数值分析
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常用的插值方法
序言
在离散数据的基础上补插连续函数，使得这条连续曲线通过全部给定的离散数据点。插值是离散函数逼近的重要方法，利用它可通过函数在有限个点处的取值状况，估算出函数在其他点处的近似值。
早在6世纪，中国的刘焯已将等距二次插值用于天文计算。17世纪之后，牛顿、拉格朗日分别讨论了等距和非等距的一般插值公式。在近代，插值法仍然是数据处理和编制函数表的常用工具，又是数值积分、数值微分、非线性方程求根和微分方程数值解法的重要基础，许多求解计算公式都是以插值为基础导出的。
插值问题的提法是：假定区间[a，b〕上的实值函数f（x）在该区间上 n＋1
个互不相同点x
0，x
1
(x)
n
处的值是f（x
），……f（x
n
），要求估算f（x）在[a，b〕
中某点的值。其做法是：在事先选定的一个由简单函数构成的有n＋1个参数C
，
C 1，……C
n
的函数类Φ(C
，C
1
，……C
n
)中求出满足条件P（x
i
）＝f（x
i
）（i＝0，1，……
n）的函数P(x)，并以P(x)作为f(x)的估值。此处f（x）称为被插值函数，x
0，x
1
，……xn
称为插值结(节)点，Φ(C
0，C
1
，……C
n
)称为插值函数类，上面等式称为插值条件，
Φ（C
0，……C
n
）中满足上式的函数称为插值函数，R（x）＝ f（x）－P（x）称为
插值余项。
求解这类问题，它有很多种插值法，其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点，常用的插值还有Hermit 插值，分段插值和样条插值。
一．拉格朗日插值
1.问题提出：
已知函数()y f x =在n+1个点01,,
,n x x x 上的函数值01,,
,n y y y ，求任意一点
x '的函数值()f x '。
说明：函数()y f x =可能是未知的；也可能是已知的，但它比较复杂，很难计算其函数值()f x '。 2.解决方法：
构造一个n 次代数多项式函数()n P x 来替代未知（或复杂）函数()y f x =，则
用()n P x '作为函数值()f x '的近似值。
设()2012n n n P x a a x a x a x =+++
+，构造()n P x 即是确定n+1个多项式的系数
012,,,,n a a a a 。
3.构造()n P x 的依据：
当多项式函数()n P x 也同时过已知的n+1个点时，我们可以认为多项式函数
()n P x 逼近于原来的函数()f x 。根据这个条件，可以写出非齐次线性方程组：
20102000
201121112012n n n n n n n n n n
a a x a x a x y a a x a x a x y a a x a x a x y ⎧+++
+=⎪++++=⎪⎨⎪
⎪+++
+=⎩
其系数矩阵的行列式D 为范德萌行列式：
()
200021110
2
111n n i
j
n i j n
n
n n x x x x x x D x x x x x ≥>≥=
=
-∏
故当n+1个点的横坐标01,,,n x x x 各不相同时，方程组系数矩阵的行列式D 不等于
零，故方程组有唯一解。即有以下结论。 结论：当已知的n+1个点的横坐标01,,
,n x x x 各不相同时，则总能够构造唯一的n
次多项式函数()n P x ，使()n P x 也过这n+1个点。 4.几何意义
5．举例：
已知函数()f x ()115f 。
分析：本题理解为，已知“复杂”函数()f x x=81,100,121,144时，其对应的函数值为：y=9,10,11,12，当x=115时，求函数值()115f 。
解：
（1）线性插值：过已知的（100,10）和（121,11）两个点，构造1次多项式函数()1P x ，于是有
()1121100
1011100121121100
x x P x --=⨯+⨯--
则
()()111511510.71428571428572f P ≈=。
（2）抛物插值：构造2次多项式函数()2P x ，使得它过已知的（100,10）、（121,11）和（144,12）三个点。于是有2次拉格朗日插值多项式：
()()()()()()()()()()()()()
2121144100144100121101112100121100144121100121144144100144121x x x x x x P x ------=⨯+⨯+⨯------
则有
()()2115115f P ≈=10.72275550536420 6.拉格朗日n 次插值多项式公式：
()()()()()()()()()()()()
()()()()()()()12001020021
10121011011n n n n n n n
n n n n x x x x x x P x y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x x x x y x x x x x x -----=
------+
---+---+
---
()()()()()00110n
n n n k k k P x l x y l x y l x y l x y ==++
+=∑
其中()k l x 称为基函数（k=0,1,….,n ），每一个基函数都是关于x 的n 次多项式，其表达式为：
()0
n
j k j k j
j k
x x l x x x =≠-=-∏
拉格朗日公式特点：
1．把每一点的纵坐标k y 单独组成一项；
2.每一项中的分子是关于x 的n 次多项式，分母是一个常数；
3.每一项的分子和分母的形式非常相似，不同的是： 分子是()x -
，而分母是()k x -
7.误差分析（拉格朗日余项定理）
()()()()()()1
1!n n
n k k f P x f x x x n ξ+=-=-+∏， 其中ξ在01,,,,n x x x x 所界定的范围内。
针对以上例题的线性插值，有
()()()()()11151151151001151212!
f P f ξ''-=
--
