§1[1].2.2函数的表示方法(二)

§1.2.2 函数的表示法¤学习目标：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（图象法、列表法、解析法）表示函数；通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；了解映射的概念.¤知识要点：一．函数有三种表示方法：1、解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值）；2、图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势）；3、列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值）.二．分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x，对应法则不同）.三．一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应:f A B→为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．记作“:f A B→”.判别一个对应是否映射的关键：A中任意，B中唯一；对应法则f.¤例题精讲：例1：某种笔记本的单价是5元，买{}(1,2,3,4,5)x x∈个笔记本需要y元，试用函数的三种表示法表示函数()y f x=练习：如图，有一块边长为a的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V以x为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______．例2画出的y x=图象练习：1．画出下列函数的图象：（1）|1|y x=-；（2）|1||4|y x x=-++.2．函数f(x)= 2(1)xx x⎧⎨+⎩,0,0xx≥<，则(2)f-=（）.A. 1 B .2 C. 3 D. 4例3：某市“招手即停”公共汽车的票价按照下列规则制定：（1）5公里以内（含5公里），票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价为1元（不足5公里的按照5公里计算）。

如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象。

§2.2.2 函数（二）--函数的解析式[教学目的]使学生进一步巩固函数的概念，能根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系，求出它的解析式，并掌握解析式的一些形式的变换.[重点难点]重点、难点：函数解析式的求法.[教学过程]一、复习引入⒈用映射刻划的函数的定义是什么？函数符号的含义是什么？函数的表示方法常用的有哪些？答：函数是两个非空数集A到B的特殊映射f：x→y=f(x),x∈R，y∈C⊆B；定义域A、值域C和定义域到值域的对应法则f称为函数的三要素；符号y=f(x)表示y是x的函数，不是f与x的乘积；函数的表示方法常用的有解析法、列表法和图象法，而中学阶段所研究的函数主要是能用解析式表示的函数..⒉引入：我们已经了解了函数的概念和表示方法.在此基础上，今天我们来学习确定函数解析式的几种常见方法.二、学习、讲解新课我们知道，把两个变量的函数关系用一个等式表示，这个等式就叫做函数的解析表达式，简称解析式.下面我们通过例题来说明求函数解析式的几种常用方法例1⑴已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)；⑵已知f(x+1)=x+2x，求f(x+1)；⑶已知f(x)满足2f(x)+f(1/x)=3x，求f(x)；⑷设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x)且f(x)=0的两实根平方和为10，图象过点(0,3)，求f(x)的解析式.解：⑴设f(x)=ax+b，则3f(x+1)-2f(x-1)=3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=ax+(5a+b)=2x+17,比较系数得a=2且5a+b=17, ∴a=2，b=7,∴f(x)=2x+7.⑵设u=x+1≥1,则x=u-1，x=(u-1)2,于是f(u)=(u-1)2+2(u-1)=u2-1(u≥1),即f(u)=u2-1(u≥1), ∴f(x+1)=(x+1)2-1=x2+2x(x+1≥1),即f(x+1)=x2+2x(x≥0).⑶∵已知2f(x)+f(1/x)=3x ---①，将①中x换成1/x得2f(1/x)+f(x)=3/x ---②，①×2-②得3f(x)=6x-3/x，∴f(x)=2x-1/x.⑷设f(x)的解析式是f(x)=ax2+bx+c(a≠0), ∵图象过点(0,3),∴有f(0)=c=3,故c=3；又∵f(x)满足f(x+2)=f(2-x)且f(x)=0的两实根平方和为10，∴得对称轴x=2且x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=10，即(-b/2a)=2且(b2/a2)-(6/a)=10，∴a=1，b=-4，∴f(x)=x2-4x+3.说明：求函数解析式常用的方法有：待定系数法(如⑴⑷)、换元法(如⑵)、构造方程法(如⑶)等.例2 高为h ，底面半径为r 的圆柱形容器内，以单位时间内体积为a 的速度充水，试求出水面高y 与时间t 的函数关系式，并求其定义域.(提示：圆柱的体积=底面积×高)解：由题意有at=πr 2y ，即y=(a/πr 2)t,∵0≤y ≤h,即0≤(a/πr 2)≤h, ∴0≤t ≤πr 2h/a ，即定义域是[0，πr 2h/a]. 说明：这是函数知识在实际问题中的应用，其定义域是由实际问题所决定的.练习：⑴若f(1/x)=1/(1+x),则f(x)= ；⑵已知f(x)是二次函数，且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x ，则f(x)= ；⑶已知g(x)=1-2x ，f[g(x)]=(1-x 2)/x 2(x ≠0),则f(1/2)= ； ⑷将长为a 的铁丝折成矩形，面积y 关于边长x 的函数关系是 ，其定义域是 ； ⑸已知f(x)=⎩⎨⎧>-≤+)0(2)0(12x x x x ,若f(x)=10，则x= ；⑹已知函数f(x)满足f(ab)=f(a)+f(b)且f(2)=p ，f(3)=q ，则f(36)= .解：⑴令u=1/x ，则x=1/u ，f(u)=u/(1+u)，∴f(x)=x/(1+x)；⑵设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)，∵f(0)=1,∴c=1，又f(x+1)-f(x)=2x ， ∴a(x+1)2+b(x+1)+1-ax 2-ba-1=2x ，即2ax+a+b=2x ，比较系数得2a=2且a+b=0，∴a=1，b=-1，∴f(x)=x 2-x+1.⑶由g(x)=1-2x=1/2，得x=1/4，∴f(1/2)=[1-(1/4)2]/(1/4)2=15.⑷设矩形的长为x ，则宽为(a-2x)/2，∴y=x[(a-2x)/2]=ax/2-x 2,定义域是(0,a/2). ⑸由已知-2x<0，∴f(x)=x 2+1=10,即x=±3,又x ≤0,∴x=-3. ⑹f(36)=f(6×6)=f(6)+f(6)=2f(6)=2f(2×3)=2[f(2)+f(3)]=2(p+q).三、小 结⒈解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量之间建立联系的桥梁； ⒉解析式只表示一种对应关系，与所取的字母无关，如y=2x-1与u=2t-1是同一个函数； ⒊求函数解析式的方法一般有待定系数法和换元法，若已知函数的构造模式，可用待定系数法；若已知复合函数f[f(x)]的表达式来求f(x)，常用换元法；当已知表达式较简单时，甚至可直接用凑合法求解.⒋用赋值法(特殊值法)求函数式中的参数，是一种比较常用的方法.⒌根据实际问题求函数的表达式，是应用函数知识解决实际问题的基础，在设定或选定自变量后去寻找等量关系，以求得表达式，要注意函数定义域应由实际问题确定.四、布置作业(一)复习：课本和课堂上的有关内容.(二)书面：⒈填空：⑴若f(x)=2x+1，则f[f(2)]= ；f(-x)= ；f[f(x)]= .⑵若f(x+1)=x2-2x+5，则f(x)= .⑶若f(x)=2x+3，g(x+2)=f(x)，则g(x)= .⑷若3f(x)+2f(1/x)=4x ，则f(x)= .⑸若f(x)=x2-mx+n ，f(n)=m ，f(1)=-1，则f(-5)= .⒉设函数f(x)=x2-4x-4的定义域为[t-2,t-1]，对任意t ∈R ，求函数f(x)的最小值ϕ(t)的解析式，并画出图象.(练习册P26B 组第2题)答案与提示：⒈⑴f[f(2)]=f(5)=11,f(-x)=-2x+1,f[f(x)]=2f(x)+1=4x+3；⑵f(x)=x 2-4x+8；⑶g(x)=2x-1；⑷f(x)=(12x 2-8)/5x(x ≠0)；⑸将f(n)=m 与f(1)=-1并成方程组，解得m=1,n=-1,可知f(x)=x 2-x-1,∴f(-5)=29. ⒉由f(x)=x 2-4x-4=(x-2)2-8知，对称轴为x=2，若t-1<2即t<3时，ϕ(t)=f min (x)=(t-1-2)2-8=t 2-6t+1；若t-2≤2≤t-1即3≤t ≤4时，ϕ(t)=f min (x)=-8；若t-2>2即t>4时，ϕ(t)=f min (x)=(t-2-2)2-8=t 2-8t+8；∴⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤≤-<+-=)4(88)43(8)3(16)(22t t t t t t t x ϕ.(三)思考题：(四)预习：课本P 53-552.2区间概念、函数定义域的求法.。

第一章 函数、极限和连续§1.1 函数一、 主要内容 ㈠ 函数的概念1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D定义域: D(f), 值域: Z(f).2.分段函数:⎩⎨⎧∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 04.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x)定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数：y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。

㈡ 函数的几何特性1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2),则称f(x)在D 内单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2),则称f(x)在D 内单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2),则称f(x)在D 内严格单调减少( )。

2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b)㈢ 基本初等函数1.常数函数： y=c ， (c 为常数)2.幂函数： y=x n , (n 为实数)3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1)4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1)5.三角函数： y=sin x , y=con xy=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x)y=f[φ(x)] , x ∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§1.2 极 限一、 主要内容 ㈠极限的概念1. 数列的极限:Aynn =∞→lim称数列{}n y 以常数A 为极限;或称数列{}n y 收敛于A.定理: 若{}n y 的极限存在⇒{}n y 必定有界.2.函数的极限：⑴当∞→x 时，)(x f 的极限：Ax f A x f A x f x x x =⇔⎪⎪⎭⎫==∞→+∞→-∞→)(lim )(lim )(lim⑵当0x x →时，)(x f 的极限：A x f x x =→)(lim 0左极限：Ax f x x =-→)(lim 0右极限：A x f x x =+→)(lim 0⑶函数极限存的充要条件：定理：Ax f x f A x f x x x x x x ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim 0㈡无穷大量和无穷小量1． 无穷大量：+∞=)(lim x f称在该变化过程中)(x f 为无穷大量。