≤， 所以4πϕ=-，故选B.【点睛】 该题考查的是有关三角函数的问题，涉及到的知识点有诱导公式，已知三角函数值求角，属于简单题目.6．D【解析】【分析】①由平行线的传递性，根据公里四得到其正确性；②如果两条直线同时垂直于第三条直线，则两直线可以平行，可以相交，也可以异面，从而得到其错误；③如果两条直线同时平行于一个平面，则两直线可以平行，可以相交，也可以异面从而得到其错误；④根据线面垂直的性质得到其正确性；从而得到正确的结果.【详解】①由平行线的传递性：平行于同一直线的两直线平行，所以正确；②如果两条直线同时垂直于第三条直线，则两直线可以平行，可以相交，也可以异面，所以不正确；③如果两条直线同时平行于一个平面，则两直线可以平行，可以相交，也可以异面，所以不正确；④垂直于同一平面的两直线平行，所以正确；所以正确的说法是①④，故选D.【点睛】该题考查的是有关空间立体几何的问题，涉及到的知识点有直线平行的传递性，直线的垂直关系，线面平行，线面垂直，属于简单题目.7．C【解析】【分析】 利用公式求得x 甲和x 乙，从而得到x 甲和x 乙的大小，观察两组数据的波动程度，可以得到2s 甲与2s 乙的大小，从而求得结果.【详解】 甲班平均身高1691621501601591605x ++++==甲， 乙班平均身高1801601501501651615x ++++==乙， 所以x x <甲乙，方差表示数据的波动，当波动越大时，方差越大，甲班的身高都差不多，波动比较小，而乙班身高差距则比加大，波动比较大，所以22s s >乙甲，故选C.【点睛】该题考查的是有关所给数据的平均数与方差的比较大小的问题，涉及到的知识点有平均数的公式，观察数据波动程度来衡量方差的大小，属于简单题目.8．D【解析】【分析】首先判断函数的定义域，结合()()f x f x -=-，从而得到()f x 为奇函数，得到函数图象关于原点对称，利用相应的自变量对应的函数值的变化趋势，从而将不满足条件的项排除，从而求得结果.【详解】函数()f x 定义域关于原点对称，()()f x f x -=-， 所以()f x 为奇函数，图象关于原点对称，所以先排除B ， 当0x +→时，()f x →+∞，排除A ， 当x π→时，()f x →+∞，排除C ， 故选D. 【点睛】该题考查的是有关函数图象的识别问题，关于图象的选择问题，可以通过函数的定义域，函数图象的对称性，函数的单调性，函数值的符号，函数图象所过的特殊点，将正确选项选出来，属于中档题目. 9．B 【解析】 【分析】根据正弦定理得到sin sin b AB a=，分情况讨论，得到正确的结果. 【详解】由正弦定理知sin sin b AB a=， 由题意知，若a b =，则60A B ==，只有一解；若a b >，则A ＞B ，只有一解； 从而要使a 的值解三角形有两解，则必有b a >，且0sin 1B <<，即sin 1b A a =<，解得a >，即275a >，因此只有B 选项符合条件， 故选B. 【点睛】该题考查的是有关根据三角形的解的个数选择边长的可取值的问题，涉及到的知识点有正弦定理，属于简单题目. 10．C 【解析】 【分析】首先根据题中所给的条件，画出函数()f x 在区间[0,2]上的图象，利用对称性画出区间[2,0]-上的图象，利用函数的周期画出函数在区间[10,10]-上的图象，之后在同一坐标系中画出()g x 的图象，利用两图象交点的个数求得结果.【详解】因为函数()f x 定义在R 上的周期为4的奇函数， 且当0≤x ≤2时，()f x =所以画出函数()f x 的图象，在同一坐标系中画出8()log ||g x x =的图象，如图所示：观察图象可知两个函数图象有8个交点，其中右边3个交点，左边5个交点，所以方程()()f x g x =有8个解，故选C. 【点睛】该题考查的是有关方程解的个数问题，在解题的过程中，将方程解 个数转化为函数图象交点的个数，涉及到的知识点有奇函数图象的对称性，函数的周期性，属于中档题目. 11．45【解析】 【分析】根据三角函数的定义即可求解. 【详解】 解：已知角a 的终边经过点P 34（﹣，）， ∴4sin 5α==．故答案为：45．【点睛】本题主要考查三角函数的定义，熟记定义，即可求解，属于基础题型. 12．1【解析】【分析】利用向量数量积的定义式求解即可.【详解】根据题意可得1cos12132a b a bπ⋅==⨯⨯=，故答案是1.【点睛】该题考查的是有关平面向量数量积的求解问题，涉及到的知识点有平面向量数量积的定义式，属于简单题目.13．20【解析】【分析】利用分层抽样方法直接求解.【详解】由题意，应抽取高一学生40080201600⨯=（人），故答案是20.【点睛】该题考查的是有关分层抽样中某层所抽个体数的问题，涉及到的知识点有分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等的，列式求得结果，属于简单题目.14．1 6【解析】【分析】首先根据题意，画出几何图形，之后将三棱锥的顶点和底面转换，利用等积法求得结果. 【详解】根据题意，画出图形，如图所示：结合正方体的性质，以及椎体的体积公式，可以求得：1111111111326D DECE D DC V V DD D C BC --==⨯⨯⨯⨯=，故答案是：16.【点睛】该题考查的是有关椎体体积的计算问题，涉及到的知识点有等级法求三棱锥的体积，椎体体积公式，属于简单题目. 15．72【解析】 【分析】由题意可得转动8分钟之后盛水桶所转过的角度，从而确定出其所在的位置，结合三角函数的有关知识，求得点P 到水面的距离. 【详解】根据题意可得，8分钟后盛水桶所转过的角为8833ππ⨯=， 而除去一圈，82233πππ-=， 所以转8分钟之后P 0所转到的位置P 满足 25366POA πππ∠=+=， 所以点P 到水面的距离5723sin 62d m π=+=， 故答案是：72. 【点睛】该题考查的是有关三角函数的应用问题，涉及到的知识点有角速度的应用，三角函数的定义式，属于简单题目. 16．8 【解析】【分析】根据圆的方程得到圆C 的圆心坐标和圆的半径，从而求得以CP 为直径的圆的方程，将两圆方程相减，求得两圆公共弦所在直线的方程，根据直线过点的条件，得到关于t 的等量关系式，最后求得结果. 【详解】因为圆C ：22(2)1x y -+=①的圆心为(2,0)C ，(,)P t t ， 所以以CP 为直径的圆的方程为(2)()()0x x t y y t --+-=， 即22(2)20x y t x ty t +-+-+=②，①-②可得：(2)320t x ty t -++-=，即直线AB 的方程为(2)320t x ty t -++-=， 因为直线AB 过点1(2,)8，所以12(2)3208t t t -++-=，解得8t =， 故答案是：8. 【点睛】该题考查的是有关圆的问题，涉及到的知识点有以某条线段为直径的圆的方程，两圆的公共弦所在直线的方程，点在直线上的条件，属于中档题目. 17．（1）()2,5-；（2）18k =-. 【解析】 【分析】（1）设出C 点的坐标，利用终点减起点坐标求得AB 和BC 的坐标，利用向量运算坐标公式，得到,x y 满足的条件求得结果；（2）利用向量坐标运算公式求得(24,18)OA kOB k k -=+--，2(0,6)OA OB +=，利用向量垂直的条件，得到等量关系式，求得结果. 【详解】（1）因为()2,1A -，()4,8B -，所以(6,9)AB =-． 设点C 的坐标为(),x y ，则()4,8BC x y =+-．由3(36,315)0AB BC x y +=+-=，得360,3150,x y +=⎧⎨-=⎩解得2x =-，5y =， 所以点C 的坐标为()2,5-．（2）(24,18)OA kOB k k -=+--，2(0,6)OA OB +=， 因为OA kOB -与2OA OB +垂直，所以(24)0(18)60k k +⨯+--⨯=，解得18k =-. 【点睛】该题考查的是有关向量的问题，涉及到的知识点有向量坐标运算公式及法则，向量垂直的条件，数量积坐标公式，属于简单题目. 18．（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】 【分析】（1）连结1AB ，根据三棱柱的性质，得到四边形11B C CB 为平行四边形，从而得到O 为1B C 的中点，结合题的条件，得到1OD AB ∥，利用线面平行的判定定理证得结果；（2）利用等腰三角形，得到BD AC ⊥，又因为1AC BC ⊥，之后应用线面垂直的判定定理证得AC ⊥平面1BC D ，再应用面面垂直的判定定理证得平面11AC CA ⊥平面1BC D ． 【详解】证明：（1）连结1AB ，在三棱柱111ABC A B C -中， 四边形11B C CB 为平行四边形，从而O 为平行四边形11B C CB 对角线的交点，所以O 为1B C 的中点． 又D 是AC 的中点，从而在1ACB ，中，有1OD AB ∥， 又OD ⊄平面11A ABB ，1AB ⊂平面11A ABB ， 所以OD平面11A ABB ．（2）在ABC △中，因为AB BC =，D 为AC 的中点，所以BD AC ⊥． 又因为1AC BC ⊥，1BC BD B =，1BC ，BD ⊂平面1BC D ，所以AC ⊥平面1BC D ， 因为AC ⊂平面11AC CA ， 所以平面11AC CA ⊥平面1BC D ．【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，面面垂直的判定，属于简单题目.19．（1）AD =（2）14. 【解析】 【分析】（1）利用平行线的性质以及题的条件，得到60ACD ∠=︒，3AC =，利用余弦定理求得AD 的长度；（2）法1：在ACD 中，应用正弦定理求得sin ADC ∠的值，利用同旁内角互补以及诱导公式求得sin ∠DAB 的值；法2：利用余弦定理求得cos DAC ∠的值，利用同角三角函数关系求得sin DAC ∠，利用正弦和角公式求得sin ∠DAB 的值. 【详解】（1）在梯形ABCD 中，因为AB CD ∥，ABC △是边长为3的等边三角形， 所以60ACD ∠=︒，3AC =． 在ACD 中，由余弦定理，得2222cos AD AC CD AC CD ACD =+-⋅⋅∠ 2232232cos60︒=+-⨯⨯⨯7=，所以AD =（2）法1：在ACD 中，由正弦定理，得sin sin AC ADADC ACD=∠∠，结合（1）知，sin sin sin6014AC ADC ACD AD ︒∠=⨯∠==． 因为AB CD ∥，所以ADC DAB π∠+∠=．从而sin sin()sin 14DAB ADC ADC π∠=-∠=∠=． 法2：在ACD 中，由余弦定理，得222cos 2AC AD CD DAC AC AD+-∠=⋅结合（1）知，22232cos7DAC +-∠==．从而sin 7DAC ∠=== 所以()sin sin 60DAB DAC ︒∠=∠+sin cos60cos sin60DAC DAC ︒︒=∠+∠172=⨯+=．【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有平行线的性质，余弦定理，正弦定理，同角三角函数关系式，属于简单题目. 20．（1；（2）(22y x =-+. 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得直线OB 的方程13y x =，利用点到直线的距离公式求得圆心()1,2C 到直线OB 的距离，之后应用圆中的特殊三角形，求得弦长；（2）根据题意，可判断直线的斜率是存在的，设出其方程，与圆的方程联立，得到两根和与两根积，根据OA ⊥OB ，利用向量数量积等于零得到k 所满足的等量关系式，求得结果. 【详解】（1）因为直线OA 的方程为3y x =-，OA OB ⊥， 所以直线OB 的方程13y x =．从而圆心()1,2C 到直线OB2=所以直线OB 被团C截得的弦长为：2=（2）依题意，直线l 的斜率必存在，不妨设其为k ，则l 的方程为2y kx =+， 又设11(,)A x y ，22(,)B x y ．由222,(1)(2)4,y kx x y =+⎧⎨-+-=⎩得()221230k x x +--=， 所以12222x x k +=+，12231x x k =-+． 从而()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++． 所以()()2121212122412411kx x y y kx x k x x k +=++++=++． 因为OA OB ⊥，所以12120x x y y +=，即24101kk +=+，解得2k =- 所以l的方程为(22y x =-+．【点睛】该题考查的是有关直线与圆的问题，涉及到的知识点有两直线垂直的条件，直线被圆截得的弦长，直线方程的求解，属于简单题目.21．（1）选择函数模型32Q av bv cv =++，函数解析式为320.10.20.8(03)Q v v v v =-+≤≤；（2）以1百公里/小时航行时可使AB 段的航行费用最少，且最少航行费用为2.1万元. 【解析】 【分析】（1）对题中所给的三个函数解析式进行分析，对应其性质，结合题中所给的条件，作出正确的选择，之后利用待定系数法求得解析式，得出结果；（2）根据题意，列出函数解析式，之后应用配方法求得最值，得到结果. 【详解】（1）若选择函数模型0.5vQ a =+，则该函数在[0,3]v ∈上为单调减函数， 这与试验数据相矛盾，所以不选择该函数模型．若选择函数模型log a Q k v b =+，须0v >，这与试验数据在0v =时有意义矛盾， 所以不选择该函数模型．从而只能选择函数模型32Q av bv cv =++，由试验数据得，0.7,842 1.6,2793 3.3,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，即0.7,420.8,93 1.1,a b c a b c a b c ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得0.1,0.2,0.8,a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩故所求函数解析式为：320.10.20.8(03)Q v v v v =-+≤≤． （2）设超级快艇在AB 段的航行费用为y （万元）， 则所需时间为3v（小时），其中03v <≤，结合（1）知，()3230.10.20.8y v v v v=-+ ()20.317v ⎡⎤=-+⎣⎦所以当1v =时，min 2.1y =．答：当该超级快艇以1百公里/小时航行时可使AB 段的航行费用最少，且最少航行费用为2．1万元．【点睛】该题考查的是有关函数的应用题，涉及到的知识点有函数模型的正确选择，等量关系式的建立，配方法求二次式的最值，属于简单题目.22．（1）3a =，单调增区间为(,2)-∞-，()2,1-；（2）2个.【解析】【分析】（1）首先根据题中所给的函数解析式，利用()()11f f -=，得到a 所满足的等量关系式，求得a 的值，从而得到函数的解析式，进而求得函数的单调增区间；（2）根据条件，结合函数解析式，分类讨论，分析性质，【详解】（1）由()()11f f -=，得21a -=-，解得3a =． 此时，函数13,1,()1,1, 2.2x x x f x x x x x ⎧-≥⎪⎪⎨-⎪<≠⎪+⎩ 所以函数()f x 的单调增区间为(,2)-∞-，()2,1-．（2）显然，0x =不满足()()f x f x -=-；若01x <<，则10x -<-<，由()()f x f x -=-，得1122x x x x ---=--++， 化简，得22x =-，无解：若1x ≥，则1x -≤-，由()()f x f x -=-，得112x ax x x --⎛⎫=-- ⎪-+⎝⎭， 化简，得32(21)220ax a x x -+-+=．令32()(21)22g x ax a x x =-+-+，32a …． 当12x ≤≤时，22()(2)2(1)0g x ax x x x =----<；下面证明函数()g x 在(2,)+∞上是单调增函数．任取12,(2,)x x ∈+∞，且12x x <，则()()323221222111(21)22(21)22g x g x ax a x x ax a x x ⎡⎤⎡⎤-=-+-+--+-+⎣⎦⎣⎦ ()()()2221212121(21)2x x ax ax x ax a x x ⎡⎤=-++-++-⎣⎦由于()()22212121(21)2ax ax x ax a x x ++-++- ()()()222112121122a x a x ax x x x a =-+-+-+--()221212311222a a x x x x a >⨯+⨯+-+-- ()()211211132x x x x =--+- 1112232>⨯+⨯⨯- 0=，所以()()210g x g x ->，即()()21g x g x >，故()g x 在(2,)+∞上是单调增函数。