相似三角形的判定练习题1

4.3两个三角形相似的判定(1)【要点预习】相似三角形的判定三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形 . 有 角对应相等的两个三角形相似.【课前热身】1. 如图，△ABC 中，DE ∥BC ，则下列比例式不成立的是……………………………（ ）A.AD AE AB AC = B.AD DE AB BC = C.AD DE DB BC = D.AD AEDB EC=答案：C2. 如图，P 是△ABC 的边AB 上一点，若∠1= ，则△APC ∽△ACB .答案：∠ACB 3. 图中x = .答案：24. 如图，AB ∥DC ，AC 交BD 于点O ．已知35AO CO =，BO ＝6，则DO =_________. 答案：10【讲练互动】【例1】 如图， D 为△ABC 的AB 边上一点，过点D 作DE //AC 交 BC 于点E ．已知BE ∶CE =2∶1，AC =6cm ，求DE 的长．【分析】先证明△BDE ∽△BAC ，再根据比例线段求出DE 的长. 【解】∵DE ∥AC ，∴ΔBDE ∽ΔBAC ，∴BE DEBC AC=. ∵21BE CE =，∴23BE BC =，∴236DE=，∴DE =4cm. 【绿色通道】利用相似三角形可得到多组比例线段，在运用时要注意结合已知条件及所求的线段来选择相应的比例线段.【变式训练】第1题第2题第3题第4题1. 如图，AB//CD，AE//FD，AE、FD分别交BC于点G、H，则图中共有相似三角形…………………………………………（）A. 4对B. 5对C. 6对D. 7对【解析】由已知易得△BFH∽△BAG∽△CEG∽△CDH.【答案】C【例2】如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，CD是AB边上的高，AE是⊙O的直径．求证：AC·BC=AE·CD．【分析】先将结论化为比例式AC AECD AB=，因此只须证△ACE∽△CDB.【证明】连结CE. ∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE=90°. ∵CD是AB边长的高，∴∠CDB=90°.∴∠ACE=∠CDB. 又∵∠E=∠B，∴△ACE∽△CDB，∴AC AECD AB=，即AC·BC=AE·CD.【绿色通道】已知或求证中出现线段的等积形式时，通常转化为比例式，再考虑比例式所在的三角形相似.【变式训练】2. 将两块完全相同的等腰直角三角板摆放成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内. 请找出图中的相似(不包括全等)三角形，并证明其中的一对．【解】△ABE∽△DAE∽△DCA.∵∠DAE=∠B=45°，∠AEB=∠DEA，∴△ABE∽△DAE.【例3】如图所示，一圆桌正上方3米处有一灯泡（视为一点），圆桌高1米，圆桌面直径为1米，请你求出圆桌面在水平地面上的投影面积.（图中阴影部分）（圆桌面与地面平行）（π取3.14，答案精确到0.1平方米）【解】建立平面图如图. OA=3，AC=1，AB=1 2 .∵AB∥CD，∴△OAB∽△OCB∴OA ABOC CD=，∴CD=142233AB OCOA⨯⋅==.∴S=π·CD2=3.14×49≈1.4 (m2). 答：圆桌面在地面上的投影面积为1.4 m2.【变式训练】3. 九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，已知标杆高度3mCD=，标杆与旗杆的水平距离15mBD=，人的眼睛与OBDCABHGFEDCAABCDOE图7ECAHBG地面的高度 1.6m EF =，人与标杆CD 的水平距离2m DF =，求旗杆AB 的高度．【解】∵CD ∥AB ，∴△ECG ∽△EAH ，∴EG CGEH AH=. ∵EG =DF =2m ，EH=FB=17m ，CG =CD-EF =1.4m ， ∴2 1.417AH=，∴AH =11.9m ，∴AB =11.9+1.6=13.5m.【同步测控】基础自测1.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若13AD AB =，DE ＝4，则BC =…………（ ） A ．9 B ．10 C ． 11 D ．122. 有一个角相等的两个等腰三角形…………………………………………………（ ）A. 一定相似B. 一定不相似C. 不一定相似D. 一定全等 3.如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，则图中相似三角形的对数有……（ ）A. 0对B. 1对C. 2对D. 3对4. 如图，在△ABC 中，若∠AED ＝∠B ，DE ＝6，AB ＝10，AE ＝8，则BC 的长为…（ ） A.154 B. 7 C. 152 D. 2455. 如图，∠1＝∠2，请补充条件：________________(写一个即可)，使△ABC ∽△ADE .答案：∠D =∠B 或∠E =∠C6.如图，∠C =∠E =90°，AD =10，DE =8，AB =5，则AC = ．7. 要测量河两岸相对的两点A ，B 间的距离，先从B 处出发与AB 成90°角方向，向前走50米到C 处立一BEDC A第1题第3题BDCA第4题BEDCA第5题第6题第7题根标杆，然后方向不变继续朝前走10米到D处，在D处转90°，沿DE方向再走17米，到达E处，使A（目标物）C（标杆）与E在同一直线上（如图），那么可测得A，B的距离是____________米.8. 如图，D为△ABC中BC边上的一点，∠CAD=∠B，若AD＝6，AB=8，BD=7，求DC的长．9．如图，DE∥BC，且DB＝AE，若AB＝5，AC＝10，求AE的长.10. 如图，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线分别交⊙O，BC于点D，E，连结BD．根据题意条件，找出图中各对相似三角形并加以证明．11.如图，AB ∥CD ，BO ∶CO =1∶4，点E ，F 分别是OC ，OD 的中点，则EF ∶AB 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．412. 如图，平行四边形ABCD 中，G 是BC 延长线上一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交于点F ，则图中相似三角形共有（ ）A. 6对B. 4对C. 5对D. 3对13.如图在ABC △中，90ACB ∠=，CD AB ⊥，DE BC ⊥，那么与ABC △相似的三角形的个数有（ ） A ．1个B ．4个C ．3个D ．2个14. 要判断如图ΔABC 的面积是ΔPBC 面积的几倍，只用一把仅有刻度的直尺，需要度量的次数最少是………………………………………………………………………………（ ） A. 3次 B. 2次 C. 1次 D. 3次以上 15. 如图，已知Rt ABC △的两条直角边AC BC ，的长分别为3，4，以AC 为直径作圆与斜边AB 交于点D ，则AD = ． 16. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，BD 是角平分线．(1) 求证：△ABC ∽△BCD ；（2）求证：BC 是CD 与CA 的比例中项．第11题AB OE F CD第12题 第13题第14题17. 已知：如图，△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°；△A' B'C'中，∠C'=90°， A'C'＝B'C'，能否分别将这两个三角形各分割成两个三角形，使△ABC 所分成的每个三角形与△A'B'C'所分成的每个三角形分别对应相似?若能，请设计一种分割方案；若不能，请说明理由.C /B /A /CBA同步测控参考答案基础自测1.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若13AD AB ，DE ＝4，则BC =…………（ ） A ．9 B ．10 C ． 11 D ．12 答案：D2. 有一个角相等的两个等腰三角形…………………………………………………（ ）A. 一定相似B. 一定不相似C. 不一定相似D. 一定全等 答案：C3.如图，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，则图中相似三角形的对数有……（ ）A. 0对B. 1对C. 2对D. 3对 答案：D4. 如图，在△ABC 中，若∠AED ＝∠B ，DE ＝6，AB ＝10，AE ＝8，则BC 的长为…（ ） A.154 B. 7 C. 152 D. 245答案：C5. 如图，∠1＝∠2，请补充条件：________________(写一个即可)，使△ABC ∽△ADE .答案：∠D =∠B 或∠E =∠C6.如图，∠C =∠E =90°，AD =10，DE =8，AB =5，则AC =．答案：37. 要测量河两岸相对的两点A ，B 间的距离，先从B 处出发与AB 成90°角方向，向前走50米到C 处立一BEDC A第1题第3题BDCA第4题BEDCA第5题第6题第7题根标杆，然后方向不变继续朝前走10米到D 处，在D 处转90°，沿DE 方向再走17米，到达E 处，使A （目标物）C （标杆）与E 在同一直线上（如图），那么可测得A ，B 的距离是____________米. 答案：858. 如图，D 为△ABC 中BC 边上的一点，∠CAD =∠B ，若AD ＝6， AB =8，BD =7，求DC 的长．解：∵∠CAD =∠B , ∠C =∠C , ∴△ACD ∽△BCA . ∴AD AC CD AB BC AC ==, ∴687AC CDCD AC==+, ∴()37434CD AC AC CD⎧+=⎪⎨=⎪⎩, 解得912CD AC =⎧⎨=⎩.9．如图，DE ∥BC ，且DB ＝AE ，若AB ＝5，AC ＝10，求AE 的长.解：设DB=AE=x . ∵DE ∥BC , ∴AD AEAB AC=. ∴5510x x -=, 解得x =103, 即AE =103. 10. 如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC 的平分线分别交⊙O ，BC 于点D ，E ，连结BD ．根据题意条件，找出图中各对相似三角形并加以证明．解：相似三角形有：△ACE ∽△ADB ∽△BDE . 证明如下： ∵AD 平分∠BAC , ∴∠1=∠2. 又∠CBD =∠2, ∴∠2=∠1=∠CBD . 又∠C =∠D =∠D , ∴△ACE ∽△ADB ∽△BDE .能力提升11.如图，AB ∥CD ，BO ∶CO =1∶4，点E ，F 分别是OC ，OD 的中点，则EF ∶AB 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B12. 如图，平行四边形ABCD 中，G 是BC 延长线上一点，AG 与BD 交于点E ，与DC 交于点F ，则图中相似三角形共有…………………………………………………………（ ） A. 6对 B. 4对 C. 5对 D. 3对解析：由题设可得以下相似三角形：△ADF ∽△GCF ∽△GBA , △ABE ∽△FDE , △ADE ∽△GBE ,△第11题ABOE F CD第12题第13题第14题ABD ∽△CDB . 答案：A13.如图在ABC △中，90ACB ∠=，CD AB ⊥，DE BC ⊥，那么与ABC △相似的三角形的个数有…………………………………………………………（ ） A ．1个B ．4个C ．3个D ．2个解析：由题设可得以下相似三角形：△BDE ∽△DCE ∽△BCD ∽△CAD ∽△BAC . 答案：B14. 要判断如图ΔABC 的面积是ΔPBC 面积的几倍，只用一把仅有刻度的直尺，需要度量的次数最少是………………………………………………………………………………（ ） A. 3次 B. 2次 C. 1次 D. 3次以上解析：设AP 的延长线交BC 于D . 因此, 只要将刻度尺一端与A 点重合, 置于AD 上, 直接度量一次读出AP 和AD 的长度, 易证ΔABC 的面积是ΔPBC 面积的倍数关系即为AD 与PD 的比值.答案：C15. 如图，已知Rt ABC △的两条直角边AC BC ，的长分别为3，4，以AC 为直径作圆与斜边AB 交于点D ，则AD = ．解析：连结CD . ∵AC 是⊙O 的直径, ∴∠ADC =90°. 又∠ACB = 90°, ∠A =∠A , ∴△ACD ∽△ABC ,∴AD ACAC AB=, 结合已知可求得AD 的长. 答案：9516. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =36°，BD 是角平分线．(1) 求证：△ABC ∽△BCD ；（2）求证：BC 是CD 与CA 的比例中项． 证明：(1) ∵AB=AC , ∠A =36°，∴∠ABC =∠ACB =72°. ∵BD 是角平分线, ∴∠ABD =∠CBD =36°. ∴∠BCD=∠A . 又∠C =∠C , ∴△ABC ∽△BCD . (2) ∵△ABC ∽△BCD , ∴BC ACCD BD=. ∵∠C =∠BDC =72°, ∴BD=BC . ∴BC ACCD BC=, 即BC 是CD 与CA 的比例中项. 创新应用17. 已知：如图，△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°；△A' B'C'中，∠C'=90°， A'C'＝B'C'，能否分别将这两个三角形各分割成两个三角形，使△ABC 所分成的每个三角形与△A'B'C'所分成的每个三角形分别对应相似?若能，请设计一种分割方案；若不能，请说明理由.解：如按上图分割.C /B /A /CBA45︒45︒30︒60︒45︒45︒60︒30︒D /D C /B /A /C BA。

相似三角形性质的练习题相似三角形的性质是指两个三角形的对应角度相等，对应边长成比例。

本题考查的是对相似三角形的判断，需要根据勾股定理求出各个三角形的边长，然后比较是否成比例，最终得出相似的三角形是①和③。

2．如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是（）A．∠B=∠C B．∠ADC=∠AEB C．BE=CD，AB=AC D．AD：AC=AE：AB解答】解：根据相似三角形的性质，如果两个三角形相似，则对应角度相等，对应边长成比例。

因此，我们只需要判断哪个条件不满足这个性质即可。

A选项∠B=∠C，这个条件是成立的，因为它是由题目中给出的△ABC是等腰三角形推出的。

B选项∠ADC=∠AEB，这个条件也是成立的，因为它是由题目中给出的CD与BE相交于点O推出的。

C选项BE=CD，AB=AC，这个条件也是成立的，因为它是由题目中给出的D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O推出的。

D选项AD：AC=AE：AB，这个条件不成立，因为题目中没有给出这个条件，也无法由其他条件推出。

因此，选D。

3．下列说法中，错误的是（）A．两个全等三角形一定是相似形 B．两个等腰三角形一定相似 C．两个等边三角形一定相似 D．两个等腰直角三角形一定相似解答】解：A选项两个全等三角形一定是相似形是正确的，因为全等三角形的对应角度和对应边长都相等，符合相似三角形的定义。

B选项两个等腰三角形一定相似也是正确的，因为等腰三角形的底角相等，而顶角也相等，符合相似三角形的定义。

C选项两个等边三角形一定相似也是正确的，因为等边三角形的三个角都相等，而三个边长也相等，符合相似三角形的定义。

D选项两个等腰直角三角形一定相似是错误的，因为等腰直角三角形的底角相等，但是顶角不相等，不符合相似三角形的定义。

因此，选D。

4．如图，△ACD和△ABC相似需具备的条件是（）A． B． C．AC2=AD•AB D．CD2=AD•BD解答】解：根据相似三角形的定义，△ACD和△ABC相似需要满足两个条件：对应角度相等，对应边长成比例。

测试3 相似三角形的判定学习要求1．掌握相似三角形的判定定理．2．能通过证三角形相似，证明成比例线段或进行计算．课堂学习检测一、填空题1．______三角形一边的______和其他两边______，所构成的三角形与原三角形相似．2．如果两个三角形的______对应边的______，那么这两个三角形相似．3．如果两个三角形的______对应边的比相等，并且______相等，那么这两个三角形相似．4．如果一个三角形的______角与另一个三角形的______，那么这两个三角形相似．5．在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝56°，∠B＝28°，∠A′＝56°，∠C′＝28°，那么这两个三角形能否相似的结论是______．理由是________________．6．在△ABC和△A'B′C′中，如果∠A＝48°，∠C＝102°，∠A′＝48°，∠B′＝30°，那么这两个三角形能否相似的结论是______．理由是________________．7．在△ABC和△A'B′C′中，如果∠A＝34°，AC＝5cm，AB＝4cm，∠A′＝34°，A'C′＝2cm，A′B′＝1.6cm，那么这两个三角形能否相似的结论是______，理由是____________________．8．在△ABC和△DEF中，如果AB＝4，BC＝3，AC＝6；DE＝2.4，EF＝1.2，FD＝1.6，那么这两个三角形能否相似的结论是____________，理由是__________________．9．如图所示，△ABC的高AD，BE交于点F，则图中的相似三角形共有______对．9题图10．如图所示，□ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，此图中的相似三角形共有______对．10题图二、选择题11．如图所示，不能判定△ABC∽△DAC的条件是( )A．∠B＝∠DACB．∠BAC＝∠ADCC．AC2＝DC·BCD．AD2＝BD·BC12．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是( )A．5 B．8.2C．6.4 D．1.813．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是( )三、解答题14．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，想一想，(1)图中有哪两个三角形相似?(2)求证：AC2＝AD·AB；BC2＝BD·BA；(3)若AD＝2，DB＝8，求AC，BC，CD；(4)若AC＝6，DB＝9，求AD，CD，BC；(5)求证：AC·BC＝AB·CD．15．如图所示，如果D，E，F分别在OA，OB，OC上，且DF∥AC，EF∥BC．求证：(1)OD∶OA＝OE∶OB；(2)△ODE∽△OAB；(3)△ABC∽△DEF．综合、运用、诊断16．如图所示，已知AB∥CD，AD，BC交于点E，F为BC上一点，且∠EAF＝∠C．求证：(1)∠EAF＝∠B；(2)AF2＝FE·FB．17．已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，以AD为直径的半圆与BC 相切于E点．求证：AB·CD＝BE·EC．18．如图所示，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为点B，点D是⊙O上的一点，且AD∥OC．求证：AD·BC＝OB·BD．19．如图所示，在⊙O中，CD过圆心O，且CD⊥AB于D，弦CF交AB于E．求证：CB2＝CF·CE．拓展、探究、思考20．已知D是BC边延长线上的一点，BC＝3CD，DF交AC边于E点，且AE＝2EC．试求AF与FB的比．21．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AH⊥BC于H，以AB和AC为边在Rt△ABC外作等边△ABD和△ACE，试判断△BDH与△AEH是否相似，并说明理由．22．已知：如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，P 是AB 上一点，且点P 不与点A 重合，过点P 作PE ⊥AB 交AC 于E ，点E 不与点C 重合，若AB ＝10，AC ＝8，设AP ＝x ，四边形PECB 的周长为y ，求y 与x 的函数关系式．答案与提示测试31．平行于，直线，相交． 2．三组，比相等． 3．两组，相应的夹角． 4．两个，两个角对应相等． 5．△ABC ∽△A ＇C ＇B ＇，因为这两个三角形中有两对角对应相等． 6．△ABC ∽△A ＇B ＇C ＇．因为这两个三角形中有两对角对应相等． 7．△ABC ∽△A ＇B ＇C ＇，因为这两个三角形中，有两组对应边的比相等，且相应的夹角相等．8．△ABC ∽△DFE ．因为这两个三角形中，三组对应边的比相等． 9．6对． 10．6对．11．D ． 12．D ． 13．A ．14．(1)△ADC ∽△CDB ，△ADC ∽△ACB ，△ACB ∽△CDB ；(2)略；(3);4,54,52===CD BC AC (4);36,33,3===BC CD AD(5)提示：AC ·BC ＝2S △ABC ＝AB ·CD ．15．提示：(1)OD ∶OA ＝OF ∶OC ，OE ∶OB ＝OF ∶OC ；(2)OD ∶OA ＝OE ∶OB ，∠DOE ＝∠AOB ，得△ODE ∽△OAB ； (3)证DF ∶AC ＝EF ∶BC ＝DE ∶AB ． 16．略．17．提示：连结AE 、ED ，证△ABE ∽△ECD ． 18．提示：关键是证明△OBC ∽△ADB ．∵AB 是⊙O 的直径，∴∠D ＝90°． ∵BC 是⊙O 的切线，∴OB ⊥BC ． ∴∠OBC ＝90°．∴∠D ＝∠OBC ．∵AD ∥OC ，∴∠A ＝∠BOC ．∴△ADB ∽△OBC ．⋅=∴CBBDOB AD ∴AD ·BC ＝OB ·BD ． 19．提示：连接BF 、AC ，证∠CFB ＝∠CBE20．⋅=21FB AF 提示：过C 作CM ∥BA ，交ED 于M ． 21．相似．提示：由△BHA ∽△AHC 得,ACBAAH BH =再有BA ＝BD ，AC ＝AE ． 则：,AE BDAH BH =再有∠HBD ＝∠HAE ，得△BDH ∽△AEH ． 22．.2423+-=x y 提示：可证△APE ∽△ACB ，则⋅=ACAPBC PE 则).10(6)458(43,45,43x x x y x AE x PE -++-+===。

相似三⾓形的判定与性质练习题（附答案）相似三⾓形的判定与性质练习题⼀、单选题1.如果两个相似三⾓形的相似⽐是1:2, 那么这两个相似三⾓形的⾯积⽐是( ) A.2:1B. 1:2C.1:2D.1:42.如图,点D 是△ABC 的边AB 上的⼀点,过点D 作BC 的平⾏线交AC 于点E,连接BE,过点D 作BE 的平⾏线交AC 于点F,则下列结论错误的是( )A.AD AEBD EC =B. AF DF AE BE =C. AE AF EC FE =D. DE AF BC FE= 3.下列四条线段中，不能组成⽐例线段的是（） A.3,6,2,4a b c d ==== B.1,2,3,6a b c d ====C.4,6,5,10a b c d ====D.2,5,23,15a b c d ====4.如图,在ABC ?中,点D 、E 分别在边AB 、AC 上,下列条件中不能判断ABC AED ~△△ ( )A. AED B ∠=∠B. ADE C ∠=∠C.AD ACAE AB=D.AD AEAB AC=5.如图27-4-4,在四边形ABCD 中,BD 平分,90,ABC BAD BDC E ∠∠=∠=°为BC 的中点，AE 与BD 相交于点F.若4,30BC CBD =∠=°，则DF 的长为( )A.235B.233C.334D.4356.如图,在中,E是边AD的中点,EC交对⾓线BD于点F,则:EF FC等于( )A.3:2B.3:1C.1:1D.1:27.如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1,7)，(11)，，(41)，，(61)，，以C，D，E为顶点的三⾓形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A.(60)，B.(63)，C.(65)，D.(42)，8.如图,在正⽅形⽹格上,若使△ABC∽△PBD,则点P应在处( )A.P1B.P2C.P3D.P49.如图所⽰,在平⾏四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E为OD的中点,连接AE并延长交DC于点F,则DF:FC=( )A.1:3B.1:4C.2:3D.1:210.如图,在等边三⾓形ABC 中,D 、E 分别在AC 、AB 上,且AD ︰AC=1︰3,AE=BE,则有( )A.△AED∽△BEDB.△AED∽△CBDC.△AED∽△ABDD.△BAD∽△BCD11.如图所⽰,四边形ABCD 是正⽅形,E 是CD 的中点,P 是BC 边上的⼀点,下列条件:①∠APB=∠EPC;②∠APE=∠APB;③P 是BC 的中点;④BP:BC=2:3.其中能推出△ABP∽△ECP 的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个 12.如图，在ABC △中，CB CA =，90ACB ∠?＝，点D 在边BC 上（与,B C 不重合），四边形ADEF 为正⽅形，过点F 作FG CA ⊥，交CA 的延长线于点G ，连接FB ，交DE 于点Q ，给出以下结论:AC FG =；四边形1:2FAB 四边形CBFG S :S ＝△③ABC ABF ∠=∠；④2AD FQ AC =，其中正确结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个13.如图，点A 在线段BD 上.在BD 的同侧作等腰Rt ABC △和等腰Rt ADE △,CD 与BE ,AE 分别交于点,P M .对于下列结论:① BAE CAD △△;②MP MD MA ME ?=?;③22CB CP CM =?.其中正确的是( )A.①②③B.①C.①②D.②③14.如图,在平⾏四边形ABCD 中, E 为CD 上⼀点,连接AE 、BE 、BD ,且AE 、BD 交于点F ,:4:25DEF ABF S S ??=,则:?DE EC = ( )A. 2:3B. 2:5C. 3:5D. 3?:?2 ⼆、证明题15.如图，已知,,B C E 三点在同⼀条直线上，ABC △与DCE △都是等边三⾓形.其中线段BD 交AC 于点G ，线段AE 交CD 于点F ，连接GF .求证：（1）ACE BCD ?△△；（2）AG AFGC FE=. 16.如图，在等边三⾓形ABC 中，点P 是BC 边上任意⼀点，AP 的垂直平分线分别交,AB AC 于点,M N .求证：BP CP BM CN ?=?.17.如图，D BC 已知是边上的中点，且AD AC =，DE BC ⊥，DE BA E 与相交于点，EC AD F 与相交于点.（1）求证:ABCFCD △△；（2）若5FCD S =△，10BC ＝，求DE 的长18.如图，已知AD 平分BAC ∠， AD 的垂直平分线EP 交BC 的延长线于点P . 求证：2.PD PB PC =?19.如图，//AB FC ，D 是AB 上⼀点，DF 交AC 于点E ，DE FE =，分别延长FD 和CB 交于点G（1）求证:ADE CFE ?△△；（2）若2GB =，4BC =，1BD =，求AB 的长.20.如图，在ABCD 中，,AM BC AN CD ⊥⊥，垂⾜分别为,M N .求证：（1）AMB AND △△；（2）AM MNAB AC=. 三、解答题21.如图，在4x3的正⽅形⽅格中,ABC △和DEC △的顶点都在边长为1的⼩正⽅形的顶点上.(1) 填空:ABC ∠= ,BC = ; (2) 判断ABC △和DEC △是否相似，并证明你的结论.22.如图,在平⾯直⾓坐标系中,已知OA=12厘⽶,OB=6厘⽶,点P 从点O 开始沿OA 边向点A 以1厘⽶/秒的速度移动;点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1厘⽶/秒的速度移动.如果P,Q 同时出发,⽤t(秒)表⽰移动的时间(0≤t≤6),那么1.设△POQ 的⾯积为y,求y 关于t 的函数关系式;2.当t 为何值时,△POQ 与△AOB 相似.23.如图，已知矩形ABCD 的⼀条边8AD =，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处.已知折痕与边BC 交于点O ，连接,,.AP OP OA(1)求证:OCP PDA △△;(2)若OCP △与PDA △的⾯积⽐为1:4，求边AB 的长.24.如图，在平⾯直⾓坐标系xOy 中，直线3y x =-+与x 轴交于点C ，与直线AD 交于点45(,)33A ,点D 的坐标为(0)1，.(1)求直线AD 的解析式;(2)直线AD 与x 轴交于点B ，若点E 是直线AD 上⼀动点(不与点B 重合)，当BOD △与BCE △相似时，求点E 的坐标.25.如图，在矩形ABCD 中，12AB = cm ，6BC = cm ，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动，点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动.如果P ，Q 同时出发，⽤()t s 表⽰移动的时间（06t ≤≤），那么:（1）当t 为何值时，QAP △为等腰直⾓三⾓形？（2）对四边形QAPC 的⾯积，提出⼀个与计算结果有关的结论（3）当t 为何值时，以点Q ，A ，P 为顶点的三⾓形与ABC △相似？四、填空题26.如图,在直⾓梯形ABCD 中, 90ABC ∠=,//AD BC ,4AD =,5AB =,6BC =,点P 是AB 上⼀个动点,当PC PD +的和最⼩时, PB 的长为__________.27.如图,若AB∥CD,则△__________∽△__________,__________=__________=AOCO.28.如图,在等边三⾓形ABC 中,点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上,且90ADF BED CFE ∠=∠=∠=?,则DEF ?与ABC ?的⾯积之⽐为__________29.已知578a b c==，且329a b c -+=，则243a b c +-的值为 . 30.如图，已知在Rt ABC △中，5,3AB BC ==，在线段AB 上取⼀点D ，作DE AB ⊥交AC 于E ，将ADE △沿DE 析叠，设点A 落在线段BD 上的对应点为11,A DA 的中点为,F 若1FEA FBE △△，则AD= .31.已知:如图,在△ABC 中,点A 1,B 1,C 1分别是BC 、AC 、AB 的中点,A 2,B 2,C 2分别是B 1C 1,A 1C 1,A 1B 1的中点,依此类推….若△ABC 的周长为1,则△A n B n C n 的周长为__________.32.如图，正三⾓形ABC 的边长为2，以BC 边上的⾼1AB 为边作正三⾓形11AB C ，ABC △与1ABC △公共部分的⾯积记为1S ，再以正三⾓形11AB C 的边1C 上的⾼2AB 为边作正三⾓形22AB C ，11AB C △与22AB C △公共部分的⾯积记为2S ，……，以此类推，则n S ＝ .（⽤含n 的式⼦表⽰，n 为正整数）33.如图，在正⽅形ABCD 中，点E 是BC 边上⼀点，且 : 2:1,BE EC AE =与BD 交于点F ，则AFD △与四边形DFEC 的⾯积之⽐是 .34.如图,在△ABC 中,∠C=90°,BC=16cm,AC=12cm,点P 从点B 出发,沿BC 以2 cm /s 的速度向点C 移动,点Q 从点C 出发,以1cm/s 的速度向点A 移动,若点P 、Q 分别从点B 、C 同时出发,设运动时间为ts,当t=__________时,△CPQ 与△CBA 相似.35.如图，在正⽅形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上⼀点，且1,4CF CD =下列结论: ①30BAE ∠=°; ②;ABE ECF △△③AE EF ⊥; ④ADF ECF △△.其中正确结论是 .(填序号)36.如图27-4-9,在ABC △中,90,8m 10m,C BC AB ∠===,°点 P 从B 点出发,沿BC ⽅向以2m/s 的速度移动,点Q 从C 出发,沿CA ⽅向以1m/s 的速度移动.若P Q 、同时分别从B C 、出发,经过____________s,CPQ CBA △△~.37.如图24-4-10,ABC △的两条中线AD 和BE 相交于点G ,过点E 作//EF BC 交AD 于点F ,则FGAG=________.参考答案1.答案：C 解析：2.答案：D 解析：3.答案：C解析：A 选项，因为3:62:4=，所以,,,a b c d 四条线段成⽐例B 选项，因为232,2226==，所以,,,a b c d 四条线段成⽐例C 选项，因为4:56:10≠，所以,,,a b c d 四条线段不成⽐例D 选项，因为252325,55515==，所以,,,a b c d 四条线段成⽐例故选C 4.答案：D解析：∵DAE CAB ∠=∠,∴当AED B ∠=∠或ADE C ∠=∠时,由两⾓分别相等的两个三⾓形相似,可以得出ABC AED ~△△; 当AD ACAE AB=时,由两边成⽐例且夹⾓相等的两个三⾓形相似,可得ABC AED ~△△. 只有选项D 中条件不能判断ABC AED ~△△,故选D. 5.答案：D解析：如图，在Rt BDC △中，4,30,BC CBD =∠=°2,2 3.CD BD ∴=∴=连接,90,DE BDC ∠=°，点E 是BC 中点,12.2DE BE CE C ∴====30,30,CBD BDE DBC ∠=∴∠=∠=°°,30,BD CBC ABD DBC ∠∴∠=∠=°,//,,ABD BDE DE AB DEF BAF ∴∠=∠∴∴△△~.DF DE BF AB∴=在Rt ABD △中，230,23,3,,3DF ABD BD AD BF ∠==∴=∴=°22243,23,555DF DF BD BD ∴=∴==?=故选D.6.答案：D解析：在中, //AD BC ,∴DEF BCF ?~?,∴DE EFBC CF=. ∴点E 是边AD 的中点,∴12AE DE AD ==,∴12EF CF =. 7.答案：B解析：ABC ?中, 90,6,3,:2ABC AB BC AB BC ∠====.A 、当点E 的坐标为()6,0时, 90,2,1CDE CD DE ∠===,则::,AB BC CD DE CDE ABC =?~?,故本选项不符合题意;B 、当点E 的坐标为()6,3时, 90,2,2CDE CD DE ∠===,则::,AB BC CD DE CDE ≠?与ABC ?不相似,故本选项符合题意;C 、当点E 的坐标为()6,5时, 90,2,4CDE CD DE ∠===,则::,AB BC DE CD EDC ABC =?~?,故本选项不符合题意;D 、当点E 的坐标为()4,2时, 90,2,1ECD CD CE ∠===,则::,?AB BC CD CE DCE ABC =?~?,故本选项不符合题意; 故选:B. 8.答案：C 解析：从图中可知，要使△ABC 与△PBD相似，根据勾股定理，得BC =BD =12BC AB BD BP ===,因为AB=2，那么BP=4，故选择P 3处 . 考点：相似三⾓形点评：该题主要考查学⽣对相似三⾓形概念的理解，以及对其性质的应⽤。

相似三角形的判定（一）-练习一、选择题1如图，BC∥FG∥ED，若每两个三角形相似，构成一组相似三角形，那么图中相似的三角形的组数是（）A. 1B. 2C. 3D. 42. 如图，AB∥CD，AE∥FD，则图中的相似三角形共有（）A. 2对B. 4对C. 6对D. 8对3. 已知，在△ABC中，三条边的长分别为2，3，4，△A′B′C′的两边长分别为1，1.5，要使△ABC∽△A′B′C′，那么△A′B′C′中的第三边长应该是（）A. 2B.C. 4D. 2二、填空题4. 如图，添上条件_____________ (填一个即可)，则△ABC∽△ADE．三、解答题5.如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=4，求△CEF的周长.相似三角形的判定（一）-练习参考答案一、选择题1.C. 解：∵BC∥FG∥ED∴△ABC∽△AFG△AFG∽△ADE△ABC∽△ADE∴图中相似的三角形的组数是3组故选C2. C解：AB∥CD，AE∥FD∴图中4个三角形均相似，从4个中任选2个均相似，故有C42对相似三角形，故有6对，故选C．3.A 解：已知在△ABC中，三条边的长分别为2，3，4，△A′B′C′的两边长分别为1，1.5，可以看出，△A′B′C′的两边分别为△ABC的两边长的一半，因此要使△ABC∽△A′B′C′需各边对应比例相等，则第三边长就为4的一半即2．故选A．二、填空题4.BC∥DE或∠ABC=∠ADE或=解：∵∠A=∠A∴当BC∥DE或∠ABC=∠ADE或=时，△ABC∽△ADE．三、解答题5. 解：∵在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，∴AB∥DC，∠BAF=∠DAF，∴∠BAF=∠F，∴∠DAF=∠F，∴AD=FD，∴△ADF是等腰三角形，同理△ABE是等腰三角形，AD=DF=9；∵AB=BE=6，∴CF=3；∴在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4，可得：AG=2，又BG⊥AE，∴AE=2AG=4，∴△ABE的周长等于16，又∵▱ABCD∴△CEF∽△BEA，相似比为1：2，∴△CEF的周长为8．。

相似三角形判定练习题相似三角形是初中数学中的一个重要概念，它是指两个三角形的对应角相等，并且对应边成比例。

相似三角形的判定是数学中的一道基础题目，通过练习这类题目，可以帮助学生巩固对相似三角形的理解和运用。

下面将给出一些相似三角形判定的练习题，供大家参考。

1. 已知三角形ABC和三角形DEF，若∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，且AB/DE=BC/EF=AC/DF，是否可以判定三角形ABC与三角形DEF相似？请说明理由。

解析：根据相似三角形的定义，对应角相等是相似三角形的必要条件，而对应边成比例是相似三角形的充分条件。

在本题中，已知∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，这是对应角相等的条件，所以可以判定三角形ABC与三角形DEF相似。

2. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm，DE=9cm，EF=12cm，求DF的长度。

解析：根据相似三角形的性质，对应边成比例，我们可以列出等式：AB/DE=BC/EF=AC/DF。

已知AB=6cm，BC=8cm，AC=10cm，DE=9cm，EF=12cm，代入等式得到6/9=8/12=10/DF。

通过交叉相乘，得到6×DF=9×10，即6DF=90。

两边同时除以6，得到DF=15cm。

3. 已知三角形ABC与三角形DEF相似，且AB=8cm，BC=12cm，AC=16cm，DE=10cm，EF=15cm，求∠A的度数。

解析：根据相似三角形的性质，对应角相等，我们可以得到∠A=∠D。

所以我们只需要求出∠D的度数即可。

利用余弦定理，可以求得∠D的余弦值：cosD=(DE²+EF²-DF²)/(2×DE×EF)=(10²+15²-DF²)/(2×10×15)。

已知DE=10cm，EF=15cm，代入计算得到cosD=0.92。

相似三角形的判定测试题（含详细解析）时间：100分钟总分：100一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.如图，在中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：：；；；，能满足与相似的条件是A. B. C. D.2.下列的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则在网格图中的三角形与相似的是A. B. C. D.3.如图所示，每个小正方形的边长均为1，则下列A、B、C、D四个图中的三角形阴影部分与相似的是A. B. C. D.4.如图，在中，，，点D在AC上，且，如果要在AB上找一点E，使与相似，则AE的长为A. B. C. 3 D. 或5.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，且，将绕点A顺时针旋转，使点E落在点处，则下列判断不正确的是A. 是等腰直角三角形B. AF垂直平分C. ∽D. 是等腰三角形6.如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中不能判断∽的是A.B.C.D.7.如图，点D，E分别在的AB，AC边上，增加下列条件中的一个：，，，，，使与一定相似的有A. B. C. D.8.如图，在钝角三角形ABC中，，，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止点D运动的速度为秒，点E运动的速度为秒如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是A. 4或B. 3或C. 2或4D. 1或69.如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是A. B.C. D.10.如图，点E是矩形ABCD的边AD的中点，且于点F，则下列结论中错误的是A.B.C. 图中与相似的三角形共有4个D.二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11.如图，已知中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，，，，当AP的长度为______ 时，和相似．12.如图，在中，、E分别为边AB、AC上的点，，点F为BC边上一点，添加一个条件：______，可以使得与相似只需写出一个13.在中，，，点D在边AB上，且，点E在边AC上，当______时，以A、D、E为顶点的三角形与相似．14.如图，，，，，，点p在BD上移动，当______时，和相似．15.如图，中，D、E分别是AB、AC边上一点，连接请你添加一个条件，使∽，则你添加的这一个条件可以是______写出一个即可．16.如图所示，中，E，F分别是边AB，AC上的点，且满足，则与的面积比是______ ．17.已知在中，，，E是边AB上一点，且，若F是AC边上的点，且以A、E、F为顶点的三角形与相似，则AF的长为______．18.如图，在中，，，，点M在AB边上，且，过点M作直线MN与AC边交于点N，使截得的三角形与原三角形相似，则______ ．19.如图，在正方形网格上有6个三角形：，，，，，．在中，与相似的三角形的个数是______．三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）20.如图示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF．求证：≌；求证：∽．21.如图，在中，D、E分别是AB、AC上的点，，，AD：：3，的角平分线AF交DE于点G，交BC于点F．请你直接写出图中所有的相似三角形；求AG与GF的比．22.如图，已知，，垂足分别为B、D，AD与BC相交于点E，，垂足为F，试回答图中，∽______ ，∽______ ，∽______ ．23.在图中，的内部任取一点O，连接AO、BO、CO，并在AO、BO、CO这三条线段的延长线上分别取点D、E、F，使，画出你认为与相似吗？为什么？你认为它们也具有位似形的特征吗？四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）24.如图所示，，，，点P从点B出发，沿BC向点C以的速度移动，点Q从点C出发沿CA向点A以的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发，过多少时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与相似？25.如图，四边形ABCD中，AC平分，，，E为AB的中点．求证：∽；与AD有怎样的位置关系？试说明理由；若，，求的值．答案和解析【答案】1. D2. B3. B4. D5. D6. A7. A8. B9. C10. C11. 4或912. ，或13. 或14. 或12cm或2cm15.16.17. 1：918. 或19. 4或620. 321. 证明：正方形ABCD，等腰直角三角形EDF，，，，，，在和中，，≌；延长BA到M，交ED于点M，≌，，即，，，，，，∽．22. 解：∽，∽，∽；，，，又，∽，，为角平分线，∽，，．23. DAB；BCD；DCE24. 解：相似如图，，，∽，，同理，∽，它们也具有位似形的特征．25. 解：设经过y秒后，∽，此时，．，，，．∽，，设经过y秒后，∽，此时，．．∽，所以，经过秒或者经过后两个三角形都相似26. 解：平分，，又，：：AB，∽；，理由：∽，，又为AB的中点，，，，，；，，，，，，∽，，．【解析】1. 解：当，，所以∽；当，，所以∽；当，即AC：：AC，所以∽；当，即PC：：AB，而，所以不能判断和相似．故选D．根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对进行判断．本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．2. 解：根据勾股定理，，，所以，夹直角的两边的比为，观各选项，只有B选项三角形符合，与所给图形的三角形相似．故选：B．可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边的长度即可解题．此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法，本题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键．3. 解：小正方形的边长为1，在中，，，，A中，一边，一边，一边，三边与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似故A错误；B中，一边，一边，一边，有，即三边与中的三边对应成比例，故两三角形相似故B正确；C中，一边，一边，一边，三边与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似故C 错误；D中，一边，一边，一边，三边与中的三边不能对应成比例，故两三角形不相似故D错误．故选：B．根据相似三角形的判定，易得出的三边的边长，故只需分别求出各选项中三角形的边长，分析两三角形对应边是否成比例即可．本题考查了相似三角形的判定识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比本题中把若干线段的长度用同一线段来表示是求线段是否成比例时常用的方法．4. 解：是公共角，当，即时，∽，解得：；当，即时，∽，解得：，的长为：或．故选D．由是公共角，分别从当，即时，∽与当，即时，∽，去分析求解即可求得答案．此题考查了相似三角形的判定注意分类讨论思想的应用．5. 解：将绕点A顺时针旋转，使点E落在点处，，，是等腰直角三角形，故A正确；将绕点A顺时针旋转，使点E落在点处，，四边形ABCD是正方形，，，，，，，垂直平分，故B正确；，，，，∽，故C正确；，但不一定等于，不一定是等腰三角形，故D错误；故选D．由旋转的性质得到，，于是得到是等腰直角三角形，故A正确；由旋转的性质得到，由正方形的性质得到，推出，于是得到AF垂直平分，故B正确；根据余角的性质得到，于是得到∽，故C 正确；由于，但不一定等于，于是得到不一定是等腰三角形，故D错误．本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定，等腰直角三角形的判定，线段垂直平分线的判定，正确的识别图形是解题的关键．6. 解：，当或时，∽；当即时，∽．故选：A．根据相似三角形的判定定理进行判定即可．本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．7. 解：，，∽，正确；，，∽，正确；，，∽，正确；由，或不能证明与相似．故选：A．由两角相等的两个三角形相似得出正确，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出正确；即可得出结果．本题考查了相似三角形的判定定理：两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似；如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．8. 解：根据题意得：设当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是x秒，若∽，则AD：：AC，即x：：12，解得：；若∽，则AD：：AB，即x：：6，解得：；所以当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是3秒或秒．故选B．根据相似三角形的性质，由题意可知有两种相似形式，∽和∽，可求运动的时间是3秒或秒．此题考查了相似三角形的性质，解题时要注意此题有两种相似形式，别漏解；还要注意运用方程思想解题．9. 解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；故选：C．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．10. 解：A、，∽，，，，故A正确，不符合题意；B、过D作交AC于N，，，四边形BMDE是平行四边形，，，，于点F，，，，，故B正确，不符合题意；C、图中与相似的三角形有，，，，共有5个，故C错误．D、设，由∽，有．，故D正确，不符合题意．故选C．由，又，所以，故A正确，不符合题意；过D作交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出，得到，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故B正确，不符合题意；根据相似三角形的判定即可求解，故C正确，不符合题意；由∽，得到CD与AD的大小关系，根据正切函数可求的值，故D错误，符合题意．本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．11. 解：当∽时，，，解得：，当∽时，，，解得：，当AP的长度为4或9时，和相似．故答案为：4或9．分别根据当∽时，当∽时，求出AP的长即可．此题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用倒推法以及分类讨论得出是解题关键．12. 解：，或．理由：，，∽，当时，∽，∽．当时，，∽．故答案为，或．结论：，或根据相似三角形的判定方法一一证明即可．本题考查相似三角形的判定和性质平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．13. 解：当时，，∽，此时；当时，，∽，此时；故答案为：或．若A，D，E为顶点的三角形与相似时，则或，分情况进行讨论后即可求出AE的长度．本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，解题的关键是分两种情况进行讨论．14. 解：由，，，设，则，若∽，则，即，变形得：，即，因式分解得：，解得：，，所以或12cm时，∽；若∽，则，即，解得：，，综上，或12cm或时，∽．故答案为：或12cm或2cm．设出，由表示出PD的长，若∽，根据相似三角形的对银边成比例可得比例式，把各边的长代入即可列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为PB的长．此题考查了相似三角形的判定与性质，相似三角形的性质有相似三角形的对应边成比例，对应角相等；相似三角形的判定方法有：1、两对对应角相等的两三角形相似；2、两对对应边成比例且夹角相等的两三角形相似；3、三边对应成比例的两三角形相似，本题属于条件开放型探究题，其解法：类似于分析法，假设结论成立，逐步探索其成立的条件．15. 解：当时，∽．故答案为．利用平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似进行添加条件．本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．16. 解：，当时，∽．故答案为．利用有两组角对应相等的两个三角形相似添加条件．本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．17. 解：，，又，∽，与的面积比：9，故答案为：1：9．由已知条件易证∽，根据相似三角形的性质即可求出与的面积比．本题考查了相似三角形的判定和性质，熟悉相似三角形的性质：相似三角形的面积比是相似比的平方是解题关键．18. 解：，以A、E、F为顶点的三角形与相似，有∽和∽两种情况：如图1：当时，∽时，即，解得：；如图2：当时，∽时，即，解得：．所以或．故答案为或．根据相似三角形的相似比求AF，注意分情况考虑．本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理，分情况讨论是解决本题的关键．19. 解：如图1，当时，则∽，故，则，解得：，如图2所示：当时，又，∽，，即，解得：，故答案为：4或6．分别利用当时以及当时，得出相似三角形，再利用相似三角形的性质得出答案．此题主要考查了相似三角形判定，正确利用分类讨论得出是解题关键．20. 解：，，，，，，，，，，，，，，，与不相似；，，，∽；，，，∽；，，，，，，与不相似．故答案为3．先利用勾股定理计算出，，，，，，然后利用三组对应边的比相等的两个三角形相似依次判断，，，，与是否相似．本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似也考查了勾股定理．21. 由正方形ABCD与等腰直角三角形DEF，得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS即可得证；由第一问的全等三角形的对应角相等，根据等量代换得到，再由对顶角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证．此题考查了全等三角形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握各自的判定与性质是解本题的关键．22. 可得到三组三角形相似；先利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似证明∽，则，再利用有两组角对应相等的两个三角形相似证明∽，然后利用相似比和比例的性质求的值．本题考查了相似三角形的判断：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．23. 解：，，，，，，，，∽；，，，，∽，故答案为：DAB；BCD；DCE．由AB垂直于BD，CD垂直于BD，得到一对同旁内角互补，利用同旁内角互补两直线平行得到AB与CD 平行，同理EF与AB平行，且与CD平行，根据EF与AB平行，利用两直线平行同位角相等得到两对角相等，确定出三角形DEF与三角形DAB相似；同理得到三角形BEF与三角形BCD相似；由两直线平行得到两对内错角相等，得到三角形ABE与三角形DEC相似．此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．24. 由，可得∽，再由相似得出对应边成比例，即可得出与相似，由于它们有位似中心点O，所以它们也具有位似形的特征．本题主要考查了相似三角形的判定以及位似图形的问题，应熟练掌握位似与相似之间的联系及区别．25. 设经过y秒后相似，由于没有说明对应角的关系，所以共有两种情况：∽与∽本题考查相似三角形的判定，解题的关键是分两种情况进行讨论，本题属于中等题型．26. 根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行求解；根据，，即可得出，进而得到；先根据，，判定∽，即可得出，进而得到．本题主要考查了相似三角形的判定与性质的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合．。

27．2.1 相似三角形的判定第1课时 平行线分线段成比例1．如图所示，△ADE ∽△ACB ，∠AED ＝∠B ，那么下列比例式成立的是( ) A.AD AC ＝AE AB ＝DE BC B.AD AB ＝AE ACC.AD AE ＝AC AB ＝DE BC D.AD AB ＝AE EC ＝DE BC2．两个三角形相似，且相似比k ＝1，则这两个三角形 ．3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝6，DB ＝3，AE ＝4，则EC 的长为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ，直线DF 交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ，已知AB AC ＝13，则EFDE＝ ．5．如图，在▱ABCD 中，EF ∥AB 交AD 于点E ，交BD 于点F ，DE ∶EA ＝3∶4，EF ＝3，则CD 的长为( )A ．4B ．7C ．3D ．126．如图，点E ，F 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，且EF ∥BC ，点M 在边BC 上，AM 与EF 交于点D ，则图中相似三角形共有( )A ．4对B ．3对C ．2对D ．1对7．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝9，点P 是直线AB 上一点，且AP ＝2，过点P 作BC 边的平行线，交直线AC 于点M ，则MC 的长为 ．8．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB 于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是()A.ABAE＝AGADB.DFCF＝DGADC.FGAC＝EGBDD.AEBE＝CFDF9．如图，AG∶GD＝4∶1，BD∶DC＝2∶3，则AE∶EC的值是()A．3∶2B．4∶3C．6∶5D．8∶510．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上，若线段AB＝4 cm，则线段BC＝cm.11．如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，连接DE，线段BE，CD相交于点O，若OD＝2，则OC＝.12．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F，若CD＝5，BC＝8，AE＝2，则AF＝．13．中国高铁近年来用震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”，修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥，如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN(M、N为山的两侧)，工程人员为了计算M、N两点之间的直线距离，选择作MN的平行线BC，并测得AM＝900米， AB＝30米，BC＝45米，求直线隧道MN的长．14．如图，延长正方形ABCD的一边CB至点E，ED与AB相交于点F，过点F作FG∥BE 交AE于点G，求证：GF＝FB.15．如图，AD∥EG∥BC，EG分别交AB，DB，AC于点E，F，G，已知AD＝6，BC＝10，AE＝3，AB＝5，求EG，FG的长．第2课时 相似三角形的判定定理1，21．将一个三角形的各边长都缩小12后，得到的三角形与原三角形( )A ．一定相似B ．一定不相似C ．不一定相似D ．无法确定2．若△ABC 各边分别为AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，△DEF 的两边为DE ＝5 cm ，EF ＝4 cm ，则当DF ＝ cm 时，△ABC ∽△DEF. 3．试判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．4．网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A ，B ，C ，D ，E ，F 都是格点，试说明△ABC ∽△DEF.5．能判定△ABC ∽△A ′B ′C ′的条件是( )A.AB A ′B ′＝ACA ′C ′B.AB AC ＝A ′B ′A ′C ′且∠A ＝∠A ′ C.AB BC ＝A ′B ′A ′C ′且∠B ＝∠C ′ D.AB A ′B ′＝ACA ′C ′且∠B ＝∠B ′6．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是()7．如图，AB与CD相交于点O，OA＝3，OB＝5，OD＝6，当OC＝时，△AOC∽△BOD.8．如图，点C，D在线段AB上，∠A＝∠B，AE＝3，AD＝2，BC＝3，BF＝4.5，DE＝5，求CF的长．9．在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．10．如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为()A．P 1B．P2C．P3D．P411．如图，在△ABC中，点P在AB上，下列四个条件：①AP∶AC＝AC∶AB；②AC2＝AP·AB；③AB·CP＝AP·CB.其中能满足△APC和△ACB相似的条件有()A．1个 B．2个C．3个D．0个12．如图，已知∠DAB＝∠CAE，请补充一个条件：，使△ABC∽△ADE.13．如图，AB∥DE，AC∥DF，BC∥EF，求证：△DEF∽△ABC.14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且满足AB2＝DB·CE.求证：△ADB∽△EAC.15．如图，正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ ∽△QCP.16．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6 cm，AC＝12 cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1 cm/s，点E运动的速度为2 cm/s.如果两点同时运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是．第3课时相似三角形的判定定理31．下列各组图形中有可能不相似的是()A．各有一个角是45°的两个等腰三角形B．各有一个角是60°的两个等腰三角形C．各有一个角是105°的两个等腰三角形D．两个等腰直角三角形2．已知△ABC中，∠A＝40°，∠B＝75°，下图各三角形中与△ABC相似的是.3．如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线EC，BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形．(用相似符号连接) 4．如图，点B，D，C，F在一条直线上，且AB∥EF，AC∥DE，求证：△ABC∽△EFD.5．如图，∠1＝∠2，∠C ＝∠D.求证：△ABC ∽△AED.6．在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠C ＝∠C ′＝90°，AC ＝12，AB ＝15，A ′C ′＝8，则当A ′B ′＝ 时，△ABC ∽△A ′B ′C ′.7．一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为8 cm 和15 cm ，另一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别是6 cm 和454 cm ，这两个直角三角形 (填“是”或“不是”)相似三角形．8．一个直角三角形的两边长分别为3和6，另一个直角三角形的两边长分别为2和4，那么这两个直角三角形 (填“一定”“不一定”或“一定不”)相似．9．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，且∠DCE ＝∠B.那么下列判断中，错误的是( )A ．△ADE ∽△ABCB ．△ADE ∽△ACDC ．△DEC ∽△CDBD ．△ADE ∽△DCB10．如图，在△ABC 中，点D 是边AB 上的一点，∠ADC ＝∠ACB ，AD ＝2，BD ＝6，则边AC 的长为( )A ．2B ．4C ．6D ．811．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是步．12．如图，已知∠ACB＝∠ABD＝90°，AB＝6，AC＝2，求AD的长为多少时，图中两直角三角形相似？13．如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE＝∠D.求证：△ABF∽△BEC.14．如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.(1)求证：△APQ∽△CDQ；(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．当t为何值时，DP⊥AC?15．如图，在△ABC中，AD，BF分别是BC，AC边上的高，过点D作AB的垂线交AB于点E，交BF于点G，交AC的延长线于点H，求证：DE2＝EG·EH.参考答案：27．2.1 相似三角形的判定第1课时 平行线分线段成比例1．A2． 全等．3．B4． 2．5．B6．B7． 6或12．8．D9．D10．12.11．4.12．169．13．解：∵BC ∥MN ，∴△ABC ∽△AMN.∴AB AM ＝BC MN ，即30900＝45MN .∴MN ＝1 350.答： 直线隧道MN 的长为1 350米．14．证明：∵GF ∥AD ，∴GF AD ＝EFED .又FB ∥DC ，∴FB DC ＝EFED .又AD ＝DC ，∴GF AD ＝FBAD .∴GF ＝FB.15．解：∵在△ABC 中，EG ∥BC ，∴△AEG ∽△ABC ，∴EG BC ＝AEAB .∵BC ＝10，AE ＝3，AB ＝5，∴EG 10＝35，∴EG ＝6. ∵在△BAD 中，EF ∥AD ，∴△BEF ∽△BAD ，∴EF AD ＝BE AB. ∵AD ＝6，AE ＝3，AB ＝5，∴EF 6＝5－35.∴EF ＝125. ∴FG ＝EG －EF ＝185.第2课时 相似三角形的判定定理1，21．A2．3.3．解：相似．理由如下：在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝32－2.42＝1.8，在Rt △DEF 中，DF ＝DE 2－EF 2＝62－3.62＝4.8，∴AB DE ＝BC EF ＝AC DF ＝12. ∴△ABC ∽△DEF.4．证明：∵AC ＝2，BC ＝12＋32＝10，AB ＝4，DF ＝22＋22＝22，EF ＝22＋62＝210，ED ＝8，∴AC DF ＝BC EF ＝AB DE ＝12. ∴△ABC ∽△DEF.5．B6．C7． 1858．解：∵AE BF ＝34.5＝23，AD BC ＝23，∴AE BF ＝AD BC.又∵∠A ＝∠B ，∴△AED ∽△BFC.∴AD BC ＝DE CF .∴23＝5CF. ∴CF ＝152. 9． 125或53． 10．C11．B12． AD AB ＝AE AC 13．证明：∵AB ∥DE ，∴△ODE ∽△OAB.∴DE AB ＝OE OB. ∵BC ∥EF ，∴△OEF ∽△OBC.∴EF BC ＝OE OB ＝OF OC. ∵AC ∥DF ，∴△ODF ∽△OAC.∴DF AC ＝OF OC. ∴DE AB ＝EF BC ＝DF AC. ∴△DEF ∽△ABC.14．证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.∴∠ABD ＝∠ACE.∵AB 2＝DB ·CE ，∴AB CE ＝DB AB . 又AB ＝AC ，∴AB CE ＝DB AC. ∴△ADB ∽△EAC.15．证明：设正方形的边长为4a ，则AD ＝CD ＝BC ＝4a.∵Q 是CD 的中点，BP ＝3PC ，∴DQ ＝CQ ＝2a ，PC ＝a.∴DQ PC ＝AD CQ ＝21. 又∵∠D ＝∠C ＝90°，∴△ADQ ∽△QCP.16．3__s 或4.8__s ．第3课时 相似三角形的判定定理31．A2． △EFD ，△HGK .3． 答案不唯一，如△BDE ∽△CDF ，△ABF ∽△ACE 等．4．证明：∵AB ∥EF ，AC ∥DE ，∴∠B ＝∠F ，∠ACB ＝∠EDF.∴△ABC ∽△EFD.5．证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD ，即∠BAC ＝∠EAD.又∵∠C ＝∠D ，∴△ABC ∽△AED.6．10.7．是．8．不一定．9．D10．B11．6017． 12．解：①若△ABC ∽△ADB ，则AB AD ＝AC AB.∴AD ＝3； ②若△ABC ∽△DAB ，则AB AD ＝BC AB.∴AD ＝3 2.综上所述，当AD ＝3或32时，两直角三角形相似．13．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AD ＝BC.∴∠D ＋∠C ＝180°，∠ABF ＝∠BEC.又∵∠AFB ＋∠AFE ＝180°，且∠AFE ＝∠D ， ∴∠C ＝∠AFB.又∵∠ABF ＝∠BEC ，∴△ABF ∽△BEC.14．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD.∴△APQ ∽△CDQ.(2)当DP ⊥AC 时，∠QCD ＋∠QDC ＝90°.∵∠ADQ ＋∠QDC ＝90°，∴∠DCA ＝∠ADP. 又∵∠ADC ＝∠DAP ＝90°，∴△ADC ∽△PAD.∴AD PA ＝DC AD .∴10PA ＝2010，解得PA ＝5. ∴t ＝5.15．证明：∵AD ，BF 分别是BC ，AC 边上的高， ∴∠ADB ＝∠BED ＝90°.∴∠EBD ＋∠EDB ＝∠EDB ＋∠ADE.∴∠EBD ＝∠EDA.∴△AED ∽△DEB.∴AE DE ＝DE BE，即DE 2＝AE ·BE. 又∵∠HFG ＝90°，∠BGE ＝∠HGF ，∴∠EBG ＝∠H.∵∠BEG ＝∠HEA ＝90°，∴△BEG ∽△HEA.∴EG AE ＝BE EH，即EG ·EH ＝AE ·BE. ∴DE 2＝EG ·EH.。

相似三角形的判定练习1、相似三角形1）定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。

几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。

两个等腰直角三角形一定相似。

两个等边三角形一定相似。

两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。

补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似（如正四边形、正五边形等等）；2）性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。

3）相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。

如△ABC与△DEF相似，记作△ABC ∽△DEF。

相似比为k。

4）判定：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。

②三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。

三角形相似的判定定理：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．(此定理用的最多)判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．直角三角形相似判定定理:○1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。

○2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。

补充一：直角三角形中的相似问题：斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.射影定理：CD²=AD·BD，AC²=AD·AB，BC²=BD·BA（在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用）.补充二：三角形相似的判定定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。

相似三角形性质与判定专项练习30题(有答案)1.在三角形ABC中，点D在边BC上，且∠BAC=∠DAG，∠XXX∠BAD。

证明：=。

当GC⊥BC时，证明：∠BAC=90°。

2.在三角形ABC中，∠ACB=90°，点D在边BC上，CE⊥AB，CF⊥AD，E、F分别是垂足。

证明：AC^2=AF•AD。

联结EF，证明：AE•DB=AD•EF。

3.在三角形ABC中，PC平分∠ACB，PB=PC。

证明：△APC∽△ACB。

若AP=2，PC=6，求AC的长。

4.在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠XXX∠C。

证明：△ABF∽△EAD。

若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长。

5.在三角形ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC。

证明：AB•BC=AC•CD。

6.在直角三角形ABC中，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45°，设△ABC的面积为S。

说明AF•BE=2S的理由。

7.在等边三角形ABC中，边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P。

若AE=CF，证明：AF=BE，并求∠APB的度数。

若AE=2，试求AP•AF的值。

若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长。

8.在钝角三角形ABC中，AD，BE是边BC上的高。

证明。

9.在三角形ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC 上，DF与BE相交于点G，且∠XXX∠ABE。

证明：（1）△DEF∽△BDE；（2）DG•DF=DB•EF。

10.在等边三角形ABC、△DEF中，点D为AB的中点，E在BC上运动，DF和EF分别交AC于G、H两点，BC=2.问E在何处时CH的长度最大？11.在AB和CD交于点O的图形中，当∠A=∠C时，证明：OA•OB=OC•OD。

12.在等边三角形△AEC中，以AC为对角线做正方形ABCD（点B在△AEC内，点D在△AEC外）。

学生做题前请先回答以下问题问题1：相似三角形的判定：①________________________________________；②________________________________________；③________________________________________；④_________________________________________________________．在证明两个三角形相似时，首先考虑角度信息，其次考虑对应边成比例．问题2：想一想相似三角形的判定与性质的区别是什么？问题3：如果两个图形___________，而且____________________________，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做________；位似图形上__________________________________________________．相似三角形的判定一、单选题(共9道，每道11分)1.如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是( )A.∠ABD=∠ACBB.∠ADB=∠ABCC. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定2.如图，在△ABC中，DE∥BC，，则下列结论中正确的是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定与性质3.如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，连接CE并延长，交BA的延长线于点F，若，CD=3，则AF的长为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定与性质4.如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB，交AC于点E，若，则的值为( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定5.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC中点，AE⊥AD交CB的延长线于点E，则下列结论正确的是( )A.△AED∽△ACBB.△AEB∽△ACDC.△BAE∽△ACED.△AEC∽△DAC答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的判定6.如图，正五边形FGHMN是由正五边形ABCDE经过位似变换得到的，若AB:FG=2:3，则下列结论正确的是( )A.2DE=3MNB.3DE=2MNC.3∠A=2∠FD.2∠A=3∠F答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：位似变换7.如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，将△ABO扩大为原来的2倍，得到△．若点A的坐标是（1，2），则点的坐标是( )A.（2，4）B.（-1，-2）C.（-2，-4）D.（-2，-1）答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的性质和判定8.如图，在△ABC中，AB=6，AC=4，P是AC的中点，过点P的直线交AB于点Q，若以A，P，Q为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形相似，则AQ的长为( )A.3B.3或C.3或D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的性质和判定9.如图，在Rt△ABO中，∠AOB=90°，∠ABO=60°，，D为BO的中点，若E是线段AB上的一动点，连接DE，当△BDE与△AOB相似时，点E的坐标为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：相似三角形的性质和判定。

ABDCHG EFADEEABDC27.2.1 相似三角形的判定（一）A组1.如图27-2-1，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连结AE交CD于F，则图中共有相似三角形（）A.1对B.2对C.3对D.4对图27-2-1 图27-2-22.如图27-2-2，在△ABC中，DE//BC，且AD：DB=2：1，那么DE：BC等于（）A.2：1B.1：2C.2：3D.3：23.如图27-2-3，在□ABCD中，F、H分别是BC、AD上任一点，EF平行AB，HG平行CD，则图中共有相似三角形的对数是（）A.2B.3C.4D.5图27-2-3 图27-2-44.如图27-2-4，在△ABC中，DE//BC，AD:CD=1:3，BE=6cm，则AE= cm．5.如图，在□ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，连接AC、EF.求证：△BEF∽△ACD.6.已知：如图，试用两种不同的方法在△ABC内部作一个三角形，使其与△ABC相似，且相似比为14.7.如图，物AB与其所成像A’B’平行，孔心O到蜡烛头A的距离是36cm，到蜡烛头的像A’的距离是12cm，你知道像长是物长的几分之几吗？你是怎样知道的？8.如图，AD与BC交于点O，且AB ∥ CD。

①已知BO：OC=1：3，CD=6cm，求AB的长。

②已知BO：BC=1：3，CD=6cm，求AB的长。

③已知BO：OC=1：3，AD=8cm，求OA的长。

C DA BOOABB’A’PC AGFB 组1.如图27-2-5，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式，错误．．的是 （ ） A.AD AE =ABACB.CE EA =CFFBC.DE AD =BC BD D.EF CF=AB CB图27-2-5 图27-2-62.如图27-2-6，在△ABC 中，DG ∥A C ，EF ∥BC ，则图中与△PDE 相似三角形的个数是（ ） A.1B.2C.3D.43.如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是圆上两点，且弧AC=弧BD ，射线AC 与射线BD 交于点E ，求证：△ECD∽△ABE.4.已知：如图，AB=AD ，AC=AE ，FG ∥DE.试说出与所有△ABC 相似的三角形，并说明理由.E OD C BADB CG FE5.如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，D 是垂足，E 是BC 中点，FE ⊥BC 交AB 于F ，BD ＝6，DC ＝4，AB ＝8，求BF 长。

相似三角形典型习题例1 从下面这些三角形中，选出相似的三角形．例2 已知：如图，ABCD 中，2:1:=EB AE ，求AEF ∆与CDF ∆的周长的比，如果2cm 6=∆AEF S ，求CDF S ∆．例3 如图，已知ABD ∆∽ACE ∆，求证：ABC ∆∽ADE ∆．例4 下列命题中哪些是正确的，哪些是错误的？（1）所有的直角三角形都相似． （2）所有的等腰三角形都相似． （3）所有的等腰直角三角形都相似． （4）所有的等边三角形都相似．例5 如图，D 点是ABC ∆的边AC 上的一点，过D 点画线段DE ，使点E 在ABC ∆的边上，并且点D 、点E 和ABC ∆的一个顶点组成的小三角形与ABC ∆相似．尽可能多地画出满足条件的图形，并说明线段DE 的画法．例6 如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆，已知手臂长约60厘米，求电线杆的高．例7 如图，小明为了测量一高楼MN 的高，在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜，小明沿NA 后退到C 点，正好从镜中看到楼顶M 点，若5.1=AC m ，小明的眼睛离地面的高度为1.6m ，请你帮助小明计算一下楼房的高度（精确到0.1m ）．例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形，说明理由．例9 根据下列各组条件，判定ABC ∆和C B A '''∆是否相似，并说明理由：（1）,cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A ． （2）︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A ．（3）︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB ．例10 如图，下列每个图形中，存不存在相似的三角形，如果存在，把它们用字母表示出来，并简要说明识别的根据．例11 已知：如图，在ABC ∆中，BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线，试利用三角形相似的关系说明AC DC AD ⋅=2．例12 已知ABC ∆的三边长分别为5、12、13，与其相似的C B A '''∆的最大边长为26，求C B A '''∆的面积S ．例13 在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C 处（如图），然后沿BC 方向走到D 处，这时目测旗杆顶部A 与竹竿顶部E 恰好在同一直线上，又测得C 、D 两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．例14．如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A ，再在河的这一边选点B 和C ，使BC AB ⊥，然后再选点E ，使BC EC ⊥，确定BC 与AE 的交点为D ，测得120=BD 米，60=DC 米，50=EC 米，你能求出两岸之间AB 的大致距离吗？例15．如图，为了求出海岛上的山峰AB 的高度，在D 和F 处树立标杆DC 和FE ，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB 、CD 和EF 在同一平面内，从标杆DC 退后123步的G 处，可看到山峰A 和标杆顶端C 在一直线上，从标杆FE 退后127步的H 处，可看到山峰A 和标杆顶端E 在一直线上．求山峰的高度AB 及它和标杆CD 的水平距离BD 各是多少？（古代问题）例16 如图，已知△ABC 的边AB ＝32，AC ＝2，BC 边上的高AD ＝3．（1）求BC 的长；（2）如果有一个正方形的边在AB 上，另外两个顶点分别在AC ，BC 上，求这个正方形的面积．相似三角形经典习题答案例1． 解 ①、⑤、⑥相似，②、⑦相似，③、④、⑧相似例2． 解 ABCD 是平行四边形，∴CD AB CD AB =,//，∴AEF ∆∽CDF ∆，又2:1:=EB AE ，∴3:1:=CD AE ，∴AEF ∆与CDF ∆的周长的比是1：3． 又)cm (6,)31(22==∆∆∆AEF CDF AEF S S S ，∴)cm (542=∆CDF S ． 例3 分析 由于ABD ∆∽ACE ∆，则CAE BAD ∠=∠，因此DAE BAC ∠=∠，如果再进一步证明AECAAD BA =，则问题得证．证明 ∵ABD ∆∽ACE ∆，∴CAE BAD ∠=∠．又DAC BAD BAC ∠+∠=∠ ，∴CAE DAC DAE ∠+∠=∠， ∴DAE BAC ∠=∠．∵ABD ∆∽ACE ∆，∴AEACAD AB =． 在ABC ∆和ADE ∆中，∵AEACAD AB ADE BAC =∠=∠,，∴ABC ∆∽ADE ∆ 例4．分析 （1）不正确，因为在直角三角形中，两个锐角的大小不确定，因此直角三角形的形状不同．（2）也不正确，等腰三角形的顶角大小不确定，因此等腰三角形的形状也不同． （3）正确．设有等腰直角三角形ABC 和C B A '''，其中︒='∠=∠90C C ，则︒='∠=∠︒='∠=∠45,45B B A A ，设ABC ∆的三边为a 、b 、c ，C B A '''∆的边为c b a '''、、， 则a c b a a c b a '=''='==2,,2,，∴a ac c b b a a '=''=',，∴ABC ∆∽C B A '''∆． （4）也正确，如ABC ∆与C B A '''∆都是等边三角形，对应角相等，对应边都成比例，因此ABC ∆∽C B A '''∆．答：（1）、（2）不正确．（3）、（4）正确． 例5．解：画法略．例6．分析 本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形，即60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=CE 米，求BC ．由于ADF ∆∽ACAF EC DF AEC =∆,，又ACF ∆∽ABC ∆，∴BC GFEC DF =，从而可以求出BC 的长． 解 EC DF EC AE //,⊥ ，∴EAC DAF AEC ADF ∠=∠∠=∠,，∴ADF ∆∽AEC ∆．∴ACAFEC DF =． 又EC BC EC GF ⊥⊥,，∴ABC AGF ACB AFG BC GF ∠=∠∠=∠,,//， ∴AGF ∆∽ABC ∆，∴BC GF AC AF =，∴BCGFEC DF =．又60=DF 厘米6.0=米，12=GF 厘米12.0=米，30=EC 米，∴6=BC 米．即电线杆的高为6米． 例7．分析 根据物理学定律：光线的入射角等于反射角，这样，BCA ∆与MNA ∆的相似关系就明确了．解 因为MAN BAC AN MN CA BC ∠=∠⊥⊥,,，所以BCA ∆∽MNA ∆．所以AC AN BC MN ::=，即5.1:206.1:=MN ．所以3.215.1206.1≈÷⨯=MN （m ）． 说明 这是一个实际应用问题，方法看似简单，其实很巧妙，省却了使用仪器测量的麻烦．例8．分析 这两个图如果不是画在格点中，那是无法判断的．实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度．解 在格点中BC AB EF DE ⊥⊥,，所以︒=∠=∠90B E ， 又4,2,2,1====AB BC DE EF ．所以21==BC EF AB DE ．所以DEF ∆∽ABC ∆． 说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件，勿使遗漏．例9．解 （1）因为7128cm 4cm ,7117.5cm 2.5cm ,7124.5cm 3.5cm ==''==''==''A C CA C B BC B A AB ，所以ABC ∆∽C B A '''∆； （2）因为︒=∠-∠-︒=∠41180B A C ，两个三角形中只有A A '∠=∠，另外两个角都不相等，所以ABC ∆与C B A '''∆不相似；（3）因为12,=''='''∠=∠C B BC B A AB B B ，所以ABC ∆相似于C B A '''∆．例10．解 （1）ADE ∆∽ABC ∆ 两角相等； （2）ADE ∆∽ACB ∆ 两角相等；（3）CDE ∆∽CAB ∆ 两角相等； （4）EAB ∆∽ECD ∆ 两边成比例夹角相等； （5）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等； （6）ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等．例11．分析 有一个角是65°的等腰三角形，它的底角是72°，而BD 是底角的平分线，∴︒=∠36CBD ，则可推出ABC ∆∽BCD ∆，进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系．证明 AC AB A =︒=∠,36 ，∴︒=∠=∠72C ABC ． 又BD 平分ABC ∠，∴︒=∠=∠36CBD ABD ．∴BC BD AD ==，且ABC ∆∽BCD ∆，∴BC CD AB BC ::=，∴CD AB BC ⋅=2，∴CD AC AD ⋅=2． 说明 （1）有两个角对应相等，那么这两个三角形相似，这是判断两个三角形相似最常用的方法，并且根据相等的角的位置，可以确定哪些边是对应边．（2）要说明线段的乘积式cd ab =，或平方式bc a =2，一般都是证明比例式，b dc a =，或caa b =，再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式．例12分析 由ABC ∆的三边长可以判断出ABC ∆为直角三角形，又因为ABC ∆∽C B A '''∆，所以C B A '''∆也是直角三角形，那么由C B A '''∆的最大边长为26，可以求出相似比，从而求出C B A '''∆的两条直角边长，再求得C B A '''∆的面积．解 设ABC ∆的三边依次为，13,12,5===AB AC BC ，则222AC BC AB += ，∴︒=∠90C ．又∵ABC ∆∽C B A '''∆，∴︒=∠='∠90C C ．212613==''=''=''B A AB C A AC C B BC ， 又12,5==AC BC ，∴24,10=''=''C A C B ． ∴12010242121=⨯⨯=''⨯''=C B C A S ．例13．分析 判断方法是否可行，应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高．按这种测量方法，过F作AB FG ⊥于G ，交CE 于H ，可知AGF ∆∽EHF ∆，且GF 、HF 、EH 可求，这样可求得AG ，故旗杆AB 可求．解 这种测量方法可行．理由如下：设旗杆高x AB =．过F 作AB FG ⊥于G ，交CE 于H （如图）．所以AGF ∆∽EHF ∆．因为3,30327,5.1==+==HF GF FD ，所以5.1,25.15.3-==-=x AG EH ．由AGF ∆∽EHF ∆，得HF GF EH AG =，即33025.1=-x ，所以205.1=-x ，解得5.21=x （米） 所以旗杆的高为21.5米．说明 在具体测量时，方法要现实、切实可行． 例14. 解：︒=∠=∠∠=∠90,ECD ABC EDC ADB ，∴ABD ∆∽ECD ∆，1006050120,=⨯=⨯==CD EC BD AB CD BD EC AB （米），答：两岸间AB 大致相距100米． 例15. 答案：1506=AB 米，30750=BD 步，（注意：AK FEFHKE AK CD DG KC ⋅=⋅=,．） 例16. 分析：要求BC 的长，需画图来解，因AB 、AC 都大于高AD ，那么有两种情况存在，即点D 在BC 上或点D 在BC 的延长线上，所以求BC 的长时要分两种情况讨论．求正方形的面积，关键是求正方形的边长． 解：（1）如上图，由AD ⊥BC ，由勾股定理得BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD ＋DC ＝3＋1＝4． 如下图，同理可求BD ＝3，DC ＝1，所以BC ＝BD －CD ＝3－1＝2．（2）如下图，由题目中的图知BC ＝4，且162)32(2222=+=+AC AB ，162=BC ，∴222BC AC AB =+．所以△ABC 是直角三角形．由AE G F 是正方形，设G F ＝x ，则FC ＝2－x ， ∵G F ∥AB ，∴AC FC AB GF =，即2232x x -=． ∴33-=x ，∴3612)33(2-=-=AEGF S 正方形． 如下图，当BC ＝2，AC ＝2，△ABC 是等腰三角形，作CP ⊥AB 于P ，∴AP ＝321=AB ，在Rt △APC 中，由勾股定理得CP ＝1， ∵GH ∥AB ，∴△C GH ∽△CBA ，∵x xx -=132，32132+=x ∴121348156)32132(2-=+=GFEH S 正方形因此，正方形的面积为3612-或121348156-．。

相似三角形判定练习题及答案相似三角形一．解答题1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．求证：△CDF∽△BGF；当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE 于F，试说明：△ABF∽△EAD．5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出中的两个结论是否仍然成立；在的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．6．如图，E是?ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．填空：∠ABC= _________ °，BC= _________ ；判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B 点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s 的速度向A点匀速运动，问：经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD 相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；请你任选一组相似三角形，并给出证明．10．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．写出图中所有相等的线段，并加以证明；图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；求△BEC与△BEA的面积之比．11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q．求四边形AQMP的周长；写出图中的两对相似三角形；M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．相似三角形的判定练习题1．△ABC和△ABC中，AB=9cm，BC=8cm，CA=5cm，A′B′=4.5cm，B′C′=2.5cm，C?′A′=4cm，则下列说法错误的是．A．△ABC与△A′B′C′相似 B．AB与A′B是对应边 C．两个三角形的相似比是2：1D．BC与B′C′是对应边2．若△ABC的各边都分别扩大到原来的2倍，得到△A1B1C1，下列结论正确的是． A．△ABC与△A1B1C1的对应角不相等 B．△ABC与△A1B1C1不一定相似 C．△ABC 与△A1B1C1的相似比为1：D．△ABC与△A1B1C1的相似比为2：1．△ABC与△A′B′C′满足下列条件，△ABC与△A′B′C′不一定相似的是． A．∠A=∠A′=45°38′，∠C=26°22′，∠C′=108°B．AB=1，AC=1.5，BC=2，A′B′=12，B′C′=8，A′C′=1 C．BC=a，AC=b，AB=c，A′B′B`C`?A`C`? D．AB=AC，A′B′=A′C′，∠A=∠A′=40°4．如图，小正方形的边长均为1，则右图中的三角形?与△ABC相似的是．5．△ABCA1B1C1的两边长分别为11B1C1的第三边长为 _______时，△ABC与△A1B1C1相似．6．如图，在正方形网格上，每个小正方形的边长为a，那么△ABC与△A1B1C1?是否相似？7．如图，在网格中画出与已知三角形相似的三角形，并使相似比为8、如图，AD⊥AC，BC⊥AC，AB与CD相交于点E，过E点作EF⊥AC，交AC于F，写出图中所有相似的三角形，并说明你的理由。

相似三角形的判定（一）【知识要点】1．相似三角形：对应角相等，对应边成比例的三角形叫相似三角形．ABC ∆与DEF ∆相似，记作ABC ∆∽DEF ∆ 2．相似三角形的判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．在ABC ∆和///C B A ∆中，,,//B B A A ∠=∠∠=∠则ABC ∆∽///C B A ∆，【经典例题】例1．如图1，若ABE ∆与ACD ∆中，AD=AE 且AB=AC ，求证：BOD ∆∽COE ∆．例2．如图所示，已知点D 、E 在等边ABC ∆的边BC 所在直线上，且满足AB=AC ，求证：ABD ∆∽ACE ∆．例3．如图，已知在ABC ∆中，AE=AC ，CE AH ⊥，垂足为K ，且AH BH ⊥，垂足为H ，AH 交BC 于D ，试证明ABH ∆∽ACK ∆． ABDOC EBCC例4．在平行四边形ABCD 中，过点B 作CD BE ⊥于E ，连结AE ，F 为AE 上一点，且C BFE ∠=∠，求证：ABF ∆∽EAD ∆．例5．如图所示，ABC ∆中，2,90==︒=∠AC AB BAC ，点D 在BC 上，DE ADE ,45︒=∠交AC 于E ，求证ABD ∆∽DCE ∆．【经典练习】1．下面能够相似的一组三角形为（ ）A 、两个等腰三角形B 、两个直角三角形C 、两个等边三角形D 、以上都不对 2．下列说法正确的是（ ）A 、不全等的三角形一事实上不是相似三角形B 、不相似的三角形一定不是全等三角形C 、相似三角形一定不是全等三角形D 、全等三角形不一事实上是相似三角形 3．下列说法：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有的直角三角形都相似；④所有的等腰直角三角形都相似；⑤顶角相等的两个等腰三角形相似，其中正确的有（ ）A 、2个B 、3个C 、4个D 、5个 4．已知ABC ∆∽///C B A ∆，若︒=∠︒=∠100,55B A ，则/C ∠等于（ ）DC EA EBC D5．如图所示，已知B ADE ∠=∠，则ABC ∆∽∆ ，理由是 .6．ABC ∆中，D 是AB 上一个固定点，E 是AC 上的一个动点，若使ADE ∆与ABC ∆相似，则这样的点E 有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、很多7．如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点，连结AE 交CD 于F ， 则图中共有相似三角形（ ）A 、1对B 、2对C 、3对D 、4对8．如图，ABC ∆中，AB=AC ，AD 为高，EF ∥BC ，写出图中与ADC ∆相似的三角形．9．如图所示，D 为ABC ∆内任意一点，E 为ABC ∆外一点，且43,21∠=∠∠=∠，求证：DEB ACB ∠=∠．10．满足条件：︒=∠︒=∠︒=∠︒=∠60,80,80,40//B A B A 的两三角形ABC ∆和///C B A ∆是否相似？BEBE11．如图，正方形ABCD ，AB=2，P 是BC 边上与B 、C 不重合的任意一点，AP DQ ⊥于Q ．求证DAQ ∆∽APB ∆．12．已知：如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，EC EF ⊥交AB 于F ，连结FC （AB>AE ）．试问：AEF ∆与EFC ∆是否相似？若相似，证明你的结论，若不相似，请说明理由．13．已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD<BC, AD=5,AB=DC=2,如图所示，P 为AD 上的一点，满足A BPC ∠=∠．求证：ABP ∆∽OPC ∆．14． ABC ∆为等边三角形，︒=∠120DAE ，利用三角形相似的关系来说明．ADB ∆∽DAC ∆．BCC相似三角形判定作业1．在ABC ∆和111C B A ∆中，︒=∠︒=∠72,68/C A ，这两个三角形（ ） A 、既全等又相似 B 、相似 C 、全等 D 、无法判定 2．下列说法正确的是（ ）①相似三角形一定全等；②不相似的三角形一定不是全等三角形；③全等三角形不一定是相似三角形；④全等三角形一定是相似三角形A 、①②B 、②③C 、②④D 、③④ 3．下列命题中，正确的是（ ）A 、相似三角形是全等三角形B 、一个角为︒30的两个等腰三角形相似C 、全等三角形都是相似三角形D 、所有等腰直角三角形不一事实上相似 4．已知ABC ∆∽DEF ∆，若︒=∠︒=∠80,30B A ，则F ∠的度数是（ ） A 、︒30 B 、︒80 C 、︒70 D 、︒605．两个三角形相似，其中一个三角形两个内角分别为︒︒60,40，那么另一个三角形最大内角的度数为 ，最少内角的度数为 ．6．已知OAB ∆∽OCD ∆，AO=9，AB=7，AC=15，︒=∠140AOD ，︒=∠65B ，求C ∠和D ∠的度数．7．已知ADE ∆∽ABC ∆，︒=∠70A ，︒=∠45B ，求AED ∠的度数．。

相似三角形一．解答题〔共30小题〕1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F 在BC 上，连DF 与AB 的延长线交于点G ．〔1〕求证：△CDF∽△BGF；〔2〕当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，假如AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．4．如图，E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．5．：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D 在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．〔1〕求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；〔2〕在图①的根底上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出〔1〕中的两个结论是否仍然成立；〔3〕在〔2〕的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．6．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．〔1〕填空：∠ABC= _________ °，BC= _________ ；〔2〕判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．8．如图，矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：〔1〕经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？〔2〕是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？假如存在，求t 的值；假如不存在，请说明理由．9．如图，在梯形ABCD中，假如AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．〔1〕列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；〔注意：全等看成相似的特例〕〔2〕请你任选一组相似三角形，并给出证明．10．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E ，连接AE ．〔1〕写出图中所有相等的线段，并加以证明；〔2〕图中有无相似三角形？假如有，请写出一对；假如没有，请说明理由；〔3〕求△BEC与△BEA的面积之比．11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC 的平行线交AC于P，交AB于Q．〔1〕求四边形AQMP的周长；〔2〕写出图中的两对相似三角形〔不需证明〕；〔3〕M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．12．：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM ∽△MCP．13．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．〔1〕求梯形ABCD的面积S；〔2〕动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC 于点E．假如P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之完毕，设运动时间为t秒．问：①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？假如存在，请求出t的值；假如不存在，请说明理由；②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？假如存在，请求出所有符合条件的t的值；假如不存在，请说明理由；③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形？假如存在，请求出所有符合条件的t的值；假如不存在，请说明理由．14．矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．假如P 自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？15．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．17．，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N 〔不含A、B〕，使得△CDM与△MAN相似？假如能，请给出证明，假如不能，请说明理由．18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q 从B 出发，沿BC 方向以2cm/s 的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．假如Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？19．如下列图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB 上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．〔1〕如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△E；〔2〕如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除〔1〕中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．21．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s 的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t〔秒〕表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．22．如图，路灯〔P点〕距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部〔O点〕20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？23．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度〔这棵树底部可以到达，顶部不易到达〕，他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．〔1〕所需的测量工具是：_________ ；〔2〕请在如下图中画出测量示意图；〔3〕设树高AB的长度为x，请用所测数据〔用小写字母表示〕求出x．24．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进展了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm．丙组：如图3，测得校园景灯〔灯罩视为球体，灯杆为圆柱体其粗细忽略不计〕的高度为200cm，影长为156cm．任务要求：〔1〕请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；〔2〕如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．〔友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602〕25．阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区〔如下列图〕，亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．26．如图，李华晚上在路灯下散步．李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m．〔1〕假如李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；〔2〕假如李华在两路灯之间行走，如此他前后的两个影子的长度之和〔DA+AC 〕是否是定值请说明理由；〔3〕假如李华在点A朝着影子〔如图箭头〕的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．27．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，如此不难证明S1=S2+S3．〔1〕如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；〔不必证明〕〔2〕如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；〔3〕假如分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与〔2〕一样的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；〔4〕类比〔1〕，〔2〕，〔3〕的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．28．：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．29．：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，假如AB=3，AC=4．〔1〕求BD、CD的长；〔2〕过B作BE⊥DC于E，求BE的长．30．〔1〕，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；〔2〕：两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．一．解答题〔共30小题〕1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．解答：证明：∵DE∥BC，∴DE∥FC，∴∠AED=∠C．又∵EF∥AB，∴EF∥AD，∴∠A=∠FEC．∴△ADE∽△EFC．点评：此题考查的是平行线的性质与相似三角形的判定定理．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．〔1〕求证：△CDF∽△BGF；〔2〕当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，假如AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．解答：〔1〕证明：∵梯形ABCD，AB∥CD，∴∠CDF=∠FGB，∠DCF=∠GBF，〔2分〕∴△CDF∽△BGF．〔3分〕〔2〕解：由〔1〕△CDF∽△BGF，又F是BC的中点，BF=FC，∴△CDF≌△BGF，∴DF=GF，CD=BG，〔6分〕∵AB∥DC∥EF，F为BC中点，∴E为AD中点，∴EF是△DAG的中位线，∴2EF=AG=AB+BG．∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2，∴CD=BG=2cm．〔8分〕3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．解答：证明：∵FD∥AB，FE∥AC，∴∠B=∠FDE，∠C=∠FED，∴△ABC∽△FDE．4．如图，E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．解答：证明：∵矩形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，〔2分〕∴∠BAF=∠AED．〔4分〕∵BF⊥AE，∴∠AFB=90°．∴∠AFB=∠D．〔5分〕∴△ABF∽△EAD．〔6分〕点评：考查相似三角形的判定定理，关键是找准对应的角．5．：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D 在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．〔1〕求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；〔2〕在图①的根底上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出〔1〕中的两个结论是否仍然成立；〔3〕在〔2〕的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．解答：〔1〕证明：①∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAE=∠CAD，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABE≌△ACD，∴BE=CD．②由△ABE≌△ACD，得∠ABE=∠ACD，BE=CD，∵M、N分别是BE，CD的中点，∴BM=．又∵AB=AC，∴△ABM≌△A．∴AM=AN，即△AMN为等腰三角形．〔2〕解：〔1〕中的两个结论仍然成立．〔3〕证明：在图②中正确画出线段PD，由〔1〕同理可证△ABM≌△A，∴∠CAN=∠BAM∴∠BAC=∠MAN．又∵∠BAC=∠DAE，∴∠MAN=∠DAE=∠BAC．∴△AMN，△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形．∴△PBD和△AMN都为顶角相等的等腰三角形，∴∠PBD=∠AMN，∠PDB=∠ANM，∴△PBD∽△AMN．6．如图，E是▱ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．分析：根据平行线的性质和两角对应相等的两个三角形相似这一判定定理可证明图中相似三角形有：△AEF∽△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．解答：解：相似三角形有△AEF∽△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．〔3分〕如：△AEF∽△BEC．在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠3．〔6分〕∴△AEF∽△BEC．〔7分〕7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．〔1〕填空：∠ABC= 135°°，BC=；〔2〕判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．解答：解：〔1〕∠ABC=135°，BC=；〔2〕相似；∵BC=，EC==；∴，；∴；又∠ABC=∠CED=135°，∴△ABC∽△DEC．8．如图，矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问：〔1〕经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？〔2〕是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？假如存在，求t 的值；假如不存在，请说明理由解：〔1〕设经过x秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的，如此有：〔6﹣2x〕x=×3×6，即x2﹣3x+2=0，〔2分〕解方程，得x1=1，x2=2，〔3分〕经检验，可知x1=1，x2=2符合题意，所以经过1秒或2秒后，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的．〔4分〕〔2〕假设经过t秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似，由矩形ABCD，可得∠CDA=∠MAN=90°，因此有或〔5分〕即①，或②〔6分〕解①，得t=；解②，得t=〔7分〕经检验，t=或t=都符合题意，所以动点M，N同时出发后，经过秒或秒时，以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似．〔8分〕9．如图，在梯形ABCD中，假如AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．〔1〕列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；〔注意：全等看成相似的特例〕〔2〕请你任选一组相似三角形，并给出证明．解答：解：〔1〕任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况：①②，①③，①④，②③，②④，③④〔2分〕其中有两组〔①③，②④〕是相似的．∴选取到的二个三角形是相似三角形的概率是P=〔4分〕证明：〔2〕选择①、③证明．在△AOB与△COD中，∵AB∥CD，∴∠CDB=∠DBA，∠DCA=∠CAB，∴△AOB∽△COD〔8分〕选择②、④证明．∵四边形ABCD是等腰梯形，∴∠DAB=∠CBA，∴在△DAB与△CBA中有AD=BC，∠DAB=∠CAB，AB=AB，∴△DAB≌△CBA，〔6分〕∴∠ADO=∠BCO．又∠DOA=∠COB，∴△DOA∽△COB〔8分〕．点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性一样，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P〔A〕=，即相似三角形的证明．还考查了相似三角形的判定．10．附加题：如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE ⊥BD于E，连接AE．〔1〕写出图中所有相等的线段，并加以证明；〔2〕图中有无相似三角形？假如有，请写出一对；假如没有，请说明理由；〔3〕求△BEC与△BEA的面积之比．解答：解：〔1〕AD=DE，AE=CE．∵CE⊥BD，∠BDC=60°，∴在Rt△CED中，∠ECD=30°．∴CD=2ED．∵CD=2DA，∴AD=DE，∴∠DAE=∠DEA=30°=∠ECD．∴AE=CE．〔2〕图中有三角形相似，△ADE∽△AEC；∵∠CAE=∠CAE，∠ADE=∠AEC，∴△ADE∽△AEC；〔3〕作AF⊥BD的延长线于F，设AD=DE=x，在Rt△CED中，可得CE=，故AE=．∠ECD=30°．在Rt△AEF中，AE=，∠AED=∠DAE=30°，∴sin∠AEF=，∴AF=AE•sin∠AEF=．∴．点评：此题主要考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定与三角形面积的求法等，X围较广．11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC 的平行线交AC于P，交AB于Q．〔1〕求四边形AQMP的周长；〔2〕写出图中的两对相似三角形〔不需证明〕；〔3〕M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．解答：解：〔1〕∵AB∥MP，QM∥AC，∴四边形APMQ是平行四边形，∠B=∠PMC，∠C=∠QMB．∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠PMC=∠QMB．∴BQ=QM，PM=PC．∴四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a．〔2〕∵PM∥AB，∴△PCM∽△ACB，∵QM∥AC，∴△BMQ∽△BCA；〔3〕当点M中BC的中点时，四边形APMQ是菱形，∵点M是BC的中点，AB∥MP，QM∥AC，∴QM，PM是三角形ABC的中位线．∵AB=AC，∴QM=PM=AB=AC．又由〔1〕知四边形APMQ是平行四边形，∴平行四边形APMQ是菱形．12．：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM ∽△MCP．解答：证明：∵正方形ABCD，M为CD中点，∴CM=MD=AD．∵BP=3PC，∴PC=BC=AD=CM．∴．∵∠PCM=∠ADM=90°，∴△MCP∽△ADM．13．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．〔1〕求梯形ABCD的面积S；〔2〕动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B⇒A⇒D⇒C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C⇒D⇒A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC 于点E．假如P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之完毕，设运动时间为t秒．问：①当点P在B⇒A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？假如存在，请求出t的值；假如不存在，请说明理由；②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？假如存在，请求出所有符合条件的t的值；假如不存在，请说明理由；③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形？假如存在，请求出所有符合条件的t的值；假如不存在，请说明理由．解答：解：〔1〕过D作DH∥AB交BC于H点，∵AD∥BH，DH∥AB，∴四边形ABHD是平行四边形．∴DH=AB=8；BH=AD=2．∴CH=8﹣2=6．∵CD=10，∴DH2+CH2=CD2∴∠DHC=90°．∠B=∠DHC=90°．∴梯形ABCD是直角梯形．∴S ABCD=〔AD+BC〕AB=×〔2+8〕×8=40．〔2〕①∵BP=CQ=t，∴AP=8﹣t，DQ=10﹣t，∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，∴8﹣t+2+10﹣t=t+8+t．∴t=3＜8．∴当t=3秒时，PQ将梯形ABCD周长平分．②第一种情况：0＜t≤8假如△PAD∽△QEC如此∠ADP=∠C∴tan∠ADP=tan∠C==∴=，∴t=假如△PAD∽△CEQ如此∠APD=∠C ∴tan∠APD=tan∠C==，∴=∴t=第二种情况：8＜t≤10，P、A、D三点不能组成三角形；第三种情况：10＜t≤12△ADP为钝角三角形与Rt△CQE不相似；∴t=或t=时，△PAD与△CQE相似．③第一种情况：当0≤t≤8时．过Q点作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足为E、H．∵AP=8﹣t，AD=2，∴PD==．∵CE=t，QE=t，∴QH=BE=8﹣t，BH=QE=t．∴PH=t﹣t=t．∴PQ==，DQ=10﹣t．Ⅰ：DQ=DP，10﹣t=，解得t=8秒．Ⅱ：DQ=PQ，10﹣t=，化简得：3t2﹣52t+180=0解得：t=，t=＞8〔不合题意舍去〕∴t=第二种情况：8≤t≤10时．DP=DQ=10﹣t．∴当8≤t＜10时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．第三种情况：10＜t≤12时．DP=DQ=t﹣10．∴当10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立．综上所述，t=或8≤t＜10或10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ成立．14．矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．假如P 自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？解答：解：设经x秒后，△PBQ∽△BCD，由于∠PBQ=∠BCD=90°，〔1〕当∠1=∠2时，有：，即；〔2〕当∠1=∠3时，有：，即，∴经过秒或2秒，△PBQ∽△BCD．15．如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s 的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．解答：设经过秒后t秒后，△PBQ与△ABC相似，如此有AP=2t，BQ=4t，BP=10﹣2t，当△PBQ∽△ABC时，有BP：AB=BQ：BC，即〔10﹣2t〕：10=4t：20，解得t=2.5〔s〕〔6分〕当△QBP∽△ABC时，有BQ：AB=BP：BC，即4t：10=〔10﹣2t〕：20，解得t=1．所以，经过2.5s或1s时，△PBQ与△ABC相似〔10分〕．解法二：设ts后，△PBQ与△ABC相似，如此有，AP=2t，BQ=4t，BP=10﹣2t 分两种情况：〔1〕当BP与AB对应时，有=，即=〔2〕当BP与BC对应时，有=，即=，解得t=1s所以经过1s或2.5s时，以P、B、Q三点为顶点的三角形与△ABC相似．16．如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．问当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．解答：解：∵AC=，AD=2，∴CD==．要使这两个直角三角形相似，有两种情况：1）当Rt△ABC∽Rt△ACD时，2）有=，∴AB==3；3）当Rt△ACB∽Rt△CDA时，4）有=，∴AB==3．故当AB的长为3或3时，这两个直角三角形相似．17．，如图，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找一点N 〔不含A、B〕，使得△CDM与△MAN相似？假如能，请给出证明，假如不能，请说明理由．解答：证明：分两种情况讨论：①假如△CDM∽△MAN，如此=．∵边长为a，M是AD的中点，∴AN=a．②假如△CDM∽△NAM，如此．∵边长为a，M是AD的中点，∴AN=a，即N点与B重合，不合题意．所以，能在边AB上找一点N〔不含A、B〕，使得△CDM与△MAN相似．当AN=a 时，N点的位置满足条件．18．如图在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，点Q从B出发，沿BC方向以2cm/s 的速度移动，点P从C出发，沿CA方向以1cm/s的速度移动．假如Q、P分别同时从B、C出发，试探究经过多少秒后，以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似？解答：解：设经过x秒后，两三角形相似，如此CQ=〔8﹣2x〕cm，CP=xcm，〔1分〕∵∠C=∠C=90°，∴当或时，两三角形相似．〔3分〕〔1〕当时，，∴x=；〔4分〕〔2〕当时，，∴x=．〔5分〕所以，经过秒或秒后，两三角形相似．〔6分〕点评：此题综合考查了路程问题，相似三角形的性质与一元一次方程的解法．19．如下列图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰AB 上确定点P的位置，使得以P，A，D为顶点的三角形与以P，B，C为顶点的三角形相似．解答：解：〔1〕假如点A，P，D分别与点B，C，P对应，即△APD∽△BCP，∴=，∴=，∴AP2﹣7AP+6=0，∴AP=1或AP=6，检测：当AP=1时，由BC=3，AD=2，BP=6，∴=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．当AP=6时，由BC=3，AD=2，BP=1，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．〔2〕假如点A，P，D分别与点B，P，C对应，即△APD∽△BPC．∴=，∴=，∴AP=．检验：当AP=时，由BP=，AD=2，BC=3，∴=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BPC．因此，点P的位置有三处，即在线段AB距离点A的1、、6处．20．△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的顶点E位于边BC的中点上．〔1〕如图1，设DE与AB交于点M，EF与AC交于点N，求证：△BEM∽△E；〔2〕如图2，将△DEF绕点E旋转，使得DE与BA的延长线交于点M，EF与AC交于点N，于是，除〔1〕中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论．解答：证明：〔1〕∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠MBE=45°，∴∠BME+∠MEB=135°又∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEF=45°∴∠NEC+∠MEB=135°∴∠BEM=∠NEC，〔4分〕而∠MBE=∠E=45°，∴△BEM∽△E．〔6分〕〔2〕与〔1〕同理△BEM∽△E，∴．〔8分〕又∵BE=EC，∴，〔10分〕如此△E与△MEN中有，又∠E=∠MEN=45°，∴△E∽△MEN．〔12分〕21．如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s 的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t〔秒〕表示移动的时间，那么当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．解答：解：以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似，所以△ABC∽△PAQ或△ABC∽△QAP，①当△ABC∽△PAQ时，，所以，解得：t=6；②当△ABC∽△QAP时，，所以，解得：t=；③当△AQP∽△BAC时，=，即=，所以t=；④当△AQP∽△BCA时，=，即=，所以t=30〔舍去〕．故当t=6或t=时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似．22．如图，路灯〔P点〕距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部〔O点〕20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？解答：解：∵∠MAC=∠MOP=90°，∠AMC=∠OMP，∴△MAC∽△MOP．∴，即，解得，MA=5米；同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB=1.5米，∴小明的身影变短了5﹣1.5=3.5米．23．阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度〔这棵树底部可以到达，顶部不易到达〕，他们带了以下测量工具：皮尺，标杆，一副三角尺，小平面镜．请你在他们提供的测量工具中选出所需工具，设计一种测量方案．〔1〕所需的测量工具是：；〔2〕请在如下图中画出测量示意图；〔3〕设树高AB的长度为x，请用所测数据〔用小写字母表示〕求出x．解答：解：〔1〕皮尺，标杆；〔2〕测量示意图如下列图；〔3〕如图，测得标杆DE=a，树和标杆的影长分别为AC=b，EF=c，∵△DEF∽△BAC，∴，∴，∴．〔7分〕24．问题背景在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进展了测量．下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图1，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm．乙组：如图2，测得学校旗杆的影长为900cm．丙组：如图3，测得校园景灯〔灯罩视为球体，灯杆为圆柱体，其粗细忽略不计〕的高度为200cm，影长为156cm．任务要求：〔1〕请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；〔2〕如图3，设太阳光线NH与⊙O相切于点M．请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯灯罩的半径．〔友情提示：如图3，景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可采用等式1562+2082=2602〕解答：解：〔1〕由题意可知：∠BAC=∠EDF=90°，∠BCA=∠EFD．∴△ABC∽△DEF．∴，即，〔2分〕∴DE=1200〔cm〕．所以，学校旗杆的高度是12m．〔3分〕〔2〕解法一：与①类似得：，即，∴GN=208．〔4分〕在Rt△NGH中，根据勾股定理得：NH2=1562+2082=2602，∴NH=260．〔5分〕设⊙O的半径为rcm，连接OM，∵NH切⊙O于M，∴OM⊥NH．〔6分〕如此∠OMN=∠HGN=90°，又∵∠ONM=∠HNG，∴△OMN∽△HGN，∴〔7分〕，又ON=OK+KN=OK+〔GN﹣GK〕=r+8，∴，解得：r=12．∴景灯灯罩的半径是12cm．〔8分〕解法二：与①类似得：，即，∴GN=208．〔4分〕设⊙O的半径为rcm，连接OM，∵NH切⊙O于M，∴OM⊥NH．〔5分〕如此∠OMN=∠HGN=90°，又∵∠ONM=∠HNG，∴△OMN∽△HGN．∴，即，〔6分〕∴MN=r，又∵ON=OK+KN=OK+〔GN﹣GK〕=r+8．〔7分〕在Rt△OMN中，根据勾股定理得：r2+〔r〕2=〔r+8〕2即r2﹣9r﹣36=0，解得：r1=12，r2=﹣3〔不合题意，舍去〕，∴景灯灯罩的半径是12cm．〔8分〕25．〔2007•某某〕阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下2.7m宽的亮区〔如下列图〕，亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC．解答：解：∵AE∥BD，∴△ECA∽△DCB，∴．∵EC=8.7m，ED=2.7m，∴CD=6m．∵AB=1.8m，∴AC=BC+1.8m，∴，∴BC=4，即窗口底边离地面的高为4m．点评：此题根本上难度不大，利用相似比即可求出窗口底边离地面的高．26．如图，李华晚上在路灯下散步．李华的身高AB=h，灯柱的高OP=O′P′=l，两灯柱之间的距离OO′=m．〔1〕假如李华距灯柱OP的水平距离OA=a，求他影子AC的长；〔2〕假如李华在两路灯之间行走，如此他前后的两个影子的长度之和〔DA+AC〕是否是定值请说明理由；〔3〕假如李华在点A朝着影子〔如图箭头〕的方向以v1匀速行走，试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2．解答：解：〔1〕由：AB∥OP，∴△ABC∽△OPC．∵，∵OP=l，AB=h，OA=a，∴，∴解得：．〔2〕∵AB∥OP，∴△ABC∽△OPC，∴，即，即．∴．同理可得：，∴=是定值．〔3〕根据题意设李华由A到A'，身高为A'B'，A'C'代表其影长〔如图〕．由〔1〕可知，即，∴，同理可得：，∴，由等比性质得：，当李华从A走到A'的时候，他的影子也从C移到C'，因此速度与路程成正比∴，所以人影顶端在地面上移动的速度为．27．如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1，S2，S3表示，如此不难证明S1=S2+S3．〔1〕如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之间有什么关系；〔不必证明〕〔2〕如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1，S2，S3之间的关系并加以证明；〔3〕假如分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1，S2，S3表示，为使S1，S2，S3之间仍具有与〔2〕一样的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；〔4〕类比〔1〕，〔2〕，〔3〕的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论．解：设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c，如此c2=a2+b2〔1〕S1=S2+S3；〔2〕S1=S2+S3．证明如下：显然，S1=，S2=，S3=∴S2+S3==S1；〔3〕当所作的三个三角形相似时，S1=S2+S3．证明如下：∵所作三个三角形相似∴∴=1 ∴S1=S2+S3；〔4〕分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形，其面积分别用S1、S2、S3表示，如此S1=S2+S3．28．：如图，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．解答：解：∵△ABC∽△ADE，∴AE：AC=AD：AB．∵AE：AC=〔AB+BD〕：AB，∴AE：9=〔15+5〕：15．∴AE=12．29．：如图Rt△ABC∽Rt△BDC，假如AB=3，AC=4．〔1〕求BD、CD的长；〔2〕过B作BE⊥DC于E，求BE的长．解答：解：〔1〕Rt△ABC中，根据勾股定理得：BC==5，∵Rt△ABC∽Rt△BDC，∴==，==，∴BD=，CD=；〔2〕在Rt△BDC中，S△BDC=BE•CD=BD•BC，∴BE===3．30．〔1〕，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；〔2〕：两相似三角形对应高的比为3：10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．解：〔1〕设=k，那么x=2k，y=3k，z=5k，由于3x+4z﹣2y=40，∴6k+20k﹣6k=40，∴k=2，∴x=4，y=6，z=10．〔2〕设一个三角形周长为Ccm，如此另一个三角形周长为〔C+560〕cm，如此，∴C=240，C+560=800，即它们的周长分别为240cm，800cm。