P.73 习题1．按定义证明下列函数在其定义域内连续： （1）xx f 1)(=（2）||)(x x f = 证明 （1）f 的定义域为),0()0,(∞+-∞ ，对其定义域上任一点00≠x ，有)(11lim)(lim 0000x f x x x f x x x x ===→→，故f 在0x 连续，由0x 的任意性知，f 在其定义域内连续.（2）f 的定义域为),(∞+-∞. 对其定义域上任一点0x ，0>∀ε，取εδ=，当δ<-||0x x 时，有εδ=<-≤-||||||||00x x x x ，故||||lim 00x x x x =→，从而f 在0x 连续，由0x 的任意性知，f 在其定义域内连续.2．指出下列函数的间断点并说明其类型： （1）xx x f 1)(+=； 解 f 在0=x 间断，因为)1(lim 0xx x ++→不存在，所以0=x 是第二类间断点. （2）||sin )(x xx f =解 f 在0=x 间断，因为1sin lim ||sin lim 00==++→→xx x x x x ，1sin lim ||sin lim 00-=-=--→→x xx x x x ，故0=x 是f 的跳跃间断点.（3）|]cos [|)(x x f =解 因为⎩⎨⎧=≠==ππn x n x x x f 10|]cos [|)(，所以f 在),2,1,0( ±±==n n x π间断.由于0|]cos [|lim 0=→x x ，从而),2,1,0( ±±==n n x π是f 的可去间断点.（4）||sgn )(x x f =解 因为⎩⎨⎧=≠==0001||sgn )(x x x x f ，所以f 在0=x 间断. 由于1||sgn lim 0=→x x ，从而0=x 是f 的可去间断点.（5）)sgn(cos )(x x f =解 因为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+<<+-+=+<<-==2322212022221)s g n (c o s )(ππππππππππn x n n x n x n x x f ，所以f 在)2,1,0(22 ±±=±=n n x ππ间断. 由于1)s g n (c o sl i m 22-=++→x n x ππ，1)sgn(cos lim 22=-+→x n x ππ，1)sgn(cos lim 22=+-→x n x ππ，1)sgn(cos lim 22-=--→x n x ππ，故)2,1,0(22 ±±=±=n n x ππ是f 的跳跃间断点.（6）⎩⎨⎧-=为无理数为有理数x x x x x f )(解 f 在0≠x 间断. 当00≠x 时，极限)(lim 0x f x x +→不存在，故0≠x 是f 的第二类间断点.（7）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+∞<<--≤≤--<<∞-+=x x x x x x x x f 111sin )1(17771)( 解 因为71lim )(lim 77+=---→-→x x f x x ，不存在，故7-=x 是f 的第二类间断点.1lim )(lim 11==--→→x x f x x ，011sin )1(lim )(lim 11=--=++→→x x x f x x ，故1=x 是f 的跳跃间断点.3．延拓下列函数，使其在 R 上连续：（1）28)(3--=x x x f解 因为f 在2=x 无定义，且12)42(lim 28lim2232=++=--→→x x x x x x ，于是延拓f 为函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠--=212228)(3x x x x x F ，F 在 R 上连续.（2）2cos 1)(x xx f -= 解f 在0=x 无定义，21cos 1lim20=-→x x x ，于是延拓f 为函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0210c o s1)(2x x x x x F ，F 在 R 上连续. （3）xx x f 1cos )(=解f 在0=x 无定义，01coslim 0=→xx x ，于是延拓f 为函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001cos )(x x x x x F ，F 在 R 上连续.4．证明：若f 在0x 点连续，则||f 与2f 也在点0x 连续. 又问：若||f 与2f 在点0x 连续，那么f 在0x 点是否必连续？证明 设f 在0x 点连续，即0>∀ε，0>∃δ，使得当δ<-||0x x 时，有ε<-|)()(|0x f x f . 这时有ε<-≤-|)()(|||)(|)(||00x f x f x f x f ，故||f 也在点0x 连续.下面证明：2f 也在点0x 连续. 因为f 在0x 点连续，于是f 在0x 极限存在，从而由极限的局部有界性知，存在0>M 及01>δ，使得当10||δ<-x x 时，有M x f ≤|)(|. 现在取},min{12δδδ=，当20||δ<-x x 时，有εM x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f 2|)()(||))(||)((||)()(||)()(||)()(|0000022<-⋅+≤-⋅+=-所以2f 在点0x 连续.若||f 与2f 在点0x 连续，f 在0x 点不一定连续. 例如，⎩⎨⎧≥<-=0101)(x x x f . 则1||2≡=f f 在点0=x 连续，但f 在0=x 不连续5．设当0≠x 时)()(x g x f ≡，而)0()0(g f ≠. 证明：f 与g 两者中至多有一个在0=x 连续.证明 因为)()(x g x f ≡，所以)(lim )(lim 0x g x f x x →→=，假设f 与g 两个都在0=x 连续，则)0()(lim )(lim )0(0g x g x f f x x ===→→. 与题设)0()0(g f ≠矛盾，所以f 与g 两者中至多有一个在0=x 连续.6．设f 为区间I 上的单调函数. 证明：若I x ∈0为f 的间断点，则0x 必是f 的第一类间断点.证明 由教材P.54定理3.10及P.55习题5，知)0(0-x f 和)0(0+x f 都存在，所以0x 是f 的第一类间断点.9．举出定义在 [0, 1] 上分别符合下述要求的函数： ⑴ 只在21，31和41三点不连续的函数 函数)41)(31)(21(1)(---=x x x x f 只在21，31和41三点不连续 ⑵ 只在21，31和41三点连续的函数 设Dirichlet 函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x D 01)(，则)()41)(31)(21()(x D x x x x f ---=只在21，31和41三点连续 ⑶ 只在n1（ ,2,1=n ）上间断的函数函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=0101)(x x x x x f ，只在n1（ ,2,1=n ）上间断 ⑷ 只在0=x 右连续，而在其他点都不连续的函数 设)(x D 为Dirichlet 函数，则函数)()(x D x x f =只在0=x 右连续P.81 习题1．讨论复合函数g f 与f g 的连续性，设 （1）21)(,sgn )(x x g x x f +==解 1)1s g n ()(2=+=x x g f ，处处连续.⎩⎨⎧=≠=0102)(x x x f g ，除0=x 外，处处连续，0=x 是跳跃间断点. （2）x x x g x x f )1()(,sgn )(2-==解 ⎪⎩⎪⎨⎧∞+-∈-±=∞∈=-=),1(U )0,1(11,001)-,U(-)1,0(1)1sgn()(2x x x x x x g f ，故1,0,1-=x 是gf 的跳跃间断点.0)(≡x f g ，处处连续.2．设f ，g 在点0x 连续，证明：（1）若)()(00x g x f >，则存在);(0δx U ，使在其内有)()(x g x f >； （2）若在某)(0x U 内有)()(x g x f >，则)()(00x g x f ≥证明 因为f ，g 在点0x 连续，故)()(lim 00x f x f x x =→，)()(lim 00x g x g x x =→.（1）由于)()(00x g x f >，故由教材P.52习题7（2），知存在);(00δx U ，使在其内有)()(x g x f >. 从而在);(0δx U 内，有)()(x g x f >.（2）证明的方法与教材P.49定理3.5类似：设在),(0δ'x U 内，有)()(x g x f >. 因为)()(lim 00x f x f x x =→，)()(lim 00x g x g x x =→，所以0>∀ε，分别存在0,021>>δδ，使得当10||δ<-x x 时有)()(0x g x g <-ε，当20||δ<-x x 时有ε+<)()(0x f x f . 令},,min{21δδδδ'=，则当δ<-||0x x 时，有εε+<<<-)()()()(00x f x f x g x g ，从而ε2)()(00+<x f x g . 由ε的任意性，可得)()(00x f x g ≤.3．设f ，g 在区间I 上连续，记)}(),(max{)(x g x f x F =，)}(),(min{)(x g x f x G =证明F 和G 也都在I 上连续.证明 由教材P.21总练习题1，有|))()(|)()((21)}(),(max{)(x g x f x g x f x g x f x F -++== |))()(|)()((21)}(),(min{)(x g x f x g x f x g x f x G --+==因为f ，g 在区间I 上连续，所以)()(x g x f -在I 上连续，再由P.73习题4，知|)()(|x g x f -在I 上连续，从而由连续函数的四则运算定理4.4，F 和G 都在I 上连续.4．设f 为R 上连续函数，常数0>c ，记⎪⎩⎪⎨⎧>≤-<-=c x f c c x f x f c x f c x F )(|)(|)()()(若若若，证明 F 在 R 上连续.证明 因为)}}(,min{,max{)(x f c c x F -=，于是由第3题，知F 在 R 上连续. 另解 |})(||)({|21)(x f c x f c x F --+=，而)(x f c +，)(x f c -，|)(|x f c +，|)(|x f c -都是连续函数.5．设x x f sin )(=，⎩⎨⎧>+≤-=0)(x x x x x g ππ，证明：复合函数g f 在0=x 连续，但g 在0=x 不连续.证明 x x x x x x g x g f s i n 0)s i n (0)s i n ())(sin())((-=⎩⎨⎧>+≤-==ππ ，处处连续.因为ππ-=-=--→→)(lim )(lim 0x x g x x ，ππ=+=++→→)(lim )(lim 0x x g x x ，g 在0=x 的左、右极限不相等，故g 在0=x 的极限不存在，从而g 在0=x 不连续.6．设f 在),[∞+a 上连续，且)(lim x f x +∞→存在，证明：f 在),[∞+a 上有界. 又问f在),[∞+a 上必有最大值或最小值吗？证明 因为)(lim x f x +∞→存在，所以由函数极限的局部有界性知，存在a N >，使得f在),[∞+N 上有界. 又因为f 在],[N a 上连续，于是由闭区间上连续函数的有界性知，f 在],[N a 上有界，从而f 在),[∞+a 上有界.f 在),[∞+a 上不一定有最大值或最小值. 例如函数xx f 1)(=在),1[∞+上连续，但没有最小值；函数xx f 11)(-=在),1[∞+上连续，但没有最大值. 7．若对任何充分小的0>ε，f 在],[εε-+b a 上连续，能否由此推出f 在),(b a 内连续.证明 能推出f 在),(b a 内连续. 证明如下：),(0b a x ∈∀，取},m i n {2100x b a x --=ε，于是],[0εε-+∈b a x ，由题设，f 在],[εε-+b a 上连续，从而在0x 连续. 由0x 的任意性知，f 在),(b a 内连续.8．求极限：（1）434tan)4(tan )(lim 4ππππππ=-=-→x x x （2）23111112111121lim 221=+--⋅+⋅=+--++→x x x x x 9．证明：若f 在],[b a 上连续，且对任何],[b a x ∈，0)(≠x f ，则f 在],[b a 上恒正或恒负.证明 （反证法）假设f 在],[b a 上不是恒正或恒负. 则存在],[,21b a x x ∈，使得0)(1>x f ，0)(2<x f . 不妨设21x x <，则f 在],[21x x 上连续，且)(1x f 与)(2x f 异号，由根的存在定理知，存在),(210x x x ∈，使得0)(0=x f ，这与题设“对任何],[b a x ∈，0)(≠x f ”矛盾.10．证明：任一实系数奇次方程至少有一个实根.证明 设实系数奇次方程为0)(01221212=++++=++a x a x a x a x f n n n n ，012>+n a . 因为+∞=+∞→)(lim x f x ，-∞=-∞→)(lim x f x ，故存在b a <，使得0)(<a f ，0)(>b f . f 在],[b a 上连续，于是由根的存在定理，存在),(0b a x ∈，使得0)(0=x f ，即0x 是方程的实根.11．试用一致连续的定义证明：若f ，g 都在区间I 上一致连续，则g f +也在I 上一致连续.证明 因为f ，g 都在区间I 上一致连续，所以0>∀ε，分别存在0,021>>δδ，使得I x x ∈'''∀,，当1||δ<''-'x x 时有ε<''-'|)()(|x f x f ，当2||δ<''-'x x 时有ε<''-'|)()(|x g x g . 取},min{21δδδ=，则I x x ∈'''∀,，当δ<''-'||x x 时有， εεε2|)()(||)()(||))()(())()((|=+<''-'+''-'≤''+''-'+'x g x g x f x f x g x f x g x f所以g f +也在I 上一致连续. 12．证明x x f =)(在),0[∞+上一致连续.证明 ),1[]1,0[),0[∞+=∞+ ，由P.78例6知x x f =)(在]1,0[上连续，从而在]1,0[上一致连续. 下面证明：x x f =)(在),1[∞+上一致连续. 0>∀ε，取εδ2=，),1[,∞+∈'''∀x x ，当δ<''-'||x x 时有，εδ=<''-'≤''+'''-'=''-'22||||||x x xx x x x x ，所以x x f =)(在),1[∞+上一致连续. 再由P.80例10知，x x f =)(在),0[∞+上一致连续.13．证明2)(x x f =在],[b a 上一致连续，但在),(∞+-∞上不一致连续. 证明 （1）设|}||,max{|b a M =，0>∀ε，取M2εδ=，],[,21b a x x ∈∀，当δ<-||21x x 时有，εδ=<-≤-⋅+≤-⋅+=-M x x M x x x x x x x x x x 2||2|||)||(|||||||21212121212221所以2)(x x f =在],[b a 上一致连续.（2）在),(∞+-∞上，取10=ε，0>∀δ，取δ11=x ，212δδ+=x ，这时有δδ<=-2||21x x ，但114211||2222221>+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-δδδδx x . 故2)(x x f =在),(∞+-∞上不一致连续.14．设函数f 在区间I 上满足 Lipschitz 条件，即存在常数L >0，使得对I 上任意两点x x ''',都有|||)()(|x x L x f x f ''-'≤''-'，证明f 在I 上一致连续.证明 0>∀ε，取Lεδ=，I x x ∈'''∀,，当δ<''-'||x x 时有，εδ=<''-'≤''-'L x x L x f x f |||)()(|，所以f 在I 上一致连续.15．证明x sin 在),(∞+-∞上一致连续.证明 0>∀ε，取εδ=，),(,∞+-∞∈'''∀x x ，当δ<''-'||x x 时有，εδ=<''-'=''-'≤''-'≤''-'''+'=''-'||222sin 22sin 2cos2|sin sin |x x x x x x x x x x x x 所以f 在),(∞+-∞上一致连续.16．设f 在),[∞+a 上连续，且)(lim x f x +∞→存在，证明：f 在),[∞+a 上一致连续.证明 设A x f x =+∞→)(lim . 于是对任给的0>ε，存在a N >，当N x >时，有2|)(|ε<-A x f ⑴因f 在]1,[+N a 上连续，故f 在]1,[+N a 上一致连续. 从而存在10<<δ，使得当]1,[,+∈'''N a x x 且δ<''-'||x x 时，有ε<''-'|)()(|x f x f ⑵下面说明，当),[,∞+∈'''a x x 且δ<''-'||x x 时，必有ε<''-'|)()(|x f x f . 事实上，若]1,[,+∈'''N a x x ，则由 ⑵式 知有ε<''-'|)()(|x f x f 成立；若N x x >''',，则由⑴式, 可得 εεε=+<''-+-'≤''-'22|)(||)(||)()(|x f A A x f x f x f所以f 在),[∞+a 上一致连续.17．设f 在]2,0[a 上连续，且)2()0(a f f =. 证明：存在点],0[0a x ∈，使得)()(00a x f x f +=.证明 令)()()(a x f x f x F +-=，则F 在],0[a 上连续. 又由)2()0(a f f =知)()0()0(a f f F -=与)2()()(a f a f a F -=符号相反，所以由根的存在定理知，存在点],0[0a x ∈，使得0)()()(000=+-=a x f x f x F .18．设f 为],[b a 上的增函数，其值域为)](),([b f a f . 证明f 在],[b a 上连续. 证明 用反证法. 若f 有间断点0x ，则由教材P.55习题5，知)0(0-x f 与)0(0+x f 都存在，且)0()0(00+<-x f x f . 又因f 为],[b a 上的增函数，所以有)()0()()0()(000b f x f x f x f a f ≤+≤≤-≤于是)](),([))0(),0((00b f a f x f x f ⊂+-且区间))0(),0((00+-x f x f 只含f 的值域中的一个点)(0x f ，这与f 的值域为)](),([b f a f 矛盾.19．设f 在],[b a 上连续，],[,,,21b a x x x n ∈ ，证明：存在],[b a ∈ξ，使得)]()()([1)(21n x f x f x f nf +++= ξ证明 若)()()(21n x f x f x f === ，则取1x =ξ；否则，设})(,),(),(min{)(21n i x f x f x f x f =，})(,),(),(max{)(21n j x f x f x f x f =则)()]()()([1)(21j n i x f x f x f x f nx f ≤+++≤由介值定理，知存在],[b a ∈ξ，使得)]()()([1)(21n x f x f x f nf +++= ξ20．证明x x f cos )(=在),0[∞+上一致连续.证明 因为),1[]1,0[),0[∞+⋃=∞+. 当),1[,∞+∈'''x x ，有|2sin ||2sin|2|cos cos |x x x x x x ''+'⋅''-'=''-' |||2|2|2sin|2x x x x x x ''-'=''-'≤''-'≤ 即x x f cos )(=在),1[∞+满足Lipschitz 条件，由P.81习题14，知xx f cos )(=在),1[∞+上一致连续.又因为x x f cos )(=在]1,0[上连续，从而在]1,0[上一致连续. 所以由教材P.80例10，可知x x f cos )(=在),0[∞+上一致连续.84习题1．求下列极限（1）6)01ln(0150cos )1ln(15cos lim 020=-+++=-+++→e x x x e x x（2）xx x x x x x x x x x x ++++=-+++∞→+∞→lim)(lim21111111lim2=++++=+∞→xxx x （3）xx x x x x xx x x x x x x x x 111111112lim 111111lim 00+-++++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--++++→→10010*********lim 0=+-++++=+-++++=+→xx x x x x xx（4）111111lim1lim3=+++=++++∞→+∞→xx x x xx x x x（5）⋅+⋅→⋅→→=+=+xx x x x x x x x ex x sin 1)sin 1ln(cos 0cos sin 1cot 0lim )sin 1(lim )sin 1(lime e eeee x x x x x xx xx x xx =====⋅→⋅→→⋅→+⋅+⋅+⋅ln )sin 1(lim ln 1)sin 1ln(limcos lim )sin 1ln(cos limsin 10sin 10sin 102．设0lim >=∞→a a n n ，0lim >=∞→b b n n ，证明bbn n a a n =∞→lim证明 b a b a b a b n b nn a e eeann n n nn n ====∞→∞→⋅∞→∞→ln lim ln lim ln lim limP.84 总练习题1．设函数f 在),(b a 连续，且)0(+a f 与)0(-b f 为有限值. 证明： （1）f 在),(b a 内有界；（2）若存在),(b a ∈ξ，使得)}0(),0(max{)(-+≥b f a f f ξ，则f 在),(b a 内能取到最大值.证明 （1）定义⎪⎩⎪⎨⎧=-=+∈=bx b f a x a f b a x x f x F )0()0(),()()(，则)(x F 在],[b a 内连续，从而)(x F 在],[b a 内有界，当然也在),(b a 内有界. 而在),(b a 内)()(x f x F =，于是f 在),(b a 内有界.（2）因为)(x F 在],[b a 内连续，从而)(x F 在],[b a 内有最大值. 又由题设，存在),(b a ∈ξ，使得)}0(),0(max{)(-+≥b f a f f ξ，即)}(),(max{)(b F a F F ≥ξ，因此F 的最大值在),(b a 内达到. 所以f 在),(b a 内能取到最大值.2．设函数f 在),(b a 连续，且+∞=-=+)0()0(b f a f . 证明f 在),(b a 内能取到最小值.证明 因为+∞=-=+)0()0(b f a f ，所以对⎪⎭⎫⎝⎛+=2b a f G ，分别存在201a b -<<δ，202a b -<<δ，使得当10δ<-<a x 时，有⎪⎭⎫⎝⎛+>2)(b a f x f ；当20δ<-<x b 时，有⎪⎭⎫⎝⎛+>2)(b a f x f . 因为f 在闭区间),(],[21b a b a ⊂-+δδ连续，于是在],[21δδ-+b a 上有最小值m ，由于],[221δδ-+∈+b a ba ，故⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤2b a f m ，从而m 也是f 在),(b a 内的最小值.类似地可证：设函数f 在),(b a 连续，且-∞=-=+)0()0(b f a f . 则f 在),(b a 内能取到最大值.3．设函数f 在区间I 上连续，证明：⑴ 若对任何有理数I r ∈有0)(=r f ，则在I 上0)(≡x f ；⑵ 若对任意两个有理数2121,,r r r r <，有)()(21r f r f <，则f 在I 上严格增. 证明 ⑴ 对任何无理数I x ∈0，取有理点列I r n ⊂}{，使0x r n →（∞→n ），则由f 的连续性以及0)(=n r f 得0)(lim )(0==∞→n n r f x f . 所以在I 上0)(≡x f .⑵ I x x ∈∀21,，21x x <，要证)()(21x f x f <. 取有理数),(,2121x x r r ∈，21r r <. 由f在点21,x x 的连续性，对0))()((2112>-=r f r f ε，存在正数},m i n (2211r x x r --<δ，使得当有理数),(111δ+∈'x x r ，有ε+'<)()(11r f x f ；当有理数),(222x x r δ-∈'，有ε-'>)()(22r f x f . 注意到2211r r r r '<<<'以及f 在有理点集上的严格递增性，可得)()()()()()(222111x f r f r f r f r f x f <-'<-=+<+'<εεεε所以f 在I 上严格增5．设f 在],[b a 上连续，且对任何],[b a x ∈, 存在],[b a y ∈, 使得|)(|21|)(|x f y f ≤证明: 存在],[b a ∈ξ, 使得0)(=ξf证 由f 在],[b a 上连续，有||f 在],[b a 上连续，于是||f 在],[b a 有最小值m , 设||f 在],[b a ∈ξ取得最小值, 即|)(|ξf m =. 若0=m , 则已得证.假设0>m , 则由题设，存在],[1b a y ∈, 使得|)(|21|)(|1ξf y f ≤; 因|)(|ξf m =是||f 在],[b a 的最小值, 所以 |)(|21|)(||)(|1ξξf y f f ≤≤. 矛盾. 结论得证. 另解 反证法. 假设对任何],[b a x ∈，都有0)(≠x f ，于是)(x f 恒正或恒负，否则由介值定理，必有零点. 不妨设],[b a x ∈∀，0)(>x f . 因为f 在],[b a 上连续，所以有最小值，设0)(0min >=x f f ，],[0b a x ∈.由题设，存在],[0b a y ∈, 使得)()(21)(0000x f x f y f <≤<，这与)(0x f 是f 在],[b a 上的最小值矛盾. 结论得证.6．设f 在],[b a 上连续，],[,,,21b a x x x n ∈ ，另有一组正数n λλλ,,,21 满足121=+++n λλλ . 证明：存在一点],[b a ∈ξ，使得)()()()(2211n n x f x f x f f λλλξ+++=证明 若)()()(21n x f x f x f === ，则取1x =ξ；否则，设f 在],[b a 上的最大值、最小值分别为M ，m ，则)()()()(221121n n n x f x f x f m m λλλλλλ+++≤+++=M M n =+++≤)(21λλλ由介值定理，知存在],[b a ∈ξ，使得)()()()(2211n n x f x f x f f λλλξ+++=7．设f 在),0[∞+上连续，满足x x f ≤≤)(0，),0[∞+∈x . 设01≥a ，)(1n n a f a =+， ,2,1=n . 证明：⑴ }{n a 为收敛数列； ⑵ 设t a n n =∞→lim ，则有t t f =)(.⑶ 若条件改为x x f <≤)(0，),0(∞+∈x ，则0=t证 ⑴ 因为x x f ≤≤)(0，所以n n n a a f a ≤=+)(1，即}{n a 递减有下界0，故收敛. ⑵ 设0lim ≥=∞→t a n n ，由f 在),0[∞+上连续，则f 在t 上连续，从而)()(lim )(lim lim 1t f x f a f a t tx n n n n ====→∞→+∞→⑶ 因为0≥n a ，所以0lim ≥=∞→t a n n . 若0>t ，则由题设：x x f <≤)(0，),0(∞+∈x ，必有t t f <)(. 这与⑵中的结论t t f =)(矛盾. 故0=t .8．设f 在]1,0[上连续，)1()0(f f =. 证明：对任何正整数 n , 存在]1,0[∈ξ, 使得)()1(ξξf nf =+证明 当1=n 时, 取0=ξ.当1>n 时, 令)()1()(x f n x f x F -+=, ]1,0[nn x -∈, 则有 0)1()1()0(=-+++nn F n F F由第6题知, 存在]1,0[∈ξ, 使得0)]1()1()0([1)(=-+++=nn F n F F n F ξ, 从而 )()1(ξξf nf =+9．设f 在0=x 连续，且对任何x , y ∈R 有)()()(y f x f y x f +=+. 证明： ⑴ f 在R 上连续； ⑵ x f x f )1()(=.证明 ⑴ 以0==y x 代入)()()(y f x f y x f +=+，可得0)0(=f . 由f 在0=x 连续，得0)0()(lim 0==→f x f x .R x ∈∀0，由)()()()(0000x f x x f x x x f x f +-=+-=，有)()()0()]()([lim )(lim 00000x f x f f x f x x f x f x x x x =+=+-=→→所以f 在0x 连续.⑵ 对正整数p ，有)1()1()1()11()(pf f p f p f p f ==+-=+-= 对正整数q ，有)1()1()1)1(()11)1(()1()1(qqf q f q q f q q q f q q f f ==+⋅-=+⋅-=⋅=于是 )1(1)1(f qq f =. 以x y -=代入)()()(y f x f y x f +=+, 可知f 为奇函数. 因此知道对一切整数都有等式)1()(pf p f =，)1(1)1(f qq f =成立. 从而对任何有理数qp r =，有)1()1()1()()(rf f q p q pf q p f r f ====.对任何实数x , 取有理数列}{n r ，使得x r n →（∞→n ），则由f 的连续性得)1()1(lim )(lim )(xf f r r f x f n n n n ===∞→∞→10．设定义在R 上的函数f 在0，1两点连续，且对任何x , y ∈R 有)()(2x f x f =. 证明f 为常量函数.证 由)()())(()(22x f x f x f x f ==-=-，知f 为偶函数.对任何0>x ，有)()()()(214121x f x f x f x f ==== . 因f 在1=x 连续，故)1()(lim )(21f x f x f nn ==∞→，从而得对任何0≠x ，有)1()(f x f =. 再由f 在0=x 连续，得)1()(lim )0(0f x f f x ==→。
